Programa del Diploma Matemáticas: Análisis y Enfoques cuadernillo de fórmulas Para ser utilizado durante la enseñanza de la asignatura y en los exámenes Primeros exámenes: 2021 Versión 1.3 © International Baccalaureate Organization 2019 Índice Conocimientos previos NM y NS 2 Tema 1: Aritmética y álgebra NM y NS 3 Únicamente NS 4 Tema 2: Funciones NM y NS 5 Únicamente NS 5 Tema 3: Geometría y trigonometría NM y NS 6 Únicamente NS 7 Tema 4: Estadística y probabilidad NM y NS 9 Únicamente NS 10 Tema 5: Análisis NM y NS 11 Únicamente NS 12 Conocimientos previos – NM y NS Área de un paralelogramo A = bh , donde b es la base y h es la altura Área de un triángulo 1 A = (bh) , donde b es la base y h es la altura 2 Área de un trapecio = A 1 (a + b) h , donde a y b son los lados paralelos y h es la altura 2 Área de un círculo A = πr 2 , donde r es el radio Longitud de la circunferencia C = 2πr , donde r es el radio Volumen de un ortoedro V = lwh , donde l es la longitud, w es el ancho y h es la altura Volumen de un cilindro V = πr 2 h , donde r es el radio y h es la altura Volumen de un prisma V = Ah , donde A es el área de la sección transversal y h es la altura Área de la superficie lateral de un cilindro A= 2πrh , donde r es el radio y h es la altura Distancia que hay entre dos puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) d= Coordenadas del punto medio de un segmento de recta cuyos extremos son ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) x1 + x2 y1 + y2 , 2 2 ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques 2 Tema 1: Aritmética y álgebra – NM y NS NM 1.2 NM 1.3 El n-ésimo término de una progresión aritmética un = u1 + (n − 1) d La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética S n= El n-ésimo término de una progresión geométrica un = u1r n −1 n n ( 2u1 + (n − 1) d ) ; Sn= (u1 + un ) 2 2 La suma de los n primeros u1 (r n − 1) u1 (1 − r n ) , r ≠1 = S = n términos de una r −1 1− r progresión geométrica NM 1.4 Interés compuesto NM 1.5 Potencias y logaritmos a x = b ⇔ x = log a b , donde a > 0, b > 0, a ≠ 1 NM 1.7 Potencias y logaritmos log= log a x + log a y a xy x log log a x − log a y = a y kn r FV = PV × 1 + , donde FV es el valor futuro, 100 k PV es el valor presente (actual), n es el número de años, k es el número de períodos de composición del interés que hay en un año, r% es el tipo de interés nominal anual log a x m = m log a x log a x = log b x log b a NM 1.8 u1 Suma de los infinitos = S∞ , r <1 términos de una 1− r progresión geométrica NM 1.9 Teorema del binomio n∈ (a + b) n = a n + n C a n −1b + + n C a n − r b r + + b n 1 r n! nC = r r !(n − r )! Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques 3 Tema 1: Aritmética y álgebra – Únicamente NS TANS Combinaciones 1.10 Permutaciones Ampliación del teorema del binomio n ∈ n! nC = r r !(n − r )! n P = n! r (n − r )! 2 b n ( n − 1) b + + ... 2! a a ( a + b ) = a n 1 + n n TANS Números complejos 1.12 z= a + bi TANS Forma módulo-argumental 1.13 (polar) y forma exponencial (de Euler) z= r (cos θ + isen θ ) = re i θ = r cis θ TANS Teorema de De Moivre 1.14 r n (cos nθ + isen nθ ) = r n einθ = r n cis nθ [ r (cosθ + isen θ )] = Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques n 4 Tema 2: Funciones – NM y NS NM 2.1 NM 2.6 NM 2.7 NM 2.9 Ecuaciones de la recta 0 ; y − y1= m ( x − x1 ) = y mx + c ; ax + by + d = Fórmula de la pendiente m= Eje de simetría del gráfico de una función cuadrática f ( x) = ax 2 + bx + c ⇒ el eje de simetría es x = − Soluciones de una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c= 0 ⇒ Discriminante ∆= b 2 − 4ac Funciones exponenciales y logarítmicas a x = e x ln a ; log a a x= x= a loga x donde a , x > 0, a ≠ 1 y2 − y1 x2 − x1 x= b 2a −b ± b 2 − 4ac , a≠0 2a Tema 2: Funciones – Únicamente NS TANS Suma