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9E CONTENIDO O Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera Dennis G. Zill Loyola Marymount University Versión métrica preparada por Aly El-Iraki Profesor Emérito, Alexandria University, Egipto Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur i NOVENA EDICIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas de valores en la frontera DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University Versión métrica preparada por ALY EL-IRAKI Profesor Emérito, Alexandria University TRADUCCIÓN Ana Elizabeth García Hernández Profesor invitado UAM-Azcapotzalco REVISIÓN TÉCNICA Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas. Instituto Politécnico Nacional. Enrique Antoniano Mateos Universidad Anáhuac México, campus Norte María Rosa Guadalupe Hernández Mondragón Ma. Merced Arriaga Gutiérrez Universidad de Guadalajara David Manuel Avila Sereno Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro Instituto Universitario del Estado de México Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro William Alfredo Cabrer Alonso Lucio López Cavazos Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca Luisa Ramírez Granados Ana Lilia Flores Vázquez María del Socorro Real Guerrero Universidad Autónoma del Estado de México Universidad de Guadalajara Mauricio García Martínez Ruth Rodríguez Gallegos Universidad Autónoma del Estado de México José Alfredo Gasca González Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey Instituto Tecnológico de León. Raquel Ruíz de Eguino Mendoza Francisco Giles Hurtado Universidad Panamericana, campus Guadalajara Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro Universidad Autónoma de Querétaro Roberto Serna Herrera Carlos Eduardo Gómez Sánchez Universidad Iberoamericana Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca Balaam Valle Aguilar David Gutiérrez Calzada Enrique Zamora Gallardo Universidad Autónoma del Estado de México Universidad Anáhuac México, campus Norte Aurora Diana Guzmán Coria Riquet Zequeira Fernández Universidad Autónoma del Estado de México Universidad Autónoma del Estado de México Universidad Autónoma del Estado de México Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera Novena edición Dennis G. Zill Versión métrica preparada por Aly El-Iraki Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica:: Jesús Mares Chacón Editor Senior Hardside: Pablo Miguel Guerrero Rosas Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Edgar Maldonado Hernández Imagen de portada: NASA/ESA Composición tipográfica: Karen Medina © D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México - Toluca 5420, Oficina 2301 Col. El Yaqui, C.P. 05320 Cuajimalpa, Ciudad de México Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. REG 423 Traducido del libro: Differential Equations with Boundary-Value Problems Ninth Edition, Metric Edition, Dennis G. Zill Publicado en inglés por Cengage Learning ©2018 ISBN: 978-1-111-82706-9 Datos para catalogación bibliográfica: Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, novena edición ISBN: 978-607-526-647-3 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 20 19 18 17 CONTENIDO O v Contenido Kevin George/Shutterstock.com 1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 2 Joggie Botma/Shutterstock.com Prefacio a esta edición métrica vii 2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 36 1.1 1.2 1.3 Definiciones y terminología 3 Problemas con valores iniciales 15 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos REPASO DEL C APÍTULO 1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 34 Curvas solución sin una solución 37 2.1.1 2.1.1 Campos direccionales 37 2.1.2 ED autónomas de primer orden 39 Variables separables 47 Ecuaciones lineales 55 Ecuaciones exactas 64 Soluciones por sustitución 72 Un método numérico 76 REPASO DEL C APÍTULO 2 Fotos593/Shutterstock.com 22 81 3 Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden 3.1 3.2 3.3 84 Modelos lineales 85 Modelos no lineales 96 Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL C APÍTULO 3 107 114 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 118 Bill Ingalls/NASA 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 119 4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera 119 4.1.2 Ecuaciones homogéneas 121 4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 127 Reducción de orden 132 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 135 Coeficientes indeterminados: Método de superposición 142 Coeficientes indeterminados: Método del anulador 152 Variación de parámetros 159 Ecuación de Cauchy-Euler 166 v CONTENIDO 4.8 Funciones de Green 173 4.8.1 Problemas con valores iniciales 173 4.8.2 Problemas con valores en la frontera 179 4.9 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación 4.10 Ecuaciones diferenciales no lineales 188 Brian A Jackson/Shutterstock .com REPASO DEL C APÍTULO 4 de orden superior 193 5.1 196 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 197 5.1.1 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no amortiguado 197 5.1.2 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre amortiguado 202 5.1.3 Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado 204 5.1.4 Circuito en serie análogo 207 Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera 213 Modelos no lineales 222 REPASO DEL C APÍTULO 5 Todd Dalton/Shutterstock.com 183 5 Modelado con ecuaciones diferenciales 5.2 5.3 232 6 Soluciones en series de ecuaciones lineales 236 6.1 6.2 6.3 6.4 Repaso de series de potencias 237 Soluciones respecto a puntos ordinarios 243 Soluciones en torno a puntos singulares 252 Funciones especiales 262 REPASO DEL C APÍTULO 6 Raimundas/Shutterstock.com O 276 7 La transformada de Laplace 278 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 Definición de la transformada de Laplace 279 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 7.2.1 Transformadas inversas 286 7.2.2 Transformadas de derivadas 289 Propiedades operacionales I 294 7.3.1 Traslación en el eje s 295 7.3.2 TTraslación en el eje t 298 Propiedades operacionales II 306 7.4.1 Derivadas de una transformada 306 7.4.2 Transformadas de integrales 307 7.4.3 Transformada de una función periódica 313 La función delta de Dirac 318 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 322 REPASO DEL C APÍTULO 7 286 327 8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Pavel L Photo and Video/ Shutterstock.com vi de primer orden 8.1 8.2 332 Teoría preliminar: Sistemas lineales 333 Sistemas lineales homogéneos 340 8.2.1 Eigenvalores reales distintos 341 8.2.2 Eigenvalores repetidos 344 8.2.3 Eigenvalores complejos 348 CONTENIDO 8.3 8.4 O vii Sistemas lineales no homogéneos 355 8.3.1 Coeficientes indeterminados 355 8.3.2 Variación de parámetros 357 Matriz exponencial 362 REPASO DEL C APÍTULO 8 366 Paul B. Moore/Shutterstock .com 9 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 368 Métodos de Euler y análisis de errores 369 Métodos de Runge-Kutta 374 Métodos multipasos 378 Ecuaciones y sistemas de orden superior 381 Problemas con valores en la frontera de segundo orden REPASO DEL C APÍTULO 9 385 389 jspix/imagebroker/Alamy Stock Photo 10 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales 10.1 10.2 10.3 10.4 390 Sistemas autónomos 391 Estabilidad de sistemas lineales 397 Linealización y estabilidad local 405 Sistemas autónomos como modelos matemáticos Science photo/Shutterstock .com REPASO DEL C APÍTULO 10 11 Series de Fourier 424 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 Funciones ortogonales 425 Series de Fourier 431 Series de Fourier de cosenos y de senos 436 Problema de Sturm-Liouville 444 Series de Bessel y Legendre 451 11.5.1 Serie de Fourier-Bessel 452 11.5.2 Serie de Fourier-Legendre 455 REPASO DEL C APÍTULO 11 Brian A Jackson/Shutterstock .com 414 422 458 12 Problemas con valores en la frontera en coordenadas rectangulares 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 460 Ecuaciones diferenciales parciales separables 461 EDP clásicas y problemas con valores en la frontera 465 Ecuación de calor 471 Ecuación de onda 473 Ecuación de Laplace 479 Problemas no homogéneos con valores en la frontera 484 Desarrollos en series ortogonales 491 Problemas dimensionales de orden superior 496 REPASO DEL C APÍTULO 12 499 Aceshot1/Shutterstock.com CONTENIDO 13 Problemas con valores en la frontera en otros sistemas coordenados 502 13.1 Coordenadas polares 503 13.2 Coordenadas polares y cilíndricas 13.3 Coordenadas esféricas 515 508 REPASO DEL C APÍTULO 13 517 14 Transformadas integrales 520 Lehrer/Shutterstock.com O 14.1 14.2 14.3 14.4 Función de error 521 Transformada de Laplace 522 Integral de Fourier 530 Transformadas de Fourier 536 REPASO DEL C APÍTULO 14 Sdecoret/Shutterstock.com viii 542 15 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales 544 15.1 Ecuación de Laplace 545 15.2 Ecuación de calor 550 15.3 Ecuación de onda 555 REPASO DEL C APÍTULO 15 559 Apéndices A Funciones definidas por integrales APP-3 B Matrices APP-11 C Transformadas de Laplace APP-29 Respuestas a los problemas seleccionados con numeracion impar RES-1 Índice I-1 Prefacio a esta edición métrica (VWDYHUVLyQPpWULFDLQWHUQDFLRQDOGL¿HUHGHODYHUVLyQHVWDGRXQLGHQVHGHEcuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera1RYHQDHGLFLyQHQORVLJXLHQWH /DVXQLGDGHVGHPHGLGDXWLOL]DGDVHQODPD\RUtDGHORVHMHPSORV\HMHUFLFLRV VH KDQ FRQYHUWLGR GHO VLVWHPD GH XQLGDGHV DFRVWXPEUDGDV HQ ORV (VWDGRV 8QLGRV 86&6 WDPELpQOODPDGRGH8QLGDGHVLQJOHVDVR,PSHULDOHV DXQLGDGHVPpWULFDV (VWD YHUVLyQ PpWULFD LQFOX\H WDEODV GH FRQYHUVLyQ SDUD FRQVXOWDUODV FRQIRUPH WUDEDMHHQODVDSOLFDFLRQHV\HMHUFLFLRVUHODFLRQDGRV AL ESTUDIANTE /RVDXWRUHVGHORVOLEURVYLYHQFRQODHVSHUDQ]DGHTXHDOJXLHQHQUHDOLGDGORV lea$OFRQWUDULRGHORTXHXVWHGSRGUtDFUHHUFDVLWRGRWH[WRGHPDWHPiWLFDVGHQLYHO XQLYHUVLWDULRHVWiHVFULWRSDUDXVWHG\QRSDUDHOSURIHVRU&LHUWRHVTXHORVWHPDVFX ELHUWRVHQHOWH[WRVHHVFRJLHURQFRQVXOWDQGRDORVSURIHVRUHV\DTXHHOORVWRPDQOD GHFLVLyQDFHUFDGHVLKD\TXHXVDUORVHQVXVFODVHVSHURWRGRORHVFULWRHQpOHVWiGLUL JLGRGLUHFWDPHQWHDXVWHGDOHVWXGLDQWH(QWRQFHVTXHUHPRVLQYLWDUOH²QRHQUHDOL GDGTXHUHPRVSHGLUOH²TXH£OHDHVWHOLEURGHWH[WR3HURQRORKDJDFRPROHHUtDXQD QRYHODQRGHEHOHHUORUiSLGR\QRGHEHVDOWDUVHQDGD3LHQVHHQHVWHOLEURFRPRXQ cuaderno de ejercicios&UHHPRVTXHODVPDWHPiWLFDVVLHPSUHGHEHUtDQVHUHVWXGLD GDVFRQOiSL]\SDSHODODPDQRSRUTXHPX\SUREDEOHPHQWHWHQGUiTXHtrabajar los HMHPSORV\KDFHUORVDQiOLVLV/HD²PiVELHQWUDEDMH²todosORVHMHPSORVGHXQD VHFFLyQDQWHVGHLQWHQWDUFXDOTXLHUDGHORVHMHUFLFLRV/RVHMHPSORVVHKDQGLVHxDGR SDUDPRVWUDUORTXHFRQVLGHUDPRVVRQORVDVSHFWRVPiVLPSRUWDQWHVGHFDGDVHFFLyQ \SRUWDQWRPXHVWUDQORVSURFHGLPLHQWRVQHFHVDULRVSDUDWUDEDMDUODPD\RUtDGHORV SUREOHPDVGHORVFRQMXQWRVGHHMHUFLFLRV6LHPSUHOHVGHFLPRVDQXHVWURVHVWXGLDQWHV TXHFXDQGROHDQXQHMHPSORWDSHQVXVROXFLyQHLQWHQWHQWUDEDMDUSULPHURHQHOOD FRPSDUDUVXUHVSXHVWDFRQODVROXFLyQGDGD\OXHJRUHVROYHUFXDOTXLHUGLIHUHQFLD +HPRVWUDWDGRGHLQFOXLUORVSDVRVPiVLPSRUWDQWHVSDUDFDGDHMHPSORSHURVLDOJR QRHVFODURXVWHGSRGUtDVLHPSUHLQWHQWDUFRPSOHWDUORVGHWDOOHVRSDVRVTXHIDOWDQ\ DTXtHVGRQGHHOSDSHO\HOOiSL]HQWUDQRWUDYH]3XHGHTXHQRVHDIiFLOSHURHVSDUWH GHOSURFHVRGHDSUHQGL]DMH/DDFXPXODFLyQGHKHFKRVVHJXLGRVSRUODOHQWDDVLPLOD FLyQGHODFRPSUHQVLyQVLPSOHPHQWHQRVHSXHGHDOFDQ]DUVLQWUDEDMDUDUGXDPHQWH (VSHFt¿FDPHQWH SDUD XVWHG HVWi GLVSRQLEOH XQ Manual de recursos del estudiante, (SRM en idioma inglés y se comercializa por separado FRPRXQVXSOHPHQWR RSFLRQDO $GHPiV GH TXH FRQWLHQH VROXFLRQHV GH SUREOHPDV VHOHFFLRQDGRV GH ORV FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV HO 650 WLHQH VXJHUHQFLDV SDUD OD VROXFLyQ GH SUREOHPDV HMHPSORVDGLFLRQDOHV\XQUHSDVRGHODViUHDVGHiOJHEUD\FiOFXORTXHVLHQWRVRQ SDUWLFXODUPHQWH LPSRUWDQWHV SDUD HO HVWXGLR H[LWRVR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV &RQVLGHUHTXHQRWLHQHTXHDGTXLULUHOSRMSXHGHUHYLVDUODVPDWHPiWLFDVDSURSLD GDVGHVXVYLHMRVOLEURVGHSUHFiOFXORRGHFiOFXOR (QFRQFOXVLyQOHGHVHDPRVEXHQDVXHUWH\p[LWR(VSHUDPRVTXHGLVIUXWHHOOLEUR \HOFXUVRTXHHVWiSRULQLFLDU&XDQGRpUDPRVHVWXGLDQWHVGHODOLFHQFLDWXUDHQPDWH PiWLFDVHVWHFXUVRIXHXQRGHQXHVWURVIDYRULWRVSRUTXHQRVJXVWDQODVPDWHPiWLFDV TXHHVWiQFRQHFWDGDVFRQHOPXQGRItVLFR6LWLHQHDOJ~QFRPHQWDULRRVLHQFXHQWUD DOJ~QHUURUFXDQGROHDRWUDEDMHFRQpVWHRVLQRVTXLHUHKDFHUOOHJDUXQDEXHQDLGHD SDUDPHMRUDUHOOLEURSRUIDYRUSyQJDVHHQFRQWDFWRFRQQRVRWURVDWUDYpVGHQXHVWUR HGLWRUHQ&HQJDJH/HDUQLQJ ix x O PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA AL PROFESOR (QFDVRGHTXHH[DPLQHHVWHWH[WRSRUSULPHUDYH]Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la fronteraQRYHQDHGLFLyQVHSXHGHXWLOL]DU\DVHDSDUD XQ FXUVR GH XQ VHPHVWUH GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV R SDUD FXEULU XQ FXUVRGHGRVVHPHVWUHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV\SDUFLDOHV3DUDXQ FXUVRVHPHVWUDOVXSRQHPRVTXHORVHVWXGLDQWHVKDQFRPSOHWDGRFRQp[LWRDOPHQRV GRVVHPHVWUHVGHFiOFXOR'DGRTXHXVWHGHVWiOH\HQGRHVWRVLQGXGD\DKDH[DPL QDGRODWDEODGHFRQWHQLGRVSDUDORVWHPDVTXHFXEULUi (QHVWHSUHIDFLRQRHQFRQWUDUi³XQSURJUDPDVXJHULGR´1RSUHWHQGHUHPRVVHU WDQVDELRVFRPRSDUDGHFLUDRWURVSURIHVRUHVORTXHGHEHQHQVHxDUHQVXVFODVHV 6HQWLPRVTXHKD\PXFKRPDWHULDODTXtSDUDHVFRJHU\IRUPDUXQFXUVRDVXJXVWR(O WH[WRWLHQHXQHTXLOLEULRUD]RQDEOHHQWUHORVPpWRGRVDQDOtWLFRVFXDOLWDWLYRV\FXDQ WLWDWLYRVHQHOHVWXGLRGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QFXDQWRDQXHVWUD³¿ORVRItD VXE\DFHQWH´ pVWD HV TXH XQ OLEUR SDUD HVWXGLDQWHV GH QLYHO VXSHULRU GHEHUtD HVWDU HVFULWRFRQVLGHUDQGRVLHPSUHODFRPSUHVLyQGHOHVWXGLDQWHORTXHVLJQL¿FDTXHHO PDWHULDOGHEHUtDHVWDUSUHVHQWDGRHQXQDIRUPDGLUHFWDOHJLEOH\~WLOFRQVLGHUDQGRHO QLYHOWHyULFRFRPSDWLEOHFRQODLGHDGHXQ³SULPHUFXUVR´ $ODVSHUVRQDVIDPLOLDUL]DGDVFRQODVHGLFLRQHVDQWHULRUHVQRVJXVWDUtDPHQFLR QDUOHVDOJXQDVGHODVPHMRUDVKHFKDVHQHVWDHGLFLyQ 6HKDQDFWXDOL]DGRPXFKRVFRQMXQWRVGHHMHUFLFLRVDJUHJDQGRQXHYRVSUREOHPDV $OJXQRVGHHVWRVSUREOHPDVLPSOLFDQQXHYRV\TXH\RFRQVLGHURLQWHUHVDQWHVPRGHORV PDWHPiWLFRV 6HKDQDJUHJDGRFRPHQWDULRV¿JXUDV\HMHPSORVDGLFLRQDOHVDPXFKDVVHFFLRQHV (QWRGRHOOLEURVHOHKHGDGRXQPD\RUpQIDVLVDORVFRQFHSWRVGHHFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVSRUSDUWHV\DODVVROXFLRQHVTXHLPSOLFDQLQWHJUDOHVQR HOHPHQWDOHV (O$SpQGLFH$,QWHJUDOHVGH¿QLGDVGHIXQFLRQHVHVQXHYRHQHOOLEUR 6HKDDJUHJDGRHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQDODQiOLVLVHQODVHFFLyQ Ecuación de onda 6HKDUHHVFULWRODVHFFLyQProblemas con valores en la frontera no homogéneos 6HKDGDGRPD\RUpQIDVLVDODV)XQFLRQHVGH%HVVHOPRGL¿FDGDVHQODVHFFLyQ Coordenadas polares y cilíndricas RECURSOS PARA LOS ESTUDIANTES • Los Student Resource and Solutions Manual 650HQLGLRPDLQJOpV\VHFRPHU FLDOL]DQSRUVHSDUDGR HODERUDGRVSRU:DUUHQ6:ULJKW\&DURO':ULJKW (O YROXPHQ FRQ ,6%1 DFRPSDxD D Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, novena edición, presentan UHSDVRVGHOPDWHULDOPiVLPSRUWDQWHGHiOJHEUD\FiOFXORWRGDVODVVROXFLRQHV GHOWHUFHUSUREOHPDGHFDGDFRQMXQWRGHHMHUFLFLRV H[FHSWRORVSUREOHPDVGH DQiOLVLV\ODVWDUHDVGHOODERUDWRULRGHFyPSXWR ORVFRPDQGRV\VLQWD[LVPiV importantes de Mathematica \ Maple OLVWDV GH FRQFHSWRV LPSRUWDQWHV DVt FRPR~WLOHVVXJHUHQFLDVGHFyPRHPSH]DUFLHUWRVSUREOHPDV RECURSOS PARA EL PROFESOR (en idioma inglés) • Manual de soluciones del profesor (ISM)HODERUDGRSRU:DUUHQ6:ULJKW\ 5REHUWR0DUWLQH]SURSRUFLRQDVROXFLRQHVLQWHJUDOHVGHVDUUROODGDVSRUWRGRVORV SUREOHPDVHQHOWH[WR(VWiGLVSRQLEOHDWUDYpVGHOD3iJLQD:HEGHOSURIHVRUGH HVWHOLEURHQcengage.com PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA O xi • Cengage Learning Testing Powered by CogneroHVXQVLVWHPDHQOtQHDÀH[LEOH TXHOHSHUPLWHDODXWRUHGLWDU\PDQHMDUHOFRQWHQLGRGHOEDQFRGHUHDFWLYRVFUHDU P~OWLSOHVYHUVLRQHVGHH[DPHQHQXQLQVWDQWH\RIUHFHUH[iPHQHVSDUDVXVLVWHPD GHJHVWLyQGHODSUHQGL]DMH /06 GHVXDXODRGRQGHTXLHUD(VWRHVWiGLVSRQLEOH HQOtQHDHQwww.cengage.com/login • WebAssign HV HO VLVWHPD GH WDUHDV PiV DPSOLDPHQWH XWLOL]DGR HQ OtQHD HQ HGXFDFLyQVXSHULRU'LVSRQLEOHSDUDHVWDYHUVLyQPpWULFD:HE$VVLJQOHSHUPLWH DVLJQDUUHXQLUFDOL¿FDU\UHJLVWUDUODVWDUHDVDWUDYpVGHODZHE(VWHVLVWHPD SUREDGRGHWDUHDVLQFOX\HHQODFHVDVHFFLRQHVGHOOLEURGHWH[WRXQH%RRNYLGHRV HMHPSORV \ WXWRULDOHV GH SUREOHPDV HVSHFt¿FRV 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5D\PRQG)DEHFLouisiana State University 'RQQD)DUULRUUniversity of Tulsa 5REHUW()HQQHOOClemson University :()LW]JLEERQUniversity of Houston xii O PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA +DUYH\-)OHWFKHUBrigham Young University 3DXO-*RUPOH\Villanova /D\DFKL+DGMLUniversity of Alabama 5XEHQ+D\UDSHW\DQKettering University 7HUU\+HUGPDQVirginia Polytechnic Institute and State University =G]LVODZ-DFNLHZLF]Arizona State University 6.-DLQOhio University $QWKRQ\--RKQSoutheastern Massachusetts University 'DYLG&-RKQVRQUniversity of Kentucky, Lexington +DUU\/-RKQVRQ Virginia Polytechnic Institute and State University .HQQHWK5-RKQVRQNorth Dakota State University -RVHSK.D]LPLUEast Los Angeles College -.HHQHUUniversity of Arizona 6WHYH%.KOLHITennessee Technological University +HOPXW.QDXVWThe University of Texas at El Paso &-.QLFNHUERFNHUSensis Corporation &DUORQ$.UDQW]Kean College of New Jersey 7KRPDV*.XG]PDUniversity of Lowell $OH[DQGUD.XUHSDNorth Carolina A&T State University *(/DWWDUniversity of Virginia &HFHOLD/DXULHUniversity of Alabama 0XODWX/HPPD Savannah State University -DPHV50F.LQQH\California Polytechnic State University -DPHV/0HHNUniversity of Arkansas *DU\+0HLVWHUVUniversity of Nebraska, Lincoln 6WHSKHQ-0HUULOOMarquette University 9LYLHQ0LOOHUMississippi State University *HRUJH0RVV Union University *HUDOG0XHOOHUColumbus State Community College 3KLOLS60XOU\Colgate University 0DUWLQ1DNDVKLPD California State Polytechnic University–Pomona &-1HXJHEDXHUPurdue University 7\UH$1HZWRQWashington State University %ULDQ02¶&RQQRUTennessee Technological University -.2GGVRQUniversity of California, Riverside &DURO62¶'HOOOhio Northern University %UXFH2¶1HLOOMilwaukee School of Engineering $3HUHVVLQLUniversity of Illinois, Urbana, Champaign -3HUU\PDQUniversity of Texas at Arlington -RVHSK+3KLOOLSVSacramento City College -DFHN3ROHZF]DNCalifornia State University Northridge 1DQF\-3R[RQCalifornia State University, Sacramento 5REHUW3UXLWWSan Jose State University .5DJHUMetropolitan State College )%5HLVNortheastern University %ULDQ5RGULJXHVCalifornia State Polytechnic University 7RP5RHSouth Dakota State University .LPPR,5RVHQWKDOUnion College %DUEDUD6KDEHOOCalifornia Polytechnic State University 6HHQLWK6LYDVXQGDUDPEmbry-Riddle Aeronautical University 'RQ(6RDVKHillsborough Community College ):6WDOODUGGeorgia Institute of Technology *UHJRU\6WHLQThe Cooper Union 0%7DPEXUURGeorgia Institute of Technology 3DWULFN:DUGIllinois Central College -LDQSLQJ=KXUniversity of Akron -DQ=LMOVWUDMiddle Tennessee State University -D\=LPPHUPDQTowson University Dennis G. Zill Los Angeles, CA Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES © Kevin George/Shutterstock.com 1.1 'H¿QLFLRQHV\WHUPLQRORJtD 1.2 3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV 1.3 (FXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRPRPRGHORVPDWHPiWLFRV REPASO DEL CAPÍTULO 1 L 2 DVSDODEUDVecuaciones\diferencialesFLHUWDPHQWHVXJLHUHQODVROXFLyQGH DOJ~QWLSRGHHFXDFLRQHVTXHFRQWLHQHQGHULYDGDVy, y$OLJXDOTXHHQ XQFXUVRGHiOJHEUD\WULJRQRPHWUtDHQORVTXHVHLQYLHUWHPXFKRWLHPSRHQOD VROXFLyQGHHFXDFLRQHVFRPRx2 5x 4 SDUDODLQFyJQLWDxHQHVWHFXUVRuna GHODVWDUHDVVHUiUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHOWLSRy 2y y SDUDXQD IXQFLyQLQFyJQLWDy (x). &RQIRUPHHOFXUVRVHGHVDUUROOHYHUiTXHKD\PiVHQHOHVWXGLRGHODV HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHVRODPHQWHGRPLQDUORVPpWRGRVLGHDGRVSRU PDWHPiWLFRVGHORV~OWLPRVVLJORVSDUDUHVROYHUODV 3HURYDPRVHQRUGHQ3DUDOHHUHVWXGLDU\SODWLFDUVREUHXQWHPDHVSHFLDOL]DGR HVQHFHVDULRDSUHQGHUODWHUPLQRORJtDGHHVWDGLVFLSOLQD(VDHVODLQWHQFLyQGHODVGRV SULPHUDVVHFFLRQHVGHHVWHFDStWXOR(QOD~OWLPDVHFFLyQH[DPLQDUHPRVEUHYHPHQWH HOYtQFXORHQWUHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV\HOPXQGRUHDO 1.1 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA 3 O DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA INTRODUCCIÓN /DGHULYDGDdydxGHXQDIXQFLyQy (x HVRWUDIXQFLyQ (x TXHVHHQFXHQWUDFRQXQDUHJODDSURSLDGD/DIXQFLyQy e0.1x2HVGHULYDEOHHQHOLQWHUYDOR , \XVDQGR 2 ODUHJODGHODFDGHQDVXGHULYDGDHVdydx 0.2xe0.1x 6LVXVWLWXLPRVe0.1x2SRUyHQHOODGRGHUHFKR GHODHFXDFLyQODGHULYDGDVHUi dy dx 0.2xy (1) $KRUD LPDJLQHPRV TXH XQ DPLJR SODQWHy OD HFXDFLyQ XVWHG QR WLHQH LGHD GH FyPR OD KL]R \VHSUHJXQWD¿cuál es la función representada con el símbolo y?6HHQIUHQWDHQWRQFHVDXQRGHORV SUREOHPDVEiVLFRVGHHVWHFXUVR ¿Cómo resolver una ecuación como la (1) para la función desconocida y (x)? UNA DEFINICIÓN $ODHFXDFLyQ VHOHGHQRPLQDecuación diferencial*.$QWHV GHSURVHJXLUFRQVLGHUHPRVXQDGH¿QLFLyQPiVH[DFWDGHHVWHFRQFHSWR DEFINICIÓN 1.1.1 Ecuación diferencial 8QDHFXDFLyQTXHFRQWLHQHODVGHULYDGDVGHXQDRPiVIXQFLRQHVGHVFRQRFLGDV RYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV UHVSHFWRDXQDRPiVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVVH OODPDEcuación Diferencial (ED). 3DUD KDEODU DFHUFD GH HOODV FODVL¿FDUHPRV D ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SRU tipo, orden\linealidad. CLASIFICACIÓN POR TIPO 6L XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRQWLHQH VyOR GHULYDGDV RUGLQDULDVGHXQDRPiVIXQFLRQHVGHVFRQRFLGDVUHVSHFWRDXQDsolaYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHVHGLFHTXHHVXQDecuación diferencial ordinaria (EDO)8QDHFXDFLyQTXH LQYROXFUDGHULYDGDVSDUFLDOHVGHXQDRPiVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHVGHGRVRPiVIXQFLRQHVGHVFRQRFLGDVVHOODPDecuación diferencial parcial (EDP)1XHVWURSULPHUHMHPSOR LOXVWUDYDULDVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHFDGDWLSR EJEMPLO 1 Tipos de ecuaciones diferenciales a)/DVHFXDFLRQHV 8QD('2SXHGHFRQWHQHU PiVGHXQDIXQFLyQGHVFRQRFLGD dy dx 5y d 2y dx2 ex, dy dx 6y 0, y ↓ ↓ dx dt dy dt 2x y (2) VRQHMHPSORVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV b)/DVVLJXLHQWHVVRQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHV 2 u x2 2 u y2 2 0, u x2 2 u t2 2 u u , y t y v x ([FHSWRHVWDVHFFLyQGHLQWURGXFFLyQHQEcuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, GpFLPDSULPHUDHGLFLyQVyORVHFRQVLGHUDQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV(QHVHOLEURODSDODEUD ecuación\ODDEUHYLDWXUD('VHUH¿HUHQVyORDODV('2/DVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHVR('3VH FRQVLGHUDQHQHOYROXPHQDPSOLDGREcuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, QRYHQDHGLFLyQ * (3) 4 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 2EVHUYHTXHHQODWHUFHUDHFXDFLyQKD\GRVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV\GRVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVHQOD('3(VWRVLJQL¿FDTXHu\vGHEHQVHUIXQFLRQHVGHdos o másYDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV NOTACIÓN $ORODUJRGHOOLEURODVGHULYDGDVRUGLQDULDVVHHVFULELUiQXVDQGRODnotación de Leibniz dydx, d 2ydx 2, d 3ydx 3RODnotación prima y, y, y 8VDQGR HVWD~OWLPDQRWDFLyQODVSULPHUDVGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHQ VHSXHGHQHVFULELUHQ XQDIRUPDXQSRFRPiVFRPSDFWDFRPRy 5y ex\y y 6y (QUHDOLGDGOD QRWDFLyQSULPDVHXVDSDUDGHQRWDUVyORODVSULPHUDVWUHVGHULYDGDVODFXDUWDGHULYDGDVH GHQRWDy(4)HQOXJDUGHy(QJHQHUDOODnpVLPDGHULYDGDGHyVHHVFULEHFRPRd nydx nR \(n)$XQTXHHVPHQRVFRQYHQLHQWHSDUDHVFULELURFRPSRQHUWLSRJUi¿FDPHQWHODQRWDFLyQ GH/HLEQL]WLHQHXQDYHQWDMDVREUHODQRWDFLyQSULPDPXHVWUDFODUDPHQWHDPEDVYDULDEOHV ODVGHSHQGLHQWHV\ODVLQGHSHQGLHQWHV3RUHMHPSORHQODHFXDFLyQ función incógnita o variable dependiente d 2x –––2 16x 0 dt variable independiente VHDSUHFLDGHLQPHGLDWRTXHDKRUDHOVtPERORxUHSUHVHQWDXQDYDULDEOHGHSHQGLHQWH PLHQWUDVTXHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHVt7DPELpQVHGHEHFRQVLGHUDUTXHHQLQJHQLH UtD\HQFLHQFLDVItVLFDVODnotación de puntoGH1HZWRQ QRPEUDGDGHVSHFWLYDPHQWH QRWDFLyQGH³SXQWLWR´ DOJXQDVYHFHVVHXVDSDUDGHQRWDUGHULYDGDVUHVSHFWRDOWLHP SRt$VtODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOd 2sdt 2 VHUis̈ &RQIUHFXHQFLDODVGHULYDGDVSDUFLDOHVVHGHQRWDQPHGLDQWHXQDnotación de subíndiceTXHLQGLFDODVYDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV3RUHMHPSORFRQODQRWDFLyQGHVXEtQGLFHVODVHJXQGDHFXDFLyQHQ VHUiu xx u tt 2u t. CLASIFICACIÓN POR ORDEN (O orden de una ecuación diferencial \D VHD ('2R('3 HVHORUGHQGHODPD\RUGHULYDGDHQODHFXDFLyQ3RUHMHPSOR segundo orden primer orden d 2y ( ) dy 3 ––––2 5 ––– 4y ex dx dx HVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHVHJXQGRRUGHQ(QHOHMHPSORODSULPHUD\ ODWHUFHUDHFXDFLyQHQ VRQ('2GHSULPHURUGHQPLHQWUDVTXHHQ ODVSULPHUDV GRVHFXDFLRQHVVRQ('3GHVHJXQGRRUGHQ$YHFHVODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVGHSULPHURUGHQVHHVFULEHQHQODIRUPDGLIHUHQFLDO M(x, y) dx N(x, y) dy 0. EJEMPLO 2 Forma diferencial de una EDO de primer orden 6LVXSRQHPRVTXH\HVODYDULDEOHGHSHQGLHQWHHQOD('2GHSULPHURUGHQHQWRQFHV UHFXHUGHGHFiOFXORTXHODGLIHUHQFLDO dy VHGH¿QHFRPR dy ydx. a) $OGLYLGLUSRUHOGLIHUHQFLDO dx sHREWLHQHXQDIRUPDDOWHUQDWLYDGHODHFXDFLyQ (y-x) dx 4xdy 0 GDGDSRU y 2 x 1 4x dy dy 5 0 o equivalentemente 4x 1 y 5 x. dx dx . 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA O 5 b) 0XOWLSOLFDQGRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 6xy dy 1 x2 1 y2 5 0 dx SRUdxYHPRVTXHODHFXDFLyQWLHQHXQDIRUPDGLIHUHQFLDODOWHUQDWLYD (x2 1 y2) dx 1 6xy dy 5 0. 6LPEyOLFDPHQWHSRGHPRVH[SUHVDUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHnpVLPR RUGHQFRQXQDYDULDEOHGHSHQGLHQWHSRUODIRUPDJHQHUDO F(x, y, y , . . . , y(n)) 0, (4) GRQGHFHVXQDIXQFLyQFRQYDORUHVUHDOHVGHn YDULDEOHVx, y, y, …, y(n)3RUUD]RQHVWDQWRSUiFWLFDVFRPRWHyULFDVGHDKRUDHQDGHODQWHVXSRQGUHPRVTXHHVSRVLEOH UHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDHQODIRUPDGHODHFXDFLyQ ~QLFDPHQWH SDUDODPD\RUGHULYDGDy(n)HQWpUPLQRVGHODVn YDULDEOHVUHVWDQWHV/DHFXDFLyQ GLIHUHQFLDO d ny f (x, y, y , . . . , y(n 1)), (5) dxn GRQGHfHVXQDIXQFLyQFRQWLQXDFRQYDORUHVUHDOHVVHFRQRFHFRPRODforma normalGH ODHFXDFLyQ $VtTXHSDUDQXHVWURVSURSyVLWRVXVDUHPRVODVIRUPDVQRUPDOHVFXDQGR VHDDGHFXDGR dy d 2y f (x, y) y 2 f (x, y, y ) dx dx SDUD UHSUHVHQWDU HQ JHQHUDO ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV GH SULPHU \ VHJXQGRRUGHQ EJEMPLO 3 Forma normal de una EDO a) 5HVROYLHQGR SDUD OD GHULYDGD GH dy/dx GH OD IRUPD QRUPDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQ dy dy x 2 y 1 y 5 x es 5 . 4x dx dx 4x b)5HVROYLHQGRSDUDODGHULYDGDyODIRUPDQRUPDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQ y0 2 y9 1 6 5 0 es y0 5 y9 2 6y. CLASIFICACIÓN POR LINEALIDAD 6H GLFH TXH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH n-pVLPRRUGHQ HVlinealVLFHVOLQHDOHQy, y, . . . , y (n)(VWRVLJQL¿FDTXHXQD('2 GHn-pVLPRRUGHQHVOLQHDOFXDQGRODHFXDFLyQ HVa n(x)y (n) a n1(x)y (n1) a1 (x)y a 0(x)y g(x) R an(x) dny dx n an 1(x) d n 1y dx n 1 a1(x) dy dx a0(x)y g(x). (6) 'RV FDVRV HVSHFLDOHV LPSRUWDQWHV GH OD HFXDFLyQ VRQ ODV (' OLQHDOHV GH SULPHU RUGHQ n \GHVHJXQGRRUGHQ n a1(x) dy dx a0 (x)y g(x) y a2 (x) d 2y dx2 a1(x) dy dx a0 (x)y g(x). (7) (QODFRPELQDFLyQGHODVXPDGHOODGRL]TXLHUGRGHODHFXDFLyQ YHPRVTXHODVGRV SURSLHGDGHVFDUDFWHUtVWLFDVGHXQD('2VRQODVVLJXLHQWHV • /DYDULDEOHGHSHQGLHQWHy\WRGDVVXVGHULYDGDVy, y, . . . , y (n)VRQGHSULPHU JUDGRHVGHFLUODSRWHQFLDGHFDGDWpUPLQRTXHFRQWLHQHyHVLJXDOD • /RV FRH¿FLHQWHV GH a0, a1, . . . , an GH y, y, . . . , y(n) GHSHQGHQ GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWHx. 6 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDno linealHVVLPSOHPHQWHXQDTXHQRHVOLQHDO/DV IXQFLRQHVQROLQHDOHVGHODYDULDEOHGHSHQGLHQWHRGHVXVGHULYDGDVWDOHVFRPRVHQyRe y’, QRSXHGHQDSDUHFHUHQXQDHFXDFLyQOLQHDO EJEMPLO 4 EDO lineal y no lineal a)/DVHFXDFLRQHV (y x)dx 4x dy 0, y y 2y 0, y 3 3d y x 3 dx x dy dx 5y ex VRQUHVSHFWLYDPHQWHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVlinealesGHSULPHUVHJXQGR\WHUFHURUGHQ $FDEDPRVGHPRVWUDUHQHOLQFLVR D GHOHMHPSORTXHODSULPHUDHFXDFLyQHVOLQHDOHQOD YDULDEOHyFXDQGRVHHVFULEHHQODIRUPDDOWHUQDWLYDxy y x. b)/DVHFXDFLRQHV término no lineal: coeficiente depende de y término no lineal: función no lineal de y (1 y)y 2y e x, d 2y ––––2 sen y 0, dx término no lineal: el exponente es diferente de 1 y d 4y ––––4 y 2 0 dx VRQHMHPSORVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVno linealesGHSULPHUVHJXQGR\ FXDUWRRUGHQUHVSHFWLYDPHQWH SOLUCIONES &RPR\DVHKDHVWDEOHFLGRHQODSiJXQRGHORVREMHWLYRVGHHVWH FXUVRHVUHVROYHURHQFRQWUDUVROXFLRQHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QODVLJXLHQWH GH¿QLFLyQFRQVLGHUDPRVHOFRQFHSWRGHVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULD DEFINICIÓN 1.1.2 Solución de una EDO &XDOTXLHUIXQFLyQ SKL GH¿QLGDVREUHXQLQWHUYDORITXHSRVHHDOPHQRV n GHULYDGDV FRQWLQXDV VREUH I ODV FXDOHV DO VHU VXVWLWXLGDV HQ XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDORUGLQDULDGHRUGHQnUHGXFHODHFXDFLyQDXQDLGHQWLGDGVHOODPD soluciónGHODHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDOR (QRWUDVSDODEUDVXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHnpVLPRRUGHQ HVXQDIXQFLyQTXHSRVHHDOPHQRVnGHULYDGDVSDUDODVTXH F(x, (x), (x), . . . , (n) (x)) 0 para toda x en I. 'HFLPRVTXH satisfaceODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQI3DUDQXHVWURVSURSyVLWRVVXSRQGUHPRVTXHXQDVROXFLyQ HVXQDIXQFLyQFRQYDORUHVUHDOHV(QQXHVWURDQiOLVLVGHLQWURGXFFLyQYLPRVTXHy e0.1x 2HVXQDVROXFLyQGHdydx 0.2xyVREUHHOLQWHUYDOR , ). 2FDVLRQDOPHQWHVHUiFRQYHQLHQWHGHQRWDUXQDVROXFLyQFRQHOVtPERORDOWHUQDWLYR\࣠(x). INTERVALO DE DEFINICIÓN 1RSRGHPRVSHQVDUHQODsoluciónGHXQDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDORUGLQDULDVLQSHQVDUVLPXOWiQHDPHQWHHQXQintervalo(OLQWHUYDORIHQOD GH¿QLFLyQWDPELpQVHFRQRFHFRQRWURVQRPEUHVFRPRVRQLQWHUYDORGHGH¿QLción, intervalo de existencia, intervalo de validezRdominio de la solución\SXHGH VHUXQLQWHUYDORDELHUWR a, b XQLQWHUYDORFHUUDGR>a, b@XQLQWHUYDORLQ¿QLWR a, ), HWFpWHUD 1.1 EJEMPLO 5 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA O 7 9HUL¿FDFLyQGHXQDVROXFLyQ 9HUL¿TXHTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVREUH HOLQWHUYDOR , ). dy 1 4 2y y 0; y xex a) b) y 5 xy1/2; y 5 16 x dx SOLUCIÓN 8QDIRUPDGHYHUL¿FDUTXHODIXQFLyQGDGDHVXQDVROXFLyQFRQVLVWHHQ REVHUYDUXQDYH]TXHVHKDVXVWLWXLGRVLFDGDODGRGHODHFXDFLyQHVHOPLVPRSDUD WRGDxHQHOLQWHUYDOR a) (Q lado izquierdo: dy dx lado derecho: xy1/2 1 1 3 (4 x 3) x, 16 4 1 4 1/2 x x x 16 1 2 x 4 1 3 x, 4 YHPRVTXHFDGDODGRGHODHFXDFLyQHVHOPLVPRSDUDWRGRQ~PHURUHDOx2EVHUYH 1 4 TXHy1/2 14 x 2HVSRUGH¿QLFLyQODUDt]FXDGUDGDQRQHJDWLYDGH 16 x. b) (Q ODV GHULYDGDV y xe x e x \ y xe x 2e x WHQHPRV TXH SDUD WRGR Q~PHUR UHDOx, lado izquierdo: lado derecho: y 0. 2y y (xe x 2e x ) 2(xe x e x) xe x 0, (QHOHMHPSORREVHUYHWDPELpQTXHFDGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOWLHQHODVROXFLyQ FRQVWDQWHy 0, x $ODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHHVLJXDO DFHURVREUHXQLQWHUYDORIVHOHFRQRFHFRPRODsolución trivial. CURVA SOLUCIÓN /D JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ GH XQD ('2 VH OODPD curva solución. 3XHVWR TXH HV XQD IXQFLyQ GHULYDEOH HV FRQWLQXD VREUH VX LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ I3XHGHKDEHUGLIHUHQFLDHQWUHODJUi¿FDGHODfunción \ODJUi¿FDGHOD solución (VGHFLUHOGRPLQLRGHODIXQFLyQQRQHFHVLWDVHULJXDODOLQWHUYDORGH GH¿QLFLyQ I RGRPLQLR GHODVROXFLyQ(OHMHPSORPXHVWUDODGLIHUHQFLD y 1 1 x EJEMPLO 6 a) función y 1/x, x 0 y 1 1 x b) solución y 1/x, (0, ∞ ) FIGURA 1.1.1 /DIXQFLyQy 1xQR HVODPLVPDTXHODVROXFLyQy 1x. Función contra solución a) (OGRPLQLRGHy 1xFRQVLGHUDGRVLPSOHPHQWHFRPRXQDfunciónHVHOFRQMXQWRGH WRGRVORVQ~PHURVUHDOHVxH[FHSWRHO&XDQGRWUD]DPRVODJUi¿FDGHy 1xGLEXMDPRVORVSXQWRVHQHOSODQRxyFRUUHVSRQGLHQWHVDXQMXLFLRVRPXHVWUHRGHQ~PHURVWRPDGRVGHOGRPLQLR/DIXQFLyQUDFLRQDOy 1xHVGLVFRQWLQXDHQHQOD¿JXUD D VH PXHVWUDVXJUi¿FDHQXQDYHFLQGDGGHORULJHQ/DIXQFLyQy 1xQRHVGHULYDEOHHQx \DTXHHOHMHy FX\DHFXDFLyQHVx HVXQDDVtQWRWDYHUWLFDOGHODJUi¿FD b) $KRUDy 1xHVWDPELpQXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHU RUGHQxy y FRPSUXHEH 3HURFXDQGRGHFLPRVTXHy 1xHVXQDsoluciónGH HVWD('VLJQL¿FDTXHHVXQDIXQFLyQGH¿QLGDVREUHXQLQWHUYDORIHQHOTXHHVGHULYDEOH \VDWLVIDFHODHFXDFLyQ(QRWUDVSDODEUDVy 1xHVXQDVROXFLyQGHOD('HQcualquier LQWHUYDOR TXH QR FRQWHQJD WDO FRPR 3, 1), (12, 10), ( R ). 3RUTXHODVFXUYDVVROXFLyQGH¿QLGDVSRUy 1xSDUD3 x \12 x VRQ VLPSOHPHQWH WUDPRV R SDUWHV GH ODV FXUYDV VROXFLyQ GH¿QLGDV SRU y 1x SDUD x \ x UHVSHFWLYDPHQWHHVWRKDFHTXHWHQJDVHQWLGRWRPDUHOLQWHUYDORIWDQJUDQGHFRPRVHDSRVLEOH$VtWRPDPRVI\DVHDFRPR R ). /DFXUYDVROXFLyQHQ HVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E 8 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SOLUCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS 'HEH HVWDU IDPLOLDUL]DGR FRQ ORV WpUPLQRVfunciones explícitas\funciones implícitasGHVXFXUVRGHFiOFXOR$XQD VROXFLyQ HQ OD FXDO OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH VH H[SUHVD VyOR HQ WpUPLQRV GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH \ ODV FRQVWDQWHV VH OH FRQRFH FRPR solución explícita 3DUD QXHVWURVSURSyVLWRVFRQVLGHUHPRVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDFRPRXQDIyUPXODH[SOtFLWDy (x TXHSRGDPRVPDQHMDUHYDOXDU\GHULYDUPHGLDQWHODVUHJODVXVXDOHV $FDEDPRV GH YHU HQ ORV GRV ~OWLPRV HMHPSORV TXH y 161 x4 , y xe x \ y 1x VRQ VROXFLRQHV H[SOtFLWDV UHVSHFWLYDPHQWH GHdydx xy 1/2, y 2y y \ xy y $GHPiV OD VROXFLyQ WULYLDO y HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH FDGD XQDGHHVWDVWUHVHFXDFLRQHV&XDQGROOHJXHPRVDOSXQWRGHUHDOPHQWHUHVROYHUODV HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVYHUHPRVTXHORVPpWRGRVGHVROXFLyQQRVLHPSUH FRQGXFHQGLUHFWDPHQWHDXQDVROXFLyQH[SOtFLWDy (x (VWRHVSDUWLFXODUPHQWH FLHUWR FXDQGR LQWHQWDPRV UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ &RQ IUHFXHQFLDWHQHPRVTXHFRQIRUPDUQRVFRQXQDUHODFLyQRH[SUHVLyQG(x, y) TXH GH¿QHXQDVROXFLyQLPSOtFLWDPHQWH DEFINICIÓN 1.1.3 Solución implícita de una EDO 6HGLFHTXHXQDUHODFLyQG(x, y) HVXQDsolución implícita GHXQDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDORUGLQDULD VREUHXQLQWHUYDORIVLHPSUHTXHH[LVWDDOPHQRVXQD IXQFLyQTXHVDWLVIDFHODUHODFLyQDVtFRPRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHI. (VWiIXHUDGHODOFDQFHGHHVWHFXUVRLQYHVWLJDUEDMRTXpFRQGLFLRQHVODUHODFLyQG(x, y) GH¿QH XQD IXQFLyQ GHULYDEOH 3RU OR TXH VXSRQGUHPRV TXH VL LPSOHPHQWDU IRUPDOPHQWHXQPpWRGRGHVROXFLyQQRVFRQGXFHDXQDUHODFLyQG(x, y) HQWRQFHV H[LVWHDOPHQRVXQDIXQFLyQ TXHVDWLVIDFHWDQWRODUHODFLyQ TXHHVG(x, (x)) 0) FRPRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDORI6LODVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y) 0 HVEDVWDQWHVLPSOHSRGHPRVVHUFDSDFHVGHGHVSHMDUDyHQWpUPLQRVGHx\REWHQHUXQD RPiVVROXFLRQHVH[SOtFLWDV9HDHQLQFLVRiv)HQORVComentarios. EJEMPLO 7 Comprobación de una solución implícita /DUHODFLyQx 2 y 2 HVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO dy dx x y (8) VREUHHOLQWHUYDORDELHUWR 'HULYDQGRLPSOtFLWDPHQWHREWHQHPRV d 2 x dx d 2 y dx d 25 o dx 2x dy 2y dx (9) 0. 5HVROYLHQGR OD ~OWLPD HFXDFLyQ SDUD dydx VH REWLHQH $GHPiV UHVROYLHQGR x 2 y 2 SDUDyHQWpUPLQRVGHxVHREWLHQH y 225 x2 /DVGRVIXQFLRQHV y 1(x) 125 x2 y y 2(x) 125 x2 VDWLVIDFHQ OD UHODFLyQ TXH HV x 2 12 \x 2 22 \VRQODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGH¿QLGDVVREUHHOLQWHUYDOR /DVFXUYDVVROXFLyQGDGDVHQODV¿JXUDV E \ F VRQWUDPRVGH ODJUi¿FDGHODVROXFLyQLPSOtFLWDGHOD¿JXUD D 1.1 y y 5 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA 9 y 5 5 5 5 5 O x x x −5 a) solución implícita x y 25 2 2 b) solución explícita y1 25 x , 5 2 c) solución explícita x 5 y2 25 x 2, 5 x 5 FIGURA 1.1.2 8QDVROXFLyQLPSOtFLWD\GRVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGH HQHOHMHPSOR 'HELGRDTXHODGLIHUHQFLDHQWUHXQDVROXFLyQH[SOtFLWD\XQDVROXFLyQLPSOtFLWD GHEHUtDVHULQWXLWLYDPHQWHFODUDQRGLVFXWLUHPRVHOWHPDGLFLHQGRVLHPSUH³$TXtHVWi XQDVROXFLyQH[SOtFLWD LPSOtFLWD ´ FAMILIAS DE SOLUCIONES (OHVWXGLRGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHVVLPLODUDO GHO FiOFXOR LQWHJUDO &XDQGR REWHQHPRV XQD DQWLGHULYDGD R XQD LQWHJUDO LQGH¿QLGD HQFiOFXORXVDPRVXQDVRODFRQVWDQWHcGHLQWHJUDFLyQ'HPRGRVLPLODUFXDQGRUHVROYHPRV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ F(x, y, y) 0, usualmente REWHQHPRVXQDVROXFLyQTXHFRQWLHQHXQDVRODFRQVWDQWHDUELWUDULDRSDUiPHWURc8QD VROXFLyQTXHFRQWLHQHXQDFRQVWDQWHDUELWUDULDUHSUHVHQWDXQFRQMXQWRG(x, y, c) 0 GH VROXFLRQHV OODPDGR familia de soluciones uniparamétrica &XDQGR UHVROYHPRV XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHRUGHQn, F(x, y, y, . . . , y (n)) EXVFDPRVXQDfamilia de soluciones n-paramétrica G(x, y, c1, c 2, . . . , cn) (VWRVLJQL¿FDTXHXQDVRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHWHQHUXQLQ¿QLWRGHVROXFLRQHVTXHFRUUHVSRQGHQDXQQ~PHUR HQRUPHGHHOHFFLRQHVGHORVSDUiPHWURV8QDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXH HVWiOLEUHGHODHOHFFLyQGHSDUiPHWURVVHOODPDsolución particular. (QXQDIDPLOLD GHVROXFLRQHVFRPRG(x, y, c1, c2, ..., cn)ORVSDUiPHWURVVRQKDVWDFLHUWRSXQWR DUELWUDULRV 3RU HMHPSOR SURFHGLHQGR FRPR HQ XQD UHODFLyQ x2y2c VDWLVIDFH IRUPDOPHQWHD SDUDFXDOTXLHUFRQVWDQWHc6LQHPEDUJRGHEHVREUHQWHQGHUVHTXH ODUHODFLyQVyORWLHQHVHQWLGRHQHOVLVWHPDGHORVQ~PHURVUHDOHVDVtVLcQRHV YiOLGRD¿UPDUTXHx2y2HVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO y c>0 c=0 x c<0 EJEMPLO 8 Soluciones particulares a)/DIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDy cx xFRVxHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQ OLQHDOGHSULPHURUGHQ FIGURA 1.1.3 $OJXQDVVROXFLRQHVGH OD('GHOLQFLVRD GHOHMHPSOR xy y x 2VHQx y VREUHHOLQWHUYDOR , FRPSUXHEH /D¿JXUDPXHVWUDODVJUi¿FDVGHDOJXQDV GHODVVROXFLRQHVHQHVWDIDPLOLDSDUDGLIHUHQWHVHOHFFLRQHVGHc/DVROXFLyQy x FRVxODFXUYDD]XOHQOD¿JXUDHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUFRUUHVSRQGLHQWHDc 0. b)/DIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVy c1e x c 2xe xHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ x y 2y y 0 GHOLQFLVRE GHOHMHPSOR FRPSUXHEH (QOD¿JXUDKHPRVPRVWUDGRVLHWHGHODV ³GREOHPHQWHLQ¿QLWDV´VROXFLRQHVGHODIDPLOLD/DVFXUYDVVROXFLyQHQURMRYHUGH\ FIGURA 1.1.4 $OJXQDVVROXFLRQHVGH D]XOVRQODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVSDUWLFXODUHVy 5[H࣠x (c1 0, c 2 5), y 3e x OD('GHOLQFLVRE GHOHMHPSOR (c1 3, c 2 \y 5e x 2xe x (c1 5, c2 UHVSHFWLYDPHQWH 10 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES $OJXQDVYHFHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOWLHQHXQDVROXFLyQTXHQRHVPLHPEURGHXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQHVGHFLUXQDVROXFLyQTXHQRVHSXHGHREWHQHUXVDQGR XQSDUiPHWURHVSHFt¿FRGHODIDPLOLDGHVROXFLRQHV(VDVROXFLyQH[WUDVHOODPD solución singular3RUHMHPSORYHPRVTXH y 161 x4 \y VRQVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO dydx xy1/2 VREUH , (Q OD VHFFLyQ GHPRVWUDUHPRV DO UHVROYHUOD UHDOPHQWHTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx xy1/2WLHQHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVXQLSDUDPpWULFD y 14 x2 c 2, c &XDQGRc ODVROXFLyQSDUWLFXODUUHVXOWDQWHHV y 161 x4 3HUR REVHUYH TXH OD VROXFLyQ WULYLDO y HV XQD VROXFLyQ VLQJXODU \D TXH QRHVXQPLHPEURGHODIDPLOLDy 14 x2 c 2 SRUTXHQRKD\PDQHUDGHDVLJQDUOHXQ YDORUDODFRQVWDQWHcSDUDREWHQHUy 0. (QWRGRVORVHMHPSORVDQWHULRUHVKHPRVXVDGRx\ySDUDGHQRWDUODVYDULDEOHV LQGHSHQGLHQWH\GHSHQGLHQWHUHVSHFWLYDPHQWH3HURGHEHUtDDFRVWXPEUDUVHDYHU\WUDEDMDUFRQRWURVVtPERORVTXHGHQRWDQHVWDVYDULDEOHV3RUHMHPSORSRGUtDPRVGHQRWDU ODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHSRUt\ODYDULDEOHGHSHQGLHQWHSRUx. ( ) ( EJEMPLO 9 ) Usando diferentes símbolos /DVIXQFLRQHVx c1 FRVt\x c2 VHQtGRQGHc1\c2VRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDVR SDUiPHWURVVRQDPEDVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO x 16x 0. 3DUDx c1FRVtODVGRVSULPHUDVGHULYDGDVUHVSHFWRDtVRQx 4c1VHQt\ x 16c1FRVt.6XVWLWX\HQGRHQWRQFHVDx\xVHREWLHQH x 16x 16c1 cos 4t 16(c1 cos 4t) 0. 'HODPLVPDPDQHUDSDUDx c2VHQtWHQHPRVx 16c 2VHQt\DVt x 16x 16c2 sen 4t 0. )LQDOPHQWHHVVHQFLOORFRPSUREDUGLUHFWDPHQWHTXHODFRPELQDFLyQOLQHDOGHVROXFLRQHVRODIDPLOLDGHGRVSDUiPHWURVx c1FRVt c2VHQtHVWDPELpQXQDVROXFLyQ GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO y c 1 x c<1 (OVLJXLHQWHHMHPSORPXHVWUDTXHODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGH VHUXQDIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV EJEMPLO 10 a) dos soluciones explicitas 8QDVROXFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV /DIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHIXQFLRQHVPRQRPLDOHVFXiUWLFDVy cx4HVXQDVROXFLyQ H[SOtFLWDGHODHFXDFLyQOLQHDOGHSULPHURUGHQ xy 4y 0 y c 1, x )0 x c<1, x0 HQHOLQWHUYDOR , &RPSUXHEH /DVFXUYDVVROXFLyQD]XO\URMDTXHVHPXHVWUDQ HQOD¿JXUD D VRQODVJUi¿FDVGHy = x4\y = x4\FRUUHVSRQGHQDODVHOHFFLRQHV GHc \c = UHVSHFWLYDPHQWH /DIXQFLyQGHULYDEOHGH¿QLGDSRUWUDPRV y b) solución definida en tramos FIGURA 1.1.5 16(c2 sen 4t) $OJXQDVVROXFLRQHV GHOD('GHOHMHPSOR x4, x4, x x 0 0 HVWDPELpQXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQSHURQRVHSXHGHREWHQHUGHODIDPLOLDy cx4SRUXQDVRODHOHFFLyQGHcFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDE ODVROXFLyQ VHFRQVWUX\HDSDUWLUGHODIDPLOLDHOLJLHQGRc SDUDx \c SDUDx 0. 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA 11 O SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES +DVWDHVWHPRPHQWRKHPRVDQDOL]DGR VyOR HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH FRQWLHQHQ XQD IXQFLyQ LQFyJQLWD 3HUR FRQ IUHFXHQFLDHQODWHRUtDDVtFRPRHQPXFKDVDSOLFDFLRQHVGHEHPRVWUDWDUFRQVLVWHPDV GHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV8Qsistema de ecuaciones diferenciales ordinariasWLHQH GRVRPiVHFXDFLRQHVTXHLPSOLFDQGHULYDGDVGHGRVRPiVIXQFLRQHVLQFyJQLWDVGHXQD VRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH3RUHMHPSORVLx\yGHQRWDQDODVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV \t GHQRWDDODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHQWRQFHVXQVLVWHPDGHGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQHVWiGDGRSRU dx dt f(t, x, y) (10) dy dt g(t, x, y). 8QDsoluciónGHXQVLVWHPDWDOFRPRHOGHODHFXDFLyQ HVXQSDUGHIXQFLRQHVGHULYDEOHVx 1(t), y 2(t GH¿QLGDVVREUHXQLQWHUYDORFRP~QITXHVDWLVIDFHFDGD HFXDFLyQGHOVLVWHPDVREUHHVWHLQWHUYDOR COMENTARIOS i 3RGUtDQRVHUHYLGHQWHVLXQD('2GHSULPHURUGHQHVFULWDHQVXIRUPDGLIHUHQFLDOM(x, y)dx + N (x, y)dy HVOLQHDORQROLQHDOSRUTXHQRKD\QDGDHQHVWD IRUPDTXHQRVLQGLFDTXHVtPERORGHQRWDDODYDULDEOHGHSHQGLHQWH9pDQVHORV SUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV ii 9HUHPRVHQORVFDStWXORVVLJXLHQWHVTXHXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHLPSOLFDUXQDIXQFLyQGDGDSRUXQDLQWHJUDOGH¿QLGD8QDPDQHUDGH GH¿QLUXQDIXQFLyQFGHXQDVRODYDULDEOHxSRUPHGLRGHXQLQWHJUDOGH¿QLGDHV F(x) 5 x # g(t) dt. (11) a 6LHOLQWHJUDQGRgHQ HVFRQWLQXDVREUHXQLQWHUYDOR>a, b] \D[b,HQWRQFHVODIRUPDGHGHULYDGDGHO7HRUHPD)XQGDPHQWDOGHOFiOFXORGLFHTXHFHV GHULYDEOHVREUH a, b \ F9(x) 5 d dx x # g(t) dt 5 g(x) (12) a /DLQWHJUDOHQ DPHQXGRHVno elementalHVGHFLUXQDLQWHJUDOGHXQDIXQFLyQgTXHQRWLHQHXQDIXQFLyQHOHPHQWDOSULPLWLYD/DVIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV VRQODVIXQFLRQHVFRQRFLGDVHVWXGLDGDVHQXQFXUVRGHSUHFiOFXORWtSLFR constante, polinomial, racional, exponencial, logarítmica, trigonométrica, y funciones trigonométricas inversas, DVtFRPRSRWHQFLDVUDFLRQDOHVGHHVWDVIXQFLRQHVFRPELQDFLRQHV¿QLWDVGHHVWDV IXQFLRQHVPHGLDQWHVXPDUHVWDPXOWLSOLFDFLyQGLYLVLyQ\FRPSRVLFLyQGHIXQ2 FLRQHV3RUHMHPSORDXQTXH e2t ,Ï1 1 t3, \ cos t2 VRQIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV 2 2t ODVLQWHJUDOHV ee dt, eÏ1 1 t3 dt, \ e cos t2 dt VRQQRHOHPHQWDOHV9pDQVH ORVSUREOHPDVDGHORV(MHUFLFLRV7DPELpQYpDVHHODSpQGLFH$ iii $XQTXHHOFRQFHSWRGHXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOKDVLGRVXEUD\DGRHQHVWDVHFFLyQKD\TXHVHUFRQVFLHQWHVTXHXQD('QRQHFHVDULDPHQWH WLHQHXQDVROXFLyQ9pDVHHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV/DFXHVWLyQGHVL H[LVWHXQDVROXFLyQVHUiWUDWDGDHQODVLJXLHQWHVHFFLyQ iv) $OJXQRVFRPHQWDULRV¿QDOHVUHVSHFWRDODVVROXFLRQHVLPSOtFLWDVGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QHOHMHPSORSXGLPRVGHVSHMDUIiFLOPHQWHODUHODFLyQ x 2 y 2 SDUDyHQWpUPLQRVGHxSDUDREWHQHUODVGRVVROXFLRQHVH[SOtFLWDV 12 CAPÍTULO 1 O INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1(x) 125 x2 \2(x) 125 x2GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 3HUR QRGHEHPRVHQJDxDUQRVFRQHVWH~QLFRHMHPSOR$PHQRVTXHVHDIiFLORLPSRUWDQWHRTXHVHOHLQGLTXHHQJHQHUDOQRHVQHFHVDULRWUDWDUGHGHVSHMDUyH[SOt FLWDPHQWHHQWpUPLQRVGHxGHXQDVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y) 7DPSRFRGHEHPRVPDOLQWHUSUHWDUHOHQXQFLDGRSRVWHULRUDODGH¿QLFLyQ8QDVROXFLyQ LPSOtFLWDG(x, y) SXHGHGH¿QLUSHUIHFWDPHQWHELHQDXQDIXQFLyQGHULYDEOH TXHHVXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDODXQTXHQRVHSXHGDUHVROYHU G(x, y) FRQPpWRGRVDQDOtWLFRVFRPRORVDOJHEUDLFRV/DFXUYDVROXFLyQGH SXHGHVHUXQWUDPRRSDUWHGHODJUi¿FDGHG(x, y) 9pDQVHORVSUREOHPDV \HQORVHMHUFLFLRV7DPELpQOHDHODQiOLVLVVLJXLHQWHDOHMHPSORGH ODVHFFLyQ v 3DUHFHUtDSRFRLPSRUWDQWHVXSRQHUTXHF(x, y, y, . . . , y (n)) VHSXHGHUHVROYHUSDUDy(n)SHURKD\TXHVHUFXLGDGRVRFRQHVWR([LVWHQH[FHSFLRQHV\KD\ UHDOPHQWHDOJXQRVSUREOHPDVFRQHFWDGRVFRQHVWDVXSRVLFLyQ9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV vi) 6L toda VROXFLyQ GH XQD ('2 GH npVLPR RUGHQ F(x, y, y,…, y(n)) = 0 VREUH XQ LQWHUYDOR I VH SXHGH REWHQHU D SDUWLU GH XQD IDPLOLD nSDUiPHWURV G(x, y, c1, c2,…, cn HOLJLHQGRDSURSLDGDPHQWHORVSDUiPHWURVci, i = 1, 2, …, nHQWRQFHVGLUHPRVTXHODIDPLOLDHVOD solución generalGHOD('$OUHVROYHU ('2OLQHDOHVLPSRQHPRVDOJXQDVUHVWULFFLRQHVUHODWLYDPHQWHVLPSOHVHQORVFRH¿FLHQWHVGHODHFXDFLyQFRQHVWDVUHVWULFFLRQHVSRGHPRVDVHJXUDUQRVyORTXH H[LVWHXQDVROXFLyQVREUHXQLQWHUYDORVLQRWDPELpQTXHXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHV SURGXFH WRGDV ODV SRVLEOHV VROXFLRQHV /DV ('2 QR OLQHDOHV FRQ H[FHSFLyQ GH DOJXQDVHFXDFLRQHVGHSULPHURUGHQVRQQRUPDOPHQWHGLItFLOHVRLPSRVLEOHVGH UHVROYHUHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV$GHPiVVLREWHQHPRVXQDIDPLOLD GHVROXFLRQHVSDUDXQDHFXDFLyQQROLQHDOQRHVREYLRVLODIDPLOLDFRQWLHQHWRGDV ODVVROXFLRQHV(QWRQFHVDQLYHOSUiFWLFRODGHVLJQDFLyQGH³VROXFLyQJHQHUDO´VH DSOLFDVyORDODV('2OLQHDOHV(VWHFRQFHSWRVHUiUHWRPDGRHQODVHFFLyQ\HQ HOFDStWXOR EJERCICIOS 1.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1. (QORVSUREOHPDVHVWDEOH]FDHORUGHQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGDGD'HWHUPLQHVLODHFXDFLyQHVOLQHDORQR OLQHDOFRPSDUDQGRFRQODHFXDFLyQ x)y 4xy 1. (1 2. d3y x 3 dx 3. t 5y(4) 4. d 2u dr 2 du dr 5. d 2y dx 2 1 6. d 2R dt 2 dy dx k R2 0 6y u 0 cos(r 2 x 0 u) 9. (y 2 1) dx x dy HQyHQx 10. u dv dy dx . x2 . x 3 1 2 (QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHVLODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO GDGDGHSULPHURUGHQHVOLQHDOHQODYDULDEOHGHSHQGLHQWHLQGLFDGDDODMXVWDUpVWDFRQODSULPHUDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD HQ 4 t 3y 8. ẍ (cos )y cos x 5y y 7. (sen )y (v uv ue u) du 0; en v; en u (QORVSUREOHPDVGHOFRPSUXHEHTXHODIXQFLyQLQGLFDGD HVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD7RPH XQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQDSURSLDGRSDUDFDGDVROXFLyQ 11. 2y y y e x/2 1.1 dy 6 6 20t 20y 24; y e dt 5 5 13. y 6y 13y y e 3xFRVx (QORVSUREOHPDVFRPSUXHEHTXHODIXQFLyQLQGLFDGD y (x HVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO GDGDGHSULPHURUGHQ3URFHGDFRPRHQHOHMHPSORFRQVLGHUDGRD VLPSOHPHQWHFRPRXQDfunción\GpVXGRPLQLR /XHJRFRQVLGHUHD FRPRXQDsoluciónGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\GpDOPHQRVXQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQ y 8; y x 4 x x 30. (Q HO HMHPSOR YLPRV TXH y ␾1(x) 125 x2 \ y 2(x) 125 x2 VRQVROXFLRQHVGHdydx xyVREUHHOLQWHUYDOR ([SOLTXHSRUTXpODIXQFLyQGH¿QLGDHQWUDPRV 2 (QORVSUREOHPDV\FRPSUXHEHTXHODH[SUHVLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD GH SULPHU RUGHQ (QFXHQWUH DO PHQRV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD y (x HQFDGDFDVR8WLOLFHDOJXQDDSOLFDFLyQSDUDWUD]DU JUi¿FDVSDUDREWHQHUODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQH[SOtFLWD'p XQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQGHFDGDVROXFLyQ . 2X 2X); ln X 1)(1 1 1 t 20. 2xy dx (x 2 y) dy 2x 2y y 2 1 (QORVSUREOHPDVFRPSUXHEHTXHODIDPLOLDGHIXQFLRQHV LQGLFDGDHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD6XSRQJD XQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQDGHFXDGRSDUDFDGDVROXFLyQ c1et 21. dP P(1 P); P dt 1 c1et dy 1 4xy 5 8x3; dx 2 23. d y 4 dy 4y dx2 dx 3 d y d 2y 24. x3 3 2x2 2 dx dx 22. c1x y 1 c2 x y 5 2x2 2 1 1 c1e22x c1e2x 0; y x dy dx 2 c2 xe2x 12x2; y 4x (QORVSUREOHPDVXWLOLFH SDUDFRPSUREDUTXHODIXQFLyQ LQGLFDGD HV XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD 6XSRQJDXQLQWHUYDORDGHFXDGRGHGH¿QLFLyQGHFDGDVROXFLyQ 25. dy x dx 2 3xy 5 1; y 5 e3x 26. 2x dy 2 y 5 2x cos x; dx 27. x2 x # 1 x # cosÏtt dt 4 dy 5 10 1 xy 5 10 sen x; y 5 1 x x dx dy 28. 1 2xy 5 1; y 5 e2x2 1 e2x2 dx x x # 1 # e dt 0 t2 x x 0 5 31. y 2y 0 32. 5y 2y 33. y 5y 6y 0 34. 2y 7y 4y 0 (QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHORVYDORUHVGHmSDUDTXHOD IXQFLyQy xmVHDXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD 35. xy 2y 0 36. x2y 7xy 15y 0 (Q ORV SUREOHPDV GHO HPSOHH HO FRQFHSWR GH TXH y c, x HVXQDIXQFLyQFRQVWDQWHVL\VyORVLy SDUDGHWHUPLQDUVLODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDWLHQHVROXFLRQHVFRQVWDQWHV 37. 3xy 5y 10 38. y y 2 2y 3 39. (y 1)y 1 40. y 4y 6y 10 (QORVSUREOHPDV\FRPSUXHEHTXHHOSDUGHIXQFLRQHV TXHVHLQGLFDHVXQDVROXFLyQGHOVLVWHPDGDGRGHHFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVVREUHHOLQWHUYDOR , ). sen t dt t x e 2 42. d x dt 2 3y dy 5x dt x e 2t y e23t dt t y 5 Ïx 5 0 (QORVSUREOHPDVGHWHUPLQHORVYDORUHVGHmSDUDTXHOD IXQFLyQy emxVHDXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD 41. dx dt 2 c3 x ln x x2 , x2, noHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDOR 5, 5). 18. 2y y 3FRVx y (1 VHQx)1/2 (X 25 25 y 17. y 2xy 2 y 1(4 x 2) 0 0 HVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOxy 2y 0 VREUH , ). 16. y 25 y 2 y WDQx dX 19. dt x2, x x2, x y 14. y y WDQx y FRVx OQ VHFx WDQx) x)y 13 O 29. &RPSUXHEHTXHODIXQFLyQGH¿QLGDHQWUDPRV 12. 15. ( y DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA 3y; 3e6t, 2t 5e6t 4y d 2y 4x dt 2 x cos 2t y cos 2t et et; sen 2 t sen 2 t 1 5 et, 1 5 et Problemas para analizar 43. &RQVWUX\DXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHQRWHQJDDOJXQD VROXFLyQUHDO 44. &RQVWUX\DXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHHVWpVHJXURTXHVRODPHQWHWLHQHODVROXFLyQWULYLDOy ([SOLTXHVXUD]RQDPLHQWR 14 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 45. ¢4XpIXQFLyQFRQRFHGHFiOFXORFX\DSULPHUDGHULYDGDVHD HOODPLVPD"¢6XSULPHUDGHULYDGDHVXQP~OWLSORFRQVWDQWH k GH Vt PLVPD" (VFULED FDGD UHVSXHVWD HQ IRUPD GH XQD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQFRQXQDVROXFLyQ WDQJHQWHTXHHVYHUWLFDOD\XGDDGHWHUPLQDUXQLQWHUYDOR I GHGH¿QLFLyQGHXQDVROXFLyQ GHOD('"(ODERUHVXV LGHDV\FRPSDUHFRQVXVHVWLPDFLRQHVGHORVLQWHUYDORVHQ HOSUREOHPD 46. ¢4XpIXQFLyQ RIXQFLRQHV GHFiOFXORFRQRFHFX\DVHJXQGD GHULYDGDVHDHOODPLVPD"¢6XVHJXQGDGHULYDGDHVODQHJDWLYDGHVtPLVPD"(VFULEDFDGDUHVSXHVWDHQIRUPDGHXQD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQFRQXQDVROXFLyQ 53. (QHOHMHPSORHOLQWHUYDORIPiVJUDQGHVREUHHOFXDOODV VROXFLRQHVH[SOtFLWDVy 1(x \y 2(x VHHQFXHQWUDQ GH¿QLGDV HV HO LQWHUYDOR DELHUWR ¢3RU TXp I QR SXHGHVHUHOLQWHUYDORFHUUDGRI GH¿QLGRSRU>@" 47. 'DGRTXHy VHQxHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQ dy GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ 11 y2 HQFXHQWUH dx XQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQI>Sugerencia: I noHVHOLQWHUYDOR , ).] 54. (Q HO SUREOHPD VH GD XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH VROXFLRQHVGHOD('P P(1P ¢&XDOTXLHUFXUYDVROXFLyQSDVDSRUHOSXQWR "¢<SRUHOSXQWR " 48. $QDOLFHSRUTXpLQWXLWLYDPHQWHVHVXSRQHTXHODHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOOLQHDOy 2y 4y VHQtWLHQHXQDVROXFLyQGHODIRUPDy AVHQt BFRVtGRQGHA\BVRQ FRQVWDQWHV'HVSXpVGHWHUPLQHODVFRQVWDQWHVHVSHFt¿FDV A\BWDOHVTXHy AVHQt BFRVtHVXQDVROXFLyQ SDUWLFXODUGHOD(' (QORVSUREOHPDV49\50OD¿JXUDGDGDUHSUHVHQWDODJUi¿FDGH XQDVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y) GHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO dydx f (x, y (QFDGDFDVRODUHODFLyQG(x, y) GH¿QH LPSOtFLWDPHQWHYDULDVVROXFLRQHVGHOD('5HSURGX]FDFXLGDGRVDPHQWHFDGD¿JXUDHQXQDKRMD8VHOiSLFHVGHGLIHUHQWHV FRORUHV SDUD VHxDODU ORV VHJPHQWRV R WUDPRV GH FDGD JUi¿FD TXHFRUUHVSRQGDDODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHV5HFXHUGHTXH XQD VROXFLyQ GHEH VHU XQD IXQFLyQ \ VHU GHULYDEOH 8WLOLFH OD FXUYD VROXFLyQ SDUD HVWLPDU XQ LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ I GHFDGDVROXFLyQ. 49. y y 50. 1 1 1 1 x x FIGURA 1.1.6 *Ui¿FD SDUDHOSUREOHPD 56. /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOx(y)2 4y 12x3 WLHQHOD IRUPDGDGDHQODHFXDFLyQ 'HWHUPLQHVLODHFXDFLyQ VHSXHGHSRQHUHQVXIRUPDQRUPDOdydx f (x, y). 57. /D IRUPD QRUPDO GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH npVLPRRUGHQHVHTXLYDOHQWHDODHFXDFLyQ VLODVGRV IRUPDVWLHQHQH[DFWDPHQWHODVPLVPDVVROXFLRQHV)RUPH XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQSDUDODTXHF(x, y, y) QRVHDHTXLYDOHQWHDODIRUPDQRUPDOdydx f (x, y). 58. 'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH VHJXQGR RUGHQ F(x, y, y, y) SDUDODFXDOy c1x c 2x 2HVXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURV$VHJ~UHVHGHTXHVX HFXDFLyQHVWpOLEUHGHORVSDUiPHWURVc1\c2. $PHQXGRVHSXHGHREWHQHULQIRUPDFLyQFXDOLWDWLYDVREUH XQDVROXFLyQy (x GHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOD HFXDFLyQPLVPD$QWHVGHWUDEDMDUFRQORVSUREOHPDV± UHFXHUGH HO VLJQL¿FDGR JHRPpWULFR GH ODV GHULYDGDV dydx\d 2ydx 2. dy 2 59. &RQVLGHUHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO e<[࣠ . dx a) ([SOLTXHSRUTXpXQDVROXFLyQGHOD('GHEHVHUXQDIXQFLyQFUHFLHQWHVREUHFXDOTXLHULQWHUYDORGHOHMHGHODVx. b) ¢$TXpVRQLJXDOHV" lLm dydx y lLm dydx ¢4Xp x FIGURA 1.1.7 *Ui¿FD SDUDHOSUREOHPD 51. /DVJUi¿FDVGHORVPLHPEURVGHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFD x3 y3 3cxy VH OODPDQ folium de Descartes. &RPSUXHEHTXHHVWDIDPLOLDHVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGH ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQ dy dx 55. $QDOLFH\PXHVWUHFRQHMHPSORVFyPRUHVROYHUHFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVGHODVIRUPDVdydx f (x \G࣠2ydx 2 f (x). y( y3 2x3) x(2y3 x3) 52. /D JUi¿FD GH OD ¿JXUD HV HO PLHPEUR GH OD IDPLOLD GHO IROLXP GHO SUREOHPD FRUUHVSRQGLHQWH Dc = 1. $QDOLFH¢FyPRSXHGHOD('GHOSUREOHPDD\XGDUDGHWHUPLQDUORVSXQWRVGHODJUi¿FDGHx3 y3 3xyGRQGHOD UHFWDWDQJHQWHHVYHUWLFDO"¢&yPRVDEHUGyQGHXQDUHFWD x OH VXJLHUH HVWR UHVSHFWR D XQD FXUYD VROXFLyQ FRQIRUPHx : " c) ' HWHUPLQH XQ LQWHUYDOR VREUH HO FXDO XQD VROXFLyQ FXUYDHVFyQFDYDKDFLDDEDMR\VREUHHOFXDOODFXUYD HVFyQFDYDHQXQLQWHUYDOR d) %RVTXHMH OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ y (x GH OD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOFX\DIRUPDVHVXJLHUHHQORVLQFLVRVD DOF 60. &RQVLGHUHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx ±y. a) <DVHDSRULQVSHFFLyQRDWUDYpVGHOPpWRGRTXHVH VXJLHUHHQORVSUREOHPDVDHQFXHQWUHXQDVROXFLyQFRQVWDQWHGHOD(' b) 8WLOL]DQGR VyOR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHWHUPLQH ORV LQWHUYDORV VREUH HO HMH y HQ ORV TXH XQD VROXFLyQ QR FRQVWDQWHy (x VHDFUHFLHQWH'HWHUPLQHORVLQWHUYDORVVREUHHOHMHyHQORVFXDOHVy (x HVGHFUHFLHQWH 1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 15 b) 'HVFULED OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ y (x 3RU HMHPSOR¢SXHGHXQDFXUYDVROXFLyQWHQHUXQH[WUHPR UHODWLYR" c) ( [SOLTXH SRU TXp y HV OD FRRUGHQDGD y GH XQ SXQWRGHLQÀH[LyQGHXQDFXUYDVROXFLyQ d) 7UDFHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQy (x GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFX\DIRUPDVHVXJLHUHHQORVLQFLVRV D DOF 61. &RQVLGHUH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dydx y(a ± by), GRQGHa\bVRQFRQVWDQWHVSRVLWLYDV a) <DVHDSRULQVSHFFLyQRDWUDYpVGHOPpWRGRTXHVH VXJLHUHHQORVSUREOHPDVDGHWHUPLQHGRVVROXFLRQHVFRQVWDQWHVGHOD(' b) 8VDQGRVyORODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHWHUPLQHORVLQWHUYDORVVREUHHOHMHyHQORVTXHXQDVROXFLyQQRFRQVWDQWHy (x HVFUHFLHQWH'HWHUPLQHORVLQWHUYDORV VREUHORVTXHy (x HVGHFUHFLHQWH c) 8 WLOL]DQGRVyORODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOH[SOLTXHSRUTXp y a2bHVODFRRUGHQDGDyGHXQSXQWRGHLQÀH[LyQGH ODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQQRFRQVWDQWHy (x). d) (QORVPLVPRVHMHVFRRUGHQDGRVWUDFHODVJUi¿FDVGH ODV GRV VROXFLRQHV FRQVWDQWHV HQ HO LQFLVR D (VWDV VROXFLRQHVFRQVWDQWHVSDUWHQHOSODQRxyHQWUHVUHJLRQHV(QFDGDUHJLyQWUDFHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQ QRFRQVWDQWHy (x FX\DIRUPDVHVXJLHUHSRUORV UHVXOWDGRVGHORVLQFLVRVE \F Tarea para el laboratorio de computación (QORVSUREOHPDV\XVHXQ&$6 SRUVXVVLJODVHQLQJOpV 6LVWHPD$OJHEUDLFR&RPSXWDFLRQDO SDUDFDOFXODUWRGDVODV GHULYDGDV\UHDOLFHODVVLPSOL¿FDFLRQHVQHFHVDULDVSDUDFRPSUREDUTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 63. y (4) 20y 158y 580y 841y y xe 5xFRVx 62. &RQVLGHUHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOy y2 4. a) ([SOLTXHSRUTXpQRH[LVWHQVROXFLRQHVFRQVWDQWHVGH ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 64. x3y 2x2y 20xy 78y 0; sen(5 ln x) cos(5 ln x) 3 y 20 x x 1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES INTRODUCCIÓN &RQIUHFXHQFLDQRVLQWHUHVDQSUREOHPDVHQORVTXHEXVFDPRVXQDVROXFLyQy(x GH XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQODTXHTXHy(x VDWLVIDFHFRQGLFLRQHVSUHVFULWDVHVGHFLUFRQGLFLRQHVLPSXHVWDV VREUHXQDy(x GHVFRQRFLGDRVXVGHULYDGDVVREUHDOJ~QLQWHUYDORITXHFRQWLHQHDx0HOSUREOHPDGHUHVROYHU XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHnpVLPRRUGHQVXMHWRDODVnFRQGLFLRQHVTXHORDFRPSDxDQHVSHFL¿FDGDVHQx0 Resolver:: d ny dxn Sujeto a: y(x0) f x, y, y , . . . , y(n y0, y (x0) 1) y1, . . . , y(n (1) 1) (x0) yn 1, GRQGHy 0, y1, . . . , yn1VRQFRQVWDQWHVUHDOHVDUELWUDULDVGDGDVVHOODPDproblema con valores iniciales (PVI) en n-ésimo orden /RV YDORUHV GH y(x \ GH VXV SULPHUDV n ± GHULYDGDV HQ XQ VROR SXQWR x 0, y(x 0) y 0, y(x 0) y1, . . . , y (n1)(x 0) yn1VHOODPDQcondiciones iniciales (CI). 5HVROYHUXQSUREOHPDGHYDORULQLFLDOGHnpVLPRRUGHQWDOFRPR FRQIUHFXHQFLDLPSOLFDHQFRQWUDU SULPHURXQDIDPLOLDnSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD\OXHJRXVDUODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHQx0SDUDGHWHUPLQDUODVnFRQVWDQWHVHQHVWDIDPLOLD/DVROXFLyQSDUWLFXODUUHVXOWDQWHHVWi GH¿QLGDVREUHDOJ~QLQWHUYDORITXHFRQWLHQHHOSULPHUSXQWRx0. y INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS PVI /RVFDVRVn \n HQ soluciones de la ED Resolver:: Sujeto a: (x0, y0) \ I FIGURA 1.2.1 x &XUYDVROXFLyQGHO 39,GHSULPHURUGHQ y Resolver: Sujeto a: dy f (x, y) dx y(x0) y0 d 2y dx 2 y(x0) (2) f (x, y, y ) y0, y (x0) (3) y1 16 O y CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES soluciones de la ED m = y1 (x0, y0) x I FIGURA 1.2.2 &XUYDVROXFLyQGHO 39,GHVHJXQGRRUGHQ y (0, 3) VRQSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHprimer\segundo ordenUHVSHFWLYDPHQWH(VWRV GRVSUREOHPDVVRQIiFLOHVGHLQWHUSUHWDUHQWpUPLQRVJHRPpWULFRV3DUDODHFXDFLyQ HVWDPRVEXVFDQGRXQDVROXFLyQy(x GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOy f(x, y VREUHXQLQWHUYDOR ITXHFRQWHQJDDx0GHIRUPDTXHVXJUi¿FDSDVHSRUHOSXQWRGDGR x0, y0 (QOD¿JXUD VHPXHVWUDHQD]XOXQDFXUYDVROXFLyQ3DUDODHFXDFLyQ TXHUHPRVGHWHUPLQDUXQD VROXFLyQy(x GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOy f (x, y, y VREUHXQLQWHUYDORITXHFRQWHQJD Dx0GHWDOPDQHUDTXHVXJUi¿FDQRVyORSDVHSRUHOSXQWRGDGR x0, y0 VLQRTXHWDPELpQ ODSHQGLHQWHDODFXUYDHQHVHSXQWRVHDHOQ~PHURy1(QOD¿JXUDVHPXHVWUDHQ D]XOXQDFXUYDVROXFLyQ/DVSDODEUDVcondiciones inicialesVXUJHQGHORVVLVWHPDVItVLFRV GRQGHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHVHOWLHPSRt\GRQGHy(t0) y0\y(t0) y1UHSUHVHQWDQ ODSRVLFLyQ\ODYHORFLGDGUHVSHFWLYDPHQWHGHXQREMHWRDOFRPLHQ]RRDOWLHPSRLQLFLDOt0. EJEMPLO 1 Dos PVI de primer orden a) (QHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRVVHOHSLGLyTXHGHGXMHUDTXHy cexHVXQD IDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGHSULPHURUGHQy y7RGDVODV VROXFLRQHVHQHVWDIDPLOLDHVWiQGH¿QLGDVVREUHHOLQWHUYDOR , 6LLPSRQHPRVXQD FRQGLFLyQLQLFLDOGLJDPRVy(0) HQWRQFHVDOVXVWLWXLUx 0, y HQODIDPLOLDVH GHWHUPLQDODFRQVWDQWH ce0 cSRUORTXHy 3e xHVXQDVROXFLyQGHO39, y y, y(0) 3. x (1, −2) FIGURA 1.2.3 &XUYDVVROXFLyQ39, GHOHMHPSOR b)$KRUDVLKDFHPRVTXHODFXUYDVROXFLyQSDVHSRUHOSXQWR HQOXJDUGH HQWRQFHVy(1) VHREWHQGUi2 ceRc 2e1(QHVWHFDVRy 2e x1HV XQDVROXFLyQGHO39, y y, y(1) 2. (QOD¿JXUDVHPXHVWUDQHQD]XORVFXUR\HQURMRRVFXURODVGRVFXUYDVVROXFLyQ y (OVLJXLHQWHHMHPSORPXHVWUDRWURSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQ(Q HVWHHMHPSORREVHUYHFyPRHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQIGHODVROXFLyQy(x GHSHQGHGH ODFRQGLFLyQLQLFLDOy(x0) y0. EJEMPLO 2 Intervalo I GHGH¿QLFLyQGHXQDVROXFLyQ −1 1 x a) función definida para toda x excepto en x = ±1 y −1 1 x (0, −1) b) solución definida sobre el intervalo que contiene x = 0 FIGURA 1.2.4 *Ui¿FDVVREUHOD IXQFLyQ\GHODVROXFLyQGHO39,GHO HMHPSOR (QHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRVVHOHSHGLUiPRVWUDUTXHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQy 2xy2 HVy 1(x2 c 6LHVWDEOHFHPRVODFRQGLFLyQLQLFLDOy(0) HQWRQFHVDOVXVWLWXLUx \ y HQODIDPLOLDGHVROXFLRQHVVHREWLHQH1 1cRc $Vty 1(x21). $KRUDHQIDWL]DPRVODVVLJXLHQWHVWUHVGLIHUHQFLDV • &RQVLGHUDGDFRPRXQDfunciónHOGRPLQLRGHy 1(x2 HVHOFRQMXQWRGH WRGRVORVQ~PHURVUHDOHVxSDUDORVFXDOHVy(x HVWiGH¿QLGDH[FHSWRHQx \ HQx 9HDOD¿JXUD D • &RQVLGHUDGD FRPR XQD solución de la ecuación diferencial y 2xy2 0, HOLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQGHy 1(x2 SRGUtDWRPDUVHFRPRFXDOTXLHU LQWHUYDORVREUHHOFXDOy(x HVWiGH¿QLGD\HVGHULYDEOH&RPRVHSXHGHYHUHQ OD¿JXUD D ORVLQWHUYDORVPiVODUJRVHQORVTXHy 1(x2 HVXQD VROXFLyQVRQ , 1), ( \ ). • &RQVLGHUDGDFRPRuna solución del problema con valores iniciales y 2xy2 0, y(0) HO LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ GH y 1(x2 SRGUtD VHU FXDOTXLHULQWHUYDORVREUHHOFXDOy(x HVWiGH¿QLGDHVGHULYDEOH\FRQWLHQHDO SXQWRLQLFLDOx HOLQWHUYDORPiVODUJRSDUDHOFXDOHVWRHVYiOLGRHV 1, 1). 9HDODFXUYDURMDHQOD¿JXUD E 9pDQVHORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRVSDUDFRQWLQXDUFRQHOHMHPSOR EJEMPLO 3 PVI de segundo orden (QHOHMHPSORGHODVHFFLyQYLPRVTXHx c1FRVt c2VHQtHVXQDIDPLOLDGH VROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVGHx 16x 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGHOSUREOHPD FRQYDORUHVLQLFLDOHV 1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES x 16x 0, x O 2 2, x2 1. 17 (4) SOLUCIÓN 3ULPHUR DSOLFDPRV x(ʌ2) HQ OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV c1 FRVʌ c2VHQʌ 3XHVWRTXHFRVʌ \VHQʌ HQFRQWUDPRVTXH c1 'HVSXpVDSOLFDPRVx(ʌ2) HQODIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHV x(t) FRVt c2VHQt'HULYDQGR\GHVSXpVKDFLHQGRt ʌ\x VHRE1 WLHQH VHQ ʌ 4c2 FRVʌ D SDUWLU GH OR FXDO YHPRV TXH c2 4 3RU WDQWR 1 x 2 cos 4t 4 sen 4t HVXQDVROXFLyQGH EXISTENCIA Y UNICIDAD $OFRQVLGHUDUXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVVXUJHQGRVLPSRUWDQWHVSUHJXQWDV ¿Existe la solución del problema? Si existe la solución, ¿es única? 3DUDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHODHFXDFLyQ SHGLPRV Existencia ecuación diferencial dydx f (x, y) tiene soluciones? {¿La ¿Alguna de las curvas solución pasa por el punto (x , y " podemos estar seguros de que hay precisamente una {¿Cuándo curva solución que pasa por el punto (x , y " 0 Unicidad 0 0 0 2EVHUYHTXHHQORVHMHPSORV\VHXVDODIUDVH³unaVROXFLyQ´HQOXJDUGH³laVROXFLyQ´GHOSUREOHPD(ODUWtFXORLQGH¿QLGR³XQD´VHXVDGHOLEHUDGDPHQWHSDUDVXJHULUOD SRVLELOLGDGGHTXHSXHGHQH[LVWLURWUDVVROXFLRQHV+DVWDHOPRPHQWRQRVHKDGHPRVWUDGRTXHH[LVWHXQD~QLFDVROXFLyQGHFDGDSUREOHPD(OHMHPSORVLJXLHQWHPXHVWUDXQ SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVFRQGRVVROXFLRQHV EJEMPLO 4 Un PVI puede tener varias soluciones y y 5 x 4 /16 &DGDXQDGHODVIXQFLRQHVy 0\y 161 x4 VDWLVIDFHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx xy 1/2 \ODFRQGLFLyQLQLFLDOy(0) SRUORTXHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV 1 y50 (0, 0) x FIGURA 1.2.5 'RVFXUYDVVROXFLyQ GHOPLVPR39,HQHOHMHPSOR dy xy1/2, dx y(0) 0 WLHQHDOPHQRVGRVVROXFLRQHV&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDODVJUi¿FDVGHODV GRVVROXFLRQHVSDVDQSRUHOPLVPRSXQWR 'HQWURGHORVOtPLWHVGHVHJXULGDGGHXQFXUVRIRUPDOGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVXQR SXHGHFRQ¿DUHQTXHODmayoríaGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVWHQGUiQVROXFLRQHV\TXH ODVVROXFLRQHVGHORVSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHVprobablementeVHUiQ~QLFDV6LQ HPEDUJRHQODYLGDUHDOQRHVDVt3RUORWDQWRDQWHVGHWUDWDUGHUHVROYHUXQSUREOHPD FRQYDORUHVLQLFLDOHVHVGHVHDEOHVDEHUVLH[LVWHXQDVROXFLyQ\FXDQGRDVtVHDVLpVWDHV OD~QLFDVROXFLyQGHOSUREOHPD3XHVWRTXHYDPRVDFRQVLGHUDUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV GHSULPHURUGHQHQORVGRVFDStWXORVVLJXLHQWHVHVWDEOHFHUHPRVDTXtVLQGHPRVWUDUORXQ WHRUHPDGLUHFWRTXHGDODVFRQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVSDUDJDUDQWL]DUODH[LVWHQFLD\XQLFLGDG GHXQDVROXFLyQGHXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQGHODIRUPDGDGDHQ ODHFXDFLyQ (VSHUDUHPRVKDVWDHOFDStWXORSDUDUHWRPDUODSUHJXQWDGHODH[LVWHQFLD \XQLFLGDGGHXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQ TEOREMA 1.2.1 Existencia de una solución única 3HQVHPRV HQ R FRPR XQD UHJLyQ UHFWDQJXODU HQ HO SODQR xy GH¿QLGD SRU a x b, c y dTXHFRQWLHQHDOSXQWR x0, y0 HQVXLQWHULRU6Lf (x, y) \ ,f,y VRQ FRQWLQXDV VREUH R HQWRQFHV H[LVWH DOJ~Q LQWHUYDOR I 0 x 0 h, x 0 h), h FRQWHQLGRHQ>a, b@\XQDIXQFLyQ~QLFDy(x GH¿QLGDVREUHI0, TXHHVXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV 18 CAPÍTULO 1 O INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES (OUHVXOWDGRDQWHULRUHVXQRGHORVWHRUHPDVGHH[LVWHQFLD\XQLFLGDGPiVSRSXODUHVSDUDHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQ\DTXHHOFULWHULRGHFRQWLQXLGDGGH f (x, y \GH,f,yHVUHODWLYDPHQWHIiFLOGHFRPSUREDU(QOD¿JXUDVHPXHVWUDOD JHRPHWUtDGHOWHRUHPD y d R EJEMPLO 5 Revisión del ejemplo 4 (x0 , y0) c a I0 b x FIGURA 1.2.6 5HJLyQUHFWDQJXODUR. &RPRYLPRVHQHOHMHPSORODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx xy 1/2WLHQHDOPHQRVGRV VROXFLRQHVFX\DVJUi¿FDVSDVDQSRUHOSXQWR $QDOL]DQGRODVIXQFLRQHV f x f (x, y) xy1/2 y y 2y1/2 YHPRVTXHVRQFRQWLQXDVHQODPLWDGVXSHULRUGHOSODQRGH¿QLGRSRUy 3RUWDQWRHO WHRUHPDQRVSHUPLWHFRQFOXLUTXHDWUDYpVGHFXDOTXLHUSXQWR x0, y0), y0 HQOD PLWDGVXSHULRUGHOSODQRH[LVWHDOJ~QLQWHUYDORFHQWUDGRHQx0HQHOFXDOODHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOGDGDWLHQHXQDVROXFLyQ~QLFD$VtSRUHMHPSORD~QVLQUHVROYHUODVDEHPRV TXHH[LVWHDOJ~QLQWHUYDORFHQWUDGRHQVREUHHOFXDOHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV dydx xy1/2, y(2) WLHQHXQDVROXFLyQ~QLFD (QHOHMHPSORHOWHRUHPDJDUDQWL]DTXHQRKD\RWUDVVROXFLRQHVGHORVSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHVy y, y(0) \y y, y(1) GLVWLQWDVDy 3ex \ y 2ex1 UHVSHFWLYDPHQWH (VWR HV FRQVHFXHQFLD GHO KHFKR GH TXH f(x, y) y \,f,y VRQFRQWLQXDVHQWRGRHOSODQRxy$GHPiVSRGHPRVGHPRVWUDUTXHHOLQWHUYDORIVREUHHOFXDOFDGDVROXFLyQHVWiGH¿QLGDHV , ). INTERVALO DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 6XSRQJD TXH y(x UHSUHVHQWD XQD VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV /RV VLJXLHQWHV WUHV FRQMXQWRV GH Q~PHURV UHDOHV VREUH HO HMH x SXHGHQ QR VHU LJXDOHV HO GRPLQLR GH OD IXQFLyQ y(x HO LQWHUYDOR I VREUH HO FXDO OD VROXFLyQ y(x HVWi GH¿QLGD R H[LVWH \ HO LQWHUYDOR I0 GH H[LVWHQFLD y XQLFLGDG (O HMHPSOR GH OD VHFFLyQ PXHVWUD OD GLIHUHQFLD HQWUH HO GRPLQLR GH XQD IXQFLyQ \ HO LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ $KRUD VXSRQJD TXH x0, y0 HV XQ SXQWR HQHOLQWHULRUGHODUHJLyQUHFWDQJXODURHQHOWHRUHPD(VWRGDFRPRUHVXOWDGRTXHOD FRQWLQXLGDGGHODIXQFLyQf (x, y HQRSRUVtPLVPDHVVX¿FLHQWHSDUDJDUDQWL]DUODH[LVWHQFLD GHDOPHQRVXQDVROXFLyQGHdydx f (x, y), y(x0) y0GH¿QLGDVREUHDOJ~QLQWHUYDORI. (OLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQSDUDHVWHSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVQRUPDOPHQWHVHWRPD FRPRHOLQWHUYDORPiVJUDQGHTXHFRQWLHQHx0HQHOFXDOODVROXFLyQy(x HVWiGH¿QLGD\HV GHULYDEOH(OLQWHUYDORIGHSHQGHWDQWRGHf (x, y FRPRGHODFRQGLFLyQLQLFLDOy(x0) y09HD ORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV/DFRQGLFLyQH[WUDGHFRQWLQXLGDGGHODSULPHUD GHULYDGDSDUFLDO,f,yHQRQRVSHUPLWHGHFLUTXHQRVyORH[LVWHXQDVROXFLyQVREUHDOJ~Q LQWHUYDORI0TXHFRQWLHQHx0VLQRTXHpVWDHVODúnicaVROXFLyQTXHVDWLVIDFHy(x0) y06LQ HPEDUJRHOWHRUHPDQRGDQLQJXQDLQGLFDFLyQGHORVWDPDxRVGHORVLQWHUYDORVI e I0el LQWHUYDORGHGH¿QLFLyQ,QRQHFHVLWDVHUWDQDPSOLRFRPRODUHJLyQ5\HOLQWHUYDORGHH[LVtencia y unicidad I0 puede no ser tan amplio como I. (OQ~PHUR h 0 TXHGH¿QHHOLQWHUYDOR I0: (x0 h, x0 h SRGUtDVHUPX\SHTXHxRSRUORTXHHVPHMRUFRQVLGHUDUTXHODVROXFLyQ y(x HVúnica en un sentido localHVWRHVXQDVROXFLyQGH¿QLGDFHUFDGHOSXQWR x0, y0 9HD HOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV COMENTARIOS i /DVFRQGLFLRQHVGHOWHRUHPDVRQVX¿FLHQWHVSHURQRQHFHVDULDV(VWRVLJQL¿FDTXHFXDQGRf (x, y \,f,yVRQFRQWLQXDVHQXQDUHJLyQUHFWDQJXODURVHGHEH GHGXFLUTXHH[LVWHXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQ \HV~QLFDVLHPSUHTXH x0, y0 VHD XQSXQWRLQWHULRUDR6LQHPEDUJRVLODVFRQGLFLRQHVHVWDEOHFLGDVHQODKLSyWHVLVGHO WHRUHPDQRVRQYiOLGDVHQWRQFHVSXHGHRFXUULUFXDOTXLHUFRVDHOSUREOHPDGH ODHFXDFLyQ puedeWHQHUXQDVROXFLyQ\HVWDVROXFLyQpuedeVHU~QLFDRODHFXD- 1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 19 FLyQ puedeWHQHUYDULDVVROXFLRQHVRpuedeQRWHQHUVROXFLyQ$OOHHUQXHYDPHQWHHOHMHPSORYHPRVTXHODKLSyWHVLVGHOWHRUHPDQRHVYiOLGDHQODUHFWD y SDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx xy1/2SHURHVWRQRHVVRUSUHQGHQWH\D TXHFRPRYLPRVHQHOHMHPSORGHHVWDVHFFLyQKD\GRVVROXFLRQHVGH¿QLGDVVREUH XQLQWHUYDORFRP~Q ±௘h, h TXHVDWLVIDFHy (0) 3RURWUDSDUWHODKLSyWHVLVGHO WHRUHPDQRHVYiOLGDHQODUHFWDy SDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx |y _1RREVWDQWHVHSXHGHSUREDUTXHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVdydx |y 1|, y(0) HV~QLFD¢3XHGHLQWXLUODVROXFLyQ" ii (VUHFRPHQGDEOHSHQVDUWUDEDMDU\UHFRUGDUHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV iii /DVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVHSUHVFULEHQHQXQsoloSXQWRx03HURWDPELpQ QRVLQWHUHVDODVROXFLyQGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHHVWiQVXMHWDVDODVFRQGLFLRQHV HVSHFL¿FDGDV HQ y(x R VX GHULYDGD HQ dos SXQWRV GLIHUHQWHV x0 \ x1. &RQGLFLRQHVFRPR y(1) = 0, y Ry(ʌ2) = 0, y(ʌ) = 1 OODPDGDV condiciones frontera (CF) 8QD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRQ FRQGLFLRQHV IURQWHUDVHFRQRFHFRPRXQproblema con valor en la frontera (PVF)3RUHMHPSOR y y = 0, y(0) = 0, y(ʌ) = 0 HVXQSUREOHPDGHYDORUHQODIURQWHUD9HDORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV &XDQGRHPSHFHPRVDUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHQHOFDStWXOROR KDUHPRVVyORFRQHFXDFLRQHVOLQHDOHVGHSULPHURUGHQ/DVGHVFULSFLRQHVPDWHPiWLFDVGHPXFKRVSUREOHPDVHQFLHQFLDVHLQJHQLHUtDLQYROXFUDQ39,GHVHJXQGR RUGHQRGRVSXQWRVFRPRYDORUHVIURQWHUD([DPLQDUHPRVDOJXQRVGHHVWRVSUREOHPDVHQORVFDStWXORV\ EJERCICIOS 1.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1 (QORVSUREOHPDV\y 1(1 c1ex HVXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHOD('GHSULPHURUGHQy y y2. (QFXHQWUHXQDVROXFLyQGHO39,GHSULPHURUGHQTXHFRQVLVWHHQ HVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODFRQGLFLyQLQLFLDOGDGD 1. y(0) 13 2. y(1) 2 (QORVSUREOHPDVDy 1(x2 c HVXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHOD('GHSULPHURUGHQy 2xy2 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGHO39,GHSULPHURUGHQTXHFRQVLVWH HQHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODFRQGLFLyQLQLFLDOGDGD'pHO LQWHUYDORIPiVODUJRVREUHHOFXDOHVWiGH¿QLGDODVROXFLyQ 3. y(2) 13 4. y(2) 12 5. y(0) 1 6. y (12) 4 (QORVSUREOHPDVx c1FRVt c2VHQtHVXQDIDPLOLD GHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVGHOD('GHVHJXQGRRUGHQ x x 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGHO39,GHVHJXQGRRU GHQTXHFRQVLVWHHQHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODVFRQGLFLRQHV LQLFLDOHVGDGDV 7. x(0) 1, x(0) 8 8. x(ʌ2) 0, x(ʌ2) 1 9. x( 6) 10. x( 4) 1 2, x ( 6) 2, x ( 4) (QORVSUREOHPDVy c1ex c2exHVXQDIDPLOLDGHGRV SDUiPHWURV GH VROXFLRQHV GH VHJXQGR RUGHQ (' y ± y 0. (QFXHQWUHXQDVROXFLyQGHO39,GHVHJXQGRRUGHQTXHFRQVLVWH HQHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDGDV 11. y(0) 1, y(0) 2 12. y(1) 0, 13. y(1) 5, 14. y(0) 0, 15. y 3y 2/3, 16. xy 2y, y(0) 0 y(0) 0 y(0) 0 (Q ORV SUREOHPDV GHWHUPLQH XQD UHJLyQ GHO SODQR xy GRQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDWHQGUtDXQDVROXFLyQ~QLFD FX\DJUi¿FDSDVHSRUXQSXQWR x0, y0 HQODUHJLyQ dy y2/3 dx 18. dy 1xy dx dy y dx 20. dy yx dx 19. x 22 y(1) 5 (QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHSRULQVSHFFLyQDOPHQRV GRVVROXFLRQHVGHO39,GHSULPHURUGHQGDGR 17. 0 y(1) e 20 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 21. (4 y 2)y x 2 22. (1 y 3)y x 2 23. (x 2 y 2)y y 2 24. (y x)y y x (QORVSUREOHPDVDGHWHUPLQHVLHOWHRUHPDJDUDQWL]DTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO y 1y2 9 WHQJDXQD VROXFLyQ~QLFDTXHSDVDSRUHOSXQWRGDGR 25. (1, 4) 26. (5, 3) 27. (2, 3) 28. (1, 1) 29. a) 3RULQVSHFFLyQGHWHUPLQHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFD GHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOxy y&RP SUXHEHTXHFDGDPLHPEURGHODIDPLOLDHVXQDVROXFLyQ GHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVxy y, y(0) 0. b) ([SOLTXH HO LQFLVR D GHWHUPLQDQGR XQD UHJLyQ R HQ HOSODQRxySDUDHOTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOxy y WHQGUtD XQD VROXFLyQ ~QLFD TXH SDVH SRU HO SXQWR (x0, y0 HQR. c) &RPSUXHEHTXHODIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV y 0,x, x x 0 0 VDWLVIDFHODFRQGLFLyQy(0)'HWHUPLQHVLHVWDIXQFLyQHVWDPELpQXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHOLQFLVRD 30. a) &RPSUXHEHTXHy WDQ x c HVXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO y 1 y2. b) 3XHVWRTXHf (x, y) 1 y2\,f,y 2yVRQFRQWLQXDV HQ GRQGH TXLHUD OD UHJLyQ R HQ HO WHRUHPD VH SXHGH FRQVLGHUDU FRPR WRGR HO SODQR xy. 8WLOLFH OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GHO LQFLVR D SDUD GHWHUPLQDUXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHOSUREOHPDFRQ YDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQy 1 y2, y(0) $XQFXDQGRx0 HVWpHQHOLQWHUYDOR 2, 2), H[SOLTXHSRUTXpODVROXFLyQQRHVWiGH¿QLGDVREUH HVWHLQWHUYDOR 32. a) 'HPXHVWUHTXHXQDVROXFLyQGHODIDPLOLDGHOLQFLVR D GHOSUREOHPDTXHVDWLVIDFHy y2, y(1) HV y 1(2 x). b) 'HVSXpV GHPXHVWUH TXH XQD VROXFLyQ GH OD IDPLOLD GHOLQFLVRD GHOSUREOHPDTXHVDWLVIDFHy y2, y(3) = HVy 1(2 x). c) ¢6RQLJXDOHVODVVROXFLRQHVGHORVLQFLVRVD \E " 33. a) 9HUL¿TXH TXH x2 ± y2 c HV XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV XQLSDUDPpWULFDV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO y dydx 3x. b) %RVTXHMHDPDQRODJUi¿FDGHODVROXFLyQLPSOtFLWD 3x2±y2 'HWHUPLQHWRGDVODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVy (x GHOD('GHOLQFLVRD GH¿QLGDVSRUHVWD UHODFLyQ'pHOLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQGHFDGDXQD GHODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDV c) ( OSXQWR HVWiHQODJUi¿FDGHx2±y2 SHUR ¢FXiOGHODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGHOLQFLVRE VDWLVIDFHTXHy(2) " 34. a) 8WLOLFHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHOLQFLVRD GHOSUREOHPD SDUD GHWHUPLQDU XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GHO SUREOH PDFRQYDORUHVLQLFLDOHVy dydx 3x, y(2) 'HV SXpVERVTXHMHDPDQRODJUi¿FDGHODVROXFLyQH[SOtFLWD GHHVWHSUREOHPD\GpVXLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQ b) ¢([LVWHQDOJXQDVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGHy dydx 3xTXHSDVHQSRUHORULJHQ" (QORVSUREOHPDVDVHSUHVHQWDODJUi¿FDGHXQPLHPEUR GHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQd 2ydx 2 f (x, y, y 5HODFLRQHODFXUYDVROXFLyQ FRQDOPHQRVXQSDUGHODVVLJXLHQWHVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV a) y(1) 1, y(1) 2 b) y(1) 0, y(1) 4 c) y(1) 1, y(1) 2 d) y(0) 1, y(0) 2 e) y(0) 1, y(0) 0 f) y(0) 4, y(0) 2 35. y 5 c) ' HWHUPLQHHOLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQPiVODUJRSDUDOD VROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHOLQFLVRE 31. a) &RPSUXHEH TXH y 1(x c HV XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHVXQLSDUDPpWULFDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO y y2. b) 3XHVWRTXHf (x, y) y \,f,y 2yVRQFRQWLQXDV GRQGH VHD OD UHJLyQ R GHO WHRUHPD VH SXHGH WRPDUFRPRWRGRHOSODQRxy'HWHUPLQHXQDVROXFLyQ GHODIDPLOLDGHOLQFLVRD TXHVDWLVIDJDTXHy(0) 1. 'HVSXpVGHWHUPLQHXQDVROXFLyQGHODIDPLOLDGHOLQFLVR D TXH VDWLVIDJD TXH y(0) 'HWHUPLQH HO LQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQPiVODUJRSDUDODVROXFLyQGH FDGDSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV c) ' HWHUPLQHHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQIPiVODUJRSDUD ODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVy y2, y(0) >Sugerencia/DVROXFLyQQRHVXQPLHPEURGHOD IDPLOLDGHVROXFLRQHVGHOLQFLVRD @ 5 x −5 FIGURA 1.2.7 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 2 36. y 5 5 −5 FIGURA 1.2.8 *Ui¿FDGHOSUREOHPD x 1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES 37. 21 48. 'HPXHVWUHTXH y 5 x5 x 5 −5 FIGURA 1.2.9 *Ui¿FDGHOSUREOHPD y 5 y # Ït 11 1 dt 0 3 HVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHOSUREOHPDGHYDORULQLFLDO 2 38. O d 2y dx2 2 3y2 5 0, ys0d 5 0, y9s0d 5 1. 6XSRQJD TXH \ >Sugerencia /D LQWHJUDO HV QR HOHPHQWDO9HDii GHORVComentariosGHODVHFFLyQ@ 49. 