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Subido por Fabiola Fernanda Pérez Espinosa

Matemáticas Financieras

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SERIE
UNIVERSITARIA
PATRIA
interactivo en
esta edición
C
Esta obra presenta a las matemáticas financieras con un lenguaje ameno. Contiene ejercicios
resueltos paso a paso cuya complejidad va aumentando, con la idea de que el alumno adquiera
seguridad y confianza. Lo anterior le permitirá resolver los problemas propuestos al final de cada
unidad o cualquiera relacionado que se les llegue a presentar en su vida académica o profesional. En
la actualidad la matemática financiera ha adquirido una gran importancia por su utilidad en la
administración, la economía y en las políticas públicas; así como en diversas ramas en donde es
empleada, por ejemplo, como auxiliar de cálculos en la ingeniería económica para la valuación de
inversiones en maquinaria, equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura y en general, cualquier
transacción que traiga consigo un proceso de evaluación del proyecto. No solo en estas áreas de
inversión es útil la matemática financiera, un pequeño inversionista puede aplicarla para analizar
opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitan tener mejores
condiciones de vida. La matemática financiera también es necesaria para toda persona que tenga la
necesidad de utilizar el sistema financiero.
M
Y
CM
De entre las características que convierten a esta obra en una lectura indispensable para el alumno
que curse cualquier carrera del área de ciencias sociales, económico-administrativo, destacan las
siguientes:
MY
CY
CMY
K
Cuenta con breves, pero claras, explicaciones de los fundamentos teóricos matemáticos.
Explica a detalle los pasos necesarios para resolver los problemas propuestos que se
plantean a lo largo de todas las unidades temáticas.
Es flexible, el lector puede utilizarlo según sus propias necesidades.
Los ejemplos y problemas expuestos están acompañados de breves textos, destacados con
la etiqueta de Alerta, cuyo objetivo es preparar al lector para que esté pendiente de detalles
importantes del contenido, que le serán útiles para la resolución de problemas.
Contiene más de 500 problemas para resolver, presentados en distintas categorías, según
sus características, para ser resueltos con el apoyo de tecnología o bien relacionados con la
experiencia cotidiana del lector.
Se incluye al final de cada unidad una sección de problemas reto.
Como una herramienta adicional, el texto se acompaña de un CD-ROM de apoyo, donde el estudiante puede encontrar, entre otras cosas: simuladores y respuestas a problemas seleccionados.
EMPRESA DEL GRUPO
www.editorialpatria.com.mx
Jesús Rodríguez Franco / Elva Cristina Rodríguez Jiménez
Alberto Isaac Pierdant Rodríguez
MATEMÁTICAS
Financieras
UNIDAD
II
1
Contenido
MATEMÁTICAS
FINANCIERAS
Jesús Rodríguez Franco
Elva Cristina Rodríguez Jiménez
Alberto Isaac Pierdant Rodríguez
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
info
editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Verónica Estrada Flores
Producción: Gerardo Briones González
Revisión Técnica: M.C. Alex Polo Velázquez
Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco ( U.A.M.)
Diseño de interiores: Jorge Martínez J. y Gustavo Vargas M.
Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/Signx
Matemáticas Financieras. Serie Patria
Derechos reservados:
© 2014, Jesús Rodríguez Franco, Alberto Isaac Pierdant Rodríguez y Elva Cristina Rodríguez Jiménez
© 2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
ISBN ebook: 978-607-744-033-8
ISBN Material Impreso: 978-607-438-722-3
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra
en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
Grupo Editorial Patria©
Semblanza autoral
Jesús Rodríguez Franco
Profesor-investigador Titular “C” del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma
Metropolitana unidad Xochimilco (UAM-X). Profesor en la Facultad de Contaduría y Administración de
la Universidad Nacional Autónoma de México (FCA-UNAM) de asignatura “B” en Matemáticas Financieras y Estadística.
Estudió la carrera de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en el Instituto Politécnico Nacional
(IPN), tiene la maestría en Ciencias en la especialidad de Bioelectrónica del Centro de Investigación y
Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-IPN). Diplomados en: “Formación
Docente para las Disciplinas Financiero Administrativas” (FCA-UNAM), “Formación Docente” y “La
Estadística IX” (UAM-X).
Tiene 34 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática. Cuenta con
la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgada por la Secretaría de Educación Pública (SEP).
Es miembro de la Academia de Matemáticas en la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM),
e integrante de la Comisión Dictaminadora en Matemáticas (FCA-UNAM). También es miembro del
área de investigación “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” (UAM-X) y del Cuerpo
Académico de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales (UAM-X y SEP), cuenta con el reconocimiento de Profesor Distinguido otorgado por la Facultad de Contaduría y Administración UNAM en
mayo de 2013.
A la fecha ha publicado 12 libros de matemáticas como coautor, más de 15 artículos, en revistas especializadas de difusión, enfocados a la pequeña y mediana empresa mexicana, informática y educación.
También ha coordinado un libro temático de matemáticas.
Ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, congresos, encuentros, foros y simposios
a nivel nacional e internacional. Ha participado en la organización en congresos, foros, ciclos de conferencias, en semanas de matemáticas y en maratones de matemáticas financieras y estadística. También
ha otorgado diversas entrevistas radiofónicas en Radio Educación, Radio UAEM y MVS-Noticias.
Es fundador y primer Presidente de la Academia de Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM) de noviembre de 1999 a junio 2004. Fue representante ante el Consejo Académico
del Departamento de Política y Cultura (UAM-X) y Colegiado de la División de Ciencias Sociales y
Humanidades ante el Colegio Académico de la Universidad Autónoma Metropolitana periodo 20072009. Fue Jefe del área de investigación “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en
el periodo 2003 a 2005 (UAM-X).
Trabajó como Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en la Refinería 18 Marzo y en Dirección de
Construcción y Obras de Petróleos Mexicanos (1984-1989). Ha sido profesor en la Escuela Superior de
Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME) del Instituto Politécnico Nacional, en el Instituto Tecnológico
de Monterrey División de Preparatoria Campus Ciudad de México y en la Universidad Latina Campus
Sur.
Elva Cristina Rodríguez Jiménez
Profesora de matemáticas del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (UAM-X) y profesora definitiva de asignatura “B” Estadística I y asignatura
“A” Estadística II en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma
de México (UNAM).
Estudió la licenciatura en Química Farmacobióloga con mención honorífica en la Facultad de Química
de la Universidad Nacional Autónoma de México, los diplomados en “Matemáticas Aplicadas a la
Economía” en la Facultad de Economía, el de “Formación Docente para las Disciplinas Financiero
Administrativas” en la Facultad de Contaduría y Administración, ambos en la Universidad Nacional
Autónoma de México.
Tiene 19 años de experiencia docente impartiendo diferentes cursos de matemáticas, es miembro de
la “Academia de Matemáticas” en la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM). Es coautora de
los libros: Libro electrónico Fundamentos de Matemáticas, producto PAPIME Fomento Editorial FCAUNAM, México, 2005; Estadística para Administración, Grupo Editorial Patria, segunda reimpresión,
México, 2013 y Estadística aplicada II, Estadística en administración para la toma de decisiones, Grupo
Editorial Patria, México, 2010. También ha participado en diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacional.
Participó en la investigación para el desarrollo de un método fotocolorimétrico para la determinación de
metionina, para la Organización de Estados Americanos (OEA) y la División de Estudios de Posgrado
de la Facultad de Química de la UNAM (1984). Ocupó el cargo de Jefe y subjefe del laboratorio de Gases, también como química analista en el laboratorio Analítico, experimental y de gases en la Refinería
18 de Marzo (1985-1991).
Alberto Isaac Pierdant Rodríguez
Profesor-investigador Titular “C” del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma
Metropolitana unidad Xochimilco (UAM-X) y socio director de Pierdant y Asociados, S.C.
Estudió la carrera de Ingeniero Industrial en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), tiene la Maestría en
Ingeniería en la especialidad de Planeación de la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de
Ingeniería de la UNAM. Es candidato a Doctor en Ciencias Sociales con especialidad en Sociedad y
Educación en la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Xochimilco. Ha participado en diferentes cursos de actualización, entre los que destacan:“Evaluación Económica de Proyectos de Exploración de Hidrocarburos I”, en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá,
Colombia. “Evaluación Económica de Proyectos de Exploración de Hidrocarburos II”, en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, Colombia. “Petroleum Energy” en The
Institutte of Energy Economics, Japan, septiembre-noviembre 1989, Tokio, Japón.
Tiene 35 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática, cuenta con
la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgada por la Secretaría de Educación Pública (SEP).
Es miembro del área de investigación: “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en la
UAM-X y del Cuerpo Académico de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales (UAM-X y SEP). Ha
publicado cuatro libros como autor y 10 de matemáticas como coautor, también ha publicado más de
30 artículos científicos y de difusión enfocada a la educación, informática, a las políticas públicas y para
la pequeña y mediana empresa mexicana. Ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacional e internacional.
Fue fundador y en la actualidad director del despacho de consultoría Pierdant y Asociados, S.C. (1979).
Dentro de consultoría ha elaborado trabajos para diversas empresas y organismos como SHCP, ISSSTE,
la Comisión Federal de Electricidad, Petróleos Mexicanos, Coca-Cola FEMSA, el INBA, entre otros.
VI
Presentación
En la actualidad, la matemática financiera ha adquirido una gran importancia por su utilidad en la admi­
nistración, la economía y en las políticas públicas, así como en diversas ramas en donde se emplea
como la auxiliar de cálculos en la ingeniería económica para la valuación de inversiones en maquinaria,
equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura y, en general, cualquier inversión que signifique un
proceso en el cual debe de realizarse una evaluación del proyecto. Pero no solo en estas áreas sofisticadas de la inversión es útil la matemática financiera, ya que un pequeño inversionista puede utilizarla
para analizar opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitan
tener mejores condiciones de vida. La matemática financiera también es necesaria para toda persona
que tenga la necesidad de utilizar el sistema financiero.
El libro Matemáticas Financieras Serie Patria responde a los programas de bachillerato y licenciatura.
Su estructura motiva al estudiante a ser el protagonista en la construcción de su aprendizaje, basado en
el enfoque educativo por competencias en el ámbito constructivista, esto con el objetivo de potencializar el saber qué hacer en la vida académica y profesional; lo anterior lleva al estudiante al aprendizaje
significativo.
El libro presenta los conceptos con un lenguaje sencillo y ameno. Contiene de tres a cinco ejercicios
resueltos (paso a paso) del ámbito nacional en cada subtema, inicia con los sencillos y aumenta su complejidad, con la idea que el alumno adquiera seguridad y confianza. Lo anterior le permitirá resolver los
problemas propuestos al final de cada unidad o cualquiera que se le llegue a presentar en la vida académica o profesional con éxito. Al inicio de cada unidad se plantean los objetivos y la sección ¿Qué sabes?, en ella se exponen una serie de preguntas y problemas que permiten al estudiante recordar sus
conocimientos previos o despertar la inquietud de conocer más del tema. También contiene pequeños
cuadros de alerta como son: el histórico, que contiene breves biografías de personajes vinculados con
la matemática o pasajes de la misma; para pensar, que encierra los pasos que se realizan mentalmente;
de definiciones, para resaltar definiciones importantes, teoremas y conceptos; de advertencia, para
indicar las operaciones y pasos que no deben realizarse. En las ocho unidades que conforman el libro
se da una breve información teórica del subtema a estudiar y se plantean de dos a cuatro problemas
resueltos paso a paso. Al final de cada unidad se cuenta con un formulario, un glosario, los problemas
a resolver y la sección de problemas reto.
El contenido del texto está estructurado en ocho unidades.
Unidad 1 Exponentes, logaritmos y porcentajes. En nuestro país, la realidad comercial y, sobre todo, la financiera se han influenciado por los avances tecnológicos que más impactan a la
sociedad. Dos de estos avances lo representan las calculadoras modernas y las computadoras.
El manejo de estas y sus programas de cálculo permiten a los alumnos, profesores y analistas
de datos financieros obtener resultados de manera rápida y certera y logra al mismo tiempo un
máximo beneficio que se refleja en atractivos rendimientos en sus inversiones. Por esta razón nos
hemos preocupado por incluir en esta unidad la forma de resolver las operaciones aritméticas
básicas, exponentes, radicales, logaritmos, proporciones, regla de tres y porcentajes, utilizando
estas herramientas indispensables en el aprendizaje de las matemáticas financieras.
Unidad 2 Series y sucesiones. Inicia con las sucesiones o progresiones aritméticas, al explicar
la forma de encontrar el n-ésimo término y la suma de los términos de la progresión. Después
VII
UNIDAD
1
Contenido
se estudian las progresiones geométricas, se indica la forma de encontrar el n-ésimo término,
número de términos y la suma total de términos en una serie.
Unidad 3 Interés simple. Comienza con la explicación del concepto de interés simple, la tasa de
interés y la forma de calcularlos. Se continúa con el interés simple o real, el ordinario o comercial,
el monto, el valor presente o actual y el tiempo (plazo). También se incluye el descuento simple
y se estudian los siguientes casos: el valor descontado o ganancia, tasa de rendimiento, valor de
vencimiento, relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento, plazo y el pagaré. Por
último, se ven las ecuaciones de valor equivalentes o de valor, la diferencia entre interés ordinario
y exacto, ecuaciones de valor, descuento bancario y descuento comercial.
Unidad 4 Interés compuesto. Empieza con la forma de calcular el monto compuesto, la comparación del interés simple con el compuesto, el valor actual o presente y el tiempo. Después
se estudia el concepto y forma de cálculo de las tasas de interés equivalentes, efectivas y nominales. También se ve la aproximación a la tasa de interés y la ecuación de valor y de tiempo
equivalente.
Unidad 5 Anualidades. En esta se muestra el cálculo del valor futuro, el valor presente, el plazo
y la renta para las anualidades simples o vencidas, anticipadas y diferidas. Además, se incluye el
estudio de la anualidad general y anualidades perpetuas.
Unidad 6 Amortización. Se inicia con la amortización gradual y tasa negativa. Se presentan
casos sobre cómo es la amortización de una deuda, hipotecas, inflación, refinanciamiento de un
crédito y fondos de amortización. Se continúa con la depreciación y se explica en qué activos
se aplica y en cuáles no. Después, se explica la forma de utilizar los diferentes métodos como la
línea recta, porcentaje fijo, suma de dígitos, de unidades de producción o servicio y de fondo
de amortización. Tanto para la amortización como para la depreciación se enseña cómo utilizar
Excel para elaborar cuadros de amortización y depreciación.
Unidad 7 Análisis de proyectos de inversión. En esta unidad se muestra la metodología empleada en el ámbito financiero para realizar un proyecto de inversión, como es el caso del análisis
de flujo de efectivo de un proyecto y su variabilidad, al emplear los conocimientos adquiridos
en las unidades anteriores. Se estudia la forma de calcular el valor presente en la metodología
denominada Valor Actual Neto (VAN) y el costo de capital (TIR) para calcular el valor presente de
un proyecto de inversión.
Unidad 8 Bonos y obligaciones. Se estudia lo referente a bonos y obligaciones como principales mecanismos de financiamiento para proyectos de inversión pública y privada. También a
conocer y operar las operaciones básicas relativas a los bonos de descuento puro, las relativas a
bonos de cupón, rendimiento actual y rendimiento al vencimiento.
Es importante mencionar que los resultados de los problemas resueltos pueden variar un poco debido
a los que se obtengan. Esto se debe a la forma en que esté programada la calculadora con respecto a
la fracción decimal o el número de fracciones decimales que utilice.
Se espera que con Matemáticas Financieras Serie Patria, nuestros lectores puedan resolver los problemas financieros que se les presenten.
Los autores
VIII
Grupo Editorial Patria©
Contenido
UNIDAD 1 Exponentes, logaritmos
y porcentajes
1
1.1 Exponentes
2
1.2 Exponentes enteros
3
1.3 Exponente negativo
4
1.4 Radicales
5
1.5 Suma de radicales semejantes
1.6 Suma y resta de radicales del mismo índice
con subradical diferente
1.7 Multiplicación de radicales del mismo índice
7
1.8 División de radicales del mismo índice
8
1.9 Redondeo
1.10 Notación científica
9
1.11 Propiedades de los logaritmos base 10
10
1.12 Únicos números cuyos logaritmos son enteros
11
1.13 Propiedades de los logaritmos
13
1.14 Antilogaritmo
14
1.15 Logaritmos naturales
15
1.16 Tanto por ciento
16
Problemas para resolver
Problemas reto
23
26
UNIDAD 2 Series y sucesiones
27
2.1 Introducción
2.2 Sucesiones o progresión aritmética
28
2.3 Progresiones aritméticas
30
IX
Contenido
2.4 Progresiones geométricas
33
2.5 Aplicaciones
38
Problemas para resolver
Problemas reto
42
43
UNIDAD 3 Interés simple
45
3.1 Introducción
46
3.2 Cálculo del monto
53
3.3 Valor presente o actual
55
3.4 Cálculo del tiempo o plazo
57
3.5 Descuento simple
59
3.6 Valor descontado o ganancia
60
3.7 Tasa de rendimiento
62
3.8 Valor de vencimiento
63
3.9 Tasa de descuento
64
3.10 Relación entre la tasa de descuento
y la tasa de rendimiento
65
3.11 Plazo
67
3.12 Pagaré
68
3.13 Aplicaciones
71
3.14 Inversión en cetes
72
3.15 Inversión en udis
73
3.16 Ecuaciones de valor equivalente o de valor
75
Problemas para resolver
Problemas reto
80
84
UNIDAD 4 Interés compuesto
85
4.1 Introducción
4.2 Monto
86
4.3 Comparación del interés simple
con el interés compuesto
93
4.4 Valor actual o presente
95
4.5 Tasas equivalentes, efectivas y nominales
100
4.6 Ecuación de valor
105
4.7 Tiempo equivalente
110
Grupo Editorial Patria©
4.8 Inflación
113
Problemas para resolver
Problemas reto
120
122
UNIDAD 5 Anualidades
5.1 Introducción
123
124
5.2 Anualidades a perpetuidad o anualidad perpetua
5.3 Anualidades vencidas
125
5.4 Anualidades anticipadas
138
5.5 Anualidades diferidas
147
5.6 Anualidades generales
166
5.7 Anualidades generales anticipadas
176
5.8 Anualidad general diferida
177
5.9 Anualidad general variable
178
5.10 Anualidades perpetuas
183
Problemas para resolver
Problemas reto
191
194
UNIDAD 6 Amortización y depreciación
195
6.1 Introducción
196
6.2 Inflación
209
6.3 Unidades de inversión (udi)
212
6.4 Fondos de amortización
213
6.5 Depreciación
216
6.6 Depreciación e inflación
226
6.7 Método de la suma de dígitos o enteros
229
6.8 Método de unidades de producción o servicio
231
6.9 Método del fondo de amortización
234
Problemas para resolver
Problemas reto
241
244
XI
Contenido
UNIDAD 7 Análisis de proyectos de inversión
7.1 Introducción
246
7.2 Metodologías de evaluación de inversiones
247
7.3 Método del valor actual neto (van)
248
7.4 Método de la tasa interna de rendimiento (tir)
o costo de capital
252
7.5 Análisis de inversiones con van y tir
255
Problemas para resolver
Problemas reto
262
263
UNIDAD 8 Bonos y obligaciones
XII
245
265
8.1 Introducción
266
8.2 Bonos de descuento puro o bonos cupón cero
267
8.3 Bonos con cupón, rendimiento actual
y rendimiento al vencimiento
268
Problemas para resolver
Problemas reto
275
Referencias bibliográficas
276
Bibliografía final
277
UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos
y porcentajes
OBJETIVOS
Identificar y manejar expresiones algebraicas con exponentes enteros positivos, negativos
y fraccionarios.
Aprender a dividir, multiplicar y reducir expresiones con radicales.
Convertir expresiones con radicales a exponentes fraccionarios.
Conocer y comprender el sistema de logaritmos y sus propiedades.
Aprender a encontrar el logaritmo de base a, base 10 y base e.
Aprender a encontrar el antilogaritmo de base 10.
Realizar el cálculo e interpretación de los porcentajes.
Aprender a utilizar la calculadora y hoja de cálculo Excel, con exponentes radicales y
logaritmos.
Comprender la trascendencia de los temas estudiados y su importancia en la aplicación
en matemáticas financieras.
¿QUÉ SABES?
Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema
Encontrar el resultado de las operaciones aritméticas 9 + 6 × 4 - 5 + 48/8 =
El producto de las potencias (x 3)(x 6) es igual a: ______________.
Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: [(2)(6)]3 =
UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos y porcentajes
1 
Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora:  
3 
−3
=
Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 3 8 9 =
Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 5 7 − 8 7 =
Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 2 3 11 (3 3 48 ) =
Completar el cuadro
Logaritmo
Característica
Mantisa
Log = 0.4771
3
Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: log 3 999 =
Andrea compró un refrigerador en $5 400.00; ella dio 20% de enganche del
precio del refrigerador. ¿Cuánto pagó de enganche (en pesos)?
1.1 Exponentes
La potenciación es la operación que toma una expresión algebraica como factor dos o más veces, y al
resultado de la operación se le llama potencia.
Si x ∈ R y n ∈ N entonces:
Ï
Ô
Ì
Ô
Ó
xn = (x)(x) … (n) = n-ésima potencia de x
n factores
n entero positivo es el exponente
x es la base
■■
■■
■■
La primera potencia de una expresión es:
La segunda potencia de una expresión es:
La tercera potencia de una expresión es:
x1 = x
x2 = (x)(x)
x3 = (x)(x)(x)
Problema resuelto
1. a) 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32
c) (x + 1)2 = (x + 1)(x + 1)
b) 123 = 12 ⋅ 12 ⋅ 12 = 1 728
d ) (x + a)n = (x + a)(x + a) …, n = 1, 2, 3…
Una expresión algebraica se obtiene al combinar una o varias operaciones,
con números y símbolos, ejemplo: 4x2, 7x + 4a, 6 x + 8 x 5
En la calculadora la tecla para encontrar la potencia de una expresión es la siguiente:
yx o
∧ Encontrar la elevación a potencia.
Problema resuelto
2.
2
Problema
Operación
a)
(23) = 8
2
b)
(4 ) = 64
4 ∧
3
Teclas en la calculadora
yx 3
3
Resultado en pantalla
=
8
=
64
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
3. Con la hoja de cálculo Excel
a) Con la función = POTENCIA(número, potencia)
b) Con el acento circunflejo = número[alt gr] + [^] potencia
1.2 Exponentes enteros
❚❚ 1.2.1 Producto de potencias de igual base
(an)(am) = an + m
Problema resuelto
4. a) (32)(34) = 36 = 729
c) (a2)(a6) = a4 + 6 = a10
b) (12 )(12 ) = 12 = 248 832
3
2
d ) (x + a)2(x + a)3 = (x + a)5
5
Problema resuelto
5.
Problema
Operación
a)
(22)(24) = 22 + 4 = 26 = 64
b)
(4 )(4 ) = 64 × 16 = 1 024
3
2
Teclas en la calculadora
2
yx
2 ×
2
Resultado en pantalla
yx 4 =
3 ∧ 4 × (2 ∧ 4) =
64
1 024
❚❚ 1.2.2 Elevar una potencia a otra potencia
(an)m = a(n)(m)
Problema resuelto
6. a) (42)3 = 42 · 3 = 46 = 4 096
d ) (22)6 = 22 · 6 = 212 = 4 096
b) (8 ) = 8
= 8 = 16 777 216
e) ((x + m)3)5 = (x + m)3 · 5 = (x + m)15
c) (4 ) = 4
= 4 = 4 096
f ) (25)4 = 2(5)(4) = 220 = 1 048 576
2 4
2 3
2·4
(2)(3)
8
6
3
UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos y porcentajes
❚❚ 1.2.3 Producto elevado a una potencia n
El producto elevado a una potencia se calcula con la siguiente expresión:
[(a)(b)]n = (a)n(b)n
Problema resuelto
7. a) [(2)(3)]2 = (22)(32) = 4 × 9 = 36
b) [(4)(3)]3 = (43)(33) = 64 × 27 = 1 728
c) [(8)(5)]4 = (84)(54) = 4 096 × 625 = 2 560 000
d ) [(x + 1)(x + a)]2 = (x + 1)2(x + a)2
e) [(2)(5)]2 = (22)(52) = (4)(25) = 100
f ) [(3)(2)]3 = (33)(23) = (27)(8) = 216
❚❚ 1.2.4 Elevar un cociente a una potencia n
El producto elevado a una potencia se calcula con la siguiente expresión:
 a
 
b
n
=
an
bn
si b ≠ 0
;
Problema resuelto
 2
8. a)  
 3
2
 4
b)  
 7
3
=
=
22
3
2
43
3
7
=
=
4
9
 8
d )  
7
4
 5
e)  
 6
2
64
343
2
=
=
84
74
52
62
=
=
4 096
2 401
25
36
3
 6 2  36
6
c)   =   =
= 0 .73469388
7
 72  49
 33 
3
27
f )   =   =
= 0 .078717
7
 73  343
1.3 Exponente negativo
Se encuentra al dividir dos potencias de igual base, con un exponente menor en el numerador y mayor
en el denominador.
a2
a3
= a 2 − 3 = a −1
Se conoce a 1/a como el inverso multiplicativo de a, cuando a ≠ 0.
a −1 =
1
a
Problema resuelto
9. a) ax −1 =
4
a
x
b) m 2 ( xy ) −1 =
m2
xy
Grupo Editorial Patria©
e) a 2 4 −3 =
c) 4-3 = 0.015625
 1
 2 
d ) 3 −2 =
1
32
=
1
= 0.111
9
a2
43
−9
=
f )
=
=
1
 1
 
2
a2
64
=
9
1
19
=
29
1
1
=
= 512
1
0.001953
512
1.4 Radicales
❚❚ 1.4.1 Exponentes fraccionarios
El exponente fraccionario se obtiene de extraer una raíz a una potencia.
a1 n =
n
es el índice de la raíz
a
cantidad subradical o radicando
n
a ; con a ∈ R+ y n ≠ 0
símbolo del radical
Problema resuelto
10. a) x 3 4 =
4
x3
c) ( x + a )2 5 =
b) am1 3 = a 3 m
x
y
o x1/y o ∧
d ) 81 2 =
2
5
( x + a )2
8
teclas para encontrar raíces con índice igual a dos o superior a dos.
Si el índice es un número par, entonces la raíz es un número positivo y debe satisfacer:
n
a = c ⇔ cn = a
Si c n = a y n es un entero positivo, entonces c es la raíz n-ésima de a.
Problema resuelto
11. a) (-3)2 = 9,
entonces: la raíz cuadrada de 9 es +3 y -3,
2
9 = ±3
b) (-2)3 = -8,
entonces: la raíz cúbica de -8 es solamente -2,
3
−8 = −2
n
a
Si n es par y a positiva entonces: la raíz es positiva y negativa


Si n es impar y a negativa entonces: la raíz es solamente negativa
Si m y n son enteros, la base a diferente de cero y la potencia fraccionaria es m/n, se puede expresar
como radical, en donde n es el índice del radical, a es el subradical y m el exponente del subradical.
am n =
n
am
5
UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos y porcentajes
Problema resuelto
3
12. a)
c) 3 3 6 2 = 3 3 36
85 = 85 3 = 32
 1
109 =   ( 10 .44 ) = 5 .22
 2
2
1
b)
d)
3
= 3 ( 361 3 ) = ( 3.30 )( 3 ) = 9.9
− 27 = ( − 27 )1 3 = − 3
Problema resuelto
13.
Operación
a)
4
b)
16 = 2
Teclas en la calculadora
16 = 2
1/4
n
4
1 ÷
4 =
Resultado en pantalla
2
16 =
x
C
Min
16 y
x
RM =
2
Para otro tipo de calculadora
c)
d)
4
64 = 2 .828
27 = 3
1/3
4 SHIFT
(1 ÷
3 ) =
Min
x
2.828
64 =
C
27 ∧
RM ) =
3
Con la hoja de cálculo Excel
Problema resuelto
a)Con la función = RAIZ(número), solo se obtiene la raíz cuadrada de un número. Por ejemplo,
la expre­sión
2
9 = 3 , en Excel con la función = RAIZ(9)
b)Con el acento circunflejo = número[alt gr ] + [ ˆ ] potencia. Por ejemplo, la expresión
Excel = 27 ˆ (1/3)
Problema resuelto
Problemas en Excel
6
3
27 = 3 , en
Grupo Editorial Patria©
1.5 Suma de radicales semejantes
En los radicales semejantes se deben sumar algebraicamente los coeficientes, y la suma de estos es el
coeficiente del radical común.
Problema resuelto
c)
3 9 + 4 9 = (3 + 4) 9
= 7( 3 )
= 21.0
d)
5 6 − 3 6 + 2 6 = (5 − 3 + 2) 6
14. a) 2 5 − 4 5 = ( 2 − 4 ) 5
= −2 5
= − 4 .472
b) 2 7 + 3 7 = ( 2 + 3 ) 7
=4 6
= 4 × 2.4494
= 9.80
=5 7
= 5 × 2 .645
= 13 .228
1.6 Suma y resta de radicales del mismo índice
con subradical diferente
Problema resuelto
15. a) 2 5 − 3 9 = 2 ( 2 .236 ) − 3 ( 3 )
= 4 .472 − 9
= − 4 .528
d ) 5 64 + 2 10 = 5 ( 8 ) + 2 ( 3 .162 )
= 40 + 6 .324
= 46 .324
b) 4 16 + 3 7 = 4 ( 4 ) + 3 ( 2 .64 )
= 16 + 7 .937
= 23 .937
e) 3 21 − 7 6 + 4 6 = 3 ( 4 .58 ) + ( − 7 + 4 ) 6
c) 5 25 + 4 11 = 5 ( 5 ) + 4 ( 3 .3166 )
= 25 + 13 .26
= 38 .266
f ) 6 26 − 3 6 + 2 6 = 6 ( 5 .099 ) + ( − 3 + 2 ) 6
= 13 .748 − 3 6
= 6 .399
= 30 .59 − 6
= 28 .145
1.7 Multiplicación de radicales del mismo índice
En la multiplicación de radicales del mismo índice se deben multiplicar los radicales, y el resultado de
esta operación es el nuevo subradical, siendo el índice el mismo en el nuevo radical.
n
)
a (n b =
n
( a )( b )
Problema resuelto
16. a)
5 ( 9) =
b)
3 ( 27 ) =
5×9 =
45 = 6 .7
3 × 27 =
81 = 9
3 5 ( 4 12 ) = 3 ( 2 .236 ) [ 4 ( 3 .464 )]
= ( 6 .708 )( 13 .8564 )
= 92 .9
9 52
c)
d)
3
)
64 ( 3 10 = 4 ( 2 .15 ) = 8 .617
7
UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos y porcentajes
2 3 81 ( 3 27 ) = 2 ( 4 .32 × 3 )
= 2 ( 12 .96 )
= 25 .96
e)
)
f ) 5 25 ( 3 18 + 2 = 5 ( 5 ) [3 ( 4 .24264 )] + 2
= ( 25 )( 12 .72792 ) + 2
= 3 18 .198 + 2
= 320 .198
1.8 División de radicales del mismo índice
En la división de radicales del mismo índice se obtiene un radical con el mismo índice y el cociente de
ambos radicales.
n
n
a
b
=
n
a
b
Problema resuelto
12
17. a)
5
12
=
d)
5
=
3
84
3
11
2 .4
= 1 .549
9
b)
25
=
e)
5
93
5
4
0.36
= 0.6
c)
3
3
81
27
3
=
3
=
3
84
11
7 .636
=
5
=
5
93
4
23 .25
= 1 .876
81
=
3
= 1 .969
9
25
=
=
f )
27
3
= 1.44
4
4
48
11
=
4
=
4
48
11
4 .36364
= 1 .445
Problema resuelto
Resuelve las ecuaciones exponenciales

i 
18. a)  1 +


12 
12
12

i 
 1 +

12 
1+
i
12
i
12
=

0 .125 
= 1 +


6 
6
12
12
=
12
( 1 + 0 .020833 )6
1 .13169
= ( 1 .13169 )1 12 − 1
i = 12 ( 1 .13169 )0.0833 − 1
i = 12 ( 0 .01036 )
i = 0 .1243 6
8
6

0 .22 
b) e = 1 +
 −1
6 

e = ( 1 .03667 )6 − 1
e = 1 .2412 − 1
e = 0 .2 4 12
Grupo Editorial Patria©

i 
c)  1 +


12 
12
12

i 
 1 +

12 
1+
i
12
=

0 .116 
= 1 +


4 
4
12
12
=
12
( 1 + 0 .029 )4
1 .1211443
i
= ( 1 .1211443 )1 12 − 1
12
i = 12 ( 1 .1211443 )0.0833 − 1
i = 12 ( 0 .009574 )
i = 0 .1 149
1.9 Redondeo
Redondeo de una cantidad hacia arriba a cuatro cifras.
Problema resuelto
19.
Número
Redondeo
a)
0.204688
0.2047
b)
9.711768
9.712
c)
0.7988745
0.7989
Redondeo hacia abajo a cuatro cifras de las siguientes cantidades:
Problema resuelto
20.
Número
Redondeo
a)
0.6184142
0.6184
b)
0.1246397
0.1246
c)
3.4161853
3.416
1.10 Notación científica
Cuando se trabaja con números muy grandes o pequeños utilizamos la notación científica. El punto
decimal se mueve a la derecha cuando el exponente es positivo y a la izquierda si es negativo, el exponente indica el número de lugares que se tiene que mover el punto decimal.
EXP o EE tecla para escribir la notación científica en la calculadora
Problema resuelto
21.
a)
12 × 10-2 = 0.12
b)
1.578E - 1 = 0.1578
1.578 EXP
-
1
=
0.1578
c)
0. 9510E + 2 = 95.1
0.9510 EXP
+ 2
=
95.1
12
EXP
-
=
2
0.12
9
UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos y porcentajes
Forma de representar una cantidad en notación científica hacia arriba.
Problema resuelto
22.
Número
Notación científica
Con calculadora EXP
a)
679.19
6.7919 × 10
6.7919 × 1002
b)
48.56
4.856 × 101
4.856 × 1001
c)
5.31
5.31 × 10
d)
258 916
2.58916 × 105
2
5.31
0
2.58916 × 1005
Forma de representar una cantidad en notación científica hacia abajo.
Problema resuelto
23.
Número
Notación científica
Con calculadora EXP
0.3471
3.471 × 10-1
3.471 × 10-01
b)
0.0126
-2
1.26 × 10
1.26 × 10-02
c)
0.00879
8.79 × 10-3
8.79 × 10-03
d)
0.0002978
-4
2.978 × 10
2.978 × 10-04
e)
793.24
7.9324 × 102
7.9324 × 1002
a)
El logaritmo de un número es el exponente al que se debe elevar otro número llamado base para
obtener un tercer número.
Problema resuelto
Ejemplos:
24. a) 90 = 1
c) 92 = 81
b) 9 = 9
d ) 9 = 729 etcétera
1
e) 94 = 6 561
3
La base es un número positivo y este es la base de un sistema de logaritmos.
Sistema
de
logaritmos
*

*
*

Logaritmos vulgares o Briggs la base es 10
( log10 x = log x )
Logaritmos naturales o neperianos la base es:
e = 2.71828182845 …
loge x = ln x
Se puede tomar como base para un sistema de logaritmos cualquier número positivo.
1.11 Propiedades de los logaritmos base 10
❚❚ 1.11.1 Progresiones
Problema resuelto
10
25 a) 100 = 1
c) 102 = 100
b) 101 = 10
d ) 10 −1 =
1
101
e) 10 −2 =
= 0 .1
f ) 10 −3 =
1
10 2
1
10 3
= 0 .01
= 0 .001
Grupo Editorial Patria©
1.12 Únicos números cuyos logaritmos son enteros
Problema resuelto
26. a) log 1 = 0
c) log 100 = 2
e) log 0.01 = -2
b) log 10 = 1
d ) log 0.1 = -1
f ) log 0.001 = -3
El logaritmo de los números entre 1 y 10, su logaritmo se encuentra entre 0 y 1.
Problema resuelto
27. a) log 1 = 0
c) log 3 = 0.4771
e) log 9 = 0.9542
b) log 2 = 0.3010
d ) log 8 = 0.9031
f ) log 10 = 1
El logaritmo de los números entre 100 y 1 000, su logaritmo se encuentra entre 2 y 3.
Problema resuelto
28. a) log 100 = 2
c) log 500 = 2.6990
e) log 700 = 2.8451
b) log 200 = 2.3010
d ) log 600 = 2.7781
f ) log 1 000 = 3
Por analogía el logaritmo de los números entre 1 000 y 10 000, su logaritmo se encuentra entre 3 y 4.
Problema resuelto
29. a) log 2 000 = 3.3010
c) log 6 000 = 3.7781
b) log 5 000 = 3.6990
d ) log 10 000 = 4
Alerta
Los números negativos no
tienen logaritmo.
Todo logaritmo de un número que no sea potencia de 10 con exponente entero, está formado de una
parte entera y una parte decimal.
A la parte entera se le llama característica y a la parte decimal mantisa, por ejemplo:
Problema resuelto
30.
Logaritmo
Característica
Mantisa
a)
log 4 = 0.6020
0
0.6020
b)
log 600 = 2.7781
2
0.7781
c)
log 7 500 = 3.8750
3
0.8750
d)
log 85 000 = 4.9294
4
0.9294
Mantisa
∗

Característica ∗
∗

{∗
Siempre es Positiva
Positiva si el número es mayor o igual a 10
Cero si el número es mayor o igual a 1 y menor que 10
Negativa si el número es mayor que 0 y menor que 1
Para conocer la característica de un número mayor a 1, se resta una unidad al número total de cifras de
la parte entera del número.
11
UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos y porcentajes
Problema resuelto
31.
Logaritmo
Cifra
Operación
Característica
Mantisa
a)
log 5 = 0.6989
1
1-1=0
0
0.6989
b)
log 650 = 2.8129
3
3-1=2
2
0.8129
c)
log 5 700 = 3.7558
4
4-1=3
3
0.7558
d)
log 76 000 = 4.8808
5
5-1=4
4
0.8808
Para conocer la característica de un número menor a 1, se suma una unidad al número total de ceros
que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa del número.
Problema resuelto
32.
Logaritmo
Ceros
Operación
Característica
Mantisa
a)
log 0.1 = -1
0
0+1=1
-1
0
b)
log 0.01 = -2
1
1+1=2
-2
0
c)
log 0.001 = -3
2
2+1=3
-3
0
d)
log 0.0001 = -4
3
3+1=4
-4
0
Al escribir un logaritmo, cuya característica es negativa, el signo menos se coloca sobre la característica y nunca delante de ella, porque las mantisas son positivas, por lo tanto, un logaritmo no se debe
representar como: -2.3846; la forma correcta es: 2 .3846.
En la calculadora cuando la característica de un número menor a 1, en la pantalla indicador aparece de
la siguiente forma: log 0.6 = -0.2218, lo que significa que la característica es -1 y la mantisa 0.7782.
Si la característica de un número igual o mayor a 1, en la pantalla aparece de la siguiente forma:
log 260 = 2.414973, lo que significa que la característica es 2 y la mantisa 0.414973.
Para encontrar el logaritmo utilizando la calculadora se sigue la siguiente secuencia de tecleo dependiendo de la calculadora.
log x
o x log
ln x o x ln
Problema resuelto
Alerta
En honor al matemático
suizo Leonhard Euler
(1707-1783), se eligió la
letra e para tomarla como
base del logaritmo natural
(o neperiano).
33.
Operación
Teclas en la calculadora
a)
log 57 = 1.755874856
b)
log 0.8735 = -0.05873709 o 1.941262909
c)
ln 26 = 3.2580906
ln 26 =
3.2580906
d)
ln e = 1
ln 2.718281828459 =
1
57 log
log
=
Resultado en pantalla
0.8735 =
1.755874856
-0.05873709
El logaritmo de base a se define como:
Sea a la base del logaritmo, en donde a es un número real
distinto de uno, se tiene:
y = loga x si y solo si x = ay
para toda x > 0, todo número real y
12
Grupo Editorial Patria©
Si analizamos la definición encontramos dos funciones: una logarítmica (y = loga x) y la otra exponencial
(x = ay), con la misma base a.
Exponente
loga x = y ay = x
Base
De la interpretación del logaritmo como un exponente
están las siguientes propiedades:
Núm.
Propiedad
Motivo
1.
loga 1 = 0
a0 = 1
2.
loga a = 1
a1 = a
3.
loga ax = x
ax = ax
4.
a
=x
ay = x
loga x
Problema resuelto
34.
loga x = y
x = ay
a)
log8 x = 2
82 = x
b)
loga 16 = 2
a2 = 16
c)
log10 x = y
10y = x
1.13 Propiedades de los logaritmos
❚❚ 1.13.1 Logaritmo del producto
El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
log(A × B) = log A + log B
Problema resuelto
35. a) log (4 × 10) = log (4) + log (10) = 0.602059 + 1 = 1.602059
b) log (12 × 31) = log (12) + log (31) = 1.07918 + 1.49136 = 2.57054
c) log (231 × 51) = log (231) + log (51) = 2.36361 + 1.70757 = 4.07118
❚❚ 1.13.2 Logaritmo de un cociente
El logaritmo del cociente es igual al logaritmo dividendo menos el logaritmo divisor.
log
A
= log A − log B
B
Problema resuelto
36. a) log
12
= log (12 ) − log ( 8 ) = 1.07918 − 0.90308 = 0.17609
8
b) log
5
= log ( 5 ) − log (17 ) = 0.69897 − 1.23044 = − 0.53147
17
c) log
33
= log ( 33 ) − log (15 ) = 1.51851 − 1.17609 = 0.34241
15
13
UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos y porcentajes
❚❚ 1.13.3 Logaritmo de una potencia
El logaritmo del cociente es igual a la multiplicación del exponente por el logaritmo de la base.
log An = n(log A)
Problema resuelto
37. a) log 35 = 5 log ( 3 )  = 5 ( 0 .47712 ) = 2 .38560
b) log 234 = 4 log ( 23 )  = 4 ( 1 .36172 ) = 5 .44691
c) log 2473 = 3 log ( 247 )  = 3 ( 2 .39269 ) = 7 .17809
❚❚ 1.13.4 Logaritmo de una raíz
El logaritmo de la raíz es igual al logaritmo del subradical dividido entre el índice del radical.
log n A =
log A
n
Problema resuelto
57 =
38. a) log
b) log 3 39 =
c) log
4
72 =
log 57
= 0 .8779
2
log 39
3
= 0 .5304
log 72
4
= 0 .4643
1.14 Antilogaritmo
Cuando se conoce el logaritmo de un número desconocido x, al encontrar el valor de x a este proceso
se le conoce como antilogaritmo y se abrevia antilog.
Problema resuelto
39. a) Sea el log 76 = 1.88081, encontrar el antilogaritmo de 1.88081 es: 76
b) Sea el log 25 = 1.39794, encontrar el antilogaritmo de 1.39794 es: 25
c) Sea el log 397 = 2.59879, encontrar el antilogaritmo de 2.59879 es: 397
Utilizando la calculadora existen dos caminos para encontrar el antilogaritmo:
SHIFT
log x o
2nf log x
Problemas resueltos
40. Sea el log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de 1.1760912 es: 15
Con calculadora
a) log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de:
SHIFT
14
log
1.1760912
= 15
Grupo Editorial Patria©
b) log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de:
1.1760912
2nf
log
= 15
41. Sea el log x = 1.30102999 y si 101.30102999 = x,
∴ x el antilogaritmo de 1.30102999, se representa como:
x = antilog 1.30102999 = 101.30102999
x = 10 ˆ 1.30102999
x = 20
Problemas resueltos
Con calculadora
42.
Operación
Teclas en la calculadora
Resultado en pantalla
antilog 1.5563025 = 36
SHIFT log 1.5563025 =
2nf log 1.5563025 =
36
36
101.5563025 = 36
10 y x 1.5563025 =
10 ∧ 1.5563025 =
36
36
Operación
Teclas en la calculadora
Resultado en pantalla
antilog 2.1986571 = 158
102.1986571 = 158
2nf log = 2.1986571
10 y x 2.1986571 =
158
158
43.
Problema resuelto
44. Encuentra el resultado de x = 3.21.2 × 5
Solución:
Aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad:
log x = log (3.21.2 × 5)
log x = log 3.21.2 + log 5
log x = 1.2 log 3.2 + log 5
1.15 Logaritmos naturales
Una función logarítmica de base a(y = loga x) es la inversa de una función exponencial (x = ay ). A partir
de esto se puede llegar a una definición.
Cuando se sustituye la base a por la base e, se obtiene la siguiente expresión (si x > 0):
y = loge x, si y solo si x = ey
Alerta
Definición:
El loga x se expresa de la
siguiente forma:
y = loga x, si y solo si x = ay
A partir de lo anterior la definición de logaritmo natural es:
ln x = loge (x), para todo x > 0
❚❚ 1.15.1 Leyes de los logaritmos naturales
1. ln (AB) = ln A + ln B
 A
2. ln   = ln A − ln B
B
3. ln An = n ln A
15
UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos y porcentajes
Es importante aclarar que ln an ≠ (ln a)n
4. ln n A =
1
ln A
n
Cambio de base:
5. loga x =
ln x
ln a
Teorema:
aloga x = x ⇒ eln x = x ⇒ ln ex = x
Propiedades para cuando x = 0:
En cualquier sistema de logaritmos:
1. El logaritmo de la base (a) es uno.
e1 = e ∴ ln e = 1
2. El logaritmo de uno es cero, si la base es a se tiene:
e0 = 1 ∴ ln 1 = 0
Expresión para cambiar de base
log10 x =
ln x
1
log e =
ln 10
ln 10
Problema resuelto
45. Encuentra el valor de x
ln x = 2.3
eln x = e 2.3
x = e 2.3
x = 9.974
1.16 Tanto por ciento
Todo número puede ser divisible entre una o varias partes, entonces si todo número lo podemos dividir
en las partes que se nos ocurra, por ejemplo en diez partes, en veinticinco, en cien, en quinientas, en
mil, etc. Cuando hablamos en un caso particular del tanto por ciento de un número a una o varias de
las cien partes iguales en que fue dividido el número.
Alerta
Unidad = 1
El signo de tanto por ciento
(%) aparece por un error
al utilizar la abreviatura
de ciento (Cto.), esta
siempre se empleaba en las
operaciones comerciales o
mercantiles.
1
2
3
.
.
.
.
100
Cada cuadro representa un centésimo (1/100) del número (1).
Problema resuelto
Ejemplos:
46. a)Si seleccionamos 6 cuadros, estos representan 6 partes de un total de 100 partes y se representa de la siguiente forma: 6/100, expresándolo en tanto por ciento: 6%.
16
Grupo Editorial Patria©
Unidad = 1
1
2
3
4
5
6
100
b)Si deseamos conocer el 3% de 80, lo que se debe hacer es dividir a 80 en cien partes iguales y
de ellas se toman tres.
Unidad = 80
1
2
3
100
El 3% de 80 o 3/80 de 80 equivale a tres centésimas partes de 80.
El 100% de 80 es 80, el 3% de 80, es lo que se desea conocer x, para encontrar el valor de x se
emplea la regla de tres.
Datos
Tanto por ciento (%)
Partes
Supuesto
100
80
Pregunta
3
x
Entonces:
x =
80 × 3
100
x = 2.4
El 3% de 80 es 2.4
Problema resuelto
47. a) Obtén el 16% de 779
b) Obtén el 18% de 250
c) Obtén el 23.75% de 1 890
Solución
 16 
a) El 16% de 779 = 
(779) = 124.64
 100 
 18 
b) El 18% de 250 = 
(250) = 45
 100 
 23 .75 
c) El 23.75% de 1 890 = 
(1 890) = 448.875
 100 
Problema resuelto
48. ¿Qué porcentaje de:
a) 17 500 es 2 300
b) 22 500 es 13 250?
17
UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos y porcentajes
Solución
a) x(17 500) = 2 300
x =
b) x(22 500) = 13 250
2 300
13 250
= 0.1314 = 13.14% x =
= 0.5888 = 58.88%
17500
22 500
Problema resuelto
49. ¿De qué número es:
a) 18 el 6%
b) 350 el 5%
c) 900 el 36%?
b) x(0.05) = 350
c) x(0.36) = 900
Solución
a) x es la base, el 6% de x es igual a 18
x(0.06) = 18
350
900
x=
= 7 000 x =
= 2 500
0 .05
0 .36
18
x=
= 300
0 .06
Problema resuelto
50. a)El transporte en el D.F., costaba 60 centavos en 1970 y cinco pesos en 2012, ¿qué incremento
ha tenido el precio del transporte? Expresarlo en porcentaje.
b)El precio del bolillo era de un peso en el año 2010 y en 2012 cuesta $1.50, ¿qué incremento ha
tenido el precio del bolillo? Expresarlo en porcentaje.
Solución
a)Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal. Como el % de 0.60 es igual al incremento se
tiene:
x(0.60) = (5.00 - 0.60)
x(0.60) = 4.4
x = 7.3
x = 733.33%
b)Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal. Como el % de $1.00 es igual al incremento se
tiene:
x(1.00) = (1.50 - 1.00)
x(1.00) = 0.5
Alerta
Utilidad bruta =
Gastos de operación +
Utilidad neta.
x = 0.5
x = 50%
El precio de venta de un producto o servicio, se determina aumentando al costo del artículo una cantidad suficiente para cubrir los gastos de operación para poder tener una utilidad, a esta cantidad se
le llama utilidad bruta. Y se conoce como utilidad neta a la cantidad que queda después de cubrir los
gastos de operación.
Los gastos de operación son las cantidades que se pagan por concepto de luz, agua, renta, seguros,
salarios, publicidad, etcétera.
El costo de un artículo son todos los gastos realizados para fabricar o adquirir el artículo. Mientras que el
costo de un servicio son todos los gastos realizados para proporcionar el servicio.
18
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
51. Un fabricante desea producir ángeles de porcelana y venderlos cada uno en $540.00. Con la
experien­cia de la fabricación de productos anteriores, él considera que si añade 65% del costo
de producción para cubrir los gastos de operación y la utilidad neta, ¿cuánto puede gastar para
poder producir los ángeles?
Solución:
x es el costo de producción
Utilidad bruta = 65% de x = 0.65x
Precio de venta = x + 0.65x = 540
1.65x = 540
x=
540
1 .65
x = $327.27
Cuando se desea conocer la tasa de interés compuesto (i ) es necesario despejarla de la ecuación de
monto de interés compuesto.
M = C(1 + i )n
Existen dos caminos para despejar la tasa i; a continuación se muestran las dos alternativas.
Raíz
M
C
n
M
C
n
Logaritmos
M
= ( 1+ i )n
C
= ( 1+ i )n
= n ( 1+ i )n
 M
log   = log ( 1 + i ) n
C
M
 M
log   = n log ( 1 + i )
C
C
= 1+ i
 M
i = n −1
 C 
4 .6
log ( 1 + i ) =
 M
log  
C
n
  M 
 log  C  

1 + i = antilog 
 n 
  M 
 log  C  
−1
i = antilog 
 n 
4.6 a
Problema resuelto
52. El gerente de una empresa depositó en una institución financiera $600 000.00 y después de tres
años y cuatro meses le entregarán la cantidad de $950 000.00. ¿Cuál es la tasa de interés bimestral
que le dio la institución financiera a su inversión?
Solución
Datos:
C = $600 000.00
M = $950 000.00
n = 3 años y 4 meses
n = 20 bimestres
19
UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos y porcentajes
Incógnita i
Desarrollo
 M
i = n
−1
 C 
 950 000 
i =  20
−1
 600 000 
‚
i =
[20 1.583333 ] − 1
1 20
−1
i = (1.58333)
0.05
−1
i = (1.58333)
i = 1.023243 − 1
i = 0.023243
T = 2.3243%
bimestral
bimestral
Problema resuelto
53. El señor Martínez invirtió $22 000.00 en Banorte, por un plazo de cuatro años, con un interés de
9.7% capitalizable trimestralmente. Encontrar el monto al final de los cuatro años.
Solución:
Datos:
C = $22 000.00
T = 9.7% A. C. Trimestral
np = (2.5 años) (4 trimestres por año) = 10 trimestres
n = 2.5 años
p = 4 trimestres al año
Alerta
Tasa efectiva o rendimiento
anual efectivo. Es la tasa
de interés simple que da el
mismo rendimiento en un
año que la tasa compuesta.
Incógnita M
Desarrollo

i 
M = C 1 + 
p



0 .097 
M1 = 22 000 1 +


4 
M1 = 22 000 [1 .02425]
M1 = 22 000 (1.2707)
M1 = 27 956.47
np
10
10
La tasa efectiva (e) capitalizable anualmente es equivalente a la tasa nominal (i ) compuesta en “p”
periodos por año.
[Tasa efectiva al cabo de un año] = [Tasa nominal en p periodos por año]
Dividiendo ambos términos entre C se tiene:

i
C ( 1 + e ) = C 1 + 
p


i
e = 1 + 
p

p
p
−1
La tasa efectiva es la que actúa directamente sobre un periodo.
20
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
54.Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 22% capitalizable bimestral­
mente.
Solución:
6

0 .22 
e = 1 +
 −1
6 

e = ( 1 .03667 )6 − 1
e = 1 .2412 − 1
e = 0 .2 4 12
e = 24 .12 % anual
Es lo mismo invertir al 22% capitalizable bimestralmente que al 24.12% con capitalización anual.
Problema resuelto
55. Crecimiento de población
El crecimiento de la población en la República Mexicana en el año 2005 es de aproximadamente
103.9 millones de habitantes, la tasa de crecimiento promedio 1.3% anual. Determinar la población
esperada para el año 2013.
Se sabe que el comportamiento del crecimiento de una población es aproximadamente exponencial, a
partir de lo anterior resolver el problema utilizando la siguiente expresión:
P = P0ekt
En donde:
Literal
Significado
P
Número de habitantes de los esperados para un determinado año.
P0
Número de habitantes en el año de referencia o base.
k
Tasa de crecimiento promedio anual.
t
Tiempo transcurrido.
Solución:
Datos
P0 = 103.9 millones de habitantes
k = 1.3% anual
t = 8 años
Incógnita P
Sustituyendo valores
P = P0e kt
P = 103.9 [e (0.013)(8)]
Aplicando logaritmos a los dos lados de la igualdad
P = P0 e k t
ln P = ln 103.9 [e ( 0.013 )( 8 ) ]
ln P = ln 103.9 + ( 0.013 )( 8 ) [ln ( e )]
ln P = 4.643428898 + 0.104 (ln e )
ln P = 4.643428898 + 0.104 (1)
P = anti ln 4.747428898
P = 115.287 millones de habitantes
21
UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos y porcentajes
Problema resuelto
Con calculadora
56. a) Calcular 16% de $1 500.00
b) Encontrar qué porcentaje es $1 660.00 de $2 880.00
Solución:
a)
Problema
Calcular el porcentaje
de una cantidad.
Operación
x=
16×1 500.00
100
x=
24 000.00
100
x = $ 240 .00
b)
Problema
Calcular el porcentaje a
que le corresponde una
parte de la cantidad.
Operación
x=
x=
1 660
2 880
1 660.00
2 880.00
x = 0 .576
x = 57 .64 %
22
Teclas en la calculadora
1 500 ×
16
1 500 × 16
SHIFT
Resultado en pantalla
2da. =
1 500 × 16
240.00
%
=
240.00
%
Teclas en la calculadora
1 660 ÷
240.00
Resultado en pantalla
2 880 SHIFT %
57.64
1 660 ÷
2 880 2da. =
57.64
1 660 ÷
2 880 %
=
57.64
Problemas para resolver
1.1 a) 26 =
Grupo Editorial Patria©
c) (x + 4)3 =
b) 134 =
 3 ya 2 b 
b)  −

 2x3 
d ) (3x + a)n =
1.2 Realizar la operación con calculadora y con la hoja de
cálculo:
a) (5 ) =
c) (3 ) =
b) (14 ) =
d ) (56.253) =
3
( 6 a 4 x 3 )2
a) (44)(43) =
c) (82)(83) =
b) (3.53)(52) =
d ) (8.133)(2.252) =
b) (2)4(2)3 =
c) (-5)3(-5)2 =
Eleva la potencia a otra potencia:
b) [(-13)]4 =
c) [(3x + n)(x + m)]4 =
c) [(-xa)2]4 =
 3
1.5 a)  
 5
Realiza el producto elevándolo a una potencia:
4
=
1.15 a) (3xy)4 =
b) -2(3ax)4 =
2
 5.5 
b) 
 6.35 
=
c) (-xab)4 =
1.6 a) z7/6 =
=
b) 2ab x
3
4
 xy 
b)  
 2
=
d ) 8x
1/3
210 =
d)
3
c)
5
1.9 a) 4 6 − 2 9 =
c) 5 21 − 9 6 + 2 7 =
b) 8 25 − 5 7 =
d ) 5 36 − 4 10 + 3 10 =
6 ( 7) =
c)
5 ( 72 ) =
d ) 3 3 77 ( 3 39 =
34
9
8
13
=
125 ( 3 27 ) =
3
)
c)
3
44
3
19
5
=
d)
46
5
5
 x 
1.17 a)   =
 ay 
 ax 
b) 
 =
− x2 
d ) 361/4 =
3
 4 xb 
1.18 a) 
 =
 y 
2
 −3 x 
b) 
 =
 ab 
Realiza el cociente de dos potencias de igual base con ex­
ponente diferente:
=
1.19 a)
=
b)
Potencia de un monomio:
1.12 a)
=
5
85 =
b) 161/6 =
b)
2
4
16 =
1.11 a)
=
Eleva el cociente a una potencia n:
− 10 =
1.8 Realizar la operación con calculadora y con la hoja de
cálculo:
b)
3
 4xab 
c) 
 5 
5
c) 4 ax 72 =
47 =
1
1.16 a) (-xab)3 =
c) (3x + 4ab)2/7 =
4 2/3
1.10 a)
=
1.13 a) (3)2(3)2 =
b) [(7)(5)]4 =
3
=
1.14 a) (x2)4 =
1.4 a) [(3)(4)]2 =
b)
3
Realiza producto de potencia de igual base:
1.3 Realizar la operación con calculadora y con la hoja de
cálculo:
1.7 a)
1
6
4
a)
c)
UNIDAD
(−5 x
4
a b) =
3
2
Problemas aplicados a la realidad
c)
16 abx 2
=
256 x 5
27 ax 4
3x2
5 ax 6
( 5 x 4 )2
Problemas para resolver con tecnología
=
=
23
1
UNIDAD
1.20 a)
256 a 6 b 2 x 6
2
16 a x
4
b)
Problemas para resolver
6
=
8 a2 x 3
Realiza la suma de radicales semejantes:
1.29 a) 2 ax 2 + 3 ax 2 =
Exponente cero y negativo:
1.21 a) (4ax)0 =
3
b)
1.22 a)
a x
2
b) 4 x 2
=
ax 2
1.30 a)
( 4 ax )2
( 4 ax )( 4 ax )
=
( 4 ab )( 25 x 6 )
3
(5x )
2
1.31 a)
=
b)
1.32 a)
2
(16 ) 3 =
b)
3
b) ( 9 ) 6 =
c) 2 xa 7 b 3 =
1.33 a)
5
1.24 a) 3 ab (mn ) 4 =
3
4
b) 7 a 3 x 4 y 3 =
c)
5
7
b)
1.25 a)
1.26 a)
6
27 a bx
3
(
4
1.34 a)
=
b)
108 x
4
)=
1.35 a)
ax
5
(
)
1.27 a) ax 2
(
5
( mn )3
)=
)(
)(
)
ax 6 4 ax − 3 x 4 ax =
( bmnx ) =
)
(2 ax ) ( mxy ) ( x ) 3 y  (bx ) x  =

(−3 ax 3 ax )  32x 2 xy  (4 ax 3 a ) =
amx 2  − 8 m 3
3
2
3
3
2
3
4
4
4
3
2
(
(
3
48 x 3
)
)
3x2 y3
3
=
( 8 x ) ( a − 1)( a + 1)
)
4( a + 1
=
(
4
7 a2 x 3
(7
3
)
3a 2 x
(5 x (
2
(
3
2
)
=
2
=
2 a2 y 3
))
)
=

