Metodos-Numericos-Para-Ingenieros-Quimicos-Con-Matlab

METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
QUIMICOS CON MATLAB (I)
Francisco Muñoz Paba M.Sc.
E-mail: f31paba @ yahoo.com. Departamento de Ingeniería Química, Grupo de
Simulación y Control de Procesos. Universidad del Atlántico,
Barranquilla, Colombia
INTRODUCCION
Muchos planteamientos matemáticos sobre
situaciones problémicas, en procesos
químicos , son de difícil solución analítica y
hacen que el ingeniero químico tenga que
recurrir a los métodos numéricos para
encontrar una respuesta a sus casos de
estudio. Una necesidad muy frecuente es la
de representar un conjunto de datos
experimentales tomados en forma discreta
ajustados a una expresión analítica que
permita de forma mas fácil la estimación de,
por ejemplo, valores intermedios,
sumatorias o integrales y variaciones o
razones de cambio entre ellos. El desarrollo
de los métodos numéricos , la certidumbre
de sus resultados y la posibilidad de
ejecutarlos con la ayuda de códigos por
computador hacen de ellos un recurso que
ofrece ventajas con respecto a los métodos
analíticos. En ésta revisión se presentan
algunos métodos de ajuste de datos a
ecuaciones con ejemplos a la ingeniería
química que se resuelven con los pro
cedimientos explicados y con la ayuda de
un computador mediante la construcción de
instrucciones cortas codificadas con
MATLAB.
AJUSTE DE CURVAS PARA FUNCIONES
POLINOMICAS.
Muchas funciones matemáticas incluyen
términos como logarítmicos, exponenciales
-1-
o trigonométricos que las hacen de un
manejo complejo. Una alternativa para
afrontar tal dificultad la ofrecen los métodos
numéricos permitiendo que una función se
pueda expresar por otra equivalente en
cuanto a la correspondencia entre la
variable independiente y el valor de la
función pero mas sencilla y, por lo tanto, de
mas fácil manipulación. Lo anterior es lo que
se conoce como ajuste de curvas,
interpolación o cálculo de la ecuación de
una curva. A continuación se muestra el
método de ajuste de curvas a un polinomio
como una Serie de Potencias o mediante
procedimiento de interpolación como el de
Newton y Lagrange.
.
SERIE DE POTENCIAS.
Prácticamente
todas
las
funciones
matemáticas se pueden expresar como un
polinomio de grado n, es decir, mediante
una expresión en serie de potencias.
Es más fácil encontrar el valor numérico de
una función expandiéndola en una serie de
potencia polinomial como la ecuación (1):
n
f ( xi ) = ∑ an x n = a0 + a1 xi + a2 xi2 + ...an xin
(1)
i =0
y evaluando los coeficientes a0 .. ..an .
Las funciones logarítmicas, hiperbólicas y
elípticas son casos puntuales.
Las series de potencias pueden usarse para
ajustar un conjunto de datos tomando un
número suficiente de términos. El número
de términos está dado por el siguiente
teorema:
Sí las enésimas diferencias divididas de una
función tabulada son constantes cuando los
valores de la variable independiente son
tomadas en progresión aritmética, la función
es un polinomio de grado n.
Ejemplo 1
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4
(2)
Tabla 1. Datos de la función
Punto 0
1
2
3
4
5
x
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
fx
5.000 5.785 6.763 7.971 9.451 11.25
Elabore una tabla de diferencias divididas
determine los coeficientes del polinomio
dado por la ecuación (2).
Las primeras diferencias divididas mediante
los
puntos
(0),
(1)
y
(1),
(2),
respectivamente, son:
5.7852 − 5.0000
= 7.8520
1.1 −1.0
6.7632 − 5.7852
=
= 9.7800
1.2 −1.1
f [ x0 , x1 ] =
f [ x1 , x2 ]
x f(x)
1 5.0000
1.1 5.7852
1.2 6.7632
1.3 7.9712
1.4 9.4512
1.5 11.250
[1]
[ 2]
[ 3]
[ 4]
∆ fi
∆fi
∆fi
∆ fi
7.852 9.640 6.200 2.000
9.780 11.50
7.000 2.000
12.08 13.60 7.800
14.80 15.94
17.98
Debe notarse que todas las diferencias
divididas de cuarto orden tienen el mismo
valor,
independientemente
de
los
argumentos que se usen para su cálculo,
por lo tanto , la ecuación(2) se puede
escribir en forma de series de potencias
como un polinomio de cuarto orden.