'HWHUPLQHXQYDORUSRVLEOHSDUDx0SDUDHOTXHODJUi¿FD GHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVy 2y 3x±y(x0) HVWDQJHQWHDOHMHxHQ x0 ([SOLTXH VXUD]RQDPLHQWR x 5 −5 FIGURA 1.2.10 *Ui¿FDGHOSUREOHPD (QORVSUREOHPDVy = c1FRVx c2VHQxHVXQDIDPLOLDGH VROXFLRQHV GH GRV SDUiPHWURV GH OD (' GH VHJXQGR RUGHQy 4y 6LHVSRVLEOHGHWHUPLQHXQDVROXFLyQGHOD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHVDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHVGDGDV/DV FRQGLFLRQHVHVSHFL¿FDGDVHQGRVSXQWRVGLIHUHQWHVVHGHQRPLQDQFRQGLFLRQHVIURQWHUD 39. y(0) 0, y(ʌ4) 3 40. y(0) 0, y(ʌ) 0 41. y(0) 0, y(ʌ6) 0 42. y(0) 1, y(ʌ) 5 43. y(0) 0, y(ʌ) 2 44. y(ʌ2) 1, y(ʌ) 0 Problemas de análisis (QORVSUREOHPDV\XWLOLFHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV\ \ GHHVWDVHFFLyQ 50. 6XSRQJDPRVTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQ dydx f (x, y WLHQH XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH VROXFLRQHV \ TXH f (x, y VDWLVIDFH ODV KLSyWHVLV GHO WHRUHPDHQDOJXQDUHJLyQUHFWDQJXODURGHOSODQRxy. ([SOLTXH SRU TXp GRV FXUYDV VROXFLyQ GLIHUHQWHV QR VH SXHGHQ LQWHUFHSWDU R VHU WDQJHQWHV HQWUH Vt HQ XQ SXQWR (x0, y0 HQR. 51. /DVIXQFLRQHV y(x) 161 x 4, y(x) 0, 1 4 16 x , x x x 0 0 WLHQHQHOPLVPRGRPLQLRSHURVRQREYLDPHQWHGLIHUHQWHV 9pDQVHODV¿JXUDV D \ E UHVSHFWLYDPHQWH 'HPXHVWUHTXHDPEDVIXQFLRQHVVRQVROXFLRQHVGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVdydx xy1/2, y(2) VREUH HOLQWHUYDOR , 5HVXHOYDODFRQWUDGLFFLyQDSDUHQWH HQWUHHVWHKHFKR\OD~OWLPDRUDFLyQGHOHMHPSOR y 45. (QFXHQWUHXQDIXQFLyQFX\DJUi¿FDHQFDGDSXQWR x, y) WLHQHXQDSHQGLHQWHGDGDSRUe2x 6x\ODLQWHUVHFFLyQ FRQHOHMHyHQ (2, 1) 46. 'HWHUPLQHXQDIXQFLyQFX\DVHJXQGDGHULYDGDHVy 12x HQFDGDSXQWR x, y GHVXJUi¿FD\y x HVWDQJHQWHDODJUi¿FDHQHOSXQWRFRUUHVSRQGLHQWHDx 1. 47. &RQVLGHUHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVy x 2y, y(0) 12 'HWHUPLQHFXiOGHODVGRVFXUYDVTXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUDHVOD~QLFDFXUYDVROXFLyQSRVLEOH ([SOLTXHVXUD]RQDPLHQWR \ x a) y y (2, 1) 1 (0, 12 ) x 1 x FIGURA 1.2.11 *Ui¿FDGHOSUREOHPD b) FIGURA 1.2.12 'RVVROXFLRQHVGHORV39,GHOSUREOHPD 22 O CAPÍTULO 1 1.3 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS INTRODUCCIÓN (QHVWDVHFFLyQLQWURGXFLUHPRVODLGHDGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRPRXQ PRGHORPDWHPiWLFR\DQDOL]DUHPRVDOJXQRVPRGHORVHVSHFt¿FRVHQELRORJtDTXtPLFD\ItVLFD8QD YH]TXHKD\DPRVHVWXGLDGRDOJXQRVGHORVPpWRGRVGHVROXFLyQGHODV('HQORVFDStWXORV\UHWRPDUHPRV\UHVROYHUHPRVDOJXQRVGHHVWRVPRGHORVHQORVFDStWXORV\ MODELOS MATEMÁTICOS &RQIUHFXHQFLDHVGHVHDEOHGHVFULELUHQWpUPLQRVPDWHPiWLFRVHOFRPSRUWDPLHQWRGHDOJXQRVVLVWHPDVRIHQyPHQRVGHODYLGDUHDO\DVHDQItVLFRVVRFLROyJLFRVRLQFOXVRHFRQyPLFRV/DGHVFULSFLyQPDWHPiWLFDGHXQVLVWHPDGHIHQyPHQRVVHOODPDmodelo matemático\VHFRQVWUX\HFRQFLHUWRVREMHWLYRV3RUHMHPSOR SRGHPRVGHVHDUHQWHQGHUORVPHFDQLVPRVGHFLHUWRHFRVLVWHPDDOHVWXGLDUHOFUHFLPLHQWR GHODSREODFLyQDQLPDOHQpORSRGHPRVGHVHDUGDWDUIyVLOHV\DQDOL]DUHOGHFDLPLHQWRGH XQDVXVWDQFLDUDGLDFWLYD\DVHDHQHOIyVLORHQHOHVWUDWRHQHOTXHpVWHIXHGHVFXELHUWR /DIRUPXODFLyQGHXQPRGHORPDWHPiWLFRGHXQVLVWHPDVHLQLFLDFRQ i LGHQWL¿FDFLyQGHODVYDULDEOHVTXHRFDVLRQDQHOFDPELRGHOVLVWHPD3RGUHPRV HOHJLUQRLQFRUSRUDUWRGDVHVWDVYDULDEOHVHQHOPRGHORGHVGHHOFRPLHQ]R(Q HVWHSDVRHVSHFL¿FDPRVHOnivel de resoluciónGHOPRGHOR 'HVSXpV ii V HHVWDEOHFHXQFRQMXQWRGHVXSRVLFLRQHVUD]RQDEOHVRKLSyWHVLVDFHUFDGHO VLVWHPDTXHHVWDPRVWUDWDQGRGHGHVFULELU(VDVKLSyWHVLVWDPELpQLQFOX\HQ WRGDVODVOH\HVHPStULFDVTXHVHSXHGHQDSOLFDUDOVLVWHPD 3DUDDOJXQRVREMHWLYRVTXL]iEDVWHFRQFRQIRUPDUVHFRQPRGHORVGHEDMDUHVROXFLyQ 3RUHMHPSORXVWHG\DHVFRQVFLHQWHGHTXHHQORVFXUVRVEiVLFRVGHItVLFDDOJXQDVYHFHV VHGHVSUHFLDODIXHU]DUHWDUGDGRUDGHODIULFFLyQGHODLUHDOPRGHODUHOPRYLPLHQWRGHXQ FXHUSRTXHFDHFHUFDGHODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUD3HURVLXVWHGHVXQFLHQWt¿FRFX\RWUDEDMR HVSUHGHFLUFRQH[DFWLWXGODWUD\HFWRULDGHYXHORGHXQSUR\HFWLOGHODUJRDOFDQFHGHEHUi FRQVLGHUDUODUHVLVWHQFLDGHODLUH\RWURVIDFWRUHVFRPRODFXUYDWXUDGHOD7LHUUD &RPRODVKLSyWHVLVDFHUFDGHXQVLVWHPDLPSOLFDQFRQIUHFXHQFLDXQDrapidez de cambioGHXQDRPiVGHODVYDULDEOHVHOHQXQFLDGRPDWHPiWLFRGHWRGDVHVDVKLSyWHVLVSXHGHVHUXQDRPiVHFXDFLRQHVTXHFRQWHQJDQderivadas(QRWUDVSDODEUDVHO PRGHOR PDWHPiWLFR SXHGH VHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO R XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV 8QDYH]TXHVHKDIRUPXODGRXQPRGHORPDWHPiWLFR\DVHDXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVQRVHQIUHQWDPRVDOSUREOHPDQRIiFLOGH WUDWDUGHUHVROYHUOR6LSRGHPRVUHVROYHUORHQWRQFHVFRQVLGHUDPRVTXHHOPRGHORHV UD]RQDEOHVLVXVROXFLyQHVFRQVLVWHQWHFRQORVGDWRVH[SHULPHQWDOHVRFRQORVKHFKRV FRQRFLGRVDFHUFDGHOFRPSRUWDPLHQWRGHOVLVWHPD6LODVSUHGLFFLRQHVTXHVHREWLHQHQ VRQGH¿FLHQWHVSRGHPRVDXPHQWDUHOQLYHOGHUHVROXFLyQGHOPRGHORRKDFHUKLSyWHVLV DOWHUQDWLYDVDFHUFDGHORVPHFDQLVPRVGHFDPELRGHOVLVWHPD(QWRQFHVVHUHSLWHQORV SDVRVGHOSURFHVRGHPRGHODGRFRPRVHPXHVWUDHQHOVLJXLHQWHGLDJUDPD Supuestos e hipótesis Expresar los supuestos en términos de las ecuaciones diferenciales Si es necesario, modificar las hipótesis o aumentar la resolución del modelo FIGURA 1.3.1 3DVRVHQHOSURFHVRGH PRGHODGRFRQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV Comprobar las predicciones del modelo con hechos conocidos Formulación matemática Resolver las ED Presentar las predicciones del modelo (por ejemplo, en forma gráfica) Obtener soluciones 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS O 23 3RUVXSXHVWRDODXPHQWDUODUHVROXFLyQDXPHQWDPRVODFRPSOHMLGDGGHOPRGHORPDWHPiWLFR\ODSUREDELOLGDGGHTXHQRSRGDPRVREWHQHUXQDVROXFLyQH[SOtFLWD &RQIUHFXHQFLDHOPRGHORPDWHPiWLFRGHXQVLVWHPDItVLFRLQGXFLUiODYDULDEOH WLHPSRt8QDVROXFLyQGHOPRGHORDSRUWDHOestado del sistemaHQRWUDVSDODEUDVORV YDORUHVGHODYDULDEOHGHSHQGLHQWH RYDULDEOHV SDUDORVYDORUHVDGHFXDGRVGHtTXH GHVFULEHQHOVLVWHPDHQHOSDVDGRSUHVHQWH\IXWXUR DINÁMICA POBLACIONAL 8QRGHORVSULPHURVLQWHQWRVSDUDPRGHODUHOcrecimiento de la poblaciónKXPDQDSRUPHGLRGHODVPDWHPiWLFDVVHOOHYyDFDERHQ SRUHOHFRQRPLVWDLQJOpVThomas Malthus %iVLFDPHQWHODLGHDGHWUiVGHO PRGHORGH0DOWKXVHVODVXSRVLFLyQGHTXHODUDSLGH]FRQODTXHODSREODFLyQGHXQSDtV FUHFHHQXQFLHUWRWLHPSRHVSURSRUFLRQDO DODSREODFLyQWRWDOGHOSDtVHQHVHWLHPSR (QRWUDVSDODEUDVHQWUHPiVSHUVRQDVHVWpQSUHVHQWHVDOWLHPSRtKDEUiPiVHQHOIX WXUR(QWpUPLQRVPDWHPiWLFRVVLP(t GHQRWDODSREODFLyQDOWLHPSRtHQWRQFHVHVWD VXSRVLFLyQVHSXHGHH[SUHVDUFRPR dP dt P o dP dt kP, (1) GRQGH k HV XQD FRQVWDQWH GH SURSRUFLRQDOLGDG (VWH PRGHOR VLPSOH TXH IDOOD VL VH FRQVLGHUDQPXFKRVRWURVIDFWRUHVTXHSXHGHQLQÀXLUHQHOFUHFLPLHQWRRGHFUHFLPLHQWR SRUHMHPSORLQPLJUDFLyQ\HPLJUDFLyQ UHVXOWyVLQHPEDUJREDVWDQWHH[DFWRSDUD SUHGHFLUODSREODFLyQGH(VWDGRV8QLGRVHQWUH\/DVSREODFLRQHVTXHFUHFHQFRQXQDUDSLGH]GHVFULWDSRUODHFXDFLyQ VRQUDUDVVLQHPEDUJR D~QVHXVD SDUDPRGHODUHOcrecimiento de pequeñas poblaciones en intervalos de tiempo cortos SRUHMHPSORFUHFLPLHQWRGHEDFWHULDVHQXQDFDMDGH3HWUL DECAIMIENTO RADIACTIVO (OQ~FOHRGHXQiWRPRHVWiIRUPDGRSRUFRPELQDFLRQHVGHSURWRQHV\QHXWURQHV0XFKDVGHHVDVFRPELQDFLRQHVVRQLQHVWDEOHVHVGHFLU ORViWRPRVVHGHVLQWHJUDQRVHFRQYLHUWHQHQiWRPRVGHRWUDVVXVWDQFLDV6HGLFHTXH HVWRVQ~FOHRVVRQUDGLDFWLYRV3RUHMHPSORFRQHOWLHPSRHOUDGLR5DLQWHQVDPHQWH UDGLDFWLYRVHWUDQVIRUPDHQHOUDGLDFWLYRJDVUDGyQ5Q3DUDPRGHODUHOIHQyPHQR GHOdecaimiento radiactivoVHVXSRQHTXHODUDSLGH]dAdtFRQODTXHORVQ~FOHRVGH XQDVXVWDQFLDVHGHVLQWHJUDQHVSURSRUFLRQDODODFDQWLGDG SDUDVHUPiVSUHFLVRVHO Q~PHURGHQ~FOHRV A(t)GHODVXVWDQFLDTXHTXHGDDOWLHPSRt dA dA (2) A o kA. dt dt 3RUVXSXHVWRTXHODVHFXDFLRQHV \ VRQH[DFWDPHQWHLJXDOHVODGLIHUHQFLDUDGLFD VyORHQODLQWHUSUHWDFLyQGHORVVtPERORV\GHODVFRQVWDQWHVGHSURSRUFLRQDOLGDG(QHO FDVRGHOFUHFLPLHQWRFRPRHVSHUDPRVHQODHFXDFLyQ O k \SDUDODGHVLQWHJUDFLyQFRPRHQODHFXDFLyQ k 0. (OPRGHORGHODHFXDFLyQ SDUDFUHFLPLHQWRWDPELpQVHSXHGHYHUFRPRODHFXDFLyQdSdt rSTXHGHVFULEHHOFUHFLPLHQWRGHOFDSLWDOSFXDQGRHVWiDXQDWDVDDQXDO GHLQWHUpVrFRPSXHVWRFRQWLQXDPHQWH(OPRGHORGHGHVLQWHJUDFLyQGHODHFXDFLyQ WDPELpQVHDSOLFDDVLVWHPDVELROyJLFRVFRPRODGHWHUPLQDFLyQGHODYLGDPHGLDGHXQ PHGLFDPHQWRHVGHFLUHOWLHPSRTXHOHWRPDDGHOPHGLFDPHQWRVHUHOLPLQDGR GHOFXHUSRSRUH[FUHFLyQRPHWDEROL]DFLyQ(QTXtPLFDHOPRGHORGHOGHFDLPLHQWR HFXDFLyQ VH SUHVHQWD HQ OD GHVFULSFLyQ PDWHPiWLFD GH XQD UHDFFLyQ TXtPLFD GH SULPHURUGHQ/RLPSRUWDQWHDTXtHV Una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático de muchos fenómenos distintos. * 6LGRVFDQWLGDGHVu\vVRQSURSRUFLRQDOHVVHHVFULEHu v.(VWRVLJQL¿FDTXHXQDFDQWLGDGHVXQ P~OWLSORFRQVWDQWHGHRWUDu kv. 24 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES &RQ IUHFXHQFLD ORV PRGHORV PDWHPiWLFRV VH DFRPSDxDQ GH FRQGLFLRQHV TXH ORV GH¿QHQ3RUHMHPSORHQODVHFXDFLRQHV O \ HVSHUDUtDPRVFRQRFHUXQDSREODFLyQLQLFLDOP0\SRURWUDSDUWHODFDQWLGDGLQLFLDOGHVXVWDQFLDUDGLRDFWLYDA06LHOWLHPSRLQLFLDO VHWRPDHQt VDEHPRVTXHP(0) P0\TXHA(0) A0(QRWUDVSDODEUDVXQPRGHOR PDWHPiWLFRSXHGHFRQVLVWLUHQXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVRFRPRYHUHPRVPiV DGHODQWHHQODVHFFLyQHQXQSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD LEY DE ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO DE NEWTON 'HDFXHUGRFRQOD OH\HPStULFDGHHQIULDPLHQWRFDOHQWDPLHQWRGH1HZWRQODUDSLGH]FRQODTXHFDPELD ODWHPSHUDWXUDGHXQFXHUSRHVSURSRUFLRQDODODGLIHUHQFLDHQWUHODWHPSHUDWXUDGHO FXHUSR\ODGHOPHGLRTXHORURGHDTXHVHOODPDWHPSHUDWXUDDPELHQWH6LT(t UHSUHVHQWDODWHPSHUDWXUDGHOFXHUSRDOWLHPSRt, Tm HVODWHPSHUDWXUDGHOPHGLRTXHOR URGHD\dTdtHVODUDSLGH]FRQTXHFDPELDODWHPSHUDWXUDGHOFXHUSRHQWRQFHVODOH\GH 1HZWRQGHHQIULDPLHQWRFDOHQWDPLHQWRWUDGXFLGDHQXQDH[SUHVLyQPDWHPiWLFDHV dT dt T Tm o dT dt k(T Tm ), (3) GRQGHkHVXQDFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDG(QDPERVFDVRVHQIULDPLHQWRRFDOHQWDPLHQWRVLTmHVXQDFRQVWDQWHVHHVWDEOHFHTXHk 0. PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDAD 8QDHQIHUPHGDGFRQWDJLRVDSRUHMHPSORXQYLUXVGHJULSHVHSURSDJDDWUDYpVGHXQDFRPXQLGDGSRUSHUVRQDVTXHKDQHVWDGR HQFRQWDFWRFRQRWUDVSHUVRQDVHQIHUPDV6HDTXHx(t GHQRWHHOQ~PHURGHSHUVRQDVTXH KDQFRQWUDtGRODHQIHUPHGDG\VHDTXHy(t GHQRWHHOQ~PHURGHSHUVRQDVTXHD~QQRKDQ VLGRH[SXHVWDVDOFRQWDJLR(VOyJLFRVXSRQHUTXHODUDSLGH]dxdtFRQODTXHVHSURSDJD ODHQIHUPHGDGHVSURSRUFLRQDODOQ~PHURGHHQFXHQWURVRinteraccionesHQWUHHVWRVGRV JUXSRV GH SHUVRQDV 6L VXSRQHPRV TXH HO Q~PHUR GH LQWHUDFFLRQHV HV FRQMXQWDPHQWH SURSRUFLRQDODx(t \y(t HVWRHVSURSRUFLRQDODOSURGXFWRxyHQWRQFHV dx (4) kxy, dt GRQGHkHVODFRQVWDQWHXVXDOGHSURSRUFLRQDOLGDG6XSRQJDTXHXQDSHTXHxDFRPXQLGDGWLHQHXQDSREODFLyQ¿MDGHnSHUVRQDV6LVHLQWURGXFHXQDSHUVRQDLQIHFWDGDGHQWURGHHVWDFRPXQLGDGHQWRQFHVVHSRGUtDDUJXPHQWDUTXHx(t \y(t HVWiQUHODFLRQDGDV SRUx y n 8WLOL]DQGRHVWD~OWLPDHFXDFLyQSDUDHOLPLQDUyHQODHFXDFLyQ VHREWLHQHHOPRGHOR dx (5) kx(n 1 x). dt 8QDFRQGLFLyQLQLFLDOREYLDTXHDFRPSDxDDODHFXDFLyQ HVx(0) 1. REACCIONES QUÍMICAS 6H GLFH TXH OD GHVLQWHJUDFLyQ GH XQD VXVWDQFLD UDGLDFWLYDFDUDFWHUL]DGDSRUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO HVXQDreacción de primer orden(Q TXtPLFDKD\DOJXQDVUHDFFLRQHVTXHVLJXHQHVWDPLVPDOH\HPStULFDVLODVPROpFXODVGH OD VXVWDQFLD A VH GHVFRPSRQHQ \ IRUPDQ PROpFXODV PiV SHTXHxDV HV QDWXUDO VXSRQHU TXHODUDSLGH]FRQODTXHVHOOHYDDFDERHVDGHVFRPSRVLFLyQHVSURSRUFLRQDODODFDQWLGDGGH ODSULPHUDVXVWDQFLDTXHQRKDH[SHULPHQWDGRODFRQYHUVLyQHVWRHVVLX(t HVODFDQWLGDG GHODVXVWDQFLDATXHSHUPDQHFHHQFXDOTXLHUPRPHQWRHQWRQFHVdXdt kXGRQGHk HVXQDFRQVWDQWHQHJDWLYD\DTXHXHVGHFUHFLHQWH8QHMHPSORGHXQDUHDFFLyQTXtPLFD GHSULPHURUGHQHVODFRQYHUVLyQGHOFORUXURGHWHUEXWLOR &+3)3&&OHQDOFRKROtEXWtOLFR (CH3)3&2+ (CH3)3CCl NaOH : (CH3)3COH NaCl. 6yORODFRQFHQWUDFLyQGHOFORUXURGHWHUEXWLORFRQWURODODUDSLGH]GHODUHDFFLyQ3HUR HQODUHDFFLyQ CH3Cl NaOH : CH3OH NaCl VHFRQVXPHXQDPROpFXODGHKLGUy[LGRGHVRGLR1D2+SRUFDGDPROpFXODGHFORUXUR GHPHWLOR&+3&OSRUORTXHVHIRUPDXQDPROpFXODGHDOFRKROPHWtOLFR&+32+\XQD 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS O 25 PROpFXODGHFORUXURGHVRGLR1D&O(QHVWHFDVRODUDSLGH]FRQTXHDYDQ]DODUHDFFLyQ HVSURSRUFLRQDODOSURGXFWRGHODVFRQFHQWUDFLRQHVGH&+3&O\1D2+TXHTXHGDQ3DUD GHVFULELUHQJHQHUDOHVWDVHJXQGDUHDFFLyQVXSRQJDPRVunaPROpFXODGHXQDVXVWDQFLD ATXHVHFRPELQDFRQunaPROpFXODGHXQDVXVWDQFLDBSDUDIRUPDUunaPROpFXODGHXQD VXVWDQFLDC6LXGHQRWDODFDQWLGDGGHXQTXtPLFRCIRUPDGRDOWLHPSRt\VL\VRQ UHVSHFWLYDPHQWHODVFDQWLGDGHVGHORVGRVTXtPLFRVA\BHQt FDQWLGDGHVLQLFLDOHV HQWRQFHVODVFDQWLGDGHVLQVWDQWiQHDVQRFRQYHUWLGDVGHA\BDOTXtPLFRCVRQ X\ XUHVSHFWLYDPHQWH3RUORTXHODUDSLGH]GHIRUPDFLyQGHCHVWiGDGDSRU dX (6) k( X)( X), dt GRQGHkHVXQDFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDG$XQDUHDFFLyQFX\RPRGHORHVODHFXDFLyQ VHOHFRQRFHFRPRXQDreacción de segundo orden. rapidez de entrada de la salmuera 10 L/min constante 1000 L MEZCLAS $O PH]FODU GRV VROXFLRQHV VDOLQDV GH GLVWLQWDV FRQFHQWUDFLRQHV VXUJH XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQTXHGH¿QHODFDQWLGDGGHVDOFRQWHQLGDHQOD PH]FOD6XSRQJDPRVTXHXQWDQTXHPH]FODGRUJUDQGHFRQWLHQHLQLFLDOPHQWH/ GHVDOPXHUD HVGHFLUDJXDHQODTXHVHKDGLVXHOWRXQDFDQWLGDGGHVDO 2WUDVROXFLyQ GHVDOPXHUDHQWUDDOWDQTXHFRQXQDUDSLGH]GH/SRUPLQXWRODFRQFHQWUDFLyQGH VDOTXHHQWUDHVGHNJSRUOLWUR&XDQGRODVROXFLyQHQHOWDQTXHHVWiELHQPH]FODGDVDOHFRQODPLVPDUDSLGH]FRQODTXHHQWUD9HDOD¿JXUD6LA(t GHQRWDOD FDQWLGDGGHVDO PHGLGDHQOLEUDV HQHOWDQTXHDOWLHPSRtHQWRQFHVODUDSLGH]FRQOD TXHA(t FDPELDHVXQDUDSLGH]QHWD razón de entrada de la sal dA dt rapidez de salida de la salmuera 10 L razón de salida de la sal Rentra Rsale. (7) /DUDSLGH]GHHQWUDGDRentraFRQODTXHODVDOHQWUDHQHOWDQTXHHVHOSURGXFWRGHOD FRQFHQWUDFLyQGHODDÀXHQFLDGHVDO\ODWDVDGHÀXMRGHÀXLGR$GYLHUWDTXHRentraVH PLGHHQNLORJUDPRVSRUVHJXQGR FIGURA 1.3.2 7DQTXHGHPH]FODGR concentración de sal en rapidez de entrada rapidez de el fluido, de la salmuera, entrada de la sal Rentra (0.25 kg/L)·(10 L/min) = (2.5 kg/min). $KRUD\DTXHODVROXFLyQVDOHGHOWDQTXHFRQODPLVPDUDSLGH]FRQODTXHHQWUDHO Q~PHURGHJDORQHVGHODVDOPXHUDHQHOWDQTXHDOWLHPSRtHVXQDFRQVWDQWHGH/ 3RUORTXHODFRQFHQWUDFLyQGHODVDOHQHOWDQTXHDVtFRPRHQHOÀXMRGHVDOLGDHVc(t) A(t)NJ/\SRUWDQWRODUDSLGH]GHVDOLGDRsaleGHVDOHV concentración de rapidez de sal en el flujo rapidez de salida salida de salida de la salmuera de la sal ( ) A(t) Rsale –––– kg/L 1000L A(t) (10 L/min) –––– kg/min. 100 /DUDSLGH]QHWDHFXDFLyQ HQWRQFHVVHUi dA A dA 1 (8) 2.5 o A 2.5. dt 100 dt 100 6L rentra \ rsale GHQRWDQ UDSLGHFHV GH HQWUDGD \ GH VDOLGD GH ODV VROXFLRQHV GH VDOPXHUD HQWRQFHVKD\WUHVSRVLELOLGDGHVrentra rsale, rentra rsale\rentra rsale(QHODQiOLVLVTXHFRQGXFHD KHPRVWRPDGRrentra rsale(QHVWRVGRV~OWLPRVFDVRVHOQ~PHUR GHOLWURVGHVDOPXHUDHQHOWDQTXHHVFUHFLHQWH rentra rsale RGLVPLQX\H rentra rsale DOD UDSLGH]QHWDrentra rsale9pDQVHORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV * 1RFRQIXQGDHVWRVVtPERORVFRQR entra\R saleTXHVRQODVUDSLGHFHVGHHQWUDGD\VDOLGDGHsal. 26 CAPÍTULO 1 O INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Aw h Ah FIGURA 1.3.3 'UHQDGRGHXQWDQTXH E(t) L R C a) Circuito(a) en serie- LRC Inductor inductancia L: henrys (h) di caída de voltaje: L dt i L Resistor resistencia R: ohms (Ω) caída de voltaje: iR i R Capacitor capacitancia C: farads (f) 1 caída de voltaje: q C i C b) (b) FIGURA 1.3.4 6tPERORVXQLGDGHV\ YROWDMHV&RUULHQWHi(t \FDUJDq(t HVWiQ PHGLGDVHQDPSHUHV $ \HQFRXORPEV & UHVSHFWLYDPHQWH DRENADO DE UN TANQUE (QKLGURGLQiPLFDODley de TorricelliHVWDEOHFHTXH ODUDSLGH]vGHVDOLGDGHODJXDDWUDYpVGHXQDJXMHURGHERUGHVD¿ODGRVHQHOIRQGRGH XQWDQTXHOOHQRFRQDJXDKDVWDXQDSURIXQGLGDGhHVLJXDODODUDSLGH]GHXQFXHUSR HQ HVWHFDVRXQDJRWDGHDJXD TXHHVWiFD\HQGROLEUHPHQWHGHVGHXQDDOWXUDhHVWRHV v 12gh GRQGHgHVODDFHOHUDFLyQGHODJUDYHGDG(VWD~OWLPDH[SUHVLyQVXUJHDO LJXDODUODHQHUJtDFLQpWLFD 12 mv2 FRQODHQHUJtDSRWHQFLDOmgh, \ VHGHVSHMDv6XSRQJD TXHXQWDQTXHOOHQRGHDJXDVHYDFtDDWUDYpVGHXQDJXMHUREDMRODLQÀXHQFLDGHOD JUDYHGDG4XHUHPRVHQFRQWUDUODSURIXQGLGDGh, GHODJXDTXHTXHGDHQHOWDQTXHDO WLHPSRt&RQVLGHUHHOWDQTXHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD6LHOiUHDGHODJXMHURHV Ah HQP2 \ODUDSLGH]GHODJXDTXHVDOHGHOWDQTXHHVv 12gh HQPV HQWRQFHV HOYROXPHQGHDJXDTXHVDOHGHOWDQTXHSRUVHJXQGRHV Ah 12gh HQP3V $VtVL V(t GHQRWDDOYROXPHQGHDJXDHQHOWDQTXHDOWLHPSRtHQWRQFHV dV Ah 2gh, (9) dt GRQGHHOVLJQRPHQRVLQGLFDTXHVHVWiGLVPLQX\HQGR2EVHUYHTXHDTXtHVWDPRVGHVSUHFLDQGRODSRVLELOLGDGGHIULFFLyQHQHODJXMHURTXHSRGUtDFDXVDUXQDUHGXFFLyQGHOD UDSLGH]GHÀXMR6LHOWDQTXHHVWDOTXHHOYROXPHQGHODJXDDOWLHPSRtVHH[SUHVDFRPR V(t) Awh, GRQGHAw HQP2 HVHOiUHDconstante GHODVXSHU¿FLHVXSHULRUGHODJXD YHD OD¿JXUD HQWRQFHVdVdt Aw dhdt. 6XVWLWX\HQGRHVWD~OWLPDH[SUHVLyQHQOD HFXDFLyQ REWHQHPRVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHGHVHiEDPRVSDUDH[SUHVDUODDOWXUD GHODJXDDOWLHPSRt dh Ah (10) 2gh. dt Aw (VLQWHUHVDQWHREVHUYDUTXHODHFXDFLyQ HVYiOLGDDXQFXDQGRAwQRVHDFRQVWDQWH (QHVWHFDVRGHEHPRVH[SUHVDUHOiUHDGHODVXSHU¿FLHVXSHULRUGHODJXDHQIXQFLyQGH h, HVWRHV Aw A(h)9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV CIRCUITOS EN SERIE &RQVLGHUHHOFLUFXLWRHQVHULHVLPSOHTXHWLHQHXQLQGXFWRU XQUHVLVWRU\XQFDSDFLWRUTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D (QXQFLUFXLWRFRQHO LQWHUUXSWRUFHUUDGRODFRUULHQWHVHGHQRWDSRUi(t \ODFDUJDHQHOFDSDFLWRUDOWLHPSR tVHGHQRWDSRUq(t). /DVOHWUDVL, R\CVRQFRQRFLGDVFRPRLQGXFWDQFLDUHVLVWHQFLD\ FDSDFLWDQFLDUHVSHFWLYDPHQWH\HQJHQHUDOVRQFRQVWDQWHV$KRUDGHDFXHUGRFRQOD segunda ley de KirchhoffHOYROWDMHDSOLFDGRE(t DXQFLUFXLWRFHUUDGRGHEHVHULJXDO DODVXPDGHODVFDtGDVGHYROWDMHHQHOFLUFXLWR/D¿JXUD E PXHVWUDORVVtPERORV \IyUPXODVGHODVFDtGDVUHVSHFWLYDVGHYROWDMHDWUDYpVGHXQLQGXFWRUXQFDSDFLWRU\ XQUHVLVWRU&RPRODFRUULHQWHi(t HVWiUHODFLRQDGDFRQODFDUJDq(t) HQHOFDSDFLWRU PHGLDQWHi dqdt, VXPDPRVORVWUHVYROWDMHV LQGXFWRU UHVLVWRU FDSDFLWRU di d 2q dq 1 L L 2, iR R , y q dt C dt dt HLJXDODQGRODVXPDGHORVYROWDMHVFRQHOYROWDMHDSOLFDGRVHREWLHQHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQ d 2q dq 1 L 2 R q E(t). (11) dt dt C (QODVHFFLyQH[DPLQDUHPRVFRQGHWDOOHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDODQiORJDD (11). CUERPOS EN CAÍDA 3DUD HVWDEOHFHU XQ PRGHOR PDWHPiWLFR GHO PRYLPLHQWR GH XQFXHUSRTXHVHPXHYHHQXQFDPSRGHIXHU]DVFRQIUHFXHQFLDVHFRPLHQ]DFRQOD ODV OH\HV GHO PRYLPLHQWR IRUPXODGDV SRU HO PDWHPiWLFR LQJOpV Isaac Newton (1643 5HFRUGHPRV GH OD ItVLFD HOHPHQWDO TXH OD primera ley del movimiento de Newton HVWDEOHFH TXH XQ FXHUSR SHUPDQHFHUi HQ UHSRVR R FRQWLQXDUi PRYLpQGRVH FRQ XQD YHORFLGDG FRQVWDQWH D PHQRV TXH VHD VRPHWLGR D XQD IXHU]D H[WHUQD (Q ORV GRVFDVRVHVWRHTXLYDOHDGHFLUTXHFXDQGRODVXPDGHODVIXHU]DV F Fk , HVWRHV 1.3 O 27 ODIXHU]Dneta RIXHU]DUHVXOWDQWHTXHDFW~DVREUHHOFXHUSRHVFHURODDFHOHUDFLyQa GHO FXHUSRHV FHUR/Dsegunda ley del movimiento de NewtonLQGLFDTXHFXDQGRODIXHU]D QHWDTXHDFW~DVREUHXQFXHUSRQRHVFHURHQWRQFHVODIXHU]DQHWDHVSURSRUFLRQDODVX DFHOHUDFLyQa R PiVH[DFWDPHQWHF ma, GRQGHm HVODPDVDGHOFXHUSR 6XSRQJDPRVDKRUDTXHVHDUURMDXQDSLHGUDKDFLDDUULEDGHVGHHOWHFKRGHXQHGL¿FLRFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD¢&XiOHVODSRVLFLyQs(t GHODSLHGUDUHVSHFWR DOVXHORDOWLHPSRt"/DDFHOHUDFLyQGHODSLHGUDHVODVHJXQGDGHULYDGDd 2sdt 2. 6L VXSRQHPRVTXHODGLUHFFLyQKDFLDDUULEDHVSRVLWLYD\TXHQRKD\RWUDIXHU]DDGHPiV GHODIXHU]DGHODJUDYHGDGTXHDFW~HVREUHODSLHGUDHQWRQFHVXWLOL]DQGRODVHJXQGD OH\GH1HZWRQVHWLHQHTXH v0 piedra s0 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS s(t) edificio suelo FIGURA 1.3.5 3RVLFLyQGHODSLHGUD PHGLGDGHVGHHOQLYHOGHOVXHOR m d 2s dt 2 mg d 2s dt 2 o (12) g. (QRWUDVSDODEUDVODIXHU]DQHWDHVVLPSOHPHQWHHOSHVRF F1 WGHODSLHGUDFHUFD GHODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUD5HFXHUGHTXHODPDJQLWXGGHOSHVRHVW mgGRQGHmHVOD PDVDGHOFXHUSR\gHVODDFHOHUDFLyQGHELGDDODJUDYHGDG(OVLJQRPHQRVHQODHFXDFLyQ VHXVDSRUTXHHOSHVRGHODSLHGUDHVXQDIXHU]DGLULJLGDKDFLDDEDMRTXHHVRSXHVWD DODGLUHFFLyQSRVLWLYD6LODDOWXUDGHOHGL¿FLRHVs0\ODYHORFLGDGLQLFLDOGHODURFDHVv0, HQWRQFHVsVHGHWHUPLQDDSDUWLUGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQ d 2s g, dt 2 s(0) s0, s(0) v0. (13) $XQTXHQRKHPRVLQGLFDGRVROXFLRQHVGHODVHFXDFLRQHVTXHVHKDQIRUPXODGRREVHUYHTXHODHFXDFLyQVHSXHGHUHVROYHULQWHJUDQGRGRVYHFHVUHVSHFWRDtODFRQVWDQWH±g/DVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGHWHUPLQDQODVGRVFRQVWDQWHVGHLQWHJUDFLyQ'H ODItVLFDHOHPHQWDOSRGUtDUHFRQRFHUODVROXFLyQGHODHFXDFLyQ FRPRODIyUPXOD 1 2 s(t) v0 t s0. 2 gt kv dirección positiva resistencia del aire gravedad mg FIGURA 1.3.6 &XHUSRGHPDVDm FD\HQGR CUERPOS EN CAÍDA Y RESISTENCIA DEL AIRE $QWHV GHO IDPRVR H[SHULPHQWRGHOItVLFR\PDWHPiWLFRLWDOLDQR*DOLOHR*DOLOHL GHODWRUUHLQFOLQDGD GH3LVDJHQHUDOPHQWHVHFUHtDTXHORVREMHWRVPiVSHVDGRVHQFDtGDOLEUHFRPR XQD EDOD GH FDxyQ FDtDQ FRQ XQD DFHOHUDFLyQ PD\RU TXH ORV REMHWRV OLJHURV FRPR XQD SOXPD 2EYLDPHQWH XQD EDOD GH FDxyQ \ XQD SOXPD FXDQGR VH GHMDQ FDHU VLPXOWiQHDPHQWHGHVGHODPLVPDDOWXUDUHDOPHQWHcaenHQWLHPSRVGLIHUHQWHVSHURHVWRQR HV SRUTXH XQD EDOD GH FDxyQ VHD PiV SHVDGD /D GLIHUHQFLD HQ ORV WLHPSRV VH GHEH D OD UHVLVWHQFLD GHO DLUH (Q HO PRGHOR TXH VH SUHVHQWy HQ OD HFXDFLyQ VH GHVSUHFLy OD IXHU]D GH OD UHVLVWHQFLD GHO DLUH %DMR FLHUWDV FLUFXQVWDQFLDV XQ FXHUSR GH PDVDm TXHFDHFRPRXQDSOXPDFRQGHQVLGDGSHTXHxD\IRUPDLUUHJXODUHQFXHQWUD XQDUHVLVWHQFLDGHODLUHTXHHVSURSRUFLRQDODVXYHORFLGDGLQVWDQWiQHDv6LHQHVWH FDVRWRPDPRVODGLUHFFLyQSRVLWLYDGLULJLGDKDFLDDEDMRHQWRQFHVODIXHU]DQHWDTXH HVWiDFWXDQGRVREUHODPDVDHVWiGDGDSRUF F1 F2 mg kv, GRQGHHOSHVR F1 mg GHOFXHUSRHVXQDIXHU]DTXHDFW~DHQODGLUHFFLyQSRVLWLYD\ODUHVLVWHQFLD GHO DLUH F2 kv HV XQD IXHU]D TXH VH OODPD GH amortiguamiento viscoso, TXH DFW~DHQODGLUHFFLyQFRQWUDULDRKDFLDDUULED9HDOD¿JXUD$KRUDSXHVWRTXHv HVWiUHODFLRQDGDFRQODDFHOHUDFLyQaPHGLDQWHa dvdtODVHJXQGDOH\GH1HZWRQ VHUiF ma m dvdt. $OLJXDODUODIXHU]DQHWDFRQHVWDIRUPDGHODVHJXQGDOH\ REWHQHPRVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODYHORFLGDGv(t GHOFXHUSRDOWLHPSRt, m dv mg kv. dt (14) $TXt k HV XQD FRQVWDQWH SRVLWLYD GH SURSRUFLRQDOLGDG 6L s(t HV OD GLVWDQFLD TXH HO FXHUSRKDFDtGRDOWLHPSRtGHVGHVXSXQWRLQLFLDORGHOLEHUDFLyQHQWRQFHVv dsdt \a dvdt d 2sdt 2(QWpUPLQRVGHsODHFXDFLyQ HVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO GHVHJXQGRRUGHQ m d 2s dt 2 mg k ds dt o m d 2s dt 2 k ds dt mg. (15) 28 CAPÍTULO 1 O INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES a) cable de suspensión de un puente b) alambres de teléfonos FIGURA 1.3.7 &DEOHVVXVSHQGLGRV HQWUHVRSRUWHVYHUWLFDOHV CABLES SUSPENDIDOS ,PDJLQHTXHXQFDEOHÀH[LEOHXQDODPEUHRXQDFXHUGD SHVDGDTXHHVWiVXVSHQGLGDHQWUHGRVVRSRUWHVYHUWLFDOHV(MHPSORItVLFRVGHHVWRSRGUtDQVHUXQRGHORVGRVFDEOHVTXHVRSRUWDQHO¿UPHGHXQSXHQWHGHVXVSHQVLyQFRPR HO TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D R XQ FDEOH WHOHIyQLFR ODUJR HQWUH GRV SRVWHV FRPRHOTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E 1XHVWURREMHWLYRHVFRQVWUXLUXQPRGHOR PDWHPiWLFRTXHGHVFULEDODIRUPDTXHWLHQHHOFDEOH 3DUDFRPHQ]DUH[DPLQDUHPRVVyORXQDSDUWHRHOHPHQWRGHOFDEOHHQWUHVXSXQWR PiVEDMR P1\FXDOTXLHUSXQWRDUELWUDULRP26HxDODGRHQFRORUD]XOHQOD¿JXUD HVWHHOHPHQWRGHFDEOHHVODFXUYDHQXQVLVWHPDGHFRRUGHQDGDUHFWDQJXODUHOLJLHQGR DOHMHySDUDTXHSDVHDWUDYpVGHOSXQWRPiVEDMRP1GHODFXUYD\HOLJLHQGRDOHMH x SDUD TXH SDVH D a XQLGDGHV GHEDMR GH P1 6REUH HO FDEOH DFW~DQ WUHV IXHU]DV ODV WHQVLRQHVT1\T2HQHOFDEOHTXHVRQWDQJHQWHVDOFDEOHHQP1\P2UHVSHFWLYDPHQWH \ OD SDUWH W GH OD FDUJD WRWDO YHUWLFDO HQWUH ORV SXQWRV P1 \ P2 6HD TXH T1 T1 , T2 T2 \W W GHQRWHQODVPDJQLWXGHVGHHVWRVYHFWRUHV$KRUDODWHQVLyQT2VH GHVFRPSRQHHQVXVFRPSRQHQWHVKRUL]RQWDO\YHUWLFDO FDQWLGDGHVHVFDODUHV T2FRV \T2VHQ'HELGRDOHTXLOLEULRHVWiWLFRSRGHPRVHVFULELU T1 T2 cos W y T2 sen . $OGLYLGLUODXOWLPDHFXDFLyQSRUODSULPHUDHOLPLQDPRVT2\REWHQHPRVWDQ WT1. 3HURSXHVWRTXHdydx WDQOOHJDPRVD y T2 T2 sen θ P2 alambre T1 P1 (0, a) W (x, 0) θ T2 cos θ x FIGURA 1.3.8 (OHPHQWRGHOFDEOH dy dx W . T1 (16) (VWDVHQFLOODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQVLUYHFRPRPRGHORWDQWRSDUDPRGHODU ODIRUPDGHXQDODPEUHÀH[LEOHFRPRHOFDEOHWHOHIyQLFRFROJDGREDMRVXSURSLRSHVR RSDUDPRGHODUODIRUPDGHORVFDEOHVTXHVRSRUWDQHO¿UPHGHXQSXHQWHVXVSHQGLGR 5HJUHVDUHPRVDODHFXDFLyQ HQORVHMHUFLFLRV\HQODVHFFLyQ LO QUE NOS ESPERA (QHVWHOLEURYHUHPRVWUHVWLSRVGHPpWRGRVSDUDHODQiOLVLV GHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV3RUVLJORVODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVKDQVXUJLGRGH ORVHVIXHU]RVGHFLHQWt¿FRVRLQJHQLHURVSDUDGHVFULELUDOJ~QIHQyPHQRItVLFRRSDUD WUDGXFLUXQDOH\HPStULFDRH[SHULPHQWDOHQWpUPLQRVPDWHPiWLFRV&RPRFRQVHFXHQFLDHOFLHQWt¿FRLQJHQLHURRPDWHPiWLFRIUHFXHQWHPHQWHSDVDUtDPXFKRVDxRVGHVX YLGDWUDWDQGRGHHQFRQWUDUODVVROXFLRQHVGHXQD('&RQXQDVROXFLyQHQODPDQRVH SURVLJXHFRQHOHVWXGLRGHVXVSURSLHGDGHV$HVWDE~VTXHGDGHVROXFLRQHVVHOHOODPD método analíticoSDUDODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV8QDYH]TXHFRPSUHQGLHURQTXH ODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVHUDQPX\GLItFLOHVGHREWHQHU\HQHOSHRUGHORVFDVRVLPSRVLEOHVGHREWHQHUORVPDWHPiWLFRVDSUHQGLHURQTXHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSRGUtDQ VHU XQD IXHQWH GH LQIRUPDFLyQ YDOLRVD HQ Vt PLVPDV (V SRVLEOH HQ DOJXQRV FDVRV FRQWHVWDUSUHJXQWDVFRPRODVVLJXLHQWHVGLUHFWDPHQWHGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV ¿en realidad la ED tiene soluciones? Si una solución de la ED existe y satisface una condición inicial, ¿es única esa solución? ¿Cuáles son algunas propiedades de las soluciones desconocidas? ¿Qué podemos decir acerca de la geometría de las curvas de solución? (VWHPpWRGRHVanálisis cualitativo3RU~OWLPRVLXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQRVHSXHGH UHVROYHUSRUPpWRGRVDQDOtWLFRVD~QDVtSRGHPRVGHPRVWUDUTXHXQDVROXFLyQH[LVWH ODVLJXLHQWHSUHJXQWDOyJLFDHV ¿de qué modo podemos aproximarnos a los valores de una solución desconocida? $TXt HQWUDPRV DO UHLQR GHO análisis numérico 8QD UHVSXHVWD D¿UPDWLYD D OD ~OWLPD SUHJXQWDVHEDVDHQHOKHFKRGHTXHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHSXHGHXVDUFRPRXQ SULQFLSLREiVLFRSDUDODFRQVWUXFFLyQGHDOJRULWPRVGHDSUR[LPDFLyQPX\H[DFWRV(Q HOFDStWXORFRPHQ]DUHPRVFRQFRQVLGHUDFLRQHVFXDOLWDWLYDVGHODV('2GHSULPHU RUGHQGHVSXpVDQDOL]DUHPRVORVDUWL¿FLRVDQDOtWLFRVSDUDUHVROYHUDOJXQDVHFXDFLRQHV HVSHFLDOHVGHSULPHURUGHQ\FRQFOXLUHPRVFRQXQDLQWURGXFFLyQDXQPpWRGRQXPpULFRHOHPHQWDO9HDOD¿JXUD 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS O 29 ¡HÁBLAME! y'=f(y) a) analítico b) cualitativo c) numérico FIGURA 1.3.9 'LIHUHQWHVPpWRGRVSDUDHOHVWXGLRGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV COMENTARIOS &DGD HMHPSOR GH HVWD VHFFLyQ KD GHVFULWR XQ VLVWHPD GLQiPLFR XQ VLVWHPD TXH FDPELD R HYROXFLRQD FRQ HO SDVR GHO WLHPSR t 3XHVWR TXH HQ OD DFWXDOLGDG HO HVWXGLR GH ORV VLVWHPDV GLQiPLFRV HV XQD UDPD GH ODV PDWHPiWLFDV TXH HVWi GH PRGD D YHFHV XWLOL]DUHPRV OD WHUPLQRORJtD GH HVD UDPD HQ QXHVWURV DQiOLVLV (QWpUPLQRVPiVSUHFLVRVXQ sistema dinámico FRQVLVWHHQXQFRQMXQWRGH YDULDEOHVGHSHQGLHQWHVGHOWLHPSRTXHVHOODPDQ variables de estadoMXQWRFRQ XQDUHJODTXHSHUPLWDGHWHUPLQDU VLQDPELJHGDGHV HOHVWDGRGHOVLVWHPD TXH SXHGHVHUSDVDGRSUHVHQWHRIXWXUR HQWpUPLQRVGHXQHVWDGRSUHVFULWRDOWLHPSR t0. /RVVLVWHPDVGLQiPLFRVVHFODVL¿FDQ\DVHDFRPRVLVWHPDVGLVFUHWRVRFRQWLQXRVHQ HOWLHPSRRGHWLHPSRVGLVFUHWRVRFRQWLQXRV(QHVWHFXUVRVyORQRVRFXSDUHPRV GHORVVLVWHPDVGLQiPLFRVFRQWLQXRVHQHOWLHPSRVLVWHPDVHQORVTXHtodasODVYDULDEOHVHVWiQGH¿QLGDVGHQWURGHXQLQWHUYDORFRQWLQXRGHWLHPSR/DUHJODRPRGHOR PDWHPiWLFRHQXQVLVWHPDGLQiPLFRFRQWLQXRHQHOWLHPSRHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(Oestado del sistemaDOWLHPSRtHVHO YDORUGHODVYDULDEOHVGHHVWDGRHQHVHLQVWDQWHHOHVWDGRHVSHFL¿FDGRGHOVLVWHPDDO WLHPSRt0VRQVLPSOHPHQWHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVTXHDFRPSDxDQDOPRGHORPDWHPiWLFR/DVROXFLyQGHXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVVHOODPDrespuesta del sistema3RUHMHPSORHQHOFDVRGHOGHFDLPLHQWRUDGLDFWLYRODUHJODHVdAdt kA$KRUDVLVHFRQRFHODFDQWLGDGGHVXVWDQFLDUDGLDFWLYDDOWLHPSRt0GLJDPRV A(t0) A0HQWRQFHVDOUHVROYHUODUHJODVHHQFXHQWUDTXHODUHVSXHVWDGHOVLVWHPD SDUDt t0HVA(t) A0 e (t t0) YHDODVHFFLyQ /DUHVSXHVWDA(t HVOD~QLFD YDULDEOHGHHVWDGRSDUDHVWHVLVWHPD(QHOFDVRGHODSLHGUDDUURMDGDGHVGHHOWHFKR GHXQHGL¿FLRODUHVSXHVWDGHOVLVWHPDHVGHFLUODVROXFLyQDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOd 2sdt 2 gVXMHWDDOHVWDGRLQLFLDOs(0) s0, s(0) v0HVODIXQFLyQ 1 2 s(t) v0 t s0; 0 t T, GRQGHTUHSUHVHQWDHOYDORUGHOWLHPSRHQ 2 gt TXH OD SLHGUD JROSHD HQ HO VXHOR /DV YDULDEOHV GH HVWDGR VRQ s(t \ s(t), TXH VRQ OD SRVLFLyQ YHUWLFDO GH OD SLHGUD VREUH HO VXHOR \ VX YHORFLGDG HQ HO WLHPSR t UHVSHFWLYDPHQWH /D DFHOHUDFLyQ s(t), no HV XQD YDULDEOH GH HVWDGR \D TXH VyOR VH FRQRFHQ OD SRVLFLyQ \ OD YHORFLGDG LQLFLDOHV DO WLHPSR t0 SDUD GHWHUPLQDU HQ IRUPD ~QLFD OD SRVLFLyQ s(t \ OD YHORFLGDG s(t) v(t GH OD SLHGUD HQ FXDOTXLHU PRPHQWR GHO LQWHUYDOR t0 t T. /DDFHOHUDFLyQs(t) a(t HVWiSRUVXSXHVWRGDGDSRUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO s(t) g, 0 t T. 8Q~OWLPRSXQWR1RWRGRVORVVLVWHPDVTXHVHHVWXGLDQHQHVWHOLEURVRQ VLVWHPDVGLQiPLFRV([DPLQDUHPRVDOJXQRVVLVWHPDVHVWiWLFRVHQTXHHOPRGHOR HVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 30 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EJERCICIOS 1.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1. Dinámica poblacional 1. &RQEDVHHQODVPLVPDVKLSyWHVLVGHWUiVGHOPRGHORGH ODHFXDFLyQ GHWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDOD SREODFLyQ P(t GH XQ SDtV FXDQGR VH OHV SHUPLWH D ODV SHUVRQDV LQPLJUDU D XQ SDtV FRQ XQD UDSLGH] FRQVWDQWH r ¢&XiOHVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODSREODFLyQ P(t GHOSDtVFXDQGRVHOHVSHUPLWHDODVSHUVRQDVHPLJUDU GHOSDtVFRQXQDUDSLGH]FRQVWDQWHr " 2. (O PRGHOR GH SREODFLyQ GDGR HQ OD HFXDFLyQ IDOOD DO QR FRQVLGHUDU OD WDVD GH PRUWDOLGDG OD UDSLGH] GH FUHFLPLHQWRHVLJXDODODWDVDGHQDWDOLGDG(QRWURPRGHORGHO FDPELRGHSREODFLyQGHXQDFRPXQLGDGVHVXSRQHTXHOD UDSLGH] GH FDPELR GH OD SREODFLyQ HV XQD UD]yQneta HV GHFLUODGLIHUHQFLDHQWUHODWDVDGHQDWDOLGDG\ODGHPRUWDOLGDGHQODFRPXQLGDG'HWHUPLQHXQPRGHORSDUDODSREODFLyQ P(t VL WDQWR OD WDVD GH QDWDOLGDG \ OD PRUWDOLGDG VRQSURSRUFLRQDOHVDODSREODFLyQSUHVHQWHDOWLHPSRt 0. 3. 8WLOLFHHOFRQFHSWRGHUDSLGH]QHWDLQWURGXFLGRHQHOSUREOHPDSDUDGHWHUPLQDUXQPRGHORSDUDXQDSREODFLyQP(t) VLODWDVDGHQDWDOLGDGHVSURSRUFLRQDODODSREODFLyQSUHVHQ WHDOWLHPSRtSHURODWDVDGHPRUWDOLGDGHVSURSRUFLRQDODO FXDGUDGRGHODSREODFLyQSUHVHQWHDOWLHPSRt. 4. 0RGL¿TXHHOSUREOHPDSDUDODUDSLGH]QHWDFRQODTXHOD SREODFLyQP(t GHXQDFLHUWDFODVHGHSH]FDPELDDOVXSRQHUTXHHOSH]HVWiVLHQGRSHVFDGRFRQXQDUDSLGH]FRQVWDQWHh 0. Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton 5. 8QDWD]DGHFDIpVHHQIUtDGHDFXHUGRFRQODOH\GHHQIULDPLHQWRGH1HZWRQHFXDFLyQ 8WLOLFHORVGDWRVGHODJUi¿FDGHODWHPSHUDWXUDT(t HQOD¿JXUDSDUDHVWLPDU ODVFRQVWDQWHVTm, T0\kHQXQPRGHORGHODIRUPDGHXQ SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQdTdt k (T Tm), T(0) T0. T 200 150 100 50 0 25 50 75 minutos 100 t FIGURA 1.3.10 &XUYDGHHQIULDPLHQWRHQHOSUREOHPD 6. /DWHPSHUDWXUDDPELHQWHTmHQODHFXDFLyQ SRGUtDVHU XQDIXQFLyQGHOWLHPSRt6XSRQJDTXHHQXQPHGLRDPELHQWH FRQWURODGR Tm(t HV SHULyGLFD FRQ XQ SHULRGR GH KRUDVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD'LVHxHXQ PRGHORPDWHPiWLFRSDUDODWHPSHUDWXUDT(t GHXQFXHUSR GHQWURGHHVWHPHGLRDPELHQWH Tm (t) 120 100 80 60 40 20 0 12 24 36 48 media medio media medio media noche día noche día noche t FIGURA 1.3.11 7HPSHUDWXUDDPELHQWHHQHOSUREOHPD Propagación de una enfermedad/tecnología 7. 6XSRQJDTXHXQDOXPQRHVSRUWDGRUGHOYLUXVGHODJULSH\ UHJUHVDDXQDLVODGRFDPSXVGHVXXQLYHUVLGDGGHHVWXGLDQWHV'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDHOQ~PHUR GHSHUVRQDVx(t TXHFRQWUDHUiQODJULSHVLODUDSLGH]FRQOD TXHODHQIHUPHGDGVHSURSDJDHVSURSRUFLRQDODOQ~PHURGH LQWHUDFFLRQHVHQWUHHOQ~PHURGHHVWXGLDQWHVTXHWLHQHJULSH \HOQ~PHURGHHVWXGLDQWHVTXHD~QQRVHKDQH[SXHVWRDHOOD 8. $OWLHPSRGHQRWDGRSRUt VHLQWURGXFHXQDLQQRYDFLyQWHFQROyJLFDHQXQDFRPXQLGDGTXHWLHQHXQDFDQWLGDG¿MDGHnSHUVRQDV'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDHOQ~PHURGHSHUVRQDVx(t TXHKD\DQDGRSWDGR ODLQQRYDFLyQDOWLHPSRtVLVHVXSRQHTXHODUD]yQFRQOD TXHVHSURSDJDODLQQRYDFLyQHVFRQMXQWDPHQWHSURSRUFLRQDODOQ~PHURGHSHUVRQDVTXH\DODKDQDGRSWDGR\DO Q~PHURGHSHUVRQDVTXHQRODKDQDGRSWDGR Mezclas 9. 6XSRQJDTXHXQWDQTXHJUDQGHGHPH]FODGRFRQWLHQHLQLFLDOPHQWH / GH DJXD HQ ORV TXH VH GLVROYLHURQ NJGHVDO(QWUDDJXDSXUDDXQDUDSLGH]GH/PLQ\ FXDQGRODVROXFLyQHVWiELHQUHYXHOWDVDOHDODPLVPDUDSLGH]'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHH[SUHVHOD FDQWLGDGA(t GHVDOTXHKD\HQHOWDQTXHDOWLHPSRt 0. ¢&XiQWRYDOHA " 10. 6XSRQJDTXHXQWDQTXHJUDQGHGHPH]FODGRFRQWLHQHLQLFLDOPHQWH/GHDJXDHQORVTXHVHKDQGLVXHOWR NJGHVDO2WUDVDOPXHUDLQWURGXFLGDDOWDQTXHDXQDUD]yQ GH/PLQ\FXDQGRODVROXFLyQHVWiELHQPH]FODGDVDOH DXQDlenta rapidezGH/PLQ6LODFRQFHQWUDFLyQGHOD VROXFLyQTXHHQWUDHVNJ/GHWHUPLQHXQDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOTXHH[SUHVHODFDQWLGDGGHVDOA(t TXHKD\HQ HOWDQTXHDOWLHPSRt 0. 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS 11. ¢&XiO HV OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHO SUREOHPD VL OD VROXFLyQ ELHQ PH]FODGD VDOH D XQD mayor rapidez GH /PLQ" 12. *HQHUDOLFH HO PRGHOR GDGR HQ OD HFXDFLyQ GH HVWD VHFFLyQVXSRQLHQGRTXHHOJUDQWDQTXHFRQWLHQHLQLFLDOPHQWHXQQ~PHURN0GHGHOLWURVGHVDOPXHUDrentra\rsale VRQODVUDSLGHFHVGHHQWUDGD\VDOLGDGHODVDOPXHUDUHVSHFWLYDPHQWH PHGLGDV HQ OLWURV SRU PLQXWR centra HV OD FRQFHQWUDFLyQGHVDOHQHOÀXMRTXHHQWUDc(t HVODFRQFHQWUDFLyQ GH VDO HQ HO WDQTXH DVt FRPR HQ HO ÀXMR TXH VDOHDOWLHPSRt PHGLGDHQNJGHVDOSRUOLWUR \A(t HV ODFDQWLGDGGHVDOHQHOWDQTXHDOWLHPSRt 0. Drenado de un tanque 13. 6XSRQJDTXHHVWiVDOLHQGRDJXDGHXQWDQTXHDWUDYpVGH XQDJXMHURFLUFXODUGHiUHDAhTXHHVWiHQHOIRQGR&XDQGR HODJXDVDOHDWUDYpVGHODJXMHURODIULFFLyQ\ODFRQWUDFFLyQGHODFRUULHQWHFHUFDGHODJXMHURUHGXFHQHOYROXPHQ GH DJXD TXH VDOH GHO WDQTXH SRU VHJXQGR D cAh 12gh , GRQGHc (0 c HVXQDFRQVWDQWHHPStULFD'HWHUPLQH XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODDOWXUDhGHODJXDDOWLHPSR tSDUDHOWDQTXHF~ELFRTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD (OUDGLRGHODJXMHURHVGHPP\g PV2. Aw 4m h agujero circular O 31 GLIHUHQFLDOSDUDODFRUULHQWHi(t VLODUHVLVWHQFLDHVROD LQGXFWDQFLDHVL\HOYROWDMHDSOLFDGRHVE(t). E L R FIGURA 1.3.14 &LUFXLWRHQVHULH LR GHOSUREOHPD 16. 8QFLUFXLWRHQVHULHFRQWLHQHXQUHVLVWRU\XQFDSDFLWRUFRPR VHPXHVWUDHQOD¿JXUD'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHH[SUHVHODFDUJDq(t HQHOFDSDFLWRUVLODUHVLVWHQFLDHVRODFDSDFLWDQFLDHVC\HOYROWDMHDSOLFDGRHVE(t). R E C FIGURA 1.3.15 &LUFXLWRRCHQVHULHGHOSUREOHPD Caida libre y resistencia del aire 17. 3DUDPRYLPLHQWRVGHJUDQUDSLGH]HQHODLUHFRPRHOGHO SDUDFDLGLVWDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDTXHHVWiFD\HQGRDQWHVGHTXHVHDEUDHOSDUDFDtGDVODUHVLVWHQFLDGHO DLUHHVFHUFDQDDXQDSRWHQFLDGHODYHORFLGDGLQVWDQWiQHDv(t 'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODYHORFLGDGv(t GHXQFXHUSRGHPDVDmTXHFDHVLODUHVLVWHQFLDGHO DLUHHVSURSRUFLRQDODOFXDGUDGRGHODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD 6XSRQJDTXHODGLUHFFLyQGHFDtGDHVSRVLWLYD FIGURA 1.3.12 7DQTXHF~ELFRGHOSUREOHPD 14. 'HOWDQTXHFyQLFRUHFWDQJXODUUHFWRTXHVHPXHVWUDHQOD ¿JXUDVDOHDJXDSRUXQDJXMHURFLUFXODUTXHHVWi HQHOIRQGR'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDOD DOWXUDhGHODJXDDOWLHPSRt (OUDGLRGHODJXMHURHV PPg PV2\HOIDFWRUGHIULFFLyQFRQWUDFFLyQ LQWURGXFLGRHQHOSUREOHPDHVc 0.6. kv2 SKYD IVING MADE EASY mg 3m FIGURA 1.3.16 5HVLVWHQFLDGHODLUHSURSRUFLRQDODO Aw FXDGUDGRGHODYHORFLGDGGHOSUREOHPD h 6m agujero circular FIGURA 1.3.13 7DQTXHFyQLFRGHOSUREOHPD Circuitos en serie 15. 8QFLUFXLWRHQVHULHWLHQHXQUHVLVWRU\XQLQGXFWRUFRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQ Segunda ley de Newton y Principio de Arquímedes 18. 8QEDUULOFLOtQGULFRGHsPHWURVGLiPHWUR\w1GHSHVRHVWi ÀRWDQGR HQ DJXD FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D 'HVSXpV GH XQ KXQGLPLHQWR LQLFLDO HO EDUULO SUHVHQWD XQ PRYLPLHQWR RVFLODWRULR KDFLD DUULED \ KDFLD DEDMR D OR ODUJRGHODYHUWLFDO8WLOL]DQGROD¿JXUD E REWHQJD XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDHVWDEOHFHUHOGHVSOD]DPLHQWR YHUWLFDOy(t VLVHVXSRQHTXHHORULJHQHVWiHQHOHMHYHUWLFDO \HQODVXSHU¿FLHGHODJXDFXDQGRHOEDUULOHVWiHQUHSRVR 8VHHOPrincipio de ArquímedesODIXHU]DGHÀRWDFLyQR 32 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES KDFLD DUULED TXH HMHUFH HO DJXD VREUH HO EDUULO HV LJXDO DO SHVRGHODJXDGHVSOD]DGD6XSRQJDTXHODGLUHFFLyQKDFLD DEDMRHVSRVLWLYDTXHODGHQVLGDGGHPDVDGHODJXDHV 1P3\TXHQRKD\UHVLVWHQFLDHQWUHHOEDUULO\HODJXD s/2 s/2 superficie 0 a) 0 y(t) 21. 8QSHTXHxRFRKHWHPRQRHWDSDVHODQ]DYHUWLFDOPHQWHFRPR VHPXHVWUDHQOD¿JXUD8QDYH]ODQ]DGRHOFRKHWH FRQVXPHVXFRPEXVWLEOH\DVtVXPDVDWRWDOm(t YDUtDFRQ HO WLHPSRt ! 6L VH VXSRQH TXH OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD HV KDFLDDUULEDODUHVLVWHQFLDGHODLUHHVSURSRUFLRQDODODYHORFLGDGLQVWDQWiQHDvGHOFRKHWH\RHVHOHPSXMHDVFHQGHQWH R IXHU]D JHQHUDGD SRU HO VLVWHPD GH SURSXOVLyQ HQWRQFHV FRQVWUX\DXQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDODYHORFLGDGv(t GHO FRKHWH>Sugerencia: YHDODHFXDFLyQ HQODVHFFLyQ@ b) FIGURA 1.3.17 0RYLPLHQWRRVFLODWRULRGHOEDUULO ÀRWDQGRGHOSUREOHPD 19. 'HVSXpVGHTXHVH¿MDXQDPDVDmDXQUHVRUWHpVWHVHHVWLUD sXQLGDGHV\FXHOJDHQUHSRVRHQODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E 'HVSXpVHOVLVWHPD UHVRUWHPDVDVHSRQHHQPRYLPLHQWRVHDTXHx(t GHQRWHOD GLVWDQFLDGLULJLGDGHOSXQWRGHHTXLOLEULRDODPDVD&RPRVH LQGLFDHQOD¿JXUD F VXSRQJDTXHODGLUHFFLyQKDFLD DEDMRHVSRVLWLYD\TXHHOPRYLPLHQWRVHHIHFW~DHQXQDUHFWD YHUWLFDOTXHSDVDSRUHOFHQWURGHJUDYHGDGGHODPDVD\TXH ODV~QLFDVIXHU]DVTXHDFW~DQVREUHHOVLVWHPDVRQHOSHVR GHODPDVD\ODIXHU]DGHUHVWDXUDFLyQGHOUHVRUWHHVWLUDGR 8WLOLFH OD ley de Hooke OD IXHU]D GH UHVWDXUDFLyQ GH XQ UHVRUWHHVSURSRUFLRQDODVXHORQJDFLyQWRWDO'HWHUPLQHXQD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOGHVSOD]DPLHQWRx(t DOWLHPSRt 0. x(t) < 0 s resorte sin x=0 m deformar x(t) > 0 posición de equilibrio m a) b) c) FIGURA 1.3.18 6LVWHPDUHVRUWHPDVDGHOSUREOHPD 20. (QHOSUREOHPD¢FXiOHVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDHO GHVSOD]DPLHQWRx(t VLHOPRYLPLHQWRWLHQHOXJDUHQXQPHGLR TXHHMHUFHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRVREUHHOVLVWHPD UHVRUWHPDVDTXHHVSURSRUFLRQDODODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD GHODPDVD\DFW~DHQGLUHFFLyQFRQWUDULDDOPRYLPLHQWR" Segunda ley de Newton y el movimiento de un cohete &XDQGRODPDVDmGHXQFXHUSRFDPELDFRQHOWLHPSRODVHJXQGDOH\GH1HZWRQGHOPRYLPLHQWRVHFRQYLHUWHHQ F5 d (mv), dt (17) GRQGHFHVODIXHU]DQHWDDFWXDQGRVREUHHOFXHUSR\mvHVVX FDQWLGDGGHPRYLPLHQWR8WLOLFH HQSUREOHPDV\ © James L. Davidson/Shutterstock.com Segunda ley de Newton y ley de Hooke FIGURA 1.3.19 &RKHWHPRQRHWDSDGHOSUREOHPD . 22. (QHOSUREOHPDODPDVDm(t HVODVXPDGHWUHVPDVDV GLIHUHQWHVm(t) mp mv mf (t GRQGHmpHVODPDVD FRQVWDQWH GH OD FDUJD ~WLO mv HV OD PDVD FRQVWDQWH GHO YHKtFXOR\mf (t HVODFDQWLGDGYDULDEOHGHFRPEXVWLEOH a) 'HPXHVWUHTXHODUDSLGH]FRQODFXDOODPDVDWRWDOm(t) GHOFRKHWHFDPELDHVLJXDODODUDSLGH]FRQODFXDOFDPELDODPDVDGHOFRPEXVWLEOHmf (t). b) 6LHOFRKHWHFRQVXPHVXFRPEXVWLEOHFRQXQDUDSLGH] FRQVWDQWHȜGHWHUPLQHm(t)/XHJRUHHVFULEDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOSUREOHPDHQWpUPLQRVGHȜ\GH ODPDVDWRWDOLQLFLDOm(0) = m0. c) % DMR OD VXSRVLFLyQ GHO LQFLVR E GHPXHVWUH TXH HO WLHPSRGHDJRWDPLHQWRGHOFRKHWHtb!RHOPRPHQWR HQTXHWRGRHOFRPEXVWLEOHVHFRQVXPHHVtb mf (0) Ȝ GRQGHmf (0)HVODPDVDLQLFLDOGHOFRPEXVWLEOH Segunda ley de Newton y la ley de la gravitación universal 23. 'H DFXHUGR FRQ OD ley de la gravitación universal de NewtonODDFHOHUDFLyQGHFDtGDOLEUHaGHXQFXHUSRWDOFRPR HOVDWpOLWHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDTXHHVWiFD\HQGR GHVGHXQDJUDQGLVWDQFLDKDFLDODVXSHU¿FLHQRHVODFRQVWDQWH g0iVELHQODDFHOHUDFLyQaHVLQYHUVDPHQWHSURSRUFLRQDODO FXDGUDGRGHODGLVWDQFLDGHVGHHOFHQWURGHOD7LHUUDa kr2 GRQGHkHVODFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDG3DUDGHWHUPLQDU k XWLOLFHHOKHFKRGHTXHHQODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUDr R\a g6LODGLUHFFLyQSRVLWLYDVHFRQVLGHUDKDFLDDUULEDXWLOLFH ODVHJXQGDOH\GH1HZWRQ\ODOH\GHODJUDYLWDFLyQXQLYHUVDO SDUDHQFRQWUDUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODGLVWDQFLDr. 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS satélite de satellite of mass masa m O 33 y (0, a) P(x, y) esquí-acuático cie erfi su p y r R FIGURA 1.3.20 6DWpOLWH GHOSUREOHPD FIGURA 1.3.22 (VTXtDFXiWLFRGHOSUREOHPD Tierra de masa M superficie m 29. 6XSHU¿FLH UHÀHFWRUD 6XSRQJD TXH FXDQGR OD FXUYD SODQDCTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDVHJLUDUHVSHFWR DOHMHxJHQHUDXQDVXSHU¿FLHGHUHYROXFLyQFRQODSURSLHGDGGHTXHWRGRVORVUD\RVGHOX]L SDUDOHORVDOHMHxTXH LQFLGHQHQODVXSHU¿FLHVRQUHÀHMDGRVDXQVRORSXQWRO HO RULJHQ 8WLOLFHHOKHFKRGHTXHHOiQJXORGHLQFLGHQFLDHV LJXDODOiQJXORGHUHÀH[LyQSDUDGHWHUPLQDUXQDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOTXHGHVFULEDODIRUPDGHODFXUYDC(VWDFXUYD CHVLPSRUWDQWHHQDSOLFDFLRQHVFRPRFRQVWUXFFLyQGHWHOHVFRSLRV R DQWHQDV GH VDWpOLWHV IDURV GHODQWHURV GH DXWRPyYLOHV\FROHFWRUHVVRODUHV>Sugerencia:/DLQVSHFFLyQGH OD¿JXUDPXHVWUDTXHSRGHPRVHVFULELU 2¢3RUTXp" $KRUDXWLOLFHXQDLGHQWLGDGWULJRQRPpWULFDDGHFXDGD@ r TXHSDVDDWUDYpVGHOD7LHUUDGHO SUREOHPD C x bote con motor x 24. 6XSRQJDTXHVHKDFHXQDJXMHURTXHSDVDSRUHOFHQWURGHOD 7LHUUD\TXHSRUpOVHGHMDFDHUXQDERODGHPDVDmFRPRVH PXHVWUDHQOD¿JXUD&RQVWUX\DXQPRGHORPDWHPi WLFRTXHGHVFULEDHOSRVLEOHPRYLPLHQWRGHODEROD$OWLHPSR tGHQRWHDrFRPRODGLVWDQFLDGHVGHHOFHQWURGHOD7LHUUDDOD PDVD m D M FRPR OD PDVD GH OD 7LHUUD TXH Mr GHQRWH ODPDVDGHODSDUWHGHOD7LHUUDTXHHVWiGHQWURGHXQDHVIHUD GHUDGLRr\TXHGHQRWHODGHQVLGDGFRQVWDQWHGHOD7LHUUD FIGURA 1.3.21 $JXMHUR a tangente y C R Más modelos matemáticos 25. Teoría del aprendizaje (QODWHRUtDGHODSUHQGL]DMHVHVXSRQHTXHODUDSLGH]FRQTXHVHPHPRUL]DDOJRHVSURSRUFLRQDO DODFDQWLGDGTXHTXHGDSRUPHPRUL]DU6XSRQJDTXHMGHQRWDODFDQWLGDGWRWDOGHXQWHPDTXHVHGHEHPHPRUL]DU\TXH A(t HVODFDQWLGDGPHPRUL]DGDDOWLHPSRt 0'HWHUPLQH XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDGHWHUPLQDUODFDQWLGDGA(t). 26. Falta de memoria (QHOSUREOHPDVXSRQJDTXHODUDSLGH]FRQODFXDOHOPDWHULDOHVolvidadoHVSURSRUFLRQDODOD FDQWLGDGPHPRUL]DGDDOWLHPSRt 0'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOSDUDA(t FXDQGRVHFRQVLGHUDODIDOWDGHPHPRULD 27. Suministro de un medicamento 6HLQ\HFWDXQPHGLFDPHQWRHQHOWRUUHQWHVDQJXtQHRGHXQSDFLHQWHDXQDUDSLGH]FRQVWDQWHGHrJUDPRVSRUVHJXQGR6LPXOWiQHDPHQWH VHHOLPLQDHOPHGLFDPHQWRDXQDUDSLGH]SURSRUFLRQDODOD FDQWLGDG x(t SUHVHQWH DO WLHPSR t 'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHGHVFULEDODFDQWLGDGx(t). 28. Tractrix 8Q ERWH FRQ PRWRU FRPLHQ]D HQ HO RULJHQ \ VH PXHYH HQ OD GLUHFFLyQ GHO HMH x SRVLWLYR MDODQGR XQ HVTXtDFXiWLFR D OR ODUJR GH XQD FXUYD C OODPDGD tractrix. 9pDVHOD¿JXUD(OHVTXtDFXiWLFRTXHLQLFLDOPHQWH HVWDEDVLWXDGRHQHOHMHyHQHOSXQWR D HVMDODGRSRUXQD FXHUGDGHORQJLWXGFRQVWDQWHTXHVHPDQWLHQHWHQVDGXUDQWH HOPRYLPLHQWR(QHOWLHPSRt!TXHHOHVTXtDFXiWLFRHVWi HQHOSXQWRGHP(x, y 6XSRQJDTXHODFXHUGDVLHPSUHHVWDQJHQWHDC8WLOLFHHOFRQFHSWRGHSHQGLHQWHSDUDGHWHUPLQDU XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHODWUD\HFWRULDCGHOPRYLPLHQWR P (x, y) θ L θ φ O x FIGURA 1.3.23 6XSHU¿FLHUHÀHFWRUDGHOSUREOHPD Problemas de análisis 30. /HDQXHYDPHQWHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV\ GHVSXpVSURSRUFLRQHXQDVROXFLyQH[SOLFtWDP(t SDUDOD HFXDFLyQ 'HWHUPLQH XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH VROXFLRQHVGH 31. /HDQXHYDPHQWHODRUDFLyQTXHVHHQFXHQWUDDFRQWLQXDFLyQ GHODHFXDFLyQ \VXSRQJDTXHTmHVXQDFRQVWDQWHSRVLWLYD $QDOLFHSRUTXpVHSRGUtDHVSHUDUTXHk HQ HQDPERV FDVRV GH HQIULDPLHQWR \ GH FDOHQWDPLHQWR 3RGUtD HPSH]DU SRULQWHUSUHWDUGLJDPRVT(t) TmHQXQDIRUPDJUi¿FD 32. /HD QXHYDPHQWH HO DQiOLVLV TXH FRQGXMR D OD HFXDFLyQ 6L VXSRQHPRV TXH LQLFLDOPHQWH HO WDQTXH FRQVHUYD GLJDPRVNJGHVDOHVSRUTXHVHOHHVWiDJUHJDQGRVDO FRQWLQXDPHQWHDOWDQTXHSDUDt 0, A(t VHUiXQDIXQFLyQ FUHFLHQWH$QDOLFHFyPRSRGUtDGHWHUPLQDUDSDUWLUGHOD ('VLQUHDOPHQWHUHVROYHUODHOQ~PHURGHNLORJUDPRVGH VDOHQHOWDQTXHGHVSXpVGHXQSHULRGRODUJR 33. Modelo de población /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dP (k cos t)P, GRQGH k HV XQD FRQVWDQWH SRVLWLYD dt PRGHODODSREODFLyQKXPDQDP(t GHFLHUWDFRPXQLGDG 34 O CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES $QDOLFHHLQWHUSUHWHODVROXFLyQGHHVWDHFXDFLyQ(QRWUDV SDODEUDV ¢TXp WLSR GH SREODFLyQ SLHQVD TXH GHVFULEH HVWD HFXDFLyQGLIHUHQFLDO" 34. Fluido girando &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D XQ FLOLQGUR FLUFXODU UHFWR SDUFLDOPHQWH OOHQR FRQ XQ ÀXLGR HVWi JLUDQGR FRQ XQD YHORFLGDG DQJXODU FRQVWDQWH UHVSHFWR DO HMH YHUWLFDO TXH SDVD SRU VX FHQWUR (O ÀXLGR JLUDQGR IRUPD XQD VXSHU¿FLH GH UHYROXFLyQ S 3DUD LGHQWL¿FDU S SULPHUR HVWDEOHFHPRV XQ VLVWHPD FRRUGHQDGR TXH FRQVLVWH HQ XQ SODQRYHUWLFDOGHWHUPLQDGRSRUHOHMHy\HOHMHxGLEXMDGRHQ IRUPDSHUSHQGLFXODUDOHMHyGHWDOIRUPDTXHHOSXQWRGHLQWHUVHFFLyQ GH ORV HMHV HO RULJHQ HVWi ORFDOL]DGR HQ HO SXQWR LQIHULRU GH OD VXSHU¿FLH S (QWRQFHV EXVFDPRV XQD IXQFLyQ y f (x TXHUHSUHVHQWHODFXUYDCGHLQWHUVHFFLyQGHODVXSHU¿FLHS\GHOSODQRFRRUGHQDGRYHUWLFDO6HDTXHHOSXQWRP(x, y) GHQRWHODSRVLFLyQGHXQDSDUWtFXODGHOÀXLGRJLUDQGRGHPDVD mHQHOSODQRFRRUGHQDGR9HDOD¿JXUD E a) ( QPKD\XQDIXHU]DGHUHDFFLyQGHPDJQLWXGFGHELGD DODVRWUDVSDUWtFXODVGHOÀXLGRTXHHVSHUSHQGLFXODUDOD VXSHU¿FLHS8VDQGRODVHJXQGDOH\GH1HZWRQODPDJQLWXG GH OD IXHU]D QHWD TXH DFW~D VREUH OD SDUWtFXOD HV m2x ¢&XiO HV HVWD IXHU]D" 8WLOLFH OD ¿JXUD E 36. Gotas de lluvia cayendo (QPHWHRURORJtDHOWpUPLQRvirgaVH UH¿HUHDODVJRWDVGHOOXYLDTXHFDHQRDSDUWtFXODVGHKLHORTXHVH HYDSRUDQDQWHVGHOOHJDUDOVXHOR6XSRQJDTXHHQDOJ~QWLHPSR TXHVHSXHGHGHQRWDUSRUt ODVJRWDVGHOOXYLDGHUDGLRr0 FDHQGHVGHHOUHSRVRGHXQDQXEH\VHFRPLHQ]DQDHYDSRUDU a) 6 LVHVXSRQHTXHXQDJRWDVHHYDSRUDGHWDOPDQHUDTXH VXIRUPDSHUPDQHFHHVIpULFDHQWRQFHVWDPELpQWLHQHVHQWLGRVXSRQHUTXHODUDSLGH]DODFXDOVHHYDSRUDODJRWDGH OOXYLDHVWRHVODUDSLGH]FRQODFXDOpVWDSLHUGHPDVDHV SURSRUFLRQDODVXiUHDVXSHU¿FLDO0XHVWUHTXHHVWD~OWLPD VXSRVLFLyQLPSOLFDTXHODUDSLGH]FRQODTXHHOUDGLRrGHOD JRWDGHOOXYLDGLVPLQX\HHVXQDFRQVWDQWH(QFXHQWUHr (t). >Sugerencia:9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV@ b) 6 L OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD HV KDFLD DEDMR FRQVWUX\D XQ PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD OD YHORFLGDG v GH OD JRWD GH OOXYLD TXH FDH DO WLHPSR t 'HVSUHFLH OD UHVLVWHQFLD GHO DLUH >Sugerencia: 8WLOLFH OD IRUPD GH OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ GDGD HQ OD HFXDFLyQ @ 37. Deja que nieve (O ³SUREOHPD GHO TXLWDQLHYHV´ HV XQ FOiVLFR TXH DSDUHFH HQ PXFKRV OLEURV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV \TXHIXHSUREDEOHPHQWHLQYHQWDGRSRU5DOSK3DOPHU$JQHZ “Un día comenzó a nevar en forma intensa y constante. Un quitanieve comenzó a medio día, y avanzó 2 millas la primera hora y una milla la segunda. ¿A qué hora comenzó a nevar?” SDUDDQDOL]DUODQDWXUDOH]D\HORULJHQGHODVHFXDFLRQHV F FRV mg, F VHQ m2x b) 8 VHHOLQFLVRD SDUDHQFRQWUDUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO TXHGH¿QDODIXQFLyQy f(x). y ω curva C de intersección del plano xy y la superficie de y revolución mω 2x F θ P P(x, y) mg θ recta tangente a la curva C en P a) x b) FIGURA 1.3.24 )OXLGRJLUDQGRGHOSUREOHPD 35. Cuerpo en caída (Q HO SUREOHPD VXSRQJD TXH r R sGRQGHsHVODGLVWDQFLDGHVGHODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUD DO FXHUSR TXH FDH ¢&yPR HV OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH VH REWXYRHQHOSUREOHPDFXDQGRsHVPX\SHTXHxDHQFRPSDUDFLyQFRQR">Sugerencia:&RQVLGHUHODVHULHELQRPLDOSDUD (R s)2 R2 (1 sR)2.] . REPASO DEL CAPÍTULO 1 (QORVSUREOHPDV\OOHQHHOHVSDFLRHQEODQFR\GHVSXpVHVFULED HVWH UHVXOWDGR FRPR XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ TXH QRFRQWLHQHDOVtPERORc1\TXHWLHQHODIRUPDdydx f(x, y (O VtPERORc1UHSUHVHQWDXQDFRQVWDQWH d c e10x dx 1 d 2. (5 c1e dx 6HHQFXHQWUDHQHOOLEURDifferential EquationsGH5DOSK 3DOPHU$JQHZ0F*UDZ+LOO%RRN&RE~VTXHOR\GHVSXpV DQDOLFHODFRQVWUXFFLyQ\VROXFLyQGHOPRGHORPDWHPiWLFR 38. Dinámica poblacional 6XSRQJDPRVdP/dt = 0.15P(t UHSUHVHQWDXQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDHOFUHFLPLHQWRGHXQFLHUWR FXOWLYRGHFpOXODVGRQGHPHVHOWDPDxRGHOFXOWLYR PHGLGR HQPLOORQHVGHFpOXODV DOWLHPSRt! PHGLGRHQKRUDV ¢4XpWDQUiSLGRHVWiFUHFLHQGRHOFXOWLYRHQHOPRPHQWRHQ TXHHOWDPDxRGHOFXOWLYRDOFDQ]DPLOORQHVGHFpOXODV" 39. Decaimiento radiactivo 6XSRQJDPRV TXH dA/dt = -0.0004332A(t UHSUHVHQWD XQ PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD HOGHFDLPLHQWRGHUDGLRGRQGH$ t HVODFDQWLGDGGH UDGLR PHGLGR HQ JUDPRV UHVWDQWH HQ HO PRPHQWR t > 0 PHGLGRHQDxRV ¢&XiQWDFDQWLGDGGHODPXHVWUDGHUDGLR VH PDQWLHQH DO WLHPSR HQ TXH OD PXHVWUD HVWi GHFD\HQGR FRQXQDUDSLGH]GHJSRUDxR" 40. /HDQXHYDPHQWHHVWDVHFFLyQ\FODVL¿TXHFDGDPRGHORPDWHPiWLFRFRPROLQHDORQROLQHDO Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1. (QORVSUREOHPDV\OOHQHHOHVSDFLRHQEODQFR\GHVSXpVHVFULED HVWHUHVXOWDGRFRPRXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ TXHQRFRQWHQJDDODVFRQVWDQWHVc1\c2\TXHWHQJDODIRUPDF(y, y) /RVVtPERORVc1, c2\kUHSUHVHQWDQFRQVWDQWHV d2 (c1 cos kx c2 sen kx) dx2 d2 4. (c1 cosh kx c2 senh kx) dx2 3. 1. 2x ) REPASO DEL CAPÍTULO 1 (QORVSUREOHPDV\FDOFXOHy\y\GHVSXpVFRPELQHHVWDVGHULYDGDVFRQyFRPRXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ TXHQRFRQWLHQHORVVtPERORVc1\c2\TXHWLHQHODIRUPDF(y, y, y) (VWRVVtPERORVc1\c2UHSUHVHQWDQFRQVWDQWHV 5. y c1e c 2xe x x 6. y c1e FRVx c2e VHQx x x (QORVSUREOHPDVDUHODFLRQHFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRQXQDRPiVGHHVWDVVROXFLRQHV a) y 0, 7. 9. b) y 2, xy 2y y 2y 4 11. y 9y 18 c) y 2x, d) y 2x 2. 8. y 2 10. xy y 12. xy y 0 (Q ORV SUREOHPDV \ GHWHUPLQH SRU LQVSHFFLyQ DO PHQRV XQD VROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD 13. y y 14. y y(y 3) 23. y y FRVx VHQx y xVHQx xFRVx 24. y y VHFx y xVHQx FRVx OQ FRVx) 25. x 2y xy y y VHQ OQx) 26. x 2y xy y VHF OQx y FRV OQx OQ FRV OQx)) OQx VHQ OQx) (QORVSUREOHPDVXWLOLFHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQSDUDYHUL¿FDUTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO GDGD6XSRQJDXQLQWHUYDORDGHFXDGRGHGH¿QLFLyQGHFDGDVROXFLyQ x dy (sen x)y x; y ecos x tecos t dt dx 0 x dy 2 2 28. 2xy ex; y ex ett dt dx 0 27. 29. x2y (x2 x)y (1 x)y 0; 15. (QODJUi¿FDGHy (x ODSHQGLHQWHGHODUHFWDWDQJHQWHHQHO SXQWR P(x, y HVHOFXDGUDGRGHODGLVWDQFLDGHP(x, y DORULJHQ 30. y0 1 y 5 e x ; 17. a) 'pHOGRPLQLRGHODIXQFLyQy x . b) 'pHOLQWHUYDORI GHGH¿QLFLyQPiVODUJRHQHOFXDOy x2/3 HV VROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOxy 2y 0. 19. 'DGRTXHy x±xHVXQDVROXFLyQGHOD('xy y 2x. 'HWHUPLQHx0\HOLQWHUYDORI PiVODUJRSDUDHOFXDOy(x HVXQD VROXFLyQGHO39,GHSULPHURUGHQxy y 2x, y(x0) 1. 20. 6XSRQJD TXH y(x GHQRWD XQD VROXFLyQ GHO 39, GH SULPHU RUGHQ y x2 y2, y(1) \ TXH y(x WLHQH DO PHQRV XQD VHJXQGD GHULYDGD HQ x (Q DOJXQD YHFLQGDG GH x XWLOLFH OD (' SDUD GHWHUPLQDU VL y(x HVWi FUHFLHQGR R GHFUHFLHQGR \ VL OD JUi¿FD y(x HV FyQFDYD KDFLD DUULED RKDFLDDEDMR 21. 8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHWHQHUPiVGHXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHV a) 'LEXMHGLIHUHQWHVPLHPEURVGHODVIDPLOLDVy 1(x) x2 c1\y 2(x) x2 c2. b) &RPSUXHEHTXHy 1(x \y 2(x VRQGRVVROXFLRQHVGH ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQROLQHDOGHSULPHURUGHQ y)2 4x2. c) & RQVWUX\DXQDIXQFLyQGH¿QLGDHQWUDPRVTXHVHDXQDVROXFLyQGHOD('QROLQHDOGHOLQFLVRE SHURTXHQRVHDPLHPEUR GHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHOLQFLVRD 22. ¢&XiO HV OD SHQGLHQWH GH OD UHFWD WDQJHQWH D OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQGH y 61y 5x3 TXHSDVDSRU " x # 2 yx x et t 1 x dt #e 2 y 5 sen x e t cos t dt 2 cos x 0 t2 sen t dt 0 (QORVSUREOHPDVYHUL¿TXHTXHODH[SUHVLyQLQGLFDGDHVXQD VROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD´ 31. x 2/3 18. a) & RPSUXHEH TXH OD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD y2 2y x2±x cHVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO (2y 2)y 2x 1. b) (QFXHQWUH XQ PLHPEUR GH OD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD HQ HOLQFLVRD TXHVDWLVIDJDODFRQGLFLyQLQLFLDOy(0) 1. c) 8 WLOLFH VX UHVXOWDGR GHO LQFLVR E SDUD GHWHUPLQDU XQD funciónH[SOtFLWDy (x TXHVDWLVIDJDy(0) 'pHO GRPLQLRGHODIXQFLyQ ¢(Vy (x XQDsoluciónGHO SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV"6LHVDVtGpVXLQWHUYDORI GHGH¿QLFLyQVLQRH[SOLTXHSRUTXp 35 (QORVSUREOHPDVYHUL¿TXHTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD'pXQDGH¿QLFLyQGH LQWHUYDORISDUDFDGDVROXFLyQ (QORVSUREOHPDV\LQWHUSUHWHFDGDHQXQFLDGRFRPRXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 16. (QODJUi¿FDGHy (x ODUD]yQFRQODTXHODSHQGLHQWHFDPELDUHVSHFWRDxHQXQSXQWRP(x, y HVHOQHJDWLYRGHODSHQGLHQWHGHODUHFWDWDQJHQWHHQP(x, y). O 32. dy 1 1 y 5 2 ; x3y3 5 x3 1 1 dx y dy 2 1dx2 1 1 5 y1 ; 2 (x 2 5)2 1 y2 5 1 33. y0 5 2y(y9)3; y3 1 3y 5 1 2 3x 34. (1 2 xy)y9 5 y2; y 5 exy (QORVSUREOHPDVy c1e3x c2ex 2xHVXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVGHOD('GHVHJXQGRRUGHQy±y 3y 6x 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGHO39,GHVHJXQGRRUGHQTXHFRQVLVWHHQHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\HQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDGDV 35. y (0) 0, y(0) 0 37. y (1) 4, y(1) 2 36. y (0) 1, y(0) 3 38. y (1) 0, y(1) 1 39. (QOD¿JXUD5VHSUHVHQWDODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQGHXQ SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQd 2ydx 2 f (x, y, y), y(2) y0, y(2) y18WLOLFHODJUi¿FDSDUDHVWLPDUORV YDORUHVGHy0\y1. y 5 5 x −5 FIGURA 1.R.1 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 40. 8QWDQTXHTXHWLHQHODIRUPDGHFLOLQGURFLUFXODUUHFWRGHP GHUDGLR\PGHDOWXUDHVWiSDUDGRVREUHVXEDVH,QLFLDOPHQWHHO WDQTXHHVWiOOHQRGHDJXD\pVWDVDOHSRUXQDJXMHURFLUFXODUGH PPGHUDGLRHQHOIRQGR'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDOD DOWXUDhGHODJXDDOWLHPSRt 'HVSUHFLHODIULFFLyQ\FRQWUDFFLyQ GHODJXDHQHODJXMHUR 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN © Joggie Botma/Shutterstock.com 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Curvas solución sin una solución Variables separables Ecuaciones lineales Ecuaciones exactas Soluciones por sustitución Un método numérico REPASO DEL CAPÍTULO 2 L 36 a historia de las matemáticas tiene muchos relatos de personas que han dedicado gran parte de sus vidas a la solución de ecuaciones: al principio de ecuaciones algebraicas y, después, de ecuaciones diferenciales. En las secciones 2.2 a 2.5 estudiaremos algunos de los métodos analíticos más importantes para resolver ED de primer orden. Sin embargo, antes de que empecemos a resolverlas, debemos considerar dos hechos: Es posible que una ecuación diferencial no tenga soluciones y una ecuación diferencial puede tener una solución que no se pueda determinar con los métodos analíticos. En las secciones 2.1 y 2.6 no se soluciona ninguna ED pero se muestra cómo obtener información acerca de sus soluciones directamente de la ecuación misma. 2.1 2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN O 37 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN INTRODUCCIÓN Imaginemos por un momento que nos enfrentamos con una ecuación diferencial de primer orden dydx f (x, y), y que además no podemos encontrar ni inventar un método para resolverla analíticamente. Esto no es tan malo como se podría pensar, ya que la ecuación diferencial en sí misma a veces puede “decirnos” concretamente cómo se “comportan” sus soluciones. Iniciaremos nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden con dos formas cualitativas de analizar una ED. Estas dos formas nos permiten determinar, de una manera aproximada, cómo es una curva solución sin resolver realmente la ecuación. 2.1.1 CAMPOS DIRECCIONALES ALGUNAS PREGUNTAS FUNDAMENTALES En la sección 1.2 vimos que si f (x, y) y fy satisfacen ciertas condiciones de continuidad, se pueden responder preguntas cualitativas acerca de la existencia y unicidad de las soluciones. En esta sección veremos otras preguntas cualitativas acerca de las propiedades de las soluciones: ¿Cómo se comporta una solución cerca de un punto dado? ¿Cómo se comporta una solución cuando x A ? Con frecuencia se pueden responder cuando la función f depende sólo de la variable y. Sin embargo, comenzaremos con un simple concepto de cálculo: La derivada dydx de una función derivable y y(x) da las pendientes de las UHFWDVWDQJHQWHVHQSXQWRVGHVXJUi¿FD PENDIENTE Debido a que una solución y y(x) de una ecuación diferencial de primer orden dy (1) f (x, y) dx y pendiente = 1.2 (2, 3) x a) elemento lineal en un punto. y curva solución (2, 3) tangente x b) el elemento lineal es tangente a la curva solución que pasa por el punto. FIGURA 2.1.1 El elemento lineal es tangente a la curva solución en (2, 3). HVQHFHVDULDPHQWHXQDIXQFLyQGHULYDEOHHQVXLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQ I, debe también ser continua en I. Por tanto, la curva solución correspondiente en I no tiene cortes y debe tener una recta tangente en cada punto (x, y(x)). La función f en la forma normal (1) se llama función pendiente o función tasa. La pendiente de la recta tangente en (x, y(x)) en una curva solución es el valor de la primera derivada dydx en este punto y sabemos de la ecuación (1) que es el valor de la función pendiente f (x, y(x)). Ahora supongamos que (x, y) representa cualquier punto de una región del plano xy en la que está GH¿QLGDODIXQFLyQf. El valor f (x, y) que la función f le asigna al punto representa la pendiente de una recta o, como veremos, un segmento de recta llamado elemento lineal. Por ejemplo, considere la ecuación dydx 0.2xy, donde f (x, y) 0.2xy. En donde consideramos al punto (2, 3), la pendiente de un elemento lineal es f (2, 3) 0.2(2) (3) /D¿JXUD D PXHVWUDXQVHJPHQWRGHUHFWDFRQSHQGLHQWH TXH SDVD SRU &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD E VL XQD FXUYD solución también pasa por el punto (2, 3), lo hace de tal forma que el segmento de recta es tangente a la curva; en otras palabras, el elemento lineal es una recta tangente miniatura en ese punto. CAMPO DIRECCIONAL Si evaluamos sistemáticamente a f en una cuadrícula rectangular de puntos en el plano xy y se dibuja un elemento lineal en cada punto (x, y) de la cuadrícula con pendiente f (x, y), entonces al conjunto de todos estos elementos lineales se le llama campo direccional o campo de pendientes de la ecuación diferencial dydx f (x, y). Visualmente, la dirección del campo indica el aspecto o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial dada y, en consecuencia, se pueden ver a simple vista aspectos cualitativos de la solución, por ejemplo, regiones en el plano, en los que una solución presenta un comportamiento poco común. Una 38 CAPÍTULO 2 O ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN VRODFXUYDVROXFLyQTXHSDVDSRUXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHEHVHJXLUHOSDWUyQGHÀXMR del campo: el elemento lineal es tangente a la curva cuando intercepta un punto de la FXDGUtFXOD/D¿JXUDPXHVWUDXQFDPSRGLUHFFLRQDOJHQHUDGRSRUFRPSXWDGRUD de la ecuación diferencial dydx sen(x y) sobre una región del plano xy. Observe FyPRODVWUHVFXUYDVVROXFLyQTXHVHPXHVWUDQDFRORUVLJXHQHOÀXMRGHOFDPSR EJEMPLO 1 Campo direccional FIGURA 2.1.2 Las curvas solución VLJXHQHOÀXMRGHXQFDPSRGLUHFFLRQDO y 4 2 x _2 _4 _4 _2 2 4 a) Campo direccional para dy/dx 0.2xy. y 4 c>0 2 c=0 x c<0 _2 El campo direccional para la ecuación diferencial dydx 0.2xyTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D VHREWXYRXVDQGRXQSDTXHWHFRPSXWDFLRQDOHQHOTXHVHGH¿QLyXQDPDOOD 5 (mh, nh) con m y n enteros, haciendo – 5 m 5, 5 n 5, y h 1. Observe en la ¿JXUD D TXHHQFXDOTXLHUSXQWRGHOHMHGHODVx (y 0) y del eje y (x 0), las pendientes son f (x, 0) 0 y f (0, y) 0, respectivamente, por lo que los elementos lineales son KRUL]RQWDOHV$GHPiVREVHUYHTXHHQHOSULPHUFXDGUDQWHSDUDXQYDORU¿MRGHx los valores de f (x, y) 0.2xy aumentan conforme crece y, análogamente, para una y los valores de f (x, y) 0.2xy aumentan conforme crece x(VWRVLJQL¿FDTXHFRQIRUPHx y y crecen, los elementos lineales serán casi verticales y tendrán pendiente positiva ( f (x, y) 0.2xy 0 para x 0, y 0). En el segundo cuadrante, f (x, y) aumenta conforme crecen x y y, por lo que nuevamente los elementos lineales serán casi verticales pero esta vez tendrán pendiente negativa ( f (x, y) 0.2xy 0 para x 0, y 0). Leyendo de izquierda a derecha, imaginemos una curva solución que inicia en un punto del segundo cuadrante, se mueve abruptamente hacia abajo, se hace plana conforme pasa por el eje y, y después, conforme entra al primer cuadrante, se mueve abruptamente hacia arriba; en otras palabras, su forma sería cóncava hacia arriba y similar a herradura. A partir de esto se podría inferir que y A conforme x A . Ahora en los cuadrantes tercero y cuarto, puesto que f (x, y) 0.2xy 0 y f (x, y) 0.2xy 0, respectivamente, la situación se invierte: Una curva solución crece y después decrece conforme nos movamos de izquierda a derecha. Vimos 2 en la ecuación (1) de la sección 1.1 que y e0.1x es una solución explícita de dydx 0.2xy; usted debería comprobar que una familia uniparamétrica de soluciones de la misma ecua2 ción está dada por: y ce0.1x &RQREMHWRGHFRPSDUDUFRQOD¿JXUD D HQOD¿JXUD 2.1.3(b) se muestran algunos miembros representativos de esta familia. EJEMPLO 2 Campo direccional Utilice un campo direccional para dibujar una curva solución aproximada para el problema con valores iniciales dydx sen y, y(0) 32. _4 _4 _2 2 4 b) Algunas curvas solución 2 en la familia y ce 0.1x . FIGURA 2.1.3 Campo direccional y curvas solución. SOLUCIÓN Antes de proceder, recuerde que a partir de la continuidad de f (x, y) sen y y fy cos y el teorema 1.2.1 garantiza la existencia de una curva solución única que pase por un punto dado (x0, y0) en el plano. Ahora, preparamos de nuevo nuestro paquete computacional para una región rectangular 5 \HVSHFL¿FDPRVSXQWRV GHELGRVDOD condición inicial) en la región con separación vertical y horizontal de 12 unidad, es decir, en puntos (mh, nh), h 12 , m y n enteros como 10 m 10, 10 n 10. El resultado VHSUHVHQWDHQOD¿JXUD3XHVWRTXHHOODGRGHUHFKRGHdydx sen y es 0 en y 0, y en y ʌ, los elementos lineales son horizontales en todos los puntos cuyas segundas coordenadas son y 0 o y ʌ. Entonces tiene sentido que una curva solución que pasa por el punto inicial (0, 32)WHQJDODIRUPDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD CRECIMIENTO/DECRECIMIENTO La interpretación de la derivada dydx como una función que da la pendiente desempeña el papel principal en la construcción de un campo direccional. A continuación, se usará otra propiedad contundente de la primera derivada, es decir, si dydx 0 (o dydx 0) para toda x en un intervalo I, entonces una función derivable y y(x) es creciente (o decreciente) sobre I. 2.1 y 2 x _2 _4 _2 O 39 COMENTARIOS 4 _4 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN 2 4 Dibujar a mano un campo direccional es sencillo pero toma tiempo; por eso es probable que esta tarea se realice sólo una o dos veces en la vida, generalmente HVPiVH¿FLHQWHUHDOL]DUODHPSOHDQGRXQSDTXHWHFRPSXWDFLRQDO$QWHVGHODV calculadoras, de las computadoras personales y de los programas se utilizaba el método de las isoclinas para facilitar el dibujo, a mano, de un campo direccional. Para la ED dydx f (x, y), cualquier miembro de la familia de curvas f (x, y) c, con c una constante, se llama una isoclina. Se dibujan elementos lineales que pasen por los puntos en una isoclina dada, digamos f (x, y) c1 todos con la misma pendiente c1. En el problema 15 de los ejercicios 2.1 tiene dos oportunidades para dibujar un campo direccional a mano. FIGURA 2.1.4 Campo direccional del ejemplo 2 de la pág. 38. 2.1.2 ED AUTÓNOMAS DE PRIMER ORDEN ED AUTÓNOMAS DE PRIMER ORDEN En la sección 1.1 dividimos las ecuaciones diferenciales ordinarias en dos tipos: lineales y no lineales. Ahora consideraremos EUHYHPHQWHRWUDFODVHGHFODVL¿FDFLyQGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVXQD FODVL¿FDFLyQ TXH HV GH SDUWLFXODU LPSRUWDQFLD HQ OD LQYHVWLJDFLyQ FXDOLWDWLYD GH ODV ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece explícitamente se llama autónoma. Si el símbolo x denota a la variable independiente, entonces se puede escribir una ecuación diferencial autónoma de primer orden como f (y, y) 0 o en la forma normal como dy (2) f (y). dx Supondremos que la función f en la ecuación (2) y su derivada f son funciones continuas de y sobre algún intervalo I. Las ecuaciones de primer orden f ( y) p dy 5 1 1 y2 dx f (x, y) p y dy 5 0.2xy dx son respectivamente autónoma y no autónoma. Muchas ecuaciones diferenciales que se encuentran en aplicaciones o ecuaciones que modelan leyes físicas que no cambian en el tiempo son autónomas. Como ya hemos visto en la sección 1.3, en un contexto aplicado, se usan comúnmente otros símbolos diferentes de y y de x para representar las variables dependientes e independientes. Por ejemplo, si t representa el tiempo entonces al examinar dA kA, dt dx kx(n 1 x), dt dT k(T Tm), dt dA 1 6 A, dt 100 donde k, n y Tm son constantes, se encuentra que cada ecuación es independiente del tiempo. Realmente, todas las ecuaciones diferenciales de primer orden introducidas en la sección 1.3 son independientes del tiempo y por lo tanto, son autónomas. PUNTOS CRÍTICOS Las raíces de la función f en la ecuación (2) son de especial importancia. Decimos que un número real c es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma (2) si es una raíz de f, es decir, f (c) 0. Un punto crítico también se llama punto de equilibrio o punto estacionario. Ahora observe que si sustituimos la función constante y(x) c en la ecuación (2), entonces ambos lados de la ecuación VRQLJXDOHVDFHUR(VWRVLJQL¿FDTXH Si c es un punto crítico de la ecuación (2), entonces y(x) c es una solución FRQVWDQWHGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDODXWyQRPD 40 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Una solución constante y(x) c se llama solución de equilibrio; las soluciones de equilibrio son las únicas soluciones constantes de la ecuación (2). &RPR \D OR KHPRV PHQFLRQDGR SRGHPRV LGHQWL¿FDU FXDQGR XQD VROXFLyQ QR constante y y(x) de la ecuación (2) está creciendo o decreciendo determinando el signo algebraico de la derivada dydx; en el caso de la ecuación (2) hacemos esto idenWL¿FDQGRORVLQWHUYDORVGHOHMHy sobre los que la función f (y) es positiva o negativa. EJEMPLO 3 Una ED autónoma La ecuación diferencial eje P donde a y b son constantes positivas, tiene la forma normal dPdt f (P), la de la ecuación (2) con t y P jugando los papeles de x y y respectivamente y por tanto es autónoma. De f (P) P(a – bP) 0 vemos que 0 y ab son puntos críticos de la ecuación, así que las soluciones de equilibrio son P(t) 0 y P(t) ab. Poniendo los SXQWRVFUtWLFRVHQXQDUHFWDYHUWLFDOGLYLGLPRVHVWDUHFWDHQWUHVLQWHUYDORVGH¿QLGRV por P 0, 0 P ab, ab P /DVÀHFKDVHQODUHFWDTXHVHSUHVHQWD HQOD¿JXUDLQGLFDQHOVLJQRDOJHEUDLFRGHf (P) P(a – bP) en estos intervalos y si una solución constante P(t) está creciendo o decreciendo sobre un intervalo. La tabla VLJXLHQWHH[SOLFDOD¿JXUD a b 0 FIGURA 2.1.5 Diagrama fase de una ED en el ejemplo 3. Intervalo (, 0) (0, a b) (a b, ) (x0, y0) I x a) región R. y(x) = c2 y(x) = c1 Signo de f (P ) menos más menos P (t ) decreciente creciente decreciente Flecha apunta hacia abajo apunta hacia arriba apunta hacia abajo /D¿JXUDHVXQdiagrama fase unidimensional, o simplemente diagrama fase, de la ecuación diferencial dPdt P(a bP). La recta vertical se llama recta de fase. y R dP P(a bP), dt y R3 (x0, y0) R2 R1 x b) subregiones R1, R2, y R3 de R. FIGURA 2.1.6 Las rectas y(x) c1 y y(x) c2 dividen a R en tres subregiones horizontales. CURVAS SOLUCIÓN Sin resolver una ecuación diferencial autónoma, normalmente podemos decir mucho respecto a su curva solución. Puesto que la función f en la ecuación (2) es independiente de la variable x, podemos suponer que fHVWiGH¿QLGDSDUD x o para 0 x . También, ya que f y su derivada f son funciones continuas de y sobre algún intervalo I del eje y, los resultados principales del teorema 1.2.1 valen en alguna franja o región R en el plano xy correspondiente a I, y así pasa por algún punto (x0, y0) en R por el que pasa una curva solución de la ecuación (2). 9HDOD¿JXUD D 3DUDUHDOL]DUQXHVWURDQiOLVLVVXSRQJDPRVTXHODHFXDFLyQ WLHQH exactamente dos puntos críticos c1 y c2 y que c1 c2/DVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVy(x) c1 y y(x) c2 son rectas horizontales y estas rectas dividen la región R en tres subregiones R1, R2 y R3FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E $TXtVHSUHVHQWDQVLQFRPSUREDFLyQ algunas de las conclusiones que podemos extraer de una solución no constante y(x) de la ecuación (2): • Si (x0, y0) es una subregión Ri , i 1, 2, 3, y y(x HVXQDVROXFLyQFX\DJUi¿FD pasa a través de este punto, por lo que y(x) permanece en la subregión Ri para toda x&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E ODVROXFLyQy(x) en R2 está acotada por debajo con c1 y por arriba con c2, es decir, c1 y(x) c2 para toda x. La curva solución está dentro de R2 para toda xSRUTXHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQ QRFRQVWDQWHGHODHFXDFLyQ QRSXHGHFUX]DUODJUi¿FDGHFXDOTXLHUVROXFLyQ de equilibrio y(x) c1 o y(x) c2. Vea el problema 33 de los ejercicios 2.1. • Por continuidad de f se tiene que f (y) 0 o f (y) 0 para toda x en una subregión Ri , i 1, 2, 3. En otras palabras, f (y) no puede cambiar de signo en una subregión. Vea el problema 33 de los ejercicios 2.1. 2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN O 41 • Puesto que dydx f (y(x)) es ya sea positiva o negativa en una subregión Ri , i 1, 2, 3, una solución y(x) es estrictamente monótona, es decir, y(x) está creciendo o decreciendo en la subregión Ri. Por tanto y(x) no puede oscilar, ni puede tener un extremo relativo (máximo o mínimo). Vea el problema 33 de los ejercicios 2.1. • Si y(x) está acotada por arriba con un punto crítico c1 (como en la subregión R1 donde y(x) c1 para toda x HQWRQFHVODJUi¿FDGHy(x) debe tender a la JUi¿FDGHODVROXFLyQGHHTXLOLEULRy(x) c1 conforme x A o x A . Si y(x) está acotada, es decir, acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos (como en la subregión R2 donde c1 y(x) c2 para toda x HQWRQFHVODJUi¿FDGHy(x GHEHWHQGHUDODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHV de equilibrio y(x) c1 y y(x) c2, conforme x A en una y x A en la otra. Si y(x) está acotada por debajo por un punto crítico (como en la subregión R3 donde c2 y(x) para toda x HQWRQFHV OD JUi¿FD GH y(x) debe WHQGHU D OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR y(x) c2 conforme ya sea x A o x A 9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV Considerando estos hechos, analicemos la ecuación diferencial del ejemplo 3. EJEMPLO 4 P P R3 decreciente P 0 a b creciente P0 R2 0 t decreciente P0 recta de fase R1 Plano tP FIGURA 2.1.7 Diagrama fase y curvas VROXFLyQGHOHMHPSOR Vuelta al ejemplo 3 Los tres intervalos determinados sobre el eje P o recta de fase con los puntos críticos P 0 y P ab ahora corresponden en el plano tPDWUHVVXEUHJLRQHVGH¿QLGDVSRU R1: P 0, R 2: 0 P ab, y R 3: a b P , donde t (OHVTXHPDGHIDVHGHOD¿JXUDQRVGLFHTXHP(t) está decreciendo en R1, creciendo en R2 y decreciendo en R3. Si P(0) P0 es un valor inicial, entonces en R1, R2 y R3 tenemos, respectivamente, que: i) Para P0 0, P(t) está acotada por arriba. Puesto que P(t) está decreciendo sin límite conforme aumenta t, y así P(t) A 0 conforme t A . Lo que VLJQL¿FD TXH HQ HO HMH t QHJDWLYR OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR P(t) 0, es una asíntota horizontal para una curva solución. ii) Para 0 P0 ab, P(t) está acotada. Puesto que P(t) está creciendo, P(t) A ab conforme t A y P(t) A 0 conforme t A /DVJUi¿FDVGHODV dos soluciones de equilibrio, P(t) 0 y P(t) ab, son rectas horizontales que son asíntotas horizontales para cualquier curva solución que comienza en esta subregión. iii) Para P0 ab, P(t) está acotada por debajo. Puesto que P(t) está decreciendo, P(t) A ab conforme t A /D JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH equilibrio P(t) ab es una asíntota horizontal para una curva solución. (QOD¿JXUDODUHFWDGHIDVHHVHOHMHP en el plano tP. Por claridad la recta de fase RULJLQDOGHOD¿JXUDVHKDUHSURGXFLGRDODL]TXLHUGDGHOSODQRHQHOFXDOVHKDQVRPbreado las regiones R1, R2 y R3(QOD¿JXUDVHPXHVWUDQODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVGH equilibrio P(t) ab y P(t) 0 (el eje t FRQODVUHFWDVSXQWHDGDVD]XOHVODVJUi¿FDVVyOLGDV UHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVWtSLFDVGHP(t) mostrando los tres casos que acabamos de analizar. En una subregión como R1HQHOHMHPSORGRQGHP(t) está decreciendo y no está acotada por debajo, no se debe tener necesariamente que P(t) A . No interprete que HVWH ~OWLPR HQXQFLDGR VLJQL¿FD TXH P(t) A conforme t A ; podríamos tener que P(t) A conforme t A T, donde T HVXQQ~PHUR¿QLWRTXHGHSHQGHGHODFRQdición inicial P(t0) P0. Considerando términos dinámicos, P(t) “explota” en un tiempo ¿QLWRFRQVLGHUDQGRODJUi¿FDP(t) podría tener una asíntota vertical en t T 0. Para la subregión R3 vale una observación similar. La ecuación diferencial dydx sen y en el ejemplo 2 es autónoma y tiene un núPHURLQ¿QLWRGHSXQWRVFUtWLFRV\DTXHVHQy 0 en y Qʌ, con n entero. Además, sabemos que debido a que la solución y(x) pasa por (0, 32) está acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos (ʌ y(x) 0) y decrece (sen y 0 para 42 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ʌ y ODJUi¿FDGHy(x GHEHWHQGHUDODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVGHHTXLOLEULR como asíntotas horizontales: y(x) A ʌ conforme x A y y(x) A 0 conforme x A . EJEMPLO 5 Curvas solución de una ED autónoma La ecuación autónoma dydx (y 1)2 tiene un solo punto crítico 1. Del esquema GHIDVHGHOD¿JXUD D FRQFOXLPRVTXHXQDVROXFLyQy(x) es una función creciente HQODVVXEUHJLRQHVGH¿QLGDVSRU y 1 y 1 y , donde x . Para una condición inicial y(0) y0 1, una solución y(x) está creciendo y está acotada por arriba por 1 y así y(x) A 1 conforme x A ; para y(0) y0 1, una solución y(x) está creciendo y está acotada. Ahora y(x) 1 1(x c) es una familia uniparamétrica de soluciones de la HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO YHD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV 8QD FRQGLFLyQ LQLcial dada determina un valor para c. Para las condiciones iniciales, y(0) 1 1 y y(0) 2 1, encontramos, respectivamente, que y(x) 1 < 1/(x 12), y(x) 1 <1(x < &RPRVHPXHVWUDHQODV¿JXUDV E \ F ODJUi¿FDGHFDGD y y y x =1 creciente (0, 2) y=1 1 y =1 x x (0, −1) creciente x= − a) recta de fase 1 2 b) plano xy y(0) 1 c) plano xy y(0) 1 FIGURA 2.1.8 Comportamiento de las soluciones cerca de y 1 en el ejemplo 5. una de estas funciones racionales tienen una asíntota vertical. Pero recuerde que las soluciones de los problemas con valores iniciales dy dy ( y 1) 2, y(0) 1 y (y 1) 2, y(0) 2 dx dx HVWiQGH¿QLGDVVREUHLQWHUYDORVHVSHFLDOHV/DVGRVVROXFLRQHVVRQUHVSHFWLYDPHQWH 1 1 1 , x 1. x y y(x) 1 , y(x) 1 2 x 1 x 12 c y0 y0 c c c y0 a) y0 b) c) d) FIGURA 2.1.9 El punto crítico c es un atractor en a) y un repulsor en b) y semiestable en c) y d). /DVFXUYDVVROXFLyQVRQODVSDUWHVGHODVJUi¿FDVGHODV¿JXUDV E \ F que se muestran en azul. Como lo indica el diagrama fase, para la curva solución de la ¿JXUD E y(x) A 1 conforme x A SDUDODFXUYDVROXFLyQGHOD¿JXUD F y(x) A conforme x A 1 por la izquierda. ATRACTORES Y REPULSORES Suponga que y(x) es una solución no constante de la ecuación diferencial autónoma dada en (1) y que c es un punto crítico de la ED. Básicamente hay tres tipos de comportamiento que y(x) puede presentar cerca de c. En OD¿JXUDKHPRVSXHVWRDc en las cuatro rectas verticales. Cuando ambas puntas GHÀHFKDHQFXDOTXLHUODGRGHOSXQWRc, apuntan hacia cFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D WRGDVODVVROXFLRQHVy(x) de la ecuación (1) que comienzan en el punto inicial 2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN O 43 (x0, y0 VX¿FLHQWHPHQWHFHUFDGHc presentan comportamiento asintótico límxAy(x) c. Por esta razón se dice que el punto crítico c es asintóticamente estable. Utilizando una analogía física, una solución que comienza en c se parece a una partícula cargada que, con el tiempo, se transforma en una partícula de carga contraria y así c también se conoce como un atractor&XDQGRDPEDVSXQWDVGHÀHFKDDORVODGRVGHODÀHFKDGHOSXQWRc apuntan alejándose de cFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E WRGDVODVVROXFLRQHVy(x) de la ecuación (1) que comienzan en un punto inicial (x0, y0) se alejan de c conforme crece x. En este caso se dice que el punto crítico c es inestable. Un punto crítico inestable se conoce como un repulsorSRUUD]RQHVREYLDV(QODV¿JXUDV F \ G VHPXHVWUD el punto crítico c que no es ni un atractor ni un repulsor. Pero puesto que c presenta caraclas pendientes de los varían las pendientes terísticas tanto de atractor como de repulsor, es decir, una solución que comienza desde de los elementos sobre elementos lineales un punto inicial (x0, y0 TXHHVWiVX¿FLHQWHPHQWHFHUFDGHc es atraída hacia c por un lado una recta vertical. sobre una recta y repelida por el otro, este punto crítico se conoce como semiestable. En el ejemplo 3 el horizontal son punto crítico ab es asintóticamente estable (un atractor) y el punto crítico 0 es inestable todas iguales. y (un repulsor). El punto crítico 1 del ejemplo 5 es semiestable. y x FIGURA 2.1.10 Campo direccional para una ED autónoma. y y=3 y=0 FIGURA 2.1.11 Curvas solución trasladadas de una ED autónoma. x ED AUTÓNOMAS Y CAMPOS DIRECCIONALES Si una ecuación diferencial de primer orden es autónoma, entonces en la forma normal vemos en el miembro derecho dydx f (y) que las pendientes de los elementos lineales que pasan por los puntos en la cuadrícula rectangular que se usa para construir un campo direccional para la ED, sólo dependen de la coordenada y de los puntos. Expresado de otra manera, los elementos lineales que pasan por puntos de cualquier recta horizontal deben tener todos la misma pendiente; por supuesto, pendientes de elementos lineales a lo largo de cualquier recta vertical, variarán. Estos hechos se muestran examinando la banda horizontal dorada y la banda vertical D]XOGHOD¿JXUD/D¿JXUDSUHVHQWDXQFDPSRGLUHFFLRQDOSDUDODHFXDFLyQDXWyQRPD dydx 2(y± /RVHOHPHQWRVOLQHDOHVURMRVHQOD¿JXUDWLHQHQSHQGLHQWHFHURSRUTXHVHHQFXHQWUDQDORODUJRGHODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHHTXLOLEULRy 1. PROPIEDAD DE TRASLACIÓN Recordará del curso de matemáticas de precálculo TXHODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQy f (x – k) donde kHVXQDFRQVWDQWHHVODJUi¿FDGHXQD función y f (x) rígidamente trasladada o desplazada horizontalmente a lo largo del eje x por una cantidad k ; la traslación es hacia la derecha si k 0 y hacia la izquierda si k 0. Resulta que bajo las condiciones establecidas para (2), las curvas solución están relacionadas con las curvas de una ED autónoma de primer orden por el concepto de traslación. Para ver esto, consideremos la ecuación diferencial dydx y(3– y) que es un FDVRHVSHFLDOGHODHFXDFLyQDXWyQRPDFRQVLGHUDGDHQORVHMHPSORV\3XHVWRTXHy 0 y y VRQVROXFLRQHVGHHTXLOLEULRGHOD('VXVJUi¿FDVGLYLGHQHOSODQRxy en tres subregiones R1, R2 y R3: R1 : y 0 R2 : 0 y 3 y R3 : 3 y (QOD¿JXUDKHPRVVREUHSXHVWRXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHODVFXUYDVGHVHLVVROXFLRQHVGHOD('/D¿JXUDPXHVWUDWRGDVODVFXUYDVVROXFLyQGHOPLVPRFRORUHVGHFLUODV curvas solución se encuentran dentro de una subregión particular Ri, todas lucen iguales. Esto no es una coincidencia, ya que es una consecuencia natural del hecho de que los elementos lineales que pasan a través de cualquier recta horizontal son paralelos. Por lo que la siguiente propiedad de traslación de una ED autónoma debe tener sentido: Si y(x) es una solución de una ecuación diferencial autónoma dy/dx f (y), entonces y1(x) y(x k)NXQDFRQVWDQWHWDPELpQHVXQDVROXFLyQ Por tanto, si y(x) es una solución del problema con valores iniciales dydx f(y), y(0) y0, luego y1(x) y(x x0) es una solución del PVI dydx f(y), y(x0) y0. Por ejemplo, es fácil de comprobar que y(x) ex, x , es una solución del PVI, dydx y, y(0) 1 y así una solución y1(x) de, digamos, dydx y, y(5) 1 es y(x) ex trasladado 5 unidades a la derecha: y1(x) y(x 5) ex5, x . 