4y3 

2
=
2
Realiza la radicación de radicales:
108 a 4 b 2 x =
1.36 a)
Introduce el coeficiente dentro del radical:
a2 =
3
a =
625 =
b)
c)
b) 3a ax =
3
729 =
Resuelve las ecuaciones exponenciales
c) 4 mx 3 am =
24
4
(2 m
a
b) 
2
b) 2 a 3 32 x 3 =
c)
5
Potenciación de radicales
b) 3 3 81 =
1
(2 a
6
m2 n3 x 5 =
Simplifica los siguientes radicales:
3
2x
Realiza la división de radicales del mismo índice:
7
3
)
( mn )3 +
5
ax 2 =
Realiza la multiplicación de radicales semejantes con el mis­
mo índice:
Exponente fraccionario:
1.23 a)
(
x
5
ax 2 − 3 x 2
b) 4 mn 4 33 x − 8 mn 33 x + 7 mn 4 33 x =
 4 2 ax 6 
b) 2 c 
 =
 16 ax 6 
c)
xy 2 =
3
b) 4 ax 4 2 b =
5
64 a b x
1.28. a) x 2
=
2
1.37 a) (1 + x)12 =
Problemas aplicados a la realidad
b) 700(1 + x)12 =
Problemas para resolver con tecnología
Grupo Editorial Patria©
c) 1 500(1 + x)12 =
d)
( 1 + x )6 − 1
0 .3
b) log
=
( 32 )
=
(1.24 )
Completa los cuadros de acuerdo con lo solicitado en el
encabezado del cuadro:
Encuentra el logaritmo de un número elevado a una po­
tencia:
1.38
1.45 a) log 235.2335 =
Logaritmo
a)
log 9 =
b)
log 10 =
c)
log 12 =
Cifra
Operación
Característica
b) log 59.323 =
Mantisa
Obtén el logaritmo del radical:
1.46 a) log 81.47 =
Operaciones con logaritmo base 10
b) log 3 235.85 =
Realiza el producto:
c) log 4 4 532.81 =
1.39 a) log (5 × 7) =
b) log (12 × 27) =
Encuentra el antilogaritmo:
c) log (55 × 9) =
1.47
Encuentra el cociente:
Antilogaritmo
( 66 )
1.40 a) log
=
( 94 )
(122 )
b) log
=
( 324 )
c) log
antilog (0.95424)
a)
( 7422 )
=
( 6 534 )
b)
antilog (1.0000)
c)
antilog (1.07918)
1.48
Antilogaritmo
Encuentra el logaritmo de un número elevado a una po­
tencia:
1.41 a) log 235 =
a)
antilog (1.62324)
b)
antilog (2.17609)
c)
antilog (1.44715)
b) log 32 =
3
Logaritmos naturales
c) log 1203 =
Encuentra el logaritmo:
Obtén el logaritmo del radical
1.49 a) ln 28 =
1.42 a) log 81 =
b) ln 42 =
1.50 a) ln 250 =
b) log 85 =
3
Realiza las siguientes operaciones con logaritmo de base
(las respuestas tienen: de base 10)
Encuentra el producto:
1.43 a) log (25.55 × 39.29) =
b) log (720 × 24.10) =
Obtén el cociente:
( 2 022 )
1.44 a) log
=
( 3.41)
b) ln 420 =
Operaciones con logaritmos naturales
Realiza las siguientes operaciones:
1.51 a) ln (5) + ln (7) =
b) ln (12) + ln (27) =
1.52 a) 5(ln (123)) =
b) 3(ln (32)) =
c) 3(ln (120)) =
Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
25
1
UNIDAD
1.53 a)
ln 81
=
2
b)
ln 85
=
3
Problemas para resolver
1.56 Expresa las siguientes cantidades en notación cien­
tífica:
Respuesta
Número
a)
c)
ln 281
=
4
1.54 Redondea a cuatro cifras significativas:
Notación científica
Con calculadora
1 033 756
b)
0.0133756
c)
0.000018739
d)
0.00035
a) 0.4118235
Resuelve los siguientes problemas de porcentaje:
b) 4.8794854
1.57 a) Obtener 16.75% de 2 600
b) Obtener 20% de 5 400
c) 2.4822016
1.58 ¿Qué porcentaje de
a) 900 es 250?
1.55 Redondea a cuatro cifras significativas:
b) 4 427 es 777.50?
a) 0.5158618
1.59 a) ¿De qué número es 480 el 15%?
b) 9.677712
b) ¿De qué número es 4 427.50 el 16%?
c) 0.4467823
c) ¿De qué número es 14 542.50 el 18.9%?
PROBLEMAS RETO
1
a)El año pasado, el señor Orozco recibía un salario de $9 500 mensuales; en este año, con la revisión
salarial, tiene un pago de $10 600 mensuales. ¿De cuánto es el aumento salarial?
b)En el reparto de utilidades de una empresa, el señor Pedro Martínez recibió $12 800 y Rosa María Juárez
$14 981. ¿De cuánto es la diferencia del reparto de utilidades de Pedro y Rosa María, expresado en %?
2
a)Se representa de la siguiente forma: 7/100, expresándolo en tanto por ciento es 7%, represéntalo en
una figura.
b)Se representa de la siguiente forma: 4/80, expresándolo en tanto por ciento es 5%, representa en una
figura el 5%.
3
a) El 1/8% de 46 es:
4
Utilizando la calculadora
a) Calcular 12% de $1 500.00.
Teclas en la calculadora
Resultado en pantalla
1500 × 12 SHIFT %
1500 × 12 2da. = =
1500 × 12 %
b) Encontrar qué porcentaje es $660.00 de $880.00.
Teclas en la calculadora
Resultado en pantalla
660 ÷ 880 SHIFT %
660 ÷ 880 2da. = =
660 ÷ 880 %
26
Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
UNIDAD
2
Series
y sucesiones
OBJETIVOS
Identificar las progresiones, aprender a encontrar los elementos de la progresión
utilizando fórmula y la suma de los elementos que la forman.
Aprender a encontrar los elementos de la serie aritmética utilizando fórmula, la suma
de los elementos que la forman y calcular el número de elementos de las progresiones
aritméticas.
Identificar las progresiones geométricas, aprender a encontrar los elementos de la
progresión utilizando fórmula y la suma de los elementos que la forman.
Aprender a encontrar los elementos de la progresión geométrica utilizando fórmula, la
suma de los elementos que la forman y calcular el número de elementos.
¿QUÉ SABES?
Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema
Encuentra los 3 primeros términos y el décimo de:aann =
n2
.
5n
Obtén la suma de los 3 primeros términos de la progresión: an = 5n - 6.
Determina los 3 primeros términos de la sucesión aritmética: an = 5n + 6.
Encuentra el último término de la sucesión aritmética si: a1 = 6, n = 9 y d = 3.
Halla la suma de los primeros 14 términos de la sucesión aritmética 25, 31, 37,…
UNIDAD
2
Series y sucesiones
Encuentra el noveno término de una sucesión geométrica: 9, 45, 225,…
Determina el valor del sexto término de la progresión geométrica: 2.5, (2.5)4,…
Calcula la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica: 9,
45, 225,...
Halla el décimo sexto término y la suma de los 17 primeros términos, si la
razón es dos y el primer término es 18.
2.1 Introducción
Las series y sucesiones son una herramienta matemática básica que permite deducir algunas fórmulas
que se utilizan en el aprendizaje de la matemática financiera, computación, economía, finanzas e ingeniería. Las sucesiones en matemática financiera se usan para resolver problemas de interés compuesto,
de anualidades, la amortización de un crédito, las compras a plazos, etcétera.
2.2 Sucesiones o progresión aritmética
Definición
Una progresión es un conjunto ordenado de números reales, construidos a partir de
una regla; a cada número se le llama término de la sucesión y se denota con an, en
donde n indica la posición del término.
a1, a2, a3, …, an
Toda progresión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros
positivos.
Problema resuelto
1. a)Las ventas anuales de los últimos 5 años de una tienda de abarrotes (en miles de pesos):
130.25, 195.38, 312.68, 437.72 en donde el primer término es 130.25 y el último 437.72.
b) La inflación anual en un país de Latinoamérica (en %): 3.2, 4.5, 4.8, 5.3, 6.7, 7.3,…
Los ejemplos anteriores son de progresiones donde los términos no tienen relación alguna.
Con frecuencia las sucesiones se designan mediante fórmulas, por ejemplo:
Problema resuelto
2. a) Encuentra los primeros 4 términos de la fórmula an = 3n - 1:
an = 3n - 1
a1 = 3(1) - 1 = 2
a2 = 3(2) - 1 = 5
a3 = 3(3) - 1 = 8
a4 = 3(4) - 1 = 11
b) Encuentra los primeros 3 términos:
an = 4n + 3
a1 = 4(1) + 3 = 7
a2 = 4(2) + 3 = 11
a3 = 4(3) + 3 = 15
28
Grupo Editorial Patria©
c) Escribe los primeros 4 términos:
an =
a1 =
a2 =
a3 =
n−1
n+1
1− 1
1+ 2
2−1
2+2
3−1
3+2
=0
=
=
1
4
2
5
4−1 3
a4 =
=
4
+2 6
Una serie es la suma de los términos de una progresión y se simboliza con Sn. Si n es un
número entero positivo y la sucesión a1, a2, a3, …, an; se tiene:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
Sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an
Problema resuelto
Alerta
La sucesión aritmética se forma sumando
al primer término una cantidad constante
conocida como diferencia común
para obtener el segundo término y así
sucesivamente.
Término
a1
4
a2
8
a3
12
4+d=4+4=8
8 + d = 8 + 4 = 12
3. a) Encuentra la suma de los 3 primeros términos de la progresión:
an = 3n - 9
a1 = 3(1) - 9 = -6
a2 = 3(2) - 9 = -3
a3 = 3(3) - 9 = 0
S3 = -6 - 3 + 0 = -9
b) Calcula la suma de los 4 primeros términos de la progresión:
an = 3n + (2)n + 1
a1 = 3(1) + (2)1 + 1 = 7
a2 = 3(2) + (2)2 + 1 = 14
a3 = 3(3) + (2)3 + 1 = 25
a4 = 3(4) + (2)4 + 1 = 44
S4 = 7 + 14 + 25 + 44
S4 = 90
c) Calcula la suma de los 4 primeros términos de la sucesión:
an = 3n + (-1)n + 1
a1 = 3(1) + (-1)1 + 1 = 4
a2 = 3(2) + (-1)2 + 1 = 5
a3 = 3(3) + (-1)3 + 1 = 10
a4 = 3(4) + (-1)4 + 1 = 11
S4 = 30
29
UNIDAD
2
Series y sucesiones
Problema resuelto
4. Escribe los 4 primeros términos de la progresión definida recursivamente, comenzando con:
a) a1 = 0 an = an - 1 + 1.5
El primer término: a1 = 0
El segundo término: a2 = a2 - 1 + 1.5 = a1 + 1.5 = 0 + 1.5 = 1.5
El tercer término: a3 = a3 - 1 + 1.5 = a2 + 1.5 = 1.5 + 1.5 = 3
El cuarto término: a4 = a4 - 1 + 1.5 = a3 + 1.5 = 3 + 1.5 = 4.5
b) a1 = 3 an = an - 1 + 3(n - 1)
El primer término: a1 = 3
El segundo término: a2 = a2 - 1 + 3(2 - 1) = a1 + 3(2 - 1) = 3 + 3 = 6
El tercer término: a3 = a3 - 1 + 3(3 - 1) = a2 + 3(2) = 6 + 6 = 12
El cuarto término: a4 = a4 - 1 + 3(4 - 1) = a3 + 3(3) = 12 + 9 = 21
c) a1 = 2 an =
n
(a1 + an - 1)
2
El primer término: a1 = 2
2
El segundo término: a2 = (2 + a2 - 1) = 1(2 + a1) = 1(2 + 2) = 4
2
El tercer término: a3 =
El cuarto término: a4 =
3
2
4
2
(2 + a3 - 1) =
3
2
(2 + a2) =
3
2
(2 + 4) =
18
2
=9
(2 + a4 - 1) = 2(2 + a3) = 2(2 + 9) = 22
2.3 Progresiones aritméticas
Las progresiones aritméticas se construyen considerando 2 números consecutivos cualesquiera, separados por una diferencia fija también conocida como diferencia común (d ), por ejemplo: el litro de
gasolina aumenta 8 centavos el segundo sábado de cada mes, con esta información puedes conocer
su precio en un mes cualesquiera, teniendo en cuenta el costo del mes anterior más el valor constante
de 8 centavos.
Considera la siguiente progresión aritmética cuyo primer término es a1 y su diferencia común es d:
a1, (a1 + d ), (a1 + 2d ), (a1 + 3d ),…
El conjunto 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57 es una progresión, si observas con atención los elementos
del conjunto, te darás cuenta de que existe una regla para conocer el elemento siguiente. Analiza
cómo aplica esta regla, si al primer elemento (29) le sumas 4 unidades, entonces el segundo elemento
(29 + 4 = 33), para conocer el tercer elemento suma al segundo 4 unidades (33 + 4 = 37) y así sucesivamente. La sucesión aritmética 50, 47, 44, 41, 38, 35, 32,…, cuya regla indica que después del primer
término, el precedente se obtiene restando 3 unidades al antecedente, por lo tanto, la diferencia
común es de 3 unidades.
an = an - 1 + d
Problemas resueltos
5. Encuentra la diferencia común en la serie aritmética:
a) 11, 21, 31, 41,…
d = 10
b) 17, 21, 25,…
d=4
c) 41, 49, 57,…,
d=8
d ) 63, 69, 75, 81,…, 111
d=6
6. Escribe los 2 siguientes términos de la serie aritmética:
a) 43, 51, 59, …
c) 34, 41, 48, …
R. 43, 51, 59, 67, 75, …R. 34, 41, 48, 55, 62, …
b) 115, 100, 85, …
d ) 534, 549, 564, …
R. 115, 100, 85, 70, 55, …R. 534, 549, 564, 579, 594, …
30
Grupo Editorial Patria©
7. Encuentra los 3 primeros y el octavo términos:
an =
a)
a1 =
a2 =
n2
2
12
1
2
2
2
22
n
b) an = 1 +
n
=
1
1
a1 = 1 +
2
2
2
a2 = 1 +
=1
2
2
=
3
2
=1
1
2
=2
1
3 5
a3 = 1 + = = 2
32
9
1
a3 =
= =1
2 2
2
8
8 23
8 10
=5
a8 = 1 + =
82
64
1
2
2
=
=
a8 =
256 4
28
Problema resuelto
8. Las compras de materia prima para un taller de camisetas en los últimos 7 meses es el siguiente:
43 680, 44 930, 46 180, 47 430, 48 680, 49 930, 51 180 pesos.
La diferencia común es:
Mes
Término
Compras ($)
Primero
a1
43 680
Segundo
a2
44 930
Tercero
a3
46 180
Cuarto
a4
47 430
Quinto
a5
48 680
Sexto
a6
49 930
Séptimo
a7
51 180
d = 44 930 - 43 680 = $1 250.
Si a1 es el primer término de una sucesión aritmética, d la diferencia común y n el total de términos.
Entonces se genera la siguiente sucesión:
a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, … , a1 + (n - 2)d, a1 + (n - 1)d
Siendo el último término de la sucesión aritmética el siguiente:
an = a1 + (n - 1)d
Problema resuelto
9. a) ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 10, 15, 20, … , 135?
a − a1
Primer paso, se encuentra la diferencia común: n = n
+1
d
d = 15 - 10 = 5
135 − 10
Segundo paso, se despeja a n de la fórmula:
n=
+1
5
an = a1 + (n - 1)d
135 − 10
Tercer paso
n=
+1
5
n=
n=
n=
n=
an − a1
d
135 − 10
5
135 − 10
5
125
5
+1
n = 25 + 1
n=
+1
5
+1
n = 25 + 1
+1
+1
125
n = 26
31
UNIDAD
2
Series y sucesiones
b) ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética -11, -7, -3, … , 33?
Primer paso, se encuentra la diferencia común:
d = -7 - (-11) = -7 + 11 = 4
Segundo paso, encontrar el total de términos:
n=
n=
n=
n=
an − a1
d
+1
33 − ( − 11)
4
33 + 11
4
44
4
+1
+1
+1
n = 11 + 1
n = 12
Alerta
La suma de una progresión aritmética se realiza sumando los términos y se simboliza con Sn , en donde
n es el número de términos de la sucesión.
Sea la sucesión a1, a2, a3, a4, … , an, n es un número entero positivo y d la diferencia común, se tiene:
La sucesión geométrica
se forma multiplicando el
término anterior por una
cantidad constante llamada
factor común.
Término
a1 2 (2)(r) = (2)(4) = 8
a2 8 (8)(r) = (8)(4) = 32
a3 32
S n = a1 + a2 + a3 + + an
S1 = a1
S 2 = a1 + d
S 3 = a1 + 2 d
S 4 = a1 + 3 d
Entonces:
Sn = a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) … (an - 2d ) + (an - d ) + an
(1)
Reacomodando los términos en orden inverso se tiene:
Sn = an + (an - d ) + (an - 2d ) … (a1 + 2d ) + (a1 + d ) + a1
(2)
Sumando las expresiones 1 y 2:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ··· + (a1 + an) + (a1 + an)
2Sn = n(a1 + an)
Despejando a Sn se obtiene:
Sn =
n
2
( a1 + an )
Problema resuelto
10. a) Encuentra la suma de los primeros 10 términos de la sucesión aritmética 13, 20, 27, …
Primer paso, encuentra la diferencia común:
d = 20 - 13 = 7
32
Grupo Editorial Patria©
Segundo paso, encuentra el décimo término:
a10 = 13 + ( 10 − 1)( 7 )
a10 = 13 + ( 9 )( 7 )
a10 = 13 + 63
a10 = 76
Tercer paso, encuentra la suma:
 10 
S10 =   ( 13 + 76 )
 2
S10 = 5 ( 89 )
S10 = 445
b) Encuentra la suma de los primeros 30 términos de la sucesión aritmética 3, 10, 17, …
Primer paso, encuentra la diferencia común:
d = 10 - 3 = 7
Segundo paso, encuentra el término 30:
a30 = 3 + ( 30 − 1)( 7 )
a30 = 3 + ( 29 )( 7 )
a30 = 3 + 203
a30 = 206
Tercer paso, encuentra la suma:
 30 
S 30 =   ( 3 + 206 )
 2
S 30 = 15 ( 209 )
S 30 = 3135
2.4 Progresiones geométricas
La sucesión geométrica se forma multiplicando el término anterior en la sucesión por una cantidad
constante llamada factor común (r).
an = an - 1(r)
Por ejemplo, la progresión 3, 6, 18, 54, 162 es geométrica, porque la regla dice que después del primer término, el siguiente se obtiene multiplicando por tres al antecedente y así sucesivamente.
Problema resuelto
11.
a)
Razón r =
1
2
Término
Razón r = 4
a1
2
a1
6
a2
2r = 2(4) = 8
a2
 1
6 r = 6  = 3
 2
a3
8r = 8(4) = 32
a3
 1 3 1
3 r = 3  = = 1
 2 2 2
a4
32r = 32(4) = 128
a4
b)
Término
3
2
3  1 3
r=  =
2 2 4
33
UNIDAD
2
Series y sucesiones
En una sucesión geométrica la razón común se encuentra dividiendo un término entre el término anterior:
an
r =
an −1
Problema resuelto
12. De las siguientes progresiones geométricas encuentra la razón.
a) 12, 48, 192,…
r =
b) 1, 3, 9, 27,…
an
an
r =
an −1
an −1
48
3
r =
r = =3
=4
12
1
Para saber cómo encontrar el n-ésimo término de una progresión geométrica es necesario analizar el
siguiente desarrollo:
Sea a1, a2, a3, … , an una sucesión geométrica, con a1 ≠ 0 y r ≠ 0:
a1 = a1
Alerta
a2 = a1 r
Todo número real al
multiplicarse por cero da
como resultado cero
a(0) = 0.
a3 = a2 r = ( a1 r ) r = a1 r 2
La división entre cero no
está permitida (a/0).
an = a1 r n −1
a4 = a3 r = ( a1 r 2 ) r = a1 r 3
Problema resuelto
13. a) Encuentra el sexto término de una progresión geométrica: 28, 84, 252,…
Primero se calcula la razón:
r =
r =
an
an −1
84
28
=3
Después se encuentra el sexto término:
an = a1r n −1
a6 = 28 ( 3 )6 −1
a6 = 28 ( 3 )5
a6 = 28 ( 243 )
a6 = 6 804
b) Encuentra el séptimo término de una progresión geométrica: 6, 24, 96,…
Primero se calcula la razón:
r =
34
24
6
=4
Grupo Editorial Patria©
Después se encuentra el séptimo término:
an = a1r n −1
a7 = 6 ( 3 )7−1
a7 = 6 ( 3 )6
a7 = 6 ( 729 )
a7 = 4 374
c) Encuentra el décimo término de una progresión geométrica:
1
16
,-
1 1
, ,...
8 4
Primero se calcula la razón:
−1
r =
16
8
=−
= −2
1
8
16
Después se encuentra el décimo término:
an = a1r n −1
a10 =
a10 =
a10 =
1
16
1
16
1
16
a10 = −
( − 2 )10 −1
( − 2 )9
( − 51 2 )
512
16
a10 = − 32
Propiedades de los logaritmos
■■
loga (p)n = n [loga (p)]
■■
loga (AB) = loga (A) + loga (B)
Para conocer el número de términos de una progresión se despeja la literal n de la siguiente expresión:
an = a1r n −1
log an = log a1 + ( n − 1) log r
log an − log a1 = ( n − 1) log r
n −1=
n =
log an − log a1
log r
log an − log a1
log r
+1
35
UNIDAD
2
Series y sucesiones
Problema resuelto
14. Encuentra el número de términos de las progresiones geométricas:
1
3
3
3
a)
b) a1 = 12 , r = , an =
a1 = 14 , r = , an =
2
4
4
8
n=
n=
n=
n=
log an − log a1
log r
+1
log 3 4 − log 14
log 1 2
+1
log 0.75 − log 14
log 0.5
log an − log a1
n=
+1
log r
log 3 8 − log 12
n=
+1
log 3 4
+1
− 0 .12493 − 1 .14612
− 0 .30102
log 0.375 − log 12
n=
+1
log 0.75
+1
− 0 .425968 − 1 .079181
n=
+1
− 0 .124938
− 1 .27105
− 1 .505149
n=
+1
n=
+1
− 0 .124938
− 0 .30102
n = 4 .22 + 1
n=5
n = 12 .05 + 1
n = 13
La serie geométrica es la suma de términos de una sucesión geométrica. Para calcular la suma de los n
primeros términos de una sucesión geométrica, es necesario deducir una fórmula.
Sea la progresión geométrica a1, a2, a3, … , an y “r” la razón de cambio.
S n = a1 + a2 + a3 + + an
S1 = a1
S 2 = a1r
S 3 = a1r 2
S 4 = a1r 3
Entonces:
S n = a1 + a1r + a1r 2 + a1r 3 + + a1r n − 2 + a1r n −1
(1)
Multiplicando por r a la ecuación (1):
rS n = a1r + a1r 2 + a1r 3 + a1r 4 + + a1r n −1 + a1r n
Realizando la diferencia de la ecuación (1) y (2):
S n − rS n = a1 − a1r n
S n ( 1 − r ) = a1 ( 1 − r n )
Despejando Sn:
Sn =
36
a1 (1 − r n )
1− r
; si r ≠ 1
(2)
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
15. a) Calcula la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica:
2, 6, 18, 54, …
Sn =
a1 (1 − r n )
1− r
S10 =
2 (1 − 310 )
1− 3
S10 =
2 (1 − 59 049)
1− 3
S10 =
− 118 096
−2
S10 = 59 048
b)La progresión geométrica tiene 6 términos, el primero es 18 y el último 3/8 y la razón es 1/2.
Calcula la suma de los 6 términos.
9
Datos: a1 = 18, a6 =
y r = 1/2.
16
Solución:
a1 (1 − r n )
Sn =
1− r
S6 =
18 1 − (1 2 )6 
1 − (1 2 )
S6 =
18 (1 − 1 64 )
1 − (1 2 )
S6 =
18 ( 63 64 )
12
S6 =
1134 64
12
S6 =
2 (1134 )
64
S6 =
2 268
64
S 6 = 35.4375
c)Calcula la suma de los primeros 12 términos, si se conocen los siguientes datos: a2 = 7/4,
a5 = 14.
Solución:
Se sabe que: a2 = a1r = 7/4 y a5 = a1r4 = 14 despejando de la primera expresión a1 y sustituyéndola en la segunda se tiene:
a1 =
7
4r
 7
a5 =   (r 4 ) = 14
 4r 
7 3
(r ) = 14
4
37
UNIDAD
2
Series y sucesiones
14 ( 4 )
r3 =
7
56
r3 =
7
=8
r = 2
d ) Encuentra la suma de los 12 primeros términos:
a1 (1 − r n )
Sn =
S12
S12
1− r
7
[1 − 212 ]
4
= r
1− 2
7
(1 − 212 )
8
=
−1
S12 =
7( − 4 095 )
−8
S12 =
28 665
8
S12 = 3 583.125
2.5 Aplicaciones
Problemas resueltos
Alerta
La inflación, el desempleo,
entre otros, son factores
que influyen para que
una moneda, de un país,
pierda su poder adquisitivo
(adquirir bienes y servicios)
al paso del tiempo.
16.
El valor de una computadora en el mes de diciembre de cada año es 70% de su valor que en el mes
de enero del mismo año. Si la computadora costó 14 000 pesos, encuentra el valor final después de
4 años.
Datos: a1 = 14 000, r = 0.70 y n = 4.
an = a1 ( r n −1 )
a4 = 14 000 ( 0.70 4 −1 )
a4 = 14 000 ( 0.70 3 )
a4 = 14 000 ( 0.343 )
a4 = $4 802
17.
Supón que el euro aumenta de precio a $0.0383 por día, hoy se cotiza en 16.7361 pesos a la venta.
¿En cuántos días alcanzará la cotización de 17.4512 pesos?
n=
an − a1
d
+1
n=
17.4512 − 16.7361
+1
0.0383
n=
0.7151
+1
0.0383
n = 18.67 + 1
n = 19.67 días
38
Grupo Editorial Patria©
18.En qué porcentaje disminuye el poder adquisitivo del peso en el transcurso de 3 años, si la inflación es de 3.5% anual.
En el primer año:
a1 = a − 0 .035 ( a )
a1 = ( 1 − 0 .035 ) a
En el segundo año:
a1 = 0 .965 pesos
a2 = ( 1 − 0 .035 ) a
a2 = ( 0 .965 )( 0 .965 ) a
a2 = 0 .9312 pesos
En el tercer año:
a3 = ( 1 − 0 .035 ) a
a3 = ( 0 .965 ) ( 0 .965 )2 a
a3 = 0 .8986 pesos
Problema resuelto
19.El corporativo K-VISTA está formado por 20 mini-autoservicios y 4 papelerías, el corporativo tiene
8 años de antigüedad, el año pasado tuvo utilidades de 20 millones de pesos y en el primer año
de 6.7 millones de pesos.
a)Calcula la tasa de incremento anual de las utilidades, partiendo de que el incremento tiene un
comportamiento geométrico.
Año
Utilidad
Primero
U1
Segundo
U2 = U1 + U1(r) = U1(1 + r)
Tercero
U3 = U1(1 + r)2
Cuarto
U4 = U1(1 + r)3
..
.
..
.
n-ésimo
Un = U1(1 + r)n - 1
Alerta
Ganancia o utilidad es el
beneficio que se obtiene de
la diferencia del precio
de compra y de venta de
un producto o servicio
(sin considerar el IVA) en
actividades comerciales.
U n = U1 ( 1 + r ) n − 1
20 = 6 .7 ( 1 + r )8 −1
20
6 .7
7
= ( 1 + r )7
2 .985074 = 1 + r
r = 1 .1690975 − 1
r = 0 .1690975
El incremento es de 16.91% anual.
Problema resuelto
20.El señor Pedro Juárez pidió prestados 15 000 pesos en el banco Axtek, acordando pagar 200 pesos
al final de cada mes y pagar 28% de interés anual, sobre el saldo no pagado. Calcular la suma del
interés no pagado.
39
UNIDAD
2
Series y sucesiones
Datos:
Tasa de interés 28% anual o 0.0233 mensual
Total de pagos mensuales =
15 000
= 75
200
Solución:
Pago
1
2
3
Saldo
15 000.00
14 800.00
14 600.00
…
200.00
Interés
349.50
344.84
340.18
…
4.66
75
S 75 =
75
(349.5 + 4.66)
2
S 75 =
26 562
2
S75 = 13 281 pesos
❚❚ Fórmulas empleadas en el capítulo
Sucesión o progresión
a1, a2, a3, … , an
Serie
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an
Sucesión aritmética
an = an - 1 + d
an = a1 + (n - 1)d
Diferencia común
d=
Número de términos en sucesión aritmética
n=
Serie aritmética
n
S n = ( a1 + a n )
2
Sucesión geométrica
an = an - 1(r)
an = a1rn - 1
Razón común
r=
Número de términos sucesión geométrica
n=
Serie geométrica
Sn =
a n − a1
n −1
a n − a1
d
an
a n −1
log a n − log a1
log r
a1 ( 1 − r n )
1− r
❚❚ Terminología
40
+1
Diferencia común
d
Número de términos
n
Razón común
Serie aritmética y geométrica
r
Sn
Término de la sucesión
an
La posición del término
n
+1
; si r ≠ 1
Grupo Editorial Patria©
❚❚ Glosario
Bien. Cualquier objeto o servicio capaz de satisfacer una necesidad.
Compra. Acción de adquirir algo a cambio de dinero. También, conjunto de bienes y servicios adquiri­
dos en el acto de compra.
Costo. Precio pagado o solicitado para la adquisición de bienes o servicios. Precio o gasto de elaboración de un producto.
Cotización. Precio al que se puede efectuar en un mercado determinado de compra o venta de un
bien, valor o divisa. También se aplica al precio al que compradores y vendedores están dispuestos a cerrar operaciones, pero que no es necesariamente el precio al que realmente se cierra.
Divisa. Término que engloba la moneda de curso legal de terceros países, medios de pago y activos
financieros denominados en moneda extranjera, e ingresos en monedas extranjeras originados
por transacciones en el exterior.
Ganancia. Beneficio, lucro o provecho que se obtiene de la relación de un trabajo o actividad. En las
actividades comerciales es el beneficio obtenido como diferencia del precio de compra de un
producto y el precio de venta.
Inflación. Elevación general del nivel de precios que normalmente es medida con el índice de precios
al consumidor.
Materias primas. Es un subgrupo del Plan General de Contabilidad que reconoce los elementos naturales, no elaborados, que se incorporan al inicio del proceso de producción para ser elaborados o
transformados en productos fabricados o terminados.
Poder adquisitivo. Volumen de bienes y servicios a los que puede acceder, por término medio, una
persona o grupo de personas dado su nivel de renta.
Razón. Es el resultado de la comparación entre dos cantidades; razón directa o inversa.
Renta. Cantidad que una persona denominada rentista tiene derecho a percibir periódicamente duran­
te un periodo limitado (renta temporal) o durante toda su vida (renta vitalicia). Utilidad, beneficio
o incremento de riqueza que una persona física o jurídica percibe en un periodo en forma de
retribuciones del trabajo o rendimientos del capital o de la tierra.
Serie. Es la suma de los términos de una sucesión.
Serie aritmética. Se forma realizando la suma de los términos de la sucesión aritmética, se simboliza
con Sn , en donde n es el número de términos de la sucesión aritmética.
Serie geométrica. Es la suma de términos de una sucesión geométrica.
Servicio. Acción o efecto de servir.
Sucesión. Es un conjunto ordenado de números reales, construidos a partir de una regla; a cada número
se le llama término de la sucesión.
Sucesión aritmética. Se forma sumando al primer término una cantidad constante conocida como
diferencia común para obtener el segundo término y así sucesivamente.
Sucesión geométrica. Se forma multiplicando el término anterior por una cantidad constante llamada
factor común.
Término. Cada una de las cantidades que componen un polinomio, razón, quebrado, entre otros.
Utilidad. Satisfacción que proporciona al usuario el empleo de un bien. En países latinoamericanos,
beneficio o ganancia.
Valor. De un número cualesquiera sin tener en cuenta su signo. Cualidad de las cosas en virtud de la
cual se da por poseerlas cierta suma de dinero o equivalente.
41
UNIDAD
2
Problemas para resolver
Series y sucesiones
2.1 a) Encuentra los primeros 3 términos de la siguiente
progresión: an = 2n + 3.
b) Escribe los primeros 3 términos y el vigésimo primero de
la progresión definida por:
an =
2.8 a) Encuentra el último término de la sucesión aritmética si: a1 = 4, n = 8 y d = 4.
b) Encuentra el último término de la sucesión aritmética si:
a1 = 7, n = 18 y d = 3.
n−2
n
2.2 a) Escribe los primeros 3 términos y el ­­­­­vigésimo primero de la progresión definida por:
an =
d ) La diferencia entre los términos décimo y vigésimo segundo en la progresión aritmética es 120, el cuarto término es -2. Encuentra los 4 primeros términos.
2n − 2
n+1
b) Escribe los primeros 3 términos de la progresión dada
por: an = 10n2 - 3n.
2.3 a)Escribe los primeros 2 términos de la progresión
dada por: an = 2 log n2.
b) Sustituye cada uno de los valores de x en las expresiones
y encuentra sus resultados:
y = 4x + 3, si x toma valores 1, 2, 3.
c) Sustituye cada uno de los valores de x en las expresiones
x −1
, si x toma valores 1, 2, 3, 4.
y encuentra sus m =
x +1
Progresiones aritméticas
2.4 Encuentra los valores que faltan en las sucesiones:
a) 5, ____, 11, 14, ____, 20, 23,…
b) 3, ____, 12, 24, ____, 96, 192,…
c) 15, 21, ____, 33, 39, 45, ____, 57, 63,…
2.5 Encuentra la diferencia común de las siguientes series
aritméticas:
a) 7, 9, 11, … d =
b) 28, 24, 20, 16, 12, … d =
c) 155, 170, 185, … d =
2.6 Encuentra la diferencia común de las siguientes series
aritméticas:
a) 10, 16, 22, 28, 34, … d =
b) 50, 45, 40, 35, 30, … d =
c) 42, 50, 58, 66, 74, … d =
2.7 a) Encuentra el décimo cuarto término de la progresión aritmética, siendo el primer término -3 y la diferencia
común es 18.
2.9 a) ¿De cuántos términos estará formada la sucesión 3,
6, 9, … , 51?
b) Se desea conocer el número de términos de la sucesión
aritmética: 19, 30, 41, … , 338, cuya diferencia común
es 11.
2.10 ¿Cuáles son los 3 primeros términos y el noveno de la
progresión aritmética, si el cuarto término es 21 y el octavo
es -3?
2.11 Encuentra la suma de los primeros 20 términos de la
sucesión aritmética: 19, 26, 33, …
2.12 Encuentra el primer término de una sucesión aritmética cuya suma de 25 términos es 3 200, si el último término
es 224.
Progresiones geométricas
2.13 a) Encuentra el noveno término de una sucesión
geométrica: 12, 48, 192,…
b) Encuentra el décimo segundo término de una sucesión
geométrica: 7, 14,…
c) Encuentra el quinto y el décimo término de la progresión
geométrica: 3, -1, …
2.14 a) Encuentra el valor del sexto término de la progresión geométrica: 9, 45, 225, …
b) Encuentra el valor del sexto término de la progresión
geométrica: 1.5, (1.5)4, …
c) Encuentra el valor del sexto término de la progresión
geométrica: 7, 21, 63, …
2.15 a) Encuentra el número de términos de la progresión
geométrica, conociendo: a1 = 12, r = 3/4, an = 3/8.
b) Encuentra el número de términos de la progresión geo­
métrica: 17, 34, 68, … , 34 816.
c) Encuentra el número de términos de la progresión geo­
métrica, conociendo: a1 = 8, an = 17 496 y r = 3.
2.16 El décimo y vigésimo términos de una progresión
geométrica son: a10 = 1/128 y a26 = 512. Encuentra los primeros 4 términos.
2.17 a) Encuentra el décimo término y la suma de los 12
primeros términos, la razón es 3 y el primer término es 7.
b) Obtén el valor de x en la progresión aritmética: -3, x,
15,…
b) Determina la suma de los 15 primeros términos de la progresión geométrica, si el tercero y el quinto son 12 y 48.
c) Encuentra el vigésimo término de la serie aritmética: -4,
16,…
c) Encuentra el décimo término y la suma de los 16 primeros términos, la razón es 3 y el primer término es 7.
42
Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
Grupo Editorial Patria©
Aplicaciones
2.18 La señora Josefina pide prestados 2 500 pesos y acepta pagar 100 pesos al final de cada mes y 12% anual de
interés sobre el saldo. Calcula la suma de todo el interés
pagado.
2.19 Un activo cuesta 20 000 pesos y la depreciación por
año se estima en 50%. ¿Cuál es el valor del activo después
de cinco años?
2.20 El bufete de abogados AK compró una aspiradora industrial que les costó 8 500 pesos, la Secretaría de Hacienda
solo les reconoce una depreciación por año de 75%, valor
al principio de cada año. Calcula el valor de la aspiradora
después de 10 años.
2.21 ¿Cuáles son los 3 primeros términos y el noveno de la
progresión aritmética si el cuarto término es 21 y el octavo
es -3?
PROBLEMAS RETO
1
Encuentra los valores que faltan en las siguientes sucesiones:
a) 5, ______, 11, 14, ______, 20, 23
b) 3, ______, 12, 24, ______, 96
2
Sustituye cada uno de los valores de x en las siguientes expresiones y encuentra sus resultados:
a) y = 4x + 3, si x toma los valores de: 1, 2, 3
b) m =
3
4
5
6
x −1
x +1
R. ______, ______, ______.
, si x toma los valores de: 1, 2, 3, 4
R ______, ______, ______, ______.
Encuentra la diferencia común de las siguientes sucesiones:
a) 4 430, 4 680, 4 930
d = ______.
b) 70, 110, 150
d = ______.
Escribe en la línea (F ) si el enunciado es falso o (V ) si es verdadero.
a) a3 representa el décimo tercer término de una sucesión.
___________ .
b) El subíndice n indica el término de una sucesión.
___________ .
c) El sexto término de la sucesión aritmética 3, 7, 11, … es 25.
___________ .
Las siguientes sucesiones son geométricas:
a) 3, 6, 12, 36, 108
Sí ___________ . No ___________ .
b) 18, 21, 25, 30
Sí ___________ . No ___________ .
Escribe los 4 primeros términos de la sucesión:
an =
n−2
n
7
Encuentra los 3 primeros términos de la sucesión: an = n(n - 4).
8
El primer término es 10 y el vigésimo primero 210, encuentra la diferencia común...
Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
43
UNIDAD
44
2
Series y sucesiones
9
¿De cuántos términos estará formada la sucesión: 3, 14, 25, … , 201?
10
Encuentra el último término de la sucesión aritmética: 10, 16, 22, … La sucesión está formada por 20 términos.
11
Se desea conocer el número de términos de la sucesión aritmética: 42, 51, 60, … , 168, cuya
diferencia común es 9.
12
Supón que la udi aumenta de precio en 0.000132 por día, el día de hoy la
3.690061. ¿En cuántos días alcanzará la cotización de 3.692569?
13
Encuentra el número de términos de la sucesión: 17, 34, 68, … , 1 088.
14
Encuentra el número de términos de la sucesión: 9, 45, 225, … , 3 515 625. … .
15
La suma de los 12 primeros términos de una sucesión geométrica es: 531 440, la razón es 3,
encuentra el primer término.
udi
se cotiza en
UNIDAD
3
Interés
simple
OBJETIVOS
Comprenderá el concepto de Interés simple y aprenderá a aplicarlo.
Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: capital, valor presente, valor descontado,
ganancia, monto, valor pagadero, tasa de interés y tipo de interés.
Resolverá problemas de:
• Interés simple
• Monto
• Capital y valor presente
• Plazo
• Tasa de interés y tipo de interés
Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: descuento simple, valor descontado,
pagaré, tasa de rendimiento.
Resolverá problemas de:
• Descuento simple
• Valor descontado
• Tasa de rendimiento
¿QUÉ SABES?
Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema
¿Qué interés simple produce un capital de $15 600.00, a pagarse dentro de 13 semanas a
una tasa de interés de 11.9% anual?
UNIDAD
3
Interés simple
Encontrar el interés exacto que se paga por un préstamo de $25 350.00 a 9.52%
en 240 días.
El dueño de la tlapalería del pueblo recibe un préstamo de $18 650.00 a dos
años. Si la tasa de interés es de 1.5% trimestral, ¿cuánto pagará dentro de
dos años?
Un banco entrega al licenciado Aldama la cantidad $1 255 000.00 por un
préstamo a un año, tres meses y quince días, con una tasa de 27%, ¿cuál es el
capital inicial del préstamo?
Una deuda de $7 545.00 se liquidó el 29 de junio de este año con un cheque
cuyo importe es de $8 800.00. Si la tasa de interés simple es de 11.75%, ¿cuánto
tiempo estuvo prestado?
Se descuenta un préstamo de $150 000.00 a un plazo de 91 días, con una tasa
de descuento de 13% anual. Calcular:
a) ¿De cuánto es el descuento al momento de recibir el préstamo?
b) ¿Qué cantidad recibe?
Una compañía decide descontar un documento el 30 de abril con valor de
$368 056.00, con una tasa de descuento de 13% anual. Si la fecha de
vencimiento es el 30 de junio de este año. ¿Cuánto dinero recibirá la compañía?
La señora Mendoza solicita un préstamo por una determinada cantidad de
dinero. El plazo es de siete meses y la tasa de descuento de 12%. Calcular la
tasa mensual de rendimiento.
El arquitecto Rodríguez recibe la cantidad de $80 500.00 por un préstamo a
pagar en ocho meses, con una tasa de descuento de 15% anual. ¿Qué cantidad
de dinero se debe solicitar prestada?
El señor Martínez firmó un pagaré el uno de diciembre del año pasado por
la cantidad de $200 000.00, con vencimiento en agosto de este año. Como el
descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar
el préstamo la cantidad de $12 245.00. ¿Cuál es la tasa de descuento?
El señor Martínez firmó un pagaré el uno de diciembre del año pasado por
la cantidad de $200 000.00, con vencimiento en agosto de este año. Como el
descuento es comercial 18%, el banco le descontó en el momento de entregar el
préstamo la cantidad de $12 245.00. ¿Cuál es la tasa de rendimiento?
3.1 Introducción
El interés simple se utiliza generalmente en el cálculo de operaciones financieras en préstamos de
dinero a corto plazo (de un año o menos).
Definición
El interés es el pago por el uso del dinero ajeno que se hace durante
un periodo determinado y se representa con la letra I.
También se conoce al interés como el rendimiento que se tiene al invertir el dinero en forma productiva, al adquirir y otorgar un préstamo, al adquirir bienes o servicios en operaciones crediticias.
Los prestamistas en la Edad Media cobraban a los particulares intereses hasta de 42%
anual, y en operaciones comerciales el interés variaba desde 12 hasta 20% anual. En la
actualidad la mayoría de los países establecen mecanismos de regulación o leyes que
prohíben la usura.
A toda cantidad de dinero prestada o invertida se le conoce como capital, siendo esta una operación
financiera que en el transcurso del tiempo se incrementa a un valor M.
46
Grupo Editorial Patria©
Se usarán los siguientes conceptos con la siguiente nomenclatura:
C = Capital, principal o valor presente de M, o valor presente de M, o la ganancia
M = Monto, o cantidad, o valor futuro de C, o valor acumulado de C, o valor pagadero de C
n = Tiempo
El interés se obtiene de restar al monto del capital el capital prestado inicialmente, entonces se utiliza
la expresión:
I=M-C
3.1
Otra forma de calcular el interés simple cuando no se conoce el valor futuro del préstamo.
I = CnT
3.2
El interés simple, en una operación financiera pactada a un año, se obtiene al multiplicar el capital por
la tasa de interés dividida entre 100 .
 T 
I = Cn 
 100 
3.3
T = tasa de interés o tipo de interés en tanto por ciento (T = 16% anual).
i = tasa de interés o tipo de interés en tanto por uno (i = 0.16 anual).
i =
T
100
3.4
Cuando se desea calcular el interés con base en una unidad monetaria.
I = Cni
3.5
La tasa de interés simple aplica desde la fecha de inicio hasta la fecha final. Esto quiere
decir que los intereses se pagan hasta el final del periodo (en la fecha final).
La tasa de interés se calcula como la razón entre el interés I y el capital C por unidad de tiempo n (debe
estar en años).
i =
I
Cn
3.6
El plazo o tiempo es el número de días, meses o años que transcurren en un intervalo dado entre la
fecha inicial y la fecha final en una operación financiera.
Cuando el tiempo está dado en días se calcula.
El interés simple exacto o real:
a) Año calendario en tiempo exacto es 365 días.
 T  n 
I = C
 100   365 
3.7
Las instituciones financieras calculan los intereses de las tarjetas de crédito y débito, con base en
el año real o exacto.
b) Año bisiesto en tiempo exacto es 366 días.
 T  n 
I = C
 100   366 
3.7a
47
UNIDAD
3
Interés simple
El interés simple ordinario:
a) Año comercial en tiempo real es 360 días.
 T  n 
I = C
 100   360 
3.7b
El año comercial está constituido por 12 meses y cada mes del año tiene 30 días, entonces el
año comercial está formado por 360 días. Con este año las instituciones financieras acostumbran
calcular los intereses.
Cuando el tiempo está en meses:
 T  n 
I = C
 100   12 
3.7c
Interés simple tomando como base en días y la tasa al tanto por uno (expresada en forma mensual).
I =
Cni
30
3.7d
El primer banco moderno se funda en 1407 en Génova, Italia. El nombre de este banco
es la “Casa de San Giorgio”.
Problema resuelto
1.
El ingeniero Juan López abrió una cuenta de inversión en el banco al depositar $20 000.00, después de un año recibe $22 348.00 por su inversión. Calcular:
a) El interés
b) La tasa de interés
c) El tipo de interés
Solución
a) El interés se obtiene sustituyendo el valor del capital y el monto en la ecuación 3.1.
Datos:Desarrollo:
C = $20 000.00 I = M - C
M = $22 348.00 I = 22 348.00 - 20 000.00
n = Un año I = $2 348.00
Incógnita I.
b) La tasa de interés
Incógnita i.
i =
2 348
I
=
= 0.1174 anual
Cn
20 000
c) El tipo de interés
Incógnita T.
48
T = (0.1174)(100)
T = 11.74% anual
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Problema resuelto
2. ¿A qué tasa de interés simple se acumularán intereses de $350.00 por $2 100.00 a seis años?
Solución
Datos:Desarrollo:
C = $2 100.00
I = $350.00 i =
n = 6 años
I
350.00
=
= 0.02777 anual
Cn
2100.00 ( 6 )
Incógnita T.T = 2.77% anual
Problema resuelto
3.
La doctora Martínez compra un automóvil y pacta pagarlo en dos años, a una tasa de interés de
13.5%. El automóvil cuesta $219 850.00. Determinar el interés simple a pagar por la doctora Martínez.
Solución
Incógnita I
Datos: Desarrollo:
C = $219 850.00 I = Cni
T = 13.5% anual I = 219 850.00(2)(0.135)
i = 0.135 anual I = $59 359.50
n = 2 años
Alerta
En ocasiones se acostumbra
expresar la tasa de interés
en porcentaje sin indicar
el periodo, en este caso
se debe entender que el
periodo es de un año o que
la tasa es anual, ejemplo:
tasa de 8%.
Problema resuelto
4. U
n banco paga 4% anual en sus cuentas de inversión inmediata, los intereses simples se abonan
trimestralmente. ¿Cuánto se recibirá de intereses por los primeros 90 días, si el depósito fue de
$7 400.00?
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $7 400.00 I = C(T/100)(n/360)
T = 4% anual I = 7 400.00(0.04)(90/360)
n = 90 días I = $74.00
Incógnita I
Problema resuelto
5.
¿Qué interés simple produce un capital de $46 400.00, a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa
de interés de 5% anual?
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $46 400.00 I = C(T/100)(n/52)
T = 5% anual I = 46 400(0.05)(13/52)
n = 13 semanas I = $580.00
Incógnita I
49
UNIDAD
3
Interés simple
Problema resuelto
6.
Prestar un capital a 4.8% simple anual es más redituable que invertirlo a 0.15% simple semanal.
Solución
Primer paso:
Datos:Desarrollo:
C = $1.00 I = C(T/100)(n)
T = 4.8% anual I = (1)(0.048)(1)
n = 1 año I = $0.048 en un año
Incógnita I
Segundo paso:
DatosDesarrollo:
C = $1.00 I = C(T/100)(n )
T = 0.15% semanal I = (1)(0.0015)(1)
n = 1 semana I = $0.0015 en una semana
Incógnita I
I = (1)(0.0015)(52) = $0.078 en un año
Lo más recomendable es invertir a 0.15% semanal.
Problema resuelto
Alerta
Las tasas de interés,
cuando se pide dinero
prestado, son altas, por
ejemplo: en créditos
hipotecarios entre 10
y 14%, en préstamos
personales entre 24 y 29%,
con tarjetas de crédito entre
40 y 70%.
7.
La licenciada Adriana recibió un préstamo personal de una institución financiera por $30 000.00 y
acuerda pagarlo en un año, a una tasa de interés de 26.5%. Determinar el interés simple a pagar
por la licenciada Adriana.
Solución
Incógnita I
DatosDesarrollo
C = $30 000.00 I = Cni
T = 26.5% anual I = 30 000.00(1)(0.265)
i = 0.265 anual I = $7 950.00
n = 1 año
Problema resuelto
8.
La tasa de interés aplicable a las personas que compran a crédito en “Puerto de Veracruz, S.A.” es
la tiie de 18.75% anual más 15.65 puntos porcentuales. Encontrar la tasa de interés aplicable.
Solución
Las instituciones financieras y comerciales calculan las tasas de interés sumando puntos porcentuales
a las tasas de referencia en la mayor parte de los casos.
Tasa de interés (T) = 18.75 + 15.65 = 34.40% anual
El interés simple se clasifica:
Interés simple
Ordinario o Comercial (Io)
el año es de 360 días
Tiempo exacto
50
Figura 3.1
Tiempo aproximado
Exacto o Real (Ie)
el año es de 365 días
Tiempo exacto
Tiempo aproximado
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❚❚ 3.1.1 Tiempo exacto
El tiempo exacto se refiere a los días que tiene cada mes del año.
Cuadro 3.1 Días de los meses del año (Tiempo real)
Mes del año
Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubre, Diciembre
Abril, Junio, Septiembre, Noviembre
Febrero
Febrero (año bisiesto)
Días
31
30
28
29
Existen dos métodos para calcular el número de días exactos:
1) Contar el día inicial para el pago de intereses y no contar el día final. Este caso se emplea en Europa.
El uno de marzo se depositan $2 000.00 en su cuenta de inversión, y el día 28 de marzo lo retira.
■■ Desde el uno de marzo genera intereses hasta el día 27 de marzo.
■■ El día 28 no genera intereses.
Día inicial
C
Día del pago final
M
1
Hoy
2
3
...
26
27
Marzo
Figura 3.2
2) No contar el día inicial para el pago de intereses y sí contar el día final. Este caso es el utilizado en
México.
El día 28 de marzo se depositan $6 500.00 en una cuenta de ahorros, y se retiran el 20 de abril.
■■ El día 28 no genera intereses.
■■ A partir del día 29 marzo hasta el 20 de abril inclusive genera intereses.
Día inicial
C
Día del pago final
M
Hoy
29
30 (Marzo)
...
18
19
20 (Abril)
Figura 3.3
❚❚ 3.1.2 Tiempo aproximado
Es el periodo en el que se considera el mes de 30 días, este caso corresponde al año comercial.
Cuadro 3.2 Días de los meses del año (Tiempo aproximado)
Mes del año
Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubre, Diciembre
Abril, Junio, Septiembre, Noviembre
Febrero
Febrero (año bisiesto)
Días
30
30
30
30
Interés real o exacto:
Ie =
Cni
365
3.8
Io =
Cni
360
3.9
Interés comercial u ordinario:
51
UNIDAD
3
Interés simple
Relación del Interés Comercial u Ordinario (Io) y el Interés Real o Exacto (Ie).
El interés exacto es menor que el interés ordinario
Ie = 0.9863 Io
3.10
El interés ordinario es mayor que el interés exacto
Io = 1.0139 Ie
3.11
De las ecuaciones 3.10 y 3.11 se observa que el interés ordinario siempre es mayor que el interés
exacto (Io > Ie).
Ie
= 0.9863
Io
3.12
Problema resuelto
9. ¿Qué interés produce un capital de $10 600.00 a 6% durante el mes de marzo?
Solución
a) Interés simple, comercial y tiempo exacto.
Año comercial 360 días
Tiempo exacto, el mes tiene 31 días.
Io = 10 600(0.06)(31/360) = $54.76
b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado.
Año comercial 360 días
Tiempo aproximado, el mes tiene 30 días.
Io = 10 600(0.06)(30/360) = $53.00
c) Interés simple, real y tiempo exacto.
Año real 365 días
Tiempo exacto, el mes tiene 31 días.
Ie = 10 600(0.06)(31/365) = $54.02
d ) Interés simple, real y tiempo aproximado.
Año real 365 días
Tiempo aproximado, el mes tiene 30 días.
Ie = 10 600(0.06)(30/365) = $52.27
Problema resuelto
10.
Una persona invierte $20 000.00 desde el 17 de mayo de 2013 hasta el 9 de abril de 2014, a 8.5%
de interés simple. ¿Cuál es el interés ganado?
Solución:
a) Interés simple, comercial y tiempo exacto.
Año comercial 360 días
Tiempo exacto es 325 días.
Io = 20 000(0.085)(325/360) = $1 534.72
b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado.
Año comercial 360 días
Tiempo aproximado es 320 días.
Io = 20 000(0.085)(320/360) = $1 511.11
52
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c) Interés simple, real y tiempo exacto.
Año real 365 días
Tiempo exacto es 325 días.
Ie = 20 000(0.085)(325/365) = $1 513.69
d ) Interés simple, real y tiempo aproximado.
Año real 365 días
Tiempo aproximado es 320 días.
Ie = 20 000.00(0.085)(320/365) = $1 490.41
Problema resuelto
11. Calcular el interés exacto que se paga por un préstamo de $35 042.00 al 24.32% durante 154 días.
Solución
DatosDesarrollo
C = $35 042.00 Ie = Cn(i/365)
T = 24.32% Ie = 35 042.00(0.2432)(154/365)
n = 154 días Ie = $3 595.67
Incógnita Ie
Alerta
Si el tiempo de un préstamo
está dado en días, se
necesita convertir la tasa
de interés simple anual a
una tasa de interés por día.
3.2 Cálculo del monto
El monto o valor futuro del capital se obtiene de la suma del capital más el interés simple ganado. El
monto se simboliza por la letra M.
C
Tasa de interés anual (T )
Hoy
M=C+1
un año
Figura 3.4 Diagrama valor-tiempo para determinar el valor del monto al final del plazo.
M=C+I
3.13
M = C (1 + ni )
3.14
Problema resuelto
12. Calcular el monto de un préstamo de $4 150.00 a 26% de interés simple, durante dos años.
Solución
DatosDesarrollo
C = $4 150.00
T = 26% anual
i = 0.26
n = 2 años
Incógnita M
M = C(1 + ni )
M = 4 150.00[1 + (0.26)(2)]
M = 4 150.00(1.52)
M = $6 308
Alerta
Forma de agrupar los meses
del año:
Bimestre = 2 meses
Trimestre = 3 meses
Cuatrimestre = 4 meses
Semestre = 6 meses
Un año = 12 meses
Problema resuelto
13. E
l profesor Álvaro Fernández Aguilera consigue un préstamo de $18 000.00 a dos años, para comprar una computadora, la tasa de interés simple es de 4% bimestral. ¿Cuánto pagará dentro de 12
bimestres?
53
UNIDAD
3
Interés simple
Solución
Datos:Desarrollo:
C = $18 000.00 M = C(1 + ni )
T = 4% bimestral M = 18 000.00[1 + (0.04)(12)]
t = 0.04 bimestral M = 18 000.00[1 + (0.48)]
n = 12 bimestres M = 18 000.00[1.48]
Incógnita M
M = $26 640.00
Problema resuelto
14.
Armando Morales depositó en su cuenta de ahorros $33 000.00 el día 6 de marzo y el día 25 de
marzo lo retira, la tasa de interés simple es de 3.7% anual. Calcular el monto, considerando que el
año es bisiesto.
Solución
Datos:Incógnitas:
C = $33 000.00 n
T = 3.7% anual M
Alerta
1. Los días transcurridos n = 25 - 6 = 19 días
2. MontoDesarrollo
La abreviatura A.C.;
significa: Anual con
capitalización.
M = 33 000.00 1 +


Ejemplo:
M = $33 063.39
T = 10% A.C. mensual.

 0.037 
 366  (19 ) 

Problema resuelto
15.
Calcular el monto de un préstamo de $7 300.00 a una tasa de interés simple de 26% anual, con un
plazo del 3 de septiembre al 28 de diciembre del mismo año bisiesto.
Solución
Datos:Incógnitas:
C = $7 300.00
n
T = 26% anual
M
a) Los días transcurridos
Cuadro 3.3
Mes
Días
Septiembre
30 - 3 = 27
Octubre
31
Noviembre
30
Diciembre
28
Total
116
b) MontoDesarrollo
0.26 


M = 7 300.00 1 + 
 (116 ) 
  366 

M = $7 901.55
54
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
16.
Calcular el monto de un préstamo que solicitó Gabriel García de $35 000.00 a 26% de interés
simple, durante tres años, al banco IVURSA.
Solución
Datos:Desarrollo:
C = $35 000.00 M = C(1 + ni )
T = 26% anual
` M = 35 000[1 + (0.26)(3)]
i = 0.26 M = 35 000[1.78]
n = 3 años M = $62 300.00
Problema resuelto
17.
¿Qué monto hay que pagar al Monte Pio por el empeño de una pulsera de oro de 24 quilates, la
cantidad recibida por el préstamo es de $18 000.00 a 12% anual, y después de 1 año y 6 meses,
recupera la pulsera?
Solución
Datos:Desarrollo:
C = $18 000.00 M = C(1 + ni )
n = 18 meses
T = 12% anual
  0.12 

M = 18 000.00 1 + 
 (18 ) 
  12 

Incógnita M
M = 18 000.00[1 + (0.01)(18)]
M = $21 240.00
3.3 Valor presente o actual
Se entiende por valor presente al valor del dinero en cualquier fecha que nos convenga y se simboliza
con VP. La fecha de conveniencia puede ser el día de hoy o dentro de una semana o dentro de dos
meses, en un semestre, entre otros.
El valor presente de un valor futuro (M) es la cantidad de dinero invertida el día de hoy a una determinada tasa de interés.
Para entender estos conceptos supongamos que el día de hoy nos dan un peso, el valor de este peso
recibido el día de hoy no tiene el mismo valor que dentro de un año. ¿Por qué razón no tiene el mismo
valor? La respuesta es debido a la inflación y esta tiene repercusiones en la economía de las personas y
de los países. El dinero por si solo tiene un poder de compra, si el día de hoy se tiene un peso y existe
la inflación, el peso perderá poder de compra en una fecha futura, otra forma de explicarlo es si el peso
que recibimos en una fecha futura vale menos que un peso recibido el día de hoy. Ahora analicemos el
caso en que un peso es invertido durante un periodo. Si invertimos un peso el día de hoy en una institución financiera, ¿cuál será el valor del dinero dentro de un año? Para poder contestar correctamente
es necesario plantear tres posibles resultados:
1.Si la inflación es mayor que la tasa de interés bancaria entonces: el peso vale menos en una fecha
futura (pierde poder de compra).
2.Cuando la inflación es menor que la tasa de interés bancaria entonces: el peso vale más en una
fecha futura (gana poder de compra).
3.La cuenta de inversión es contratada en udis peso más tasa de interés más inflación, entonces el
peso invertido no debe perder su valor al transcurso del tiempo, porque estas cuentas de inversión
están pensadas para que el peso aumente siempre su poder adquisitivo, en otras palabras el peso
nunca vale menos en el transcurso del tiempo.
Alerta
No siempre coincide el valor
presente con el capital
originalmente prestado, por
la fecha de conveniencia.
55
UNIDAD
3
Interés simple
Problema resuelto
18.El señor Alfonso Godínez es el dueño de una tienda y solicita un préstamo a una institución de
crédito. El día de hoy recibe $38 000.00 a pagarse dentro de 10 meses con una tasa de interés
simple de 8% anual. ¿Cuál es el valor futuro (M) del préstamo?
Solución
M = 38 000.00[1 + (0.08/12)(10)] = $40 533.30.
Para interpretar el resultado anterior y el concepto de valor presente se plantean tres casos:
1. El día de hoy, los $38 000.00 son equivalentes a $40 533.30 dentro de un año, por haber sido
invertidos a una tasa de interés simple de 8% anual.
2. El señor Godínez deberá de pagar $40 533.30, que son el monto o valor futuro de $38 000.00 del
préstamo.
3. Los $38 000.00 del préstamo son el valor presente o actual de los $40 533.30 a pagar por el señor
Godínez en un futuro.
Para calcular el valor presente, se requiere despejar a C de la ecuación 3.14, obteniéndose:
C =
M
1 + ni
3.15
o también
C = M(1 + ni )-1
3.16
Problema resuelto
19. Encontrar el valor presente de $38 000.00, pagaderos a 10 meses, con tasa de interés simple de 8%.
Solución
Datos:
VP = ?
M = $38 000.00
M = 38 000.00
T = 8%
Hoy
T = 8% anual
10 meses
n = 10 meses
VP = 38 000.00[1 + (0.08)(10/12)]
Incógnita VP
VP = $35 625.00
-1
Problema resuelto
20.
¿Cuánto debe invertir la contadora Axel de la Rosa el día de hoy, si la tasa de interés es de 1.23%
trimestral, para disponer de $500 000.00 dentro de cuatro años?
Solución
Datos:
Desarrollo:
M = $500 000.00 C = 500 000.00[1+ (16)(0.0123)]-1
T = 1.23% trimestral C = 500 000.00(0.78125)
n = 16 trimestres C = $417 780.75
Incógnita C
C=?
Hoy
56
T = 1.23%
M = 500 000.00
4 años
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
21.
¿Cuánto debe invertir la señora Andrea Porto el día de hoy, a una tasa de 0.8% simple bimestral
para disponer de $23 500.00 dentro de cuatro años?
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $23 500 C = 23 500.00[1+ (24)(0.08)]-1
T = 0.8% bimestral C = 23 500.00[2.92]-1
n = 24 bimestres C = $8 047.94
Problema resuelto
22.
El Dr. Vicente Ramírez pagó $1 850 400.00, por un préstamo bancario a un año, seis meses y quince días, a una tasa de 15% por la compra de un camión de transporte de personal. Encontrar el
capital inicial del préstamo.
Solución
Datos:Desarrollo:
( 0.15 )( 555 ) 

M = $1 850 400.00 C = 1 850 400.00 1 +

360

−1
T = 15% anual C = 1 850 400.00[1.23125]-1
n = 360 + 180 + 15 C = 1 850 400.00(0.81218)
n = 555 días C = $1 502 862.94
3.4 Cálculo del tiempo o plazo
Despejando n de 3.14 obtenemos:
M
−1
C
n=
i
3.17
O bien
n=
M−C
Ci
3.18
Problema resuelto
23.
El día de hoy depositamos $7 800.00 en una cuenta de inversión. ¿En cuánto tiempo se acumularían $9 500.00 a una tasa de interés de 11.2%?
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $7 800.00
9 500.00
M
−1
−1
7 800.00
1.2179 − 1
C
=
=
= 1.946 años
n=
i
0.112
0.112
M = $9 500.00
T = 11.2% anual
Incógnita n
Cálculo de los meses y días
Años = 1
Meses = 1.946 - 1 = 0.946
Meses = (0.946)(12)
57
UNIDAD
3
Interés simple
Meses = 11.352
Días = 11.352 - 11
Días = (0.352)(30)
Días = 10.55
Como la tasa está dada en forma anual, el periodo también es anual, entonces el resultado está expresado en años.
n = 1 año 11 meses 10 días
Problema resuelto
24.¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $25 000.00, si el capital invertido es de $18 700.00 a
una tasa de 4.5% anual?
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $18 700.00
T = 4.5% anual
25 000.00
M
−1
−1
18 700.00
1.336898 − 1
C
=
=
= 7.48663 años
n=
i
0.045
0.045
n = 7 años 5 meses 25 días
M = $25 000.00
Problema resuelto
25.¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $7 550.00, si el capital invertido es de $4 800.00 a una
tasa de 3.5% anual?
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $4 800.00
T = 3.5% anual
7550
M
−1
−1
4
800
1.57292 − 1
C
=
=
= 16.369 años
n=
i
0.035
0.035
Incógnita n
n = 16 años 4 meses 13 días
M = $7 550.00
Problema resuelto
26. U
na deuda de $18 000.00 se liquidó el 19 de noviembre con un cheque cuyo importe es de
$20 500.00, y la tasa de interés aplicada de 23.75%. ¿Cuánto tiempo estuvo prestado el dinero?
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $18 000.00
T = 23.75% anual
2 0 500.00
M
−1
−1
18 000.00
1.13888 − 1
C
=
=
= 0.5848 años
n=
i
0.2375
0.2375
Incógnita n
n = 7 meses 1 día
M = $20 500.00
Problema resuelto
27. ¿ Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital se triplique si la tasa de interés es de 10.5%
anual?
58
Grupo Editorial Patria©
Solución
Como el capital inicial es C, entonces el monto al final del plazo es el doble de C (M = 3C).
M = C(1 + ni )
3C = C(1 + ni )
3C
= 1 + ni
C
3 = 1 + ni
3 - 1 = ni
2
=n
i
n=
2
= 19 años
0.105
3.5 Descuento simple
Cuando se obtiene un préstamo por una cantidad C, se extiende un pagaré que es una promesa de
pago, el cual ampara una cantidad de dinero con o sin interés, en una fecha determinada por el deudor
y el acreedor o dueño del documento, este documento se suscribe a favor del acreedor.
El descuento a los documentos se puede realizar de dos maneras: el llamado descuento comercial o
bancario y el descuento real o justo.
El descuento comercial o bancario o simplemente descuento, consiste en cobrar el interés en el momento en que se realiza el préstamo; en otras palabras, se cobran los intereses por anticipado y no
hasta la fecha de vencimiento. Este se calcula considerando el valor final del documento (valor futuro
del capital).
Descuento (D )
Es la cantidad descontada, en un periodo (n), con una tasa de descuento simple (d ) de
una cantidad de dinero solicitado. El monto o valor final del documento, es la cantidad
solicitada en el préstamo, pero esta nunca se recibe.
D = Mnd
3.19
Problema resuelto
28.
¿Cuál es el descuento que se hace a un préstamo de $4 800.00, a un plazo de siete meses, con una
tasa de descuento simple de 12% anual?
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $4 800.00 D = Mnd = 4 800.00(7)(0.12/12) = $336.00
n = 7 meses
d = 12% anual
d = 0.12/12 = 0.01
Incógnita D
Problema resuelto
29.
¿Cuál es el descuento que hace Bansureste a un préstamo de $29 500.00, a un plazo de 18 meses,
con una tasa de descuento simple de 24% anual?
59
UNIDAD
3
Interés simple
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $29 000.00 D = Mnd = 29 500.00(18)(0.24/12) = $10 620.00
n = 18 meses
d = 24% anual
d = 0.02 mensual
Incógnita D
Problema resuelto
30.
Un banco cobra 24% de interés por adelantado al señor Cabrera, por un préstamo a corto plazo
de $5 500.00, del 3 de mayo al 15 de octubre del presente año. Calcular el descuento que aplica
el banco al señor Cabrera.
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $5 500.00 D = Mnd = 5 500.00(165)(0.24/360) = $605.00
n = 165 días
T = 24% anual (es 24% de descuento bancario)
Incógnita D
Problema resuelto
31.
Calcular el valor presente de $3 000.00 a 12% de interés simple a un plazo de 6 meses. ¿Cuál es el
descuento que realizó Bansureste por el préstamo?
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $3 000.00 VP = M(1 + ni )-1 = 3 000[1 + (6)(0.01)]-1 = $2 830.19
n = 6 meses D = M - VP = 3 000 - 2 830.19 = $169.81
T = 12% anual
i = 0.01 mensual
Incógnitas VP y D
3.6 Valor descontado o ganancia
Cantidad de dinero que recibe el solicitante del préstamo, después de haber descontado anticipadamente los intereses del monto, también se le conoce como valor efectivo o líquido o actual, y se
calcula como:
C=M-D
3.20
C = M(1 - nd )
3.21
Problema resuelto
32.
El profesor Juan López solicita un préstamo a la caja de ahorro de su trabajo de $30 000.00 a un
plazo de diez meses, con una tasa de descuento de 1% mensual.
a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo?
b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el profesor Gómez?
60
Grupo Editorial Patria©
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $30 000.00 D = Mnd = 30 000.00(10)(0.01) = $3 000
n = 10 meses
d = 1% mensual
Incógnitas D y C
La cantidad que recibe el profesor López es de:
C = M - D = 30 000 - 3 000 = $27 000
El profesor López recibe $27 000.00, en lugar de los $30 000.00 solicitados, pero dentro de nueve meses debe pagar $30 000.00, porque la caja de ahorro le aplicó el descuento comercial.
Problema resuelto
33.
La Compañía Electrolux, S.A., solicita $6 800 000.00 de préstamo a Banorte, a tres años, con una
tasa de descuento de 18% anual.
a) Calcular el descuento.
b) ¿Qué cantidad recibe en realidad la Compañía Electrolux, S.A., por el préstamo?
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $6 800 000.00 D = Mnd = 6 800 000.00(3)(0.18) = $3 672 000
d = 18% anual
n = 3 años
Incógnitas D y C
La cantidad recibida por la Compañía Electrolux, S.A., es de:
C = M - D = 6 800 000 - 3 672 000 = $3 128 000
Problema resuelto
34. U
n banco cobra 24% de interés por adelantado al señor Cabrera, por un préstamo a corto plazo
de $5 500.00, del 3 de mayo al 15 de octubre del presente año. Calcular la suma que recibe del
banco el señor Cabrera.
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $5 500.00 D = Mnd = 5 500.00(165)(0.24/360) = $605.00
n = 165 días C = M(1 - nd ) = 5 500[1 - (0.24)(165/360)] = $4 895
T = 24 % anual (es 24% de descuento bancario)
Incógnita D
Problema resuelto
35.
Banejército cobra 6% de descuento bancario en préstamos a largo plazo. Juan Luis Trejo necesita
$60 000.00, para pagarlos con intereses en cinco años. ¿Qué cantidad debe solicitar en préstamo
y cuánto paga de interés?
61
UNIDAD
3
Interés simple
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $60 000.00 M = C(1 - nd )-1 = 60 000[1 - (0.06)(5)]-1 = $85 714.28
n = 5 años I = M - C = 85 714.28 - 60 000 = $25 714.28
T = 6% anual
Incógnitas C e I
3.7 Tasa de rendimiento
En el descuento comercial, el prestamista dispone de inmediato del dinero generado por los intereses
(al cobrarlos por adelantados). El deudor, al pagar por adelantado los intereses del préstamo, en realidad está pagando una mayor cantidad de intereses, que la estipulada (o pactada); a esta tasa se le
conoce como tasa de rendimiento (R ).
Despejando M de la ecuación 3.20 y sustituyendo el valor de D (ecuación 3.18) por el de I tenemos:
M=C+D
3.22
M = C + Cni
3.23
La tasa de descuento (d ) y una tasa de interés (i ) son equivalentes, si producen el mismo valor presente
(c) para una cantidad (M) si dan como resultado la misma cantidad al pagarse en n años.
Al despejar i de la ecuación 3.23 se tiene:
i =
M−C
Cn
3.24
Como i = R, entonces:
M−C
3.25
Cn
Otra forma de calcular es considerar que la tasa de descuento (d ) y la tasa de interés (i ) son equivalentes, se igualan las ecuaciones:
R =
M(1 - nd ) = M(1 - nR )-1
R =
d
1 − nd
3.26
Problema resuelto
36.
El Banco de Centroamérica aplica un descuento de $64 120.00 a la tienda de ropa CITA, por un
préstamo a ocho meses con una tasa de descuento de 25% anual, por la compra de lencería en su
tienda. ¿Cuál es la tasa de rendimiento?
Solución
a) Calculamos el monto
Datos:Desarrollo:
d = 25% anual
M =
D = $64 120.00
n = 8 meses
64120
64120
D
=
=
= $384 720
dn
0.1666
0.25 ( 8 12)
b) Calculamos el valor descontado
C = M - D = 384 720 - 64 120 = $320 600
c) Se calcula el valor de la tasa de rendimiento
62
38 4720 − 320 600
64120
M−C
=
=
= 0.025
Cn
320 600 ( 8 )
2 564 800
R =
R = 2.5% mensual
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
37.
Calcular la tasa de rendimiento, si el valor descontado a los 13 meses es de $32 598.00, y el monto
de $35 000.00.
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $35 000.00
C = $32 598.00
R =
35 000 − 32 598
2 402
M−C
=
=
= 0.0057
Cn
32 598 (13 )
423 774
n = 13 meses R = 0.57% mensual
Incógnita R
R = 6.8% anual
Problema resuelto
38. E
l señor Jaime Moreno López solicita un préstamo por una determinada cantidad. El plazo es de
seis meses y la tasa de descuento de 22%. Calcular la tasa mensual de rendimiento.
Solución
Datos:Desarrollo:
d = 22%
n = 6 meses
R =
0.22 12
d
0.018333
=
=
= 0.020599
1 − nd
1 − ( 0.22 12 )( 6 )
0.89
Incógnita R
R = 2.0599% mensual
R = 24.72% anual
Problema resuelto
39.
El banco IXE cobra 18% de descuento bancario en préstamos a corto plazo. ¿Qué interés simple
le cobra el banco IXE a la señora Berenice Arámbula, por un préstamo de $4 000.00 a un plazo de
nueve meses?
Solución
Datos:Desarrollo:
d = 18%
n = 9 meses
R =
0.18 12
d
0.015
=
=
= 0.01734
1 − nd
1 − ( 0.18 12 )( 9 ) 0.865
Incógnita R
R = 1.73% mensual
R = 20.81% anual
3.8 Valor de vencimiento
Cuando se desea liquidar un préstamo, es necesario sumar al capital el interés generado en el periodo,
obteniendo la cantidad total a pagar o valor de vencimiento (M = C + I).
■■ Si el pagaré no genera intereses, el valor al vencimiento es el mismo que el valor nominal.
■■ Cuando el pagaré genera intereses, el valor de vencimiento es el valor nominal más el interés.
VALOR DE VENCIMIENTO = VALOR NOMINAL + INTERESES
M=C+I
63
UNIDAD
3
Interés simple
Problema resuelto
40.
El señor José Soto descontó en el banco un pagaré, por el cual recibió la cantidad de $18 679.00,
a una tasa de descuento de 22% anual, siendo el vencimiento del pagaré nueve meses después
de su descuento. ¿Cuál sería el valor del documento en la fecha de su vencimiento?
Solución
Datos:
a) Calculamos el descuento
C = $18 679.00
Desarrollo:
D =
n = 9 meses
(18 679.00) (9)(0.01833)
Cnd
=
= $3 690.26
1 − dn
1 − ( 9 )( 0.01833)
d = 22% anual
d = 0.22/12 = 0.01833
b) Calcular el valor del monto
M = C + D = 18 679.00 + 3 690.38 = $22 369.26
Problema resuelto
41.
Encontrar el valor de un pagaré, si seis meses antes de su vencimiento se descontó en un banco y
se recibió por este la cantidad de $19 540.00, a una tasa de descuento de 18% anual.
Solución
Datos:
C = $19 540.00
n = 6 meses
Desarrollo:
M =
19 540
19 540
C
=
=
= $21472.53
1 − nd
1 − ( 6 ) ( 0.015 )
0.91
d = 18% anual
d = 0.015 mensual
Problema resuelto
42.
La señora Lucía Vega solicita un préstamo a un banco, este le entrega la cantidad de $10 000.00,
para pagar en 13 meses, a una tasa de descuento de 22% anual. ¿Qué cantidad debe solicitar
como préstamo?
Solución
Datos:
C = $10 000.00
n = 13 meses
Desarrollo:
M =
10 000
10 000
C
=
=
= $13 129.10
1 − nd
1 − (13 ) ( 0.01833 )
0.76166
d = 22% anual
d = 0.01833 mensual
3.9 Tasa de descuento
Las ganancias de capital se obtienen al comprar un pagaré a un valor menor y cobrarlo a futuro con su
valor nominal, este tipo de operaciones es muy frecuente en valores que se venden con descuento.
Entonces la diferencia que existe entre el precio de venta y el precio de cobro es la ganancia de capital.
En los pagarés que se venden a un precio inferior al que tienen a su vencimiento, el precio de venta se
determina calculando la tasa de descuento.
64
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
43. E
l dueño de la chicharronera Santa Rosa vendió al Banco del Pacífico un pagaré a cuatro meses
antes de su vencimiento, con valor nominal de $23 555.00 y recibió del banco la cantidad de
$20 165.00. Encontrar la tasa de descuento.
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $20 165.00
D = M - C = 23 555.00 - 20 165.00 = $3 390.00
M = $23 555.000
n = 4 meses
d =
3 390.00
3 390.00
D
=
=
= 0.03598
Mn
( 23 555.00 ) ( 4 )
94 220.00
Incógnita d
d = 3.598% mensual
d = 43.18% anual
Problema resuelto
44.
El señor Luis Vega firmó un pagaré el uno de enero por la cantidad de $180 000.00, con vencimiento en agosto del mismo año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el
momento de entregar el préstamo la cantidad de $11 240.50. ¿Cuál es la tasa de descuento?
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $180 000.00
D = $11 240.50
d =
11240.50
D
=
= 0.0078
Mn
(180 000.00 ) ( 8 )
n = 8 meses d = 0.78% meses
Incógnita dd = 9.36% anual
Problema resuelto
45.
El dueño del restaurante Toitto vendió un pagaré tres meses antes de su vencimiento, con valor
nominal de $18 355.00 y recibió la cantidad de $16 835.00. Encontrar la tasa de descuento.
Solución
Datos:Desarrollo:
C = $16 835.00 D = M - C = 18 355.00 - 16 835.00 = $1 520.00
M = $18 355.00
n = 3 meses
d =
1520.00
1520.00
D
=
=
= 0.0276
Mn
(18 355.00 ) ( 3 ) 55 065.00
Incógnita dd = 2.76% mensual
d = 33.12% anual
3.10 Relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento
El descuento es:
D = Mnd
3.19
C=M-D
3.20
El valor descontado:
Sustituyendo D de 3.19 en la ecuación 3.20 obtenemos
C = M - Mnd
3.20a
65
UNIDAD
3
Interés simple
La tasa de rendimiento es:
R =
M−C
Cn
3.25
Sustituyendo la ecuación 3.20a en la ecuación 3.25:
R =
M − (M − Mdn )
( M − Mdn )( n )
R =
d
1 − dn
3.26
Se obtiene que d y n estén expresadas en la misma unidad de tiempo, por lo que R solamente depende de la tasa de descuento y del tiempo que dura el préstamo.
Problema resuelto
46. E
ncontrar la tasa de rendimiento de un préstamo a la distribuidora de agua Cristal, a pagar en
nueve meses, con una tasa de descuento de 20% anual.
Solución
Datos:Desarrollo:
d = 20% anual
d = 0.20/12 = 0.0166 mensual
R =
d
( 0.01666 )
=
= 0.0196
1 − dn 1 − ( 0.01666 )( 9 )
n = 9 meses R = 1.96% mensual
R = 23.52% anual
Problema resuelto
47.
El banco Alajuela descuenta un pagaré de $78 000.00, con vencimiento en 11 meses y una tasa de
descuento de 22%. ¿Qué tasa de rendimiento obtiene en realidad el banco?
Solución
Datos:Desarrollo:
d = 22% anual
d = 0.22/12= 0.01833 mensual
n = 11 meses
R =
( 0.22 12 )
d
=
1 − dn 1 − ( 0.22 12 )(11)
R =
( 0.01833 )
= 0.02296
1 − ( 0.01833 )(11)
R = 2.296% mensual
R = 27.55% anual
Problema resuelto
48.
El banco IXE-MEX ofrece $986 420.00 por una deuda de $1 000 000.00 a plazo de 91 días.
1) ¿Qué rendimiento tendrá el banco IXE-MEX:
a) con base en el descuento bancario
b) con base en el interés simple?
2)El banco IXE-MEX vendió la deuda a Nacional Financiera a 45 días y recibió $989 978.00,
calcular:
c) ¿Cuál es la tasa de interés que ganó el banco?
d )¿Cuál es el rendimiento que tendrá el nuevo comprador con base en el descuento, hasta el
final de la deuda?
66
Grupo Editorial Patria©
Solución
Datos:
M = $1 000 000.00
C = $986 420
n = 91 días
a) D = M - C = 1 000 000 - 986 420 = $13 580
d =
13 580
13 580
D
=
=
= 0.05372
Mn 1000 000 ( 91 360 )
252 777.77
d = 5.372%
b) i =
13 580
13 580
I
=
=
= 0.05446
Cn
986 420 ( 91 360 )
249 345.06
d = 5.446%
c) I = M - C = 989 978 - 986 420 = $3 558
r =
3 558
3 558
I
=
=
= 0.02886
Cn
986 420 ( 45 360 ) 123 302.5
r = 2.886%
d) d =
3 558
3 558
I
=
=
= 0.01408
Mn 1000 000 ( 91 360 ) 252 777.78
d = 1.408%
3.11 Plazo
Es común ofrecer un descuento a un pagaré en una fecha anterior a la de vencimiento. Cuando se
decide vender el pagaré a una tercera persona se fija la cantidad deseada y se establece la tasa de
descuento, entonces la pregunta que se debe hacer es: ¿en qué fecha se debe vender el documento?
d =
D
Mn
3.27
n=
D
Md
3.28
despejando n se obtiene la ecuación de plazo:
Problema resuelto
49.
La distribuidora de agua Alpina descuenta un pagaré, por el cual recibe $48 545.00, a una tasa de
descuento de 24% anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré, si este tiene valor
nominal de $90 000.00?
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $90 000.00 D = M - C = 90 000.00 - 48 545 = $41 455
C = $48 545.00
d = 24% anual
n=
41455.00
D
=
= 0.191898
Md
90 000.00 ( 0.24 )
Plazo = 2 meses 9 días
67
UNIDAD
3
Interés simple
Problema resuelto
50.
Encontrar la fecha en que fue descontado un pagaré de $18 500.00 con vencimiento el 12 de
julio del presente año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de
entregar el préstamo la cantidad de $4 350.00, con una tasa de descuento de 29% anual.
Solución
Datos:Desarrollo:
M = $18 500.00
D = $4 350.00
n=
4 350
D
=
= 0.8108
Md
18 500 ( 0.29 )
d = 29% anual n = (0.8108)(360)
n = 291.89 días = 292 días
n = 9 meses 22 días
n = 27 de septiembre del año pasado
3.12 Pagaré
El pagaré o documento, es un compromiso por escrito para el pago de una determinada cantidad de
dinero (la cual puede o no incluir intereses) por parte del deudor en una fecha de vencimiento determinada por el acreedor.
■■ El deudor u otorgante es la persona que hace la promesa de pagar.
■■ El acreedor o beneficiario o tenedor es la persona que cobra el pagaré.
Elementos que intervienen en un pagaré:
1. Valor nominal. Es la cantidad estipulada en el pagaré. Siempre se presenta con números y palabras en el documento. Existen tres casos para indicar el valor nominal:
a)Cuando en el pagaré se estipula que el capital causará intereses a una tasa dada, entonces el
valor nominal es el obtenido en el préstamo.
b)En caso de que en el pagaré tenga una tasa de interés cero (0%), su valor nominal es el mismo
del préstamo, y corresponderá a la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento.
c)Si en el pagaré se indica que el valor nominal incluye intereses a una tasa dada, entonces el
valor nominal será el monto a pagar en la fecha de vencimiento.
2. Fecha. Es aquella fecha en la que se extiende y firma el pagaré.
3. Fecha de vencimiento. Es la fecha en que se pagará o liquidará el pagaré.
4. Plazo. Es el tiempo que transcurre entre la fecha de expedición y la fecha de vencimiento del
pagaré.
5. Tasa. Es el porcentaje sobre el que se calcula el interés.
6. Valor de vencimiento o final. Es la suma de dinero que se debe de pagar (M ) en la fecha de vencimiento. Pueden presentarse los siguientes casos:
a)Es el valor nominal más los intereses (estos deben estar especificados en el pagaré).
Valor inicial
(Nominal)
C
0
Figura 3.5
68
T%
Valor de
vencimiento
M=C+I
n
Grupo Editorial Patria©
b)Cuando no se especifique ninguna tasa de interés, el valor nominal es igual al valor de vencimiento, ya que el pagaré no produce intereses (esto no es muy usual).
Valor inicial
(Nominal)
C
Valor de
vencimiento
M=C
T = 0%
0
n
Figura 3.6
c)En algunos casos al capital se le suman los intereses, dando la impresión de que el préstamo
original carecería de estos. La tasa de interés no se especifica en el pagaré.
Valor inicial
C1 = C + I
Valor de vencimiento
(Nominal)
M = C1
0
n
Figura 3.7
Problema resuelto
51.
Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré a la “Compañía Sombeamex,
S. A.”, el 6 de mayo de 2013 en un banco que ofrece una tasa de descuento de
15%.
Solución
1. Identificar los siguientes puntos del pagaré
• E
n el pagaré, el señor Javier Barrera Daz es el deudor y la compañía
“Sumbeamex, S. A,” es el acreedor o beneficiario.
• El valor nominal del documento es por $1 200 000.00.
• E
l diez de marzo de 2013 es la fecha en que fue expedido el documento,
y el 18 de octubre de 2013 es la fecha de ven­cimiento, el plazo es de
222 días.
2. Calcular el valor de vencimiento del pagaré
Documento 1 de 1.
México D. F. a 10 de
marzo
No ________
del 2013
$1 200 000.00
Por este pagaré me
(nos) obligo(amos)
a
pag
ar incondicional a la
Compañía Sombeame
orden de
x, S. A., en México D.
F. el día 18 de octubr
la cantidad de: un
e de 2013
millón doscientos mil
pesos 00/100. Valor
mi(nuestra) entera
recibido a
satisfacción en merca
ncía.
La suma anterior
causará intereses
de 28% anual hasta
vencimiento. En cas
la fecha de
o de que no pague(m
os) puntualmente,
obliga(mos) a cub
me(nos)
rir 48% anual por con
cep
to
de
sin que por esto se
intereses moratori
entienda como pro
os,
rrogado el plazo.
Nombre Javier Barrer
a Daz
Domicilio Av. Cafeta
les no. 56 481
Colonia El Rosario.
______________
Ciudad México D. F.
_____
C. P. 04836.
Acepto(amos)
Datos:
Desarrollo:
C = $1 200 000.00
I = Cni = 1 200 000.00(222)(0.28/365) = $204 361.64
n = 222 días
M = C + I = 1 200 000.00 + 204 361.64 = $1 404 361.64
T = 28% anual
Incógnitas I y M
En el tercer paso se calcula el descuento y el valor descontado (valor efectivo), ya conociendo el valor
de vencimiento.
Datos:
Desarrollo:
M = $1 404 361.64
D = Mnd = 1 404 361.64(165)(0.15/365) = $95 227.26
d = 15% anual
C = M - D = 1 404 361.64 - 95 227.26 = $1 309 134.38
n = 165 días
Incógnitas D y C
Valor nominal
C = $1 200 000.00
Valor de vencimiento
M = C + I = $1 404 361.64
T = 28% anual
18 de octubre
10 de marzo
Valor descontado C = 1 309 134.38
Descuento
D = 95 227.26
Figura 3.8
D = 15% anual
6 de mayo
Fecha de descuento
165 días
69
UNIDAD
3
Interés simple
Problema resuelto
52.
Encontrar el valor descontado del pagaré del Centro Sport, S. A., del 25 de
febrero de 2013, en un banco que ofrece una tasa de descuento de 20%.
la orden
ar incondicional, a
s) obligo(amos) a pag
(no
bre de
me
iem
aré
dic
pag
de
e
Por est
xcala, el día 11
A.. en Apizaco, Tla
os 00/100. Valor
pes
mil
del Centro Sport, S.
os
ent
oci
dos millones och
2013, la cantidad de:
en material.
) entera satisfacción
recibido a mi(nuestra
la fecha de
de % anual hasta
causará intereses
almente, me(nos)
ntu
La suma anterior
pu
os)
e(m
gu
o de que no pa
moratorios,
vencimiento. En cas
cepto de intereses
48% anual por con
zo.
pla
el
obligamos a cubrir
rrogado
entienda como pro
sin que por esto se
Solución
Datos:
Desarrollo:
M = $2 800 000.00
D = Mnd = 2 800 000.00(131)(0.20/360) = $203 777.78
d = 20% anual
C = M - D = 2 800 000.00 - 203 777.78 = $2 596 222.22
n = 131 días
Incógnitas D y C
Jiménez Oleaga
Nombre Remberto
ente
Domicilio Calle 7 Ori
.
tro
Cen
a
Coloni
la.
Ciudad Apizaco,Tlaxca
C. P. 08765.
______
______________
Acepto(amos)
Valor de vencimiento
M = C + I = $2 800 000.00
11 de diciembre
25 de febrero
d = 20% anual
Valor descontado C = 2 596 222.22
Descuento
D = 203 777.78
$2 800 000.00
febrero del 2013
México D. F. a 25 de
n este caso no es necesario calcular el valor de vencimiento del pagaré porE
que este no indica la tasa interés a pagar. Entonces se procede a calcular el
descuento y el valor descontado (valor efecto), sabiendo que el valor de vencimiento es igual al valor nominal.
Valor inicial nominal
C = $2 800 000.00
No _______
Documento 1 de 1.
131 días
3 de agosto
Fecha de descuento
Figura 3.9
Problema resuelto
53.
El señor René Barbosa Hernández le firma un pagaré a la tienda Diasa, de material para construcción, con valor de $1 500 000.00 pagaderos a diez meses, con una tasa de interés de 24%. ¿Cuál
es el valor descontado del pagaré siete meses antes de su vencimiento con la misma tasa de descuento?
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $1 500 000.00
M = C(1 + ni ) = 1 500 000[1 + (0.24/12)(10)] = $1 800 000
n1 = 10 meses
D = Mnd = 1 800 000.00(7/12)(0.24) = $252 000.00
n2 = 7 meses
C = M - D = 1 800 000.00 - 252 000.00 = $1 548 000.00
T = 24% anual
Incógnita M
Valor
inicial
C = $1 800 000.00
0
T = 24% anual
7
Valor descontado C = 1 548 000.00
Descuento
D = $252 000.00
70
Figura 3.10
Valor de
vencimiento
M = C + I = $1 800 000.00
10 meses
d = 24% anual
7 meses
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
54. D
el siguiente pagaré encontrar el valor de vencimiento. Si este pagaré se
liquidó 12 días después de su vencimiento, calcular el interés moratorio y
la cantidad a pagar.
Solución
Datos:
C = $834 000.00
n = 316 días
d = 20% anual
Incógnitas M e Im
El valor de vencimiento del pagaré es:


 0.20 
M = 834 000.00 1 + 
 ( 316 ) = $980 413.33

360


  0.48 

Interés moratorio: Im = 980 413.33  
 (12)  = $15 686.61

360


Documento 1 de 1.
No_____
México D. F. a 14 de
Enero
del 2013
$834 000.00
Por este pagaré me
(nos) obligo(amos)
a pagar incondicional
de Sr. Miguel Herre
a la orden
ra Rosales en Méxic
o D. F. el día 26 de
2013. la cantidad de:
Noviembre del
Ochocientos treinta
y cuatro mil pesos 00/
recibido a mi (nuest
100. Valor
ra) entera satisfacció
n.
La suma anterior
causará intereses
al 20% anual ha
de vencimiento.
sta la fecha
En caso de que
no pague(mos) pu
me(nos) obliga(m
ntualmente,
os) a cubrir el 48%
anual por concepto
moratorios, sin qu
de intereses
e por esto se entie
nda como prorroga
do el plazo.
Nombre Antonio Sot
elo Herrera
Domicilio Av. Candel
aria no. 648
Colonia El Fuego Nu
evo
____________
Ciudad México D. F.
________
Acepto(amos)
C. P. 04814.
Cantidad a pagar = (capital + intereses ordinarios) + intereses moratorios
Cantidad a pagar = 980 413.33 + 15 686.61 = $996 099.94
3.13 Aplicaciones
Alerta
Problema resuelto
55.
El día de hoy, la señora Magali acude a empeñar una Tablet marca Sell, para lo cual presenta el
equipo y su factura. El valuador le ofrece un préstamo de $5 400.00. El Monte Abellaneda carga un
interés mensual de 3% sobre el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar la señora Magali para recuperar
su Tablet, dos meses después?
La palabra Monte
significaba banco. En 1462
nació en Perusa, Italia, el
primer Monte, teniendo
el nombre de Monte de
Misericordia.
Solución
M = 5 400.00[1 + (0.03)(2)] = $5 724.00
Problema resuelto
56.
El señor Armando Morales acude a empeñar una pulsera de oro. El valuador le ofrece un préstamo
de $2 300.00. La casa de empeño Pesta Prend carga un interés semanal de 1.8% sobre el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar el señor Morales para recuperar su pulsera, después de 77 días de
haber realizado la operación?
Solución
M = 2 300.00[1 + (0.018)(11)] = $2 755.40
Problema resuelto
57.
El señor Gilberto acude al Monte Trigo el día 8 de marzo de 2014 a empeñar un refrigerador de la
marca MIG, para lo cual presenta el equipo y su factura en donde indica que el valor de contado
del refrigerador es de $6 799.00 y fue comprado el 20 de diciembre de 2013. El valuador le ofrece,
con base en lo establecido, un tercio del valor del refrigerador (ya que tiene poco tiempo de uso y
se encuentra en buenas condiciones). El monte de piedad carga un interés mensual de 2.8% sobre
el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar el señor Gilberto para recuperar su refrigerador, a los 150 días
de haber realizado la operación?
71
UNIDAD
3
Interés simple
Solución
El valor de la factura es de $6 799.00, el préstamo fue:
6 799.00/3 = $2 266.33.
M = 2 266.33[1 + (0.028)(5)] = $2 583.62
El señor Gilberto no acude el 9 de agosto de 2013 a desempeñar su refrigerador ni a pagar el refrendo.
El Monte Trigo pone en remate el refrigerador y cuando este sea vendido se descuenta la cantidad
prestada, los intereses más un cierto porcentaje por comisión y gastos, lo restante se le da al dueño
del artículo.
La fecha de venta fue el 15 de agosto del 2014 y
el precio de venta del refrigerador fue de:
$5 500.00
Menos el préstamo
$2 266.00
Menos intereses generados en los 5 meses
$374.24
Porcentaje por comisión y gastos 15%
$339.90
La diferencia se le entrega al señor por su refrigerador
$2 519.86
El señor Gilberto tiene tres meses para recoger su dinero a partir de la notificación de venta del refrigerador.
3.14 Inversión en cetes
Problema resuelto
58. Calcular el descuento y precio del cete para la siguiente emisión de certificados.
Datos hipotéticos:
Fecha de emisión
Fecha de vencimiento
Plazo
Valor nominal
Tasa de descuento
27 de diciembre de 2012.
24 de enero de 2013.
28 días
$10.00
4.35%
En todos los cálculos de cetes se considera el año comercial (360 días).
Solución
 0.0435 
= $0.033833
a) Descuento = (10 )( 28 ) 
 360 
b) Precio de cete = Valor nominal - Descuento
Precio de cete = 10 - 0.033833 = $9.966166
Problema resuelto
59.
El contador Benjamín Sánchez compra en una casa de bolsa 110 000 cetes, y pagará por cada cete
la cantidad de $9.95055, a un plazo de 28 días. Calcular la utilidad de capital.
Solución
a) E
n la fecha de vencimiento el contador Benjamín Sánchez cobra la cantidad de:
(10)(110 000) = $1 100 000.00
b) Su compra fue de: (110 000.00)(9.95055) = $1 094 560.50
c) Ganancia de capital = 1 100 000.00 - 1 094 560.50 = $5 439.50
72
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
60. E
l contador Tomás Rosales adquiere cetes a un plazo de 91 días, con valor nominal de $10.00 y una
tasa de descuento de 4.8% anual. Encontrar el valor comercial del cete.
a)¿A cuánto ascienden sus utilidades sin descontar impuestos, si invierte un millón de pesos?
b) ¿Cuál es la tasa de interés anual?
Solución
Datos:
M = $10.00 valor nominal
d = 0.048
n = 91 días
a) Valor comercial del cete

 91  
P = 10.00 1 − ( 0.048) 
= $ 9.8787
 360  

b) Total de certificados adquiridos:
1000 000.00
= 101228.923 CETES
9.8787
En pesos a 91 días recibirá: 101 228.23(10.00) = $1 012 282.36
Sus utilidades sin descontar impuestos ascienden a:
1 012 289.19 - 1 000 000.00 = $12 282.36
c)Para conocer la tasa de interés anual, se despeja la tasa de la fórmula de monto de interés
simple.
 10.00 

 9.8786  − 1
0.01228


i =
=
= 0.04858 = 4.858% anual
91
0.25277
360
3.15 Inversión en udis
Problema resuelto
61.El señor Dávila invierte el 4 de agosto de 2013 la cantidad $950 000.00 en udis. En este tipo de
inversiones Bancréditos paga 5.4% de interés anual y el valor de las udis es de $4.884549.
a)Encontrar el monto acumulado al 8 de enero de 2014, si el valor de las
(los valores de las udis son hipotéticos).
udis
es de $5.084549
Solución
Datos:
C = $950 000.00
T = 5.4% anual
n = 157 días
Valor udis 4/Ago/2013 $4.884549
Valor udis 8/Ene/2014 $5.084549
El precio de las udis el 4 de agosto se divide entre la cantidad a invertir, para saber el número de
que se pueden adquirir con $950 000.00.
Número de UDIS =
udis
950 000.00
= 194 490.8322 UDIS
4.884549
73
UNIDAD
3
Interés simple
Se calcula el valor del monto con la fórmula de interés simple

 157  
M = C (1 + in ) = 194 490.83 1 + ( 0.054 ) 
= 199 071.089 UDIS
 360  

Para saber el monto en pesos se multiplica el resultado anterior, por el valor de las
de 2014.
udis
el 8 de enero
M = (199 071.089) (5.084549) = $1 012 186.71
Problema resuelto
Alerta
La palabra factoraje
proviene de factor. La
palabra factor (del latín
facio hacer, facere el que
hace) persona que hace
una cosa.
62.
Virsa casa de bordado, S. A., en estos momentos tiene un problema de liquidez y decide vender
sus cuentas por cobrar con valor de $1 975 194.00 y fecha de vencimiento a 55 días, a una empresa
de factoraje; esta le entrega un adelanto a la fábrica textil de 85%, la tasa de descuento aplicada
es de 26% y le cobrará de comisión 1%.
a) Encontrar el valor aforado
b) ¿De cuánto es el descuento?
c) ¿Qué cantidad recibirá de comisión la empresa de factoraje?
d ) ¿Qué cantidad recibe Virsa casa de bordado, S. A.?
e) ¿Qué cantidad recibe Virsa casa de bordado, S. A., después de cobradas las facturas?
Solución
a) Valor aforado = (1 975 194.00)(0.85) = $1 678 914.90
 0.26 
b) Descuento = (1678 914.90 ) (55) 
= $66 690.23
 360 
c) Comisión = (1 678 914.90)(0.01) = $16 789.15
d ) Cantidad que recibe Virsa casa de bordado, S.A.:
= 1 678 914.90 - 66 690.23 - 16 789.15 = $1 595 435.52
e) Cantidad que recibe Virsa casa de bordado, S.A. después de cobradas las facturas:
= 1 975 194.00 - 1 678 914.90 = $296 279.10
Problema resuelto
63. L a panificadora La Viga, S.A., decide vender sus cuentas por cobrar con valor de $867 994.00 y
fecha de vencimiento a 55 días a una empresa de factoraje; esta le entrega un adelanto a la panificadora de 90%. La tasa de descuento es igual a la tiie 4.8475% y le cobrará de comisión 0.9%.
a) Encontrar el valor aforado
b) ¿De cuánto es el descuento?
c) ¿Qué cantidad recibirá de comisión la empresa de factoraje?
d ) ¿Qué cantidad recibe la panificadora La Viga, S.A.?
e) ¿Qué cantidad recibe la panificadora La Viga, S.A. después de cobradas las facturas?
Solución
a) Valor aforado = (867 994.00)(0.90) = $781 194.60
 0.0485 
b) Descuento = ( 781194.60 )( 55 ) 
= $5 788.43
 360 
74
Grupo Editorial Patria©
c) Comisión = (781 194.60)(0.09) = $70 307.51
d ) Cantidad que recibe la panificadora = 781 194.60 - 70 307.51 - 5 788.43 = $705 098.66
e) Cantidad que recibe la panificadora después de cobradas las facturas:
= 867 994.00 - 781 194.60 = $86 799.40
3.16 Ecuaciones de valor equivalente o de valor
La ecuación de valor es una igualdad, que se emplea en operaciones financieras, cuando existen dos
o más transacciones diferentes y se desea cambiar una o algunas de las formas de liquidar las obligaciones contraídas, mediante pagos y fechas diferentes a las originales.
Para replantear las diferentes obligaciones en una ecuación de valor, en una operación única, es necesario trasladar todas las obligaciones originales a una sola fecha, denominada fecha focal, la cual es
elegida en forma arbitraria dentro del tiempo que duran las obligaciones. En esta fecha focal todas las
operaciones financieras replanteadas deben producir el mismo resultado económico y son equivalentes en valor a las obligaciones originales. Si la ecuación de valor equivalente está bien planteada, esta
será básica para determinar cuál de las diferentes alternativas financieras es la más conveniente. Para
lo cual se recomienda construir un diagrama de valor tiempo, siguiendo los pasos que a continuación
se describen:
1. Trazar una línea horizontal.
2. Ubicar la fecha focal en la línea de valor-tiempo. La fecha focal está determinada en la redacción
de los problemas de interés simple, ya que si se deja la alternativa a cada persona para seleccionar
la fecha focal a su conveniencia, el resultado puede variar un poco.
3. En la línea de valor-tiempo, fijar las fechas de los préstamos (o deudas) y los pagos. El cero representa siempre el día de hoy.
■■ Las operaciones de contratación de deuda se recomienda indicarlas en la parte superior de la
línea de valor-tiempo.
■■ Las operaciones de pago en la parte inferior de la línea de valor-tiempo.
4. Unir con una flecha las operaciones de adeudo con la fecha focal y también las operaciones de pago.
Fecha focal
(o dada)
Fecha anterior
x(1 + ni)-1
Fecha posterior
x(1 + ni)1
un año
un año
Figura 3.12
Problema resuelto
64.
Una persona firma un pagaré por $4 000.00, para ser pagados en cuatro meses a 31% anual; dos
meses después contrae otra deuda por $8 000.00 para pagarla dos meses después. A los tres meses
de la primera fecha ofrece pagar $2 000.00 y el resto en un solo pago final a los seis meses después de
la última fecha (cuarto mes). ¿Cuál debe ser el valor del pago final, para cancelar los adeudos?
Solución
Es importante colocar las operaciones de deuda y de pago en una tabla.
Cuadro 3.4
$2 000
OPERACIONES
DEUDA
PAGOS
$4 000.00 a cuatro
meses a 31%.
Tres meses después
$2 000.00.
Dos meses después
$8 000.00.
Pago final seis meses
después de la última fecha.
$4 000 1
2
3
$8 000
F. F.
4
5
6
7
8
9
10
x
Figura 3.13
75
UNIDAD
3
Interés simple
Se debe trasladar las deudas a la fecha focal empleando la tasa de 31%, entonces la deuda de $4 000.00
debe avanzar seis meses, la deuda de $8 000.00 avanza seis meses. El pago de $2 000.00 debe avanzar
del tercer mes hasta la fecha focal X. Al final todas las deudas ya tienen la misma fecha de vencimiento,
se plantea la ecuación de la siguiente forma:
OPERACIONES DE DEUDA = OPERACIONES DE PAGO


 4 
 6 
 2 
 6 
4 000.00 1 + ( 0.31)    1 + ( 0.31)    + 8 000.00 1 + ( 0.31)    1 + ( 0.31)   
 12   
 12  
 12   
 12  



 7 
= 2 000.00 1 + ( 0.31)    + X
 12  

4 000.00(1.1033)(1.155) + 8 000.00(1.05166)(1.155) = 2 000.00(1.1808) + X
5 097.24 + 9 717.34 = 2 361.66 + X
X = 14 814.58 - 2 361.66
X = $12 453.92
Problema resuelto
65.
El licenciado Adolfo Pérez adquirió mercancía por $15 000.00 y ofrece hacer tres pagos iguales
a su acreedor. El primero dentro de tres meses, el segundo en seis meses y el último en nueve
meses. Si la tasa de interés es de 2% mensual. ¿Cuál es el valor de cada uno de los tres pagos?
Solución
Cuadro 3.5
OPERACIONES
X
DEUDA
PAGOS
$15 000.00 en tres
Tres meses X
pagos iguales a
Seis meses X
2% mensual.
Nueve meses X
$15 000 1
2
3
F. F.
X
4
5
6
7
8
9
X
Figura 3.14
OPERACIONES DE DEUDA = OPERACIONES DE PAGO
15 000.00[1 + (0.02)(9)] = X [1 + (0.02)(3)] + X [1 + (0.02)(6)] + X [1 + (0.02)(9)]0
15 000.00[1.18] = X [1.06] + X [1.12] + X
17 700 = 3.18X
X =
17 700
3.18
X = $5 566.03
❚❚ Nomenclatura empleada
76
Interés simple
I
Descuento único
Du
Monto
M
Precio descontado
C
Capital
C
Interés moratorio
Im
Valor actual o presente
VP
Tasa de descuento
d
Tiempo
N
Tasa de rendimiento
R
Tasa de interés (al tanto por ciento)
T
Valor descontado
C
Tasa o tipo de interés (al tanto por uno)
I
Valor del vencimiento
M
Descuento
D
Descuento
D
Grupo Editorial Patria©
❚❚ Fórmulas utilizadas
■■ Interés simple
■■ Valor actual o presente
I=M-C
3.1
I = CnT
3.2
■■ Interés simple tomando como base el año comercial y la
tasa al tanto por uno (expresada en forma anual).
 T 
I = Cn 
 100 
3.3
M
1 + ni
C =
C = M[1 + ni]-1
T
100
3.4
I = Cin
3.5
n=
I
Cn
3.6
i =
 T  n 
I = C
 100   366 
3.7a
3.7b
Cni
30
3.19
D=M-C
3.19a
Cdn
1 − dn
3.19b
C=M-D
3.20
C = M (1 - nd )
3.21
M=C+D
3.22
M = C + Cni
3.23
■■ Tasa de rendimiento
3.7c
■■ Interés simple tomando como base en días y la tasa al
tanto por uno (expresada en forma mensual).
I =
D = Mnd
■■ Monto
■■ Interés simple tomando como base en meses y la tasa al
tanto por uno (expresada en forma anual).
 T  n 
I = C
 100   12 
3.18
■■ Valor descontado
■■ Interés simple tomando como base el comercial y la tasa
al tanto por uno (expresada en forma anual).
 T  n 
I = C
 100   360 
M−C
Ci
D =
3.7
■■ Interés simple tomando como base el bisiesto y la tasa al
tanto por uno (expresada en forma anual).
i =
M−C
Cn
3.24
R =
M−C
Cn
3.25
R =
d
1 − dn
3.26
d =
D
Mn
3.27
n=
D
Md
3.28
■■ Tasa de descuento
3.7d
■■ Relación de interés comercial y del interés real
Ie =
Io =
■■ Monto
3.17
■■ Descuento
■■ Interés simple tomando como base el año real y la tasa al
tanto por uno (expresada en forma anual).
 T  n 
I = C
 100   365 
3.16
■■ Tiempo
M
−1
C
n=
i
i =
3.15
■■ Plazo
Cni
365
3.8
Cni
360
3.9
Ie = 0.9863 Io
3.10
Io = 1.0139 Ie
3.11
Ie
= 0.9863
Io
3.12
M=C+I
3.13
M = C(1 + ni )
3.14
■■ Tasa de interés
M
−1
C
i =
n
i =
M−C
Cn
3.29
3.29a
77
UNIDAD
3
Interés simple
❚❚ Glosario
Acreedor. Es la persona o razón social a la que se debe pagar el dinero que nos han prestado.
Actividad financiera. Costumbre de pagar un rédito por el uso de dinero prestado.
Capital. En términos financieros, es una determinada cantidad de dinero que permite ganar más (dinero) en operaciones de préstamo, llamada esta última interés.
Cuentas de inversión. También conocidas como cuentas de ahorro. En estas cuentas las personas
pueden hacer depósitos y retiros del capital, en cualquier momento (con tan solo solicitarlo) y los
intereses son bajos.
Compra. Acción de adquirir algo a cambio de dinero. También se refiere a un conjunto de bienes y
servicios adquiridos en el acto de compra.
Compra a crédito. Compra cuyo importe no es pagado en efectivo en el momento de la adquisición,
sino que en la propia entidad vendedora o una tercera entidad concede crédito por la suma debida. En bolsa es la adquisición de acciones financiada por medio de créditos por una autoridad
bursátil.
Compra a plazos. Contrato de compraventa en el cual el vendedor entrega el bien objeto de la
transacción en el momento en que esta se produce, y el comprador puede postergar sus pagos
a futuras cuotas o plazos, pudiendo efectuar uno de estos pagos en el momento de la compra.
Compra de contado. Compra cuyo importe es pagado en el momento de la adquisición.
Comprador. Persona que adquiere un bien o derecho producto de una operación de compraventa.
Compraventa. Contrato por el que uno de los contratantes (vendedor) se obliga a entregar una cosa
determinada y el otro (comprador) a pagar por ella un precio determinado. Negocio de objetos
que se revenden.
Contado. Procedimiento de cobro o pago que implica la entrega del bien o servicio con contrapartida
monetaria en ese mismo momento.
Contrato. Negocio jurídico bilateral por el que dos o más personas físicas o jurídicas se obligan mutuamente a dar, hacer o no hacer algo, surgiendo entre ellas una relación obligatoria.
Crédito. Reputación, fama, prestigio que tiene una persona respecto al cumplimiento de sus obligaciones financieras.
Crédito a clientes. Cantidad que los clientes de una empresa le adeudan en función de los suministros que reciben.
Debe. Adeudar, estar en deuda con otra persona, estar obligado a cumplir una obligación o realizar
un pago.
Demora. Retraso en el cumplimiento de una obligación de pago de una deuda, desde el momento
en que esta venció.
Depósito a plazo. Es el dinero depositado en una cuenta bancaria por la persona o razón social; su
retiro es en una sola fecha determinada, de común acuerdo por ambas partes.
Descuento. Disminución concedida por las empresas a sus clientes por diversas causas: por pronto
pago, por volumen de venta, entre otros.
Descuento en precios. Reducción en el precio de venta de un producto o servicio por motivos muy
diversos: campañas de promoción, ferias, rebajas estacionales, fidelidad del comprador, liquidación de existencias.
Descuento financiero. Operación financiera realizada por las entidades de crédito, consistente en
abonar al prestatario el importe, con rebaja de intereses, de una letra de cambio u otro mercantil
antes de la fecha de su vencimiento.
Descuento por pronto pago. Descuento concedido por pagar las mercancías adquiridas al contado
o en un plazo menor al establecido en la transacción comercial. Se trata de un porcentaje sobre
las ventas que compensan el menor riesgo de insolvencia y la inmediata obtención de liquidez
por parte de la empresa. Cuando se trata de descuento sobre compras por pronto pago, se
refiere a una modalidad de descuento de proveedores en el que es la empresa la que reduce
la cantidad a pagar a sus proveedores por realizar el pago dentro de unos días determinados
78
Grupo Editorial Patria©
por estos. Los descuentos se registran en las cuentas de pérdidas y ganancias bajo el epígrafe
ingresos financieros.
Descuento por volumen de compra. Descuento concedido a la empresa, cuando su volumen de
compras con un determinado proveedor excede de una cierta cuantía en un periodo, independientemente del tamaño de los pedidos que haya ido realizando con anterioridad. Estos descuentos se registran en la cuenta de pérdidas y ganancias como un menor importe de la compra que
los origina.
Descuento por volumen de venta. Descuento que la empresa concede a sus clientes cuando su volumen de ventas con ellos en un periodo determinado supera una cierta cuantía.
Descuento sobre compras. Descuento concedido a las empresas por sus proveedores por diversas
causas: volumen de compras, por pronto pago, entre otros.
Deuda. Obligación que se ha contraído con un tercero y que se ha de satisfacer. En general, es una
obligación de pagar cierta cantidad de dinero.
Deudor. Es la persona o razón social que solicita un dinero prestado y se compromete a pagarlo posteriormente, extendiendo para ello un pagaré.
Dinero. Todo aquello aceptado como medio de pago o medición del valor. Las monedas y billetes
de circulación son la forma final adoptadas por las economías como dinero. Es la suma de moneda
circulante.
Dinero circulante. Dinero en efectivo, es decir, tesorería que la empresa en un momento determinado
tiene como consecuencia de su funcionamiento. Una gestión eficiente de tesorería que maximice
su rentabilidad evitando fondos ociosos, incrementará el valor de la empresa.
Dinero de plástico. Tarjetas (de crédito, débito, de prepago, etc.) que se utilizan como medio de
pago sustituyendo al dinero.
Dinero en circulación. Suma del efectivo en manos del público, compuesto de billetes y moneda
metálica de curso legal más los depósitos de todo tipo en el sistema bancario.
Empeñar. Entregar algo en prenda como garantía del pago de una deuda.
Empresa. Unidad económica de producción y decisión que, mediante la organización y coordinación
de una serie de factores (capital y trabajo), persigue obtener un beneficio produciendo y comercializando productos o prestando servicios en el mercado.
Fábrica. Recinto en el que se instalan máquinas y otro tipo de equipos conjunta y ordenadamente
para producción en masa de un determinado producto u objeto o para la transformación industrial
de una fuente de energía.
Fabricar. Producir bienes o servicios mediante la transformación de materias primas o productos intermedios, valiéndose de una maquinaria y organización determinadas, de unos sistemas respectivos
y haciéndolo en gran volumen.
Factura. Documento o recibo entregado por el vendedor al comprador como prueba de que este ha
adquirido una mercancía determinada o recibo de un servicio a un precio dado, y que representa,
por lo tanto, el derecho de cobro a favor del vendedor. En la factura se especifican datos personales de ambos, las características de los productos, así como la fecha y el precio de compra.
Moneda en circulación. Son las monedas constantes y sonantes (aleaciones de metales). También a
los billetes se les llama papel moneda.
Rédito. Renta de un capital.
Tanto por uno. Es el rendimiento que produce una moneda.
Tasa. También llamada tipo de interés o tanto por ciento, es el rendimiento que producen 100 unidades de moneda en una unidad de tiempo.
Tiempo. Es el número de periodos (tiempo predeterminado) que dura el préstamo de un capital.
79
UNIDAD
3
Interés simple
❚❚ Tipo de tasas
En el país las tasas de interés que se utilizan en las operaciones comerciales y financieras no permanecen constantes por periodos grandes, por lo que es necesario fijar tasas de referencia. Las tasas de
referencia más utilizadas son: la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (tiie), el Costo Porcentual
Promedio de Capitalización (cpp), el Costo de Capitalización a Plazo (ccp) y la tasa de los Certificados
de la Tesorería de la Federación (cetes).
■■ Tasa de interés activas, son las tasas que los bancos cobran por los diferentes tipos de crédito
a los usuarios de éstos.
■■ Tasa de interés pasivas, son las tasas de interés que los bancos pagan a los ahorradores e
inversionistas.
■■ Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (tiie), es el punto de equilibrio entre las tasas de
interés pasivas y activas; estas se obtienen a partir de la información que proporcionan diariamente al Banco de México (banxico) de las diferentes instituciones bancarias del país (por lo
menos seis), a las 12:00 horas de la Ciudad de México.
Las tasas son precios reales que los bancos están dispuestos a pedir prestado o prestar a
banxico.
Existen diferentes plazos de la tiie, el más usual es 28 días.
■■ Costo Porcentual Promedio de Capitalización (cpp), mide el costo al cual se fondean los bancos para cubrir sus pasivos. El Banco de México es el encargado de calcularlo y publicarlo el día
20 de cada mes en el Diario Oficial de la Federación.
■■ Costo de Capitalización a Plazo (ccp), es la estimación mensual del costo de capitalización a
plazo por concepto de la tasa de interés de los pasivos a plazo en la moneda nacional a cargo
de la banca múltiple y este se utiliza para la tasa de interés de créditos en pesos. El Banco de
México es el encargado de calcularlo y publicarlo los días 21 y 25 de cada mes en el Diario
Oficial de la Federación.
■■ Certificados de la Tesorería de la Federación (cetes), son instrumentos financieros de inversión cuya tasa de interés tiene un plazo de 28, 90 o 180 días y por lo regular, dicha tasa se utiliza
como tasa de referencia.
UNIDAD
3
Problemas para resolver
Interés
3.1 La contadora Alma invierte $5 000.00 y al término de un
año recibe $5 250.00 por su inversión. Calcular:
a) El interés
c) El tipo de interés
b) La tasa de interés
3.2 El señor Martínez solicitó un préstamo al issste de
$18 500.00 a 9% anual durante un año. Calcular el interés
simple a pagar.
3.3 ¿Cuál es la tasa de interés por un préstamo de
$15 000.00 a un año, si se pagaron intereses de $1 900.00?
3.4 Un capital de $4 950 000.00 fue prestado a un fabricante de juguetes durante tres años, la compañía pagó
un interés preferencial de $1 860 000.00. ¿Cuál fue la tasa
de interés pactada?
80
Problemas aplicados a la realidad
3.5 El señor Tomás Baroja le presta a su cuñado la cantidad
de $3 550.00 a una tasa de interés simple de 1.5% mensual,
por 21 días. ¿Cuánto recibirá de intereses?
3.6 Si un automóvil se compra en $399 999.00 a pagarse
en un año, a una tasa de interés simple de 12.4%. Calcular
el interés simple y comercial correspondiente al primer mes
de pago.
3.7 ¿Qué interés produce un capital de $1 500.00 a 4% durante el mes de marzo?
a) Interés simple, comercial y tiempo exacto.
b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado.
c) Interés simple, real y tiempo exacto.
d ) Interés simple, real y tiempo aproximado.
Problemas para resolver con tecnología
Grupo Editorial Patria©
3.8 ¿Qué interés produce un capital de $8 500.00, a 4.6%
de interés simple, del 18 de mayo de 2012 al 8 de abril de
2013?
a) Interés simple, comercial y tiempo exacto.
b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado.
c) Interés simple, real y tiempo exacto.
3.21 Encontrar el valor presente de $18 000.00, pagaderos
a 9 meses, con tasa de interés simple de 10%.
3.22 ¿Cuál será el valor presente de $25 845.35, pagaderos
a 12 meses, con tasa de interés simple de 26%?
3.23 Calcular el valor presente de $200 000.00, pagaderos
a 19 meses, con tasa de interés simple de 22%.
d ) Interés simple, real y tiempo aproximado.
3.9 ¿Qué interés produce un capital de $8 500, a 16% de
interés simple, del 18 de mayo de 2006 al 8 de abril de 2007?
3.10 Calcular el interés exacto si el interés ordinario es de
$189.25.
Cálculo del monto
3.11 Calcular el monto de un préstamo de $3 150.00 a 16%
de interés simple, durante 1.5 años.
3.12 El arquitecto Ignacio Aguilera Hernández consigue un
préstamo de $9 000.00 a 15 bimestres, para comprar una
computadora. La tasa de interés simple es de 2% bimestral.
¿Cuánto pagará dentro de 15 bimestres?
3.13 El alumno Eduardo Arteaga Mora depositó en su cuenta de ahorros $3 000.00, lo que recibió de su beca, el día 5
de enero y el día 31 de enero lo retira para comprarse un
teléfono celular. La tasa de interés simple es de 4.7% anual.
Calcular el monto, considerando que el año es bisiesto.
3.14 Calcular el monto de un préstamo personal al Banco
del Ejército, de $5 500.00 a una tasa de interés simple de
24% anual del 3 de septiembre al 28 de diciembre del mismo año, considerando que el año es bisiesto.
3.15 Calcular el monto de un préstamo de $18 000.00 a
26% de interés simple, durante dos años.
3.16 ¿Qué monto hay que pagar al issste por un crédito de
corto plazo de $49 000.00 pesos a 9% anual, después de 1
año y 6 meses?
3.17 Magaly recibe un préstamo de Alexa, para adquirir
calzado con valor de $32 500.00, acuerda pagar la deuda
cuatro meses después con una tasa de interés de 24% anual.
¿Cuánto deberá pagar Magaly después de cuatro meses?
3.18 El comunicador Jesús Miguel deposita $55 000.00 en
un fondo de inversión, que da un rendimiento de 0.9% mensual. Para comprar más equipo para su negocio, él decide
retirar el depósito 28 días después. ¿Cuánto le entregarán
al retirar capital e intereses?
3.19 El ingeniero Tomás Aguirre consigue un préstamo de
$26 000.00 a dos años, para comprar una computadora; la
tasa de interés simple es de 3% bimestral. ¿Cuánto deberá
pagar dentro de dos años?
3.20 Calcular el monto acumulado al 24 de marzo de 2014,
de un depósito de $22 600.00 realizado el 14 de octubre de
2013 en una cuenta que abona una tiie de 25.5% anual más
5.8 puntos porcentuales. Para dar solución al problema utilice el interés simple ordinario con tiempo aproximado.
Problemas aplicados a la realidad
Valor presente o actual
3.24 Encontrar el valor presente de $23 480.00 de un pagaré que vencen dentro de seis meses, si la tasa de interés
simple es de 6%.
3.25 ¿Cuánto debe invertir una psicóloga el día de hoy, si
la tasa de interés es de 1.75% trimestral para disponer de
$450 000.00 dentro de tres años?
3.26 ¿Cuánto debe invertir la señora Andrea Portos, el día
de hoy, para disponer de $23 500.00 dentro de cuatro años,
a una tasa de 0.8%?
3.27 Don Jacinto pagó $1 525 300.00, por un préstamo
bancario con un plazo a dos años, seis meses y 28 días, a
una tasa de 17% por la compra de un camión de carga. Encontrar el capital inicial del préstamo.
3.28 Una persona compró un automóvil compacto, por el
cual pagó $212 480.00 el uno de diciembre, y lo vende el 31
de agosto del año entrante en $216 500.00. ¿Es conveniente la compra realizada si la tasa de interés que ofrece el banco es de 0.9% mensual?
Tiempo o plazo
3.29 El uno de septiembre se depositan $9 500.00. ¿En
cuánto tiempo se acumularían $11 000.00 a una tasa de interés de 6%?
3.30 ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $34 500.00,
si el capital invertido es de $28 800.00 a una tasa de 5.1%
anual?
3.31 ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $5 740.00,
si el capital invertido es de $4 287.00 a una tasa de 4.5%
anual?
3.32 Una deuda de $48 000.00 se liquidó el 11 de octubre
con un cheque cuyo importe es de $50 800.00, y la tasa de
interés aplicada de 23.73%. ¿Cuánto tiempo estuvo prestado el dinero?
3.33 ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital
se duplique si la tasa de interés es de 8.5% anual?
Como el capital inicial es C; entonces el monto al final
del plazo es el doble de C (M = 2C).
3.34 ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital
de $1 500.00 alcance un monto de $3 000.00, si la tasa de
interés es de 25% anual?
3.35 Encontrar el tiempo exacto y aproximado, del día 4 de
mayo al 20 septiembre del mismo año.
Problemas para resolver con tecnología
81
UNIDAD
3
Problemas para resolver
Descuento simple
3.36 ¿Cuál es el descuento que se hace a un préstamo de
$3 500.00, a un plazo de seis meses, con una tasa de descuento simple de 20% anual?
3.37 ¿Cuál es el descuento que hace Banorte en un préstamo de $19 500.00, a un plazo de 13 meses, con una tasa de
descuento simple de 1.8% mensual?
3.38 ¿Cuál es el descuento que se hace en un préstamo
de $8 300.00, a un plazo de ocho meses, con una tasa de
descuento simple de 24% anual?
3.39 ¿Cuál es el descuento que hace Banorte en un préstamo de $7 500.00, a un plazo de 16 meses, con una tasa de
descuento simple de 1.5% mensual?
3.40 Un banco cobra 26% de interés por adelantado al señor Cabrera por un préstamo a corto plazo, de $10 000.00
del 2 de mayo al 30 de octubre del presente año. Calcular el
descuento que aplica el banco al señor Cabrera.
3.41 Calcular el valor presente de $2 000.00 a 24% de interés simple a un plazo de 9 meses. ¿Cuál es el descuento que
realizó Invemex Banco por el préstamo?
Valor descontado o ganancia
3.42 El profesor Arriaga solicita un préstamo a Bansur de
$12 000.00 a un plazo de 13 meses, con una tasa de descuento de 2.2% mensual.
a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el
préstamo?
b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el profesor Arriaga?
3.43 La “Compañía Electrohogar, S.A.”, solicita $3 500 000.00
de préstamo al banco de Sonora, a dos años con una tasa de
descuento de 12% anual.
a) Calcular el descuento.
b) ¿Qué cantidad recibe en realidad la “Compañía Electrohogar, S.A.”, por el préstamo?
3.44 El administrador de la compañía papelera Gabo, S.A.,
solicita un préstamo al banco INBURSA de $13 500 000.00 a
un plazo de 18 meses, con una tasa de descuento de 1.2%
mensual.
a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el
préstamo?
b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el administrador
Gómez?
3.45 El banco Inbursa cobra 7% de descuento bancario en
préstamos a largo plazo. Juan Luis Trejo necesita $40 000.00,
para pagarlos con intereses en seis años. ¿Qué cantidad
debe solicitar en préstamo y cuánto paga de interés?
tasa de descuento de 19% anual, por la compra de remodelación de su despacho. ¿Cuál es la tasa de rendimiento?
3.47 Calcular la tasa de rendimiento, si el valor descontado a los 11 meses es de $22 948.00, y el monto de
$24 000.00.
3.48 El abogado Amando Suárez Copel solicita un préstamo por una determinada cantidad de dinero. El plazo es de
nueve meses y la tasa de descuento de 19%. Calcular la tasa
mensual de rendimiento.
3.49 El Banco IXE-MEX cobra 12% de descuento bancario
en préstamos a corto plazo. ¿Qué interés simple le cobra el
Banco IXE-MEX a la señora Ana Lucía Vega, por un préstamo
de $14 000.00 a un plazo de seis meses?
Valor de vencimiento
3.50 El doctor Jerry Alfaro descontó en el banco un pagaré,
por el cual recibió la cantidad de $19 167.00, a una tasa de
descuento de 20% anual, siendo el vencimiento del pagaré
seis meses después de su descuento. ¿Cuál sería el valor del
documento en la fecha de su vencimiento?
3.51 Encontrar el valor de un pagaré, si seis meses antes
de su vencimiento se descontó en un banco y se recibió por
este la cantidad de $19 540.00, a una tasa de descuento de
18% anual.
3.52 Encontrar el valor de un pagaré, si ocho meses antes
de su vencimiento se descontó en un banco y se recibió por
este la cantidad de $8 450.00, a una tasa de descuento de
20% anual.
3.53 La señora Lucía Vega solicita un préstamo a un banco,
este le entrega la cantidad de $10 000.00, para pagar en
13 meses, a una tasa de descuento de 22% anual. ¿Qué cantidad debe solicitar como préstamo?
3.54 El señor Durán solicita un préstamo al banco BANCA,
este le entrega la cantidad de $20 000.00, para pagar en
12 meses, a una tasa de descuento de 23% anual. ¿Qué cantidad debe solicitar como préstamo?
3.55 El profesor de matemáticas descontó en el banco un
pagaré, por el cual recibió la cantidad de $16 766.00, a una
tasa de descuento de 23% anual, siendo el vencimiento del
pagaré seis meses después de su descuento. ¿Cuál sería el
valor del documento en la fecha de su vencimiento?
Tasa de descuento
3.56 El dueño de la tintorería De Héctor, vendió a un banco un pagaré 3 meses antes de su vencimiento, con valor
nominal de $18 355.00 y recibió del banco la cantidad de
$16 835.00. Encontrar la tasa de descuento.
Tasa de rendimiento
3.57 El dueño de la tintorería De Héctor vendió a un banco un pagaré 6 meses antes de su vencimiento, con valor
nominal de $19 355.00 y recibió del banco la cantidad de
$17 855.00. Encontrar la tasa de descuento.
3.46 Bansur aplica un descuento de $640 120.00 a la contadora Pamela Alfaro por un préstamo a seis meses, con una
3.58 El señor Chavarría firmó un pagaré el uno de diciembre del año pasado por la cantidad de $200 000.00, con
82
Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
Grupo Editorial Patria©
vencimiento en agosto de este año. Como el descuento es
comercial, el banco le descontó en el momento de entregar
el préstamo la cantidad de $21 240.50. ¿Cuál es la tasa de
descuento?
3.59 Encontrar la tasa de rendimiento de un préstamo solicitado por el administrador Adrián Salvatorio, a pagar en
seis meses, con una tasa de descuento de 18% anual.
3.60 Un banco descuenta un pagaré de $55 000.00, con
vencimiento en 7 meses y una tasa de descuento de 22%.
¿Qué tasa de rendimiento obtiene en realidad el banco?
3.61 El Banco del Bajío descuenta un pagaré de
$150 000.00, con vencimiento en 9 meses y una tasa
de descuento de 24%. ¿Qué tasa de rendimiento obtiene en
realidad el banco?
Plazo
3.62 La compañía Londres, S. A., descuenta un pagaré, por
el cual recibe $28 879.00, a una tasa de descuento de 30%
anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré,
si este tiene valor nominal de $70 000.00?
3.63 La casa de ropa Adrianos descuenta un pagaré, por
el cual recibe $29 887.00, a una tasa de descuento de 26%
anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré,
si este tiene valor nominal de $60 000.00?
3.64 Encontrar la fecha en que fue descontado un pagaré
de $34 000.00 con vencimiento el 12 de julio del presente
año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de
$3 670.00, con una tasa de descuento de 26% anual.
Pagaré
3.66 Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré, a
la compañía Kolvi, S. A., del 30 de agosto de 2013 en un
banco que ofrece una tasa de descuento de 18%.
Documento 1 de 1.
México D. F. a 30 de
marzo
$1 300 000.00
Por este pagaré me
(nos) obligo(amos)
a
pag
ar incondicional a la
Compañía Kolvi, S.
orden de
A., en Puebla, Puebla
, el día 30 de noviem
la cantidad de: un
bre de 2013
millón trescientos
mil pesos 00/100.
mi(nuestra) entera
Valor recibido a
satisfacción en mater
ial.
La suma anterior
causará intereses
anual hasta la
vencimiento. En
fecha de
caso de que no
pague(mos) puntu
me(nos) obligamos
almente,
a cubrir el 48% an
ual por concepto
moratorios, sin qu
de intereses
e por esto se entie
nda como prorroga
do el plazo.
Nombre Mauricio Sol
ís Martínez
Domicilio Calle 57 Ori
ente
Colonia Centro.
____________
Ciudad Puebla.
________
Acepto(amos)
C. P. 08765.
3.67 El agrónomo Javier Domínguez Pedrosa le firma
un pagaré a la tienda de fertilizantes Viarsa con valor de
$800 000.00 pagaderos a nueve meses, con una tasa de interés de 20%. ¿Cuál es el valor descontado del pagaré dos
meses antes de su vencimiento con la misma tasa de descuento?
3.68 Del siguiente pagaré encontrar el valor de vencimiento. Si este pagaré se liquidó 12 días después de su vencimiento, calcular el interés moratorio y la cantidad a pagar.
3.65 Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré a
Hielo del Atlántico, S. A., el 15 de julio de 2014 en un banco
que ofrece una tasa de descuento de 14%.
Documento 1 de 1.
México D. F. a 14 de
enero
marzo
México D. F. a 15 de
$900 000.00
de 2014
orden de
ar incondicional a la
obligo(amos) a pag
s)
(no
del 2014
me
bre
aré
pag
tiem
e
Por est
el día 15 de sep
S. A. en México D. F.
ibido a mi(nuestra)
rec
or
Hielo del Atlántico,
Val
.
100
00/
entos mil pesos
la cantidad de: noveci
en mercancía.
entera satisfacción
la fecha de
al 24% anual hasta
causará intereses
almente, me(nos)
ntu
La suma anterior
pu
os)
e(m
gu
o de que no pa
moratorios,
vencimiento. En cas
cepto de intereses
rir 48% anual por con
zo.
pla
el
obliga(mos) a cub
rrogado
entienda como pro
sin que por esto se
Montes
Nombre Oscar Calva
o no. 56 481
Domicilio Av. Pacífic
Colonia Cafetalera.
Ciudad México D. F.
C. P. 04836.
No_____
de 2014
$348 000.00
Por este pagaré me
(nos) obligo(amos)
a pagar incondicional
Sr. Juan Barreda Suá
a la orden de
rez en México D. F.,
el día 26 de noviem
cantidad de: trescie
bre de 2014, la
ntos cuarenta y och
o
mil
pes
a mi(nuestra) entera
os 00/100. Valor rec
ibido
satisfacción.
No_____
Documento 1 de 1.
No_____
de 2013
La suma anterior
causará intereses
al 20% anual hasta
vencimiento. En cas
la fecha de
o de que no pague(m
os) puntualmente,
obliga(mos) a cub
me(nos)
rir 45% anual por con
cep
to de intereses mo
sin que por esto se
ratorios,
entienda como pro
rrogado el plazo.
Nombre Juan Luis He
rrera Rosales
Domicilio Av. Coyoac
án no. 56481
Colonia Árbol del Fue
go.
____________
Ciudad México D. F.
________
Acepto(amos)
C. P. 04814.
________
____________
Acepto(amos)
Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
83
UNIDAD
3
Interés simple
PROBLEMAS RETO
84
1
¿Qué interés produce un capital de $76 600.00 a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa
de interés simple de 12% anual?
2
Un capital de $5 000.00 se duplica en cuatro años con un tipo de interés simple de:
3
La señora Prudencia solicita a una institución financiera un préstamo de $6 500.00 a una tasa
de interés simple de 18% con un plazo de 55 días. Calcular el interés comercial y exacto.
4
¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa de 34% anual?
5
La señora Andrea López obtiene un préstamo por $3 000.00. Paga la cantidad de $3 400.00
después de siete meses. ¿Qué tasa de interés simple le cobraron?
UNIDAD
4
Interés
compuesto
OBJETIVOS
Comprenderá el concepto de interés compuesto.
Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: capital, valor presente, valor descontado,
ganancia, monto, valor pagadero, tasa de interés y tasas equivalentes.
Resolverá problemas de interés compuesto determinando el valor del dinero a través del
tiempo:
• interés compuesto
• monto
• capital y valor presente
• plazo
• tasas equivalentes
¿QUÉ SABES?
Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema
¿Qué interés compuesto produce un capital de $76 600.00 a pagarse dentro de 13 semanas
a una tasa de interés de 12% anual?
Encontrar el interés exacto que se paga por un préstamo de $16 350.00, a 11.52% en
240 días.
El arquitecto Juárez recibe un préstamo de $48 750.00 a dos años, si la tasa de interés es de
1.2% bimestral, ¿cuánto pagará dentro de dos años?
UNIDAD
4
Interés compuesto
Un banco entrega al señor Juan Álvarez la cantidad de $2 255 000.00, por un
préstamo a un año, tres meses y quince días, con una tasa de 27%. ¿Cuál es el
capital inicial del préstamo?
Una deuda de $8 400.00 se liquidó el 29 de junio de este año con un cheque
cuyo importe es de $9 080.00, siendo la tasa de interés simple de 11.75%.
¿Cuánto tiempo estuvo prestado?
Se descuenta un préstamo de $350 870.00 a un plazo de 180 días, con una tasa
de descuento de 13% anual. ¿De cuánto es el descuento en el momento de
recibir el préstamo?, ¿qué cantidad de dinero recibe?
Una compañía decide descontar un documento el 30 de abril con valor
$683 656.00, con una tasa de descuento de 10% anual. Siendo la fecha de
vencimiento el 30 de junio de este año. ¿Cuánto dinero recibirá la compañía?
Juan Torres recibe la cantidad de $100 000.00 por un préstamo a pagar en
10 meses, con una tasa de descuento de 10.5% anual. ¿Qué cantidad de dinero
se debe solicitar?
4.1 Introducción
En la unidad de interés simple se estudió el caso en el que el capital permanece constante desde la
fecha inicial de la operación hasta la fecha final. En el caso del interés compuesto el capital no permanece constante desde la fecha inicial hasta la final del plazo, ya que el capital va a cambiar al final
de cada periodo (se agrega al capital inicial los intereses al término del periodo), este nuevo capital
genera intereses en el siguiente periodo y así sucesivamente mientras dure la operación financiera,
entonces se dice que los intereses se capitalizan en cada periodo.
4.2 Monto
Definición
Periodo de capitalización. Es el tiempo que existe entre dos fechas consecutivas en la que
los intereses se le adicionan al capital.
M=C+I
4.1
I = Cni
4.2
Problema resuelto
1.
El abogado Martínez deposita $15 000.00 el día 2 de mayo de 2013 en ICA Banco. Él retirará su
dinero dentro de un año. Al retirar el capital inicial también le entregarán los intereses generados
en el periodo (M = C + I ).
Solución
Analicemos el problema, si el periodo es de un año por consecuencia el plazo también lo será y la
tasa de interés T = 4% anual, la expresión matemática que cumple con estas características es la
del interés simple.
I = 15 000(0.04)(1) = $600
M = 15 000 + 600 = $15 600
Entonces el 2 de mayo del 2014 el abogado Martínez recibirá $600.00 de intereses más los
$15 000.00 que invirtió.
86
Grupo Editorial Patria©
Periodo = Plazo = 1 año
C
Figura 4.1
M=C+1
Fecha inicial
2 mayo 2013
Fecha final
2 mayo 2014
Si el abogado Martínez decide recibir sus intereses de manera mensual, en vez de cada año, entonces el periodo será de un mes. Si el plazo de la inversión es de un año, se tendrán 12 periodos
de capitalización mensual, de esta manera el abogado Martínez recibirá 12 pagos de intereses al
transcurso de un año, en lugar de un pago único de intereses al final del año.
C
Figura 4.2
C1
C2
C3
C4
0 1
Fecha inicial
2 mayo 2013
2
3
4
Periodo ≠ Plazo
C5 C6 C7 C8
5
6
7
8
C9
C10 C11
M
9
10 11 12 Meses
Fecha final
2 mayo 2014
Problema resuelto
2.Adela invierte un capital de $24 000.00 a 4% anual durante tres años en ICA Banco. ¿Qué cantidad
recibe?
a) Cuando es interés simple.
b) Si es interés compuesto.
Solución
a) Interés simple.
Datos
Desarrollo
C = $24 000.00 I = Cni
T = 4% anual I = 24 000(3)(0.04)
n = 3 años I = $ 2 880.00
Incógnita I
El monto después de tres años será de: M = 24 000.00 + 2 880.00 = $26 880.00
b) Cálculo del interés compuesto.
• M
onto inicial del primer año (M1) = Capital inicial + Intereses del primer año. El monto obtenido
en el primer año (M1) se convertirá en el capital inicial del segundo año.
M2 = $25 958.40
• E
l monto del segundo año (M2) se convertirá en el capital inicial del tercer año, como se observa
en el cuadro 4.1.
Cuadro 4.1 Comportamiento del capital y el incremento del interés
Número de periodos en años
1
2
3
Capital al inicio del periodo ($)
24 000.00
24 960.00
25 958.40
Intereses en el periodo ($)
960.00
998.40
1 038.34
Capital al final ($)
24 960.00
25 958.40
26 996.74
Interés Simple (IS) ≠ Interés Compuesto (IC)
$26 880.00 ≠ $26 996.74
Entonces el: IS < IC
El interés simple siempre será menor que el interés compuesto.
87
UNIDAD
4
Interés compuesto
El comportamiento del capital se muestra en forma algebraica en el cuadro 4.2.
Cuadro 4.2 Comportamiento del capital
Números
de periodos
Capital al inicio
del periodo
Interés en el periodo
I = Cni
Capital final
M=C+I
1
C
Ci
M1 = C + C i = C(1 + i )
M1 = C(1 + i )
2
C(1 + i )
C(1 + i )i
M2 = C(1 + i ) + C(1 + i ) i = C(1 + i ) (1 + i )
M2 = C(1 + i )2
3
C(1 + i )2
C(1 + i )2 i
M3 = C(1 + i )2 + C(1 + i )2 i = C(1 + i )2 (1 + i )
M3 = C(1 + i )3
4
C(1 + i )3
C(1 + i )3 i
M4 = C(1 + i )3 + C(1 + i )3 i = C(1 + i )3 (1 + i )
M4 = C(1 + i )4
LM
n
LM
C(1 + i )n - 1
LM
C(1 + i )n - 1 i
LM
Mn = C(1 + i )n
Del cuadro 4.2 se ve que los valores acumulados sucesivos forman una progresión geométrica
[C(1 + i ), C(1 + i )2, C(1 + i )3,…] cuyo n-ésimo término es:
M = C (1 + i )n
4.3
Donde:
C = Valor inicial, valor presente de M o valor descontado M.
M = Valor compuesto de C, valor acumulado de C o monto.
T = Tasa nominal de interés (anual).
i = Tasa de interés en el periodo.
n = Número total de periodos de capitalización que intervienen.
(1 + i )n = Factor de acumulación o factor de interés compuesto.
La ecuación 4.3, solo se puede aplicar en periodos de capitalización unitarios, algunos ejemplos: un
mes, un bimestre, un semestre, un año.
Problema resuelto
3.El costo del predial en la casa de don Jesús se incrementa en 6% al bimestre. ¿Cuánto tendrá que
pagar en el próximo bimestre?, si su tarifa bimestral es de $930.00.
Solución
Datos
Desarrollo
C = $930.00 M = 930.00 [1 + 0.06 ]1 = $985.80
n = un bimestre
T = 6% bimestral
Incógnita M
Problema resuelto
4.En el taller de costura de doña Leonor la producción se incrementa en 3% mensual. Calcular la
producción del taller de costura para el próximo mes, si actualmente produce 15 930 piezas mensuales.
Solución
Datos
Desarrollo
C = 15 930 piezas M = 15 930 [1 + 0.03 ]1 = 16 408 piezas
n = un mes
T = 3% mensual
88
Grupo Editorial Patria©
En la actualidad las instituciones financieras ofrecen
diferentes planes de inversión con periodos de capitalización menores a un año (ver cuadro 4.3). A este
número de veces que en un año los intereses se capitalizan se le conoce como frecuencia de capitalización
y se denota por la letra p.
Cuadro 4.3 De periodos de capitalización
Periodo
Anual
Semestral
Cuatrimestral
Trimestral
Bimestral
Mensual
28 días
Catorcena
Quincenal
Semanal
Diario
Frecuencia (p)
1
2
3
4
6
12
13
26
24
52
360 o 365
Problema resuelto
Alerta
En interés compuesto la
tasa de interés y el tiempo
deben expresarse en la
misma unidad de tiempo.
Ejemplo: si el periodo
de capitalización
de los intereses es
bimestral, entonces el
interés es capitalizable
bimestralmente o es
convertible bimestralmente
o es compuesto
bimestralmente (A.C.
Bimestral).
5.
Encontrar la frecuencia de conversión de un depósito que paga 14% anual de interés capitalizable
trimestralmente.
Solución
P =
1 año
12 meses
=
= 4 periodos de capitalización trimestral
1 trimestre
3 meses
❚❚ 4.2.1 Tasa de interés por periodo (T )
Para conocer el interés por periodo se utiliza la siguiente fórmula:
Interés por periodo ( T ) =
Tasa de interés nominal
Número de periodos de capitalización en un año
❚❚ 4.2.2 Número de periodos
El número total de periodos por año se encuentra de la siguiente forma:
Número total de  Número de periodos 
periodos de
 = de capitalización
 Número 
capitalización  en un año
 de años 
Problema resuelto
6. D
eterminar el interés de cada periodo de capitalización y el número de periodos de capitalización,
si la tasa nominal es de 18% capitalizable bimestralmente, durante cuatro años.
Solución
Primero encontrar el número de periodos de capitalización
P =
12 meses
= 6 periodos de capitalización bimestral.
2 meses
Después calcular el interés por periodo:
T =
18%
= 3% de interés bimestral.
6
Por último, se encuentra el número total de periodos de capitalización para los cuatro años:
m = 6 × 4 = 24 periodos de capitalización bimestral durante cuatro años.
89
UNIDAD
4
Interés compuesto
Cuando el periodo de capitalización de intereses no es anual y se desea conocer el monto de un capital, se emplea la siguiente expresión:

i
M = C 1 + 
p

np
4.4
Donde:
n = plazo en años
i = tasa de interés anual capitalizable en p periodos en un año
p = frecuencia de capitalización
Cuando el periodo tiene el componente continuo (capitalización continuamente)
M = Ce j∞(n)
4.5
Donde:
n = plazo en años
j∞ = tasa de interés anual con componente continuo
e = base de los logaritmos naturales = 2.718
Problema resuelto
7.
¿Qué cantidad podrás tener dentro de dos años, si inviertes $20 800.00 en Banco Nacional y el
interés que paga es de 0.75% bimestral?
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $20 800.00 M = 20 800 [1 + 0.0075]12 = 20 800 (1.0938)
n = 2 años M = $22 751.18
np = (2) (6) = 12 bimestres
T = 0.75% bimestral
Incógnita M
Problema resuelto
8.
Encontrar el monto acumulado en dos años, si el capital es de $3 545.00 y se invierte a un tipo de
interés del:
a) 28% capitalizable semestral (A.C.S.)
b) 28% capitalizable trimestral (A.C.T.)
c) 28% capitalizable mensual (A.C.M.)
Solución
a) Datos:
C = $ 3 545.00
T = 28% A.C.S.
n = 2 años
np = 2(2) = 4
Incógnita M
b) Datos:
C = $3 545.00
T = 28% A.C.T.
n = 2 años
np = 2(4) = 8
Incógnita M
90
Desarrollo:

i 
M = C 1 + 
p

np
0.28 

= 3 545 1 +
2 

2(2)
= 3 545 (1.14 )4 = 3 545 (1.6889 )
M = $5 987.36
Desarrollo:
0.28 

M = 3 545 1 +
4 

M = $6 091.00
4(2)
= 3 545[1.07 ]8 3 545 (1.7182 )
Grupo Editorial Patria©
c) Datos:
C = $3 545.00
n = 2 años
T = 28% A.C.M.
np = 2(12) = 24
Incógnita M
Desarrollo:
0.28 

M = 3 545 1 +
12 

12 ( 2 )
= 3 545[1.023333 ]24 = 3 545[1.7394 ]
M = $6 166.17
Como se puede observar en los tres resultados anteriores, a mayor frecuencia de capitalización
e igual tasa anual nominal, mayor será el interés obtenido por la inversión. En el inciso “c” la
conversión es mensual y tendrá mayor rendimiento que en la trimestral, mientras que esta a su
vez tendrá mayor rendimiento que la semestral.
Problema resuelto
9.Encontrar el monto acumulado en tres años, si el capital es de $6 700.00 y se invierte a un tipo de
interés del:
a) 8% anual capitalizable semestral (A.C.S.)
b) 8% anual capitalizable trimestral (A.C.T.)
c) 8% anual capitalizable mensual (A.C.M.)
Solución
a) Datos:
Desarrollo:
C = $ 6 700.00
6
0.08 

n = 3 años
M = 6 700 1 +
= 6 700 (1.04)6 = 6 700 (1.26532) = $8 477.63
2 

T = 8% A.C.S. 6
0.08 

6
M = 6 700 1 +
 = 6 700 (1.04) = 6 700 (1.26532) = $8 477.63
0.08 2 
i
=
= 0.14
p
2
np = 3(2) = 6
Incógnita M
b) Datos:
Desarrollo:
C = $ 6 700.00
12
0.08 

n = 3 años
M = 6 700 1 +
= 6 700 (1.02)12 = 6 700 (1.26824) = $8 497.22

4 

T = 8% A.C.T. 12
0.08 

M = 6 700
1+
= 6 700 (1.02)12 = 6 700 (1.26824) = $8 497.22
i  0.08 4 
=
= 0.02
p
4
np = 3(4) = 12
Incógnita M
c) Datos:
Desarrollo:
C = $ 6 700.00
36
0.08 

n = 3 años
M = 6 700 1 +
= 6 700 (1.00666)36 = 6 700 (1.006666) = $8 510.38
12 

T = 8% A.C.M.
36
0.08 

36
M = 6 700 1i + 12
 = 6 700 (1.00666) = 6 700 (1.006666) = $8 510.38
0.08


= 0.00666
=
p
12
np = 3(12) = 36
Incógnita M
Como se puede observar en los tres resultados anteriores, a mayor frecuencia de capitalización e igual tasa anual nominal, mayor será el interés obtenido por la inversión. En el inciso “c”
la conversión es mensual y tendrá mayor rendimiento que en la trimestral; esta, a su vez, tendrá
mayor rendimiento que la semestral.
91
UNIDAD
4
Interés compuesto
Problema resuelto
10.
El ingeniero Roberto Valero depositó $2 500.00 en una cuenta de ahorros en el banco Serfin el
10 de febrero de 1994, a 4.5% anual capitalizable diariamente (A.C.D.). ¿Cuánto dinero tendrá en
su cuenta el 10 de febrero de 2013?
Solución
a) Con tiempo exacto
Datos:
Desarrollo:
C = $ 2 500.00
0.045 

M = 2 500 1 +
365 

T = 4.5% A.C.D.
7300
= 2 500 (1.0001233 )7 300 = 2 500 (2.459467) = $6148.67
np = 20(365)
= 7 300 días
7300
0.045 

Incógnita
M
2 500 (1.0001233 )7 300 = 2 500 (2.459467) = $6148.67
M = 2 500
1
+
=

365 

b) Con tiempo aproximado
Datos:
Desarrollo:
C = $ 2 500.00
0.045 

M = 2 500 1 +
360 

T = 4.5% A.C.D.
7 200
= 2 500 (1.000125 )7 200 = 2 500 (2.459465) = $6148.66
np = 20(360)
= 7 200 días
7 200
0.045 

M = 2Incógnita
500 1 +
M
= 2 500 (1.000125 )7 200 = 2 500 (2.459465) = $6148.66
360 

La diferencia es de tan solo $0.01. Por esta razón los bancos utilizan el tiempo exacto para la
aplicación diaria.
Problema resuelto
11.
Una cuenta de ahorros en banco Aztek paga un interés 6.2% al año. El banco calcula el interés diariamente sobre el saldo diario mínimo y se deposita el último día de cada mes. ¿Calcular el interés de
los siguientes movimientos en la cuenta de Elsa Calderón del 15 de febrero al 27 de junio de 2013?
Cuadro 4.4 De movimientos e intereses generados
Fecha
(año 2013)
Depósitos
($)
Febrero 15
1 000.00
Capital
(El día uno de cada mes)
0.00
1 000.00
1 002.718
16
1 002.718
4.428
1 807.146
26
1 807.146
1.228
1 808.374
04
Abril 1 al 30
1 808.374
9.215
1 817.59
30
Mayo 1 al 31
1 817.59
9.571
1 827.16
31
1 827.16
4.657
1 831.82
15
1 831.82
3.423
1 835.24
11
Marzo 1 al 27
• A mayor número de
capitalizaciones más
intereses se obtienen en
el mismo plazo.
• A menor número de
capitalizaciones menos
intereses se tendrán en
el mismo plazo.
92
Plazo
(en días)
2.718
800
Marzo 27 al 31
A mayor frecuencia de
capitalización de intereses,
se van a producir nuevos
intereses y al final del plazo
se tendrá un monto mayor,
que el alcanzado si el
número de capacitaciones
es menor.
Monto ($)
M=C+I
1 000.00
Febrero 15 al 28
Alerta
Intereses ($)
I = Cni
Junio 1 al 15
500
Junio 16 al 27
Solución
Desarrollo:
I1 = 1 000 (0.062)(16/365) = $2.718
I2 = 1 002.718 (0.062)(26/365) = $4.428
I3 = 1 807.146 (0.062)(4/365) = $1.228
I4 = 1 808.374 (0.062)(30/365) = $9.215
I5 = 1 817.58 (0.062)(31/365) = $9.571
I6 = 1 827.16 (0.062)(15/365) = $4.657
I7 = 1 831.82 (0.062)(11/365) = $3.425
Grupo Editorial Patria©
4.3 Comparación del interés simple con el interés compuesto
Con el siguiente ejemplo se podrá comparar la diferencia que existe en la cantidad de dinero recibido
con el interés simple y la cantidad recibida con el interés compuesto. Con ello podemos observar sus
diferencias.
Problema resuelto
12. Una persona invierte un capital de $10 000.00 a 10% anual durante cuatro años.
a) Calcular el interés simple.
b) Calcular el interés compuesto.
Solución
a) Cálculo del interés simple
Datos:
Desarrollo:
C = $10 000.00 I = Cni = 10 000(4)(0.10) = $4 000.00
T = 10% anual
n = 4 años
Incógnita I
El monto a cuatro años será: M = C + I = 10 000 + 4 000 = $14 000.00
b) Cálculo del interés compuesto
Datos:
Desarrollo:
Capital inicial $10 000.00 I = C1ni = 10 000 (1) (0.10) = $1 000.00
i = 0.10 anual
n = un año
Incógnitas I y M1
El monto al primer año es: M1 = C + I = 10 000 + 1 000 = $11 000.00
El monto obtenido en el primer año (M1) se convierte en el capital inicial del segundo año (C2).
Datos:
Desarrollo:
M1 = C2 = $11 000.00 I2 =
i = 0.1 anual I2 = 11 000 (1) (0.10) = $1 100.00
n = un año
Monto final del segundo año es: M2 = 11 000 + 1 100 = $12 100.00
El monto del segundo año (M2) se convierte en el capital inicial en el tercer año (C3).
Datos:
Desarrollo:
M2 = C3 = $12 100.00 I3 = 12 100 (1) (0.10) = $1 210.00
T = 0.1 anual
n = un año
Monto final al terminar el tercer año: M3 = 12 100.00 + 1 210.00 = $13 310.00
El monto del tercer año se convierte en el capital inicial en el cuarto año.
Datos:
Desarrollo:
M3 = C4 = $13 310.00 I4 = 13 310 (1) (0.10) = $1 331.00
i = 0.10 anual
n = un año
Monto final al terminar el cuarto año: M4 = 13 310.00 + 1 331.00 = $14 641.00
93
UNIDAD
4
Interés compuesto
Como observamos en los resultados del ejemplo, el interés compuesto es mayor que el interés simple,
con un mismo capital, tasa y tiempo. La mejor forma de comparar los montos es dibujando la gráfica
correspondiente.
Cuadro 4.5 Comparativa de interés simple e interés compuesto
Año
Interés simple
M = C [1 + ni ]
Interés compuesto
M = C [1 + i]n
0
10 000
10 000
1
11 000
11 000
2
12 000
12 100
3
13 000
13 310
4
14 000
14 641
14 500
13 500
Interés simple
12 500
Interés compuesto
11 500
10 500
9 500
0
1
2
año
3
4
Figura 4.3 Comparativo de interés simple con interés compuesto.
El monto a interés compuesto crece en forma geométrica y su gráfica es una función exponencial, en
donde para cada periodo existe un incremento que es mayor con respecto al periodo anterior, al hacer
que la curva ascienda de izquierda a derecha cada vez con mayor velocidad. Su ecuación, como ya se
indicó, es la de una función exponencial.
M = C[1 + i]n
En el interés simple el monto crece en progresión aritmética y la gráfica es una línea recta, en donde
para cada periodo el incremento es constante. Su ecuación será la de una línea recta.
M = C + (Ci ) n
Y = b + mx
El interés compuesto siempre será mayor que el interés simple, porque el primero gana intereses por
sí mismo, mientras que el segundo no.
Problema resuelto
13.Melisa Reyes deposita en su cuenta de ahorro en Banejército la cantidad de $5 000.00 a una tasa
de 7% durante tres años. ¿Cuál será el monto al final de los tres años?
Solución
Cuadro 4.6
Periodos
Capital inicial ($)
Intereses ($)
Capital final ($)
1
2
5 000.00
350.00
5 350.00
5 350.00
374.50
5 724.50
3
5 724.50
400.71
6 125.21
Monto final al terminar el tercer año: M3 = 5 724.50 + 400.71 = $6 125.21
94
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
14.
Calcular el monto de $10 000.00, pagaderos a cinco años y siete meses, a una tasa de 20% capitalizable semestralmente.
a) Exacto
b) Aproximado
Solución
20% A.C.S.
a)
10 000
M
5 años y 7 meses
0
Figura 4.4 Cálculo del monto por el método exacto.
Datos:
Desarrollo:
C = $10 000.00
11.16
0.20 

M = 10 000  1 +
= 10 000 (1.1)11.16 = 10 000 ( 2.8969 ) = $28 969.59
n = 5 años 7 meses

2 
11.16
T = 20% A.C.S.
0.20 

M = 10 000  1 +
= 10 000 (1.1)11.16 = 10 000 ( 2.8969 ) = $28 969.59
n = 5(12) + 7 = 67 meses
2 
67 meses
= 11.16 semestres
6 meses por semestre
20% A.C.S.
b)
20% A.C.S.
5 años y 6 meses
0
5 años y 7 meses
Figura 4.5 Cálculo del monto por el método aproximado.
5 años y 6 meses = 11 semestres
0.20 

M = 10 000  1 +

2 
11

 1 
11
1 + ( 0.20 )  12   = 10 000 (1.1) (1.016666 )


M = 10 000 (2.85312)(1.016666) = 29 006.70
4.4 Valor actual o presente
El valor actual es un concepto muy utilizado en las matemáticas financieras, porque permite conocer el
valor en un determinado momento, de una cantidad que se recibirá, que deba pagarse o que se desea
reunir en un tiempo futuro.
A partir de la fórmula de monto en interés compuesto.
M = C (1 + i )n
4.3
Despejando a C se tiene:
C =
M
4.6
(1 + i )n
O también puede escribirse como:
C = M (1 +i )-n

i
C = M 1 + 
p

4.7
– np
C = M (e)-(nj∞)
4.8
4.9
Alerta
El valor actual o presente es
el capital que es necesario
invertir ahora, a una tasa
de interés determinada,
para llegar a tener un cierto
monto.
95
UNIDAD
4
Interés compuesto
Problema resuelto
15.
¿Qué cantidad tiene que depositar hoy en un fondo de inversión que paga 9.4% capitalizable
mensualmente para tener $8 000.00 dentro de cuatro años?
Solución
Datos:
Desarrollo:
M = $8 000.00

i
T = 9.4% A.C.M. C = M  1 + 
p

np = 4 (12) = 48
– np
0.094 

= 8 000  1 +

12 
–48
C = 8 000(1.00783)-48
C = 8 000(0.6876) = $5 500.87
Problema resuelto
16.
Encuentra el valor presente de $20 000.00 a pagarse dentro de cuatro años a 4.2% compuesto.
a) Diariamente
b) Continuamente
Solución
Capitalización diaria:
Datos:
Desarrollo:
M = $20 000.00

i
T = 4.2% anual C = M  1 + 
p

np = 4 (365) = 1 460
– np
0.042 

= 20 000  1 +

365 
–1460
C = 20 000(1.000115)-1460
C = 20 000(0.84536) = $16 907.24
Capitalización continua
Datos:
Desarrollo:
M = $20 000.00 C = M (e)-nj∞ = 20 000 (e) -0.168
i∞ = 0.042 anual C = 20 000(0.84535) = $16 907.08
n=4
Problema resuelto
17.
¿Cuál es el valor presente de $64 000.00 invertidos 18 meses antes, a una tasa de 22% capitalizable bimestralmente?
Solución
Datos:
Desarrollo
M = $64 000.00
− np
−9

i
0.22 

= 64 000  1 +
= 64 000 (1.03666 ) −9 = 64 000 ( 0.723
n = 18 meses C = M  1 + 


p
6 

T = 22% A.C.B. − np
−9

i
0.22 

C = M C
1+ 
= 64 000  1 +
= 64 000 (1.03666 ) −9 = 64 000 ( 0.723182 )
Incógnita

p
6 

C = $46 283.67
El valor 18 meses antes de $64 000.00 a esa tasa de interés es de $46 283.67.
96
Grupo Editorial Patria©
❚❚ 4.4.1 Tiempo
El tiempo se puede calcular despejando “n” de la ecuación 4.4:

i
M = C 1 + 
p

np
4.4
Despejando a “n”
M 
i
= 1 + 
C
p

np
Aplicando logaritmos

i
M
log   = log  1 + 
C
p

Alerta
np
Propiedad de los logaritmos
log (x)n = n log (x)
Empleando la propiedad de logaritmos
np =
n=
M
log  
C


i 
log  1 +  
p  


M
log  
C
4.10


i 
p log  1 +  
p

 

Problema resuelto
18.
Un capital de $11 873.15 produce intereses a una tasa de 20% capitalizable cada mes. ¿En cuánto
tiempo la inversión llegará a $19 459.55?
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $11 873.15
M = $19 459.55
T = 20% A.C.M. n =
Incógnita n
M
log  
C


i 
p log  1 +  
p  


=
 19 459.55 
log 
 11873.15 
0.20  


12 log  1 +

12  

=
log(1.63895 )
12[log (1.01666 )]
=
0.214566
0.214566
=
12 ( 0.007178 ) 0.086143
 19 459.55 
M
log 
log  
C
 11873.15 
log(1.63895 )
0.214566
0.214566
n
=
=
=
=
=
0.20   12[log (1.01666 )] 12 ( 0.007178 ) 0.086143




i 
p log  1 +   12 log  1 +

12  
p  



n = 2.4908
n = 2 años, 5 meses y 27 días
Problema resuelto
19.
¿Cuánto tardarán $20 000.00 en acumular $36 000.00 de interés 4.9% capitalizable trimestral­
mente?
97
UNIDAD
4
Interés compuesto
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $20 000.00
M = $36 000.00
T = 4.9% A.C.T. n =
Incógnita n
M
log  
C


i 
p log  1 +  
p

 

=
 36 000 
log 
 20 000 
0.049  


4 log  1 +

4  

=
log(1.8 )
4 [log(1.01225 )]
=
 36 000 
M
log 
log  
C
 20 000 
log(1.8 )
0.255272
0.255272
n
=
=
=
=
=
4 [log(1.01225 )] 4 ( 0.0052878 )
0.021151
0.049  




i 
4 log  1 +
p log  1 +  
 

4
p






n
= 12.06897
n = 12 años y 25 días
Problema resuelto
20.
¿En cuánto tiempo reduce un peso su valor adquisitivo a la mitad si se tiene una inflación del:
a) 14%?
b) 10%?
c) 5%?
Solución
a) Datos:
Desarrollo:
M = $1.00
C = $0.50
p = uno n =
T = 14% anual
 1 
log 
 0.5 
(1) [log (1.14 )]
=
log ( 2 )
(1) [log (1.14 )]
=
0.3010299
= 5.29
(1) ( 0.056905 )
Incógnita n
n = 5 años, 3 meses y 14 días
b) Datos:
Desarrollo:
M = $1.00
C = $0.50
p = uno n =
T = 10% anual
 1 
log 
 0.5 
(1) [log (1.10 )]
= 7.27254
Incógnita n
n = 7 años, 3 meses y 8 días
c) Datos:
Desarrollo:
M = $1.00
C = $0.50
p = uno n =
T = 5% anual
 1 
log 
 0.5 
(1) [log (1.05 )]
=
log ( 2 )
log (1.05 )
= 14.2066
Incógnita n
n = 14 años, 2 meses y 14 días
En la capitalización diaria.
■■
Se debe entender que el mes es de 30 días, sino se indica el nombre del mes en la redacción del problema.
■■
Cuando en la redacción del problema dice el nombre del mes, se consideran los días calendario del mismo.
Ejemplo: marzo número de días 31, febrero en año bisiesto 29 días.
98
0.255272
0.2552
=
4 ( 0.0052878 )
0.0211
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
21.
¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $89 999.00, para alcanzar la cantidad de
$94 800.00 incluyendo los intereses, si la tasa es de 4% capitalizable trimestralmente?
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $89 999.00
M = $94 800.00
n = 4% A.C.T.
n=
Incógnita n
M
log  
C


i 
p log  1 +  
p

 

=
 94 800 
log 
 89 999 
0.04  


4 log  1 +

4  

=
log (1.053345 )
4 [log (1.01)]
=
0.0225706
4 ( 0.00432137 )
 94 800 
M
log 
log  
C
 89 999 
log (1.053345 )
0.0225706
n=
=
=
=
4 [log (1.01)]
4 ( 0.00432137 )
0.04  




i 
4 log  1 +
p log  1 +  

4  
p  



0.0225706
n =
= 1.30576
0.0172855
n = 1 año, 3 meses y 20 días
Problema resuelto
22.
¿En cuánto tiempo un capital de $17 000.00 se convierte en un monto de $21 000.00 a una tasa
de 8% capitalizable continuamente y 6% capitalizable diariamente?
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $17 000.00 21 000 = 17 000 e0.08 (n)
M = $21 000.00
21 000
= e 0.08 ( n )
j∞ = 8% A.C. Continua 17 000
Incógnita n1.235294 = e 0.08 (n)
Fórmula: M = C e j∞(n) ln (1.235294) = ln (e 0.08 (n))
ln (1.235294) = 0.08 n
0.211309 = 0.08 n
n =
0.211309
= 2.64 años
0.08
Con tiempo exacto (365 días)
Datos:
Desarrollo:
j∞ = 6% A.C. Diaria
0.06 

21000 = 17 000  1 +
Incógnita n

365 
n
pn
n

i
21000 
0.06 
Fórmula: M = C  1 + 
=
+
1


p

365 
17 000 
1.235294 = (1.00016438)n
log (1.235294) = nlog (1.00016438)
0.091770373 = n (0.000071385)
n =
0.091770373
0.000071385
n = 1 285.56 días
n = 3.5222 años
n = 3 años, 6 meses y 8 días
99
UNIDAD
4
Interés compuesto
4.5 Tasas equivalentes, efectivas y nominales
❚❚ 4.5.1 Cálculo de la tasa
Es importante recordar que los periodos de la tasa de interés son periodos de capitalización y es en
donde los intereses se acumulan al capital para que produzcan nuevos intereses.
Problema resuelto
23.
Banorte ofrece una tasa de interés de 4.6% capitalizable anualmente, mientras que Banco Aztek
ofrece 4.6% con capitalización trimestral. ¿En qué banco es recomendable hacer la inversión?
Solución
La respuesta es en el Banco Aztek, porque los intereses los pagan cada trimestre y al reinvertirse se
ponen a trabajar el capital cuatro veces al año. Mientras que en Banorte solo se capitalizan los intereses
una vez al año.
Para comprobar el resultado anterior, se debe conocer la tasa real de interés que se obtiene con cada
inversión. Para conocer esta tasa i es necesario despejarla de la ecuación de monto.
M = C (1 + i )n
4.11
Existen dos alternativas para despejar la tasa i; a continuación se muestran las dos.
n
Raíz
Logaritmos
M
= ( 1 + i )n
C
M
= ( 1 + i )n
C
M n
= ( 1 + i )n
C
 M
log   = log ( 1 + i ) n
C
M
= 1+ i
C
 M
log   = n log ( 1 + i )
C
n
 M
i = n  − 1
 C 
4.11
log ( 1 + i ) =
 M
log  
C
n
  M 
 log  C  