Para realizar los cálculos de diferencias
divididas puede usarse el
siguiente
procedimiento codificado con MATLAB:
Procedimiento 1
x=[1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5];
fx=[5.000 5.7852 6.7632 7.9712 9.4512
11.25];
M=6; N= M-1;
for i=1:N
T(i,1)= (fx(i+1)- fx(i))/(x(i+1)-x(i));
End
La segunda diferencia dividida mediante los
puntos (0), (1) y (2) es:
f [ x0 , x1 , x2 ] =
Tabla 2. Diferencias divididas
9.7800 − 7.8520
= 9.6400
1.2 −1.0
La Tabla 2 muestra los resultados
correspondientes hasta la cuarta diferencia
dividida.
-2-
for j=2 :N
for i=j : N
T(i,j)= (T(i,j-1)- T(i-1,j-1))/(x(i+1)-x(i-j+1));
end
end
T
Para
encontrar
a0 , a1 , a2 , a3 y
los
coeficientes
a4 del polinomio en series
de potencia de la ec(2), se escribe el
siguiente procedimiento codificado con
MATLAB:
Procedimiento 2
x=[1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5];
fx =[5.00 5.7852 6.7632 7.9712
11.25];
9.4512
plot(x,fx,’o’)
a = polyfit (x, fx, 4);
Y= polyval (a, x);
Figura 1 Gráfica del polinomio ajustado.
fprintf ( ‘ a0=%8.5f\n a1=%9.6f\n a2=%9.6f\n …
a3=%9.6f\n a4=%9.6f\n’,a(5),a(4),a(3),a(2),a(1))
plot(x,fx,’o’,x,Y,’-‘)
Donde se obtiene que:
a0 = 3.000
a1 = −2.000
a2 = 5.000
a3 = −3.000
a4 = 2.000
En la figura 1 se muestran los datos
suministrado junto con el polinomio ajustado
FORMULA
DE
NEWTON
EN
DIFERENCIAS
FINITAS
HACIA
ADELANTE.
La fórmula necesita una tabla de valores y0,
y1, y2, .......yn para valores equidistantes
x0, x1, x2, ..xn de la variable independiente
x.
Para usar la fórmula de Newton en
diferencias finitas es de mucha ayuda
construir una tabla de diferencias finitas.
La tabla 3 es una tabla de diferencias finitas,
para y = x 3 Los valores numéricos están
arriba y la nomenclatura está debajo.
Tabla 3 Diferencias finitas hacia adelante
_______________________________________
[ 1]
f i [ 2 ] f i [ 3]
fi [ 4]
X y = x 3 fi
1.1 1.331 0.397 0.072 0.006 0
1.2 1.728 0.469 0.078 0.006
1.3 2.197 0.547 0.081 0
1.4 1.744 0.631 0
0
-3-
1.5 3.375 0
0
0
carbonato de calcio se muestran en la figura
_______________________________________
2. La graficación de la curva se deja como
[ 1]
[ 2]
[ 3]
ejercicio para el lector
fi
fi
fi
x y
x0 f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x3 , x3 ] Se requiere:
x1 f ( x1 ) f [ x1 , x2 ]
x2 f ( x2 ) f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 ) f [ x3 , x4 ]
x4 f ( x4 ) f [ x4 , x5 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
f [ x2 , x3 , x4 ]
f [ x3 , x4 , x4 ]
f [ x1 , x2 , x3 , x4 ]
1)Encontrar la ecuación de la curva que
f [ x2 , x3 , x4 , x5 ] mejor se ajuste a los datos dados.
2)Calcular la velocidad de sedimentación
para una concentración volumétrica de
__________ __________ __________ ________
2.5%.