44 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJERCICIOS 2.1 2.1.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1 CAMPOS DIRECCIONALES 1. y 4 (QORVSUREOHPDVUHSURGX]FDHOFDPSRGLUHFFLRQDOGDGRJHnerado por computadora. Después dibuje, a mano, una curva solución aproximada que pase por cada uno de los puntos indicados. Utilice lápices de colores diferentes para cada curva solución. 2 x dy x2 y2 dx a) y(2) 1 c) y(0) 2 _2 b) y(3) 0 d) y(0) 0 _4 _4 y 3 _2 4 2 FIGURA 2.1.14 Campo direccional del problema 3. 2 1 4. x _1 dy (sen x) cos y dx a) y(0) 1 c) y(3) 3 _2 y _3 _3 _2 _1 1 2 4 3 FIGURA 2.1.12 Campo direccional del problema 1. 2. 2 x dy 2 e0.01x y dx a) y(6) 0 c) y(0) _2 b) y(0) 1 d) y(8) _4 _4 y 4 x _4 _8 _8 _4 2 4 4 8 En los problemas 5-12 use un paquete computacional para obtener un campo direccional para la ecuación diferencial dada. Dibuje a mano una curva solución aproximada que pase por los puntos dados. 5. y x 6. y x y a) y(0) 0 a) y(2) 2 b) y(0) 3 b) y(1) 3 dy x dx a) y(1) 1 b) y(0) 7. y FIGURA 2.1.13 Campo direccional del problema 2. dy 1 xy dx a) y(0) 0 c) y(2) 2 _2 FIGURA 2.1.15 &DPSRGLUHFFLRQDOGHOSUREOHPD 8 3. b) y(1) 0 d) y(0) 52 9. b) y(1) 0 d) y(0) dy 0.2x 2 y dx a) y(0) 12 b) y(2) 1 8. 10. dy 1 dx y a) y(0) 1 b) y(2) 1 dy xey dx a) y(0) 2 b) y(1) 2.5 2.1 11. y y cos a) y(2) 2 x 2 dy y 1 dx x a) y 12 2 12. b) y(1) 0 b) ( ) y (32) 0 (QORVSUREOHPDV\OD¿JXUDGDGDUHSUHVHQWDODJUi¿FD de f (y) y de f (x), respectivamente. Dibuje a mano un campo direccional sobre una malla adecuada para dydx f (y) (problema 13) y después para dydx f (x SUREOHPD 13. f 1 1 y FIGURA 2.1.16 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 14. f 1 1 x FIGURA 2.1.17 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 15. En los incisos a) y b) dibuje isoclinas f (x, y) c (vea los ComentariosGHODSiJLQD SDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO dada usando los valores de c indicados. Construya un campo direccional sobre una cuadrícula dibujando con cuidado elementos lineales con la pendiente adecuada en los puntos elegidos de cada isoclina. En cada caso, utilice esta dirección para dibujar una curva solución aproximada para el PVI que consiste de la ED y de la condición inicial y (0) 1. a) dydx x y; c un entero que satisface 5 c 5 b) dydx x 2 y 2; c 14, c 1, c 94, c 4 Problemas para analizar 16. a) Considere el campo direccional de la ecuación diferencial dydx x(y± 2 – 2, pero no use tecnología para obtenerlo. Describa las pendientes de los elementos lineales en las rectas x 0, y 3, y \y 5. b) Considere el PVI dydx x \± 2 – 2, y(0) y0, donde y0 $QDOLFHEDViQGRVHHQODLQIRUPDFLyQGHOLQFLVR a), ¿sí puede una solución y(x) A conforme x A ? CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN O 45 17. Para la ED de primer orden dydx f (x, y) una curva en HOSODQRGH¿QLGRSRUf (x, y) 0 se llama ceroclina de la ecuación, ya que un elemento lineal en un punto de la curva tiene pendiente cero. Use un paquete computacional para obtener un campo direccional en una cuadrícula rectangular de puntos dydx x2 2y y después superSRQJDODJUi¿FDGHODFHURFOLQD y 12 x 2 sobre el campo direccional. Analice el comportamiento de las curvas soOXFLyQHQUHJLRQHVGHOSODQRGH¿QLGDVSRUy 12 x 2 y por y 12 x 2. Dibuje algunas curvas solución aproximadas. Trate de generalizar sus observaciones. 18. a) , GHQWL¿TXHODVFHURFOLQDV YHDHOSUREOHPD HQORV SUREOHPDV \ &RQ XQ OiSL] GH FRORU FLUFXOH WRGRV ORV HOHPHQWRV OLQHDOHV GH ODV ¿JXUDV \TXHXVWHGFUHDTXHSXHGHQVHUXQHOHmento lineal en un punto de la ceroclina. b) ¿Qué son las ceroclinas de una ED autónoma de primer orden? 2.1.2 ED DE PRIMER ORDEN AUTÓNOMAS 19. Considere la ecuación diferencial de primer orden dydx y – y3 y la condición inicial y(0) y0$PDQRGLEXMHODJUi¿FD de una solución típica y(x) cuando y0 tiene los valores dados. a) y 0 1 b) 0 y 0 1 c) 1 y 0 0 d) y 0 1 20. Considere la ecuación diferencial autónoma de primer orden dydx y2 – y y la condición inicial y(0) y0. A PDQRGLEXMHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQWtSLFDy(x) cuando y0 tiene los valores dados. a) y 0 1 b) 0 y 0 1 c) 1 y 0 0 d) y 0 1 En los problemas 21-28 determine los puntos críticos y el diagrama fase de la ecuación diferencial autónoma de primer RUGHQGDGD&ODVL¿TXHFDGDSXQWRFUtWLFRFRPRDVLQWyWLFDPHQWH estable, inestable, o semiestable. Dibuje, a mano, curvas solución típicas en las regiones del plano xy determinadas por las JUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVGHHTXLOLEULR dy 21. 22. dy y 2 y 3 y 2 3y dx dx dy 23. 24. dy 10 3y y 2 ( y 2)4 dx dx 25. dy y 2(4 y 2) dx 26. dy y(2 y)(4 y) dx 27. dy y ln( y 2) dx y 28. dy ye 9y dx ey (Q ORV SUREOHPDV \ FRQVLGHUH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO autónoma dydx f (y GRQGH VH SUHVHQWD OD JUi¿FD GH f. 8WLOLFHODJUi¿FDSDUDXELFDUORVSXQWRVFUtWLFRVGHFDGDXQDGH las ecuaciones diferenciales. Dibuje un diagrama fase de cada ecuación diferencial. Dibuje a mano curvas solución típicas en las subregiones del plano xyGHWHUPLQDGDVSRUODVJUi¿FDVGHODV soluciones de equilibrio. 46 29. O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN f c y FIGURA 2.1.18 *Ui¿FDGHOSUREOHPD f los que las curvas solución son cóncavas hacia arriba y en los que las curvas solución son cóncavas hacia abajo. Analice por qué cada curva solución de un problema con valores iniciales dydx y2 y – 6, y(0) y0, donde 2 y0 3, WLHQHXQSXQWRGHLQÀH[LyQFRQODPLVPDFRRUGHQDGDy. ¿Cuál es la coordenada y? Con cuidado dibuje la curva solución para la que y(0) 1. Repita para y(2) 2. 37. Suponga que la ED autónoma en la ecuación (2) no tiene puntos críticos. Analice el comportamiento de las soluciones. Modelos matemáticos 30. 38. Modelo de población La ecuación diferencial en el ejemplo 3 es un modelo muy conocido de población. Suponga que la ED se cambia por 1 1 y dP P(aP b), dt donde a y b son constantes positivas. Analice qué le pasa a la población P conforme avanza el tiempo t. FIGURA 2.1.19 *Ui¿FDGHOSUREOHPD Problemas para analizar 31. Considere la ED autónoma dydx (2ʌ)y – sen y. Determine los puntos críticos de la ecuación. Proponga un procedimiento para obtener un diagrama fase de la HFXDFLyQ&ODVL¿TXHORVSXQWRVFUtWLFRVFRPRDVLQWyWLFDmente estables, inestables o semiestables. 32. Se dice que un punto crítico c de una ED de primer orden autónoma está aislado si existe algún intervalo abierto que contenga a c pero no a otro punto crítico. ¿Puede existir una ED autónoma de la forma dada en la ecuación (2) para la cual todo punto crítico no esté aislado? Analice; no considere ideas complicadas. 33. Suponga que y(x) es una solución no constante de la ecuación diferencial autónoma dydx f (y) y que c es un punto FUtWLFRGHOD('$QDOLFH¢3RUTXpQRSXHGHODJUi¿FDGH y(x FUX]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR y c? ¿Por qué no puede f (y) cambiar de signo en una de las reJLRQHVDQDOL]DGDVGHODSiJLQD"¢3RUTXpQRSXHGHy(x) oscilar o tener un extremo relativo (máximo o mínimo)? 34. Suponga que y(x) es una solución de la ecuación autónoma dydx f (y) y está acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos c1 c2, como una subregión R2GHOD¿JXUD E 6Lf (y) 0 en la región, entonces límxA y(x) c 2. Analice por qué no puede existir un número L c2 tal que límxA y(x) L. Como parte de su análisis, considere qué pasa con y (x) conforme x A . 35. Utilizando la ecuación autónoma (2), analice cómo se puede obtener información con respecto a la ubicación de SXQWRVGHLQÀH[LyQGHXQDFXUYDVROXFLyQ 36. Considere la ED dydx y2 – y – 6. Utilice sus ideas en torno al problema 35 para encontrar los intervalos en el eje y para 39. Modelo de población Otro modelo de población está dado por dP kP h, dt donde h y k son constantes positivas. ¿Para qué valor inicial P(0) P0 este modelo predice que la población desaparecerá? 40. Velocidad terminal En la sección 1.3 vimos que la ecuación diferencial autónoma dv m mg kv. dt donde k es una constante positiva y g es la aceleración de la gravedad, es un modelo para la velocidad v de un cuerpo de masa mTXHHVWiFD\HQGREDMRODLQÀXHQFLDGH la gravedad. Debido a que el término –kv representa la resistencia del aire, la velocidad de un cuerpo que cae de una gran altura no aumenta sin límite conforme incrementa el tiempo t. Utilice un diagrama fase de la ecuación diferencial para encontrar la velocidad límite o terminal del cuerpo. Explique su razonamiento. 41. 6XSRQJDTXHHOPRGHORGHOSUREOHPDVHPRGL¿FDGHWDO manera que la resistencia del aire es proporcional a v2, es decir dv m mg kv2 . dt 9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV8WLOLFHXQHVquema de fase para determinar la velocidad terminal del cuerpo. Explique su razonamiento. 42. Reacciones químicas Cuando se combinan ciertas clases de reacciones químicas, la rapidez con la que se forman los nuevos componentes se modela por la ecuación diferencial autónoma dX k( X)( X), dt 2.2 donde k 0 es una constante de proporcionalidad y ȕ Į 0. Aquí X(t) denota el número de gramos del nuevo componente al tiempo t. a) Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial para predecir el comportamiento de X(t) conforme t A . b) Considere el caso en que ȕ. Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial para predecir el 2.2 VARIABLES SEPARABLES O 47 comportamiento de X(t) conforme t A cuando X(0) Į. Cuando X(0) Į. c) Compruebe que una solución explícita de la ED en el caso en que k 1 y Į ȕ es X(t) Į 1(t c). Determine una solución que satisfaga que X(0) Į2. Después determine una solución que satisfaga que X(0) 2Į7UDFHODJUi¿FDGHHVWDVGRVVROXFLRnes. ¿El comportamiento de las soluciones conforme t A concuerdan con sus respuestas del inciso b)? VARIABLES SEPARABLES INTRODUCCIÓN Comenzaremos nuestro estudio de cómo resolver las ecuaciones diferenciales con la más simple de todas las ecuaciones diferenciales: ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables. Debido a que el método que se presenta en esta sección y que muchas de las técnicas para la solución de ecuaciones diferenciales implican integración, consulte su libro de cálculo para recordar las fórmulas importantes (como duu) y las técnicas (como la integración por partes). SOLUCIÓN POR INTEGRACIÓN Considere la ecuación diferencial de primer orden dydx f (x, y). Cuando f no depende de la variable y, es decir, f (x, y) g(x), la ecuación diferencial dy g(x) dx (1) se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos lados de la ecuación (1) se obtiene y g(x) dx = G(x) c, donde G(x) es una antiGHULYDGD LQWHJUDOLQGH¿QLGD GHg(x). Por ejemplo, si dydx 1 e2x, entonces su solución es y (1 e 2x ) dx o y x 12 e2x c. UNA DEFINICIÓN La ecuación (l) así como su método de solución no son más que un caso especial en el que f, en la forma normal dydx f (x, y) se puede factorizar como el producto de una función de x por una función de y. DEFINICIÓN 2.2.1 Ecuación separable Una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy g(x)h(y) dx se dice que es separable o que tiene variables separables. Por ejemplo, las ecuaciones dy y 2xe3x4y dx y dy y sen x dx 48 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN son, respectivamente, separable y no separable. En la primera ecuación podemos factorizar f (x, y) y 2xe 3xy como g(x) h( y) ? ? f (x, y) y2xe3x4y (xe3x )( y2e4y ), pero en la segunda ecuación no hay forma de expresar a y sen x como un producto de una función de x por una función de y. Observe que al dividir entre la función h(y), podemos escribir una ecuación separable dydx g(x)h(y) como dy p( y) g(x), (2) dx donde, por conveniencia p(y) representa a lh(y). Podemos ver inmediatamente que la ecuación (2) se reduce a la ecuación (1) cuando h(y) 1. Ahora, si y (x) representa una solución de la ecuación (2), se tiene que p((x)) (x) g(x), y por tanto p( (x))(x) dx g(x) dx. (3) Pero dy (x)dx, y así la ecuación (3) es la misma que p(y) dy g(x) dx o H(y) G(x) c, donde H(y) y G(x) son antiderivadas de p(y) 1h(y) y g(x), respectivamente. MÉTODO DE SOLUCIÓN /DHFXDFLyQ LQGLFDHOSURFHGLPLHQWRSDUDUHVROYHU ecuaciones separables. Al integrar ambos lados de p(y) dy g(x) dx, se obtiene una familia uniparamétrica de soluciones, que usualmente se expresa de manera implícita. NOTA No hay necesidad de emplear dos constantes cuando se integra una ecuación separable, porque si escribimos H(y) c1 G(x) c2, entonces la diferencia c2 – c1 se puede remplazar con una sola constante cFRPRHQODHFXDFLyQ (QPXFKRVFDVRVGH los siguientes capítulos, sustituiremos las constantes en la forma más conveniente para una ecuación dada. Por ejemplo, a veces se pueden remplazar los múltiplos o las combinaciones de constantes con una sola constante. EJEMPLO 1 Solución de una ED separable Resuelva (1 x) dy y dx 0. SOLUCIÓN Dividiendo entre (1 x)y, podemos escribir dyy dx(1 x), de donde tenemos que dy y dx 1x ln y ln 1 x c1 y eln 1x c1 eln 1x ec1 1x e ; leyes de exponentes c1 Haciendo c igual a e (1 x). c1 e se obtiene y c(1 x) c1 11 xx 1(1 x, x), ; x 1 x <1 . En la solución del ejemplo 1 cada integral da como resultado un logaritmo, la elección más prudente para la constante de integración es ln c , en lugar de c. Reescribir el segundo renglón de la solución como ln y ln 1 x ln c nos permite combinar los 2.2 VARIABLES SEPARABLES O 49 términos del lado derecho usando las propiedades de los logaritmos. De ln y ln c(1 x) obtenemos inmediatamente que y c(1 x). Aun cuando no todas las integraOHVLQGH¿QLGDVVHDQORJDULWPRVSRGUtDVHJXLUVLHQGRPiVFRQYHQLHQWHXVDUOQ c . Sin HPEDUJRQRVHSXHGHHVWDEOHFHUXQDUHJOD¿UPH En la sección 1.1 vimos que una curva solución puede ser sólo un segmento o un DUFRGHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y) 0. EJEMPLO 2 Curva solución Resuelva el problema con valores iniciales SOLUCIÓN y dy x dx (4, −3) FIGURA 2.2.1 Curvas solución para el PVI del ejemplo 2. y(4) 3. Si reescribe la ecuación como y dy x dx, obtiene y x dy x , dx y y2 x2 c1. 2 2 y Podemos escribir el resultado de la integración como x 2 y 2 c 2, sustituyendo a la constante 2c1 por c2. Esta solución de la ecuación diferencial representa una familia de circunferencias concéntricas centradas en el origen. Ahora cuando x y 3, se tiene 16 25 c2. Así, el problema con valores iniciales determina la circunferencia x 2 y 2 25 de radio 5. Debido a su sencillez podemos despejar de esta solución implícita a una solución explícita que VDWLVIDJDODFRQGLFLyQLQLFLDO(QHOHMHPSORGHODVHFFLyQYLPRVHVWDVROXFLyQ como y 2(x) o y 125 x2, 5 x 58QDFXUYDVROXFLyQHVODJUi¿FDGH la función derivable. En este caso la curva solución es la semicircunferencia inferior TXHVHPXHVWUDHQD]XORVFXURHQOD¿JXUDTXHFRQWLHQHDOSXQWR 3). PÉRDIDA DE UNA SOLUCIÓN Se debe tener cuidado al separar las variables. Ya que las variables que sean divisores podrían ser cero en un punto. Concretamente, si r es una raíz de la función h(y), entonces sustituyendo y r en dydx g(x)h(y) se encuentra que ambos lados son iguales a cero; es decir, y r es una solución constante de la ecuación diferencial. Pero después de que las variables dy se separan, el lado izquierdo de g (x) dx HVWi LQGH¿QLGR HQ r. Por tanto, y r h(y) podría no representar a la familia de soluciones que se ha obtenido después de la integración \VLPSOL¿FDFLyQ5HFXHUGHTXHXQDVROXFLyQGHHVWHWLSRVHGHQRPLQDVROXFLyQVLQJXODU EJEMPLO 3 Resuelva Pérdida de una solución dy y 2 4. dx SOLUCIÓN Poniendo la ecuación en la forma dy dx y2 4 1 4 o y2 1 4 y2 dy dx. (5) La segunda ecuación en la ecuación (5) es el resultado de utilizar fracciones parciales en el lado izquierdo de la primera ecuación. Integrando y utilizando las leyes de los logaritmos se obtiene 1 1 ln y 2 ln y 2 x c1 4 4 ln y y 2 2 4x c2 o y y 2 2 e4x c2 . 50 CAPÍTULO 2 O ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN $TXtKHPRVVXVWLWXLGRc1 por c2. Por último, después de sustituir ec2 por c y despejando y de la última ecuación, obtenemos una familia uniparamétrica de soluciones y2 1 ce4x . 1 ce4x (6) Ahora, si factorizamos el lado derecho de la ecuación diferencial como dydx (y 2) (y 2), sabemos del análisis de puntos críticos de la sección 2.1 que y 2 y y 2 son dos soluciones constantes (de equilibrio). La solución y 2 es un miembro de la familia GHVROXFLRQHVGH¿QLGDSRUODHFXDFLyQ FRUUHVSRQGLHQGRDOYDORUc 0. Sin embargo, y 2 es una solución singular; ésta no se puede obtener de la ecuación (6) para cualquier elección del parámetro c. La última solución se perdió al inicio del proceso de solución. El examen de la ecuación (5) indica claramente que debemos excluir a y 2 en estos pasos. EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales Resuelva (e2y y) cos x SOLUCIÓN e2y y sen 2x dy dx. ey cos x Antes de integrar, se realiza la división del lado izquierdo y utilizamos la identidad trigonométrica sen 2x 2 sen x cos x en el lado derecho. Entonces tenemos que 1 x _1 integración por partes → se obtiene _2 _2 _1 2 1 c=4 (0, 0) _1 _2 _2 x (π /2,0) c =2 _1 1 FIGURA 2.2.3 Curvas de nivel c 2 y c 2 sen x dx e y yey ey 2 cos x F (8) y y 2 ye y) dy e y yey ey 2 cos x. G(x, y) e ye e 2 cos [ y y (ey La condición inicial y 0 cuando x 0 implica que c 3RUWDQWRXQDVROXFLyQGHO problema con valores iniciales es FIGURA 2.2.2 Curvas de nivel 1 Dividiendo la ecuación por ey cos x se obtiene y 2 dy ey sen 2x, y(0) 0. dx 2 USO DE COMPUTADORA Los ComentariosDO¿QDOGHODVHFFLyQPHQFLRQDQ que puede ser difícil utilizar una solución implícita G(x, y) 0 para encontrar una solución explícita y (x). La ecuación (8) muestra que la tarea de despejar a y en términos de x puede presentar más problemas que solamente el aburrido trabajo de presionar símbolos, ¡en algunos casos simplemente no se puede hacer! Las soluciones implícitas FRPRODHFXDFLyQ VRQXQSRFRIUXVWUDQWHV\DTXHQRVHDSUHFLDHQODJUi¿FDGHOD HFXDFLyQQLHQHOLQWHUYDORXQDVROXFLyQGH¿QLGDTXHVDWLVIDJDTXHy(0) 0. El problema de “percibir” cuál es la solución implícita en algunos casos se puede resolver mediante la tecnología. Una manera* de proceder es utilizar la aplicación contour plot de un sistema algebraico de computación (SAC). Recuerde del cálculo de varias variables que para una función de dos variables z G(x, y) las curvas bi-dimensionalesGH¿QLGDV por G(x, y) c, donde c es una constante, se llaman curvas de nivel de la función. En OD¿JXUDVHSUHVHQWDQDOJXQDVGHODVFXUYDVGHQLYHOGHODIXQFLyQG(x, y) ey yey ey 2 cos x que se han reproducido con la ayuda de un SAC. La familia de VROXFLRQHVGH¿QLGDVSRUODHFXDFLyQ VRQODVFXUYDVGHQLYHOG(x, y) c(QOD¿JXUD 2.2.3 se muestra en color azul la curva de nivel G(x, y) TXHHVODVROXFLyQSDUWLFXODU GHODHFXDFLyQ /DRWUDFXUYDGHOD¿JXUDHVODFXUYDGHQLYHOG(x, y) 2, que es miembro de la familia G(x, y) c que satisface que y(ʌ2) 0. * En la sección 2.6 analizaremos algunas otras maneras de proceder que están basadas en el concepto de un solucionador numérico. 2.2 VARIABLES SEPARABLES O 51 6LDOGHWHUPLQDUXQYDORUHVSHFt¿FRGHOSDUiPHWURc en una familia de soluciones de una ecuación diferencial de primer orden llegamos a una solución particular, hay una inclinación natural de la mayoría de los estudiantes (y de los profesores) a relajarse y estar satisfechos. Sin embargo, una solución de un problema con valores iniciales podría no VHU~QLFD9LPRVHQHOHMHPSORGHODVHFFLyQTXHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV dy xy1/2, y(0) 0 dx 1 x . Ahora ya podemos resolver esa ecuatiene al menos dos soluciones, y 0 y y 16 ción. Separando las variables e integrando y12 dy x dx obtenemos 2y1/2 5 12 x 2 1 c1 y a=0 a>0 Despejando a y y sustituyendo ½ c1 por c, se obtiene y5 (0, 0) x FIGURA 2.2.4 Soluciones de la HFXDFLyQ GH¿QLGDHQWUDPRV 1 2 1 2 x 1c . 4 2 (10) &DGDXQDGHODVIXQFLRQHVGHODIDPLOLDGDGDHQ HVXQDVROXFLyQGHOD('GH¿QLGD sobre el intervalo (- ) siempre que tomamos c 0. Véase el problema 52 ejercicios 2.2. 1 Ahora cuando se sustituye x 0, y 0 en (10), se tiene c 0. Por lo tanto y 16 x es una solución del problema con condiciones iniciales. La solución trivial y 0 se pierde al dividir por y1/2(OSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV HQUHDOLGDGSRVHHPXFKDVPiVVROXFLRnes, ya que, para cualquier elección del parámetro D ODIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV 0, x a y 1 2 2 2 (x a ) , x a 16 VDWLVIDFHWDQWRDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRPRDODFRQGLFLyQLQLFLDO9HDOD¿JXUD UNA FUNCIÓN DEFINIDA CON UNA INTEGRAL En ii) de los Comentarios al ¿QDO GH OD VHFFLyQ VH LQGLFy TXH XQ PpWRGR GH VROXFLyQ SDUD XQ FLHUWR WLSR GH HFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHOOHYDUDXQDIXQFLyQGDGDSRUODLQWHJUDOGH¿QLGD(VWRHV especialmente cierto para ecuaciones diferenciales separables porque la integración es el método de solución. Por ejemplo, si g es continua sobre un intervalo I que contiene a x0 y a x, entonces una solución del sencillo problema con valores iniciales dydx g(x), y(x0) y0TXHHVWiGH¿QLGRVREUHI está dado por x y(x) y0 g(t) dt x0 Para ver esto, tenemos inmediatamente de (12) de la sección 1.1 que dy/dx = g(x) y y(x0) x = y0 ya que ex 00 g(t) dt 5 0. Cuando eg(t) dt es no elemental, es decir, no se puede expresar en términos de funciones elementales: la forma y(x) 5 y0 1 exx0 g(t) dt puede ser lo mejor que podemos hacer para obtener una solución explícita de un PVI. El ejemplo siguiente ilustra esta idea. EJEMPLO 5 Un problema con valores iniciales dy 2 ex , y(3) 5. dx 2 SOLUCIÓN La función g(x) e<x es continua en (, ), pero su antiderivada no es una función elemental. Utilizando a t como una variable muda de integración, podemos escribir x x dy 2 dt et dt dt 3 3 Resuelva ]x y(t) 3 y(x) y(3) x et dt 2 3 x et dt 2 3 y(x) y(3) x et dt. 2 3 52 CAPÍTULO 2 O ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Utilizando la condición inicial y(3) 5, obtenemos la solución y(x) 5 x et dt. 2 3 El procedimiento que se mostró en el ejemplo 5 también funciona bien en las ecuaciones separables dydx g(x) f (y) donde f (y) tiene una antiderivada elemental pero g(x) no WLHQHXQDDQWLGHULYDGDHOHPHQWDO9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV COMENTARIOS En algunos de los ejemplos anteriores vimos que la constante de la familia uniparamétrica de soluciones de una ecuación diferencial de primer orden se puede UHGH¿QLU FXDQGR VHD FRQYHQLHQWH 7DPELpQ VH SXHGH SUHVHQWDU FRQ IDFLOLGDG HO caso de que dos personas obtengan distintas expresiones de las mismas respuestas resolviendo correctamente la misma ecuación. Por ejemplo, separando variables se puede demostrar que familias uniparamétricas de soluciones de la ED (l y2) dx (1 x2) dy 0 son xy c. arctan x arctan y c o 1 xy Conforme avance en las siguientes secciones, considere que las familias de soluciones pueden ser equivalentes, en el sentido de que una se puede obtener de RWUD\DVHDSRUUHGH¿QLFLyQGHODFRQVWDQWHRXWLOL]DQGRiOJHEUDRWULJRQRPHWUtD 9HDORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV EJERCICIOS 2.2 /DVUHVSXHVWDVDORVSUREOHPDVVHOHFFLRQDGRVFRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6 En los problemas 1-22 resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables. 1. dy dx sen 5x 2. dy dx 1)2 (x 23. 3. dx e 3xdy 0 4. dy ( y 1) 2dx 0 dy 5. x dx dy 6. dx 7. dy dx 4y e3x dx 9. y ln x dy 8. e x y 2y y 1 2 x 10. 2xy dx 4(x2 1), x(>4) 1 dt 2 24. dy y 1, 2 dx 0 25. x2 dy dx dy dx 2 En los problemas 23-28 encuentre una solución explícita del problema con valores iniciales dados. e 2y 4x y 2x e 3 5 y 26. 2 y(2) 2 x 1 dy y xy, y(1) 1 dx dy 2y 1, y(0) 52 dt 27. 11 y2 dx 11 x2 dy 0, 11. csc y dx sec x dy 0 2 y(0) 13 2 12. sen 3x dx 2y cos 33x dy 0 28. (1 x ) dy x(1 y 2) dx 0, 13. (e y 1) 2ey dx (e x 1) 3ex dy 0 (QORVSUREOHPDV\SURFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\GHWHUPLQH una solución explícita del problema con valores iniciales dado. 14. x(1 y 2) 12 dx y(1 x 2) 12 dy 15. 17. 19. 21. dS dr dP dt dy dx dy dx kS P P2 xy xy 3x 2x x11 y2 y 4y dQ 16. dt dN 18. dt dy 3 20. dx 8 k(Q dy 2 yex , dx 30. dy y 2 sen x 2, dx 70) N Ntet xy xy 2y 3y 22. (ex ex ) 29. 2 x x dy y2 dx 2 3 y(1) 0 y(4) 1 y(2) 31 (QORVSUREOHPDVGHOGHWHUPLQHXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHO problema con valores iniciales dados. Determine el intervalo I H[DFWRGHGH¿QLFLyQSRUPpWRGRVDQDOtWLFRV8VHXQDFDOFXODGRUD JUD¿FDGRUDSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQ 31. dy 2x 1 1 5 , y(22) 5 21 dx 2y 2.2 dy 32. (2y 2 2) 5 3x2 1 4x 1 2, y(1) 5 22 dx 33. e ydx exdy 0, y(0) 1 b) 35. a) Encuentre una solución del problema con valores iniciales que consiste en la ecuación diferencial del ejemplo 3 y de las condiciones iniciales y(0) 2, y(0) 2, y y (14) 1. b) Encuentre la solución de la ecuación diferencial en el ejemplo 3 cuando se utiliza ln c1 como la constante de integración del lado izquierdo HQ OD VROXFLyQ \ OQ c1 se sustituye por ln F Después resuelva los mismos problemas con valores iniciales que en el inciso a). dy y2 y que pase por los 36. Encuentre una solución de x dx puntos indicados. a) (0, 1) b) (0, 0) c) (12, 12) d) (2, 14) 37. Encuentre una solución singular del problema 21 y del problema 22. 38. Muestre que una solución implícita de 2x sen 2 y dx (x2 10) cos y dy 0 está dada por ln(x2 10) csc y c. Determine las soluciones constantes, si se perdieron cuando se resolvió la ecuación diferencial. Con frecuencia, un cambio radical en la forma de la solución de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. (QORVSUREOHPDVGHWHUPLQHXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGDGR8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDGLEXMDUODJUi¿FDGHFDGDVROXFLyQ&RPSDUHFDGDFXUYD solución en una vecindad de (0,1). 39. dy (y 1)2, dx y(0) 1 40. dy (y 1)2, dx y(0) 1.01 41. dy (y 1)2 0.01, y(0) 1 dx 42. dy (y 1)2 0.01, y(0) 1 dx 53 O hacia abajo (vea los problemas 35 y 36 de los ejercicios 2.1). Utilice el diagrama fase y la concavidad para que, a mano, dibuje algunas curvas solución típicas. y(0) 0 34. sen x dx y dy 0, VARIABLES SEPARABLES 43. Toda ecuación autónoma de primer orden dydx f (y) es separable. Encuentre las soluciones explícitas y1(x), y2(x), y3(x) y y(x) de la ecuación diferencial dydx y – y3, que satisfagan, respectivamente, las condiciones iniciales y1(0) 2, y2(0) 12 , y3(0) 12 y y(0) 2. Utilice un programa de JUD¿FDFLyQSDUDFDGDVROXFLyQ&RPSDUHHVWDVJUi¿FDVFRQ ODVERVTXHMDGDVHQHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV'pHO LQWHUYDORGHGH¿QLFLyQH[DFWRSDUDFDGDVROXFLyQ 44. a) La ecuación diferencial autónoma de primer orden dydx 1(y 3) no tiene puntos críticos. No obstante, coloque 3 en la recta de fase y obtenga un diagrama fase de la ecuación. Calcule d2ydx2 para determinar dónde las curvas solución son cóncavas hacia arriba y cóncavas Encuentre las soluciones explícitas y1(x), y2(x), y3(x) y y(x) de la ecuación diferencial del inciso a) que satisfagan, respectivamente, las condiciones iniciales y1(0) y2(0) 2, y3(1) 2 y y(1) 7UDFHODJUi¿FDGH cada solución y compare con sus dibujos del inciso a). ,QGLTXHHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQH[DFWRGHFDGDVROXFLyQ (QORVSUREOHPDV±XWLOLFHXQDWpFQLFDGHLQWHJUDFLyQRXQD sustitución para encontrar una solución explícita de la ecuación diferencial dada o del problema con valores iniciales. 45. dy dx 1 47. ( x x) 49. dy dx e x , y(1) y 46. dy dx sen x y y 48. dy dx y2/3 50. dy dx x tan y 1 sen x dy dx y 4 y 1 x , y(0) 3 Problemas para analizar 51. a) ([SOLTXHSRUTXpHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQGHODVROXFLyQ explícita y 2(x) del problema con valores iniciales en el ejemplo 2 es el intervalo abierto (5, 5). b) ¿Alguna solución de la ecuación diferencial puede cruzar el eje x? ¿Cree usted que x2 y2 1 es una solución implícita del problema con valores iniciales dydx xy, y(1) 0? 52.a)En la página 51 se demostró que una familia uni-paramétrica de soluciones de la ecuación diferencial de primer orden 2 dy/dx = xy1/2 es y 5 _14 x4 1 c+ para c $ 0. Cada solución en HVWDIDPLOLDVHGH¿QHHQ , ). El último enunciado no es cierto si elegimos c negativo. Para c = 1, explique por qué 2 y 5 _14 x4 2 1+ no es una solución de la ED en el intervalo (-, (QFXHQWUHXQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQGHI en el cual 2 y 5 _14 x4 2 1+ es una solución de la ED. 53. (Q ORV SUREOHPDV \ YLPRV TXH WRGD HFXDFLyQ GLferencial autónoma de primer orden dydx f(y) es separable. ¿Ayuda este hecho en la solución del problema con valores iniciales dy 11 y2 sen2 y, y(0) 21? dx Analice. A mano, dibuje una posible curva solución del problema. 54. a) Resuelva los dos problemas con valores iniciales dy dx y dy dx y y, y(0) y , x ln x 1 y(e) 1. b) Demuestre que hay más de 1.65 millones de dígitos de la coordenada y del punto de intersección de las dos curvas solución en el inciso a). 55. Determine una función cuyo cuadrado más el cuadrado de su derivada sea igual a 1. 54 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 56. a) /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOSUREOHPDHVHTXLYDOHQWH a la forma normal de la familia de soluciones de la ecuación diferencial dy dx dy 1y dx B1 x 2 2 en la región cuadrada del plano xyGH¿QLGDSRU x 1, y 1. Pero la cantidad dentro del radical es no negaWLYDWDPELpQHQODVUHJLRQHVGH¿QLGDVSRU x 1, y 1. Dibuje todas las regiones del plano xy para las que esta ecuación diferencial tiene soluciones reales. b) 5 HVXHOYDOD('GHOLQFLVRD HQODVUHJLRQHVGH¿QLGDVSRU x 1, y 1. Después determine una solución implícita y una explícita de la ecuación diferencial sujeta a y(2) 2. 5 . 1 Experimente con diferentes números de las curvas de nivel así como con diferentes regiones rectangulares GH¿QLGDVSRU a x b, c y d. b) (QGLIHUHQWHVHMHVFRRUGHQDGRVGLEXMHODVJUi¿FDVGHODV soluciones particulares correspondientes a las condiciones iniciales: y(0) 1; y(0) 2; y(1) y(1) 3. 59. a) Determine una solución implícita del PVI (2y 2) dy (4x3 6x) dx 0, y(0) 3. Modelo matemático 57. Puente suspendido En la ecuación (16) de la sección 1.3 vimos que un modelo matemático para la forma de un cable ÀH[LEOHFROJDGRGHGRVSRVWHVHV dy W , dx T1 (11) donde W denota la porción de la carga vertical total entre los puntos P1 y P2TXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUD/D(' es separable bajo las siguientes condiciones que describen un puente suspendido. Supongamos que los ejes x y y están como se muesWUD HQ OD ¿JXUD HV GHFLU HO HMH x va a lo largo de la VXSHU¿FLH GH OD FDUUHWHUD \ HO HMH y pasa por (0, a), que es el punto más bajo de un cable en la región que abarca el puente, que coincide con el intervalo [L2, L2]. En el caso de un puente suspendido, la suposición usual es que la carga vertical en (11) es sólo una distribución uniforme de la super¿FLHGHODFDUUHWHUDDORODUJRGHOHMHKRUL]RQWDO(QRWUDVSDODEUDVVHVXSRQHTXHHOSHVRGHWRGRVORVFDEOHVHVLQVLJQL¿FDQWH HQFRPSDUDFLyQFRQHOSHVRGHODVXSHU¿FLHGHODFDUUHWHUD\TXH HOSHVRSRUXQLGDGGHORQJLWXGGHODVXSHU¿FLHGHODFDUUHWHUD (digamos, newtons por metro horizontal) es una constante . Utilice esta información para establecer y resolver el problema indicado con valores iniciales a partir del cual se determine la forma (una curva con ecuación y (x)) de cada uno de los dos cables en un puente suspendido. Exprese su solución del PVI en términos del pandeo h y de la longitud L9HDOD¿JXUD Tarea del laboratorio de computación 58. a) 8x 3y 2 Utilice un SAC y el concepto de curvas de nivel para GLEXMDU ODV JUi¿FDV UHSUHVHQWDWLYDV GH ORV PLHPEURV b) Utilice el inciso a) para encontrar una solución explícita y (x) del PVI. c) Considere su respuesta del inciso b) como una sola función8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQRXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHHVWDIXQFLyQ\GHVSXpVXWLOLFHODJUi¿FD para estimar su dominio. d) Con la ayuda de una aplicación de un SAC para determinar raíces, determine la longitud aproximada del intervalo GHGH¿QLFLyQI más grande posible de la solución y (x) GHOLQFLVRE 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQRXQ6$& SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODFXUYDVROXFLyQSDUDHO39,HQ este intervalo. 60. a) Utilice un SAC y el concepto de curvas de nivel para GLEXMDU ODV JUi¿FDV UHSUHVHQWDWLYDV GH ORV PLHPEURV de la familia de soluciones de la ecuación diferencial dy x(1 x) . Experimente con diferentes númedx y(2 y) ros de curvas de nivel así como en diferentes regiones rectangulares del plano xy hasta que su resultado se paUH]FDDOD¿JXUD b) ( Q GLIHUHQWHV HMHV FRRUGHQDGRV GLEXMH OD JUi¿FD GH la solución implícita correspondiente a la condición inicial y(0) 23. Utilice un lápiz de color para indicar el segmento GH OD JUi¿FD TXH FRUUHVSRQGH D OD FXUYD VROXFLyQ GH XQD solución que satisface la condición inicial. Con ayuda de un programa SAC para determinar raíces, determine el intervalo IGHGH¿QLFLyQDSUR[LPDGRPiVODUJRGHODVROXFLyQ [Sugerencia: Primero encuentre los puntos en la curva del inciso a) donde la recta tangente es vertical.] c) Repita el inciso b) para la condición inicial y(0) 2. y y cable h (pandeo) (0, a) x L/2 x L/2 L longitud superficie de la carretera (carga) FIGURA 2.2.5 )RUPDGHXQFDEOHGHOSUREOHPD FIGURA 2.2.6 Curvas de nivel del problema 60. 2.3 2.3 ECUACIONES LINEALES 55 O ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN Continuamos con nuestra búsqueda de las soluciones de las ED de primer orden examinando ecuaciones lineales. Las ecuaciones diferenciales lineales son una familia especialmente “amigable” de ecuaciones diferenciales en las que, dada una ecuación lineal, ya sea de primer orden o de un miembro de orden superior, siempre hay una buena posibilidad de que logremos encontrar alguna clase de solución de la ecuación que podamos examinar. UNA DEFINICIÓN (QODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQVHSUHVHQWDODIRUPDGH una ED lineal de primer orden. Aquí, por conveniencia, se reproduce esta forma en la ecuación (6) de la sección 1.1, para el caso cuando n 1. DEFINICIÓN 2.3.1 Ecuación lineal Una ecuación diferencial de primer orden de la forma a1(x) dy a0(x)y g(x) dx (1) se dice que es una ecuación lineal en la variable dependiente y. FORMA ESTÁNDAR Al dividir ambos lados de la ecuación (1) entre el primer coe¿FLHQWHa1(x), se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal: dy P(x)y f(x). (2) dx Buscamos una solución de la ecuación (2) sobre un intervalo I, en el cual las dos funciones P y f sean continuas. Antes de examinar un procedimiento general para la solución de las ecuaciones de la forma (2) observamos que en algunos casos (2) se puede resolver por separación de variables. Por ejemplo, se deberá comprobar que las ecuaciones Hacemos coincidir cada ecuación con (2). En la primera ecuación P(x) = 2x, f(x) = 0 y en la segunda P(x) = –1, f(x) = 5. dy dx 2xy dy dx y 0 y 5 son separables, pero que la ecuación lineal dy dx y x no es separable. MÉTODO DE SOLUCIÓN El método para resolver (2) depende del hecho notable de que el lado izquierdo de la ecuación se puede reformular en forma de la derivada exacta de un producto multiplicando los dos miembros de (2) por una función especial ȝ(x). Es relativamente fácil encontrar la función ȝ(x) porque se quiere que producto d [ (x)y] dx regla del producto dy dx d y dx el miembro izquierdo de (2) se multiplica por ȝ(x) dy dx Py estos deben ser iguales La igualdad es verdadera siempre que d dx P. 56 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN La última ecuación se puede resolver por separación de variables. Integrando d Vea el problema 55 en los ejercicios 2.3 ln (x) Pdx y resolviendo P(x)dx c1 se obtiene ȝ(x) c2e P(x)dx$XQTXHH[LVWHXQDLQ¿QLGDGGHRSFLRQHVGHȝ(x) (todos los múltiplos constantes de e P(x)dx), todas producen el mismo resultado deseado. Por lo WDQWRQRVSRGHPRVVLPSOL¿FDUODYLGD\HOHJLU c2 1La función (x) P(x)dx e (3) se llama un factor integrante para la ecuación (2). Aquí está lo que tenemos hasta ahora: Multiplicamos ambos lados de (2) por (3) y, por construcción, el lado izquierdo es la derivada de un producto del factor integrante y y: e P(x)dx dy dx P(x)e d e dx [ P(x)dx P(x)dx y e P(x)dx f(x) ] e P(x)dx f(x). y Por último, descubrimos por qué (3) se denomina factor integrante. Podemos integrar ambos lados de la última ecuación, e P(x)dx y e P(x)dx f(x) c y resolvemos para y. El resultado es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación (2): y e P(x)dx e P(x)dx f(x)dx ce P(x)dx . Hacemos énfasis en que no debe memorizarODIyUPXOD VLQRJXLDUVHSRUHO siguiente procedimiento cada vez. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN i) Recuerde poner la ecuación lineal en la forma estándar (2). ii ,GHQWL¿TXH GH OD LGHQWLGDG GH OD IRUPD HVWiQGDU D P(x) y después determine el factor integrante e P(x)dx. No se necesita utilizar una FRQVWDQWHSDUDHYDOXDUODLQWHJUDOLQGH¿QLGD P(x)dx iii) Multiplique la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante e P(x)dx y y: d e dx [ ] y e P(x)dx P(x)dx f(x). (5) iv) Integre ambos lados de esta última ecuación y resuelva para y. EJEMPLO 1 Resuelva Solución de una ED lineal homogénea dy 3y 0. dx SOLUCIÓN Esta ecuación lineal se puede resolver por separación de variables. En otro caso, puesto que la ecuación ya está en la forma estándar (2), vemos que 2.3 P(x) 3 y por tanto el factor integrante es e por este factor y reconocemos que e 3x dy dx 3e 3x 3x e y Entonces e3xy c o y ce 3x, EJEMPLO 2 Resuelva (3)dx 3x x y] dx 57 O e3x. Multiplicando la ecuación 0 es la misma que d [e dx Integrando la última ecuación, ECUACIONES LINEALES d [e dx 3x y] 0. 0 dx . Solución de una ED lineal no homogénea dy 3y 6. dx SOLUCIÓN Esta ecuación lineal, como la del ejemplo 1, ya está en la forma estándar P(x) 3 y por tanto el factor integrante es de nuevo e3x. Ahora al multiplicar la ecuación dada por este factor se obtiene e 3x dy dx 3e 3x y 6e 3x , que es la misma que d [e dx 3x e 3x y] 6e 3x . Integrando la última ecuación, d [e dx y 1 x _1 y =_2 _2 _3 _1 1 2 3 4 FIGURA 2.3.1 Curvas solución de la ED en el ejemplo 2. 3x y] dx o y 2 ce 3x, 6 e x 3x dx nos da e 3x y 6 3 c . Cuando a1, a0 y g son constantes en la ecuación (1), la ecuación diferencial es autónoma. En el ejemplo 2 podemos comprobar de la forma normal dydx 3(y 2) que 2 es un punto crítico y que es inestable (un repulsor). De este modo, una curva soluFLyQFRQXQSXQWRLQLFLDO\DVHDDUULEDRGHEDMRGHODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHHTXLOLEULR y 2 se aleja de esta recta horizontal conforme aumenta x/D¿JXUDREWHQLGD FRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQPXHVWUDODJUi¿FDGHy 2 junto con otras curvas solución. SOLUCIÓN GENERAL Suponga que las funciones P y f en la ecuación (2) son continuas sobre un intervalo común I(QORVSDVRVTXHFRQGXFHQDODHFXDFLyQ PRVWUDmos que si la ecuación (2) tiene una solución en I, entonces debe estar en la forma dada HQODHFXDFLyQ 5HFtSURFDPHQWHHVXQHMHUFLFLRGLUHFWRGHGHULYDFLyQFRPSUREDUTXH FXDOTXLHUIXQFLyQGHODIRUPDGDGDHQ HVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO sobre I(QRWUDVSDODEUDV HVXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQ (2) y toda solución de la ecuación (2)GH¿QLGDVREUHIHVXQPLHPEURGHHVWDIDPLOLDPor WDQWROODPDPRVDODHFXDFLyQ ODsolución general de la ecuación diferencial sobre el intervalo I. (Vea los Comentarios DO¿QDOGHODVHFFLyQ $OHVFULELUODHFXDFLyQ (2) en la forma normal y F(x, y SRGHPRVLGHQWL¿FDUF(x, y) P(x)y f (x) y Fy P(x). De la continuidad de P y f sobre el intervalo I vemos que F y Fy son también continuas sobre I&RQHOWHRUHPDFRPRQXHVWUDMXVWL¿FDFLyQFRQcluimos que existe una y sólo una solución del problema con valores iniciales dy P(x)y f(x), dx y(x0) y0 (6) GH¿QLGDVREUHalgún intervalo I0 que contiene a x0. Pero cuando x0 está en I, encontrar una solución de (6) es exactamente lo mismo que encontrar un valor adecuado de c en ODHFXDFLyQ HVGHFLUDWRGDx0 en I le corresponde un distinto c. En otras palabras, 58 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN el intervalo de existencia y unicidad I0 del teorema 1.2.1 para el problema con valores iniciales (6) es el intervalo completo I. EJEMPLO 3 Resuelva x Solución general dy 4y x 6e x. dx SOLUCIÓN Dividiendo por x, obtenemos la forma estándar de la ED dada, es dy 4 y x5e x. dx x (QHVWDIRUPDLGHQWL¿FDPRVDP(x) x y f (x) x5ex y además vemos que P y f son continuas sobre (0, ). Por tanto el factor integrante es podemos utilizar ln x en lugar de ln x ya que x 0 e4 dx/x 4 e4ln x eln x x4. Aquí hemos utilizado la identidad básica blogbN N, N 0. Ahora multiplicamos la HFXDFLyQ SRUx y reescribimos x En caso de que se pregunte por qué es importante el intervalo (0, ) en el ejemplo 3, lea este párrafo y el párrafo que sigue DOHMHPSOR 4 dy dx 4x 5y xex d [x 4y] dx como xex. 'HODLQWHJUDFLyQSRUSDUWHVVHWLHQHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGH¿QLGDVREUHHOLQWHUYDOR (0, ) es xy xe x e x c o y x 5e x x e x cx . ([FHSWRHQHOFDVRHQHOTXHHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOHVODUHIRUPXODFLyQGHODHFXDción (1) en la forma estándar (2) requiere que se divida por a1(x). Los valores de x para los que a1(x) 0 se llaman puntos singulares de la ecuación. Los puntos singulares son potencialmente problemáticos. En concreto, en la ecuación (2), si P(x) (que se forma al dividir a0(x) por a1(x)) es discontinua en un punto, la discontinuidad puede conducir a soluciones de la ecuación diferencial. EJEMPLO 4 Solución general Determine la solución general de (x 2 9) dy xy 0. dx SOLUCIÓN Escribimos la ecuación diferencial en la forma estándar dy x y0 dx x 2 9 (8) HLGHQWL¿FDQGRP(x) x(x2± $XQTXHP es continua sobre (, 3), (3, 3) y (3, ), resolveremos la ecuación en el primer y tercer intervalos. Sobre estos intervalos el factor integrante es e x d x/(x 29) e2 1 2x d x/(x 29) e2 ln x 9 1x2 9 . 1 2 Después multiplicando la forma estándar (8) por este factor, obtenemos d 1x2 9 y 0. dx Integrando ambos lados de la última ecuación se obtiene 1x2 9 y c. De este modo, ya sea para (, 3) o (3, ) la solución general de la ecuación es c y . 2 1x 9 2.3 ECUACIONES LINEALES O 59 2EVHUYHHQHOHMHPSORTXHx 3 y x 3 son puntos singulares de la ecuación y que toda función en la solución general y c1x 2 9 es discontinua en estos puntos. Por otra parte, x 0 es un punto singular de la ecuación diferencial en el ejemplo 3, pero en la solución general y x5ex – xex cx es notable que cada función de esta familia uniparamétrica es continua en x \HVWiGH¿QLGDVREUHHOLQWHUYDOR , ) y no sólo sobre (0, ), como se indica en la solución. Sin embargo, la familia y x5ex – xex cxGH¿QLGDVREUH , ) no se puede considerar la solución general de la ED, ya que el punto singular x 0 aún causa un problema. Vea los problemas 50 y 51 en los ejercicios 2.3. EJEMPLO 5 Resuelva Un problema con valores iniciales dy y x, y(0) 4. dx SOLUCIÓN La ecuación está en forma estándar y P(x) 1 y f(x) x son continuas sobre (, ). El factor integrante es e dx e x, entonces al integrar d x [e y] xex dx se tiene que exy xex – ex c. Al despejar y de esta última ecuación se obtiene la solución general y x 1 ce x. Pero de la condición general sabemos que y cuando x 0. El sustituir estos valores en la solución general implica que c 5. Por tanto la solución del problema sobre el intervalo (, ) es y x 1 5ex, y 4 c>0 2 c5 x _2 c<0 _4 c=0 _4 _2 2 4 FIGURA 2.3.2 Curvas solución de la x . /D¿JXUDTXHVHREWXYRFRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQPXHVWUDOD JUi¿FDGHODVROXFLyQ HQD]XORVFXURMXQWRFRQODVJUi¿FDVGHODVRWUDVVROXFLRQHV de la familia uniparamétrica y x – 1 cex. Es interesante observar que conforme x DXPHQWDODVJUi¿FDVGHtodosORVPLHPEURVGHODIDPLOLDHVWiQFHUFDGHODJUi¿FDGHOD solución y x – 1. Esta última solución corresponde a c 0 en la familia y se muestra HQYHUGHRVFXURHQOD¿JXUD(VWHFRPSRUWDPLHQWRDVLQWyWLFRGHVROXFLRQHVHV debido al hecho de que la contribución de cex, c ⬆ 0 será despreciable para valores crecientes de x. Decimos que cex es un término transitorio, ya que e–x A 0 conforme x A . Mientras que este comportamiento no es característico de todas las soluciones generales de las ecuaciones lineales (vea el ejemplo 2), el concepto de un transitorio es frecuentemente importante en problemas de aplicación. ED en el ejemplo 5 ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DEFINIDA EN TRAMOS En la construcción de modelos matemáticos (especialmente en ciencias biológicas e ingeniería) SXHGHRFXUULUTXHXQRRPiVFRH¿FLHQWHVHQXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHDXQDIXQFLyQ GH¿QLGDHQWUDPRV(QSDUWLFXODUFXDQGR\DVHDP(x) o f(x HQ HVXQDIXQFLyQGH¿nida en tramos, la ecuación entonces se denomina una ecuación diferencial lineal por tramos. En el siguiente ejemplo, f(x) es continua en tramos sobre el intervalo [0, ) con un solo salto de discontinuidad en x = 1. La idea básica es solucionar el problema de valor inicial en los dos tramos correspondientes a los dos intervalos en que f(x) está GH¿QLGDFDGDWUDPRFRQVWDGHXQDHFXDFLyQOLQHDOVROXEOHSRUHOPpWRGRGHHVWDVHFción. Como veremos, entonces es posible juntar las dos soluciones en x = 1 por lo que y (x) es continua sobre [0, 9pDQVHORVSUREOHPDVDGHORVHMHUFLFLRV EJEMPLO 6 Resuelva dy dx y Un problema con valores iniciales f (x), y(0) 0 donde f (x) 1, 0, 0 x x 1, 1. 60 CAPÍTULO 2 O ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SOLUCIÓN (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUD OD JUi¿FD GH OD IXQFLyQ GLVFRQWLQXD f. Resolvemos la ED para y(x) primero sobre el intervalo [0, 1] y después sobre el intervalo (1, ). Para 0 x 1 se tiene que y x FIGURA 2.3.3 f(x) discontinua en el ejemplo 6. dy d x y 1 o, el equivalente, [e y] ex. dx dx Integrando esta última ecuación y despejando y se obtiene y 1 c1ex. Puesto que y(0) 0, debemos tener que c1 1 y por tanto y 1 ex, 0 x 1. Entonces para x 1 la ecuación dy y0 dx conduce a y c2ex. Por tanto podemos escribir 1c e e, x y , x 2 0 x 1, x 1. 5HFXUULHQGRDODGH¿QLFLyQGHFRQWLQXLGDGHQXQSXQWRHVSRVLEOHGHWHUPLQDUc2, así que la última función es continua en x 1. El requisito de límxA1 y(x) y(1) implica que c2e1 1 – e1 o c2 e&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDODIXQFLyQ y y 1 x FIGURA 2.3.4 *Ui¿FDGHODIXQFLyQ (10) en el ejemplo 6. 1 ex, (e 1)ex, 0 x 1, x1 (10) es continua sobre (0, ). 6HUiLPSRUWDQWHWRPDUHQFXHQWDXQSRFRPiVODHFXDFLyQ \OD¿JXUDSRU favor lea y conteste el problema 53 de los ejercicios 2.3. FUNCIÓN ERROR En matemáticas, ciencia e ingeniería aplicadas algunas funciones importantes están GH¿QLGDV en términos de integrales no elementales. Dos de esas funciones especiales son la función error y la función error complementario: 2 1 erf(x) x et dt 2 (2yÏ␲)e erfc(x) 0 A partir del conocido resultado ` 2t2 e dt 0 y e0` e2t 2 2 1 et dt. 2 (11) x dt 5 Ï␲y2* podemos reescribir 5 1. 5HFXUULHQGR D OD SURSLHGDG DGLWLYD GH ORV LQWHUYDORV GH XQD LQWHJUDO GH¿QLGD e ` 5 e x 1 e ` podemos reescribir el último resultado en la forma alternativa 0 0 x erf(x) erfc(x) 5 5 2 ` #e Ï␲ 0 2t 2 dt 5 2 x #e Ï␲ 0 2t 2 dt 1 2 ` #e Ï␲ x 2t 2 dt 5 1. (12) Se ve de (12) que la función de error erf(x) y de la función de error complementaria erfc(x) están relacionadas por la identidad erf(x) + erfc(x) = 1. Debido a su importancia en estadística, probabilidad y ecuaciones diferenciales aplicadas, la función de error ha sido ampliamente tabulada. Tenga en cuenta que erf(0) = 0 es un valor obvio de la función. También se pueden encontrar valores numéricos de erf(x) con un SAC como Mathematica † El resultado se encuentra en el apéndice A. 2.3 ECUACIONES LINEALES 61 O Si usted está resolviendo un problema de valor inicial (6) y reconoce que la inteJUDFLyQ LQGH¿QLGD GHO ODGR GHUHFKR GH GDUtD OXJDU D XQ LQWHJUDO QR HOHPHQWDO entonces como ya vimos en el ejemplo 5 de la sección 2.2 es conveniente utilizar en su lugar integración GH¿QLGD sobre el intervalo [x0, x]. El último ejemplo muestra que este procedimiento incorpora automáticamente a la condición inicial en x0 en la solución de la ED; en otras palabras, no tenemos que resolver la constante c en su solución general. EJEMPLO 7 La función de error Resuelva el problema con valores iniciales dy 2xy 2, dx y(0) 1. SOLUCIÓN La ecuación diferencial está en forma estándar, y así vemos que el factor de integración es ee(22x dx) 5 e2x2 . Multiplicando ambos lados de la ecuación por este 2 dy 2 2 2 2xe2x y 5 2e2x , que es igual que factor entonces se obtiene e2x dx d 2x2 2 e yg 5 2e2x . f dx (13) <DTXHODLQWHJUDFLyQLQGH¿QLGDGHDPERVODGRVGHODHFXDFLyQ FRQGXFHDODLQ2 tegral no elemental ee2x dxLGHQWL¿FDPRVx \XVDQGRLQWHJUDFLyQGH¿QLGDVREUH el intervalo [0, x]: xd # dt 0 x # _e2t y(t)+ dt 5 2 e2t dt 2 2 o e 0 x #e 2x2 y(x) 2 y(0) 5 2 2t2 dt. 0 Aplicando y(0) 1 en la última expresión obtenemos c 1. Por tanto, la solución del problema es x 2 2 2 y 5 e x 1 2e x e2t dt. (14) # 0 Después, insertando el factor Ï␲yÏ␲ en esta solución, de la siguiente manera y erf(x) x 2 x #e 0 2t 2 dt 5 e x 3 1 2 1 1 Ï␲ 5 2 y 5 e x 1 2e x 2 x #e Ï␲ 0 2t2 24 dt YHPRVGH TXH SXHGHUHHVFULELUVHHQWpUPLQRVGHODIXQFLyQHUURUFRPR 2 y 5 e x f1 1 Ï␲ erf(x)g. FIGURA 2.3.5 Curvas solución (15) GHOD('GHOHMHPSOR (15) (QOD¿JXUDVHPXHVWUDODJUi¿FDGHHVWDVROXFLyQREWHQLGDFRQODD\XGDGHXQ SAC. 9HDORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV USO DE COMPUTADORAS Algunos sistemas algebraicos de computación como Mathematica y Maple permiten obtener soluciones implícitas o explícitas para algunos tipos de ecuaciones diferenciales, usando la instrucción dsolve.† Ciertas instrucciones se escriben igual, pero los comandos de Mathematica comienzan con una letra mayúscula (DSolve) mientras que en Maple la misma instrucción comienza con una letra minúscula (dsolve). Cuando analizamos estas sintaxis comunes escribimos, como en el ejemplo, dsolve. † 62 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN COMENTARIOS i) A veces, una ecuación diferencial de primer orden es no lineal en una variable pero es lineal en la otra variable. Por ejemplo, la ecuación diferencial dy 1 dx x y 2 es no lineal en la variable y. Pero su recíproca dx x y2 dy o dx x y2 dy se reconoce como lineal en la variable x. Usted debería comprobar que el factor integrante es e (1)dy ey e integrando por partes se obtiene la solución explícita x y2 2y 2 ce y para la segunda ecuación. Esta expresión es, entonces, una solución implícita de la primera ecuación. ii) Los matemáticos han adoptado como propias algunas palabras de ingeniería que consideran adecuadas para ciertas descripciones. La palabra transitorio, que ya hemos usado, es uno de estos términos. En futuros análisis a veces se presentarán las palabras entrada y salida. La función f en la ecuación (2) es la función de entrada o de conducción; una solución y(x) de la ecuación diferencial para una entrada dada se llama salida o respuesta. iii) El término funciones especiales mencionado en relación con la función de error también se aplica a la función integral senoidal y a la integral seno de FresnelLQWURGXFLGDVHQORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV³)XQFLRQHV HVSHFLDOHV´HVXQDUDPDGHODVPDWHPiWLFDVUHDOPHQWHELHQGH¿QLGD(QODVHFFLyQVHHVWXGLDQIXQFLRQHVPiVHVSHFLDOHV EJERCICIOS 2.3 Las respuestas a los problemas seleccionados FRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6 (Q ORV SUREOHPDV GHWHUPLQH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD ecuación diferencial dada. Indique el intervalo I más largo en HOTXHHVWiGH¿QLGDODVROXFLyQJHQHUDO'HWHUPLQHVLKD\DOgunos términos transitorios en la solución general. 1. dy dx dy 3. dx 5y y 2. e dy dx 2y dy 4. 3 dx 3x 0 12y 16. y dx ( ye y 2x) dy dy (sen x)y 1 dx dy 18. cos2x sen x (cos3x)y 1 dx 17. cos x 4 5. y 3x 2y x 2 6. y 2xy x 3 20. 7. x 2y xy 1 8. y 2y x 2 5 21. dy 9. x dx 11. x dy dx y 4y dy 10. x dx x 2 senx x3 x 12. (1 13. x 2y x(x 2)y e x 14. xy (1 x)y e sen 2x x 15. y dx x y 6) dy 0 x) 2y 3 dy dx xy dy (x 2)y 2xex dx dy (x 2)2 5 8y 4xy dx dr r sec cos d dP 2tP P 4t 2 dt dy x (3x 1)y e3x dx 19. (x 1) 22. x x2 23. 24. (x 2 1) dy 2y (x 1)2 dx 2.3 En los problemas 25-36 resuelva el problema con valores iniciales. Indique el intervalo I PiVODUJRHQHOTXHHVWiGH¿QLGD la solución. dy dx dy 26. dx 25. x 5y, 2x y(0) 3y, P(x) 5 y(1) 2 27. xy y e , x 28. y dx x 2y2, dy 29. L di Ri E, i(0) i0, dt y(1) 5 42. P(x) 5 k, T m y T 0 constantes dy dx 32. y y 35. y 1, 2 x3ex , 4xy 33. (x 1) 34. x(x 4x dy dx y(0) xy 1, dy 2 2xy 5 1, y(1) 5 1 dx 1 44. dy 2 2xy 5 21, y(0) 5 Ï␲y2 dx y(e) (QORVSUREOHPDV\SURFHGHUFRPRHQHOHMHPSOR\H[prese la solución del problema de valor inicial dado en térmiQRVGHXQDIXQFLyQGDGDSRUXQDLQWHJUDOGH¿QLGD 1 1 (QORVSUREOHPDVSURFHGDFRPRHQHOHMHPSORSDUDUHVROver el problema con valores iniciales dados. Utilice un programa GHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODIXQFLyQFRQWLQXDy(x). 37. dy dx f (x), y(0) 2y 38. dy dx y dy dx 40. (1 x 2) dy dx f (x) 3 3 dy 2 y 5 x 3, y(1) 5 0 dx 47. La función integral senoidalVHGH¿QHFRPR Si(x) 5 x dt, # sent t 0 x3 dy 1 2x2y 5 10 sen x, y(1) 5 0 dx en términos de Si(x). x x 0 1, x, 0, x x 0 x, 0 x, 1 1 # sen1␲2 t 2 dt. x 2 0 dy 2 (senx 2)y 5 0, y(0) 5 5 dx 1 1 x x S(x) 5 Vea el apéndice A. Exprese la solución del problema de valor inicial 2, donde f (x), y(0) 2xy 46. x 2 48. La función integral seno de FresnelVHGHÀQHFRPR 1, f (x) dy 1 e x y 5 1, y(0) 5 1 dx GRQGHHOLQWHJUDQGRHVGH¿QLGRFRPRHQx = 0. Vea el apéndice A. Exprese la solución del problema de valor inicial 1, donde f (x), y(0) 2xy x x 0 f (x), y(0) f (x) 39. 0, donde 1, 0, f (x) 45. y(0) 1 36. y (tan x)y cos 2x, x.1 0#x#2 x.2 43. 2 sen x, y( 2) (sen x)y 51,5, 8 y(1) dy y ln x, y(1) 10 dx 1) 5 (QORVSUREOHPDV\SURFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\H[presa la solución del problema de valor inicial dado en términos de erf(x SUREOHPD \HUIF x SUREOHPD dT k(T Tm ); T(0) T0, dt 31. x 0#x#1 2, 2 2 , x dy 1 P(x)y 5 0, y(0) 5 4, donde dx L, R, E e i 0 constantes 30. 63 dy 1 P(x)y 5 4x, y(0) 5 3, donde dx 1 3 y(0) O QORVSUREOHPDV\SURFHGDHQXQDIRUPDVLPLODUDOHMHP( plo 6 para resolver el problema con valores iniciales Utilice una XWLOHUtDJUi¿FDSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODIXQFLyQFRQWLQXDy(x). 41. 3 ECUACIONES LINEALES en términos de S(x). 0, donde Problemas para analizar 1 1 49. Lea nuevamente el análisis posterior al ejemplo 2. Construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones no constantes tiendan a la asíntota horizontal y FRQIRUPHx A . 64 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 50. Lea nuevamente el ejemplo 3 y después analice, usando el teorema 1.2.1, la existencia y unicidad de una solución del problema con valores iniciales que consiste de xy ±y x6ex y de la condición inicial dada. a) y(0) 0 b) y(0) y 0, y 0 0 c) y(x 0) y 0, x 0 0, y 0 0 51. /HDQXHYDPHQWHHOHMHPSOR\GHVSXpVGHWHUPLQHODVROXFLyQ general de la ecuación diferencial en el intervalo (3, 3). 52. Lea nuevamente el análisis posterior al ejemplo 5. Construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones son asintóticas a la recta y 3x 5 conforme x A . 53. Lea nuevamente el ejemplo 6 y después analice por qué es técnicamente incorrecto decir que la función en (10) es una “solución” del PVI en el intervalo [0, ). 54. a) Construya una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma xy + 3y = g(x) para la cual y = 3 + c/ x3VHDVXVROXFLyQJHQHUDO'pXQLQWHUYDORGHGH¿QL ción I de esta solución. b) Dé una condición inicial y(x0) y0 para la ED que se determinó en el inciso a) de modo que la solución del PVI sea y x3 1x3. Repita si la solución es y x3 2x3'pXQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQI de cada XQDGHHVWDVVROXFLRQHV7UDFHODJUi¿FDGHODVFXUvas solución. ¿Hay un problema con valores iniciales FX\DVROXFLyQHVWpGH¿QLGDHQ , )? c) ¿Es único cada PVI encontrado en el inciso b)? Es decir, puede haber más de un solo PVI para el cual, digamos, y x3 1x3, x en algún intervalo I, sea la solución? 55. Al determinar el factor integrante (3), no usamos una constante de integración en la evaluación de P(x) dx. Explique por qué usar P(x) dx c1 no tiene efecto en la solución de (2). 56. Suponga que P(x) es continua en algún intervalo I y a es un número en I. ¿Qué se puede decir acerca de la solución del problema con valores iniciales y P(x)y 0, y(a) 0? Modelos matemáticos 57. Serie de decaimiento radiactivo Los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales se encuentran en el estudio del decaimiento de un tipo especial de series de decaimiento radiactivo de elementos: 2.4 dx 1x dt dy 1x 2 y, dt donde 1 y 2 son constantes. Analice cómo resolver este sistema sujeto a x(0) x0, y(0) y0. Desarrolle sus ideas 58. Marcapasos de corazón Un marcapasos de corazón consiste en un interruptor, una batería de voltaje constante E0, un capacitor con capacitancia constante C y un corazón como un resistor con resistencia constante R. Cuando se cierra el interruptor, el capacitor se carga; cuando el interruptor se abre, el capacitor se descarga, enviando estímulos eléctricos al corazón. Todo el tiempo el corazón se está estimulando, el voltaje E a través del corazón satisface la ecuación diferencial lineal 1 dE 52 E. dt RC Resolver la ED, sujeta a E E0. Tarea para el laboratorio de computación 59. a) 8WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODFXUYDGH VROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORULQLFLDOSUREOHPD sobre el intervalo (, ). b) Use tablas o un SAC para evaluar y(2). 60. a) 8WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODFXUYDGH VROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORULQLFLDOSUREOHPD en el intervalo [0, ). b) Use un SAC para encontrar el valor del máximo ab soluto de la solución y(x) sobre el intervalo. 61. a) 8WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODFXUYDGH VROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORULQLFLDOSUREOHPD sobre el intervalo (-, ). b) Se sabe que la integral seno de Fresne S(x) S 12 conforme xĺ y S(x) S 212 FXDQGR [ ĺ . ¢$TXpVHDSUR[LPDODVROXFLyQ\ [ FXDQGR[ĺ? ¿Y FXiQGR[ĺ? c) Utilice un SAC para encontrar los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la solución y (x) sobre el intervalo. ECUACIONES EXACTAS INTRODUCCIÓN Aunque la sencilla ecuación diferencial de primer orden y dx x dy 0 es separable, podemos resolver la ecuación en una forma alterna al reconocer que la expresión del lado izquierdo de la ecuación es la diferencial de la función f (x, y) xy, es decir d(xy) y dx [G\ En esta sección analizamos ecuaciones de primer orden en la forma diferencial M(x, y) dx N(x, y) dy 0. Aplicando una prueba simple a M y a N, podemos determinar si M(x, y) dx N(x, y) dy es la diferencial de una función f (x, y). Si la respuesta es sí, se puede construir f integrando parcialmente. 2.4 ECUACIONES EXACTAS O 65 DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Si z f (x, y) es una función de dos variables con primeras derivadas parciales continuas en una región R del plano xy, entonces recuerde de Cálculo que su diferencialVHGH¿QHFRPR dz f f dx dy. x y (1) En el caso especial cuando f (x, y) c, donde c es una constante, entonces la ecuación (1) implica que f f dx dy 0. x y (2) En otras palabras, dada una familia de curvas f (x, y) c, podemos generar una ecuación diferencial de primer orden si calculamos la diferencial de ambos lados de la igualdad. Por ejemplo, si x2 5xy y3 c, entonces la ecuación (2) da la ED de primer orden (2x 5y) dx (5x 3y 2 ) dy 0. (3) UNA DEFINICIÓN Por supuesto que no todas las ED de primer orden escritas en la forma M(x, y) dx N(x, y) dy 0 corresponden a una diferencial de f (x, y) c. Por tanto, para nuestros objetivos es muy importante regresar al problema anterior; en particular, si nos dan una ED de primer orden como la ecuación (3), ¿hay alguna forma de reconocer que la expresión diferencial (2x 5y) dx (5x 3y 2) dy es la diferencial d(x 2 5xy y 3)? Si la hay, entonces una solución implícita de la ecuación (3) es x 2 5xy y 3 F Podemos contestar esta pregunta después de la siguiente GH¿QLFLyQ DEFINICIÓN 2.4.1 Ecuación exacta Una expresión diferencial M(x, y) dx N(x, y) dy es una diferencial exacta en una región R del plano xy si ésta corresponde a la diferencial de alguna función f (x, y GH¿QLGDHQR. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x, y) dx N(x, y) dy 0 se conoce como una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. Por ejemplo x 2y 3 dx x 3y 2 dy 0 es una ecuación exacta, ya que su lado izquierdo es una diferencial exacta: d 13 x3 y3 x2 y3 dx x3y2 dy. 2EVHUYHTXHVLKDFHPRVODVLGHQWL¿FDFLRQHVM(x, y) x 2y 3 y N(x, y) x 3y 2, entonces My 3x 2y 2 N[(OWHRUHPDTXHVHSUHVHQWDDFRQWLQXDFLyQPXHVWUD que la igualdad de las derivadas parciales My y Nx no es una coincidencia. TEOREMA 2.4.1 Criterio para una diferencial exacta Si M(x, y) y N(x, y) son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular RGH¿QLGDSRUa x b, c y d, entonces XQDFRQGLFLyQQHFHVDULD\VX¿FLHQWHSDUDTXHM(x, y) dx N(x, y) dy sea una diferencial exacta es M N . y x 66 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN PRUEBA DE LA NECESIDAD Por simplicidad suponemos que M(x, y) y N(x, y) tienen primeras derivadas parciales continuas para todo (x, y). Ahora, si la expresión M(x, y) dx N(x, y) dy es exacta, existe alguna función f tal que para toda x en R, M(x, y) dx N(x, y) dy M(x, y) Por tanto f , x f f dx dy. x y N(x, y) f , y M f f 2 f N . y y x y x x y x y La igualdad de las parciales mixtas es una consecuencia de la continuidad de las primeras derivadas parciales de M(x, y) y N(x, y). /DSDUWHGHVX¿FLHQFLDGHOWHRUHPDFRQVLVWHHQGHPRVWUDUTXHH[LVWHXQDIXQFLyQ f para la que fx M(x, y) y fy N(x, y VLHPSUHTXHODHFXDFLyQ VHDYiOLGD La construcción de la función f en realidad muestra un procedimiento básico para resolver ecuaciones exactas. MÉTODO DE SOLUCIÓN Dada una ecuación en la forma diferencial M(x, y) dx N(x, y) dy GHWHUPLQHVLODLJXDOGDGGHODHFXDFLyQ HVYiOLGD6LHVDVtHQWRQFHV existe una función f para la que f M(x, y). x Podemos determinar f integrando M(x, y) respecto a x mientras y se conserva constante: f (x, y) M(x, y) dx g(y), (5) donde la función arbitraria g(y) es la “constante” de integración. Ahora derivando a (5) con respecto a y y suponiendo que fy N(x, y): f y y M(x, y) dx g( y) N(x, y). g( y) N(x, y) Se obtiene y M(x, y) dx. (6) Por último, se integra la ecuación (6) respecto a y y se sustituye el resultado en la ecuación (5). La solución implícita de la ecuación es f (x, y) c. Hacen falta algunas observaciones. Primero, es importante darse cuenta de que la expresión N(x, y) (y) M(x, y) dx en (6) es independiente de x, ya que N(x, y) x y M(x, y) dx Nx y x M(x, y) dx N M 0. x y En segundo lugar, pudimos iniciar bien el procedimiento anterior con la suposición de que fy N(x, y). Después, integrando N respecto a y y derivando este resultado, encontraríamos las ecuaciones que, respectivamente, son análogas a las ecuaciones (5) y (6), f (x, y) N(x, y) dy h(x) y h(x) M(x, y) x En cualquier caso no se debe memorizar ninguna de estas fórmulas. N(x, y) dy. 2.4 ECUACIONES EXACTAS O 67 EJEMPLO 1 Resolviendo una ED exacta Resuelva 2xy dx (x 2 1) dy 0. SOLUCIÓN Con M(x, y) 2xy y N(x, y) x 2 1 tenemos que M N . 2x y x &RPRODHFXDFLyQHVH[DFWDSRUHOWHRUHPDH[LVWHXQDIXQFLyQf (x, y) tal que f 2xy x f x2 1. y y A partir de estas ecuaciones obtenemos, después de integrar: f (x, y) x 2y g(y). Tomando la derivada parcial de la última expresión con respecto a y y haciendo el resultado igual a N(x, y) se obtiene f x2 g(y) x2 1. y ; N(x, y) Sigue que g(y) 1 y g(y) \ Por tanto f (x, y) x 2y y, así la solución de la ecuación en la forma implícita es x 2y y c La forma explícita de la solución se puede ver fácilmente como y c(x 2 1) \ HVWi GH¿QLGD VREUH FXDOTXLHU LQWHUYDOR TXH QR contenga ni a x 1 ni a x 1. NOTA La solución de la ED en el ejemplo 1 no es f (x, y) x 2y \ Más bien es f (x, y) c; si se usa una constante en la integración de g (y), podemos escribir la solución como f (x, y) 0. EJEMPLO 2 Solución de una ED exacta Resuelva (e 2y y cos xy) dx (2xe 2y x cos xy 2y) dy 0. SOLUCIÓN La ecuación es exacta ya que M N 2e 2y xy sen xy cos xy . y x Por tanto existe una función f (x, y) para la cual M(x, y) f x y N(x, y) f . y Ahora, para variar, comenzaremos con la suposición de que f y N(x, y); es decir f 2xe2y x cos xy 2y y f (x, y) 2x e2y dy x cos xy dy 2 y dy h(x). Recuerde que la razón por la que x sale del símbolo es que en la integración respecto a y se considera que x es una constante ordinaria. Entonces se tiene que f(x, y) xe 2y sen xy y 2 h(x) f e2y y cos xy h(x) e 2y y cos xy, x ; M(x, y) 68 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN y así h (x) 0 o h(x) c. Por tanto una familia de soluciones es xe 2y sen xy y 2 c 0. EJEMPLO 3 Problema con valores iniciales Resuelva dy xy2 cos x sen x , y(0) 2. dx y(1 x2) SOLUCIÓN Al escribir la ecuación diferencial en la forma (cos x sen x xy 2) dx y(1 x 2) dy 0, reconocemos que la ecuación es exacta porque M N 2xy . y x Ahora f y(1 x2) y f(x, y) y2 (1 x 2 ) h(x) 2 f xy2 h(x) cos x sen x xy 2. x La última ecuación implica que h (x) cos x sen x. Integrando se obtiene h(x) (cos x)( sen x dx) 1 cos 2 x. 2 1 y2 o y2 (1 x2) cos2 x c, (1 x2) cos2 x c1 2 2 donde se sustituye 2c1 por c. La condición inicial y 2 cuando x 0 exige que cos 2 (0) c, y por tanto c 3. Una solución implícita del problema es entonces y 2(1 x 2) cos 2 x 3. (QOD¿JXUDODFXUYDVROXFLyQGHO39,HVODFXUYDGLEXMDGDHQD]XOIRUPDSDUWH GHXQDLQWHUHVDQWHIDPLOLDGHFXUYDV/DVJUi¿FDVGHORVPLHPEURVGHODIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGDGDVHQODHFXDFLyQ VHSXHGHQREWHQHUGHGLIHUHQWHVPDQHUDV GRVGHODVFXDOHVVRQXWLOL]DQGRXQSDTXHWHGHFRPSXWDFLyQSDUDWUD]DUJUi¿FDVGHFXUYDV GHQLYHO FRPRVHDQDOL]yHQODVHFFLyQ \HPSOHDQGRXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUD WUD]DUFXLGDGRVDPHQWHODJUi¿FDGHODVIXQFLRQHVH[SOtFLWDVREWHQLGDVSDUDGLIHUHQWHVYDlores de c resolviendo y 2 (c cos 2 x)(1 x 2) para \ Por tanto y x FIGURA 2.4.1 Curvas solución de la ED del ejemplo 3. FACTORES INTEGRANTES Recuerde de la sección 2.3 que el lado izquierdo de la ecuación lineal y P(x)y f (x) se puede transformar en una derivada cuando multiplicamos la ecuación por el factor integrante. Esta misma idea básica algunas veces funciona bien para una ecuación diferencial no exacta M(x, y) dx N(x, y) dy 0. Es decir, algunas veces es posible encontrar un factor integrante (x, y) así que, después de multiplicar, el lado izquierdo de (x, y)M(x, y) dx (x, y)N(x, y) dy 0 (8) es una diferencial exacta. En un intento por encontrar a , regresamos a la ecuación GHOFULWHULRGHH[DFWLWXG/DHFXDFLyQ HVH[DFWDVL\VyORVL M)y ( N)x, donde los subíndices denotan derivadas parciales. Por la regla del producto de la derivación, la última ecuación es la misma que My y M Nx x N o x N y M (My Nx) 2.4 ECUACIONES EXACTAS O 69 Aunque M, N, My y Nx son funciones conocidas de x y yODGL¿FXOWDGDTXtDOGHWHUPLQDU la incógnita (x, y) GHODHFXDFLyQ HVTXHGHEHPRVUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO parcial. Como no estamos preparados para hacerlo, haremos una hipótesis para simpli¿FDU6XSRQJDTXH es una función de una variable; por ejemplo, depende sólo de x. En este caso, x d dx y y DVtODHFXDFLyQ VHSXHGHHVFULELUFRPR d My Nx . dx N (10) Estamos aún en un callejón sin salida si el cociente (My Nx)N depende tanto de x como de y 6LQ HPEDUJR VL GHVSXpV GH TXH VH KDFHQ WRGDV ODV VLPSOL¿FDFLRnes algebraicas resulta que el cociente (My Nx)N depende sólo de la variable x, entonces (10) es una ecuación diferencial de primer orden, entonces la ecuación (10) es separable así como lineal. Entonces, de la sección 2.2 o de la sección 2.3 tenemos que (x) e ((MyNx) N)dx.'HPDQHUDVLPLODUGHODHFXDFLyQ WHQHPRVTXH si depende sólo de la variable y, entonces d Nx My . dy M (11) En este caso, si (N x My)M es una función sólo de y, podemos despejar de la ecuación (11). Resumiendo estos resultados para la ecuación diferencial. M(x, y) dx N(x, y) dy 0. (12) • Si (My Nx)N es sólo una función de x, entonces un factor integrante para la ecuación (12) es (x) e MyNx dx N . (13) • Si (Nx My)M es una función sólo de y, entonces un factor integrante de (12) es (y) e NxMy dy M . EJEMPLO 4 Una ED no exacta convertida en exacta La ecuación diferencial no lineal de primer orden xy dx (2x 2 3y 2 20) dy 0 HVQRH[DFWD,GHQWL¿FDQGRM xy, N 2x 2 3y 2 20, encontramos que las derivadas parciales My x y Nx [ El primer cociente de la ecuación (13) no nos conduce a nada, ya que x 4x 3x My Nx 2 2 2 N 2x 3y 20 2x 3y 2 20 depende de x y de y6LQHPEDUJRODHFXDFLyQ SURGXFHXQFRFLHQWHTXHGHSHQGH sólo de y: Nx My 4x x 3x 3 . M xy xy y Entonces el factor integrante es e 3dyy e 3lny e lny y 3. Después de multiplicar la ED dada por (y) y3, la ecuación resultante es 3 xy dx (2x 2y 3 3y 5 20y 3) dy 0. Usted debería comprobar que la última ecuación es ahora exacta así como demostrar, usando el método que se presentó en esta sección, que una familia de soluciones es 1 2 4 2x y 12 y 6 5y 4 c. 70 CAPÍTULO 2 O ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN COMENTARIOS i) Cuando pruebe la exactitud de una ecuación se debe asegurar que tiene precisamente la forma M(x, y) dx N(x, y) dy 0. A veces una ecuación diferencial se escribe como G(x, y) dx H(x, y) dy. En este caso, primero reescriba como G(x, y) dx H(x, y) dy \GHVSXpVLGHQWL¿TXHM(x, y) G(x, y) y N(x, y) H(x, y) DQWHVGHXWLOL]DUODHFXDFLyQ ii) En algunos libros de ecuaciones diferenciales el estudio de las ecuaciones exactas precede al de las ED lineales. Entonces el método que acabamos de describir para encontrar los factores integrantes se puede utilizar para deducir un factor integrante para y P(x) y f (x). Al escribir la última ecuación en la forma diferencial (P(x)y f (x)) dx dy 0, vemos que M y Nx P(x). N A partir de la ecuación (13) hemos obtenido el conocido factor integrante e utilizado en la sección 2.3. EJERCICIOS 2.4 P(x) dx , Las respuestas a los problemas seleccionadosFRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6 En los problemas 1-20 determine si la ecuación diferencial exacta dada es exacta. Si es exacta, resuélvala. 1. (2x 1) dx (3y dy 0 2. (2x y) dx (x 6y) dy 0 18. (2y sen x cos x y 2y 2e xy ) dx 2 (x sen2 x 4xye xy ) dy 2 19. t 3y 15t 2 y) dt (t 3y 2 t) dy 0 1t t1 t y t dt ye y 2 dy 0 y2 t y2 3. (5x y) dx x 8y 3) dy 0 20. 4. (sen y y sen x) dx (cos x x cos y y) dy 0 En los problemas 21 a 26 resuelva el problema con valores iniciales. 5. (2xy 3) dx (2x y dy 0 2 6. 2 1 dy y 2y cos 3x 4x3 3y sen 3x 0 x dx x 2 7. (x 2 y 2) dx (x 2 2xy) dy 0 8. 1 ln x xy dx (1 ln x) dy 9. (x y 3 y 2 sen x) dx (3xy 2 2y cos x) dy 10. (x y ) dx 3xy dy 0 3 3 2 11. (y ln y e xy) dx 1y x ln y dy 0 12. (3x 2y e y ) dx (x 3 xe y 2y) dy 0 13. x dy 2xe x y 6x 2 dx 14. 3 dy 3 x y 1 y dx x 15. 1 1 dx x2y3 x 3y 2 0 2 1 9x dy 16. (5y 2x)y 2y 0 17. (tan x sen x sen y) dx cos x cos y dy 0 2 2 21. (x y)2 dx (2xy x 2 1) dy 0, 22. (e y) dx (2 x ye ) dy 0, x y y(1) 1 y(0) 1 23. y 2t 5) dt (6y t 1) dy 0, y(1) 2 3y y t dydt 2yt 2 24. 2 5 4 0, y(1) 1 25. ( y 2 cos x 3x 2y 2x) dx (2y sen x x 3 ln y) dy 0, 26. y(0) e 1 1 y cos x 2xy dxdy y(y sen x), y(0) 1 2 (QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHHOYDORUGHk para el que la ecuación diferencial es exacta. 27. (y 3 kxy 2x) dx (3xy 2 20x 2y 3) dy 0 28. (6xy 3 cos y) dx (2kx 2y 2 x sen y) dy 0 (Q ORV SUREOHPDV \ FRPSUXHEH TXH OD HFXDFLyQ GLIHrencial dada es no exacta. Multiplique la ecuación diferencial dada por el factor integrante indicado (x, y) y compruebe que la nueva ecuación es exacta. Resuelva. 29. (xy sen x 2y cos x) dx 2x cos x dy 0; (x, y) xy 2.4 30. (x 2 2xy y 2) dx (y 2 2xy x 2) dy 0; (x, y) (x y)2 En los problemas 31-36 resuelva la ecuación diferencial dada deWHUPLQDQGRFRPRHQHOHMHPSORXQIDFWRULQWHJUDQWHDGHFXDGR 31. (2y 2 3x) dx 2xy dy 0 33. 6xy dx y x 2) dy 0 2 34. cos x dx 1 sen x dy 0 y 35. (10 6y e3x ) dx 2 dy 0 36. (y 2 xy 3) dx (5y 2 xy y 3 sen y) dy 0 (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHV LQLFLDOHVGHWHUPLQDQGRFRPRHQHOHMHPSORXQIDFWRULQWHgrante adecuado. 37. x dx (x 2y y) dy 0, y( 0 38. (x y 5) dx (y xy) dy, 2 2 y(0) 1 39. a) Demuestre que una familia de soluciones uniparamétrica de la ecuación xy 3x 2) dx (2y 2x 2) dy 0 es x 3 2x 2y y 2 F b) Demuestre que las condiciones iniciales y(0) 2 y y(1) 1 determinan la misma solución implícita. c) Encuentre las soluciones explícitas y1(x) y y2(x) de la ecuación diferencial del inciso a) tal que y1(0) 2 y y2(1) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUD WUD]DUODJUi¿FDGHy1(x) y y2(x). Problemas para analizar 40. Considere el concepto de factor integrante utilizado en ORVSUREOHPDVD¢6RQODVGRVHFXDFLRQHVMdx N dy 0 y M dx N dy 0 necesariamente equivalentes en el sentido de que la solución de una es también una solución de la otra? Analice. 41. Lea nuevamente el ejemplo 3 y después analice por qué poGHPRVFRQFOXLUTXHHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQGHODVROXFLyQ H[SOtFLWDGHO39, FXUYDD]XOGHOD¿JXUD HV 1, 1). 42. Analice cómo se pueden encontrar las funciones M(x, y) y N(x, y) de modo que cada ecuación diferencial sea exacta. Desarrolle sus ideas. a) M(x, y) dx xe x y 2xy b) 43. x 1/2 1/2 y 1 dy 0 x x dx N(x, y) dy 0 x y 2 O 71 observación 12 d(x 2 y 2) x dx y dy puede conducir a una solución. 