1 + i = antilog 
 n 
  M 
 log  C  
−1
i = antilog 
 n 
4.11a
Problema resuelto
24.
Una inversión de $20 000.00 en 10 años cuadruplica su valor. Calcular la tasa anual.
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $20 000.00
 80 000 
 M
4
n
M = $80 000.00 i =  C  − 1 =  4 20 000  − 1 =  4  − 1 = 1.4142 − 1 = 0.4142




n = 10 años
 80 000 
 M
i = n
 − 1 =  4 4  − 1 = 1.4142 − 1 = 0.4142
 − 1 = 4
Incógnita i
 C 
 20 000 
i = 0.4142
Anual
T = 41.42%
100
Anual
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
25.
Una inversión de $82 350.00 a 16 meses alcanzó un monto de $88 640.00. Calcular la tasa anual.
Solución
Datos:
Desarrollo:
C = $82 350.00
 88 640 
 M
16
n
M = $88 640.00 i =  C  − 1 = 16 82 350  − 1 =  1.0763813  − 1 = 1.004611 − 1




n = 16 meses
 88 640 
 M
i = n
 − 1 = 16 1.0763813  − 1 = 1.004611 − 1
 − 1 = 16
Incógnita i
 C 
 82 350 
i = 0.004611 Mensual
T = 0.4611%
Mensual
T = 5.53%
Anual
❚❚ 4.5.2 Tasas equivalentes
Las tasas equivalentes son aquellas que producen el mismo interés durante un año con diferentes
periodos de capitalización.
Problema resuelto
26. ¿ A qué tasa de interés compuesto mensualmente producirá el mismo monto, que a 9.5% capitalizable trimestralmente?
Solución
i 

Monto acumulado a un año M1 = C  1 +

12 
12
tasa capitalizable mensualmente.
Monto acumulado en un año a 9.5% anual capitalizable trimestral:
0.095 

M2 = C  1 +

4 
4
Igualando los montos:
M1 = M2
i 

C 1 +

12 
i 

 1 + 12 
12
1+
i
= (1.02375 )0.3333  − 1
12
i = 12 (1.007855 - 1)
i = 12 (0.007855)
i = 0.09426 anual convertible mensualmente
12
i 

 1 + 12 
12
0.095 

= C 1 +

4 
0.095 

= 1 +

4 
4
4
12
=
12
(1.02375 )4
4
i
= (1.02375 ) 12
12
La tasa de 9.426% anual convertible mensualmente es equivalente a la tasa de 9.5% anual convertible
trimestralmente.
101
UNIDAD
4
Interés compuesto
Problema resuelto
27.Encontrar la tasa de interés convertible trimestralmente a una equivalente de 22% capitalizable
mensualmente.
Solución
0.22 

Monto acumulado a 22% convertible mensualmente M1 = C  1 +

12 
12
i

Monto acumulado a una tasa convertible trimestralmente M2 = C  1 + 

4
4
Igualando los montos:
M1 = M2
0.22 

C 1 +

12 
4
0.22 

 1 + 12 
(1.018333)3 - 1 = 0.25i
i = (1.0560145 - 1)/0.25
i = (0.0560145)/0.25
i = 0.224
i = 22.4% anual convertible trimestralmente.
0.22 

 1 + 12 
12
i

= C 1 + 

4
4
12
=
4
(1 + 0.25 i )4
3
= 1 + 0.25 i
La tasa de 22% anual capitalizable mensualmente es equivalente a la tasa de 22.4% anual capitalizable
trimestralmente.
Problema resuelto
28.
Encontrar la tasa de interés convertible cuatrimestralmente a una equivalente de 6.8% capitalizable
mensualmente.
Solución
0.068 

Monto acumulado a 6.8% convertible mensualmente M1 = C  1 +

12 
12
i

Monto acumulado a una tasa convertible trimestralmente M2 = C  1 + 

3
Igualando los montos:
102
M1 = M2
0.068 

C 1 +

12 
3
0.068 

1+

12 
0.068 

 1 + 12 
12
i

= C 1 + 

3
3
12
=
3
(1 + 0.333 i )3
4
= 1 + 0.3333 i
3
Grupo Editorial Patria©
(1.00566667)4 - 1 = 0.3333i
i = (1.02286 - 1)/0.3333
i = (0.02286)/0.3333
i = 0.06858
i = 6.858% anual convertible cuatrimestralmente.
La tasa de 6.8% anual capitalizable mensualmente es equivalente a la tasa de 6.858% anual capitalizable cuatrimestralmente.
❚❚ 4.5.3 Tasa efectiva
La tasa efectiva (e) capitalizable anualmente es equivalente a la tasa nominal (i ) compuesta en (p) periodos por año.
[Tasa efectiva al cabo de un año] = [Tasa nominal en p periodos por año]
Dividiendo ambos términos entre C se tiene:

i
C (1 + e ) = C  1 + 
p


i
e = 1 + 
p

p
Alerta
p
−1
4.12
La tasa efectiva es la que actúa directamente sobre un periodo.
Tasa efectiva o rendimiento
anual efectivo. Es la tasa
de interés simple que da el
mismo rendimiento en un
año que la tasa compuesta.
Problema resuelto
29. Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 12% capitalizable bimestralmente.
Solución
T = 12% A.C. Bimestral
0.12 

e = 1 +
− 1 = (1.02 )6 − 1 = 1.126162 − 1 = 0.126162
6 

e = 12.62% anual
6
Es lo mismo invertir a 12% capitalizable bimestralmente que a 12.61% con capitalización anual.
Problema resuelto
30.Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 25.9% anual capitalizable semestralmente.
Solución
T = 25.9% A.C. Semestral
0.259 

e = 1 +
− 1 = (1.1295 )2 − 1 = 1.27577 − 1 = 0.27577
2 

e = 27.58% anual
2
Es lo mismo invertir a 25.9% compuesto semestralmente que a 27.58% con capitalización anual.
103
UNIDAD
4
Interés compuesto
Problema resuelto
31.
Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 32.7% anual capitalizable trimestralmente.
Solución
T = 32.7% A.C. trimestral
4
0.327 

e = 1 +
− 1 = (1.08175 )4 − 1 = 1.3693 − 1 = 0.3693
4 

e = 36.93% anual
Es lo mismo invertir a 32.7% compuesto trimestralmente que a 36.93% con capitalización anual.
❚❚ 4.5.4 Tasa nominal
La tasa nominal se aplica para todo el año y es convertible en (p) periodos.
p
Alerta

i
e = 1 + 
p

p

i
e + 1 = 1 + 
p

p
e + 1 = 1+
1
Advertencia
( e + 1) p − 1 =
La tasa nominal es la tasa
de interés anual fijada
sin tomar en cuenta la
capitalización.
−1
i
p
i
p
1


i = p ( e + 1) p − 1
4.13
Problema resuelto
32. Encontrar la tasa nominal bimestral equivalente a una tasa de interés efectivo de 9%.
Solución
Datos:
Desarrollo
e = 9%i = 6[(0.09 + 1)1/6 - 1] = 6[(1.09)0.1666 - 1] = 6[1.01446 - 1]
p = 6i = 6(0.01446) = 0.0868
T = 8.68%
El 8.68% compuesto bimestralmente es equivalente a 9% de interés efectivo.
Problema resuelto
33.
¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 18% capitalizable
trimestralmente?
Solución
Desarrollo:
i 

 1 + 12 
104
12
0.18 

= 1 +

4 
4
Grupo Editorial Patria©
4
1+
i
= (1.045 ) 12
12
4


i = 12 (1.045 ) 12 − 1
i = 12[(1.045)0.3333 - 1]
i = 12(0.0148) = 0.17737
i = 17.74%
La tasa nominal de 17.74% convertible mensualmente será equivalente a una tasa de 18% capitalizable
trimestralmente.
Problema resuelto
34.
¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 24% capitalizable
trimestralmente?
Solución
i 

 1 + 12 
12
0.24 

= 1 +

4 
4
4
1+
i
= (1.06 ) 12
12
i = 12[(1.06)0.3333 - 1]
i = 12[1.019612 - 1]
i = 12(0.019612)
i = 0.23535
i = 23.54%
La tasa nominal de 23.54% convertible mensualmente será equivalente a una tasa de 24% capitalizable
trimestralmente.
4.6 Ecuación de valor
Una ecuación de valor en interés compuesto es la igualdad de dos conjuntos diferentes de obligaciones, la original y la propuesta en una fecha determinada en forma arbitraria; a la cual se le conoce
como fecha focal, de comparación o fecha de evaluación (F.F.).
Para resolver un problema utilizando la ecuación de valor, es necesario seguir los pasos que se describen a continuación:
1.Identificar el primer conjunto de obligaciones, el conjunto original, el cual es intercambiado por
un segundo conjunto de obligaciones, el propuesto, que es diferente al original en lo referente a
pagos y vencimientos.
2.Trasladar los dos conjuntos de obligaciones a una fecha focal.
3.Plantear una ecuación de valor igualando los dos conjuntos de obligaciones, para ello, ambos
conjuntos deben de referirse a una misma fecha focal (F.F.).
a) Cualquier suma de dinero puede determinarse a futuro con:
M = C (1 + i )n
b) Cualquier suma de dinero puede ser descontada, para poder anticipar su disponibilidad con:
C = M (1 + i )-n
105
UNIDAD
4
Interés compuesto
Problema resuelto
35.La compañía de bordados Viraza, S. A., tiene dos préstamos que debe pagar en fechas ya acordadas con Bancrédito. Después de realizar un minucioso estudio el nuevo administrador de la
compañía decidió modificar la forma de pago a una sola exhibición, la cual fue fijada y acordada
por ambas partes (F.F.).
Solución
a)Se tiene que fijar un punto en el tiempo (fecha focal).
b)La fecha focal es propuesta por el administrador para cubrir la deuda en un solo pago, para
ello, deberá trasladar a esta fecha (F.F.), las dos deudas, utilizando las expresiones de valor
presente o el valor futuro (monto), según sea el caso. Ver figura 4.6.
Alerta
Conjunto de obligaciones
Un conjunto de obligaciones
puede estar constituido
por una o más cantidades
que se pagan o se reciben.
A este conjunto de
obligaciones también se le
conoce como paquete de
obligaciones o flujos de
efectivo.
En la figura 4.6, X1 y X2 representan las fechas de
pago de las dos deudas de la compañía Viarza, F.F.
ubica la nueva fecha de pago (único) la cual cubrirá
las dos deudas originales y está fijada en común
acuerdo por Bancrédito y la Compañía Viarza, las
flechas representan el traslado de las deudas en
el tiempo. Para trasladar el flujo X1 a la F.F. se utiliza la expresión de monto C = M (1 + i )n y para
el flujo X2 se utiliza la expresión de valor presente
C = M (1 + i )-n.
F. F.
X2
X1
Tiempo
Figura 4.6
En las ecuaciones de valor en interés compuesto los resultados del pago único o los pagos parciales no
varían al cambiar la fecha focal. En el caso ya estudiado de las ecuaciones de valor en interés simple,
al cambiar la fecha focal los resultados de los pagos van a ser diferentes.
Problema resuelto
36. E
l restaurante Totto tiene una obligación de $92 500.00 que vence en nueve años, a una tasa de
interés de 11% convertible mensualmente. ¿Cuál es el valor de la deuda equivalente al final de:
a) seis años?
b) doce años?
Solución
Datos:Desarrollo:
a) T = 11% A.C.M. C6 años = M (1 + i )-n = 92 500(1 + 0.009166)-12(3)
i = 0.009166 mensual
= 92 500(1.009166)-36 = 92 500 (0.72)
Un pago de $92 500.00 C6 años = $66 600
n = 9 años
n6 = 6 años
Fecha focal: a los seis años de la fecha de contratación de la obligación.
T = 11% A.C.M.
Flujo 1
F. F.
$92 000
0
Flujo 2
6
9
Figura 4.7
106
12 años
Grupo Editorial Patria©
Datos:Desarrollo:
b) T = 11% A.C.M. M12 años = C (1 + i )n = 92 500(1 + 0.009166)12(3)
i = 0.009166 mensual
= 92 500(1.009166)36 = 92 500(1.38885)
Un pago de $92 500.00 M12 años = $128 468.22
n = 9 años
n12 = 12 años
Fecha focal: a los doce años de la fecha de contratación de la obligación.
T = 11% A.C.M.
$92 000
0
6
9
F. F.
12 años
Figura 4.8
Es importante hacer notar que C6 años es equivalente a M12 años
Desarrollo:
C6 años = M12 años (1 + i )-6n = 128 468.22(1 + 0.009166)-12(6) = 128 468.22(1.009166)-72
C6 años = 128 468.22(0.518432) = $66 602.08
T = 11% A.C.M.
0
F. F.
$92 000
6
9
12 años
Figura 4.9
Problema resuelto
37.
La fábrica de hielo del Atlántico debe $100 000 pagaderos al final de 18 meses y $150 000 pagaderos al final de cuatro años. La tasa de interés que aplicó Bancrédito fue de 24% convertible
trimestralmente. El contador de la fábrica le propuso al administrador de la misma dos alternativas
para liquidar en un pago el adeudo. La primera el día de hoy y la segunda dentro de dos años.
Solución
Datos:Desarrollo:
a) T = 24% A.C.T. x = 100 000(1 + 0.06)-6 + 150 000(1.06)-16
i = 0.06 trimestral x = 100 000(0.70496) + 150 000(0.3936)
Un pago x
x = 70 496.05 + 59 046.94
n6 = 18 meses = 6 trimestres x = $129 542.99
n16 = 4 años = 16 trimestres
Fecha focal: el día de hoy.
Pago
F. F.
x
0
Deuda
T = 24% A.C.T.
6
$100 000
16 trimestres
$150 000
Figura 4.10
107
UNIDAD
4
Interés compuesto
Datos:Desarrollo:
b) T = 24% A.C.M.
x = 100 000(1 + 0.06)2 + 150 000(1.06)-8
i = 0.06 trimestral
x = 100 000(1.1236) + 150 000(0.6274)
Un pago x
x = 112 360.00 + 94 111.86
n6 = 18 meses = 6 trimestres x = $206 471.86
n16 = 4 años = 16 trimestres
Fecha focal: a los dos años = 8 trimestres.
T = 24% A.C.T.
F. F.
x
$100 000
0
6
$150 000
8
16 trimestres
Figura 4.11
Problema resuelto
38.
El Centro Sport debe pagar $37 000.00 dentro de tres meses y $17 400.00 en ocho. El Centro
Sport acuerda con su acreedor liquidar sus deudas mediante un pago único en el sexto mes a una
tasa de 28% convertible mensualmente. Calcular el valor del pago único.
Solución
Datos:Desarrollo:
T = 28% A.C. Mensual Flujo 1 = Flujo 2
Fecha focal: sexto mes. x = 37 000(1.023333)3 + 17 400(1.023333)-2
x = 37 000(1.0716) + 17 400(0.9549)
x = 39 650.86 + 16 616.57
x = $56 266.44
T = 28% A.C.M.
Flujo 1
0
Flujo 2
3
37 000
F. F.
x
6
8 meses
17 400
Figura 4.12
Problema resuelto
39.
Para comprar un comedor con valor de $60 000.00, el Sr. José Soto decidió realizar dos pagos de
$25 000.00, uno a los seis meses y el otro a doce. Los pagos se harán más los intereses de 22%
anual capitalizable trimestralmente. Después de tres meses decide renegociar la deuda y acuerda
pagarla en tres pagos trimestrales: el primero de $19 000.00, el segundo de $25 000.00 y el tercero por la diferencia; para este caso se acordó un interés de 24% capitalizable trimestralmente.
¿Cuál será el valor del último pago?
Solución
T1 = 22% A. C. Trimestral
T2 = 24% A.C. Trimestral
Fecha focal: nueve meses.
108
Grupo Editorial Patria©
Deuda
T1 = 22% A.C.T.
60 000
0
6
25 000 + I
Pagos
12 meses
25 000 + I
Figura 4.13
Los pagos originales serían a los seis meses de:
25 000(1 + 0.055)2 = $27 825.62
y a los doce meses de:
25 000(1 + 0.055)4 = $30 970.61
Al renegociar la deuda, queda como se muestra en la gráfica 4.14.
T2 = 24% A.C.T.
Deuda
F. F.
27 825.62
0
Pagos
1
19 000
2
25 000
30 970.61
3
x
4 trimestres
Figura 4.14
Desarrollo
19 000(1.06)2 + 25 000(1.06)1 + x = 27 825.62(1.06)1 + 30 970.61(1.06)-1
21 348.40 + 26 500 + x = 29 495.16 + 29 217.56
47 848.40 + x = 58 712.72
x = 58 712.12 - 47 848.40
x = $10 864.32
Problema resuelto
40.
La casa de ropa deportiva Uribe compra mercancía con valor de $150 000. Acuerda con su acreedor realizar un pago de contado de $50 000 y $90 000 después de seis meses. La fábrica textil
cobra intereses a 18% capitalizable mensualmente sobre saldos insolutos. ¿Qué pago final deberá
realizar la casa de ropa deportiva al final de un año?
Solución
Datos:Desarrollo:
T = 18% A.C.M. x(1.015)12 = 100 000 + 90 000(1.015)-6
i = 0.015 mensual x(0.836387) = 100 000 + 90 000(0.914542)
Deuda 150 000 - 50 000 = 100 000 x(0.836387) = 100 000 + 82 308.7973
x =
182 308.7973
0.836387
x = $217 971.82
Deuda
Pagos
F. F.
100 000
0
50 000
T = 18% A.C.M.
6
$90 000
12 meses
x
Figura 4.15
109
UNIDAD
4
Interés compuesto
4.7 Tiempo equivalente
El tiempo es equivalente cuando en una fecha determinada se puede cancelar, mediante un pago,
la suma de los valores de un conjunto de obligaciones que tienen diferentes fechas de vencimiento.
Problema resuelto
41.
La química Susana Altamirano tiene que pagar las siguientes obligaciones de $18 000.00,
$25 000.00 y $30 000.00 con diferentes fechas de pago en 3, 9 y 12 meses, respectivamente. La
química acordó con el banco realizar un pago único en una fecha, con una tasa de 24% capitalizable mensualmente.
Solución
El pago único se determina a través del cálculo del tiempo equivalente. Para tener una idea
más clara se grafica el problema, colocando los pagos en sus respectivas fechas de vencimiento
y se ubica la fecha focal.
T = 24% A.C.M.
Deuda
F. F.
$18 000
$25 000
$30 000
3
9
12
0
... ...
... ...
n meses
Tiempo
Figura 4.16
La fecha focal se determina de manera lógica, para este ejemplo se ubica en el doceavo mes,
ya que en este, se cancelarán todas las obligaciones.
El pago único será de 18 000 + 25 000 + 30 000 = $73 000
El tiempo entre el pago de $73 000 y la fecha focal en n, se obtiene planteando la siguiente
ecuación de tiempo equivalente.
Desarrollo:
18 000(1.02)9 + 25 000(1.02)3 + 30 000 = 73 000(1.02)n
18 000(1.195) + 25 000(1.0612) + 30 000 = 73 000(1.02)n
21 511.6662 + 26 530.20 + 30 000 = 73 000(1.02)n
78 041.866 = 73 000(1.02)n
78 041.866
= (1.02 )n
73 000
(1.02)n = 1.069066
n log (1.02) = log (1.069066)
n (0.00860017) = 0.0290048
n=
0.0290048
0.00860017
n = 3.372584 meses
n = 3 meses, 11 días
Entonces, existen 3.372584 periodos mensuales antes de la fecha focal, el tiempo equivalente
para el pago único será el siguiente.
Fecha pago único = (11 meses 30 días) - (3 meses 11 días) = 8 meses y 19 días.
El pago será de $73 000.00 y se realizará dentro de 8 meses y 19 días.
110
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
42.
El talabartero Ronaldo Montero es un pequeño fabricante de carpetas y llaveros de piel, requiere
introducir nuevos modelos con el objetivo de aumentar las ventas de su empresa. Para ello, de­
cidió contraer una deuda con una institución bancaria de la siguiente manera: $40 000.00 con
vencimiento en seis meses, $60 000.00 a ocho y $90 000.00 en 12 meses. El talabartero Ronaldo
decide renegociar su deuda para realizar un pago único, a una tasa de 20% capitalizable mensualmente. Encontrar el tiempo equivalente.
Solución
T = 20% A.C.M.
Deuda
0
F. F.
$40 000
$60 000
$90 000
6
8
12
... ...
... ...
n meses
Tiempo
Figura 4.17
La fecha focal se ubica en el doceavo mes, ya que en este se cancelarían todas las obligaciones.
El pago único es de 40 000 + 60 000 + 90 000 = $190 000
El tiempo entre el pago de $190 000 y la fecha focal en n, se obtiene al plantear la siguiente
ecuación de tiempo equivalente.
Desarrollo:
40 000(1.016666)6 + 60 000(1.016666)4 + 90 000 = 190 000(1.016666)n
40 000(1.104256) + 60 000(1.068349) + 90 000 = 190 000(1.016666)n
44 170.24 + 64 100.95 + 90 000 = 190 000(1.016666)n
198 271.19 = 190 000(1.016666)n
198 271.19
= (1.016666 )n
190 000
(1.016666)n = 1.0435326
n log (1.016666) = log (1.0435326)
n (0.0071783) = 0.018506
n=
0.018506
0.0071783
n = 2.57805 meses
n = 2 meses y 17 días
Entonces, existen 2.57805 periodos mensuales antes de la fecha focal, el tiempo equivalente
para el pago único será el siguiente.
Fecha pago único = (11 meses 30 días) - (2 meses 17 días) = 9 meses y 13 días.
El pago único será de $190 000 y deberá pagarse dentro de 9 meses y 13 días.
Problema resuelto
43.
La embotelladora de agua Alpina adeuda al Banco Nacional $45 000.00 con vencimiento en tres
meses y $15 000.00 con vencimiento en nueve. La embotelladora desea liquidar la deuda hoy
con un pago único. ¿Cuál será el tiempo equivalente si la tasa de interés es de 30% capitalizable
mensualmente?
111
UNIDAD
4
Interés compuesto
Solución
60 000(1.025)x
0
3
9 meses
45 000
15 000
Figura 4.18
Desarrollo:
60 000(1.025)n = 45 000(1.025)-3 + 15 000(1.025)9
60 000(1.025)n = 45 000(0.928599) + 15 000(0.800728)-9
60 000(1.025)n = 41 786.97 + 12 010.92
60 000(1.025)n = 53 797.89
(1.025 )n =
53 797.89
60 000
(1.025)n = 0.89663159
n=
n=
log ( 0.89663159 )
log (1.025 )
−0.04738596
= −4.41874
0.010723865
n = 4 meses y 13 días
La embotelladora debe liquidar sus préstamos con un pago único de $60 000.00 dentro de
cuatro meses y 13 días.
Problema resuelto
44.
El contador Alejandro Herrera desea comprar un automóvil, para ello analiza dos planes de compra. El primero consiste en pagar de contado la cantidad de $248 500.00. El segundo es pagar
un anticipo de $90 000.00 y el saldo en dos pagarés de $98 000.00 a 6 y 12 meses. Si el contador
invirtiera en el banco el dinero a una tasa de 16% capitalizable mensualmente, ¿cuál de los dos
planes le conviene?
Solución
248 500
90 000
98 000
98 000
0
6
12 meses
Figura 4.19. Primero se necesita trasladar todas las cantidades al mismo tiempo.
Valor actual de los dos pagares
0.16 

C1 = 90 000 + 98 000  1 +

12 
−6
0.16  −12

+ 98 000  1 +

12 
C1 = 90 000 + 90 513.24 + 83 598.43
C1 = $264 111.67
Valor actual de la segunda propuesta.
C2 = 264 111.67 - 248 500 = $15 611.67
Le conviene aceptar la primera propuesta, ya que tendrá un ahorro de $15 611.67 si compra
ahora el automóvil.
112
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
45.
El señor Leonardo García firma un pagaré por la cantidad de $583 350.00, a plazo de trece meses,
con una tasa de interés de 2% mensual. El señor García va a descontar el documento siete meses
antes de su vencimiento, con una tasa de 1.8% mensual. ¿Cuál es el valor actual del documento?
Solución
Calcular el valor de vencimiento del pagaré.
Datos:
Desarrollo:
C = $583 350.00 M = 583 350(1.02)13 = 583 350(1.2936) = $754 625.43
T = 2% mensual
n = 13 meses
Incógnita M
Se encuentra el valor actual a la fecha de descuento.
Datos:
Desarrollo:
− np
M = $754 625.43

i
C
=
M
1
+
= 754 625.43 (1.018 ) −7 = 754 625.43 ( 0.8826 ) = $666 034.91

T = 1.8% mensual
p 

n = 7 meses
− np

i
C = M  1C
+ 
= 754 625.43 (1.018 ) −7 = 754 625.43 ( 0.8826 ) = $666 034.91
Incógnita
p

Descuento compuesto 754 625.43 - 666 034.91 = $88 590.52
4.8 Inflación
Es importante saber de qué manera se incorpora la inflación a un análisis financiero, ya que hasta
este momento se ha estudiado en los dos capítulos el manejo del dinero sin considerar la inflación, o
considerando un incremento tan bajo en los precios de los bienes o servicios que prácticamente este
problema no se toma en consideración.
¿Qué efecto tiene la inflación en el poder adquisitivo? La respuesta es, el valor del dinero disminuye,
por tanto el poder de compra. Lo anterior también se puede entender con un ejemplo: si con $64.00
se compran ocho gomas y cada una cuesta $8.00 en el mes de enero, con los mismos $64.00 en
diciembre del mismo año solo se podrá comprar siete gomas y cada una costará $8.32. Entonces,
el incremento en el precio de cada goma será 4% en un año; por tanto, la inflación para el caso de
los gomas será 4% anual. En la economía de un país no solo se venden y producen gomas, también
diferentes bienes y servicio. La inflación se representa por lo regular en términos del porcentaje que
presenta la tasa de incremento de los precios en una quincena, mes o año, con respecto a los precios
de la quincena, mes o año anterior.
Alerta
Definición
La inflación es el
incremento continuo y
generalizado de los precios
de los bienes y servicios
que se producen en un país,
se simboliza con la letra
griega l (lambda).
Problema resuelto
46.
Supón que la tasa de inflación anual se mantiene constante desde enero de 2006 hasta enero de
2015 (6.35%). Encontrar el precio de una silla para escritorio de piel en el mes de enero del 2015,
si en el mes de enero del año 2006 costaba $6 700.00.
Solución
Datos:
Desarrollo:
l = 6.35% anual M = C (1 + i )n
C = $6 700.00 M = 6 700 (1 + 0.0635)9
n = 9 años M = 6 700 (1.0635)9
Incógnita M
M = 6 700 (1.740353)
M = $11 660.36
El costo de una silla de piel para escritorio en enero del año 2015 será de $11 660.36.
113
UNIDAD
4
Interés compuesto
La inflación es un problema económico que tiene causas muy complejas.
Alerta
Definición
Deflación es cuando los
precios de los bienes o
servicios bajan.
Alerta
■■
El incremento de monedas y billetes circulantes, sin un incremento de la producción de bienes
y servicios equivalente.
■■
Cuando se recurre a la emisión de dinero para cubrir el déficit presupuestal del gobierno.
■■
Si la demanda de un bien o servicio es mayor que la oferta los precios suben. Esto se debe
al exceso de moneda circulante, ya que la gente tiene más dinero para comprar entonces la
demanda aumenta.
Al hablar de una inflación baja, se debe entender como el incremento mínimo en los precios de los
bienes o servicios en un periodo determinado; por ejemplo, una inflación anual de 0.5% o de 1.2%.
La tasa de inflación se calcula con la siguiente expresión.
Advertencia
I1 + lI1 = I2
Cuando se habla de una
inflación baja, no significa
que se presente una
deflación.
4.14
I1 (1 + l) = I2
1+ λ =
λ=
I2
I1
I2
I1
−1
4.15
l Tasa de inflación.
I1 Índice de precios al inicio del periodo.
I2 Índice de precios al final del periodo.
Problema resuelto
47.
Encontrar la tasa de inflación presentada de enero de 2009 a enero de 2014.
Solución
Datos:
Desarrollo:
Índice Nacional de Precios al Consumidor
l=
Año
Enero
Índice
2009
13.11855899
I1
2014
17.98345675
I2
Incógnita l
I2
I1
−1
17.98345675
l=
−1
13.11855899
l = 1.37084 - 1
l = 0.37084
l = 37.084%
Problema resuelto
48.
¿Qué tasa de inflación acumulada se tendrá a finales de 2016? Si la inflación en el mes de enero
de 2016 fue de 0.3564%, suponer que la tasa de inflación es la misma para todo el año.
Solución
Datos:
Desarrollo:
l = 0.3564% mensual l = (1 + l)n - 1
4.16
Incógnita l1
l = (1 + 0.003564) - 1
12
l = 1.0436164 - 1
l = 0.0436164
l = 4.36164% anual
114
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
49.
El señor Gómez desea comprar un refrigerador para su taller en el mes de enero de 2015, el
refrigerador cuesta $8 400.00, un gasto imprevisto le impide comprar el refrigerador, por lo que
se pregunta cuánto le costará en el mes de diciembre del mismo año, si la tasa anual acumulada
constante fue de 4.76825% anual.
Solución
Datos
Desarrollo:
C = $8 400.00 Costo + Inflación = Nuevo Costo
n = 1 año Costo1 + l Costo1 = Costo2
l = 4.76825% anual (8 400) + (8 400) (0.0476825) = $8 800.53
Incógnita I2 (M)
Problema resuelto
50.
Encontrar la inflación en los dos primeros trimestres de 2015.
Solución
Datos
Desarrollo
l
= (1 + l1)(1 + l2)(1 + ln) - 1l
Mes
Inflación
l
= (1.00003554)(1.00333173)(1.00450726)
Enero
0.003554%
(1.00356142)(1.00002512)(1.00095988) - 1
Febrero
0.333173%
Marzo
0.450726%
l = 1.0124757 - 1
l = 0.0124757
Abril
0.356142%
Mayo
0.002512%
Junio
0.095988%
l = 1.2476%
Incógnita l
l = (1 + l1)(1 + l2)(1 + ln) - 1
l1, l2, ln Tasa de inflación por periodo
4.17
La inflación acumulada en los dos primeros trimestres de 2015 es de 1.2476%.
Problema resuelto
51. E
ste ejemplo muestra de qué manera se puede tomar una decisión para invertir el dinero en una
institución bancaria con base al concepto de interés compuesto. El objetivo final de esta inversión
será alcanzar a reunir la máxima cantidad de dinero a futuro para comprar o adquirir los bienes o
servicios deseados.
El historiador Arturo Moreno Camargo recibió la cantidad de $500 000.00 de una herencia. Él y su
esposa María de los Ángeles analizaron en qué gastarían el dinero. Decidiendo utilizar $320 000.00
para realizar arreglos a su casa, $100 000.00 guardarlos para imprevistos y $80 000.00 invertirlos
en una institución bancaria, con el objetivo de utilizar ese dinero para cuando su hijo Jesús Miguel
ingresara a la universidad; ya que los costos de la inscripción, mensualidades y libros se incrementarán conforme trascurra el tiempo. En la actualidad Jesús Miguel tiene tres años de edad,
para cuando ingrese a la universidad transcurrirán 15 años. Ellos deciden visitar tres instituciones
financieras para decidir en cuál depositarán el dinero, la primera que visitaron fue Banorte. Esta
les ofreció invertir a plazo fijo con interés de 12.5% capitalizable bimestralmente; la segunda fue
Banejército, que ofreció invertir a plazo fijo con un interés de 11.6% capitalizable trimestralmente;
el último, Bonos del Ahorro les ofreció ganar 15.6% capitalizable semestralmente. Suponiendo que
las tres instituciones financieras ofrecen la misma liquidez. ¿Por cuál banco deben decidirse para
invertir su dinero?, con el objetivo de que dentro de 15 años alcance el máximo monto. Considerar
que la tasa de interés permanece constante durante todo el plazo y no hay inflación.
115
UNIDAD
4
Interés compuesto
Solución
Se tienen que calcular las tres tasas anuales compuestas por mes para poder hacer la comparación.
Pasos a considerar para tomar una decisión de inversión.
• No es necesario conocer el capital con el que se cuenta.
• L o que sí es importante es conocer la tasa anual para cada alternativa que se tenga (Banorte,
Banejército, Bonos del Ahorro).
• L a tasa anual se capitaliza con la misma frecuencia y debe ser equivalente a las alternativas
presentadas (Banorte, Banejército, Bonos del Ahorro).
Primero calculamos la tasa anual compuesta mensualmente para Banorte.
i 

Tasa i anual capitalizable cada mes M1 = C  1 +

12 
12
0.125 

Tasa i anual capitalizable cada bimestre M2 = C  1 +

6 
6
Igualando M1 = M2
M1 = M2
i 

C 1 +

12 
12
1+
i
= (1.13169 ) 12 − 1
12
i = 12[(1.13169)0.0833 - 1]
i = 12(0.01036)
i = 12.43% anual convertible mensualmente
12
i 

 1 + 12 
i
=
12
12
0.125 

= C 1 +

6 
6
12
=
12
(1 + 0.020833 )6
1.13169
1
Después calculamos la tasa anual compuesta mensualmente para Banejército.
i 

Tasa i anual capitalizable cada mes M3 = C  1 +

12 
12
0.116 

Tasa i anual capitalizable cada trimestre M4 = C  1 +

4 
4
Igualando M3 = M4
116
M3 = M4
i 

C 1 +

12 
12
1+
12
i 

 1 + 12 
i
=
12
12
0.116 

= C 1 +

4 
4
12
=
12
(1 + 0.029 )4
1.1211443
Grupo Editorial Patria©
1
i
= (1.1211443 ) 12 − 1
12
i = 12[(1.1211443)0.0833 - 1]
i = 12(0.009574)
i = 11.49% anual convertible mensualmente
Por último, calculamos la tasa anual compuesta mensualmente para Bonos del Ahorro.
i 

Tasa i anual capitalizable cada mes M5 = C  1 +

12 
12
0.156 

Tasa i anual capitalizable cada semestre M6 = C  1 +

2 
2
Igualando M5 = M6
M5 = M6
i 

C 1 +

12 
12
1+
i
= (1.162084 ) 12 − 1
12
i = 12[(1.162084)0.0833 - 1]
i = 12(0.012597)
i = 15.12% anual convertible mensualmente
12
i 

 1 + 12 
i
=
12
12
0.156 

= C 1 +

2 
2
12
=
12
(1 + 0.078 )2
1.162084
1
La mejor opción en la que conviene invertir es la de Bonos del Ahorro, ya que la tasa que ofrece de
15.6% anual capitalizable cada semestre es equivalente a una tasa de 15.12% anual capitalizable mensualmente, esta tasa mensual fue la más alta de las tres alternativas (Banorte, Banejército, Bonos del
Ahorro).
Para conocer la cantidad de dinero con que contarán dentro de 15 años, es necesario calcular el monto.
Datos:Desarrollo:
C = $80 000.00
np

i 
T = 15.12% A.C. Mensual M = C 1 + 
p


15.12
= 1.26% mensual
i =
( 15 )( 12 )
0.1512 
12

M = 80 000 1 +
12 

n = 15 años
Incógnita M
M = 80 000[1 + 0.0126]180
M = 80 000[1.0126]180
M = 80 000[9.52415]
M = $761 931.86
La cantidad de dinero con que contarán después de 15 años es de $761 931.86.
117
UNIDAD
4
Interés compuesto
Problema resuelto
52.
El comerciante Luis Eduardo Chavarría Barbosa cuando llevó a cabo su testamento, como acto de
personalísima voluntad en una de sus cláusulas estipuló que $800 000.00 de sus bienes se aplicara
en un fondo de inversión de bajo riesgo. Este dinero deberá ser entregado en partes iguales a
cada uno de sus hijos como beneficiarios al cumplir la edad de 24 años. Cuando el señor Chavarría
falleció sus hijos tenían 15,18 y 21 años, respectivamente. El fondo de inversión generó en promedio intereses de 10% con capitalizaciones semestrales.
Solución
Datos:
x el pago equitativo requerido
Alejandro de 15 años recibirá $ x dentro de nueve años.
Héctor de 18 años recibirá $ x dentro de seis años.
Mónica de 21 años recibirá $ x dentro de tres años.
La fecha focal para el cálculo de x se fija para hoy.
Flujo 1
T = 10% A.C.S.
F. F.
$800 000
0
12
x
6
x
18 semestres
x
Flujo 2
Figura 4.20
Desarrollo:
x (1.05)-6 + x (1.05)-12 + x (1.05)-18 = 800 000
x (0.7462) + x (0.5568) + x (0.4155) = 800 000
x (1.7185) = 800 000
x = $465 512.26
❚❚ Fórmulas empleadas
Capitalización anual:
M = C (1 + i )n
4.1
I = Cni
4.2
M = C (1 + i )
n
4.3
Capitalización fraccionaria:

i
M = C 1 + 
p


np
4.4
Cuando el periodo tiene el componente continuo (capitalización continuamente)
M = Ce j∞(n)
4.5
Valor actual o presente:
C =
M
4.6
(1 + i )n
C = M (1 + i )-n
4.7
C = M (1 + i )
4.8
C = M (e)
-n
-(nj )
∞
118
4.9
Grupo Editorial Patria©
Tiempo:
n=
M
log  
C


i 
p log  1 +  
p

 

4.10
Tasa:
˘
 M
i = n
 − 1˙
 C 
˚

M 
 log  C  
−1
i = antilog 


n
4.11
4.11a
Tasa efectiva:

i
e = 1 + 
p

p
−1
4.12
i = [(1 + e)1/p] - 1
4.13
I1 + lI1 = I2
4.14
Tasa nominal:
Inflación:
Tasa de inflación:
λ=
I2
I1
−1
4.15
Tasa de inflación acumulada constante:
l1 = (1 + l)n - 1
4.16
l = (1 + l1)(1 + l2) … (1 + ln) - 1
4.17
Tasa de inflación acumulada variable:
Tasa de inflación por periodo
l1, l2, … ln
❚❚ Nomenclatura
LETRA
SIGNIFICADO
C
Es el capital inicial (valor actual)
n
Número total de periodos de capitalización
M
Monto (valor futuro)
T
Tasa de interés compuesto
e
Tasa efectiva
i
Tasa nominal
i
Interés compuesto al tanto por uno
(1 + i )
n
P
Factor de acumulación o factor de interés compuesto
Frecuencia de capitalización
119
UNIDAD
4
Interés compuesto
❚❚ Glosario
Actualizar. Conociendo el monto se desea saber el capital que es necesario invertir ahora, a una tasa
de interés determinada, durante un plazo determinado (ir del futuro al presente).
Capitalizar. Es cuando se agrega el interés al capital al final de un determinado periodo (ir del presente al futuro).
Frecuencia de capitalización de intereses. Periodo en el que se van a producir nuevos intereses (mes,
bimestre, trimestre, semestre, etc.). A mayor frecuencia de capitalización mensual (12) bimestral (6)
en un año, se obtienen más intereses.
Interés compuesto. Es el capital al que se le acumulan los intereses devengados al final del periodo,
este da origen a un nuevo capital sobre el que se generan nuevos intereses.
Liquidez. Característica de ciertos activos que son fácilmente convertibles en efectivo; como son depósitos bancarios a la vista, activos financieros que pueden ser vendidos instantáneamente.
Periodo de capitalización. Es un intervalo regular, en el que se generan intereses, los cuales se le
agregan al capital al final de éste.
Tasa efectiva. Es la tasa de interés simple que da el mismo rendimiento en un año que una tasa compuesta.
Tasa nominal. Es la tasa de interés anual, sin tomar la capitalización.
Valor actual o presente. Es el capital que es necesario invertir ahora, a una tasa de interés determinada, para llegar a tener un monto al final de un periodo dado.
UNIDAD
4
Problemas para resolver
Frecuencia de conversión
4.1 ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito
que paga un interés de 18% capitalizable bimestralmente?
4.6 Encontrar el monto acumulado en dos años, si el capital
es de $3 545.00 y se invierte a un tipo de interés del:
a) 28% anual capitalizable semestral (A.C.S.)
4.2 ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito
que paga un interés de 7% capitalizable mensualmente?
b) 28% anual capitalizable trimestral (A.C.T.)
4.3 Si la tasa de interés es de 13.8% capitalizable trimestralmente durante dos años determinar:
4.7 Se desea conocer el monto acumulado, cuando el capital es de $18 000.00, invertido a 18% anual capitalizable
bimestralmente, siendo el plazo de 18 meses.
a) frecuencia de capitalización.
b) el interés por periodo.
c) el número total de periodos de capitalización.
4.4 Si la tasa de interés es de 15% capitalizable semestralmente durante tres años determinar:
a) frecuencia de capitalización.
b) el interés por periodo.
c) el número total de periodos de capitalización.
4.5 ¿Qué cantidad podrá tener Lorena García dentro de
cuatro años, si invierte $5 800.00 en Banorte y los intereses
que paga son de 1.8% trimestral?
120
Problemas aplicados a la realidad
c) 28% anual capitalizable mensual (A.C.M.)
4.8 Se invierten $15 500.00 durante 24 meses a una tasa de
7.56%, para comprar una computadora portátil, encontrar el
valor acumulado.
4.9 El señor Martínez invirtió $22 000.00 en Bansur, por un
plazo de cuatro años, con un interés de 9.7% capitalizable
trimestralmente. Después de dos años y medio de inversión
la tasa se modificó a 8% convertible mensualmente. Encontrar el monto al final de los cuatro años.
4.10 La bióloga Roxana Hernández obtuvo un préstamo
bancario por $12 500.00 a un año y con un interés de 22%
capitalizable bimestralmente. Ella decidió liquidarlo en forma anticipada habiendo transcurrido seis meses y medio.
¿Cuál será la cantidad que debe pagar?
Problemas para resolver con tecnología
Grupo Editorial Patria©
4.11 La socióloga Alondra Rea invierte $19 500.00 en Banorte a un año y medio a una tasa de interés nominal de
4.5%. ¿Qué cantidad recibe al final del plazo?
4.23 ¿En cuánto tiempo se triplica un capital que se invierte
al 23% capitalizable mensualmente?
a) Con capitalización bimestral.
4.24 En cuánto tiempo reduce un peso su valor adquisitivo
a la mitad si se tiene una inflación del:
b) Con capitalización continua.
a) 50%
4.12 Si la tasa de interés es de 15% capitalizable semestralmente durante tres años determinar:
b) 30%
a) Frecuencia de capitalización.
d) 14%
b) El interés por periodo.
e) 10%
c) El número total de periodos de capitalización.
4.13 ¿Cuál será el valor presente de $11 600.00 invertidos
nueve meses antes, a una tasa de 24% capitalizable mensualmente?
4.14 ¿Cuál será el valor presente de $28 000.00 invertidos
14 meses antes, a una tasa de 18% capitalizable bimestralmente?
4.15 ¿Cuánto debe depositar la estudiante Alejandra Martínez, si desea tener un monto de $14 600.00, dentro de
tres años a una tasa de interés de 10% anual capitalizable
mensualmente para su fiesta de graduación?
4.16 El contador Alejandro Herrera desea comprar un automóvil, para ello analiza dos planes de compra. El primero, es
pagar de contado la cantidad de $125 000.00, y el segundo
es pagar un anticipo de $50 000.00 y el saldo en dos pagarés de $45 210.00 cada uno a 6 y 12 meses. Si el contador
invirtiera su dinero en un fondo de inversión a una tasa de
8.9% capitalizable mensualmente, ¿cuál de los dos planes
le conviene?
4.17 Calcular el valor actual de $69 572.00, pagaderos a
un año ocho meses, con una tasa de 24% capitalizable cada
tres meses.
4.18 Calcular el valor actual de $25 840.00, pagaderos a un
año ocho meses, a una tasa de 20% capitalizable cada tres
meses.
4.19 Calcular el valor actual de $45 000.00, pagaderos a
ocho meses y 13 días, a una tasa de 24.6% capitalizable
mensualmente.
4.20 La señora Amanda García firmó un pagaré por la cantidad de $11 349.00, a plazo de un año, con una tasa de
interés de 1.5% mensual. La señora García piensa descontar
el documento cinco meses antes de su vencimiento, con una
tasa de 18% con capitalización mensual. ¿Cuál será el valor
actual del documento a los cinco meses?
Calcular el valor de vencimiento del pagaré
4.21 ¿En cuánto tiempo un capital de $700.00 se convierte
en un monto de $1 000.00 a una tasa de 8% capitalizable
bimestralmente?
4.22 Un capital de $19 870.00 produce intereses a una tasa
de 24% capitalizable cada mes. ¿En cuánto tiempo la inversión llegará a $21 873.15?
Problemas aplicados a la realidad
c) 17%
f ) 5%
4.25 ¿En cuánto tiempo un capital de $5 700.00 se convierte en un monto de $7 000.00 a una tasa de 15% capitalizable
diariamente?
4.26 ¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de
$2 800.00, para alcanzar la cantidad de $3 999.00 incluyendo
los intereses, si la tasa es de 8% capitalizable trimestralmente?
4.27 ¿En cuánto tiempo un capital de $17 000.00 se convierte en un monto de $19 000.00 a una tasa de 8% capitalizable bimestralmente?
4.28 El administrador Ramón Mendieta depósito en una
institución financiera $600 000.00 y después de tres años
y cuatro meses le entregarán la cantidad de $950 000.00.
¿Cuál es la tasa de interés bimestral que le dio la institución
financiera a su inversión?
4.29 Una inversión de $10 000.00 en 10 años quintuplica su
valor. Calcular la tasa anual.
4.30 Una inversión de $75 000.00 a 18 meses alcanzó un
monto de $82 354.27. Calcular la tasa anual.
4.31 La tasa de 14.816% anual convertible mensualmente
es equivalente a la de 15% anual convertible trimestralmente.
4.32 Encontrar la tasa de interés convertible trimestralmente a una equivalente de 21.8% capitalizable mensualmente.
4.33 Encontrar la tasa de interés convertible cuatrimes­
tralmente a una equivalente de 10.8% capitalizable mensual­
mente.
4.34 Encontrar la tasa de interés convertible bimestralmente a una equivalente de 8% capitalizable mensualmente.
4.35 Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa
nominal de 22% capitalizable bimestralmente.
4.36 Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 18% anual capitalizable semestralmente.
4.37 Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 12% anual capitalizable trimestralmente.
4.38 Encontrar la tasa nominal bimestral equivalente a una
tasa de interés efectivo de 10%.
Problemas para resolver con tecnología
121
UNIDAD
4
Problemas para resolver
4.39 ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 24% capitalizable trimestral­
mente?
4.40 ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 14% capitalizable trimestral­
mente?
4.41 ¿Qué cantidad debe pagarse en un trimestre para saldar una deuda de tres pagos mensuales de $1 000.00 dada
una tasa de 12% capitalizable mensualmente?
4.42 La contadora Alma Robles debe pagar $3 000.00 dentro de tres meses y $7 400.00 dentro de seis. Acuerda con su
acreedor liquidar sus deudas mediante un pago único en el
quinto mes a una tasa de 26.7% convertible mensualmente.
Calcular el valor del pago único.
4.43 Un taller textil solicitará un préstamo de $2 000 000.00
dentro de dos años a pagar en uno y otro de $3 500 000.00 dentro de cuatro. La forma de pago será de la siguiente manera: el día de hoy paga $1 000 000.00 y posteriormente dos
pagos iguales, el primero dentro de un año y el segundo a
los tres años con una tasa de interés de 24% capitalizable
bimestralmente. ¿Cuál fue el importe de cada pago?
4.44 Al adquirir un escritorio y tres libreros con valor de
$30 000.00, el doctor Suárez decidió realizar dos pagos
de $15 000.00, uno a los seis meses y el otro al año. Los
pagos se harán más los intereses de 22% anual capitalizable
semestralmente. Después de tres meses decide renegociar
la deuda y acuerda pagarla en tres pagos trimestrales: el
primero de $9 000.00, el segundo de $15 000.00 y el tercero
por la diferencia, para este caso se acordó un interés de 24%
capitalizable trimestralmente. ¿Cuál será el valor del último
pago?
4.45 El contador Salvador Rodríguez tiene que pagar
las siguientes obligaciones de $5 000.00, $10 000.00 y
$20 000.00 con diferentes fechas de pago de 3, 8 y 10 meses, respectivamente. El contador piensa realizar un pago
único en una fecha determinada, con una tasa de 18% capitalizable mensualmente.
4.46 El ingeniero Pedro Morales es un pequeño fabricante de llaveros que requiere introducir nuevos modelos con
el objetivo de aumentar las ventas de su empresa. Decide
contraer una deuda con una institución bancaria de la siguiente forma: $20 000.00 con vencimiento en cinco meses,
$30 000.00 a ocho meses y $40 000.00 con vencimiento en
12 meses. Al empresario le interesa realizar un pago único,
con una tasa de 24% capitalizable mensualmente. Encontrar
el tiempo equivalente.
4.47 La compañía productos de agrícola, adeuda al banco
$35 000.00 con vencimiento a dos meses y $25 000.00 con
vencimiento a seis meses. La compañía desea liquidar la
deuda hoy con un pago único. ¿Cuál será el tiempo equivalente suponiendo un interés de 2% mensual?
PROBLEMAS RETO
1
Problemas complementarios de interés compuesto
Si la tasa de interés es de 10% capitalizable semestralmente durante tres años determinar:
a) frecuencia de capitalización.
b) el interés por periodo.
c) el número total de periodos de capitalización.
122
2
El director de la escuela invirtió $42 000.00 en Bansur, por un plazo de cuatro años, con un
interés de 12% capitalizable trimestralmente. Después de dos años y medio de inversión la
tasa se modificó a 15% convertible mensualmente. Encontrar el monto al final de los cuatro
años.
3
¿Cuánto debe depositar una persona, si desea tener un monto de $16 600.00, dentro
de tres años a una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente para su fiesta de
graduación?
4
¿En cuánto tiempo un capital de $7 530.00 se convierte en un monto de $7 980.00 a una tasa
de 15% capitalizable diariamente?
5
Una inversión de $7 000.00 en tres años triplica su valor. Calcular la tasa anual.
6
Encontrar la tasa de interés convertible trimestralmente a una equivalente de 22.5% capitalizable mensualmente.
Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
UNIDAD
5
Anualidades
OBJETIVOS
Comprenderá el concepto de anualidad y su aplicación.
Identificará los diferentes tipos de anualidades como son las simples, vencidas u
ordinarias, anticipadas, diferidas, generales y a perpetuidad.
Resolverá problemas de anualidades determinando el valor del dinero a través del tiempo:
• Monto
• Capital y valor presente
• Plazo
• Renta
¿QUÉ SABES?
¿Sabes qué significa el término anualidad?
¿Qué entiendes por una anualidad a perpetuidad o perpetua?
¿Sabes cuándo se efectúan los pagos en una anualidad ordinaria?
¿Qué nombre recibirá la anualidad, en la que los pagos se realizan al principio de cada
periodo?
¿En una anualidad diferida sabes qué es el periodo de gracia o periodo de diferimiento?
Los periodos de capitalización de la tasa de interés, son periodos en donde los ______________.
¿Sabes cómo se llama la anualidad, cuando el periodo de pago es más largo que el de
capitalización?
UNIDAD
5
Anualidades
5.1 Introducción
Alerta
El término anualidad o
renta:
• Es la suma fija que se
entrega o recibe en forma
anual durante un periodo o
en forma perpetua.
• E n términos bancarios
la anualidad es
una cuota anual de
devolución de un pago
a un préstamo, en el
cual normalmente se
incluyen el capital y los
intereses.
En la actualidad, el término anualidad se encuentra muy arraigado en la matemática financiera, siendo
esta una sucesión de pagos iguales que se realizan al final de cada año. El concepto de anualidad
también se emplea en periodos de pago cuya frecuencia puede ser: semestral, trimestral, bimestral,
mensual, quincenal, semanal, diaria o cualquier otra.
En los siguientes casos se efectúan una serie de pagos iguales, a intervalos iguales, en un plazo de­
terminado por el deudor y acreedor. En lugar de realizar pagos anuales durante un plazo determinado.
El pago mensual por compra a crédito de un automóvil, el pago mensual a tarjeta de crédito por
la compra de un servicio o artículo a meses sin intereses, el pago mensual por la renta (anticipada) de
una casa habitación, el abono mensual por dividendo de acciones, los abonos a un fondo de amortiza­
ción, el descuento se le realiza al trabajador vía nómina para el pago quincenal de un seguro de vida o
para el pago a fonacot por un artículo del hogar adquirido por el trabajador, el pago mensual de cuo­
tas al imss por parte del patrón.
Definición
La anualidad es una serie de pagos, depósitos o retiros iguales que se efectúan a intervalos
iguales con interés compuesto.
Cuando los periodos de pago son menores a un año se acostumbra utilizar el término renta
para realizar el pago de una anualidad.
Definición
La renta en una anualidad es el pago, depósito o retiro que se realiza en forma periódica y
se simboliza con la letra R.































Plazo de la anualidad
R
R
R
R
0
1
2
3
4 años








C
Intervalo o periodo de pago
Figura 5.1 Plazo de la anualidad, renta e intervalo.
Es importante aprender el significado de los siguientes conceptos:
Periodo o intervalo de pago es el tiempo que transcurre entre un pago y otro.
Plazo de la anualidad es el tiempo transcurrido desde la fecha inicial del primer pago hasta la fecha
final del último pago.
Clasificación de las anualidades
Cuadro 5.1 Clasificación de las anualidades
Criterio
Tipo de anualidad
Cierta Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.
Tiempo
Interés
Contingentes o eventual La fecha del primer pago, segundo o ambos no se determinan con anterioridad, esto va a depender de que el suceso
ocurra, pero se desconoce la fecha.
Simple Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.
General El periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses.
Vencido u ordinario Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo o intervalo.
Pagos
Anticipados Los pagos se efectúan al principio de cada periodo o intervalo.
Inmediatos El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la formalización del trato.
Iniciación
124
Anticipada Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo.
Diferida Se pospone la realización de los pagos. No se realizan a partir del primer periodo.
Grupo Editorial Patria©
5.2 Anualidades a perpetuidad o anualidad perpetua
Es otro tipo de anualidad, con la característica de que no se conoce cuándo se realizará el último pago
de la renta (o por tiempo ilimitado).
5.3 Anualidades vencidas
Existen varios tipos de anualidades vencidas, entre las más comunes encontramos:
Anualidad simple
Se conoce así porque el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.
Anualidad cierta
Donde las fechas de pago se determinan con anterioridad y son fijas.
Anualidad vencida
Consiste en efectuar los pagos al vencimiento del periodo.
Anualidad inmediata
Se presenta cuando se realiza el pago en el primer periodo después de la formalización del trato.
En el cuadro 5.2 se explica cómo identificar los diferentes tipos de anualidades vencidas cuando son
planteadas para resolver un ejemplo o problema:
Cuadro 5.2 Forma de identificar la anualidad vencida
Criterio
Anualidad vencida
Ejemplo
Tiempo (Cierta)
Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.
Al final del mes (el día 28 o 30 o 31).
Plazo
Tiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha de su
vencimiento.
El plazo puede ser de dos años.
Iniciación
(Inmediata)
El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después
de la emisión de un empréstito (formalización del trato).
Al final del mes de mayo (el día 31).
Pagos
Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo o intervalo.
• Al final del mes.
• El día último del mes.
• El día 31 del mes (el periodo que comprende del día
1 al día 31 de mayo).
Interés
(Simple)
Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los
intereses.
Periodo de pago de un mes y la tasa de interés es de
10% anual convertible mensualmente.
Alerta
A la anualidad vencida
también se le conoce como
anualidad ordinaria.
❚❚ 5.3.1 Monto en anualidades vencidas
El ejemplo que se presenta a continuación permitirá comprender cómo calcular el monto de una
anualidad mediante varios depósitos de renta fija. Primero se encontrará la solución utilizando los co­
nocimientos de progresiones, interés compuesto y de ecuaciones equivalentes y después se obtendrá
la expresión para calcular el monto de la anualidad vencida.
Problema resuelto
1.Para incrementar el saldo promedio mensual se depositará una cantidad mínima de $150.00 mes
con mes y por medio de ellos poder escalar en los niveles de ahorro que le permitan participar
en sorteos bimestrales para poder ganar un premio, el alumno Alejandro Ortiz se pregunta, ¿qué
cantidad de dinero necesitaría acumular en un año si depositara $150.00 al final de cada mes en
una cuenta de inversión que rinde 4.8% anual convertible mensualmente?
125
UNIDAD
5
Anualidades
Solución
Datos
T = 4.8% anual
R = $150.00
n = 12 meses
Incógnita M
M=?
150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150
0
1
2
3
5
4
6
7
8
9
10
11
12 meses
Figura 5.2 Plazo de la anualidad, renta e intervalo (de tiempo).
1.Utilizando los conocimientos previos de progresiones, interés compuesto y ecuaciones equivalentes:
Poner los datos en el orden de la serie:
M=$
150.00(1.004)11 + $150.00(1.004)10 + $150.00(1.004)9 + $150.00(1.004)8 + $150.00(1.004)7 +
$150.00(1.004)6 + $150.00(1.004)5 + $150.00(1.004)4 + $150.00(1.004)3 + $150.00(1.004)2 +
$150.00(1.004)1 + $150.00(1.004)0
Cambiando el orden de la serie se tiene:
M=$
150.00 + $150.00(1.004)1 + $150.00(1.004)2 + $150.00(1.004)3 + $150.00(1.004)4 +
$150.00(1.004)5 + $150.00(1.004)6 + $150.00(1.004)7 + $150.00(1.004)8 + $150.00(1.004)9 +
$150.00(1.004)10 + $150.00(1.004)11
M = $1 840.13
Al estar el orden invertido se puede ver que el monto es una serie geométrica.
La serie geométrica se define como:
S = t1
n
(1 − r n ) t 1 − t 1r
=
1− r
1− r
Donde:
Cuadro 5.3 Serie geométrica
S
Suma
t1
Primer término
r
Razón
n
Número de términos
Al sustituir la simbología de anualidades en la serie geométrica se tiene:
Cuadro 5.4 Serie geométrica de una anualidad
Serie geométrica
Anualidad
S
Suma
M
Monto
t1
Primer término
R
Renta
r
Razón
(1 + t)
Razón
n
Número de términos
n
Periodo
Utilizando la siguiente forma algebraica:
126
M =
R − R (1 + i )n
1 − (1 + i )
5.1
Grupo Editorial Patria©
Simplificando en forma algebraica se obtiene:
 (1 + i )n − 1
M = R



i
5.2
R = pago periódico de la anualidad
n = número de periodos de conversión de interés durante el tiempo de la anualidad
i = tasa de interés por periodo de conversión
M = Valor acumulado o suma de una anualidad
Valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de n pagos de $1 cada uno valor acumulado de $1
por periodo.
 (1 + i )n − 1
Factor de acumulación de n pagos 



i
La ecuación 5.2 permite obtener el cálculo del monto de una anualidad simple, cierta, vencida e inme­
diata.
2.Cálculo del monto de la anualidad vencida con las fórmulas 5.1 y 5.2:
a) Se utiliza la fórmula 5.1:
S =
$150.00 − $150.00 (1.004 )12
$150.00 − $150.00 (1.04907 )
=
−0.004
1 − 1.004
S =
$150.00 − $157.3605
−7.3605
=
= $184
40.125
−0.004
−0.004
b) Ahora se emplea la fórmula 5.2:
 (1.004 )12 − 1
 1.04907 − 1
 0.04907 
= $150.00 
M = $150.00 
 = $150.00 


0.004
 0.004 
 0.004 


M = $150.00(12.268) = $1 840.13
Problema resuelto
2.El hermano del arquitecto Demetrio Duarte deposita cada tres meses $50 000.00 en su cuenta
de inversión, la cual paga 1.32%. ¿Cuánto dinero tendrá después del depósito del 31 de marzo de
2017, si el primer depósito se realizó el 31 de marzo de 2013?
Solución
Datos:
R = $50 000 Incógnita M
T = 1.32% A.C.T.
i = 0.0033 trimestral
n = 17 trimestres
 (1 + i )n − 1
M = R



i
 (1.0033 )17 − 1
 0.058203 
 1.058203 − 1
= 50 000.00 
= 50 000.00 
 = 50 000.00 
0.0033

 0.0033 

 0.0033 
M = 50 000(17.63735) = $921 522.16
127
UNIDAD
5
Anualidades
Problema resuelto
3.Calcular el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de $40 000 anuales durante seis
años, a una tasa de interés de 18%.
Solución
Datos
Desarrollo:
R = $40 000
 (1.18 )6 − 1
 (1 + i )n − 1
 2.699554 − 1
 = 40 000 
 = 40 000 
 = 40 000
T = 18% A M1 = R 

0.18
i
0.18



n = 6 años
 (1.18 )6 − 1
 (1 + i )n − 1
 2.699554 − 1
 1.699554 
Incógnita
M1 = R  M
= 40 000 
 = 40 000 
 = 40 000 


0.18
i
0.18




 0.18 
M1 = 40 000(9.441967) = $377 678.70
Problema resuelto
4.Para abrir una cuenta de inversión en Banejército se requiere depositar $3 000 y mantener un saldo
promedio de $1 500 mensuales. El capitán Antonio Suárez abre una cuenta el 1 de febrero en
Banejército, a partir de 1 de marzo 2013 empieza a realizar depósitos de $400 mensuales duran­
te seis años. El primero de marzo de 2019 empezará a realizar retiros de $300 mensuales durante
cuatro años. ¿Cuál es el saldo que tendrá el capitán Suárez en su cuenta de inversión después de
haber realizado el último retiro (1 de febrero de 2023) si la tasa de interés es de 4.5% convertible
mensualmente.
Solución
$3 000
400
1 feb 13
1 mar 13
M=?
300
T = 4.5% A.C.M.
300
400
... ...
1 feb 19
1 mar 19
... ...
1 mar 23
Figura 5.3.
M = M1 + M2 - M3
M = 4 700.98 + 32 992.33 - 15 745.15
M = $21 948.16
0.045 

M1 = 3 000 1 +
12 

120
= 3 000 (1.00375 )120 = 3 000 (1.566992 )
M1 = $4 700.98
 (1.00375 )72 − 1
 0.309303 
 1.309303 − 1
M2 = 400 
 = 400 
 = 400  0.00375 
0.00375
 0.00375 


M2 = 400(82.48082) = $32 992.33
 (1.00375 )48 − 1
 0.196814 
 1.96814 − 1
M3 = 300 
 = 300 
 = 300  0.00375 
0.00375
 0.00375 


M3 = 300(52.483833) = $15 745.15
❚❚ 5.3.2 Valor actual (A) o presente (VP) en anualidades vencidas
Problema resuelto
5.¿Cuál es el valor actual de una renta mensual de $2 000 si los depósitos se realizaron al final de
cada mes durante seis meses en la institución financiera Banejército que ofrece una tasa de interés
de 12% anual capitalizable mensualmente?
128
Grupo Editorial Patria©
Solución:
C=?
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
1
2
3
4
5
6
0
2 000
Figura 5.4 Anualidad, renta e intervalo de tiempo.
Datos
R = $2 000
T = 12% A.C.M.
i = 0.01 mensual
n=6
Incógnita A
1.Utilizando los conocimientos previos de progresiones, interés compuesto y ecuaciones equiva­
lentes:
a) Poner los datos en el orden de la progresión:
A = 2 000(1.01)-1 + 2 000(1.01)-2 + 2 000(1.01)-3 + 2 000(1.01)-4 + 2 000(1.01)-5 + 2 000(1.01)-6
A = $11 590.95
Cuadro 5.5 Progresión geométrica de una anualidad
Progresión geométrica
Anualidad
S
Suma
Valor actual
t1
Primer término
R(1 + i )
Primer término
R
Razón
(1 + t)-1
Razón
n
Número de términos
n
Periodo
A
-1
b) Serie geométrica
S = t1
n
(1 − r n ) t 1 − t 1r
=
1− r
1− r
c)Sustituyendo en la serie geométrica la simbología de anualidades término por término, se ob­
tiene:
A =
R (1 + i ) −1 − R (1 + i ) −1 (1 + i ) −1 
n
1 − (1 + i ) −1
d ) Simplificando algebraicamente obtenemos la siguiente relación:
 1 − (1 + i ) − n 
A = R



i
5.3
Con la ecuación 5.3 se obtiene el cálculo del valor actual de las anualidades simples, ciertas,
vencidas e inmediatas.
Problema resuelto
6.Cálculo del valor actual de la renta mensual empleando la ecuación 5.3:
Datos
R = $2 000.00 Incógnita C
T = 12% A.C.M.
i = 0.01 mensual
n=6
129
UNIDAD
5
Anualidades
Solución:
 1 − (1 + i ) − n 
A = R



i
 1 − ( 1.01) −6 
 1 − ( 0.942045 ) 
 0.0579547 
= 2 000 
 = 2 000 
 = 2 000 
0
01
0
.
01
0.01 
.





A = $2 000(5.795476) = $11 590.95
Problema resuelto
7.Encontrar el valor actual pagado por un calentador solar si se dio un enganche de $2 500 y se rea­
lizaron seis pagos mensuales vencidos de $2 300 y un séptimo pago de $1 000. La tasa de interés
pactada es de 24% capitalizable mensualmente.
Solución
A=?
2 500
2 300
2 300
2 300
2 300
2 300
2 300
1 000
0
1
2
3
4
5
6
7
Figura 5.5 Anualidad.
Datos:Desarrolllo:
Enganche = $2 500 El valor actual pagado por el calentador solar sería:
R = $2 300
 1 − ( 1.02 ) −6 
−7
Séptimo pago = $1 000 A = 2500 + 2 300 
 + 1000 ( 1.02 )
0.02


T = 24% A.C.M.
n = 6 meses A = 2500 + 2 300  1 − 0.887971 + 1000 ( 0.87056 )


0.02
Incógnita A
i = 0.02 mensual A = 2 500 + 2 300(5.601431) + 870.56
A = 2 500.00 + 12 883.29 + 870.56 = $16 253.85
Problema resuelto
8.El señor Juan Alberto firmó un contrato con una mueblería por la compra de una sala, esta le pidió
de enganche $4 000 y pagos mensuales de $480 durante cinco años, con una tasa de interés de
12% capitalizable mensualmente. El señor Juan Alberto no realizó los primeros siete pagos. ¿Cuán­
to debe pagar en el octavo mes para saldar el total de la deuda?
Solución
Sea X el pago requerido al señor Juan Alberto, este debe realizar los ocho primeros pagos más el
valor descontado de 60 - 8 = 52.
480
480
X
480
1
...
7
8
9
60
































0
480
480
...
8 pagos
Figura 5.6 Anualidad.
130
52 pagos
Grupo Editorial Patria©
 (1.01)8 − 1
 1 − (1.01) −52 
 1.0828567 − 1
 1 − 0.596058 
X = 480 
+ 480 
 + 480 
 = 480 


0.01 
0.01
0.01
0.01







 0.0828567 
 0.403942 
X = 480 
+ 480 
 = 480 ( 8.28567 ) + 480 ( 40.394194 ) = 3 977.12 + 19 389
0.01 

 0.01 
X = $23 366.34
Problema resuelto
9.La distribuidora AMAC firmó un contrato con la fábrica Tremek por la compra de herramienta. La
distribuidora dio un enganche de $300 000 y pagos mensuales de $35 000 durante seis años, a una
tasa de interés de 12% capitalizable mensualmente. Al principio del cuarto año después de haber
realizado 36 pagos el contrato es vendido a Banorte a un precio que rinde al comprador 15% anual
capitalizable mensualmente. ¿Cuánto debe pagar Banorte?
Solución
es el precio que debe pagar el comprador. X es el valor descontado de los 72 - 36 = 36 pagos a
X
una tasa de 15% capitalizable mensualmente.
 1 − (1.0125 ) −36 
 1 − 0.63941
 0.36059 
X = 35 000 
 = 35 000 
 = 35 000  0.0125 
0.0125


 0.0125 


X = 35 000(28.847267) = $1 009 654.35
Alerta
Valor Presente Neto (VPN)
o next present value (NPV)
El valor presente neto
se calcula realizando
la diferencia del valor
presente de las entradas de
efectivo y el valor presente
de las salidas de efectivo.
El valor negativo del VPN
representa costos para la
empresa.
Problema resuelto
10.La panificadora La Espiga analiza la posibilidad de adquirir una nueva batidora con valor de
$80 000, se estima que el valor de salvamento sea de $12 000 al final de 10 años. Los costos de los
seguros contra robo y mantenimiento del equipo $400 pagaderos al final de cada mes. La misma
batidora se puede arrendar por 10 años por $1 500 mensuales de arrendamiento, este incluye el
seguro contra robo y de mantenimiento, el arrendatario gana 18% capitalizable mensualmente
sobre su capital. El administrador de la panadería debe tomar una decisión entre comprar o rentar
la batidora.
Solución
Para cada caso se debe calcular el Valor Presente Neto (VPN)
VPN = Valor presente de entradas en efectivo - Valor presente de salidas en efectivo

 1 − (1 + 0.015 ) −120
−120
− 80 000 + 400 
VPN de Compras = 12 000 (1.015 )
0.015




 
VPN de Compras = 2 010.28 -[80 000.00 + 400(55.498454)]
VPN de Compras = 2 010.28 - (80 000.00 + 22 199.38)
VPN de Compras = 2 010.28 - 102 199.38
VPN de Compras = -$100 189.1
 1 − ( 1 + 0.015 ) −120 
VPN de Renta = 1500 

0.015


VPN de Renta = 1 500(55.498454)
VPN de Renta = $83 247.68
Como el VPN de renta es de menor valor absoluto que el VPN de compra, entonces la panifi­
cadora La Espiga debe rentar la batidora.
131
UNIDAD
5
Anualidades
Problema resuelto
11.La psicóloga María José Flores para saldar la deuda de una beca-crédito contraída con la Universi­
dad del Caribe para realizar su tesis, acuerda realizar 18 pagos de $800 al final de cada trimestre y
un pago final de $389.50 nueve meses después, la tasa de interés compuesto trimestralmente es
de 24%. ¿Cuánto adeuda la psicóloga María José Flores?
Solución
X
800
800
800
800
17
18
389.50
...
1
2





















0
19
18 pagos
20
21 Trimestres
un pago final
Figura 5.7 Anualidad.
 1 − (1.06 ) −18 
 1 − 0.350344 
−21
X = 800 
+ 389.50 (0.294155)
= 800 
 + 389.50 (1.06)
0.06
0.06




 0.649656 
X = 800 
+ 114.573529 = 800 (10.8276 ) + 114.57 = 8 662.08 + 114.57
 0.06 
X = $8 776.65
❚❚ 5.3.3 Renta
La renta es el pago periódico de la misma cantidad que se realiza en tiempos iguales.
Para calcular el valor de una renta se analizan primero los datos del problema para identificar si se
conoce el valor del monto o del valor actual.
Si se conoce el valor del valor futuro (M), se deberá despejar la renta de la ecuación 5.2:
 (1 + i )n − 1
M = R



i
5.2
Obteniendo la ecuación:
R =
M (i )
(1 + i )n − 1
5.4
Cuando el capital o el valor actual (A) se conocen, se despeja la renta de la ecuación 5.3:
 1 − (1 + i ) − n 
A = R



i
5.3
Se obtiene:
R =
A (i )
1 − (1 + i ) − n
5.5
Problema resuelto
12.¿Cuánto debe aportar la señora Andrea Méndez al final de cada mes en la caja de ahorros de su
trabajo, si desea hacerle arreglos a su baño y cocina dentro de tres años? Ella estima que en el
último depósito debe contar con una cantidad acumulada de $95 000.00. La tasa de interés que
aplica la caja de ahorros es de 4% mensual.
132
Grupo Editorial Patria©
Solución
Datos
M = $95 000.00 Incógnita R
n = 3 años = 36 meses
i = 0.04 mensual
R =
M(i )
( 1 + i )n − 1
=
95 000 ( 0.04 )
( 1.04 )36 − 1
=
3 800
4.103933 − 1
=
3 800
3.103933
= $1 224.25 mensual
Problema resuelto
13.¿Cuántos depósitos al final de cada mes debe realizar el sociólogo Alejandro Fuentes durante
los próximos seis años para acumular $800 000, ya que desea dar el enganche para una casa de
interés social? Una institución Banorte le ofrece una tasa de interés de 8.5% convertible mensual­
mente.
Solución
Datos
M = $800 000 Incógnita R
n = 6 años = 72 meses
i = 0.0070833 mensual
R =
M(i )
n
(1 + i ) − 1
=
800 000 ( 0.0070833 )
(1.0070833 )
72
−1
=
5 666.64
5 666.64
=
= $8 556.08 mensual
1.662296 − 1 0.662296
Problema resuelto
14.El Capitán Solís solicita a Banejército un crédito de seis meses de su sueldo. La cantidad que le
deposita en su cuenta de inversión la Secretaría de Marina es de $30 000 quincenales. El contrato
firmado con Banejército establece que los pagos del crédito son fijos y quincenales con un plazo
de 18 meses, y una tasa de interés de 24% anual convertible quincenalmente. El pago quincenal
no incluye el iva. ¿Cuánto debe pagar el Capitán Solís quincenalmente?
Solución
Datos
M = 30 000(12) = $360 000 Incógnita R
n = 18 meses = 36 quincenas
T = 24% A.C. Quincenal
R =
M(i )
n
(1 + i ) − 1
=
360 000 (0.24/24)
(1.01)
36
−1
=
3 600
1.430768 − 1
=
3 600
0.430768
= $8 357.15 quincenal
Problema resuelto
15.La pastelería El Globo en su sucursal de Cd. Jardín estima que será necesario cambiar el horno de pan
dentro de 12 años, a un costo $680 000. ¿Cuánto se debe guardar cada año en un fondo de inversión
si el banco ofrece una tasa 4.0% anual?
Solución
Datos
M = $680 000 Incógnita R
n = 12 años
T = 4% anual
R =
M(i )
( 1 + i )n − 1
=
680 000 ( 0.04 )
(1.04 )12 − 1
=
27 200
1.601032 − 1
=
27 200
0.601032
= $45 255.47 anual
133
UNIDAD
5
Anualidades
Problema resuelto
16.El señor José Acevedo compra a crédito un multifuncional de $4 990 más iva. El señor Acevedo
acuerda pagarla en 12 mensualidades vencidas. ¿Cuánto tiene que pagar cada mes si el interés
que le cobran es de 1.8% mensual?
Solución
Datos
A = $4 990.00 + ivaIncógnita R
A = $4 990.00 + $798.40
A = $5 788.40
n = 12 meses
T = 1.8% mensual
R =
A (i )
1 − ( 1 + i )− n
=
5 788.40 ( 0.018 )
1 − ( 0.018 ) −12
=
104.1912
104.1912
=
= $ 540.65 mensual
1 − 0.8072846
0.192715
Problema resuelto
17.¿Cuánto debe pagar al final de cada mes un trabajador a la caja de ahorros del sindicato de la
unam, por un crédito de $80 000 pagaderos a dos años a una tasa de interés de 3% mensual?
Solución
Datos
A = $80 000 Incógnita R
n = 2 años = 24 pagos
i = 0.03 mensual
R =
A (i )
1 − (1 + i ) − n
=
80 000 ( 0.03 )
1 − (1.03 ) −24
=
2 400
2 400
=
= $ 4 723.79 mensual
1 − 0.4919337 0.508066
❚❚ 5.3.4 Plazo
El número de periodos (plazo o tiempo) de pago en una anualidad vencida se calcula de la siguiente
manera:
Analizar los datos del problema para identificar si se proporciona el monto o el valor actual.
Cuando se conoce el valor actual (A) se despeja el periodo de la expresión de anualidad vencida
de valor actual de la ecuación 5.3.
R =
Ai
1 − (1 + i ) − n
5.5
Para obtener n se pueden utilizar las ecuaciones 5.6 o 5.6a:
 1 
log 
Ai 
1 −


R 
n=
log (1 + i )
A (i ) 


 log  1 −


R  
n = −
 log (1 + i ) 
134
5.6
5.6a
Grupo Editorial Patria©
Si se conoce el monto (M) se despeja el periodo (n) de la ecuación 5.2 de anualidad vencida de monto.
 (1 + i )n − 1
M = R



i
5.2
Para obtener n se utiliza la ecuación 5.7:
n=
 Mi

log 
+ 1
 R

log (1 + i )
5.7
Problema resuelto
18.Se tiene que saldar una deuda al día de hoy de $18 000. Realizando pagos de $3 000 al final de cada
bimestre con una tasa de interés de 11% bimestral. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $3 000
tendrá que hacer para saldar su deuda?
Solución
Datos
T = 11% bimestral Incógnita R
i = 0.11 bimestral
R = $3 000
A = $18 000
1
1