La función tabulada debe ajustarse con un
polinomio f(x) de n-ésimo grado, que se
expresa por
.
f ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) +
a3 ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) +
P
an ( x − x0 )( x − x1 ). . . ( x − xn −1 )
Haciendo
h = x1 − x0 = x2 − x1
s = ( x − x0 ) / h
or derivación:
s ( s −1) [ 2 ]
fi +
2!
s ( s −1)( s − 2)( s −3) [ 4 ]
+
fi +
4!
y = f ( x ) = f ( x0 ) + sf i [1] +
s ( s −1)( s − 2) [ 3]
fi
3!
s ( s −1) ...( s − n +1) [ n ]
fi
n!
+
[1]
[2]
(3)
[ 3]
f i , f , f i , son la primera,
Siendo
segunda y tercera diferencias finitas.
La fórmula es útil solo para valores
puntuales, no para la ecuación de la curva
total
Figura. 2 Datos de sedimentación.
Solución por Serie Potencias
Ejemplo 2
La velocidad de sedimentación de una
suspensión,
se
relaciona
con
la
concentración volumétrica del sedimento.
Los datos y la curva para la sedimentación
de una suspensión
de precipitado de
-4-
Para encontrar el polinomio en serie de
potencias, suponemos un polinomio de
séptimo grado que se encuentra mediante el
siguiente procedimiento codificado con
MATLAB
Procedimiento 3
x= [ 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0];
y= [0 3.2 4.8 4.25 3.23 2.87 2.75 2.70
2.65];
plot(x,y,’o’)
Pol= [-0.0004 0.0121
3.8871
0.0004];
fx = polyval (Pol,2.5)
-0.1579 1.023 –
Obtenemos que: f(2.5) = 4.6783 g / cm 2 h
Coef = polyfit(x,y,7);
Solución por la fórmula de Newton
X=1:0.1:8;
Y= polyval (Coef,X);
plot(x,y,’o’,X,Y)
fprintf (‘ a0=%9.6f\n a1=%9.6f\n a2=%9.6f\n
…
a3=%9.6f\n a4=%9.6f\n a5=%9.6f\n a6=
%9.6f\n
a7=
%9.6f\n’,a(8),a(7),a(6),a(5),a(4),a(3),a(2),a(1
))
Donde los coeficientes del polinomio de
séptimo
grado
son:
a 0 = 0.0004
a 4 = 1.023
a1 = 1.7060
a 5 = − 0.1579
a 2 = 3.8871
a 6 = 0.0121
a 3 = − 3.27
a 7 = − 0.00040
La
ecuación
de
la
curva
es:
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + a5 x 5 + a6 x 6
+ a7 x 7
(4)
La velocidad másica de concentración para
una concentración volumétrica de 2.5%, se
halla
sustituyendo
los
coeficientes
encontrados con el procedimiento 3 en la
ecuación (4) para un valor de x =2.5.
Empleando los siguientes comandos de
MATLAB:
Este problema se puede resolver utilizando
la fórmula de Newton en diferencias finitas.
Este método es válido solamente para
calcular valores puntuales de la función y no
para calcular la ecuación de la curva, por
consiguiente, se calcula solamente el valor
de la función para un valor de x = 2.5.
Se calculan las diferencias
resumen en la Tabla 4.
finitas que se
Tabla 4. Diferencias finitas
x
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
y f i [ 1] fi [ 2]
4.8 -0.55
4.25 –1.02
3.23 –0.36
2.87 –0.12
2.75 –0.050
2.70 -0.05
2.65 0
f i [ 3]
-0.47
0.66
0.24
0.07
0
0
fi [ 4 ] fi [ 5]
1.13 -1.55 1.80
-0.42
0.25 -0.150
-0.17
0.10
-0.07
h =1.0
s=
2.5 − 2.0
= 0 .5
1 .0
Aplicando la ecuación (3)
0.5(0.5 −1)
(−0.47 )
2
0.5(0.5 −1)( 0.5 −2)
+
(1.13 )
(3)( 2)
0.5(0.5 −1)( 0.5 −2)( 0.5 −3)
+
(−1.55 )
( 4)( 3)( 2)
f (2.5) = 4.8 + (0.5)( −0.50 ) +
= 4.7149 g / cm 2 h
Aunque la cuarta diferencia finita no es
-5-
constante, el resultado obtenido es
satisfactorio. Es evidente a partir de éste
ejemplo que tanto el polinomio en serie de
potencias como la fórmula de Newton son
bastante aproximadas al valor medido que
es de 4.700.