44. Verdadero o falso: toda ecuación de primer orden separable dydx g(x)h(y) es exacta. Modelos matemáticos 32. y(x y 1) dx (x 2y) dy 0 ECUACIONES EXACTAS Algunas veces las ecuaciones diferenciales se resuelven con una idea brillante. Este es un pequeño ejercicio de inteligencia: Aunque la ecuación (x 1x2 y2) dx y dy 0 no es exacta, demuestre cómo el reacomodo (x dx y dy) 1x2 y2 dx y la 45. Cadena cayendo Una parte de una cadena de 2.5 m de longitud está enrollada sin apretar alrededor de una clavija en el borde de una plataforma horizontal, y la parte restante de la FDGHQDFXHOJDVREUHHOERUGHGHODSODWDIRUPD9HDOD¿JXUD 6XSRQJDTXHODORQJLWXGGHODFDGHQDTXHFXHOJDHVGH 1 m, que la cadena pesa 2.5 N/m y que la dirección positiva es hacia abajo. Comenzando en t 0 segundos, el peso de la cadena que cuelga causa que la cadena sobre la plataforma se desenrolle suavemente y caiga al piso. Si x(t) denota la longitud de la cadena que cuelga de la mesa al tiempo t 0, entonces v dxdt es su velocidad. Cuando se desprecian todas las fuerzas de resistencia se puede demostrar que un modelo matemático que relaciona a v con x está dado por dv xv v2 9.8x. dx a) Reescriba este modelo en forma diferencial. Proceda como en los problemas 31 a 36 y resuelva la ED para v en términos de x determinando un factor integrante adecuado. Determine una solución explícita v(x). b) Determine la velocidad con que la cadena deja la plataforma. clavija borde de la plataforma x(t) FIGURA 2.4.2 &DGHQDGHVHQUROODGDGHOSUREOHPD Tarea para el laboratorio de computación /tQHDVGHÀXMR a) La solución de la ecuación diferencial 2xy y2 x2 dx 1 dy 0 (x2 y2 ) 2 (x2 y2) 2 es una familia de curvas que se pueden interpretar FRPROtQHDVGHÀXMRGHXQÀXLGRTXHGLVFXUUHDOUHGHdor de un objeto circular cuya frontera está descrita por la ecuación x2 y2 1. Resuelva esta ED y observe que la solución f (x, y) c para c 0. b) 8VH XQ 6$& SDUD GLEXMDU ODV OtQHDV GH ÀXMR SDUD c 0, 0.2, 0.6 y 0.8 de tres maneras diferentes. Primero, utilice el contourplot de un SAC. Segundo, despeje x en términos de la variable y. Dibuje las dos funciones resultantes de y para los valores dados de c, \GHVSXpVFRPELQHODVJUi¿FDV7HUFHURXWLOLFHHO6$& para despejar y de una ecuación cúbica en términos de x. 72 O CAPÍTULO 2 2.5 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN INTRODUCCIÓN Normalmente resolvemos una ecuación diferencial reconociéndola dentro de cierta clase de ecuación (digamos, separables, lineales o exactas) y después aplicamos un procedimiento que consiste en SDVRVPDWHPiWLFRVHVSHFt¿FRVSDUDHOWLSRGHHFXDFLyQ que nos conducen a la solución de la ecuación. Pero no es poco común que nos sorprenda el hecho de que se tenga una ecuación diferencial que no pertenece a alguna de las clases de ecuaciones que sabemos cómo resolver. Los procedimientos que se han analizado en esta sección pueden ser útiles en este caso. SUSTITUCIONES Con frecuencia, el primer paso para resolver una ecuación diferencial es transformarla en otra ecuación diferencial mediante una sustitución. Por ejemplo, suponga que se quiere transformar la ecuación diferencial de primer orden dydx f (x, y) sustituyendo y g(x, u), donde u se considera una función de la variable x. Si g tiene primeras derivadas parciales, entonces, usando la regla de la cadena g dx g du dy du dy gx (x, u) gu(x, u) . obtenemos dx x dx u dx dx dx Al sustituir dydx por la derivada anterior y sustituyendo y en f(x, y) por g (x, u), obtedu f (x, g (x, u)), la nemos la ED dydx f (x, y) que se convierten en g x (x, u) gu(x, u) dx du du cual, resuelta para , tiene la forma F(x, u). Si podemos determinar una soludx dx ción u (x) de esta última ecuación, entonces una solución de la ecuación diferencial original es y g(x, (x)). En el siguiente análisis examinaremos tres clases diferentes de ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver mediante una sustitución. ECUACIONES HOMÓGENEAS Si una función f tiene la propiedad f (tx, ty) t f (x, y) para algún número real , entonces se dice que es una función homogénea de grado . Por ejemplo f (x, y) x 3 y 3 es una función homogénea de grado 3, ya que f (tx, ty) (tx) 3 (ty) 3 t 3(x 3 y 3) t 3f (x, y), mientras que f (x, y) x 3 y 3 1 es no homogénea. Una ED de primer orden en forma diferencial M(x, y) dx N(x, y) dy 0 (1) se dice que es homogénea* VL DPEDV IXQFLRQHV FRH¿FLHQWHV M y N son ecuaciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras, la ecuación (1) es homogénea si M(tx, ty) tM(x, y) y N(tx, ty) = tN(x, y). Además, si M y N son funciones homogéneas de grado , podemos escribir M(x, y) xM(1, u) y N(x, y) xN(1, u) donde u y x, (2) M(x, y) yM(v, 1) y N(x, y) yN(v, 1) donde v x \ (3) y Vea el problema 31 de los ejercicios 2.5. Las propiedades (2) y (3) sugieren las sustituciones que se pueden usar para resolver una ecuación diferencial homogénea. En concreto, cualquiera de las sustituciones y ux o x vy, donde u y v son las nuevas variables dependientes, reducirá una ecuación homogénea a una ecuación diferencial Aquí la palabra homogéneaQRVLJQL¿FDORPLVPRTXHHQORVComentariosDO¿QDOGHODVHFFLyQ Recuerde que una ecuación lineal de primer orden a1(x)y a 0 (x)y g(x) es homogénea cuando g(x) 0. * 2.5 SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN O 73 de primer orden separable. Para demostrar esto, observe que como consecuencia de (2) una ecuación homogénea M(x, y) dx N(x, y) dy 0 se puede reescribir como xM(1, u) dx xN(1, u) dy 0 M(1, u) dx N(1, u) dy 0, o bien donde u yx o y ux. Sustituyendo la diferencial dy u dx x du en la última ecuación y agrupando términos, obtenemos una ED separable en las variables u y x: M(1, u) dx N(1, u)[u dx x du] 0 [M(1, u) uN(1, u)] dx xN(1, u) du 0 dx N(1, u) du 0. x M(1, u) uN(1, u) o Aquí le damos el mismo consejo que en las secciones anteriores: No memorice nada de esto (en particular la última fórmula); más bien,VLJDHOSURFHGLPLHQWRFDGDYH] Pruebe a partir de la ecuación (3) que las sustituciones x vy y dx v dy y dv también conducen a una ecuación separable siguiendo un procedimiento similar. EJEMPLO 1 Solución de una ED homogénea Resuelva (x 2 y 2) dx (x 2 xy) dy 0. SOLUCIÓN Examinando a M(x, y) x 2 y 2 y a N(x, y) x 2 xy se mues- WUD TXH HVWRV FRH¿FLHQWHV VRQ IXQFLRQHV GH JUDGR 6L KDFHPRV y ux, entonces dy u dx x du, de modo que después de sustituir, la ecuación dada se convierte en (x2 u2x2) dx 2 x (1 (x2 ux2)[u dx u) dx 0 u) du 0 u du u dx x 0 du dx x 0. x (1 1 1 1 x du] 3 2 u 1 división larga Después de integrar la última ecuación se obtiene u 2 ln 1 u ln x ln c y y 2 ln 1 ln x ln c . x x ; sustituyendo de nuevo u yx Utilizando las propiedades de los logaritmos, podemos escribir la solución anterior como ln y) 2 (x y x cx o (x y) 2 cxey/x. Aunque cualquiera de las soluciones indicadas se pueden usar en toda ecuación diferencial homogénea, en la práctica se intenta con x vy cuando la función M(x, y) sea más fácil que N(x, y). También podría ocurrir que después de utilizar una sustitución, podemos encontrar integrales que son difíciles o imposibles de evaluar en forma cerrada; y el cambiar las sustituciones puede facilitar la solución del problema. ECUACIÓN DE BERNOULLI La ecuación diferencial dy P(x)y f (x)y n, dx donde n es cualquier número real, se denomina ecuación de Bernoulli. Observe que para n 0 y n ODHFXDFLyQ HVOLQHDO3DUDn ⬆ 0 y n ⬆ 1 la sustitución u y 1n UHGXFHFXDOTXLHUHFXDFLyQGHODIRUPD DXQDHFXDFLyQOLQHDO 74 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 2 Resuelva x Solución de una ED de Bernoulli dy y x 2 y 2. dx &RPHQ]DPRVSRUHVFULELUODHFXDFLyQHQODIRUPDGDGDHQ GLYLGLHQGR SOLUCIÓN por x: dy 1 y xy 2 dx x Con n 2 tenemos u y1 o y u1. Entonces sustituimos dy dy du du u2 dx du dx dx ; Regla de la cadena HQODHFXDFLyQGDGD\VLPSOL¿FDQGR(OUHVXOWDGRHV du 1 u x. dx x El factor integrante para esta ecuación lineal en, digamos, (0, ) es e d x/x 1 eln x eln x x1. d 1 [x u] 1 dx Al integrar se obtiene x1u x c o u x 2 F[ Puesto que u y1, tenemos que y 1u, así, una solución de la ecuación dada es y 1(x 2 cx) Observe que no hemos obtenido una solución general de la ecuación diferencial no lineal original del ejemplo 2 ya que y 0 es una solución singular de la ecuación. REDUCCIÓN A SEPARACIÓN DE VARIABLES Una ecuación diferencial de la forma dy (5) f (Ax By C) dx siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables por medio de la sustitución u Ax By C, B ⬆ 0. El ejemplo 3 muestra la técnica. EJEMPLO 3 Resuelva Un problema con valores iniciales dy (2x y) 2 7, dx y(0) 0. Si hacemos u 2x y, entonces dudx 2 dydx, por lo que la ecuación diferencial se expresa como SOLUCIÓN du 2 u2 7 dx du u 2 9. dx o La última ecuación es separable. Utilizando fracciones parciales du dx (u 3)(u 3) 1 1 1 du dx 6 u3 u3 o y después de integrar se obtiene 1 u ln 6 u 3 3 x c1 o u u 3 3 e6x 6c1 6c ce6x. sustitu yendo e por c 1 2.5 y SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN O 75 Despejando u de la última ecuación y resustituyendo, se obtiene la solución u 3(1 ce6x ) 1 ce6x o y 2x 3(1 ce6x) . 1 ce6x (6) Por último, aplicando la condición inicial y(0) 0 a la última ecuación en (6) se obtiene c /D¿JXUDREWHQLGDFRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQ 3(1 e6x) PXHVWUDHQD]XORVFXURODJUi¿FDGHODVROXFLyQSDUWLFXODU y 2x junto 1 e6x FRQODVJUi¿FDVGHDOJXQRVRWURVPLHPEURVGHODIDPLOLDGHVROXFLRQHV x FIGURA 2.5.1 Soluciones de la ED en el ejemplo 3. EJERCICIOS 2.5 Las respuestas a los problemas seleccionados FRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6 &DGDXQDGHODV('GHORVSUREOHPDVHVKRPRJpQHD En los problemas 1 a 10 resuelva la ecuación diferencial dada usando las sustituciones adecuadas. 1. (x y) dx x dy 0 2. (x y) dx x dy 0 3. x dx ( y 2x) dy 0 4. y dx 2( x y) dy 19. t2 7. 21. x2 ) dy y 1x2 y2, 10. x dx x0 (QORVSUREOHPDVUHVXHOYDHOSUREOHPDTXHVHSUHVHQWD con valores iniciales. dy y3 x3, dx 12. (x 2 2y 2) y(1) 12 dy y3/2 1, y(0) 4 dx En los problemas 23 a 28 resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución adecuada. 9. y dx x 1xy dy 0 11. xy2 y(1) 2 dx xy, y(1) 1 dy 13. (x ye yx) dx xe yx dy 0, y(1) 0 23. dy (x y 1) 2 dx 24. dy 1 x y dx xy 25. dy tan2 (x y) dx 26. dy sen(x y) dx 27. dy 2 1y 2x 3 dx 28. dy 1 eyx5 dx (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDTXHVHSUHVHQWD con valores iniciales. 29. dy cos(x y), y(0) >4 dx Cada una de las ED de los problemas 15 a 22 es una ecuación GH%HUQRXOOL 30. dy 3x 2y , y(1) 1 dx 3x 2y 2 En los problemas 15 a 20 resuelva cada ecuación diferencial usando una sustitución adecuada. Problemas para analizar 14. y dx x(ln x ln y 1) dy 0, 15. x 17. dy 1 y 2 dx y dy y(xy 3 1) dx dy 2ty( y3 1) dt Cada una de las ED de los problemas 23-30 es de la forma GDGDHQODHFXDFLyQ dy x 3y 8. dx 3x y ( dy 2xy 3y4, dx 22. y1/2 dy y x dx y x 2 20. 3(1 t ) En los problemas 21 y 22 resuelva el problema que se presenta con valores iniciales. 5. (y 2 yx) dx x 2 dy 0 6. ( y 2 yx) dx x 2 dy 0 dy y2 ty dt 16. y(1) e dy y ex y2 dx 18. x dy (1 x)y xy2 dx 31. Explique por qué es posible expresar cualquier ecuación diferencial homogénea M(x, y) dx N(x, y) dy 0 en la forma dy y F . dx x 76 O CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN dy 4 1 2 y y2 dx x x Podría comenzar por demostrar que M(x, y) xM(1, y x) y N(x, y) xN(1, y x). 32. Ponga la ecuación diferencial homogénea (5x 2 2y 2) dx xy dy 0 en la forma dada en el problema 31. 33. a) Determine dos soluciones singulares de la ED en el problema 10. b) Si la condición inicial y(5) 0 es como se indicó para el problema 10, entonces, ¿cuál es el intervalo más ODUJRGHGH¿QLFLyQIVREUHHOFXDOHVWiGH¿QLGDODVROXFLyQ"8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DU ODJUi¿FDGHODFXUYDVROXFLyQSDUDHO39, 34. En el ejemplo 3, la solución y(x) es ilimitada conforme x A . Sin embargo, y(x) es asintótica a una curva conforme x A y a una curva diferente conforme x A . ¿Cuáles son las ecuaciones de estas curvas? 35. La ecuación diferencial dydx P(x) Q(x)y R(x)y2 se conoce como la ecuación de Riccati. a) Una ecuación de Riccati se puede resolver por dos sustituciones consecutivas, siempre y cuando conozcamos una solución particular, y1, de la ecuación. Demuestre que la sustitución y y1 u reduce la HFXDFLyQ GH 5LFFDWL D XQD HFXDFLyQ GH %HUQRXOOL con n 2. La ecuación de Bernoulli se puede entonces reducir a una ecuación lineal sustituyendo w u1. b) Determine una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial 2.6 donde y1 2x es una solución conocida de la ecuación. 36. Determine una sustitución adecuada para resolver xy y ln(xy). Modelos matemáticos 37. Cadena cayendo (Q HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV YLPRVTXHXQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDODYHORFLGDGv de una cadena que se desliza por el borde de una plataforma horizontal es dv xv v 2 32x. dx En ese problema se le pidió que resolviera la ED convirtiéndola en una ecuación exacta usando un factor integrante. Esta vez resuelva la ED usando el hecho de que es una ecuación de Bernoulli. 38. Crecimiento de la población En el estudio de la población dinámica uno de los más famosos modelos para un crecimiento poblacional limitado es la ecuación logística dP P(a bP), dt donde a y b son constantes positivas. Aunque retomaremos esta ecuación y la resolveremos utilizando un método alternativo en la sección 3.2, resuelva la ED por esta primera vez usando el hecho de que es una ecuación de Bernoulli. UN MÉTODO NUMÉRICO INTRODUCCIÓN Una ecuación diferencial puede ser una fuente de información. Comenzaremos este capítulo observando que podríamos recolectar información cualitativa de una ED de primer orden con respecto a sus soluciones aún antes de intentar resolver la ecuación. Entonces en las secciones 2.2 a 2.5 examinamos a las ED de primer orden analíticamente, es decir, desarrollamos algunos procedimientos para obtener soluciones explícitas e implícitas. Pero una ecuación diferencial puede tener una solución aún cuando no podamos obtenerla analíticamente. Así que para redondear los diferentes tipos de análisis de las ecuaciones diferenciales, concluimos este capítulo con un método con el cual podemos “resolver” la ecuación diferencial numéricamenteHVWRVLJQL¿FDTXHOD('VHXWLOL]DFRPRHOSULQFLSLREiVLFRGHXQ algoritmo para aproximarnos a la solución desconocida. En esta sección vamos a desarrollar únicamente el más sencillo de los métodos numéricos, un método que utiliza la idea de que se puede usar una recta tangente para aproximar los valores de una IXQFLyQHQXQDSHTXHxDYHFLQGDGGHOSXQWRGHWDQJHQFLD(QHOFDStWXORVHSUHVHQWDXQWUDWDPLHQWR más extenso de los métodos numéricos. USANDO LA RECTA TANGENTE Suponemos que el problema con valores iniciales yv f (x, y), y(x0) y0 (1) tiene una solución. Una manera de aproximarse a esta solución es emplear rectas tangentes. Por ejemplo, digamos que y(x) denota la solución incógnita para el problema 2.6 UN MÉTODO NUMÉRICO O 77 con valores iniciales y 0.11y 0.4x2, y(2) 4. La ecuación diferencial no lineal en este PVI no se puede resolver directamente por cualquiera de los métodos conVLGHUDGRVHQODVVHFFLRQHV\QRREVWDQWHD~QSRGHPRVHQFRQWUDUYDORUHV numéricos aproximados de la incógnita y(x). En concreto, supongamos que deseamos conocer el valor de y (O 39, WLHQH XQD VROXFLyQ \ FRPR VXJLHUH HO ÀXMR GHO FDPSRGLUHFFLRQDOGHOD('HQOD¿JXUD D XQDFXUYDVROXFLyQTXHGHEHWHQHU una forma similar a la curva que se muestra en azul. (OFDPSRGLUHFFLRQDOGHOD¿JXUD D VHJHQHUyFRQHOHPHQWRVOLQHDOHVTXH pasan por puntos de una cuadrícula de coordenadas enteras. Puesto que la curva soluFLyQSDVDSRUHOSXQWRLQLFLDO HOHOHPHQWROLQHDOHQHVWHSXQWRHVXQDUHFWDWDQJHQWH 2 1.8. Como se muestra en la con una pendiente dada por f (2, 4) 0.114 0.4(2) ¿JXUD D \HO³]RRPLQ´ DFHUFDPLHQWR GHOD¿JXUD E FXDQGRx está cerca de 2, los puntos en la curva solución están cerca de los puntos de la recta tangente (el HOHPHQWROLQHDO 8WLOL]DQGRHOSXQWR ODSHQGLHQWHf 1.8 y la forma punto pendiente de una recta, encontramos que una ecuación de la recta tangente es y L(x), donde L(x) 1.8x . Esta última ecuación se llama linealización de y(x) en x 2 que se puede utilizar para aproximar los valores dentro de una pequeña vecindad de x 2. Si y1 L(x1) denota la coordenada y en la recta tangente y y(x1) es la coordenada y de la curva solución correspondiente a una coordenada x, x1 que está cerca de x 2, entonces y(x1) y1. Si elegimos x1 2.1, entonces y1 L(2.1) 1.8(2.1) entonces y(2.1) y curva solución 4 (2, 4) 2 pendiente m = 1.8 x _2 2 a) campo direccional para y b) elemento lineal en (2, 4). 0. FIGURA 2.6.1 $PSOL¿FDFLyQGHXQDYHFLQGDGDOUHGHGRUGHOSXQWR y curva solución MÉTODO DE EULER Para generalizar el procedimiento que acabamos de ilustrar, usamos la linealización de una solución incógnita y(x) de (1) en x x0: L(x) y0 f (x0 , y0)(x x0). /DJUi¿FDGHHVWDOLQHDOL]DFLyQHVXQDUHFWDWDQJHQWHDODJUi¿FDGHy y (x) en el punto (x0, y0). Ahora hacemos que h sea un incremento positivo del eje x, como se muestra en OD¿JXUD(QWRQFHVVXVWLWX\HQGRx por x1 x0 h en la ecuación (2), obtenemos (x1, y(x1)) error (x0, y0) (x1, y1) L(x1) y0 f (x0, y0)(x0 h x0) pendiente = f(x0, y0) h L(x) x0 x1 = x 0 + h x FIGURA 2.6.2 Aproximación de y(x1) usando una recta tangente. (2) o y 1 y0 hf (x1, y1), donde y1 L(x1). El punto (x1, y1) en la recta tangente es una aproximación del punto (x1, y(x1)) sobre la curva solución. Por supuesto, la precisión de la aproximación L(x1) y(x1) o y1 y(x1) depende fuertemente del tamaño del incremento h. Normalmente debemos elegir este tamaño de paso para que sea “razonablemente pequeño”. Ahora repetimos el proceso usando una segunda “recta tangente” en (x1, y1).* ,GHQWL¿FDQGRHOQXHYRSXQWRLQLFLDOFRPR x1, y1) en lugar de (x0, y0) del análisis ante* Esta no es una recta tangente real, ya que (x1, y1) está sobre la primera tangente y no sobre la curva solución. 78 CAPÍTULO 2 O ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN rior, obtenemos una aproximación y2 y(x 2) correspondiendo a dos pasos de longitud h a partir de x0, es decir, x 2 x1 h x 0 2h, y y(x2) y(x0 2h) y(x1 h) y2 y1 hf (x1, y1). Si continuamos de esta manera, vemos que y1, y2, y3VHSXHGHGH¿QLUUHFXUVLYDmente mediante la fórmula general yn1 yn hf (xn, yn), (3) donde x n x 0 nh, n 0, 1, 2, . . . Este procedimiento de uso sucesivo de las “rectas tangentes” se conoce como método de Euler. EJEMPLO 1 TABLA 2.6.1 h 0.1 xn yn Método de Euler Considere el problema con valores iniciales y 0.1 1y 0.4x2, y(2) 4. Utilice el método de Euler para obtener una aproximación de y(2.5) usando primero h 0.1 y después h 0.05. SOLUCIÓN &RQODLGHQWL¿FDFLyQ f (x, y) 0.11y 0.4x2 la ecuación (3) se convierte en ( ) yn1 yn h 0.11yn 0.4x2n . Entonces para h 0.1, x0 2, y0 \n 0 encontramos ( ) ( ) y1 y0 h 0.11y0 0.4x20 4 0.1 0.114 0.4(2) 2 4.18, que, como ya hemos visto, es una estimación del valor y(2.1). Sin embargo, si usamos el paso de tamaño más pequeño h 0.05, le toma dos pasos alcanzar x 2.1. A partir de ( ) y1 4 0.05 0.114 0.4(2)2 4.09 TABLA 2.6.2 xn ( ) y2 4.09 0.05 0.114.09 0.4(2.05)2 4.18416187 h 0.05 yn tenemos y1 y(2.05) y y 2 y(2.1). El resto de los cálculos se realizó usando un paquete computacional. En las tablas 2.6.1 y 2.6.2 se resumen los resultados, donde cada entrada se ha redondeado a cuatro lugares decimales. Vemos en las tablas 2.6.1 y 2.6.2 que le toma cinco pasos con h 0.1 y 10 pasos con h 0.05, respectivamente, para llegar a x 2.5. Intuitivamente, esperaríamos que y10 FRUUHVSRQGLHQWHDh 0.05 sea la mejor aproximación de y(2.5) que el valor y5 FRUUHVSRQGLHQWHDh 0.1. En el ejemplo 2 aplicamos el método de Euler para una ecuación diferencial para la que ya hemos encontrado una solución. Hacemos esto para comparar los valores de las aproximaciones yn en cada caso con los valores verdaderos o reales de la solución y(xn) del problema con valores iniciales. EJEMPLO 2 Comparación de los valores aproximados y reales Considere el problema con valores iniciales y 0.2xy, y(1) 1. Utilice el método de Euler para obtener una aproximación de y (1.5) usando primero h 0.1 y después h 0.05. SOLUCIÓN &RQODLGHQWL¿FDFLyQf (x, y) 0.2xy, la ecuación (3) se convierte en yn1 yn h(0.2xn yn ) donde x 0 1 y y 0 1. 1. De nuevo con la ayuda de un paquete computacional obWHQJDORVYDORUHVGHODVWDEODV\HQODSiJLQD En el ejemplo 1 se calcularon los valores verdaderos o reales de la solución cono2 cida y e0.1(x í . (Compruebe.) El error absolutoVHGH¿QHFRPR valor real – aproximado . 2.6 TABLA 2.6.3 xn 1.00 1.10 h 0.1 UN MÉTODO NUMÉRICO O 79 TABLA 2.6.4 h 0.05 yn Valor real Error absoluto % Error relativo 1.0000 1.0200 1.0000 1.0212 0.0000 0.0012 0.00 0.12 xn 1.00 1.05 1.10 yn Valor real Error absoluto 1.0000 1.0100 1.0206 1.0000 1.0103 1.0212 0.0000 0.0003 0.0006 % Error relativo 0.00 0.03 0.06 El error relativo y el error relativo porcentual son, respectivamente, error absoluto valor real y error absoluto valor real = (VHYLGHQWHHQODVWDEODV\TXHODSUHFLVLyQGHODVDSUR[LPDFLRQHVPHMRUD conforme disminuye el tamaño del paso h. También vemos que aún cuando el error relativo porcentual esté creciendo en cada paso, no parece estar mal. Pero no se debe GHMDUHQJDxDUSRUXQHMHPSOR6LVLPSOHPHQWHFDPELDPRVHOFRH¿FLHQWHGHOODGRGHrecho de la ED del ejemplo 2 de 0.2 a 2, entonces en xn 1.5 los errores relativos SRUFHQWXDOHVFUHFHQGUDPiWLFDPHQWH9HDHOSUREOHPDGHOHMHUFLFLR UNA ADVERTENCIA El método de Euler sólo es uno de los diferentes métodos en los que se puede aproximar una solución de una ecuación diferencial. Aunque por su sencillez es atractivo, el método de Euler rara vez se usa en cálculos serios. Aquí se ha SUHVHQWDGRVyORSDUDGDUXQSULPHUHVER]RGHORVPpWRGRVQXPpULFRV(QHOFDStWXOR trataremos en detalle el análisis de los métodos numéricos que tienen mucha precisión, en especial el método de Runge-Kutta conocido como el método RK4. SOLUCIONADORES NUMÉRICOS Independientemente de si se puede realmente encontrar una solución explícita o implícita, si existe una solución de una ecuación diferencial, ésta se representa por una curva suave en el plano cartesiano. La idea básica detrás de cualquier método numérico para las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es de alguna manera aproximar los valores de y de una solución para valores de x preseleccionados. Comenzamos con un punto inicial dado (x0, y0) de una curva solución y procedemos a calcular en un modelo paso por paso una secuencia de puntos (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) cuyas coordenadas y, yi se aproximan a las coordenadas y, y(xi) de los puntos (x1, y(x1)), (x2, y(x2)), …, (xn, y(xn)) que yacen sobre la JUi¿FDGHODVROXFLyQQRUPDOPHQWHGHVFRQRFLGDy(x). Tomando las coordenadas x más cercanas (es decir, para valores pequeños de h) y uniendo los puntos (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) con segmentos de recta cortos, obtenemos una curva poligonal cuyas características cualitativas esperamos sean cercanas a las de una curva solución real. El dibujo de curvas es algo que bien se puede hacer en una computadora. A un programa de cómputo escrito para implementar un método numérico o para presentar una representación visual de una solución aproximada que ajusta los datos numéricos producidos por este segundo método se le conoce como un solucionador numérico. Comercialmente, hay muchos solucionadores numéricos disponibles ya sea integrados en un gran paquete computacional, como en un sistema algebraico computacional, o en un paquete autónomo. Algunos paquetes computacionales simplemente dibujan las aproximaciones numéricas generadas, mientras que otros generan pesados datos numéricos así como la correspondiente aproximación o 80 CAPÍTULO 2 O ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN y 5 método RK4 4 3 curvas solución numéricas(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDDPDQHUDGHLOXVWUDFLyQODFRQH[LyQQDWXUDOHQWUHORVSXQWRVGHODVJUi¿FDVSURGXFLGDVSRUXQVROXFLRQDGRUQXPpULFR ODVJUi¿FDVSROLJRQDOHVSLQWDGDVFRQGRVFRORUHVVRQODVFXUYDVVROXFLyQQXPpULFDVSDUD el problema con valores iniciales y 0.2xy, y(0) VREUHHOLQWHUYDOR>@REWHQLGDV GHORVPpWRGRVGH(XOHU\5.XVDQGRHOWDPDxRGHSDVRh 1. La curva suave en azul 2 HVODJUi¿FDGHODVROXFLyQH[DFWD y e0.1x GHO39,2EVHUYHHQOD¿JXUDTXHDXQ con el ridículo tamaño de paso de h HOPpWRGR5.SURGXFHOD³FXUYDVROXFLyQ´PiV FUHtEOH/DFXUYDVROXFLyQQXPpULFDREWHQLGDGHOPpWRGR5.HVLQGLVWLQJXLEOHGHODFXUYD VROXFLyQUHDOHQHOLQWHUYDOR>@FXDQGRVHXVDHOWDPDxRGHSDVRGHh 0.1. solución exacta 2 1 (0,1) método Euler x _1 _1 1 2 3 4 USANDO UN SOLUCIONADOR NUMÉRICO No es necesario conocer los diferentes métodos numéricos para utilizar un solucionador numérico. Un solucionador usualmente requiere que la ecuación diferencial se pueda expresar en la forma normal dydx f (x, y). Los solucionadores numéricos que sólo generan curvas requieren que se les proporcione f (x, y) y los datos iniciales x0 y y0 y que se indique el método numérico deseado. Si la idea es aproximarse al valor numérico de y(a), entonces un solucionador numérico podría requerir de manera adicional que usted establezca un valor de h o, del mismo modo, dar el número de pasos que quiere tomar para llegar de x x0 a x DPor ejemplo, si queremos aproximar y SDUDHO39,TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHQWRQces, comenzando en x 0 le tomaría cuatro pasos llegar a x FRQXQWDPDxRGHSDVR de h SDVRVVRQHTXLYDOHQWHVDXQWDPDxRGHSDVRGHh 0.1. Aunque aquí no investigaremos todos los problemas que se pueden encontrar cuando se intenta aproximar cantidades matemáticas, al menos debe estar consciente del hecho de que el solucionador numérico puede dejar de funcionar cerca de ciertos puntos o dar una imagen incompleta o engañosa cuando se aplica a ciertas ecuaciones diferenciales en la forma normal. La ¿JXUDPXHVWUDODJUi¿FDTXHVHREWXYRDODSOLFDUHOPpWRGRGH(XOHUDXQSUREOHPD con valores iniciales de primer orden dydx f (x, y), y(0) 1. Se obtuvieron resultados HTXLYDOHQWHV XWLOL]DQGR WUHV VROXFLRQDGRUHV QXPpULFRV VLQ HPEDUJR OD JUi¿FD GLItFLOmente es una posible curva solución. (¿Por qué?) Hay diferentes caminos de solución FXDQGRXQVROXFLRQDGRUQXPpULFRWLHQHGL¿FXOWDGHVODVWUHVPiVREYLDVVRQGLVPLQXLU el tamaño del paso, usar otro método numérico e intentar con un solucionador diferente. 5 FIGURA 2.6.3 Comparación de los PpWRGRVGH5XQJH.XWWD 5. \GH Euler. y 6 5 4 3 2 1 x _1 _2 _1 1 2 3 4 5 FIGURA 2.6.4 Una curva solución que no ayuda mucho. EJERCICIOS 2.6 Las respuestas a los problemas seleccionadosFRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6 En los problemas 1 y 2 use el método de Euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado, ejecute a mano la ecuación de recursión (3), usando primero h 0.1 y después usando h 0.05. 1. y 2x 3y 1, y(1) 5; y(1.2) 2. y x y 2, y(0) 0; y(0.2) (QORVSUREOHPDV\XVHHOPpWRGRGH(XOHUSDUDREWHQHUXQD aproximación a cuatro decimales del valor indicado. Primero, utilice h 0.1 y después utilice h 0.05. Determine una solución explícita para cada problema con valores iniciales y GHVSXpVFRQVWUX\DWDEODVVLPLODUHVDODVWDEODV\ 3. y y, y(0) 1; y(1.0) 4. y 2xy, y(1) 1; y(1.5) En los problemas 5-10 use un solucionador numérico y el método de Euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado. Primero, utilice h 0.1 y después utilice h 0.05. 5. y e , y(0) 0; y(0.5) y 6. y x 2 y 2, y(0) 1; y(0.5) 7. y (x y) 2, y(0) 0.5; y(0.5) 8. y xy 1y, y(0) 1; y(0.5) y 9. y xy 2 , y(1) 1; y(1.5) x 10. y y y 2, y(0) 0.5; y(0.5) En los problemas 11 y 12 utilice un solucionador para obtener una curva solución numérica para el problema dado con valores iniciales. Primero, utilice el método de Euler y después, HO PpWRGR 5. 8WLOLFH h 0.25 en cada caso. Superponga ambas curvas solución en los mismos ejes coordenados. Si es posible, utilice un color diferente para cada curva. Repita, usando h 0.1 y h 0.05. 11. y 2(cos x)y, 12. y y(10 2y), y(0) 1 y(0) 1 REPASO DEL CAPÍTULO 2 O 81 Problemas para analizar Tarea para el laboratorio de computación 13. Use un solucionador numérico y el método de Euler para aproximar y(1.0), donde y(x) es la solución de y 2xy 2, y(0) 1. Primero use h 0.1 y después use h 0.05. 5HSLWDXVDQGRHOPpWRGR5.$QDOLFHTXpSRGUtDFDXVDU que las aproximaciones a y GL¿HUDQPXFKR 14. a) 8 WLOLFHXQVROXFLRQDGRUQXPpULFR\HOPpWRGR5. SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQ valores iniciales y 2xy 1, y(0) 0. b) Resuelva el problema con valores iniciales con uno de los procedimientos analíticos desarrollados en las secciones anteriores de este capítulo. c) Use la solución analítica y(x) que encontró en el inciso b) y un SAC para determinar las coordenadas de todos los extremos relativos. Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página 5(6 REPASO DEL CAPÍTULO 2 Responda los problemas 1-12 sin consultar las respuestas del libro. Llene los espacios en blanco o responda si es verdadero o falso. 1. La ED lineal, y ky A, donde k y A son constantes, de la ecuación es autónomo. El punto crítico es un (atractor o repulsor) para k 0 y un (atractor o repulsor) para k 0. dy 4y 0, y(0) k , tiene un 2. El problema x dx y no tiene so LQ¿QLWRGHVROXFLRQHVSDUDk lución para k . 3. La ED lineal, y k1 y k2, donde k1 y k2 son constantes distintas de cero, siempre tiene una solución constante. 4. La ED lineal, a1(x)y a0(x)y 0 es también separable. 5. Un ejemplo de una ecuación diferencial no lineal de tercer orden en forma normal es dr 6. La ED de primer orden Uș r ș 1 no es sed parable 7. Cada ED autónoma dydx f(y) es separable. 8. Por inspección, dos soluciones de la ecuación diferencial y |y| 2 son 9. Si y e xy, entonces y (QORVSUREOHPDV\FRQVWUX\DXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO de primer orden autónoma dydx f (y) cuyo diagrama fase VHDFRQVLVWHQWHFRQOD¿JXUDGDGD 13. y y 14. 4 3 2 1 0 FIGURA 2.R.1 *Ui¿FDGHO problema 13. FIGURA 2.R.2 *Ui¿FDGHO SUREOHPD 15. El número 0 es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma dxdt xn, donde n es un entero positivo. ¿Para qué valores de n es 0 asintóticamente estable? ¿Semiestable? ¿Inestable? Repita para la ecuación diferencial dxdt xn. 16. Considere la ecuación diferencial dP dt f (P), donde f (P) 0.5P3 P La función f (P) tiene una raíz real, como se muestra en la ¿JXUD56LQLQWHQWDUUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO estime el valor de límtA P(t). f 1 1 P 10. Si una función derivable y(x) satisface y |x|, y(1) 2, entonces y(x) x 11. y ecos x te cos t dt es una solución de la ecuación 0 diferencial lineal de primer orden 12. Un ejemplo de una ED lineal de primer orden autónoma con un solo punto crítico 3 es mientras que una ED de primer orden no lineal autónoma con un solo punto crítico 3 es FIGURA 2.R.3 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 17. /D¿JXUD5HVXQDSDUWHGHXQFDPSRGLUHFFLRQDOGH una ecuación diferencial dydx f (x, y). Dibuje a mano dos diferentes curvas solución, una que sea tangente al elemento lineal que se muestra en negro y la otra que sea tangente al elemento lineal que se muestra de color rojo. 82 CAPÍTULO 2 O ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 27. 28. 29. 30. dy 1 (4 cos x)y 5 x, y(0) 5 dx dy 2 4xy 5 sen x 2, y(0) 5 7 dx dy 2 x 1 2y 5 xe x , y(1) 5 3 dx 2 x dy 1 (sen x)y 5 0, y(0) 5 10 dx FIGURA 2.R.4 3DUWHGHXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHOSUREOHPD En problemas de 31 y 32, resuelva el problema de valor inicial dado. 18. &ODVL¿TXH FDGD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRPR VHSDUDEOH exacta, lineal, homogénea o Bernoulli. Algunas ecuaciones pueden ser de más de una clase. No las resuelva. 31. a) dy x y dx x (x 1) e) dy y 2 y dx x 2 x g) y dx ( y xy 2) dy i) xy y y 2 2x k) y dx x dy 0 l) x2 f (x) 5 b) dy 1 dx y x 2y x dy 5y y 2 dx dy ye x/y x h) x dx 2x 50,e , 0#x,1 x$1 dy 1 P(x)y 5 e x, y(0) 5 21, donde dx P(x) 5 1, 0 # x , 1 521, x$1 f) j) 2xy y y 2 2x 2 dx (3 ln x 2) dy dy x y m) dx y x 1 n) y dy 3 2 e 2x y 0 x 2 dx (QORVSUREOHPDVUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD 19. ( y 2 1) dx y sec2 x dy 20. y(ln x ln y) dx (x ln x x ln y y) dy 21. (6x 1)y2 32. dy dy 1 y 10 d) dx dx x(x y) c) dy 1 y 5 f (x), y(0) 5 5, donde dx dy 3x2 2y3 0 dx 4y2 6xy dx 2 dy 3y 2x dQ 23. t Q t 4 ln t dt 24. (2x y 1)y 1 22. 25. (x 2 dy (2x 8xy) dx 26. (2r 2 cos sen r cos ) d r sen 2r cos2 ) dr 0 (Q SUREOHPDV ± H[SUHVH OD VROXFLyQ GHO SUREOHPD GH valor inicial dado en términos de una función dada por la inWHJUDOGH¿QLGD (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHV iniciales dado e indique el intervalo I más largo sobre el que la VROXFLyQHVWiGH¿QLGD 33. senx 34. dy dt dy dx 2(t (cos x)y 1)y 2 0, 0, y 7 6 2 1 8 y(0) 35. a) Sin resolver, explique por qué el problema con valores iniciales dy 1y, y(x0) y0 dx no tiene solución para y0 0. b) Resuelva el problema con valores iniciales del inciso a) para y0 0 y determine el intervalo I más largo VREUHHOTXHODVROXFLyQHVWiGH¿QLGD 36. a) Encuentre una solución implícita del problema con valores iniciales dy y 2 x 2 , y(1) 12. dx xy b) Encuentre una solución explícita del problema del inciso a) e indique el intervalo de solución más largo de IVREUHHOTXHODVROXFLyQHVWiGH¿QLGD$TXtSXHGH VHU~WLOXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQ 37. (Q OD ¿JXUD 5 VH SUHVHQWDQ ODV JUi¿FDV GH DOJXQRV miembros de una familia de soluciones para una ecuación diferencial de primer orden dydx f (x, y /DV JUi¿FDV de dos soluciones implícitas, una que pasa por el punto (1, 1) y la otra que pasa por (1, 3) se muestran en azul. REPASO DEL CAPÍTULO 2 5HSURGX]FDOD¿JXUDHQXQDKRMD&RQOiSLFHVGHFRORUHV trace las curvas solución para las soluciones y y1(x) y y y2(x GH¿QLGDVSRUODVVROXFLRQHVLPSOtFLWDVFRPRy1(1) 1 y y2(1) 3, respectivamente. Estime los intervalos en los que las soluciones y y1(x) y y y2(x HVWiQGH¿QLGDV O 83 y "6LHVDVtFODVL¿TXHORVSXQWRVFUtWLFRVFRPRDVLQtóticamente estables, inestables o semiestables. y 39. 3 y 2 1 x _1 x _2 _3 _3 _2 _1 FIGURA 2.R.5 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 38. Utilice el método de Euler con tamaño de paso h 0.1 para aproximar y(1.2), donde y(x) es una solución del problema con valores iniciales y 1 x1y , y(1) 9. (QORVSUREOHPDV\FDGD¿JXUDUHSUHVHQWDXQDSDUWH de un campo direccional de una ecuación diferencial de primer orden dydx f (y 5HSURGX]FDHVWD¿JXUDHQXQDKRMD y después termine el campo direccional sobre la malla. Los puntos de la malla son (mh, nh) donde h 21, m y n son enteros, m n (QFDGDFDPSRGLUHFFLRQDO dibuje a mano una curva solución aproximada que pase por cada uno de los puntos sólidos mostrados en rojo. Analice: ¿parece que la ED tiene puntos críticos en el intervalo 3.5 1 2 3 FIGURA 2.R.6 3DUWHGHXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHOSUREOHPD y 40. 3 2 1 x _1 _2 _3 _3 _2 _1 1 2 3 FIGURA 2.R.7 3DUWHGHXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHOSUREOHPD 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN © Fotos593/Shutterstock.com 3.1 3.2 3.3 Modelos lineales Modelos no lineales Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL CAPÍTULO 3 E n la sección 1.3 vimos cómo se podría utilizar una ecuación diferencial de primer orden como modelo matemático en el estudio del crecimiento poblacional, el decaimiento radiactivo, el interés compuesto continuo, el HQIULDPLHQWRGHFXHUSRVPH]FODVUHDFFLRQHVTXtPLFDVHOGUHQDGRGHOÀXLGRGH un tanque, la velocidad de un cuerpo que cae y la corriente en un circuito en serie. Utilizando los métodos del capítulo 2, ahora podemos resolver algunas de las ED lineales (en la sección 3.1) y ED no lineales (en la sección 3.2) que aparecen comúnmente en las aplicaciones. 84 3.1 3.1 MODELOS LINEALES O 85 MODELOS LINEALES INTRODUCCIÓN En esta sección resolvemos algunos de los modelos lineales de primer orden que se presentaron en la sección 1.3. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO El problema con valores iniciales dx kx, dt x(t0) x0, (1) donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fenómenos que tienen que ver con el crecimiento o el decaimiento. En la sección 1.3 vimos que en las aplicaciones biológicas la razón de crecimiento de ciertas poblaciones (bacterias, pequeños animales) en cortos periodos es proporcional a la población presente al tiempo t. Si se conoce la población en algún tiempo inicial arbitrario t0, la solución de la ecuación (1) se puede utilizar para predecir la población en el futuro, es decir, a tiempos t t0. La constante de proporcionalidad k en la ecuación (1) se determina a partir de la solución del problema con valores iniciales, usando una medida posterior de x al tiempo t1 t0. En física y química la ecuación (1) se ve en la forma de una reacción de primer orden, es decir, una reacción cuya rapidez, o velocidad, dxdt es directamente proporcional a la cantidad x de sustancia que no se ha convertido o remanente al tiempo t. La descomposición, o decaimiento, de U-238 (uranio) por radiactividad en Th-234 (torio) es una reacción de primer orden. EJEMPLO 1 Crecimiento de bacterias Inicialmente un cultivo tiene un número P0 de bacterias. En t 1 h se determina que el número de bacterias es 32P0. Si la rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias. SOLUCIÓN Primero se resuelve la ecuación diferencial (1), sustituyendo el símbolo x por P. Con t0 0 la condición inicial es P(0) P0. Entonces se usa la observación empírica de que P(1) 32P0 para determinar la constante de proporcionalidad k. Observe que la ecuación diferencial dPdt kP es separable y lineal. Cuando se pone en la forma estándar de una ED lineal de primer orden, P P(t) 5 P0 e 0.4055t dP kP 0, dt se ve por inspección que el factor integrante es ekt. Al multiplicar ambos lados de la ecuación e integrar, se obtiene, respectivamente, d kt [e P] 0 dt 3P0 y e ktP c. De este modo, P(t) cekt. En t 0 se tiene que P0 ce0 c, por tanto P(t) P0ekt. En t 1 se tiene que 32P0 P0ek, o ek 32. De la última ecuación se obtiene k 1n 32 0.4055, por tanto P(t) P0e0.4055t. Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el número de bacterias, resolvemos 3P0 P0e0.4055t para t. Entonces 0.4055t 1n 3, o P0 t 5 2.71 t FIGURA 3.1.1 Tiempo en que se triplica la población en el ejemplo 1. t 9HDOD¿JXUD ln 3 2.71 h. 0.4055 86 O CAPÍTULO 3 y MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Observe en el ejemplo 1 que el número real P0 de bacterias presentes en el tiempo t 0 no tiene que ver con el cálculo del tiempo que se requirió para que el número de bacterias en el cultivo se triplique. El tiempo necesario para que se triplique una población inicial de, digamos, 100 o 1 000 000 de bacterias es de aproximadamente 2.71 horas. e kt, k > 0 crecimiento e kt, k < 0 crecimiento t FIGURA 3.1.2 Crecimiento (k 0) y decaimiento (k 0). &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD OD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO ekt aumenta conforme crece t para k 0 y disminuye conforme crece t para k 0. Así los problemas que describen el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias o aún de capital) se caracterizan por un valor positivo de k, en tanto que los problemas relacionados con el decaimiento (como en la desintegración radiactiva) tienen un valor k negativo. De acuerdo con esto, decimos que k es una constante de crecimiento (k 0) o una constante de decaimiento (k 0). VIDA MEDIA En física la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente, el tiempo que tarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad de los átomos en una muestra inicial A0. Mientras mayor sea la vida media de una sustancia, más estable es la sustancia. Por ejemplo, la vida media del radio altamente radiactivo Ra-226 es de aproximadamente 1 700 años. En 1 700 años la mitad de una cantidad dada de Ra-226 se transmuta en radón, Rn-222. El isótopo más común del uranio, U-238, tiene una vida media de 4 500 000 000 años. En aproximadamente 4.5 miles de millones de años, la mitad de una cantidad de U-238 se transmuta en plomo 206. EJEMPLO 2 Vida media del plutonio Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que el 0.043% de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que queda. SOLUCIÓN Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda al tiempo t. Como en el ejemplo 1, la solución del problema con valores iniciales dA kA, dt A(0) A0 © Jack Fields/Science Source es A(t) A0ekt. Si se ha desintegrado 0.043% de los átomos de A0, queda 99.957%. Para encontrar la constante k, usamos 0.99957A0 A(15), es decir, 0.99957A0 A0e15k. Despejando k se obtiene k 151 ln 0.99957 0.00002867. Por tanto A(t) A0eít. Ahora la vida media es el valor del tiempo que le corresponde a A(t) 12 A0. Despejando t se obtiene 12 A0 A0eít o 12 eít. De la última ecuación se obtiene ln 2 t 24 180 años . 0.00002867 FIGURA 3.1.3 Willard Libby (1908–1980) DATADO CON CARBONO Willard Libby ¿JXUD \XQHTXLSRGHFLHQWt¿FRVHQ 1950, idearon un método que utilizaba un isotopo radiactivo de carbono como medio para determinar las edades aproximadas de la materia fosilizada carbonosa. La teoría del datado con carbono se basa en que el isótopo carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-l4 con el carbono ordinario en la atmósfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmósfera. Cuando muere un organismo cesa la absorción del C-l4 ya sea por respiración o por alimentación. Así, al comparar la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo, en un fósil con la razón constante que hay en la atmósfera, es posible obtener una estimación razonable de la edad del fósil. El método se basa en que se sabe la vida media del C-l4. Libby calculó el valor de la vida media de aproximadamente 5 600 años, y se llamó la vida media de Libby. © Kenneth Garrett/National Geographic Creative 3.1 FIGURA 3.1.4 Una página del evangelio gnóstico de Judas. La vida media del uranio-238 es aproximadamente 4.47 mil millones años O 87 Actualmente el valor aceptado comúnmente para la vida media es la vida media de Cambridge que es aproximadamente 5 730 años. Por este trabajo, Libby obtuvo el Premio Nobel de química en 1960. El método de Libby se ha utilizado para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias, las envolturas de lino de los rollos del Mar 0XHUWR\ODWHODGHOHQLJPiWLFRVXGDULRGH7RULQR9pDVHOD¿JXUD\HOSUREOHPD en los Ejercicios 3.1. EJEMPLO 3 Edad de un fósil Se encuentra que un hueso fosilizado contiene 0.1% de su cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil. SOLUCIÓN Como en el ejemplo 2 el punto de partida es A(t) A0e kt. Para determinar el valor de la constante de decaimiento k, partimos del hecho de que 1 A(5730) o 12 A 0 A 0e 5730k . Esta ecuación implica que 5730k ln 12 ln 2 A0 2 y obtenemos k (1n 2) 5730 0.00012097, por tanto A(t) A0e0.00012097t. Con A(t) 0.001A0 tenemos que 0.001A0 A0e0.00012097t y 0.00012097t ln(0.001) ln 1000. Así t El tamaño y la ubicación de la muestra causaron importantes GL¿FXOWDGHVFXDQGRXQHTXLSRGH FLHQWt¿FRVIXHURQLQYLWDGRVDGDWDU con carbono - 14 la Sábana Santa de Turín en 1988. MODELOS LINEALES ln 1000 0.00012097 57 100 años La fecha determinada en el ejemplo 3 está en el límite de exactitud del método. Normalmente esta técnica se limita a aproximadamente 10 vidas medias del isótopo, que son aproximadamente 60000 años. Una razón para esta limitante es que el análisis químico necesario para una determinación exacta del C-l4 que queda presenta obstáculos formidables cuando se alcanza el punto de 0.001A0. También, en este método se necesita destruir una gran parte de la muestra. Si la medición se realiza indirectamente, basándose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difícil distinguir la radiación que procede del fósil de la radiación de fondo normal.* Pero recientemente, con los aceleradoUHVGHSDUWtFXODVORVFLHQWt¿FRVKDQSRGLGRVHSDUDUDO&OGHOHVWDEOH&&XDQGRVH calcula la relación exacta de C-l4 a C-12, la exactitud de este método se puede ampliar de 70 000 a 100 000 años. Por estas razones y por el hecho de que el datado con C-14 está restringido a materiales orgánicos, este método es utilizado principalmente por los arqueólogos. Por su parte, los geólogos interesados en preguntas sobre la edad de las rocas o la edad de la tierra utilizan técnicas de datación radiométrica. La datación radiométrica inventada por el físico químico Ernest Rutherford (1871-1937) alrededor de 1905, se basa en el decaimiento radiactivo de un isotopo radiactivo que ocurre naturalmente con una vida media muy larga y una comparación entre una cantidad medida de esta descomposición isotópica y uno de sus productos de decaimiento utilizando las tasas de decaimiento conocidas. Hay otras técnicas isotópicas, como la que usa potasio - argón, rubidio-estroncio, o uranio plomo, adecuadas para establecer edades de ciertas clases de rocas varios millones de años. Ver los problemas 5 y 6 en los ejercicios 3.3 para una breve discusión del método de datación por potasio-argón. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO En la ecuación (3) de la sección 1.3 vimos que la formulación matemática de la ley empírica de Newton del enfriamiento/calentamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden dT k(T Tm), dt (2) donde k es una constante de proporcionalidad, T(t) es la temperatura del objeto para t 0, y Tm es la temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el ejemplo 4 suponemos que Tm es constante. 88 CAPÍTULO 3 O MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN T EJEMPLO 4 200 100 T = 20 15 t 30 Enfriamiento de un pastel Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 150 °C. Tres minutos después su temperatura es de 90 °C. ¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 20 °C? SOLUCIÓN (QODHFXDFLyQ LGHQWL¿FDPRVTm 20. Debemos resolver el problema con valores iniciales a) t (min) T(t) 0 5 10 15 20 25 30 150 66.41 36.57 25.92 22.11 20.75 20.27 b) FIGURA 3.1.5 La temperatura de enfriamiento del pastel del ejemplo 4. dT k(T 20), dt T(0) 150 (3) y determinar el valor de k tal que T(3) 90. La ecuación (3) es tanto lineal como separable. Si separamos las variables dT k dt, T 70 se obtiene ln|T – 20| kt c1, y así T 20 c2ekt. Cuando t 0, T 150, así 150 20 c2 da c2 130. Por tanto T 20 130 ekt. Por último, la medición de T(3) 90 conduce a e3k 0.538, o k 0.206 . Así T (t) 20 130e 0.206t . (4) 2EVHUYDPRV TXH OD HFXDFLyQ QR WLHQH XQD VROXFLyQ ¿QLWD D T(t) 20 porque lím tA T(t) 20. No obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfríe al transcurrir un intervalo razonablemente largo. ¿Qué tan largo es “largo”? Por supuesto, no nos debe inquietar el hecho de que el modelo (3) no se apegue mucho a nuestra LQWXLFLyQItVLFD/RVLQFLVRVD \E GHOD¿JXUDPXHVWUDQFODUDPHQWHTXHHOSDVWHO estará a temperatura ambiente en aproximadamente media hora. La temperatura ambiente en la ecuación (2) no necesariamente es una constante pero podría ser una función Tm(t) del tiempo t. Vea el problema 18 de los ejercicios 3.1. MEZCLAS $OPH]FODUGRVÀXLGRVDYHFHVVXUJHQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHV de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras en la sección 1.3, supusimos que la rapidez con que cambia la cantidad de sal A(t) en el tanque de mezcla es una rapidez neta dA (rapidez de entrada de sal) (rapidez de salida de sal) Rentra Rsale . (5) dt En el ejemplo 5 resolveremos la ecuación (8) en la página 25 de la sección 1.3. EJEMPLO 5 Mezcla de dos soluciones de sal Recordemos que el tanque grande de la sección 1.3 contenía inicialmente 1000 L de una solución de salmuera. En el tanque entraba y salía sal porque se bombeaba una soOXFLyQDXQÀXMRGH/PLQVHPH]FODEDFRQODVROXFLyQRULJLQDO\VDOtDGHOWDQTXH FRQXQÀXMRGH/PLQ/DFRQFHQWUDFLyQGHODVROXFLyQHQWUDQWHHUDGHNJ/ por consiguiente, la entrada de sal era Rentra NJ/ (10 L/min) NJPLQ\ salía del tanque con una rapidez Rsale (ANJ/ (10 L/min) ANJPLQ A partir de esos datos y de la ecuación (5), obtuvimos la ecuación (8) de la sección 1.3. 3HUPtWDQRVSUHJXQWDUVLKDEtDNJGHVDOGLVXHOWDVHQORV/LQLFLDOHV¢FXiQWD sal habrá en el tanque después de un periodo largo? 3.1 A A = 250 t 89 Para encontrar la cantidad de sal A(t) en el tanque al tiempo t, resolvemos el problema con valores iniciales A(0) 25. Aquí observamos que la condición adjunta es la cantidad inicial de sal A(0) 25 en el tanque y no la cantidad inicial de líquido. Ahora, como el factor integrante de esta ecuación diferencial lineal es et/100, podemos escribir la ecuación como d t/100 [e A] 2.5e t/100 . dt a) t (min) A (kg) 50 100 150 200 300 400 113.53 167.23 199.80 219.55 238.80 245.88 b) FIGURA 3.1.6 Kg de sal en el tanque del ejemplo 5. O SOLUCIÓN dA 1 A 2.5, dt 100 500 MODELOS LINEALES Integrando la última ecuación y despejando A se obtiene la solución general A(t) 250 ce t/100. Cuando t 0, A 25, por lo que c 225. Así, la cantidad de sal en el tanque en el tiempo t, está dada por. A(t) 250 225et/100. (6) /DVROXFLyQ VHXVySDUDFRQVWUXLUODWDEODGHOD¿JXUD E (QODHFXDFLyQ \HQ OD¿JXUD D WDPELpQVHSXHGHYHUTXHA(t) A 250 conforme t A . Por supuesto, esto es lo que se esperaría intuitivamente en este caso; cuando ha pasado un gran tiempo ODFDQWLGDGGHNJGHVDOHQODVROXFLyQGHEHVHU / NJ/ NJ. En el ejemplo 5 supusimos que la rapidez con que entra la solución al tanque es la misma que la rapidez con la que sale. Sin embargo, el caso no necesita ser siempre el mismo; la salmuera mezclada se puede sacar con una rapidez rsale que es mayor o menor que la rapidez rentra con la que entra la otra salmuera. El siguiente ejemplo presenta un caso cuando la mezcla se bombea a una rapidez menor que la rapidez con la que se bombea dentro del tanque. EJEMPLO 6 Vuelta al ejemplo 5 Si la solución bien mezclada del ejemplo 5 se bombea hacia afuera con una rapidez, digamos rsale 9 L/min, entonces se acumulará en el tanque con la rapidez rentra rsale /PLQ /PLQ Después de t minutos (1 L/min) (t min) t L se acumularán, por lo que en el tanque habrá 1000 t litros de salmuera. La concentraFLyQGHOÀXMRGHVDOLGDHVHQWRQFHVc(t) A(1000 t NJ/\ODUDSLGH]FRQTXHVDOH la sal es Rsale c(t) rsale, o Rout 5 11000A 1 t kg/L2 ? (9 L/min) 5 1000 1 t kg/min. 9A Por tanto, la ecuación (5) se convierte en 9A dA 5 2.5 2 dt 1000 1 t o 9 dA 1 A 5 2.5. dt 1000 1 t El factor integrante para la última ecuación es e e 9 dty(10001t) 5 e9 ln(10001t) 5 e ln(10001t) 5 (1000 1 t)9 9 Y así después de multiplicar por el factor, la ecuación se reescribe en la forma d f(1000 1 t)9 Ag 5 2.5(1000 1 t)9. dt 90 CAPÍTULO 3 O MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Al integrar la última ecuación se obtiene (1000 + t)9A 0.25(1000 t)10 c. Si aplicamos la condición inicial A(0) 25, y despejamos A se obtiene la solución A(t) 250 0.25t (2.251014)(1000 t)9&RPRHUDGHHVSHUDUHQOD¿JXUDVHPXHVWUDTXHFRQHO tiempo se acumula la sal en el tanque, es decir, A A cuando t A . A 500 400 CIRCUITOS EN SERIE Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un inductor, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje a través del inductor (L(didt)) más la caída de voltaje a través del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado (E(t DOFLUFXLWR9HDOD¿JXUD Por tanto, obtenemos la ecuación diferencial lineal que para la corriente i(t), 300 200 100 500 1000 FIGURA 3.1.7 *Ui¿FDGHA(t) del ejemplo 6. E L t Ri 1 q E(t). C (8) Pero la corriente i y la carga q están relacionadas por i dqdt, así, la ecuación (8) se convierte en la ecuación diferencial lineal FIGURA 3.1.8 Circuito en serie LR. R (7) donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se llama, también respuesta del sistema. La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia C es q(t)C, donde q HVODFDUJDGHOFDSDFLWRU3RUWDQWRSDUDHOFLUFXLWRHQVHULHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 3.1.9, la segunda ley de Kirchhoff da L R di Ri E(t), dt R EJEMPLO 7 dq 1 q E(t). dt C (9) Circuito en serie LR E C FIGURA 3.1.9 Circuito en serie RC. Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 12 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero. SOLUCIÓN De la ecuación (7) debemos resolver 1 di 2 dt 10i 12, sujeta a i(0) 0. Primero multiplicamos la ecuación diferencial por 2, y vemos que el factor integrante es e20t. Entonces sustituyendo d 20t [e i] dt 24e20t. Integrando cada lado de la última ecuación y despejando i se obtiene i(t) 65 ce 20t. 6 6 Ahora i(0) 0 implica que 0 5 c o c 5. . Por tanto la respuesta es 6 6 20t i(t) 5 5 e . De la ecuación (4) de la sección 2.3, podemos escribir una solución general de (7): i(t) e(R/L)t L e(R/L)tE(t) dt ce(R/L)t. (10) En particular, cuando E(t) E0 es una constante, la ecuación (l0) se convierte en i(t) E0 ce(R/L)t. R (11) 3.1 MODELOS LINEALES O 91 Observamos que conforme t A , el segundo término de la ecuación (11) tiende a cero. A ese término usualmente se le llama término transitorio; los demás términos se llaman parte de estado estable de la solución. En este caso, E0R también se llama corriente de estado estable; para valores grandes de tiempo resulta que la corriente está determinada tan sólo por la ley de Ohm (E iR). COMENTARIOS La solución P(t) P0 e 0.4055t del problema con valores iniciales del ejemplo 1 describe la población de una colonia de bacterias a cualquier tiempo t 0. Por supuesto, P(t) es una función continua que toma todos los números reales del intervalo P0 P . Pero como estamos hablando de una población, el sentido común indica que P puede tomar sólo valores positivos. Además, no esperaríamos que la población crezca continuamente, es decir, cada segundo, cada microsegundo, etc., como lo predice nuestra solución; puede haber intervalos de tiempo [t1, t2], en los que no haya crecimiento alguno. Quizá, entonces, ODJUi¿FDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D VHDXQDGHVFULSFLyQPiVUHDOGH PTXHODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQH[SRQHQFLDO&RQIUHFXHQFLDXVDUXQDIXQFLyQ continua para describir un fenómeno discreto es más conveniente que exacto. 6LQ HPEDUJR SDUD FLHUWRV ¿QHV QRV SRGHPRV VHQWLU VDWLVIHFKRV VL HO PRGHOR describe con gran exactitud el sistema, considerado macroscópicamente en el WLHPSRFRPRVHPXHVWUDHQODV¿JXUDV E \ F PiVTXHPLFURVFySLFDPHQWHFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D P P P P0 P0 P0 t1 t2 a) 1 t 1 t b) 1 t c) FIGURA 3.1.10 El crecimiento poblacional es un proceso discreto. EJERCICIOS 3.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-3. Crecimiento y decrecimiento 1. Se sabe que la población de una comunidad crece con una rapidez proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial P0 se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? 2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es de 10 000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial P0? ¿Cuál será la población en 10 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t 10? Después de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Después de 10 horas hay 2 000 bacterias presentes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? 5. El isótopo radiactivo del plomo Pb-209, decae con una rapidez proporcional a la cantidad presente al tiempo t y tiene un vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de este isótopo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%? 6. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si la rapidez de decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que queda después de 24 horas. 3. La población de un pueblo crece con una rapidez proporcional a la población en el tiempo t. La población inicial de 500 aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t 30? 7. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del problema 6. 4. La población de bacterias en un cultivo crece con una rapidez proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t. 8. a) El problema con valores iniciales dAdt kA, A(0) A0 es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. 92 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Demuestre que, en general, la vida media T de la sustancia es T (ln 2)k. b) Demuestre que la solución del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A(t) A02t/T. c) Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada en el inciso a), ¿cuánto tiempo le tomará a una cantidad inicial A0 de sustancia decaer a 18 A0? 10. Cuando el interés es compuesto continuamente, la cantidad de dinero aumenta con una tasa proporcional a la cantidad presente S al tiempo t, es decir, dSdt rS, donde r es la tasa de interés anual. a) &DOFXOHODFDQWLGDGUHXQLGDDO¿QDOGHDxRVFXDQGRVHGHpositan $5 000 en una cuenta de ahorro que rinde el 5.75% de interés anual compuesto continuamente. b) ¿En cuántos años se habrá duplicado el capital inicial? c) Utilice una calculadora para comparar la cantidad obtenida en el inciso a) con la cantidad S 5 000(1 14(0.0575))5(4) que se reúne cuando el interés se compone trimestralmente. Datado con carbono Pintura rupestre que muestra un caballo y una vaca, c. 17000 ac (pintura rupestre), Prehistoric / Caves of Lascaux, Dordogne, Francia / Bridgeman Imágenes 11. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal, encontradas en el lugar para datar pinturas prehistóricas de SDUHGHV\WHFKRVGHXQDFDYHUQDHQ/DVFDX[)UDQFLD9HDOD¿JXUD 3.1.11. Utilice la información de la página 87 para precisar la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determinó que 85.5% de su C-l4 encontrado en los árboles vivos del mismo tipo se había desintegrado. FIGURA 3.1.11 Pintura en una caverna del problema 11. 12. El sudario de Turín muestra el negativo de la imagen del cuerpo GHXQKRPEUHTXHSDUHFHTXHIXHFUXFL¿FDGRPXFKDVSHUVRQDV creen que es el sudario del entierro de Jesús de Nazaret. Vea la ¿JXUD(QHO9DWLFDQRFRQFHGLySHUPLVRSDUDGDWDU FRQFDUERQRHOVXGDULR7UHVODERUDWRULRVFLHQWt¿FRVLQGHSHQdientes analizaron el paño y concluyeron que el sudario tenía una antigüedad de 660 años, una antigüedad consistente con su aparición histórica. Usando esta antigüedad determine qué porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el paño en 1988. © Source: Wikipedia.org 9. Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio transparente, la rapidez con que decrece su intensidad I es proporcional a I(t), donde t representa el espesor, en metros, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 1 metro deEDMR GH OD VXSHU¿FLH HV GH OD LQWHQVLGDG LQLFLDO I0 del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 5 metros GHEDMRGHODVXSHU¿FLH" FIGURA 3.1.12 Imagen del sudario del problema 12. Ley de Newton enfriamiento/calentamiento 13. Un termómetro se cambia de una habitación cuya temperatura es de 21 °C al exterior, donde la temperatura del aire es de 12 °C. Después de medio minuto el termómetro indica 10 °C. ¿Cuál es la lectura del termómetro en t 1 min? ¿Cuánto tiempo le tomará al termómetro alcanzar los 9 °C? 14. Un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 15° C. Después de 1 minuto, el termómetro indica 13 °C y después de 5 minutos indica 1 °C. ¿Cuál era la temperatura inicial de la habitación? 15. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20 °C, se deja caer en un gran tanque de agua hirviendo. ¿Cuánto tiempo tardará la barra en alcanzar los 90 °C si se sabe que su temperatura aumentó 2° en 1 segundo? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar los 98 °C? 16. Dos grandes tanques A y BGHOPLVPRWDPDxRVHOOHQDQFRQÀXLGRVGLIHUHQWHV/RVÀXLGRVHQORVWDQTXHVA y B se mantienen a 0 °C y a 100 °C, respectivamente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es 100 °C, se sumerge dentro del tanque A. Después de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90 °C. Después de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se trans¿HUHDORWURWDQTXH'HVSXpVGHPLQXWRHQHOWDQTXHB la temperatura se eleva 10 °C. ¿Cuánto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomará a la barra alcanzar los 99.9 °C? 17. Un termómetro que indica 21 °C se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. A través de una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que el termómetro lee 43 °C después de 21 minuto y 63 °C después de 1 minuto. ¿Cuál es la temperatura del horno? 18. Al tiempo t 0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia química está inmerso en un baño líquido. La temperatura 3.1 inicial de la sustancia química en el tubo de ensayo es de 27 °C. El baño líquido tiene una temperatura controlada (medida en grados Celsius) dada por Tm(t) 38 – 22 e0.1t, t 0, donde t se mide en minutos. a) Suponga que k 0.1 en la ecuación (2). Antes de resolver el PVI, describa con palabras cómo espera que sea la temperatura T(t) de la sustancia química a corto plazo, y también a largo plazo. b) Resuelva el problema con valores iniciales. Use un proJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHT(t) en difeUHQWHVLQWHUYDORVGHWLHPSR¢/DVJUi¿FDVFRQFXHUGDQFRQ sus predicciones del inciso a)? 19. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 21 °C. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 29 °C. Una hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 27 °C. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t 0 y que la temperatura del corazón en ese momento era de 37 °C. Determine cuántas horas pasaron antes de que se encontrará el cadáver. [Sugerencia: Sea que t1 0 denote el tiempo en que se encontró el cadáver.] 20. La rapidez con la que un cuerpo se enfría también depende de su iUHDVXSHU¿FLDOH[SXHVWDS. Si S es una constante, entonces una PRGL¿FDFLyQGHODHFXDFLyQ HV dT kS(T Tm), dt donde k 0 y Tm es una constante. Suponga que dos tazas A y B están llenas de café al mismo tiempo. Inicialmente la temperatura GHOFDIpHVGH&(OiUHDVXSHU¿FLDOGHOFDIpHQODWD]DB es del GREOHGHOiUHDVXSHU¿FLDOGHOFDIpHQODWD]DA. Después de 30 min la temperatura del café en la taza A es de 38 °C. Si Tm 21 °C, entonces ¿cuál es la temperatura del café de la taza B después de 30 min? Mezclas 21. Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el que se han disuelto 30 g de sal. Salmuera que tiene 1 g de sal por litro entra al tanque con una rapidez de 4 L/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma rapidez. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t. 22. Resuelva el problema 21 suponiendo que al tanque entra agua pura. 23. Un gran tanque de 2000 L está lleno de agua pura. Le entra salPXHUDTXHWLHQHNJGHVDOSRUJDOyQFRQXQDUDSLGH]GH L/min. La solución bien mezclada sale del tanque con la misma rapidez. Determine la cantidad A(t GH NLORJUDPRV GH VDO TXH hay en el tanque al tiempo t. 24. En el problema 23, ¿cuál es la concentración c(t) de sal en el tanque al tiempo t? ¿Y al tiempo t 5 min? ¿Cuál es la concentración en el tanque después de un largo tiempo, es decir, conforme t A ? ¿Para qué tiempo la concentración de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor límite? 25. Resuelva el problema 23 suponiendo que la solución sale con una razón de 40 L/min. ¿Cuándo se vacía el tanque? MODELOS LINEALES O 93 26. Determine la cantidad de sal en el tanque al tiempo t en el ejemplo 5 si la concentración de sal que entra es variable y está dada por centra(t) 0.25 sen(t NJ/6LQWUD]DUODJUi¿FDLQ¿HUDDTXp curva solución del PVI se parecería. Después utilice un programa GHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQHQHOLQWHUYDOR >@5HSLWDSDUDHOLQWHUYDOR>@\FRPSDUHVXJUi¿FDFRQ ODTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D 27. 8QJUDQWDQTXHHVWiSDUFLDOPHQWHOOHQRFRQ/GHÀXLGRHQ ORVTXHVHGLVROYLHURQNJGHVDO/DVDOPXHUDWLHQHNJ de sal por litro que entra al tanque a razón de 20 L/min. La solución bien mezclada sale del tanque a razón de 15 L/min. Determine la FDQWLGDGGHNJGHVDOTXHKD\HQHOWDQTXHGHVSXpVGHPLQXWRV 28. En el ejemplo 5, no se dio el tamaño del tanque que tiene la solución salina. Suponga, como en el análisis siguiente al ejemplo 5, que la rapidez con que entra la solución al tanque es de 10 L/min pero que la solución bien mezclada sale del tanque con una rapidez de 9 L/min. Esta es la razón por la cual dado que la salmuera se está acumulando en el tanque a razón de 1 L/min, cualquier tanque GHWDPDxR¿QLWRWHUPLQDUiGHUUDPiQGRVH$KRUDVXSRQJDTXHHO tanque está destapado y tiene una capacidad de 1300 L. a) ¿Cuándo se derramará el tanque? b) ¢ &XiQWDVNLORJUDPRVGHVDOKDEUiHQHOWDQTXHFXDQGRFRmience a derramarse? c) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera continúa entrando con una rapidez de 10 L/min, que la solución está bien mezclada y que la solución sigue saliendo con una rapidez de 9 L/min. Determine un método para encontrar la cantidad de NLORJUDPRVGHVDOTXHKD\HQHOWDQTXHDOWLHPSRt 150 min. d) &DOFXOH OD FDQWLGDG GH NLORJUDPRV GH VDO HQ HO WDQTXH FRQforme t A . ¿Su respuesta coincide con su intuición? e) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGH A(t) en el intervalo [0, 500). Circuitos en serie 29. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0) 0. Determine la corriente conforme t A . 30. Resuelva la ecuación (7) suponiendo que E(t) E0 sen tt y que i(0) i0. 31. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de l04 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) 0. Encuentre la corriente i(t). 32. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5 106 farads. Determine la carga q(t) en el capacitor, si i(0) 0.4. Determine la carga y la corriente en t 0.005 s. Encuentre la carga conforme t A . 33. Se aplica una fuerza electromotriz E(t) 120, 0, 0 t t 20 s 20 s a un circuito en serie LR en el que la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohms. Determine la corriente i(t), si i(0) 0. 94 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 34. Un circuito en serie LR tiene un inductor variable con la inducWDQFLDGH¿QLGDSRU 1 2 0.1t, 0 # t , 10 L(t) 5 t . 10. 0, 5 Encuentre la corriente i(t) si la resistencia es de 0.2 ohm, el voltaje aplicado es E(t YROWV\i 7UDFHODJUi¿FDGH i(t). Modelos lineales adicionales 35. Resistencia del aire En la ecuación (14) de la sección 1.3 vimos que una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es m que la constante de proporcionalidad es k 0.0025. [Sugerencia: 0RGL¿TXHOLJHUDPHQWHOD('GHOSUREOHPD@ 38. Paracaidismo Una paracaidista pesa 550 N y su paracaídas y equipo juntos pesan otras 160 N. Después de saltar del avión desde una altura de 4500 m, la paracaidista espera 15 segundos y abre su paracaídas. Suponga que la constante de proporcionalidad del modelo del problema 35 tiene el valor k 7 durante la caída libre y k 145 después de que se abrió el paracaídas. Suponga que su velocidad inicial al saltar del avión es igual a cero. ¿Cuál es la velocidad de la paracaidista y qué distancia ha recorrido desSXpVGHVHJXQGRVGHTXHVDOWyGHODYLyQ"9HDOD¿JXUD ¿Cómo se compara la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal? ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? [Sugerencia: Piense en función de dos diferentes PVI.] dv mg kv, dt donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La dirección positiva se toma hacia abajo. a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v(0) v0. b) Utilice la solución del inciso a) para determinar la velocidad límite o terminal de la masa. Vimos cómo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.1. c) Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por dsdt v(t), determine una expresión explícita para s(t), si s(0) 0. 36. ¿Qué tan alto? (Sin resistencia del aire) Suponga que una pequeña bala de cañón que pesa 75 N se dispara verticalmente hacia DUULEDFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDFRQXQDYHORFLGDGLQLcial de v0 90 m/s. La respuesta a la pregunta “¿Qué tanto sube la bala de cañón?”, depende de si se considera la resistencia del aire. a) b) Suponga que se desprecia la resistencia del aire. Si la dirección es positiva hacia arriba, entonces un modelo para la bala del cañón está dado por d 2sdt 2 g (ecuación (12) de la sección 1.3). Puesto que dsdt v(t) la última ecuación diferencial es la misma que la ecuación dvdt g, donde se toma g 9.8 m/s2. Encuentre la velocidad v(t) de la bala de cañón al tiempo t. Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura s(t) de la bala de cañón medida desde el nivel del suelo. Determine la altura máxima que alcanza la bala. −mg nivel del suelo caída libre la resistencia del aire es 7 v la resistencia del aire es 145 v FIGURA 3.1.14 el paracaídas se abre t = 20 s Cálculo del tiempo que tarda en llegar al suelo del problema 38. 39. Movimiento de cohete Supongamos un pequeño cohete de una etapa de total masa m(t) es lanzado verticalmente, la dirección positiva es hacia arriba, la resistencia del aire es lineal y el cohete consume su combustible a un ritmo constante. En el problema 22 de los ejercicios 1.3 se le pidió utilizar la segunda ley de Newton del movimiento en la forma dada en (17) de ese conjunto de ejercicios para demostrar que un modelo matemático para la velocidad v(t) del cohete está dada por dv R , k2␭ v 5 2g 1 1 dt m0 2 ␭t m0 2 ␭t donde k es la constante de proporcionalidad de la resistencia del aire, Ȝ es la rapidez constante a la que se consume combustible, R es el empuje del cohete, m (t m0 - Ȝt, m0 es la masa total del cohete en t \g es la aceleración debido a la gravedad. a) Encuentre la velocidad v(t) del cohete si m0 NJR 2000 N, Ȝ NJVg PV2, k NJV\v b) Utilice ds/dt v y el resultado del inciso a) para encontrar la altura s(t) del cohete al tiempo t. 40. Movimiento del cohete, continuación En el problema 39 se supuso que la masa inicial del cohete m0\TXHNJHVODPDVD del combustible. FIGURA 3.1.13 Determinación a) de la altura máxima de la bala de cañón del problema 36. ¿Cuál es el tiempo de quemado tb, o el tiempo en que se consume el combustible? b) ¿Cuál es la velocidad del cohete durante el quemado? 37. ¿Qué tan alto? (Resistencia lineal del aire) Repita el problema 36, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. Esta es la razón por la que la altura máxima que alcanza la bala del cañón debe ser menor que la del inciso b) del problema 36. Demuestre esto suponiendo c) ¿Cuál es la altura del cohete en el tiempo de quemado? d) ¿Esperaría que el cohete alcance una altura mayor que la cantidad del inciso b)? e) Después del tiempo de quemado ¿Cuál es el modelo matemático para la velocidad del cohete? 3.1 41. Evaporación de una gota de lluvia Cuando cae una gota de lluvia, ésta se evapora mientras conserva su forma esférica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evaSRUDODJRWDGHOOXYLDHVSURSRUFLRQDODVXiUHDVXSHU¿FLDO\TXHVH desprecia la resistencia del aire, entonces un modelo para la velocidad v(t) de la gota de lluvia es b) O 95 Resuelva la ED sujeta a x(0) 'LEXMHODJUi¿FDGHx(t) y compruebe su predicción del inciso a). ¿En cuánto tiempo la concentración es la mitad del valor límite? 46. Memorización Cuando se considera la falta de memoria, la rapidez de memorización de un tema está dada por dA k1(M A) k2 A, dt dv 3(k/) v g. dt (k/)t r0 Aquí l es la densidad del agua, r0 es el radio de la gota de lluvia en t 0, k 0 es la constante de proporcionalidad y la dirección hacia abajo se considera positiva. a) Determine v(t) si la gota de lluvia cae a partir del reposo. b) Vuelva a leer el problema 36 de los ejercicios 1.3 y demuestre que el radio de la gota de lluvia en el tiempo t es r(t) (kl)t r0. c) Si r0 3 mm y r 2 mm, 10 segundos después de que la gota cae desde una nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por completo. 42. Fluctuación de la población La ecuación diferencial dPdt (k cos t)P, donde k es una constante positiva, es un modelo matemático para una población P(t TXHH[SHULPHQWDÀXFWXDFLRnes anuales. Resuelva la ecuación sujeta a P(0) P0. Utilice un SURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQSDUD diferentes elecciones de P0. 43. Modelo poblacional En un modelo del cambio de población de P(t) de una comunidad, se supone que dP dB dD , dt dt dt donde dBdt y dDdt son las tasas de natalidad y mortandad, respectivamente. a) Determine P(t) si dBdt k1P y dDdt k2P. b) Analice los casos k1 k2, k1 k2 y k1 k2. 44. Modelo de cosecha constante Un modelo que describe la población de una pesquería en la que se cosecha con una tasa constante está dada por dP kP h, dt donde k y h son constantes positivas. a) Resuelva la ED sujeta a P(0) P0. b) Describa el comportamiento de la población P(t) conforme pasa el tiempo en los tres casos P0 hk, P0 hk y 0 P0 hk. c) Utilice los resultados del inciso b) para determinar si la poEODFLyQGHSHFHVGHVDSDUHFHUiHQXQWLHPSR¿QLWRHVGHFLU si existe un tiempo T 0 tal que P(T) 0. Si la población desaparecerá, entonces determine en qué tiempo T. 45. Diseminación de un medicamento Un modelo matemático para la rapidez con la que se disemina un medicamento en el torrente sanguíneo está dado por dx r kx, dt donde k1 0, k2 0, A(t) es la cantidad memorizada al tiempo t, M es la cantidad total a memorizarse y M A es la cantidad que falta por memorizar. a) Puesto que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el valor límite de A(t) conforme t A,QWHUSUHWHHOUHVXOWDGR b) Resuelva la ED sujeta a A(0) 'LEXMHODJUi¿FDGHA(t) y compruebe su predicción del inciso a). 47. Marcapasos de corazón (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUD XQ marcapasos de corazón, que consiste en un interruptor, una batería, un capacitor y el corazón como un resistor. Cuando el interruptor S está en P, el capacitor se carga; cuando S está en Q el capacitor se descarga, enviando estímulos eléctricos al corazón. En el problema 58 de los ejercicios 2.3 vimos que durante este tiempo en que se están aplicado estímulos eléctricos al corazón, el voltaje E a través del corazón satisface la ED lineal dE 1 E. dt RC a) Suponga que en el intervalo de tiempo de duración t1, 0 t t1, el interruptor S está en la posición P como se muestra HQOD¿JXUD\HOFDSDFLWRUVHHVWiFDUJDQGR&XDQGR el interruptor se mueve a la posición Q al tiempo t1 el capacitor se descarga, enviando un impulso al corazón durante el intervalo de tiempo de duración t2: t1 t t1 t2. Por lo que el intervalo inicial de carga descarga 0 t t1 t2 el voltaje en el corazón se modela realmente por la ecuación GLIHUHQFLDOGH¿QLGDHQWUDPRV 0, 0t dE 1 dt E, t1 t RC Ya que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el valor de x(t) conforme t A . t1 t1 t2. Al moverse S entre P y Q, los intervalos de carga y descarga de duraciones t1 y t2 VH UHSLWHQ LQGH¿QLGDmente. Suponga que t1 4 s, t2 2 s, E0 12 V, E(0) 0, E(4) 12, E(6) 0, E(10) 12, E(12) 0, etc. Determine E(t) para 0 t 24. corazón R Q interruptor P S donde r y k son constantes positivas. Sea x(t) la función que describe la concentración de la medicina en el torrente sanguíneo al tiempo t. a) MODELOS LINEALES C E0 FIGURA 3.1.15 Modelo de un marcapasos del problema 47. 96 O b) CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Suponga para ilustrar que R C 1. Utilice un programa GHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHO39, del inciso a) para 0 t 24. 49. 48. Deslizamiento de una caja a) Una caja de masa m se desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo e con la KRUL]RQWDOFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD'HWHUPLQHXQD ecuación diferencial para la velocidad v(t) de la caja al tiempo t para cada uno de los casos siguientes: i) b) Deslizamiento de una caja, continuación. a) En el problema 48 sea s(t) la distancia medida hacia abajo del plano inclinado desde el punto más alto. Utilice dsdt v(t) y la solución de cada uno de los tres casos del inciso b) del problema 48 para determinar el tiempo que le toma a la caja deslizarse completamente hacia abajo del plano inclinado. Aquí puede ser útil un programa para determinar raíces con un SAC. En el caso en que hay fricción (+ 0) pero no hay resistencia del aire, explique por qué la caja no se desliza hacia abajo comenzando desde el reposo desde el punto más alto arriba del suelo cuando el ángulo de inclinación ș satisface a tan e +. No hay fricción cinética y no hay resistencia del aire. Hay fricción cinética y no hay resistencia del aire. Hay fricción cinética y hay resistencia del aire. c) En los casos ii) y iii) utilice el hecho de que la fuerza de fricción que se opone al movimiento es +N, donde + es el FRH¿FLHQWHGHIULFFLyQFLQpWLFD\N es la componente normal del peso de la caja. En el caso iii) suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. La caja se deslizará hacia abajo del plano conforme tan e + si a ésta se le proporciona una velocidad inicial v(0) v0 0. Suponga que 13 4 y ș 23°. Compruebe que tan ș +. ¿Qué distancia se deslizará hacia abajo del plano si v0 0.3 m/s? d) 13 4 y e 23° para aproximar Utilice los valores la menor velocidad inicial v0 que puede tener la caja, para que a partir del reposo a 15 m arriba del suelo, se deslice por todo el plano inclinado. Después encuentre el tiempo que tarda en deslizarse el plano. ii) iii) b) En el inciso a), suponga que la caja pesa 440 N, que el ángulo de inclinación del plano es e TXHHOFRH¿FLHQWH de fricción cinética es 13 4, y que la fuerza de retardo debida a la resistencia del aire es numéricamente igual a 3.75v. Resuelva la ecuación diferencial para cada uno de los tres casos, suponiendo que la caja inicia desde el reposo desde el punto más alto a 15 m por encima del suelo. 50. Todo lo que sube . . . a) Es bien conocido que el modelo que desprecia la resistencia del aire, inciso a) del problema 36, predice que el tiempo ta que tarda la bala de cañón en alcanzar su altura máxima es el mismo tiempo td que tarda la bala de cañón en llegar al suelo. Además la magnitud de la velocidad de impacto vi es igual a la velocidad inicial v0 de la bala de cañón. Compruebe ambos resultados. fricción movimiento W = mg 15 m θ FIGURA 3.1.16 Caja deslizándose hacia abajo por plano b) Después, utilizando el modelo del problema 37 que considera la resistencia del aire, compare el valor de ta con td y el valor de la magnitud de vi con v0. Aquí puede ser útil un programa para determinar raíces con un SAC (o una calcuODGRUDJUD¿FDGRUD inclinado del problema 48. 