 1  log 
log 
 log 


18
000
0
11
(
.
1
)
1
980 
Ai

 log  1 
1 −
1 −
1 −

 0.34 


3 000
3 000 


R 
=
=
n=
=
log( 1.11)
log( 1.11)
log( 1 + i )
log( 1.11)
n=
log[ 2.941176 ]
log (1.11)
=
0.4685211
= 10.33 pagos bimestrales
0.0453229
No se pueden realizar 10.33 pagos, entonces existen dos alternativas:
1. Hacer 10 pagos de $3 000 + otro pago menor
Con n pagos bimestrales que se obtuvieron se encuentra el valor futuro del adeudo (al final de los
10 bimestres):
Si el adeudo es de $18 000, se debe calcular el valor futuro del adeudo al final de los 10 bimestres.
M = C(1 + i )n = $18 000(1.11)10 = 18 000(2.839421) = $51 109.58
Posteriormente, debemos encontrar el valor futuro de los 10 pagos realizados al final de cada
bimestre.
 (1.11)10 − 1
 (1 + i )n − 1
 1.839421
 2.839421 − 1
M = R
 = 3 000 
 = 3 000 
 = 3 000  0.11  = 3 000 (16.722 )


i
0.11
0.11



M = $50 166.01
Después de realizar el pago 10 todavía se tiene un adeudo, pero se desconoce de cuánto es:
MIC - MAnualidad = 51 109.58 - 50 166.01 = $943.55
El adeudo anterior se tiene que pagar a final del bimestre 11, para lo cual es necesario calcular su valor
futuro.
M = C(1 + i )n = 943.55(1.11)1
M = $1 047.34 lo que representa un pago menor para el bimestre 11
135
UNIDAD
5
Anualidades
2. Hacer 9 pagos de $3 000 + otro pago mayor
Se debe conocer el valor futuro del adeudo al final de los 9 bimestres.
M = C(1 + i )n = 18 000(1.11)9 = 18 000(2.55804) = $46 044.72
Como segundo paso encontraremos el valor futuro de los 9 pagos realizados al final de cada bi­
mestre.
 ( 1 + i )n − 1
 ( 1.11)9 − 1
 1.558 
M = R
= 3 000 ( 14.1639 ) = $ 42 490.90
 = 3 000 
 = 3 000 


i
0.11 
 0.11 

Después de realizar el noveno pago todavía tiene un adeudo y desconoce de cuánto es. El pago
correspondiente se encuentra de la manera siguiente:
MIC - MAnualidades = 46 044.72 - 42 491.70 = $3 553.02
El adeudo anterior se tiene que pagar al final del décimo bimestre, por lo que es necesario calcular
su valor futuro correspondiente:
M = C(1 + i )n = 3 553.02(1.11)1 = $3 943.85
El décimo pago es mayor al pago bimestral normal.
Problema resuelto
19.¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $1 500.00 se tendrían que realizar para saldar una deuda,
pagadera el día de hoy de $24 000.00, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es
de 24% convertible mensualmente?
Solución
Datos
T = 24% A.C. Mensual Incógnita n
i = 0.02 mensual
R = $1 500.00
A = $24 000.00
Obtener los pagos mensuales vencidos (n):
1
1



 1  log 
log 
log 



24
000
(
0.02
)
480 
1 

 1 
Ai

1−

1−

1 −
log 
log 
1 500 
1 500
 1 − 0.32 

 0.68 



R 
=
=
=
=
=
n=
log (1.02 )
log (1.02 )
log (1.02 )
log (1 + i )
log (1.02 )
log (1.470588 )
log (1.02 )
=
0.167491
= 19.4757 pagos mensuales
0.00860
No se pueden realizar 19.4757 pagos, entonces existen dos alternativas:
1. Hacer 19 pagos de 1 500 pesos + un pago menor
Si el adeudo es de $24 000 primero se debe conocer el valor futuro del adeudo al final de los
19 meses.
M = C(1 + i )n = 24 000.00(1.02)19 = 24 000(1.4568112) = $34 963.47
Posteriormente debemos encontrar el valor futuro de los 19 pagos realizados al final de cada mes.
 (1.02 )19 − 1
 (1 + t )n − 1
 1.4568112 − 1
 0.4568112 
= 1 500.00 
M = R
 = 1 500.00 
 = $1 500.00 

 =
0.02
0.02
t
0.02







M = 1 500(22.84) = $34 260.84
136
Grupo Editorial Patria©
Cuando ya se realizó el pago 19 todavía existe un adeudo y se desconoce de cuánto es. El pago
correspondiente se encuentra de la siguiente forma:
MIC - MAnualidad = 34 963.47 - 34 260.84 = $702.63
El adeudo anterior se tiene que pagar a final del mes 20, por lo que es necesario calcular su valor
futuro:
M = C(1 + i )n = 702.63(1.02)1 = $716.68 que corresponde a un pago menor en el mes 20.
2. Hacer 18 pagos de $1 500 y un pago final mayor.
Se calcula el valor futuro del adeudo al final del mes 18.
M = C(1 + i )n = 24 000(1.02)18 = 24 000(1.428246) = $34 277.90
Entonces el valor futuro de los 18 pagos realizados al final de cada mes sería.
 (1.02 )18 − 1
 (1 + i )n − 1
 1.428246 − 1
 0.428246 
M = R
 = 1500 
 = 1500 
 = 1500  0.02  =


0.02
i
0.02



M = 1 500(21.4123124) = $32 118.47
Después de realizar el pago 18 el deudor todavía tiene un adeudo y desconoce de cuánto es. El
pago correspondiente a este último adeudo se calcula en la forma siguiente:
 (1 + i )n − 1
MIC − Manualidades = C (1 + i )n − R 
 = 34 277.90 − 32118.47 = 2159.43


i
El adeudo anterior se tiene que pagar al final del mes 19, por lo que se necesita calcu­lar su valor
futuro.
M = C(1 + i )n = 2 159.43(1.02)1 = $2 202.62 el cual representa un pago mayor en el mes 19
Problema resuelto
20.¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $19 238 se tendrían que realizar para saldar una deuda,
pagadera el día de hoy de $850 000, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es
de 18% convertible mensualmente?
Solución
Datos
T = 18% A.C. Mensual Incógnita n
i = 0.015 mensual
R = $19 238
C = $850 000
1
1



 1  log 
log 
log 




850
000
(
0.015
)
12
750
Ai
1


1−

1−


1 −
log 
19 238
19 238 



 1 − 0.66275081

R 
n=
=
=
=
=
log (1 + i )
log ( 0.015 )
log (1.015 )
log (1.015 )
1


log 
 0.33724919 
log ( 2.96516646 )
0.47204908
=
=
= 73 pagos mensuales
log (1.015 )
log (1.015 )
0.006466042
137
UNIDAD
5
Anualidades
Problema resuelto
21.Se desea acumular la cantidad de $89 950, para reunirla se hacen depósitos de $1 000 bimestrales
vencidos, en una cuenta de inversión la cual paga 4.5% anual capitalizable bimestralmente. ¿En
cuánto tiempo se reunirán los $89 950?
Solución
Datos
T = 4.5% A.C.B.
Incógnita n
i = 0.0075 bimestral
R = $1 000
M = $89 950
n=
n=
 M (i )

+ 1
log 
 R

log (1 + i )
log( 1.674625 )
log( 1.0075 )
=
=
 89 950 ( 0.0075 )

+ 1
log 
1000


log (1 + 0.0075 )
=
 674.625

+ 1
log 
 1000

log (1.0075 )
=
log ( 0.674625 + 1)
log (1.0075 )
=
0.22391757
= 69 pagos bimestrales
0.00324
4505
5.4 Anualidades anticipadas
La anualidad anticipada puede ser:
Simple
Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.
Cierta
Porque las fechas se determinan con anterioridad y estas son fijas.
Anticipada
Porque los pagos se efectúan al principio del periodo.
Inmediata
Porque se realiza el pago en el mismo periodo después de la formalización del trato.
En el cuadro 5.6 se indica la forma de identificar una anualidad anticipada cuando es planteada como
un problema.
Cuadro 5.6 Forma de identificar la anualidad anticipada
Criterio
Tiempo
(Cierta)
Anualidad anticipada
Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.
Ejemplo
El primer día del mes.
Al principio de la quincena (día 16).
El día cuatro de cada mes.
Plazo
Tiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha de su
vencimiento.
Un bimestre o un semestre o un año o tres años.
Iniciación
(Inmediata)
El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente
después de la emisión de un empréstito (formalización del trato o firma
del crédito).
Primer día en que se inicia el periodo de pago.
El día 16 de cada mes.
El primer día de cada bimestre.
Pagos
Los pagos se efectúan al inicio del periodo o intervalo.
El primer día de semana.
El día 25 de mayo de cada año.
Interés
(Simple)
Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de
los intereses.
Periodo de pago de un mes y la tasa de interés 12% anual
convertible mensualmente o 24% convertible semestralmente.
Las figuras 5.8 y 5.9 muestran la diferencia de la anualidad anticipada y vencida.
138
Grupo Editorial Patria©
Hoy
R
R
R
R
R
R
R
R
R
n-1
n periodos
...
0
2
1
3
4
5
6
7
R
R
R
Figura 5.8 Anualidad anticipada.
R
R
R
R
R
R
...
0
1
2
3
4
5
6
7
n periodos
n-1
Figura 5.9 Anualidad anticipada.
❚❚ 5.4.1 Monto en anualidades anticipadas
El monto se calcula con la ecuación 5.8:
 (1 + i )n + 1 − 1

M = R
− 1


i
5.8
 (1 + i )13 − 1

− 1
M = R


i
5.8a
En la ecuación 5.8a se plantea con 13 periodos vencidos (siendo n = 12). El pago de más está repre­
sentado por -1, el cual se descuenta al utilizar la fórmula de anualidad vencida con plazo de un año.
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
R11
R12
R13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12



































-1
R1
12 periodos
Hoy
Figura 5.10 Anualidad anticipada valor futuro con 13 pagos (R ).
El plazo es de 12 meses y la manera de utilizar la fórmula de anualidad vencida donde solo se recorre
el punto de origen de la gráfica al lado izquierdo (en -1) y el número de pagos considerados son en
total de 13.
Problema resuelto
22.Un artesano deposita en una cuenta de ahorros $100 al principio de cada mes. Si la cuenta paga
1% de interés mensual. ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año?
Solución
Datos
R = $100 Incógnita M
n = 12 meses
i = 1% mensual
1.
1.1En este primer caso se encuentra el monto utilizando la anualidad vencida durante el periodo
11, realizando para ello 12 pagos.
 (1 + 0.01)12 − 1
 (1 + t )n − 1
 0.126825 
M11 = R 
= $1 268.25
 = 100 
 = 100 
t
0.01




 0.01 
1.2Para cubrir el plazo de un año, hace falta calcular el periodo número 12, ya que, en el cálculo
anterior, el periodo inicio en el punto -1 y el cálculo del monto se realizó hasta el periodo 11.
Si, M11 = C1
M12 = C1(1 + i ) = 1 268.25(1.01) = $1 280.93
139
UNIDAD
5
Anualidades
2.
2.1En este segundo caso utilizaremos la ecuación 5.9 que se deduce de los pasos planteados en
los incisos 1.1 y 1.2:
 (1.01)12 − 1
 (1 + i )n − 1
1
1
M = R
 (1.01) = 1 280.93
 (1 + i ) = 100 


i
0.01


3.
3.1En el tercer caso, los cálculos se hacen con base en 12 periodos, por lo que se tendrán que
realizar 13 pagos. Para calcular el monto se utiliza la ecuación de la anualidad vencida en la
que se deberá restar del pago 13:
 (1.01)13 − 1
 (1 + t )n − 1
M = R
 = $1 380.93
 = 100 


i
0.01


3.2El monto de 13 pagos calculado con la anualidad vencida en 12 periodos es superior al calcu­
lado en los incisos 1.1 y 2.1 porque se realizó un pago de más. Para corregir dicho pago,
debemos corregir la ecuación de la siguiente forma:
 (1.01)13 − 1
 (1 + t )n − 1
M = R
 − 100 = 1380.93 − 100 = $1 280.93
 − R = 100 


i
0.01


3.3De los pasos anteriores se deduce que la ecuación para calcular el monto de la anualidad
anticipada es:
 (1 + i )n + 1 − 1 
M = R
− 1


i
5.8
Si sustituimos los valores del problema, encontraremos el mismo resultado de los incisos 1.2,
2.1 y 3.2:
 (1.01)13 − 1 
M = 100 
− 1 = $1 280.93
0.01


Problema resuelto
23.Encuentre el monto de 20 pagos de $2 000 que se realizan al principio de cada bimestre por la
química Rosa Suárez en la compra de una centrifugadora para su laboratorio. El tipo de interés es
de 20% anual capitalizable bimestralmente.
Solución
Datos
R = $2 000 Incógnita M
n = 20 bimestres
T = 20% A.C. Bimestral
i = 0.0333 bimestral
 (1.0333 )20 − 1
 (1 + i )n − 1
 1.92543387 − 1
1
M = R
 (1 + i ) = 2 000 
 (1.033 ) = 2 000 
 (1.033 )


i
0.033
0.033



 0.92543378 
0434 ) ( 1.033 ) = 2 000 ( 28.96888 ) = $57 937.76
M = 2 000 
 ( 1.033 ) = 2 000 ( 28.0
0.033

Problema resuelto
24.Encuentre el monto de ocho pagos que debe realizar el día uno de cada mes el carpintero Tomás
Baroja, por la cantidad de $1 550 para adquirir herramienta para su carpintería. El tipo de interés
contratado es de 24% anual capitalizable mensualmente.
140
Grupo Editorial Patria©
Solución
Datos
R = $1 550
Incógnita M
n = 8 meses
T = 24% A.C.M.
i = 0.02 mensual
 (1.02 )8 − 1
 (1 + i )n − 1
 1.1716594 − 1
1
M = R
 (1.02 ) = 1 550 
 (1 + i ) = 1 550 
 (1.02 )


0.02
i
0.02



 0.1716594 
M = 1550 
 (1.02 ) = 1 550 ( 8.582969 ) (1.02 ) = 1 550 ( 8.754628 ) = $13 569.67
0.02

❚❚ 5.4.2 Valor actual en anualidades anticipadas
Para encontrar el valor actual de una anualidad anticipada es necesario auxiliarnos de las figuras 5.11
y 5.12.
FF
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
R11
R12
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 meses






































C
1 mes
1 año (plazo)
Figura 5.11 Anualidad anticipada valor actual para 12 pagos.
FF
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
R11
R12
R13
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 meses






































C
1 mes
1 año (plazo)
Figura 5.12 Anualidad anticipada valor actual para 13 pagos.
Utilizando la ecuación de anualidad vencida para el cálculo del valor actual se debe considerar que se
realiza con base en 13 pagos vencidos. Si realizamos un ajuste al exponente, obtenemos la siguiente
relación:
 1 − (1 + i ) − n 
A = R



i
Así que es necesario efectuar un ajuste al exponente, con lo cual se obtiene la relación siguiente:
 1 − (1 + i ) − n + 1 
A = R



i
5.9
Ahora bien, a la ecuación debemos sumarle una renta para completar los 13 pagos para obtener el
valor actual de una anualidad anticipada (5.10):
 1 − (1 + i ) − n + 1 
A = R
+R


i
Factorizando a R

1 − (1 + i ) − n + 1 
A = R 1 +



i
5.10
141
UNIDAD
5
Anualidades
Problema resuelto
25.¿Cuál es el valor de contado de una casa que compró Esmeralda en la colonia Lomas Verdes, hace
20 años, si realizaba pagos anticipados de $60 000 mensuales, con una tasa de interés de 18%
anual convertible mensualmente?
Solución
Datos
R = $60 000 Incógnita A
n = 240 meses
T = 18% A.C.M.
i = 0.015 mensual


1 − (1 + i ) − n + 1 
1 − (1.015 ) −240 + 1 
1 − 0.028484978 

=
A R 1 +
 = 60 000 1 +
 = 60 000 1 +



i
0.015
0.015



0.971515 

=
A 60 000 1 +
= 60 000 [1 + 64.76766807 ] = 60 000 ( 65.76766807 ) = $3 946 060.08
0.015 

Problema resuelto
26.¿Cuál es el valor actual de 18 pagos trimestrales anticipados de $2 855, con un interés de 17.89%
anual capitalizable trimestralmente?
Solución
Datos
R = $2 855 Incógnita A
n = 18 trimestres
T = 17.89% A.C.T.
i = 0.044725 trimestral


1 − (1 + i ) − n + 1 
1 − (1.044725 ) −18 + 1 
1 − 0.4752982 

A = R 1 +
 = 2 855 1 +
 = 2 855 1 +


i
0.044725
0.044725 



0.524702 

A = 2 855 1 +
= 2 855[1 + 11.7317384 ] = 2 855 (12.7317384 ) = $36 349.11
0.044725 

Problema resuelto
27.Encontrar el valor de contado de un teléfono celular, por el cual se realizaron 24 pagos mensuales
anticipados de $499 con una tasa de interés de 23.6% convertible mensualmente.
Solución
Datos
R = $499 Incógnita A
n = 24 meses
T = 23.6% A.C.M.
i = 0.019666 mensual


1 − (1.019666 ) −24 + 1 
1 − (1 + i ) − n + 1 
1 − 0.6389508 

A = R 1 +
 = 2 855 1 +
 = 2 855 1 +


0.019666
0.019666 
i



0.361049 

A = 2 855 1 +
= 2 855 [1 + 18.35905621] = 2 855 (19.35905621) = $55 270.11
0.019666 

142
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
28.El chofer Francisco Méndez compró un camión a crédito de 40 asientos para transporte. Él tiene
que realizar 24 pagos mensuales anticipados de $17 650, con intereses de 14% anual capitalizable
mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado del camión?
Solución
Datos
R = $17 650 Incógnita A
n = 24 meses
T = 14% A.C.M.
i = 0.011666 mensual


1 − (1 + i ) − n + 1 
1 − (1.01166 ) −24 + 1 
1 − 0.7659575 

A = R 1 +
 = 17 650 1 +
 = 17 650 1 +


i
0.011666
0.011666 



0.2340425 

A = 17 650 1 +
= 17 650 [1 + 20.06193211] = 17 650 ( 21.06193211) = $371 743.10
0.011666 

❚❚ 5.4.3 Renta en anualidades anticipadas
Para calcular el valor de la renta primero se tienen que analizar los datos del problema e identificar si
se proporciona el monto o el valor actual.
Si se conoce el monto, deberá despejarse la renta de la ecuación 5.8, se obtiene la ecuación 5.11:
 (1 + i )n + 1 − 1

M = R
− 1


i
R =
5.8
M
5.11
 (1 + i )n + 1 − 1

− 1



i
Problema resuelto
29.¿Cuánto debe pagar mensualmente el señor Aldama por la compra de un comedor para su casa,
si él acuerda con la mueblería realizar sus pagos el día uno de cada mes? Cuando realizó su pago
12 acumuló $53 726 y la tasa de interés aplicada fue de 24% anual convertible mensualmente.
Solución
Datos
M = $53 726 Incógnita R
n = 12 meses
T = 24% A.C.M.
i = 0.02 mensual
R =
R =
M
n +1
 (1 + i )


i
−1

− 1

53 726
 1.2936 − 1 
− 1
 0.02

=
=
53 726
12 + 1
 (1.02 )
−1 
− 1

0.02


53 726
 0.2936

 0.02 − 1
=
=
53 726
 (1.02 )13 − 1 
− 1

0.02


53 726
[14.680331 − 1]
=
53 726
13.680331
R = $3 927.24
143
UNIDAD
5
Anualidades
Problema resuelto
30.La diseñadora gráfica Estrella Uribe tiene que pagar $150 000 por un préstamo que solicitó para
la compra de material de una maqueta que tiene que elaborar y vender, los préstamos personales
que ofrece Banorte es a un plazo de tres años y la forma de pago es al principio de cada mes.
¿Cuánto debe pagar mensualmente la diseñadora Uribe, si la tasa de interés aplicada es de 26%
anual convertible mensualmente?
Solución
Datos
M = $150 000 Incógnita R
n = 36 meses
T = 26% A.C.M.
i = 0.021666 mensual
R =
R =
M
n +1
 (1 + i )


i
−1
150 000
=

− 1

150 000
36 + 1
 (1.021666 )
−1 
− 1

0.021666


=
 2.210196 − 1 
 0.021666 − 1
150 000
 1.210196

 0.021666 − 1
=
=
150 000
 (1.021666 )37 − 1 
− 1

0.021666


150 000
150 000
=
[ 55.859386 − 1] 54.859386
R = $2 734.26
Otra manera de conocer la renta es despejar la (R) de la ecuación del valor actual de anualidad antici­
pada, con lo que obtendremos su valor con base en el capital o valor actual.

1 − (1 + i ) − n + 1 
A = R 1 +



i
5.10
Despejando (R) de la ecuación 5.10 se obtiene la ecuación 5.11:
R =
A
5.11

1 − (1 + i ) − n + 1 
1 +



i
Problema resuelto
31.El sociólogo Dimas Martínez desea regalarle a su hermana, el día de su boda, una batería de co­
cina de 11 piezas con un precio de $6 400.00 y también decide comprarle una olla de presión de
aluminio de 6 litros con un precio de $1 499.00. ¿Cuánto debe pagar al inicio de cada mes durante
12 meses, si la tasa de interés es de 28% anual capitalizable mensualmente?
Solución
Datos
A = 6 400 + 1 499 = $7 899 Incógnita R
n = 12 meses
T = 28% A.C.M.
i = 0.023333 mensual
R =
R =
A

1 − (1 + i )
1 +

i



7 899
1 − 0.775913 

1 + 0.023333 
R = $744.92
144
− n +1
=
=
7 899

1 − (1.023333 )
1 +
0.02333

7 899
0.224087 

1 + 0.023333 
=
−12 + 1



=
7 899

1 − (1.023333 ) −11 
1 +

0.023333


7 899
7 899
=
[1 + 9.603737 ] 10.603737
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
32.Una tienda departamental pone a la venta en el mes de diciembre motocicletas, con valor de
$18 950 al contado o mediante 24 pagos mensuales anticipados. Si Margarita Rosas se decide a
comprar la motocicleta a crédito, ¿cuánto tiene que pagar al principio de cada mes, si el interés
a pagar es de 23.5% anual capitalizable mensualmente?
Solución
Datos
A = $18 950 Incógnita R
n = 24 meses
T = 23.5% A.C.M.
i = 0.019583 mensual
R =
R =
A

1 − (1 + i ) − n + 1 
1 +



i
=
18 950
1 − 0.64014339 

1 +
0.019583 
18 950

1 − (1.019583 ) −24 + 1 
1 +

0.019583


=
18 950
0.35986566 

1 + 0.019583 
=
=
18 950

1 − (1.019583 ) −23 
1 +

0.019583


18 950
[1 + 18.3759695 ]
=
18 950
19.3759695
R = $978.02
❚❚ 5.4.4 Plazo en anualidad anticipada
Para conocer el número de periodos de pago en una anualidad anticipada, primero se analizan los
datos del problema para identificar si se proporciona el monto o el valor actual.
Si se conoce el valor actual se despeja el plazo de la ecuación de anualidad anticipada de valor
actual.

1 − (1 + i ) − n + 1 
A = R 1 +



i
Ai  


 log (1 + i ) − R  

n = 1− 
log(1 + i )


5.10
5.13
Cuando se conoce el monto se despeja el plazo de la ecuación de anualidad anticipada de monto:
 (1 + i )n + 1 − 1

M = R
− 1


i

 Mi

 log  R + (1 + i ) 
+1
n= 
log(1 + i )


5.8
5.14
Problema resuelto
33.El bufete de abogados Mariles, S.A., desea comprar una mesa y 18 sillas para su sala de juntas con
valor de $68 000 al contado. La casa de muebles para oficina ofrece venderlos en abonos anticipa­
dos mensuales de $3 699, siendo el interés de 26% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos
pagos tendría que hacer el bufete de abogados si se decide hacer la compra?
145
UNIDAD
5
Anualidades
Solución
Datos
A = $68 000 Incógnita n
T = 26% A.C.M.
i = 0.0216666 mensual
R = $3 699
Ai  


 log ( 1 + i ) − R  
 = 1−
n = 1− 
log( 1 + i )


( 68 000 ) ( 0.021666 )  


 log ( 1.021666 ) −

3 699



 = 1−

log( 1.021666 )


1473.33  



 log ( 1.021666 ) −
3 699  




log 1.021666


 log[1.021666 − 0.39830585 ] 
 log ( 0.62336 ) 
 −0.205261 
n = 1− 
 = 1 −  log (1.021666 )  = 1 −  0.009309224  = 1 − ( −22.05 )
log (1.021666 )






n = 23.05 pagos
Problema resuelto
34.La arqueóloga Itzayana Sotelo desea comprar un paquete de utensilios de cocina para campamen­
to, el cual cuesta al contado $18 586, ella decide pagarlo en abonos con una tasa de interés de
22% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos deben realizarse de $985 al principio
de cada mes?
Solución
Datos
A = $18 586 Incógnita n
T = 22% A.C.M.
i = 0.018333 mensual
R = $985
( 18 586 ) ( 0.018333 )  


 log ( 1.018333 ) −
 
985.00

 = 1−
n = 1− 


log( 1.018333 )
 log[1.018333 − 0.34593232 ] 
n = 1− 
 = 1−
log (1.018333 )


340.7433  


3) −
 log ( 1.018333
985.00  


log( 1.018333 )


 log ( 0.672401) 
 log (1.018333 )  = 1 −


 −0.17237166 


0.0078899598 
n = 1 - (-21.847) = 22.85 pagos
Problema resuelto
35.La tienda Benedetti vende de contado una bicicleta de montaña en $9 580 o mediante pagos
mensuales anticipados de $995. El interés es de 22.64% anual convertible mensualmente. ¿Cuán­
tos pagos se deben realizar si se compra a crédito?
Solución
Datos
A = $9 580 Incógnita n
T = 22.64% A.C.M.
i = 0.018866 mensual
R = $995
146
Grupo Editorial Patria©
( 9 580 ) ( 0.018866 )  


 log (1.018866 ) −
 
995.00

 = 1−
n = 1− 


log (1.018866 )
180.74  


 log (1.018866 ) − 995.00  





log (1.018866 )
 log[1.018866 − 0.1816509 ] 
 log ( 0.837215745 ) 
= 1− 
n = 1− 

 = 1−
log (1.018866 )


 log (1.018866 ) 
 −0.0771626 


0.00811735 
n = 1- (-9.50588) = 10.51 pagos
5.5 Anualidades diferidas
Una anualidad diferida es aquella en la que el inicio de los cobros o depósitos se realizan después de
que transcurrió algún tiempo desde el momento en que se formalizó la operación.
Al tiempo comprendido desde el momento inicial o de convenio hasta el inicio del plazo se le
conoce como periodo de gracia o periodo de diferimiento.
En el cuadro 5.7 se describe la manera de identificar una anualidad vencida cuando es planteada
en un ejemplo o problema a solucionar:
Cuadro 5.7 Identificación de una anualidad vencida
Criterio
Anualidad vencida
Ejemplo
Tiempo (Cierta)
Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.
• Tres meses de gracia y plazo de 18 meses.
Plazo
Tiempo que transcurre desde la fecha de emisión hasta
la fecha de vencimiento.
• Un año
• Seis meses
• Un trimestre
Iniciación
(Diferida)
El pago o cobro se realiza después del periodo de gracia.
• Tres meses
• Un bimestre
• Dos años
Pagos
Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo.
• A finales de mes, el día 30 o 31 de cada mes.
Simple
Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de
capitalización de los intereses.
• P eriodo de pago es de un mes y la tasa de interés
de 10% anual capitalizable mensualmente.
En la figura 5.13 se muestra que el primer pago de la anualidad es diferido en cuatro meses y el plazo
de la anualidad es de seis meses, la renta es de $350 y se paga al final del periodo, por esta razón el
comienzo del plazo de la anualidad vencida se ubica en el tercer mes.
Hoy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 meses
M=?
1
2
3
4
0
R2
R3
R4
R5
R6
1
2
3
4
5
6 meses




































Hoy
R1
Periodo de gracia
Plazo
Figura 5.13. Anualidad diferida cuatro meses, plazo seis meses y renta de $350 cada mes.
Para resolver los problemas de anualidades diferidas no se necesitan nuevas fórmulas, se utilizan las de
anualidades vencidas o anticipadas.
❚❚ 5.5.1 Monto en anualidades diferidas
El monto se calcula utilizando las mismas ecuaciones de anualidades vencidas o anticipadas según sea
el caso, ya que durante el periodo de gracia no se cobran intereses.
147
UNIDAD
5
Anualidades
Problema resuelto
36.El señor Fernando Valdez compró a crédito un molino de nixtamal el día de hoy para su negocio y
su acreedor le concede un periodo de gracia de un año; sin embargo, realizará seis pagos semes­
trales anticipados de $54 800 por la compra del molino de nixtamal, si el interés es de 8% anual
convertible semestralmente, encontrar el monto.
Solución
Datos:
R = $54 800 Incógnita M
n = 6 semestres
Periodo de gracia un año = dos semestres
T = 28% A.C.S.
i = 0.02 semestral
M=?
-1
R2
R3
R4
R5
R6
1
2
3
4
5
6 semestres









0
R1
Periodo de gracia
Figura 5.14 Anualidad diferida dos semestres, plazo seis semestres y renta de $54 800 cada mes.
Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al prin­
cipio del periodo (pagos semestrales anticipados).
 (1.02 )6 + 1 − 1 
 (1 + i )n + 1 − 1 
 (1.02 )7 − 1 
− 1 = 54 800 
M = R
− 1 = 54 800 
− 1


0.02
i
0.02




 1.148685668 − 1 
 0.148685668

M = 54 800 
− 1 = 54 800 
− 1 = 54 800 [ 7.4342834 − 1]
0.02
0.02




M = $54 800(6.4342834) = $352 598.73
Problema resuelto
37.Encontrar el pago total que debe realizar el señor Héctor Serrano por la compra de una compu­
tadora el día de hoy, si después de tres meses realiza 12 pagos al inicio de cada mes de $999 con
un interés de 28% anual convertible mensualmente.
Solución
Datos
R = $999 Incógnita M
T = 28% A.C.M.
i = 0.023333 mensual
n = 12 meses
Periodo de gracia 2 meses
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10 R11
R12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11 meses
-1









-3 -2
M=?
10
Periodo de gracia
Figura 5.15 Anualidad diferida dos meses, plazo 12 meses y renta de $999 cada mes.
148
Grupo Editorial Patria©
Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al principio del
periodo (al inicio de cada mes).
 (1.023333 )12 + 1 − 1 
 (1 + i )n + 1 − 1 
 (1.023333 )13 − 1 
− 1 = 999 
M = R
− 1 = 999 
− 1


0.023333
i
0.023333




 1.34965438 − 1 
 0.34965438

M = 999 
− 1 = 999 
− 1 = 999 [14.9851877 − 1]
 0.023333

 0.023333

M = 999(13.9851877) = $13 971.20
Problema resuelto
38.Encontrar el pago que debe realizar la astrónoma Silvia Torres por la compra de un telescopio
electrónico portátil el día de hoy. Acuerda con su acreedor que después de cuatro meses realiza
12 pagos al final de cada mes de $50 950 con un interés de 23% anual convertible mensualmente.
Solución
Datos
R = $50 950 Incógnita M
T = 23% A.C.M.
i = 0.0191666 mensual
n = 12 meses
Periodo de gracia 4 meses
M=?
2
3
4
0











1
R1
R2
R3
R4
R5
1
2
3
4
5
...
R16 R17
R18
16
12 meses
17
Periodo de gracia
Figura 5.16 Anualidad diferida cuatro meses, plazo 12 meses y renta de $50 950 cada mes.
Se emplea la fórmula de monto de una anualidad vencida, porque el pago se realiza al final del periodo
(al final de cada mes).
 (1.0191666 )12 − 1
 (1 + i )n − 1
 1.25586377 − 1
M = R
 = 50 950 
 = 50 950 


i
0.0191666


 0.0191666 
 0.25586377 
M = 50 950 
= 50 950 [13.34941409 ]
 0.0191666 
M = $680 152.65
Problema resuelto
39.¿Cuál es el monto de una renta semestral de $20 000 durante ocho años, si el primer pago vencido
semestral se realiza dentro de tres años y el interés es de 18% capitalizable semestralmente?
Solución
Datos
Primer pago = después de 3 años
Incógnita M
m = periodo de gracia 6 meses
149
UNIDAD
5
Anualidades
n = 16 semestres
R = $20 000
T = 18% A.C.S.
i = 0.09 semestral
M=?
2
3
4
0











1
R1
R2
R3
R4
R5
1
2
3
4
5
...
R14 R15
R16
14
16 semestres
15
Periodo de gracia
Figura 5.17 Anualidad diferida tres años y medio, plazo ocho años y renta de $20 000 cada mes.
Se emplea la fórmula de monto de una anualidad vencida, porque el pago se realiza al final del
periodo (al final de cada semestre).
 ( 1 + i )n − 1
 ( 1.09 )16 − 1
 3.97030588 − 1
M = R
 = 20 000 
 = 20 000 



0.09
i
0.09



 2.97030588 
M = 20 000 
 = 20 000 [ 33.00339868 ] = $660 067.97
0.09

❚❚ 5.5.2 Valor presente en anualidades diferidas
En el cálculo del valor presente de una anualidad diferida los intereses generados dentro del periodo
de gracia se capitalizan.
FF
CT
Primer pago
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
12 meses
7






































Hoy
n
m
Figura 5.18 Anualidad diferida valor actual.
Donde m es igual al periodo de gracia y n el periodo pactado para la inversión o transacción comercial.
 1 − (1 + i ) − n 
−m
A = R
 (1 + i )


i
5.15
Problema resuelto
40.El dueño de una vulcanizadora compra una compresora industrial con un pago inicial de $6 000 y
ocho mensualidades de $3 800 cada una, pagando la primera mensualidad después de cuatro me­
ses de la compra; además, le cobran 20% de interés anual capitalizable mensualmente. Encontrar
el precio del equipo.
Solución
Datos
Pago inicial = $6 000 Incógnita A
Primer pago después de 4 meses = $3 800
150
Grupo Editorial Patria©
m = periodo de gracia = 3 meses
n = 8 meses
R = $3 800
T = 20% A.C.M.
i = 0.01666 mensual
A
Enganche ($6 000)
1
2
3
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
4
5
6
7
8
9
10
11 meses











0
R1
Periodo de gracia
Figura 5.19 Anualidad diferida valor actual para ocho pagos mensuales de $3 800.
Se emplea la fórmula de valor actual de una anualidad vencida, porque al no indicarse si el
pago se realiza al principio o al final del periodo, se debe entender o interpretar que el pago
se realiza al final del periodo (al final de cada mes).
 1 − (1 + 0.016666 ) −8 
 1 − (1 + i ) − n 
−m
−3
= 3 800 
A = R 
 (1 + 0.0166666 )
 (1 + i )


i
0.016666


 1 − 0.87613559 
 0.1238644 
(1.0166666 ) −3
(1.016666 ) −3 = 3 800 
A = 3 800 
 0.016666 
 0.016666 
A = 3 800(7.4318645)(0.9516215) = $26 874.82
Precio = A + Pago inicial
Precio = 26 874.82 + 6 000
Precio = $32 874.82
Problema resuelto
41.El director de una secundaria particular compra mobiliario para un salón de clases a crédito, en el
mes de mayo, y acepta pagarlo mediante 12 mensualidades de $2 800 con una tasa de interés de
26% anual convertible mensualmente. El primer pago lo realizará a finales del mes de agosto del
mismo año. ¿Cuál es el valor de contado?
Solución
Datos
Primer pago = finales de agosto Incógnita A
m = periodo de gracia 2 meses
n = 12 meses
R = $2 800
T = 26% A.C. Mensual
i = 0.021666 mensual
A=?
1
2
3
Agosto
R2
R3
R4
4
5
6
7
...
...
...
R10
R11
R12
13
14
15 meses
...











0
Mayo
R1
Periodo de gracia
Figura 5.20 Anualidad diferida valor actual para 12 pagos mensuales de $2 800.
151
UNIDAD
5
Anualidades
Se emplea la fórmula de valor actual de una anualidad vencida, porque al no indicarse si el
pago se realiza al principio o al final del periodo, se debe entender o interpretar que el pago
se realiza al final del periodo (al final de cada mes).
 1 − (1 + 0.021666 ) −12 
 1 − (1 + i ) − n 
−m
−3
= 2 800 
A = R
 (1 + 0.021666 )
 (1 + i )


i
0.021666


 1 − 0.77319549 
 0.2268045 
(1.021666 ) −3
(1.021666 ) −3 = 2 800 
A = 2 800 
 0.021666 
 0.021666 
A = 2800(10.4679)(0.9377199) = $25 772.94
Problema resuelto
42.¿Cuál es el valor presente de una renta semestral vencida de $8 000 durante 10 años, si el primer
pago semestral se realiza dentro de tres años y medio y el interés es de 18% capitalizable semes­
tralmente?
Solución
Datos
Primer pago = Después de 3 años y medio
m = periodo de gracia 6 semestres
n = 20 semestres
R = $8 000
T = 18% A.C.S.
i = 0.09 semestral
A=?
0
1
2
...
...
5
R1
R2
R3
6
7
8
Incógnita A
...
...
...
R18
R19
R20
18
19
20 meses

















...
Periodo de gracia
Figura 5.21 Anualidad diferida valor actual para 12 pagos mensuales de $8 000.
 1 − (1 + 0.09 ) −20 
 1 − (1 + i ) − n 
−m
−6
= 8 000 
A = R
 (1 + i )
 (1 + 0.09 )
0.09
i




 1 − 0.17843089 
 0.8215691
−6
−6
A = 8 000 
 (1 + 0.09 ) = 8 000  0.09  (1.09 )
0.09

A = 8 000(9.12854567)(0.59626733) = $43 544.43
Problema resuelto
43.Determina el valor presente por la compra de un pantalla plana el día de hoy, si después de dos
meses realiza 12 pagos al inicio de cada mes de $680 con un interés de 28% anual convertible
mensualmente.
Solución
Datos
R = $680 Incógnita M
T = 28% A.C.M.
152
Grupo Editorial Patria©
i = 0.023333 mensual
n = 12 meses
Periodo de gracia 2 meses
A=?
0
1
R1
R2
R3
R4
R5
R6
2
3
4
5
6
7
...
...
...
R10
R11
R12
12
13
14 meses



...
Periodo de gracia
Figura 5.22 Anualidad diferida valor actual para 12 pagos mensuales de $680.
Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al prin­
cipio del periodo (al inicio de cada mes).


1 − (1 + i ) − n +1 
1 − (1 + 0.023333 ) −12 +1 
−m
−1
= 680 1 +
A = R 1 +
 (1 + 0.023333 )
 (1 + i )


i
0.023333



1 − 0.7759108 
1 − (1 + 0.023333 ) −11 

−1
(1.023333 ) −1
A = 680 1 +
 (1.023333 ) = 680 1 +
0.023333 
0.023333



0.224084238 

(1.023333 ) −1 = 680 (1 + 9.60383245 )( 0.977199 ) =
A = 680 1 +
0.023333 

A = 680(10.60383245)(0.977199) = $7 046.20
❚❚ 5.5.3 Renta en anualidades diferidas
Para calcular el valor de la renta se deben analizar primero los datos del problema, lo que permitirá
identificar si se proporciona el monto o el valor actual.
Cuando se conoce el capital o el valor actual pero se desea conocer la renta, esta se despeja de
la ecuación del valor actual de la anualidad diferida (5.15).
 1 − (1 + i ) − n
A =R 

i

−m
 (1 + i )

5.15
Despejando la renta de la ecuación 5.15 se obtiene:
R =
A (1 + i )m
1 − (1 + i ) − n
i
5.16
Problema resuelto
44.El papá de la alumna Andrea Martínez deposita el 5 de julio la cantidad de $900 000 en un fondo
de inversión, ese mismo día inscribe a su hija en la preparatoria. El papá tiene la idea de realizar
nueve retiros semestrales a partir de cuando inscriba a su hija en el mes de julio en la universidad.
Encontrar el valor de cada retiro semestral que realizará si la tasa es de 8% anual capitalizable se­
mestralmente.
Solución
Datos
A = $900 000 Incógnita R
m = periodo de gracia = 5 semestres
n = 9 semestres
153
UNIDAD
5
Anualidades
T = 8% A.C.S.
i = 0.04 semestral
5 julio
5 julio
1
3
2
0
5
4
R2
R3
1
2
3
...
...
...
R7
R8
R9 = ?
7
8
9 semestres

















0
R1
Periodo de gracia
Figura 5.23. Anualidad diferida valor actual para nueve pagos semestrales.
R =
R =
A (1 + i )m
1 − (1 + i )
i
−n
=
900 000 (1 + 0.04 )5
1 − (1 + 0.04 )
0.04
−9
=
900 000 (1.2166529 )
1 − 0.7025867
0.04
1094 987.61
1094 987.61 1094 987.61
=
=
1 − 0.70258674
0.29741326
7.43533161
0.04
0.04
R = $147 268.16 en cada semestre
Problema resuelto
45.El señor Darío Velásquez compra una cocina integral que tiene un precio de contado de $47 550,
pero él decide realizar seis pagos mensuales, el primero debe realizarse cinco meses después de
la compra y el interés es de 1.5% mensual. ¿De cuánto serán las mensualidades a pagar?
Solución
Datos
A = $47 550 Incógnita R
m = periodo de gracia = 4 meses
n = 6 meses
T = 1.5% mensual
i = 0.015 mensual
1
2
3
4
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9 = ?
5
6
7
8
9
10
11
12
13 meses













0
R1
Periodo de gracia
Figura 5.24. Anualidad diferida valor actual para nueve pagos mensuales.
R =
R =
A (1 + i )m
1 − (1 + i )
i
−n
=
47550 (1 + 0.015 )4
1 − (1 + 0.015 ) −9
0.015
47550 (1.06136355 )
1 − (1.015 ) −9
0.015
1094 987.61
1094 987.61
1094 987.61
=
=
1 − 0.87459224
0.125407759
3.135193995
0.04
0.04
R = $349 256.73 en cada semestre
154
=
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
46.El dueño del restaurante de mariscos Al Estilo Nayarita deposita el día de hoy $100 000 en una
cuenta de inversiones que paga 12% anual capitalizable bimestralmente, dentro de ocho bimes­
tres comenzará a realizar retiros bimestrales vencidos hasta completar 24. ¿De qué cantidad serán
estos retiros?
Solución
Datos
A = $100 000 Incógnita R
m = periodo de gracia = 7 bimestres
n = 24 bimestres
T = 12% A.C.B.
i = 0.02 bimestral
$100 000
1
2
3
4
5
6
7
R2
R3
8
9
10
...
R22
R23
R24 = ?
29
30
31 bimestres





















0
R1
Periodo de gracia
Figura 5.25 Anualidad diferida valor actual para 24 retiros bimestrales.
R =
R =
A ( 1 + i )m
1 − ( 1 + i )− n
i
=
100 000 ( 1 + 0.02 )7
1 − ( 1 + 0.02 ) −24
0.02
=
100 000 ( 1.14868567 )
1 − ( 1.02 ) −24
0. 02
114 868.57
114 868.57
114 868.57
=
=
1 − 0.621721488
0.3782785121 18.9139256
0.02
0.02
R = $6 073.23 en cada bimestre
❚❚ 5.5.4 Plazo en anualidades diferidas
El número de periodos de pago en una anualidad diferida se calcula analizando los datos del problema
para identificar cuándo se proporciona el valor actual o el valor del monto.
■■
Se calcula en valor del depósito inicial al final del periodo de gracia.
M = C(1 + i )m = A
■■
Cuando se conoce el valor actual se despeja la renta de la expresión de anualidad vencida de
valor actual.
 1 − (1 + i ) − n 
A = R



i
R


log 

m
i
i
−
+
(1
)
(
)
R
A
(
)


n=
log(1 + i )
5.3
5.17
Problema resuelto
47.La comunicóloga Carmen Loera contrae una deuda de $125 000 por la compra de equipo para una
cabina de radio para transmitir por internet. Ella acordó comenzar a pagar dentro de tres meses,
realizando cuantos pagos sean necesarios de $9 000 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de
24% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar para saldar su deuda?
155
UNIDAD
5
Anualidades
Solución
Datos
A = $125 000 Incógnita n
R = $9 000
m = periodo de gracia = 2 meses
T = 24% A.C.M.
i = 0.02 mensual
$125 000
1
2
R2
R3
R4
R5
3
4
5
6
7
...
...
...
Rn - 1
Rn
n-1
n meses






0
R1
Periodo de gracia
Figura 5.26 Anualidad diferida valor actual para conocer el número de pagos mensuales de $9 000.
R
9 000




log 
 log 

m
2


 R −  A (1 + i )  ( i ) 
 9 000 − [125 000 (1.02 ) ]( 0.02 ) 
n=
=
log (1.02 )
log (1 + i )
9 000
9 000




log 
 log  9 000 − (130 050 )( 0.02 ) 


 900 − [125 000 (1.0404 )]( 0.02 ) 
n=
=
log (1.02 )
log (1.02 )
9 000
 9 000 


log 
 log  6 399 
0.148130399

 log[1.40646976 ]
 9 000 − 2 601
=
n=
=
=
log (1.02 )
log (1.02 )
0.0086
log (1.02 )
n = 17.22 pagos
Como n = 17.22 pagos, deberá pagar 17 pagos de $9 000 más otro pago menor y para saber de cuánto sería
utilizamos la siguiente ecuación:

 (1.02 )17 − 1 

 1.400241 − 1 
X = 125 000 (1.02 )19 − 9 000 
  (1.02 )
  (1.02 ) = 125 000 (1.456811) − 9 000 
0.02
0.02







 1.40024142 − 1 
X = 125 000 (1.456811) − 9 000 
  (1.02 ) = [182101.38 − 9 000 ( 20.012071)](1.02 )

0.02


X = (182 101.38 - 180 108.64)(1.02) = (1 992.714)(1.02) = $2 032.57
También se pueden realizar 16 pagos de $9 000, más otro de mayor cantidad:

 ( 1.02 )16 − 1 

 1.372786 − 1 
X = 125 000 ( 1.02 )18 − 9 000 
  ( 1.02 )
  ( 1.02 ) = 125 000 ( 1.428246 ) − 9 000 
0.02
0
.
02

 




 0.372786  
X = 178 530.75 − 9 000 
02 ) = [ 178 530.75 − 9 000 ( 18.6393 )]( 1.02 )
  ( 1.0
 0.02  

X = (178 530.75 - 167 753.7)(1.02) = (10 777.05)(1.02) = $10 992.73
156
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
48.Claudia Salazar contrae una deuda por $78 585 por la compra de equipo fotográfico, el que co­
menzará a pagar dentro de seis meses y realizando cuantos pagos sean necesarios de $2 900 hasta
saldar la deuda. La tasa de interés es de 26% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos
debe realizar para saldar su deuda?
Solución
Datos
A = $78 585 Incógnita n
R = $2 900
m = periodo de gracia = 5 meses
T = 26% A.C.M.
i = 0.021666 mensual
$78 585
1
2
3
4
5
R2
R3
6
7
8
...
...
...
Rn - 1
Rn
n-1
n meses















0
R1
Periodo de gracia
Figura 5.27 Anualidad diferida, valor actual para conocer el número de pagos mensuales de $2 900.
2 900
R




log 
 log  2 900 − [ 78 585 (1.0216666 )5 ]( 0.0216666 ) 
m

 R − [ A (1 + i ) ]( i ) 

=
n=
log (1 + i )
log (1.0216666 )
2 900
2 900




log 
 log  2 900 − ( 87 475.08 )( 0.0216666 ) 
 2 900 − [ 78 585 (1.11312697 )]( 0.0216666 ) 


n=
=
log (1.02 )
log (1.02 )
2 900


 2 900 
log 
log 


2
900
−
1895.29
log[ 2.8862614 ]
0.46032853


 1004.71
n=
=
=
=
log (1.021666 )
log (1.021666 )
log (1.021666 )
0.00930894
n = 49.45
Como n = 49.45 pagos, deberá pagar 49 pagos de $2 900 más otro pago menor y para saber
de cuánto sería utilizamos la siguiente ecuación:

 (1.021666 )49 − 1 
X = 78 585 (1.021666 )54 − 2 900 
  (1.021666 )
0.021666




 2.85849934 − 1 
X = 78 585 ( 3.1818727 ) − 2 900 
 (1.021666 )
 0.021666  


 1.85849934  
X = 250 047.47 − 2 900 
 (1.021666 )
 0.021666  

X = [250 047.47 - 2 900(85.779532)](1.021666)
X = (250 047.47 - 248 760.64)(1.021666) = (1 286.83)(1.021666) = $1 314.71
157
UNIDAD
5
Anualidades
También se pueden realizar 48 pagos de $2 900, más otro de mayor cantidad:

 (1.021666 )48 − 1 
X = 78 585 (1.021666 )53 − 2 900 
  (1.021666 )
0.021666




 2.7978805 − 1 
X = 78 585 ( 3.1143962 ) − 2 900 
 (1.021666 )
 0.021666  


 1.7978805  
X = 244 744.83 − 2 900 
 (1.021666 )
 0.021666  

X = [244 744.83 - 2 900(82.98165159)](1.021666)
X = (244 744.83 - 240 646.79)(1.021666) = (4 098.04)(1.021666) = $4 186.83
❚❚ 5.5.5 Tasa de interés en anualidades diferidas
Como ya se ha estudiado, al realizar el pago de la renta al final de cada periodo se tiene que emplear
la fórmula de valor presente para anualidad vencida.
 1 − (1 + i ) − n 
A = R



i
5.3
La incógnita en este caso es la tasa de interés i y es necesario despejarla de la fórmula de valor pre­
sente para anualidad vencida.
 1 − (1 + i ) − n 
A = R



i
A
1 − (1 + i ) − n
=
R
i
5.18
Como se observa en la expresión 5.18 tenemos tanto en numerador como en el denominador a la i,
por lo que no se puede despejar a i. Entonces qué se puede hacer para conocer el valor de la tasa. Para
darle solución a este problema se utiliza el procedimiento de aproximación o tanteo, el cual consta de
varios pasos:
1. Sustituir los valores en la expresión 5.18 de renta y valor actual, posteriormente realizar el cociente
A
1 − (1 + i ) − n
=
R
i
k =
5.18
1 − (1 + i ) − n
i
2. Conociendo el valor de k, ensayar dando valores de tasa de interés i uno mayor y otro menor. El
objetivo es que al sustituir el valor de la tasa y realizar las operaciones, el resultado del lado dere­
cho de la expresión 5.18 sea lo más cercano al valor de k.
3. Interpolar los valores encontrados en la expresión 5.18 para determinar el valor de i.
Para entender con mayor facilidad los pasos anteriores, se utilizará un ejemplo:
Problema resuelto
49.Gilberto debería pagar el día de hoy $22 648.28 por la compra de mercancía para su mercería. Él
había reestructurado su deuda con anticipación y acordó con el banco realizar siete pagos trimes­
trales de $4 500.00. ¿Qué tasa de interés le están cobrando?
158
Grupo Editorial Patria©
Solución
Datos
C = $22 648.28
Incógnita i
R = $4 500.00
n = 7 trimestres
1.
A
1 − (1 + i ) − n
=
R
i
$22 648.28
$4 500.00
=
1 − (1 + i ) − n
i
5.03295 =
1 − (1 + i ) − n
i
5.03295 =
1 − (1 + 0.085 ) −7
0.085
5.03295 =
1 − (1.085 ) −7
0.085
5.03295 =
1 − 0.564926
0.085
5.03295 =
0.4350736
0.085
5.18
2.
Si i = 0.085 entonces:
5.03295 = 5.118513
Si i = 0.087 entonces:
5.03295 =
1 − (1 + 0.087 ) −7
0.087
5.03295 =
1 − (1.087 ) −7
0.087
5.03295 =
5.03295 =
1 − 0.55769
0.087
0.4423096
0.087
5.03295 = 5.084
Si i = 0.098 entonces:
5.03295 =
1 − (1 + 0.098 ) −7
0.098
5.03295 =
1 − (1.098 ) −7
0.098
5.03295 =
1 − 0.519737
0.098
5.03295 =
0.480263
0.098
5.03295 = 4.90064
159
UNIDAD
5
Anualidades
3.
El paso siguiente es interpolar los dos valores más cercanos a 5.03295, calculados en el paso ante­
rior, la interpolación nos sirve para encontrar el valor más exacto de la tasa de interés i.
En todo procedimiento de interpolación se debe realizar un diagrama el cual mostrará las con­
diciones de la interpolación permitiendo analizar y comprender de una forma más clara los cálculos
a realizar.
4.90064
d1
5.03295
d2
5.084
0.098
d3
i
dT
0.087
Figura 5.28 De Interpolación para el cálculo de la tasa de interés.
Con base en la figura 5.28 se realizan los siguientes cálculos:
La distancia total entre las cantidades 4.90064 y 5.084.
Distancia total (dt) = 5.084 - 4.90064 = 0.18336
La distancia (d1) entre las cantidades 4.90064 y 5.03295.
d1 = 5.03295 - 4.90064 = 0.13231
Se plantea la relación:
d1
dt
=
0.13231
= 0.72159
0.18336
La distancia (d3) entre las cantidades 0.098 e i.
d3 = i - 0.098
La distancia (dT) entre las cantidades 0.087 y 0.098.
dT = 0.087 - 0.098 = -0.011
La proporción queda de la siguiente forma:
d1
d
=
d2
dT
5.03295 − 4.90064
i − 0.098
=
5.084 − 4.90064
0.087 − 0.098
0.13231 i − 0.098
=
0.18336
−0.011
0.72159 =
i - 0.098 = 0.72159(-0.011)
i - 0.098 = -0.007937
i = -0.007937 + 0.098
i = 0.090062
i = 9.0062% trimestral
i − 0.098
−0.011
Comprobación de la mejor aproximación de la tasa de interés, utilizando la ecuación 5.18.
1 − (1.090062 ) −7
1 − 0.5468165
0.04531835
=
=
= 5.0319
0.090062
0.090062
0.090062
160
Grupo Editorial Patria©
El resultado obtenido de la comprobación casi es igual al calculado en el cociente de A/R de la ecua­
ción 5.18.
5.0319 ≈ 5.3295
La diferencia en el cálculo de la tasa es de 0.00085 debido a las fracciones decimales en los cálculos.
Problema resuelto
50.Raquel compra un calentador solar para su casa a plazos. Ella acuerda con la ferretería realizar
12 pagos mensuales de $1 030. ¿Cuál es la tasa anual efectiva, si el precio de contado del calen­
tador solar es de $10 300?
Solución
Datos
A = $10 300 Incógnita i
R = $1 030
n = 12 meses
1.
A
1 − (1 + i ) − n
=
R
i
$10 300.00
$1030.00
=
1 − ( 1 + i )− n
i
10 =
1 − (1 + i ) − n
i
10 =
1 − (1 + 0.03 ) −12
0.03
10 =
1 − (1.03 ) −12
0.03
10 =
1 − 0.701379
0.03
10 =
0.29862
0.03
2.
Si i = 0.03 entonces:
10 = 9.954
Si i = 0.028 entonces:
10 =
1 − (1 + 0.028 ) −12
0.028
10 =
1 − (1.028 ) −12
0.028
10 =
1 − 0.71793
0.028
10 =
0.282069
0.028
10 = 10.073897
161
UNIDAD
5
Anualidades
3.
10.073897
d1
10
d2
9.954
0.028
dt
i
dT
0.03
Figura 5.29 Interpolación cálculo de la tasa de interés.
Con base en la figura 5.29 se realizan los siguientes cálculos:
La proporción queda de la siguiente forma:
d1
d
=
dt
dT
10.073897 − 9.954
0.028 − i
=
10.073897 − 9.954
0.028 − 0.03
0.073897 0.028 − i
=
0.119898
−0.002
0.6163374 =
0.028 - i = 0.6163374(-0.002)
0.028 − i
−0.002
0.028 - i = 0.001232675
i = 0.001232675 + 0.028
i = 0.0292327
i = 2.92% efectiva mensual
La tasa efectiva anual es:
e = (1 + i )p
e = (1.02923) - 1
e = 1.413023 - 1
e = 0.413023
e = 41.3023% efectiva mensual
5.19
12
Problema resuelto
51.Jacinto realizó 20 depósitos trimestrales de $19 000.00 en el Banco del Atlántico, para juntar la
cantidad de $400 000.00. ¿Cuál es la tasa nominal convertible trimestralmente?
Solución
Datos
M = $400 000.00
R = $19 000.00
n = 20 trimestres
Incógnita i
1.
162
M
(1 + i )n − 1
=
R
i
$400 000.00
$19 000.00
21.0526 =
=
(1 + i )n − 1
i
(1 + i )n − 1
i
5.20
Grupo Editorial Patria©
2.
Si i = 0.005 entonces:
21.0526 =
(1 + 0.005 )20 − 1
0.005
21.0526 =
(1.005 )20 − 1
0.005
21.0526 =
1.104895 − 1
0.005
21.0526 =
0.1048955
0.005
21.0526 = 20.9791
Si i = 0.0055 entonces:
21.0526 =
(1 + 0.0055 )20 − 1
0.055
21.0526 =
(1.0055 )20 − 1
0.055
21.0526 =
1.115942 − 1
0.055
21.0526 =
0.115942
0.0055
21.0526 = 21.0803
3.
20.9791
d1
21.0526
d2
21.0803
0.005
dt
i
dT
0.0055
Figura 5.30 Interpolación cálculo de la tasa de interés.
Con base en la figura 5.30 se realizan los siguientes cálculos:
La proporción queda de la siguiente forma:
d1
d
=
dt
dT
21.0526 − 20.9791
i − 0.005
=
21.0803 − 20.9791 0.0055 − 0.005
0.07353 i − 0.005
=
0.1012
0.0005
0.72658 =
i - 0.005 = 0.72658(0.0005)
i - 0.005 = 0.000363
i = 0.000363 + 0.005
i = 0.00536329
i = 0.53633% trimestral
i − 0.005
0.0005
163
UNIDAD
5
Anualidades
Comprobación
(1 + 0.0053633 )20 − 1 (1.0053633 )20 − 1 1.1129113 − 1 0.1129113
=
=
=
= 21.05258
0.0053633
0.0053633
0.0053633
0.0053633
El resultado obtenido de la comprobación casi es igual al calculado en el cociente de A/R de la ecua­
ción 5.18.
21.0526 ≈ 21.05258
La diferencia en el cálculo de la tasa es de 0.00002 debido a las fracciones decimales en los cálculos.
❚❚ 5.5.6 Tasa de interés en anualidad diferida
La incógnita en este caso es la tasa de interés i y es necesario despejarla de la fórmula de valor pre­
sente para anualidad vencida.

1 − (1 + i ) − n + 1 
A = R 1 +



i
5.10
1 − (1 + i ) − n + 1
A
= 1+
R
i
5.21
Como se observa en la expresión 5.21 tenemos tanto en numerador como en el denominador a la i,
por lo que no se puede despejar a i. Para darle solución a este problema se utiliza el procedimiento de
aproximación o tanteo, el cual consta de varios pasos:
1. Sustituir los valores en la expresión 5.21 de renta y valor actual, posteriormente realizar el cociente.
1 − (1 + i ) − n + 1
A
= 1+
R
i
Si: k − 1 =
5.21
1 − (1 + i ) − n
i
2. Conociendo el valor de k, ensayar dando valores de tasa de interés i uno mayor y otro menor. El
objetivo es que al sustituir el valor de la tasa y realizar las operaciones, el resultado del lado dere­
cho de la expresión 5.21 sea lo más cercano al valor de k.
3. Interpolar los valores encontrados en la expresión 5.21 para determinar el valor de i.
Problema resuelto
52.¿A qué tasa de interés anual de nueve pagos bimestrales anticipados de $800.00 equivalen a un
valor actual de $6 788.74?
Solución
La solución de la tasa de anualidad antici­
pada en esta ocasión se realiza en la hoja
electrónica utilizando la fórmula de valor
presente para anualidad anticipada 5.10,
los cálculos se realizaron con base en los
tres pasos que utilizaron para el cálculo de
la tasa en anualidades vencidas.
164
Cuadro 5.8 Cálculo de la tasa de interés en anualidad diferida
(Valor actual)
Grupo Editorial Patria©
d1
dt
=
d3
dT
i − 0.0145
7.502257 − 7.48593
=
0.015050 − 0.0145
7.502257 − 7.48429
i − 0.0145
0.03664
=
0.00055
0.03828
i - 0.0145 = 0.95716(0.00055)
i - 0.0145 = 0.0005
i = 0.015
i = 1.5% bimestral
i = 9% anual
Problema resuelto
53.¿A qué tasa de interés anual de 15 pagos anuales anticipados de $1 800 acumulan un valor futuro
de $481 831.24?
Solución
La solución de la tasa de anualidad anticipada en esta ocasión se realiza en la hoja electrónica utilizando
la fórmula de valor presente para anualidad anticipada 5.8, los cálculos se realizarán con base en los tres
pasos que utilizaron para el cálculo de la tasa en anualidades vencidas.
 (1 + i )n + 1 − 1 
M = R
− 1


i
5.8
 (1 + i )n + 1 − 1
M
+1= 



R
i
5.22
Cuadro 5.9 Cálculo de la tasa de interés en anualidades anticipadas (monto)
d1
dt
=
d3
dT
i − 0.32215
268.684022 − 268.561749
=
0.32225 − 0.32215
268.806351 − 268.561749
i − 0.32215
0.122273
=
0.0001
0.244602
165
UNIDAD
5
Anualidades
i - 0.32215 = 0.499886(0.0001)
i - 0.32215 = 0.00004999
i = 0.32219
i = 32.219% anual
5.6 Anualidades generales
Una anualidad general tiene la característica de que el periodo de pago nunca coincide con el periodo
de capitalización. Existen dos casos de anualidades generales:
■■
Cuando el periodo de pago es más largo que el de capitalización.
■■
El periodo de capitalización es más largo que el periodo de pago.
Cuadro 5.10 Cómo identificar una anualidad general, cuando es planteada en ejemplo o problema a resolver
Criterio
Anualidad general
Ejemplo
Tiempo (Cierta)
Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.
Antes de realizar la firma del documento.
Periodo
Tiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha
de su vencimiento.
Un año.
Iniciación
(Inmediata)
El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente
después de la emisión de un empréstito (formalización del trato).
Pagos
Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo o intervalo.
Al final de cada mes,
El día 30 o 31.
General
Cuando el periodo de pago no coincide con el periodo de
capitalización de los intereses.
El periodo de pago es de un mes y la tasa de interés
de 10% anual convertible bimestralmente.
Es necesario convertir la anualidad general en una anualidad simple, para posteriormente utilizar la
ecuación de anualidad vencida y calcular la anualidad general.
Para convertir la anualidad general a simple se cuenta con los dos procedimientos:
1. Calcular la tasa de interés equivalente i ′.
2. Encontrando el valor de la renta o pago periódico equivalente R ′.
I. Cuando el periodo de pago es más largo que el de capitalización
Problema resuelto
54.Calcular el monto de cuatro pagos de $150 al final de cada bimestre si el interés es de 24% anual
capitalizable mensualmente.
Solución
Datos
R = $150 Incógnita M
T = 24% A.C. Mensual
i = 0.02 mensual
n = 4 bimestres
A
i=?
0
R1
R2
R3
R4
1
2
3
4 bimestres
2
4
6
8 meses
i = 0.02 mensual
Figura 5.31 Anualidad general.
166
0
Grupo Editorial Patria©
En los datos del problema, el periodo de pago es de dos meses y el de capitalización de los intereses
de un mes, entonces, el periodo de pago es mayor que el de capitalización. Para encontrar la anualidad
general primero se calcula la tasa de interés equivalente.
i ′ = 6[1.0404 - 1]
i ′ = 6(0.0404)
i ′ = 0.2424
i ′ = 24.24% A.C. Bimestral
i ′ = 0.0404 bimestral
Una vez encontrada la tasa anual capitalizable bimestralmente se transforma la anualidad general a una
anualidad simple.
 (1 + 0.0404 )4 − 1
 (1 + i ′ )n − 1
 1.17165938 − 1
MB = R 
 = 150 
 = 150 
 = 150 ( 4.249 ) = $637.35


0.0404
i′
0.0404



Encontrar la renta equivalente mensual (R ′) durante dos meses que sea equivalente a una renta bimes­
tral (R ) de $150; es decir, debemos calcular a partir del monto la renta mensual utilizando la fórmula de
anualidad simple.
 (1 + t ) p − 1
M = R′

t


Despejar R ′ de la ecuación anterior y se obtiene:
R′ =
150
 (1 + 0.02 )2 − 1


0.02


=
150
 1.0404 − 1
 0.02 
=
150
= $74.26
2.02
El monto MB = MM
 (1 + 0.02 )8 − 1
 (1 + i ′ )n − 1
MM = R 
 = 74.26 
 = $637.37


0.02
i′


II. Si el periodo de pago es más corto que el de capitalización
Problema resuelto
55.Calcular el monto de cuatro pagos de $150 al final de cada bimestre, si el interés es de 24% anual
capitalizable trimestralmente.
Solución
Datos
R = $150 Incógnita M
T = 24% A.C. Trimestral
n = 4 bimestres
a)En los datos del problema, el periodo de pago es de dos meses y el de capitalización de los
intereses es cada tres meses, entonces, el periodo de pago es menor que el de capitalización.
Para dar solución a este problema, a la anualidad general primero se le calcula la tasa de interés
equivalente.
A
i=?
0
i = 0.02 mensual
Figura 5.32 Anualidad general.
0
R1
R2
R3
R4
1
2
3
4 bimestres
1
2
3 trimestres
167
UNIDAD
5
Anualidades
Calcular la tasa de interés equivalente:
i ′

 1 + 
6
6
i ′

 1 + 
6
6
1+
i ′ = 6  6 (1.06 )4 − 1
i ′ = 0.23766
i ′ = 23.766% A.C. Bimestral
i′
=
6
0.24 

= 1 +


4 
4
= ( 1 + 0.06 )4
6
(1.06 )4
b)
Al encontrar la tasa anual capitalizable bimestralmente se transforma la anualidad general a una
anualidad simple.
 (1 + i ′ )n − 1
M = R

i′


 (1 + 0.03961)4 − 1
M = $150 

0.03961


M = $636.60
c) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de tres meses.
 ( 1 + t ) p − 1
R′ = R

t


 ( 1 + 0.03961)0.5 − 1
R ′ = 150 

0.03961


R ′ = $630.60 trimestral
Si R ′ = R, entonces:
 ( 1 + 0.06 )24 9 − 1
M = $227.21

0.06


M = $636.60
Problema resuelto
56.Encontrar el monto de 10 depósitos mensuales de $550, si el interés es de 23% anual capitalizable
semestralmente.
Solución
Datos
R = $550 Incógnita M
n = 10 depósitos mensuales
T = 23% A.C. Semestral
i = 11.5% efectivo semestral
168
Grupo Editorial Patria©
a)Como las rentas son mensuales es necesario encontrar el interés efectivo mensual equivalente
a 11.5% también efectivo semestral.
A
i=?
0
R1
1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
2
3
4
i = 0.115 semestral
5
6
7
8
9
10 meses
0
1
2 semestres
Figura 5.33 Anualidad general.
i′ 

 1 +

12 
12
i′ 

 1 +

12 
12
12 1 +
i ′ = 12[1.018308 - 1]
i ′ = 12(0.018308)
i ′ = 0.219695
i ′ = 21.97% A.C. Mensual
i ′ = 1.83% mensual
i′
=
12
0.23 

= 1 +


2 
2
= (1 + 0.115 )2
12
1.243225
b)Al encontrar la tasa anual capitalizable mensualmente se transforma la anualidad general en
una anualidad simple.
 (1 + 0.01830833 )10 − 1
 (1 + i ′ )n − 1
 0.19892762 
M = R
 = 550 
 = 550 


0.01830833
i′


 0.01830833 
M = 550(10.865416) = $5 975.98
c) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de seis meses.
 (1 + i ′ )n − 1
M = R′



i′
Despejar R ′ de la ecuación anterior y se obtiene:
 (1 + 0.01830833 )6 − 1
 0.11500234 
R ′ = 550 
 = 550 
0.01830833


 0.01830833 
R ′ = 550(6.22814216) = $3 454.78
 ( 1 + 0.115 )10 6 − 1
 0.1989234 
M = 3 454.78 
 = 3 454.78 
0.115


 0.115 
M = 3 454.78(1.72977) = $5 975.97
169
UNIDAD
5
Anualidades
Problema resuelto
57.Encontrar el monto de nueve depósitos mensuales de $1 000 que realiza un alumno de la univer­
sidad para comprarse una computadora, si el interés es de 2% capitalizable semestralmente.
Solución
Datos
Depósitos mensuales n = 9
R = $1 000
T = 2% A.C.S.
i = 0.02/2 = 0.01 semestral
a)De los datos del problema y como se muestra en la gráfica, se deduce que el periodo de capi­
talización es más largo que el periodo de pago:
i=?
0
Figura 5.34
Anualidad general.
R1
1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
2
3
4
i = 0.01 semestral
5
6
7
8
9
0
10
11
1
12 meses
2 semestres
Determinar la tasa de interés equivalente.
Como las rentas son mensuales es necesario encontrar el interés efectivo mensual equivalente
a 1% efectivo semestral.
i ′

 1 + 
6
6
1+
6
i′
=
6
0.02 

= 1 +


2 
6
1
1.01
i ′ = 6[1.0016598 - 1]
i ′ = 6(0.0016598)
i ′ = 0.00996
i ′ = 0.996% mensual
b)
Al encontrar la tasa anual capitalizable mensualmente se transforma la anualidad general en
una anualidad simple.
 (1 + 0.00996 )10 − 1
 (1 + i ′ )n − 1
 1.104185 − 1
 0.104185 
= 1 000 
M = R
 = 1 000 
 = 1 000 


i′
0.00996


 0.00996 
 0.00996 
M = 1 000(10.460314) = $10 460.31
c)Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de capitalización de seis meses.
 (1 + i ′ )n − 1
M = R′



i′
Despejar R ′ de la ecuación anterior se obtiene:
 (1 + 0.00996 )6 − 1
 1.061268 − 1
 0.061268 
R ′ = 1000 
= 1 000 
 = 1 000 
0.00996


 0.00996 
 0.00996 
R ′ = 1 000(6.151406) = $6 151.41
 ( 1 + 0.001)10 6 − 1
 ( 1.001)1.666667 − 1
 0.001667 
M = 6151.41
 = 6151.41
 = 6151.41
0.01
0.01


 0.01 


M = 6 151.41(1.667) = $10 254.40
170
Grupo Editorial Patria©
❚❚ 5.6.1 Valor actual en anualidades generales
Problema resuelto
58.Encontrar el valor actual de un conjunto de cuatro pagos trimestrales de $200, si el interés es de
26% anual convertible mensualmente.
Solución
Datos
R = $200 Incógnita A
n = 4 trimestres
T = 26% A.C. Mensual
i = 0.021666 mensual
a) Se resuelve utilizando la tasa equivalente. Para su cálculo se considera un solo trimestre.
1 + i ′ = (1 + i )p
i ′ = (1 + 0.021666)3 - 1
i ′ = 0.0664165 trimestral
b) Para calcular el valor presente:
 1 − (1.0664165 ) −4 
 1 − (1 + i ) − n 
 1 − 0.7732013 
A = R
 = 200 
 = 200 


0.0664165
i


 0.0664165 
 0.2267987 
A = 200 
= 200 ( 3.4147945 ) = $682.96
 0.0664165 
c) Para calcular el monto:
 (1.0664165 )4 − 1
 (1 + i )n − 1
 1.293324 − 1
M = R
 = 200 
 = 200 


0.0664165
i


 0.0664165 
 0.2933243 
A = 200 
= 200 ( 4.4164372 ) = $883.29
 0.0664165 
O bien, si A = M entonces:
M = 682.96(1.0664165)4 = 682.96(1.2933243) = $883.29
d ) Para la renta equivalente, la solución es:
 (1 + t ) p − 1
M = R′

t


 (1.021666)3 − 1
200 = R ′ 

 0.021666 
 0.066416 
200 = R ′ 
 0.021666 
R′ =
200
= $65.24 mensual
3.0654482
e) El cálculo del valor presente sería:
 1 − (1.021666 ) −12 
 1 − (1 + i ) − n 
 1 − 0.7732013 
 0.226798 
= 65.24 (10.46791)
A = R
= 65.24 
 = 65.24 
 = 65.24 



0.021666
i


 0.021666 
 0.021666 
1.021666 ) −12 
 1 − 0.7732013 
 0.226798 
= 65.24 (10.46791)
= 65.24 
 = 65.24  0.021666

 0.021666 
 0.021666 
A = $682.93
171
UNIDAD
5
Anualidades
f ) Para calcular el monto:
 (1 + 0.021666 )12 − 1
 (1 + t ) p − 1
 0.293324 
M = R′
=
 = 65.24 
 = 65.24 
0.021666

 0.021666 
t


M = 65.24(13.53845) = $883.25 mensual
Problema resuelto
59.¿Cuál es el monto y el valor presente de un conjunto de 18 pagos bimestrales de $10 600 si el
interés es de 3% trimestral efectivo?
Solución
Encontrar la tasa efectiva bimestral equivalente a la efectiva trimestral:
(1 + i ′)3/2 = (1 + 0.03)
i ′ = (1.03)2/3 - 1
i ′ = 1.0199013 - 1
i ′ = 0.0199013 efectiva bimestral
 (1 + 0.0199013 )18 − 1
 (1.0199013 )18 − 1
 1.42576 − 1
M = 10 600 
 = 10 600 
 = 10 600 
0.0199013
0.0199013




 0.0199013 
 0.42576 
M = 10 600 
= 10 600 ( 21.393609 ) = $226 772.25
 0.0199013 
El valor presente es:
C = 226 772.25(1.0199013)-18 = 226 772.25(0.70138)
C = $159 053.52
❚❚ 5.6.2 Plazo en anualidades generales
Problema resuelto
60.Una persona desea acumular $20 395 mediante depósitos semestrales de $911.90 en una cuenta
que rinde 1.25% bimestral.
Solución
La tasa semestral equivalente a 1.25% bimestral:
i ′

 1 + 
2
2
i ′

 1 + 
2
2
1+
= (1 + 0.0125 )1
=
2
1.0125
i′
= 1.00623059
2
i ′ = 2[1.00623059 - 1]
i ′ = 2(0.00623059)
i ′ = 0.0124612 A.C. Semestral
i ′ = 0.0124612/2 = 0.00623059 semestral
172
Grupo Editorial Patria©
De la expresión de monto de la anualidad vencida se despeja n:
 (1 + i ′ )n − 1
M = R

i′


n=
∴
 Mi ′

+ 1
log 

 R
n=
 20 395 ( 0.00623059 )

log 
+ 1


911.90
log (1 + 0.00623059 )
log (1 + i ′ )
=
 127.07288

log 
+ 1
 911.90

0.002697516
=
log (1.13935 )
0.002697516
=
0.056657
= 21
0.002697516
Problema resuelto
61.La banda Del Recodo debe pagar un préstamo para la compra de un autobús, el costo de contado
es de $1 950 000 y lo debe liquidar con pagos mensuales de $134 400 comenzando un mes des­
pués de la autorización del crédito, el interés es de 15% efectivo anual. ¿Cuántos pagos completos
debe hacer?
Solución
La tasa mensual equivalente a 15% efectivo anual:
12
i′ 

1+


12 
i′

1+
 =

12 
1+
i ′ = 12(0.01171492)
i ′ = 0.0140579 A.C. mensualmente
i ′ = 0.140579/12 = 0.011715 mensual
= (1 + 0.15 )
12
( 1.15 )1
i′
= 1.01171492
12
De la expresión de valor actual de la anualidad vencida se despeja n:
 1 − ( 1 + i ′ ) −n 
A = R



i′
n=
1

1950 000 ( 0.011715 ) 