Los cálculos anteriores se pueden realizar
con el siguiente procedimiento codificado
con MATLAB.
Lagrange no tiene ésta limitación, pero solo
utiliza datos que sean necesarios para
aproximarse al valor correcto.
Los datos donde los valores de x no son
equidistantes, a menudo son resultados de
observaciones experimentales o de análisis
de datos históricos.
Supóngase que se tiene una tabla de datos
con cuatro pares de valores x y f(x)
i
Procedimiento 4
x= [2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0];
y= [4.8 4.25 3.23 2.87 2.75 2.70 2.65];
N=7;
0
2
3
..
x0
x1
x2
x3
 xn
f ( x)
f0
f1
f2
f3
 fn
n
Estos cuatro pares de datos es posible
ajustarlos a una función cúbica. La fórmula
de Lagrange para un polinomio de n-ésimo
grado es
for i =1: N-1
f(i,1) = y(i+1) –y(i);
end
f ( x) =
( x − x1 )( x − x2 )( x − xn )
( f0 )
( x0 − x1 )( x0 − x2 )( x0 − xn )
for j=2: N-1
for i=j: N-1
f(i,j) = f(i,j-1) – f(i-1,j-1);
end
end
+
f
+ +
+
h= 1.0 ; xi = 2.5;
s = (xi – x(1))/h ;
yi = y(1) + s*f(1,1) + s*(s-1)/2*f(2,2)
+ s*(s-1)*(s-2)/(3*2)*f(3,3)
+ s*(s-1)*(s-2)*(s-3)/(4*3*2)*f(4,4) ;
( x − x0 )( x − x2 )( x − xn )
( f1 )
( x1 − x0 )( x1 − x2 )( x1 − xn )
( x − x0 )( x − x1 )( x − x3 )( x − xn )
( f2 )
( x2 − x0 )( x2 − x1 )( x2 − x3 )( x2 − xn )
( x − x0 )( x − x1 )( x − xn −1 )
( fn )
( xn − x0 )( xn − x1 )( xn − xn −1 )
(5)
La
fórmula
de
Lagrange
principalmente para :
(1)
fprintf(‘\n\n Resultado: 4º grado f(%4.2f) =...
%6.2f \ n’, xi,yi )
FORMULA
LAGRANGE
1
x
DE INTERPOLACION DE
Muchas fórmulas de interpolación son
aplicables solo cuando los valores de la
variable independiente son dados en
intervalos equidistantes. La fórmula de
-6-
(2)
se
usa
Calcular el valor de la variable
independiente correspondiente a
un valor dado de la función .
Calcular cualquier valor de una
función, cuando los valores
dados
de
la
variable
independiente
no
son
equidistantes.
Además de que la fórmula de Lagrange es
tediosa, tiene una limitación muy seria,
cuando los valores no son tan cercanos
unos a otros, los resultados tienden a ser
indeseables. Sin embargo puede utilizarse
cuando sea imposible utilizar otro método.
Los siguientes ejemplos aplican la fórmula
de Lagrange.
Ejemplo 3
Se desea estimar la densidad de una
sustancia a una temperatura de 251º C a
partir de los siguientes datos experimentales
que se dan en la Tabla 5.
Tabla 5 Datos de Temperatura-Densidad
i
0
Ti , º C
ρi ,
kg
m3
1
2
94
205
371
929
902
860
Como se dispone de tres datos, el orden de
la fórmula de Lagrange es 2 y el cálculo de
la densidad a 251 es dado por
( 251 − 205 )( 251 − 371 )
(929 )
(94 − 205 )( 94 − 371 )
(251 − 94 )( 251 − 371 )
+
(902 )
205 − 94 (205 − 371 )
(251 − 94 )( 251 − 205 )
+
(860 )
(371 − 94 )( 371 − 205 )
ρ( 251 º C ) =
En la Tabla 6 se muestran las densidades en
kg / m3 , de soluciones acuosas de ácido
sulfurico de diferentes concentraciones en %
para un conjunto de temperaturas en ºC. Se
desea calcular la densidad de una solución
de ácido sulfúrico a una concentración del
40% y a una temperatura de 15 ºC.