3.2 MODELOS NO LINEALES INTRODUCCIÓN Terminamos nuestro estudio de ecuaciones diferenciales de primer orden simples con el análisis de algunos modelos no lineales. DINÁMICA POBLACIONAL Si P(t) es el tamaño de una población al tiempo t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dPdt kP para cierta k 0. En este modelo, la WDVDHVSHFt¿FDo relativa de crecimiento,GH¿QLGDSRU dP>dt P (1) es una constante k. Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento de la población. Por lo que para otros modelos, se puede esperar que la tasa (1) decrezca conforme la población P aumenta de tamaño. 3.2 MODELOS NO LINEALES O 97 La hipótesis de que la tasa con que crece (o decrece) una población sólo depende del número presente P y no de mecanismos dependientes del tiempo, como los fenómenos estacionales (vea el problema 33, en los ejercicios 1.3), se puede enunciar como: dP>dt f (P) P o dP Pf (P). dt (2) Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos de población de animales, se denomina hipótesis de dependencia de densidad. f(P) ECUACIÓN LOGÍSTICA Supóngase que un medio es capaz de sostener, como máximo, una cantidad K determinada de individuos en una población. La cantidad K se llama capacidad de sustento del ambiente. Así para la función f en la ecuación (2) se tiene que f (K) 0 y simplemente hacemos f (0) r(QOD¿JXUDYHPRVWUHVIXQFLRnes que satisfacen estas dos condiciones. La hipótesis más sencilla es que f (P) es lineal, es decir, f (P) c1P c2. Si aplicamos las condiciones f (0) r y f (K) 0, tenemos que c2 r y c1 rK, respectivamente, y así f adopta la forma f (P) r (rK)P. Entonces la ecuación (2) se convierte en r K P FIGURA 3.2.1 La suposición más simple para f (P) es una recta (color azul). dP r P r P . dt K (3) 5HGH¿QLHQGRODVFRQVWDQWHVODHFXDFLyQQROLQHDO HVLJXDOD dP P(a bP). dt (4) Alrededor de 1840, P. F. Verhulst (1804-1849), matemático y biólogo belga, investigó modelos matemáticos para predecir la población humana en varios países. Una de las ecuaciones que estudió fue la (4), con a 0 y b 0. Esa ecuación se llegó a conocer como ecuación logística y su solución se denomina función logística. La JUi¿FDGHXQDIXQFLyQORJtVWLFDHVODcurva logística. La ecuación diferencial dPdt kP QR HV XQ PRGHOR PX\ ¿HO GH OD SREODFLyQ cuando ésta es muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblación, se presentan efectos negativos sobre el ambiente como contaminación y exceso de demanda de alimentos y combustible, esto puede tener un efecto inhibidor en el crecimiento para la población. Como veremos a continuación, la solución de la ecuación (4) está acotada conforme t A . Si se rescribe (4) como dPdt aP bP2, el término no lineal bP2, b 0 se puede interpretar como un término de “inhibición” o “competencia”. También, en la mayoría de las aplicaciones la constante positiva a es mucho mayor que b. Se ha comprobado que las curvas logísticas predicen con bastante exactitud el crecimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de agua (Dafnia) y moscas de la fruta ('URVy¿OD) en un espacio limitado. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LOGÍSTICA Uno de los métodos para resolver la ecuación (4) es por separación de variables. Al descomponer el lado izquierdo de dPP(a bP) dt en fracciones parciales e integrar, se obtiene 1>aP a b>abP dP dt 1 1 ln P ln a bP t c a a ln P at ac a bP P c1eat. a bP 98 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ac1eat ac1 P(t) . De la última ecuación se tiene que at 1 bc1e bc1 eat Si P(0) P0, P0 ab, encontramos que c1 P0(a bP0) y así, sustituyendo y VLPSOL¿FDQGRODVROXFLyQVHFRQYLHUWHHQ P(t) aP0 . bP0 (a bP0)eat (5) GRÁFICAS DE P(t ) La forma básica de la función logística P(t) se puede obtener sin mucho esfuerzo. Aunque la variable t usualmente representa el tiempo y raras veces se consideran aplicaciones en las que t 0, tiene cierto interés incluir este intervalo al PRVWUDUODVGLIHUHQWHVJUi¿FDVGHP. De la ecuación (5) vemos que P(t) → aP0 bP0 a b cuando t→ y P(t) → 0 cuando t→ . La línea punteada P a2bGHOD¿JXUDFRUUHVSRQGHDODRUGHQDGDGHXQSXQWRGH LQÀH[LyQGHODFXUYDORJtVWLFD3DUDGHPRVWUDUHVWRGHULYDPRVODHFXDFLyQ XVDQGR la regla del producto: dP dP dP d 2P P b (a bP) (a 2bP) 2 dt dt dt dt P(a bP)(a 2bP) 2b2P P P 2ba . a b Recuerde, de cálculo, que los puntos donde d 2Pdt 2 0 son posibles puntos de inÀH[LyQSHURREYLDPHQWHVHSXHGHQH[FOXLUP 0 y P ab. Por tanto P a2b es el único valor posible para la ordenada en la cual puede cambiar la concavidad de la JUi¿FD3DUD P a2b se tiene que P 0, y a2b P ab implica que P $VtFXDQGRVHOHHGHL]TXLHUGDDGHUHFKDODJUi¿FDFDPELDGHFyQFDYDKDFLDDUULEDD cóncava hacia abajo, en el punto que corresponde a P a2b. Cuando el valor inicial satisface a 0 P0 a2bODJUi¿FDGHP(t) adopta la forma de una S, como se ve en la ¿JXUD E 3DUDa2b P0 abODJUi¿FDD~QWLHQHODIRUPDGH6SHURHOSXQWR GHLQÀH[LyQRFXUUHHQXQYDORUQHJDWLYRGHtFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD F P P0 P P a/b a/b a/2b a/2b a/b P0 a/2b P0 t (a) t (b) t (c) FIGURA 3.2.2 Curvas logísticas para diferentes condiciones iniciales. En la ecuación (5) de la sección 1.3 ya hemos visto a la ecuación (4) en la forma dxdt kx(n 1 – x), k 0. Esta ecuación diferencial presenta un modelo razonable para describir la propagación de una epidemia que comienza cuando se introduce una persona infectada en una población estática. La solución x(t) representa la cantidad de personas que contraen la enfermedad al tiempo t. 3.2 EJEMPLO 1 MODELOS NO LINEALES O 99 Crecimiento logístico Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a un campus aislado de 1000 estudiantes. Si se supone que la rapidez con que se propaga el virus no sólo a la cantidad x de estudiantes infectados sino también a la cantidad de estudiantes no infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados después de 6 días si además se observa que después de cuatro días x(4) 50. x = 1000 x SOLUCIÓN Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad, debemos resolver el problema con valores iniciales dx kx(1000 x), x(0) 1. dt 500 ,GHQWL¿FDQGRa 1000k y b k, vemos de inmediato en la ecuación (5) que 5 10 a) (a) t (días) 4 5 6 7 8 9 10 x(t) t 1000k 1000 . 1000kt k 999ke 1 999e1000kt Ahora, usamos la información x(4) 50 y calculamos k con x (número de infectados) 50 (observados) 124 276 507 735 882 953 50 1000 . 1 999e4000k 19 0.9906. Por tanto Encontramos 1000k 14 1n 999 x(t) Finalmente, x(6) 1 1000 . 999e 0.9906t 1000 276 estudiantes. 1 999e5.9436 b) FIGURA 3.2.3 El número de estudiantes infectados en en elejmplo 1. (QODWDEODGHOD¿JXUD E VHGDQRWURVYDORUHVFDOFXODGRVGHx(t). Note que el número de estudiantes infectados x(t) se acerca a 1000 conforme crece t. MODIFICACIONES DE LA ECUACIÓN LOGÍSTICA Hay muchas variaciones de la ecuación logística. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales dP P(a bP) h dt y dP P(a bP) h dt (6) podrían servir, a su vez, como modelos para la población de una pesquería donde el pez se pesca o se reabastece con una rapidez h. Cuando h 0 es una constante, las ED en las ecuaciones (6) se analizan cualitativamente de manera fácil o se resuelven analíticamente por separación de variables. Las ecuaciones en (6) también podrían servir como modelos de poblaciones humanas que decrecen por emigración o que crecen por inmigración, respectivamente. La rapidez h en las ecuaciones (6) podría ser función del tiempo t o depender de la población; por ejemplo, se podría pescar periódicamente o con una rapidez proporcional a la población P al tiempo t. En el último caso, el modelo sería P P(a – bP) – cP, c 0. La población humana de una comunidad podría cambiar debido a la inmigración de manera que la contribución debida a la inmigración sea grande cuando la población P de la comunidad era pequeña pero pequeña cuando P es grande; entonces un modelo razonable para la población de la comunidad sería Pv P(a bP) cekP, c 0, k 0. Vea el problema 24 de los ejercicios 3.2. Otra ecuación de la forma dada en (2), dP P(a b ln P), dt (7) 100 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN HVXQDPRGL¿FDFLyQGHODHFXDFLyQORJtVWLFDFRQRFLGDFRPRODecuación diferencial de Gompertz, llamada así por el matemático inglés Benjamin Gompertz (1779-1865). Esta ED algunas veces se usa como un modelo en el estudio del crecimiento o decrecimiento de poblaciones, el crecimiento de tumores sólidos y cierta clase de predicciones actuariales. Vea el problema 8 de los ejercicios 3.2. REACCIONES QUÍMICAS Suponga que a gramos de una sustancia química A se combinan con b gramos de una sustancia química B. Si hay M partes de A y N partes de B formadas en el compuesto y X(t) es el número de gramos de la sustancia química C formada, entonces el número de gramos de la sustancia química A y el número de gramos de la sustancia química B que quedan al tiempo t son, respectivamente, a M X MN b y N X. MN La ley de acción de masas establece que cuando no hay ningún cambio de temperatura, la rapidez con la que reaccionan las dos sustancias es proporcional al producto de las cantidades de A y B que aún no se han transformado al tiempo t : b M N N X. dX M a X dt MN (8) Si se saca el factor M(M N) del primer factor y N(M N) del segundo y se introduce una constante de proporcionalidad k 0, la expresión (8) toma la forma dX (9) k( X)( X), dt donde _ a(M N )M y ` b(M N )N. Recuerde de (6) en la sección 1.3 que una reacción química gobernada por la ecuación diferencial no lineal (9) se conoce como una reacción de segundo orden. EJEMPLO 2 Reacción química de segundo orden Cuando se combinan dos sustancias químicas A y B se forma un compuesto C. La reacción resultante entre las dos sustancias químicas es tal que por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C. Determine la cantidad de C en el tiempo t si la rapidez de la reacción es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y si inicialmente hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos? Interprete la solución conforme t A . SOLUCIÓN Sea X(t) la cantidad de gramos del compuesto C presentes en el tiempo t. Es obvio que X(0) 0 g y X(10) 30 g. Si, por ejemplo, hay 2 gramos del producto C, hemos debido usar, digamos, a gramos de A y b gramos de B, así a b 2 y b 4a. Por tanto, debemos usar a 25 2 15 de la sustancia química A y b 85 2 45 g de B. En general, para obtener X gramos de C debemos usar 1 4 X gramos de A X gramos de .B. y 5 5 Entonces las cantidades de A y B que quedan al tiempo t son respectivamente () () 50 1 X 5 y 32 4 X, 5 Sabemos que la rapidez con la que se forma el compuesto C satisface que 32 54 X. dX 1 50 X dt 5 3.2 X X = 40 MODELOS NO LINEALES O 101 3DUDVLPSOL¿FDUODVRSHUDFLRQHVDOJHEUDLFDVVXEVHFXHQWHVIDFWRUL]DPRV 15 del primer término y 45 del segundo y después introducimos la constante de proporcionalidad: dX k(250 X)(40 X). dt Separamos variables y por fracciones parciales podemos escribir que 1 210 250 X dX 1 210 40 X dX k dt. Al integrar se obtiene 10 20 30 40 t a) t (min) 10 15 20 25 30 35 X (g) 30 (medido) 34.78 37.25 38.54 39.22 39.59 b) FIGURA 3.2.4 Número de gramos del compuesto C en el ejemplo 2. In X X 250 40 210kt c1 X X 250 40 o c2e210kt. (10) Cuando t 0, X 0, se tiene que en este punto c2 254. Usando X 30 g en t 10 encontramos que 210 k 101 ln 88 25 0.1258. Con esta información se despeja X de la última ecuación (10): X(t) 1000 1 e0.1258t . 25 4e0.1258t (11) De (11) encontramos X(15) 34.78 gramos(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDHOFRPportamiento de X como una función del tiempo. Es claro de la tabla adjunta y de la ecuación (11) que X A 40 conforme t A (VWRVLJQL¿FDTXHVHIRUPDQJUDPRV del compuesto C, quedando 1 50 (40) 42 g de A 5 4 32 (40) 0 g de B. 5 y COMENTARIOS /DLQWHJUDOLQGH¿QLGD du(a 2 u 2) se puede evaluar en términos de logaritmos, tangente hiperbólica inversa, o de la cotangente hiperbólica inversa. Por ejemplo, de los dos resultados du a2 u2 du a 2 u 2 1 tanh a 1 2a 1 In u a a a c, u u u (12) a c, u a, (13) la ecuación (12) puede ser conveniente en los problemas 15 y 26 de los ejercicios 3.2, mientras que la ecuación (13) puede ser preferible en el problema 27. EJERCICIOS 3.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-3. Ecuación logística 1. La cantidad N(t) de supermercados del país que están usando sistemas de revisión computarizados se describe por el problema con valores iniciales dN N(1 0.0005N), N(0) 1. dt a) Use el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para predecir cuántos supermercados se espera que adopten el nuevo procedimiento en un periodo prolongado. A mano, dibuje una curva solución del problema con valores iniciales dados. b) Resuelva el problema con valores iniciales y después XWLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDFRPSUREDU\ trazar la curva solución del inciso a). ¿Cuántas compañías se espera que adopten la nueva tecnología cuando t 10? 2. La cantidad N(t) de personas en una comunidad bajo la LQÀXHQFLD GH GHWHUPLQDGR DQXQFLR HVWi JREHUQDGD SRU la ecuación logística. Inicialmente N(0) 500 y se observa que N(1) 1 000. Determine N(t) si se predice que habrá un límite de 50 000 personas en la comunidad que verán el anuncio. 102 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3. Un modelo para la población P(t) en un suburbio de una gran ciudad está descrito por el problema con valores iniciales dP P(10 1 10 7 P), P(0) 5000, dt donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿Cuánto tardará la población en alcanzar la mitad de ese valor límite? 4. a) En la tabla 3.2.1 se presentan los datos del censo de Estados Unidos entre 1790 y 1950. Construya un modelo de población logístico usando los datos de 1790, 1850 y 1910. b) Construya una tabla en la que se compare la población real del censo con la población predicha por el modelo del inciso a). Calcule el error y el error porcentual para cada par de datos. TABLA 3.2.1 Año 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 Población (en millones) 3.929 5.308 7.240 9.638 12.866 17.069 23.192 31.433 38.558 50.156 62.948 75.996 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697 Modificaciones del modelo logístico 5. a) Si se pesca un número constante h de peces de una pesquería por unidad de tiempo, entonces un modelo para la población P(t) de una pesquería al tiempo t está dado por dP P(a bP) h, P(0) P0, dt donde a, b, h y P0 son constantes positivas. Suponga que a 5, b 1 y h 4. Puesto que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para dibujar curvas solución representativas que corresponden a los casos P0 4, 1 P0 4 y 0 P0 1. Determine el comportamiento de la población a largo plazo en cada caso. b) Resuelva el PVI del inciso a). Compruebe los resultados de su esquema de fase del inciso a) utilizando XQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGH P(t) con una condición inicial tomada de cada uno de los tres intervalos dados. c) Utilice la información de los incisos a) y b) para determinar si la población de la pesquería desaparecerá en XQWLHPSR¿QLWR'HVHUDVtGHWHUPLQHHVHWLHPSR 6. Investigue el modelo de pesca del problema 5 tanto cualitativa como analíticamente en el caso en que a 5, b 1, h 254 . Determine si la población desaparecerá en un WLHPSR¿QLWR'HVHUDVtGHWHUPLQHHVHWLHPSR 7. Repita el problema 6 en el caso a 5, b 1, h 7. 8. a) Suponga a b 1 en la ecuación diferencial de Gompertz, ecuación (7). Puesto que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para dibujar curvas solución representativas correspondientes a los casos P0 e y 0 P0 e. b) Suponga que a 1, b 1 en la ecuación (7). Utilice un nuevo esquema de fase para dibujar las curvas solución representativas correspondientes a los casos P0 e1 y 0 P0 e1. c) Encuentre una solución explícita de la ecuación (7) sujeta a P(0) P0. Reacciones químicas 9. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar la sustancia química C. La rapidez de reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se han convertido en C. Al principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se consumen 2 gramos de A. Se observa que a los cinco minutos se han formado 10 gramos de C. ¿Cuánto se forma en 20 minutos de C? ¿Cuál es la cantidad límite de C a largo plazo? ¿Cuánto de las sustancias A y B queda después de mucho tiempo? 10. Resuelva el problema 9 si hay al principio 100 gramos de la sustancia química A. ¿Cuándo se formará la mitad de la cantidad límite de C? Modelos no lineales adicionales 11. Tanque cilíndrico con gotera Un tanque en forma de un cilindro recto circular en posición vertical está sacando agua por un agujero circular en su fondo. Como se vio en (10) de la sección 1.3, cuando se desprecia la fricción y la contracción del agujero, la altura h del agua en el tanque está descrita por dh A h 12gh, dt Aw donde Aw y Ah son las áreas de sección transversal del agua y del agujero, respectivamente. a) Resuelva la ED si la altura inicial del agua es H. A PDQR GLEXMH OD JUi¿FD GH h(t) y de su intervalo de GH¿QLFLyQI en términos de los símbolos Aw, Ah y H. Utilice g 9.8 m/s2. b) Suponga que el tanque tiene 3 m de altura y un radio de 0.6 m y el agujero circular tiene un radio de 1.2 cm. Si el tanque está inicialmente lleno, ¿cuánto tarda en vaciarse? 3.2 12. Tanque cilíndrico con gotera, continuación Cuando se considera la fricción y contracción del agua en el agujero, el modelo del problema 11 se convierte en dh A c h 12gh, dt Aw donde 0 c 1. ¿Cuánto tarda el tanque del problema 11 b) en vaciarse si c 0.6? Vea el problema 13 de los ejercicios 1.3. 13. Tanque cónico con gotera Un tanque con forma de cono recto con el vértice hacia abajo, está sacando agua por un agujero circular en su fondo. a) Suponga que el tanque tiene 6m de altura y tiene un radio de 3m y el agujero circular mide 5cm de radio. En el problema 14 de los ejercicios 1.3 se le pidió mostrar que la ecuación diferencial que gobierna la altura h del agua que sale del tanque es este modelo, se consideró la fricción y la contracción del agua en el agujero con c 0.6 y el valor de g se tomó de 9.8 m/s2. 9HDOD¿JXUD6LDOSULQFLSLRHOWDQTXHHVWiOOHQR ¿cuánto tarda en vaciarse? b) Suponga que el tanque tiene un ángulo de vértice de 60° y el agujero circular tiene un radio de 5 cm. Determine la ecuación diferencial que gobierna la altura h del agua. Utilice c 0.6 y g 9.8 m/s2. Si al principio la altura del agua es de 3 m, ¿cuánto tarda en vaciarse el tanque? 14. Tanque cónico invertido Suponga que se invierte el tanque cónico del problema 13(a), como se muestra en la ¿JXUD\TXHVDOHDJXDSRUXQDJXMHURFLUFXODUFRQXQ radio de 5 cm en el centro de su base circular. ¿El tiempo en que se vacía el tanque lleno es el mismo que para el tanque FRQHOYpUWLFHKDFLDDEDMRGHOSUREOHPD"7RPHHOFRH¿ciente de fricción/contracción de c 0.6 y g 9.8 m/s2. Aw 6m h 3m FIGURA 3.2.5 Tanque cónico invertido del problema 14. 15. Resistencia del aire Una ecuación diferencial para la velocidad v de una masa m que cae sujeta a la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea es dv m mg kv 2, dt donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La dirección positiva es hacia abajo. a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v(0) v0. MODELOS NO LINEALES O 103 b) Utilice la solución del inciso a) para determinar la velocidad límite, o terminal de la masa. En el problema 41 de los ejercicios 2.1 vimos cómo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED. c) Si la distancia s, medida desde el punto donde se suelta la masa sobre el suelo, está relacionada con la velocidad v por dsdt v(t), encuentre una expresión explícita para s(t) si s(0) 0. 16. ¿Qué tan alto? Resistencia del aire no lineal Considere la bala de cañón de 75 N que se dispara verticalmente hacia arriba en los problemas 36 y 37 en los ejercicios 3.1 con una velocidad inicial v0 90 m. Determine la altura máxima que alcanza la bala si se supone que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. Suponga que la dirección positiva es hacia arriba y tome k 0.0003. [Sugerencia0RGL¿TXH un poco la ED del problema 15.] 17. Esa sensación de hundimiento a) Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de una masa m que se hunde en agua que le da una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea y también ejerce una fuerza boyante hacia arriba cuya magnitud está dada por el principio de Arquímedes. Vea el problema 18 de los ejercicios 1.3. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo. b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). c) Determine la velocidad límite, o terminal, de la masa hundida. 18. Colector solar La ecuación diferencial dy x 1x2 y2 dx y describe la forma de una curva plana C TXH UHÀHMD ORV haces de luz entrantes al mismo punto y podría ser un moGHORSDUDHOHVSHMRGHXQWHOHVFRSLRUHÀHFWRUXQDDQWHQD de satélite o un colector solar. Vea el problema 29 de los ejercicios 1.3. Hay varias formas de resolver esta ED. a) Compruebe que la ecuación diferencial es homogénea (vea la sección 2.5). Demuestre que la sustitución y ux produce u du dx . 2 2 11 u 1 11 u x ( ) Utilice un SAC (u otra sustitución adecuada) para integrar el lado izquierdo de la ecuación. Demuestre que la curva C debe ser una parábola con foco en el origen y simétrica respecto al eje x. b) Demuestre que la ecuación diferencial puede también resolverse por medio de la sustitución u x2 y2. 19. Tsunami a) Un modelo simple para la forma de un tsunami o maremoto, está dado por dW W 14 2W, dx donde W(x) 0 es la altura de la ola expresada como una función de su posición respecto a un punto en 104 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN altamar. Examinando, encuentre todas las soluciones constantes de la ED. b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Un SAC puede ser útil para la integración. c) 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDREWHQHUODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVTXHVDWLVIDFHQODFRQGLFLyQLQLcial W(0) 2. 20. Evaporación Un estanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es R 3 m, que el agua se bombea a una rapidez de / m3/minuto y que al inicio el tanque está YDFtR 9HD OD ¿JXUD &RQIRUPH VH OOHQD HO WDQTXH éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de evaporación es proporcional al área AGHODVXSHU¿FLHVREUH el agua y que la constante de proporcionalidad es k 0.01. a) La rapidez de cambio dVdt del volumen del agua al tiempo t es una rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t. El volumen de agua que VHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVV pRh 2 13ph 3, donde R ([SUHVHHOiUHDGHODVXSHU¿FLHGHODJXDA /r2 en términos de h. b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Trace ODJUi¿FDGHODVROXFLyQ c) Si no hubiera evaporación, ¿cuánto tardaría en llenarse el tanque? d) Con evaporación, ¿cuál es la profundidad del agua en el tiempo que se determinó en el inciso c)? ¿Alguna YH]VHOOHQDUiHOWDQTXH"'HPXHVWUHVXD¿UPDFLyQ Salida: el agua se evapora con una rapidez proporcional al área A de la superficie R h A V r Entrada: el agua se bombea con una rapidez de π m 3/min a) tanque semiesférico FIGURA 3.2.6 b) sección transversal del tanque Estanque decorativo del problema 20. 21. (TXDFLyQGHO¿QGHOPXQGR Considere la ecuación diferencial dP kP1 c dt donde k 0 y c 0. En la sección 3.1 vimos que cuando c 0 la ecuación diferencial lineal dPdt kP es un modelo matemático de una población P(t) que presenta un crecimiento no acotado sobre un intervalo de tiempo in¿QLWR>), es decir P(t) A conforme t A . Vea el ejemplo 1 de la página 85. a) Suponga para c 0.01 que la ecuación diferencial no lineal dP dt kP1.01, k 0 es un modelo matemático para una población de pequeños animales, donde el tiempo t se mide en meses. Resuelva la ecuación diferencial sujeta a la condición inicial P(0) 10 y al hecho de que la población de animales se ha duplicado en 5 meses. b) La ecuación diferencial del inciso a) se denomina HFXDFLyQGHO¿QGHOPXQGR porque la población P(t) presenta un crecimiento no acotado sobre un intervalo GHWLHPSR¿QLWR T), es decir, hay algún tiempo T tal que P(t) A conforme t A T. Encuentre T. c) A partir del inciso a), ¿qué es P(50)? ¿P(100)? 22. Fin del mundo o extinción Suponga que el modelo poEODFLRQDO VHPRGL¿FDDVt dP dt P(bP a) a) Si a 0, b 0, demuestre mediante un diagrama fase (vea la página 40.) que, dependiendo de las condiciones iniciales P(0) P0, el modelo matemático SRGUtDLQFOXLUXQHVFHQDULRGH¿QGHOPXQGR P(t) A ) o un escenario de extinción (P(t) A 0). b) Resuelva el problema con valores iniciales dPdt P(0.0005P 0.1), P(0) 300 'HPXHVWUHTXHHVWHPRGHORSUHGLFHXQ¿QGHOPXQGR SDUDODSREODFLyQHQXQWLHPSR¿QLWRT. c) Resuelva la ecuación diferencial del inciso b) sujeta a la condición inicial P(0) 100. Demuestre que este modelo predice la extinción de la población conforme t A . Problemas de proyecto 23. Recta de regresión Lea en el manual de su SAC acerca de JUi¿FDVGHGLVSHUVLyQ (o diagramas de dispersión) y ajuste de rectas por mínimos cuadrados. La recta que mejor se ajusta a un conjunto de datos se llama recta de regresión o recta de mínimos cuadrados. Su tarea es construir un modelo logísWLFRSDUDODSREODFLyQGH(VWDGRV8QLGRVGH¿QLHQGRf (P) en (2) como una ecuación de una recta de regresión que se basa en los datos de población que aparecen en la tabla del problema 4. Una manera de hacer esto es aproximar el lado izquierdo 1 dP de la primera ecuación en (2), utilizando el coP dt ciente de diferencias hacia adelante en lugar de dPdt: Q(t) 1 P(t h) P(t) . P(t) h a) Haga una tabla de los valores t, P(t) y Q(t) usando t 0, 10, 20, . . . , 160 y h 10. Por ejemplo, el primer renglón de la tabla debería contener t 0, P(0) y Q(0). Con P(0) 3.929 y P(10) 5.308, Q(0) 1 P(10) P(0) 0.035. P(0) 10 3.2 b) c) d) e) f) Observe que Q(160) depende de la población del censo de 1960 P(l70). Busque este valor. Use un SAC para obtener el diagrama de dispersión de los datos (P(t), Q(t)) que se calculó en el inciso a). También utilice un SAC para encontrar una ecuación de ODUHFWDGHUHJUHVLyQ\VXSHUSRQHUVXJUi¿FDHQHOGLDgrama de dispersión. Construya un modelo logístico dPdt Pf (P), donde f (P) es la ecuación de la recta de regresión que se encontró en el inciso b). Resuelva el modelo del inciso c) usando la condición inicial P(0) 3.929. Utilice un SAC para obtener un diagrama de dispersión, esta vez de los pares ordenados (t, P(t)) de su tabla del LQFLVRD 8WLOLFHXQ6$&SDUDVXSHUSRQHUODJUi¿FDGHOD solución del inciso d) en el diagrama de dispersión. Busque los datos del censo de Estados Unidos para 1970, 1980 y 1990. ¿Qué población predice el modelo logístico del inciso c) para estos años? ¿Qué predice el modelo para la población P(t) de Estados Unidos conforme t A ? 24. Modelo de inmigración a) En los ejemplos 3 y 4 de la sección 2.1 vimos que cualquier solución P(t) de (4) tiene el comportamiento asintótico P(t) A ab conforme t A para P0 ab y para 0 P0 ab; como consecuencia, la solución de equilibrio P ab se llama un atractor. Utilice un programa para determinar raíces de un 6$& RXQDFDOFXODGRUDJUD¿FDGRUD SDUDDSUR[LPDUODVRlución de equilibrio del modelo de inmigración dP P(1 P) 0.3eP. dt b) 8 WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD IXQFLyQ F(P) P(1 P) 0.3e P. Explique FyPR VH SXHGH XWLOL]DU HVWD JUi¿FD SDUD GHWHUPLQDU si el número que se encontró en el inciso a) es un atractor. c) Use un programa de solución numérica para comparar las curvas solución de los PVI dP P(1 P), P(0) P0 dt Para P0 0.2 y P0 1.2 con las curvas solución para los PVI. dP dt P(1 P) 0.3eP, P(0) P0 para P0 0.2 y P0 1.2. Superponga todas las curvas en los mismos ejes de coordenadas pero, si es posible, utilice un color diferente para las curvas del segundo problema con valores iniciales. En un periodo largo, ¿qué incremento porcentual predice el modelo de inmigración en la población comparado con el modelo logístico? 25. Todo lo que sube . . . En el problema 16 sea ta el tiempo que tarda la bala de cañón en alcanzar su altura máxima y sea td el tiempo que tarda en caer desde la altura máxima hasta el suelo. Compare el valor ta con el valor de td y compare la magnitud de la velocidad de impacto vi con la velocidad inicial v0. Vea el problema 50 de los ejercicios 3.1. Aquí puede ser útil un programa para determinar raíces de un SAC. [Sugerencia: Utilice el modelo del problema 15 cuando la bala de cañón va cayendo.] MODELOS NO LINEALES O 105 26. Paracaidismo Un paracaidista está equipado con un cronóPHWUR\XQDOWtPHWUR&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHOSDracaidista abre su paracaídas 25 segundos después de saltar del avión que vuela a una altitud de 6000 m, y observa que su altitud es de 4500 m. Suponga que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, la velocidad inicial del paracaidista al saltar del avión es cero y g 9.8 m/s2. a) Encuentre la distancia s(t), medida desde el avión, que ha recorrido el paracaidista durante la caída libre en el tiempo t. [Sugerencia: 1R VH HVSHFL¿FD OD FRQVWDQWH GH proporcionalidad k en el modelo del problema 15. Use la expresión para la velocidad terminal vt que se obtuvo en el inciso b) del problema 15 para eliminar k del PVI. Luego, ¿QDOPHQWHHQFXHQWUHvt.] b) ¿Qué distancia descendió el paracaidista y cuál es su velocidad cuando t 15 s? 4 500 m s(t) 25 s FIGURA 3.2.7 Paracaidista del problema 26. 27. Tocando fondo Un helicóptero sobrevuela 150 m por arriba de un gran tanque abierto lleno de líquido (no agua). Se deja caer un objeto compacto y denso que pesa 700 N (liberado desde el reposo) desde el helicóptero en el líquido. Suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea v en tanto el objeto está en el aire y que el amortiguamiento viscoso es proporcional a v2 después de que el objeto ha entrado al líquido. Para el aire, tome k 2.5, y para el líquido tome k 0.15. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo. Si el tanque mide 25 m de alto, determine el tiempo y la velocidad de impacto cuando el objeto golpea el fondo del tanque. [Sugerencia: Piense en términos de dos PVI distintos. Si se utiliza la ecuación (13), tenga cuidado de eliminar el signo de valor absoluto. Se podría comparar la velocidad cuando el objeto golpea el líquido, la velocidad inicial para el segundo problema, con la velocidad terminal vt del objeto cuando cae a través del líquido.] 28. Hombre en el río . . . (QOD¿JXUD D VXSRQJDTXHHO eje y y la recta vertical x 1 representan, respectivamente, las SOD\DVRHVWH\HVWHGHXQUtRTXHWLHQHNPGHDQFKR(OUtR ÀX\HKDFLDHOQRUWHFRQXQDYHORFLGDGvr, donde |vr| vrNPK es una constante. Un hombre entra a la corriente en el punto (1, 0) en la costa este y nada en una dirección y rapidez respecto al río dada por el vector vs, donde la velocidad |vs| vsNPK es una constante. El hombre quiere alcanzar la costa oeste exactamente en (0, 0) y así nadar de forma que conserve su vector velocidad vs siempre con dirección hacia (0, 0). Utilice OD¿JXUDE FRPRXQDD\XGDSDUDPRVWUDUTXHXQPRGHOR matemático para la trayectoria del nadador en el río es dy vsy vr 1x2 y2 . dx vs x 106 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN [Sugerencia: La velocidad v del nadador a lo largo de la trayecWRULDRFXUYDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVODUHVXOWDQWH v vs vr. Determine vs y vr en componentes en las direcciones x y y. Si x x(t), y y(t) son ecuaciones paramétricas de la trayectoria del nadador, entonces v (dxdt, dydt)]. y nadador playa oeste playa este corriente vr (1, 0) x (0, 0) a) y vr (x(t), y(t)) vs y(t) θ (0, 0) Utilice estos datos, y si se necesita investigue más, y haga otras suposiciones razonables para determinar si “la velocidad promedio de . . . 11 kilómetros por hora” es consistente con los modelos de los problemas 35 y 36 de los ejercicios 3.1 y con el problema 15 de este conjunto de ejercicios. También vea el problema 36 de los ejercicios 1.3. 33. El tiempo gotea La clepsidra, o reloj de agua, fue un dispositivo que los antiguos egipcios, griegos, romanos y chinos usaban para medir el paso del tiempo al observar el cambio en la altura del agua a la que se le permitía salir por un agujero pequeño en el fondo de un tanque. a) Suponga que se ha hecho un tanque de vidrio y que tiene la forma de un cilindro circular recto de radio 0.3 m. Suponga que h(0) 0.6 m corresponde a agua llena hasta la tapa del tanque, un agujero en el fondo es circular con radio 0.8 mm, g PV2 y c 0.6. Utilice la ecuación diferencial del problema 12 para encontrar la altura h(t) del agua. b) Para el tanque del inciso a), ¿a qué altura desde su fondo VHGHEHUtDPDUFDUHVHODGRFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 3.2.9, que corresponde al paso de una hora? Después determine dónde colocaría las marcas correspondientes al paso de 2 h, 3 h, . . . , 12 h. Explique por qué estas marcas no están espaciadas uniformemente. (1, 0) x x(t) b) 0.3 FIGURA 3.2.8 Trayectoria del nadador del problema 28. 29. a) Resuelva la ED del problema 28 sujeto a y(1) 0. Por conveniencia haga k vrvs. b) Determine los valores de vs, para los que el nadador alcanzará el punto (0, 0) examinando lím y(x) en los x:0 casos k 1, k 1 y 0 k 1. 30. Hombre en el río se sigue moviendo . . . Suponga que el hombre del problema 28 de nuevo entra a la corriente en (1, 0) pero esta vez decide nadar de forma que su vector velocidad vs está siempre dirigido hacia la playa oeste. Suponga que la rapidez |vs| vs NPK es una constante. Muestre que un modelo matemático para la trayectoria del nadador en el río es ahora v dy r. dx vs 31. La rapidez de la corriente vr de un río recto como el del problema 28 usualmente no es una constante. Más bien, una apro[LPDFLyQDODUDSLGH]GHODFRUULHQWH PHGLGDHQNPVSRUKRUD podría ser una función tal como vr(x) 30x(1 x), 0 x 1, cuyos valores son pequeños en las costas (en este caso, vr(0) 0 y vr(1) 0) y más grande en la mitad de río. Resuelva la ED del problema 30 sujeto a y(1) 0, donde vs NPK\vr(x) está dado. Cuando el nadador hace esto a través del río, ¿qué tanto tendrá que caminar en la playa para llegar al punto (0, 0)? 32. Las gotas de lluvia siguen cayendo . . . Cuando hace poco se abrió una botella de refresco se encontró que dentro de la tapa decía: La velocidad promedio de una gota de lluvia cayendo es de 11 kilómetros/hora. En una búsqueda rápida por la internet se encontró que el meteorólogo Jeff Haby ofrecía información adicional de que una gota de lluvia esférica en “promedio” tenía un radio de 0.1 cm. y un volumen aproximado de 0.0000000044 m3. 0.6 1 hora 2 horas FIGURA 3.2.9 Clepsidra del problema 33. 34. a) Suponga que un tanque de vidrio tiene la forma de un cono con sección transversal circular como se muesWUD HQ OD ¿JXUD &RPR HQ HO LQFLVR D GHO SURblema 33, suponga que h(0) 0.6 m corresponde a agua llena hasta la parte superior del tanque, un agujero FLUFXODU HQ HO IRQGR GH UDGLR PP J PV2 y c 0.6. Utilice la ecuación diferencial del problema 12 para encontrar la altura h(t) del agua. b) ¿Puede este reloj de agua medir 12 intervalos de tiempo de duración de 1 hora? Explique matemáticamente. 0.3 0.6 FIGURA 3.2.10 Clepsidra del problema 34. 35. Suponga que r f (h GH¿QHODIRUPDGHXQUHORMGHDJXDHQ el que las marcas del tiempo están igualmente espaciadas. Utilice la ecuación diferencial del problema 12 para encontrar f (h \GLEXMHXQDJUi¿FDWtSLFDGHh como una función de r. Suponga que el área de sección transversal Ah del agujero es constante. [Sugerencia: En este caso dhdt a donde a 0 es una constante.] 3.3 3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN O 107 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN INTRODUCCIÓN Esta sección es similar a la sección 1.3 ya que se van a analizar ciertos modelos matemáticos, pero en lugar de una sola ecuación diferencial los modelos serán sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Aunque algunos de los modelos se basan en temas que se analizaron en las dos secciones anteriores, no se desarrollan métodos generales para resolver estos sistemas. Hay razones para esto: Primero, hasta el momento no se tienen las herramientas matemáticas necesarias para resolver sistemas. Segundo, algunos de los sistemas que se analizan, sobre todo los sistemas de ED no lineales de primer orden, simplemente no se pueden resolver de forma analítica. Los capítulos 4, 7 y 8 tratan métodos de solución para sistemas de ED lineales. SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES Hemos visto que una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático para una sola población en un medio ambiente. Pero si hay, por ejemplo, dos especies que interactúan, y quizá compiten, viviendo en el mismo medio ambiente (por ejemplo, conejos y zorros), entonces un modelo para sus poblaciones x(t) y y(t) podría ser un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden como dx g1(t, x, y) dt dy g2(t, x, y). dt (1) Cuando g1 y g2 son lineales en las variables x y y, es decir, g1 y g2 tienen las formas g1(t, x, y) c1 x c2 y f1(t) y g2 (t, x, y) c3 x c4 y f2(t), GRQGHORVFRH¿FLHQWHVci podrían depender de t, entonces (1) se dice que es un sistema lineal. Un sistema de ecuaciones diferenciales que no es lineal se llama no lineal. SERIES RADIACTIVAS En el análisis del decaimiento radiactivo en las secciones 1.3 y 3.1 se supuso que la rapidez de decaimiento era proporcional a la cantidad A(t) de núcleos de la sustancia presentes en el tiempo t. Cuando una sustancia se desintegra por radiactividad, usualmente no transmuta en un solo paso a una sustancia estable, sino que la primera sustancia se transforma en otra sustancia radiactiva, que a su vez forma una tercera sustancia, etc. Este proceso, que se conoce como serie de decaimiento radiactivo continúa hasta que llega a un elemento estable. Por ejemplo, la serie de decaimiento del uranio es U-238 A Th-234 A APb-206, donde Pb-206 es un isótopo estable del plomo. La vida media de los distintos elementos de una serie radiactiva pueden variar de miles de millones de años (4.5 109 años para U-238) a una fracción de segundo. Suponga que una serie radiactiva se describe en forma 1 2 esquemática por X : Y : Z, donde k1 h1 0 y k2 h2 0 son las constantes de desintegración para las sustancias X y Y, respectivamente, y Z es un elemento estable. Suponga, también, que x(t), y(t) y z(t) denotan las cantidades de sustancias X, Y y Z, respectivamente, que quedan al tiempo t. La desintegración del elemento X se describe por dx 1x, dt mientras que la rapidez a la que se desintegra el segundo elemento Y es la rapidez neta dy 1 x 2 y, dt 108 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN porque Y está ganando átomos de la desintegración de X y al mismo tiempo perdiendo átomos como resultado de su propia desintegración. Como Z es un elemento estable, simplemente está ganando átomos de la desintegración del elemento Y: dz 2 y. dt En otras palabras, un modelo de la serie de decaimiento radiactivo para los tres elementos es el sistema lineal de tres ecuaciones diferenciales de primer orden dx 1 x dt dy 1 x 2 y dt (2) dz 2 y. dt MEZCLAS &RQVLGHUHORVGRVWDQTXHVTXHVHLOXVWUDQHQOD¿JXUD(OWHPDGH discusión, parte del supuesto de que un tanque A contiene 50L de agua en el que se ha GLVXHOWRNJGHVDO6HVXSRQHWDPELpQTXHXQWDQTXH%FRQWLHQH/GHDJXDSXUD$ ORVWDQTXHVHQWUD\VDOHOtTXLGRFRPRVHLQGLFDHQOD¿JXUDVHVXSRQHTXHWDQWRODPH]FOD intercambiada entre los dos tanques como el líquido bombeado hacia fuera del tanque B están bien mezclados. Se desea construir un modelo matemático que describa la cantidad GHNLORJUDPRVx1(t) y x2(t) de sal en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t. agua pura 3 L/min mezcla 1 L/min A B mezcla 4 L/min mezcla 3 L/min FIGURA 3.3.1 Tanques mezclados conectados. Con un análisis similar al de la página 25 en la sección 1.3 y del ejemplo 5 de la sección 3.1 vemos que la rapidez de cambio neta de x1(t) para el tanque A es rapidez de entrada de la sal rapidez de salida de la sal ( ) ( ) dx1 x x ––– (3 L/min) (0 kg/L) (1 L/min) –––2 kg/L (4 L/min) –––1 kg/L dt 50 50 2 1 ––– x1 ––– x2. 25 50 De manera similar, para el tanque B la rapidez de cambio neta de x2(t) es dx2 x x x 4 1 3 2 1 2 dt 50 50 50 2 2 x1 x2. 25 25 Así obtenemos el sistema lineal 2 1 dx1 x1 x dt 25 50 2 dx2 dt 2 2 x1 x. 25 25 2 (3) 3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN O 109 Observe que el sistema anterior va acompañado de las condiciones iniciales x1(0) 25, x2(0) 0. MODELO PRESA-DEPREDADOR Suponga que dos especies de animales interactúan dentro del mismo medio ambiente o ecosistema, y suponga además que la primera especie se alimenta sólo de vegetación y la segunda se alimenta sólo de la primera especie. En otras palabras, una especie es un depredador y la otra es una presa. Por ejemplo, los lobos cazan caribúes que se alimentan de pasto, los tiburones devoran peces pequeños y el búho nival persigue a un roedor del Ártico llamado lemming. Por razones de análisis, imagínese que los depredadores son zorros y las presas, conejos. Sea x(t) y y(t) las poblaciones de zorros y conejos, respectivamente, en el tiempo t. Si no hubiera conejos, entonces se podría esperar que los zorros, sin un suministro adecuado de alimento, disminuyeran en número de acuerdo con dx (4) ax, a 0. dt Sin embargo, cuando hay conejos en el medio, parece razonable que el número de encuentros o interacciones entre estas dos especies por unidad de tiempo sea conjuntamente proporcional a sus poblaciones x y y, es decir, proporcional al producto xy. Así, cuando están presentes los conejos hay un suministro de alimento y, en consecuencia, los zorros se agregan al sistema en una proporción bxy, b 0. Sumando esta última proporción a (4) se obtiene un modelo para la población de zorros: dx (5) ax bxy. dt Por otro lado, si no hay zorros, entonces la población de conejos, con una suposición adicional de suministro ilimitado de alimento, crecería con una rapidez proporcional al número de conejos presentes al tiempo t : dy dy, d 0. (6) dt Pero cuando están presentes los zorros, un modelo para la población de conejos es la ecuación (6) disminuida por cxy, c 0; es decir, la rapidez a la que los conejos son comidos durante sus encuentros con los zorros: dy (7) dy cxy. dt Las ecuaciones (5) y (7) constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales dx ax bxy x(a by) dt (8) dy dy cxy y(d cx), dt donde a, b, c y d son constantes positivas. Este famoso sistema de ecuaciones se conoce como modelo presa-depredador de Lotka-Volterra. Excepto por dos soluciones constantes, x(t) 0, y(t) 0 y x(t) dc, y(t) ab, el sistema no lineal (8) no se puede resolver en términos de funciones elementales. Sin embargo, es posible analizar estos sistemas en forma cuantitativa y cualitativa. Vea el capítulo 9, “Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias”, y el capítulo 10 “Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales”. * EJEMPLO 1 Suponga que Modelo presa-depredador dx 0.16x 0.08xy dt dy 4.5y 0.9xy dt Los capítulos 10 a 15 están en la versión ampliada de este libro, Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, 9e. * 110 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN población x, y depredadores presa tiempo t FIGURA 3.3.2 Las poblaciones de depredadores (rojo) y presa (azul) del ejemplo 1. representa un modelo presa-depredador. Debido a que se está tratando con poblaciones, se tiene x(t) 0, y(t) (QOD¿JXUDTXHVHREWXYRFRQODD\XGDGHXQSURJUDPD de solución numérica, se ilustran las curvas de población características de los depredadores y la presa, superpuestas en los mismos ejes de coordenadas para este modelo. Las condiciones iniciales que se utilizaron fueron x(0) 4, y(0) 4. La curva en color rojo representa la población x(t) de los depredadores (zorros) y la curva en color azul es la población y(t) de la presa (conejos). Observe que el modelo al parecer predice que ambas poblaciones x(t) y y(t) son periódicas en el tiempo. Esto tiene sentido desde el punto de vista intuitivo porque conforme decrece el número de presas, la población de depredadores decrece en algún momento como resultado de un menor suministro de alimento; pero junto con un decrecimiento en el número de depredadores hay un incremento en el número de presas; esto, a su vez, da lugar a un mayor número de depredadores, que en última instancia origina otro decrecimiento en el número de presas. MODELOS DE COMPETENCIA Ahora suponga que dos especies de animales ocupan el mismo ecosistema, no como depredador y presa sino como competidores por los mismos recursos (como alimento y espacio vital) en el sistema. En ausencia de la otra, suponga que la rapidez a la que crece cada población está dada respectivamente por dx ax dt dy cy, dt y (9) Como las dos especies compiten, otra suposición podría ser que cada una de estas UDSLGHFHVVHUHGX]FDVLPSOHPHQWHSRUODLQÀXHQFLDRH[LVWHQFLDGHODRWUDSREODFLyQ Así un modelo para las dos poblaciones está dado por el sistema lineal dx ax by dt (10) dy cy dx , dt donde a, b, c y d son constantes positivas. Por otra parte, se podría suponer, como se hizo en (5), que cada rapidez de crecimiento en (9) debe ser reducida por una rapidez proporcional al número de interacciones entre las dos especies: dx ax bxy dt dy cy dxy. dt (11) Por inspección se encuentra que este sistema no lineal es similar al modelo presaGHSUHGDGRUGH/RWND9ROWHUUD3RU~OWLPRSRGUtDVHUPiVUHDOUHPSOD]DUODVUDSLGHFHV en (9), lo que indica que la población de cada especie en aislamiento crece de forma exponencial, con tasas que indican que cada población crece en forma logística (es decir, en un tiempo largo la población se acota): dx a1 x b1 x 2 dt y dy a 2 y b 2 y 2. dt (12) Cuando estas nuevas tasas decrecen a tasas proporcionales al número de interacciones, se obtiene otro modelo no lineal: dx a1x b1x 2 c1xy x(a1 b1x c1y) dt dy a2 y b2 y 2 c2 xy y(a2 b2 y c 2 x), dt (13) 3.3 A1 i1 B1 R1 C1 L1 REDES Una red eléctrica que tiene más de una malla también da lugar a ecuaciones GLIHUHQFLDOHVVLPXOWiQHDV&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDODFRUULHQWHi1(t) se divide en las direcciones que se muestran en el punto B1 llamado SXQWRGHUDPL¿FDFLyQ de la red. Por la primera ley de Kirchhoff se puede escribir L2 i1(t) i2(t) i3(t). B2 C2 FIGURA 3.3.3 Red cuyo modelo está dado en (17). i1 L E 111 GRQGHORVFRH¿FLHQWHVVRQSRVLWLYRV3RUVXSXHVWRHOVLVWHPDOLQHDO \ORVVLVWHPDV no lineales (11) y (13) se llaman modelos de competencia. R2 A2 O i3 i2 E MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN Además, también se puede aplicar la segunda ley de Kirchhoff a cada malla. Para la malla A1B1B 2 A 2 A1, suponiendo una caída de voltaje en cada parte del circuito, se obtiene di (15) E(t) i1R1 L1 2 i2R2. dt De modo similar, para la malla A1B1C1C 2 B 2 A 2 A1 tenemos que di E(t) i1R1 L2 3. (16) dt Usando (14) para eliminar i1 en (15) y (16) se obtienen dos ecuaciones lineales de primer orden para las corrientes i2(t) e i3(t): i3 i2 R (14) C FIGURA 3.3.4 Red cuyo modelo son las ecuaciones (18). di 2 (R 1 R 2)i 2 R 1i 3 E(t) dt L1 (17) di 3 L2 R 1i 2 R 1i 3 E(t) . dt Dejaremos esto como un ejercicio (vea el problema 16, ejercicios 3.3) y mostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales que describe las corrientes i1(t) e i2(t) en la red IRUPDGDSRUXQUHVLVWRUXQLQGXFWRU\XQFDSDFLWRUTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHV L di1 Ri2 dt E(t) di2 i2 i1 0. RC dt EJERCICIOS 3.3 (18) Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4. Series radiactivas 1. Hasta el momento no se han analizado métodos mediante los que se puedan resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, sistemas como (2) se pueden resolver sin otro conocimiento que el necesario para resolver una ecuación diferencial lineal. Encuentre una solución a (2) sujeto a las condiciones iniciales x(0) x0, y(0) 0, z(0) 0. 2. En el problema 1, suponga que el tiempo se mide en días, que las constantes de desintegración son k1 0.138629 y k2 0.004951, y que x0 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH ODV VROXFLRQHV x(t), y(t) y z(t) en el PLVPRFRQMXQWRGHHMHVGHFRRUGHQDGDV8WLOLFHODVJUi¿FDVSDUD aproximar las vidas medias de sustancias X y Y. 3. 8WLOLFH ODV JUi¿FDV GHO SUREOHPD SDUD DSUR[LPDU ORV WLHPSRV cuando las cantidades x(t) y y(t) son las mismas, los tiempos cuando las cantidades x(t) y z(t) son las mismas y los tiempos cuando las cantidades y(t) y z(t) son las mismas. ¿Por qué tiene sentido, desde el punto de vista intuitivo, el tiempo determinado cuando las cantidades y(t) y z(t) son las mismas? 4. Construya un modelo matemático para una serie radiactiva de cuatro elementos W, X, Y y Z, donde Z es un elemento estable. 5. Decaimiento del Potasio-40 El elemento químico potasio es un metal blando que se puede encontrar ampliamente a lo largo de los océanos y en la corteza terrestre. Aunque el potasio se encuentra naturalmente en forma de tres isótopos, sólo el isótopo potasio-40 (K40) es radiactivo. Este isótopo es un poco inusual ya que decae por dos diferentes reacciones nucleares. Con el tiempo, un gran porcentaje de una cantidad inicial K0 de K-40 decae emitiendo partículas beta en el isótopo estable de calcio-40 (Ca-40), mientras que por captura de electrones un porcentaje menor de K0 decae en el isótopo estable de argón-40 (Ar40). Ya que las tasas a las que aumentan las cantidades C(t) de Ca40 y A(t) de Ar40 son proporcionales a la cantidad K(t) de potasio presente y la rapidez a la que K(t) decae también es proporcional a K(t), obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales de primer orden dC 5 ␭1K dt dA 5 ␭2K dt dK 5 2(␭1 1 ␭2)K, dt GRQGH Ȝ1 \ Ȝ2 son constantes de proporcionalidad positivas. Procediendo como en el problema 1 podemos resolver el modelo matemático anterior. 112 CAPÍTULO 3 O MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN a) De la última ecuación del sistema de ecuaciones diferenciales dado encuentre K(t) si K(0) K0. Luego utilice K(t) para encontrar C(t) y A(t) a partir de las primera y segunda ecuaciones. Suponga que C(0) 0 y A(0) 0. b) Se conoce que Ȝ1 4.7526 1010 y Ȝ2 0.5874 1010. Encuentre la vida media de K40. c) Utilice C(t) y A(t) que se determinaron en el inciso (a) para calcular el porcentaje de una cantidad inicial K0 de K40 que decae en Ca40 y en Ar40 durante un periodo muy largo. 6. Datación con Potasio-Argón El conocimiento de cómo decae K40 se puede utilizar para determinar la edad de las rocas tJQHDVPX\DQWLJXDV9pDVHOD¿JXUD a) Utilice las soluciones obtenidas en el inciso a) del problema 5 para encontrar la razón A(t)/Kt). 9. Dos tanques muy grandes A y B están parcialmente llenos con /GHVDOPXHUDFDGDXQR$OLQLFLRVHGLVXHOYHQNJGH sal en la solución del tanque A\NJGHVDOHQODVROXFLyQGHO tanque B. El sistema es cerrado ya que el líquido bien mezclado se ERPEHDVyORHQWUHORVWDQTXHVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD a) 8WLOLFHODLQIRUPDFLyQTXHDSDUHFHHQOD¿JXUDSDUDFRQVWUXLUXQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDHOQ~PHURGHNLORJUDPRV de sal x1(t) y x2(t) al tiempo t en los tanques A y B, respectivamente. b) Encuentre una relación entre las variables x1(t) y x2(t) que se cumpla en el tiempo t. Explique por qué esta relación tiene sentido desde el punto de vista intuitivo. Use esta relación para ayudar a encontrar la cantidad de sal en el tanque B en t 30 min. mezcla 3 L/min b) Utilice A(t)/Kt) que determinó en el inciso a) para demostrar que t5 c) ␭1 1 ␭2 A(t) 1 ln 1 1 . ␭1 1 ␭2 ␭2 K(t) 3 4 A 100 L Supongamos que se determina que cada gramo de una muestra de roca ígnea contiene 8.5 107 g de Ar40 y 5.4 106 g de K40. Use el resultado del inciso b) para encontrar la edad aproximada de la roca. B 100 L mezcla 2 L/min © Martin Rietze/Westend61 GmbH/ Alamy Stock Photo FIGURA 3.3.7 Tanques de mezclado del problema 9. 10. Tres tanques grandes contienen salmuera, como se muestra en OD ¿JXUD &RQ OD LQIRUPDFLyQ GH OD ¿JXUD FRQVWUX\D XQ PRGHORPDWHPiWLFRSDUDHOQ~PHURGHNLORJUDPRVGHVDOx1(t), x2(t) y x3(t) al tiempo t en los tanques A, B y C, respectivamente. Sin resolver el sistema, pronostique los valores límite de x1(t), x2(t) y x3(t) conforme t A . agua pura 4 L/min FIGURA 3.3.5 Las rocas ígneas se forman por VROLGL¿FDFLyQGHODODYDYROFiQLFD. Mezclas 7. Considere dos tanques A y B, en los que se bombea y se saca líquido con la misma rapidez, como se describe mediante el sistema de ecuaciones (3). ¿Cuál es el sistema de ecuaciones diferenciales si, en lugar de agua pura, se bombea al tanque A una VROXFLyQGHVDOPXHUDTXHFRQWLHQHNJGHVDOSRUOLWUR" 8. 8WLOLFHODLQIRUPDFLyQTXHVHSURSRUFLRQDHQOD¿JXUDSDUDFRQVWUXLUXQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDODFDQWLGDGGHNLORJUDPRVGHVDO x1(t), x2(t) y x3(t) al tiempo t en los tanques A, B y C, respectivamente. mezcla 2 L/min agua pura 4 L/min A 100 L mezcla 1 L/min B 100 L mezcla 6 L/min B 150 L mezcla 4 L/min C 100 L mezcla 4 L/min mezcla 4 L/min FIGURA 3.3.8 Tanques de mezclado del problema 10. Modelos presa-depredador 11.&RQVLGHUHHOPRGHORGHSUHGDGRUSUHVDGH/RWND9ROWHUUDGH¿nido por dx 0.1x 0.02xy dt C 100 L mezcla 5 L/min A 200 L dy 0.2y 0.025xy, dt mezcla 4 L/min FIGURA 3.3.6 Tanques de mezclado del problema 8. donde las poblaciones x(t) (depredadores) y y(t) (presa) se miden en miles. Suponga que x(0) 6 y y(0) 6. Utilice un programa GH VROXFLyQ QXPpULFD SDUD JUD¿FDU x(t) y y(t 8VH ODV JUi¿FDV 3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN para aproximar el tiempo t 0 cuando las dos poblaciones son DOSULQFLSLRLJXDOHV8VHODVJUi¿FDVSDUDDSUR[LPDUHOSHULRGRGH cada población. R1 i1 12. &RQVLGHUHHOPRGHORGHFRPSHWHQFLDGH¿QLGRSRU donde las poblaciones x(t) y y(t) se miden en miles y t en años. Use un programa de solución numérica para analizar las poblaciones en un periodo largo para cada uno de los casos siguientes: a) x(0) 1.5, y(0) 3.5 b) x(0) 1, y(0) 1 c) x(0) 2, y(0) 7 13. &RQVLGHUHHOPRGHORGHFRPSHWHQFLDGH¿QLGRSRU dx x(1 0.1x 0.05y) dt dy y(1.7 0.1y 0.15x), dt donde las poblaciones x(t) y y(t) se miden en miles y t en años. Utilice un programa de solución numérica para analizar las poblaciones en un periodo largo para cada uno de los casos siguientes: y(0) 1 b) x(0) 4, y(0) 10 c) x(0) 9, y(0) 4 d) x(0) 5.5, y(0) 3.5 Redes 14. Demuestre que un sistema de ecuaciones diferenciales que describa las corrientes i2(t) e i3(t) en la red eléctrica que se muestra HQOD¿JXUDHV L R1 di2 di L 3 R1i2 E(t) dt dt di2 di 1 R2 3 i3 0. dt dt C i1 E E i3 i2 L1 R2 L2 R3 FIGURA 3.3.10 Red del problema 15. 16. Demuestre que el sistema lineal que se proporciona en (18) describe las corrientes i1(t) e i2(t) en la red que se muestra en la ¿JXUD>Sugerencia: dqdt i3.] Modelos no lineales adicionales d) x(0) 4.5, y(0) 0.5 a) x(0) 1, 113 15. Determine un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que describa las corrientes i2(t) e i3(t) en la red eléctrica TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD Modelos de competencia dx x(2 0.4x 0.3y) dt dy y(1 0.1y 0.3x), dt O L i3 R2 i2 R1 FIGURA 3.3.9 Red del problema 14. C 17. Modelo SIR Una enfermedad contagiosa se propaga en una peTXHxDFRPXQLGDGFRQXQDSREODFLyQ¿MDGHn personas, por contacto entre individuos infectados y personas que son susceptibles a la enfermedad. Suponga al principio que todos son susceptibles a la enfermedad y que nadie sale de la comunidad mientras se propaga la epidemia. En el tiempo t, sean s(t), i(t) y r(t), a su vez, el número de personas en la comunidad (medido en cientos) que son susceptibles a la enfermedad pero que aún no están infectadas, el número de personas que están infectadas con la enfermedad y el número de personas que se han recuperado de la enfermedad. Explique por qué el sistema de ecuaciones diferenciales ds k1si dt di k2i k1si dt dr k2i, dt donde k1 (llamada la rapidez de infección) y k2 (llamada la rapidez de eliminación) son constantes positivas, es un modelo matemático razonable, conocido comúnmente como modelo SIR, para la propagación de la epidemia en la comunidad. Asigne condiciones iniciales posibles relacionadas con este sistema de ecuaciones. 18. a) (Q HO SUREOHPD H[SOLTXH SRU TXp HV VX¿FLHQWH DQDOL]DU sólo ds k1si dt di k2i k1si . dt b) Suponga que k1 0.2, k2 0.7 y n 10. Elija varios valores de i(0) i0, 0 i0 10. Use un programa de solución numérica para determinar lo que predice el modelo acerca de la epidemia en los dos casos s0 k2k1 y s0 k2k1. En el caso de una epidemia, estime el número de personas que ¿QDOPHQWHVHLQIHFWDQ 114 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 19. Concentración de un nutriente Suponga que los compartimientos A y BTXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUDVHOOHQDQFRQ líquidos y se separan mediante una membrana permeable. La ¿JXUDHVXQDUHSUHVHQWDFLyQVHFFLRQDOGHOH[WHULRU\HOLQWHULRU de una célula. Suponga también que un nutriente necesario para el crecimiento de la célula pasa por la membrana. Un modelo para las concentraciones x(t) y y(t) del nutriente en los compartimientos A y B, respectivamente, en el tiempo t se expresa mediante el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales dx (y x) dt VA dy (x y), dt VB donde VA y VB son los volúmenes de los compartimientos, y g 0 es un factor de permeabilidad. Sean x(0) x0 y y(0) y0 las concentraciones iniciales del nutriente. Con base únicamente en las ecuaciones del sistema y la suposición x0 y0 0, dibuje, en el mismo conjunto de coordenadas, posibles curvas solución del sistema. Explique su razonamiento. Analice el comportamiento de las soluciones en un tiempo largo. líquido a concentración x(t) líquido a concentración y(t) 19. Determine los valores límite de x(t) y y(t) conforme t A . Explique por qué la respuesta de la última pregunta tiene sentido intuitivamente. 21. Mezclas con base sólo en la descripción física del problema GHPH]FODGHODSiJLQD\OD¿JXUDDQDOLFHODQDWXUDleza de las funciones x1(t) y x2(t). ¿Cuál es el comportamiento de cada función durante un tiempo largo? Dibuje ODV JUi¿FDV posibles de x1(t) y x2(t). Compruebe sus conjeturas mediante un programa de solución numérica para obtener las curvas solución de (3) sujetas a las condiciones iniciales x1(0) 25, x2(0) 0. 22. Ley de Newton del enfriamiento/calentamiento Como se PXHVWUDHQOD¿JXUDXQDSHTXHxDEDUUDPHWiOLFDVHFRORFD dentro del recipiente A y éste se coloca dentro de un recipiente B mucho más grande. A medida que se enfría la barra metálica, la temperatura ambiente TA(t) del medio dentro del recipiente A cambia de acuerdo con la ley de Newton del enfriamiento. Conforme se enfría el recipiente A, la temperatura en la parte media dentro del recipiente B no cambia de manera importante y se puede considerar una constante TB. Construya un modelo matemático para las temperaturas T(t) y TA(t), donde T(t) es la temperatura de la barra metálica dentro del recipiente A. Como en los problemas 1, 5, y 20, este modelo se puede resolver usando los conocimientos adquiridos. Encuentre una solución del sistema sujeto a las condiciones iniciales T(0) T0, TA(0) T1. recipiente B A B recipiente A barra metálica membrana FIGURA 3.3.11 Flujo de nutrientes a través de una TA (t) membrana del problema 19. 20. El sistema del problema 19, al igual que el sistema en (2), se puede resolver sin un conocimiento avanzado. Resuelva para x(t) y y(t \FRPSDUHVXVJUi¿FDVFRQVXVGLEXMRVGHOSUREOHPD FIGURA 3.3.12 REPASO DEL CAPÍTULO 3 Responda los problemas 1 y 2 sin consultar las respuestas del libro. Llene los espacios en blanco y responda verdadero o falso. 1. Si P(t) P0e0.15t da la población en un medio ambiente al tiempo t, entonces una ecuación diferencial que satisface P(t) es . 2. Si la rapidez de desintegración de una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad A(t) que queda en el tiempo t, entonces la vida media de la sustancia es necesariamente T (ln 2)k. La rapidez de decaimiento de la sustancia en el tiempo t T es un medio de la rapidez de decaimiento en t 0. TB = constante Recipiente dentro de un recipiente del problema 22. Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4. 3. En marzo de 1976 la población mundial llegó a cuatro mil millones. Una popular revista de noticias pronosticó que con una rapidez de crecimiento anual promedio de 1.8%, la población mundial sería de 8 mil millones en 45 años. ¿Cómo se compara este valor con el que se predice por el modelo en el que se supone que la rapidez de crecimiento en la población es proporcional a la población presente en el tiempo t? 4. A una habitación cuyo volumen es 200 m3 se bombea aire que contiene 0.06% de dióxido de carbono. Se introduce DODKDELWDFLyQXQÀXMRGHDLUHGHP3/min y se extrae el PLVPRÀXMRGHDLUHFLUFXODGR6LKD\XQDFRQFHQWUDFLyQ inicial de 0.2% de dióxido de carbono en la habitación, REPASO DEL CAPÍTULO 3 determine la cantidad posterior en la habitación al tiempo t. ¿Cuál es la concentración de dióxido de carbono a los 10 minutos? ¿Cuál es la concentración de dióxido de carbono de estado estable o de equilibrio? Ötzi el hombre de hielo En septiembre de 1991 dos turistas alemanes encontraron el cuerpo bien conservado de un hombre parcialmente congelado en un glaciar de los Alpes de Ötztal, en la frontera entre Austria e Italia. 9pDVHOD¿JXUD50HGLDQWHODWpFQLFDGHGDWDFLyQFRQ carbono se encontró que el cuerpo de Ötzi el hombre de hielo, como se le llamó, contenía 53% del C-14 que se encuentra en una persona viva. Suponiendo que el hombre de hielo fue datado con carbono en 1991. Utilice el método ilustrado en el ejemplo 3 de la sección 3.1 para determinar la fecha aproximada de su muerte. © Werner Nosko/Reuters/Corbis 5. FIGURA 3.R.1 Ötzi el hombre de hielo del problema 5. 6. En el tratamiento del cáncer de tiroides, a menudo se utiliza el líquido radiactivo yodo131. Supongamos que después de un día de almacenamiento, el análisis demuestra que una cantidad inicial que A0 de yodo-131 en una muestra se ha reducido en 8.3%. a) Encuentre la cantidad de yodo131 restante en la muestra después de 8 días. b)([SOLTXHHOVLJQL¿FDGRGHOUHVXOWDGRGHOLQFLVRD 7. Resuelva la ecuación diferencial dy dx y 1a2 y2 de la tractriz. Vea el problema 28 de los ejercicios 1.3. Suponga que el punto inicial en el eje y es (0, 10) y que la longitud de la cuerda es x 3 m. 8. Suponga que una célula está suspendida en una solución que contiene un soluto de concentración constante Cs. Suponga además que la célula tiene volumen constante V y que el área de su membrana permeable es la constante A. Por la ley de Fick, la rapidez de cambio de su masa m es directamente proporcional al área A y la diferencia Cs – C(t), donde C(t) es la concentración del soluto dentro de la célula al tiempo t. Encuentre C(t) si m V C(t) y C(0) C09HDOD¿JXUD5 concentración C(t) O 115 concentración Cs moléculas de soluto difundiéndose a través de la membrana de la célula FIGURA 3.R.2 Célula del problema 8 9. Suponga que conforme se enfría un cuerpo, la temperatura del medio circundante aumenta debido a que absorbe por completo el calor que pierde el cuerpo. Sean T(t) y Tm(t) las temperaturas del cuerpo y el medio al tiempo t, respectivamente. Si la temperatura inicial del cuerpo es T1 y la temperatura inicial del medio de T2, entonces se puede mostrar en este caso que la ley de Newton del enfriamiento es dTdt k(T – Tm), k 0, donde Tm T2 B(T1 T), B 0 es una constante. a) La ED anterior es autónoma. Utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el valor límite de la temperatura T(t) conforme t A . ¿Cuál es el valor límite de Tm(t) conforme t A ? b) Compruebe sus respuestas del inciso a) resolviendo la ecuación diferencial. c) Analice una interpretación física de sus respuestas en el inciso a). 10. De acuerdo con la ley de Stefan de la radiación, la temperatura absoluta T de un cuerpo que se enfría en un medio a temperatura absoluta constante Tm está dada como dT k(T 4 T 4m ), dt donde k es una constante. La ley de Stefan se puede utilizar en un intervalo de temperatura mayor que la ley de Newton del enfriamiento. a) Resuelva la ecuación diferencial. b) Demuestre que cuando T Tm es pequeña comparada con Tm entonces la ley de Newton del enfriamiento se aproxima a la ley de Stefan. [Sugerencia: Considere la serie binomial del lado derecho de la ED.] 11. Supongamos que un circuito serie RC tiene una resistencia variable. Si la resistencia al tiempo tHVWiGH¿QLGDSRUR(t) k1 k2t, donde k1 y k2 son constantes positivas conocidas, entonces la ecuación diferencial (9) de la sección 3.1 se convierte (k1 1 k2t) dq 1 1 q 5 E(t), dt C donde C es una constante. Si E(t E0 y q q0, donde E0 y q0 son constantes, entonces demuestre que q(t) 5 E0C 1 (q0 2 E0C ) S k1 k1 1 k2t D 1yCk2 . 116 O CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 12. Un problema clásico en el cálculo de variaciones es encontrar la forma de una curva tal que una cuenta, bajo ODLQÀXHQFLDGHODJUDYHGDGVHGHVOLFHGHOSXQWRA(0, 0) al punto B(x1, y1 HQHOPHQRUWLHPSR9HDOD¿JXUD56H puede demostrar que una ecuación no lineal para la forma y(x) de la trayectoria es y[1 (y)2] k, donde k es una constante. Primero resuelva para dx en términos de y y dy; y después utilice la sustitución y k sen2ș para obtener una forma paramétrica de la solución. La curva resulta ser una cicloide. A(0, 0) Cuando todas las curvas de una familia G(x, y, c1) 0 intersecan ortogonalmente todas las curvas de otra familia H(x, y, c2) 0, se dice que las familias son trayectorias ortogonalesHQWUHVt9HDOD¿JXUD56Ldydx f (x, y) es la ecuación diferencial de una familia, entonces la ecuación diferencial para las trayectorias ortogonales de esta familia es dydx 1f (x, y). En los problemas 15 a 18, encuentre la ecuación diferencial de la familia suministrada de la forma dydx y elimine c1 de esta ecuación. Determine las trayectorias ortogonales de esta familia. Utilice un proJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHDPEDVIDmilias en el mismo conjunto de ejes coordenados. x G(x, y, c1) = 0 cuenta mg B(x1, y1) y tangentes FIGURA 3.R.3 Cuenta deslizando del problema 12. H(x, y, c 2 ) = 0 13. Un modelo para las poblaciones de dos especies de animales que interactúan es dx k1x( x) dt dy k 2 xy. dt Resuelva para x y y en términos de t. 14. En un principio, dos tanques grandes A y B contienen cada uno 100 L de salmuera. El líquido bien mezclado se ERPEHDHQWUHORVUHFLSLHQWHVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 5 8WLOLFH OD LQIRUPDFLyQ GH OD ¿JXUD SDUD FRQVWUXLU XQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDHOQ~PHURGHNJGHVDOx1(t) y x2(t) al tiempo t en los recipientes A y B, respectivamente. mezcla 5 L/min 2 kg/L 7 L/min A 100 L mezcla 3 L/min B 100 L mezcla 1 L/min mezcla 4 L/min FIGURA 3.R.4 Recipientes de mezclado del problema 14. FIGURA 3.R.5 Trayectorias ortogonales. 19. ,GHQWL¿FDQGRa r, b rK y a/b KODV¿JXUDV y 3.2.2 muestran que el modelo de población logística, (3) de la sección 3.2, predice que, para una población inicial, P0, 0 P0 K, independientemente de qué tan pequeña sea P0, la población aumenta con el tiempo, pero no supera la capacidad de carga K. También, para P0 K el mismo modelo predice que una población no puede sostenerse a sí misma en el tiempo, por lo que disminuye, pero aun así nunca cae por debajo de la capacidad de carga K del ecosistema. El ecologista estadounidense Warder Clyde Allee (1885-1955) demostró que por agotamiento de ciertas pesquerías más allá de un cierto nivel, la población de SHFHVQXQFDVHUHFXSHUD&yPRVHPRGL¿FDUtDODHFXDFLyQ diferencial (3) para describir una población P que tenga estas mismas dos características de (3), pero además que tenga un nivel límite A, 0 A K, por debajo del cual la población no se puede sostener y se extingue en el tiempo. [Sugerencia: construya un retrato de fase de lo que quiere y luego construya una ecuación diferencial.] 20. Aserrar madera Un pedazo largo uniforme de madera (secciones transversales iguales) se corta en forma perpendicular a su longitud con una sierra vertical. Véase la ¿JXUD56LVHGHVSUHFLDODIULFFLyQHQWUHODKRMDGHOD sierra y la madera a través del cual pasa la hoja, entonces se puede suponer que la rapidez con la que la hoja de sierra se mueve a través de la pieza de madera es REPASO DEL CAPÍTULO 3 O 117 El filo de la hoja de sierra se mueve de izquierda a derecha y w(x) Ancho El filo es vertical a) sección transversal El corte se hace perpendicular a la longitud a b) perfil del tronco b x x c) sección transversal FIGURA 3.R.6 Aserrar un tronco en el problema 20. inversamente proporcional al ancho de la madera en conWDFWR FRQ VX ¿OR /D KRMD DYDQ]D D WUDYpV GH OD PDGHUD (digamos que se mueve, de izquierda a derecha) el ancho de una sección transversal cambia como una función continua no negativa w. Si una sección transversal de madera se describe como una región en el plano xyGH¿QLGDVREUH un intervalo [a, b@HQWRQFHVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 3.R.6(c), la posición x de la hoja de la sierra es una función del tiempo t y el corte vertical de la hoja se puede representar por un segmento de recta vertical. La longitud de esta recta vertical es el ancho w(x) de la madera en ese punto. Así la posición x(t) de la hoja de la sierra y la rapidez dx/ dt de con la que se mueve hacia la derecha esta relacionada con w(x) por w(x) dx 5 k, x(0) 5 a. dt Aquí, k representa el número de unidades cuadradas de material retirado por la hoja de sierra por unidad de tiempo. a) Suponga que la sierra está computarizada y se puede programar para k 1. Determine una solución implícita del problema de valor inicial anterior cuando la pieza de madera es un tronco circular. Suponga que una sección transversal es un círculo de radio 2 centrado en (0, 0). [Sugerencia: para ahorrar tiempo véase la fórmula 41 en la tabla de integrales dada en el apéndice.] b) Resuelva la solución implícita obtenida en el inciso b) para el tiempo t como una función de x. Trace la grá ¿FDGHODIXQFLyQt(x &RQD\XGDGHODJUi¿FDDSUR xime el tiempo que tarda la sierra en cortar a lo largo esta pieza de madera. Luego determine el valor exacto de este tiempo. 21. Resuelva el problema de valor inicial del problema 20 cuando una sección de un tronco uniforme de madera es ODUHJLyQWULDQJXODUHQOD¿JXUD56XSRQJDRWUDYH] que k 1. ¿Cuánto tiempo tarda en cortar este tronco de madera? y Ï2 2 Ï2 x FIGURA 3.R.7 Sección transversal triangular del problema 21. 22. Cinética química Suponga que un gas se compone de moléculas de tipo A. Cuando el gas se calienta se forma una segunda sustancia B por colisiones moleculares. Sea que A(t) y B(t) denoten, a su vez, el número de moléculas de tipo A y B presentes al tiempo t 0. Un modelo matemático para la tasa a la que disminuye el número de moléculas de tipo A es dA 5 2kA2, k . 0. dt a) Determine A(t) si A A0. b) Determine el número de moléculas de sustancia B presente al tiempo t si se supone que A(t) + B(t) A0. c) $PDQRERVTXHMHJUi¿FDVGHA(t) y B(t) para t 0. 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR © Bill Ingalls/NASA 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 Teoría preliminar: Ecuaciones lineales Reducción de orden (FXDFLRQHVOLQHDOHVKRPRJpQHDVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV0pWRGRGHVXSHUSRVLFLyQ &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV0pWRGRGHODQXODGRU 9DULDFLyQGHSDUiPHWURV Ecuación de Cauchy-Euler Funciones de Green 6ROXFLyQGHVLVWHPDVGH('OLQHDOHVSRUHOLPLQDFLyQ Ecuaciones diferenciales no lineales REPASO DEL CAPÍTULO 4 A hora abordaremos la solución de ecuaciones diferenciales de segundo RUGHQRVXSHULRU(QODVSULPHUDVVLHWHVHFFLRQHVGHHVWHFDStWXORVH DQDOL]DQODWHRUtDIXQGDPHQWDO\FLHUWDVFODVHVGHHFXDFLRQHVOLQHDOHV(O FDStWXORFRQFOX\HFRQXQEUHYHDQiOLVLVGHHFXDFLRQHVQROLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRU 118 4.1 4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES O 119 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN (QHOFDStWXORYLPRVTXHVHSXHGHQUHVROYHUDOJXQDVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ VL VH UHFRQRFHQ FRPR VHSDUDEOHV H[DFWDV R TXH WLHQHQ FRH¿FLHQWHV KRPRJpQHRV $XQTXHODVVROXFLRQHVGHHVWDVHFXDFLRQHVHVWXYLHUDQHQODIRUPDGHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDHVWD IDPLOLDFRQXQDH[FHSFLyQQRUHSUHVHQWDODsolución general de la ecuación diferencial. Recuerde TXHXQDsolución generalHVXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVGH¿QLGDVREUHDOJ~QLQWHUYDORITXHFRQWLHQH todasODVVROXFLRQHVGHOD('TXHHVWiQGH¿QLGDVVREUHI.6yORHQHOFDVRGHODV('lineales de priPHURUGHQVHSXHGHQREWHQHUVROXFLRQHVJHQHUDOHVFRQVLGHUDQGRFLHUWDVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV&RPR HO REMHWLYR SULQFLSDO GH HVWH FDStWXOR HV HQFRQWUDU VROXFLRQHV JHQHUDOHV GH (' OLQHDOHV GH RUGHQ VXSHULRUSULPHURQHFHVLWDPRVH[DPLQDUXQSRFRGHWHRUtDGHHFXDFLRQHVOLQHDOHV 9XHOYDDOHHUYL GH ORV&RPHQWDULRVGHOD sección 1.1 y la página GHODVHFFLyQ 4.1.1 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Y CON VALORES EN LA FRONTERA PROBLEMA CON VALORES INICIALES (QODVHFFLyQVHGH¿QLyXQSUREOHPD FRQYDORUHVLQLFLDOHVSDUDXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHn-ésimo orden. Para una ecuación diferencial lineal, un problema con valores iniciales de n-ésimo orden es Resuelva: an(x) Sujeta a: d ny dx n y(x0) y0, an 1(x) y (x0) d n 1y dx n 1 a1(x) y1 , . . . , dy dx (n 1) y (x0) a0(x)y g(x) (1) yn 1. 5HFXHUGHTXHSDUDXQSUREOHPDFRPRpVWHVHEXVFDXQDIXQFLyQGH¿QLGDVREUHDOJ~Q LQWHUYDORITXHFRQWLHQHDx0TXHVDWLVIDFHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODVn condiciones LQLFLDOHVTXHVHHVSHFL¿FDQHQx0: y(x0) y0, y(x0) y1, . . . , y(n1)(x0) yn1. Ya hemos YLVWRTXHHQHOFDVRGHXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQXQDFXUYD VROXFLyQGHEHSDVDUSRUHOSXQWR x0, y0 \WHQHUSHQGLHQWHy1HQHVWHSXQWR EXISTENCIA Y UNICIDAD (QODVHFFLyQVHH[SUHVyXQWHRUHPDTXHGDEDODV FRQGLFLRQHVFRQODVTXHVHJDUDQWL]DEDODH[LVWHQFLD\XQLFLGDGGHXQDVROXFLyQGHXQ SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQ(OWHRUHPDTXHVLJXHWLHQHFRQGLFLRQHV VX¿FLHQWHVSDUDODH[LVWHQFLD\XQLFLGDGGHXQDVROXFLyQ~QLFDGHOSUREOHPDHQ TEOREMA 4.1.1 Existencia de una solución única Sean an(x), an 1(x), . . . , a1(x), a0(x) y g(x FRQWLQXDVVREUHXQLQWHUYDORI, y sea an(x) SDUDWRGDxHQHVWHLQWHUYDOR6Lx x0HVFXDOTXLHUSXQWRHQHVWH LQWHUYDOR HQWRQFHV XQD VROXFLyQ y(x GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV H[LVWHVREUHHOLQWHUYDOR\HV~QLFD EJEMPLO 1 Solución única de un PVI (OSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV 3y 5y y 7y 0, y(1) 0, y (1) 0, y (1) 0 WLHQHODVROXFLyQWULYLDOy 0'HELGRDTXHODHFXDFLyQGHWHUFHURUGHQHVOLQHDOFRQ FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHFXPSOHQODVFRQGLFLRQHVGHOWHRUHPD3RUWDQWRy 0 es la únicaVROXFLyQVREUHFXDOTXLHULQWHUYDORTXHFRQWLHQHDx 1. 120 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 2 Solución única de un PVI 6HGHEHFRPSUREDUTXHODIXQFLyQy e x ex x es una solución del problema FRQYDORUHVLQLFLDOHV y 4y 12x, y(0) 4, y (0) 1. $KRUD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HV OLQHDO ORV FRH¿FLHQWHV DVt FRPR g(x) x, son FRQWLQXRV\a(x) 1 VREUHDOJ~QLQWHUYDORITXHFRQWHQJDDx 0. Concluimos GHOWHRUHPDTXHODIXQFLyQGDGDHVOD~QLFDVROXFLyQVREUHI. /RVUHTXLVLWRVHQHOWHRUHPDGHTXHai(x), i nVHDQFRQWLQXDV\ an(x) SDUDWRGDx en IVRQLPSRUWDQWHV(QSDUWLFXODUVLan(x) SDUDDOJ~Qx en HOLQWHUYDORHQWRQFHVODVROXFLyQGHXQSUREOHPDOLQHDOFRQYDORUHVLQLFLDOHVSRGUtD QR VHU ~QLFD R QL VLTXLHUD H[LVWLU 3RU HMHPSOR VH GHEH FRPSUREDU TXH OD IXQFLyQ y cx x HVXQDVROXFLyQGHSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV x2 y 2xy 2y 6, y(0) 3, y (0) 1 VREUHHOLQWHUYDOR , SDUDDOJXQDHOHFFLyQGHOSDUiPHWURc(QRWUDVSDODEUDVQR KD\VROXFLyQ~QLFDGHOSUREOHPD$XQTXHVHVDWLVIDFHODPD\RUtDGHODVFRQGLFLRQHV GHOWHRUHPDODVGL¿FXOWDGHVREYLDVVRQTXHa(x) x es cero en x \TXHODV FRQGLFLRQHVLQLFLDOHVWDPELpQVHLPSRQHQHQx 0. y soluciones de la ED PROBLEMA CON VALORES EN LA FRONTERA 2WURWLSRGHSUREOHPDFRQVLVWH HQUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHRUGHQGRVRPD\RUHQHOTXHODYDULDEOH GHSHQGLHQWHyRVXVGHULYDGDVVHHVSHFL¿FDQHQdiferentes puntos8QSUREOHPDWDOFRPR (b, y1) (a, y0) I x FIGURA 4.1.1 &XUYDVVROXFLyQGHXQ 39)TXHSDVDQSRUGRVSXQWRV Resuelva: a2(x) Sujeto a: y(a) d 2y dx2 a1(x) y0 , dy dx y(b) a0(x)y g(x) y1 se conoce como un problema con valores en la frontera (PVF)/RVYDORUHVSUHVFULWRV y(a) y0 y y(b) y1 se denominan condiciones en la frontera. Una solución del proEOHPDDQWHULRUHVXQDIXQFLyQTXHVDWLVIDFHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHDOJ~QLQWHUYDORI, TXHFRQWLHQHDa y bFX\DJUi¿FDSDVDSRUORVSXQWRV a, y0) y (b, y1 9HDOD¿JXUD 3DUDXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQRWURVSDUHVGHFRQGLFLRQHVHQOD IURQWHUDSRGUtDQVHU y (a) y0 , y(b) y1 y(a) y0 , y (b) y1 y (a) y0 , y (b) y1, donde y0 y y1GHQRWDQFRQVWDQWHVDUELWUDULDV(VWRVWUHVSDUHVGHFRQGLFLRQHVVRQVyOR FDVRVHVSHFLDOHVGHODVFRQGLFLRQHVJHQHUDOHVHQODIURQWHUD 1 y(a) 1y (a) 1 2 y(b) 2y (b) 2. (QHOVLJXLHQWHHMHPSORVHPXHVWUDTXHDXQFXDQGRVHFXPSOHQODVFRQGLFLRQHVGHO WHRUHPDXQSUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUDSXHGHWHQHUYDULDVVROXFLRQHV FRPR VHVXJLHUHHQOD¿JXUD XQDVROXFLyQ~QLFDRQRWHQHUVROXFLyQ EJEMPLO 3 Un PVF puede tener muchas, una o ninguna solución (QHOHMHPSORGHODVHFFLyQYLPRVTXHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURV de la ecuación diferencial x 16x 0 es x c1 cos 4t c2 sen 4t. 4.1 x c2 = 1 1 c2 = 2 c2 = 1 c2 = 0 1 4 t 1 (0, 0) c2 = − 1 2 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES O 121 a) 6 XSRQJDTXHDKRUDGHVHDPRVGHWHUPLQDUODVROXFLyQGHODHFXDFLyQTXHVDWLVIDFH PiV FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD x(0) 0, x(ʌ 2EVHUYH TXH OD SULPHUD condición 0 c1 cos 0 cVHQLPSOLFDTXHc1 SRUWDQWRx cVHQt. Pero cuando t ʌ cVHQʌVHVDWLVIDFHSDUDFXDOTXLHUHOHFFLyQGHc\DTXH VHQʌ 3RUWDQWRHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD (π /2, 0) x 16x 0, x(0) 0, x 0 2 FIGURA 4.1.2 &XUYDVVROXFLyQSDUD HO39)GHOLQFLVR D GHOHMHPSOR WLHQH XQ LQ¿QLWR GH VROXFLRQHV (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUDQ ODV JUi¿FDV GH DOJXQRVGHORVPLHPEURVGHODIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDx cVHQtTXHSDVDSRU ORVGRVSXQWRV \ ʌ b) 6LHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUDHQ VHFDPELDD x 16x 0, x(0) 0, x 0, 8 HQWRQFHV x(0) D~Q UHTXLHUH TXH c1 HQ OD VROXFLyQ 3HUR DSOLFDQGR x(ʌ8) 0 a x cVHQtUHTXLHUHTXH c sen (ʌ c 3RUWDQWRx 0 HVXQDVROXFLyQGHHVWHQXHYRSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD'HKHFKRVH SXHGHGHPRVWUDUTXHx 0 es la únicaVROXFLyQGH c) 3RU~OWLPRVLVHFDPELDHOSUREOHPDD x 16x 0, x(0) 0, x 1, 2 (5) VHHQFXHQWUDGHQXHYRGHx(0) TXHc1 0, pero al aplicar x(ʌ 1 a x c VHQ t FRQGXFH D OD FRQWUDGLFFLyQ c VHQ ʌ c 0 3RU WDQWR HO SUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD QRWLHQHVROXFLyQ. 