Programa del Diploma
Matemáticas: Análisis y Enfoques
cuadernillo de fórmulas
Para ser utilizado durante la enseñanza de la asignatura y en los exámenes
Primeros exámenes: 2021
Versión 1.3
© International Baccalaureate Organization 2019
Índice
Conocimientos previos
NM y NS
2
Tema 1: Aritmética y álgebra
NM y NS
3
Únicamente NS
4
Tema 2: Funciones
NM y NS
5
Únicamente NS
5
Tema 3: Geometría y trigonometría
NM y NS
6
Únicamente NS
7
Tema 4: Estadística y probabilidad
NM y NS
9
Únicamente NS
10
Tema 5: Análisis
NM y NS
11
Únicamente NS
12
Conocimientos previos – NM y NS
Área de un paralelogramo
A = bh , donde b es la base y h es la altura
Área de un triángulo
1
A = (bh) , donde b es la base y h es la altura
2
Área de un trapecio
=
A
1
(a + b) h , donde a y b son los lados paralelos y h es la altura
2
Área de un círculo
A = πr 2 , donde r es el radio
Longitud de la circunferencia
C = 2πr , donde r es el radio
Volumen de un ortoedro
V = lwh , donde l es la longitud, w es el ancho y h es la altura
Volumen de un cilindro
V = πr 2 h , donde r es el radio y h es la altura
Volumen de un prisma
V = Ah , donde A es el área de la sección transversal y h es la
altura
Área de la superficie lateral de
un cilindro
A= 2πrh , donde r es el radio y h es la altura
Distancia que hay entre dos
puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 )
d=
Coordenadas del punto
medio de un segmento de
recta cuyos extremos son
( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 )
x1 + x2 y1 + y2
,
2
2
( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques
2
Tema 1: Aritmética y álgebra – NM y NS
NM
1.2
NM
1.3
El n-ésimo término de una
progresión aritmética
un = u1 + (n − 1) d
La suma de los n primeros
términos de una
progresión aritmética
S n=
El n-ésimo término de una
progresión geométrica
un = u1r n −1
n
n
( 2u1 + (n − 1) d ) ; Sn= (u1 + un )
2
2
La suma de los n primeros
u1 (r n − 1) u1 (1 − r n )
, r ≠1
=
S
=
n
términos de una
r −1
1− r
progresión geométrica
NM
1.4
Interés compuesto
NM
1.5
Potencias y logaritmos
a x = b ⇔ x = log a b , donde a > 0, b > 0, a ≠ 1
NM
1.7
Potencias y logaritmos
log=
log a x + log a y
a xy
x
log
log a x − log a y
=
a
y
kn
r
FV = PV × 1 +
, donde FV es el valor futuro,
100
k
PV es el valor presente (actual), n es el número de años,
k es el número de períodos de composición del interés que hay
en un año, r% es el tipo de interés nominal anual
log a x m = m log a x
log a x =
log b x
log b a
NM
1.8
u1
Suma de los infinitos
=
S∞
, r <1
términos de una
1− r
progresión geométrica
NM
1.9
Teorema del binomio
n∈
(a + b) n = a n + n C a n −1b + + n C a n − r b r + + b n
1
r
n!
nC =
r r !(n − r )!
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques
3
Tema 1: Aritmética y álgebra – Únicamente NS
TANS
Combinaciones
1.10
Permutaciones
Ampliación del teorema
del binomio n ∈
n!
nC =
r r !(n − r )!
n P = n!
r (n − r )!
2
b n ( n − 1) b
+
+ ...