Tabla 6 Tabulación de una función de dos
variables ρ = f (T , C )
T (º C )
C (%)
5
20
40
70
10
1.0344
1.1453
1.3103
1.6923
30
1.0281
1.1335
1.2953
1.6014
60
1.0140
1.1153
1.2732
1.5753
100
0.9888
1.0885
1.2446
1.5417
Para una función polinómica de dos
variables como éste caso, se puede aplicar
la fórmula de Lagrange , tomando los datos
de las densidades a una concentración del
40% y la temperatura como la variable
independiente.
El orden de la fórmula es de 1 y el cálculo
de la densidad mediante la fórmula de
Lagrange es:
ρ(15 º C ) =
(15 −30 )
(15 −10 )
(1.3103 +
(12953 )
(10 −30 )
(30 −10 )
=1.3066 kg / m3
= 890 .5 kg / m3
El siguiente procedimiento codifcado con
MATLAB realiza los cálculos anteriores.
El siguiente procedimiento codificado con
MATLAB realiza los cálculos anteriores.
Procedimiento 6
Procedimiento 5
x= [10 30];
X = [94 205 371];
Y = [929 902 860];
Xi= 251;
Densidad =interp1(X,Y,Xi,’cubic’)
y= [1.3103 1.2953];
xi = 15;
-7-
Donde k representa el coeficiente de h en
los valores de x, por ejemplo –3, -2 , -1, 0, 1,
2, 3.
d = interp1(x,y,xi,’linear’)
FORMULA DE INTERPOLACION HACIA
DELANTE DE DERIVADAS DE NEWTON
Ejemplo 5
La fórmula de diferenciación de Newton
para una estimación de f’(x) se obtiene
f ′ ( x) =
1  [1] 1 [ 2 ] 1 [ 3] 1 [ 4 ] 1 [ 5]
f i − f i + f i − f i + f1
h 
2
3
4
5
(6)
Derivaciones sucesivas se obtienen
Una pasta de material cristalino se seca con
aire, que se hace fluir por encima de ella .
Para diseñar el sistema de secado, se
 obtuvieron los datos experimentales que se
− 
 muestran en la figura 3. A partir de esto,
calcule la velocidad de secado en 0.9h ,es
decir, dy / dt = 0.9 , donde t es el tiempo en
horas.
5 [ 5]
 [ 2]

[ 3] 11 [ 4 ]
 f i − f i + 12 f i − 6 f i +  


1 
3
7

f ′′′( x) = 3  f i [ 3] − f i [ 4 ] + f i [ 5 ] − 
h 
2
4

1
f IV ( x) = 4 f i [ 4 ] − 2 f i [ 5] + 
h
f ′′( x) =
1
h2
[
(7 )
(8)
]
(9)
METODO DE DOUGLAS-AVAKIAN
Este método usa un polinomio de cuarto
orden que se ajusta a siete puntos
equidistantes por el método de mínimos
cuadrados. El polinomio es
y = a + bx + cx 2 + dx 3 + ex 4
Estos puntos son espaciados en intervalos
iguales con las coordenadas escogidas, tal
que, en x = 0 se encuentra el punto central
de los siete. Los siete valores de x pueden
escribirse como –3h, -2h, -h, 0, 2h y 3h.
Solución por la Fórmula de la derivada de
Newton
Se divide parte de la curva en cinco
subdivisiones comenzando en t=0.9 hora,
como muestra la figura 3 y se elabora la
Tabla de diferencias finitas ( Tabla 7)
Por derivación,
397 ∑ ky 7 ∑ k 3 y
 dy 
−
  =
1512 h
216 h
 dx  0
Figura 3 Curva de velocidad de secado.
(10)
-8-
Se elabora una tabla de diferencias
finitas.