4.1.2 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma an(x) dny dx n an 1(x) d n 1y dx n 1 a1(x) dy dx a0(x)y 0 (6) g(x), (7) VHGLFHTXHHVhomogéneaPLHQWUDVTXHXQDHFXDFLyQ an(x) 3RUIDYRUUHFXHUGH HVWDVGRVVXSRVLFLRQHV dny dx n an 1(x) d n 1y dx n 1 a1(x) dy dx a0(x)y con g(x QR LGpQWLFDPHQWH LJXDO D FHUR HV no homogénea. Por ejemplo, y y 5y 0 es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, PLHQWUDVTXHxy 6y 10y exHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHWHUFHURUGHQ no homogénea. La palabra homogéneaHQHVWHFRQWH[WRQRVHUH¿HUHDORVFRH¿FLHQWHV TXHVRQIXQFLRQHVKRPRJpQHDVFRPRHQODVHFFLyQ 'HVSXpVYHUHPRVTXHSDUDUHVROYHUXQDHFXDFLyQOLQHDOQRKRPRJpQHD SULPHURVHGHEHSRGHUUHVROYHUODecuación homogénea asociada (6). 3DUD HYLWDU OD UHSHWLFLyQ LQQHFHVDULD HQ OR TXH UHVWD GH HVWH OLEUR VH KDUiQ FRPRDOJRQDWXUDOODVVLJXLHQWHVVXSRVLFLRQHVLPSRUWDQWHVFXDQGRVHHVWDEOH]FDQ GH¿QLFLRQHV\WHRUHPDVDFHUFDGHODVHFXDFLRQHVOLQHDOHV VREUHDOJ~QLQWHUYDOR FRP~QI, • ODVIXQFLRQHVFRH¿FLHQWHVai(x), i n y g(x VRQFRQWLQXDV • a n(x) SDUDWRGDxHQHOLQWHUYDOR OPERADORES DIFERENCIALES (QFiOFXORODGHULYDFLyQVHGHQRWDFRQIUHFXHQFLDFRQODOHWUDDPD\~VFXODHVGHFLUdydx Dy. El símbolo D se conoce como operador diferencial SRUTXH FRQYLHUWH XQD IXQFLyQ GHULYDEOH HQ RWUD IXQFLyQ 3RU 122 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ejemplo, D FRVx) VHQx y D(5x 6x) 15x x/DVGHULYDGDVGHRUGHQ VXSHULRUVHH[SUHVDQHQWpUPLQRVGHDGHPDQHUDQDWXUDO d 2y dx2 d dy dx dx D(Dy) D 2y y, en general dny dxn Dn y, donde yUHSUHVHQWDXQDIXQFLyQVX¿FLHQWHPHQWHGHULYDEOH/DVH[SUHVLRQHVSROLQRPLDOHVHQODVTXHLQWHUYLHQHD, como D D D \xD 6xD xD 9, VRQWDPELpQRSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHV(QJHQHUDOVHGH¿QHXQoperador diferencial de n-ésimo orden u operador polinomial como L an(x)D n an1(x)D n1 a1(x)D a 0(x). (8) &RPRXQDFRQVHFXHQFLDGHGRVSURSLHGDGHVEiVLFDVGHODGHULYDGDD(cf(x)) cDf(x), cHVXQDFRQVWDQWH\D{f(x) g(x)} Df(x) Dg(x), el operador diferencial LWLHQH una propiedad de linealidad; es decir, L operando sobre una combinación lineal de dos IXQFLRQHVGHULYDEOHVHVORPLVPRTXHODFRPELQDFLyQOLQHDOGHL operando en cada una GHODVIXQFLRQHV6LPEyOLFDPHQWHHVWRVHH[SUHVDFRPR L{ĮI (x) ȕJ(x)} Į/( f (x)) ȕ/(g(x)), (9) donde Į y ȕVRQFRQVWDQWHV&RPRUHVXOWDGRGH VHGLFHTXHHORSHUDGRUGLIHUHQFLDO de n-ésimo orden es un operador lineal. ECUACIONES DIFERENCIALES &XDOTXLHUHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOSXHGHH[SUHVDUVHHQWpUPLQRVGHODQRWDFLyQD. Por ejemplo, la ecuación diferencial y 5y 6y 5x VHSXHGHHVFULELUFRPRDy 5Dy 6y 5x±R D 5D 6) y 5x Usando la ecuación (8), se pueden escribir las ecuaciones diferenciales lineales de npQHVLPRRUGHQ \ HQIRUPDFRPSDFWDUHVSHFWLYDPHQWHFRPR L(y) 0 y L(y) g(x), PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN (QHOVLJXLHQWHWHRUHPDVHYHTXHODVXPDR superposición de dos o más soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea HVWDPELpQXQDVROXFLyQ TEOREMA 4.1.2 Principio de superposición, ecuaciones homogéneas Sean y1, y, . . . , yk soluciones de la ecuación homogénea de n-ésimo orden (6) VREUHXQLQWHUYDORI(QWRQFHVODFRPELQDFLyQOLQHDO y c1 y1(x) c2 y2(x) ck yk(x), donde las ci , i kVRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDVWDPELpQHVXQDVROXFLyQVREUHHOLQWHUYDOR DEMOSTRACIÓN 6HGHPXHVWUDHOFDVRk 6HDLHORSHUDGRUGLIHUHQFLDOTXH VHGH¿QLyHQ \VHDQy1(x) y y(x) soluciones de la ecuación homogénea L(y) 0. 6LVHGH¿QHy c௘y1(x) c௘௘y(x HQWRQFHVSRUODOLQHDOLGDGGHLVHWLHQHTXH L( y) L{c1 y1(x) c2 y2(x)} c1 L(y1) c2 L(y2) c1 0 c2 0 0. COROLARIOS DEL TEOREMA 4.1.2 A) 8QP~OWLSORFRQVWDQWHy c௘y1(x) de una solución y1(x) de una ecuación GLIHUHQFLDOOLQHDOKRPRJpQHDHVWDPELpQXQDVROXFLyQ B) 8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOKRPRJpQHDWLHQHVLHPSUHODVROXFLyQWULYLDOy 0. 4.1 EJEMPLO 4 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES O 123 Superposición – ED homogénea Las funciones y1 x y y x ln x son soluciones de la ecuación lineal homogénea xy xy y VREUHHOLQWHUYDOR ). Por el principio de superposición, la combinación lineal y c1x2 c2 x2 ln x HVWDPELpQXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDOR La función y e7x es una solución de y 9y y 'HELGRDTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO HVOLQHDO\KRPRJpQHDHOP~OWLSORFRQVWDQWHy ce7xHVWDPELpQXQDVROXFLyQ3DUDYDULRV YDORUHVGHcVHYHTXHy 9e7x, y 0, y 15e7x VRQWRGDVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQ DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL /RVVLJXLHQWHVGRVFRQFHSWRVVRQEiVLFRVSDUDHOHVWXGLRGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHV DEFINICIÓN 4.1.1 Dependencia e independencia lineal 6HGLFHTXHXQFRQMXQWRGHIXQFLRQHVf1(x), f(x), . . . , fn(x) es linealmente dependiente sobreXQLQWHUYDORIVLH[LVWHQFRQVWDQWHVc1, c, . . . , cnQRWRGDVFHURWDOHVTXH c1 f1(x) c2 f2(x) cn fn(x) 0 SDUDWRGDxHQHOLQWHUYDOR6LHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHVQRHVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVREUHHOLQWHUYDORVHGLFHTXHHVlinealmente independiente. (Q RWUDV SDODEUDV XQ FRQMXQWR GH IXQFLRQHV HV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH VREUH XQ LQWHUYDORIVLODV~QLFDVFRQVWDQWHVSDUDODVTXH y f1 = x x a) y f2 = |x| x b) FIGURA 4.1.3 (OFRQMXQWRTXHFRQVLVWH en f1 y fHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHHQ (, ). c1 f1(x) c2 f2(x) cn fn(x) 0 SDUDWRGDxHQHOLQWHUYDORVRQc1 c . . . cn 0. (VIiFLOHQWHQGHUHVWDVGH¿QLFLRQHVSDUDXQFRQMXQWRTXHFRQVLVWHHQGRVIXQFLRQHV f1(x) y f(x 6LHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHVHVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVREUHXQLQWHUYDOR HQWRQFHVH[LVWHQFRQVWDQWHVc1 y cTXHQRVRQDPEDVFHURGHPDQHUDWDOTXHSDUDWRGD xHQHOLQWHUYDORc1 f1(x) c f(x) 3RUWDQWRVLVXSRQHPRVTXHc1 0, se deduce TXHf1(x) (cc1) f(x); es decir, si un conjunto de dos funciones es linealmente dependiente, entonces una función es simplemente un múltiplo constante del otro.$ODLQYHUVD si f1(x) c௘௘f(x SDUDDOJXQDFRQVWDQWHcHQWRQFHV 1) f1(x) c f(x) SDUDWRGDx HQHOLQWHUYDOR$VtHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHVHVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHSRUTXHDOPHQRV XQDGHODVFRQVWDQWHV HQSDUWLFXODUc1 QRHVFHUR6HFRQFOX\HTXHun conjunto de dos funciones f1(x) y f(x) es linealmente independiente cuando ninguna función es un múltiplo constante de la otraVREUHHOLQWHUYDOR3RUHMHPSORHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHV f1(x) VHQx, f(x) sen x cos xHVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVREUH , SRUTXHf1(x) HVXQP~OWLSORFRQVWDQWHGHf(x). Recuerde de la fórmula del seno del doble de un ángulo TXHVHQx VHQx cos x3RURWURODGRHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHVf1(x) x, f(x) x es OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUH , $OH[DPLQDUOD¿JXUDGHEHFRQYHQFHUVH GHTXHQLQJXQDIXQFLyQHVXQP~OWLSORFRQVWDQWHGHODRWUDVREUHHOLQWHUYDOR 'HODQiOLVLVDQWHULRUVHWLHQHTXHHOFRFLHQWHf(x)f1(x QRHVXQDFRQVWDQWHHQXQ LQWHUYDORHQHOTXHHOFRQMXQWRf1(x), f(x HVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWH(VWRVHXVDUi HQODVLJXLHQWHVHFFLyQ EJEMPLO 5 Conjunto de funciones linealmente dependiente (OFRQMXQWRGHIXQFLRQHVf1(x) cosx, f(x) senx, f(x) secx, f(x) WDQx es OLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVREUHHOLQWHUYDOR ʌʌ SRUTXH c1 cos2x c2 sen2x c3 sec2x c4 tan2x 0 124 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR donde c1 c 1, c 1, c $TXtVHXVDFRVx senx 1 y 1 WDQx secx. 8QFRQMXQWRGHQIXQFLRQHVf1(x), f(x), . . . , fn(x HVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVREUHXQ LQWHUYDORVLDOPHQRVXQDIXQFLyQVHSXHGHH[SUHVDUFRPRXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGH ODVRWUDVIXQFLRQHV f3(x) 5 c1 f1(x) 1 c2 f2(x) 3DUDWRGDx en I8QFRQMXQWRGHnIXQFLRQHVHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUH I si QLQJXQDIXQFLyQHVXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHRWUDVIXQFLRQHV EJEMPLO 6 Conjunto de funciones linealmente dependientes (OFRQMXQWRGHIXQFLRQHV f1(x) 1x 5, f2(x) 1x 5x, f(x) x 1, f(x) x HVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVREUHHOLQWHUYDOR SRUTXHf puede escribirse como una combinación lineal de fl, f y f2EVHUYHTXH f2(x) 1 f1(x) 5 f3(x) 0 f4(x) SDUDWRGDxHQHOLQWHUYDOR ). SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES (VWDPRVLQWHUHVDGRVSULQFLSDOPHQWH HQ IXQFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV R FRQ PiV SUHFLVLyQ VROXFLRQHV OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO$XQTXHVHSRGUtDDSHODUVLHPSUHHQIRUPDGLUHFWDDODGH¿QLFLyQUHVXOWDTXHODFXHVWLyQGHVLHOFRQMXQWRGHn soluciones yl, y, . . . , yn de una ecuación diferencial lineal homogénea de npVLPRRUGHQ HVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVHSXHGHHVWDEOHFHUHQXQDIRUPDXQ SRFRPHFiQLFDXVDQGRXQGHWHUPLQDQWH DEFINICIÓN 4.1.2 Wronskiano 6XSRQJDTXHFDGDXQDGHODVIXQFLRQHVf1(x), f(x), . . . , fn(x WLHQHDOPHQRV n GHULYDGDV(OGHWHUPLQDQWH W( f1, f2, . . . , fn ) f1 f1 f1(n fn fn f2 f2 1) f2(n 1) fn(n , 1) GRQGHODVSULPDVGHQRWDQGHULYDGDVVHGHQRPLQDHOWronskiano de las funciones. (OGHWHUPLQDQWH:URQVNLDQRVHQRPEUDDVtHQKRQRUGHOPDWHPiWLFR\¿ORVRIR polaco -yVHI0DULD+RsQp:URQVNL ± TEOREMA 4.1.3 Criterio para soluciones linealmente independientes Sean yl, y, . . . , yn n soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de npVLPRRUGHQ VREUHXQLQWHUYDORI(OFRQMXQWRGHVROXFLRQHVHVlinealmente independiente en I si y sólo si W(yl, y, . . . , yn) SDUDWRGDx en el LQWHUYDOR 4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES O 125 6H WLHQH GHO WHRUHPD TXH FXDQGR yl, y, . . . , yn son n soluciones de VREUHXQLQWHUYDORIHO:URQVNLDQRW(yl, y, . . . , yn) es igual a cero o nunca es FHURVREUHHOLQWHUYDOR 3RUWDQWRVLSRGHPRVGHPRVWUDUTXHW(y1, y, …, yn) ! 0 para algún x0 en IHQWRQces las soluciones y1, y, …, ynVRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVREUHI. Por ejemplo, las funciones y1(x) 5 cos(2 ln x) sen(2 ln x) , y2(x) 5 x3 x3 y las soluciones de la ecuación diferencial x2 y0 1 7xy9 1 13y 5 0 VREUHHOLQWHUYDOR 2EVHUYHTXHODVIXQFLRQHVFRH¿FLHQWHVa(x) = x, a1(x) = 7x, y a0(x VRQFRQWLQXDVVREUH \TXHa(x) !SDUDFDGDYDORUGHx en el inWHUYDOR(O:URQVNLDQRHV cos(2 ln x) sen(2 ln x) x3 x3 . W(y1(x), y2(x))5 2 2 2 22x sen(2 ln x)23x cos(2 ln x) 2x cos(2 ln x)23x2 sen(2 ln x) x6 x6 * * (QOXJDUGHGHVDUUROODUHVWHGHWHUPLQDQWHLQPDQHMDEOHHOHJLPRVx HQHOLQWHUYDOR (0, \VHHQFXHQWUD W(y1(1), y2(1)) 5 * 231 02 * 5 2. (OKHFKRTXHW(y1(1), y(1)) !HVVX¿FLHQWHSDUDFRQFOXLUTXHy1(x) y y(x) son OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVREUH ). $OFRQMXQWRGHnVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO homogénea de orden n se le da un nombre especial. DEFINICIÓN 4.1.3 Conjunto fundamental de soluciones &XDOTXLHUFRQMXQWRyl, y, . . . , yn de nVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (6) sobre un LQWHUYDORI es un conjunto fundamental de solucionesVREUHHOLQWHUYDOR /DFXHVWLyQEiVLFDGHVLH[LVWHXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHVSDUDXQD HFXDFLyQOLQHDOVHFRQWHVWDHQHOVLJXLHQWHWHRUHPD TEOREMA 4.1.4 Existencia de un conjunto fundamental ([LVWHXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHVSDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLneal homogénea de npVLPRRUGHQ VREUHXQLQWHUYDORI. 6LPLODUDOKHFKRGHTXHFXDOTXLHUYHFWRUHQWUHVGLPHQVLRQHVVHSXHGHH[SUHVDUFRPR XQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHORVYHFWRUHVlinealmente independientes i, j, kFXDOTXLHUVRlución de una ecuación diferencial lineal homogénea de npVLPRRUGHQVREUHXQLQWHUYDORI se expresa como una combinación lineal de nVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVREUHI(QRWUDVSDODEUDVnVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVyl, y, . . . , ynVRQORVEORTXHVEiVLFRVSDUDODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ 126 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR TEOREMA 4.1.5 Solución general: ecuaciones homogéneas Sea yl, y, . . . , ynXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHrencial lineal homogénea de npVLPRRUGHQ VREUHXQLQWHUYDORI(QWRQFHV la solución generalGHODHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDORHV y c1 y1(x) c2 y2(x) cn yn(x), donde ci , i nVRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDV (OWHRUHPDHVWDEOHFHTXHVLY(x HVDOJXQDVROXFLyQGH VREUHHOLQWHUYDOR HQWRQFHVVLHPSUHVHSXHGHQHQFRQWUDUFRQVWDQWHVCl, C, . . . , CnWDOHVTXH Y(x) C1 y1(x) C2 y2(x) Cn yn(x). 'HPRVWUDUHPRVHOFDVRFXDQGRn DEMOSTRACIÓN Sea Y una solución y yl y yVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV de ay al y a0 y VREUHXQLQWHUYDORI6XSRQJDTXHx tHVXQSXQWRHQI para el cual W(yl(t), y(t)) 6XSRQJDWDPELpQTXHY(t) kl y Y(t) k. Si examinamos las ecuaciones C1 y1(t) C2 y2(t) k1 C1 y 1(t) C2 y 2(t) k2, VHWLHQHTXHSRGHPRVGHWHUPLQDUCl y CGHPDQHUD~QLFDDFRQGLFLyQGHTXHHOGHWHUPLQDQWHGHORVFRH¿FLHQWHVVDWLVIDJD y1(t) y2(t) y1 (t) y2 (t) 0. 3HURHVWHGHWHUPLQDQWHHVVLPSOHPHQWHHO:URQVNLDQRHYDOXDGRHQx t y por suposición, W 6LVHGH¿QHG(x) Cl yl(x) C y(x VHREVHUYDTXHG(x VDWLVIDFH ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHVWRTXHHVXQDVXSHUSRVLFLyQGHGRVVROXFLRQHVFRQRFLGDV G(x VDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV G(t) C1 y1(t) C2 y2(t) k1 y G (t) C1 y 1 (t) C2 y 2(t) k2; y Y(x VDWLVIDFHODmisma ecuación lineal y las mismasFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV'HELGRD TXHODVROXFLyQGHHVWHSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVOLQHDOHV~QLFD WHRUHPD VHWLHQHY(x) G(x) o Y(x) CO௘yl(x) C௘y(x). EJEMPLO 7 Solución general de una ED homogénea Las funciones yl ex y y ex son las dos soluciones de la ecuación lineal homogénea y – 9y VREUHHOLQWHUYDOR , 3RULQVSHFFLyQODVVROXFLRQHVVRQOLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHVVREUHHOHMHx(VWHKHFKRVHFRUURERUDDOREVHUYDUTXHHO:URQVNLDQR W(e3x, e 3x ) e3x 3e3x e 3e 3x 3x 6 0 SDUDWRGDx6HFRQFOX\HTXHyl y yIRUPDQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHV\ SRUWDQWRy c1e x cexHVODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDOR 4.1 EJEMPLO 8 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES O 127 Una solución obtenida de una solución general La función y VHQKx 5ex es una solución de la ecuación diferencial del ejemSOR &RPSUXHEHHVWR $SOLFDQGRHOWHRUHPDGHEHVHUSRVLEOHREWHQHUHVWDVROXFLyQDSDUWLUGHODVROXFLyQJHQHUDOy c1ex cex2EVHUYHTXHVLVHHOLJHc1 y c HQWRQFHVy ex 7ex puede rescribirse como 2e 3x y 2e 3x 5e 3x 4 e 3x e 3x 5e 2 3x . (VWD~OWLPDH[SUHVLyQVHUHFRQRFHFRPRy VHQKx 5ex. EJEMPLO 9 Solución general de una ED homogénea Las funciones y1 ex, y ex y y ex VDWLVIDFHQ OD HFXDFLyQ GH WHUFHU RUGHQ y 6y 11y 6y 3XHVWRTXH 2x 3x W(e , e , e ) x ex e2x e3x p ex 2e2x 3e3x p ex 4e2x 9e3x 2e6x 0 SDUDWRGRYDORUUHDOGHx, las funciones y1, yy yIRUPDQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGH soluciones sobre (, 6HFRQFOX\HTXHy c1e x cex cex es la solución geQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDOR 4.1.3 ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS &XDOTXLHUIXQFLyQypOLEUHGHSDUiPHWURVDUELWUDULRVTXHVDWLVIDFH VHGLFHTXHHVXQD solución particularGHODHFXDFLyQ3RUHMHPSORHVXQDWDUHDGLUHFWDGHPRVWUDUTXH ODIXQFLyQFRQVWDQWHyp HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHD y 9y Ahora si yl, y, . . . , ykVRQVROXFLRQHVGH VREUHXQLQWHUYDORI y ypHVFXDOTXLHU VROXFLyQSDUWLFXODUGH VREUHIHQWRQFHVODFRPELQDFLyQOLQHDO c1 y1 (x) y c2 y2(x) ck yk(x) yp (x) (10) HVWDPELpQXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHD 6LSLHQVDDOUHVSHFWRHVWRWLHQH VHQWLGRSRUTXHODFRPELQDFLyQOLQHDOcl yl(x) c y(x) . . . ck yk(x VHWUDQVIRUPDHQ 0 por el operador L anDn an 1D n 1 . . . a1D a0PLHQWUDVTXHypVHFRQYLHUWH en g(x). Si se usa k nVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODHFXDFLyQGHn-ésimo RUGHQ HQWRQFHVODH[SUHVLyQHQ VHFRQYLHUWHHQODVROXFLyQJHQHUDOGH TEOREMA 4.1.6 Solución general: ecuaciones no homogéneas Sea ypFXDOTXLHUVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOQRKRPRgénea de npVLPRRUGHQ VREUHXQLQWHUYDORI, y sea yl, y, . . . , ynXQFRQMXQWR IXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOKRPRJpQHDDVRFLDGD sobre I(QWRQFHVODsolución generalGHODHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDORHV y c1 y1(x) c2 y2(x) cn yn(x) yp (x), donde las ci , i nVRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDV Sea L HO RSHUDGRU GLIHUHQFLDO GH¿QLGR HQ \ VHDQ Y(x) y yp(x VROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHDL(y) g(x 6LVHGH¿QH u(x) Y(x) – yp(x HQWRQFHVSRUODOLQHDOLGDGGHLVHWLHQH DEMOSTRACIÓN L(u) L{Y(x) yp(x)} L(Y(x)) L(yp(x)) g(x) g(x) 0. 128 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR (VWRGHPXHVWUDTXHu(x) es una solución de la ecuación homogénea L(y) 0. Así SRUHOWHRUHPDu(x) cl yl(x) cy(x) . . . cnyn(x), y así Y(x) yp(x) c1 y1(x) c2 y2(x) cn yn(x) Y(x) c1 y1(x) c2 y2(x) cn yn(x) o yp(x). FUNCIÓN COMPLEMENTARIA 9HPRVHQHOWHRUHPDTXHODVROXFLyQJHQHUDO GHXQDHFXDFLyQOLQHDOQRKRPRJpQHDHVWiFRPSXHVWDSRUODVXPDGHGRVIXQFLRQHV y c1 y1(x) c2 y2(x) cn yn(x) yp(x) yc(x) yp(x). La combinación lineal yc(x) cl yl(x) c y(x) . . . cn yn(x TXHHVODVROXFLyQ general de (6), se llama función complementariaSDUDODHFXDFLyQ (QRWUDVSDODEUDVSDUDUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOQRKRPRJpQHDSULPHURVHUHVXHOYH ODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGD\OXHJRVHHQFXHQWUDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD HFXDFLyQQRKRPRJpQHD(QWRQFHVODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHDHV y función complementaria cualquier solución particular yc yp. EJEMPLO 10 Solución general de una ED no homogénea 11 12 3RUVXVWLWXFLyQVHGHPXHVWUDFRQIDFLOLGDGTXHODIXQFLyQ yp VROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHD 6y y 11y 6y 3x. 1 2x es una (11) 3DUDHVFULELUODVROXFLyQJHQHUDOGH WDPELpQVHGHEHSRGHUUHVROYHUODHFXDFLyQ homogénea asociada y 6y 11y 6y 0. 3HURHQHOHMHPSORYLPRVTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHHVWD~OWLPDHFXDFLyQsobreHOLQWHUYDOR (, ) fue yc clex cex cex3RUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOGH sobreHOLQWHUYDORHV y yc c1ex yp c2e2x c3e3x 11 12 1 x. 2 OTRO PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN (O~OWLPRWHRUHPDGHHVWHDQiOLVLVVH XVDUi HQ OD VHFFLyQ FXDQGR VH FRQVLGHUH XQ PpWRGR SDUD HQFRQWUDU VROXFLRQHV SDUWLFXODUHVGHHFXDFLRQHVQRKRPRJpQHDV TEOREMA 4.1.7 Principio de superposición: ecuaciones no homogéneas Sean yp1, yp, . . . , ypk kVROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO no homogénea de npVLPRRUGHQ VREUHXQLQWHUYDORITXHFRUUHVSRQGHDVX YH]DkIXQFLRQHVGLIHUHQWHVg1, g, . . . , gk(VGHFLUVHVXSRQHTXHypiGHQRWD XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRUUHVSRQGLHQWH an(x)y(n) an 1(x)y(n 1) a1(x)y a0(x)y gi (x), donde i k(QWRQFHV yp yp1(x) yp2(x) ypk(x) HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH an(x)y(n) an 1(x)y(n g1(x) g2(x) 1) a1(x)y gk(x). a0(x)y 4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES O 129 DEMOSTRACIÓN 6HGHPXHVWUDHOFDVRk 6HDL el operador diferencial de- ¿QLGRHQ \VHDQyp1(x) y yp(x VROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGHODVHFXDFLRQHVQRKRmogéneas L(y) g1(x) y L(y) g(x UHVSHFWLYDPHQWH6LGH¿QLPRVyp yp1(x) yp(x TXHUHPRVGHPRVWUDUTXHypHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHL(y) g1(x) g(x). 1XHYDPHQWHVHGHGXFHHOUHVXOWDGRSRUODOLQHDOLGDGGHORSHUDGRUL: L(yp) L{yp1(x) EJEMPLO 11 yp2(x)} L( yp1(x)) L( yp2(x)) g1(x) g2(x). Superposición: ED no homogénea 8VWHGGHEHFRPSUREDUTXH 4x2 yp1 yp2 yp3 HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH y 3y 16x2 4y 2x HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH y 3y 4y 2e , xex HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH y 3y 4y 2xex e 24x 8, 2x ex. 6HWLHQHGH GHOWHRUHPDTXHODVXSHUSRVLFLyQGHyp1, yp, y yp, y yp1 yp2 yp3 4x2 e2x xex, es una solución de y 3y 4y 16x2 24x 8 2e2x 2xex ex. g1(x) g2(x) g3(x) NOTA Si las ypiVRQVROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGH SDUDi kHQWRQFHV la combinación lineal yp c1 yp1 c2 yp2 ck ypk, donde las ci VRQ FRQVWDQWHV HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH FXDQGR HO miembro del lado derecho de la ecuación es la combinación lineal c1g1(x) c2 g2(x) ck gk (x). $QWHVGHTXHHPSHFHPRVDUHVROYHUUHDOPHQWHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHV KRPRJpQHDV\QRKRPRJpQHDVVHQHFHVLWDXQSRFRPiVGHODWHRUtDTXHVHSUHVHQWD HQODVLJXLHQWHVHFFLyQ COMENTARIOS (VWHFRPHQWDULRHVXQDFRQWLQXDFLyQGHOEUHYHDQiOLVLVGHVLVWHPDVGLQiPLFRV TXHVHSUHVHQWyDO¿QDOGHODVHFFLyQ 8QVLVWHPDGLQiPLFRFX\DUHJODRPRGHORPDWHPiWLFRHVXQDHFXDFLyQGLferencial lineal de n-ésimo orden an(t)y(n) an 1(t)y(n 1) a1(t)y a0(t)y g(t) VHGLFHTXHHVXQsistema lineal de n-ésimo orden. Las n funciones dependienWHVGHOWLHPSRy(t), y(t), . . . , y(n1)(t) son las variables de estadoGHOVLVWHPD 5HFXHUGHTXHVXVYDORUHVHQHOWLHPSRt dan el estado del sistema. La función g WLHQHYDULRVQRPEUHVfunción de entrada, o forzamiento. Una solución y(t) de la ecuación diferencial se llama salida o respuesta del sistema. Bajo las condiciones HVWDEOHFLGDVHQHOWHRUHPDODVDOLGDRUHVSXHVWDy(t VHGHWHUPLQDGHPDQHUD ~QLFDSRUODHQWUDGD\HOHVWDGRGHOVLVWHPDSUHVFULWRVHQHOWLHPSRt0; es decir, por las condiciones iniciales y(t0), y(t0), . . . , y(n1)( t0). Continúa 130 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3DUDTXHXQVLVWHPDGLQiPLFRVHDXQVLVWHPDOLQHDOHVQHFHVDULRTXHVHFXPSOD HQHOVLVWHPDHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQ WHRUHPD HVGHFLUODUHVSXHVWD GHOVLVWHPDDXQDVXSHUSRVLFLyQGHHQWUDGDVHVXQDVXSHUSRVLFLyQGHVDOLGDV<DVH DQDOL]DURQDOJXQRVGHORVVLVWHPDVOLQHDOHVVLPSOHVHQODVHFFLyQ HFXDFLRQHV OLQHDOHVGHSULPHURUGHQ HQODVHFFLyQOVHH[DPLQDQVLVWHPDVOLQHDOHVHQORV TXHORVPRGHORVPDWHPiWLFRVVRQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQ EJERCICIOS 4.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4. 4.1.1 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Y CON VALORES EN LA FRONTERA (QORVSUREOHPDVODIDPLOLDGHIXQFLRQHVTXHVHSURSRUciona es la solución general de la ecuación diferencial en el LQWHUYDORTXHVHLQGLFD(QFXHQWUHXQPLHPEURGHODIDPLOLD TXHVHDXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV 1. y c1e x cex, (, ); y y 0, y(0) 0, y(0) 1 2. y c1e x cex, (, ); y y y 0, y(0) 1, y(0) 3. y c1x cx ln x, (0, ); x y xy y 0, y(1) y(1) 1 4. y c1 c cos x c sen x, (, ); y y 0, y(ʌ) 0, y(ʌ) y(ʌ) 1 5. 'DGRTXHy c1 cxHVXQDIDPLOLDGHGRVSDUiPHWURV de soluciones de xy y VREUHHOLQWHUYDOR , ), GHPXHVWUHTXHQRVHSXHGHQHQFRQWUDUODVFRQVWDQWHVc1 y c WDOHVTXHXQPLHPEURGHODIDPLOLDVDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHV iniciales y(0) 0, y(0) ([SOLTXHSRUTXpHVWRQRYLROD HOWHRUHPD 6. (QFXHQWUHGRVPLHPEURVGHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHO SUREOHPDTXHVDWLVIDJDQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVy(0) 0, y(0) 0. 7. Como x(t) c1 cos ȦW c sen ȦW es la solución general de x Ȧx VREUHHOLQWHUYDOR , GHPXHVWUH TXHXQDVROXFLyQTXHVDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV x(0) x0, x(0) x1HVWiGDGDSRU x(t) x0 cos vt x1 sen vt. v 8. Use la solución general de x Ȧx TXHVHGDHQHO SUREOHPDSDUDGHPRVWUDUTXHXQDVROXFLyQTXHVDWLVIDFH las condiciones iniciales x(t0) x0, x(t0) x1 es la soluFLyQGDGDHQHOSUREOHPDFDPELDGDSRUXQDFDQWLGDGt0: x(t) x0 cos v (t t0 ) x1 sen v(t v t0 ). (QORVSUREOHPDV\HQFXHQWUHXQLQWHUYDORFHQWUDGRHQ x SDUDHOFXDOHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGDGRWLHQH XQDVROXFLyQ~QLFD 9. (x y y x, 10. y WDQx)y e x, y(0) 0, y(0) 1, y(0) 1 y(0) 0 11. a) 8WLOLFHODIDPLOLDGHOSUREOHPDSDUDHQFRQWUDUXQD solución de y y TXHVDWLVIDJDODVFRQGLFLRQHV HQODIURQWHUDy(0) 0, y(l) 1. b) /D('GHOLQFLVRD WLHQHODVROXFLyQJHQHUDODOWHUQDWLYDy c cosh x c senh x sobre (, 8VHHVWD IDPLOLDSDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQTXHVDWLVIDJDODV FRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDGHOLQFLVRD c) ' HPXHVWUHTXHODVVROXFLRQHVGHORVLQFLVRVD \E VRQHTXLYDOHQWHV 12. 8VHODIDPLOLDGHOSUREOHPDSDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQ de xy – y TXHVDWLVIDJDODVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDy(0) 1, y(1) 6. (QORVSUREOHPDV\ODIDPLOLDGHGRVSDUiPHWURVGDGDHV XQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHVHLQGLFDVREUHHO LQWHUYDOR , 'HWHUPLQHVLVHSXHGHHQFRQWUDUXQPLHPEURGHODIDPLOLDTXHVDWLVIDJDODVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUD 13. y c1e x cos x ce x sen x; y y y 0 a) y(0) 1, y(ʌ) 0 b) y(0) 1, y(ʌ) 1 c) y(0) 1, y 2 1 d) y(0) 0, y(ʌ) 0. 14. y c1x cx x y 5xy 8y a) y(1) 0, y(1) b) y(0) 1, y(1) c) y(0) y(1) 0 4.1.2 d) y(1) y 15 ECUACIONES HOMOGÉNEAS (QORVSUREOHPDVGHWHUPLQHVLHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHV HVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUHHOLQWHUYDOR , ). 15. f1(x) x, f(x) x , f(x) x x 16. f1(x) 0, f(x) x, f(x) e x 4.1 17. f1(x) 5, f(x) cosx, 18. f1(x) FRVx, 19. f1(x) x, f(x) senx f(x) 1, f(x) cos x f(x) x 20. f1(x) x, f(x) x 21. f1(x) 1 x, f(x) x, 22. f1(x) e x, f(x) ex, f(x) senh x 23. y y y 0; ex, ex, (, ) 25. y y 5y 0; e xFRVx, e xVHQx, (, ) 26. y y y 0; e x, xe x, (, ) 27. x y 6xy y 0; x , x , (0, ) cos(ln x), sen(ln x), (0, ) 29. x y 6x y xy y 0; x, x, x ln x, (0, ) 1, x, cos x, sen x, (, ) 4.1.3 ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS (QORVSUREOHPDVFRPSUXHEHTXHGDGDODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVVHWUDWDGHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOQRKRPRJpQHDVREUHHOLQWHUYDORLQGLFDGR 31. y 7y 10y e x; y c1e x ce 5x 6e x, (, ) 32. y y sec x; y c1 cos x c sen x x sen x (cos x) ln(cos x), (ʌʌ 33. y y y e x x y c1e x cxe x x e x x , ) 34. x y 5xy y x x; y 1/2 c1x c2 x 1 2 15 x 1 1 6 x, (0, ) 35. a) &RPSUXHEHTXHyp1 ex y yp x x son, respecWLYDPHQWHVROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGH y y 6y 5y y 6y 5y 9e2x 5x2 3x 16. b)8VHHOLQFLVRD SDUDHQFRQWUDUVROXFLRQHVSDUWLFXODUHV de y y 6y 5y y 6y 5y 5x2 10x 2 3x 16 6x Problemas para analizar 37. Sea n $QDOLFHFyPRSXHGHQXWLOL]DUVHODV REVHUYDFLRQHVDnxnl 0 y Dnxn nSDUDHQFRQWUDUVRluciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas. a) y 0 d) y 24. y y FRVKxVHQKx, (, ) 30. y y 0; 131 d) 'HWHUPLQH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH y y 8x 5. f(x) x (QORVSUREOHPDVFRPSUXHEHTXHODVIXQFLRQHVGDGDV IRUPDQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDORTXHVHLQGLFD)RUPHODVR lución general. 28. x y xy y 0; O b) 3RULQVSHFFLyQHQFXHQWUHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH y y x. c) ( QFXHQWUH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH y y x 10. f(x) x 1, TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES 9e2x 32 e2x. 36. a)3RULQVSHFFLyQHQFXHQWUHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH y y 10. b) y 0 e) y 6 c) y 0 f) y 38. 6XSRQJDTXHy1 ex y y ex son dos soluciones de una HFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOKRPRJpQHD([SOLTXHSRUTXp y cosh x y y senh xVRQWDPELpQVROXFLRQHVGHOD ecuación. 39. a) &RPSUXHEHTXHy1 x y y x son soluciones liQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO xy xy 6y VREUHHOLQWHUYDOR , ). b) Para las funciones y1 y yGHOLQFLVR D GHPXHVWUH TXHW(y1, y) SDUDWRGRQ~PHURUHDOx¢(VWHUH VXOWDGRYLRODHOWHRUHPD"([SOLTXH c) &RPSUXHEH TXH Y1 x y Y x VRQ WDPELpQ VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDOGHOLQFLVRD HQHOLQWHUYDOR , ). d) -XQWRDODVIXQFLRQHVy1, y, Y1, Y, de los incisos D \ F HQFXHQWUHXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIH UHQFLDOTXHVDWLVIDJDy(0) 0, y(0) 0. e) 3 RU HO SULQFLSLR GH VXSHUSRVLFLyQ WHRUHPD ambas combinaciones lineales y c1y1 cy y Y c1Y1 cY son soluciones de la ecuación diferencial. Analice si una, ambas o ninguna de las combinaciones lineales es una solución general de la HFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDOR , ). 40. ¢(OFRQMXQWRGHIXQFLRQHVf1(x) ex , f(x) ex es liQHDOPHQWH GHSHQGLHQWH R LQGHSHQGLHQWH VREUH , " ([SOLTXH 41. 6XSRQJDTXHyl, y, . . . , yk son kVROXFLRQHVOLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHVVREUH , ) de una ecuación diferencial lineal homogénea de npVLPRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV3RUHOWHRUHPDVHWLHQHTXHyk1 0 es WDPELpQ XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO ¢(V HO FRQMXQWRGHVROXFLRQHVyl, y, . . . , yk, yk1OLQHDOPHQWH GHSHQGLHQWHRLQGHSHQGLHQWHVREUH , "([SOLTXH 42. 6XSRQJDTXHyl, y, . . . , yk son kVROXFLRQHVQRWULYLDOHVGH una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden FRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV\TXHk n ¢(VHOFRQMXQWR de soluciones yl, y, . . . , ykOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHROLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUH , "([SOLTXH 132 O CAPÍTULO 4 4.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR REDUCCIÓN DE ORDEN INTRODUCCIÓN (QODVHFFLyQDQWHULRUYLPRVTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQcial lineal homogénea de segundo orden a1(x)y a0 (x)y 0 a2(x)y (1) es una combinación lineal y c1 y1 c௘y, donde y1 y yVRQVROXFLRQHVTXHFRQVWLWX\HQXQFRQMXQWR OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUHFLHUWRLQWHUYDORI$OLQLFLRGHODVLJXLHQWHVHFFLyQVHDQDOL]DXQ PpWRGRSDUDGHWHUPLQDUHVWDVVROXFLRQHVFXDQGRORVFRH¿FLHQWHVGHOD('HQ VRQFRQVWDQWHV (VWHPpWRGRTXHHVXQHMHUFLFLRGLUHFWRHQDOJHEUDIDOODHQDOJXQRVFDVRV\VyORSURGXFHXQDVROXción simple y1GHOD('(QHVWRVFDVRVVHSXHGHFRQVWUXLUXQDVHJXQGDVROXFLyQy de una ecuación KRPRJpQHD DXQFXDQGRORVFRH¿FLHQWHVHQ VRQYDULDEOHV VLHPSUHTXHVHFRQR]FDXQDVROXFLyQQRWULYLDOy1GHOD('/DLGHDEiVLFDTXHVHGHVFULEHHQHVWDVHFFLyQHVTXHODecuación (1) se puede reducir a una ED lineal de primer orden por medio de una sustituciónHQODTXHLQWHUYLHQH la solución conocida y1. Una segunda solución yGH HVHYLGHQWHGHVSXpVGHUHVROYHUOD('GH primer orden. REDUCCIÓN DE ORDEN 6XSRQJDTXHy1GHQRWDXQDVROXFLyQQRWULYLDOGH \ TXHy1VHGH¿QHVREUHXQLQWHUYDORI. Se busca una segunda solución yWDOTXHy1 y y VHDQXQFRQMXQWROLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUHI5HFXHUGHGHODVHFFLyQTXH si y1 y yVRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVHQWRQFHVVXFRFLHQWHyy1QRHVFRQVWDQWH sobre I, es decir, y(x) y1(x) u(x) o y2 (x) u(x)y1(x). La función u(x VHGHWHUPLQD DOVXVWLWXLUy(x) u(x) y1(x)HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD(VWHPpWRGRVHOODPDreducción de ordenSRUTXHGHEHPRVUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHU RUGHQSDUDHQFRQWUDUDu. EJEMPLO 1 Una segunda solución por reducción de orden 'DGRTXHy1 ex es una solución de y y HQHOLQWHUYDOR , ), use reducción GHRUGHQSDUDGHWHUPLQDUXQDVHJXQGDVROXFLyQy. SOLUCIÓN Si y u(x)y1(x) u(x)exHQWRQFHVDSOLFDQGRODUHJODGHOSURGXFWRVH REWLHQH y SRUORWDQWR uex y exu , y y ex (u uex 2ex u 2u ) ex u , 0. 3XHVWRTXHex OD~OWLPDHFXDFLyQUHTXLHUHTXHu u 6LVHKDFHODVXVWLWXFLyQ w uHVWDHFXDFLyQOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQHQuVHFRQYLHUWHHQw w TXH es una ecuación lineal de primer orden en w6LVHXVDHOIDFWRULQWHJUDQWHex, se puede d 2x escribir [e w] 0 'HVSXpVGHLQWHJUDUVHREWLHQHw c1ex o u clex. Al dx 1 2x LQWHJUDUGHQXHYRVHREWLHQH u c2. Así 2 c1 e y u(x)ex c1 e 2 x c2 e x +DFLHQGRc 0 y c1 VHREWLHQHODVHJXQGDVROXFLyQGHVHDGDy ex3XHVWRTXH W(ex, ex) SDUDWRGDxODVVROXFLRQHVVRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVHQ , ). 3XHVWRTXHVHKDGHPRVWUDGRTXHy1 ex y y exVRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHXQDHFXDFLyQOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQODH[SUHVLyQHQ HVHQUHDOLGDG la solución general de y y 0 sobre (, ). 4.2 REDUCCIÓN DE ORDEN O 133 CASO GENERAL 6XSRQJDTXHVHGLYLGHSRUa(x) para escribir la ecuación (1) en la forma estándar y P(x)y 0, Q(x)y donde P(x) y Q(x VRQ FRQWLQXDV VREUH DOJ~Q LQWHUYDOR I 6XSRQJDPRV DGHPiV TXH y1(x HVXQDVROXFLyQFRQRFLGDGH VREUHI\TXH y1(x) SDUDWRGDxHQHOLQWHUYDOR 6LVHGH¿QHy u(x)y1(x VHWLHQHTXH y uy 1 y1u , y uy 1 2y 1u y1u y Py Qy u[y1 Py1 Qy1] y1u (2y1 Py1)u 0. cero (VWRLPSOLFDTXHVHGHEHWHQHU y1u (2y 1 Py1)u y1w o 0 (2y 1 0, Py1)w GRQGHKDFHPRVTXHw u2EVHUYHTXHOD~OWLPDHFXDFLyQHQ HVWDQWROLQHDOFRPR VHSDUDEOH6HSDUDQGRODVYDULDEOHVHLQWHJUDQGRVHREWLHQH dw w ln wy21 2 y1 dx y1 P dx P dx 0 wy21 c c1e P dx . 'HVSHMDPRVDwGHOD~OWLPDHFXDFLyQXVDPRVw uHLQWHJUDQGRQXHYDPHQWH u c1 P dx e dx y21 c2. Eligiendo c1 1 y c VHHQFXHQWUDGHy u(x)y1(x TXHXQDVHJXQGDVROXFLyQGH ODHFXDFLyQ HV y2 P(x) d x e y1(x) dx. y21(x) (5) 8QEXHQHMHUFLFLRGHGHULYDFLyQHVFRPSUREDUTXHODIXQFLyQy(x TXHVHGH¿QHHQ VDWLVIDFHODHFXDFLyQ \TXHy1 y yVRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVREUHDOJ~Q LQWHUYDORHQHOTXHy1(x) no es cero. EJEMPLO 2 Una segunda solución por la fórmula (5) La función y1 x es una solución de xy xy y (QFXHQWUHODVROXFLyQ JHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDOR ). SOLUCIÓN 'HODIRUPDHVWiQGDUGHODHFXDFLyQ HQFRQWUDPRVGH (5) y 3 y x y2 x2 x2 4 y x2 0, d x /x e3 x4 dx x dx ; e3 d x /x eln x 3 x3 x 2 ln x. /DVROXFLyQJHQHUDOVREUHHOLQWHUYDOR HVWiGDGDSRUy c1 y1 c y; es decir, y c1x c x ln x. 134 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR COMENTARIOS i /D GHGXFFLyQ \ XVR GH OD IyUPXOD VH KD PRVWUDGR DTXt SRUTXH HVWD IyUPXOD DSDUHFH GH QXHYR HQ OD VLJXLHQWH VHFFLyQ \ HQ ODV VHFFLRQHV \ /DHFXDFLyQ VHXVDVLPSOHPHQWHSDUDDKRUUDUWLHPSRHQREWHQHUXQ UHVXOWDGRGHVHDGR6XSURIHVRUOHLQGLFDUiVLGHEHPHPRUL]DUODHFXDFLyQ o si debe conocer los primeros principios de la reducción de orden. ii /DUHGXFFLyQGHRUGHQVHSXHGHXVDUSDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQJHQHUDOGH una ecuación no homogénea a(x)y a1(x)y a0(x)y g(x VLHPSUHTXHVH conozca una solución y1 de la ecuación homogénea asociada. Vea los problemas DHQORVHMHUFLFLRV iii /DLQWHJUDOHQ SXHGHVHUQRHOHPHQWDO(QHVWHFDVRVLPSOHPHQWHHVFULELPRVODVHJXQGDVROXFLyQHQWpUPLQRVGHXQDIXQFLyQGH¿QLGDSRUODLQWHJUDO y2(x) 5 y1(x) x 2eP(t) dt # e y (t) x0 2 1 dt, GRQGHVHVXSRQHTXHHOLQWHJUDQGRHVFRQWLQXRVREUHHOLQWHUYDOR>x0, x]. Véanse ORVSUREOHPDV\HQORVHMHUFLFLRV EJERCICIOS 4.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4. En los problemas 1 a 16 la función indicada y1(x) es una solución de la ecuación diferencial dada. Use la reducción de RUGHQ R OD IyUPXOD FRPR VH LQGLFD SDUD HQFRQWUDU XQD segunda solución y(x). 1. y y y 0; y1 e x GHUHGXFFLyQGHRUGHQSDUDGHWHUPLQDUXQDVHJXQGDVROXFLyQ y(x GHODHFXDFLyQKRPRJpQHD\XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD ecuación no homogénea dada. 17. y y y1 e x 18. y y 1; y1 1 2. y y y 0; y1 xex 19. y y y 5e x; 3. y 16y 0; y1 FRVx 20. y y y x; 4. y 9y 0; y1 VHQx (QORVSUREOHPDV\ODy1(x) de la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Use la fórmula SDUDHQFRQWUDUXQDVHJXQGDy(x) de la solución expresada HQWpUPLQRVGHXQDIXQFLyQGH¿QLGDSRUODLQWHJUDO9pDVH LLL en los Comentarios. 5. y y 0; y1 cosh x 6. y y 0; y1 e 5x 7. 9y y y 0; y1 e x 8. 6y y y 0; y1 e x 9. x y 7xy 16y 0; y1 x 10. x y xy 6y 0; y1 x 11. xy y 0; y1 ln x 12. x y y 0; y1 x ln x 13. x y xy y 0; y1 x sen(ln x) 14. x y xy 5y 0; y1 x cos(ln x) 15. (1 x x )y x)y y 0; y1 x 1 16. (1 x )y xy 0; y1 1 (QORVSUREOHPDVDOODIXQFLyQTXHVHLQGLFDy1(x) es una VROXFLyQGHODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGD8VHHOPpWRGR y1 e x y1 e x 21. x2y0 1 (x2 2 x)y9 1 (1 2 x)y 5 0; y1 5 x 22. 2xy0 2 (2x 1 1)y9 1 y 5 0; y1 5 ex Problemas para analizar 23. a) 3URSRUFLRQHXQDGHPRVWUDFLyQFRQYLQFHQWHGHTXHOD ecuación de segundo orden ay by cy 0, a, b, y cFRQVWDQWHVWLHQHVLHPSUHFXDQGRPHQRVXQDVROXción de la forma y1 em1 x , m1HVXQDFRQVWDQWH b) ([SOLTXHSRUTXpODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHVHSURSRUFLRQDHQHOLQFLVRD GHEHWHQHUXQDVHJXQGDVROXción de la forma y2 em2 x o de la forma y2 xem1 x , m1 y mVRQFRQVWDQWHV c) $QDOLFHGHQXHYRORVSUREOHPDVDO¢3XHGHH[SOLFDU SRUTXpORVHQXQFLDGRVGHORVLQFLVRVD \E DQWHULRUHVQR VHFRQWUDGLFHQFRQODVUHVSXHVWDVGHORVSUREOHPDVDO" 4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTE 24. &RPSUXHEH TXH y1(x) x es una solución de xy – xy y 8WLOLFHODUHGXFFLyQGHRUGHQSDUDHQFRQWUDUXQD segunda solución y(x HQODIRUPDGHXQDVHULHLQ¿QLWD (VWLPHXQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQSDUDy(x). O 135 b) 8VHODHFXDFLyQ SDUDGHWHUPLQDUXQDVHJXQGDVRlución y(x 8VDQGR XQ 6$& UHDOLFH OD LQWHJUDFLyQ TXHVHUHTXLHUH c) ( [SOLTXHXVDQGRHOFRURODULR $ GHOWHRUHPD SRU TXp OD VHJXQGD VROXFLyQ SXHGH HVFULELUVH HQ IRUPDFRPSDFWDFRPR 10 1 n y2(x) x. n 0 n! Tarea para el laboratorio de computación 25. a) &RPSUXHEHTXHy1(x) ex es una solución de xy (x 10)y 10y 0. 4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES INTRODUCCIÓN &RPRXQPHGLRSDUDPRWLYDUHODQiOLVLVHQHVWDVHFFLyQVHWUDWDQQXHYDPHQWH ODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQPiVHVSHFt¿FDPHQWHODVHFXDFLRQHVOLQHDOHVhomogéneas ay by GRQGHORVFRH¿FLHQWHVa 0 y bVRQFRQVWDQWHV(VWHWLSRGHHFXDFLyQVHUHVXHOYH \DVHDSRUYDULDEOHVVHSDUDEOHVRFRQD\XGDGHXQIDFWRULQWHJUDQWHSHURKD\RWURPpWRGRGHVROXFLyQ XQRTXHVyORXWLOL]DiOJHEUD$QWHVGHPRVWUDUHVWHPpWRGRDOWHUQDWLYRKDFHPRVXQDREVHUYDFLyQ$O despejar y de la ecuación ay by VHREWLHQHy ky, donde kHVXQDFRQVWDQWH(VWDREVHUYDFLyQ UHYHODODQDWXUDOH]DGHODVROXFLyQGHVFRQRFLGDyOD~QLFDIXQFLyQHOHPHQWDOQRWULYLDOFX\DGHULYDGD HVXQDFRQVWDQWHP~OWLSOHGHVtPLVPDHVXQDIXQFLyQH[SRQHQFLDOemx$KRUDHOQXHYRPpWRGRGH VROXFLyQ6LVXVWLWXLPRVy emx y y memx en ay by VHREWLHQH amemx bemx 0 o emx (am b) 0. Como e QXQFDHVFHURSDUDYDORUHVUHDOHVGHxOD~OWLPDHFXDFLyQVHVDWLVIDFHVyORFXDQGRm es una solución o raíz de la ecuación polinomial de primer grado am b 03DUDHVWH~QLFRYDORUGHm, y emxHVXQDVROXFLyQGHOD('3DUDPRVWUDUHVWRFRQVLGHUHODHFXDFLyQGHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV y 5y 1RHVQHFHVDULRUHDOL]DUODGHULYDFLyQ\ODVXVWLWXFLyQGHy emxHQOD('VyORVHWLHQH 5 5x TXHIRUPDUODHFXDFLyQm 5 0 y despejar m'H m es una so2 VHFRQFOX\HTXHy e 5x OXFLyQGHy 5y \VXVROXFLyQJHQHUDOVREUHHOLQWHUYDOR , ) es y c1e . (QHVWDVHFFLyQYHUHPRVTXHHOSURFHGLPLHQWRDQWHULRUJHQHUDVROXFLRQHVH[SRQHQFLDOHVSDUDODV ('OLQHDOHVKRPRJpQHDVGHRUGHQVXSHULRU mx an y(n) an 1 y(n 1) a2 y a1 y a0 y (1) 0, GRQGHORVFRH¿FLHQWHVai, i 0, 1, . . . , nVRQFRQVWDQWHVUHDOHV\an 0. ECUACIÓN AUXILIAR Se empieza por considerar el caso especial de la ecuación de segundo orden ay by cy 0, donde a, b y cVRQFRQVWDQWHV6LVHLQWHQWDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHODIRUPDy e mx, HQWRQFHVGHVSXpVGHVXVWLWXLUy me mx y y m e mxODHFXDFLyQ VHFRQYLHUWHHQ am2emx bmemx cemx 0 o emx(am2 bm c) 0. &RPRHQODLQWURGXFFLyQVHDUJXPHQWDTXHGHELGRDTXHemx SDUDWRGDxHVREYLR TXHOD~QLFDIRUPDHQTXHy emxSXHGHVDWLVIDFHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO HVFXDQGR se elige mFRPRXQDUDt]GHODHFXDFLyQFXDGUiWLFD am2 bm c 0. 136 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR (VWD~OWLPDHFXDFLyQVHOODPDecuación auxiliarGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO &RPRODV GRVUDtFHVGH VRQ m1 ( b 1b2 4ac) 2a, 1b2 4ac) 2a y m2 ( b KDEUi WUHV IRUPDV GH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH TXH FRUUHVSRQGHQ D ORV WUHV FDVRV • ml y mUHDOHV\GLVWLQWDV b ac 0), • ml y m reales e iguales (b ac 0), y • ml y mQ~PHURVFRQMXJDGRVFRPSOHMRV b ac 0). $QDOLFHPRVFDGDXQRGHHVWRVFDVRV CASO I: RAÍCES REALES Y DISTINTAS %DMRODVXSRVLFLyQGHTXHODHFXDFLyQ DX[LOLDU WLHQH GRV UDtFHV UHDOHV GHVLJXDOHV ml y m HQFRQWUDPRV GRV VROXFLRQHV y1 em1x y y2 em 2 x. 9HPRV TXH HVWDV IXQFLRQHV VRQ OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV sobre (, \SRUWDQWRIRUPDQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDO6HGHGXFHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGH VREUHHVWHLQWHUYDORHV c2em 2 x. c1em1x y CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS Cuando ml mQHFHVDULDPHQWHVHREWLHQH mx sólo una solución exponencial, y1 e 1 'H OD IyUPXOD FXDGUiWLFD VH HQFXHQWUD TXH ml baSXHVWRTXHOD~QLFDIRUPDHQTXHVHWLHQHTXHml mHVWHQHUb ac 0. 7HQHPRVGH HQODVHFFLyQTXHXQDVHJXQGDVROXFLyQGHODHFXDFLyQHV e2m1x dx e2m1x em1x y2 em1x xem1x. dx (5) (Q KHPRVXVDGRHOKHFKRGHTXH±ba m1/DVROXFLyQJHQHUDOHVHQWRQFHV c2 xem1x. c1em1x y (6) CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Si ml y mVRQFRPSOHMDVHQWRQces se puede escribir ml Į Lȕ y m Į Lȕ, donde Į y ȕ 0 son reales i 1. 'HPDQHUDIRUPDOQRKD\GLIHUHQFLDHQWUHHVWHFDVR\HOFDVR,\SRUWDQWR C1e(a y i )x C2e(a i )x . 6LQHPEDUJRHQODSUiFWLFDVHSUH¿HUHWUDEDMDUFRQIXQFLRQHVUHDOHVHQOXJDUGHH[SRQHQFLDOHVFRPSOHMDV3DUDHVWRXVDPRVODfórmula de Euler: cos ei i sen , donde șHVFXDOTXLHUQ~PHURUHDO*6HWLHQHGHHVWDIyUPXODTXH i x (7) cos x i sen x, y e donde se usaron cos(ȕx) cos ȕx y sen(ȕx) sen ȕx2EVHUYHTXHVLSULPHUR VHVXPD\OXHJRVHUHVWDQODVGRVHFXDFLRQHVHQ VHREWLHQHUHVSHFWLYDPHQWH ei cos x x ei x e i x i sen x 2 cos x y ei x e i x 2i sen x. 3XHVWRTXHy C1e(ĮLȕ)x Ce(ĮLȕ)xHVXQDVROXFLyQGH SDUDDOJXQDHOHFFLyQGHODV FRQVWDQWHVC1 y C, las elecciones C1 C 1 y C1 1, C GDQDVXYH]GRV soluciones: y y1 e(a i )x e(a i )x y2 e(a i )x e(a i )x. Pero y1 eax(ei x e i x ) 2eax cos x y y2 eax(ei x e i x ) 2ieax sen x. xn n! n 0 VXVWLWX\HQGRx Lș, con i 1, i i\GHVSXpVVHSDUDQGRODVHULHHQODVSDUWHVUHDOHLPDJLQDULD $VtVHHVWDEOHFHODSODXVLELOLGDGSRUORTXHSRGHPRVDGRSWDUDFRVș i sen ș como la GH¿QLFLyQ de eLș. ௘8QDGHGXFFLyQIRUPDOGHODIyUPXODGH(XOHUVHREWLHQHGHODVHULHGH0DFODXULQ e x * 4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTE O 137 3RUWDQWRGHOFRURODULR$ GHOWHRUHPDORVGRV~OWLPRVUHVXOWDGRVPXHVWUDQTXH eĮ[ cos ȕ[ y eĮ[ sen ȕ[ son soluciones realesGH $GHPiVHVWDVVROXFLRQHVIRUPDQ XQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOVREUH , 3RUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOHV (8) y c1eax cos x c2eax sen x eax (c1 cos x c2 sen x). EJEMPLO 1 ED de segundo orden 5HVXHOYDODVVLJXLHQWHVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV a) y 5y y 0 b) y 10y y 0 c) y y 7y 0 SOLUCIÓN Se dan las ecuaciones auxiliares, las raíces y las soluciones generales FRUUHVSRQGLHQWHV a) m 5m m 1)(m 0, 'H y c1ex ce x. b) m 10m (m 5) 0, 'H y c1e 5x cxe 5x. 4 c) m2 y 4m 'H FRQ 3 2 7 0, m1 2, EJEMPLO 2 1 x _1 2 23, y m2 3 m1 m 5 23i, e 1 2, m1 2x 2 m2 (c1 cos 23x 23i ) c2 sen 23x . Un problema con valores iniciales 5HVXHOYDy y 17y 0, y(0) 1, y(0) _2 SOLUCIÓN 8VDQGRODIyUPXODFXDGUiWLFDWHQHPRVTXHODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDU _3 1 1 m m 17 0 son m1 2i y m2 2i. 3RUWDQWRGHODHFXDFLyQ 2 2 x VHWLHQHTXHy e (c1FRVx cVHQx). Aplicando la condición y(0) 1, VH REVHUYD GH e0(c1 cos 0 c sen 0) TXH c1 'HULYDQGR y ex( FRVx cVHQx) y después usando y(0) VHREWLHQH2c2 12 2 o c2 34.3RUWDQWR 3 ) ODVROXFLyQGHO39,HV y e x/2( cos 2x 4 sen 2x)2(QOD¿JXUDYHPRVTXHOD VROXFLyQHVRVFLODWRULDSHURy A 0 conforme x A . _4 _3 _2 _1 1 2 3 4 5 FIGURA 4.3.1 &XUYDVROXFLyQGHO 39,GHOHMHPSOR DOS ECUACIONES QUE VALE LA PENA CONOCER Las dos ecuaciones diferenciales k2 y y k2 y 0 y y 0, donde kHVUHDOVRQLPSRUWDQWHVHQPDWHPiWLFDVDSOLFDGDV3DUDy ky 0, la ecuación auxiliar m k WLHQHUDtFHVLPDJLQDULDVm1 ki y m ki. Con Į 0 y ȕ kHQ VHYHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('HV c1 cos kx y c2 senkx. (9) 3RURWUDSDUWHODHFXDFLyQDX[LOLDUm k 0 para y ky WLHQHUDtFHVUHDOHV GLVWLQWDVm1 k y m k\DVtSRUODHFXDFLyQ ODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('HV y c1ekx c2e kx . (10) 1 2EVHUYH TXH VL VH HOLJH c1 c2 12 y c1 y 12, c2 2 HQ O VH REWLHQHQ ODV 1 2 1 2 2 12 2 1 kx kx VROXFLRQHVSDUWLFXODUHV y 2 (e e ) cosh kx y y 12 (e kx e kx ) senhkx. 3XHVWRTXHFRVKkx y senh kxVRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVREUHDOJ~QLQWHUYDORGHO eje xXQDIRUPDDOWHUQDWLYDSDUDODVROXFLyQJHQHUDOGHy ky 0 es y c1 cosh kx c2 senhkx. 9HDORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV (11) 138 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR (QJHQHUDOSDUDUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLferencial de n-ésimo orden (1) donde ai, i 0, 1, . . . , nVRQFRQVWDQWHVUHDOHVVHGHEH UHVROYHUXQDHFXDFLyQSROLQRPLDOGHn-ésimo grado an mn an 1mn 1 a2m2 a1m a0 0. 6LWRGDVODVUDtFHVGH VRQUHDOHV\GLVWLQWDVHQWRQFHVODVROXFLyQJHQHUDOGH HV c1em1x y cnemn x. c2em2 x (VXQSRFRGLItFLOUHVXPLUORVDQiORJRVGHORVFDVRV,,\,,,SRUTXHODVUDtFHVGHXQDHFXDFLyQDX[LOLDUGHJUDGRPD\RUTXHGRVRFXUUHQHQPXFKDVFRPELQDFLRQHV3RUHMHPSOR XQDHFXDFLyQGHTXLQWRJUDGRSRGUtDWHQHUFLQFRUDtFHVUHDOHVGLVWLQWDVRWUHVUDtFHVUHDOHV GLVWLQWDV\GRVFRPSOHMDVRXQDUHDO\FXDWURFRPSOHMDVRFLQFRUDtFHVUHDOHVSHURLJXDOHV RFLQFRUDtFHVUHDOHVSHURGRVGHHOODVLJXDOHVHWF&XDQGRm1HVXQDUDt]GHPXOWLSOLFLGDG k de una ecuación auxiliar de n-ésimo grado (es decir, k raíces son iguales a m1), es posible GHPRVWUDUTXHODVVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVRQ em1x, xem1x, x 2em1 x, . . . , xk 1em1x \ODVROXFLyQJHQHUDOGHEHFRQWHQHUODFRPELQDFLyQOLQHDO c1em1x c2 xem1x c3 x 2em1x ck x k 1em1 x. 3RU~OWLPRVHGHEHUHFRUGDUTXHFXDQGRORVFRH¿FLHQWHVVRQUHDOHVODVUDtFHVFRPSOHMDV GH XQD HFXDFLyQ DX[LOLDU VLHPSUH VH SUHVHQWDQ HQ SDUHV FRQMXJDGRV $Vt SRU HMHPSORXQDHFXDFLyQSROLQRPLDOF~ELFDSXHGHWHQHUDORPiVGRVUDtFHVFRPSOHMDV EJEMPLO 3 ED de tercer orden 5HVXHOYDy y y 0. SOLUCIÓN 'HEHVHUHYLGHQWHGHODLQVSHFFLyQGHm m TXHXQDUDt]HV m1 SRUWDQWRm HVXQIDFWRUGHm m 'LYLGLHQGRVHHQFXHQWUDTXH m3 3m2 4 (m 1)(m2 4m 4) (m 1)(m 2)2, así las raíces son m m $Vt OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD (' HV y c1e x c ex c xex. EJEMPLO 4 5HVXHOYD d 4y dx4 2 ED de cuarto orden d 2y dx2 y 0. SOLUCIÓN La ecuación auxiliar m m 1 (m 1) WLHQHUDtFHVm1 m i y m m i$VtGHOFDVR,,ODVROXFLyQHV y C1 eix C2 e ix C3 xeix C4 xe ix . Por la fórmula de Euler el grupo C1e ix Ceix se puede rescribir como c1 cos x c2 senx GHVSXpVGHUHGH¿QLUGHQXHYRODVFRQVWDQWHV'HPDQHUDVLPLODUx(Ce ix Ceix) se puede expresar como x(c cos x c sen x 3RUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOHV y c1 cos x c2 senx c3 x cos x c4 x sen x. (OHMHPSORLOXVWUDXQFDVRHVSHFLDOFXDQGRODHFXDFLyQDX[LOLDUWLHQHUDtFHVUHSHWLGDV complejas. En general, si m1 Į Lȕ, ȕ HVXQDUDt]FRPSOHMDGHPXOWLSOLFLGDGk 4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTE O 139 GHXQDHFXDFLyQDX[LOLDUFRQFRH¿FLHQWHVUHDOHVHQWRQFHVVXFRQMXJDGDm Į Lȕ HVWDPELpQXQDUDt]GHPXOWLSOLFLGDGk'HODVkVROXFLRQHVFRQYDORUHVFRPSOHMRV e(a i )x , xe(a e(a i )x , xe(a i )x , i )x , x2e(a i )x x2e(a i )x , , ..., xk 1e(a i )x ..., xk 1e(a i )x , , FRQFOXLPRVFRQODD\XGDGHODIyUPXODGH(XOHUTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRUUHVSRQGLHQWHGHEHWHQHUXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHODVk solucioQHVUHDOHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV eax cos b x, xeax cos bx, x2eax cos bx, . . . , xk 1eax cos bx, eax sen b x, . . . , xk 1eax sen bx. xeax sen bx, x2eax sen bx, (QHOHMHPSORLGHQWL¿FDPRVk Į 0 y ȕ 1. RAÍCES RACIONALES 3RUVXSXHVWRHODVSHFWRPiVGLItFLOGHUHVROYHUHFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVGHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVHVGHWHUPLQDUODVUDtFHVGHHFXDFLRQHVDX[LOLDUHV GHJUDGRPD\RUTXHGRV$OJRTXHSRGHPRVLQWHQWDUHVSUREDUODHFXDFLyQDX[LOLDUSDUD UDtFHVUDFLRQDOHV5HFXHUGHGHODVPDWHPiWLFDVGHSUHFiOFXORTXHVLP1 = p/q es una raíz UDFLRQDO H[SUHVDGDHQORVWpUPLQRVPiVUHGXFLGRV GHXQDHFXDFLyQSROLQyPLFDanmn … a1m a0 FRQFRH¿FLHQWHVHQWHURVHQWRQFHVHOQ~PHURHQWHURpHVXQIDFWRU GHOWpUPLQRFRQVWDQWHa0\HOHQWHURqHVXQIDFWRUGHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOan. EJEMPLO 5 5HVXHOYD y Determinar las raíces racionales 5y 10y 4y 0 SOLUCIÓN3DUDUHVROYHUODHFXDFLyQGHEHPRVUHVROYHUODHFXDFLyQDX[LOLDUSROLQRPLDOF~ELFDm 5m 10m &RQODVLGHQWL¿FDFLRQHVa0 \a ORV IDFWRUHVHQWHURVGHD0 y aVRQUHVSHFWLYDPHQWH p: 1, 2, 4 y q: 1, 3 SRUORTXHODVSRVLEOHVUDtFHVUDFLRQDOHVVRQ p: 1, 2, 4 p : 1, 2, 4, 13, 23, 43 . q 6HSXHGHSUREDUFDGDXQRGHHVWRVQ~PHURVGLJDPRVSRUGLYLVLyQVLQWpWLFD'HHVWD forma se descubre la raíz m1 13 \ODIDFWRUL]DFLyQ 3m3 5m2 10m 4 (m 1 3 )(3m2 6m 12). $SOLFDQGRODIyUPXODFXDGUiWLFDDm + 6m VHREWLHQHQODVGRVUDtFHVUHVWDQWHV3 m 2 12 23i y m3 1 23i 3RU WDQWR OD VROXFLyQ JHQHUDO x/3 es y c1e e x(c2 cos 23x c3 sen 23x). (QHO650VHHQFXHQWUD PiVDFHUFDGHHVWR USO DE COMPUTADORAS 'HWHUPLQDUODVUDtFHVRDSUR[LPDUODVUDtFHVGHHFXDFLRQHVDX[LOLDUHVHVXQSUREOHPDGHUXWLQDFRQXQDFDOFXODGRUDDSURSLDGDRFRQXQSDTXHWHGHFyPSXWR/DVHFXDFLRQHVSROLQRPLDOHV HQXQDYDULDEOH GHJUDGRPHQRUTXH FLQFRVHUHVXHOYHQSRUPHGLRGHIyUPXODVDOJHEUDLFDVXVDQGRODVLQVWUXFFLRQHVsolve en Mathematica y Maple. Para ecuaciones polinomiales de grado cinco o mayor podría ser necesario recurrir a comandos numéricos como NSolve y FindRoot en Mathematica. 'HELGRDVXFDSDFLGDGSDUDUHVROYHUHFXDFLRQHVSROLQRPLDOHVQRHVVRUSUHQGHQWHTXH HVWRV VLVWHPDV DOJHEUDLFRV SDUD FRPSXWDGRUD WDPELpQ SXHGDQ XVDQGR VXV FRPDQGRV dsolveGDUVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVKRPRJpQHDVFRQ FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV 140 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR En el libro clásico Differential EquationsGH5DOSK3DOPHU$JQHZ* TXHHODXWRU XVyFXDQGRHUDHVWXGLDQWH VHH[SUHVDHOVLJXLHQWHHQXQFLDGR No es razonable esperar que los alumnos de este curso tengan la capacidad y el HTXLSRGHFyPSXWRQHFHVDULRSDUDUHVROYHUGHPDQHUDH¿FD]HFXDFLRQHVFRPR 4.317 d 4y dx4 2.179 d 3y dx3 1.416 d 2y dx2 1.295 dy dx 3.169y 0. $XQTXH HV GHEDWLEOH VL HQ WRGRV HVWRV DxRV KD PHMRUDGR OD FDSDFLGDG SDUD UHDOL]DU FiOFXORVHVLQGLVFXWLEOHTXHODWHFQRORJtDVtORKDKHFKR6LVHWLHQHDFFHVRDXQVLVWHPD DOJHEUDLFRSDUDFRPSXWDGRUDVHSRGUtDDKRUDFRQVLGHUDUUD]RQDEOHODHFXDFLyQ 'HVSXpVGHVLPSOL¿FDU\HIHFWXDUDOJXQDVVXVWLWXFLRQHVHQHOUHVXOWDGRMathematica genera la solución general (aproximada) y c1e 0.728852x c2e cos(0.618605x) c3e0.476478x cos(0.759081x) 0.728852x sen(0.618605x) c4e0.476478x sen(0.759081x). 3RU~OWLPRVLVHOHSUHVHQWDXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVTXHFRQVLVWHHQGLJDPRVXQDHFXDFLyQGHFXDUWRRUGHQHQWRQFHVSDUDDMXVWDUODVROXFLyQJHQHUDOGHOD ('DODVFXDWURFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVHGHEHQUHVROYHUFXDWURHFXDFLRQHVOLQHDOHVFRQ ODVFXDWURLQFyJQLWDV c1, c, c y c en la solución general). Si se emplea un SAC para UHVROYHUHOVLVWHPDVHSXHGHDKRUUDUPXFKRWLHPSR9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORV HMHUFLFLRV\HOSUREOHPDGHO5HSDVRGHOFDStWXOR * 0F*UDZ+LOO1XHYD<RUN EJERCICIOS 4.3 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4. (Q ORV SUREOHPDV REWHQJD OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD ecuación diferencial de segundo orden dada. 1. y y 0 2. y y 0 3. y y 6y 0 4. y y y 0 5. y 8y 16y 0 6. y 10y y 0 7. y 5y y 0 8. y y y 0 9. y 9y 0 10. y y 0 11. y y 5y 0 14. y y y 0 (Q ORV SUREOHPDV HQFXHQWUH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD ecuación diferencial de orden superior dada. y 5y 0 y0 5y y 9y 0 y y y 0 y y y y d 3u 19. dt3 3 d x 20. dt3 d 2u dt2 2u 4x 23. y y y 0 24. y y y 0 d 4y d 2y 24 9y 0 dx4 dx2 d 4y d 2y 7 2 18y 0 26. 4 dx dx 25. 16 27. 0 d 5u dr5 28. 2 5 d 5x ds5 d 4u dr4 7 2 d 4x ds4 d 3u dr3 12 10 d 3x ds3 d 2u dr2 8 d 2x ds2 du dr 5u 0 0 (Q ORV SUREOHPDV UHVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV iniciales 29. y 16y 0, y(0) y(0) 30. d 2y d 2 y 31. d 2y dt2 4 0 2 d x dt2 22. y 6y y 8y 0 12. y y y 0 13. y y y 0 15. 16. 17. 18. 21. y y y y 0 0, dy dt y 3 5y 32. y y y 0, 0, y 0, y(1) 3 2 0, y (1) y(0) 1, y(0) 5 2 4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTE 33. y y y 0, y(0) y(0) 0 34. y y y 0, y(0) 5, y(0) 10 y 46. 35. y y y 0, y(0) 0, y(0) 1, y(0) 7 x 36. y y 5y 6y 0, y(0) y(0) 0, y(0) 1 (QORVSUREOHPDVUHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQ ODIURQWHUDGDGR 37. y 10y y 0, y(0) 1, y(1) 0 38. y y 0, y(0) 0, y(ʌ) 0 39. y y (0) y 0, 40. y y y 0, 0, y 2 141 O FIGURA 4.3.5 *Ui¿FDGHOSUREOHPD y 47. 0 x π y(0) 1, y(ʌ) 1 (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDGDGRXVDQGR SULPHURODIRUPDGHODVROXFLyQJHQHUDOGDGDHQ 5HVXHOYD GHQXHYRHVWDYH]XVDQGRODIyUPXODGDGDHQ 41. y y 0, y(0) 1, y(0) 5 42. y y 0, y(0) 1, y(1) 0 FIGURA 4.3.6 *Ui¿FDGHOSUREOHPD y 48. (QORVSUREOHPDVFDGD¿JXUDUHSUHVHQWDODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHXQDGHODVVLJXLHQWHVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV a) y y y 0 b) y y 0 c) y y y 0 d) y y 0 e) y y y 0 f ) y y y 0 5HODFLRQHXQDFXUYDVROXFLyQFRQXQDGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV([SOLTXHVXUD]RQDPLHQWR 44. y FIGURA 4.3.7 *Ui¿FDGHOSUREOHPD x FIGURA 4.3.2 *Ui¿FDGHOSUREOHPD y 43. x FIGURA 4.3.3 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 45. x π y (QORVSUREOHPDVDHQFXHQWUHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO KRPRJpQHDFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFX\DVROXFLyQJHQHUDO es la dada. 49. y c1ex c2e5x 51. y c1 53. y c1 cos3x c2e2x x c2 sen3x 4x 50. y c1e 52. y c1e10x 54. y c2e 3x c2xe10x c1 cosh7x c2 senh7x x 55. y c1e cosx c2e senx 56. y c1 c2e2x cos5x 57. y c1 c2x 58. y c1 cos x c3e2x sen5x c3e8x c2 senx c3 cos 2 x c4 sen 2x Problemas para analizar x 59. 'RVUDtFHVGHXQDHFXDFLyQDX[LOLDUF~ELFDFRQFRH¿FLHQ1 WHVUHDOHVVRQ m1 y m i. ¿Cuál es la ecua2 FLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOKRPRJpQHDFRUUHVSRQGLHQWH" 60. 'HWHUPLQH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH y 7y y y 0 si m1 1HVXQDUDt]GHVXHFXDFLyQDX[LOLDU FIGURA 4.3.4 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 61. 'HWHUPLQH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH y 6y y y VLVHVDEHTXHy1 ex cos x es una solución. 142 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 62. 3DUDUHVROYHUy y HVQHFHVDULRHQFRQWUDUODVUDtces de m 1 (VWHHVXQSUREOHPDWULYLDOVLVHXWLOL]D XQ6$&SHURWDPELpQVHUHVXHOYHDPDQRWUDEDMDQGRFRQ Q~PHURVFRPSOHMRV2EVHUYHTXHm 1 (m 1) m¢&yPRD\XGDHVWR"5HVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO IHUHQFLDOGDGD6LXWLOL]DXQ6$&SDUDREWHQHUODVROXFLyQJHQHUDOVLPSOL¿TXHHOUHVXOWDGR\VLHVQHFHVDULRHVFULEDODVROXFLyQ HQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVUHDOHV 65. y 6y y y 0 66. 6.11y 8.59y y 0.778y 0 63. &RPSUXHEHTXHy senh x FRV x ʌ6) es una soOXFLyQSDUWLFXODUGHy y 5HFRQFLOLHHVWDVROXFLyQ SDUWLFXODUFRQODVROXFLyQJHQHUDOGHOD(' 67. y y y y 0 68. y y y y 0 (QORVSUREOHPDV\XWLOLFHXQ6$&FRPRD\XGDSDUD UHVROYHU OD HFXDFLyQ DX[LOLDU )RUPH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO'HVSXpVXWLOLFHXQ6$&FRPRD\XGD SDUD UHVROYHU HO VLVWHPD GH HFXDFLRQHV SDUD ORV FRH¿FLHQWHV ci i TXHUHVXOWDFXDQGRVHDSOLFDQODVFRQGLFLRQHV iniciales a la solución general. 64. &RQVLGHUH HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD y Ȝ\ 0, y(0) 0, y(ʌ $QDOLFH¢HVSRVLEOHGHWHUPLQDUYDORUHVGHȜWDOTXHHOSUREOHPDWHQJDa) solucioQHVWULYLDOHV"b)¢VROXFLRQHVQRWULYLDOHV" Tarea para el laboratorio de computación 69. y y 16y 15y y 0, y(0) y(0) 6, y(0) y (0) (QORVSUREOHPDVDXVHXQDFRPSXWDGRUD\DVHDFRPR D\XGDSDUDUHVROYHUODHFXDFLyQDX[LOLDURFRPRXQPHGLRSDUD REWHQHUGHIRUPDGLUHFWDODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGL- 4.4 1 2 70. y y y y 0, y(0) y(0) 0, y(0) y (0) 1 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN * INTRODUCCIÓN 3DUDUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOQRKRPRJpQHD a n y (n) an 1y (n 1) a1 y a0 y g(x), (1) se deben hacer dos cosas: HQFRQWUDUODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc y HQFRQWUDUalgunaVROXFLyQSDUWLFXODUyp de la ecuación no homogénea (1). (QWRQFHVFRPRVHH[SOLFyHQODVHFFLyQODVROXFLyQJHQHUDOGH HVy yc yp. La función FRPSOHPHQWDULDycHVODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('KRPRJpQHDDVRFLDGDGH HVGHFLU an y (n) an 1y (n 1) a1 y a0 y 0. (QODVHFFLyQYLPRVFyPRUHVROYHUHVWDFODVHGHHFXDFLRQHVFXDQGRORVFRH¿FLHQWHVHUDQFRQVWDQWHV$VtHOREMHWLYRHQHVWDVHFFLyQHVGHVDUUROODUXQPpWRGRSDUDREWHQHUVROXFLRQHVSDUWLFXODUHV MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS La primera de las dos forPDV TXH VH FRQVLGHUDQ SDUD REWHQHU XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU yp GH XQD (' OLQHDO QR homogénea se llama PpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV/DLGHDIXQGDPHQWDO GHWUiVGHHVWHPpWRGRHVXQDFRQMHWXUDDFHUFDGHODIRUPDGHypHQUHDOLGDGXQDLQWXLFLyQHGXFDGDPRWLYDGDSRUODVFODVHVGHIXQFLRQHVTXHIRUPDQODIXQFLyQGHHQWUDGD g(x (OPpWRGRJHQHUDOVHOLPLWDD('OLQHDOHVFRPR GRQGH • ORVFRH¿FLHQWHVai, i 0, 1, . . . , nVRQFRQVWDQWHV\ • g(x HVXQDFRQVWDQWHk, una función polinomial, una función exponencial eĮ[, una función seno o coseno sen ȕ[ o cos ȕ[RVXPDV¿QLWDV\SURGXFWRVGH HVWDVIXQFLRQHV * Nota para el profesor:(QHVWDVHFFLyQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHGHVDUUROODGHVGH HOSXQWRGHYLVWDGHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQSDUDHFXDFLRQHVQRKRPRJpQHDV WHRUHPD (Q ODVHFFLyQVHSUHVHQWDUiXQPpWRGRWRWDOPHQWHGLIHUHQWHTXHXWLOL]DHOFRQFHSWRGHRSHUDGRUHV GLIHUHQFLDOHVDQXODGRUHV(OLMDHOTXHFRQYHQJD 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN 143 O NOTA (VWULFWDPHQWH KDEODQGR g(x) k FRQVWDQWH HV XQD IXQFLyQ SROLQRPLDO 3XHVWRTXHSUREDEOHPHQWHXQDIXQFLyQFRQVWDQWHQRHVORSULPHURHQTXHVHSLHQVD FXDQGRVHFRQVLGHUDQIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVSDUDHQIDWL]DUFRQWLQXDUHPRVFRQODUHGXQGDQFLD³IXQFLRQHVFRQVWDQWHVSROLQRPLDOHV´ /DVVLJXLHQWHVIXQFLRQHVVRQDOJXQRVHMHPSORVGHORVWLSRVGHHQWUDGDVg(x TXH VRQDSURSLDGDVSDUDHVWDGHVFULSFLyQ g(x) g(x) 10, sen 3x x2 g(x) 5x, 5x cos 2x, 15x g(x) 6 (3x2 xex senx g(x) 8e x, 1)e 4x . Es decir, g(x) es una combinación lineal de funciones de la clase P(x) an xn an 1 xn 1 a1x P(x) eax, a0, P(x) eax sen x P(x) eax cos x, y donde nHVXQHQWHURQRQHJDWLYR\Į y ȕVRQQ~PHURVUHDOHV(OPpWRGRGHFRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRVQRHVDSOLFDEOHDHFXDFLRQHVGHODIRUPD FXDQGR g(x) ln x, g(x) 1 , x tan x, g(x) g(x) sen 1x, HWFpWHUD/DVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHQODVTXHODHQWUDGDg(x HVXQDIXQFLyQGHHVWD ~OWLPDFODVHVHFRQVLGHUDQHQODVHFFLyQ (O FRQMXQWR GH IXQFLRQHV TXH FRQVLVWH HQ FRQVWDQWHV SROLQRPLDOHV H[SRQHQciales eĮ[ VHQRV \ FRVHQRV WLHQH OD QRWDEOH SURSLHGDG GH TXH ODV GHULYDGDV GH VXV VXPDV\SURGXFWRVVRQGHQXHYRVXPDV\SURGXFWRVGHFRQVWDQWHVSROLQRPLDOHVH[ponenciales eĮ[ VHQRV \ FRVHQRV 'HELGR D TXH OD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH GHULYDGDV 1) an y (n) an 1 y (n a1 yp a 0 y pGHEHVHULGpQWLFDDg(x), parece razonable p p VXSRQHUTXHyp tiene la misma forma que g(x). (QORVGRVHMHPSORVVLJXLHQWHVVHLOXVWUDHOPpWRGREiVLFR EJEMPLO 1 5HVXHOYDy 4y 6ROXFLyQJHQHUDOXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 2x2 2y 3x 6. SOLUCIÓN Paso 1. 6H UHVXHOYH SULPHUR OD HFXDFLyQ KRPRJpQHD DVRFLDGD y y y 'H OD IyUPXOD FXDGUiWLFDVH HQFXHQWUD TXH ODV UDtFHV GH OD HFXDFLyQ 2 16 y m2 2 16 3RUWDQWROD auxiliar m m 0 son m1 IXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHV yc c1e (2 ) c2 e( 16 x ). 2 16 x Paso 2. $KRUDGHELGRDTXHODIXQFLyQg(x HVSROLQRPLDOFXDGUiWLFDVXSRQJDPRV XQDVROXFLyQSDUWLFXODUTXHWDPELpQHVGHODIRUPDGHSROLQRPLDOFXDGUiWLFD yp Ax2 Bx C. 6HEXVFDGHWHUPLQDUFRH¿FLHQWHVHVSHFt¿FRV$, B y C para los cuales yp es una solución GH 6XVWLWX\HQGRyp\ODVGHULYDGDV yp 2Ax B y yp 2A HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO VHREWLHQH yp 4yp 2yp 2A 8Ax 4B 2Ax 2 2Bx 2C 2x 2 3x 6. 144 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR &RPRVHVXSRQHTXHOD~OWLPDHFXDFLyQHVXQDLGHQWLGDGORVFRH¿FLHQWHVGHORVH[SRQHQWHVVHPHMDQWHVDx deben ser iguales: igual 2A x2 8A 2B x 2A Es decir, 2, 8A 2A 4B 2C 2B 3, 2A 2x2 3x 6 4B 2C 6. 5HVROYLHQGRHVWHVLVWHPDGHHFXDFLRQHVVHREWLHQHQORVYDORUHV$ 1, B C $VtXQDVROXFLyQSDUWLFXODUHV Paso 3. 5 x 2 x2 yp 5 2 y 9. La solución general de la ecuación dada es y yc yp EJEMPLO 2 c1e (2 ) 16 x c e( ) 2 16 x x2 5 x 2 9. 6ROXFLyQSDUWLFXODUXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV (QFXHQWUHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y y VHQx. SOLUCIÓN 8QD SULPHUD VXSRVLFLyQ QDWXUDO SDUD XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU VHUtD $ VHQx.3HURGHELGRDTXHODVGHULYDGDVVXFHVLYDVGHVHQxSURGXFHQVHQx \FRVx, VHSXHGHVXSRQHUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUTXHLQFOX\HDPERVWpUPLQRV yp A cos 3x B sen 3x. 'HULYDQGR y p \ VXVWLWX\HQGR ORV UHVXOWDGRV HQ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VH REWLHQH después de reagrupar, yp yp yp ( 8A 3B) cos 3x (3A 8B) sen 3x 2 sen 3x o igual 8A 3B cos 3x 3A 8B sen 3x 0 cos 3x 2 sen 3x. 'HOVLVWHPDGHHFXDFLRQHVUHVXOWDQWH 8A VHREWLHQHA 6 73 yB 3B 0, 3A 8B 2, 16 73 8QDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQHV yp 6 cos 3x 73 16 sen 3x. 73 &RPRVHPHQFLRQyODIRUPDTXHVHVXSRQHSDUDODVROXFLyQSDUWLFXODUy p es una inWXLFLyQHGXFDGDQRHVXQDLQWXLFLyQDFLHJDV(VWDLQWXLFLyQHGXFDGDGHEHFRQVLGHUDU QRVyORORVWLSRVGHIXQFLRQHVTXHIRUPDQDg(x VLQRWDPELpQFRPRVHYHUiHQHO HMHPSORODVIXQFLRQHVTXHFRQIRUPDQODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDy c . 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN EJEMPLO 3 145 Formando yp por superposición 2y 5HVXHOYD y O 3y 4x 6xe2x. 5 SOLUCIÓN Paso 1. 3ULPHURVHHQFXHQWUDTXHODVROXFLyQGHODHFXDFLyQKRPRJpnea asociada y y y 0 es yc c1ex cex. Paso 2. $FRQWLQXDFLyQODSUHVHQFLDGHx 5 en g(x LQGLFDTXHODVROXFLyQSDUWLFXODULQFOX\HXQSROLQRPLROLQHDO$GHPiVGHELGRDTXHODGHULYDGDGHOSURGXFWRxex SURGXFH xex y ex VH VXSRQH WDPELpQ TXH OD VROXFLyQ SDUWLFXODU LQFOX\H WDQWR D xex como a ex(QRWUDVSDODEUDVg es la suma de dos clases básicas de funciones: g(x) g1(x) g(x) polinomiales exponenciales. 3RU OR TXH HO SULQFLSLR GH VXSHUSRVLFLyQ SDUD HFXDFLRQHV QR KRPRJpQHDV WHRUHPD LQGLFDTXHVHEXVFDXQDVROXFLyQSDUWLFXODU yp donde yp1 Ax Cxe2x B y yp2 yp yp2, yp1 Ee2x. 6XVWLWX\HQGR Ax Cxe2x B Ee2x HQODHFXDFLyQ \DJUXSDQGRWpUPLQRVVHPHMDQWHVVHREWLHQH yp 2yp 3yp 3Ax 2A 3Cxe2x 3B 3E )e2x (2C 4x 5 6xe2x. 'HHVWDLGHQWLGDGREWHQHPRVODVFXDWURH[SUHVLRQHV 3A 4, 2A 3B 5, 3C 6, 2C 3E 0. /D ~OWLPD HFXDFLyQ HQ HVWH VLVWHPD HV UHVXOWDGR GH OD LQWHUSUHWDFLyQ GH TXH HO FRH¿FLHQWH GH ex HQ HO PLHPEUR GHUHFKR GH HV FHUR 5HVROYLHQGR VH HQFXHQWUD 4 23 4 TXH A 3RUWDQWR 3, B 9 C, \E 3 4 x 3 yp Paso 3. 23 9 4 2x e . 3 2xe2x La solución general de la ecuación es y c1e x 4 x 3 c2e3x 23 9 2x 4 2x e . 3 (QYLVWDGHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQ WHRUHPD VHSXHGHDSUR[LPDUWDPELpQ HOHMHPSORGHVGHHOSXQWRGHYLVWDGHUHVROYHUGRVSUREOHPDVPiVVLPSOHV6HGHEH FRPSUREDUTXHVXVWLWX\HQGR y yp1 Ax yp2 Cxe2x B Ee2x VHREWLHQHDVXYH] yp1 SDUWLFXODUGH HV yp yp1 4 3x yp2. en y 2y 3y 4x en y 2y 3y 6xe2x 23 9 y yp2 2x 4 3 5 e2x. (QWRQFHVXQDVROXFLyQ (QHOVLJXLHQWHHMHPSORVHLOXVWUDTXHDOJXQDVYHFHVODVXSRVLFLyQ³REYLD´SDUDOD forma de ypQRHVXQDVXSRVLFLyQFRUUHFWD 146 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 4 Una falla imprevista del método (QFXHQWUHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy 5y y 8e x. SOLUCIÓN 'HULYDQGRexQRVHREWLHQHQQXHYDVIXQFLRQHV$VtVLVHSURFHGHFRPR VHKL]RHQORVHMHPSORVDQWHULRUHVVHSXHGHVXSRQHUUD]RQDEOHPHQWHTXHXQDVROXFLyQ SDUWLFXODUGHODIRUPDyp $Hx3HURVXVWLWXLUHVWDH[SUHVLyQHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO GDFRPRUHVXOWDGRODH[SUHVLyQFRQWUDGLFWRULD0 8exSRUORTXHFODUDPHQWHVHKL]R ODFRQMHWXUDHTXLYRFDGDSDUDyp. /DGL¿FXOWDGDTXtHVHYLGHQWHDOH[DPLQDUODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc c1ex cex2EVHUYHTXHODVXSRVLFLyQ$Hx\DHVWiSUHVHQWHHQyc(VWRVLJQL¿FDTXHex es XQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOKRPRJpQHDDVRFLDGD\XQP~OWLSORFRQVWDQWH $HxFXDQGRVHVXVWLWX\HHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQHFHVDULDPHQWHGDFHUR ¢(QWRQFHVFXiOGHEHVHUODIRUPDGHyp",QVSLUDGRVHQHOFDVR,,GHODVHFFLyQ YHPRVTXHVtVHSXHGHHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPD 6XVWLWX\HQGR y p Axe x VLPSOL¿FDQGRVHREWLHQH yp yp Axex. Ae x y y p Axe x 5yp 4yp 2Ae x en la ecuación diferencial y 3Ae x 8e x. 'HOD~OWLPDLJXDOGDGVHYHTXHHOYDORUGH$DKRUDVHGHWHUPLQDFRPR A 8 x WDQWRXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQGDGDHVyp 3 xe . 8 3. Por /DGLIHUHQFLDHQORVSURFHGLPLHQWRVXVDGRVHQORVHMHPSORVD\HQHOHMHPSORLQGLFD TXHVHFRQVLGHUDQGRVFDVRV(OSULPHUFDVRUHÀHMDODVLWXDFLyQHQORVHMHPSORVD CASO I 1LQJXQDIXQFLyQGHODVROXFLyQSDUWLFXODUVXSXHVWDHVXQDVROXFLyQGHOD ecuación diferencial homogénea asociada. (QODWDEODVHPXHVWUDQDOJXQRVHMHPSORVHVSHFt¿FRVGHg(x HQ MXQWRFRQ ODIRUPDFRUUHVSRQGLHQWHGHODVROXFLyQSDUWLFXODU3RUVXSXHVWRVHGDSRUVHQWDGRTXH QLQJXQDIXQFLyQGHODVROXFLyQSDUWLFXODUVXSXHVWDyp se duplica por una función en la IXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc. TABLA 4.4.1 6ROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGHSUXHED g(x) Forma de y p 1. FXDOTXLHUFRQVWDQWH $ 2. 5x 7 $[ B 3. x $[ Bx C 4. x x 1 $[ Bx Cx E 5. VHQx $FRVx BVHQx 6. FRVx $FRVx BVHQx 7. e 5x $H 5x 8. (9x e 5x ($[ B) e 5x 5x 9. x e ($[ Bx C) e 5x 10. e xVHQx $H xFRVx BexVHQx 11. 5x VHQx ($[ Bx C FRVx (Ex Fx G VHQx ($[ B)e xFRVx (Cx E)e xVHQx 12. x e xFRVx 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN EJEMPLO 5 O 147 Formas de soluciones particulares. Caso I 'HWHUPLQHODIRUPDGHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH a) y 8y y 5x ex 7ex b) y y x cos x SOLUCIÓN a) Se puede escribir g(x) (5x 7)ex8VDQGRHOHOHPHQWRGHOD WDEODFRPRPRGHORVXSRQHPRVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPD (Ax3 yp Bx2 E)e x. Cx 2EVHUYHTXHQRKD\GXSOLFDFLyQHQWUHORVWpUPLQRVHQyp\ORVWpUPLQRVHQODIXQFLyQ FRPSOHPHQWDULDy c e x(c1FRVx cVHQx). b) La función g(x) x cos xHVVLPLODUDOHOHPHQWRGHODWDEODH[FHSWRSRU VXSXHVWRTXHVHXVDXQSROLQRPLROLQHDOHQYH]GHXQRFXDGUiWLFR\FRVx y sen x en OXJDUGHFRVx\VHQx en la forma de yp: yp (Ax B) cos x (Cx E) sen x. 2EVHUYHTXHQRKD\GXSOLFDFLyQGHWpUPLQRVHQWUHy p y y c c1FRVx cVHQx. Si g(x FRQVLVWHHQXQDVXPDGHGLJDPRVmWpUPLQRVGHODFODVHOLVWDGDHQODWDEOD HQWRQFHV FRPRHQHOHMHPSOR ODVXSRVLFLyQSDUDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUypFRQVLVWH en la suma de las formas de prueba yp1, yp2 , . . . , ypm FRUUHVSRQGLHQWHVDHVWRVWpUPLQRV yp yp1 ypm. yp2 (OHQXQFLDGRDQWHULRUVHSXHGHHVFULELUGHRWUDIRUPD Regla de forma para el caso I La forma de y p es una combinación lineal de todas las funciones linealmente independientes que se generan mediante derivadas sucesivas de g(x). EJEMPLO 6 Formación de yp por superposición. Caso I 'HWHUPLQHODIRUPDGHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH 9y y 14y 3x2 8xe6x. 5 sen 2x SOLUCIÓN 6HVXSRQHTXHDx le corresponde yp1 Ax2 6HFRQVLGHUDTXHDVHQx le corresponde yp2 E cos 2x 6HVXSRQHTXHDxe le corresponde 6x yp3 (Gx Bx C. F sen 2x. 6x H)e . (QWRQFHVODSUHVXQFLyQSDUDODVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQRKRPRgénea dada, es: yp yp1 yp2 yp3 Ax2 Bx C E cos 2x F sen 2x (Gx H)e6x. 2EVHUYHTXHQLQJXQRGHORVVLHWHWpUPLQRVHQHVWDVXSRVLFLyQSDUDypGXSOLFDXQWpUPLQR GHODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc c1ex c e7x. CASO II 8QDIXQFLyQHQODVROXFLyQSDUWLFXODUVXSXHVWDWDPELpQHVXQDVROXFLyQGH la ecuación diferencial homogénea asociada. (OVLJXLHQWHHMHPSORHVVLPLODUDOHMHPSOR 148 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 7 Solución particular. Caso II (QFXHQWUHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y y e x. SOLUCIÓN /D IXQFLyQ FRPSOHPHQWDULDHV y c c1 e x c xe x. Como en el ejemplo ODVXSRVLFLyQyp $HxIDOODSXHVWRTXHHVHYLGHQWHGHycTXHex es una solución de la ecuación homogénea asociada y y y $GHPiVQRHVSRVLEOHHQFRQWUDU XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPDyp $[Hx\DTXHHOWpUPLQRxexWDPELpQVHGXSOLFD en yc$FRQWLQXDFLyQVHSUXHED yp Ax2 ex. 6XVWLWX\HQGRHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVHREWLHQH$Hx ex, así A VROXFLyQSDUWLFXODUHV yp 12 x2ex. 1 2. Así, una 1XHYDPHQWHVXSRQJDTXHg(x FRQVLVWHHQmWpUPLQRVGHODFODVHTXHVHSURSRUFLRQDHQ ODWDEOD\VXSRQJDDGHPiVTXHODSUHVXQFLyQXVXDOSDUDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUHV yp yp1 yp2 ypm , donde las ypi , i 1, 2, . . . , mVRQODVIRUPDVGHVROXFLyQSDUWLFXODUGHSUXHEDFRUUHVSRQGLHQWHVDHVWRVWpUPLQRV%DMRODVFLUFXQVWDQFLDVGHVFULWDVHQHOFDVR,,VHSXHGH IRUPDUODVLJXLHQWHUHJODJHQHUDO Regla de multiplicación para el caso II Si alguna ypi contiene términos que duplican los términos de yc , entonces esa ypi se debe multiplicar por x n, donde n es el entero positivo más pequeño que elimina esa duplicación. EJEMPLO 8 Un problema con valores iniciales 5HVXHOYDy y x 10 sen x, y(ʌ) 0, y(ʌ) SOLUCIÓN La solución de la ecuación homogénea asociada y y 0 es y c c1 cos x c sen x.'HELGRDTXHg(x) x 10 sen x es la suma de un polinomio lineal y una función seno, la suposición normal para ypGHODVHQWUDGDV\GHODWDEOD sería la suma de yp1 Ax B y yp2 C cos x E sen x : yp Ax B C cos x E sen x. (5) 3HURKD\XQDGXSOLFDFLyQREYLDGHORVWpUPLQRVFRVx y sen xHQHVWDIRUPDVXSXHVWD\ GRVWpUPLQRVGHODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULD(VWDGXSOLFDFLyQVHHOLPLQDVLPSOHPHQWH PXOWLSOLFDQGR yp2 por x. En lugar de (5) ahora se usa yp Ax B Cx cos x Ex sen x. (6) 'HULYDQGRHVWDH[SUHVLyQ\VXVWLWX\HQGRORVUHVXOWDGRVHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO VHREWLHQH yp yp Ax B 2C sen x 2E cos x 4x 10 sen x, \SRUWDQWR$ B 0, C \E /DVVROXFLRQHVGHOVLVWHPDVRQLQPHGLDWDV$ B 0, C 5, y E 3RUWDQWRGHODHFXDFLyQ VHREWLHQHyp x 5x cos x. La solución general de la ecuación es y yc yp c1 cos x c2 senx 4x 5x cos x. $KRUDVHDSOLFDQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVSUHVFULWDVDODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDción. Primero, y(ʌ) c1 cos ʌ c sen ʌ ʌ 5ʌ cos ʌ 0 produce c1 9ʌSXHVWR TXHFRVʌ 1 y sen ʌ $KRUDGHODGHULYDGD 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN y y( ) y 9 senx c 2 cos x 9 sen c 2 cos 4 4 5x sen x 5 cos x 5 sen 5 cos 149 O 2 HQFRQWUDPRVc /DVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVHVHQWRQFHV y 9 cos x 7 sen x 4x 5x cos x. EJEMPLO 9 Uso de la regla de multiplicación 5HVXHOYDy 6y 9y 6x e x. SOLUCIÓN /DIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHVy c c1e x cxe x. Y así, con base en los HOHPHQWRV\GHODWDEODODVXSRVLFLyQXVXDOSDUDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUVHUtD yp Ax2 Bx C Ee3x. yp1 yp2 /DLQVSHFFLyQGHHVWDVIXQFLRQHVPXHVWUDTXHXQWpUPLQRHQ yp2 se duplica en yc. Si PXOWLSOLFDPRV yp2 por xVHQRWDTXHHOWpUPLQRxexD~QHVSDUWHGHyc3HURPXOWLSOLcando yp2 por xVHHOLPLQDQODVGXSOLFDFLRQHV$VtODIRUPDRSHUDWLYDGHXQDVROXFLyQ SDUWLFXODUHV yp Ax 2 Bx Ex 2e 3x. C 'HULYDQGR HVWD ~OWLPD IRUPD \ VXVWLWX\HQGR HQ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO DJUXSDQGR WpUPLQRVVHPHMDQWHVVHREWLHQH yp 6yp 9yp 9Ax2 ( 12A 9B)x 2A 6B 2Ee3x 9C 'H HVWD LGHQWLGDG VH WLHQH TXH A 23 , B 89 , C 32 y E general y yc yp es y c1 e 3x c2 xe 3x 23 x 2 89 x EJEMPLO 10 2 3 6x2 2 12e3x. 6 3RU WDQWR OD VROXFLyQ 6x 2 e 3x. ED de tercer orden. Caso I 5HVXHOYDy y e x cos x. SOLUCIÓN 'HODHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDm m HQFRQWUDPRVTXHm1 m 0 y m $VtODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDGHODHFXDFLyQHVyc c1 cx cex. Con g(x) ex cos xVHYHGHODHQWUDGDGHODWDEODTXHVHGHEHVXSRQHU yp Aex cos x Bex senx. 'HELGRDTXHQRKD\IXQFLRQHVHQypTXHGXSOLTXHQODVIXQFLRQHVGHODVROXFLyQFRPSOHPHQWDULDSURFHGHPRVGHODPDQHUDXVXDO'H yp ( 2A yp 4B)ex cos x ( 4A 2B)ex senx ex cos x 1 VHREWLHQH$ B 1 y $ B 'HHVWHVLVWHPDVHREWLHQH A 10 y 1 1 x 1 x B 5 DVtTXHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUHV yp 10 e cos x 5 e senx. La solución general de la ecuación es y yc EJEMPLO 11 yp c1 c2 x c3e x 1 x e cos x 10 1 x e senx. 5 ED de cuarto orden. Caso II 'HWHUPLQHODIRUPDGHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y 1 x ex. 150 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SOLUCIÓN Comparando y c c1 c x c x c ex con la suposición normal SDUDXQDVROXFLyQSDUWLFXODU yp A Bx2ex Cxex Eex, yp1 yp2 YHPRVTXHODVGXSOLFDFLRQHVHQWUHyc y yp se eliminan cuando yp VHPXOWLSOLFDSRUx y 1 yp VHPXOWLSOLFDSRUx$VtODVXSRVLFLyQFRUUHFWDSDUDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUHVy p $[ Bx ex Cx ex Ex ex. COMENTARIOS i (Q ORV SUREOHPDV D GH ORV HMHUFLFLRV VH SLGH UHVROYHU SUREOHPDV FRQYDORUHVLQLFLDOHV\HQORVSUREOHPDVDVHSLGHUHVROYHUSUREOHPDVFRQ YDORUHVHQODIURQWHUD&RPRVHPXHVWUDHQHOHMHPSORDVHJ~UHVHGHDSOLFDUODV FRQGLFLRQHVLQLFLDOHVRFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDDODVROXFLyQJHQHUDOy yc yp/RVHVWXGLDQWHVFRQIUHFXHQFLDFRPHWHQHOHUURUGHDSOLFDUHVWDVFRQGLFLRQHVVyORDODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDycSRUTXHpVWDHVODSDUWHGHODVROXFLyQTXH FRQWLHQHODVFRQVWDQWHVc1, c, . . . , cn. ii 'HOD³5HJODGHODIRUPDSDUDHOFDVR,´HQODSiJLQDHVWDVHFFLyQVHYH SRUTXpHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVQRHVPX\DGHFXDGRSDUD(' OLQHDOHVQRKRPRJpQHDVFXDQGRODIXQFLyQGHHQWUDGDg(x HVDOJRGLVWLQWDGHXQR GHORVFXDWURWLSRVEiVLFRVUHVDOWDGRVHQFRORUHQODSiJLQD3RUHMHPSOR si P(x HVXQSROLQRPLRHQWRQFHVODGHULYDFLyQFRQWLQXDGHP(x)eĮ[ sen ȕ[ geQHUDXQFRQMXQWRLQGHSHQGLHQWHTXHFRQWLHQHVyORXQQ~PHUR¿QLWR de funciones, WRGDVGHOPLVPRWLSRHQSDUWLFXODUXQSROLQRPLRPXOWLSOLFDGRSRUeĮ[ sen ȕ[ o XQSROLQRPLRPXOWLSOLFDGRSRUeĮ[ cos ȕ[3RURWURODGRODGHULYDFLyQVXFHVLYD GHIXQFLRQHVGHHQWUDGDFRPRg(x) ln x o g(x) WDQ1xJHQHUDXQFRQMXQWR LQGHSHQGLHQWHTXHFRQWLHQHXQLQ¿QLWR de funciones: 1 1 2 derivadas de ln x: , 2 , 3 , . . . , x x x 1 derivadas deWDQ1 x: 1 EJERCICIOS 4.4 5. 1 y y y x x 4 6. y 8y y 100x xe x 7. y y x e x 8. y y y FRVx 9. y y 10. y y x 5 ex 1 11. y y y 3 e x/2 4 6x2 , . . . . x2 ) 3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-5. (QORVSUREOHPDVUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD XVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 1. y y y 6 2. y 9y 15 3. y 10y y x 4. y y 6y x 2x , 2 2 x (1 x2 ) 2 (1 , 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. y 16y e x y y VHQx y y (x VHQx y y x sen x y 5y x x x 6 y y 5y e xFRVx y y y e x(cos x VHQx) y y y sen x FRVx y y y 16 (x e x y 6y cos x y y y 8y 6xe x y y y y x e x y y y y 5 e x e x y y y (x 1) y y x xex 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN 28. y y y x x 11, y(0) 0, y(0) 0 y(0) 0, y(0) 10 30. y y y x)ex, 31. y y 5y e x 32. y y cosh x, , y(0) y(0) 5 y(0) y(0) 1 44. ([SOLTXH FyPR VH SXHGH XVDU HO PpWRGR GH HVWD VHFFLyQSDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y sen xFRVx'HVDUUROOHVXLGHD y(0) y(0) 33. d 2x dt 2 v 2x F0 sen t, x(0) 0, x(0) 0 34. d 2x dt 2 v 2x F0 cos t, x(0) 0, x(0) 0 35. yy y y y y e x e5x, 5 9 y (0) 2, y (0) 2 36. y 8y x 5 8ex, y(0) y(0) (QORVSUREOHPDVVLQUHVROYHUUHODFLRQHXQDFXUYDVROXción de y y f(x TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDFRQXQD GHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHV i) f (x) 1, iii) f (x) e x, v) f (x) e x sen x, 1 2, ii) f (x) ex, iv) f (x) VHQx, vi) f (x) sen x. $QDOLFHEUHYHPHQWHVXUD]RQDPLHQWR y(0) 5, y(0) y 45 (QORVSUREOHPDVUHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQ ODIURQWHUDGDGR 37. y y x 1, y(0) 5, y(1) 0 x 38. y y y x y(0) 0, y(ʌ) ʌ 39. y y 6x, y(0) 0, y(1) y(1) 0 40. y y 6x, y(0) y(0) 0, y(1) 0 FIGURA 4.4.1 *Ui¿FDGHOSUREOHPD (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGDGRHQHOTXHODIXQFLyQGHHQWUDGDg(x HVGLVFRQWLQXD >Sugerencia:5HVXHOYDFDGDSUREOHPDHQGRVLQWHUYDORV\GHVSXpVHQFXHQWUHXQDVROXFLyQWDOTXHy y yVHDQFRQWLQXDVHQ x ʌ SUREOHPD \HQx ʌ SUREOHPD @ 46 y 41. y y g(x), y(0) 1, y(0) GRQGH g(x) sen x, 0 0, x 42. y y 10y g(x), g(x) 20, 0 0, x x FIGURA 4.4.2 >2 x >2 y(0) 0, y(0) 0, 151 b) Si kHVXQDUDt]GHODHFXDFLyQDX[LOLDUGHPXOWLSOLFLGDGXQRGHPXHVWUHTXHVHSXHGHHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPDyp $[Hkx, donde $ 1 ak b ([SOLTXHFyPRVHVDEHTXHk ba. c) Si kHVXQDUDt]GHODHFXDFLyQDX[LOLDUGHPXOWLSOLFLGDG GRV GHPXHVWUH TXH SRGHPRV HQFRQWUDU XQD VROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPDy $[ekx, donde $ 1 a). (Q ORV SUREOHPDV UHVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV iniciales dado. 1 ,y 2 27. y y y 8 2 8 29. 5y y 6x, O 47 *Ui¿FDGHOSUREOHPD y donde x x FIGURA 4.4.3 Problemas para analizar 43. Considere la ecuación diferencial ay by cy ekx, donde a, b, c y kVRQFRQVWDQWHV/DHFXDFLyQDX[LOLDUGH la ecuación homogénea asociada es am bm c 0. a) Si kQRHVXQDUDt]GHODHFXDFLyQDX[LOLDUGHPXHVWUH TXHVHSXHGHHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD forma yp $Hkx, donde $ 1(ak bk c). 