2! a
a
( a + b ) = a n 1 + n
n
TANS Números complejos
1.12
z= a + bi
TANS Forma módulo-argumental
1.13
(polar) y forma exponencial
(de Euler)
z=
r (cos θ + isen θ ) =
re i θ =
r cis θ
TANS
Teorema de De Moivre
1.14
r n (cos nθ + isen nθ ) =
r n einθ =
r n cis nθ
[ r (cosθ + isen θ )] =
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n
4
Tema 2: Funciones – NM y NS
NM
2.1
NM
2.6
NM
2.7
NM
2.9
Ecuaciones de la recta
0 ; y − y1= m ( x − x1 )
=
y mx + c ; ax + by + d =
Fórmula de la pendiente
m=
Eje de simetría del gráfico
de una función cuadrática
f ( x) = ax 2 + bx + c ⇒ el eje de simetría es x = −
Soluciones de una
ecuación cuadrática
ax 2 + bx + c= 0 ⇒
Discriminante
∆= b 2 − 4ac
Funciones exponenciales
y logarítmicas
a x = e x ln a ; log a a x= x= a loga x donde a , x > 0, a ≠ 1
y2 − y1
x2 − x1
x=
b
2a
−b ± b 2 − 4ac
, a≠0
2a
Tema 2: Funciones – Únicamente NS
TANS Suma y producto de las
2.12
raíces de una ecuación
polinómica que es de la
forma
n
( −1) a0
− an −1
; el producto es
an
an
n
La suma es
∑a x = 0
r =0
r
r
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques
5
Tema 3: Geometría y trigonometría – NM y NS
NM
3.1
Distancia que hay entre
dos puntos ( x1 , y1 , z1 ) y
d=
( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z2 ) 2
( x2 , y2 , z2 )
NM
3.2
NM
3.4
Coordenadas del punto
medio de un segmento de
recta cuyos extremos son
( x1 , y1 , z1 ) y ( x2 , y2 , z2 )
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2
,
,
2
2
2
Volumen de una pirámide
recta
V=
1
Ah , donde A es el área de la base y h es la altura
3
Volumen de un cono recto
V=
1 2
πr h , donde r es el radio y h es la altura
3
Área de la superficie
lateral de un cono
A = πrl , donde r es el radio y l es la generatriz
Volumen de una esfera
V=
Área de la superficie de
una esfera
A = 4πr 2 , donde r es el radio
4 3
πr , donde r es el radio
3
Teorema del seno
a
b
c
= =
sen A sen B sen C
Teorema del coseno
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C ; cos C =
Área de un triángulo
1
A = ab sen C
2
Longitud de un arco
l = rθ , donde r es el radio, θ es el ángulo en radianes
Área de un sector circular
1
A = r 2θ , donde r es el radio, θ es el ángulo en radianes
2
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques
a 2 + b2 − c2
2ab
6
NM
3.5
NM
3.6
sen θ
cos θ
Relación fundamental
para tan θ
tan θ =
Relación fundamental
(identidad pitagórica)
cos 2 θ + sen 2θ =
1
Fórmulas del ángulo doble
sen 2θ = 2sen θ cos θ
cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ = 2cos 2 θ − 1 = 1 − 2sen 2θ
Tema 3: Geometría y trigonometría – Únicamente NS
TANS
Relaciones trigonométricas
3.9
recíprocas
secθ =
1
cos θ
cosecθ =
Relaciones trigonométricas
fundamentales
TANS Fórmulas de la suma y
3.10
diferencia de dos ángulos
1
sen θ
1 + tan 2 θ =
sec 2 θ
1 + cot 2 θ =
cosec 2θ
sen ( =