[ 1]
f i [ 2 ] f i [ 3] f i [ 4 ]
f i [ 5]
x
y fi
0.9
1.1
1.3
1.5
0.9 0.18335 -0.01995 0.0025 0.0003 0.00007
-.00021
1.0 0.1634 -0.01745 0.00280 0.00037 –0.00014
1.1 0.14595 –0.1465 0.00317 0.00023
1.2 0.1313 -0.001148 0.00340
0.11982 –0.0808
0.11174
0.1833
0.1459
0.1198
0.1071
0
1
2
3
0
0.1459
0.2396
0.3219
∑= −7.4112
0
0.1459
0.9584
2.8971
∑= −1.0752
La velocidad de secado se calcula con la
ecuación (10), de la siguiente manera
1 
0.0025
2(0.0003 )
 dy 
(397 )( −1.0752 ) 7( −7.4112 )
=
− 0.01995 −
+
 dy 



=
−


0.1 
2
6
 dx t =0.9
(1512 )( 0.2)
( 216 )( 0.2)
 dx t =0.9
= −0.2106 lbH 2O / lb sólido sec o
6(0.00007 ) 6( −0.00021 )
]=
−
−
24
120
= − 0.2111 lb H 2O / lb sólido sec o
Solución por el método de DouglasAvakian.
Primero se preparó la Tabla 8, a partir del
polinomio de cuarto orden ajustado los
datos experimentales. Ecuación (11) con
ayuda de Matlab
Para hallar el polinomio ajustado de cuarto
orden se utilizó MATLAB, obteniéndose el
siguiente polinomio:
fx = −0.0146 x 4 +0.119 x 3 −0.1453 x 2
−0.1958 x +0.40
(12)
Comparando los resultados encontramos un
valor de –0.2111 por el método de Newton y
–0.2106 por el método de Douglas-Avakian.
El valor medido es de –0.21. El método de
Douglas-Avakian se basa en el método de
mínimos cuadrados, por lo tanto, es un
método inseguro.
El siguiente procedimiento codificado con
MATLAB realiza los cálculos anteriores
donde se aplica ell método de DouglasAvakian.
Procedimiento 7
function y = Douglas(y,k)
x = [0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4] ;
fx =[0.18335 0.1634 0.14595 0.1313 0.11982
0.11174] ;
pol = polyfit (x, fx, 4);
xi = [0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5] ;
Tabla 8 Datos de y = f(x)
x
f(x)
k
ky
0.3 0.3313 -3
-0.9939
0.5 0.2798 -2
-0.5596
0.7 0.2291 -1
-0.2291
yi = polyval(pol,xi) ;
k = [-3 -2 -1 0 1 2 3] ;
y = yi ;
k3 y
for i = 1 : 7
for j = 1 : 7
K(i,1) = k(i)*y(i);
K(i,2) = k(i)^3*y(i);
-8.9451
-2.2384
-0.2291
-9-
end
end
K
s= sum (K)
Derivada= 397*s(1)/(1512*0.2) . . .
- 7*s(2)/(216*0.2)
OTROS METODOS PARA AJUSTE DE
CURVAS
Método de mínimos cuadrados. Este
método se basa en la suposición, que la
mejor curva representativa es aquella para
la cual la suma de los cuadrados de los
residuos (errores) es un mínimo. Los
residuos son elevados al cuadrado para
eliminar lo que concierne a su signo.
Consultar el libro de Nieves-Domínguez
página 362 .1
Este método es mucho más complicado
para polinomios de mayor grado y se usa
para polinomios no mayor de segundo
grado. Es menos seguro que la Fórmula
interpolación de Newton y debe emplearse
para correlacionar o encontrar el “mejor
ajuste” de un conjunto de datos
experimentales.
Fórmula de diferencia central de Stirling.
Dos formas de la fórmula de Newton se
usan para la interpolación cercana al
comienzo y cercana al final de un conjunto
de datos tabulados. La fórmula de Stirling es
particularmente disponible para valores
interpolados cercanos a la mitad de un
conjunto de datos tabulados. Este método
está explicado en el libro de ConstantinidesMostoufi, página 176 2
Series de Taylor. Un método de expandir
funciones en series de potencias es
utilizando las series de Taylor. El último
- 10 -
término en la serie es el residuo o tamaño
de error después de n términos y por lo
tanto, la serie de Taylor tiene una ventaja
sobre otros métodos, por que puede
programarse en un computador, de tal
manera que los términos se pueden agregar
automáticamente hasta que el último
término (término error) sea menor que el
limite especificado. Una nota de precaución
en el uso de todos los métodos de ajuste de
curvas debe expresarse. La exactitud de la
correlación entre los puntos de datos (xi,yi)
se debe chequear.
BIBLIOGRAFIA
1. Nieves A y Domínguez F. Métodos
numéricos
aplicados
a
la
ingeniería . 2ª Edición CECSA
2002.