1−
140 000

log (1 + 0.011715 )
1


log 
22 844.25 

1−
134 400 

=
0.005058189
∴
n=
1


log 
1950 000 ( 0.011715 ) 

1−
140 000


log (1 + 0.011715 )
=
1 

log 
Ai ′ 

1−

R 
log( 1 + i ′ )
1


log 
22 844.25 

1−
134 400 

0.005058189
1
1




log 
log 
 1 − 0.16317 
 0.8300279 
=
=
0.005058189
0.005058189
1
1




log 
log 
 1 − 0.16317 
 0.8300279 
=
=
0.005058189
0.005058189
n=
log(1.1949858 )
0.005058189
=
0.077362759
= 15.29
0.005058189
Tiene que realizar 15 pagos completos y un pago 16 de una cantidad menor.
173
UNIDAD
5
Anualidades
❚❚ 5.6.3 Renta en anualidades generales
Problema resuelto
62.El 10 de febrero de 2014, el comerciante Miguel Mancera compró un local en una nueva plaza
comercial en el centro de la ciudad con valor de $4 000 000, dio de enganche 50% y el resto fue
en un pago único el 10 de mayo 2015. El 20 abril de 2015, el señor Mancera acuerda con Banorte
cambiar la forma de liquidar el local por seis pagos mensuales, realizando el primero el 10 de sep­
tiembre de 2015. La tasa de interés efectivo anual acordada es de 10.5%. ¿Cuánto tiene que pagar
mensualmente el señor Mancera?
Solución
Enganche
$2 000 000
Adeudo
$2 000 000
...
10 May. 2015
10 Ago. 2015
R2
R3
10 Sep. 2015
R4
R5
R6
10 Feb. 2016 meses









10 Feb. 2014
R1
...
Periodo de gracia
Figura 5.35 Anualidad diferida, cálculo de la renta.
Valor del local - enganche = 4 000 000 - 0.5 (2 000 000) = $1 000 000
Periodo de gracia tres meses
Seis pagos mensuales de = ?
Tasa equivalente
(1 + i )12 = 1 + 0.105
1+ i =
i = 1.0083552 - 1
i = 0.0083552
12
1.105
El valor del adeudo al 10 de agosto de 2015
2 000 000(1.0083552)3 = $2 050 551.22
La anualidad equivalente:
 1 − (1.0083552 ) −6 
2 050 551.22 = R 

0.0083552


 1 − 0.95130274 
2 050 551.22 = R 
 0.0083552 
 0.0486973 
2 050 551.22 = R 
 0.0083552 
R =
2 050 551.22
= $351821.68
5.8283822
Problema resuelto
63.La costurera María Pérez desea ahorrar $35 000 en los próximos tres años para comprar una máqui­
na de tejido. Ella puede realizar depósitos semanales en una cuenta que paga 3.6% capitalizable
mensualmente, ¿qué cantidad de dinero tiene que depositar María cada semana?
174
Grupo Editorial Patria©
Solución
Se calcula la tasa semanal equivalente a 3.6% capitalizable mensualmente
52
0.036 

= 1 +


12 
12
i′ 

 1 +

52 
1+
i′
=
52
1+
i′
=
52
i′
= 1.0006915 − 1
52
i ′ = 52(0.0006915)
i ′ = 0.03596 A.C. semanalmente
i ′ = 0.3596/52 = 0.0006915 semanal
52
(1.003 )12
52
1.0366
Despejando R
=
35 000
 (1.0006915 )156 − 1


0.0006915


 (1 + i ′ )n − 1
M = R



i′
R =
M
 (1 + i ′ ) − 1




i′
n
∴
=
R =
M
 (1 + i ′ )n − 1




i′
35 000
 (1.0006915 )
− 1


0.0006915


156
=
35 000
 1.11386586 − 1
 0.0006915 
=
35 000
 0.11386586 
 0.0006915 
=
35 000
164.665
= $212.55
35 000
35 000
35 000
=
=
=
= $212.55
 1.11386586 − 1
 0.11386586  164.665
 0.0006915 
 0.0006915 
Problema resuelto
64.Un nuevo plan de ventas de la mueblería Delher para un paquete de comedor, sala, recámara,
cocina y refrigerador con valor de $97 325. El plan consiste en dar 25% de enganche del precio de
contado, 36 pagos mensuales y la tasa de interés de 2.26% efectivo trimestral, ¿de cuánto es cada
pago mensual?
Solución
La tasa mensual es:
(1 + i )3 = 1.0226
i′ =
3
1.0226 − 1 = 0.0074773
El valor actual del adeudo
Saldo = Precio - enganche = 97 325 - 0.25 (97 325) = 97 325 - 24 331.25 = $72 993.75
 1 − (1 + i ′ ) − n 
A = R



i′
R =
∴
72 993.75
 1 − (1 + 0.0074773 ) −36 


0.0074773


R =
=
A
 1 − (1 + i ′ ) − n 




i′
72 993.75
 1 − 0.764769 
 0.0074773 
=
72 993.75
 0.235231 
 0.0074773 
=
72 993.75
31.459288
= $2 320.26
175
5
UNIDAD
Anualidades
5.7 Anualidades generales anticipadas
Problema resuelto
65.La historiadora Nitza Aragón realiza por anticipado depósitos quincenales durante seis bimestres
para acumular $23 000, a una tasa de interés capitalizable 24% cada mes.
Solución
Encontrar la tasa efectiva quincenal:
i′ 

 1 +

24 
24
i′ 

 1 +

24 
24
1+
i ′ = 24[1.00995 - 1]
i ′ = 24(0.00995)
i ′ = 0.2388 A.C. quincenal
i ′ = 0.00995 quincenal
i′
=
24
0.24 

= 1 +


12 
12
= (1 + 0.02 )12
24
(1.2682418 )
Un bimestre tiene cuatro quincenas.
R =
M
n +1
 (1 + i ′ )


i′
−1

− 1

=
n = 6(4) = 24
 (1 + i ′ )n + 1 − 1 
− 1
M = R


i′
R =
M
n +1
 (1 + i ′ )


i′
−1

− 1

=
∴
R =
M
 (1 + i ′ )n + 1 − 1 
− 1



i′
23 000
24 + 1
 (1 + 0.00995 )

0.00995

−1

− 1

=
23 000
 1.2808458 − 1 
− 1
 0.00995

=
23 000
 0.2808458

 0.00995 − 1
23 000
23 000
23 000
=
=
=
24 + 1
−
1.2808458
1
0.2808458
 (1 + 0.00995 )




−1 
−
−
1
1
−
1



 0.00995

 0.00995
0.00995


R =
23 000
 0.2808458

 0.00995 − 1
=
23 000
28.2257 − 1
= $844.80
Problema resuelto
66.Encontrar el valor actual de un conjunto de 25 pagos semestrales anticipados de $5 500 si el inte­
rés es de 24% capitalizable trimestralmente.
Solución
Encontrar la tasa efectiva semestral:
176
i ′

 1 + 
2
2
0.24 

= 1 +


4 
4
=
′ )− n +1
Grupo Editorial Patria©
2
i ′

 1 + 
2
1+
i ′ = 2 [1.1236 - 1]
i ′ = 2(0.1236)
i ′ = 0.2472 A.C. Semestral
i ′ = 0.1236 semestral
i′
=
2
= (1 + 0.06 )4
2
(1.262477 )
El valor actual de la anualidad anticipada:
 1 − (1 + 0.1236 )−25 + 1

 1 − (1 + i ′ ) − n + 1

 1 − (1.1236 ) −24

 1 − 0.0609984

+ 1 = 5 500 
+ 1 = 5 500 
+ 1 = 5 500 
A = R
+ 1


0.1236
0.1236
i′
0.1236






 1 − (1 + 0.1236 )−25 + 1


 1 − (1.1236 ) −24

 1 − 0.0609984

+ 1 = 5 500 
+ 1 = 5 500 
+ 1 = 5 500 
+ 1

0.1236
0.1236
0.1236






 0.939

+ 1 = 5 500 ( 8.5971) + 5 500 = $47 284.05
A = 5 500 
 0.1236

5.8 Anualidad general diferida
Problema resuelto
67.La mueblería RC ofrece una pantalla plana con 36 abonos semanales de $230 e intereses de 30%
capitalizable mensualmente, el primer pago se realiza dentro de tres meses después de la compra.
¿Cuál es el precio de contado de la pantalla plana?
Solución
La tasa de capitalización por semana equivalente a la tasa de 30% anual capitalizable mensualmente.
i′ 

 1 +

52 
52
i′ 

 1 +

52 
52
1+
i ′ = 52[1.005715 - 1]
i ′ = 52(0.005715)
i ′ = 29.716% A.C. semanal
i ′ = 0.005715 semanal
i′
=
52
0.30 

= 1 +


12 
12
= (1 + 0.025 )12
52
(1.344889 )
El valor presente de la pantalla plana una semana antes de hacer el primero de los 36 pagos de $230
a la semana.
 1 − (1 + 0.29716 52) −36
 1 − (1 + i ) − n 
A = R
 = 230 



0.29716 52
i

−36


 0.185467 
 = 230  1 − (1 + 0.005715 )
 = 230 

0.005715


 0.005715 
 1 − (1 + 0.29716 52) −36 
−36
 1 − (1 + i ) − n 


 0.185467 
 = 230  1 − (1 + 0.005715 )
=
230
= R

 = 230 



0.29716 52
i
0.005715


 0.005715 

A = 230(32.452668) = $7 464.11
177
UNIDAD
5
Anualidades
Para conocer el precio de contado de la pantalla se tiene que encontrar el valor actual 12 semanas antes
del primer pago.
C = 7 464.11(1.005715)-12 = 7 464.116(0.9339) = $6 970.74
Problema resuelto
68.Al día siguiente de su titulación, José Manuel deposita en su cuenta de inversión $30 000, la cual
produce 4.5% capitalizable mensualmente. Él piensa realizar retiros trimestrales de $1 800 dentro
de cuatro años, ¿cuántos retiros completos de $1 800 realizará?
Solución
Tasa equivalente:
i ′

 1 + 
4
4
i ′

 1 + 
4
4
1+
i ′ = 4[1.011292234 - 1]
i ′ = 4(0.011292234)
i ′ = 0.04517 A.C. Trimestral
i ′ = 0.0112925 trimestral
4 años × 4 trimestres por año = 16 bimestres.
i′
=
4
0.045 

= 1 +


12 
12
= (1 + 0.00375 )12
4
(1.0459398 )
El valor del depósito antes de cumplir los cuatro años:
30 000(1.0112925)15 = 30 000(1.183450569) = $35 503.65
Anualidad simple:
 1 − (1 + i ′ ) − n 
A = R



i′
n= −
n= −
35503.65 ( 0.0112925 ) 

log  1 −

1800

log( 1 + 0.0112925 )
∴
Ai ′ 

log  1 −


R 
n= −
log (1 + i ′ )
35503.65 ( 0.0112925 ) 

log  1 −

1800

log( 1 + 0.0112925 )
= −
400.925 

log  1 −
1800 

400.925 

log  1 −
1800 

log( 1 − 0.222736 )
log( 0.777264 )
=
−
= −
= −
0.0048768
0.0048768
0.0048768
n=
0.0048768
= −
log( 1 − 0.222736 )
0.0048768
0.1094315
= 22.43
0.0048768
Él realiza 22 retiros completos de 1 800 pesos.
5.9 Anualidad general variable
Las anualidades estudiadas con anterioridad se caracterizaban porque la serie de pagos se realizaban
a intervalos de tiempo iguales o uniformes a un importe constante o valor constante.
0
R1
R2
R3
R4
1
2
3
4
...
Rn - 1
Rn
n-1
n (años)
Figura 5.36 Anualidad con importe constante y uniformes (R1 = R2 = R3 = R4 = . . . = Rn - 1 = Rn cada año).
178
= −
log( 0.777264 )
0.0048768
Grupo Editorial Patria©
En la vida cotidiana se presentan casos en donde el importe es variable y la serie de pagos se realizan
en intervalos uniformes, a estos casos se les conoce como anualidades variables.
En las anualidades variables como el importe es variables, este se puede incrementar o decremen­
tar en forma de series aritméticas o geométricas y el conjunto de pagos que se realizan a intervalos
iguales.
En el caso de las anualidades variables aritméticas, cada término es el resultado de sumar o restar
un mismo número al número anterior.
En las anualidades geométricas, cada término es el resultado de multiplicar el anterior por un
mismo número, el cual recibe el nombre de razón de la progresión geométrica r y el primer término
se representa con t1.
0
R1
2R2
3R3
4R4
1
2
3
4
...
(n - 1)Rn - 1
nRn
n-1
n (años)
Figura 5.37 Anualidad con pagos uniformes e importe variable y uniformes (R1 ≠ R2 ≠ R3 ≠ R4 ≠ . . . ≠ Rn - 1 ≠ Rn).
La suma de los términos en una serie geométrica creciente o decreciente se encuentra utilizando las
siguientes ecuaciones:
Progresión decreciente, la razón es menor a uno (r < 1).
1 − r n 
Sn = t1 

 1− r 
Progresión creciente, la razón es mayor a uno (r > 1).
 r n − 1
Sn = t1 

 r −1
Para calcular cualquier término basta con conocer el valor del primer pago (t ) y la razón de la progre­
sión (r ).
U = t1r n - 1
Suma de términos:
a) Progresión creciente en este caso la razón es mayor a 1 (r > 1).
 r n − 1
S = t1 

 r −1
b) Progresión creciente en este caso la razón es menor a 1 (r < 1).
1 − r n 
S = t1 

 1− r 
❚❚ 5.9.1 Valor presente de una anualidad variable
En el cálculo del valor presente de una anualidad variable es necesario trasladar todos los términos a
la fecha focal que está ubicada en punto cero como se muestra en la figura 5.38.
FF
A
R
2R
3R
(n - 1)R
nR
n-1
n
...
0
1
2
3
Figura 5.38 Valor presente de una anualidad variable.
179
UNIDAD
5
Anualidades
En donde los n pagos al final de los periodos de interés son: R, 2R, 3R, . . . , nRn.
A = R(1 + i )-1 + 2R(1 + i )-2 + … + (n - 1)R(1 + i )-(n - 1) + nR(1 + i )-n
(5.23)
Multiplicando la ecuación (1) por (1 + i ) se tiene:
(1 + i ) A = R + 2R(1 + i )-1 + … + (n - 1)R(1 + i )-(n - 2) + nR(1 + i )-(n - 1)
(5.24)
Restando las ecuaciones 5.23 y 5.24:
(5.25)

























iA = R[1 + (1 + i )-1 + (1 + i )-2 … + (1 + i )-(n - 1)] - nR(1 + i )-n
Suma de la progresión geométrica
Sea Sn la suma de los n términos de la progresión geométrica siendo el primer término es t1 = 1 y la
razón común (1 + i )-1.
Sn = t i
1− rn
1− r
1 + (1 + i ) −1 + (1 + i ) −2 + (1 + i ) − ( n − 1 ) = t i
1− rn
1− r
−n
 1 + i  1 − (1 + i )
1 + (1 + i ) −1 + (1 + i ) −2 + (1 + i ) − ( n − 1 ) = 
 1 + i  1 − (1 + i ) −1
 1 − (1 + i ) − n 
1 + (1 + i ) −1 + (1 + i ) −2 + (1 + i ) − ( n − 1 ) = (1 + i ) 



i
La ecuación 5.23 queda:


1 − (1 + i ) − n
Ai = R (1 + i )
− n (1 + i ) − n 


i
A =

R
1 − (1 + i ) − n
− n (1 + i ) − n 
(1 + i )

i 
i
5.26
El valor acumulado S de la anualidad simple creciente se calcula con la siguiente ecuación:
S = A(1 + i )n
5.27


1 − (1 + i ) − n
− n (1 + i ) − n  (1 + i )n
(1 + i )


i
S =
R
i
S =

R  1 − (1 + i ) − n
(1 + i )n + 1 − n 


i 
i
5.28
Problema resuelto
69.Ángel Rivera invierte $9 000 al final de cada año, durante siete años, en un fondo de inversión (fi )
que paga 10%, el fondo paga los intereses al final de cada año. La persona deposita su pago anual
de intereses en una cuenta de inversión inmediata (cii ) en EXE Banco, paga de intereses 4% anual.
¿Cuánto dinero tendrá dentro de siete años?
Solución
• C
omo los intereses se pagan al final de cada año, el señor Rivera tendrá al final de los siete años
$63 000 en el fondo de inversión.
• L os depósitos realizados en EXE Banco también se pagan al final de cada año, pero su primer
pago de intereses será a partir del segundo año.
180
Grupo Editorial Patria©
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
1
2
3
4
5
6
7 (años)
R1
R2
R3
R4
R5
R6
900
2(900)
3(900)
4(900)
5(900)
6(900)
2
3
4
5
6
Fondo de inversión
0
Cuenta de inversión
0
1
7 (años)
S
Figura 5.39 Anualidad variable.
M = 9 000(1 + i ) = 9 000(1.10) = $9 900
I = 9 900 - 9 000 = $900
Si I = R, sustituyendo en la ecuación 5.25
S =

900   1 − (1 + 0.04 ) −6 
6 +1
− 6

 (1 + 0.04 )
0.04  
0.04


S =
900   1 − 0.790314525 

7

 (1.04 ) − 6 
0.04  
0.04

S =
900   0.209685474 


 (1.315931779 ) − 6 
0.04  
0.04

S =
900
[( 5.242136857 )(1.315931779 ) − 6 ]
0.04
S = (22 500)[6.898294481 - 6]
S = (22 500)(0.898294481)
S = $20 211.62
Problema resuelto
70.La familia Rosales va a impermeabilizar el techo de su casa, lo cual costará $15 400; ellos también
tienen la alternativa de poner piso antiderrapante plastificado, que también hace la función de
impermeabilizar. Ellos saben que este gasto lo tienen que realizar cada cinco años (por siempre), se
sabe que el impermeabilizante aumentará 2% anual (por siempre), ¿cuánto deben estar dispuestos
a pagar los integrantes de la familia por el piso antiderrapante plastificado?, ellos pueden ganar
8% anual con su dinero.
Solución
A = 15 400 + 15 400(1.02)5(1.08)-5 + 15 400(1.02)10(1.08)-10 + 15 400(1.02)15(1.08)-15 + …
La progresión geométrica en general: t1, t1r, t1r2, t1r3, … entonces la suma de los n primeros términos
se escribe en la forma:
1− rn 
Sn = t1 
 1 − r 
1− rn 
t1
t 1r n
Sn = t1 
=
−
 1 − r  1 − r 1 − r
181
UNIDAD
5
Anualidades
Cuando -1 < r < 1 y si n aumenta sin límite entonces el término r n tiende a cero y Sn tiende a t1/(1 - r).
La suma de la progresión geométrica infinita se expresa de la siguiente forma:
t1
S =
1− r
Como: 0 < r = (1.02)5(1.08)-5 < 1
El valor descontado se calcula de la siguiente forma:
A =
A =
t1
1− r
=
15 400
5
1 − (1.02 ) (1.08 )
−5
=
15 400
1 − (1.04080803 )( 0.680583197 )
15 400
15 400
=
= $61 951.60
1 − 0.751418842
0.2485811573
La familia Rosales debe estar dispuesta a pagar hasta $61 951.60 por el piso antiderrapante.
Problema resuelto
71.Calcular el valor descontado de una perpetuidad creciente. La serie de pagos que se realizan son
de $30 000 al final de año, iniciando el primer pago el 31 de diciembre de 2014 y se incrementan
en $4 000 por siempre cada año, siendo el interés de 4.6%.
Solución
A = 30 000(1.046)-1 + 34 000(1.046)-2 + 38 000(1.046)-3
(1)
Multiplicando por (1 + i ) = 1.046, se obtiene:
1.046 A = 30 000 + 34 000(1.046)-1 + 38 000(1.046)-2
(2)
Restando la ecuación (1) de (2):
0.046 A = 30 000 + 4 000[(1.046)-1 + (1.046)-2 + (1.046)-3 + …]
(3)























Suma de la progresión geométrica infinita
t1 = (1.046)-1
r = (1.046)-1
Suma de una progresión geométrica infinita:
(1 + i )-1, (1 + i )-2, (1 + i )-3, (1 + i )-4, (1 + i )-5, …
Donde i > 0, para este caso t1 = (1 + i )-1 y r = (1 + i )-1, (-1 < r < 1).
S =
(1 + i ) −1
1 − (1 + i )
−1
=
(1 + i ) −1
1
1
1 + i 
=

=
1 − (1 + i ) −1  1 + 1 (1 + i ) − 1 i
5.29
Sustituyendo en la expresión anterior se obtiene:
 (1.046 ) −1   1.046 
1
1
(1.046 ) −1 + (1.046 ) −12 + (1.046 ) −3 + = 
 1.046  = 1.046 − 1 = 0.046 = 21.74
−1  
 1 − (1.046 ) 
Sustituyendo en la ecuación (3):
182
0.046 A = 30 000 + 4 000(21.74) = 30 000 + 86 960 = 116 960
A =
116 960
= $2 542 608.70
0.046
Grupo Editorial Patria©
5.10 Anualidades perpetuas
Esta anualidad se caracteriza porque el capital se mantiene constante y el valor de la renta es igual a
los intereses generados durante el periodo (la tasa de interés nunca puede cambiar), por lo que los
retiros se mantienen constantes de manera perpetua, siempre y cuando el capital original se mantenga
invertido, lo cual hace que el plazo no tenga fin.
A las anualidades perpetuas también se les conoce como rentas perpetuas o a perpetuidad, por
ejemplo:
Los dividendos de acciones preferentes de una empresa que son los intereses que se retiran al
final de cada periodo para ser utilizados en beneficio de asociaciones civiles, centros de investigación
o universidades, entre otras, son rentas perpetuas.
Algunos puntos importantes de las anualidades a perpetuidad son:
■■
Desde un punto de vista idealizado los pagos de la renta nunca terminan, entonces:
No es posible conocer el valor a futuro; sin embargo, el valor presente de la renta perpetua
siempre será conocido.
■■
Ahora si analizamos la tasa de interés por periodo, esta puede ser simple o compuesta.
Cuando la tasa se considera compuesta, no da oportunidad a que se capitalice al final del pe­
riodo, porque los intereses son retirados al final del mismo, originando que la tasa de interés
compuesto actúe en la práctica como una tasa de interés simple.
■■
También se puede presentar el caso en el que la renta sea menor a los intereses generados
durante el periodo:
Lo que origina que el capital se incremente con el tiempo, obteniéndose un capital relativa­
mente pequeño. Este caso no se tratará en este libro.
Valor de la renta
a) Se obtiene a partir de la ecuación 5.30
I = Cin
Si: R = I \
R = Cin
5.30
Como:
n = 1 periodo
\
R = Ci
5.31
Problema resuelto
72.Se tiene una renta perpetua de $800 000 pagadera al final de cada año. El interés que paga la
institución financiera por la inversión es de 10.15% anual. Calcular el valor actual del legado.
Solución
Datos
R = $800 000 Incógnita C
T = 10.15% anual
R = Ci
∴
C =
800 000
R
=
= $7 881 773.40
i
0.1015
183
UNIDAD
5
Anualidades
Problema resuelto
73.¿Cuál es el pago mensual de una perpetuidad de $675 000, suponiendo una tasa de interés 0.85%
mensual?
Solución
Datos:
C = $675 000 Incógnita R
T = 0.85% mensual
R = Ci = (675 000)(0.0085) = $5 737.50
Problema resuelto
74.El empresario Ángel Licona establece que parte de sus bienes serán invertidos de tal forma que los
intereses generados se paguen al Instituto Nacional de Cancerología mediante una renta perpetua
de $450 500, al inicio de cada semestre. ¿Cuál es el valor presente de este legado, suponiendo
que se encuentra invertido a 7.5% interés semestral?
Solución
Datos:
R = $450 500 Incógnita R
T = 7.5% semestral
i = 0.0375
R = Ci
∴
C =
450 500
R
=
= $12 013 333.33
i
0.0375
Problema resuelto
75.El señor Matías González compra un local en una plaza comercial al sur de la ciudad el valor del
inmueble es de $1 960 000, el señor González el día 14 de abril entrega la cantidad de $160 000
de apartado y el enganche es de 25% del valor del inmueble, este se cubrirá con seis pagos quin­
cenales a una tasa de 10.5% efectiva. El señor González solicita un crédito hipotecario a Banorte
por 75% del valor del local, para ello realizará 120 pagos mensuales a una tasa nominal de 9.2%.
Solución
Valor de apartado $160 000
C1 = Precio - Apartado = 1 960 000 - 160 000 = $1 800 000
El enganche 25% del valor del local:
C2 = 0.25(C1) = 0.25(1 960 000) = $490 000
Se tiene ahora que calcular la tasa de interés capitalizable por quincena equivalente a 10.5%.
184
Un año = 24 quincenas
i′ 

 1 +

24 
1+
i ′ = 24[1.0041689 - 1]
i ′ = 24(0.0041689)
i ′ = 0.100053312
i′
=
24
24
= (1 + 0.105 )
24
1.105
Grupo Editorial Patria©
Se tiene dos anualidades:
1. De seis rentas vencidas quincenales.
2. Con 120 pagos mensuales.
 1 − (1 + i ) − n 
C = R′



i
 1 − (1 + 0.100053312 ) −6 
490 000 = R ′ 

0.100053312


 1 − 0.564309813 
490 000 = R ′ 
 0.100053312 
 0.435690187 
490 000 = R ′ 
 0.100053312 
490 000 = R ′(4.354580356)
R′ =
490 000
4.354580356
= $112 525.19
La segunda anualidad diferida tres periodos mensuales, y está constituida de 120 mensualidades y una
tasa nominal de 9.2%.
El valor presente de la segunda anualidad es igual al valor futuro de 75% del precio del local comercial.
0.75(1 960 000) = $1 470 000 - 160 000 = $1 310 000
M = 1 310 000(1 + 0.092/12)3
M = 1 310 000(1 + 0.0076666)3
M = 1 310 000(1.023176784)
M = $1 340 361.59
Ya conociendo el valor presente del local se calcula el valor de la renta.
 1 − (1 + i ) − n 
C = R′



i
 1 − (1 + 0.076666 ) −120 
1340 361.59 = R ′ 

0.076666


 1 − 0.00014135 
1340 361.59 = R ′ 
 0.076666 
 0.99985866 
1340 361.59 = R ′ 
 0.076666 
1 340 361.59 = R ′(13.0417481)
R′ =
1340 361.59
= $134126.56
13.0417481
185
UNIDAD
5
Anualidades
Problema resuelto
76. E
ste problema está basado en un hecho real. Roberto Mendoza, estudiante de una universidad
pública, a solicitud de su profesor Jesús Rodríguez, realizó una investigación para saber cuánto
dinero tendría que gastar para su titulación y fiesta de graduación dentro de cuatro años. Roberto
Mendoza piensa depositar en su cuenta de inversión inmediata $50.00 a principio de cada mes.
Se estima que el banco pagará en promedio una tasa de 12% anual convertible mensualmente.
¿Cuánto podría ahorrar dentro de cuatro años?
Cuadro 5.11 Presupuesto estimado con plazo de cuatro años
Concepto
Costo ($)
Seminario de titulación
$8 000.00
Paquete de titulación (diploma, carta de agradecimiento a los padres, etc.)
$ 900.00
Foto del grupo enmarcada
$ 350.00
Foto panorámica
$ 500.00
Boleto para fiesta de graduación (solo del alumno)
$ 550.00
Alquiler del traje (solo para la fiesta de graduación)
$ 900.00
Total estimado
$11 200.00
Solución:
Datos:
R = $50 Incógnita M
T = 12% A.C.M.
i = 0.01 mensual
n = 4 años
a) Con los depósitos de $50 obtendría:
 (1 + i )n +1 − 1 
 (1.01)48 +1 − 1 
 0.628348

M1 = R 
− 1 = 50 
− 1 = 50 
− 1


i
0.01


 0.01

M1 = 50[62.8348 - 1] = 50[61.8348] = $3 091.74
b)Con los depósitos mensuales de $50 no podría cubrir los gastos estimados para el seminario
de titulación y la fiesta de graduación dentro de cuatro años, por lo que Roberto se pregunta,
¿qué cantidad de dinero tiene que ahorrar al principio de cada mes durante cuatro años para
cubrir estos gastos?
Datos:
M = $11 200 Incógnita R
n = 4 años (48 meses)
T = 12% A.C.M.
i = 0.01 mensual
c) Partiendo del presupuesto estimado de $11 200 tendríamos que:
R =
R =
M
 ( 1 + i )n + 1 − 1 
− 1



i
=
$11200
 ( 1.01)49 − 1 
− 1

0.01


=
$11200
 0.628348

 0.01 − 1
$11200
$11200
=
= $181.13
[ 62.8348 − 1]
61.8348
d )Con un depósito mensual de $181.13, Roberto alcanza la cantidad deseada de $11 200 para
ayudarse a cubrir los gastos de la fiesta y del seminario de titulación.
186
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
77. L os socios de empresa de comunicación RR-Hermanos en el año 2014 deciden crear una fun­
dación Apoyo Educativo para los hijos de comunicadores fallecidos, con un capital invertido de
$2 500 000 a una tasa que dará pagos de $400 000 al final de cada año.
a) ¿Qué tasa de interés gana la inversión?
b) Después de pago del año 2017 se espera que la tasa cambie a 11%.
c)La fundación decide seguir realizando pagos de $400 000, ¿cuántos pagos anuales podrá rea­
lizar?
Solución
a) Tasa de interés que gana la inversión:
Datos:
C = $2 500 000
i =
400 000
R
=
= 0.16
C
2 500 000
b) Después de los tres primeros pagos.
Datos:
C = $2 500 000
R=?
R = Ci = 2 500 000(0.11) = $275 000 sería el pago anual
c)Si la fundación decide seguir realizando pagos de 400 000, se procede al cálculo del número
de pagos que podrá realizar.
Datos:
C = $2 500 000
R = $400 000
i = 0.11
 1 − (1.11) − n 
2 500 000 = 400 000 

0.11


2 500 000
400 000
=
1 − (1.11) − n
0.11
6.25(0.11) = 1 - (1.11)-n
(1.11)-n = 1 - 0.6875
-n log(1.11) = log(0.3125)
-n log(1.11) = -0.50515
n=
0.50515
= 11.15
0.045323
Se pueden realizar 11 pagos anuales más los tres ya realizados (2015, 2016 y 2017).
187
UNIDAD
5
Anualidades
❚❚ Fórmulas empleadas
Anualidad anticipada
Terminología de anualidades
■■
Monto
Anualidad
Monto
M
Renta
R
Razón
(1 + t)
Periodo
N
Valor actual
A
Primer término
R(1 + i )-1
Razón
(1 + t)-1
Precio
P
Capital
C
■■
Tasa
■■
Tasa
I
Tasa efectiva
E
Tasa nominal
I
R − R (1 + t )n
1 − (1 + t )
Renta
R =
R =
M (i )
n
(1 + i ) − 1
A (i )
1 − (1 + i ) − n
5.9

1 − (1 + i ) − n + 1 
A = R 1 +



i
5.10
R =
5.1
■■
n=
 Mi

+ 1
log 
 R

log(1 + i )

− 1

A

1 − (1 + i ) − n + 1 
1 +



i
5.11
5.12
5.13
5.14
Anualidades diferidas
■■
Valor presente
 1 − (1 + i ) − n 
−m
A = R
 (1 + i )


i
5.5
5.6
■■
A (1 + i )m
1 − (1 + i ) − n
i
■■
5.16
Plazo
R


log 

m
(
)
(1
)
(
)
i
i
R
−
A
+


n=
log(1 + i )
5.6a
5.15
Renta
R =
5.7
−1

 Mi

 log  R + (1 + i ) 
+1
n= 
log(1 + i )


■■
Ai  


 log  1 − R  

n = −
 log(1 + i ) 
 (1 + i )


i
Ai 


 log (1 + i ) − R  

n = 1− 
log(1 + i )


5.3
5.4
M
n +1
Plazo
5.2
Plazo
 1 
log 
Ai 

1 −

R 
n=
log(1 + i )
188
 1 − (1 + i ) − n + 1 
A = R



i
Renta
Valor actual o presente
 1 − (1 + i ) − n 
A = R



i
■■
5.8a
R =
 (1 + i )n − 1
M = R



i
■■
 (1 + i )n − 1
1
M = R
 (1 + i )


i
Monto
M =
■■
5.8
Valor actual o presente
Anualidades vencidas
■■
 (1 + i )n + 1 − 1

M = R
− 1


i
5.17
Tasa en anualidad vencida
1 − ( 1 + i )− n
A
=
R
i
5.18
Grupo Editorial Patria©
■■
Tasa efectiva
■■
Tasa en anualidad anticipada
e = (1 + i )p - 1
5.19
1 − (1 + i ) − n + 1
A
= 1+
R
i
5.21
M
(1 + i )n − 1
=
R
i
5.20
 ( 1 + i )n + 1

M
+1= 
− 1


R
i
5.22
Anualidad general variable
■■
Valor presente
A = R(1 + i )-1 + 2R(1 + i )-2 + … + (n - 1)R(1 + i )-(n - 1) + nR(1 + i )-n
5.23
(1 + i ) A = R + 2R(1 + i )-1 + … + (n - 1)R(1 + i )-(n - 2) + nR(1 + i )-(n - 1)
5.24
iA = R[1 + (1 + i )-1 + (1 + i )-2 … + (1 + i )-(n -1)] - nR(1 + i )-n
5.25
A =
■■


1 − (1 + i ) − n
− n (1 + i ) − n 
(1 + i )


i
R
I
Suma
S = A(1 + i )n
S =
■■
5.26

R  1 − (1 + i ) − n
(1 + i )n + 1 − n 


i 
i
5.27
5.28
Suma infinita
S =
(1 + i ) −1
1 − (1 + i )
−1
=
(1 + i ) −1
1 − (1 + i )
−1
1
1
 1 + 1
 1 + 1 = (1 + i ) − 1 = i
5.29
Anualidades perpetuas
■■
Renta
R = Cin
5.30
R = Ci
5.31
 M
i = n  − 1
 C 
5.32
Tasa de interés
■■
Tasa

M 
 log  C  
−1
i = antilog 


n
■■
Tasa nominal
i = p ( e + 1)1 p − 1
■■
5.32a
5.33
Tasa efectiva
i

e = 1 + 
p

p
−1
5.34
189
UNIDAD
5
Anualidades
❚❚ Glosario
Acreedor. Persona o razón social a la que se debe pagar el dinero que nos han prestado.
Actividad financiera. Costumbre de pagar un rédito por el uso de dinero prestado.
Anualidad. Cuota anual de devolución de un crédito.
Capital. En términos financieros, es una determinada cantidad de dinero que permite ganar más (di­
nero) en operaciones de préstamo, llamada esta última interés.
Compra. Acción de adquirir algo a cambio de dinero. Conjunto de bienes y servicios adquiridos en el
acto de una compra.
Compra a crédito. Compra cuyo importe no es pagado en efectivo en el momento de la adquisición,
sino que la propia entidad vendedora o una tercera entidad concede crédito por la suma debida.
En bolsa es la adquisición de acciones financiada a través de créditos por una autoridad bursátil.
Compra a plazos. Contrato de compra-venta en el cual el vendedor entrega el bien objeto de la
transacción en el momento en que esta se produce, y el comprador puede postergar sus pagos
a futuras cuotas o plazos, pudiendo efectuar uno de estos pagos en el momento de la compra.
Compra de contado. Compra cuyo importe es pagado en el momento de la adquisición.
Comprador. Persona que adquiere un bien o derecho producto de una operación de compra-venta.
Compra-venta. Contrato por el que uno de los contratantes (vendedor), se obliga a entregar una cosa
determinada y el otro (comprador) a pagar por ella un precio determinado. Negocio de objetos
que se revenden.
Contado. Procedimiento de cobro o pago que implica la entrega del bien o servicio con contrapartida
monetaria en ese mismo momento.
Crédito. Reputación, fama, prestigio que tiene una persona respecto al cumplimiento de sus obliga­
ciones financieras.
Crédito a clientes. Cantidad que los clientes de una empresa le adeudan en función de los suminis­
tros que reciben.
Debe. Adeudar, estar en deuda con otra persona, estar obligado a cumplir una obligación o realizar
un pago.
Deuda. Obligación que se ha contraído con un tercero y que se ha de satisfacer. En general, es una
obligación de pagar cierta cantidad de dinero.
Deudor. Persona o razón social que solicita dinero prestado y se compromete a pagarlo posteriormen­
te, extendiendo para ello un pagaré.
Factura. Documento o recibo entregado por el vendedor al comprador como prueba de que este ha
adquirido una mercancía determinada o recibo de un servicio a un precio dado, y que representa,
por lo tanto, el derecho de cobro a favor del vendedor. En la factura se especifican datos persona­
les de ambos, las características de los productos, así como la fecha y el precio de compra.
Operación. Registro de una entrada o salida de dinero de un depósito bancario.
Rédito. Renta de un capital.
Saldo. Diferencia existente en un momento dado entre el debe y el haber en una cuenta corriente.
Tiempo. Número de periodos (tiempo predeterminado) que dura el préstamo de un capital.
190
Problemas para resolver
Grupo Editorial Patria©
5.1 Calcular el valor acumulado de una anualidad simple
ordinaria de $20 000 anuales durante cinco años, a una tasa
de interés de 12.5%.
5.2 Encontrar el valor acumulado de una anualidad simple
ordinaria de $3 000 anuales durante cuatro años, siendo la
tasa de interés de 9.5% anual capitalizable anualmente.
5.3 Carlos Hernández paga cada mes una deuda de $500
por la compra de un librero. Él se atrasó seis meses en sus
pagos. Carlos llega a un acuerdo con Bancrecer para po­
nerse al corriente en sus pagos en el mes de noviembre
del mismo año. ¿Qué cantidad tiene que pagar en el mes
de septiembre, si la tasa de interés es de 24% capitalizable
mensualmente?
5.4 Juan deposita cada tres meses $5 000 en su cuenta de
ahorros, la cual paga 6%. ¿Cuánto dinero tendrá después
del depósito del 31 de mayo 2010, si el primer depósito se
realizó el 31 de mayo 2014?
5.5 La doctora Antonia Cortés, al leer el periódico, encuen­
tra un anuncio de venta de automóviles de la marca Maztra.
La unidad se puede adquirir con un pago inicial de $82 000
y 36 pagos fijos mensuales de $4 616.00 (no se incluye
el segu­ro automotriz). La tasa de interés es de 10% anual
convertible mensualmente. La fecha fijada por la empresa
financiadora Maztra es el día 30 de cada mes. ¿Cuánto en
realidad pagaría la doctora Cortés por el automóvil si se de­
cidiera a comprarlo?
5.6 El comunicólogo Jesús Rodríguez ha depositado $5 000
al final de cada año, en su Afore durante 15 años, los depó­
sitos ganaron intereses de 9.5% durante los primeros cuatro
años, 8% durante los siguientes cuatro años y 7% en los últi­
mos siete años. Encontrar la cantidad acumu­lada en el fondo
para el retiro y los intereses ganados.
5.7 Encontrar el valor actual pagado por una sala si se dio un
enganche de $12 000 y se realizaron seis pagos mensuales
vencidos de $2 500 y un séptimo pago de $2 000. La tasa de
interés pactada es de 18% capitalizable mensualmente.
5.8 El contador Francisco Castro compró un equipo de
enfriamiento para su oficina mediante 36 pagos semanales
vencidos de $1 240, con una tasa de interés de 18% conver­
tible semanalmente. Encontrar el valor actual.
5.9 La señora Bertha Aguilar compró un servicio de lavado
Mabe para su negocio de planchado. Electro-Hogar ofreció
un crédito, mediante el cual consiste en 52 pagos semanales
vencidos de $540, con una tasa de interés de 18% conver­
tible semanalmente (VP = $25 657.04). Al llegar a su casa
escucha una promoción para la compra del mismo mode­
lo de lavadora de la mueblería Villalpando Hermanos, S.A.,
realizando un pago inicial de $540.00 y 51 pagos semanales
con una tasa de 18% convertible semanalmente. Encontrar
el valor actual de esta promoción.
5.10 Francisco Javier Zamudio compró automóvil usado y
paga $66 000 de enganche y $1 424.50 al final de cada mes
durante tres años. Calcular el precio del automóvil, si la tasa
de interés es de 18%, y calcular los intereses totales sobre
el préstamo.
Problemas aplicados a la realidad
UNIDAD
5
5.11 La fábrica textil Tacoma, S.A., está analizando qué tipo
de equipo nuevo de cómputo debe comprar. El equipo se­
leccionado tiene un valor de contado de $88 000, con valor
de salvamento de $9 000 al final del sexto año, los costos de
mantenimiento serán $400 al mes, pagaderos al final
de cada mes, la fábrica textil puede ganar 18% sobre el ca­
pital. Si decidieran rentar el equipo de cómputo les costaría
$3 500 al mes durante los seis años, es importante recordar
que el arrendatario paga el costo de mantenimiento. ¿Cuál
de los dos casos es el más recomendable?
5.12 La comerciante Alba Rosales compró mercancía para
miscelánea, dando un enganche de $6 000 y acuerda pagar
la mercancía realizando pagos de $2 250 mensuales durante
tres años, a una tasa de 24%.
a) Encontrar el valor de contado de la mercancía.
b) Después del pago 24 el contrato es vendido a una ins­
titución financiera en un precio que rinde 20%. ¿Cuánto
pagó la institución financiera por el documento?
5.13 Encontrar el valor presente de una anualidad de
$2 400 al final de cada mes durante cuatro años, pagando
una renta de $2 400 al final de cada mes durante tres años
a una tasa de interés de 10.38% capitalizable mensualmente.
5.14 La pastelería La Espiga, en su sucursal de Calzada del
Hueso, estima que será necesario cambiar dos hornos pe­
queños de pan dentro de 10 años, a un costo $1 568 000.
¿Cuánto se debe guardar cada año en un fondo de inversión
si el banco ofrece una tasa 4.6% anual?
5.15 ¿Cuánto debe depositar Alma al final de cada mes en
cuenta de ahorros durante tres años? Alma estima acumular
la cantidad de $65 000 en el momento de realizar el último
depósito, si la tasa de interés que es de 1% mensual.
5.16 ¿Cuántos depósitos al final de cada mes debe realizar
el administrador de un bufete de abogados en los próximos
tres años para acumular $130 000, ya que desea comprar
unos sillones para la sala de espera y una mesa con 12 sillas
para la sala de juntas? Una institución financiera le ofrece
una tasa de interés de 8.35% convertible mensualmente.
5.17 El sociólogo Olguín solicita a Banorte un crédito de
tres meses de su sueldo para pagar la operación de su espo­
sa en un hospital particular. El sueldo que le deposita en su
cuenta de inversión la compañía Constructora del Sureste,
S. A., es de $30 000 quincenales. Por política de Banorte los
pagos del crédito son fijos y quincenales con un plazo de
18 meses, y una tasa de interés de 18% anual converti­
ble quincenalmente. El pago quincenal no incluye el IVA.
¿Cuánto debe pagar el arquitecto Olguín quincenalmente?
5.18 El señor Víctor Delgadillo compra una computadora
de $15 990 más iva para su hija el día de hoy a crédito. El
señor Delgadillo acuerda pagarla en 12 mensualidades ven­
cidas. ¿Cuánto tiene que pagar cada mes si el interés que le
cobran es de 1.5% mensual?
5.19 ¿Cuánto debe pagar al final de cada mes un trabajador
a la caja de ahorros del sindicato del imss, por un crédito de
$100 000 pagaderos a tres años y con una tasa de interés
de 4% mensual?
Problemas para resolver con tecnología
191
UNIDAD
5
Problemas para resolver
5.20 Una sala cuesta $27 500.00, usted puede dar un engan­
che de $2 000.00 y la diferencia en pagos mensuales vencidos
durante dos años. ¿Cuánto debe pagar al final de cada mes si
el interés es de 15% anual capitalizable mensualmente?
5.21 La licenciada Verónica Zamora ha realizado depósitos
mensuales vencidos de $850.00 en su cuenta de ahorros
que paga intereses de 9.25% capitalizable mensualmente.
¿Qué cantidad debe depositar mensualmente durante los
próximos tres años siguientes, para alcanzar la cantidad de
$108 000?
5.22 Tiene que saldar una deuda el día hoy de $980. Acuer­
da diferir su adeudo realizando pagos de $165 al final de
cada bimestre con una tasa de interés de 11% bimestral.
¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $165 tendrá que
hacer para saldar su deuda?
5.23 ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $540 se ten­
drían que realizar para saldar una deuda, pagadera el día de
hoy de $10 450, si el primer pago se realiza dentro de un
mes y el interés es de 24% convertible mensualmente?
5.24 ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $3 019.25 se
tendrían que realizar para saldar una deuda, pagadera el día
de hoy de $500 000, si el primer pago se realiza dentro de
un mes y el interés es de 12% convertible mensualmente?
5.25 El físico Javier Mendoza desea acumular la cantidad
de $50 000, para reunir esta cantidad decide hacer depósi­
tos de $600 bimestrales vencidos, en una cuenta de inver­
sión, la cual paga 8.5% anual capitalizable bimestralmente.
¿En cuánto tiempo el físico reunirá los $50 000?
5.26. ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $3 019.25 se
tendrían que realizar para juntar la cantidad de $300 000, si
el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de
12% convertible mensualmente?
5.27 Un artesano deposita en una cuenta de ahorros $50.00
al principio de cada mes. Si la cuenta paga 2.3% mensual
de interés. ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año?
5.28 Encuentre el monto de 18 pagos que debe realizar al
principio de cada bimestre el anestesista Joaquín Murillo, si
la cantidad que deposita bimestralmente es de $1 985. El
interés es de 15% anual capitalizable bimestralmente.
5.29 Encuentre el monto de seis pagos que debe realizar
el día 1 de cada mes el plomero Feliciano Arrollo, por la
cantidad de $985 de su herramienta para su negocio. El tipo
de interés contratado es de 25% anual capitalizable men­
sualmente.
5.30 El pianista Alfredo Cerdán desea comprar una casa den­
tro de cuatro años y acuerdan guardar su dinero en un fondo de
inversión realizando 24 depósitos bimestrales adelantados
de $22 850.00. El interés que proporciona este fondo es de
13% anual capitalizable bimestralmente. ¿Cuánto dinero ten­
drá el pianista Alfredo Cerdán dentro de cuatro años?
5.31 Encuentre el monto de seis pagos de $775 que debe
realizar el día 1 de cada mes el señor Enrique Pruneda, por
la compra de un desayunador para su consultoría. El tipo de
interés es de 25% anual capitalizable mensualmente.
192
Problemas aplicados a la realidad
5.32 ¿Cuál es el valor de contado de una casa que com­
pró la diputada Amalia González en la colonia Fuentes del
Pedregal, hace 15 años, si realizaba pagos anticipados de
$50 000.00 mensuales, con una tasa de interés de 28% anual
convertible mensualmente?
5.33 ¿Cuál es el valor actual de 12 pagos trimestrales anti­
cipados de $1 500.00, con un interés de 7.68% anual capita­
lizable trimestralmente?
5.34 Encontrar el valor de contado de un sistema de vi­
deojuego por el cual se realizaron 18 pagos mensuales anti­
cipados de $433.00 con una tasa de interés de 13.6% capi­
talizable mensualmente.
5.35 La licenciada Jimena Soria compró a crédito una ca­
mioneta usada para transportar sus mercancías, teniendo
que realizar 24 pagos mensuales anticipados de $5 890.00,
los intereses que le cobran son de 18% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado de la ca­
mioneta?
5.36 ¿Cuánto debe pagar mensualmente el señor Cándido
por la compra de un comedor y una sala, si él acuerda con la
mueblería realizar sus pagos el día 1 de cada mes. Si cuando
realizó su noveno pago acumuló $44 819.00 y la tasa de in­
terés aplicada fue de 18% anual convertible mensualmente?
5.37 La psicóloga Angélica Oviedo tiene que pagar un
préstamo personal de $100 000.00 en un plazo de dos años,
el día de pago fijado por Bansur es primero de cada mes
durante el tiempo que dure el plazo. ¿Cuánto debe pagar
mensualmente la psicóloga Oviedo, si la tasa de interés apli­
cada es de 18% anual convertible mensualmente?
5.38 Juan Manuel decide regalarle a su mamá una batería
de cocina de 12 piezas con un precio de $3 540.00 y tam­
bién decide comprarle una olla de presión de aluminio de 6
litros con un precio de $999. ¿Cuánto debe pagar al inicio
de cada mes durante seis meses, si la tasa de interés es de
24% anual convertible mensualmente?
5.39 La fábrica de muebles Delgado Hermanos, S.A., pone
a la venta un comedor con valor de contado de $68 000.00
o mediante doce abonos mensuales anticipados. El interés
es de 16.8% anual convertible mensualmente. Encontrar el
valor de cada pago.
5.40 Una Bici-mundo pone a la venta en el mes de diciem­
bre bicicletas de montaña rodada 28, con valor de $7 819.50
al contado o mediante nueve pagos mensuales anticipados.
Si el joven Juan de Dios se decide a comprar una bicicleta a
crédito, ¿cuánto tiene que pagar al principio de cada mes,
si el interés a pagar es de 26% anual capitalizable mensual­
mente?
5.41 El arquitecto Martín Morales desea comprar cuatro
archiveros de tres cajones, hechos de madera, para su ofi­
cina con valor de $20 000.00 al contado, el almacén tam­
bién ofrece comprarlo en abonos anticipados mensuales de
$1 569.15, siendo el interés de 27% anual capitalizable men­
sualmente. ¿Cuántos pagos tendría que hacer el arquitecto
Morales si se decide a comprar el juego de archiveros?
Problemas para resolver con tecnología
Grupo Editorial Patria©
5.42 La trabajadora social Isabela compra un paquete de
cocina que consta de una cafetera para 10 tazas, extractor
de jugos, juego de sartenes con teflón (16 piezas). El precio de
contado del paquete es de $5 866.00, Isabela decide pagar­
lo en abonos con una tasa de interés de 18% anual capita­
lizable mensualmente. ¿Cuántos pagos deben realizarse de
$585.00 al principio de cada mes?
5.43 La tienda Ciclo-bici vende de contado una motocicle­
ta en $8 560 o mediante pagos mensuales anticipados de
$995. El interés es de 19.64% anual convertible mensual­
mente. ¿Cuántos pagos se deben realizar si se compra a
crédito?
5.44 ¿Cuántos pagos de $1 975 debe realizar el señor Ar­
teaga, el día 1 de cada mes para saldar una deuda por la
compra de una estufa? Al cubrir su último pago acumuló
$6 560. La tasa de interés aplicada fue de 22% anual conver­
tible mensualmente.
5.45 Gabriela abre una cuenta de ahorros en Bonos del
Ahorro Nacional el día de hoy. Ella acuerda con el banco
realizar depósitos mensuales de $3 550, pero al inicio de
cada mes. Desea reunir la cantidad $30 000. La tasa de inte­
rés es de 1% mensual. ¿En cuánto tiempo reunirá la cantidad
deseada?
5.46 La bióloga Adriana Dussel compró a crédito una cen­
trifugadora de plasma el día de hoy para su laboratorio y
su acreedor le concede un periodo de gracia de un año;
sin embargo, realizará seis pagos semestrales anticipados
de $34 850 por la compra de la centrifugadora de plasma,
si el interés es de 19% anual convertible semestralmente,
encontrar el monto.
5.47 Encontrar el pago que debe realizar la dentista Ana
Karen por la compra de material dental el día de hoy si des­
pués de cuatro meses realiza 18 pagos al final de cada mes
de $1 950 con un interés de 18% anual convertible mensual­
mente.
5.48 ¿Cuál es el monto de una renta semestral de $16 000
durante 10 años, si el primer pago vencido semestral se rea­
liza dentro de tres años y medio y el interés es de 16% capi­
talizable semestralmente?
5.49 El periodista Ulises Gutiérrez compra un comedor con
un pago inicial de $5 000 y ocho mensualidades de $4 800
cada una, pagando la primera mensualidad después de cua­
tro meses de la compra; además, le cobran 19.56% de in­
terés anual capitalizable mensualmente. Encontrar el precio
del equipo.
5.50 El alpinista Juan Antonio Sierra compra en el mes de
abril una casa de campaña a crédito y acepta pagarla en 12
mensualidades de $3 300 con una tasa de interés de 24%
anual capitalizable mensualmente. El primer pago lo reali­
zará en el mes de julio del mismo año. ¿Cuál es el valor de
contado?
5.51 ¿Cuál es el valor presente de una renta semestral ven­
cida de $16 000 durante 10 años, si el primer pago semes­
Problemas aplicados a la realidad
tral se realiza dentro de tres años y medio y el interés es de
16% capitalizable semestralmente?
5.52 Encontrar el valor presente por la compra de un estufa
eléctrica el día de hoy, si después de tres meses realiza 12
pagos al inicio de cada mes de $790 con un interés de 24%
anual capitalizable mensualmente.
5.53 El médico Federico Toscano deposita el 13 de julio la
cantidad de $500 000 en un fondo de inversión en el Banco
Central, ese mismo día inscribe a su hijo a la preparatoria.
El papá tiene la idea de realizar nueve retiros semestrales a
partir del mes de julio, cuando quede inscrito su hijo en la
universidad. Encontrar el valor de cada retiro semestral que
realizará si la tasa es de 12% anual capitalizable semestral­
mente.
5.54 La mueblería Hermanos Velásquez, S.A., por su aniver­
sario ofrece un comedor para ocho personas con un valor de
contado de $43 550, pero también se puede adquirir me­
diante seis pagos mensuales, el primero de los cuales debe
realizarse dentro de cinco meses después de la compra con
un interés de 2.25% mensual. ¿De cuánto será la mensuali­
dad a pagar?
5.55 El dueño de una pastelería deposita el día de hoy
$80 000 en una cuenta de inversiones que paga 27% anual
capitalizable bimestralmente, dentro de ocho bimestres rea­
lizará 28 retiros bimestrales vencidos, ¿de qué cantidad se­
rán estos?
5.56 El señor Ordóñez contrae una deuda de $15 000 por
la compra de equipo de sonido. Él acordó comenzar a pagar
dentro de tres meses realizando cuantos pagos sean necesa­
rios de $900 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de
23.25% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos
se deben realizar para saldar su deuda?
5.57 Karla Díaz contrae una deuda por $48 585 por la com­
pra de una pantalla plana, la que comenzará a pagar dentro
de seis meses y realizando cuantos pagos sean necesarios de
$1 900 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 24%
anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos debe
realizar para saldar su deuda?
5.58 ¿A qué tasa nominal capitalizable semestralmente el
sociólogo Juan Molina acumulará $500 000 para el engan­
che del departamento que habita actualmente? Él acordó
con el dueño del departamento realizar 15 depósitos semes­
trales y con el último depósito haber acumulado la cantidad
acordada, para pagar la cantidad faltante por el valor del
departamento, él solicitará un préstamo hipotecario al issste.
5.59 El señor Francisco Peña desea comprar una camioneta
cuyo costo al contado es de $350 000. Él solicita un crédito
a la agencia automotriz, realizando seis abonos mensuales
de $62 000. ¿Cuál es la tasa de interés si el primer pago lo
realizará dentro de un mes?
5.60 Se realizan seis depósitos anuales anticipados de
$18 338.90 equivalentes a un valor actual de $55 000. ¿Cuál
es la tasa de interés?
Problemas para resolver con tecnología
193
UNIDAD
5
Anualidades
PROBLEMAS RETO
Al resolver los problemas del 1 al 5, se debe indicar los datos, fórmula, diagrama de valor
tiempo y desarrollo.
1
Un préstamo de $38 000 a dos años, para comprar una televisión plana, si la tasa de interés
simple es de 3% mensual. ¿Cuánto deberá pagar dentro de dos años?
2
¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $26 500, si el capital invertido es de $18 700 a
una tasa de 6.8% anual?
3
Una compañía solicita $500 000 de préstamo a un banco, a dos años con una tasa de des­
cuento de 12% anual.
a) Calcular el descuento.
b) ¿Qué cantidad recibe en realidad la compañía, por el préstamo?
194
4
¿Cuánto recibe la señora Josefina por un pagaré de $45 600, cuatro meses antes de su ven­
cimiento, con una tasa de descuento de 15% simple anual?
5
Un capital de $2 556 es invertido a un tipo de interés de 14% capitalizable trimestralmente.
Calcular el valor futuro, si el plazo es de dos años.
UNIDAD
6
Amortización
y depreciación
OBJETIVOS
Comprenderá el concepto de Amortización y su aplicación.
Identificará los diferentes casos de amortización, como es el Sistema de amortización
gradual, Amortización constante y Amortización con renta variable.
Aprenderá a construir e interpretar cuadros de amortización y de fondo de inversión.
Identificará los diferentes casos de depreciación de un bien, en problemas financieros,
utilizando el método de Línea recta, Porcentaje fijo, Suma de dígitos, Unidades de
producción o servicios y Fondo de amortización.
Aprenderá a construir e interpretar cuadros de depreciación de un bien.
¿QUÉ SABES?
Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema
¿Cómo se llama al proceso financiero mediante el cual se cancela una deuda en pagos
periódicos con interés compuesto?
Cuando un acreedor recibe pagos por un bien, ¿seguirá siendo dueño de todos los
derechos del mismo? y explica, ¿por qué?
¿Para qué sirve un fondo de amortización?
¿Sabes qué significa la palabra depreciación?
¿Qué entiendes por activo fijo?
Menciona un método que conozcas de depreciación.
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
¿El método de unidades de producción o servicio es un método reconocido
por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público para ser utilizado en los libros
contables?
Menciona tres activos fijos.
Menciona un método para construir una tabla de depreciación, que tú
conozcas.
¿Cuál es el método de la suma de dígitos o enteros reconocido por la Secretaría
de Hacienda y Crédito Público?
¿Sabes cómo puede depreciarse un activo fijo por el método de unidades de
producción o servicio?
6.1 Introducción
La amortización es muy utilizada en la actualidad cuando se compran a crédito bienes: una casa, un departamento, un vehículo de transporte, maquinaria, herramienta, una cocina integral, un refrigerador,
fertilizantes, granos, minerales, entre otros. En matemáticas financieras la palabra amortizar se emplea
para cancelar una deuda y cada pago (o abono) que se realiza sirve para abonar los intereses y reducir
el importe de la deuda.
La palabra amortización proviene del latín y significa dar muerte.
Amortización
Definición
Es un proceso financiero mediante el cual se cancela una deuda y sus intereses
por medio de pagos periódicos.
La amortización es la parte del abono que se emplea para reducir la deuda (el saldo insoluto), mientras
que la cantidad restante de ese saldo se utiliza para pagar los intereses que se devengan durante un
periodo.
Abono = amortización + intereses
6.1
A la deuda se llama saldo insoluto o principal insoluto y es el valor descontado de todos los pagos que
no se han realizado.
En la amortización de un crédito existen diferentes sistemas de amortización de una deuda, los
más usuales son: el sistema de amortización gradual, amortización constante y amortización con renta
variable.
Amortización gradual
Es el sistema más común para liquidar deudas con pagos periódicos, ya que estos tienen la misma
frecuencia y cantidades iguales. Aquí se utilizan las anualidades ordinarias, en donde el capital que
se amortiza es el valor presente. El valor de la renta debe ser mayor que los intereses producidos en
el primer periodo, de lo contrario la deuda se incrementaría con el transcurso del tiempo y nunca se
podría cancelar en su totalidad.
Amortización constante
Este sistema se caracteriza porque la porción del abono que amortiza al capital es constante, es la
misma en todos los pagos, lo que hace que cada renta se reduzca en el tiempo, aunque este sistema
no es muy usado porque en situaciones económicas con inflación alta los abonos crecen.
Amortización con renta variable
Este sistema, a diferencia de los anteriores, se caracteriza porque cada abono realizado y su correspondiente porción de amortización son mayores. Los primeros pagos son pequeños, en algunas ocasiones
196
Grupo Editorial Patria©
no cubren los intereses del periodo, lo que origina que la deuda aumente en lugar de disminuir, pero
posteriormente comienza a reducir cuando los pagos son más grandes.
La acción que ejercen las tasas de interés en operaciones de inversión y crédito son muy importantes en el sistema financiero, más aún, si se considera al crédito como el punto más vulnerable. Los
efectos que produce el alza significativa en las tasas de interés en los créditos contratados se muestra
mediante la descomposición del pago periódico del capital y el interés. El instrumento analítico que
permite ver esa descomposición es el cuadro de amortización (tabla de amortización) y también se
puede apreciar cómo disminuye sustancialmente el adeudo y cómo se acumula el pago de los intereses a través del tiempo hasta llegar a la extinción de la deuda.
Si bien las tasas de interés provocan directamente incremento del capital, existen variables
macroeconómicas que inciden en su comportamiento, pero la inflación es el mejor ejemplo.
❚❚ Amortización gradual
En esta unidad solo se analizará la amortización gradual, en donde la renta periódica debe ser mayor
que los intereses que se generen durante el primer periodo para evitar que la deuda aumente.
Problema resuelto
1.La química Andrea pide prestado $20 000, que se van a amortizar mediante seis pagos mensuales
vencidos. Si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente, encontrar de cuánto es el
abono mensual.
Solución
Datos
A = C = $20 000 Incógnita R
i = 0.24/12 = 0.02 mensual
n = 6 meses
El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación:
 1 − (1 + ip )− np
C = R

i p

R =
20 000 ( 0.02 )
1 − (1.02 )
−6
=

C (i )
 despejando R se tiene: R =

1 − (1 + i ) − n

400
400
=
= $3 570.52
1 − 0.88797 0.112028
Cuadro 6.1 Amortización con renta fija y tasa de interés constante
197
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
Realizando un análisis del cuadro 6.1 se puede llegar a las siguientes conclusiones:
a)Al primer pago de $3 570.52 (E10) le corresponde un interés de $400 (D10) y también reduce
su saldo insoluto (o principal insoluto) en $3 170.52 (C10) dejándolo en $16 829.48 (F10).
b)El total de los pagos periódicos es igual (E10 a la E15) al total de los intereses (D16) más el total
pagado (C16).
20 000 + 1 423.10 = 21 423.10
c) Los elementos de la columna del principal pagado (C10 a la C15) están en la relación (1 + i ).
3 298.61
3 233.93
= 1.020000433
≅ 1.019999874 y 3170.52
3 233.93
La diferencia es de 55 891 x 10-7 = 0.00000055891
3 233.93
3170.52
≅
3 298.61
3 233.93
≅ 1.02
d )También se observa que la cantidad total del principal pagado (C16) es igual a la deuda original
(F9), que es de $20 000.
e)Al realizar seis pagos mensuales vencidos de $3 570.52 se amortiza una deuda de $20 000.00
con interés de 24% anual capitalizable mensualmente.
Problema resuelto
2.Una deuda de $14 500.00, con interés de 16% compuesto semestralmente, se tiene que amortizar
con pagos semestrales iguales durante los próximos tres años.
Solución
Datos
A = C = $14 500 Incógnita R
i = 0.16/2 = 0.08 semestral
n = 3 años = 6 semestres
Cálculo del pago semestral:
R =
C (i )
1 − (1 + i ) − n
=
14 500 ( 0.08 )
1 − (1.08 ) −6
=
1160
1160
=
= $3136.57
1 − 0.630169626
0.369830373
Cuadro 6.2 Amortización con renta fija sin redondeo y tasa de interés constante
198
Grupo Editorial Patria©
Datos
R1 - 5 = $3 137 Incógnita último pago X
i = 0.16/2 = 0.08 semestral
n = 6 semestres
 (1 + 0.08 )5 − 1
6
X + 3137 
 (1.08 ) = 14 500 (1.08 )
0.08


 0.469328077 
X + 3137 
 (1.08 ) = 14 500 (1.586874323 )
0.08


X + 3 137(5.86661)(1.08) = 23 009.678
X + 19 875.84 = 23 009.678
X = $3 133.84
Cuadro 6.3 Amortización con renta fija redondeada al peso y tasa de interés constante
F.F.
A = $14 500
R1
R2
R3
R4
R5
X
0
1
2
3
4
5
6 semestres
Figura 6.1 Amortización con cinco rentas fijas redondeada al peso, X es el valor del último pago (R6).
Problema resuelto
3.El señor Efraín Nava pide prestado $30 000, que se van a amortizar mediante nueve pagos mensuales vencidos. Si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente, encontrar de cuánto
es el abono mensual.
Solución
Datos
A = C = $30 000 Incógnita R
i = 0.24/12 = 0.02 mensual
n = 9 meses
El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación:
 1 − (1 + ip ) − np 
C (i )
C = R
 despejando R se tiene: R =
i
p


1 − (1 + i ) − n
R =
30 000 ( 0.02 )
1 − (1.02 ) −9
=
600
600
=
= $ 3 675.46
1 − 0.836755265
0.163244734
199
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
Cuadro 6.4 Amortización con renta fija y tasa de interés constante
Se realizarán nueve pagos mensuales vencidos de $3 675.46 que amortizan una deuda con valor de
$30 000.00, con interés de 24% anual capitalizable mensualmente
Problema resuelto
4.El contador Abraham Levi pide un préstamo de $2 000 a Banco Invex; acuerda realizar pagos trimestrales, durante dos años, a una tasa 24% capitalizable mensualmente. Elaborar un cuadro de
amortización.
Solución
Datos
A = C = $2 000 Incógnita R
i = 0.24/12 = 0.02 mensual
n = 2 años = 8 trimestres
Se calcula la tasa i ′ trimestral equivalente a 24% capitalizable mensual
(1 + i ′)4 = (1.02)12
i ′ = (1.02)3 - 1
i ′ = 0.061208 trimestral
i ′ = 6.12% trimestral
El pago trimestral
R =
C (i )
1 − (1 + i ) − n
=
2 000 ( 0.061208 )
1 − (1.061208 ) −8
=
122.416
122.416
=
= $ 323.6134
1 − 0.621721487 0.378278512
Elaborar un cuadro de amortización (programa completo de amortización).
Cuadro 6.5 Amortización con renta fija y tasa de interés constante
200
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
5.El centro de reciclado de pet “Reciclado del Sur”, realizó la compra de una compresora de pet, la
cual tiene un precio de contado de $60 000. El dueño solo cuenta con la cantidad de $25 000, esta
cantidad le sirve para realizar el enganche del equipo y la diferencia pagarla a crédito, acordando
realizar seis pagos mensuales, siendo la tasa de interés 23% anual capitalizable mensualmente.
a) Calcular el valor de la renta.
b) ¿Cuánto pagó de intereses?
c) Construir una tabla de amortización.
Solución
Datos
Enganche = $25 000 Incógnita R
C = 60 000 - 25 000 = $35 000
i = 0.23/12 = 0.0191666 mensual
n = 6 meses
El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación:
R =
C (i )
1 − (1 + i )
−n
=
35 000 ( 0.01916666 )
1 − (1.01916666 )
−6
=
670.833
670.833
=
= $6 230.84
1 − 0.892336692
0.107663308
El interés total pagado es de $2 385.05
Cuadro 6.6 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante
Problema resuelto
6.El Cabo Juan Antonio Solís está pagando un préstamo a 10 años, siendo abonos iguales al final de
cada año, el interés que cobra Banejército es de 20%, se sabe que la cantidad pagada en el quinto
año es de $1 238.15.
Calcular:
a) La cantidad del préstamo y la cantidad del principal pagada en el séptimo año.
b) El monto de los 10 años del principal.
Solución
a) Se calcula el principal pagado en el séptimo año.
Como se sabe que la columna de principal tiene la relación (1 + i ) entonces:
1 238.15(1.2)2 = 1 782.936
201
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
b) Cálculo del monto de los 10 años del principal.
 (1.2)10 − 1
1 238.15 (1.2 ) −4 + + 1 238.15 + + 1 238.15 (1.2 )5 = 1 238.15 (1.2 ) −4 
 = $15 499.97
0.2


Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.7.
Cuadro 6.7 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante
Cantidad
pagada en el
quinto año
Cuando se pide una cantidad prestada C y se van a realizar pagos iguales R al final de cada periodo
durante n periodos, a una tasa i por periodo para amortizar la deuda A y se desea conocer o analizan
un caso específico k en el programa de amortización (1 ≤ k ≤ n) se utilizan los siguientes casos:
■■
El saldo insoluto después del (k - 1)-ésimo pago, es el valor descontado de los n - (k - 1) =
n - k + 1 pagos restantes.
 1 − (1 + i ) − ( n − k + 1 ) 
Saldo insoluto = R 

i


■■
6.1
El interés pagado en el k-ésimo pago es:
I = R 1 − (1 + i ) − ( n − k + 1 ) 
■■
6.2
El k-ésimo pago de la amortización es:
A = R (1 + i ) − ( n − k + 1 )
6.3
Para calcular el saldo insoluto P de una deuda que se amortiza con pagos R iguales al final de cada
periodo durante n periodos, a una tasa i por periodo, existen dos métodos el prospectivo (viendo hacia
el futuro) y el retrospectivo (viendo hacia el pasado) como se muestra en la figura 6.2.
Prospectivo
0
R1
R2
1
2
...
Rk
Rk + 1
k
k+1
...
Rn
n
Retrospectivo
Figura 6.2 Amortización de deuda A con pagos R iguales al final del periodo con tasa i por periodo durante n periodos.
Método prospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, será igual al valor
descontado de los n - k pagos que quedan por realizar.
 1 − (1 + i ) − n − k 
P = R

i


202
6.4
Grupo Editorial Patria©
Método retrospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, es igual al valor
acumulado de la deuda menos el valor acumulado de los k-ésimo pagos hechos hasta la fecha.
 (1 + i ) − k − 1 
P = A (1 + i )k − R 

i


6.5
Problema resuelto
7.El dueño de una lavandería está pagando un préstamo de $45 000 por la compra de dos lavadoras
de 16 kilogramos; este se va a amortizar con pagos mensuales iguales durante dos años a una tasa de
interés de 25% capitalizable mensualmente.
Calcular:
a) El saldo insoluto después de seis meses.
b) El interés del séptimo pago.
c) La amortización (A) del séptimo pago.
d ) La renta mensual con la tasa continua de 25%.
Solución
Datos
C = $45 000 Incógnitas R, P6, I7 y A7
i = 0.25/12 = 0.0208333 mensual
n = 24 meses
k=6
Cálculo del abono mensual:
R =
Ci
1 − (1 + i ) − n
=
45 000 ( 0.0208333 )
1 − (1.0208333 ) −24
=
937.50
937.50
=
= $2 401.72
1 − 0.609654967 0.390345032
El saldo insoluto P, después de seis pagos:
 (1.0208333 )6 − 1 
P = 45 000 (1.0208333 )6 − 2 401.72 

0.0208333


 1.131693889 − 1 
P = 45 000 (1.131693889 ) − 2 401.72 

0.0208333


 0.131693889 
P = 50 926.225 − 2 401.72 

 0.0208333 
P = 50 926.225 - 2 401.72(6.321316795)
P = 50 926.225 - 15 182.033
P = $35 744.19
La parte del interés en el séptimo pago:
I = (35 744.19)(0.020833) = 744.65871 ≈ $744.66
Amortización “A” (o valor del principal):
A = R - I = 2 401.72 - 744.66 = $1 657.06
Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.8.
203
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
Cuadro 6.8 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante
Se calcula la tasa i ′ trimestral equivalente a 24% capitalizable mensual
(1 + i )12 = e0.20
(1 + i )12 = 1.221402758
1+ i =
i = 1.01680633 - 1
i = 0.01680633 mensual
i ≈ 1.68% mensual
12
1.221402758
El pago mensual
R =
C (i )
1 − (1 + i )
−n
=
45 000 ( 0.01680633 )
1 − (1.01680633 ) −24
=
756.2885
756.2885
=
= $ 2 294
1 − 0.670320052
0.329679947
El saldo insoluto P, después de seis pagos:
 (1.01680633 )6 − 1
P = 45 000 (1.01680633 )6 − 2 294 

0.01680633


 1.105170916 − 1
P = 45 000 (1.105170916 )6 − 2 294 

 0.01680633 
 0.105170916 
P = 49 732.69 − 2 294 

 0.01680633 
P = 49 732.69 - 2 294(6.257815716)
P = 49 732.69 - 14 355.42925
P = $35 377.26
La parte del interés en el séptimo pago:
I = (35 377.26)(0.01680633) = 594.5619061 ≅ $594.56
I = (35 377.26)(0.01680633) = $594.56
Amortización “A” (o valor del principal):
A = R - I = 2 294 - 594.56 = $1 699.44
Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.9.
204
Grupo Editorial Patria©
Cuadro 6.9 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante
Problema resuelto
8.La familia Martínez adquiere una casa en condominio valuada en $4 800 000 por el cual paga un
enganche de $1 200 000. El resto se financia con préstamo de Banorte a 20 años, con tasa de
interés de 9% convertible mensualmente. Calcular:
a) El valor de los pagos mensuales.
b) El saldo insoluto al final de los 15 años.
Solución
Datos
Precio de contado $ 4 800 000 Incógnitas R y P180
Enganche $1 200 000
Cantidad a financiar $3 600 000
T = 9% A.C. Mensual
i = 0.0075 mensual
n = 20 años = 240 meses
n15 = 180 meses
a) Cálculo de la renta:
Ci
R =
R = $32 390.13
1 − (1 + i )
−n
=
3 600 000 ( 0.0075 )
1 − (1.0075 )
−240
=
27 000
1 − 0.166412844
=
27 000
0.833587155
b) Saldo insoluto al final de los 15 años.
 (1.0075 )180 − 1
P = 3 600 000 (1.0075 )180 − 32 390.13 

0.0075


 3.838043267 − 1
P = 3 600 000 ( 3.838043267 ) − 32 390.13 

0.0075


 2.838043267 
P = 3 600 000 ( 3.838043267 ) − 32 390.13 

0.0075


P = 3 600 000(3.838043267) - 32 390.13(378.4057689)
P = 13 816 955.76 - 12 256 612.05
P = $1 560 343.71
En 15 años habrá liquidado menos de $1 560 343.71 del préstamo original.
205
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
Problema resuelto
9.La familia Aragón adquirió un condominio valuado en $650 000 el 1 de febrero del año pasado,
por el cual dieron un enganche de 20%. El resto se financia con crédito hipotecario de Banejército
a 20 años, con tasa de interés de 10% convertible mensualmente sobre el saldo iniciando en el mes
de marzo del mismo año, el préstamo se amortizará con pagos al final de cada mes. Calcular:
a)El valor de los pagos mensuales.
b)¿Cuánto de interés puede deducir al realizar su declaración anual de persona física del año
pasado, el tiempo límite que tiene para realizar su declaración es el día 30 de abril del presente
año?
Solución
Datos
Precio de contado $650 000 Incógnitas R e I1-10
Enganche $130 000
Cantidad a financiar A = $520 000
T = 10% A.C. Mensual
i = 0.008333 mensual
n = 20 años = 240 meses
n1 = 10 meses
a) Cálculo de la renta:
R =
Ci
1 − (1 + i )
−n
=
520 000 ( 0.00833333 )
1 − (1.00833333 )
−240
=
4 333.3316
1 − 0.136461619
=
4 333.3316
0.86353838
R = $5 018.11
b) Saldo insoluto al final de los 10 meses, en el primer año de la compra del departamento.
 (1.00833333 )10 − 1
P1-10 = 520 000 (1.00833333 )10 − 5 018.11