48 *Ui¿FDGHOSUREOHPD y x FIGURA 4.4.4 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 152 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 49. y y 8y x x)e xFRVx (10x x 1)e xVHQx Tarea para el laboratorio de computación (QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHXQDVROXFLyQSDUWLFXODU de la ecuación diferencial dada. Use un SAC como ayuda para UHDOL]DUODVGHULYDGDVVLPSOL¿FDFLRQHV\iOJHEUD 4.5 50. y y y FRVx x sen x COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR (Q OD VHFFLyQ YLPRV TXH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH n-ésimo orden se INTRODUCCIÓN puede escribir como an Dn y an 1Dn 1 y a1Dy a0 y g(x), (1) donde D y d ydx , k 0, 1, . . . , n.&XDQGRHVDGHFXDGRODHFXDFLyQ WDPELpQVHHVFULEHFRPR L(y) g(x), donde LGHQRWDHORSHUDGRUGLIHUHQFLDORSROLQRPLDOOLQHDOGHn-ésimo orden k k k an Dn an 1Dn 1 a1D a0. /DQRWDFLyQGHRSHUDGRUQRVyORHVXQDDEUHYLDWXUD~WLOVLQRTXHHQXQQLYHOPX\SUiFWLFRODDSOLFDFLyQ GHRSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHVSHUPLWHMXVWL¿FDUODVUHJODVXQSRFRDEUXPDGRUDVSDUDGHWHUPLQDUODIRUPDGH VROXFLyQSDUWLFXODUypSUHVHQWDGDHQODVHFFLyQDQWHULRU(QHVWDVHFFLyQQRKD\UHJODVHVSHFLDOHVODIRUPD de ypVHGHGXFHFDVLGHPDQHUDDXWRPiWLFDXQDYH]TXHVHHQFXHQWUDXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDODGHFXDGR TXHanula a g(x HQ $QWHVGHLQYHVWLJDUFyPRVHUHDOL]DHVWRHVQHFHVDULRDQDOL]DUGRVFRQFHSWRV FACTORIZACIÓN DE OPERADORES &XDQGRORVFRH¿FLHQWHVai, i 0, 1, . . . , nVRQFRQVWDQWHVUHDOHVXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDO VHSXHGHIDFWRUL]DUVLHPSUH TXHHOSROLQRPLRFDUDFWHUtVWLFRa nm n a n1m n1 a1m a 0VHDIDFWRUL]DEOH (QRWUDVSDODEUDVVLr1 es una raíz de la ecuación auxiliar an mn 1 a n 1 mn a1m 0, a0 HQWRQFHVL (D rl) P(D), donde la expresión polinomial P(D) es un operador diferencial lineal de orden n 3RUHMHPSORVLVHWUDWDDDFRPRXQDFDQWLGDGDOJHEUDLFD HQWRQFHVHORSHUDGRUD 5D VHSXHGHIDFWRUL]DUFRPR D D RFRPR (D D $VtVLXQDIXQFLyQy f (x WLHQHXQDVHJXQGDGHULYDGDHQWRQFHV (D2 5D 6)y (D 2)(D 3)y (D 3)(D 2)y. (VWRPXHVWUDXQDSURSLHGDGJHQHUDO /RVIDFWRUHVGHXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFRQPXWDQ Una ecuación diferencial como y y y 0 puede escrbirse como (D D y 0 o (D D y 0 o (D y 0. OPERADOR ANULADOR Si LHVXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV\fHVXQDIXQFLyQVX¿FLHQWHPHQWHGHULYDEOHWDOTXH L( f (x)) 0, HQWRQFHVVHGLFHTXHL es un anulador de la función. Por ejemplo, D anula una funFLyQFRQVWDQWHy kSXHVWRTXHDk 0. El operador diferencial D anula la función 4.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR 153 O y xSXHVWRTXHODSULPHUD\ODVHJXQGDGHULYDGDGHxVRQ\UHVSHFWLYDPHQWH'H manera similar, Dx HWFpWHUD El operador diferencial Dn anula cada una de las funciones 1, x, x , ..., x n1. &RPRXQDFRQVHFXHQFLDLQPHGLDWDGH \HOKHFKRGHTXHODGHULYDFLyQVHSXHGH KDFHUWpUPLQRDWpUPLQRXQSROLQRPLR c0 c2 x 2 c1x cn 1x n 1 VHDQXODDOHQFRQWUDUXQRSHUDGRUTXHDQLTXLOHODSRWHQFLDPiVDOWDGHx. /DVIXQFLRQHVTXHVHDQXODQSRUXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDOGHn-ésimo orden L VRQ VLPSOHPHQWH DTXHOODV IXQFLRQHV TXH VH REWLHQHQ GH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD ecuación diferencial homogénea L(y) 0. El operador diferencial (D Į)n anula cada una de las funciones e Į[, xe Į[, x e Į[, x n1e Į[. ..., (5) 3DUD YHU HVWR REVHUYH TXH OD HFXDFLyQ DX[LOLDU GH OD HFXDFLyQ KRPRJpQHD D Į)n y 0 es (m Į)n 3XHVWRTXHĮHVXQDUDt]GHPXOWLSOLFLGDGn, la solución general es y EJEMPLO 1 c1eax c2 xeax cn xn 1eax. (6) Operadores anuladores (QFXHQWUHXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOTXHDQXOHODIXQFLyQGDGD a) 1 5x 8x c) e x 10xe x b) ex SOLUCIÓN a) 'H VHVDEHTXHDx DVtGH VHWLHQHTXH D4(1 5x2 8x3) 0. b) 'H FRQĮ \n OYHPRVTXH (D 3)e 3x 0. c) 'H \ FRQĮ \n VHWLHQHTXH (D 2) 2 (4e2x 10xe2x ) 0. Cuando Į y ȕ, ȕ VRQ Q~PHURV UHDOHV OD IyUPXOD FXDGUiWLFD UHYHOD TXH >m ĮP (Į ȕ)]n WLHQHUDtFHVFRPSOHMDVĮ Lȕ, Į LȕDPEDVGHPXOWLSOLFLGDG n'HODQiOLVLVDO¿QDOGHODVHFFLyQVHWLHQHHOVLJXLHQWHUHVXOWDGR (O RSHUDGRU GLIHUHQFLDO >D Į' (Į ȕ)]n anula cada una de las funciones e x cos x, xe x cos x, x2e x cos x, . . . , xn 1e x cos x, e x sen x, xe x sen x, x2e x sen x, . . . , xn 1e x sen x. (7) 154 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 2 Operador anulador (QFXHQWUHXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOTXHDQXOHexFRVx 9exVHQx. La inspección de las funciones exFRVx y exVHQxPXHVWUDTXHĮ 1 y ȕ 3RUWDQWRGHODHFXDFLyQ VHFRQFOX\HTXHD D 5 anulará cualquierIXQFLyQTXHVHDFRPELQDFLyQOLQHDOGHHVWDVIXQFLRQHVWDOHVFRPRex cos x 9exVHQx. SOLUCIÓN Cuando Į 0 y n 1, un caso especial de (7) es (D2 2 ) cos x sen x 0. (8) Por ejemplo D DQXODUiFXDOTXLHUFRPELQDFLyQOLQHDOGHVHQx\FRVx. &RQIUHFXHQFLDHVWDPRVLQWHUHVDGRVHQDQXODUODVXPDGHGRVRPiVIXQFLRQHV &RPRDFDEDPRVGHYHUHQORVHMHPSORV\VLLHVXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDOWDO TXHL(y1) 0 y L(y) HQWRQFHVL anulará la combinación lineal c1 y1(x) cy(x). (VWDHVXQDFRQVHFXHQFLDGLUHFWDGHOWHRUHPD6XSRQJDPRVDKRUDTXHL1 y L son RSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVWDOHVTXHL1 anula a y1(x) y L anula a y(x), pero L1(y) 0 y L(y1) (QWRQFHVHOproducto de los operadores diferenciales L1L anula la suma c1 y1(x) cy(x (VWRVHSXHGHGHPRVWUDUIiFLOPHQWH XVDQGRODOLQHDOLGDG\HOKHFKRGHTXHL1L LL1: L1L2(y1 y2) L1L2(y1) L1L2(y2) L2L1(y1) L1L2(y2) L2[L1(y1)] L1[L2(y2)] 0. cero cero 3RU HMHPSOR VDEHPRV GH TXH D anula a 7 x \ GH TXH D 16 anula a VHQx3RUWDQWRHOSURGXFWRGHRSHUDGRUHVD(D 16) anulará la combinación lineal 7 x VHQx. NOTA (ORSHUDGRUGLIHUHQFLDOTXHDQXODXQDIXQFLyQQRHV~QLFR9LPRVHQHOLQFLVRE GHOHMHPSORTXHD DQXODDexSHURWDPELpQDORVRSHUDGRUHVGLIHUHQciales de orden superior siempre y cuando D VHDXQRGHORVIDFWRUHVGHORSHUDGRU Por ejemplo (D D 1), (D y D(D WRGRVDQXODQDex. (Compruebe HVWR &RPRDOJRQDWXUDOFXDQGRVHEXVFDXQDQXODGRUGLIHUHQFLDOSDUDXQDIXQFLyQ y f(x VHTXLHUHTXHHORSHUDGRUGH mínimo orden posibleKDJDHOWUDEDMR COEFICIENTES INDETERMINADOS /RDQWHULRUOOHYDDOSXQWRGHODQiOLVLVSUHYLR 6XSRQJD TXH L(y) g(x HV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV\TXHODHQWUDGDg(x FRQVLVWHHQVXPDV\SURGXFWRV¿QLWRVGHODVIXQFLRQHV OLVWDGDVHQ \ HVGHFLUg(x) es una combinación lineal de funciones de la forma k (constante), x m, x me x, x me x cos x, y x me x sen x, donde mHVXQHQWHURQRQHJDWLYR\Į y ȕVRQQ~PHURVUHDOHV$KRUDVHVDEHTXHXQD función como g(x) puede ser anulada por un operador diferencial L1 de menor orden, TXHHVSURGXFWRGHORVRSHUDGRUHVDn, (D Į)n y (D Į' Į ȕ)n. Al aplicar L1 a ambos lados de la ecuación L(y) g(x VHREWLHQHL1L(y) L1(g(x)) 0. Al UHVROYHUODHFXDFLyQhomogénea de orden superior L1L(y) 0, se descubre la forma GHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUyp para la ecuación original no homogénea L(y) g(x). (QWRQFHVVXVWLWXLPRVHVWDIRUPDVXSXHVWDHQL(y) g(x SDUDHQFRQWUDUXQDVROX- 4.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR O 155 FLyQSDUWLFXODUH[SOtFLWD(VWHSURFHGLPLHQWRSDUDGHWHUPLQDUyp, llamado método GHORVFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHLOXVWUDDFRQWLQXDFLyQHQYDULRVHMHPSORV $QWHVGHSURFHGHUUHFXHUGHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO lineal no homogénea L(y) g(x) es y yc yp donde ycHVODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULD es decir, la solución general de la ecuación homogénea asociada L(y) 0. La solución general de cada ecuación L(y) g(x VHGH¿QHHQHOLQWHUYDOR , ). EJEMPLO 3 5HVXHOYDy 3y 6ROXFLyQJHQHUDOXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 2y 4x 2. (9) SOLUCIÓN Paso 1. 3ULPHUR UHVROYHPRV OD HFXDFLyQ KRPRJpQHD y y y (QWRQFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUm m (m l)(m 0 se encuenWUDml 1 y m \DVtODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHV yc c1ex cex. Paso 2. $KRUD SXHVWR TXH x se anula con el operador diferencial D VH YH TXH D(D D y DxHVORPLVPRTXH D (D D y 0. (10) /DHFXDFLyQDX[LOLDUGHODHFXDFLyQGHTXLQWRRUGHQHQ m(m m 0 m(m 1)(m 0, o WLHQHUDtFHVml m m 0, m 1, y m5 $VtTXHVXVROXFLyQJHQHUDOGHEHVHU y c1 cx cx ce x c5e x (11) /RVWpUPLQRVGHOFXDGURVRPEUHDGRHQ FRQVWLWX\HQODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULD GHODHFXDFLyQRULJLQDO 6HSXHGHDUJXPHQWDUTXHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUyp, de (9) WDPELpQGHEHVDWLVIDFHUODHFXDFLyQ (VWRVLJQL¿FDTXHORVWpUPLQRVUHVWDQWHVHQ GHEHQWHQHUODIRUPDEiVLFDGHyp: yp A Cx2, Bx GRQGHSRUFRQYHQLHQFLDKHPRVUHPSOD]DGRc1, c y c por $, B y CUHVSHFWLYDPHQWH 3DUDTXH VHDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH HVQHFHVDULRHQFRQWUDUFRH¿FLHQWHV HVSHFt¿FRV $, B y C'HULYDQGRODHFXDFLyQ VHWLHQHTXH yp B 2Cx, yp 2C, \VXVWLWX\HQGRHVWRHQODHFXDFLyQ VHREWLHQH yp 3yp 2yp 2C 3B 6Cx 2A 2Bx 2Cx2 4x2. &RPRVHVXSRQHTXHOD~OWLPDHFXDFLyQHVXQDLGHQWLGDGORVFRH¿FLHQWHVGHSRWHQFLDV VHPHMDQWHVGHx deben ser iguales: iguales 2C x2 2B 6C x Es decir 2C 4, 2B 6C 2A 3B 2C 0, 2A 3B 4x2 0x 0. 2C 0. 156 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 5HVROYLHQGRODVHFXDFLRQHVGH VHREWLHQH$ 7, B 6 y C 3RUWDQWR yp 7 6x x. Paso 3. La solución general de la ecuación en (9) es y yc yp o y EJEMPLO 4 x c1e c2e 2x 7 2x2. 6x 6ROXFLyQJHQHUDOXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 5HVXHOYDy y 8e x VHQx SOLUCIÓN Paso 1. La ecuación auxiliar para la ecuación homogénea asociada y y 0 es m m m(m \SRUWDQWRyc c1 cex. Paso 2. $KRUDSXHVWRTXH D ex 0 y (D 1) sen x 0, se aplica el operador diferencial (D D DDPERVODGRVGHODHFXDFLyQ 3)(D2 (D 1)(D2 3D)y 0. (15) La ecuación auxiliar de (15) es: (m 3)(m2 1)(m2 3m) y c1 cex Así 3) 2 (m2 0 o m(m c3 xe3x c4 cos x 1) 0. c5 senx. 8QD YH] TXH VH H[FOX\H OD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH WpUPLQRV GHQWUR GHO FXDGUR TXH corresponde a ycVHREWLHQHODIRUPDGHyp: yp Axe3x B cos x C sen x. 6XVWLWX\HQGRypHQ \VLPSOL¿FDQGRVHREWLHQH yp 3yp 3Ae3x ( B 3C) cos x (3B 8e3x C) sen x 4 sen x. ,JXDODQGRORVFRH¿FLHQWHVVHREWLHQHTXH$ 8, B C \B C 6H 2 HQFXHQWUDTXH A 83, B 65 , y C \SRUWDQWR 5 yp 8 3x xe 3 6 cos x 5 2 sen x. 5 Paso 3. (QWRQFHVODVROXFLyQJHQHUDOGH HV y EJEMPLO 5 5HVXHOYD y y c1 8 3x xe 3 c2e3x 6 cos x 5 2 sen x. 5 6ROXFLyQJHQHUDOXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV x cos x cos x. (16) /DIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHVyc c1 cos x c sen x. Ahora al comparar cos x y x cos xFRQODVIXQFLRQHVGHOSULPHUUHQJOyQGH YHPRVTXHĮ 0 y n 1 y así (D 1) es un anulador para el miembro derecho de la ecuación en (16). $SOLFDQGRHVWHRSHUDGRUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHREWLHQH SOLUCIÓN (D2 1)2 (D2 1)y 0 o (D2 1)3 y 0. 3XHVWRTXHi y iVRQUDtFHVFRPSOHMDVGHPXOWLSOLFLGDGGHOD~OWLPDHFXDFLyQDX[LOLDUVHFRQFOX\HTXH y c1 cos x c sen x c3 x cos x c4 x sen x c5 x2 cos x c6 x2 sen x. 4.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR 157 O 6XVWLWX\HQGR Ax cos x yp Cx2 cos x Bx sen x Ex2 sen x HQ \VLPSOL¿FDQGR yp 4 Ex cos x 4 Cx sen x x cos x cos x. yp (2B 2C) cos x ( 2A 2E) sen x ,JXDODQGRORVFRH¿FLHQWHVVHREWLHQHQODVHFXDFLRQHVE 1, C B C 1 1 0 y E 14 . Por 1, y $ E GHODVTXHHQFRQWUDPRV A 4 B 2, C WDQWRODVROXFLyQJHQHUDOGH HV y c1 cos x EJEMPLO 6 1 x cos x 4 c2 sen x 1 x sen x 2 1 2 x sen x. 4 Forma de una solución particular 'HWHUPLQHODIRUPDGHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUSDUD 2y y 10e y 2x cos x. (17) /DIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDGHODHFXDFLyQGDGDHVyc c1ex cxex. Ahora de (7), con Į ȕ 1 y n VHVDEHTXH SOLUCIÓN (D2 4D 5)e 2x cos x 0. Aplicando el operador D D D VHREWLHQH (D2 4D 5)(D2 2D 1)y 0. (18) 3XHVWRTXHODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUGH VRQ±i, i\YHPRVGH y c1ex cxex c3e 2x cos x c4e 2x sen x TXHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH VHSXHGHHQFRQWUDUFRQODIRUPD yp EJEMPLO 7 Ae 2x cos x 2x Be sen x. Forma de una solución particular 'HWHUPLQHODIRUPDGHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUSDUD 4y y 4y 5x 2 (D 2)3x2e2x 4x 2e 2x 6x 3e 5x. (19) SOLUCIÓN 2EVHUYHTXH D3(5x2 6x) 0, 0 5)e5x (D y 0. 3RUWDQWRD(D (D DSOLFDGRD VHREWLHQH D 3(D o 2)3(D 5)(D 3 4 D (D 4D 2 5 2) (D 4D)y 0 5)y 0. /DVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUSDUDOD~OWLPDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVRQ \3RUWDQWR y c1 cx cx cx c5ex c6xex c௘x e x c8x ex c9x ex c10e 5x. 158 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 'HELGRDTXHODFRPELQDFLyQOLQHDOc1 c5ex c6xex corresponde a la función comSOHPHQWDULDGH ORVWpUPLQRVUHVWDQWHVHQ GDQODIRUPDGHXQDVROXFLyQSDUWLcular de la ecuación diferencial: yp Ax Bx 2 Cx 3 Ex 2e 2x Fx 3e 2x Gx 4e 2x He 5x. RESUMEN DEL MÉTODO 3RUFRQYHQLHQFLDVHUHVXPHHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRVFRPRVLJXH COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR La ecuación diferencial L(y) g(x WLHQHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV\ODIXQFLyQ g(x FRQVLVWHHQVXPDV\SURGXFWRV¿QLWRVGHFRQVWDQWHVSROLQRPLRVIXQFLRQHV exponenciales eĮ[, senos y cosenos. i (QFXHQWUHODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc para la ecuación homogénea L(y) 0. ii) Opere ambos lados de la ecuación no homogénea L(y) g(x) con un operador diferencial L1TXHDQXODODIXQFLyQg(x). iii 'HWHUPLQHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOKRPRJpQHDGH orden superior L1L(y) 0. ࣠LY) Elimine de la solución del paso iii ORVWpUPLQRVTXHVHGXSOLFDQHQ ODVROXFLyQFRPSOHPHQWDULDycHQFRQWUDGDHQHOSDVRi). Forme una combinación lineal ypGHORVWpUPLQRVUHVWDQWHV(VWDHVODIRUPDGHXQD VROXFLyQSDUWLFXODUGHL(y) g(x). v 6XVWLWX\DypHQFRQWUDGDHQHOSDVRiv) en L(y) g(x ,JXDOHORV FRH¿FLHQWHVGHODVGLVWLQWDVIXQFLRQHVHQFDGDODGRGHODLJXDOGDG \UHVXHOYDHOVLVWHPDUHVXOWDQWHGHHFXDFLRQHVSDUDGHWHUPLQDUORV FRH¿FLHQWHVGHVFRQRFLGRVGHyp. vi &RQODVROXFLyQSDUWLFXODUHQFRQWUDGDHQHOSDVRv), forme la solución general y yc yp de la ecuación diferencial dada. COMENTARIOS (OPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVQRHVDSOLFDEOHDHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVQLWDPSRFRHVDSOLFDEOHDHFXDFLRQHV OLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFXDQGRg(x HVXQDIXQFLyQWDOTXH g(x) ln x, g(x) 1 , x g(x) tan x, g(x) sen 1 x, HWFpWHUD/DVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHQODVTXHODHQWUDGDg(x) es una función GHHVWD~OWLPDFODVHVHFRQVLGHUDQHQODVLJXLHQWHVHFFLyQ EJERCICIOS 4.5 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-5. En los problemas 1-10 escriba la ecuación diferencial en la forma L(y) g(x), donde L es un operador diferencial lineal FRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV6LHVSRVLEOHIDFWRULFHL. 1. 9y y sen x 3. y y y x 6 5. y 10y y e x 2. y 5y x x 4. y y y 1 6. y y e xFRVx 7. 8. 9. 10. y y y 10y xex y y y x cos x x y 8y y 8y 16y (x x)e x (QORVSUREOHPDVFRPSUXHEHTXHHORSHUDGRUGLIHUHQFLDO anula las funciones indicadas. 4.6 11. D ; y 10x x 12. D 1; y e x VARIACIÓN DE PARÁMETROS 51. y y x e x 5 14. D y FRVx 5 sen 8x 52. y y y x ex 5x 159 50. y y 10y x(e x 1) 13. (D D 5); y e e x O 15. 1 6x x 16. x (1 5x) 53. y y 5y e x sen x 1 y y ex(sen 3x cos 3x) 54. y 4 55. y y VHQx 56. y y FRVx sen x 17. 1 7e x 18. x xe 6x 57. y y y x sen x 19. FRVx 20. 1 sen x 59. y 8y 6x 9x 21. x 9x VHQx 22. 8x sen x 10 cos 5x 60. y y y y xe x ex 7 23. ex xe x x e x 24. e x) 61. y y y y e x x 16 25. e xFRVx 26. ex sen x e x cos x 62. y y y y (e x ex) (Q ORV SUREOHPDV GHWHUPLQH HO RSHUDGRU GLIHUHQFLDO OLQHDOTXHDQXODODIXQFLyQGDGD (QORVSUREOHPDVGHWHUPLQHODVIXQFLRQHVOLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHVTXHDQXODQHORSHUDGRUGLIHUHQFLDOGDGR 58. y y cosx 63. y y y e x 1 64. y y 5x e x 27. D 5 28. D D 29. (D D 30. D 9D (QORVSUREOHPDVUHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLciales. 31. D 5 32. D 6D 10 33. D 10D D 34. D (D 5)(D 7) 65. y y 16, (QORVSUREOHPDVUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD XVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 35. y 9y 36. y 7y 5y 37. y y 38. y y y 10 39. y y y x 6 40. y y x 5 41. y y 8x 42. y y y x x 43. y y y e x 44. y y y 5e 6x 45. y y y e x 9 46. y 6y 8y ex x 47. y y 6 sen x 48. y y FRVx VHQx 8 49. y 6y 9y xe x 4.6 66. y y x, y(0) 1, y(0) 0 y(0) 1, y(0) 0 67. y 5y x y(0) 0, y(0) 68. y 5y 6y 10e x, y(0) 1, y(0) 1 69. y y FRVx VHQx, 70. y y y xe x 5, y(0) 1 71. y y 8y x , 72. y y x e x, y (0) 0 1, y 2 2 y(0) y(0) y 0 y(0) y(0) y(0) 0, y(0) 0, y(0) 0, Problemas para analizar 73. 6XSRQJDTXHLHVXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDOTXHVH IDFWRUL]DSHURTXHWLHQHFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV¢&RQPXWDQ ORVIDFWRUHVGHL"'H¿HQGDVXUHVSXHVWD VARIACIÓN DE PARÁMETROS INTRODUCCIÓN (QHODQiOLVLVGHODVVHFFLRQHV\VHLQGLFDTXHHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVWLHQHGRVGHELOLGDGHVLQKHUHQWHVTXHOLPLWDQXQDDSOLFDFLyQPiVDPSOLDDHFXDFLRQHVOLQHDOHV /D('GHEHWHQHUFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV\ODIXQFLyQGHHQWUDGDg(x GHEHVHUGHOWLSRTXHVHSUHVHQWDHQ ODWDEOD(QHVWDVHFFLyQH[DPLQDPRVXQPpWRGRSDUDGHWHUPLQDUXQDVROXFLyQypGHXQD('OLQHDO QRKRPRJpQHDTXHWHyULFDPHQWHQRWLHQHUHVWULFFLRQHVVREUHpVWD(VWH PpWRGR GHELGR DO HPLQHQWH DVWUyQRPRJoseph Louis Lagrange VHFRQRFHFRPRvariación de parámetros. $QWHVGHH[DPLQDUHVWHSRGHURVRPpWRGRSDUDHFXDFLRQHVGHRUGHQVXSHULRUUHYLVDUHPRVODVROXFLyQGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVGHSULPHURUGHQTXHVHKDQH[SUHVDGRHQVXIRUPDHVWiQGDU 160 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR (ODQiOLVLVTXHVLJXHDOSULPHUHQFDEH]DGRGHHVWDVHFFLyQHVRSFLRQDOHLQWHQWDPRWLYDUHODQiOLVLVSULQFLSDOGHHVWDVHFFLyQTXHFRPLHQ]DGHEDMRGHOVHJXQGRHQFDEH]DGR6LHVWiSUHVLRQDGRSRUHOWLHPSR HVWHPDWHULDOPRWLYDFLRQDOVHSRGUtDDVLJQDUFRPROHFWXUD REVISIÓN DE LAS ED LINEALES DE PRIMER ORDEN En la sección YLPRV TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ a1(x) y a0(x) y g(x VHSXHGHHQFRQWUDUHVFULELpQGRODHQODIRUPDHVWiQGDU dy dx P(x)y (1) f(x) \VXSRQLHQGRTXHP(x) y f(x VRQFRQWLQXDVVREUHXQLQWHUYDORFRP~QI8VDQGRHOPpWRGRGHOIDFWRUGHLQWHJUDFLyQODVROXFLyQJHQHUDOGH VREUHHOLQWHUYDORIVHHQFRQWUy 9HDODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQ y c1e P(x)dx e P(x)dx e P(x)dx f(x) dx. /DVROXFLyQDQWHULRUWLHQHODPLVPDIRUPDTXHHOWHRUHPDHVGHFLUy yc yp. (QHVWHFDVR yc c1e P(x)dx es una solución de la ecuación homogénea asociada dy dx yp y (OSURFHGLPLHQWREiVLFRHVHOTXHVH XVyHQODVHFFLyQ P(x)y P(x)dx e e 0 P(x)dx (2) f (x) dx (3) HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHD &RPRXQPHGLRGHPRWLYDFLyQGHXQPpWRGRSDUDUHVROYHUHFXDFLRQHVOLQHDOHVQRKRPRJpQHDVGHRUGHQVXSHULRUSDUDGHGXFLUODVROXFLyQSDUWLFXODU GHXQPpWRGRFRQRFLGRFRPRvariación de parámetros. 6XSRQLHQGRTXH y1HVXQDVROXFLyQFRQRFLGDGHODHFXDFLyQKRPRJpQHD dy1 dx P(x)y1 0 (4) (VIiFLOGHPRVWUDUTXH y1 e P(x)dx HVXQDVROXFLyQGH \GHELGRDODHFXDFLyQ lineal, c1 y1(x HVVXVROXFLyQJHQHUDO/DYDULDFLyQGHSDUiPHWURVFRQVLVWHHQHQFRQWUDU XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH GHODIRUPDyp u1(x)y1(x)(QRWUDVSDODEUDVKHPRV reemplazado el parámetro c1 por una función u1. $OVXVWLWXLUyp u1 y1HQ \XVDUODUHJODGHOSURGXFWRVHREWLHQH d uy dx 1 1 dy du u1 1 y1 1 dx dx [ ] P(x)u1 y1 f(x) P(x)u1y1 f(x) 0, por la ecuación (4) u1 así dy1 dx du1 dx P(x)y1 y1 du1 dx f (x). y1 f (x) 4.6 VARIACIÓN DE PARÁMETROS O 161 $OVHSDUDUODVYDULDEOHVHLQWHJUDUHQFRQWUDPRVu1: f(x) dx se obtiene u1 y1(x) du1 f (x) dx. y1 (x) 3RUWDQWRODVROXFLyQSDUWLFXODUTXHVHEXVFDHV yp 'HO KHFKR GH TXH y1 HFXDFLyQ u1y1 P(x)dx e y1 f(x) dx y1(x) YHPRV TXH HO ~OWLPR UHVXOWDGR HV LGpQWLFR D OD ED LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Ahora consideremos el caso de una ecuación lineal de segundo orden a2(x)y a1(x)y a0(x)y g(x), (5) DXQTXHFRPRYHUHPRVODYDULDFLyQGHSDUiPHWURVVHH[WLHQGHDHFXDFLRQHVGHRUGHQ VXSHULRU(OPpWRGRGHQXHYRHPSLH]DSRUSRQHUDODHFXDFLyQ HQVXIRUPDHVWiQGDU y P(x)y Q(x)y f (x) (6) GLYLGLHQGRSRUHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOa(x (Q VHVXSRQHTXHP(x), Q(x) y f(x) son FRQWLQXDVVREUHDOJ~QLQWHUYDORFRP~QI&RPR\DKHPRVYLVWRHQODVHFFLyQQR KD\GL¿FXOWDGSDUDREWHQHUODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc c1 y1(x) cy(x), la soluFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGDGH FXDQGRORVFRH¿FLHQWHVVRQ FRQVWDQWHV'HODPLVPDPDQHUDTXHHQHODQiOLVLVDQWHULRUDKRUDQRVSUHJXQWDPRVVL SXHGHQUHPSOD]DUVHORVSDUiPHWURVc1 y c en yc, con funciones u1 y uR³SDUiPHWURV YDULDEOHV´DVt y u1(x)y1(x) (7) u2(x)y2(x) ¢HVODVROXFLyQSDUWLFXODUGH "3DUDUHVSRQGHUHVWDSUHJXQWDVXVWLWXLPRVODHFXDFLyQ HQ 8VDQGRODUHJODGHOSURGXFWRSDUDGHULYDUGRVYHFHVDypVHREWLHQH yp u 1 y1 y1u 1 u 2 y2 y2u 2 yp u1y 1 y1u1 y1u 1 u1 y1 u2 y 2 y2 u2 y2 u 2 u 2 y 2. $OVXVWLWXLUODHFXDFLyQ \ODVGHULYDGDVDQWHULRUHVHQ \DJUXSDQGRWpUPLQRVVHREWLHQH cero cero 4 4 y0p 1 P(x)y9p 1 Q(x)yp 5 u1[y01 1 Py91 1 Qy1] 1 u2[y02 1 Py92 1 Qy2 ] 1 y1u01 1 u91 y91 1 y2 u02 1 u92y92 1 P[y1u91 1 y2u92 ] 1 y91u91 1 y92 u92 5 d d [y1u91] 1 [y2u92 ] 1 P[y1u91 1 y2u92 ] 1 y91u91 1 y92u92 dx dx 5 d [y1u91 1 y2u92 ] 1 P[y1u91 1 y2u92 ] 1 y91u91 1 y92u92 5 f (x). dx (8) &RPRVHEXVFDGHWHUPLQDUGRVIXQFLRQHVGHVFRQRFLGDVu1 y uODUD]yQLPSRQHTXHVRQ QHFHVDULDVGRVHFXDFLRQHV(VWDVHFXDFLRQHVVHREWLHQHQFRQODVXSRVLFLyQDGLFLRQDO GHTXHODVIXQFLRQHVu1 y uVDWLVIDFHQ y1u 1 y2u 2 0. (VWDVXSRVLFLyQHQD]XOQRVH SUHVHQWDSRUVRUSUHVDVLQRTXHHVUHVXOWDGRGHORVGRVSULPHURVWpUPLQRVGH SXHVWR TXHVLVHUHTXLHUHTXH y1u 1 y2u 2 0 HQWRQFHV VHUHGXFHD y 1u 1 y 2u 2 f (x) . $KRUDWHQHPRVQXHVWUDVGRVHFXDFLRQHVGHVHDGDVDSHVDUGHTXHVHDQGRVHFXDFLRQHV SDUDGHWHUPLQDUODVGHULYDGDVu1 y u3RUODUHJODGH&UDPHUODVROXFLyQGHOVLVWHPD y1u 1 y2u 2 0 y 1u 1 y 2u 2 f (x) 162 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SXHGHH[SUHVDUVHHQWpUPLQRVGHGHWHUPLQDQWHV y1 y1 W donde y2 f (x) y u2 W W1 W u1 y2 , y2 0 y2 , f (x) y 2 W1 y1 f (x) , W W2 W (9) y1 0 . y 1 f (x) W2 (10) Las funciones u1 y uVHHQFXHQWUDQLQWHJUDQGRORVUHVXOWDGRVGH (OGHWHUPLQDQWH WVHUHFRQRFHFRPRHO:URQVNLDQRGHy1 y y Por la independencia lineal de y1 y y sobre IVHVDEHTXHW(y1(x), y(x)) SDUDWRGDxHQHOLQWHUYDOR RESUMEN DEL MÉTODO 1RUPDOPHQWHQRHVEXHQDLGHDPHPRUL]DUIyUPXODV HQOXJDUGHHQWHQGHUXQSURFHGLPLHQWR6LQHPEDUJRHOSURFHGLPLHQWRDQWHULRUHVGHPDVLDGRODUJR\FRPSOLFDGRSDUDXVDUVHFDGDYH]TXHVHGHVHHUHVROYHUXQDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDO(QHVWHFDVRUHVXOWDPiVH¿FD]XVDUVLPSOHPHQWHODVIyUPXODVGH $Vt TXHSDUDUHVROYHUa y a1 y a 0 y g(x SULPHURVHHQFXHQWUDODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc c1 y1 cy\OXHJRVHFDOFXODHO:URQVNLDQRW(y1(x), y(x 'LYLGLHQGR por aVHHVFULEHODHFXDFLyQHQODIRUPDHVWiQGDUy Py Qy f(x SDUDGHWHUminar f(x 6HHQFXHQWUDu1 y uLQWHJUDQGRu1 W1W y u WW, donde W1 y W VH GH¿QHQ FRPR HQ 8QD VROXFLyQ SDUWLFXODU HV yp u1 y1 uy (QWRQFHV OD solución general de la ecuación es y yc yp. EJEMPLO 1 Solución general usando variación de parámetros 5HVXHOYDy y y (x 1)e x. SOLUCIÓN 'HODHFXDFLyQDX[LOLDUm m (m VHWLHQHyc c1 e cxe &RQODVLGHQWL¿FDFLRQHVy1 e y y xe DFRQWLQXDFLyQVHFDOFXODHO :URQVNLDQR x x x e2x xe2x 2e2x 2xe2x W(e2x, xe2x ) x e4x. e2x 3XHVWRTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD\DHVWiHQODIRUPD HVGHFLUHOFRH¿FLHQWH de yHV LGHQWL¿FDPRVf(x) (x l)ex'H REWHQHPRV W1 0 xe2x 1)e2x 2xe2x (x (x 2x e 1)xe4x, e2x 2e2x (x W2 0 1)e2x (x 1)e4x, y así de (9) u1 (x 1)xe4x e4x x2 x, 1)e4x (x u2 e 1 3 3x ,QWHJUDQGRODVGHULYDGDVDQWHULRUHVVHWLHQHTXH u1 3RUWDQWRGH VHWLHQHTXH 1 3 x 3 yp y y yc 1 2 2x x e 2 yp c1e2x 1 2 x 2 x xe2x c2 xe2x x 4x 1 3 2x xe 6 1 3 2x xe 6 1 2 2x 1. y u2 1 2 2x xe 2 1 2 2x xe . 2 1 2 2x x. 4.6 EJEMPLO 2 VARIACIÓN DE PARÁMETROS O 163 Solución general usando variación de parámetros 5HVXHOYDy y FVFx. SOLUCIÓN 3ULPHURVHHVFULEHODHFXDFLyQHQODIRUPDHVWiQGDU GLYLGLHQGRSRU 1 csc 3x. 4 9y y 'HELGRDTXHODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUm 9 0 son m1 i y m i, la IXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHVyc c1FRVx cVHQx. Usando y1 FRVx, y VHQx, y f (x) 14 csc 3x REWHQHPRV cos 3x sen 3x 3 sen 3x 3 cos 3x W(cos 3x, sen 3x) W1 1 4 sen 3x 0 csc 3x 3 cos 3x 1 , 4 W1 W 1 12 ,QWHJUDQGR u1 cos 3x 3 sen 3x W2 y 1 4 0 csc 3x 1 cos 3x . 4 sen 3x 1 cos 3x 12 sen 3x W2 W u2 3, 6HREWLHQH 1 12 x u1 1 36 y u2 ln VHQx . $VtGH XQDVROXFLyQSDUWLFXODUHV 1 x cos 3x 12 yp 1 (sen 3x) ln sen 3x . 36 La solución general de la ecuación es 1 1 x cos 3x (sen 3x) ln sen 3x . (11) 12 36 /DHFXDFLyQ UHSUHVHQWDODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHGLJDPRV HOLQWHUYDOR ʌ6). y yc c1 cos 3x yp c2 sen 3x CONSTANTES DE INTEGRACIÓN &XDQGRVHFDOFXODQODVLQWHJUDOHVLQGH¿QLGDV de u1 y uQRHVQHFHVDULRLQWURGXFLUDOJXQDVFRQVWDQWHV(VWRHVSRUTXH y yc yp c1 y1 (c1 C1 y1 c2 y2 (u1 a1)y1 (u2 b1)y2 a1)y1 (c2 b1)y2 u1 y1 u2 y2 C2 y2 u1 y1 u2 y2. FUNCIONES DEFINIDAS POR INTEGRALES +HPRV YLVWR YDULDV YHFHV HQ ODV VHFFLRQHV\FDStWXORVDQWHULRUHVTXHFXDQGRXQPpWRGRGHVROXFLyQLPSOLFDODLQWHJUDFLyQSRGHPRVHQFRQWUDULQWHJUDOHVQRHOHPHQWDOHV&RPRHQHOHMHPSORVLJXLHQWH GRQGHVHPXHVWUDTXHDYHFHVORPHMRUTXHSRGHPRVKDFHUHQODFRQVWUXFFLyQGHXQD VROXFLyQSDUWLFXODU GHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQOLQHDUHVXWLOL]DU ODVIXQFLRQHVGH¿QLGDVSRULQWHJUDOHV x y2(t) f (t) dt x0 W(t) # u1(x) 5 2 y u2sxd 5 x y1(t) f (t) dt. x0 W(t) # $TXtVHKDVXSXHVWRTXHHOLQWHJUDQGRHVFRQWLQXRVREUHHOLQWHUYDOR>x0, x]. Véanse los SUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV 164 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 3 Solución general usando variación de parámetros 1 . x SOLUCIÓN La ecuación auxiliar m 1 0 produce m1 1 y m 3RUWDQWR yc c1ex cex. Ahora W(ex, ex) \ e x(1>x) 1 xe t u1 , u1 dt, 2 2 x0 t 5HVXHOYD y y ex (1>x) 1 x et dt. , u2 2 2 x0 t 3XHVWRTXHODVLQWHJUDOHVDQWHULRUHVVRQQRHOHPHQWDOHVQRVYHPRVREOLJDGRVDHVFULELU u2 1 x e 2 yp \SRUWDQWR y yc c1ex yp x x0 c2e e t dt t 1 x e 2 x 1 e 2 x x0 x x x0 et dt, t 1 e 2 t e t dt x x et dt. x0 t (QHOHMHPSORVHSXHGHLQWHJUDUVREUHDOJ~QLQWHUYDOR>x0, x@TXHQRFRQWHQJDDORULJHQ 5HVROYHUHPRVODHFXDFLyQHQHOHMHPSORSRUXQPpWRGRDOWHUQDWLYRHQODVHFFLyQ ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR (OPpWRGRTXHVHGHVFULELySDUDHFXDFLRnes diferenciales no homogéneas de segundo orden se puede generalizar a ecuaciones lineales de npVLPRRUGHQTXHVHKDQHVFULWRHQIRUPDHVWiQGDU y (n) Pn 1(x)y (n 1) P1(x)y P0 (x)y f (x). Si yc c1y1 c y cnynHVODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDSDUD HQWRQFHVXQD VROXFLyQSDUWLFXODUHV yp(x) 5 u1(x)y1(x) 1 u 2(x)y2 (x) 1 Á 1 un (x)yn (x), donde los uk, k nVHGHWHUPLQDQSRUODVn ecuaciones y1u 1 y2u 2 yn u n 0 y 1u 1 y 2u 2 yn un 0 y1(n 1) u1 y2(n 1) y(n n u2 1) f (x). un Las primeras n HFXDFLRQHVGHHVWHVLVWHPDDOLJXDOTXH y1u 1 y2u 2 0 en (8), son VXSRVLFLRQHVTXHVHKDFHQSDUDVLPSOL¿FDUODHFXDFLyQUHVXOWDQWHGHVSXpVGHTXHyp u1(x) y1(x) un(x)yn(x VHVXVWLWX\HHQ (QHVWHFDVRXVDQGRODUHJODGH&UDPHUVHREWLHQH Wk uk , k 1, 2, . . . , n, W donde WHVHO:URQVNLDQRGHy1, y, . . . , yn y WkHVHOGHWHUPLQDQWHTXHVHREWLHQH al remplazar la kpVLPDFROXPQDGHO:URQVNLDQRSRUODFROXPQDIRUPDGDSRUHOODGR GHUHFKRGH HVGHFLUODFROXPQDTXHFRQVWDGH f(x)). Cuando n VH REWLHQHODHFXDFLyQ &XDQGRn ODVROXFLyQSDUWLFXODUyp u1y1 u y uy, donde y1, y y yFRQVWLWX\HQXQFRQMXQWROLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHGHVROXFLRQHVGH OD('KRPRJpQHDDVRFLDGD\u1, u y uVHGHWHUPLQDQDSDUWLUGH u91 5 y1 W 5 y91 y01 * y2 y92 y02 y3 0 y93 , W1 5 0 y03 f (x) * * y2 y92 y02 W1 , W u92 5 W2 , W y3 y1 y93 , W2 5 y91 y03 y01 * * u93 5 W3 , W 0 y3 0 y93 , f (x) y03 9pDQVHORVSUREOHPDVDOGHORVHMHUFLFLRV * (15) y1 W3 5 y91 y01 * y2 y92 y02 0 0 . f(x) * 4.6 VARIACIÓN DE PARÁMETROS O 165 COMENTARIOS i) /DYDULDFLyQGHSDUiPHWURVWLHQHXQDYHQWDMDSDUWLFXODUVREUHHOPpWRGRGH FRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVHQFXDQWRDTXHsiempre produce una solución parWLFXODUypVLHPSUH\FXDQGRVHSXHGDUHVROYHUODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGD (VWHPpWRGRQRVHOLPLWDDXQDIXQFLyQf (x TXHHVXQDFRPELQDFLyQGHODVFXDWURFODVHVTXHVHOLVWDQHQODSiJLQD&RPRVHYHUiHQODVLJXLHQWHVHFFLyQ ODYDULDFLyQGHSDUiPHWURVDGLIHUHQFLDGHORVFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVHV DSOLFDEOHD('OLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV ii (QORVSUREOHPDVVLJXLHQWHVQRGXGHHQVLPSOL¿FDUODIRUPDGHyp'HSHQGLHQGR GHFyPRVHHQFXHQWUHQODVDQWLGHULYDGDVGHu1 y uHVSRVLEOHTXHQRVHREWHQJD la misma ypTXHVHGDHQODVHFFLyQGHUHVSXHVWDV3RUHMHPSORHQHOSUREOHPDGH 1 1 1 y ORVHMHUFLFLRVWDQWR yp 12 sen x 2 x cos x 4 sen x 2 x cos x como p VRQUHVSXHVWDVYiOLGDV(QFXDOTXLHUFDVRODVROXFLyQJHQHUDOy yc yp se simSOL¿FDD y c1 cos x c2 senx 12 x cos x ¢3RUTXp" EJERCICIOS 4.6 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-5. (QORVSUREOHPDVUHVXHOYDFDGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSRU PHGLRGHYDULDFLyQGHSDUiPHWURV 1. y y sec x 2. y y WDQx 3. y y sen x 4. y y sec șWDQș 5. y y cos x 6. y y sec x 7. y y cosh x 8. y y VHQKx 9. y0 2 9y 5 11. y 12. y 3y 9x e3x 10. 4y0 2 y 5 exy2 1 3 2y 2y y 1 1 (Q ORV SUREOHPDV UHVXHOYD FDGD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO PHGLDQWH YDULDFLyQ GH SDUiPHWURV VXMHWD D ODV FRQGLFLRQHV iniciales y(0) 1, y(0) 0. (x2 1 4 )y x3/2; y 1 x cos x, y x sen x 28. x y xy y sec(ln x); y 1 cos(ln x), y sen(ln x) 24. y0 2 4y 5 29. y y WDQx 31. y 2y y 32. y 3y 2y 30. y y VHFx 4x 2y e e2x 1 ex Problemas para analizar (QORVSUREOHPDV\DQDOLFHFyPRSXHGHQFRPELQDUVH ORVPpWRGRVGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV\YDULDFLyQGHSDUiPHWURVSDUDUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO'HVDUUROOHVXV ideas. 34. y y y x x 1e x (QORVSUREOHPDVSURFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\UHVXHOYDFDGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSRUYDULDFLyQGHSDUiPHWURV 25. y0 1 y9 2 2y 5 ln x xy 33. y 6y y 15 sen x e xWDQx 19. y y xe x 20. y y y x 1 21. y y 8y ex ex 22. y y y x 6x)e x 2 27. x2 y (Q ORV SUREOHPDV UHVXHOYD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH WHUFHURUGHQXVDQGRYDULDFLyQGHSDUiPHWURV ex ex 1 x2 13. y y y sen e x 14. y y y e tDUFWDQt 15. y y y et ln t 16. 2y0 1 y9 5 6x 17. y 6y 6y e x sec x 18. 4y 4y y ex/2 11 x2 23. y0 1 y 5 ex (Q ORV SUREOHPDV \ ODV IXQFLRQHV TXH VH LQGLFDQ VRQ VROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQcial homogénea asociada sobre (0, 'HWHUPLQHODVROXFLyQ general de la ecuación homogénea. e2x x 26. 2y0 1 2y9 1 y 5 4Ïx 35. ¢&XiOHVVRQORVLQWHUYDORVGHGH¿QLFLyQGHODVVROXFLRQHV JHQHUDOHVHQORVSUREOHPDV\"$QDOLFHSRUTXp HOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQGHODVROXFLyQGHOSUREOHPD no es (0, ). 36. (QFXHQWUHODVROXFLyQJHQHUDOGHx y x y x y 1 GDGRTXHy1 x es una solución de la ecuación homogénea asociada. 166 O CAPÍTULO 4 4.7 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER INTRODUCCIÓN /D IDFLOLGDG UHODWLYD FRQ TXH SXGLPRV HQFRQWUDU VROXFLRQHV H[SOtFLWDV GH HFXDFLRQHV OLQHDOHV GH RUGHQ VXSHULRU FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV HQ ODV VHFFLRQHV DQWHULRUHV HQ JHQHUDOQRVHUHDOL]DHQHFXDFLRQHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV(QHOFDStWXORYHUHPRVTXH FXDQGRXQD('OLQHDOWLHQHFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVORPHMRUTXHSRGHPRVHVSHUDUusualmente, es HQFRQWUDUXQDVROXFLyQHQIRUPDGHVHULHLQ¿QLWD6LQHPEDUJRHOWLSRGHHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXH FRQVLGHUDPRVHQHVWDVHFFLyQHVXQDH[FHSFLyQDHVWDUHJODpVWDHVXQDHFXDFLyQOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVFX\DVROXFLyQJHQHUDOVLHPSUHVHSXHGHH[SUHVDUHQWpUPLQRVGHSRWHQFLDVGHx, VHQRVFRVHQRV\IXQFLRQHVORJDUtWPLFDV$GHPiVHVWHPpWRGRGHVROXFLyQHVEDVWDQWHVLPLODUDOGH ODVHFXDFLRQHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVHQORVTXHVHGHEHUHVROYHUXQDHFXDFLyQDX[LOLDU ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Una ecuación diferencial lineal de la forma an x n dn y dx n an 1xn 1 d n 1y dx n 1 a1 x dy dx a0 y g(x), (1) GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV an, an1, . . . , a0 VRQ FRQVWDQWHV VH FRQRFH FRPR ecuación de Cauchy-Euler/DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOIXHQRPEUDGDHQKRQRUGHORVGRVPDWHPiWLFRVPiVSUROt¿FRVGHWRGRVORVWLHPSRV$XJXVWLQ/RXLV&DXFK\ (francés, 17891857) y Leonhard Euler VXL]R /DFDUDFWHUtVWLFDREVHUYDEOHGHHVWHWLSR GHHFXDFLyQHVTXHHOJUDGRk n, n GHORVFRH¿FLHQWHVPRQRPLDOHVxk coincide con el orden kGHODGHULYDFLyQdkydxk: mismo mismo dny dn1y anxn ––––n an1xn1 –––––– .. .. dx dxn1 $OLJXDOTXHHQODVHFFLyQLQLFLDPRVHODQiOLVLVFRQXQH[DPHQGHWDOODGRGH las formas de las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden ax2 d 2y dx2 bx dy dx cy 0. La solución de ecuaciones de orden superior se deduce de manera análoga. También, SRGHPRVUHVROYHUODHFXDFLyQQRKRPRJpQHDax y bxy cy g(x SRUYDULDFLyQ GHSDUiPHWURVXQDYH]TXHVHKDGHWHUPLQDGRODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc. NOTA (OFRH¿FLHQWHSULQFLSDOanxnGHFXDOTXLHUHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUHVFHUR en x 3RUORTXHSDUDJDUDQWL]DUTXHORVUHVXOWDGRVIXQGDPHQWDOHVGHOWHRUHPD VHDQDSOLFDEOHVDODHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUFHQWUDPRVQXHVWUDDWHQFLyQHQ HQFRQWUDUVROXFLRQHVJHQHUDOHVGH¿QLGDVVREUHHOLQWHUYDOR ). Las soluciones en el LQWHUYDOR WDPELpQVHSXHGHXVDU MÉTODO DE SOLUCIÓN Se prueba una solución de la forma y xm, donde m es XQYDORUTXHVHGHEHGHWHUPLQDU$QiORJRDORTXHVXFHGHFXDQGRVHVXVWLWX\Hemx en una HFXDFLyQOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFXDQGRVHVXVWLWX\HxmFDGDWpUPLQRGH XQDHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUVHFRQYLHUWHHQXQSROLQRPLRHQmYHFHVxmSXHVWRTXH ak xk dky dxk ak xkm(m 1)(m 2) (m k 1)xm k ak m(m 1)(m 2) (m k 1)xm. 3RUHMHPSORFXDQGRVXVWLWXLPRVy xmODHFXDFLyQGHVHJXQGRRUGHQVHWUDQVIRUPDHQ ax2 d 2y dx2 bx dy dx cy am(m 1)xm bmxm cxm (am(m 1) bm c)xm = 0. 4.7 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 167 O Así y xmHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVLHPSUHTXHm sea una solución de la ecuación auxiliar am(m 1) bm 0 c o am2 (b a)m 0. c +D\WUHVFDVRVGLVWLQWRVDFRQVLGHUDUTXHGHSHQGHQGHVLODVUDtFHVGHHVWDHFXDFLyQ FXDGUiWLFDVRQUHDOHV\GLVWLQWDVUHDOHVHLJXDOHVRFRPSOHMDV(QHO~OWLPRFDVRODV raíces aparecen como un par conjugado. CASO I: RAÍCES REALES Y DISTINTAS Sean m1 y m ODVUDtFHVUHDOHVGH WDOHVTXHm1 m(QWRQFHV y1 xm1 y y2 xm2 IRUPDQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGH VROXFLRQHV3RUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOGH HV EJEMPLO 1 5HVXHOYD x2 d 2y dx2 c2 xm2. c1 xm1 y Raíces distintas 2x dy dx 4y 0. SOLUCIÓN (QOXJDUGHPHPRUL]DUODHFXDFLyQ DOJXQDVYHFHVHVSUHIHULEOHVXponer y xmFRPRODVROXFLyQSDUDHQWHQGHUHORULJHQ\ODGLIHUHQFLDHQWUHHVWDQXHYD IRUPDGHHFXDFLyQDX[LOLDU\ODREWHQLGDHQODVHFFLyQ'HULYHGRVYHFHV dy dx d2y dx2 mxm 1, 1)xm 2, m(m \VXVWLWX\HQGRHVWRHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO x2 d 2y dx2 2x dy dx 4y 1)xm x2 m(m xm(m(m 1) 2x mxm 2 2m 4) 4xm 1 xm(m2 3m 4) 0 si m m 0. Ahora (m 1)(m LPSOLFDTXHm 1 1, m DVt TXHy c1x 1 cx . CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS 6LODVUDtFHVGH VRQUHSHWLGDV HVGHFLU m1 m HQWRQFHVVHREWLHQHVyORXQDVROXFLyQSDUWLFXODUy xm1. Cuando las raíces GHODHFXDFLyQFXDGUiWLFDam (b a)m c VRQLJXDOHVHOGLVFULPLQDQWHGHORV FRH¿FLHQWHVQHFHVDULDPHQWHHVFHUR'HODIyUPXODFXDGUiWLFDVHGHGXFHTXHODVUDtFHV deben ser m1 (b a)a. $KRUDVHSXHGHFRQVWUXLUXQDVHJXQGDVROXFLyQy, con la ecuación (5) de la secFLyQ3ULPHURVHHVFULEHODHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUHQODIRUPDHVWiQGDU d 2y dx2 b dy ax dx c y ax2 0 \VHKDFHQODVLGHQWL¿FDFLRQHVP(x) bax y (b ax) dx y2 xm1 e (b a) ln x . Así (b / a)ln x dx x2m1 xm1 x b/a x xm1 x b/a x(b xm1 dx x 2m1 dx a)/ a xm1 ln x. dx ;e (b / a)ln x ; 2m1 eln x (b b/a a)/ a x b/a 168 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR /DVROXFLyQJHQHUDOGH HVHQWRQFHV c1 xm1 y EJEMPLO 2 5HVXHOYD 4x2 c2 xm1 ln x. (5) Raíces repetidas d 2y dx2 8x dy dx y 0. SOLUCIÓN 6XVWLWX\HQGRy xmVHREWLHQH 4x2 d2y dx2 8x dy dx y xm(4m(m 1) 8m 1) xm(4m2 GRQGHm m 1 R m 1) 3XHVWRTXH m1 VHVLJXHTXHODVROXFLyQJHQHUDOHVy c1x cx ln x. 4m 1 2 1) 0 , de la ecuación (5) Para ecuaciones de orden superior, si m1HVXQDUDt]GHPXOWLSOLFLGDGkHQWRQFHVVH SXHGHGHPRVWUDUTXH xm1, xm1 ln x, xm1(ln x)2, . . . , xm1(ln x) k 1 son kVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV(QFRUUHVSRQGHQFLDODVROXFLyQJHQHUDO GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHEHFRQWHQHUXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHHVWDVk soluciones. CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS 6LODVUDtFHVGH VRQHOSDUFRQjugado m1 Į Lȕ, m Į Lȕ, donde Į y ȕ VRQUHDOHVHQWRQFHVXQDVROXFLyQHV y C1x i C2 x i . Pero cuando las raíces de la ecuación auxiliar son complejas, como en el caso de las HFXDFLRQHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHGHVHDHVFULELUODVROXFLyQVyORHQWpUPLQRV GHIXQFLRQHVUHDOHV2EVHUYHPRVODLGHQWLGDG xi (eln x )i ei ln x , TXHSRUODIyUPXODGH(XOHUHVORPLVPRTXH x Lȕ cos(ȕ ln x) i sen(ȕ ln x). x Lȕ cos(ȕ ln x) i sen(ȕ ln x). 'HIRUPDVLPLODU 6LVHVXPDQ\UHVWDQORVGRV~OWLPRVUHVXOWDGRVVHREWLHQH x Lȕ x Lȕ FRV ȕ ln x) x Lȕ x Lȕ i sen(ȕ ln x), y UHVSHFWLYDPHQWH'HOKHFKRGHTXHy C1x ĮLȕ Cx ĮLȕ es una solución para cualTXLHUYDORUGHODVFRQVWDQWHVQRWHDVXYH]SDUDC1 C 1 y C1 1, C TXH o x (xi x (xi y1 2x cos( ln x) y y2 x i y y 2 y1 ) x i ) 2ix sen( ln x) WDPELpQVRQVROXFLRQHV&RPRW(x Į cos(ȕ ln x), x Į sen(ȕ ln x)) ȕ[ Į1 0, ȕ 0 VREUHHOLQWHUYDOR VHFRQFOX\HTXH y1 x cos( ln x) y y2 x sen( ln x) FRQVWLWX\HQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHVUHDOHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO $VtODVROXFLyQJHQHUDOGH HV y x [c1 cos( ln x) c2 sen( ln x)]. (6) 4.7 1 y EJEMPLO 3 5HVXHOYD 4x2 y ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER O 169 Problema con valores iniciales 0, y(1) 17y 1 2. 1, y (1) SOLUCIÓN (OWpUPLQRyIDOWDHQODHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUVLQHPEDUJRODVXV- WLWXFLyQy xm produce x 0 4x2 y xm (4m(m 17y 1) xm (4m2 17) 4m 17) 0 GRQGHm m 17 'HODIyUPXODFXDGUiWLFDVHHQFXHQWUDTXHODVUDtFHVVRQ m1 12 i y m 12 i&RQODVLGHQWL¿FDFLRQHVĮ 12 y ȕ VHYHGH TXHOD solución general de la ecuación diferencial es _1 1 a) solución para 0 x1/2 [c1 cos(2 ln x) y x 1. c2 sen(2 ln x)]. 1 ODVROXFLyQDQWHULRU\XVDQGR Aplicando las condiciones iniciales y(l) 1, y (1) 2 ln 1 VHREWLHQHDVXYH]TXHc1 1 y c 0. Así la solución del problema FRQYDORUHVLQLFLDOHVHVy x FRV OQx)(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDODJUi¿FD GHHVWDIXQFLyQTXHVHREWXYRFRQD\XGDGHXQSDTXHWHGHFyPSXWR6HREVHUYDTXHOD VROXFLyQSDUWLFXODUHVRVFLODWRULD\QRDFRWDGDFRQIRUPHx A . y 10 5 (Q HO HMHPSOR VLJXLHQWH VH LOXVWUD OD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GH &DXFK\(XOHU GH WHUFHURUGHQ x 25 50 b) solución para 0 75 EJEMPLO 4 5HVXHOYD x3 100 x 100. d3y dx 3 Ecuación de tercer orden 5x2 d2y dx 2 7x dy dx 8y 0. SOLUCIÓN /DVWUHVSULPHUDVGHULYDGDVGHy xm son FIGURA 4.7.1 &XUYDVROXFLyQGHO dy dx 39,GHOHMHPSOR d 2y dx2 mxm 1, m(m d3y dx3 1)xm 2, m(m 2)xm 3, 1)(m DVtODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVHFRQYLHUWHHQ x3 d3y dx3 5x2 d2y dx2 7x dy dx 8y x3 m(m xm (m(m xm (m3 1)(m 2)xm 1)(m 2m2 2) 4m 3 5x2 m(m 5m(m 8) xm (m 1) 1)xm 2 7m 8) 2)(m2 4) 7xmxm 1 8xm 0. (QHVWHFDVRYHUHPRVTXHy xm es una solución de la ecuación diferencial para m1 m i y m i3RUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOHVy c1x c FRV OQ x) c VHQ OQx). ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS (OPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVTXH VHGHVFULELyHQODVVHFFLRQHV\QRVHDSOLFDen general, a las ecuaciones diferenFLDOHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV3RUWDQWRHQHOVLJXLHQWHHMHPSORVHHPSOHDHO PpWRGRGHYDULDFLyQGHSDUiPHWURV EJEMPLO 5 Variación de parámetros 5HVXHOYDx y xy y x e x. SOLUCIÓN 3XHVWRTXHODHFXDFLyQHVQRKRPRJpQHDSULPHURVHUHVXHOYHODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGD'HODHFXDFLyQDX[LOLDU m l)(m VHHQFXHQWUDyc c1x cx$KRUDDQWHVGHXVDUODYDULDFLyQGHSDUiPHWURVSDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUyp u1 y1 uyUHFXHUGHTXHODVIyUPXODV u 1 W1> W y u 2 W 2> W , 170 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR donde W1, Wy WVRQORVGHWHUPLQDQWHVGH¿QLGRVHQODSiJLQDTXHVHGHGXMHURQ EDMRODVXSRVLFLyQGHTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHHVFULELyHQODIRUPDHVWiQGDUy P(x)y Q(x)y f(x 3RUWDQWRGLYLGLHQGRSRUx la ecuación dada, 3 y x y 3 y x2 2x2 ex KDFHPRVODLGHQWL¿FDFLyQf(x) xex. Ahora con y1 x, y x, y W x x3 1 3x2 2x3, 2x5 ex 2x3 u1 HQFRQWUDPRV x3 3x2 0 2x2ex W1 x2 ex 2x5ex, u2 y x 0 1 2x2 ex W2 2x3 ex 2x3 2x3ex, ex. /D LQWHJUDO GH OD ~OWLPD IXQFLyQ HV LQPHGLDWD SHUR HQ HO FDVR GH u1 VH LQWHJUD SRU SDUWHV GRV YHFHV /RV UHVXOWDGRV VRQ u1 x e x xe x e x y u e x 3RU WDQWR yp u1 y1 uy es yp )LQDOPHQWH ( x2 ex 2xex y yp yc 2ex )x c1 x ex x3 2x2ex 2x2 ex c2 x3 2xex. 2xex. REDUCCIÓN A COEFICIENTES CONSTANTES /DVVLPLOLWXGHVHQWUHODVIRUPDV de soluciones de ecuaciones de Cauchy-Euler y soluciones de ecuaciones lineales con FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVQRVyORVRQXQDFRLQFLGHQFLD3RUHMHPSORFXDQGRODVUDtFHV de las ecuaciones auxiliares para ay by cy 0 y ax y bxy cy 0 son GLVWLQWDV\UHDOHVODVVROXFLRQHVJHQHUDOHVUHVSHFWLYDVVRQ y c1 em1 x c2 em2 x y y c1 xm1 c2 xm2, x 0. (7) 8VDQGRODLGHQWLGDGe ln x x, x 0, la segunda solución dada en (7) puede expresarse HQODPLVPDIRUPDTXHODSULPHUDVROXFLyQ y c1 em1 ln x c2 em2 ln x c1em1 t c2 em2 t, donde t ln x (VWH ~OWLPR UHVXOWDGR LOXVWUD HO KHFKR GH TXH FXDOTXLHU HFXDFLyQ GH &DXFK\(XOHUVLHPSUHVHSXHGHHVFULELUGHQXHYRFRPRXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO FRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVXVWLWX\HQGRx e t/DLGHDHVUHVROYHUODQXHYDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOHQWpUPLQRVGHODYDULDEOHtXVDQGRORVPpWRGRVGHODVVHFFLRQHVDQWHULRUHV \XQDYH]REWHQLGDODVROXFLyQJHQHUDOVXVWLWXLUQXHYDPHQWHt ln x(VWHPpWRGRTXH VHLOXVWUyHQHO~OWLPRHMHPSORUHTXLHUHHOXVRGHODUHJODGHODFDGHQDGHODGHULYDFLyQ EJEMPLO 6 &DPELRDFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV 5HVXHOYDx y xy y ln x. SOLUCIÓN 6XVWLWX\HQGRx et o t ln xVHWLHQHTXH dy dx d 2y dx2 dy dt dt dx 1 dy x dt ; Regla de la cadena 1 d dy x dx dt dy dt 1 x2 1 d 2y 1 x dt2 x dy dt 1 x2 ; Regla del producto y regla de la cadena 1 d 2y x2 dt2 dy . dt 4.7 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 171 O 6XVWLWX\HQGRHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD\VLPSOL¿FDQGRVHREWLHQH d2y dt2 2 dy dt y t. &RPRHVWD~OWLPDHFXDFLyQWLHQHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVXHFXDFLyQDX[LOLDUHVm m 1 0, o (m 1) $VtVHREWLHQHyc c1et ctet. 8VDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHSUXHEDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPD yp $ Bt(VWDVXSRVLFLyQFRQGXFHDB $ Bt tSRUWDQWR$ \B 1. Usando y yc ypVHREWLHQH y c1 et c 2 tet 2 t, 6XVWLWX\HQGRGHQXHYRet = x y t = ln xYHPRVTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ GLIHUHQFLDORULJLQDOVREUHHOLQWHUYDOR ) es y c1x cx ln x ln x. SOLUCIONES PARA x < 0 (QHODQiOLVLVDQWHULRUKHPRVUHVXHOWRODVHFXDFLRQHVGH Cauchy-Euler para x 8QDIRUPDGHUHVROYHUXQDHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUSDUD x HVFDPELDUODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHSRUPHGLRGHODVXVWLWXFLyQt x ORTXH implica t 0) y usando la regla de la cadena: dy dx dy dt dt dx dy dt y d 2y dx2 d dt dy dt dt dx d 2y . dt 2 9HDORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV UNA FORMA DISTINTA Una ecuación de segundo orden de la forma d2y dy a(x x0)2 2 b(x x0) cy 0 dx dx (88) WDPELpQHVXQDHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHU2EVHUYHTXH VHUHGXFHD FXDQGR x0 0. 3RGHPRVUHVROYHU FRPRORKLFLPRVFRQ HVGHFLUEXVFDQGRVROXFLRQHVGH y (x x0)m y usando dy dx m(x x0)m 1 y d2y dx2 m(m 1)(x x0)m 2. 'HIRUPDDOWHUQDSRGHPRVUHGXFLUD DODIRUPDIDPLOLDU SRUPHGLRGHOFDPELR GHYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHt x x0UHVROYHUODHFXDFLyQUHGXFLGD\VXVWLWXLUGH QXHYR9HDORVSUREOHPDVDGHORVHMHUFLFLRV EJERCICIOS 4.7 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-5. (QORVSUREOHPDVUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD (QORVSUREOHPDVUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD SRUYDULDFLyQGHSDUiPHWURV 1. x y y 0 2. x y y 0 3. xy y 0 4. xy y 0 19. xy y x 5. x y xy y 0 6. x y 5xy y 0 20. x y 5xy y x x 7. x y xy y 0 8. x y xy y 0 21. x y xy y x 22. x y xy y x e x 10. x y xy y 0 23. x y xy y ln x 24. x2 y 9. x y xy y 0 11. x y 5xy y 0 12. x y 8xy 6y 0 13. x y 6xy y 0 14. x y 7xy y 0 15. x y 6y 0 16. x y xy y 0 xy y 1 x 1 (Q ORV SUREOHPDV UHVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV8VHXQDDSOLFDFLyQSDUDJUD¿FDU\REWHQJDODJUi¿FDGHODFXUYDVROXFLyQ 17. xy 6y 0 25. x y xy 0, 18. x y 6x y 9x y xy y 0 26. x y 5xy 8y 0, y(1) 0, y(1) y y 0 172 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 27. x y xy y 0, y(1) 1, y(1) 28. x y xy y 0, y(1) 5, y(1) 29. xy 1, y (1) 30. x2 y y 5xy x, y(1) 8y 8x6, y 1 2 46. ¢&XiOHVVRQODVLQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMHxGHODFXUYDVROXFLyQ TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD " ¢&XiQWDV LQWHUVHFFLRQHV 1 con el eje x hay en 0 x 2? 1 2 0, y 1 2 0 (QORVSUREOHPDVXVHODVXVWLWXFLyQx et para FRQYHUWLU OD HFXDFLyQ GH &DXFK\(XOHU D XQD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV5HVXHOYD OD HFXDFLyQ RULJLQDO DO UHVROYHU OD QXHYD HFXDFLyQ XVDQGRORVSURFHGLPLHQWRVGHODVVHFFLRQHVD 31. x y 9xy y 0 32. x y 9xy y 0 33. x y 10xy 8y x 34. x y xy 6y ln x 35. x y xy y x 36. x y x y 6xy 6y ln x (QORVSUREOHPDV\XVHODVXVWLWXFLyQt x, SDUDUHVROYHUHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGDGR VREUHHOLQWHUYDOR , 0). 37. x y y 0, y(1) y(1) 38. x y xy 6y 0, y( 8, y( 0 (QORVSUREOHPDV\XWLOLFHy (x x0)m para UHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD 39. (x y 8(x y y 0 40. (x 1)y (x 1)y 5y 0 (QORVSUREOHPDV\XWLOLFHODVXVWLWXFLyQt x x0SDUDUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD 41. (x y (x y y 0 42. (x y 5(x y 9y 0 Problemas para analizar 43. 'pHOLQWHUYDORPiVODUJRSRVLEOHVREUHHOFXDOOD VROXFLyQJHQHUDOGHOSUREOHPDHVWiGH¿QLGD 44. ¢(V SRVLEOH HQFRQWUDU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH &DXFK\(XOHU GH RUGHQ PtQLPR FRQ FRH¿FLHQWHVUHDOHVVLVHVDEHTXH\ i son raíces GHVXHFXDFLyQDX[LOLDU"'HVDUUROOHVXVLGHDV 45. Las condiciones iniciales y(0) y0, y(0) y1 se DSOLFDQDFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVHFXDFLRQHV diferenciales: x y 0, x y xy y 0, x y xy 6y 0. ¢3DUDTXpYDORUHVGHy0 y y1 cada problema con YDORUHVLQLFLDOHVWLHQHXQDVROXFLyQ" Modelo matemático 47. Flexión de una placa circular(QHODQiOLVLVGHODÀH[LyQ GHXQDSODFDFLUFXODUXQLIRUPHPHQWHFDUJDGDODHFXDFLyQ w(r GHODFXUYDGHÀH[LyQGHODSODFDVHSXHGHGHPRVWUDU TXHVDWLVIDFHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO q d 3w 1 d 2 w 1 dw 1 2 2 5 r, r dr 2 2D r dr dr 3 (9) donde q y DVRQFRQVWDQWHV$TXtrHVODGLVWDQFLDUDGLDO GHVGHXQSXQWRGHODSODFDFLUFXODUHQVXFHQWUR D 8WLOLFHHOPpWRGRGHHVWDVHFFLyQMXQWRFRQYDULDFLyQ GHSDUiPHWURVFRPRVHLQGLFDHQ GHODVHFFLyQ SDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ E 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGH TXHVDWLVIDJDODVFRQ GLFLRQHVIURQWHUD w’(0) = 0, w(a) = 0 y w’(a) = 0 donde a!HVHOUDGLRGHODSODFD>Sugerencia: La condición w’ HVFRUUHFWD8WLOLFHHVWDFRQGLFLyQSDUD GHWHUPLQDU XQD GH ODV FRQVWDQWHV HQ OD VROXFLyQ JHQHUDO HQFRQWUDGRHQHOLQFLVRD @ 48. (QHOOLEURGHWH[WRLQJHQLHUtDGRQGHVHHQFRQWUyODHFXDFLyQ HODXWRUD¿UPDTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHUHVXHOYHIiFLOPHQWHLQWHJUDQGR(VFLHUWRSHURVHQHFHVLWD una gran sugerencia. D 9HUL¿TXHTXHODHFXDFLyQ VHSXHGHHVFULELUHQOD IRUPDDOWHUQDWLYD S D4 d 1 d dw r dr r dr dr 3 5 q r. 2D (10) E 5HVXHOYDODHFXDFLyQ XVDQGRVyORLQWHJUDFLyQ FRQUHVSHFWRDr'HPXHVWUHTXHHOUHVXOWDGRHVHTXLYD OHQWHDODVROXFLyQREWHQLGDHQHOLQFLVRD GHOSUREOHPD Tarea para el laboratorio de computación (QORVSUREOHPDVUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD XVDQGRXQ6$&SDUDHQFRQWUDUODVUDtFHV DSUR[LPDGDV GHOD ecuación auxiliar. 49. x y 10.98x y 8.5xy y 0 50. x y x y 5xy 9y 0 51. x y 6x y x y xy y 0 52. x y 6x y x y 105xy 169y 0 53. 5HVXHOYD x y x y xy 6y x SRU YDULDFLyQ GHSDUiPHWURV8VHXQ6$&FRPRD\XGDSDUDFDOFXODUODV UDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDU\ORVGHWHUPLQDQWHVGDGRVHQ GHODVHFFLyQ 4.8 4.8 FUNCIONES DE GREEN O 173 FUNCIONES DE GREEN INTRODUCCIÓN 9HUHPRVHQHOFDStWXORTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ d2y a2(x) 2 dx a1(x) dy dx a0(x)y g(x) (1) GHVHPSHxDXQSDSHOLPSRUWDQWHHQPXFKDVDSOLFDFLRQHV(QHODQiOLVLVPDWHPiWLFRGHVLVWHPDVItsicos es, a menudo, deseable expresar la respuesta o salida y(x GH VXMHWD\DVHDDFRQGLFLRQHV LQLFLDOHVRDFRQGLFLRQHVIURQWHUDHQWpUPLQRVGHXQDfunción de forzamiento o de entrada g(x). 'HHVWDPDQHUDODUHVSXHVWDGHOVLVWHPDVHSXHGHDQDOL]DUUiSLGDPHQWHSDUDGLIHUHQWHVIXQFLRQHV GHIRU]DPLHQWR 3DUD YHU FyPR VH KDFH HVWR FRPHQ]DPRV H[DPLQDQGR ODV VROXFLRQHV GH ORV SUREOHPDV FRQ YDORUHVLQLFLDOHVHQORVFXDOHVOD(' TXHVHKDSXHVWRHQODIRUPDHVWiQGDU y P(x)y Q(x)y f(x) (2) GLYLGLHQGRODHFXDFLyQSRUHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOa(x 7DPELpQVXSRQHPRVHQWRGDHVWDVHFFLyQ TXHODVIXQFLRQHVFRH¿FLHQWHVP(x), Q(x) y f (x VRQFRQWLQXDVVREUHDOJ~QLQWHUYDORFRP~QI. 4.8.1 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES TRES PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Veremos conforme se desarrolla HODQiOLVLVTXHODVROXFLyQy(x)GHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQ y P(x)y Q(x)y f(x), y(x0) y0, y (x0) y1 (3) se puede expresar como la superposición de las dos soluciones y(x) yh(x) yp(x), (4) donde yh(x HVODVROXFLyQGHOD('KRPRJpQHDDVRFLDGDFRQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV no homogéneas $TXtVHVXSRQHTXHDOPHQRVXQRGHORV Q~PHURVy0 o y1HVGLVWLQWRGHFHUR6LWDQWRy0 como y1VRQHQWRQFHVODVROXFLyQ GHO39,HVy = 0. y P(x)y Q(x)y 0, y(x0) y0, y (x0) y1 (5) y yp(x HVODVROXFLyQGHOD('QRKRPRJpQHDFRQFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVKRPRJpQHDV HV decir, cero) y P(x)y Q(x)y f(x), y(x0) 0, y (x0) 0. (6) (QHOFDVRGHTXHORVFRH¿FLHQWHVP y QVHDQFRQVWDQWHVODVROXFLyQGHO39, QR SUHVHQWDGL¿FXOWDGHV8WLOLFHHOPpWRGRGHODVHFFLyQSDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQGHOD ('KRPRJpQHD\GHVSXpVXWLOLFHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDGDVSDUDGHWHUPLQDUODVGRV FRQVWDQWHVGHODVROXFLyQ1RVFRQFHQWUDUHPRVHQODVROXFLyQGHO39, 'HELGRDODV FRQGLFLRQHVLQLFLDOHVFHURODVROXFLyQGH SRGUtDGHVFULELUXQVLVWHPDItVLFRTXHHVWi LQLFLDOPHQWHHQUHSRVR\DYHFHVVHOODPDXQDsolución de reposo. FUNCIÓN DE GREEN Si y1(x) y y(x IRUPDQXQFRQMXQWRIXQGDPHQWDOGHVROXFLRQHV VREUHODLQWHUYDORIGHODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGDGH HQWRQFHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQQRKRPRJpQHD VREUHLQWHUYDORIVHSXHGHHQFRQWUDUSRUYDULDFLyQGH SDUiPHWURV5HFXHUGHGHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQTXHODIRUPDGHHVWDVROXFLyQHV yp(x) u1(x)y1(x) u2(x)y2(x). (7) 174 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR /RVFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVu1(x) y u(x)HQ HVWiQGH¿QLGRVSRUODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQ y2(x)f(x) , W u 1(x) y1(x)f(x) . W u 2(x) (8) La independencia lineal de y1(x) y y(x)VREUHHOLQWHUYDORIJDUDQWL]DTXHHO:URQVNLDQR W = W(y1(x), y(x)) SDUDWRGDx en I. Si x y x0VRQQ~PHURVHQIHQWRQFHVDOLQWHJUDU ODVGHULYDGDVu1(x) y u(x HQODVHFXDFLRQHV VREUHHOLQWHUYDOR>x0, x@\DOVXVWLWXLU ORVUHVXOWDGRVHQODHFXDFLyQ VHREWLHQH x 'HELGRDTXHy1(x) y y(x VRQFRQVWDQWHVFRQUHVSHFWRDODLQWHJUDFLyQHQ t, SRGHPRVPRYHUHVWDVIXQFLRQHVGHQWUR GHODVLQWHJUDOHVGH¿QLGDV yp(x) x0 x W(t) y2(x) x0 x y1(x)y2(t) f(t) dt W(t) x0 donde x y2(t)f(t) dt W(t) y1(x) x0 y1(t) y 1(t) W(y1(t), y2(t)) y1(t)f(t) dt W(t) (9) y1(t)y2(x) f(t) dt, W(t) y2(t) y2(t) 'HODVSURSLHGDGHVGHODLQWHJUDOGH¿QLGDODVGRVLQWHJUDOHVHQHOVHJXQGRUHQJOyQGH VHSXHGHQUHHVFULELUFRPRXQDVRODLQWHJUDO x yp(x) G(x, t) f(t) dt. (10) y1(t)y2(x) y1(x)y2(t) W(t) (11) x0 La función G(x, t) en (10), G(x, t) (VWRHVLPSRUWDQWH/HDHVWHSiUUDIR RWUDYH] se denomina función de GreenSDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 2EVHUYH TXH OD IXQFLyQ GH *UHHQ GHSHQGH VyOR GH ODV VROXFLRQHV IXQGDPHQWDOHV y1(x) y y(x) GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO KRPRJpQHD DVRFLDGD SDUD \ QR GHODIXHU]DGHIRU]DPLHQWR f(x 3RUWDQWRWRGDVODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQ FRQHOPLVPRODGRL]TXLHUGRSHURFRQGLIHUHQWHVIXQFLRQHVGHIRU]DPLHQWR WLHQHQ OD PLVPD IXQFLyQ GH *UHHQ 3RU OR TXH XQ WtWXOR DOWHUQDWLYR SDUD (11) es la función de Green para el operador diferencial lineal de segundo orden L D P(x) D Q(x) EJEMPLO 1 Solución particular 8WLOLFHODVHFXDFLRQHV \ SDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y f(x). Las soluciones de la ecuación homogénea asociada y y 0 son y1 ex, y e y W(y1(t), y(t)) 6HWLHQHGHODHFXDFLyQ TXHODIXQFLyQGH*UHHQHV SOLUCIÓN x G(x, t) ete x exe t ex 2 t e 2 (x t) senh (x t). (12) $VtSDUDODHFXDFLyQ XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD('HV x yp(x) EJEMPLO 2 senh (x t) f(t) dt. (13) x0 Soluciones generales 'HWHUPLQHODVROXFLyQGHODVVLJXLHQWHVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVQRKRPRJpQHDV a) y y 1x b) y y ex 4.8 FUNCIONES DE GREEN 175 O SOLUCIÓN (Q HO HMHPSOR DPEDV (' WLHQHQ OD PLVPD IXQFLyQ FRPSOHPHQWDULD yc c1ex cex$GHPiVFRPRVHVHxDOyHQHOSiUUDIRDQWHULRUDOHMHPSORODIXQFLyQGH *UHHQSDUDDPEDVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHVODHFXDFLyQ a) &RQODVLGHQWL¿FDFLRQHVf(x) 1x y f(t) 1tYHPRVHQODHFXDFLyQ TXHXQD x senh(x VROXFLyQSDUWLFXODUGHy y 1x es yp(x) t) t x0 dt . Así la solución general y yc ypGHOD('GDGDVREUHFXDOTXLHULQWHUYDOR>x0, x@TXHQRFRQWLHQHDORULJHQHV x c1e x y c2e x x0 senh(x t t) dt. (14) 'HEHFRPSDUDUHVWDVROXFLyQFRQODHQFRQWUDGDHQHOHMHPSORGHODVHFFLyQ b) Con f(x) exHQODHFXDFLyQ XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y ex es yp(x) x x0 senh(x t) e2t dt. (QWRQFHVODVROXFLyQJHQHUDOy yc yp es x y c1ex c2e x senh(x t) e2t dt. (15) x0 $KRUDFRQVLGHUHHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVHVSHFLDO FRQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVKRPRJpQHDV8QDPDQHUDGHUHVROYHUHOSUREOHPDFXDQGRf(x) 0 ya se ha mosWUDGRHQODVVHFFLRQHV\HVGHFLUDSOLFDQGRODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVy(x0) 0, y(x0) DODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('QRKRPRJpQHD3HURQRKD\XQDQHFHVLGDG UHDOGHKDFHUHVWR\DTXHWHQHPRVXQDVROXFLyQGHO39,DODPDQRpVWDHVODIXQFLyQ GH¿QLGDHQODHFXDFLyQ TEOREMA 4.8.1 Solución del PVI (6) La función yp(x GH¿QLGDHQ HVODVROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLciales (6). DEMOSTRACIÓN 3RUFRQVWUXFFLyQVDEHPRVTXHyp(x HQ VDWLVIDFHOD('QRKRPRJpQHD'HVSXpVSXHVWRTXHXQDLQWHJUDOGH¿QLGDWLHQHODSURSLHGDG aa 0 WHQHPRV x0 yp(x0) G(x0, t) f(t) dt 0. x0 3RU~OWLPRSDUDGHPRVWUDUTXHyp(x0) XWLOL]DPRVODIyUPXODGH/HLEQL] SDUDODGHULYDGDGHXQDLQWHJUDO 0 de (11) x yp (x) G(x, x) f (x) x0 x0 SRUWDQWR yp(x 0) EJEMPLO 3 x0 y1(t)y 2(x) y 1(x)y2(t) f(t) dt. W(t) y1(t)y 2 (x0) y 1(x0)y2(t) f(t) dt W(t) 0. Vuelta al ejemplo 2 5HVXHOYDORVSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV a) y y 1x, y(1) 0, y(1) 0 * Vea Apéndice A b) y y ex, y(0) 0, y(0) 0 176 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SOLUCIÓN a) Con x0 1 y f(t) 1tVHWLHQHGHODHFXDFLyQ GHOHMHPSOR\GHO WHRUHPDTXHODVROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVGRQGH>x], x 0, es x senh(x t yp(x) 1 t) dt b),GHQWL¿FDQGRx0 0 y f(t) etYHPRVHQODHFXDFLyQ TXHODVROXFLyQGHO39,HV x yp(x) t) e2t dt. senh(x (16) 0 (QHOLQFLVRE GHOHMHPSORUHDOL]DPRVODLQWHJUDFLyQGHODHFXDFLyQ SHURFRQVLGHUHTXHxVHFRQVHUYDFRQVWDQWHFXDQGRVHLQWHJUDFRQUHVSHFWRDt: x yp(x) x t) e2t dt senh(x 0 t 0 x 1 x 2e (x e 2 t) e2t dt x 1 x 2e et dt 0 1 2x 3e EJEMPLO 4 ex 1 x 2e e3t dt 0 1 x 6e . Uso de (10) y (11) 5HVXHOYDHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV y y x, y(0) 0, y(0) 0 SOLUCIÓN &RPHQFHPRVSRUFRQVWUXLUODIXQFLyQGH*UHHQGHODHFXDFLyQGLIHUHQcial dada. /DVGRVVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHy y 0 son y1(x) FRVx y y(x) VHQx. En la ecuación (11), con W FRVtVHQt) HQFRQWUDPRV $TXtKHPRVXVDGRODLGHQWLGDGWULJRQRPpWULFD VHQ x±t VHQxFRVt±FRVxVHQt cos2t sHn 2x G(x, t) cos2x sHn 2t 1 2 sHn2(x 2 t). +DFLHQGRPiVLGHQWL¿FDFLRQHVx0 0 y f(t) tHQODHFXDFLyQ YHPRVTXHXQD VROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVHV x 1 2 yp(x) tsen2(x t) dt. 0 6LGHVHDPRVHYDOXDUODLQWHJUDOSULPHURHVFULELPRV x 1 2 sen2x yp(x) x t cos2t dt 0 1 2 cos2x 1 2 cos2x t sen2t dt 0 \GHVSXpVLQWHJUDPRVSRUSDUWHV yp(x) o [ 1 1 2 sen2x 2 t sen2t 1 4 yp(x) ]x0 cos2t 1 4x 1 8 [ 1 2t cos2t x 1 4 sen2t 0 ] sen 2x CONTINUACIÓN DE LOS PROBLEMAS DE VALORES INICIALES )LQDOPHQWH DKRUDHVWDPRVHQSRVLFLyQGHKDFHUXVRGHOWHRUHPDSDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQGHO SUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVH[SUHVDGRHQ eVWDHVVLPSOHPHQWHODIXQFLyQ\DGDGD HQODHFXDFLyQ 4.8 FUNCIONES DE GREEN O 177 TEOREMA 4.8.2 Solución del PVI (3) Si yh(x HVODVROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV \yp(x) es la soluFLyQ GHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV VREUHHOLQWHUYDOR IHQWRQFHV y(x) yh(x) yp(x) (17) HVODVROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV <DTXHyh(x HVXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHODVVROXFLRQHVIXQGDPHQWDOHVVHWLHQHGH GHODVHFFLyQTXHy yh yp HVXQDVROXFLyQGHOD('QRKRPRJpQHD $GHPiVSXHVWRTXHyhVDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHQ \ypVDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHQ WHQHPRV DEMOSTRACIÓN y(x0) yh(x0) yp(x0) y0 0 y0 y (x0) y h (x0) y p (x0) y1 0 y1. &RQVLGHUDQGRODDXVHQFLDGHXQDIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRHQ \ODSUHVHQFLDGHHVHWpUPLQRHQ YHPRVHQODHFXDFLyQ TXHODUHVSXHVWDy(x)GHXQVLVWHPDItVLFRGHVFULWR SRUHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV VHSXHGHVHSDUDUHQGRVUHVSXHVWDVGLIHUHQWHV y(x) yh(x) yp(x) respuesta del sistema debida a las condiciones iniciales y(x0) y0, y(x0) y1 (18) respuesta del sistema debida a la función de forzamiento f 6LGHVHDDGHODQWDUVHHOVLJXLHQWHSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVUHSUHVHQWDXQDVLWXDFLyQ GHUHVRQDQFLDSXUDSDUDXQVLVWHPDPDVDUHVRUWHIRU]DGR9HDODSiJLQD EJEMPLO 5 Uso del teorema 4.8.2 5HVXHOYDHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV y y VHQx, y(0) 1, y(0) 5HVROYHPRVORVGRVSUREOHPDVGHYDORUHVLQLFLDOHV 3ULPHURUHVROYHPRVy y 0, y(0) 1, y(0) . Al aplicar las condiciones iniciales a la solución general y(x) c1FRVx cVHQxGHOD('KRPRJpQHDHQFRQWUDPRV TXHc1 1 y c 13RUWDQWRyh(x FRVx VHQx. 'HVSXpVUHVROYHPRVy y VHQx, y(0) 0, y(0) 0&RPRHOODGRL]TXLHUGR GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHVHOPLVPRTXHHOGHOD('GHOHMHPSORODIXQFLyQGH*UHHQHV 1 la misma, es decir, G(x, t) 2 VHQ x t). Con f(t) VHQtYHPRVGH TXHODVROXFLyQ del segundo problema es yp(x) 12 x0 sen 2(x t)sen2t dt . 3RU~OWLPRHQYLVWDGH HQHOWHRUHPDODVROXFLyQGHO39,RULJLQDOHV SOLUCIÓN x y(x) yh(x) yp(x) cos2x sen2x 1 2 sen2(x t)sen2t dt (19) 0 6LVHGHVHDSRGHPRVLQWHJUDUODLQWHJUDOGH¿QLGDHQ XVDQGRODLGHQWLGDGWULJRQRPpWULFD 1 2 [cos(A sen Asen B con A 2(x t) y B B) cos (A B)] 2t: x yp(x) 1 2 sen2(x t)sen2tdt 0 x 1 4 1 4 [cos(2x 4t) cos2x] dt 1 4 sen(2x 4t) tcos2x 0 [ 1 8 sen2x 1 4 xcos2x. ]x0 (20) 178 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3RUWDQWRODVROXFLyQ VHSXHGHUHHVFULELUFRPR y(x) yh(x) yp(x) y(x) o cos2x cos2x 1 8 sen2x sen2x 7 8 sen2 x 1 4 1 4 x cos2x x cos2x. , (21) 2EVHUYHTXHHOVLJQL¿FDGRItVLFRLQGLFDGRHQ VHSLHUGHHQ GHVSXpVGHFRPELQDUWpUPLQRVVHPHMDQWHVHQODVGRVSDUWHVGHODVROXFLyQy(x) yh(x) yp(x). /DEHOOH]DGHODVROXFLyQGDGDHQ HVTXHSRGHPRVHVFULELULQPHGLDWDPHQWH ODUHVSXHVWDGHXQVLVWHPDVLODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVLJXHQVLHQGRODVPLVPDVSHUR ODIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRFDPELD3RUHMHPSORVLHOSUREOHPDHQHOHMHPSORVH cambia a: y y x, y(0) 1, y(0) VLPSOHPHQWHUHPSOD]DPRVVHQtHQODLQWHJUDOHQ SRUt\HQWRQFHVODVROXFLyQHV y(x) yh(x) yp(x) x cos 2x 1 4x 1 2 sen2x cos2x tsen2(x t) dt ĸvea el ejemplo 4 0 9 8 sen2x x &RPRODIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRfHVWiVRODHQODVROXFLyQSDUWLFXODU yp(x) x G(x, t) f(t) dt ODVROXFLyQGH O HV~WLOFXDQGRfHVWiGH¿QLGDHQWUDPRV(OVLJXLHQWHHMHPSORLOXVWUD HVWDLGHD 0 EJEMPLO 6 Un problema con valores iniciales 5HVXHOYDHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV y y f(x), y(0) 1, y(0) GRQGHODIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRfSRUWUDPRVVHGH¿QH 0, x sen 2x, 0 0, x f(x) SOLUCIÓN 0 x 2 2 . 'H UHPSOD]DQGRDf(t FRQVHQt, podemos escribir x y(x) cos 2 x sen 2x 1 2 sen 2(x t) f(t) dt. 0 'HELGRDTXHfVHGH¿QHHQWUHVWUDPRVFRQVLGHUDPRVWUHVFDVRVHQODHYDOXDFLyQGH ODLQWHJUDOGH¿QLGD3DUDx 0, x 1 2 yp(x) sen2(x t) 0 dt 0, 0 para 0 x , x yp(x) 1 2 sen 2(x t) sen2t dt ĸusando la integración de (20) 0 1 8 sen2x 1 4 x cos2x 4.8 FUNCIONES DE GREEN 179 O \¿QDOPHQWHSDUDx ʌSRGHPRVXVDUODLQWHJUDFLyQTXHVLJXHDOHMHPSOR 2S 1 2 yp x) x VHQ x 1 2 t VHQ 2t dt VHQ x t dt 2S 2S 1 2S 1 4 [ VHQ x t VHQt dt 1 4 VHQ 1 16 VHQ 1 2S x x 2S t cos 2x] 4t) 8S ) 1 2 ĸXVDQGRODLQWHJUDFLyQHQ S cos 2 x 1 16 VHQx ĸVHQ x 8S ) VHQ 2x cos 2x. 3RUWDQWRyp(x) es 0, 1 1 8 s Hn 2x 4 x cos 2x, 1 2 cos2x, yp(x) x 0 x 0 x 2 2 . y así y(x) y 1 _p yp(x) cos 2x sen 2x yp(x). -XQWDQGRWRGDVODVSLH]DVREWHQHPRV p 2p 3p x y(x) _1 FIGURA 4.8.1 *Ui¿FDGHy(x) del ejemplo 6. yh(x) cos 2x sen 2x, x 1 7 (1 4 x) cos 2x 8 sen 2 x, 0 (1 12 )cos2x sen2x, x 0 x 2 2 . /DVWUHVSLH]DVGHy(x VHPXHVWUDQHQGLIHUHQWHVFRORUHVHQOD¿JXUD $FRQWLQXDFLyQH[DPLQDUHPRVFyPRVHSXHGHUHVROYHUXQSUREOHPDGHYDORUHVHQOD IURQWHUD 39) XVDQGRXQDFODVHGLIHUHQWHGHIXQFLyQGH*UHHQ 4.8.2 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA (QFRQWUDVWHFRQXQ39,GHVHJXQGRRUGHQHQHOTXHy(x) y y(x VHHVSHFL¿FDQHQHO PLVPRSXQWRXQ39)SDUDXQD('GHVHJXQGRRUGHQLPSOLFDFRQGLFLRQHVy(x) y y(x) TXHVHHVSHFL¿FDQHQGRVSXQWRVGLIHUHQWHVx a y x b. Condiciones como y(a) 0, y(b) 0 y(a) 0, y(b) 0 y(a) 0, y(b) 0 VRQVyORFDVRVHVSHFLDOHVGHODVFRQGLFLRQHVIURQWHUDKRPRJpQHDVPiVJHQHUDOHV A1 y(a) B1 y (a) 0 (22) A2 y(b) B2 y (b) 0, (23) donde $1, $, B1 y BVRQFRQVWDQWHV&RQFUHWDPHQWHQXHVWURREMHWLYRHVHQFRQWUDUXQD VROXFLyQLQWHJUDOyp(x)TXHVHDDQiORJDD SDUDSUREOHPDVGHYDORUHVHQODIURQWHUD no homogéneos de la forma y P(x)y A1y(a) A2 y(b) Q(x)y B1y (a) B2 y (b) f(x), 0 0. (24) $GHPiVGHODVVXSRVLFLRQHVKDELWXDOHVGHTXHP(x), Q(x) y f (x)VRQFRQWLQXDVVREUH >a, b@VXSRQHPRVTXHHOSUREOHPDKRPRJpQHR y P(x)y A1 y(a) A2 y(b) Q(x)y B1 y (a) B2 y (b) 0 0 0 180 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4.8 FUNCIONES DE GREEN O 180 WLHQH VRODPHQWH OD VROXFLyQ WULYLDO y 0 (VWD ~OWLPD KLSyWHVLV HV VX¿FLHQWH SDUD JDUDQWL]DU XQD VROXFLyQ ~QLFD GH TXH H[LVWH \ HVWi GDGD SRU XQD LQWHJUDO b yp(x) aG(x, t) f(t)dt, donde G(x, t) es función de Green. (OSXQWRGHSDUWLGDHQODFRQVWUXFFLyQGHG(x, t RWUDYH]VRQODVIyUPXODVGHYDULDFLyQGHSDUiPHWURV \ OTRA FUNCIÓN DE GREEN 6XSRQJDTXHy1(x) y y(x VRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHVVREUH>a, b] GHODIRUPDKRPRJpQHDDVRFLDGDGHOD('HQ \TXHx HVXQQ~PHURHQHOLQWHUYDOR>a, b]$GLIHUHQFLDGHODFRQVWUXFFLyQGH GRQGHHPSH]DPRVLQWHJUDQGRODVGHULYDGDVHQ VREUHHOPLVPRLQWHUYDORLQWHJUDPRVDKRUDOD primera ecuación sobre (8) en >b, x] y la segunda ecuación en (8) sobre >a, x]: x u1(x) b y2(t) f(t) dt W(t) x y u (x) 2 a y1(t) f(t) dt. W(t) (25) /DUD]yQSDUDODLQWHJUDFLyQGHu1(x) y u(x) HQGLIHUHQWHVLQWHUYDORVSURQWRVHUiFODUD 'HODVHFXDFLRQHV XQDVROXFLyQSDUWLFXODUyp(x) u1(x)y1(x) u(x)y(x) de la ('HV aquí usamos el signo menos de (25) para invertir los límites de integración b yp(x) y1(x) x x yp(x) o a y2(t) f(t) dt W(t) y2(x)y1(t) f(t) dt W(t) x y2(x) a b x y1(t) f(t) dt W(t) y1(x)y2(t) f(t)dt. W(t) (26) (OODGRGHUHFKRGHODHFXDFLyQ VHSXHGHHVFULELUFRPRXQDVRODLQWHJUDO b yp(x) G(x, t) f(t)dt, (27) a donde la función G(x, t) es G(x, t) y1(t)y2(x) , W(t) y1(x)y2(t) , W(t) a t x x t b. (28) /DIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV VHGHQRPLQDfunción de Green para el problema GHYDORUHVHQODIURQWHUD 6HSXHGHSUREDUTXHG(x, t)HVXQDIXQFLyQFRQWLQXDGH xVREUHHOLQWHUYDOR>a, b]. Ahora, si se eligen las soluciones y1(x) y y(x) XWLOL]DGDV HQ OD FRQVWUXFFLyQ GH G(x, t)HQ GHWDOPDQHUDTXHHQx a, y1(x)VDWLVIDFH$1 y1(a) B1 y1(a) 0 y x b, y(x)VDWLVIDFH$y(b) By(b) HQWRQFHVPDUDYLOORVDPHQWHyp(x)GH¿ QLGDHQ VDWLVIDFHDPEDVFRQGLFLRQHVKRPRJpQHDVHQODIURQWHUDHQ 3DUDYHUHVWRQHFHVLWDUHPRV (OVHJXQGRUHQJOyQHQ HVUHVXOWDGRGHO KHFKRGHTXH y1(x)u´1(x) + y(x)u´(x) = 0 9HDHODQiOLVLVHQODVHFFLyQIyUPXOD y yp(x) u1(x)y1(x) u2(x)y2(x) y p(x) u1(x)y 1(x) y1(x)u 1(x) u1(x)y 1(x) u2(x)y 2(x). (29) u2(x)y 2(x) y2(x)u 2(x) (30) 4.8 FUNCIONES DE GREEN O 181 $QWHVGHSURFHGHUREVHUYHPRVHQ TXHu1(b) 0 y u(a) 0'HODVHJXQGDGH HVWDVGRVSURSLHGDGHVSRGHPRVGHPRVWUDUTXHyp(x)VDWLVIDFHODHFXDFLyQ FDGDYH] TXHy1(x)VDWLVIDFHODPLVPDFRQGLFLyQIURQWHUD'HODVHFXDFLRQHV \ WHQHPRV 0 A1yp(a) B1yp(a) 0 A1[u1(a)y1(a) u2(a)y2(a)] u1(a)[A1y1(a) B1y 1 (a)] B1[u1(a)y1(a) u2(a)y 2(a)] 0. 0 de (22) Asimismo, u1(b) LPSOLFDTXHFDGDYH]TXHy(x)VDWLVIDFH WDPELpQORKDFHyp(x): 0 A2yp(b) B2y p(b) 0 A2[u1(b)y1(b) u2(b)y2(b)] u2(b)[A2 y2(b) B2 y 2(b)] B2[u1(b)y 1(b) u2(b)y 2(b)] 0. 0 de (22) (OVLJXLHQWHWHRUHPDUHVXPHHVWRVUHVXOWDGRV TEOREMA 4.8.3 Solución del PVF (24) Sea y1(x) y y(x)VROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGH y P(x)y Q(x)y 0 VREUH>a, b@\VXSRQJDTXHy1(x) y y(x)VDWLVIDFHQODVHFXDFLRQHV \ UHVSHFWLYDPHQWH(QWRQFHVODIXQFLyQyp(x)GH¿QLGDHQ HVXQDVROXFLyQGHO SUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUD EJEMPLO 7 /DFRQGLFLyQIURQWHUDy’(0) = 0 es un caso HVSHFLDOGH FRQa = 0, $1 = 0 y B1 = 1. /DFRQGLFLyQIURQWHUDy(ʌ HVXQFDVR HVSHFLDOGH FRQb = ʌ$ = 1, B = 0. Uso del teorema 4.8.3 5HVXHOYDHOSUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUD y y y(0) 0, y(ʌ 0 SOLUCIÓN Las soluciones de la ecuación homogénea asociada y y 0 son y1(x) FRVx y y(x) VHQx y y1(x VDWLVIDFHy(0) PLHQWUDVTXHy(x VDWLVIDFH y(ʌ (O:URQVNLDQRHVW(y1, y) \DVtGH YHPRVTXHODIXQFLyQGH*UHHQ SDUDHOSUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUDHV 1 2 cos 2t sen 2x, 0 t x 1 2 cos 2x sen 2t, x t S 2. G(x, t) 6H GHGXFH GHO WHRUHPD TXH XQD VROXFLyQ GHO 39) HV FRQ ODV LGHQWL¿FDFLRQHV a 0, b ʌ\f (t) S 2 yp(x) 3 G(x, t) dt 0 S 2 x 3 1 2 sen 2x cos 2t dt 3 0 RGHVSXpVGHHYDOXDUODVLQWHJUDOHVGH¿QLGDV yp(x) 1 2 cos 3 4 2x sen 2t dt, x 3 4 cos 2x. 1RLQ¿HUDGHOHMHPSORDQWHULRUTXHODH[LJHQFLDGHTXHy1(x) VDWLVIDJD \y(x)VDWLVIDJD GHWHUPLQDHQIRUPD~QLFDHVWDVIXQFLRQHV&RPRYLPRVHQHOHMHPSORDQWHULRUKD\XQD FLHUWDDUELWUDULHGDGHQODVHOHFFLyQGHHVWDVIXQFLRQHV 182 CAPÍTULO 4 O ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 8 Uso del teorema 4.8.3 5HVXHOYDHOSUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUD xy xy y x5, y(1) 0, y 0 /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VH UHFRQRFH FRPR XQD (' GH &DXFK\(XOHU 'H la ecuación auxiliar m(m 1) m (m 1)(m 0 la solución general de la ecuación homogénea asociada es y c1x cx. Aplicar y(1) DHVWDVROXFLyQLPplica c1 c 0 o c1 c. Al elegir c REWHQHPRVc1 1 y y1 x x3RURWURODGR y DSOLFDGDDODVROXFLyQJHQHUDOPXHVWUDTXHc1 8c 0 o c1 c. La elección c 1 ahora da c1 \DVty(x) x x(O:URQVNLDQRGHHVWDVGRVIXQFLRQHVHV SOLUCIÓN W(y1(x), y2(x)) x3 4x 3x2 4 x 1 x3 3x2 6x3. 3RUWDQWRODIXQFLyQGH*UHHQSDUDORVSUREOHPDVGHYDORUHVHQODIURQWHUDHV (t G(x, t) (x t3)(4x 6t 3 3 x )(4t 6t 3 x3) , 1 t x t 3) , x t 2 &RQHO¿QGHLGHQWL¿FDUODIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRFRUUHFWDfGHEHPRVHVFULELUOD('HQOD IRUPDHVWiQGDU 3 3 y 24x3 y y x x2 (QHVWDHFXDFLyQYHPRVTXHf(t) t y así yp(x) HQ VHFRQYLHUWHHQ 2 yp(x) 24 G(x, t) t 3dt 1 x 4(4x 9HUL¿TXHTXHyp(x VDWLVIDFHODHFXDFLyQ diferencial y las dos condiciones de IURQWHUD x 3) (t 2 t 3) dt 4(x x 3) (4t 1 t 3)dt. x $OLQWHJUDUHQIRUPDVLPSOHODLQWHJUDOGH¿QLGD\VLPSOL¿FDUDOJHEUDLFDPHQWHVHREWLHQHOD solución yp(x) x5 15x x. COMENTARIOS $SHQDV KHPRV WRFDGR OD VXSHU¿FLH GH OD HOHJDQWH DXQTXH FRPSOLFDGD WHRUtD GHODVIXQFLRQHVGH*UHHQ/DVIXQFLRQHVGH*UHHQWDPELpQVHSXHGHQFRQVWUXLU para ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden, pero dejamos ODFREHUWXUDGHO~OWLPRWHPDSDUDXQFXUVRDYDQ]DGR EJERCICIOS 4.8 4.8.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-6. PROBLEMAS CON VALORES INICIALES En los problemas 1-6 proceda como en el ejemplo 1 para enFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUyp(x) de la ecuación diferencial GDGDHQIRUPDLQWHJUDO (Q ORV SUREOHPDV SURFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR SDUD HQFRQWUDUODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD 8WLOLFHORVUHVXOWDGRVREWHQLGRVHQORVSUREOHPDVGHODO 1RHYDO~HODLQWHJUDOTXHGH¿QHyp(x). 1. y 16y f(x) 7. y 16y xe 3. y 2y y f(x) 9. y 2y y f(x) 11. y 9y 5. y 9y f(x) 2. y f(x) 4. 4y 6. y 3y 4y 2y 10y y 2y f(x) x 2x e 8. y x sen x 10. 4y 12. y 3y 4y 2y 10y y 2y x2 arctan x cos2x 4.9 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN (QORVSUREOHPDVSURFHGDFRPRHQHOHMHPSORSDUD HQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDGDGRFRQYDORUHVLQLFLDOHV(YDO~HODLQWHJUDOTXHGH¿QHyp(x). 13. y 4y e2x, y(0) 14. y y 1, y(0) 0, y (0) 0 15. y 10y 25y e5x, y(0) 0, y (0) 16. y 6y 17. y y 18. y 0, y (0) x, y(0) 9y 0, y (0) sec2x, y( ʌ ) 0, y ( ʌ ) 4y e2x, y(0) 34. y 0 0 20. y y 1, y(0) 21. y 10y 22. y 6y 23. y y 24. y 9y 10, y (0) e , y(0) 1, y (0) 1, y (0) 1 2, 2 sec x, y( ʌ ) 3y 1 3 ʌ2, y ( ʌ 2) y (ʌ ) 1 1 x sen e , y(0) 1, y (0) 0 1 26. y 3y 2y , y(0) 0, y (0) 1 1 ex 27. x 2y 2xy 2y x, y(1) 2, y (1) 1 28. x 2y 2y 2xy 2 29. x y 6y 2 30. x y xy 2y x ln x, y(1) ln x, y(1) y 1, y (1) 1, y (1) 2 x , y(1) 0 3 4, y (1) 3 (QORVSUREOHPDVSURFHGDFRPRHQHOHMHPSORSDUD HQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVFRQ ODIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRGH¿QLGDHQWUDPRV 31. y y f(x), y(0) 8, y (0) 1, x 0 donde f(x) 1, x 0 4.9 4.8.2 0, x 10, 0 0, x f(x), y(0) 183 2, 1, 0 x 3ʌ 3ʌ 0, y (0) 1, 0, x 0 cos x, 0 x 0, x 4ʌ 4ʌ PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA 1 5x x, y(0) y donde f(x) 4 csc x cot x, y( ʌ 2) y 25. y 25y 1, y (0) f(x), y(0) 3, y (0) 0, x 0 donde f(x) x, x 0 y f(x), y(0) 1, y (0) 33. y 0 (Q ORV SUREOHPDV SURFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR SDUD HQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDGDGRFRQYDORUHVLQLFLDOHV 19. y y donde f(x) 0 0, y ( ʌ2) csc x cot x, y(ʌ2) y 0 32. y O 2, (QORVSUREOHPDVGH\a)8VH \ SDUDHQFRQWUDU XQD VROXFLyQ GHO SUREOHPD GH YDORUHV HQ OD IURQWHUD b) &RPSUXHEHTXHODIXQFLyQyp(x VDWLVIDFHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV\DPEDVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUD 35. y f(x), y(0) 0, y(1) 0 36. y f(x), y(0) 0, y(1) y (1) 0 37. (Q HO SUREOHPD HQFXHQWUH XQD VROXFLyQ GHO 39) cuando f(x) 1. 38. (Q HO SUREOHPD HQFXHQWUH XQD VROXFLyQ GHO 39) cuando f(x) x. (QORVSUREOHPDV-SURFHGDFRPRHQORVHMHPSORV\ SDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDGDGRFRQYDORUHVHQ ODIURQWHUD 39. y y 1, y(0) 0, y(1) 0 9y 1, y(0) 0, y ( ʌ ) 0 40. y 41. y 2y 2y ex, y(0) 0, y( ʌ 2) 0 2x y e , y(0) 0, y(1) 0 42. y 2 43. x y xy 1, y(e 1) 0, y(1) 0 2 4xy 6y x4, y(1) y (1) 0, y(3) 44. x y 0 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN INTRODUCCIÓN /DVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVVLPXOWiQHDVWLHQHQTXHYHUFRQGRVR PiV HFXDFLRQHV TXH FRQWLHQHQ GHULYDGDV GH GRV R PiV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV ODV IXQFLRQHV GHVFRQRFLGDV UHVSHFWRDXQDVRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH(OPpWRGRGHeliminación sistemática para UHVROYHUVLVWHPDVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHEDVDHQHOSULQFLSLRDOJHEUDLFRGHHOLPLQDFLyQGHYDULDEOHV9HUHPRVTXHODRSHUDFLyQDQiORJDGHmultiplicar una ecuación DOJHEUDLFDSRUXQDFRQVWDQWHHVoperarHQXQD('2FRQFLHUWDFRPELQDFLyQGHGHULYDGDV ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA /DHOLPLQDFLyQGHXQDLQFyJQLWDHQXQVLVWHPDGH HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVVHIDFLOLWDDOUHHVFULELUFDGDHFXDFLyQGHOVLVWHPDHQ 184 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR QRWDFLyQGHRSHUDGRUGLIHUHQFLDO5HFXHUGHGHODVHFFLyQTXHXQDVRODHFXDFLyQ lineal an y(n) an 1y(n 1) a1 y a0 y g(t), donde las ai, i 0, 1, . . . , nVRQFRQVWDQWHVSXHGHHVFULELUVHFRPR an 1D(n (an Dn 1) a0 )y a1D g(t). Si el operador diferencial de n-ésimo orden an Dn an 1D(n 1) a1D a0 VHIDFWRUL]DHQRSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHVGHPHQRURUGHQHQWRQFHVORVIDFWRUHVFRQPXWDQ$KRUDSRUHMHPSORSDUDUHVFULELUHOVLVWHPD x 2x y x y 3y x 4x sent 2y e t HQWpUPLQRVGHORSHUDGRUDSULPHURVHHVFULEHQORVWpUPLQRVFRQYDULDEOHVGHSHQGLHQWHVHQXQPLHPEUR\VHDJUXSDQODVPLVPDVYDULDEOHV x 2x x x 4x y y 3y 2y sent e t (D2 HVORPLVPRTXH 2D (D (D2 (D 1)x 4)x 3)y 2)y sent e t. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Una soluciónGHXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHVXQFRQMXQWRGHIXQFLRQHVVX¿FLHQWHPHQWHGHULYDEOHVx ‫׋‬1(t), y ‫(׋‬t), z ‫(׋‬t), HWFpWHUDTXHVDWLVIDFHFDGDHFXDFLyQGHOVLVWHPDVREUHDOJ~QLQWHUYDORFRP~QI. MÉTODO DE SOLUCIÓN primer orden dx dt dy dt &RQVLGHUHHOVLVWHPDVLPSOHGHHFXDFLRQHVOLQHDOHVGH 3y Dx 2x RHTXLYDOHQWHPHQWH 2x 3y Dy 0 0. (1) Operando con DODSULPHUDHFXDFLyQGH HQWDQWRTXHODVHJXQGDVHPXOWLSOLFDSRU y después se suma para eliminar yGHOVLVWHPDVHREWLHQHDx 6x 3XHVWRTXHODV 16 y m2 16 VHREWLHQH UDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUGHOD~OWLPD('VRQm1 x(t) c1 e 16t c 2 e16t. 0XOWLSOLFDQGR OD SULPHUD HFXDFLyQ HQ SRU PLHQWUDV TXH VH RSHUD OD VHJXQGD con D\GHVSXpVUHVWDQGRVHREWLHQHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDy, Dy 6y 0. ,QPHGLDWDPHQWHVHWLHQHTXH y(t) c3 e 16t c4 e16t. $KRUD \ QRVDWLVIDFHQHOVLVWHPD SDUDWRGDHOHFFLyQGHc1, c, c y c SRUTXHHOVLVWHPDHQVtSRQHXQDUHVWULFFLyQDOQ~PHURGHSDUiPHWURVHQXQDVROXFLyQ TXHVHSXHGHHOHJLUHQIRUPDDUELWUDULD3DUDYHUHVWRREVHUYHTXHVXVWLWX\HQGRx(t) y y(t HQODSULPHUDHFXDFLyQGHOVLVWHPDRULJLQDO GHVSXpVGHVLPSOL¿FDUVHREWLHQH 16c1 3c 3 e 16 t 16c 2 3c 4 e16 t 0. 3XHVWR TXH OD ~OWLPD H[SUHVLyQ HV FHUR SDUD WRGRV ORV YDORUHV GH t GHEHPRV WHQHU 16c1 3c3 0 y 16c 2 3c 4 0. (VWDVGRVHFXDFLRQHVQRVSHUPLWHQHVFULELU cFRPRXQP~OWLSORGHc1 y cFRPRXQP~OWLSORGHc: c3 16 c y 3 1 c4 16 c 3 2 4.9 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN O 185 3RUWDQWRVHFRQFOX\HTXHXQDVROXFLyQGHOVLVWHPDGHEHVHU x(t) c1e 16t c2 e16 t, 16 ce 3 1 y(t) 16 c e16 t. 3 2 16 t 6HUHFRPLHQGDVXVWLWXLU \ HQODVHJXQGDHFXDFLyQGH \FRPSUREDUTXH VHFXPSOHODPLVPDUHODFLyQ HQWUHODVFRQVWDQWHV EJEMPLO 1 Solución por eliminación 5HVXHOYD (D Dx 3)x (D 2) y 2y 0 0. (5) SOLUCIÓN Operando con D±ODSULPHUDHFXDFLyQ\ODVHJXQGDFRQD y luego UHVWiQGRODVVHHOLPLQDxGHOVLVWHPD6HGHGXFHTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDy es [(D 3)(D 2) 2D]y 0 (D 2 o 6)y D 0. 3XHVWRTXHODHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDGHHVWD~OWLPDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHVm m 6 (m m VHREWLHQHODVROXFLyQ c1 e 2t y(t) 3t . c2 e (6) Eliminando yGHPRGRVLPLODUVHREWLHQH D D 6)x DSDUWLUGHORFXDOVH HQFXHQWUDTXH c 3 e 2t x(t) c4 e 3t . (7) &RPRVHREVHUYyHQODGHVFULSFLyQDQWHULRUXQDVROXFLyQGH QRFRQWLHQHFXDWURFRQVWDQWHVLQGHSHQGLHQWHV6XVWLWX\HQGR \ HQODSULPHUDHFXDFLyQGH VHREWLHQH 2c 3 )e 2t (4c1 ( c2 3c 4 )e 3t 0. 1 3 c23RUWDQWRXQD 'Hc1 c 0 y c c VHREWLHQHc c1 y c4 VROXFLyQGHOVLVWHPDHV 1 c e 3 2 2c1 e2t x(t) 3t , c1e2t y(t) c2 e 3t . <DTXHVyORVHSRGUtDGHVSHMDUIiFLOPHQWHDc y cHQWpUPLQRVGHc1 y c, la solución GHOHMHPSORVHHVFULEHHQODIRUPDDOWHUQDWLYD 1 c e2t 3c4 e 3t. 2 3 (QRFDVLRQHVGDUHVXOWDGRPDQWHQHUORVRMRVDELHUWRVFXDQGRVHUHVXHOYHQVLVWHPDV6LHQHOSULPHUHMHPSORVHKXELHUDUHVXHOWRSDUDxHQWRQFHVVHSRGUtDHQFRQWUDU y MXQWR FRQ OD UHODFLyQ HQWUH ODV FRQVWDQWHV XVDQGR OD ~OWLPD HFXDFLyQ GHO VLVWHPD 8VWHG GHEH FRPSUREDU TXH OD VXVWLWXFLyQ GH x(t) en y 12 (Dx 3x) produce 1 2t y 3c4 e 3t. 2EVHUYHWDPELpQHQODGHVFULSFLyQLQLFLDOTXHODUHODFLyQTXH 2 c3 e VHSURSRUFLRQDHQ \ODVROXFLyQy(t GH VHSRGUtDKDEHUREWHQLGRDOXVDUx(t) en \ODSULPHUDHFXDFLyQGH HQODIRUPD c3 e2t x(t) (VWRSRGUtDDKRUUDUOHDOJR GHWLHPSR y EJEMPLO 2 5HVXHOYD 1 3 c4 e 3t , 1 3 Dx y(t) 26c1e 16t 1 3 26c2 e16t. Solución por eliminación x x 4x y x y t2 0. (8) SOLUCIÓN 3ULPHURVHHVFULEHHOVLVWHPDHQQRWDFLyQGHRSHUDGRUGLIHUHQFLDO (D (D 4)x 1)x D2 y Dy t2 0. (9) 186 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR (QWRQFHVHOLPLQDQGRDxREWHQHPRV 1)D2 [(D (D 4)D]y 1)t2 (D (D 4)0 o (D3 4D)y t2 2t. 3XHVWRTXHODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUm(m 0 son m1 0, m i y m iODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHVyc c1 cFRVt cVHQt.3DUDGHWHUPLQDU OD VROXFLyQ SDUWLFXODU yp VH XVDQ FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV VXSRQLHQGR TXH yp $W Bt Ct3RUWDQWR y 3At2 2Bt C, y 6At 2B, y 6A, p 12At2 4y p yp p 8Bt 6A p t2 4C 2t. /D~OWLPDLJXDOGDGLQGLFDTXH$ 1, 8B \$ C SRUWDQWRA 1 yC . Así 8 y yc yp c2 cos 2t c1 c3 sen 2 t 1 3 t 12 1 2 t 4 1 t. 8 1 12 , B 1 , 4 (10) Eliminando yGHOVLVWHPD VHREWLHQH [(D 4) D(D t2 1)]x o (D2 4)x t2. 'HEHVHUREYLRTXHxc cFRVt c5VHQt\TXHVHSXHGHQDSOLFDUFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVSDUDREWHQHUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPDxp $W Bt C. En 1 1 2 HVWHFDVRXVDQGRGHULYDGDV\iOJHEUDXVXDOHVVHREWLHQH xp y así 4t 8, 1 2 1 (11) t . 4 8 Ahora se expresan c y c5 HQ WpUPLQRV GH c y c VXVWLWX\HQGR \ HQ FXDOTXLHUHFXDFLyQGH 8WLOL]DQGRODVHJXQGDHFXDFLyQVHHQFXHQWUDGHVSXpVGH FRPELQDUWpUPLQRV x (c5 xc 2c4 xp c4 cos 2t 2c2 ) sen 2t c5 sen 2t (2c5 c4 2c3) cos 2t 0, así c5 c c \c5 c c 'HVSHMDQGRcy c5HQWpUPLQRVGHc y cVHREWLHQHc 15 c c) y c5 15 c c 3RU~OWLPRVHHQFXHQWUDTXH una solución de (8) es 1 1 1 2 1 x(t) (4c2 2c3 ) cos 2t (2c2 4c3 ) sen 2t t , 5 5 4 8 1 3 1 2 1 y(t) c1 c2 cos 2t c3 sen 2t t t t. 12 4 8 EJEMPLO 3 Volver a tratar un problema de mezclas (QODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQYLPRVTXHHOVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV lineales de primer orden dx1 2 1 x x dt 25 1 50 2 dx2 2 2 x x dt 25 1 25 2 HVXQPRGHORSDUDODFDQWLGDGGHNLORJUDPRVx1(t) y x(t) en mezclas de salmuera en los WDQTXHV$ y BUHVSHFWLYDPHQWHTXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUD(QHVHPRPHQWR QRSRGtDPRVUHVROYHUHOVLVWHPD3HURDKRUDHQWpUPLQRVGHRSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHV HOVLVWHPDDQWHULRUVHSXHGHHVFULELUFRPR D 2 x1 25 2 x 25 1 D 1 x2 50 0 2 x 25 2 0. 