2. Constantinides A y Mostoufi N
Numerical methods for chemical
engineers
with
MATLAB
applications 1ª Edición PrenticeHall 1999.
3. Gerald C.F y Wheatley P.O
Analisis
numérico
con
aplicaciones. 7ª Edición Pearson
Educación 2000.
4. Nakamura S. Análisis numérico y
visualización gráfica con MATLAB
1ª Edición Pearson Educación
1997.
CALCULO
DE
INTEGRALES
INTEGRACION NUMERICA
POR
El proceso de calcular el valor de una
integral definida a partir de un conjunto de
valores numéricos del integrando recibe el
nombre de integración numérica. El
integrando se representa por una fórmula de
interpolación y la fórmula se integra entre los
limites deseados.
Método de Simpson. Este método se
puede resumir diciendo que se basa en la
conexión de los puntos (xi,yi) por una series
de parábolas.
Las funciones de éste tipo son polinomios
de segundo grado
f ( x ) = a + bx + cx 2
Hay un error inherente, por supuesto, si el
polinomio es mayor de segundo grado. La
fórmula final de la ecuación para la Regla
1/3 de Simpson es
(13)
La regla de Simpson sola es exacta para
polinomios de primero y segundo grado. El
b
h
∫ y d x= 3 [ y + 4( y + y +  + y
a
0
1
3
2 ( y2 + y 4 +  yn − 2 ) + yn
- 11 -
n−1
]
)+
grado de la función es desconocida en
muchas aplicaciones, por consiguiente , se
debe calcular el error. El error se calcula por
la siguiente ecuación:
Error
=
h
[ y−1 + yn +1 − 4( y0 + yn ) + 7( y1 + yn −1 )
90
8( y2 + y4 +  + yn −2 ) + 8( y3 + y5 +  yn −3 ) ]
−
(14)
Donde h = ∆xi y n ≥ 6
Método trapezoidal compuesto. Consiste
en dividir el intervalo[a , b] en n
subintervalos y aproximar cada uno por un
polinomio de primer grado, luego se aplica
la fórmula trapezoidal a cada subintervalo y
se obtiene el área de cada trapezoide, de tal
modo que la suma de todas ellas da la
aproximación al área bajo la curva de la
función. La forma final de la ecuación para
el método trapezoidal compuesto es:
h
∫ ydx = 2 [ y
b
a
0
+ 2( y1 + y2 + y3 +  + yn −1 ) + yn
]
(15)
Los siguiente dos ejemplo ilustran estos dos
métodos.
Una torre empacada absorbe un gas A de un gas
de combustión. El gas de entrada a la torre
contiene 10.5% molar de A y el gas de salida
contiene 2.5% molar de A. Calcule el número de
unidades de transferencia necesarias, N OG . Los
datos se muestran en la tabla 6.
Tabla 6 Datos para el problema de unidades
de transferencia.
Datos
Calculados de los datos
y
y*
y – y*
1
y − y*
0.015 ( x−1 )
0.025 ( x0 )
0.014328
0.010672
93.7
0.02250
0.012500
80.0
( y0 )
0.035 ( x1 )
( y1 )
0.045 .
0.055 .
0.065 .
0.075
0.085 .
0.095 ( x7 )
0.031264 0.013736
0.040141 0.014859
0.049202 0.015798
0.058444 0.016556
0.067833 0.017167
0.077425 0.017575
72.8 .
67.3 .
63.3
60.4
58.25 .
56.9
( y7 )
0.105 ( xn ) 0.087127
0.017873
55.95
0.115 ( xn +1 ) 0.096819 0.018181
55.0
( yn )
( yn +1 )
y* = Composición en equilibrio.
Primero resolvemos el problema aplicando el
método 1/3 de Simpson. Suponiendo que la
película gaseosa es la controlante, tenemos:
N OG = ∫
y ( 2)
y (1)
dy
0.01
=
[93 .7 + 4(80 + 67 .3
*
y −y
3
+ 60.4 +56.9) + 2 (72.8 + 63.3 + 58.25)
+ 55.95] = 5.3225 unidades de transf.