0.00833333


 1.086528765 − 1
P1-10 = 520 000 (1.086528765 ) − 5 018.11 

 0.00833333 
 0.086528765 
P1-10 = 564 994.95 − 5 018.11 

 0.00833333 
P1-10 = 564 994.95 - 5 018.11(10.38345593)
P1-10 = 564 994.95 - 52 105.32
P1-10 = $512 889.6378
c) La amortización el año pasado de marzo a diciembre:
A1 - 10 = 520 000 - 512 889.63 = $7 110.37
d ) El total de intereses pagados el año pasado son:
I1 - 10 = 10(5 018.11) - 7 110.37 = 50 181.1 - 7 110.37 = $43 070.73
El señor Aragón puede declarar $43 070.73 en su declaración fiscal como deducción por el
préstamo hipotecario (este documento lo extiende la institución financiera con la cual se tiene
contratado el préstamo, es el documento oficial que reconoce el sat).
206
Grupo Editorial Patria©
Cuadro 6.10 Amortización con renta fija y tasa de interés constante
En los ejemplos anteriores se mostró la forma de construir un cuadro de amortización, ahora describiremos la construcción de un cuadro de amortización en el que se incluirá el cálculo del impuesto al valor
agregado (iva) con tasa fija y renta fija.
Problema resuelto
10.Construir un cuadro de amortización que incluye el cálculo del
miento por dos años para la compra de un automóvil Sedán.
iva
(16%) con un plan de financia-
Cuadro 6.11 Amortización con iva de un plan de financiamiento por dos años para la compra de un auto
El precio de lista (incluye el iva)
$214 500.00
La inversión inicial mínima (enganche) 35%
- $75 075.00
Comisión por apertura de crédito.
Pago que debe efectuarse al contado (incluye el iva)
+ $1 200.00
Seguro automotriz de cobertura amplia.
Se debe pagar de contado por un año (incluye gastos de expedición e iva) más un año gratis.
+ $14 400.00
Tasa de interés fija
5.4% anual
Monto a financiar
$153 825.00
Otros gastos
Tenencia por un año, 3% sobre el valor del automóvil (mayor a $250 000) sin incluir el iva, lo anterior solo
aplica en el D.F.
No aplica
Placas
$1 650.00
Gestoría
$300.00
Verificación (calcomanía doble cero), solo aplica en el D.F.
$385.00
Solución
a)La tasa de interés está en forma anual, por lo que debe transformarse a una tasa de interés mensual.
i =
5.4
= 0.054 anual
100
i =
0.054
= 0.0045 mensual
12
b) Cálculo del interés a pagar durante el primer periodo:
I = 153 825(1)(0.0045)
I = $692.21
207
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
c) Cálculo del iva sobre los intereses generados en el primer periodo:
iva
= 692.21(0.16)
iva
= $110.75 para el primer mes
entonces:
Intereses + iva = 692.21 + 110.75 = 802.964
d ) La renta es el pago total en la columna de la tabla de amortización:
153 825 ( 0.0045 )
R =
R = $6776.10 cada mes
1 − (1.0045 )
−24
=
692.2125
692.2125
=
1 − 0.897845094 102154905
Cuadro 6.12 Amortización con renta fija, tasa fija e iva (16%)
Problema resuelto
11. U
na tienda de electrodomésticos en el mes de julio de este año ofrece una promoción de compre
ahora y realice su primer pago el último día de enero del año entrante y los siguientes seis pagos
en los meses subsecuentes, con una tasa de interés de 24% capitalizable mensualmente. El arquitecto Camargo compra un refrigerador con valor de $ 13 500.00 el último día de septiembre.
Encontrar el valor de cada uno de los pagos y construir un cuadro de amortización
Solución
Datos
C = $ 13 500
T = 24% A.C. Mensual
i = 0.02 mensual
n = 6 pagos
a)Como el arquitecto Camargo disfruta desde el día 30 de septiembre de su refrigerador, entonces desde este día contrae la deuda. Primero se realiza el cálculo de su deuda al 31 de enero,
que es de:
Deuda hasta el 31 de enero = C (T)4
Deuda hasta el 31 de enero = $13 500.00(1.02)4
Deuda hasta el 31 de enero = $14 612.83
b)El cálculo para conocer el valor del pago (renta) se hace a partir de una anualidad vencida:
R =
208
Ai
1 − (1 + i )
−n
R = $2 608.7674
=
14 612.83 ( 0.02)
1 − (1 + 0.02 )
−6
=
2 92.2566
1 − 0.887971382
=
2 92.2566
0.112028617
Grupo Editorial Patria©
c)En el mes de septiembre el saldo es $13 500.00, y el interés generado en ese mes es de:
I = Saldo (n)(T ) = 13 500(1)(0.02) = $270.00
M = 13 500.00 + 270 = $13 770
d ) En octubre el saldo es de $13 770.00. En el mes de octubre el interés generado es:
I = Saldo (n)(T ) = 13 770(1)(0.02) = $275.4
M = 13 770.00 + 275.4 = $14 045.40
e)Se continúan realizando los cálculos del interés y el saldo insoluto para los meses de noviembre, diciembre y enero, como se realizó para el mes de octubre y de febrero a julio los cálculos
se realizan con base en lo estudiado para la construcción del cuadro de amortización.
Cuadro 6.13 Amortización diferida con renta fija y tasa fija
6.2 Inflación
En los casos analizados anteriormente, el manejo del dinero se realizó partiendo de una situación
económica en donde la inflación tenía un valor de cero, pero no es la única causa para que no exista
inflación:
■■
Se puede suponer que el aumento de precios en los bienes o servicios es tan lento o tan pequeño que no se considera para tomar decisiones al respecto por los individuos o las empresas.
■■
La inflación también origina que el poder de compra (adquisitivo) del dinero disminuya.
Inflación
Es el incremento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios producidos por
la economía de un país.
Inflación baja
Se alcanza cuando el poder adquisitivo de la moneda es estable o cuando el nivel precios no ha
disminuido sino que su aumento ha sido a un ritmo menor.
Cuando la estabilidad se rompe entonces surge el fenómeno de inflación económica, que es nociva
para un país y trae como consecuencia:
a) El crecimiento económico inestable hace más riesgosos los proyectos de inversión
b) Se elevan las tasas de interés, tanto activas como pasivas
c) Se deteriora el poder adquisitivo de la moneda
d ) Disminuye la demanda de bienes y servicios
e) Disminuye el otorgamiento de créditos
209
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
¿Qué es lo que puede originar principalmente la inflación en un país?
a) El aumento de la moneda circulante (moneda o billete) sin incrementar en forma equivalente la
producción de bienes o servicios.
b) La emisión de dinero por parte del gobierno para cubrir un déficit presupuestal.
Al aumentarse la moneda circulante, las personas tienen más dinero para comprar y trae como consecuencia un incremento de la demanda de bienes y servicios.
Deflación
Es cuando los precios de los bienes o servicios disminuyen de un periodo a otro.
Todo inversionista espera que la tasa de interés que recibe por su inversión sea lo suficientemente
alta para compensar la pérdida del poder adquisitivo originado por la inflación en el capital invertido
y al mismo tiempo obtener ganancias por su inversión.
Rendimiento real obtenido
Si al vencimiento de una inversión, la tasa de inflación resulta mayor que la anticipada por el inversionista, el rendimiento real obtenido será menor que el esperado.
Prima de riesgo y la tasa real no negativa
Cuando el rendimiento real obtenido es menor que el esperado, origina que las tasas nominales tengan una prima de riesgo, debido a la incertidumbre por no saber cuál será la tasa de inflación durante
el plazo de la inversión. Cuando el inversionista no sabe a cuánto asciende la tasa de interés tendrá
que pedir una tasa superior para cubrir el riesgo, de tal forma que evite que la inflación sea mayor que
la tasa de interés pactada y de esta forma tener una tasa real no negativa.
Derechos transferidos de un bien con inflación
Problema resuelto
12.El señor José Juan Sotelo compró un departamento hace tres años. El valor del inmueble era de
$2 250 000.00 y $ 200 000.00 en gastos fijos (escrituración, avalúo, entre otros). El señor Sotelo dio
de enganche 40% del valor, y el 60% restante, lo pagaría con un crédito hipotecario otorgado por
Banorte durante cinco años de plazo contados desde el día de la compra en abonos mensuales
vencidos. El día de hoy el señor Sotelo quiere saber en realidad cuánto vale el departamento si
le cobran intereses con una tasa de 18% anual capitalizable mensualmente. El valor del inmueble
aumentó 0.5% mensual con la inflación.
Solución
Datos
Valor del inmueble = $ 2 250 000.00
Gastos fijos = $200 000.00
Enganche = 40% del valor de la casa
Crédito hipotecario = 60% del valor de la casa
Inflación = 0.5%
Tasa de interés = 18% A.C. Mensual
i = 0.18/12 = 0.015 mensual
a) El valor presente de las mensualidades es igual a 60% del precio de la casa:
C = (Porcentaje de crédito hipotecario)(Valor del inmueble)
C = 0.60($2 250 000.00)
C = $1 350 000
b) Encontrar el valor de la renta para los cinco años:
R =
Ci
1 − (1 + i p )
R = $34 281.13
210
− np
=
1350 000 ( 0.015 )
1 − (1 + 0.015 )
−60
=
20 250
20 250


= 
1 − 0.409295966  0.590704033 
Grupo Editorial Patria©
c)Después de dos años se han pagado 24 mensualidades, por lo tanto el saldo insoluto es igual
al valor presente de los 36 meses restantes.
 1 − (1 + 0.015 ) −36 
 1 − 0.585089735 
 0.414910264 
C = 34 281.13 
 = 34 281.13 
 = 34 281.13 

0.015
0.015
0.015






C = 34 281.13(27.66068431) = $948 239.51
d )La diferencia del crédito inicial es lo que se ha transferido al señor Sotelo (deudor):
Diferencia del crédito inicial = C - Saldo insoluto
Diferencia del crédito inicial = 1 350 000 - 948 239.51
Diferencia del crédito inicial = $ 401 760.49
e)Entonces el señor Sotelo es propietario de los gastos fijos, el enganche y el nuevo capital (después de dos años)
C2 = 200 000 + (0.40)(2 250 000) + 401 760.49
C2 = 200 000 + 900 000 + 401 760.49
C2 = $1 501 760.49
f )El valor futuro de este nuevo capital (C2) después de dos años y con la inflación a una tasa de
0.5% por mes será de:
M2 = 1 501 760.49(1 + 0.005)24
M2 = 1 501 760.49(1.127159776)
M2 = $1 692 724.02
Cambio de tasas de interés y amortización constante
Problema resuelto
13.El director de una secundaria compró el 10 de enero de 2014 una pantalla de proyección de
$12 500.00; él acuerda pagar en nueve pagos mensuales. Para los primeros cinco meses se aplica
una tasa de interés de 18% y en los últimos cuatro meses una tasa de 21%, ambas con capitalización mensual y si además debe amortizarse una novena parte de la deuda por pago. ¿Cómo serán
sus pagos y la amortización de esta deuda?
Construir un cuadro de amortización que muestre los cambios en las tasa de interés considerando
una amortización constante.
Solución
Datos
Precio de contado: $12 500
n = 9 pagos mensuales
T = 18% primeros 5 meses
T = 21% últimos 4 meses
a)La amortización es constante, por lo que debemos dividir el precio de contado entre los nueve
meses de plazo:
A =
12 500
C
=
= $1388.89
n
9 meses
b) Convertir la tasa anual en tasa mensual:
i =
0.18
= 0.015 mensual
12
c) Se calcula el interés a pagar el 10 de febrero:
I = C(1)(T) = $12 500(1)(0.015) = $187.50
211
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
d ) Pago por periodo:
R = A + I = $1 388.89 + $187.5 = $1 576.39
e) Repetir los pasos a), b), c) y d ), para cada mes hasta el quinto mes.
f ) Convertir la segunda tasa anual en tasa mensual:
i =
0.21
= 0.0175 mensual
12
g) Se calcula el interés que se va a pagar el 10 de julio:
I = C(1)(i ) = 5 555.56(1)(0.0175) = $97.2223
h) Pago por periodo:
R = A + I = $1 388.89 + 97.2223 = $1 486.11
i )Repetir los pasos a), b), c) y d ), con la segunda tasa para cada mes hasta terminar el cuadro en
el noveno mes (cuando el saldo sea cero).
En el cuadro 6.14 de Excel se muestra la amortización con cambio de tasas de interés y amortización
constante.
Cuadro 6.14 Amortización con cambio de tasas de interés y amortización constante
6.3 Unidades de inversión (udi)
¿Cómo se puede conocer el valor real de una inversión, un crédito u otro tipo de operación financiera
cuando son afectadas por el efecto inflacionario?
212
■■
Un mecanismo muy simple para obtener este valor real es mediante las Unidades de Inversión
(udi ), que es un instrumento financiero creado para tomar en cuenta el efecto inflacionario en
las operaciones financieras.
■■
Estas unidades de inversión se crearon en México desde el 4 de abril de 1995 con el objetivo
de tener un sistema de referencia para realizar operaciones financieras y bancarias que permitieran contrarrestar los efectos de incertidumbre inflacionaria.
■■
El Banco de México es el organismo encargado de calcular y publicar el valor en moneda
nacional de las udi y cada día 10 del mes se publica el valor que corresponde al periodo que
comprende entre el 11 y el 25 de dicho mes, a más tardar el día 25 de cada mes se publicará el
valor correspondiente del día 26 de ese mes al día 10 del mes inmediato siguiente.
■■
La variación porcentual del valor de la udi entre el 10 y el 25 de cada mes será igual a la variación del Índice Nacional de Precios al Consumidor (inpc) de la segunda quincena del mes
inmediato anterior.
■■
La variación del valor de la udi del día 25 de un mes al día 10 del mes inmediato siguiente será
igual a la variación del inpc en la primera quincena del mes referido en el primer término.
■■
La variación será uniforme durante esos días para garantizar que quienes requieran hacer operaciones tengan un mínimo de certidumbre.
Grupo Editorial Patria©
Las udi iniciaron su cotización el día 4 de abril de 1995 y su valor era de $1.00 por cada udi; a partir de
ese día su valor se ha incrementado diariamente de acuerdo con la tasa de inflación, así por ejemplo:
Si después de 90 días el inpc crece 6%, entones una udi tiene un valor mayor en 6% a lo que costaba el día de su lanzamiento (4 de abril de 1995) entonces el día 4 de julio de 1995 vale $1.06. Si
se considerara que la inflación acumulada en un año es de 30%, entonces cada udi tiene un valor
de $1.30 (del 4 de abril de 1995 al 4 de abril de 1996).
❚❚ 6.3.1 Tasas negativas
En las inversiones tradicionales a corto y largo plazos las tasas nominales por muy altas que sean siempre estarán por debajo de la tasa de inflación, obteniéndose entonces tasas negativas.
La ventaja de invertir en udi es que incrementan su valor en la misma proporción que el Índice
Nacional de Precios al Consumidor (inpc) haciendo con esto que las inversiones en udi siempre estén
protegidas de la inflación. Por ello, es bueno invertir en udi cuando la inflación es alta; sin embargo,
cuando la inflación es baja no se recomienda invertir ya que la tasa de interés real es baja o casi nula y
solo se recibe la parte proporcional al fenómeno inflacionario.
Problema resuelto
14.El señor Joel Sánchez compra una computadora con valor de $15 600.00 más iva y acuerda realizar
seis pagos mensuales en udi con una tasa de interés de 18% anual capitalizable cada mes, el primero de los pagos se hace al final del mes, si en el momento en que se celebra la operación el valor
de las udi es de $4.90594 y se supone una inflación mensual de 0.43%; calcule el pago mensual en
pesos. ¿Cuál es el valor de la renta (el pago mensual)?
Solución
Datos
C = 15 600 + 2 496 = $18 096
T = 0.18/12 = 0.015 mensual
n = 6 meses
udi = $4.90594
Los pagos constituyen una anualidad simple cierta, vencida e inmediata con valor actual de $15 600.00
más iva.
a) Valor de la deuda en udi:
UDI
=
18 096
C
=
= 3 688.59
Valor de las UDI 4.90594
b) El pago mensual en udi será:
3 688.59 ( 0.18 12 )
R =
R = 647.44 udi
0.18 

1 − 1 +

12 
−6
=
3 688.59 ( 0.015 )
1 − (1.015 )
−6
=
55.3288
55.3288
=
1 − 0.9145422
0.085478
c) Con una inflación de 0.43% mensual, el pago mensual en pesos será de:
Pago mensual en pesos = (Pago mensual en udi )(Valor de la udi al final del mes)
Pago mensual en pesos = (647.44 udi )(4.90594)
Pago mensual en pesos = $3 176.30
6.4 Fondos de amortización
El fondo de amortización es inverso de la amortización, porque se crea para pagar una obligación en
fecha futura, como pueden ser:
■■
La compra de equipo nuevo para sustituir el equipo depreciado u obsoleto, para prevenir
gastos de jubilación de empleados en una compañía, para comprar un automóvil, para la construcción de un inmueble, para el mantenimiento de equipo e inmuebles, o cualquier otro bien
o servicio a futuro.
213
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
El fondo de amortización acumula cantidades de dinero con pagos iguales al inicio o al vencimiento
de periodos iguales que devengan intereses para alcanzar el monto deseado utilizando una cuenta de
inversión.
■■
Al utilizar la cuenta de inversión se reúne la cantidad de dinero necesario en la fecha futura deseada; es decir, el fondo de amortización es la acumulación de pagos periódicos para liquidar
una deuda futura.
■■
El tener un fondo de inversión le permite al inversionista ganar intereses y de esta manera acumular con mayor tranquilidad la cantidad de dinero pensada a futuro.
■■
Este tipo de instrumento financiero genera el hábito del ahorro.
■■
Otra ventaja de tener un fondo de inversión es la de disponer de su propio dinero para comprar
lo deseado de contado, evadiendo de esta manera el pago de intereses, que por lo regular son
altos, y otros cargos por comprar a crédito.
Problema resuelto
15.Una tortillería obtiene un préstamo de $800 000 que debe liquidar en una sola exhibición dentro de
cinco años. El dueño de la tortillería decide realizar reservas anuales iguales con el objetivo de pagar
la deuda a su vencimiento mediante un fondo de inversión bancario con 6% de interés anual.
Solución
Datos
C = $ 800 000
T = 6% anual
n = 5 años
a) Para obtener las reservas anuales para pagar la deuda utilizar la siguiente ecuación:
 (1 + t )n − 1
M = R

t


despejando R queda:
R =
Mi
n
(1 + i ) − 1
=
800 000 (0.06)
5
(1 + 0.06) − 1
=
48 000
48 000
48 000
=
=
(1 + 0.06)5 − 1 1.338225578 − 1 0.338225578
R = $141 917.12
b) Los cálculos que se deben realizar para elaborar el cuadro para el fondo de amortización son:
1.El interés obtenido en un año, se calcula con la fórmula de interés simple.
I = Cni
I = 141 917.12(1)(0.06)
I = $8 515.03
2.Este interés se suma al total del ahorro para obtener la cantidad que se va a depositar durante el segundo periodo.
Total que se suma al monto = $141 917.12 + 8 515.03
Total que se suma al monto = $150 432.15
3.El monto al final del año (5) se encuentra sumando al saldo del año anterior (4) el depósito
anual, más los intereses del periodo.
214
Monto al final del año (5) = Saldo del año anterior + Depósito anual durante el periodo
más intereses
Monto al final del año (5) Saldo = $620 832.91 + 141 917.12 + 37 249.97
Monto al final del año (5) = $800 000.00
Es decir, los $800 000.00 deseados.
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Cuadro 6.15 Comportamiento del fondo de amortización
Problema resuelto
16.El arquitecto Saturnino Torres debe pagar dentro de seis meses la cantidad de $1 600 000, por la
compra de un camión y para tener el dinero en la fecha de liquidación decide realizar depósitos
mensuales en una cuenta de inversión que paga 9% anual capitalizable mensualmente. ¿De cuánto
deben ser los depósitos en su cuenta de inversión? Construir un cuadro que muestre la forma en
la que se acumula el fondo.
Solución
Datos
C = $1 600 000
T = 9% A.C.M.
i = 0.0075 mensual
n = 6 meses
a) Para calcular los depósitos en su cuenta se utiliza la siguiente ecuación:
 (1 + t )n − 1
M = R

t


Si despejamos R de la ecuación tenemos que:
Mi
R =
R = $261 710.25
(1 + i )n − 1
=
1600 000 ( 0.0075)
(1 + 0.0075)
6
−1
=
12 000
12 000
=
1.045852235 − 1 0.045852235
b) El cuadro sobre el fondo de amortización queda de la siguiente manera:
Cuadro 6.16 Fondo de amortización
215
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
Problema resuelto
17.¿Cuántos depósitos debe realizar la contadora Delia Morales si desea comprar de contado dos
archiveros de $3 000 cada uno para su despacho? Para lograr esta compra, Delia deposita al principio de cada mes en la cuenta de inversión del despacho la cantidad de $423.38; si el banco paga
una tasa de interés de 4.5% convertible quincenalmente, ¿cuántos depósitos deberá hacer para
poder realizar la compra de los archiveros?
Solución
Datos
M = $6 000
R = $423.38
T = 4.5% A.C. Quincenal
i = 0.001875 quincenal
a) Los depósitos que deberá realizar serían:
 6 000 ( 0.001875)

11.25
 Mi


+ 1 log 
log 
+ 1 log 
 423.38 + 1 log (1.026501767) 0.011389361
423.38

R




n=
=
=
=
=
0.00081354
log (1 + i )
log (1 + 0.001875)
log (1.001875)
log (1.001875)
 6 000 ( 0.001875)

 Mi

+ 1 log  11.25 + 1
+ 1 log 
log 
 423.38
 log (1.026501767) 0.011389361
423.38

R




=
=
n=
=
=
0.00081354
log (1.001875)
log (1 + i )
log (1 + 0.001875)
log (1.001875)
n = 13.9998 ≈ 14 quincenas
Cuadro 6.17 Fondo de amortización
6.5 Depreciación
Cuando se adquiere un activo fijo, por ejemplo: equipo o maquinaria, mobiliario de oficinas, equipo de
cómputo, edificios y otros; estos comienzan a perder valor con el transcurso del tiempo, a esta pérdida
se le conoce como depreciación. De modo que los activos fijos reducen su valor desde el momento
en que son adquiridos o se ponen en servicio u operación por el desgaste, descomposturas y cambios
tecnológicos.
La depreciación de un bien se debe a tres causas básicas:
1. Causas físicas
Son los principales motivos de la depreciación de un bien, es decir, este se deprecia debido al uso,
al desgaste, la acción de los elementos naturales y la combinación de estos.
216
Grupo Editorial Patria©
2. Insuficiencia
Se presenta cuando un activo no puede cubrir, alcanzar o hacer frente a las necesidades que se le
piden.
3. Obsolescencia del activo
La obsolescencia del activo se debe a que este sufre un desgaste mínimo de un periodo a otro
pero el activo sigue trabajando, al transcurrir el tiempo se deberá sustituir porque en el mercado
aparece un nuevo activo con mejoras técnicas. Este nuevo activo es más eficiente que el anterior,
por lo tanto deberá sustituirlo. Existe una excepción en la obsolescencia de los activos: los terrenos, que adquieren un valor mayor de un periodo a otro, es decir, crece su valor con el tiempo.
La palabra depreciación viene del latín y significa rebajar el precio
o valor de una cosa.
Valor del bien adquirido
El valor del bien adquirido se registra en libros como uno de los activos fijos en el balance general, esto
se realiza para efectos contables.
La depreciación del equipo se registra en forma anual y los cargos de depreciación son determinados
por el gobierno.
Depreciación
Es la pérdida gradual en el valor de un activo fijo con el transcurso del tiempo, por su uso, desgaste, la acción de los elementos naturales, la insuficiencia, la obsolescencia o la combinación de
estos. Se denota con la letra D.
Activos fijos
Son los bienes que están sujetos a descomposturas, desgaste, deterioro y a los cambios de las
nuevas tecnologías.
Vida útil de un activo fijo
Se mide en años y se representa con la letra n. Es el tiempo que transcurre entre su compra y su
retiro o remoción.
Valor de desecho, de salvamento o de rescate de un activo fijo
Se representa con la letra S y su valor puede ser positivo cuando se vende el activo a otros usuarios
(clientes) porque representa una recuperación económica para la empresa. Se considera negativo
si se requiere de un gasto adicional para su remoción (demoler un edificio, desinstalar equipo o
maquinaria).
Valor de salvamento de un activo fijo
Es el que tiene o tendrá al final de su vida útil.
El valor de todos los activos se reduce con el tiempo.
Otros conceptos empleados en el ámbito de la depreciación son:
Precio original o costo original del activo
Es el valor que se toma como punto de partida de la depreciación y se representa con la letra C.
Precio original o costo original del activo = C
Depreciación acumulada
Es la suma de la depreciación de cualquier año con la de años anteriores, con excepción de la del
primer año de vida del bien.
217
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
Cargos por depreciación
Contablemente son los cargos periódicos que se aplican a los resultados de la depreciación del
activo fijo.
Valor en libros o valor contable
Es el valor después de depreciarse que tiene el activo fijo al final del k-ésimo año. Se representa
con:
Vk donde k = 1, 2, 3, …, n
■■
Es muy importante entender que al comenzar la vida útil del activo, el valor en libros es igual
al precio original.
■■
Con el transcurso del tiempo, la diferencia que existe entre el valor original y la depreciación
acumulada hasta determinada fecha es la que se registra en los libros, en el último año el valor
en libros debe coincidir con el valor de desecho.
■■
El valor en libros nunca corresponde con el valor del mercado, sobre todo en época de inflación
alta, el valor de mercado es superior al de libros.
Costo total de depreciación o base a depreciar
Es la diferencia entre el costo original y el valor de desecho de un activo fijo y es el valor que debe
cargarse con el transcurso de los años. Es igual a la diferencia entre el precio original y el valor de
desecho (C - Sk). Este valor también puede ser nulo si el activo es un desperdicio total.
■■
Valor que debe cargarse = Costo original - Valor de desecho de un activo fijo
■■
Valor que debe cargarse = Precio original - Valor de desecho
■■
Valor que debe cargarse = (C - Sk)
Valor de desecho, valor de rescate o valor de salvamento
Es el valor que tiene el activo al final de su vida útil y este debe coincidir con el valor en libros en
esa fecha de desecho.
Agotamiento
Se utiliza cuando el activo no se puede remplazar por otro, esto significa literalmente: “consumir
todo, terminar con una cosa o gastar todo”. Por ejemplo, en el ámbito petrolero agotar un yacimiento
de petróleo o de gas; en la minería, agotar una mina de carbón, oro, plata, uranio, entre otros.
❚❚ 6.5.1 Método de línea recta
Recibe este nombre porque al graficar el tiempo contra el valor en libros o contra la depreciación
acumu­lada se obtiene una línea recta.
Ventajas del método de línea recta:
■■
El método de depreciación de línea recta es el único aprobado por la Secretaría de Hacienda y
Crédito Público para cumplir con las disposiciones fiscales.
■■
Es el método más sencillo de todos para calcular la depreciación de activos fijos.
■■
Este método tiene como característica principal que la depreciación anual de un activo fijo, es
constante para cada año de su vida útil (en cada año esta siempre es la misma).
Debilidades del método de línea recta:
218
■■
La depreciación real es diferente a la encontrada con el método de línea recta puesto que los
bienes se deprecian más rápido en los primeros años y menos en los últimos años de su vida útil.
■■
El valor de compra del activo fijo no es igual al valor de reposición, esta diferencia se debe a la
inflación como principal causa. También los avances tecnológicos son un factor que interviene
con esa diferencia.
■■
Cuando se crea el fondo de reserva de depreciación, la cantidad depositada al final del año 1
gana intereses, pero el método no contempla esta posibilidad.
Grupo Editorial Patria©
Terminología
Letra
Significado
Letra
Significado
C
Costo original del activo
D
Depreciación anual
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
DA
Depreciación acumulada
VR
Valor de reemplazo
n
Vida útil en años
Vk
Valor en libros en el año k
d
Tasa de depreciación anual
B
Base de depreciación del activo
j
Tasa de inflación
Cálculo de la depreciación
a) La depreciación para cada año se calcula a partir de la siguiente expresión:
( Costo original ) − ( Valor de desecho )
Depreciación por año =
Vida útil en años
D =
C −S
B
=
n
n
6.7
b) La base de depreciación sería:
B=C-S
6.8
Problema resuelto
18.Un laboratorio compra un cromatógrafo con valor de $134 000. El administrador espera que la vida
útil del equipo sea de nueve años con un valor de desecho de $9 000.
a) Encontrar la base de depreciación.
b) Calcular la depreciación anual.
c) Valor de reemplazo.
d ) Construir el cuadro de depreciación.
e) Construir una gráfica de tiempo contra valor en libros.
f ) Construir una gráfica de tiempo contra depreciación acumulada.
Solución
Datos
C = $134 000
S = $9 000
n = 9 años
a) La base de depreciación:
B=C-S
B = $134 000 - 9 000
B = $125 000
Representa la depreciación acumulada con el transcurso de los nueve años de la vida útil del
activo.
b) Depreciación anual:
134 000 − 9 000 124 991
C −S
=
=
n
9
9
D =
D = $13 888.89 por año
219
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
La depreciación anual es $13 888.89, que es la mínima que se debe guardar en el fondo de
depreciación al final de cada año durante nueve años.
c) El valor de reemplazo se obtiene de la siguiente manera:
Valor de reemplazo = (depreciación acumulada) + (valor de desecho)
VR = DA + S
VR = (13 888.89)(9) + 9 000.00
VR = $134 000.01
6.9
d ) Cuadro de depreciación:
Valor en libros al final del primer año
V1 = 134 000 - 13 888.89
V1 = $120 111.11
Valor en libros al final del segundo año
V2 = 120 111.11 - 13 888.89
V2 = $106 222.22
e)Así sucesivamente podemos seguir calculando la depreciación hasta el último año (nueve años)
como se muestra en el cuadro 6.19.
Cuadro 6.19 Depreciación con el método de línea recta
En el cuadro 6.19, de depreciación en línea recta, se muestra cómo aumenta la depreciación
acumulada y disminuye el valor en libros. El valor de $9 000.00 en el año 9 corresponde al
valor de desecho, en el mismo año los $134 000.00 de depreciación acumulada representa la
cantidad guardada en el fondo de reserva de depreciación, sin generar intereses.
f ) Construir una gráfica de tiempo contra valor en libros (con apoyo del Excel).
220
D =
D =
Base de depreciación del activo fijo
Vida útil (en un año)
B 125 000
=
n
Un año
=
B
n
6.10
Grupo Editorial Patria©
Figura 6.3 La pendiente de la línea recta
es negativa; la interpretación de la pendiente
negativa se debe a que por cada año que transcurre, el activo fijo se deprecia en $13 888.89.
g) Construir una gráfica de tiempo contra depreciación acumulada.
DA =
( Depreciación )( vida útil en años )
Un año
≈
(13 888.89 )(1)
D
=
= $13 888.89
1
n
Para calcular la depreciación acumulada:
DA = (Depreciación)(vida útil en años)
DA = (D )(n)
DA = (13 888.89)(1 año)
DA = $13 888.89 para el primer año
DA = (13 888.89)(2 años)
DA = $27 777.78 para el segundo año
6.11
Figura 6.4 Se puede observar que la pendiente de la línea recta es positiva y significa
que por cada año que transcurre, la depreciación acumulada aumenta en $13 888.89, cantidad que representa el dinero que se encuentra en el fondo de depreciación.
Problema resuelto
19.Encontrar el valor de salvamento de un horno para panadería que costó $134 000.00 con una
vida útil de 10 años. Este equipo se deprecia $12 500.00 cada año. Debido a la inflación su valor
aumenta en promedio anual 5%.
Solución
Datos
C = $ 134 000
D = $12 500
n = 10
j = 5% anual
221
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
a) En el primer año el valor del horno para panadería aumenta 5%:
Vre = C(1 + j )n
Vre = (134 000)(1 + 0.05)
Vre = $140 700
6.12
b)Si se deprecia en $12 500.00 por año, entonces el valor del horno para panadería en un año será:
Vre = C(1 + j )n - D1 al fin del primer año
C1 = 140 700 - 12 500
C1 = $128 200
c) Al final del segundo año, el valor del horno para panadería aumenta 5%:
Vre = C1(1 + j )n
C2 = (128 200)(1 + 0.05)1
C2 = $134 610
d )Si se deprecia en $12 500.00 por año, entonces el valor del horno para panadería después del
segundo año sería:
Vre = C2(1 + j )n - D2
C2 = 134 610 - 12 500
C2 = $122 110
e)Esta forma de solucionar el problema es más complicada porque se tiene que calcular hasta
los 10 años; sin embargo, existe otra forma para calcular el valor de salvamento utilizando la
siguiente ecuación de valor:
 (1 + j )n − 1
S = C (1 + j )n − D 

j


 (1 + 0.05 )10 
S = 134 000 (1 + 0.05 )10 − 12 500 

0.05


S = 218 271.88 - 157 223.66
S = $61 048.22
Cuadro 6.20 Cálculo del valor de salvamento
222
6.13
Grupo Editorial Patria©
❚❚ 6.5.2 Método del porcentaje fijo
Es un método de depreciación anual que decrece con el tiempo, ya que emplea un
porcentaje constante, llamado tasa de depreciación, la cual se aplica al valor que
aparece en libros del activo fijo del año siguiente, por lo que a medida que transcurre el tiempo, su valor decrece (año con año). Los cargos de depreciación van a
ser mayores en los primeros años de vida útil del activo y menores hacia los últimos
años, esto quiere decir que decrecen con menor rapidez que en los primeros.
Cuadro 6.21 Tasa de depreciación en el
método de porcentaje fijo
Año
Depreciación
Valor en libros
0
C
C
1
C(d )
V1 = C - Cd
V1 = C(1 - d )
2
V1(d )
V2 = V1 - V1(d )
V2 = V1(1 - d )
V2 = [C(1 - d )](1 - d )
V2 = C(1 - d )(1 - d )
V2 = C(1 - d )2
3
V2(d )
..
.
..
.
V3 = V2 - V2(d )
V3 = V2(1 - d )
V3 = [C(1 - d )2](1 - d )
V3 = C(1 - d )2 (1 - d )
V3 = C(1 - d )3
..
.
K
(Vk - 1) (d )
❚❚ 6.5.3 Valor en libros de un activo fijo
■■
El valor en libros de un activo fijo que se deprecia con el método de tasa
fija al final del k-ésimo año es:
Vk = C(1 - d )k
■■
6.14
El valor en libros al final de la vida útil del activo fijo, k es igual a n, sustituyendo la n en la ecuación 3.7 se tiene:
Vn = C(1 - d )n
■■
6.15
Despejando la tasa de depreciación anual de la ecuación 6.15, obtenemos:
Vn = C(1 - d )
Vk = C(1 - d )k
n
Vn
C
n
= (1 − d )n
Vn
C
= 1− d
 Vn 
d = 1 − n

 C 
1
 Vn  n
d = 1−  
C
6.16
■■
Si el valor de desecho es cero (S = 0).
■■
Entonces, la tasa de depreciación anual es igual a la unidad (d = 1).
■■
Lo que indica que en el primer año de vida útil el activo se deprecia en su totalidad, lo cual es
muy difícil que ocurra, pero no imposible.
Terminología
Letra
Significado
Letra
Significado
C
Costo original del activo
d
Tasa de depreciación anual
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
d’
Tasa de inflación anual equivalente
VR
Valor de reemplazo
DA
Depreciación acumulada
Vk
Valor en libros en el año k
n
Vida útil en años
Vn
Valor en libros al final de la vida útil
j
Tasa de inflación
Problema resuelto
20.El administrador de una carpintería compra una camioneta para transportar los closets, puertas,
libreros y materia prima; esta tiene un valor de $450 000.00 de contado. Estimar su vida útil en
cinco años y al final un valor de salvamento de $20 000.00.
a) Encontrar la tasa de depreciación que debe aplicarse.
b) Elaborar el cuadro de depreciación correspondiente.
223
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
Solución
Datos
C = $450 000 Incógnita d
S = $20 000(Vn)
n = 5 años
 Vn 
a) d = 1 −  
C
1
n
1
 $20 000.00  5
= 1− 
= 0.4635
 $450 000.00 
d ≈ 46%
b) el cuadro de depreciación es:
Cuadro 6.22 Depreciación por el método de porcentaje fijo
Problema resuelto
21.El señor Montiel compró un camión de 24 asientos para el transporte de personal. El valor de contado es de $1 196 000.00. Se espera que tenga una vida útil de seis años y valor de salvamento de
$290 000.00. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.
Solución
Datos
C = $1 196 000
D = $290 000
n = 6 años
a) Calcular primero la tasa fija a aplicar:
 Vn 
d = 1−  
C
224
1
n
 290 000 
= 1− 
 1196 000 
d ≈ 21%
1
6
= 0.21033
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Cuadro 6.23 Depreciación por el método de porcentaje fijo
Mediante la función POTENCIA de EXCEL se calcula la tasa de depreciación:
= POTENCIA(valor a elevar, exponente)
Problema resuelto
22.Encontrar la depreciación anual de una batidora industrial con valor de $90 000.00, si se estima un
valor de desecho de $15 000.00 dentro de seis años. Encontrar la depreciación hasta el tercer año.
Solución
Datos
C = $ 90 000
S = $15 000
n = 6 años
k = 3 años
a) Encontrar la tasa de depreciación fija.
1
1
 15 000  6
 Vn 
d = 1−   n = 1− 
= 0.258163624
C
 90 000 
d ≈ 26%
b) Depreciación en el primer año:
D1 = Cd
D1 = Cd = 90 000(0.258163624)
D1 = $23 234.73
6.17
c) Valor en libros
V1 = C - D1
V1 = 66 765.27
6.18
d ) Depreciación en el segundo año:
D2 = V1d = 66 765.6(0.258163624)
D2 = $17 236.37
225
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
e) Valor en libros:
V2 = V1 - D2 = 66 765.60 - 17 236.37
V2 = $49 528.91
f ) Depreciación en el tercer año:
D3 = Cd = 49 529.39(0.258163624)
D3 = $12 786.56
g) Valor en libros:
V3 = V2 - D3 = (49 529.39) - (12 786.56)
V3 = $36 742.83
h)El problema se puede resolver de manera más rápida si se calcula primero el valor en libros al
final del tercer año y después la depreciación acumulada hasta el tercer año.
Vk = C(1 - d )k = 90 000(1 - 0.258163624)3 - (12 786.56)
Vk = $36 742.346 ≈ $36 742.35
i ) Depreciación acumulada al tercer año
DA = C - VK = 90 000 - 36 742.35
DA = $53 257.65
j ) En la hoja electrónica del cuadro 6.24 se muestra la solución del problema.
Cuadro 6.24 Depreciación del método de porcentaje fijo
6.6 Depreciación e inflación
Para evaluar la depreciación anual considerando la inflación en el método de porcentaje fijo se requiere calcular la diferencia entre las dos tasas, la de inflación y la de depreciación. Con base en este
cálculo es posible considerar tres casos:
1. Cuando la tasa de inflación j es mayor que la de depreciación d, el valor en libros crecerá al paso
de los años y el factor (1 - d ) será mayor de 1.
2. Si la tasa de inflación j es menor que la de depreciación d, el valor en libros decrecerá al paso de
los años y el factor (1 - d ) será menor de 1.
3. Cuando la tasa de inflación no se especifica en periodos de capitalización anuales, deberá encontrarse una tasa anual equivalente.
226
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
23.El arquitecto Juventino Andrade desea vender una revolvedora de cemento después de ocho
años de uso que le costó $1 500 000. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 0.6%
mensual, el arquitecto considera una tasa de depreciación de porcentaje fijo de 7% anual. Elaborar
el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.
Solución
Datos
C = $1 500 000
n = 8 años
j = 0.6 % mensual
d = 7% anual
a) Encontrar la tasa de inflación anual equivalente a 0.6% mensual:
j = (1 + 0.006)12 - 1
j = 1.1003 - 1
j = 0.074424167 anual
b) Realizar la diferencia entre las dos tasas, la inflación y la de depreciación:
d′ = j - d
d ′ = 0.074424167 - 0.07
d ′ ≈ 0.004424167 anual
6.19
c)Como la tasa de inflación j es mayor que la de depreciación d, el valor en libros crecerá con el
paso de los años (véase el cuadro 6.25) y el factor (1 - d ) será mayor de 1.
Cuadro 6.25 Depreciación del método de porcentaje fijo
Problema resuelto
24.La fundidora Cristal Contemporáneo desea vender un horno de fundición después de cinco años
de uso que le costó $1 250 000. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 8% anual.
El administrador considera una tasa de depreciación de porcentaje fijo de 12% anual. Elaborar el
cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.
227
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
Solución
Datos
C = $1 250 000
n = 5 años
j = 8% anual
d = 12% anual
a) Realizar la diferencia entre las dos tasas, inflación y depreciación:
d ′ = 0.12 - 0.08
d ′ = 0.04
b)Como la tasa de depreciación d es mayor que la de inflación j, el valor en libros reducirá al paso
de los años y el factor (1 - d ) será menor de 1, como puede observarse en el cuadro 6.26.
Cuadro 6.26 Depreciación del método de porcentaje fijo
Año
Depreciación anual
Depreciación anual
Valor en libros
0
1
2
3
4
5
6
7
8
$50 000.00
$48 000.00
$46 080.00
$44 236.80
$42 467.33
$40 768.63
$39 137.89
$37 572.37
$50 000.00
$98 000.00
$144 080.00
$188 316.80
$230 784.13
$271 552.76
$310 690.65
$348 263.03
$1 250 000.00
$1 200 000.00
$1 152 000.00
$1 105 920.00
$1 061 683.20
$1 019 215.87
$978 447.24
$939 309.35
$901 736.97
Problema resuelto
25.Encontrar el precio original de un refrigerador que se compró hace seis años, ya que el señor Juanito lo desea vender en $1 000. Él considera una tasa de depreciación de 7% anual y una tasa de
inflación de 1.2% por bimestre.
Solución
Datos
S = $ 1 000
n = 6 años
j = 1.2% bimestral
d = 7% anual
a) Encontrar la tasa de inflación anual equivalente al 1.2% bimestral:
j = (1 + 0.012)6 - 1
j = 1.074194872 - 1
j = 0.074194872 anual
b) Realizar la diferencia entre las dos tasas, la de inflación y la de depreciación:
d ′ = 0.074194872 - 0.07
d ′ = 0.004194872
c) La incógnita es el precio original C:
228
S
C =
S = C(1 - 0.004194872)-6
$1 000 = C(1 - 0.004194872)-6
(1 − d )− n
Grupo Editorial Patria©
C =
C =
1000
(1 − 0.004194872 ) −6
1000
1.025542941
C = $975.0932506 Costo de venta (original)
d )Como la tasa de inflación es mayor que la tasa de depreciación, el activo aumentó su valor de
venta por la tasa de inflación.
6.7 Método de la suma de dígitos o enteros
Con la suma de dígitos o enteros se consigue que el cargo por depreciación sea mayor en los primeros
años de la vida útil del activo fijo y después año con año disminuya. Se utiliza por las empresas para
depreciar contablemente su activo, aunque el método no es reconocido por la Secretaría de Hacienda
y Crédito Público.
Para calcular el cargo anual se debe multiplicar la base de depreciación del activo por una fracción
que se obtiene realizando los siguientes pasos:
1. Se encuentra la base de depreciación del activo
B=C-S
6.21
2. Se suman los dígitos del año 1 al año n de vida esperada del activo fijo.
s = k1 + k2 + k3 + ◊◊◊ + kn n = 1, 2, 3, ...
6.22
3. También se puede utilizar la fórmula:
s =
n ( n + 1)
6.23
2
en donde:
s = Factor a depreciar
4. Los dígitos enteros correspondientes a los años de vida útil del activo fijo se ordenan de mayor a
menor (años en orden invertido).
años en orden invertido = n, ..., k3, k2, k1 n = 1, 2, 3, ...
5. La depreciación para cada año se expresa por una fracción en donde el denominador es la suma(s)
de los dígitos enteros correspondientes a los años de vida útil estimada y en el numerador se tiene
al entero que corresponde, en el orden invertido, al año de la depreciación que se calcula.
Año
Fracción a depreciar en
el año correspondiente
n 3
2
=
n
s
1
k3
s
,
k2
s
,
k1
s
6. La fracción obtenida para depreciar se multiplica por la base de depreciación y así obtener el cargo anual (k) correspondiente.
 n − k + 1
Dk = 
 (C − S )
s


6.24
Terminología
Letra
Significado
Letra
Significado
C
Costo original del activo
DA
Depreciación acumulada
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
Dk
Depreciación por kilómetro, hora, etcétera
n
Vida útil en años
d
Tasa de depreciación anual
B
Base de depreciación del activo
Vk
Valor en libros en el año k
D
Depreciación anual
s
Suma de dígitos de la vida útil del activo fijo
229
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
Problema resuelto
26.Una empresa compra equipo de cómputo con valor de $120 000. La empresa estima la vida útil de
este activo en cinco años y un valor de desecho de $10 000. Elaborar un cuadro de depreciación
por el método de suma de dígitos.
Solución
Datos:
C = $120 000
S = $ 10 000
n = 5 años
1. Base de depreciación de activo:
B = C - S = 120 000 - 10 000
B = $110 000
2. Suma de dígitos:
n ( n + 1)
s =
s =
s = 15
6.23
2
5 ( 5 + 1)
2
3. Encontrar el denominador de la fracción a depreciar en el año correspondiente:
Año
1
2
3
4
5
Numerador
5
4
3
2
1
Fracción
5/15
4/15
3/15
2/15
1/15
4. Calcular el cargo anual para el primer año:
 n − k + 1
D1 = 
 (C − S )
s


 5
 5 − 1 + 1
D1 = 
(120 000 − 10 000 ) =   (110 000 )

 15 
 15 
D1 = $36 666.66
5. Elaboración del cuadro 6.27 para calcular los cinco años.
Cuadro 6.27 Método de la suma de dígitos o enteros
230
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
27.El administrador del hotel Del Fortín, en el estado de Puebla, compra colchones para sus cuartos con un costo de $2 950 000. Estima una vida útil de seis años y un valor de salvamento de
$350 000. Elaborar el cuadro de depreciación utilizando el método de la suma de dígitos.
Solución
Datos:
C = $2 950 000
S = $350 000
n = 6 años
1. Base de depreciación de activo:
B=C-S
B = $2 950 000 - $350 000
B = $2 600 000
2. Suma de dígitos:
6 ( 6 + 1)
n ( n + 1)
=
2
2
s =
s = 21
3. Encontrar el denominador de la fracción a depreciar en el año correspondiente:
Año
1
2
3
4
5
6
Numerador
6
5
4
3
2
1
Fracción
6/21
5/21
4/21
3/21
2/21
1/21
4. Calcular el cargo anual para el primer año:
 6
 n − k + 1
 6 − 1 + 1
D1 = 
 ( C − S ) =  21  ( 2 950 000 − 350 000 ) =  21 ( 2 600 000 )
s




D1 = $742 857.14
5. Elaboración del cuadro 6.28 de depreciación para la vida útil de este bien.
Cuadro 6.28 Método de la suma de dígitos o enteros
6.8 Método de unidades de producción o servicio
Al comprar un activo se espera buen servicio durante determinado tiempo (años, meses, días y horas)
o bien que produzcan un determinado número de kilómetros, kilogramos o unidades.
Se considera que se puede conocer la vida útil esperada del bien en función de estos parámetros.
Entonces, el activo puede depreciarse de acuerdo con las unidades de producción o de servicio que
231
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
genera durante determinado periodo. Con este método la depreciación, por lo regular, es diferente
para cada uno de los años de su vida útil.
El fabricante de un activo es quien determina la capacidad de producción o de horas de servicio.
Para conocer la depreciación del activo el analista se basa en la información histórica que tenga de
activos semejantes.
Terminología
Letra
Significado
Letra
Significado
C
Costo original del activo
DA
Depreciación acumulada
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
Dk
Depreciación por unidad de servicio (kilómetro, hora, etc.)
n
Vida útil en años
d
Tasa de depreciación anual
B
Base de depreciación del activo
Vk
Valor en libros en el año k
D
Depreciación anual
s
Suma de dígitos de la vida útil del activo fijo
Problema resuelto
28.Una compañía adquiere un automóvil con un costo de $340 000 y espera que la vida útil del automóvil sea de 80 000 kilómetros; el valor de desecho del automóvil será de $122 000. El kilometraje
recorrido por la unidad durante los tres primeros años es de:
Año
Kilómetros
1
40 000
2
48 000
3
42 000
Total
130 000
a) Encontrar la base de depreciación por kilómetro recorrido.
b) Construir el cuadro de depreciación.
Solución
Datos
C = $340 000
S = $122 000
T = 130 000 kilómetros
n = 3 años
a) Encontrar la base de depreciación por kilómetro recorrido
1. Determinar la base de depreciación:
B = C - S = 340 000 - 122 000
B = $218 000
2. Calcular la depreciación por kilómetro recorrido:
a)La base de depreciación se distribuye entre los kilómetros recorridos durante tres años
Dk =
Dk =
Dk = 1.68
232
B
T
218 000
130 000
La depreciación por kilómetro es de 1.68
6.25
Grupo Editorial Patria©
b) Construir el cuadro 6.29 sobre depreciación por unidad de producción o servicio.
Cuadro 6.29 Método de depreciación en unidades de servicio
Problema resuelto
29.El hotel Paraíso adquiere refrigeradores para los cuartos, con un costo de $171 400 y espera que
la vida útil sea de 30 000 horas y que tenga un valor de desecho de $30 000. El número de horas
de servicio de los refrigeradores durante los cuatro primeros años es de:
Año
1
2
3
4
Total
Horas de servicio
2 000
1 950
1 800
1 900
7 650
a) Encontrar la base de depreciación por hora de servicio.
b) Construir la tabla de depreciación.
Solución
Datos
C = $171 400
S = $30 000
T = 7 650 horas
n = 4 años
a) Encontrar la base de depreciación por hora de servicio
1. Determinar la base de depreciación:
B=C-S
B = 171 400 - 30 000
B = $141 400
2. Calcular la depreciación por hora de servicio:
a) La base de depreciación se distribuye entre las horas de servicio de cuatro años.
B
T
Dk =
Dhr =
Dhr = 18.48266
141 400
7 650
La depreciación por hora de servicio es de $18.48
233
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
b) Construir el cuadro sobre depreciación por hora de servicio.
Cuadro 6.30 Método de unidades de producción o servicio
6.9 Método del fondo de amortización
Este método considera los intereses que gana el fondo de reserva de depreciación y está determinado
por la suma del cargo anual por depreciación más los intereses ganados durante el periodo de referencia.
La aportación anual del fondo de reserva de depreciación se obtiene a partir de la fórmula de
renta de anualidad vencida.
R =
M (i )
(1 + i )n − 1
Equivalencia de la nomenclatura de la anualidad vencida y la depreciación.
Anualidad vencida
Depreciación
M
B
R
D
El monto es igual a la base de depreciación:
B=M
Porque el monto se acumula después de n años, a una tasa de interés i. Por otro lado, la renta es igual
a la depreciación anual.
D=R
El cargo anual o aportación a realizar al fondo se calcula con la fórmula siguiente:
D =
B (i )
(1 + i )n − 1
6.26
Problema resuelto
30.Un hotel de la ciudad de Cuernavaca compró equipo de aire acondicionado para sus oficinas con
valor de $987 000, estiman un tiempo de vida útil de cinco años, al cabo de los cuales el valor de
desecho será $196 500. Los cargos por depreciación anual se invierten en un fondo de reserva
de depreciación que paga un interés de 10% anual. Calcular:
a) La base de depreciación.
b) El cargo anual por depreciación.
c) Elaborar una tabla de depreciación.
234
Grupo Editorial Patria©
Solución
Datos
C = $987 000
S = $196 500
n = 5 años
T = 10% anual
a) La base de depreciación:
B=C-S
B = 987 000 - 196 500
B = $790 500
b) El cargo anual por depreciación:
B (i )
D =
D = $129 481.91
n
(1 + i ) − 1
=
( 790 500 ) ( 0.10 )
5
(1 + 0.10 ) − 1
=
79 050
1.61051 − 1
=
79 050
0.61051
La cantidad que se debe depositar en el fondo de reserva de depreciación al final de cada año
es de $129 481.91 para alcanzar el monto de $790 500 en cinco años.
c) Para elaborar el cuadro de depreciación se deben seguir los siguientes pasos.
1.La columna de interés ganado al final del año (columna E) se encuentra de la siguiente manera:
(Depreciación del año anterior) (Tasa de interés 0.10) + Interés ganado en ese segundo periodo
2. La columna de depreciación anual (columna F) en cualquier año se calcula:
Depósito realizado (columna D ) + Interés ganado (columna E) en ese año
3. La columna de depreciación acumulada (columna G) se obtiene:
Depreciación acumulada del año anterior (columna G) + depreciación anual (columna F) en ese año
Cuadro 6.31 Depreciación obtenida por el método del fondo de amortización
Problema resuelto
31.El hotel Playa Linda compró 1 000 toallas para alberca por un valor de $330 000. Con la experiencia
que tiene el administrador estima una vida útil promedio de seis años y ningún valor de desecho
(cero pesos). Se sabe que la tasa promedio de interés es de 8% anual. Construir un cuadro de depreciación utilizando el método de fondo de amortización.
235
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
Solución
Datos
C = $330 000
S = $ 0.00
n = 6 años
T = 8% anual
a) Véase el cuadro 6.32.
Cuadro 6.32 Depreciación por el método del fondo de amortización
Problema resuelto
32.El restaurante Camila compró mesas y sillas con valor de $470 690 y estima una vida útil para este
mobiliario de 10 años. Al cumplir estos años se espera venderlas en $40 000. Considerando una
tasa para depreciación de 14% anual, determinar:
a)
b)
c)
d)
La base de depreciación.
El cargo anual por depreciación.
La depreciación acumulada.
El valor en libros después de seis años de uso.
Solución
Datos
C = $470 690
S = $40 000
n = 10 años
T = 14% anual
i = 0.14
a) Base de depreciación:
B = C - S = 470 690 - 40 000
B = $430 690
b) El cargo anual por depreciación:
236
B (i )
D =
D =
D = $22 272.50
(1 + i )n − 1
(430 690) (0.14 )
(1 + 0.14)10 − 1
=
60 296.60
3.707221314 − 1
=
60 296.60
2.707221314
Grupo Editorial Patria©
c) La depreciación acumulada al sexto periodo.
 (1.14 )6 − 1
 2.194972624 − 1
 1.194972624 
D A = 22 272.50 
 = 22 272.50 
 = 22 272.50 
 = 22 272.50 ( 8.535518742 )
0.14
0.14
0.14






 (1.14 )6 − 1
 2.194972624 − 1
50 
 = 22 272.50

 = 22 272.50
0.14
0.14




 1.194972624 

 = 22 272.50 ( 8.535518742 )
0.14


DA = $190 107.34
d ) El valor en libros después de seis años de uso.
Valor en libros = costo - depreciación acumulada
Valor en libros = $470 690 - $190 107.34
Valor en libros = $280 582.66
e) Se pueden comprobar los resultados de los incisos anteriores en el cuadro 6.33.
Cuadro 6.33 Depreciación por el método del fondo de amortización
❚❚ Formulario
El saldo insoluto después del (k - 1)-ésimo pago, es el valor descontado de los n - (k - 1) = n - k + 1
pagos restantes.
 1 − (1 + i ) − ( n − k + 1 ) 
Saldo insoluto = R 

i


6.1
El interés pagado en el k-ésimo pago es:
I = R[1 - (1 + i )-(n - k + 1)]
6.2
A = R(1 + i )-(n - k + 1)
6.3
El k-ésimo pago de la amortización es:
Método prospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, será igual al valor
descontado de los n - k pagos que quedan por realizar.
 1 − (1 + i ) − n − k
P = R
i




6.4
Método retrospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, es igual al valor
acumulado de la deuda menos el valor acumulado de los k-ésimo pagos hechos hasta la fecha.
 (1 + i ) − k − 1 
P = A (1 + i )k − R 

i


Valor de la operación = Derechos del deudor + Derechos del acreedor
6.5
6.6
237
6
UNIDAD
Amortización y depreciación
Método de línea recta
Método del porcentaje fijo
Terminología
Terminología
Letra
Significado
Letra
C
Costo original del activo
C
Costo original del activo
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
VR
Valor de reemplazo
VR
Valor de reemplazo
Vk
Valor en libros en el año k
Vk
Valor en libros en el año k
VRE
Valor de reposición
Vn
Valor en libros al final de la vida útil
B
Base de depreciación del activo
D
Tasa de depreciación anual
D
Depreciación anual
d`
Tasa de inflación anual equivalente
DA
Depreciación acumulada
DA
Depreciación acumulada
N
Vida útil en años
N
Vida útil en años
D
Tasa de depreciación anual
j
Tasa de inflación
j
Tasa de inflación
■■
■■
C −S
B
D =
=
n
n
6.7
6.8
■■
6.9
■■
Base de depreciación del activo fijo
B
n
 (1 + j )n − 1
S = C (1 + j ) − D 

j


238
6.11
V1 = C - D1
6.18
Valor en libros
Depreciación e inflación
6.13
6.19
Precio original C
S
(1 − d ′ ) − n
Método de la suma de dígitos o enteros
Terminología
Letra
6.12
Valor de desecho o salvamento
n
6.17
C =
Valor de reposición
Vre = C(1 + j )n
D1 = Cd
6.10
DA = (depreciación)(vida útil en años)
6.16
Depreciación en el primer año
Depreciación acumulada
DA = (D )(n)
1
n
d′ = j - d
■■
6.15
Tasa de depreciación anual
Vida útil (en un año)
D =
■■
■■
Depreciación
D =
■■
■■
6.14
Valor en libros al final de la vida útil del activo fijo
 Vn 
d = 1−  
C
Valor de reemplazo
VR = DA + S
■■
■■
Vn = C(1 - d )n
VR = (depreciación acumulada) + (valor de desecho)
■■
Vk = C(1 - d )k
Base de depreciación
B=C-S
■■
Valor en libros
Depreciación para cada año
(Costo original) - (Valor de desecho)
Depreciación por año = ___________________________________
Vida útil en años
■■
Significado
Significado
C
Costo original del activo
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
n
Vida útil en años
B
Base de depreciación del activo
D
Depreciación anual
6.20
Grupo Editorial Patria©
DA
Depreciación acumulada
Dk
Depreciación por unidad de servicio
(kilómetro, hora, etc.)
d
■■
Método de unidades de producción o servicio
Terminología
Letra
Tasa de depreciación anual
Vk
Valor en libros en el año k
s
Suma de dígitos de la vida útil del activo
fijo
Depreciación del activo
B=C-S
6.21
s = k1 + k2 + k3 + ◊◊◊ + n n = 1, 2, 3, ...
s =
■■
n (n + 1)
2
6.23
■■
Significado
C
Costo original del activo
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
n
Vida útil en años
B
Base de depreciación del activo
D
Depreciación anual
DA
Depreciación acumulada
Dk
Depreciación por kilómetro, hora, etcétera
d
Tasa de depreciación anual
Vk
Valor en libros en el año k
T
Total de kilómetros horas , etcétera
La base de depreciación
Dk =
Base de depreciación para obtener el cargo anual
s =
n ( n + 1)
2
 n − k + 1
Dk = 
 (C − S )
s