A ± B ) sen A cos B ± cos A sen B
cos ( A ± B ) =
cos A cos B sen A sen B
tan A ± tan B
tan ( A ± B ) =
1 tan A tan B
Fórmula del ángulo doble
para la tan
TANS
3.12
Módulo de un vector
tan 2θ =
v =
2 tan θ
1 − tan 2 θ
v1
v + v2 + v3 , donde v = v2
v
3
2
1
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques
2
2
7
TANS
3.13
Producto escalar
v1
w1
v ⋅ w= v1w1 + v2 w2 + v3 w3 , donde v = v2 , w = w2
v
w
3
3
v⋅w =
v w cos θ , donde θ es el ángulo que forman v y w
Ángulo que forman dos
vectores
TANS Ecuación vectorial de una
3.14
recta
TANS
3.16
vw +v w +v w
cos θ = 1 1 2 2 3 3
v w
r = a + λb
Forma paramétrica de la
ecuación de la recta
x =+
x0 λ l , y =+
y0 λ m, z =+
z0 λ n
Forma cartesiana de la
ecuación de una recta
x − x0 y − y0 z − z0
= =
l
m
n
Producto vectorial
w1
v1
v2 w3 − v3 w2
v ×=
w v3 w1 − v1w3 , donde v = v2 , w = w2
v w −v w
w
v
1 2 2 1
3
3
v×w =
v w sen θ , donde θ es el ángulo que forman v y w
Área de un paralelogramo
A=
v × w donde v y w constituyen dos lados adyacentes
del paralelogramo
TANS Ecuación vectorial de un
3.17
plano
r = a + λb + µ c
Ecuación de un plano
(utilizando el vector normal)
r ⋅n =a⋅n
Ecuación cartesiana de
un plano
ax + by + cz =
d
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques
8
Tema 4: Estadística y probabilidad – NM y NS
NM
4.2
NM
4.3
NM
4.5
NM
4.6
k
∑fx
i i
k
∑f
Media ( x ) de un conjunto
de datos
x = i =1
Probabilidad de un
suceso A
P ( A) =
Sucesos complementarios
P ( A) + P ( A′) =
1
Sucesos compuestos
P ( A ∪ B )= P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B)
Sucesos incompatibles
(mutuamente excluyentes)
P ( A ∪ B )= P ( A) + P ( B)
Probabilidad condicionada
P ( A B) =
Sucesos independientes
P ( A ∩ B) =
P ( A) P ( B)
NM
4.7
Valor esperado de
una variable aleatoria
discreta X
NM
4.8
Distribución binomial
NM
4.12
RIC
= Q3 − Q1
Rango intercuartil
, donde n =
n
=
E(X )
i =1
i
n ( A)
n (U )
P ( A ∩ B)
P ( B)
x P ( X x)
∑=
X ~ B (n , p)
Media
E ( X ) = np
Varianza
Var (=
X ) np (1 − p )
Variable normal tipificada
o estandarizada
z=
x−µ
σ
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques
9
Tema 4: Estadística y probabilidad – Únicamente NS
TANS
Teorema de Bayes
4.13
TANS
4.14
P ( B | A) =
P ( B) P ( A | B)
P ( B ) P ( A | B) + P ( B′) P ( A | B′)
P ( Bi | A) =
P( Bi ) P( A | Bi )
P( B1 ) P( A | B1 ) + P( B2 ) P( A | B2 ) + P( B3 ) P( A | B3 )
k
Varianza σ 2
k
2
i
i
2
=
i 1 =i 1
=
σ
∑ f (x − µ)
=
n
k
∑ f (x − µ)
i
∑fx
− µ2
2
σ=
Transformación lineal de
una variable aleatoria
unidimensional
b ) aE ( X ) + b
E ( aX +=
Valor esperado de
una variable aleatoria
continua X
n
2
i
Desviación típica σ
i =1
i i
n
Var ( aX + b ) =
a 2 Var ( X )
E(X =
) µ=
∞
∫ x f ( x) dx
−∞
Varianza
Var ( X ) = E ( X − µ ) 2 = E ( X 2 ) − [ E (X ) ]
Varianza de una variable
aleatoria discreta X
Var ( X ) =
x) =
x) − µ 2
∑ ( x − µ )2 P ( X =