Error =
−
0.01
[115 .5 + 55 − 4(93 .7 + 55 .95 ) + 7(80 +
90
+ 56 .7) −8(72 .8 + 63 .3 + 58 .25 ) +8(67 .3 +
+ 60 .4) ] = 0.000333 unidades de transf .
El error es relativamente pequeño.
Por el método trapezoidal compuesto aplicamos
la ecuación (15)
N OG = ∫
y ( 2)
y (1)
=
0.01
[93 .7 + 2(80 + 72 .8
2
+ 67.3 + 63.3 + 60.4 + 58.25 + 56.9)
+ 55.95 ] = 5.3377 unidades de transf.
0.006342
0.008658
115.5
( y−1 )
- 12 -
Consideremos ahora una columna de destilación
discontinua que contiene una mezcla de 50%
molar de A en B, se destila hasta que la fracción
molar de A en el calderin sea menor que 0.20.
Calcule la razón
W
W0
Los datos se muestran
en la tabla 7. y se grafican en la figura 4.
Tabla 7 Datos para el problema de la columna de
destilación discontinúa
xD
0.549
0.691
0.793
0.806
0.902
0.928
0.950
xW
xD − xW
1
xD − xW
0.129 ( x0 ) 0.420
0.191 ( x1 ) 0.500
0.253 ( x2 ) 0.540
0.314 .
0.492
0.376 .
0.526
0.438 ( x5 ) 0.490
0.50 ( xn ) 0.450
2.38 ( y0 )
2.00 ( y1 )
1.85 ( y2 )
1.83 .
1.90 .
2.04 ( y5 )
2.22 ( yn )
Aplicando el método 1/3 de Simpson, tenemos
xf
dx w
A=∫
=
x0 x − x
D
w
0.0618
[ 2.38 + 4 ( 2.0 +1.83 + 2.04 )
3
+ 2 (1.85 + 2.04 ) + 2.22 ] = 0.739
W
W
ln
= − 0.739 y
= 0.4776
W0
W0
Fig 4 Gráfica de Xw vs 1/(XD- Xw)
Por el método trapezoidal compuesto, tenemos
que
- 13 -
A=∫
dx w
0.0618
=
[2.38 + 2 (2.0 +
x D − xw
2
+ 1.85 + 1.83 + 1.90 + 2.04) + 2.22 ]
xw
x0
= 0.7366
W
ln
= −0.7366
W0
;
W
= 0.4787
W0
Se observa que los dos resultados son casi
iguales debido a que el polinomio es de orden 3.
El siguiente guión de MATLAB hace los cálculos
de los dos problemas dados anteriormente.
x = input(‘Introduzca los valores de x = ’);
y = input(‘Introduzca los valores de y =’);
Area_1= trapz(x,y);
Area_2= Simpson(x,y);
fprintf (‘\ n Area_1(Método trapezoidal)=
%9.4f’,Area_1)
fprintf(‘\ n Area_2(Método 1/3 de Simpson)=
%9.4f’,Area_2)
function A=Simpson ( x, y)
puntos = length(x);
if length(y) ~= puntos
error(‘x y y no son de la misma longitud ‘)
break
end
dx = diff(x);
if max(dx)-min(dx) > min(abs(x))/1000
error ( ‘ x no son equidistantes’)
break
end
h= dx(1);
if mod (puntos,2) == 0
precaución (‘Agregue numeros de intervalos’)
n= puntos – 1;
else
n= puntos;
end
y1 = y(2 : 2 : n – 1);
y2 = y(3 : 2 : n –2 );
A= (h/3)*(y(1) + 4*sum(y1) + 2* sum(y2) +
y(n)) ;
if n ~= puntos
A = A + (y(puntos) + y(n))* h/2;
end.
engineers with MATLAB applications
1ª Edición Prentice-Hall 1999.
7. Gerald C.F y Wheatley P.O Analisis
numérico con aplicaciones. 7ª Edición
Pearson Educación 2000.
8. Nakamura S. Análisis numérico y
visualización gráfica con MATLAB 1ª
Edición Pearson Educación 1997.
−
−
BIBLIOGRAFIA
5. Nieves A y Domínguez F. Métodos
numéricos aplicados a la ingeniería .
2ª Edición CECSA 2002.
6. Constantinides A y Mostoufi N
Numerical methods for chemical
- 14 -