6.23
B
T
6.25
Método del fondo de amortización
■■
El cargo anual o aportación a realizar al fondo
6.24
D =
Bi
(1 + i )n − 1
6.26
❚❚ Glosario
Acreedor. Persona o razón social a la que se debe pagar el dinero que nos han prestado.
Actividad financiera. Costumbre de pagar un rédito por el uso de dinero prestado.
Activo fijo. Son los bienes sujetos al desgaste.
Capital. En términos financieros, es una determinada cantidad de dinero que permite ganar más (dinero) en operaciones de préstamo, llamada esta última interés.
Cuentas de inversión. También conocidas como cuentas de ahorro. En estas cuentas las personas
pueden hacer depósitos y retiros del capital, en cualquier momento (con tan solo solicitarlo) y los
intereses son bajos.
Compra. Acción de adquirir algo a cambio de dinero. Conjunto de bienes y servicios adquiridos en el
acto de una compra.
Compra a crédito. Compra cuyo importe no es pagado en efectivo en el momento de la adquisición,
sino que la propia entidad vendedora o una tercera entidad concede crédito por la suma debida.
En bolsa es la adquisición de acciones financiada a través de créditos por una autoridad bursátil.
Compra a plazos. Contrato de compraventa en el cual el vendedor entrega el bien objeto de la
transacción en el momento en que esta se produce, y el comprador puede postergar sus pagos
a futuras cuotas o plazos, pudiendo efectuar uno de estos pagos en el momento de la compra.
Compra de contado. Compra cuyo importe es pagado en el momento de la adquisición.
Comprador. Persona que adquiere un bien o derecho producto de una operación de compraventa.
Compraventa. Contrato por el que uno de los contratantes (vendedor), se obliga a entregar una cosa
determinada y el otro (comprador) a pagar por ella un precio determinado. Negocio de objetos
que se revenden.
239
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
Contado. Procedimiento de cobro o pago que implica la entrega del bien o servicio con contrapartida
monetaria en ese mismo momento.
Contrato. Negocio jurídico bilateral por el que dos o más personas físicas o jurídicas se obligan mutuamente a dar, hacer o no hacer algo, surgiendo entre ellas una relación obligatoria.
Costo. Precio pagado o solicitado para la adquisición de bienes y servicios.
Costo de adquisición. Es el resultado de la suma del precio de compra de una mercancía más los
costos necesarios para poner dicha mercancía a disposición de la empresa (aranceles, impuestos,
seguros, transporte, recepción, instalación, etc.).
Crédito. Reputación, fama, prestigio que tiene una persona respecto al cumplimiento de sus obligaciones financieras.
Crédito a clientes. Cantidad que los clientes de una empresa le adeudan en función de los suministros que reciben.
Debe. Adeudar, estar en deuda con otra persona, estar obligado a cumplir una obligación o realizar
un pago.
Demora. Retraso en el cumplimiento de una obligación de pago de una deuda, desde el momento
en que esta venció.
Depreciación. Desgaste, pérdida de valor o deterioro que sufre un activo fijo por su uso, el paso del
tiempo o la aparición de activos más eficientes.
Depósito a plazo. Dinero depositado en una cuenta bancaria por una persona o razón social, su retiro
es en una fecha determinada, de común acuerdo por ambas partes.
Descuento. Disminución concedida por las empresas a sus clientes por diversas causas: por pronto
pago, por volumen de venta entre otros.
Descuento en precios. Reducción en el precio de venta de un producto o servicio por motivos muy
diversos: campañas de promoción, ferias, rebajas estacionales, fidelidad del comprador, liquidación de existencias.
Descuento financiero. Operación financiera realizada por las entidades de crédito, consistente en
abonar al prestatario el importe, con rebaja de intereses, de una letra de cambio u otro mercantil
antes de la fecha de su vencimiento.
Derecho. Facultad de hacer o exigir todo aquello que la ley establece a favor de cada uno.
Deuda. Obligación que se ha contraído con un tercero y que se ha de satisfacer. En general, es una
obligación de pagar cierta cantidad de dinero.
Deudor. Persona o razón social que solicita dinero prestado y se compromete a pagarlo posteriormente, extendiendo para ello un pagaré.
Dinero. Todo aquello aceptado como medio de pago o medición del valor. Las monedas y billetes de
circulación son la forma final adoptadas por las economías como dinero. Es la suma de moneda
circulante.
Dinero circulante. Dinero en efectivo, es decir, tesorería que la empresa en un momento determinado
tiene como consecuencia de su funcionamiento. Una gestión eficiente de tesorería que maximice
su rentabilidad evitando fondos ociosos, incrementará el valor de la empresa
Dinero de plástico. Tarjetas (de crédito, débito, de prepago, etc.) que se utilizan como medio de
pago sustituyendo el dinero.
Dinero en circulación. Suma de efectivo en manos del público compuesto de billetes y monedas metálicas de curso legal más los depósitos de todo tipo en el sistema bancario.
Empeñar. Entregar algo en prenda como garantía del pago de una deuda.
Factura. Documento o recibo entregado por el vendedor al comprador como prueba de que este ha
adquirido una mercancía determinada o recibo de un servicio a un precio dado, y que representa,
por lo tanto, el derecho de cobro a favor del vendedor. En la factura se especifican datos personales de ambos, las características de los productos, así como la fecha y el precio de compra.
240
Grupo Editorial Patria©
Moneda en circulación. Monedas constantes y sonantes (aleaciones de metales). A los billetes se les
llama papel moneda.
Operación. Registro de una entrada o salida de dinero de un depósito bancario.
Rédito. Renta de un capital.
Saldo. Diferencia existente en un momento dado entre el debe y el haber en una cuenta corriente.
Valor. Como el grado de utilidad proporcionada por un bien o servicio para la satisfacción de las
necesidades.
Valor amortizable. Valor de los elementos de activo fijo que se considera a la hora de determinar las
cuotas de amortización de que es necesario dotar a cada ejercicio económico y por lo general con
el costo de adquisición.
Valor contable. Valor que figura para un activo en los libros contables.
Valor de costo. Expresión que, de acuerdo al contexto en que se encuentre, se utiliza para indicar la
idea de costo de adquisición.
Valor de liquidación. Valor que se obtendría por un determinado activo de una empresa en el supuesto que este se vendiese.
Valor de reposición. Precio de mercado que habría que pagar para sustituir determinado bien por
otro de iguales características.
Vida útil. Estimación del tiempo lógico que se espera pueda estar en funcionamiento un elemento
inmovilizado tanto material como inmaterial.
Tiempo. Número de periodos (tiempo predeterminado) que dura el préstamo de un capital.
Problemas para resolver
UNIDAD
6.1 Sandra pide prestado la cantidad de $20 000.00, que
se van a amortizar mediante seis pagos mensuales vencidos,
si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente.
Encontrar de cuánto es el abono mensual.
6.2 El centro de lavado “Hernán”, realizó la compra de una
compresora para agua, la cual tiene un precio de contado
de $46 000.00. El administrador del negocio solo cuenta
con $18 000.00, esta cantidad le sirve para realizar el enganche del equipo y la diferencia pagarla a crédito, acordando
realizar cinco pagos mensuales, siendo la tasa de interés
24% anual capitalizable mensualmente.
a) Calcular el valor de la renta.
b) Construir una tabla de amortización.
c) ¿Cuánto pagó de intereses?
6.3 La costurera Juana Morales solicita un préstamo de
$17 000.00 al Banco Invex, ella lo va a pagar en seis mensualidades vencidas. Si la tasa de interés es de 26% capitalizable mensualmente. Encontrar de cuánto es el abono
mensual y construir una tabla de amortización.
6.4 El señor Abelardo Uscanga pide un préstamo $20 000
al Banco Nacional, él acuerda realizar pagos trimestrales,
Problemas aplicados a la realidad
6
duran­te dos años, a una tasa de 29% capitalizable mensualmente. Elaborar un cuadro de amortización.
6.5 El señor Ramón Valdez pidió prestado $18 000.00 al
Banco Invex a pagar en abonos mensuales iguales durante
cuatro años a una tasa de 9% capitalizable mensualmente.
Calcular el interés total a pagar por el señor Valdez.
6.6 El dueño de una planchadora está pagando un préstamo de $8 000.00 por la compra de dos planchadoras de
vapor, este se va amortizar con pagos mensuales iguales
durante dos años a una tasa de interés de 25% capitalizable mensualmente. Calcular el saldo insoluto después de
cinco meses.
6.7 Mirtha Hernández compra una camioneta con un costo
de $528 998.85; acuerda realizar seis pagos mensuales con
una tasa de interés de 12% anual, el primero de los pagos
se hace a fin de mes.
a) ¿Cuál es el valor de la renta?
b) Construir una tabla de amortización.
c) Indicar los derechos adquiridos por el deudor y el saldo
a favor del acreedor.
Problemas para resolver con tecnología
241
UNIDAD
6
Problemas para resolver
6.8 El dueño de una ferretería adquiere una deuda de
$95 000.00 por la compra de mercancía, la tasa de interés es
de 20% convertible semestralmente y se acordó liquidar en
seis pagos semestrales al final de cada semestre.
a) Calcular el valor de la renta.
b) Construir una tabla de amortización.
c) Indicar los derechos adquiridos por el deudor y el saldo
a favor del acreedor en el segundo mes.
6.9 El señor Gómez adquiere un departamento en condominio valuado en $1 600 000.00, por el cual paga un enganche de $400 000.00. El resto se financia con préstamo de
Banco Ixe a 20 años, con tasa de interés de 8.75% convertible mensualmente. Calcular:
a) El valor de los pagos mensuales.
b) El saldo insoluto al final de los ocho años.
6.10 La dueña de un restaurante compró mesas y sillas a
crédito para su negocio, el valor del mobiliario de contado
era de $89 500.00. Ella dio de enganche 15% del valor del
mobiliario y acordó realizar 36 abonos al final de cada mes,
la tasa de interés que cobra el Banco Inbursa es de 24% capitalizablemente mensualmente. ¿Qué proporción del saldo
habrá amortizado exactamente al realizar el décimo quinto
abono mensual?
6.11 Una pareja adquirió un condominio valuado en
$1 600 000.00 el 1 de marzo del año 2014, por el cual dieron
25% de enganche El resto se financia con crédito hipotecario de Banco HBC a 20 años, con tasa de interés de 8.75%
convertible mensualmente sobre el saldo, iniciando en el
mes de abril del mismo año. El préstamo se amortizará con
pagos al final de cada mes. Calcular:
a) El valor de los pagos mensuales.
b) ¿Cuánto de interés puede deducir al realizar su declaración anual de persona física del año pasado? El tiempo límite que tiene para realizar su declaración es el día
30 de abril del presente año.
6.12 Construir un cuadro de amortización que incluye el
cálculo del iva (16%) con un plan de financiamiento por dos
años para la compra de un automóvil Sedán.
Cuadro 6.34 Amortización con iva de un plan de
financiamiento por dos años para la compra de un auto
El precio de lista (incluye el iva)
$ 143 000.00
- $ 50 050.00
La inversión inicial mínima (enganche) 35%
Comisión por apertura de crédito
Pago que debe efectuarse al contado (incluye el iva)
+ $ 1 850.00
Seguro de cobertura amplia
Se debe pagar de contado por un año (incluye gastos de
expedición e iva) más un año gratis
+ $ 8 300.00
Tasa de interés fija 12% anual
Monto a financiar
$ 103 100.00
Otros gastos
242
Problemas aplicados a la realidad
Tenencia por un año, 3% sobre el valor del automóvil (sin
incluir el iva)*
$4 995.00
Placas**
$ 1 650.00
Gestoría
$ 850.00
Verificación (calcomanía doble cero)en el D.F.**
$ 385.00
* Cada estado de la República tiene un porcentaje diferente, en el D.F. y
en algunos de los estados no se cobra.
** Cada estado de la República tiene un costo diferente.
6.13 Una mueblería en el mes de julio ofrece una promoción de compre ahora y realice su primer pago el último día
de enero del año entrante y los siguientes seis pagos en los
meses subsecuentes con una tasa de interés de 24% capitalizable mensualmente. El señor Suárez compra una sala con
valor de $16 000.00 el último día de septiembre. Encontrar
el valor de cada uno de los pagos y construir un cuadro de
amortización.
6.14 El doctor Gabriel Urquiza compró una casa hace dos
años como regalo de bodas para cuando su única nieta decidiera casarse. El valor del inmueble era de $2 000 000.00
y $300 000.00 en gastos fijos (escrituración, avalúo, entre
otros). El doctor Urquiza dio de enganche 40% del valor de
la casa y el 60% restante, lo pagaría con un crédito hipotecario otorgado por banco Inbursa durante cinco años de plazo
contados desde el día de la compra en abonos mensuales
vencidos. El día de hoy su nieta le da la noticia que se va a
casar. El doctor Urquiza quiere saber en realidad cuánto le
está dando de regalo a su nieta con la casa. La tasa de interés que le cobran es de 10.5% anual capitalizable mensualmente. El valor del inmueble aumentó 0.5% mensual con la
inflación. Su nieta y su futuro esposo después de una larga
plática acordaron seguir pagando la casa durante los próximos tres años hasta liquidar el préstamo.
6.15 El arquitecto Zúñiga compró el 6 de enero de 2015
una computadora de $22 500.00; acuerda pagar mediante
nueve pagos mensuales, para los primeros cinco meses se
aplica una tasa de interés de 18% y en los últimos cuatro una
tasa de 24%, ambas con capitalización mensual y si además
debe amortizarse una novena parte de la deuda por pago.
¿Cómo serán sus pagos y la amortización de esta deuda?
Construir un cuadro de amortización que muestre los cambios en las tasas de interés considerando una amortización
constante.
6.16 La señora Julia Jiménez compra un refrigerador de
$11 499.00 más iva, la señora Jiménez acuerda realizar seis
pagos mensuales en udi con una tasa de interés de 21%
anual capitalizable cada mes. El primero de los pagos se
hace al final del mes, si en el momento en que se celebra
la operación el valor de las udi es de $4.971272 y se estima
una inflación mensual de 0.48% calcule el pago mensual en
pesos. ¿Cuál es el valor de la renta (el pago mensual)?
6.17 La dueña de un molino de nixtamal obtiene un préstamo de $1 250 000.00, el cual debe liquidar en una sola
exhibición dentro de cinco años. Por lo que decide realizar
reservas anuales iguales con el objetivo de pagar la deuda
Problemas para resolver con tecnología
Grupo Editorial Patria©
a su vencimiento mediante un fondo de inversión bancario
con 9% de interés anual.
en $3 500.00. Ella considera una tasa de depreciación de 6%
anual y una tasa de inflación de 1.1% por bimestre.
6.18 El psicólogo Diego Tovar debe pagar dentro de seis
meses la cantidad de $980 500.00, por la compra de un local
comercial y para tener el dinero en la fecha de liquidación
decide realizar depósitos mensuales en una cuenta de inversión que paga 12% anual capitalizable mensualmente. ¿De
cuánto deben ser los depósitos en su cuenta de inversión?
Construir un cuadro que muestre la forma en la que se acumula el fondo.
6.24 La empresa de fertilizantes compra equipo de cómpu­
to con valor de $190 000.00. La empresa estima la vida
útil de este activo en cinco años y un valor de desecho de
$15 000.00. Elaborar un cuadro de depreciación por el método de suma de dígitos.
6.19 ¿Cuántos depósitos debe realizar la doctora Valeria
Escalona si desea comprar de contado una cama de exploración de $13 800.00 para su consultorio? Para lograr esta
compra, la doctora Escalona deposita al principio de cada
mes en la cuenta de inversión la cantidad de $665.74; si el
banco paga una tasa de interés de 9% convertible quincenalmente, ¿cuántos depósitos deberá hacer para poder realizar la compra de la cama de exploración?
6.20 La fábrica Plásticos de México, S.A., compra equipo
por valor de $150 000.00. El administrador espera que la
vida útil del equipo sea de 12 años con un valor de desecho
de $10 000.00.
6.25 El dueño de un balneario, en el estado de Morelos,
compra una caldera para calentar el agua de las albercas
que tiene un costo de $3 700 000.00. Estima una vida útil de
seis años y un valor de salvamento de $750 000.00. Elaborar
el cuadro de depreciación utilizando el método de la suma
de dígitos.
6.26 Una consultoría de contadores adquiere una camioneta de carga con un costo de $480 000.00 y espera que la
vida útil del automóvil sea de 150 000 kilómetros, el valor de
desecho del automóvil será de $122 000.00. El kilometraje
recorrido por la unidad durante los tres primeros años es de:
a) Encontrar la base de depreciación.
b) Calcular la depreciación anual.
c) Valor de reemplazo.
Kilómetros
1
50 000
2
58 000
3
52 000
Total
160 000
a) Encontrar la base de depreciación por kilómetro recorrido.
d ) Construir el cuadro de depreciación.
b) Construir el cuadro de depreciación.
e) Construir una gráfica de tiempo contra valor en libros.
f ) Construir una gráfica de tiempo contra depreciación
acumula­da.
6.21 El ingeniero Andrés Martínez desea vender una góndola de carga después de ocho años de uso que le costó
$2 600 000.00. La inflación promedio durante este tiempo
ha sido de 0.8% mensual, el ingeniero considera una tasa
de depreciación de porcentaje fijo de 10% anual. Elaborar
el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.
6.22 La Distribuidora Vidrio Sacro desea vender mobiliario
después de cinco años de uso que le costó $250 000.00.
La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 7%
anual. El administrador considera una tasa de depreciación
de porcentaje fijo de 13% anual. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.
6.23 Encontrar el precio original de un comedor que se compró hace 10 años; la hija de la señora Gema lo desea vender
Problemas aplicados a la realidad
Año
6.27 La Universidad Autónoma de Tonalá compró equipo de aire acondicionado para sus oficinas con valor de
$798 400.00, estiman un tiempo de vida útil de cinco años,
al cabo de los cuales el valor de desecho será $180 000.00.
Los cargos por depreciación anual se invierten en un fondo de reserva de depreciación que paga un interés de 8%
anual. Calcular:
a) La base de depreciación.
b) El cargo anual por depreciación.
c) Elaborar una tabla de depreciación.
6.28 Un gimnasio compró 30 colchones, para sus salas de
gimnasia con valor de $680 000.00. Con la experiencia que
tiene el área de mantenimiento se estima una vida útil promedio de ocho años y ningún valor de desecho (cero pesos).
Se sabe que la tasa promedio de interés es de 10% anual.
Construir un cuadro de depreciación utilizando el método
de fondo de amortización.
Problemas para resolver con tecnología
243
UNIDAD
6
Amortización y depreciación
PROBLEMAS RETO
1
El contador Quintero compró un librero para su consultoría con valor de $6 000.00 y acuerda
con la mueblería realizar seis pagos mensuales iguales vencidos.
a) Encontrar el abono mensual si la tasa de interés es de 33% capitalizable mensualmente.
b) Construir el cuadro de amortización.
2
La fábrica Textil Tacoma, S.A., adquirió un telar y estima que su vida útil sea de cinco años. El
ingeniero de producción propone al administrador crear un fondo de amortización con el objetivo de reemplazar el equipo al final de los cinco años. Los depósitos se realizarían al final
de cada año, con interés de 9.6% anual. Se estima que el costo del telar dentro de cinco años
sea de $1 442 740.00. Calcular el valor del depósito y construir el cuadro de capitalización.
3
La maestra Carmen Márquez compró un departamento para rentarlo; el inmueble está valuado en $530 000.00 y pagó $159 000.00 de enganche. Cuando la maestra compró al issste
el departamento este le otorgó un crédito hipotecario por 20 años para pagar su saldo. El
interés es de 18% capitalizable cada mes.
a) ¿Cuál es el valor del pago mensual?
b) Elaborar el cuadro de amortización para los primeros ocho meses.
4
La escuela secundaria número 22 Enrique O. Aragón, en el Distrito Federal, compró una
esterilizadora con valor de $3 100.00, que se pagará de la manera siguiente: cuatro pagos
quincenales iguales y $1 000.00 que se entregarán junto con el último pago. La tasa de interés es de 10% anual capitalizable quincenalmente.
a) Calcular el pago quincenal.
b) Construir una tabla de amortización.
5
244
La panadería La Viga compra un horno para pan con un precio de lista de $90 000, el cual
debe amortizarse mediante seis pagos bimestrales vencidos. Los tres primeros pagos son
de $15 000.00 cada uno, el cuarto y quinto pagos son de $20 000.00 cada uno. Utilizando
el cuadro de amortización encontrar el valor del último pago, si la tasa pactada es de 4.5%
capitalizable bimestralmente.
UNIDAD
7
Análisis de proyectos
de inversión
OBJETIVOS
Conocer, entender y aplicar la metodología empleada en el ámbito financiero para realizar
el análisis de un proyecto de inversión.
Determinar mediante el análisis de los flujos de efectivo de un proyecto su viabilidad
financiera.
Seleccionar de un conjunto de proyectos de inversión, aquel que represente la mejor
opción para el inversionista.
Aplicar los conocimientos en matemáticas financieras sobre el cálculo del valor presente
en la metodología denominada Valor Actual Neto (van).
Aplicar el método del costo de capital (tir) para calcular el valor presente de un proyecto
de inversión.
Aplicar las herramientas básicas de matemáticas financieras en el análisis de los
proyectos de inversión para determinar su viabilidad y con ello tomar una decisión
adecuada de inversión.
¿QUÉ SABES?
¿Sabes qué significa el término proyecto de inversión?
¿Qué entiendes por un flujo de efectivo?
¿Cuándo se presenta la viabilidad financiera de un proyecto?
¿Cuál es el valor actual de $100 000 que me darán dentro de cinco años, si la tasa de
interés actual en el mercado es de 5.5%?
UNIDAD
7
Análisis de proyectos de inversión
¿Qué es el valor presente de una inversión (van)?
¿Qué entiendes por costo de capital?
¿Cómo se calcula el van de un proyecto?
7.1 Introducción
Los proyectos de inversión se inician con la idea de aumentar la riqueza de un inversionista o el accionista de una empresa, mediante la elaboración de un producto o servicio nuevo o la mejora de un producto o servicio existente. Los proyectos de inversión se analizan como una secuencia de decisiones,
que empiezan con el concepto original (la idea nueva o su mejora), la recolección de la información
apropiada para estimar los costos y beneficios obtenidos al realizar el proyecto, así como el diseño de
una estrategia óptima para establecerlo formalmente a lo largo del tiempo. (Bodie y Merton, 2003)
Un proyecto de inversión
■■
Debe analizarse siempre como una secuencia de decisiones.
Brojt (2007) indica que las principales actividades que un analista debe realizar al evaluar un proyecto,
independientemente de su complejidad, son las siguientes.
■■
Definir los objetivos del proyecto
■■
Definir los alcances y supuestos
■■
Definir la propuesta de cambio (modelo conceptual)
■■
Metodología
■■
Organigrama
■■
Cronograma
■■
Identificación de riesgos
■■
Justificación económica (análisis de la inversión)
■■
Acciones para su rápida implementación
Con base en estas ideas, podemos decir que el análisis de un proyecto de inversión no es más que un
estudio económico que permite definir, para un inversionista o accionista, si su riqueza aumentará al
valorar en el presente, si los flujos de efectivo positivos (ingresos, utilidades) superarán el valor presente de los flujos negativos o desembolsos (inversión inicial, gastos o costos) durante la vida del proyecto
en el que ha pensado invertir (figura 7.1).
+Ingresos
del proyecto
1
- Inversión
inicial
2
3
- Gastos o costos
del proyecto
4
Periodos
de vida del
proyecto
Figura 7.1
En la figura 7.1, por convención para los gráficos de tiempo de flujo de efectivo en este capítulo, las
flechas hacia arriba (vectores positivos) indican entradas de recursos económicos producto de la inversión realizada (ingresos por venta del producto o servicio del proyecto, intereses, utilidades, etcétera),
246
Grupo Editorial Patria©
y las flechas hacia abajo (vectores negativos) indicarán los desembolsos (inversión inicial, gastos, costos
o nuevas inversiones) del proyecto en los distintos periodos de su vida. Pero también pueden ser iguales a cero, cuando en un periodo no se presentan ni ingresos ni egresos. En estos gráficos, los flujos
de efectivo se registran al final del año o del periodo en que se realizan, a menos que se indique lo
contrario. Como se observa, un proyecto genera un flujo de efectivo (entradas y salidas de efectivo) el
cual primero debe ser estimado y luego evaluado económicamente; esto para indicar al inversionista,
si es conveniente invertir su dinero en el proyecto.
En el gráfico de flujo de efectivo
■■
Una entrada de recursos económicos se expresa con una flecha hacia arriba.
■■
Una salida de recursos económicos se expresa con una flecha hacia
abajo.
Por ejemplo, suponga que una compañía que quiere producir un nuevo detergente para el mercado
mexicano, piensa colocar en una de sus plantas una nueva línea de producción. Los inversionistas en el
proyecto deben aportar 500 000 dólares para llevar a cabo este nuevo producto al mercado. Las preguntas, de los inversionistas, serían: ¿este nuevo producto tiene en México un mercado suficiente?, ¿es
la inversión realizada recuperable?, ¿qué utilidad genera esta inversión?, ¿invierto o no mi dinero en el
proyecto? Es, precisamente un análisis del proyecto lo que le permite al inversionista tomar una decisión.
7.2 Metodologías de evaluación de inversiones
Existen en la literatura diversas metodologías para evaluar financieramente los flujos de efectivo que se
producen al realizar un proyecto. El manual para la preparación de estudios de viabilidad industrial de
las Naciones Unidas (1978) propone como criterios de rentabilidad comercial, los siguientes.
■■
El cálculo del valor neto actual (valor presente neto)
■■
La tasa interna de rendimiento (tir)
■■
El periodo de reembolso
■■
La tasa sencilla de rendimiento
■■
Análisis de umbral de rentabilidad
■■
Análisis de sensibilidad
Por otro lado, el Centro de Desarrollo de la Organización para la Cooperación Económica y el Desarrollo (1974), con sede en París, propone lo siguiente.
■■
El criterio del beneficio actualizado (valor presente neto)
■■
La tasa media (o interna) de rentabilidad (tir)
■■
El periodo de recuperación
■■
Los criterios de rentabilidad derivados del análisis contable
Todos estos métodos tienen como objetivo para un empresario, inversionista o accionista de una empresa mostrar el rendimiento financiero del capital invertido; es decir, las utilidades que se logran al realizar
una inversión en un proyecto específico. En otras palabras, el análisis de proyectos, o de la rentabilidad
de proyectos, consistirá en determinar la relación entre las utilidades obtenidas y el capital invertido.
Para el Centro de Desarrollo de la Organización para la Cooperación Económica y el Desarrollo los criterios de evaluación de un proyecto más usados
son los siguientes.
■■
El criterio del beneficio actualizado (valor presente neto)
■■
La tasa media (o interna) de rentabilidad (tir)
247
UNIDAD
7
Análisis de proyectos de inversión
Como ya indicamos, todos los cálculos financieros en estos métodos se fundamentan en los precios de
mercado previstos para los insumos y productos. Asimismo, estos se hacen ex ante “antes del suceso”
(por definición), siempre al final de cada año (o periodo de evaluación) y de preferencia para toda la
duración del proyecto.
Dos de estos métodos son los más utilizados en la actualidad dentro del ambiente empresarial en
México. El cálculo del valor neto actual, valor presente neto o valor actual neto y el método de la tasa
interna de rendimiento, también conocido como tir.
7.3 Método del valor actual neto (van)
Alerta
El valor actual neto (Net
Present Value, npv) de
un proyecto es el monto
al que se espera que
aumente la riqueza de los
inversionistas al realizar
sus inversiones en el
proyecto.
El valor actual neto (Net Present Value, npv) de un proyecto es el monto al que se espera que aumente
la riqueza de los inversionistas al realizar sus inversiones en el proyecto.
El van de un proyecto se define como el valor obtenido actualizado, separado para cada año (o
periodo de vida del proyecto), la diferencia entre todas las entradas (ingresos) y salidas (egresos) de
efectivos que se suceden durante la vida de un proyecto a una tasa de interés fija predeterminada.
Esta diferencia se actualiza hasta el momento en que se supone se iniciará la ejecución del proyecto.
(NU, 1978)
Si consideramos a las entradas o ingresos del proyecto como Ij, para toda j que se producen del
periodo 1 a n; y a Ej, como los egresos o salidas que se producen del periodo 1 al n; así como a In I
como la inversión inicial del proyecto, dada una tasa de interés fija i previamente establecida. Entonces, matemáticamente el van puede expresarse como sigue:
VAN
= − In I +
( I1 − E 1 )
(1 + i )1
+
( I2 − E 2 )
(1 + i )2
+
( I3 − E 3 )
(1 + i )3
++
( In − E n )
(1 + i )n
O bien
VAN
=
n
(Ij − E j )
j =1
(1 + i ) j
∑
− In I
En la figura 7.2 se indica el procedimiento de actualización (dada una tasa de interés fija i ) al periodo
cero (0), o periodo en donde inicia la inversión en el proyecto (In I ), de todos los ingresos (entradas)
y egresos (salidas) de efectivo que produce el proyecto durante sus “n” periodos de vida. En dicho
periodo (cero) obtenemos precisamente el van del proyecto.
I2
I1
van
0
1
E1
I3
2
E2
In
3
E3
n
En
In I
Figura 7.2
En este método de análisis, la tasa de actualización (o nivel de rechazo) debe ser igual a la de interés
actual sobre préstamos a largo plazo en el mercado de capitales o a la de interés pagada por el prestatario. Esta tasa de actualización debe reflejar el costo de oportunidad de capital, es decir, el posible
rendimiento de la misma cantidad de capital invertida en otro proyecto. Expresado de otra manera,
esta sería una tasa de rendimiento mínima por debajo de la cual el empresario o inversionista considera
que no le conviene invertir en el proyecto.
248
Grupo Editorial Patria©
Una vez que calculamos el van de un proyecto, debemos decidir si se invierte en él o no. Si el van es
positivo, la rentabilidad de la inversión está por sobre la tasa de actualización o rechazo; si es cero, la
rentabilidad será igual a la tasa de rechazo. Por tanto, un proyecto con un van positivo o cero puede
considerarse aceptable. Si el van es negativo, la rentabilidad estará por debajo de la tasa de rechazo,
por lo que ese proyecto debe descartarse.
Por otro lado, si el inversionista o empresario debe escoger entre diversas alternativas o proyectos, deberá optar por aquel proyecto o alternativa que genere mayor van.
Una de las grandes deficiencias de este método es la dificultad para seleccionar una tasa de
actualización apropiada. Por otro lado, tampoco permite conocer la tasa de rentabilidad exacta del
proyecto.
1. Una compañía ubicada en la zona industrial de Guadalajara desea ampliar su capacidad instalada
para los próximos seis años. Por ello contrata una consultora para que realice el análisis de la inversión. Los datos proporcionados a la compañía consultora son los siguientes.
■■
El departamento de ingeniería ha establecido que la capacidad instalada máxima es de 120 000
unidades, las cuales podrán obtenerse de acuerdo con el siguiente programa de producción
en la nueva línea como:
65% de la capacidad para los años 1 y 2
75% de la capacidad para los años 3 y 4
88% de la capacidad para los años 5 y 6
■■
El precio actual de venta del producto es de $26. Este precio crece con el tiempo por efectos
de la inflación 7% anual.
■■
El costo del equipo y las nuevas instalaciones representan una inversión de $7 500 000. El equipo y las instalaciones deben depreciarse linealmente.
■■
El costo de la mano de obra es de $120 000 anuales para el primer año. Este costo se incrementa anualmente 8%.
■■
El costo de mantenimiento del equipo es de $25 000 durante los dos primeros años y de
$30 000 los últimos cuatro.
■■
Los costos administrativos de esta nueva línea ascienden a $100 000 anuales el primer año y
se incrementan 8% anual.
■■
La tasa impositiva para esta empresa es de 34%.
Mediante el método de van, la compañía consultora evaluará el proyecto, considerando que la tasa de
rendimiento del mercado es de 15%.
Solución:
Primero se estima la oferta del producto considerando las condiciones establecidas por el departamento de ingeniería para los próximos seis años.
Estimación de producción
Año
1
2
3
4
5
6
Capacidad (porcentaje)
0.65
0.65
0.75
0.75
0.88
0.88
Producción (unidades)
78 000
78 000
90 000
90 000
105 600
105 600
Estimación de ventas
Precio (precio/unidad)
26
27.82
29.77
31.85
34.08
36.47
Ingresos ($)
2 028 000
2 169 960
2 679 066
2 866 601
3 598 922
3 850 846
249
UNIDAD
7
Análisis de proyectos de inversión
Se calculan los costos asociados al proyecto y se elabora un flujo de caja del mismo. En el flujo de
caja se determinan los ingresos y egresos que se producen en cada periodo (año): Ij - Ej. Con ello se
obtiene el flujo de caja neto que debe actualizarse (llevarse al periodo 0) para obtener el van buscado.
Flujo de caja del proyecto
Periodos
Concepto
0
1
2
3
4
5
6
2 028 000
2 169 960
2 679 066
2 866 601
3 598 922
3 850 846
1 495 000
1 512 600
1 536 608
1 557 137
1 579 308
1 603 252
120 000
129 600
139 968
151 165
163 259
176 319
INGRESOS
Por ventas
EGRESOS
7 500 000
Inversión inicial
7 500 000
Mano de obra
Mantenimiento
25 000
25 000
30 000
30 000
30 000
30 000
Costos administrativos
100 000
108 000
116 640
125 971
136 049
146 933
Depreciación
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 250 000
-7 500 000
533 000
657 360
1 142 458
1 309 464
2 019 614
2 247 594
-Impuestos
Flujo de fondos antes de impuestos
-181 220
-223 502
-388 436
-445 218
-686 669
-764 182
+Depreciación
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 601 780
1 683 858
2 004 022
2 114 246
2 582 945
2 733 412
FLUJO DE CAJA NETO
-7 500 000
VALOR ACTUAL NETO
158 504
VAN
= − 7 500 000 +
+
(
( 1 601 780 )
1
( 1 + 0 . 15 )
)
5
(2 582
+ . 945
)
1
0 15
+
+
(
6
(2 +
)
733. 412
1
0 15
( 1 683 858 )
(1 + .
)
(
2
) + 0 15
=1
(
)
3
+
(2 004. 022
)
1 + 0 15
)
4
+
(2 114. 246
5)
1 + 0 15
158 504
En Excel, el cálculo del van se realiza en la hoja empleando la siguiente función:
= Inversión Inicial + VNA(tasa de descuento, flujo de caja neto del proyecto)
En el ejemplo, la inversión inicial se ubicó en la celda (C30) y el flujo de caja neto del proyecto de las celdas (D30 a I30), por lo que el cálculo estaría definido en la celda (C32) como: = C30+VNA(0.15,D30:I30).
Dado que la rentabilidad de la inversión, para este ejemplo, está por encima de la tasa de actualización o rechazo (15%), se genera un van positivo, la empresa deberá invertir en el proyecto.
2. Una empresa, establecida en la ciudad de Monterrey, fabrica herramientas y desea aumentar su
producción. Para ello tiene dos alternativas. Puede duplicar su capacidad instalada con equipo
semiautomático o bien comprar equipo automático moderno.
El departamento de ingeniería de la empresa ha estudiado el problema y prefiere comprar el equipo
automático. El gerente de finanzas, al revisar los datos, ha encontrado que los costos de inversión se
duplican si se adquiere el equipo automático. Esto es fundamental dado el nivel de endeudamiento
de la empresa.
250
Grupo Editorial Patria©
Las dos alternativas de inversión tienen las siguientes características de costos.
Concepto
Equipo automático
Equipo semiautomático
Inversión ($)
2 000 000
1 000 000
Costo anual de operación ($)
200 000
410 000
Vida útil (años)
6
6
Depreciación ($)
333 333
166 667
Costo total anual ($)
533 333
576 667
Producción anual (unidades)
10 000
10 000
Costo unitario ($/uni )
53.33
57.66
El estado de Nuevo León no aplica tasa impositiva a estas nuevas inversiones y allí la inflación es considerada como cero.
Finanzas evalúa ambas alternativas con una tasa de descuento de 10% anual y considera que ambos equipos tienen un valor nulo de salvamento.
Solución:
Primero construimos un flujo de caja para cada alternativa de inversión. Posteriormente calculamos su
van.
Flujo de caja del equipo automático
Periodos
Concepto
0
1
2
3
4
5
6
INGRESOS
0
0
0
0
0
0
EGRESOS
533 333.00
533 333.00
533 333.00
533 333.00
533 333.00
533 333.00
Costos de operación
200 000
200 000
200 000
200 000
200 000
200 000
Depreciación
333 333
333 333
333 333
333 333
333 333
333 333
-533 333
-533 333
-533 333
-533 333
-533 333
-533 333
0
0
0
0
0
0
333 333
333 333
333 333
333 333
333 333
333 333
-200 000
-200 000
-200 000
-200 000
-200 000
-200 000
-2 000 000
Inversión inicial
Flujo de fondos antes de impuestos
-2 000 000
-Impuestos
+Depreciación
FLUJO DE CAJA NETO
-2 000 000
VALOR ACTUAL NETO
-2 871 052
VAN
= − 2 000 000 +
+
( − 200 000 )
( − 200 000 )
(1 + 0.10 )5
1
(1 + 0.10 )
+
+
( − 200 000 )
(1 + 0.10 )
( − 200 000 )
(1 + 0.10 )6
2
+
( − 200 000 )
(1 + 0.10 )
3
+
( − 200 000 )
(1 + 0.10 )4
= − 2 871 052
251
UNIDAD
7
Análisis de proyectos de inversión
En Excel:
=C29+VNA(0.1,D29:I29)
Flujo de caja del equipo semiautomático
Periodos
Concepto
0
1
2
3
4
5
6
INGRESOS
0
0
0
0
0
0
EGRESOS
576 667.00
576 667.00
576 667.00
576 667.00
576 667.00
576 667.00
Costos de operación
410 000
410 000
410 000
410 000
410 000
410 000
Depreciación
166 667
166 667
166 667
166 667
166 667
166 667
-576 667
-576 667
-576 667
-576 667
-576 667
-576 667
0
0
0
0
0
0
166 667
166 667
166 667
166 667
166 667
166 667
-410 000
-410 000
-410 000
-410 000
-410 000
-410 000
-1 000 000
Inversión inicial
Flujo de fondos antes de impuestos
-1 000 000
- Impuestos
+ Depreciación
FLUJO DE CAJA NETO
-2 785 657
VALOR ACTUAL NETO
-2 871 052
VAN
= − 2 000 000 +
+
( − 410 000 )
( − 410 000 )
(1 + 0.10 )
5
(1 + 0.10 )1
+
+
( − 410 000 )
( − 410 000 )
(1 + 0.10 )6
(1 + 0.10 )2
+
( − 410 000 )
(1 + 0.10 )3
+
( − 410 000 )
(1 + 0.10 )4
= − 2 785 656
En Excel:
=C49+VNA(0.1,D49:I49)
Como puede observarse, dado que no se reportan ingresos para estas alternativas, el análisis debe
realizarse mediante los costos que presentan. El equipo automático representa un mayor costo en valor actual (-$2 871 052) que el semiautomático (-$2 785 656); por lo que, con base en esto, la dirección
de la empresa debe seleccionar la inversión correspondiente al equipo semiautomático. Al seleccionar
esta inversión se obtiene un ahorro en costos de $85 396.
7.4 Método de la tasa interna de rendimiento (tir)
o costo de capital
Alerta
La tir es la tasa de
actualización a la cual el
valor actual de los ingresos
de efectivo es igual al valor
actual de las salidas de
efectivo de un proyecto.
252
El costo de capital es la tasa de descuento i ajustada al riesgo que se usa para calcular el valor presente
neto de un proyecto. En general, la forma de manejar la incertidumbre de los fondos de efectivo futuros es usar una tasa de descuento mayor a la que existe en el mercado. (Bodie y Merton, 2003:172)
La tasa de descuento (i ) o tasa interna de rendimiento (tir) es, como ya indicamos, la tasa de actualización a la cual el valor actual de los ingresos en efectivo es igual al valor actual de las salidas en
efectivo de un proyecto. Es decir, es la tasa a la cual el valor actual de lo producido por el proyecto es
igual que el valor actual de la inversión, esto es, el valor actual neto del proyecto es cero.
En este método se puede emplear el mismo cuadro de flujo de fondos que se emplea en el método del valor actual neto, pero en vez de actualizar los flujos o corrientes de liquidez a una tasa de
Grupo Editorial Patria©
descuento (rechazo) predeterminada, se pueden probar varias tasas de actualización, hasta que se
encuentre la que tenga como van cero. Esta tasa será la tir y representará la rentabilidad exacta del
proyecto. (NU, 1978:190)
Matemáticamente, la tir es la tasa de descuento (i ) que permite un van = 0.
0 = − In I +
( I1 − E 1 )
1
(1 + i )
+
( I2 − E 2 )
(1 + i )
2
+
( I3 − E 3 )
(1 + i )
3
++
( In − E n )
(1 + i )n
Es decir,
In I =
( I1 − E 1 )
1
(1 + i )
+
( I2 − E 2 )
(1 + i )
2
+
( I3 − E 3 )
(1 + i )
3
++
( In − E n )
(1 + i )n
o bien,
In I =
n
(Ij − E j )
j =1
(1 + i ) j
∑
Donde:
In I: es la inversión inicial del proyecto
Ij: son las entradas o ingresos que produce el proyecto en el periodo j (j = 1, 2, 3, ..., n)
Ej: son las salidas o egresos que produce el proyecto en el periodo j (j = 1, 2, 3, …, n)
i: tasa de descuento ajustada al riesgo.
El procedimiento de cálculo de la tir se inicia con la construcción de un cuadro de flujo de fondos
del proyecto. Se usa una tasa de actualización estimada para obtener un primer van. Si es positivo, se
aplicará una tasa de actualización mayor. Si es negativo, la tir se encontrará entre estas dos tasas. En
el caso de que la tasa de actualización mayor todavía dé un van positivo, se debe aumentar la tasa de
actualización hasta que el van pase a ser negativo. (NU, 1978:190-191)
Si los van positivos y negativos se acercan a cero, debe emplearse la siguiente fórmula de interpolación lineal:
TIR
= i1 +
VP ( i 2 − i1 )
VP + VN
Donde:
VP: es el van positivo a la tasa de actualización baja de i1
VN: es el van negativo a la tasa de actualización alta de i2
3. Con los datos del ejemplo 1 determine la tasa interna de rendimiento de ese proyecto.
Flujo de caja del proyecto
Periodos
Concepto
1
2
3
4
5
6
INGRESOS
0
0
0
0
0
0
0
Por ventas
2 028 000
2 169 960
2 679 066
2 866 601
3 598 922
3 850 846
1 495 000
1 512 600
1 536 608
1 557 137
1 579 308
1 603 252
Mano de obra
120 000
129 600
139 968
151 165
163 259
176 319
Mantenimiento
25 000
25 000
30 000
30 000
30 000
30 000
EGRESOS
7 500 000
Inversión inicial
7 500 000
Costos administrativos
100 000
108 000
116 640
125 971
136 049
146 933
Depreciación
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 250 000
253
UNIDAD
7
Análisis de proyectos de inversión
-7 500 000
Flujo de fondos antes de impuestos
533 000
657 360
1 142 458
1 309 464
2 019 614
2 247 594
-Impuestos
-181 220
-223 502
-388 436
-445 218
-686 669
-764 182
+Depreciación
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 250 000
1 601 780
1 683 858
2 004 022
2 114 246
2 582 945
2 733 412
FLUJO DE CAJA NETO
-7 500 000
VALOR ACTUAL NETO
158 504
Debemos buscar una tasa de descuento que produzca un van = 0.
7 500 000 =
(1 601 780 )
1
(1 + i )
+
(1 683 858 )
+
(1 + i )
( 2 582 945 )
(1 + i )
+
( 2 004 022 )
(1 + i )
3
+
( 2 114 246 )
(1 + i )4
( 2 733 412 )
+
5
2
(1 + i )6
Para una i1 de 15% el van es: 158 504
Para una i2 de 16% el van es: -64 521
La tir por lo tanto debe estar entre 15 y 16%. Interpolando:
TIR
TIR
= 0.15 +
= i1 +
VP ( i 2 − i1 )
VP + VN
158 504 ( 0.16 − 0.15 )
= 0.157107
158 504 + 64 521
Es decir, la tir para este proyecto es de: 15.7107%.
Por otro lado, el cálculo en Excel se efectúa mediante la siguiente función:
=TIR(flujo de caja neto)
En el ejemplo, el flujo de caja neto se ubica de las celdas C30 a I30, por lo que la función se define
como:
=TIR(C30:I30)
TIR = 15.705982%
La diferencia en los cálculos se debe a que Excel, por lo general, usa 15 decimales para realizar los
cálculos.
La rentabilidad exacta de este proyecto es de 15.705982%.
4. Con los datos del ejemplo 2 determine las tir de las opciones de inversión.
■■
Equipo automático
2 000 000 =
1
(1 + i )
+
+
( − 200 000 )
(1 + i )5
( − 200 000 )
(1 + i )
+
tir
En Excel:1 =TIR(C29:I29)
2
+
( − 200 000 )
(1 + i )6
= -12.8949%
1
254
( − 200 000 )
El valor de la inversión inicial debe tener signo positivo.
( − 200 000 )
(1 + i )
3
+
( − 200 000 )
(1 + i )4
Grupo Editorial Patria©
■■
Equipo semiautomático
1 000 000 =
( − 410 000 )
1
(1 + i )
+
tir
+
( − 410 000 )
(1 + i )5
( − 410 000 )
(1 + i )
+
2
+
( − 410 000 )
(1 + i )
3
+
( − 410 000 )
(1 + i )4
( − 410 000 )
(1 + i )6
= 33.8798%
En Excel:2 =TIR(C49:I49)
Puesto que el equipo semiautomático genera una tasa de rendimiento positiva, esta será la alternativa
en donde debemos invertir.
7.5 Análisis de inversiones con van y tir
El uso de ambos métodos al analizar un proyecto de inversión se mostrará mediante el siguiente
ejemplo.
Un proyecto es viable si su van es positivo y si su
interés ofrecida en el mercado.
tir
es mayor a la tasa de
Una compañía en México que vende cremas corporales para humectar la piel quiere reemplazar un
producto Lubripiel por un nuevo producto Superhumectante. La producción de Lubripiel cesará de todas formas al final del año, esto debido a que las condiciones de mercado han cambiado. En el nuevo
producto, la compañía ha gastado $65 000 en investigación y desarrollo, por lo que se espera iniciar
la producción dentro de un año.
Las estimaciones de Superhumectante para los próximos años son: 5 000 unidades anuales en los
primeros tres años y 4 000 unidades anuales en los últimos dos años de este proyecto.
Los departamentos de ingeniería y mercadotecnia han estimado los siguientes ingresos y costos
unitarios, a precios corrientes de hoy.
Superhumectante
Precio de venta unitario ($)
35.00
Costo unitario ($)
■■
Mantenimiento
1.20
Materia prima
8.00
Mano de obra
6.00
Depreciación
10.00
Otros costos
9.00
Costo total unitario
34.20
Utilidad/unidad
0.80
Mano de obra
Cada unidad de producto requiere de dos horas de trabajo a un costo de $3 por hora.
La empresa tiene seis operarios que trabajan en la actualidad en la línea de producción de Lubripiel. Si se decide no producir el nuevo humectante, todos los trabajadores deberán ser liquidados con
base en lo establecido en la ley. Pero si se decide producir Superhumectante, tres de estos empleados
deberán ser liquidados al final del tercer año. El costo de liquidación es el equivalente a 1 000 horas
de trabajo.
2
El valor de la inversión inicial debe tener signo positivo.
255
UNIDAD
7
Análisis de proyectos de inversión
■■
Inversión inicial
El equipo e instalaciones necesarias para producir el nuevo humectante requieren de una inversión de
$200 000. La vida útil de esta línea de producción es de cinco años y no tiene valor de salvamento. Su
mantenimiento es anual, y solo el primer año cuesta $6 000; pero este costo crece anualmente con la
inflación. El modelo de depreciación empleado por la empresa es la depreciación lineal.
■■
Los costos variables por unidad son de $4.00 y los costos administrativos fijos $5.00 por unidad.
Los costos laborales se estima crecerán a 10%. Todos los otros costos e ingresos crecerán de acuerdo
con una tasa estimada promedio de inflación de 5%.
La tasa impositiva al ingreso neto es de 40%, una vez deducida la depreciación, y debe ser pagada
en el año que se causa.
La compañía tiene acceso a fondos a 10% anual nominal.
Si suponemos que todos los flujos ocurridos en cada año se producen al final del año respectivo,
estime el Valor Actual Neto del proyecto bajo los supuestos enunciados y determine cuál es el costo
de capital del proyecto.
Solución:3
Primeramente, se estiman los ingresos esperados a partir del primer año de producción.
Ingresos
0
1
2
3
4
5
Precio/unidad
35
36.75
38.59
40.52
42.54
44.67
5 000
5 000
5 000
4 000
4 000
183 750.00
192 937.50
202 584.38
170 170.88
178 679.42
Venta esperada
Unidades
$
Si se inicia la producción del nuevo humectante el primer año se tiene un ahorro de $19 800, debido a
que no se liquidarán seis empleados.
Se estiman los costos de producción anuales.
EGRESOS
0
1
2
3
4
5
8.00
8.40
8.82
9.26
9.72
10.21
42 000.00
44 100.00
46 305.00
38 896.20
40 841.01
6.60
7.26
7.99
8.78
9.66
33 000.00
36 300.00
39 930.00
35 138.40
38 652.24
Costos ($)
Materia prima
Materia prima para producción
Mano de obra
6.00
Mano de obra para producción
Liquidación de personal
10 418.63
Mantenimiento
6 000.00
6 300.00
6 615.00
6 945.75
7 293.04
4.20
4.41
4.63
4.86
5.11
21 000.00
22 050.00
23 152.50
19 448.10
20 420.51
5.25
5.51
5.79
6.08
6.38
Costo administrativo para producción
26 250.00
27 562.50
28 940.63
24 310.13
25 525.63
Depreciación
40 000.00
40 000.00
40 000.00
40 000.00
40 000.00
Costo variable/u
4.00
Costo variable/u para producción
Costo administrativo/u
5.00
Los cálculos de este problema se efectuaron en una hoja electrónica de cálculo. En los flujos de caja solo se
reportan dos decimales, por lo que los resultados finales pueden variar.
3
256
Grupo Editorial Patria©
Se elabora el flujo de caja del proyecto.
Flujo de caja del proyecto
Periodos
Concepto
0
1
2
3
4
5
INGRESOS
203 550.00
192 937.50
202 584.38
170 170.88
178 679.42
Ventas
183 750.00
192 937.50
202 584.38
170 170.88
178 679.42
Ahorro por no liquidación
19 800.00
162 250.00
170 012.50
188 746.75
157 792.83
165 439.39
Materia prima para producción
42 000.00
44 100.00
46 305.00
38 896.20
40 841.01
Mano de obra para producción
33 000.00
36 300.00
39 930.00
35 138.40
38 652.24
EGRESOS
200 000.00
Inversión
200 000.00
Liquidación de personal
10 418.63
Costo variable/u para producción
21 000.00
22 050.00
23 152.50
19 448.10
20 420.51
Costo administrativo para producción
26 250.00
27 562.50
28 940.63
24 310.13
25 525.63
Depreciación
40 000.00
40 000.00
40 000.00
40 000.00
40 000.00
41 300.00
22 925.00
13 837.63
12 378.05
13 240.03
-Impuestos
-16 520.00
-9 170.00
-5 535.05
-4 951.22
-5 296.01
+Depreciación
40 000.00
40 000.00
40 000.00
40 000.00
40 000.00
64 780.00
53 755.00
48 302.58
47 426.83
47 944.02
-200 000.00
Flujo de fondos antes de impuestos
FLUJO DE CAJA NETO
-200 000.00
VALOR ACTUAL NETO
1 769.60
El van del proyecto es:
VAN
= − 200 000 +
( 64 780.00 )
1
+
( 53 755.00 )
(1 + 0.10 )
(1 + 0.10 )
( 47 944.02 )
+
= 1 769.60
(1 + 0.10 )5
2
+
( 48 302.58 )
(1 + 0.10 )
3
+
( 47 426.83 )
(1 + 0.10 )4
En Excel el cálculo del van es: =C67+VNA(0.10,D67:H67)
van
= 1 769.60
La tir del proyecto se calcula mediante el siguiente procedimiento.
Primero, buscamos una tasa de descuento que produzca un van = 0.
200 000 =
( 64 780.00 )
1
+
+
(1 + i )
( 47 944.02 )
( 53 755.00 )
(1 + i )
2
+
( 48 302.58 )
(1 + i )
3
+
( 47 426.83 )
(1 + i )4
(1 + i )5
Para una i1 de 10% el van es: 1 769.60
Para una i2 de 11% el van es: -2 998.49
257
UNIDAD
7
Análisis de proyectos de inversión
La tir por tanto debe estar entre 10 y 11%. Interpolando:
TIR
TIR
= 0 . 10 +
= i1 +
VP ( i 2 − i1 )
VP + VN
1 760 . 60 ( 0 . 11 − 0 . 10 )
1 760 . 60 + 2 998 . 49
=0
0 . 10371134
Es decir, la tir para este proyecto es de: 10.371134%
Con la función para calcular la tir en Excel obtenemos: 10.366496%
El proyecto de producir el nuevo Superhumectante genera un van positivo, lo que indica que debe
realizarse. Por otro lado, el costo de capital del proyecto es de: 10.366496%. Este costo de capital o
tasa de rendimiento del proyecto es superior a la tasa de interés de los fondos que se ofrecen en el
mercado; otra razón más para invertir en el proyecto.
Problema resuelto
1.A un inversionista le han propuesto iniciar un restaurante. La inversión inicial es de $140 000.00. Una
estimación de los ingresos anuales ($) para los próximos cinco años son: $24 500.00, $31 000.00,
$40 000.00, $43 000.00 y $55 000.00. Los costos de operación anual del restaurante se estiman
en: $11 000.00, $12 500.00, $15 000.00, $17, 000.00 y $20 000. También se cree que el restaurante podría traspasarse a los cinco años en $75 000.00. El inversionista tiene acceso a fondos en el
mercado a una tasa de 6%. ¿Debe realizar esta inversión?
Solución
Flujo de caja del proyecto
Años
1
2
3
4
5
Ingresos
0
24 500.00
31 000.00
40 000.00
43 000.00
130 000.00
Ventas
24 500.00
31 000.00
40 000.00
43 000.00
55 000.00
11 000.00
12 500.00
15 000.00
17 000.00
20 000.00
11 000.00
12 500.00
15 000.00
17 000.00
20 000.00
13 500.00
18 500.00
25 000.00
26 000.00
110 000.00
Valor de salvamento
75 000.00
Egresos
140 000.00
Inversión inicial
140 000.00
Costos de operación
FLUJO DE CAJA NETO
-140 000.00
van =
12 984.10
tir =
8%
Debe invertir, ya que tiene un van positivo y una tasa de rendimiento de 8% superior a la del mercado.
Problema resuelto
2.Una compañía desea comprar un robot industrial para su línea de producción. El robot cuesta
$950 000.00. Se estima que su vida útil sea de seis años. Los tres primeros producirá 12 000 uni­
dades y los últimos tres 14 000. Se pacta un costo de mantenimiento fijo de $22 500.00. Los
costos de operación anuales estimados son prácticamente los mismos durante la vida útil
de la máquina y ascienden a $60 000.00. Los impuestos que causa esta empresa son de 35%.
La depreciación es lineal y se considera que el robot tiene un valor de salvamento de $65
500.00. La gerencia de finanzas considera que el precio unitario de venta del producto en el mercado centroamericano sería de $27.50 por unidad. Por otro lado, la empresa tiene acceso a fondos
de financiamiento de 10%. ¿Debe realizarse la inversión?
258
Grupo Editorial Patria©
Solución
Flujo de caja del proyecto
Años
0
1
2
3
4
5
6
Ingresos
330 000.00
330 000.00
330 000.00
385 000.00
385 000.00
450 500.00
Ventas ($)
330 000.00
330 000.00
330 000.00
385 000.00
385 000.00
385 000.00
Ventas (unidades)
12 000
12 000
12 000
14 000
14 000
14 000
Precio unitario
27.50
27.50
27.50
27.50
27.50
27.50
Valor de salvamento
65 500.00
Egresos
950 000.00
Inversión inicial
950 000.00
240 833.33
240 833.33
240 833.33
240 833.33
240 833.33
240 833.33
Costos de operación
60 000.00
60 000.00
60 000.00
60 000.00
60 000.00
60 000.00
Mantenimiento
22 500.00
22 500.00
22 500.00
22 500.00
22 500.00
22 500.00
Depreciación
158 333.33
158 333.33
158 333.33
158 333.33
158 333.33
158 333.33
Flujo de fondos antes de impuestos
-950 000.00
-Impuestos
+Depreciación
-950 000.00
FLUJO DE CAJA NETO
van =
82 834.68
tir =
12.77%
89 166.67
89 166.67
89 166.67
144 166.67
144 166.67
209 666.67
-31 208.33
-31 208.33
-31 208.33
-50 458.33
-50 458.33
-73 383.33
158 333.33
158 333.33
158 333.33
158 333.33
158 333.33
158 333.33
216 291.67
216 291.67
216 291.67
252 041.67
252 041.67
294 616.67
Problema resuelto
3.Un microempresario desea comprar una tienda de barrio en Morelia, México. La tienda opera
actualmente con ingresos anuales de $150 000.00. Los gastos de operación actuales son de
$75 000.00. Los ingresos y gastos crecen con la inflación a 5% anual. La inversión inicial es
de $555 950.00 y estima que puede traspasar nuevamente el negocio a los siete años en
$250 000.00. En el mercado de capitales del estado los financiamientos se obtienen con tasas de
interés de 12% anual. ¿Debe el microempresario invertir en la tienda?
Solución
Flujo de caja del proyecto
Años
INGRESOS
0
1
2
3
4
5
6
7
150 000
157 500
165 375
173 644
182 326
191 442
201 014
211 065
Valor de traspaso
250 000
EGRESOS
75 000
Inversión
555 950
FLUJO DE CAJA NETO
-480 950
van =
41 073.94
tir =
14%
78 750
82 688
86 822
91 163
95 721
100 507
105 533
78 750
82 688
86 822
91 163
95 721
100 507
355 533
259
UNIDAD
7
Análisis de proyectos de inversión
Problema resuelto
4.Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja es:
Flujo de caja neto
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1 250 000
50 500
123 250
165 320
235 400
285 450
290 500
235 000
210 000
El financiamiento en el mercado es de 10%. ¿Debe realizarse la inversión?
Solución
No. van = -257 462.3. tir
= 4.93%, menor a la que se obtiene en el mercado.
Problema resuelto
5.Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja es:
Flujo de caja neto
0
1
2
3
4
5
6
-125 000.00
12 500.00
17 500.00
24 500.00
34 300.00
48 020.00
67 228.00
La tasa de financiamiento en el mercado es de 8%. ¿Debe realizarse la inversión?
Solución
Sí. van = $21 284.57 tir
= 12.14%, superior a la tasa de financiamiento del mercado.
Problema resuelto
6.
Una compañía analiza la inversión en una nueva línea de producción, cuyo costo asciende a
$3 500 000.00. El costo de capital en el mercado es de 8%. Los flujos de efectivo para los próximos
siete años son los siguientes (en miles de pesos): 500, 800, 500, 600, 920, 800 y 400. ¿Debe la compañía invertir?
Solución
No. van = -$149 563.45 260
tir
= 6.76%.
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
7.Una pequeña compañía en el sur de Estados Unidos puede adquirirse por 30 000 dólares estadounidenses. Los ingresos anuales para los próximos seis años se estiman en 6 000 dólares y los
gastos anuales en 2 000. Se espera que se pueda revender en 15 000 dólares dentro de seis años.
La tasa de interés en los bancos es de 5%. ¿Cuál es el valor actual y cuál la de rendimiento de esta
inversión?
Solución
van
= 1 496 dólares tir
= 6.20%
Problema resuelto
8.Si la compañía del problema anterior se adquiere con 15 000 dólares de inversión inicial y 15 000
dólares el primer año de operación. ¿Cuál es el valor actual y cuál la tasa de rendimiento de esta
inversión?
Solución
van
= 2 210.28 dólares tir
= 7.04%
Lea, estudie y analice el capítulo 12: “El proyecto de carreteras de cuota TRIBASA”, del libro: Finner­
ty D. John (1998), Financiamiento de Proyectos. Técnicas Modernas de Ingeniería Económica (pp.
236:255), Prentice Hall, México. En él se muestra de manera práctica todo el análisis de un proyecto de
inversión en carreteras de cuota realizado por la empresa TRIBASA en México.
261
UNIDAD
7
Problemas para resolver
7.1 A un inversionista le han propuesto iniciar un negocio. La inversión inicial es de $180 000.00. Una estimación
de los ingresos anuales ($) para los próximos cinco años
son: $48 500.00, $60 000.00, $80 000.00, $86 000.00 y
$110 000.00. Los costos de operación anual del proyecto se
estiman en: $22 500.00, $25 000.00, $30 000.00, $34 000.00
y $40 000.00. Se estima también que el negocio podría traspasarse a los cinco años en $75 000.00. El inversionista tiene
acceso a fondos en el mercado a una tasa de 7.5%. ¿Debe
realizar esta inversión?
$850 000.00. Se estima que su vida útil sea de seis años.
Los tres primeros producirá 12 500 unidades y los últimos
tres 15 000. Se pacta un costo de mantenimiento fijo de
$24 500.00. Los costos de operación anuales estimados son
prácticamente los mismos durante la vida útil de la línea y
ascienden a $50 000.00. Los impuestos que causa esta empresa son de 35%. La depreciación es lineal y se considera
que tiene un valor de salvamento de $75 500.00. La gerencia de finanzas considera que el precio unitario de venta del
producto en el mercado sería de $25.00 por unidad. Por otro
lado, la empresa tiene acceso a fondos de financiamiento de
10%. ¿Debe realizarse la inversión?
7.2 Una franquicia de helados requiere de una inversión inicial de $200 000.00. Los ingresos anuales ($) para los próximos cinco años son: $25 000.00, $35 000.00, $45 000.00,
$85 000.00 y $95 000.00. Los costos de operación anual del
proyecto se estiman en: $11 000.00, $12 500.00, $15 000.00,
$17 000.00 y $20 000. El inversionista tiene acceso a fondos
en el mercado a una tasa de 5.0%. ¿Debe realizar esta inversión?
7.4 Un microempresario desea comprar una tienda. La tienda opera actualmente con ingresos anuales de $160 000.00.
Los gastos de operación actuales son de $85 000.00. Los
ingresos y gastos crecen con la inflación a 5% anual. La inversión inicial es de $650 000.00 y estima que puede traspasar
el negocio a los siete años en $200 000.00. En el mercado de
capitales los financiamientos se obtienen con tasas de interés
de 9% anual. ¿Debe el microempresario invertir en la tienda?
7.3 Una compañía desea comprar una línea de producción
automatizada para el producto principal. La línea cuesta
7.5 Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja para ocho años es:
Flujo de caja neto
-650 000
50 500
123 250
125 320
135 400
185 450
190 500
195 000
200 000
El financiamiento en el mercado es de 7.5%. ¿Debe realizarse la inversión?
7.6 Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja es:
Flujo de caja neto
0
1
2
3
4
5
6
-50 000.00
8 000.00
9 000.00
9 500.00
10 000.00
12 000.00
15 000.00
El financiamiento en el mercado es de 4.5%. ¿Debe realizarse la inversión?
7.7 Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja es:
Flujo de caja neto
0
1
2
3
4
5
6
-75 300.00
15 400.00
15 000.00
13 250.00
11 750.00
10 420.00
10 000.00
El financiamiento en el mercado es de 8.5%. ¿Debe realizarse la inversión?
7.8 Una compañía analiza la inversión en una nueva planta
cuyo costo asciende a $4 500 000.00. El costo de capital en
el mercado es de 8%. Los flujos de efectivo para los próximos siete años son los siguientes (en miles de pesos): 600,
880, 890, 900, 990, 990 y 990. ¿Debe la compañía invertir?
7.9 Una compañía en el sur de Estados Unidos puede adquirirse por 300 000 dólares estadounidenses. Los ingresos
anuales para los próximos seis años se estiman en 60 000
dólares y los gastos anuales en 20 000. Se espera que se
pueda revender en 155 000 dólares dentro de seis años. La
tasa de interés en los bancos es de 4.0%. ¿Cuál es el valor
actual y cuál es la tasa de rendimiento de esta inversión?
262
Problemas aplicados a la realidad
7.10 Una compañía inglesa vende una filial en México por
65 000 libras. Los ingresos anuales para los próximos seis
años se estiman en 30 000 libras y los gastos anuales en
4 000 libras. Se espera que se pueda revender en 20 000
libras dentro de seis años. La tasa de interés en los bancos
es de 3.5%. ¿Cuál es el valor actual y cuál es la tasa de rendimiento de esta inversión?
7.11 Si la compañía del problema 7.10 se adquiere con
35 000 libras de inversión inicial y 30 000 libras de inversión
el primer año de operación. ¿Cuál es el valor actual y cuál
sería la tasa de rendimiento de esta inversión?
Problemas para resolver con tecnología
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PROBLEMAS RETO
1
A un inversionista le han propuesto iniciar un negocio. La inversión inicial es de $155 500.00.
Una estimación de los ingresos anuales ($) para los proximos seis años son: $24 550.00,
$31 200.00, $40 100.00, $43 050.00, $55 000.00 y $52 325.00. Los costos de operación anual
del negocio se estiman en: $11 000.00, $12 500.00, $15 000.00, $17 000.00 y $20 000.00
para los dos últimos años. Se estima también que este negocio podría traspasarse a los seis
años en $85 000.00. El inversionista tiene acceso a fondos en el mercado a una tasa de 6%.
¿Debe realizar esta inversión?
2
Un microempresario desea comprar una línea de producción de fabricación de telas en Tlaxcala, México. El taller opera actualmente con ingresos anuales de $1 500 000.00. Los gastos
de operación anuales son de $750 000.00. Los ingresos y gastos crecen con la inflación a 5%
anual. La inversión inicial es de $5 559 500.00 y estima que puede traspasar nuevamente el
taller a los siete años en $2 500 000.00. En el mercado de capitales del estado los financiamientos se obtienen con tasas de interés del 12% anual. ¿Debe el microempresario invertir
en el taller?
3
Una pequeña compañía en la ciudad de Toronto, Canadá puede adquirirse por 35 000 dólares canadienses. Los ingresos anuales para los próximos seis años se estiman en 6 250
dólares y los gastos anuales en 2 300. Se espera que se pueda revender en 15 500 dólares
canadienses dentro de seis años. La tasa promedio de interés en los bancos canadienses es
de 5%. ¿Cuál es el valor actual y cuál es la tasa de rendimiento de esta inversión?
4
Si la compañía canadiense del problema anterior se adquiere con 15 000 dólares de inversión inicial y 20 000 dólares el primer año de operación. ¿Cuál es el valor actual y cuál sería
la tasa de rendimiento de esta inversión?
263
UNIDAD
264
7
Análisis de proyectos de inversión
UNIDAD
8
Bonos y
obligaciones
OBJETIVOS
Conocer los bonos y obligaciones como principales mecanismos de financiamiento para
los grandes proyectos de inversión pública o privada.
Entender y operar las matemáticas financieras básicas relativas a los bonos, como fuente
de financiamiento de los grandes proyectos públicos.
Entender y operar las matemáticas financieras básicas relativas a las obligaciones, como
fuente de financiamiento de los grandes proyectos privados.
Conocer y operar las operaciones básicas relativas a los bonos de descuento puro.
Conocer y operar las operaciones básicas relativas a bonos con cupón, rendimiento actual
y rendimiento al vencimiento.
¿QUÉ SABES?
¿Recuerdas qué significa el término proyecto de inversión?
¿Para qué se usan los bonos y las obligaciones?
¿Quiénes pueden financiar los proyectos de inversión?
¿Qué es una obligación?
¿Qué es un bono?
¿Qué diferencia existe entre una obligación nominativa y una al portador?
¿Qué es una obligación fiduciaria?
UNIDAD
8
Bonos y obligaciones
¿Qué es una obligación hipotecaria?
¿Qué es una obligación prendaria?
Menciona dos elementos que constituyan el documento de un bono.
8.1 Introducción
Los proyectos de inversión de gran tamaño (carreteras, hospitales, grandes edificios de oficinas, puertos, refinerías, plantas de generación eléctrica, sistemas de transporte colectivo, grandes fábricas para
productos, etc.) requieren de gran cantidad de recursos económicos (dinero) para su realización. Y, a
diferencia del análisis de inversiones revisada en el capítulo anterior, en donde el proyecto es realizado
por un solo inversionista en la mayoría de los casos, en estos proyectos, un solo inversionista —ya sea
el gobierno o un inversionista privado— no cuenta, en muchas ocasiones, con los recursos suficientes
para realizar estas inversiones, lo que lo obliga a recurrir a diversas fuentes de financiamiento para
llevarlas a cabo. Por otro lado, los riesgos son tan grandes en estos proyectos, que no es prudente que
solo un inversionista principal arriesgue sus recursos económicos en ello.
Alerta
Los bonos y obligaciones
permiten distribuir los
riesgos operativos y
financieros entre los
diversos inversionistas
de un proyecto, sea este
público o privado.
Alerta
Las obligaciones son
instrumentos financieros
emitidos por una empresa
privada. Los bonos,
también son instrumentos
financieros, pero son
emitidos por una entidad
gubernamental.
Alerta
Los cupones son pagarés
que están impresos
en serie y unidos a la
misma obligación o bono,
indicándose en ellos la
fecha de su vencimiento.
266
El financiamiento de proyectos permite distribuir los riesgos operativos y financieros entre las diversas partes interesadas, esto lo hace de una manera más flexible que el financiamiento basado en el
crédito general de un solo patrocinador. (Finnerty, 1996:9)
En este sentido, la principal fuente de financiamiento para este tipo de proyectos, empleada por
los gobiernos, las grandes empresas o los grupos de inversionistas son los bonos y obligaciones. Estos
instrumentos financieros, son obligaciones financieras (títulos de crédito o certificados de deuda) o
promesas de pago a futuro de un préstamo que ha sido recibido por los inversionistas de estos proyectos. En estos documentos (bonos/obligaciones) se establece el monto a pagar, el plazo, la moneda
y la sucesión de pagos (intereses) que amortizarán el préstamo recibido para la inversión. Es decir, un
bono u obligación representa para el emisor la responsabilidad de pagar en el largo plazo el capital
prestado, en una fecha específica y además pagar intereses periódicos durante la vida del instrumento
hasta la fecha de su vencimiento.
Cuando el instrumento financiero es emitido por una empresa privada se le llama obligación;
mientras que al ser emitido por alguna entidad de gobierno recibe el nombre de bono. Sin embargo,
esta clasificación, no es estricta. Por lo que en muchas ocasiones en el ámbito financiero generalmente
se habla de obligaciones.
Las obligaciones se clasifican en nominativas y al portador. Las primeras son aquellas en las que se
especifica el nombre del propietario, mientras que las segundas no lo especifican; su propietario, es el
inversionista que las adquiere.
De acuerdo con el tipo de garantía que las respalda, las obligaciones se clasifican en: fiduciaria,
hipotecaria y prendaria.
La obligación fiduciaria es aquella que está constituida por un fideicomiso como garantía de pago.
La obligación hipotecaria es aquella que está garantizada por la hipoteca de algún bien propiedad
de la empresa emisora. Y la obligación prendaria es aquella que está garantizada por diversos bienes de
la empresa emisora.
Los bonos y las obligaciones vienen acompañados de cupones para el pago de los intereses a los
inversionistas. Los cupones son pagarés que están impresos en serie y unidos a la misma obligación o
bono, en ellos se indica la fecha de su vencimiento. Para cobrar el interés ganado en un determinado
periodo, el inversionista debe desprender el cupón correspondiente y presentarlo al banco. Algunas
obligaciones no pagan intereses periódicamente, carecen de cupones. En estos casos el interés generado se capitaliza y se paga al vencimiento de la obligación. También existen obligaciones que no
pagan ningún interés, ya que se venden en una cantidad muy inferior a su valor nominal; es decir, se
venden aplicando una tasa de descuento. Este tipo de obligaciones se llaman obligaciones o bonos
de descuento puro o bonos u obligaciones cupón cero.
Los bonos, como indicamos, son préstamos que solicita un gobierno a largo plazo. En el caso de
México, este préstamo al gobierno federal es mayor a un año. Entre algunos de estos bonos están:
bondes (bonos bancarios de desarrollo del gobierno federal), ajustabonos (bonos ajustables del gobierno federal), tesobonos (bonos de la tesorería de la federación, en dólares estadounidenses), Bonos
Bancarios (emitidos por las instituciones bancarias autorizadas en México).
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El documento que constituye un bono u obligación contiene los siguientes elementos.
■■
El nombre o razón social de la empresa emisora.
■■
El valor nominal o denominación. Que es el capital que recibe el emisor, salvo cuando el documento se coloca con descuento. Por lo general son valores múltiplos de $10.00 (100, 1 000,
10 000).
■■
La fecha de emisión. Aquella fecha en la que la empresa prestataria emite o coloca en el mercado de valores sus obligaciones o bonos.
■■
La fecha de redención o vencimiento. Aquella fecha en la que el organismo emisor se compromete a reintegrar a los inversionistas el capital prestado.
■■
La tasa de interés r. Es la tasa de interés que el emisor paga al inversionista en periodos regulares desde la emisión hasta la redención. Es una tasa de interés simple, ya que estos se liquidan
totalmente al final de cada periodo. Se expresa generalmente con la letra r.
■■
Las fechas de pago de los cupones. Son las fechas establecidas para el pago de intereses en
los cupones.
■■
El total de bonos emitidos.
■■
Nombre del propietario. Si el documento es nominativo.
■■
Cláusulas adicionales. Aquellas que permiten estipular determinadas condiciones para redimir
anticipadamente el título.
En cada cupón, a su vez, se definen los siguientes elementos.
■■
La cantidad por la que es canjeable (los intereses) con letra y número.
■■
La fecha en la que es cobrable y la emisión del bono u obligación a la cual corresponde.
■■
El nombre de la empresa emisora.
■■
El número de bono u obligación correspondiente.
■■
El número de cupón (seriado).
En estos documentos es importante distinguir que hay dos tasas de interés. La tasa de interés simple r,
que son los intereses periódicos que se le pagan al inversionista; y la tasa i, que corresponde al rendimiento o ganancia de capital que determina cuánto produce el propio bono u obligación por la inversión.
Entre algunos bonos emitidos por el gobierno federal en México están: los bondes
(bonos bancarios de desarrollo del gobierno federal), ajustabonos (bonos ajustables del
gobierno federal), y los tesobonos (bonos de la tesorería de la federación, en dólares
estadounidenses).
8.2 Bonos de descuento puro o bonos cupón cero
Como ya indicamos, estos bonos u obligaciones prometen un solo pago de efectivo en una cierta
fecha en el futuro, llamada fecha de vencimiento.
Los bonos cupón cero son los elementos básicos para la valuación de aquellos proyectos que
prometen una serie de flujos de efectivo conocidos. (Bodie y Merton, 2003:218)
El pago prometido de efectivo de este tipo de bono se conoce como su valor nominal o valor a
la par. El interés ganado por los inversionistas con estos bonos es la diferencia entre el precio pagado
por el bono y el valor nominal recibido en su fecha de vencimiento. Por ejemplo, un bono cupón cero
con valor nominal de $1 000 que vence dentro de un año y que tiene un precio de compra de $900,
genera un interés de $100 por la diferencia entre el valor nominal y el precio de compra.
Los bonos cupón cero son los elementos básicos para la valuación de aquellos proyectos que prometen una serie de flujos de efectivo conocidos. (Bodie y Merton,
2003:218)
267
UNIDAD
8
Bonos y obligaciones
El rendimiento (tasa de interés) del bono del ejemplo, es la tasa de rendimiento anualizada para los
inversionistas que lo compran y lo conservan hasta su vencimiento. En este caso el rendimiento de este
bono se calcula con:
Rendimiento bono cupón cero a un año =
Valor nominal − Precio de compra
Precio de compra
(100)
Para el ejemplo:
Rendimiento bono cupón cero a un año =
1 000 − 900
(100 ) = 11.11%
900
Sin embargo, si el bono tiene un vencimiento diferente a partir de un año, se deberá usar la fórmula
del valor presente para encontrar su rendimiento anualizado.
Supongamos un bono cupón cero (bono de descuento puro) a dos años con un valor nominal de
$1 000 y un precio de compra de $905. El rendimiento de este bono (i ) se calculará de la siguiente
manera.
M = 1 000 C = 905 n = 2
Valor Presente: C = M(1 + i )-n
(ecuación 3.4)
Despejando i, obtenemos:
M
i =n
−1
C
(8.1)
Sustituyendo los valores del problema obtenemos:
i =
2
1 000
− 1 = 0.05117 es decir, 5.12% de rendimiento
905
8.3 Bonos con cupón, rendimiento actual
y rendimiento al vencimiento
Un bono que tiene cupones, que paga intereses periódicos, obliga al emisor a realizar el pago de
intereses en los periodos indicados y su valor nominal a su vencimiento.
La tasa de cupón del bono es la tasa de interés simple aplicada al valor nominal para calcular los
pagos periódicos. Por ejemplo, un bono con valor nominal de $1 000 genera pagos anuales con una
tasa de cupón de 10% iguales a $100 para cada año (I = valor nominal × tasa de cupón). Si su vencimiento es a los cinco años, en el quinto año debe pagarse el cupón correspondiente ($100) y el valor
nominal del bono ($1 000).
Los bonos con cupón obligan al emisor a realizar el pago de intereses en los periodos
indicados y su valor nominal a su vencimiento.
Como puede observarse, el pago de cupón se fija en el momento de emisión del bono y permanece
constante hasta la fecha de vencimiento de este.
La relación entre precios y rendimientos de bonos con cupón es más complicada que la de los
bonos cupón cero.
❚❚ 8.3.1 Bonos a la par
Son aquellos con cupón cuyo precio de mercado es igual a su valor nominal. Cuando el precio de
mercado de un bono es igual a su valor nominal, su rendimiento es el mismo que la tasa de cupón.
Por ejemplo, considere un bono con cupón cuyo valor nominal es $100 y su vencimiento dentro de un
268
Grupo Editorial Patria©
año con una tasa de 10%. Este bono pagará a su tenedor $110 dentro de un año. Un pago de cupón
de $10 y el valor nominal de $100. Es decir, si el precio actual de nuestro bono con cupón de 10% es de
$100, su rendimiento será de 10%.
Un bono a la par es aquel bono cuyo precio de mercado es igual a su valor nominal.
El rendimiento actual (un año) se calcula con la siguiente relación:
Rendimiento bono a la par ( un año) =
Cupón
Precio de mercado
(8.2)
Para el ejemplo:
Rendimiento bono a la par ( un año) =
$10
= 0.10 o 10%
$100
Por lo general, el precio de un bono con cupón y su valor nominal no son iguales. Esta situación ocurriría, por ejemplo, si el nivel de tasa de interés de la economía disminuyera drásticamente después de
la emisión del bono.
Cuando el vencimiento de un bono con cupón es mayor que un año, el cálculo de su rendimiento es
más complejo, ya que tienen que involucrarse un cálculo de valor presente (capítulo 3) junto con un
cálculo de anualidades (capítulo 5).
❚❚ 8.3.2 Bonos con prima
Si un bono con cupón tiene un precio de compra en el mercado mayor que su valor nominal, su rendimiento al vencimiento es menor que su rendimiento actual, que a su vez es menor que la tasa de
cupón. A este tipo de bonos u obligaciones se les llama bono con prima.
Para un bono con prima se observa siempre que:
Rendimiento al vencimiento < Rendimiento actual < Tasa cupón
Problema resuelto
1.
Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 100. Su valor nominal es
de $1 000, con un cupón de 10% a dos años. ¿Cuál es su rendimiento?
Solución
Su rendimiento actual es de:
Rendimiento actual =
$100
= 9.09%
$1100
Sin embargo, el bono es a dos años, por lo que el rendimiento al vencimiento es la tasa de descuento
(tir) que hace que el valor presente de la serie de pagos sea igual al precio de compra del bono. En la
figura 8.1 se muestran las condiciones que presenta este bono.
$1 000
$100
1
$100
2 años
-$1 100
Precio de compra del bono = VP de los cupones + VP del valor nominal del bono
i=?
Figura 8.1
269
UNIDAD
8
Bonos y obligaciones
Precio de compra del bono =
n
cupón j
∑ (1 + i ) j
+
valor nominal del bono
(1 + i )n
j =1
Para j = 1, 2, 3, … n periodos de tiempo
Se busca la tasa de descuento i que cumple con:
1100 =
100
(1 + i )1
+
100
(1 + i )2
+
1000
(1 + i )2
i = 4.65%
En Excel el cálculo es:
años
0
1
2
del bono
-1 100
100
1 100
TIR =
4.65%
Flujo de fondos
La función en Excel es: =TIR(C4:E4)
El rendimiento real de este bono es de 4.65% menor que el proporcionado por el cupón (10%), por lo
que a estos bonos se les denomina bonos con prima.
❚❚ 8.3.3 Bonos de descuento
Son aquellos bonos con cupón que tienen un precio menor a la compra que su valor nominal. En este
tipo de bonos su rendimiento al vencimiento es mayor que su rendimiento actual, que a su vez es
mayor que la tasa de cupón.
Los bonos de descuento con cupón tienen un precio menor a la compra que su valor
nominal.
Para un bono de descuento se observa siempre lo siguiente.
Rendimiento al vencimiento > Rendimiento actual > Tasa cupón
Problema resuelto
2.
Un inversionista desea adquirir en el mercado un bono con cupón en $965. El bono tiene un valor nominal de $1 000 y vence en dos años con una tasa de cupón de 4% anual. ¿Cuál será su rendimiento?
Solución:
Su rendimiento actual es de:
Rendimiento actual =
270
$40
= 4.15%
$965
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Sin embargo, el bono es a dos años, por lo que el rendimiento al vencimiento es la tasa de descuento
(tir) que hace que el valor presente de la serie de pagos sea igual al precio de compra del bono. En la
figura 8.2 se muestran las condiciones que presenta este bono.
$1 000
$40
$40
1
2 años
$965
Precio de compra del bono = VP de los cupones + VP del valor nominal del bono
i=?
Figura 8.2
Precio de compra del bono =
n
cupón j
∑ (1 + i ) j
+
valor nominal del bono
(1 + i )n
1+ i
Para j = 1, 2, 3, ... n periodos de tiempo
Se busca la tasa de descuento i que cumple con:
40
965 =
i = 5.91%
1
(1 + i )
+
40
(1 + i )
2
+
1000
(1 + i )2
En Excel el cálculo es:
años
0
1
2
del bono
-965
40
1 040
TIR =
5.91%
Flujo de fondos
Si usamos las mismas celdas que las empleadas en el problema 8.1 obtenemos:
=TIR(C4:E4)
El rendimiento real de este bono es de 5.91% mayor que el proporcionado por el cupón (4%), por lo
que a estos bonos se les denomina bonos de descuento.
Problema resuelto
3.
A qué precio debe comprar un inversionista un bono con cupón, que tiene un valor nominal de
$1 000 y genera dividendos a 5% pagaderos semestralmente, redimible a la par en ocho años. La
tasa de rendimiento deseada por este inversionista para realizar esta operación es de 6% anual.
271
UNIDAD
8
Bonos y obligaciones
Solución:
La figura 8.3 muestra el flujo de fondos que generaría este bono.
$1 000
$25
$25
1
2
3
$25
4
Precio
=?
de compra
5
$25
6
7
i = 3%
16
semestres
Precio de compra del bono = VP de los cupones + VP del valor nominal del bono
Figura 8.3
Si el cupón se considera como una anualidad (R), la relación de cálculo es:
Precio de compra = ?
R = (1 000 × 0.025) = $25/semestre, M = $1 000, i = (6%/2) = 3% semestral
Con la ecuación (4.3) del valor actual de una anualidad del capítulo 4 y la ecuación (3.4) para el cálculo
del valor presente del capítulo 3 obtenemos:
 1 − (1 + i ) − n 
−n
Precio de compra = R 
 + M (1 + i )


i
 1 − (1 + 0.03 ) −16 
−16
Precio de compra = 25 
 + 1 000 (1 + 0.03 )
0.03


Precio de compra = 314.03 + 623.17 = $937.20
En Excel, la función que debemos usar es:
= VA (tasa, número de periodos, cupón (R), Valor nominal o de redención del bono)
= VA (0.03, 16, 25, 1 000)
Precio de compra = -937.19
El inversionista debe comprar el bono a $937.19 (tiene un descuento de $62.81). Dado que el precio de
compra es menor que el valor nominal, se trata de un bono de descuento. También puede observarse
que la tasa de rendimiento (6%) es mayor que la tasa cupón (5%).
Problema resuelto
4.
Un bono cupón cero (bono de descuento puro) a tres años con un valor nominal de $1 100, se
vende en el mercado en $910. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista?
Solución:
M = 1 100 C = 910 n = 3
Con la ecuación (8.1) obtenemos:
i =
272
3
1 100
− 1 = 0.065 es decir, el bono proporciona un rendimiento de 6.52%.
910
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Problema resuelto
5.
Un bono cupón cero a un año tiene un valor nominal de $2 000. Se vende en $1 850. ¿Qué rendimiento proporciona?
Solución:
Rendimiento bono cupón cero a un año =
Valor nominal − Precio de compra
Rendimiento bono cupón cero a un año =
Precio de compra
(100 )
2 000 − 1850
(100 ) = 8.11%
1850
Problema resuelto
6.
Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 500. Su valor nominal es
de $1 300, con un cupón de 10% a cuatro años. ¿Cuál es su rendimiento?
Solución:
Problema resuelto
7.
En el mercado de valores se venden obligaciones con cupón en $950. Su valor nominal es de $820,
con un cupón de 6% a cinco años. ¿Cuál es su rendimiento?
Solución
273
UNIDAD
8
Bonos y obligaciones
Problema resuelto
8.
Un inversionista desea adquirir en el mercado 1 000 bonos del tipo bono con cupón en $95. El
bono tiene un valor nominal de $100 y vence en cuatro años con una tasa de cupón de 5% anual.
¿Cuál es el rendimiento esperado por el inversionista?
Solución
Problema resuelto
9.
Una empresa agroindustrial ha emitido 10 000 obligaciones por un valor nominal de $1 000, cada
uno con la finalidad de allegarse recursos para realizar una ampliación en una de las plantas que
tiene en el sur de México. Estas pagan un cupón de 5% y vencen a cinco años. ¿Cuál es el precio
de compra de la obligación en la fecha de emisión si se descuentan con una tasa de interés de
10%? El pago de dividendos se efectúa al final de cada año y se calcula sobre el valor nominal.
Solución
Precio de compra de la obligación = $810.46
En Excel: =VA(0.10,5,50,1000,)
Problema resuelto
10.
El señor Rodríguez desea ganar 18.5% de interés capitalizable mensualmente en una inversión que
le han propuesto. ¿Cuánto deberá pagar hoy por una obligación que tiene un valor nominal de
$5 000, si paga una tasa cupón de 15% y su redención será a la par dentro de cinco años?
Solución
Precio de compra de la obligación para el señor Rodríguez = $4 431.75
En Excel: =VA(0.015417,60,62.5,5000,)
274
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
11.
Un corredor de bolsa debe encontrar el precio de compra de un bono emitido por el gobierno de
Costa Rica en 500 000 colones ($1 000 pesos mexicanos) que paga intereses de 4% anual capitalizable semestralmente y redimible al 104 en pesos mexicanos en 10 años. Los inversionistas desean
comprar el bono para que rinda 4.5% anual convertible semestralmente.
Solución
Precio de compra de cada bono costarricense (en pesos mexicanos) = $985.72
En Excel: =VA(0.0225,20,20,1040,)
Problemas para resolver
UNIDAD
8
8.1 Un bono cupón cero (bono de descuento puro) a cinco
años con un valor nominal de $2 500, se vende en el mercado en $2 000. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista?
8.9 Un inversionista desea comprar en el mercado 1 000
obligaciones con cupón a un precio unitario de $250. Si su
valor nominal es de $310, y tienen un cupón de 7% a cinco
años. ¿Qué rendimiento proporcionan?
8.2 Un bono de descuento puro a 10 años con un valor nominal de $1 000, se vende en el mercado en $550. ¿Qué
rendimiento proporciona al inversionista?
8.10 Un bono cupón cero (bono de descuento puro) a siete
años con un valor nominal de $200, se vende en el mercado
en $155. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista?
8.3 Un bono cupón cero a un año, tiene un valor nominal
de $3 000. Se vende en $2 850. ¿Qué rendimiento proporciona?
8.11 En la Bolsa Mexicana de Valores (bmv) se venden obligaciones con cupón en $350. Su valor nominal es de $300,
con un cupón de 5% a cinco años. ¿Cuál será su rendimiento?
8.4 Un bono cupón cero a un año se vende en $1 550. Tiene un valor nominal de $2 100. ¿Qué rendimiento da este
bono?
8.12 Una empresa de capital coreano ha emitido 100 000
obligaciones por un valor nominal de $500 cada una con la
finalidad de allegarse recursos para construir un anexo en
una de las plantas que tiene en el centro de México. Estas
pagan un cupón de 4.5% y vencen a seis años. ¿Cuál será
el precio de compra de la obligación en la fecha de emisión
si se descuentan con una tasa de interés de 10%? El pago
de dividendos se efectúa al final de cada año y se calcula
sobre el valor nominal. ¿Cuánto recibe la empresa para la
inversión?
8.5 Un inversionista desea comprar en el mercado un bono
con cupón en $1 000. Su valor nominal es de $1 250, con
un cupón de 12% a cuatro años. ¿Cuál es su rendimiento?
8.6 Un inversionista piensa comprar en el mercado 100 bonos de tipo bono con cupón en $150 cada uno. Su valor
nominal es de $125, con un cupón de 10% a cinco años.
¿Cuál es su rendimiento?
8.7 Un inversionista desea comprar en el mercado un bono
con cupón en $1 110. Su valor nominal es de $1 300, con un
cupón de 8% a cuatro años. ¿Cuál es su rendimiento?
8.8 En el mercado de valores se venden obligaciones con
cupón en $550. Su valor nominal es de $610, con un cupón
de 5.5% a siete años. ¿Cuál será su rendimiento?
Problemas aplicados a la realidad
8.13 Un inversionista desea ganar 12% de interés capitalizable mensualmente en una inversión que le han propuesto.
¿Cuánto deberá pagar por una obligación que tiene un valor
nominal de $1 000, si paga una tasa cupón de 10% y su redención será a la par dentro de cinco años?
8.14 Una empresa mexicana emite 10 000 obligaciones
por un valor nominal de $250 cada uno con la finalidad de
Problemas para resolver con tecnología
275
UNIDAD
8
Problemas para resolver
allegar­se recursos para operar. Estas pagan un cupón de 5%
y vencen a 10 años. ¿Cuál será el precio de compra de la
obligación en la fecha de emisión si se descuentan con una
tasa de interés de 10%? El pago de dividendos se efectúa al
final de cada año y se calcula sobre el valor nominal. ¿Cuánto recibe la empresa?
8.16 Un inversionista español desea ganar 12% de interés
capitalizable semestralmente en una inversión que le han
propuesto. ¿Cuánto deberá pagar hoy por una obligación
en el mercado mexicano que tiene un valor nominal de
$900, si paga una tasa cupón de 10% y su redención será a
la par dentro de cinco años?
8.15 Un corredor de bolsa debe encontrar el precio de
compra de un bono emitido por el gobierno de Inglaterra
de £100 (2 000 pesos mexicanos) que paga intereses de
3% anual capitalizable semestralmente y redimible al 103
en pesos mexicanos en 10 años. Los inversionistas desean
comprar el bono para que rinda 3.5% anual convertible semestralmente.
8.17 En el mercado de valores mexicano se emite un bono
del gobierno francés de €100 (1 700 pesos mexicanos) que
paga intereses de 2% anual capitalizable semestralmente y
redimible al 103 en pesos mexicanos en 10 años. Los inversionistas desean comprar el bono para que rinda 3% anual
convertible semestralmente.
PROBLEMAS RETO
1
Un bono cupón cero (bono de descuento puro) a tres años con un valor nominal de $1 500,
se vende en el mercado en $1 210. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista?
2
Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 600. Su valor nominal es de $1 400, con un cupón de 10% a cuatro años. ¿Cuál es su rendimiento?
3
En el mercado de valores se están vendiendo obligaciones con cupón en $1 050. Su valor
nominal es de $920, con un cupón de 6% a cinco años. ¿Cuál es su rendimiento?
4
Una empresa industrial ha emitido 20 000 obligaciones por un valor nominal de $1 100 cada
una con la finalidad de allegarse recursos para realizar una ampliación en una de las plantas
que tiene en el norte de México. Estas pagan un cupón de 5% y vencen a cinco años. ¿Cuál
es el precio de compra de la obligación en la fecha de emisión si se descuentan con una tasa
de interés de 10%? El pago de dividendos se efectúa al final de cada año y se calcula sobre
el valor nominal.
5
Un corredor de bolsa debe encontrar el precio de compra de un bono emitido por el gobierno del Reino Unido en £50 (1 000 pesos mexicanos) que paga intereses de 5% anual capitalizable semestralmente y redimible al 105 en pesos mexicanos en 10 años. Los inversionistas
desean comprar el bono para que rinda 5.5% anual convertible semestralmente.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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México.
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276
Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
Grupo Editorial Patria©
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UNIDAD
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Bonos y obligaciones
Grupo Editorial Patria©
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Apéndice B
APÉNDICE B
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205
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26
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27
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207
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28
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29
29
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60
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30
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30
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30
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30
30
30
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281
UNIDAD
II
1
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UNIDAD
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Contenido
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282
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