∑ x2 P ( X =
Varianza de una variable
aleatoria continua X
2
∞
∞
−∞
−∞
2
2
2
Var ( X ) =
∫ ( x − µ ) f ( x) dx =
∫ x f ( x) dx − µ
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques
10
Tema 5: Análisis – NM y NS
NM
5.3
NM
5.5
Derivada de x n
f ( x) =
x n ⇒ f ′( x) =
nx n −1
Integral de x n
n
dx
∫x=
Área entre una curva
y = f ( x) y el eje x,
donde f ( x) > 0
NM
5.6
NM
5.9
x n +1
+ C , n ≠ −1
n +1
b
A = ∫ y dx
a
Derivada de sen x
f ( x) =sen x ⇒ f ′( x) =cos x
Derivada de cos x
f ( x) =⇒
cos x
f ′( x) =
−sen x
Derivada de e x
e x ⇒ f ′( x) =
ex
f ( x) =
Derivada de ln x
1
f ( x) =
ln x ⇒ f ′( x) =
x
Regla de la cadena
y = g (u ) , donde u = f ( x) ⇒
Regla del producto
y =uv ⇒
Regla del cociente
du
dv
v −u
u
dy
y= ⇒
= dx 2 dx
dx
v
v
Aceleración
=
a
Distancia recorrida entre
t1 y t 2
distancia =
Desplazamiento entre
t1 y t 2
desplazamiento =
dy dy du
= ×
dx du dx
dy
dv
du
=u + v
dx
dx
dx
dv d 2 s
=
dt dt 2
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques
t2
∫ v(t ) dt
t1
t2
∫ v (t )dt
t1
11
NM
5.10
Integrales inmediatas
1
dx ln x + C
∫ x=
− cos x + C
∫ sen x dx =
x dx sen x + C
∫ cos =
∫ e d=x e + C
x
NM
5.11
Área de la región que está
delimitada por una curva y
por el eje x
x
b
A = ∫ y dx
a
Tema 5: Análisis – Únicamente NS
TANS Derivada de f ( x)
5.12
partiendo de la propia
definición de derivada
TANS Derivadas inmediatas
5.15
y = f ( x) ⇒
dy
f ( x + h) − f ( x )
= f ′( x)= lim
→
h
0
h
dx
tan x
f ( x) =tan x ⇒ f ′( x) =sec 2 x
sec x
f ( x) =sec x ⇒ f ′( x) =sec x tan x
cosec x
cosec x ⇒ f ′( x) =
f ( x) =
−cosec x cot x
cot x
−cosec 2 x
f ( x) =⇒
cot x
f ′( x) =
ax
f ( x) =
a x ⇒ f ′( x) =
a x (ln a )
log a x
f ( x) = log a x ⇒ f ′( x) =
arcsen x
f ( x)= arcsen x ⇒ f ′( x)=
arccos x
1
f ( x) =
arccos x ⇒ f ′( x) =
−
1 − x2
arctan x
f ( x)= arctan x ⇒ f ′( x)=
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques
1
x ln a
1
1 − x2
1
1 + x2
12
TANS Integrales inmediatas
5.15
1
a dx
a +C
∫=
ln a
x
x
1
1
x
=
∫ a 2 + x 2 dx a arctan a + C
1
x
∫ a − x d=x arcsen a + C ,
2
TANS
Integración por partes
5.16
TANS Área de la región que está
5.17
delimitada por una curva y
por el eje y
Volumen de revolución
alrededor del eje x o del
eje y
TANS Método de Euler
5.18
Factor integrante para
y ′ + P ( x) y =
Q ( x)
TANS
Serie de Maclaurin
5.19
Serie de Maclaurin de
funciones especiales
2
dv
x <a
du
∫ u dx d=x uv − ∫ v dx dx o ∫ u d=v uv − ∫ v du
b
A = ∫ x dy
a
b
b
a
a
V = ∫ πy 2 dx o V = ∫ πx 2 dy
yn +=
yn + h × f ( xn , yn ) ; xn +=
xn + h , donde h es una
1
1
constante (denominada ‘paso’)
e∫
P ( x )dx
f ( x) =f (0) + x f ′(0) +
e x =1 + x +
x2
+ ...
2!
ln (1 + x) =x −
x 2 x3
+ − ...
2
3
sen x =x −
x3 x5
+ − ...
3! 5!
cos x =−
1
x2 x4
+ − ...
2! 4!
arctan x =x −
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques
x2
f ′′(0) +
2!
x3 x5
+ − ...
3 5
13
0