y producto de las 2.12 raíces de una ecuación polinómica que es de la forma n ( −1) a0 − an −1 ; el producto es an an n La suma es ∑a x = 0 r =0 r r Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques 5 Tema 3: Geometría y trigonometría – NM y NS NM 3.1 Distancia que hay entre dos puntos ( x1 , y1 , z1 ) y d= ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z2 ) 2 ( x2 , y2 , z2 ) NM 3.2 NM 3.4 Coordenadas del punto medio de un segmento de recta cuyos extremos son ( x1 , y1 , z1 ) y ( x2 , y2 , z2 ) x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 , , 2 2 2 Volumen de una pirámide recta V= 1 Ah , donde A es el área de la base y h es la altura 3 Volumen de un cono recto V= 1 2 πr h , donde r es el radio y h es la altura 3 Área de la superficie lateral de un cono A = πrl , donde r es el radio y l es la generatriz Volumen de una esfera V= Área de la superficie de una esfera A = 4πr 2 , donde r es el radio 4 3 πr , donde r es el radio 3 Teorema del seno a b c = = sen A sen B sen C Teorema del coseno c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C ; cos C = Área de un triángulo 1 A = ab sen C 2 Longitud de un arco l = rθ , donde r es el radio, θ es el ángulo en radianes Área de un sector circular 1 A = r 2θ , donde r es el radio, θ es el ángulo en radianes 2 Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques a 2 + b2 − c2 2ab 6 NM 3.5 NM 3.6 sen θ cos θ Relación fundamental para tan θ tan θ = Relación fundamental (identidad pitagórica) cos 2 θ + sen 2θ = 1 Fórmulas del ángulo doble sen 2θ = 2sen θ cos θ cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ = 2cos 2 θ − 1 = 1 − 2sen 2θ Tema 3: Geometría y trigonometría – Únicamente NS TANS Relaciones trigonométricas 3.9 recíprocas secθ = 1 cos θ cosecθ = Relaciones trigonométricas fundamentales TANS Fórmulas de la suma y 3.10 diferencia de dos ángulos 1 sen θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 1 + cot 2 θ = cosec 2θ sen ( = A ± B ) sen A cos B ± cos A sen B cos ( A ± B ) = cos A cos B sen A sen B tan A ± tan B tan ( A ± B ) = 1 tan A tan B Fórmula del ángulo doble para la tan TANS 3.12 Módulo de un vector tan 2θ = v = 2 tan θ 1 − tan 2 θ v1 v + v2 + v3 , donde v = v2 v 3 2 1 Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques 2 2 7 TANS 3.13 Producto escalar v1 w1 v ⋅ w= v1w1 + v2 w2 + v3 w3 , donde v = v2 , w = w2 v w 3 3 v⋅w = v w cos θ , donde θ es el ángulo que forman v y w Ángulo que forman dos vectores TANS Ecuación vectorial de una 3.14 recta TANS 3.16 vw +v w +v w cos θ = 1 1 2 2 3 3 v w r = a + λb Forma paramétrica de la ecuación de la recta x =+ x0 λ l , y =+ y0 λ m, z =+ z0 λ n Forma cartesiana de la ecuación de una recta x − x0 y − y0 z − z0 = = l m n Producto vectorial w1 v1 v2 w3 − v3 w2 v ×= w v3 w1 − v1w3 , donde v = v2 , w = w2 v w −v w w v 1 2 2 1 3 3 v×w = v w sen θ , donde θ es el ángulo que forman v y w Área de un paralelogramo A= v × w donde v y w constituyen dos lados adyacentes del paralelogramo TANS Ecuación vectorial de un 3.17 plano r = a + λb + µ c Ecuación de un plano (utilizando el vector normal) r ⋅n =a⋅n Ecuación cartesiana de un plano ax + by + cz = d Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques 8 Tema 4: Estadística y probabilidad – NM y NS NM 4.2 NM 4.3 NM 4.5 NM 4.6 k ∑fx i i k ∑f Media ( x ) de un conjunto de datos x = i =1 Probabilidad de un suceso A P ( A) = Sucesos complementarios P ( A) + P ( A′) = 1 Sucesos compuestos P ( A ∪ B )= P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B) Sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes) P ( A ∪ B )= P ( A) + P ( B) Probabilidad condicionada P ( A B) = Sucesos independientes P ( A ∩ B) = P ( A) P ( B) NM 4.7 Valor esperado de una variable aleatoria discreta X NM 4.8 Distribución binomial NM 4.12 RIC = Q3 − Q1 Rango intercuartil , donde n = n = E(X ) i =1 i n ( A) n (U ) P ( A ∩ B) P ( B) x P ( X x) ∑= X ~ B (n , p) Media E ( X ) = np Varianza Var (= X ) np (1 − p ) Variable normal tipificada o estandarizada z= x−µ σ Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques 9 Tema 4: Estadística y probabilidad – Únicamente NS TANS Teorema de Bayes 4.13 TANS 4.14 P ( B | A) = P ( B) P ( A | B) P ( B ) P ( A | B) + P ( B′) P ( A | B′) P ( Bi | A) = P( Bi ) P( A | Bi ) P( B1 ) P( A | B1 ) + P( B2 ) P( A | B2 ) + P( B3 ) P( A | B3 ) k Varianza σ 2 k 2 i i 2 = i 1 =i 1 = σ ∑ f (x − µ) = n k ∑ f (x − µ) i ∑fx − µ2 2 σ= Transformación lineal de una variable aleatoria unidimensional b ) aE ( X ) + b E ( aX += Valor esperado de una variable aleatoria continua X n 2 i Desviación típica σ i =1 i i n Var ( aX + b ) = a 2 Var ( X ) E(X = ) µ= ∞ ∫ x f ( x) dx −∞ Varianza Var ( X ) = E ( X − µ ) 2 = E ( X 2 ) − [ E (X ) ] Varianza de una variable aleatoria discreta X Var ( X ) = x) = x) − µ 2 ∑ ( x − µ )2 P ( X = ∑ x2 P ( X = Varianza de una variable aleatoria continua X 2 ∞ ∞ −∞ −∞ 2 2 2 Var ( X ) = ∫ ( x − µ ) f ( x) dx = ∫ x f ( x) dx − µ Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques 10 Tema 5: Análisis – NM y NS NM 5.3 NM 5.5 Derivada de x n f ( x) = x n ⇒ f ′( x) = nx n −1 Integral de x n n dx ∫x= Área entre una curva y = f ( x) y el eje x, donde f ( x) > 0 NM 5.6 NM 5.9 x n +1 + C , n ≠ −1 n +1 b A = ∫ y dx a Derivada de sen x f ( x) =sen x ⇒ f ′( x) =cos x Derivada de cos x f ( x) =⇒ cos x f ′( x) = −sen x Derivada de e x e x ⇒ f ′( x) = ex f ( x) = Derivada de ln x 1 f ( x) = ln x ⇒ f ′( x) = x Regla de la cadena y = g (u ) , donde u = f ( x) ⇒ Regla del producto y =uv ⇒ Regla del cociente du dv v −u u dy y= ⇒ = dx 2 dx dx v v Aceleración = a Distancia recorrida entre t1 y t 2 distancia = Desplazamiento entre t1 y t 2 desplazamiento = dy dy du = × dx du dx dy dv du =u + v dx dx dx dv d 2 s = dt dt 2 Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques t2 ∫ v(t ) dt t1 t2 ∫ v (t )dt t1 11 NM 5.10 Integrales inmediatas 1 dx ln x + C ∫ x= − cos x + C ∫ sen x dx = x dx sen x + C ∫ cos = ∫ e d=x e + C x NM 5.11 Área de la región que está delimitada por una curva y por el eje x x b A = ∫ y dx a Tema 5: Análisis – Únicamente NS TANS Derivada de f ( x) 5.12 partiendo de la propia definición de derivada TANS Derivadas inmediatas 5.15 y = f ( x) ⇒ dy f ( x + h) − f ( x ) = f ′( x)= lim → h 0 h dx tan x f ( x) =tan x ⇒ f ′( x) =sec 2 x sec x f ( x) =sec x ⇒ f ′( x) =sec x tan x cosec x cosec x ⇒ f ′( x) = f ( x) = −cosec x cot x cot x −cosec 2 x f ( x) =⇒ cot x f ′( x) = ax f ( x) = a x ⇒ f ′( x) = a x (ln a ) log a x f ( x) = log a x ⇒ f ′( x) = arcsen x f ( x)= arcsen x ⇒ f ′( x)= arccos x 1 f ( x) = arccos x ⇒ f ′( x) = − 1 − x2 arctan x f ( x)= arctan x ⇒ f ′( x)= Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques 1 x ln a 1 1 − x2 1 1 + x2 12 TANS Integrales inmediatas 5.15 1 a dx a +C ∫= ln a x x 1 1 x = ∫ a 2 + x 2 dx a arctan a + C 1 x ∫ a − x d=x arcsen a + C , 2 TANS Integración por partes 5.16 TANS Área de la región que está 5.17 delimitada por una curva y por el eje y Volumen de revolución alrededor del eje x o del eje y TANS Método de Euler 5.18 Factor integrante para y ′ + P ( x) y = Q ( x) TANS Serie de Maclaurin 5.19 Serie de Maclaurin de funciones especiales 2 dv x <a du ∫ u dx d=x uv − ∫ v dx dx o ∫ u d=v uv − ∫ v du b A = ∫ x dy a b b a a V = ∫ πy 2 dx o V = ∫ πx 2 dy yn += yn + h × f ( xn , yn ) ; xn += xn + h , donde h es una 1 1 constante (denominada ‘paso’) e∫ P ( x )dx f ( x) =f (0) + x f ′(0) + e x =1 + x + x2 + ... 2! ln (1 + x) =x − x 2 x3 + − ... 2 3 sen x =x − x3 x5 + − ... 3! 5! cos x =− 1 x2 x4 + − ... 2! 4! arctan x =x − Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques x2 f ′′(0) + 2! x3 x5 + − ... 3 5 13