4.9 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN O 187 Operando con D 252 ODSULPHUDHFXDFLyQ\PXOWLSOLFDQGRODVHJXQGDHFXDFLyQSRU 501 , VHVXPDQ\VLPSOL¿FDQ\VHREWLHQH D 100D x1 'HODHFXDFLyQDX[LOLDU 625m 2 x1(t) NJGHVDO libras de sal 20 x1(t) 10 0 REWLHQH c1 40 60 Tiempo 20 80 x1(t) 100 ORVWDQTXHV$ y B GHOHMHPSOR EJERCICIOS 4.9 c1e c2 dx dt dy dt dx dt dy dt 2x y 2. x y x t 4. t dx dt dy dt dx dt dy dt 4x d 2x dt2 d 2y dt2 t / 25 25 e 2 c2 e x 2y 4y 1 x 4y et 4x et 8. t / 25 13. 2 7y 14. 3t / 25 , x2(t) 2c1 e t / 25 2c2 e 3t / 25 . 25 e 2 3t / 25 , x2 (t) 25e t / 25 25e 3t / 25 . 2 d 2 x dy dt2 dt dx dy dt dt Dx D y et (D 1)x (D 1)y et D x Dy t (D x (D y 11. (D 1)x y 0 (D 1)x Dy 0 12. D D 1)x D 1)y 1 (D 1)x Dy 1 dx 5x dt dx x dt dx dy dt dt d2 x dx dt2 dt dy dt dy dt et 5et et x y 0 15. (D 1)x (D 1)y 1 (D 1)x (D 1)y 16. D x D D)y sen t x Dy 0 6. (D 1)x (D 1)y x (D y 1 10. 0 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-6. 5. (D 5)x y 0 x (D y 0 9. 3) 25 2 . 3RU~OWLPRXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVHV (Q ORV SUREOHPDV UHVXHOYD HO VLVWHPD GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVGDGRSRUHOLPLQDFLyQVLVWHPiWLFD 7. 1)(25m (QOD¿JXUDVHPXHVWUDQODVJUi¿FDVGHDPEDVHFXDFLRQHV&RQVLVWHQWHVFRQHOKHFKR TXHVHERPEHDDJXDSXUDDOWDQTXH$HQOD¿JXUDYHPRVTXHx1(t) A 0 y x(t) A 0 conforme t A . FIGURA 4.9.1 Kilogramos de sal en (25m (QHODQiOLVLVRULJLQDOGHODVSiJLQDVVHVXSXVRTXHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV eran x1(0) \ x(0) $SOLFDQGR HVWDV FRQGLFLRQHV D OD VROXFLyQ VH REWLHQH c1 c \ c1 c 5HVROYLHQGR VLPXOWiQHDPHQWH HVWDV HFXDFLRQHV VH 15 5 x (t) 2 3. 3 VHREVHUYDLQPHGLDWDPHQWHTXHx1 W c1et cet$KRUDVHSXHGHREWHQHUx(t) XVDQGRODSULPHUD('GHOVLVWHPDHQODIRUPD x2 50(D 252 )x1. 'HHVWDPDQHUDVH HQFXHQWUDTXHODVROXFLyQGHOVLVWHPDHV 25 1. 100m 5x x 4y 17. Dx y 18. Dx z et Dy z (D 1)x Dy Dz 0 Dz x x y Dz e t dx dx x z 19. 20. 6y dt dt dy dy y z x z dt dt dz dz x y x y dt dt (Q ORV SUREOHPDV \ UHVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV iniciales. dx dx y 1 21. 22. 5x y dt dt dy dy 3x 2y 4x y dt dt x(1) 0, y(1) 1 x(0) 0, y(0) 0 188 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Modelos matemáticos Problemas para analizar 23. Movimiento de un proyectil 8Q SUR\HFWLO GLVSDUDGR GH XQD SLVWROD WLHQH XQ SHVR w mg \ XQD YHORFLGDG v WDQJHQWH D VX WUD\HFWRULDGHPRYLPLHQWR,JQRUDQGRODUHVLVWHQFLDGHODLUH\ODV IXHU]DVTXHDFW~DQVREUHHOSUR\HFWLOH[FHSWRVXSHVRGHWHUPLQH XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH GHVFULED VX WUD\HFWRULD GH PRYLPLHQWR 9HD OD ¿JXUD 5HVXHOYD HO VLVWHPD >Sugerencia:8VHODVHJXQGDOH\GH1HZWRQGHOPRYLPLHQWRHQ las direcciones x y y.] 25. ([DPLQH\DQDOLFHHOVLJXLHQWHVLVWHPD y (D t2 1. Tarea para el laboratorio de computación 26. ([DPLQHGHQXHYROD¿JXUDGHOHMHPSOR/XHJRXWLOLFH XQDDSOLFDFLyQSDUDGHWHUPLQDUUDtFHVSDUDVDEHUFXDQGRHOWDQTXHBFRQWLHQHPiVVDOTXHHOWDQTXH$. mg dx1 dt dx2 dt dx3 dt x FIGURA 4.9.2 7UD\HFWRULDGHOSUR\HFWLOGHOSUREOHPD 24. Movimiento del proyectil con resistencia del aire'HWHUPLQH XQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHGHVFULEDODWUD\HFWRULDGHPRYLPLHQWRHQHOSUREOHPDVLODUHVLVWHQFLDGHODLUHHV XQDIXHU]DUHWDUGDGRUDk GHPDJQLWXGk TXHDFW~DWDQJHQWHDOD WUD\HFWRULDGHOSUR\HFWLOSHURRSXHVWDDVXPRYLPLHQWR9HDOD ¿JXUD5HVXHOYDHOVLVWHPD>Sugerencia: kHVXQP~OWLSOR GHYHORFLGDGGLJDPRVȕv.] v θ 1 x 50 1 1 x 50 1 2 x 75 2 2 x2 75 1 x 25 3 HVXQPRGHORSDUDODVFDQWLGDGHVGHVDOHQORVWDQTXHVGHPH]FODGRFRQHFWDGRV$, B y CTXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUD 5HVXHOYDHOVLVWHPDVXMHWRDx1(0) 15, x(t) 10, x(t) 5. b) 8VHXQ6$&SDUDJUD¿FDUx1(t), x(t) y x(t) en el mismo plano FRRUGHQDGR FRPRHQOD¿JXUD HQHOLQWHUYDOR>@ c) FIGURA 4.9.3 )XHU]DVHQHOSUREOHPD 4.10 2Dy 2(D 1)y 27. a)/HDQXHYDPHQWHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV(QHVH SUREOHPDVHSLGLyGHPRVWUDUTXHHOVLVWHPDGHHFXDFLRQHV diferenciales v k Dx 1)x ' HELGR D TXH VH ERPEHD DJXD SXUD KDFLD HO WDQTXH $, es yJLFRTXHHQDOJ~QPRPHQWRODVDOVDOJDGHORVWUHVWDQTXHV 8WLOLFHXQDDSOLFDFLyQGHXQ6$&SDUDHQFRQWUDUUDtFHVSDUD GHWHUPLQDUHOWLHPSRFXDQGRODFDQWLGDGGHVDOHQFDGDUHFLSLHQWHVHDPHQRURLJXDOTXHNJ¢&XiQGRVRQODVFDQWLGDGHVGHVDOx1(t), x(t) y x(t VLPXOWiQHDPHQWHPHQRUHVR LJXDOHVTXHNJ" ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES INTRODUCCIÓN $ FRQWLQXDFLyQ VH H[DPLQDQ ODV GL¿FXOWDGHV HQ WRUQR D ODV (' no lineales de RUGHQVXSHULRU\ORVSRFRVPpWRGRVTXHSURGXFHQVROXFLRQHVDQDOtWLFDV'RVGHORVPpWRGRVGHVROXFLyQ TXHVHFRQVLGHUDQHQHVWDVHFFLyQHPSOHDQXQFDPELRGHYDULDEOHSDUDUHGXFLUXQD('GHVHJXQGRRUGHQ DXQDGHSULPHURUGHQ(QHVHVHQWLGRORVPpWRGRVVRQDQiORJRVDOPDWHULDOGHODVHFFLyQ ALGUNAS DIFERENCIAS (QWUH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV \ QR OLQHDOHV KD\ YDULDV GLIHUHQFLDV LPSRUWDQWHV (Q OD VHFFLyQ YLPRV TXH ODV HFXDFLRQHV OLQHDOHVKRPRJpQHDVGHRUGHQGRVRVXSHULRUWLHQHQODSURSLHGDGGHTXHXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHVROXFLRQHVWDPELpQHVXQDVROXFLyQ WHRUHPD /DVHFXDFLRQHVQR OLQHDOHVQRWLHQHQHVWDSURSLHGDGGHVXSHUSRVLFLyQ9HDORVSUREOHPDV\GHORV HMHUFLFLRV3RGHPRVHQFRQWUDUVROXFLRQHVJHQHUDOHVGH('OLQHDOHVGHSULPHURUGHQ \HFXDFLRQHVGHRUGHQVXSHULRUFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV$XQFXDQGRVHSXHGDUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQROLQHDOGHSULPHURUGHQHQODIRUPDGHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDHVWDIDPLOLDQRUHSUHVHQWDFRPRUHJODXQDVROXFLyQJHQHUDO(VGHFLUODV(' QROLQHDOHVGHSULPHURUGHQSXHGHQWHQHUVROXFLRQHVVLQJXODUHVHQWDQWRTXHODVHFXDFLRQHVOLQHDOHVQR3HURODSULQFLSDOGLIHUHQFLDHQWUHODVHFXDFLRQHVOLQHDOHV\QROLQHDOHV GHRUGHQGRVRVXSHULRUUDGLFDHQHOiUHDGHODVROXELOLGDG'DGDXQDHFXDFLyQOLQHDO KD\XQDSUREDELOLGDGGHHQFRQWUDUDOJXQDIRUPDGHVROXFLyQTXHVHSXHGDDQDOL]DUXQD VROXFLyQH[SOtFLWDRTXL]iXQDVROXFLyQHQODIRUPDGHXQDVHULHLQ¿QLWD YHDHOFDStWXOR 4.10 ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES O 189 3RURWURODGRODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVQROLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRUGHVDItDQYLUWXDOPHQWHODVROXFLyQFRQPpWRGRVDQDOtWLFRV$XQTXHHVWRSRGUtDVRQDUGHVDOHQWDGRU D~QKD\FRVDVTXHVHSXHGHQKDFHU&RPRVHVHxDOyDO¿QDOGHODVHFFLyQVLHPSUH HVSRVLEOHDQDOL]DUGHPRGRFXDOLWDWLYR\QXPpULFRXQD('QROLQHDO 'HVGHHOSULQFLSLRVHDFODUyTXHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVQROLQHDOHVGHRUGHQ VXSHULRUVRQLPSRUWDQWHVGLJDPRV¢TXL]iPiVTXHODVOLQHDOHV"SRUTXHDPHGLGDTXH VH DMXVWD XQ PRGHOR PDWHPiWLFR SRU HMHPSOR XQ VLVWHPD ItVLFR VH LQFUHPHQWD SRU LJXDOODSUREDELOLGDGGHTXHHVWHPRGHORGHPD\RUGH¿QLFLyQVHDQROLQHDO (PSH]DPRVSRUPRVWUDUXQPpWRGRDQDOtWLFRTXHen ocasionesSHUPLWHGHWHUPLQDUVROXFLRQHVH[SOtFLWDVRLPSOtFLWDVGHFODVHVHVSHFLDOHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV de segundo orden no lineales. REDUCCIÓN DE ORDEN Las ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden F(x, y, y) GRQGHIDOWDODYDULDEOHGHSHQGLHQWHy, y F(y, y, y) 0, donde IDOWDODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHxDYHFHVVHUHVXHOYHQXVDQGRPpWRGRVGHSULPHURUGHQ &DGDHFXDFLyQVHUHGXFHDXQDGHSULPHURUGHQSRUPHGLRGHODVXVWLWXFLyQu y. FALTA LA VARIABLE DEPENDIENTE (QHOHMHPSORVLJXLHQWHVHLOXVWUDODWpFQLFD GHVXVWLWXFLyQSDUDXQDHFXDFLyQGHODIRUPDF(x, y, y) 0. Si u yHQWRQFHVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHFRQYLHUWHHQF(x, u, u) 06LSRGHPRVUHVROYHUHVWD~OWLPDHFXDFLyQ para uSRGHPRVHQFRQWUDUDySRULQWHJUDFLyQ2EVHUYHTXHFRPRVHHVWiUHVROYLHQGR XQDHFXDFLyQGHVHJXQGRRUGHQVXVROXFLyQFRQWHQGUiGRVFRQVWDQWHVDUELWUDULDV EJEMPLO 1 Falta la variable dependiente y 5HVXHOYDy x(y). SOLUCIÓN Si hacemos u yHQWRQFHVdudx y'HVSXpVGHVXVWLWXLUODVH- JXQGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHUHGXFHDXQDHFXDFLyQGHSULPHURUGHQFRQYDULDEOHV VHSDUDEOHVODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHVx\ODYDULDEOHGHSHQGLHQWHHVu : du dx du u2 2xu2 u 2 du u 2x dx 2x dx 1 c21. x2 /DFRQVWDQWHGHLQWHJUDFLyQVHHVFULEHFRPR c21 SRUFRQYHQLHQFLD/DUD]yQGHEHVHU REYLDHQORVSRFRVSDVRVVLJXLHQWHV'HELGRDTXHu1 lyVHWLHQHTXH dy dx y así y dx x2 c21 1 x2 o y c21 , 1 tan c1 1 x c1 c2. FALTA LA VARIABLE INDEPENDIENTE $FRQWLQXDFLyQVHPXHVWUDFyPRUHVROYHU XQDHFXDFLyQTXHWLHQHODIRUPDF(y, y, y) 08QDYH]PiVVHKDFHu y, pero debido DTXHIDOWDODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHxHVWDVXVWLWXFLyQVHXVDSDUDFRQYHUWLUODHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOHQXQDHQODTXHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHVy\ODYDULDEOHGHSHQGLHQWHHVu. (QWRQFHVXWLOL]DPRVODUHJODGHODFDGHQDSDUDFDOFXODUODVHJXQGDGHULYDGDGHy: du du dy du u . dx dy dx dy (QHVWHFDVRODHFXDFLyQGHSULPHURUGHQTXHGHEHPRVUHVROYHUHV y F y, u, u du dy 0. 190 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 2 Falta la variable independiente x 5HVXHOYDyy ( y). SOLUCIÓN Con ayuda de u yODUHJODGHODFDGHQDTXHVHDFDEDGHPRVWUDU\GH ODVHSDUDFLyQGHYDULDEOHVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHFRQYLHUWHHQ y u du dy u2 du u o dy . y (QWRQFHVLQWHJUDQGROD~OWLPDHFXDFLyQVHREWLHQHOQ u ln y c1TXHDVXYH] da u cyGRQGHODFRQVWDQWH ec1 VHLGHQWL¿FDFRPRc$KRUDVHYXHOYHDVXVWLWXLU u dydxVHVHSDUDQGHQXHYRODVYDULDEOHVVHLQWHJUD\VHHWLTXHWDQODVFRQVWDQWHV SRUVHJXQGDYH] dy y c2 dx ln y o c2 x c3 c4ec2 x. y o USO DE SERIES DE TAYLOR En algunos casos una solución de un problema con YDORUHVLQLFLDOHVQROLQHDOHVHQHOTXHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVHHVSHFt¿FDQHQx0, se SXHGHDSUR[LPDUPHGLDQWHXQDVHULHGH7D\ORUFHQWUDGDHQx0. EJEMPLO 3 Series de Taylor de un PVI 6XSRQJDPRVTXHH[LVWHXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV y x y y2, y(0) 1, y (0) (1) 1 6LDGHPiVVHVXSRQHTXHODVROXFLyQy(x GHOSUREOHPDHVDQDOtWLFDHQHQWRQFHVy(x) WLHQHXQGHVDUUROORHQVHULHGH7D\ORUFHQWUDGRHQ y (0) y (0) 2 y (0) 3 y(4)(0) 4 y(5)(0) 5 x x x x x . 1! 2! 3! 4! 5! 2EVHUYHTXHVHFRQRFHQORVYDORUHVGHOSULPHUR\VHJXQGRWpUPLQRVHQODVHULH SXHVWR TXHHVRVYDORUHVVRQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHVSHFL¿FDGDVy(0) 1, y(0) 1. $GHPiVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSRUVtPLVPDGH¿QHHOYDORUGHODVHJXQGDGHULYDGDHQ 0: y(0) 0 y(0) y(0) 0 (1) (1) (QWRQFHVVHSXHGHQHQFRQWUDU H[SUHVLRQHVSDUDODVGHULYDGDVVXSHULRUHVy , y FDOFXODQGRODVGHULYDGDVVXFHVLYDVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO d y (x) (x y y2 ) 1 y 2yy dx y(x) y(0) y (4)(x) d (1 dx y(5)(x) d (y dx y 2yy ) 2yy y 2(y )2 ) 2yy y 2( y )2 2yy 6y y , (5) HWFpWHUD$KRUDXVDQGRy(0) 1 y y(0) VHHQFXHQWUDGH TXHy (0) 'H ORVYDORUHVy(0) 1, y(0) 1 y y(0) VHHQFXHQWUDy (0) GH &RQ OD LQIRUPDFLyQ DGLFLRQDO GH TXH y (0) HQWRQFHV VH YH GH TXH y(5)(0) 3RUWDQWRGH ORVSULPHURVVHLVWpUPLQRVGHXQDVROXFLyQHQVHULHGHOSUREOHPDFRQ YDORUHVLQLFLDOHV VRQ 2 3 1 4 1 5 y(x) 1 x x2 . x x x 3 3 5 USO DE UN PROGRAMA DE SOLUCIÓN NUMÉRICA /RVPpWRGRVQXPpULFRV FRPRHOGH(XOHURHOGH5XQJH.XWWDVHGHVDUUROODURQVyORSDUDHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQ\OXHJRVHDPSOLDURQDVLVWHPDVGHHFXDFLRQHVGHSULPHURUGHQ 3DUDDQDOL]DUHQIRUPDQXPpULFDXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHn-ésimo orden, se H[SUHVDOD('2GHnpVLPRRUGHQFRPRXQVLVWHPDGHn ecuaciones de primer orden. En 4.10 ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES O 191 UHVXPHQDTXtVHPXHVWUDFyPRVHKDFHHVWRSDUDXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGH VHJXQGRRUGHQSULPHURVHUHVXHOYHSDUDyHVGHFLUVHHVFULEHOD('HQODIRUPDQRUmal y f(x, y, y)\GHVSXpVVHKDFHTXHy u3RUHMHPSORVLVXVWLWXLPRVy u en d 2y dx2 f (x, y, y ), y(x0 ) y0 , y (x0 ) u0 , (6) HQWRQFHVy u y y(x0) u(x0 SRUORTXHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV VH FRQYLHUWHHQ y u Resuelva: u f(x, y, u) Sujeto a: y(x0) y0 , u(x0) u0. Sin embargo, VHGHEHREVHUYDUTXHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDpodría no reTXHULU*TXHVHSURSRUFLRQHHOVLVWHPD EJEMPLO 4 6LJXLHQGRHOSURFHGLPLHQWRDQWHULRUVHHQFXHQWUDTXHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDles de segundo ordHQGHOHMHPSORHVHTXLYDOHQWHD dy u dx du x y y2 dx y polinomio de Taylor x curva solución generada mediante un programa de solución numérica FIGURA 4.10.1 Comparación de dos VROXFLRQHVDSUR[LPDGDVGHOHMHPSOR y x 10 FIGURA 4.10.2 $QiOLVLVJUi¿FRGHOHMHPSOR 20 &XUYDVROXFLyQ QXPpULFDSDUDHO39,HQ con condiciones iniciales y(0) 1, u(0) 1. Con ayuda de un programa de solución QXPpULFDVHREWLHQHODFXUYDVROXFLyQHQD]XOHQOD¿JXUD3RUFRPSDUDFLyQODJUi ¿FDGHOSROLQRPLRGH7D\ORUGHTXLQWRJUDGRT5(x) 1 x x2 23 x3 13 x4 15 x5 VHPXHVWUDHQURMR$XQTXHQRVHFRQRFHHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDGHODVHULHGH7D\ORU REWHQLGDHQHOHMHPSORODSUR[LPLGDGGHODVGRVFXUYDVHQXQDYHFLQGDGGHORULJHQLQGLFD TXHODVHULHGHSRWHQFLDVSRGUtDFRQYHUJHUVREUHHOLQWHUYDOR 1, 1). CUESTIONES CUALITATIVAS /DJUi¿FDHQD]XOGHOD¿JXUDRULJLQDDOJXQDV SUHJXQWDVGHQDWXUDOH]DFXDOLWDWLYD¢ODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVRULJLQDO HVRVFLODWRULDFRQIRUPHx A "/DJUi¿FDJHQHUDGDFRQXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD HQHOLQWHUYDORPiVJUDQGHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDSDUHFHUtDsugerirTXHODUHVSXHVWDHVVt3HURHVWHVLPSOHHMHPSORRLQFOXVRXQJUXSRGHHMHPSORVQRUHVSRQGHODSUHJXQWDEiVLFDHQFXDQWRDVLtodas las soluciones de la ecuación diferencial y x y y VRQGHQDWXUDOH]DRVFLODWRULD7DPELpQ¢TXpHVWiVXFHGLHQGRFRQODFXUYDVROXFLyQGHOD ¿JXUDFRQIRUPHxHVWiFHUFDGH"¢&XiOHVHOFRPSRUWDPLHQWRGHODVVROXFLRQHV de la ecuación diferencial conforme x A " ¢(VWiQ DFRWDGDV ODV VROXFLRQHV FRQIRUPH x A "3UHJXQWDVFRPRpVWDVQRVRQIiFLOHVGHUHVSRQGHUHQJHQHUDOSDUDHFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQQROLQHDOHV3HURFLHUWDVFODVHVGHHFXDFLRQHVGHVHJXQGR RUGHQVHSUHVWDQDXQDQiOLVLVFXDOLWDWLYRVLVWHPiWLFR\pVWDVDOLJXDOTXHODVHFXDFLRQHVGH SULPHURUGHQTXHVHREWXYLHURQHQODVHFFLyQVRQGHODFODVHTXHQRWLHQHGHSHQGHQFLD H[SOtFLWDHQODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH/DV('2GHVHJXQGRRUGHQGHODIRUPD d 2y f ( y, y ), F(y, y , y ) 0 o dx2 HFXDFLRQHVOLEUHVGHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHx, se llaman autónomas. La ecuación GLIHUHQFLDO GHO HMHPSOR HV DXWyQRPD \ GHELGR D OD SUHVHQFLD GHO WpUPLQR x en su PLHPEURGHUHFKRODHFXDFLyQGHOHMHPSORHVDXWyQRPD3DUDXQWUDWDPLHQWRSURIXQGR GHO WHPD GH HVWDELOLGDG GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV DXWyQRPDV GH VHJXQGR RUGHQ\VLVWHPDVDXWyQRPRVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRQVXOWHHOFDStWXORHQ Ecuaciones diferencial con problemas de valores en la frontera. $OJXQRVSURJUDPDVGHVROXFLyQQXPpULFDVyORUHTXLHUHQTXHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQ sea expresada en la forma normal y f (x, y, y /DWUDGXFFLyQGHOD~QLFDHFXDFLyQHQXQVLVWHPDGHGRV HFXDFLRQHVVHFRQVWUX\HHQHOSURJUDPDGHFRPSXWDGRUD\DTXHODSULPHUDHFXDFLyQGHOVLVWHPDVLHPSUH es y u y la segunda ecuación es u f (x, y, u). * 192 CAPÍTULO 4 O ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJERCICIOS 4.10 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-7. (QORVSUREOHPDV\FRPSUXHEHTXHy1 y y son soluciones de la HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDSHURTXHy c1 y1 cy en general, no es una solución. 1. (y) y ; k y 1 e , y cos x x 1 ( y )2; y1 2 2. yy 21. (QFiOFXORODFXUYDWXUDGHXQDOtQHDTXHVHGH¿QHSRUPHGLRGH una función y f(x) es 1, y 2 x2 (Q ORV SUREOHPDV D UHVXHOYD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO XVDQGR OD VXVWLWXFLyQu y. 3. y ( y) 1 0 4. y 1 ( y) 6. (y 1)y ( y) 5. x y ( y) 0 (QORVSUREOHPDVIDOWDODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHx en la ecuaFLyQGLIHUHQFLDOGDGD3URFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\UHVXHOYDOD HFXDFLyQXWLOL]DQGRODVXVWLWXFLyQu = y’. 7. yy0 1 sy9d2 1 1 5 0 8. sy 1 1dy0 5 sy9d2 9. y0 1 2ysy9d3 5 0 10. y2y0 5 y9 (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDGHYDORULQLFLDOGDGR 11. 2y9y0 5 1, y(0) 5 2, y9(0) 5 1 12. y0 1 x(y9)2 5 0, y(1) 5 4, y9(1) 5 2 13. &RQVLGHUHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV y yy 0, y(0) 1, y(0) 1. a) 8 VHOD('\XQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDWUD]DU ODFXUYDVROXFLyQ b) (QFXHQWUHXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHO39,8VHXQSURJUDPD GHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVROXFLyQ c) ' HWHUPLQHXQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQSDUDODVROXFLyQGHO inciso b). (QFXHQWUHy f(x) para la cual ț >Sugerencia: Para simpli¿FDUGHVSUHFLHODVFRQVWDQWHVGHLQWHJUDFLyQ@ Problemas para analizar 22. (Q HO SUREOHPD YLPRV TXH FRV x y ex eran soluciones de la ecuación no lineal (y) y &RPSUXHEH TXH VHQ x y ex WDPELpQ VRQ VROXFLRQHV 6LQ LQWHQWDU UHVROYHU OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO DQDOLFH FyPR VH SXHGHQ HQFRQWUDU HVWDV VROXFLRQHV XVDQGR VX FRQRFLPLHQWR DFHUFD GH ODV HFXDFLRQHV OLQHDOHV 6LQ LQWHQWDU FRPSUREDU DQDOLFH SRU TXp ODV FRPELQDFLRQHV OLQHDOHV y c1e x cex c cos x c sen x y y cex c sen x no son, en general, soluciones, pero las dos combinaciones lineales especiales y c1e x cex y y c cos x c sen x debenVDWLVfacer la ecuación diferencial. 23. $QDOLFHFyPRVHSXHGHDSOLFDUHOPpWRGRGHUHGXFFLyQGHRUGHQ FRQVLGHUDGRHQHVWDVHFFLyQDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHWHUFHU orden y 11 (y )2 /OHYHDFDERVXVLGHDV\UHVXHOYDOD ecuación. 24. ([SOLTXH FyPR HQFRQWUDU XQD IDPLOLD DOWHUQDWLYD GH VROXFLRQHV GH GRV SDUiPHWURV SDUD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO QR OLQHDO y x( y) HQHOHMHPSOR>Sugerencia:6XSRQJDTXH c21 VHXVDFRPRFRQVWDQWHGHLQWHJUDFLyQHQOXJDUGH c21.] Modelos matemáticos 25. Movimiento de un campo de fuerza8QPRGHORPDWHPiWLFR para la posición x(t GHXQFXHUSRFRQPRYLPLHQWRUHFWLOtQHRHQ el eje xHQXQFDPSRGHIXHU]DLQYHUVRGHOFXDGUDGRGHx es 14. (QFXHQWUHGRVVROXFLRQHVGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV ( y )2 ( y )2 1, y 2 1 , y 2 2 13 . 2 d 2x dt2 8VHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDWUD]DUODJUi¿FDGH ODVFXUYDVVROXFLyQ (QORVSUREOHPDV\GHPXHVWUHTXHODVXVWLWXFLyQu y conGXFH D XQD HFXDFLyQ GH %HUQRXOOL 5HVXHOYD HVWD HFXDFLyQ YHD OD VHFFLyQ 15. xy y ( y) 16. xy y x( y) (QORVSUREOHPDVSURFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\REWHQJDORV SULPHURVVHLVWpUPLQRVQRFHURGHXQDVROXFLyQHQVHULHGH7D\ORU FHQWUDGDHQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV8VHXQSURJUDPD GHVROXFLyQQXPpULFDSDUDFRPSDUDUODFXUYDVROXFLyQFRQODJUi¿FD del polinomio de Taylor. 17. y x y , y(0) 1, y(0) 1 18. y y 1, y(0) y(0) 19. y x y y, y(0) 1, y(0) 1 20. y e y, y(0) 1 y(0) 0, [1 y . ( y ) 2]3 / 2 k2 . x2 6XSRQJD TXH HQ t HO FXHUSR FRPLHQ]D D SDUWLU GHO UHposo en la posición x x0, x0 'HPXHVWUH TXH OD YHORFLGDG GHO FXHUSR HQ HO WLHPSR t HVWi GDGD SRU v k(1x 1x0). 8VHOD~OWLPDH[SUHVLyQ\XQ6$&SDUDUHDOL]DUODLQWHJUDFLyQSDUD H[SUHVDUDOWLHPSRtHQWpUPLQRVGHx. 26. 8Q PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD OD SRVLFLyQ x(t GH XQ REMHWR HQ PRYLPLHQWRHV d 2x dt2 0. 8VHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDLQYHVWLJDUHQIRUPD JUi¿FDODVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQVXMHWDDx(0) 0, x(0) x1, x1 $QDOLFHHOPRYLPLHQWRGHOREMHWRSDUDt 0 y para diferenWHVHOHFFLRQHVGHx1,QYHVWLJXHODHFXDFLyQ d 2x dt2 senx dx dt senx 0 HQODPLVPDIRUPD3URSRQJDXQDLQWHUSUHWDFLyQItVLFDSRVLEOH GHOWpUPLQRdxdt. REPASO DEL CAPÍTULO 4 REPASO DEL CAPÍTULO 4 &RQWHVWHORVSUREOHPDVDOVLQFRQVXOWDUHO¿QDOGHOOLEUR &RPSOHWHHOHVSDFLRHQEODQFRRFRQWHVWHIDOVRRYHUGDGHUR 1. /D ~QLFD VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV y x y 0, y(0) 0, y(0) 0 es __________. 2. 3DUDHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVODIRUPD VXSXHVWDGHODVROXFLyQSDUWLFXODUyp para y y 1 ex es __________. 3. 8QP~OWLSORFRQVWDQWHGHXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOOLQHDOHVWDPELpQXQDVROXFLyQBBBBBBBBBB 4. 6LHOFRQMXQWRTXHFRQVLVWHHQGRVIXQFLRQHVfl y f es liQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVREUHXQLQWHUYDORIHQWRQFHVHO :URQVNLDQRW(fl, f) SDUDWRGDx en I. __________ 5. Si y sen5x es una solución de una ecuación diferencial OLQHDOGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVHQWRQFHVODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('HVBBBBBBBBBB 6. Si y 1 x 6x ex es una solución de una ecuaFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO KRPRJpQHD GH FXDUWR RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV HQWRQFHV ODV UDtFHV GH OD HFXDción auxiliar son __________ 7. Si y c1x cxln x, x 0 es la solución general de una ecuación Cauchy-Euler de segundo orden homogéQHDHQWRQFHVOD('HVBBBBBBBBBB 8. yp $[HVODVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y 1 para $ __________ 9. Si yp1 xHVODVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y x y yp x HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y xHQWRQFHV XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHy y x x es _________ 10. Si y1 ex y y ex son soluciones de la ecuación diIHUHQFLDO KRPRJpQHD HQWRQFHV QHFHVDULDPHQWH y 5ex 10exWDPELpQHVXQDVROXFLyQGHOD('BBBBBBBBBBB 11. 'pXQLQWHUYDORHQHOTXHHOFRQMXQWRGHGRVIXQFLRQHV fl(x) x y f(x) x x HV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH 'HVSXpV LQGLTXH XQ LQWHUYDOR VREUH HO TXH HO FRQMXQWR formado por fl y fHVOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWH 12. 6LQ OD D\XGD GHO :URQVNLDQR GHWHUPLQH VL HO FRQMXQWR GHIXQFLRQHVHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHRGHSHQGLHQWH VREUHHOLQWHUYDORLQGLFDGR a) f1(x) ln x, f (x) ln x , (0, ) f) f1(x) f (x) x, (, ) g) f1(x) x , f (x) 1 x , f(x) x , (, ) h) f1(x) xe x1, f (x) x 5)e x, f (x) xe x, (, ) 13. 6XSRQJDTXHm1 m 5 y m 1 son raíces de PXOWLSOLFLGDG XQR GRV \ WUHV UHVSHFWLYDPHQWH GH XQD HFXDFLyQ DX[LOLDU (VFULED OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD (' OLQHDOKRPRJpQHDFRUUHVSRQGLHQWHVLHV a) XQDHFXDFLyQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV b) una ecuación de Cauchy-Euler. 14. Considere la ecuación diferencial ay by cy g(x), donde a, b y cVRQFRQVWDQWHV(OLMDODVIXQFLRQHVGHHQWUDGD g(x SDUD ODV TXH HV DSOLFDEOH HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV\ODVIXQFLRQHVGHHQWUDGDSDUDODV TXHHVDSOLFDEOHHOPpWRGRGHYDULDFLyQGHSDUiPHWURV b) g(x) x cos x a) g(x) e x ln x senx c) g(x) ex d) g(x) xe x e) g(x) senx f) g(x) 15. m1 m 1 16. m1 i (QORVSUREOHPDVGHODXVHORVSURFHGLPLHQWRVGHVDUUROODGRVHQHVWHFDStWXORSDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQJHQHUDOGH cada ecuación diferencial. 17. y y y 0 18. y y y 0 19. y 10y y 0 20. y 9y y 5y 0 21. y 10y 15y y 0 22. y y y 6y y 0 23. y y 5y x x 24. y y y x e x c) f1(x) x, f (x) x 1, (, ) 26. y y 6 2 , f2 (x) e) f1(x) 0, f (x) x, (5, 5) senx, ( , ) ex senx (QORVSUREOHPDV\HQFXHQWUHXQDHFXDFLyQKRPRJpQHDGHVHJXQGRRUGHQGH&DXFK\(XOHUFRQFRH¿FLHQWHVUHDOHVVLORVQ~PHURV dados son las raíces de su ecuación auxiliar. 25. y 5y 6y 8 VHQx cos x 193 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-7. b) f1(x) x n, f (x) x n1, n , ) d) f1(x) O 27. y y y e xWDQx 28. y y 2ex e e x x 194 O CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 29. 6x y 5xy y 0 40. y y y 0, 30. x y 19x y xy 9y 0 41. y y x sen x, 31. x y xy 6y x x 42. y 32. x y xy y x 43. yy x, y(1) 5, y(1) (QORVSUREOHPDV\HVFULEDODIRUPDGHODVROXFLyQJHQHral y yc yp de la ecuación diferencial en los dos casos Ȧ Į y Ȧ Į1RGHWHUPLQHORVFRH¿FLHQWHVHQyp. 33. y ty sen Į[ 34. y ty e Į[ 44. y y , y(0) 1, y(0) 1 35. a) 'DGRTXHy sen x es una solución de y y 11y y 10y 0, H QFXHQWUH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD (' sin la ayuda de una calculadora o computadora. 36. (QFXHQWUHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGR RUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVSDUDODFXDOy1 1 y y ex son soluciones de la ecuación homogénea asociada y yp 12 x 2 x HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD ecuación homogénea. 37. a) (VFULEDFRPSOHWDPHQWHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD(' GH FXDUWR RUGHQ y y y HQ WpUPLQRV GH funciones hiperbólicas. b) (VFULED OD IRUPD GH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH y y y senh x. 39. y 2y 2y 0, y 2 0, y( ) 1 sec3x, y(0) y 1, y (0) 1 2 46. (QFXHQWUH XQ PLHPEUR GH OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH xy y 1x 0 FX\DJUi¿FDHVWDQJHQWHDOHMHx en x 8VHXQDDSOLFDFLyQSDUDJUD¿FDU\REWHQJDODFXUYD solución. (QORVSUREOHPDVDXVHODHOLPLQDFLyQVLVWHPiWLFDSDUD UHVROYHUFDGDVLVWHPD 47. x y (x x)y (x y x . (QORVSUREOHPDVDUHVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVXMHWDDODVFRQGLFLRQHVLQGLFDGDV y(0) y(0) 45. a) 8 VHXQ6$&FRPRD\XGDSDUDHQFRQWUDUODVUDtFHVGHOD ecuación auxiliar para y y 59y y y 0. 'pODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ b) 5HVXHOYDOD('GHOLQFLVRD VXMHWDDODVFRQGLFLRQHV iniciales y(0) 1, y(0) y(0) 5, y (0) 0. 8VHXQ6$&FRPRD\XGDSDUDUHVROYHUHOVLVWHPDUHVXOWDQWHGHFXDWURHFXDFLRQHVFRQFXDWURLQFyJQLWDV 38. Considere la ecuación diferencial &RPSUXHEHTXHy1 x es una solución de la ecuación hoPRJpQHDDVRFLDGD'HVSXpVGHPXHVWUHTXHHOPpWRGRGH UHGXFFLyQGHRUGHQDQDOL]DGRHQODVHFFLyQFRQGXFH a una segunda solución y de la ecuación homogénea así FRPRDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUyp de la ecuación no hoPRJpQHD )RUPH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD (' VREUH HO LQWHUYDOR ). y(1) 0, y(0) 0 48. 49. dx dt dx dt dy dt dy 2 dt 2x dx dt dy dt 2x y t 3x 4y 4t (D 50. (D 2y 1 y 3 2 2) x 3x (D y 4) y 2) x 5x (D (D 1)y 3)y et 7et sen 2t cos 2t 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR © Brian A Jackson/Shutterstock.com 5.1 5.2 5.3 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera Modelos no lineales REPASO DEL CAPÍTULO 5 Y a hemos visto que una sola ecuación puede servir como modelo matemático para varios sistemas físicos. Formas de la ecuación lineal de segundo orden a d 2y dt 2 b dy dt cy g(t), aparecen en el análisis de problemas en muchas diferentes áreas de ciencia e ingeniería. En la sección 5.1 vimos que, exceptuando la terminología y las interpretaciones físicas de esta ecuación diferencial, la matemática, digamos, de un circuito en serie, es idéntica a la de un sistema masa-resorte en vibración, por ejemplo, de un circuito en serie son idénticas a las de un sistema vibratorio masa/resorte. 196 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 197 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES 5.1 INTRODUCCIÓN En esta sección, se van a considerar varios sistemas dinámicos lineales en los TXHFDGDPRGHORPDWHPiWLFRHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVMXQWRFRQFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHVSHFL¿FDGDVHQXQWLHPSRTXHWRPDUHPRVFRPRt = 0: a d 2y dt 2 b dy dt cy g(t), y(0) y0 , y (0) y1. La función g es la entrada, función de conducción o función forzada del sistema. Una solución y(t) de la ecuación diferencial sobre un intervalo I que contiene a t = 0 que satisface las condiciones iniciales se llama salida o respuesta del sistema. 5.1.1 l l no estirado s m posición de equilibrio mg − ks = 0 a) l+s x m movimiento b) c) FIGURA 5.1.1 Sistema masaresorte. x<0 x=0 x>0 m FIGURA 5.1.2 La dirección hacia abajo de la posición de equilibrio es positiva. SISTEMAS RESORTEMASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO LEY DE HOOKE Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte UtJLGR\OXHJRVHOH¿MDXQDPDVDm a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora F opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la cantidad de elongación s y es expresada en forma simple como F ks, donde k 0 es una constante de proporcionalidad llamada constante de resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el número k. Usando |F|k |s|, vemos que, si una masa de 50 N de peso estira un resorte 0.2 m, entonces 50 k (0.2), implica que k 250 N/m. Entonces, necesariamente, una masa de, digamos, 40 N, estira el mismo resorte sólo 0.16 m. SEGUNDA LEY DE NEWTON Después de que se une una masa m a un resorte, ésta alarga el resorte una cantidad s y logra una posición de equilibrio en la cual su peso W se equilibra mediante la fuerza restauradora ks5HFXHUGHTXHHOSHVRVHGH¿QHPHGLDQWH W mg, donde la masa se mide en kilogramos o gramos y g es la aceleración debida a la gravedad (9.8 m/s2, o 980 cm/s2 &RPRVHLQGLFDHQOD¿JXUDODFRQGLFLyQ de equilibrio es mg ks o mg ks 0. Ahora suponemos que la masa en el resorte se pone en movimiento dándole un desplazamiento inicial (una elongación o una compresión) y una velocidad inicial. Suponemos que el movimiento tiene lugar a lo largo de una recta vertical, que los desplazamientos x(t) de la masa se miden a lo largo de esta recta tal que x = 0 corresponde a la posición de equilibrio, y que los desplazamientos medidos debajo de la posición de equilibrio son positivos9pDVHOD¿JXUD Para construir un modelo matemático que describa el caso dinámico, empleamos la segunda ley del movimiento de Newton: la fuerza neta o resultante de un cuerpo en movimiento de masa mHVWiGDGDSRUȈFk = ma, donde a = d2x/dt2 es su aceleración. Si además suponemos que vibra la masa libre de todas las otras fuerzas externas, movimiento libre, la segunda ley de Newton da. d2x m –––2 k(x s) mg kx mg ks kx. dt fuerza neta (1) cero El primer término F1 k(x + s) en el lado derecho de la ecuación (1) es la fuerza restauradora del resorte; el signo negativo indica que esta fuerza actúa opuesta a la dirección del movimiento. El segundo término F2 mg es el peso de la masa que actúa siempre en dirección hacia abajo o positiva. 198 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO Dividiendo (1) por la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden d2xdt2 (km)x 0, o d 2x dt 2 2 x 0, (2) donde Ȧ2 km. Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias relacionadas con (2) son x(0) x0 y x(0) x1, el desplazamiento inicial y la velocidad inicial de la masa, respectivamente. Por ejemplo, si x0 0, x1 0, la masa parte de un punto abajo de la posición de equilibrio con una velocidad impartida hacia arriba. Cuando x(0) 0, se dice que la masa se libera a partir del reposo. Por ejemplo, si x0 0, x1 0, la masa se libera desde el reposo de un punto x0 unidades arriba de la posición de equilibrio. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Para resolver la ecuación (2), se observa que la solución de su ecuación auxiliar m2 Ȧ2 0 son los números complejos ml Ȧi, m2 Ȧi. Así de (8) de la sección 4.3 se encuentra la solución general de (2) es x (t) c1 cos t c2 sen t . (3) El periodo del movimiento descrito por la ecuación (3) es T 2ʌȦ. El número T representa el tiempo (medido en segundos) que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo es una oscilación completa de la masa, es decir, la masa m que se mueve, por ejemplo, al punto mínimo abajo de la posición de equilibrio hasta el punto más alto arriba de la misma y luego de regreso al punto mínimo. Desde un SXQWRGHYLVWDJUi¿FRT 2ʌȦ segundos es la longitud del intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos (o mínimos) de x(t). Recuerde que un máximo de x(t) es el desplazamiento positivo correspondiente a la masa que alcanza su distancia máxima debajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo de x(t) es el desplazamiento negativo correspondiente a la masa que logra su altura máxima arriba de la posición de equilibrio. Se hace referencia a cualquier caso como un desplazamiento extremo de la masa. La frecuencia de movimiento es f 1T Ȧ2ʌ y es el número de ciclos completado cada segundo. Por ejemplo, si x(t) 2 cos 3ʌW 4 sen 3ʌW, entonces el periodo es T 2ʌ3ʌ 23 s y la frecuencia es f 32 cicloss. Desde un punto de vista x (t) , HVTXHPiWLFRODJUi¿FDGHx(t) se repite cada 23 de segundo, es decir, x t 23 y 32 FLFORVGHODJUi¿FDVHFRPSOHWDQFDGDVHJXQGR RHTXLYDOHQWHPHQWHWUHVFLFORV 1k>m (medido en GHODJUi¿FDVHFRPSOHWDQFDGDGRVVHJXQGRV (OQ~PHUR radianes por segundo) se llama frecuencia circular del sistema. Dependiendo de qué libro lea, tanto f Ȧ2ʌ como Ȧ se conocen como frecuencia natural del sistema. Por último, cuando se emplean las condiciones iniciales para determinar las constantes c1 y c2 en (3), se dice que la solución particular resultante o respuesta es la ecuación de movimiento. ( EJEMPLO 1 ) Movimiento libre no amortiguado Una masa que pesa 9.8 N alarga 0.2 m un resorte. En t 0 se libera la masa desde un punto que está 0.25 m abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 0.4 m/s. Determine la ecuación de movimiento. SOLUCIÓN Se deben convertir las unidades de peso dadas en newtons a unidades de masa. De m Wg tenemos que m = 1.0 kg.. También, de la ley de Hooke, 9.8 k (0.2) implica que la constante de resorte es k 49 N/m. Por lo que, de la ecuación (1) se obtiene 1.0 d 2x 5 249x dt 2 o d 2x 1 49x 5 0. dt 2 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES 199 O El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x(0) 0.25 m, x(0) 0.4 m/s, donde el signo negativo en la última condición es una consecuencia del hecho de que a la masa se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba. Ahora Ȧ2 49 o Ȧ 7 rad/s, por lo que la solución general de la ecuación diferencial es x(t) 5 c1 cos 7t 1 c2 sen 7t. (4) Aplicando las condiciones iniciales a x(t) y x(t) se obtiene c1 0.25 y c2 0.057. Por tanto, la ecuación de movimiento es x(t) 0.25 cos 8t 0.057 sen 8t. (5) FORMA ALTERNATIVA DE X(t) Cuando c1 0 y c2 0, la amplitud A de las vibraciones libres no es evidente a partir de la inspección de la ecuación (3). Por ejemplo, aunque la masa del ejemplo 1 se desplaza inicialmente 0.25 m más allá de la posición de equilibrio, la amplitud de las vibraciones es un número mayor que 0.25 m. Por tanto, suele ser conveniente convertir una solución de la forma (3) en una forma más simple (6) x (t) A sen( t ), donde A 2c21 c22 y ‫ ׋‬es un ángulo de faseGH¿QLGRSRU c1 A tan c2 A sen c12 + c22 c1 cos φ c2 FIGURA 5.1.3 Una relación entre c1 0, c 2 0 y el ángulo de fase ‫׋‬. c1 . c2 (7) Para comprobar esto se desarrolla la ecuación (6) usando la fórmula de suma para la función seno: A sen t cos cos t sen ( sen )cos t ( cos )sen t . (8) 6HGHGXFHGHOD¿JXUDTXHVL‫׋‬HVWiGH¿QLGDSRU sen c1 1c12 c22 c1 , A cos c2 1c12 c22 c2 , A entonces la ecuación (8) se convierte en A c1 cos t A EJEMPLO 2 A c2 sen t A c1 cos t c2 sen t x (t). Forma alternativa de solución (5) En vista de la descripción anterior, se puede escribir la solución (5) en la forma alternativa x(t) A sen(7t ‫)׋‬. El cálculo de la amplitud es directo, A 5 Ï(0.25)2 1 (20.057)2 5 0.256 m, pero se debe tener cuidado al calcular el ángulo de fase ‫ ׋‬GH¿QLGR SRU &RQ c1 0.25 y c2 0.057 se encuentra tan ‫ ׋‬4.386 y, con una calculadora se obtiene tan1(4.386) 1.346 rad. Este no es el ángulo de fase, puesto que tan1(4.386) se localiza en el cuarto cuadrante y por tanto contradice el hecho de que sen ‫ ׋‬0 y cos ‫׋‬ 0 porque c1 0 y c2 0. Por tanto, se debe considerar que ‫ ׋‬es un ángulo del segundo cuadrante ‫ ׋‬ʌ (1.346) 1.794 rad. Así la ecuación (5) es igual a x(t) 0.256 sen(7t 1.794). El periodo de esta función es T 2ʌ7 s. (9) 200 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 'HEHWHQHUHQFXHQWDTXHDOJXQRVSURIHVRUHVGHFLHQFLDHLQJHQLHUtDSUH¿HUHQH[SUHVDU a (3) como una función coseno corrido x(t) A cos(Ȧt ‫)׋‬ (6) 2c21 c22 En este caso el ángulo ‫׋‬PHGLGRHQUDGLDQHVVHGH¿QHHQXQD donde A forma ligeramente diferente que en (7): c2 sen A c2 tan (7) c1 c1 cos A Por ejemplo, en el ejemplo 2 con c1 0.25 y c2 0.057, (7) indica que tan ‫ ׋‬0.228. Ya que sen ‫׋‬ 0 y cos ‫ ׋‬0 el ángulo ‫ ׋‬se encuentra en el cuarto cuadrante y así redondeando con tres lugares decimal ‫ ׋‬tan1(0.228) 0.224 rad. De (6) se obtiene una segunda forma alternativa de solución (5): x(t) 0.256 cos (7t ( 0.224)) o x(t) 0.256 cos(7t 0.224). INTERPRETACIÓN GRÁFICA (QOD¿JXUD D VHLOXVWUDODPDVDGHOHMHPSOR que recorre aproximadamente dos ciclos completos de movimiento. Leyendo de izquierda a derecha, las primeras cinco posiciones (marcadas con puntos negros) corresponden a la posición inicial de la masa debajo de la posición de equilibrio (x 0.25), la masa que pasa por la posición de equilibrio por primera vez en dirección ascendente (x 0), la masa en su desplazamiento extremo arriba de la posición de equilibrio (x 0.256), la x negativa x = −0.256 x=0 x positiva x=0 x=0 x = 0.25 x = 0.256 a) x (0.25) amplitud x positiva A = 0.256 x=0 t x negativa π 4 periodo b) FIGURA 5.1.4 Movimiento armónico simple. 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 201 masa en la posición de equilibrio para la segunda vez que se dirige hacia arriba (x 0) y la masa en su desplazamiento extremo abajo de la posición de equilibrio (x 0.256) . /RVSXQWRVQHJURVVREUHODJUi¿FDGH TXHVHSUHVHQWDHQOD¿JXUD E WDPELpQ concuerdan con las cinco posiciones antes mencionadas. Sin embargo, observe que en OD¿JXUD E ODGLUHFFLyQSRVLWLYDHQHOSODQRtx es la dirección ascendente usual y SRUWDQWRHVRSXHVWDDODGLUHFFLyQSRVLWLYDTXHVHLQGLFDHQOD¿JXUD D 3RUORTXH ODJUi¿FDVyOLGDD]XOTXHUHSUHVHQWDHOPRYLPLHQWRGHODPDVDHQOD¿JXUD E HV ODUHÀH[LyQSRUHOHMHtGHODFXUYDSXQWHDGDD]XOGHOD¿JXUD D La forma (6) es muy útil porque es fácil encontrar valores de tiempo para los cuales ODJUi¿FDGHx(t) cruza el eje t positivo (la recta x 0). Se observa que sen(ȦW ‫ )׋‬0 cuando ȦW ‫ ׋‬Qʌ, donde n es un entero no negativo. SISTEMAS DE DOBLE RESORTE Supongamos que dos resortes paralelos, constantes k1 y k2, están unidos a un soporte rígido común y luego a una sola masa m como se PXHVWUDHQODÀJXUD6LODPDVDVHGHVSOD]DGHVXSRVLFLyQGHHTXLOLEULRHOGHV SOD]DPLHQWRxHVHOPLVPRSDUDDPERVUHVRUWHV\DVtHVODIXHU]DQHWDUHVWDXUDGRUDGHO UHVRUWHHQ HVVLPSOHPHQWHkx k2x (k k2 x(VGHFLU Soporte rígido k1 k2 kHII k k2 es la constante del resorte efectiva del sistema. m FIGURA 5.1.5 Resortes paralelos. Soporte rígido 3RURWUDSDUWHVXSRQJDTXHGRVUHVRUWHVTXHVRSRUWDQXQDVRODPDVDm están en serie, es decir, los resortes están conectados de extremo a extremo como se muestra en ODÀJXUD(QHVWHFDVRXQGHVSOD]DPLHQWRxGHODPDVDGHVXHTXLOLEULRHVLJXDOD la suma x x x2, donde x y x2VRQORVGHVSOD]DPLHQWRVGHORVUHVRUWHVUHVSHFWLYRV 3HURODIXHU]DUHVWDXUDGRUDHVODPLVPDSDUDDPERVUHVRUWHVDVtVLkHII es la constante de resorte efectivaGHOVLVWHPDWHQHPRVTXH 2keffsx1 1 x2d 5 2k1x1 5 2k2x2. De kx k2x2 tenemos x (k2/k x2 y así kHII(x x2 k2x2HVORPLVPRTXH S D k2 x2 1 x2 5 k2x2. k1 k1 keff k2 Despejando keff de la última ecuación obtenemos k1k2 keff 5 . k1 1 k2 m FIGURA 5.1.6 Resortes en serie. Por lo que en cualquiera de los casos anteriores, la ecuación diferencial de movimiento es (1) sustituyendo k con keff. Véanse los problemas 13 al 18 en los ejercicios 5.1. SISTEMAS CON CONSTANTES DE RESORTE VARIABLES En el modelo apenas analizado se supuso una situación ideal, una en la que las características físicas del resorte no cambian con el tiempo. No obstante, en la situación no ideal, parece razonable esperar que cuando un sistema resorte/masa está en movimiento durante un largo tiempo, el resorte se debilita; en otras palabras, varía la “constante de resorte”, de maQHUDPiVHVSHFt¿FDGHFDHFRQHOWLHPSR(QXQPRGHORSDUDHO desgaste del resorte la constante de resorte k en (1) se remplaza con la función decreciente K(t) keĮW, k 0, Į 0. La ecuación diferencial lineal mx keĮW x 0 no se puede resolver con los métodos considerados en el capítulo 4. Sin embargo, es posible obtener dos soluciones linealmente independientes con los métodos del capítulo 6. Vea el problema 19 en los ejercicios 5.1, el ejemplo 5 de la sección 6.4. Cuando un sistema resorte/masa se somete a un ambiente en el cual la temperatura disminuye con rapidez, podría tener sentido remplazar la constante k con K(t) kt, k 0, una función que se incrementa con el tiempo. El modelo resultante, mx ktx 0, es una forma de la ecuación diferencial de Airy. Al igual que la ecuación para un resorte viejo, la ecuación de Airy se resuelve con los métodos del capítulo 6. Vea el problema 20 de los ejercicios 5.1. 202 CAPÍTULO 5 O MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 5.1.2 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO El concepto de movimiento armónico libre es un poco irreal, puesto que el movimiento que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas retardadoras actuando sobre la masa en movimiento. A menos que la masa se suspenda en un vacío perfecto, habrá por lo menos una fuerza de resistencia debida al medio circundante. Como se muestra HQOD¿JXUDODPDVDSRGUtDHVWDUVXVSHQGLGDHQXQPHGLRYLVFRVRRXQLGDDXQ dispositivo amortiguador. m a) ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO En el estudio de la mecánica, las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo se consideran proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. En particular, en el análisis posterior se supone que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de dxdt. Cuando ninguna otra fuerza actúa en el sistema, se tiene de la segunda ley de Newton que m d 2x dx , (10) kx dt 2 dt donde ȕ es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamiento actúa en una dirección opuesta al movimiento. Dividiendo la ecuación (10) por la masa m, se encuentra que la ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado es m d 2x ␤ dx k 1 1 x50 m dt m dt 2 b) FIGURA 5.1.7 Dispositivos de amortiguamiento. o d 2x dt 2 2 donde dx dt 2 m 2 0, x 2 , (11) k . m (12) El símbolo 2Ȝ se usa sólo por conveniencia algebraica, porque la ecuación auxiliar es m2 2ȜP Ȧ2 0 y las raíces correspondientes son entonces 2 m1 2, 2 2 m2 2 2. Ahora se pueden distinguir tres casos posibles dependiendo del signo algebraico de Ȝ2 Ȧ2. Puesto que cada solución contiene el factor de amortiguamiento eȜW, Ȝ 0, los desplazamientos de la masa se vuelven despreciables conforme el tiempo t aumenta. x t FIGURA 5.1.8 Movimiento de un sistema sobreamortiguado. CASO I: Ȝ2 Ȧ2 0 En esta situación el sistema está sobreamortiguado porque HOFRH¿FLHQWHGHDPRUWLJXDPLHQWRȕ es grande comparado con la constante del resorte k. La solución correspondiente de (11) es x(t) c1 e m1t c2 em 2 t o x(t) e t (c1 e1 2 2t c2 e 1 2 ). 2t (13) (VWDHFXDFLyQUHSUHVHQWDXQPRYLPLHQWRXQLIRUPH\QRRVFLODWRULR(QOD¿JXUD VHPXHVWUDQGRVJUi¿FDVSRVLEOHVGHx(t). x t CASO II: Ȝ2 Ȧ2 0 Este sistema está críticamente amortiguado porque cualquier ligera disminución en la fuerza de amortiguamiento daría como resultado un movimiento oscilatorio. La solución general de (11) es x (t) c1e m1t c2 tem1t o x (t) FIGURA 5.1.9 Movimiento de un sistema críticamente amortiguado. e t (c1 c2 t) . (14) (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQDOJXQDVJUi¿FDVWtSLFDVGHPRYLPLHQWR2EVHUYHTXHHO movimiento es bastante similar al de un sistema sobreamortiguado. También es evidente de (14) que la masa puede pasar por la posición de equilibrio a lo más una vez. 5.1 no amortiguado subamortiguado x MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 203 CASO III: Ȝ2 Ȧ2 0 En este caso el sistema está subamortiguado puesto que HOFRH¿FLHQWHGHDPRUWLJXDPLHQWRHVSHTXHxRFRPSDUDGRFRQODFRQVWDQWHGHOUHVRUWH Las raíces m1 y m2 ahora son complejas: 1 m1 t 2 i, 2 1 m2 2 i. 2 Así que la ecuación general de la ecuación (11) es x (t) FIGURA 5.1.10 Movimiento de un sistema subamortiguado. e t (c1 cos 1 2 c2 sen 1 2t 2 ). 2t (15) &RPRVHLQGLFDHQOD¿JXUDHOPRYLPLHQWRGHVFULWRSRUODHFXDFLyQ HVRVFLODWRULRSHURGHELGRDOFRH¿FLHQWHeȜW, las amplitudes de vibración A 0 cuando t A . EJEMPLO 3 Movimiento sobreamortiguado Se comprueba fácilmente que la solución del problema con valores iniciales d 2x dt 2 x x= 1 5 −t e 3 2 −4t e 3 − 2 3 t a) t x(t) 1 1.5 2 2.5 3 0.601 0.370 0.225 0.137 0.083 b) FIGURA 5.1.11 Sistema sobreamortiguado del ejemplo 3. 5 dx dt 4x 0, x (0) 1, x (0) 1 5 t 2 4t e e . (16) 3 3 El problema se puede interpretar como representativo del movimiento sobreamortiguado de una masa sobre un resorte. La masa se libera al inicio de una posición una unidad abajo de la posición de equilibrio con velocidad descendente de 1 m/s. 3DUDJUD¿FDUx(t), se encuentra el valor de t para el cual la función tiene un extremo, es decir, el valor de tiempo para el cual la primera derivada (velocidad) es cero. 5 8 t 4t Derivando la ecuación (16) se obtiene x (t) , así x(t) 0 implica 3e 3e 8 1 8 3 t que e o . Se tiene de la prueba de la primera derivada, así t ln 0.157 3 5 5 como de la intuición física, que x(0.157) 1.069 m es en realidad un máximo. En otras palabras, la masa logra un desplazamiento extremo de 1.069 m abajo de la posición de equilibrio. 6HGHEHFRPSUREDUWDPELpQVLODJUi¿FDFUX]DHOHMHt, es decir, si la masa pasa por la posición de equilibrio. En este caso tal cosa no puede suceder, porque la ecuación x(t) 0, o e3t 25 , tiene una solución irrelevante desde el punto de vista físico t 13 ln 25 0.305 . (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDODJUi¿FDGHx(t), junto con algunos otros datos pertinentes. x (t) es EJEMPLO 4 Movimiento críticamente amortiguado Una masa que pesa 2.45 N alarga 0.6125 m un resorte. Suponiendo que una fuerza amortiguada que es igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema, determine la ecuación de movimiento si la masa inicial se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 m/s. SOLUCIÓN De la ley de Hooke se ve que 2.45 = k(0.6125) da k 4 N/m y que 1 W mg da m 5 2.45 9.8 5 4 kg.. La ecuación diferencial de movimiento es entonces 1 d 2x 4 dt2 4x 2 dx dt d 2x dt 2 o 8 dx dt 16 x 0. (17) La ecuación auxiliar para (17) es m2 8m 16 (m 4)2 0, así que m1 m2 4. Por tanto el sistema está críticamente amortiguado y x (t) c1e 4t c2 te 4t . (18) Aplicando las condiciones iniciales x(0) 0 y x(0) 3, se encuentra, a su vez, que c1 0 y c2 3. Por tanto la ecuación de movimiento es x (t) 3te 4t . (19) 204 O CAPÍTULO 5 x t= MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 1 4 t − 0.276 altura máxima arriba de la posición de equilibrio FIGURA 5.1.12 Sistema críticamente amortiguado del ejmplo 4. 3DUDJUD¿FDUx(t), se procede como en el ejemplo 3. De x(t) 3e4t(1 4t) vemos que x(t) 0 cuando t 14 . El desplazamiento extremo correspondiente es x 14 3 14 e 1 0.276 P &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD HVWH YDORU se interpreta para indicar que la masa alcanza una altura máxima de 0.276 m arriba de la posición de equilibrio. () () EJEMPLO 5 Movimiento subamortiguado Una masa que pesa 4.9 N se une a un resorte de 5 m de largo. En equilibrio el resorte mide 5.98 m. Si al inicio la masa se libera desde el reposo en un punto 2 m arriba de la posición de equilibrio, encuentre los desplazamientos x(t) si se sabe además que el medio circundante ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea. SOLUCIÓN La elongación del resorte después que se une la masa es 5.98 5 0.98 m, así que se deduce de la ley de Hooke que 4.9 k(0.98) o k 5 N/m. Además, 1 kg, por lo que la ecuación diferencial está dada por m 4.9 9.8 2 1 d 2x 2 dt 2 dx dt 5x d 2x dt 2 o 2 dx dt 10 x 0. (20) Procediendo, encontramos que las raíces de m2 2m 10 0 son m1 1 3i y m2 1 3iORTXHVLJQL¿FDTXHHOVLVWHPDHVWiVXEDPRUWLJXDGR\ x (t) e t(c1 cos 3t c2 sen 3t). (21) Por último, las condiciones iniciales x(0) 2 y x(0) 0 producen c1 2 y 2 , por lo que la ecuación de movimiento es c2 3 x (t) e 2 cos 3t t 2 sen 3t . 3 (22) FORMA ALTERNATIVA DE x(t) De una manera idéntica al procedimiento usado en la página 199, se puede escribir cualquier solución x (t) e t (c1 cos 1 2 2t c2 sen 1 ) 2 2t en la forma alternativa x (t) donde A 1c12 Ae t ( sen 1 2 2 t ), (23) c22 y el ángulo de fase ‫ ׋‬se determina de las ecuaciones sen c1 , A cos c2 , A tan c1 . c2 (O FRH¿FLHQWH AeȜW en ocasiones se llama amplitud amortiguada de vibraciones. 2 Debido a que (23) no es una función periódica, el número 2 1 2 se llama 2 2 2 es la cuasi frecuencia. El cuasi periodo es el incuasi periodo y 1 tervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Se debe comprobar, para la ecuación de movimiento del ejemplo 5, que A 2 110 3 y ‫ ׋‬4.391 rad. Por tanto, una forma equivalente de (22) es x (t) 2 110 t e sen(3t 3 4.391). 5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO FORZADO ED DE MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO Suponga que ahora se toma en consideración una fuerza externa f(t) que actúa sobre una masa 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES 205 O vibrante en un resorte. Por ejemplo, f(t) podría representar una fuerza motriz que causa XQ PRYLPLHQWR YHUWLFDO RVFLODWRULR GHO VRSRUWH GHO UHVRUWH 9HD OD ¿JXUD /D inclusión de f(t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación diferencial de movimiento forzado o dirigido: m d 2x dt2 dx dt kx f (t) . (24) F (t) , (25) Dividiendo la ecuación (24) por m, se obtiene d 2x dt2 m FIGURA 5.1.13 Movimiento vertical oscilatorio del apoyo. 2 dx dt 2 x donde F(t) f(t)m y, como en la sección anterior, 2Ȝ ȕm, Ȧ2 km. Para resolver OD~OWLPDHFXDFLyQKRPRJpQHDVHSXHGHXVDU\DVHDHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUminados o variación de parámetros. EJEMPLO 6 Interpretación de un problema con valores iniciales Interprete y resuelva el problema con valores iniciales 1 d 2x 5 dt2 1.2 dx dt 2x 1 , 2 5 cos 4t, x (0) x (0) 0. (26) SOLUCIÓN Se puede interpretar el problema para representar un sistema vibratorio que consiste en una masa (m 15 slug o kilogramo) unida a un resorte (k 2 lbpie o Nm). La masa se libera inicialmente desde el reposo 12 unidad (m o metro) abajo de la posición de equilibrio. El movimiento es amortiguado (ȕ 1.2) y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa (T ʌ2 s) comenzando en t 0. De manera intuitiva, se podría esperar que incluso con amortiguamiento el sistema permaneciera en movimiento hasta que se “desactive” la función forzada, en cuyo caso disminuirían las amplitudes. Sin embargo, como se plantea en el problema, f (t) 5 cos 4t permanecerá “activada” por siempre. Primero se multiplica la ecuación diferencial en (26) por 5 y se resuelve dx2 dt2 6 dx dt 10 x 0 por los métodos usuales. Debido a que m1 3 i, m2 3 i, se deduce que xc(t) e3t(c1 cos t c2 sen t &RQ HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV VH supone una solución particular de la forma xp(t) A cos 4t B sen 4t. Derivando xp(t) y sustituyendo en la ED, se obtiene xp 6x p 10 xp ( 6A 24B) cos 4 t ( 24A 6B) sen 4t 25 cos 4 t. El sistema de ecuaciones resultante 6A 25 102 se cumple en A x (t) e 3t yB 24B 50 51 (c1 cos t 25, 24A 6B 0 . Se tiene que c2 sen t) 25 cos 4 t 102 50 sen 4t. 51 (27) c1 38 Cuando se hace t 0 en la ecuación anterior, se obtiene 51 . Derivando la expre51 86 sión y haciendo t 0, se encuentra también que c2 51 . Por tanto, la ecuación de movimiento es x (t) e 3t 38 cos t 51 86 sen t 51 25 cos 4 t 102 50 sen 4t . 51 (28) 206 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR x estado estable xp (t) 1 t transitorio _1 ( π/2 a) x ) EJEMPLO 7 x(t)=transitorio + estado estable 1 TÉRMINOS TRANSITORIO Y DE ESTADO ESTABLE Cuando F es una función periódica, como F(t) F0 sen ȖW o F(t) F0 cos ȖW, la solución general de (25) para Ȝ 0 es la suma de una función no periódica xc(t) y una función periódica xp(t). Además xc(t) se desvanece conforme se incrementa el tiempo, es decir, lím t : xc (t) 0 . Así, para valores grandes de tiempo, los desplazamientos de la masa se aproximan mediante la solución particular xp(t). Se dice que la función complementaria xc(t) es un término transitorio o solución transitoria y la función xp(t), la parte de la solución que permanece después de un intervalo de tiempo, se llama término de estado estable o solución de estado estable. Por tanto, observe que el efecto de las condiciones iniciales en un sistema resorte/masa impulsado por f (t) es transitorio. En la solución particular (28), 25 50 86 e 3t 38 102 cos 4 t 51 sen 4t es 51 cos t 51 sen t es un término transitorio y xp(t) XQWpUPLQRGHHVWDGRHVWDEOH/DVJUi¿FDVGHHVWRVGRVWpUPLQRV\ODVROXFLyQ VH SUHVHQWDQHQODV¿JXUDV D \ E UHVSHFWLYDPHQWH Soluciones de estado transitorio y de estado estable La solución del problema con valores iniciales t d 2x dx 2 2 x 4 cos t dt2 dt donde x1 es constante, está dada por x(t) (x1 2 sen t, x (0) 2) e t sen t 0, x (0) x1, 2 sen t. transitorio estado estable _1 Las curvas solución para valores seleccionados de la velocidad inicial x1 aparecen en OD¿JXUD/DVJUi¿FDVPXHVWUDQTXHODLQÀXHQFLDGHOWpUPLQRWUDQVLWRULRHVGHVpreciable para un valor aproximado de t 3ʌ2. π /2 b) FIGURA 5.1.12 *Ui¿FDGHODVROXFLyQ dada en (28) del ejemplo 6. x x 1 =7 x 1 =3 x 1 =0 EJEMPLO 8 t x1=_3 π ED DE MOVIMIENTO FORZADO SIN AMORTIGUAMIENTO Cuando se ejerce una fuerza periódica sin fuerza de amortiguamiento, no hay término transitorio en la solución de un problema. También se ve que una fuerza periódica con una frecuencia cercana o igual que la frecuencia de las vibraciones libres amortiguadas causa un problema grave en un sistema mecánico oscilatorio. 2π FIGURA 5.1.15 *Ui¿FDGHODVROXFLyQ del ejemplo 7 para diferentes x 1. Movimiento no amortiguado forzado Resuelva el problema con valor inicial d 2x 2 x F0 sen t, x (0) dt2 donde F0 es una constante y Ȗ Ȧ. 0, x (0) 0, (29) SOLUCIÓN La función complementaria es xc(t) c1 cos ȦW c2 sen ȦW. Para obtener una solución particular se supone xp(t) A cos ȖW B sen ȖW, por lo que xp 2 xp A( 2 2 ) cos t B( 2 2 ) sen t F0 sen t. ,JXDODQGRORVFRH¿FLHQWHVVHREWLHQHGHLQPHGLDWRA 0 y B F0(Ȧ2 Ȗ2). Por tanto, F0 xp(t) sen t. 2 2 Aplicando las condiciones iniciales a la solución general F0 x (t) c1 cos t c2 sen t 2 2 sen t se obtiene c1 0 y c2 Ȗ)0 Ȧ(Ȧ2 Ȗ2). Por tanto, la solución es x (t) F0 ( 2 2 ) ( sen t sen t), (30) 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES O 207 RESONANCIA PURA $XQTXHODHFXDFLyQ QRVHGH¿QHSDUDȖ Ȧ, es interesante observar que su valor límite conforme Ȗ A Ȧ se obtiene al aplicar la regla de L'Hôpital. Este proceso límite es análogo a “sintonizar” la frecuencia de la fuerza impulsora (Ȗ2ʌ) con la frecuencia de vibraciones libres (Ȧ2ʌ). De una manera intuitiva, se espera que en un espacio de tiempo se deban poder incrementar en forma sustancial las amplitudes de vibración. Para Ȗ ȦVHGH¿QHODVROXFLyQFRPR d ( sen t sen t) sen t sen t d x (t) lím F0 F0 lím 2 : : ( 2 ) d 2 ( 3 ) d F0 lím sen t t cos t 2 : F0 sen t (31) t cos t 2 2 F0 F0 sen t t cos t. 2 2 2 Como se sospechaba, conforme t A los desplazamientos se vuelven largos; de hecho, x(tn) A cuando tn QʌȦ, n 1, 2, . . . El fenómeno recién descrito se conoce como resonancia pura/DJUi¿FDGHOD¿JXUDPXHVWUDHOPRYLPLHQWR característico en este caso. En conclusión, se debe observar que no hay necesidad real de usar un proceso límite en (30) para obtener la solución para Ȗ Ȧ. Alternativamente, la ecuación (31) se deduce resolviendo el problema con valores iniciales x t FIGURA 5.1.16 Resonancia pura. d 2x 2 x F0 sen t, x (0) 0, x (0) 0 dt 2 en forma directa por métodos convencionales. Si realmente una función como la ecuación (31) describiera los desplazamientos de un sistema resorte/masa, el sistema necesariamente fallaría. Las oscilaciones grandes de la masa forzarán en algún momento el resorte más allá de su límite elástico. Se podría DUJXPHQWDUWDPELpQTXHHOPRGHORUHVRQDQWHSUHVHQWDGRHQOD¿JXUDHVSRUFRPpleto irreal, porque no se toman en cuenta los efectos retardadores de las fuerzas de amortiguamiento que siempre están presentes. Aunque es verdad que la resonancia pura no SXHGHRFXUULUFXDQGRVHWRPDHQFRQVLGHUDFLyQODFDQWLGDGSHTXHxDGHDPRUWLJXDPLHQ to, las amplitudes de vibración grandes e igualmente destructivas pueden ocurrir (aunque acotadas conforme t A ). Vea el problema 47 de los ejercicios 5.1. 5.1.4 CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO CIRCUITOS LRC EN SERIE Como se mencionó en la introducción de este capítulo, muchos sistemas físicos diferentes se describen mediante una ecuación diferencial de segundo orden similar a la ecuación diferencial de movimiento forzado con amortiguamiento: d 2x dx (32) kx f (t) . dt 2 dt Si i(t) denota la corriente en el circuito eléctrico en serie LRC que se muestra en la ¿JXUD HQWRQFHV ODV FDtGDV GH YROWDMH HQ HO LQGXFWRU UHVLVWRU \ FDSDFLWRU VRQ FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD3RUODVHJXQGDOH\GH.LUFKKRIIODVXPDGHHVWRV voltajes es igual al voltaje E(t) aplicado al circuito; es decir, m E L R C FIGURA 5.1.17 Circuito LRC en serie. L di dt Ri 1 q C E (t) . (33) 208 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Pero la carga q(t) en el capacitor se relaciona con la corriente i(t) con i dqdt, así la ecuación (33) se convierte en la ecuación diferencial lineal de segundo orden L d 2q dt2 R 1 q C dq dt E(t) . (34) La nomenclatura usada en el análisis de circuitos es similar a la que se emplea para describir sistemas resorte/masa. Si E(t) 0, se dice que las vibraciones eléctricas del circuito están libres. Debido a que la ecuación auxiliar para (34) es Lm2 Rm 1C 0, habrá tres formas de solución con R 0, dependiendo del valor del discriminante R2 4LC. Se dice que el circuito es y sobreamortiguado si R2 4LC 0. críticamente amortiguado si R2 4LC 0, subamortiguado si R2 4LC 0. En cada uno de estos tres casos, la solución general de (34) contiene el factor eRt2L, así q(t) A 0 conforme t A . En el caso subamortiguado cuando q(0) q0, la carga en el capacitor oscila a medida que ésta disminuye; en otras palabras, el capacitor se carga y se descarga conforme t A . Cuando E(t) 0 y R 0, se dice que el circuito no está amortiguado y las vibraciones eléctricas no tienden a cero conforme t crece sin límite; la respuesta del circuito es armónica simple. EJEMPLO 9 Circuito en serie subamortiguado Encuentre la carga q(t) en el capacitor en un circuito LRC cuando L 0.25 henry (H), R 10 ohms ("), C 0.001 farad (F), E(t) 0, q(0) q0 coulombs (C) e i(0) 0. SOLUCIÓN Puesto que 1C 1000, la ecuación (34) se convierte en 1 q 4 10 q 1000 q 0 o 40 q q 4000 q 0. Resolviendo esta ecuación homogénea de la manera usual, se encuentra que el circuito es subamortiguado y q(t) e20t(c1 cos 60t c2 sen 60t). Aplicando las condiciones 1 iniciales, se encuentra c1 q0 y c2 . Por tanto 3 q0 q (t) q0e 20t cos 60t 1 sen 60t . 3 Usando (23), podemos escribir la solución anterior como q(t) q0 1 10 e 3 20t sen(60t 1.249). Cuando se aplica un voltaje E(t) al circuito, se dice que las vibraciones eléctricas son forzadas. En el caso cuando R 0, la función complementaria qc(t) de (34) se llama solución transitoria. Si E(t) es periódica o una constante, entonces la solución particular qp(t) de (34) es una solución de estado estable. EJEMPLO 10 Corriente de estado estable Encuentre la solución de estado estable qp(t) y la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie cuando el voltaje aplicado es E(t) E0 sen ȖW. SOLUCIÓN La solución de estado estable qp(t) es una solución particular de la ecua- ción diferencial L d 2q dt 2 R dq dt 1 q C E0 sen t. 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES 209 O &RQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHVXSRQHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD forma qp(t) A sen ȖW B cos ȖW. Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferenFLDOHLJXDODQGRFRH¿FLHQWHVVHREWLHQH E0 L A 2L C 2 2 L 1 C , 1 C2 2 R E0 R 2L 1 C C2 B 2 2 2 L . 2 R 2 Es conveniente expresar A y B en términos de algunos nuevos símbolos. Si X L Si Z 1X2 1 , C R2, entonces X2 L2 2 entonces Z2 L2 2 2L C 2L C 1 C 2 2 C 2 2 1 . R 2. Por tanto A E0 X(Ȗ= 2) y B E0 R(Ȗ= 2), así que la carga de estado estable es qp(t) E0 X sen t Z2 E0 R cos t. Z2 Ahora la corriente de estado estable está dada por ip(t) ip(t) E0 R sen t Z Z q p(t) : X cos t . Z (35) Las cantidades X /Ȗ 1&Ȗ y Z 1X2 R2 GH¿QLGDVHQHOHMHPSORVH llaman reactancia e impedancia del circuito, respectivamente. Tanto la reactancia como la impedancia se miden en ohms. EJERCICIOS 5.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-7. 5.1.1 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO c) ¿En qué tiempos la masa pasa por la posición de equilibrio? 1. Una masa que pesa 4 N se une a un resorte cuya constante es 16 N/m. ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple? 6. Una fuerza de 400 newtons alarga 2 metros un resorte. Una masa de 50 kilogramos se une al extremo del resorte y se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 10 m/s. Encuentre la ecuación de movimiento. 2. Una masa de 20 kilogramos se une a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico simple es 2ʌ ciclos/s, ¿cuál es la constante de resorte k? ¿Cuál es la frecuencia del movimiento armónico simple si la masa original se remplaza con una masa de 80 kilogramos? 7. 2WUR UHVRUWH FX\D FRQVWDQWH HV 1P VH VXVSHQGH GHO PLVPR soporte, pero paralelo al sistema resorte/masa del problema 6. Al segundo resorte se le coloca una masa de 20 kilogramos y ambas masas se liberan al inicio desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 10 m/s. 3. Una masa que pesa 24 N, unida al extremo de un resorte, lo alarga 4 m. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 m arriba de la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación de movimiento. a) ¿Cuál masa presenta la mayor amplitud de movimiento? b) ¿Cuál masa se mueve más rápido en t ʌ4 s? ¿En ʌ2 s? c) ¿En qué instantes las dos masas están en la misma posición? ¿Dónde están las masas en estos instantes? ¿En qué direcciones se están moviendo las masas? 4. Determine la ecuación de movimiento si la masa del problema 3 se libera al inicio desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 m/s. 5. Una masa que pesa 20 N alarga 6 m un resorte. La masa se libera al inicio desde el reposo en un punto 6 m abajo de la posición de equilibrio. a) Encuentre la posición de la masa en los tiempos t ʌ12, ʌ8, ʌ6, ʌ4 y 9ʌ32 s. b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t 3ʌ16 s? ¿En qué dirección se dirige la masa en este instante? 8. Una masa que pesa 32 N alarga 2 m un resorte. Determine la amplitud y el periodo de movimiento si la masa se libera inicialmente desde un punto situado 1 m arriba de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 m/s. ¿Cuántos FLFORVHQWHURVKDEUiFRPSOHWDGRODPDVDDO¿QDOGHʌ segundos? 9. Una masa que pesa 8 N se une a un resorte. Cuando se pone en movimiento, el sistema resorte/masa exhibe movimiento armónico simple. 210 O a) b) c) CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Determine la ecuación de movimiento si la constante de resorte es 1 N/m y la masa se libera inicialmente desde un punto 6 m abajo de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 32 m/s. Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6). Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6´). 10. Una masa que pesa 10 N alarga un resorte 14 m. Esta masa se retira y se coloca una de 1.6 kg, que se libera desde un punto situado a 13 m arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 54 m/s. a) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6). b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6´). c) Utilice los resultados de a) y b) para ver en qué tiempos la masa logra un desplazamiento debajo de la posición de equi librio numéricamente igual a 12 de la amplitud de movimiento. 11. Una masa que pesa 64 N alarga 0.32 m un resorte. Al inicio la masa se libera desde un punto que está 8 m arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 m/s. a) Encuentre la ecuación de movimiento. b) ¿Cuáles son la amplitud y el periodo del movimiento? c) ¢&XiQWRVFLFORVFRPSOHWRVKDEUiUHDOL]DGRODPDVDDO¿QDOGH 3ʌ segundos? d) ¿En qué momento la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo por segunda vez? e) ¿En qué instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posición de equilibrio? f) ¿Cuál es la posición de la masa en t 3 s? g) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t 3 s? h) ¿Cuál es la aceleración en t 3 s? i) ¿Cuál es la velocidad instantánea en los momentos en que la masa pasa por la posición de equilibrio? j) ¿En qué instantes la masa está 5 m abajo de la posición de equilibrio? k) ¿En qué instantes la masa está 5 m abajo de la posición de equilibrio apuntando en dirección hacia arriba? 12. Una masa de 1 kg se suspende de un resorte cuya constante es de 9 N/m. Inicialmente la masa se libera desde un punto que está 1 m arriba de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 13 ms/s. Determine los instantes en los que la masa se dirige hacia abajo a una velocidad de 3 m/s. 17. Encuentre la constante de resorte efectiva del sistema resortes HQSDUDOHORTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDFXDQGRDPERVUHsortes tienen la constante de resorte k. De una interpretación física de este resultado. 18. Encuentre la constante de resorte efectiva del sistema de resortes HQVHULHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDFXDQGRDPERVUHVRUWHV tienen la constante de resorte k de una interpretación física de este resultado. 19. Un modelo de un sistema de resorte/masa es 4x e0.1tx 0. Por inspección de la ecuación diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un periodo largo. 20. El modelo de un sistema de resorte/masa es 4x tx 0. Por inspección de la ecuación diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un periodo largo. 5.1.2 (QORVSUREOHPDVOD¿JXUDUHSUHVHQWDODJUi¿FDGHXQDHFXDción de movimiento para un sistema resorte/masa amortiguado. Use ODJUi¿FDSDUDGHWHUPLQDU a) si el desplazamiento inicial está arriba o abajo de la posición de equilibrio y b) si la masa se libera inicialmente desde el reposo, con dirección descendente o ascendente. 21. 15. Resuelva el problema 13 otra vez, pero esta vez suponga que los UHVRUWHVHVWiQHQVHULHFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 16. Resuelva el problema 14 otra vez, pero esta vez suponga que los UHVRUWHVHQVHULHFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD x t FIGURA 5.1.18 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 22. 13. Una masa que pesa 20 N estira 6 m un resorte y 2 m otro resorte. Los resortes están unidos en paralelo a un soporte rígido común HQODIRUPDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD'HWHUPLQHODFRQVtante de resorte efectiva del sistema de doble resorte.. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 m/s. 14. Una cierta masa alarga un resorte 13 m y otro resorte 12 m. Los dos resortes se unen a un soporte rígido común en la manera que se PXHVWUDHQOD¿JXUD6HTXLWDODSULPHUDPDVD\VHFRORFD XQDTXHSHVD1HQODFRQ¿JXUDFLyQGHUHVRUWHGREOH\VHSRQH en movimiento el sistema. Si el periodo de movimiento es ʌ15 segundos, determine cuánto pesa la primera masa. SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO x t FIGURA 5.1.19 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 23. x t FIGURA 5.1.20 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES x 24. t 25. Una masa que pesa 4 N se une a un resorte cuya constante es 2 N/m. El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a la velocidad instantánea. La masa se libera desde un punto situado 1 m arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 8 m/s. Determine el tiempo en el que la masa pasa por la posición de equilibrio. Encuentre el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este instante? 26. Un resorte de 4 m mide 8 m de largo después de colgarle una masa que pesa 8 N. El medio por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 1 2 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 m/s. Calcule el tiempo en que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en ese instante? 27. 8QDPDVDGHNLORJUDPRVH¿MDDXQUHVRUWHFX\DFRQVWDQWHHV 16 N/m y luego el sistema completo se sumerge en un líquido que imparte una fuerza amortiguadora igual a 10 veces la velocidad instantánea. Determine las ecuaciones de movimiento si: a) al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo de la posición de equilibrio, y luego b) la masa se libera inicialmente desde un punto 1 metro abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 12 m/s. 28. En los incisos a) y b) del problema 27, determine si la masa pasa por la posición de equilibrio. En cada caso, calcule el tiempo en que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este instante? 29. Una fuerza de 2 N alarga 1 m un resorte. Una masa que pesa 3.2 N se une al resorte y luego se sumerge el sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 0.4 veces la velocidad instantánea. a) Encuentre la ecuación de movimiento si inicialmente se libera la masa desde el reposo en un punto situado a 1 m por encima de la posición de equilibrio. b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (23). c) Encuentre la primera vez en que la masa pasa a través de la posición de equilibrio en dirección hacia arriba. 30. Después de que una masa de 10 N se sujeta a un resorte de 5 m, éste llega a medir 7 m. Se retira la masa y se sustituye con una de 8 N. Luego se coloca al sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a la velocidad instantánea. 211 a) Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde el reposo de un punto situado 12 m arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 1 ms. b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (23). c) FIGURA 5.1.21 *Ui¿FDGHOSUREOHPD O Calcule los tiempos en los que la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo. d) 7UDFHODJUi¿FDGHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR 31. Una masa que pesa 10 N produce un alargamiento de 2 m en un resorte. La masa se une a un dispositivo amortiguador que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a ȕ (ȕ 0) veces la velocidad instantánea. Determine los valores de la constante de amortiguamiento ȕ por lo que el movimiento posterior sea a) sobreamortiguado, b) críticamente amortiguado y c) subamortiguado. 32. Una masa que pesa 24 N alarga 4 m un resorte. El movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a ȕ (ȕ 0) veces la velocidad instantánea. Si al inicio la masa se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente 3 1 2 la ecuación de de 2 m/s, muestre que cuando movimiento es x (t) 3 1 2 18 e 2 t /3 2 senh 1 3 2 18 t. 5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO FORZADO 8 33. Una masa que pesa 16 N alarga 3 m un resorte. La masa se libera inicialmente desde el reposo desde un punto 2 m abajo de la posición de equilibrio y el movimiento posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 12 de la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si se aplica a la masa una fuerza externa igual a f(t) 10 cos 3t. 34. Una masa de 1 kg está unida a un resorte cuya constante es 5 N/m. Al inicio la masa se libera 1 m abajo de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 m/s y el movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a dos veces la velocidad instantánea. a) Encuentre la ecuación de movimiento si una fuerza externa igual a f(t) 12 cos 2t 3 sen 2t actúa sobre la masa. b) 7UDFHODJUi¿FDGHODVVROXFLRQHVWUDQVLWRULDV\GHHVWDGR estable en los mismos ejes de coordenadas. c) Trace la grá¿FDGHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR 35 . Una masa de 1 kg, cuando se une a un resorte, causa en éste un alargamiento de 2 m y luego llega al punto de reposo en la posición de equilibrio. Empezando en t 0, una fuerza externa igual a f(t) 8 sen 4t se aplica al sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si el medio circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 8 veces la velocidad instantánea. 36. En el problema 35 determine la ecuación de movimiento si la fuerza externa es f(t) et sen 4t. Analice el desplazamiento para t A . 37. Cuando una masa de 2 kilogramos se une a un resorte cuya constante es 32 Nm, éste llega al reposo en la posición de equilibrio. 212 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Comenzando en t 0, una fuerza igual a f(t) 68e2t cos 4t se aplica al sistema. Determine la ecuación de movimiento en ausencia de amortiguamiento. 38 . En el problema 37, escriba la ecuación de movimiento en la forma x(t) Asen(ȦW ‫ )׋‬Be2tsen(4t ș). ¿Cuál es la amplitud de las vibraciones después de un tiempo muy largo? 39 . Una masa m está unida al extremo de un resorte cuya constante es k. Después de que la masa alcanza el equilibrio, su soporte empieza a oscilar verticalmente respecto a una recta horizontal L de acuerdo con una fórmula h(t). El valor de h representa la distancia en m medida desde L9HDOD¿JXUD a) Determine la ecuación diferencial de movimiento si el sistema entero se mueve en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a ȕ(dxdt). b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a) si el resorte se alarga 4 m con una masa que pesa 16 N y ȕ 2, h(t) 5 cos t, x(0) x(0) 0. soporte L h(t) 44. Compare el resultado obtenido en el inciso b) del problema 43 con la solución obtenida usando la variación de parámetros cuando la fuerza externa es F0 cos ȦW. Demuestre que x(t) dada en el inciso a) del problema 43 se puede escribir en la forma 45. a) 2F0 x(t) 2 2 1 sen ( 2 1 )t sen ( 2 )t. 1 b) 6LVHGH¿QH ) , demuestre que cuando İ es 2 ( SHTXHxDXQDVROXFLyQDSUR[LPDGDHV x(t) F0 sen t sen t. 2 Cuando İ HV SHTXHxD OD IUHFXHQFLD Ȗ2ʌ de la fuerza aplicada es cercana a la frecuencia Ȧ2ʌ de vibraciones libres. Cuando esto ocurre, el movimiento es como se indica en la ¿JXUD/DVRVFLODFLRQHVGHHVWDFODVHVHOODPDQpulsaciones y se deben al hecho de que la frecuencia de sen İW es EDVWDQWHSHTXHxDHQFRPSDUDFLyQFRQODIUHFXHQFLDGHVHQ#t. /DVFXUYDVSXQWHDGDVRHQYROWXUDGHODJUi¿FDGHx(t), se obWLHQHQGHODVJUi¿FDVGH (F0 2İ#) sen İW Use un programa GHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUJUi¿FDVFRQYDULRVYDORUHVGHF0, İ, y #SDUDFRPSUREDUODJUi¿FDGHOD¿JXUD23. x t FIGURA 5.1.22 Soporte oscilante del problema 39. 40. Una masa de 10 JUDPRV VH ¿MD D XQ UHVRUWH FX\D FRQVtante es 1600 dinas/cm. Después de que la masa alcanza el equilibrio, su apoyo oscila de acuerdo con la fórmula h(t) sen 8t, donde h representa el desplazamiento desde su posición original. 9pDQVHHOSUREOHPD\OD¿JXUD a) En ausencia de amortiguamiento, determine la ecuación de movimiento si la masa parte del reposo desde la posición de equilibrio. b) ¿En qué instantes la masa pasa por la posición de equilibrio? c) ¿En qué tiempos la masa alcanza sus desplazamientos extremos? d) ¿Cuáles son los desplazamientos máximo y mínimo? e) 7UDFHODJUi¿FDGHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR FIGURA 5.1.23 Fenómeno de pulsaciones del problema 45. Tarea para el laboratorio de computación 46. ¿Puede haber pulsaciones cuando se agrega una fuerza de amortiguamiento al modelo del inciso a) del problema 43? 'H¿HQGDVXSRVLFLyQFRQODVJUi¿FDVREWHQLGDV\DVHDGHOD solución explícita del problema d 2x dt 2 2 dx dt 2 47. a) 2 42. d x 4x 5 sen 3t, x(0) x(t) 2, x (0) 0 d 2x dt 2 2 F0 cos t, x(0) 0, x (0) F0 (cos t cos t) . 2 2 x x(t) b) Evalúe lím : F0 2 (cos t 2 cos t) . Ae lt 0 2 dx dt 2 x sen 2v2 F0 1( 43. a) Demuestre que la solución del problema con valores iniciales es d2x dt 2 3 cos 2t, 1 0 Demuestre que la solución general de es 1, x (0) 9x dt 2 5 sen 2t 0, x (0) o de curvas solución obtenidas usando un programa de solución numérica. En los problemas 41 y 42, resuelva el problema con valores iniciales. d2x 41 . dt 2 x(0) F0 cos t, x(0) x 2 l2t 2 )2 4 F0 sen t f 2 2 sen( t ), donde A 5 Ïc12 1 c 22 y los ángulos de fase ‫ ׋‬y ș están, UHVSHFWLYDPHQWHGH¿QLGRVSRUVHQ‫ ׋‬c1A, cos ‫ ׋‬ c2A y sen cos 2 1( 2 1( 2 2) 2 2 2 2 4 2 2 2 2) 2 , 4 . 5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA b) La solución del inciso a) tiene la forma x(t) xc(t) xp(t). La inspección muestra que xc(t) es transitoria y por tanto para valores grandes de tiempo, la solución se aproxima mediante xp(t) g(#) sen(#t ș), donde g( ) F0 1( 2 2)2 4 2 2 . Aunque la amplitud g(#) de xp(t) está acotada conforme t A , demuestre que las oscilaciones máximas ocurrirán en el valor 1 1 2 2 2 . ¿Cuál es el valor máximo de g? El número 1 2 2 2 /2 se dice que es la frecuencia de resonancia del sistema. c) Cuando F0 2, m 1 y k 4, g se convierte en g( ) 2 1(4 2 )2 2 2 48. Considere un sistema resorte/masa no amortiguado descrito por el problema con valores iniciales 2 x F0 sen n t, x(0) 0, x (0) 213 q(0) 5 C e i(0) 0 A. Determine la primera vez en que la carga del capacitor es igual a cero. 50. Calcule la carga del capacitor en un circuito LRC en serie cuando 1 F, E(t) 0 V, q(0) 4 C e i(0) L 14 H, R 20 ", C 300 0 A. ¿Alguna vez la carga en el capacitor es igual a cero? En los problemas 51 y 52 encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito LRC. Determine la carga máxima en el capacitor. 5 51. L 3 H, R 10 ", C i(0) 0 A 52 . L 1 H, R 100 ", q(0) 0 C, i(0) 2 A 1 30 F, E(t) 300 V, q(0) 0 C, C 0.0004 F, E(t) 30 V, 53 . Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie cuando L 1 H, R 2 ", C 0.25 F y E(t) 50 cos tV. . Construya una tabla de valores de #1 y g(#1) que FRUUHVSRQGHQ D ORV FRH¿FLHQWHV GH DPRUWLJXDPLHQ to ȕ 2, ȕ 1, β 34, β 12 , y β 14. Usando XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU REWHQJD ODV JUi¿FDVGHgTXHFRUUHVSRQGHQDHVWRVFRH¿FLHQWHVGHDPRUtiguamiento. Use los mismos ejes de coordenadas. Esta IDPLOLDGHJUi¿FDVVHOODPDcurva de resonancia o curva de respuesta de frecuencia del sistema. ¿A qué valor se aproxima Ȗ1 conforme ȕ A 0? ¿Qué sucede con la curva de resonancia conforme ȕ A 0? d 2x dt2 O 0. a) Para n 2, explique por qué hay una sola frecuencia #12ʌ en la que el sistema está en resonancia pura. b) Para n 3, analice por qué hay dos frecuencias #12ʌ y #22ʌ en las que el sistema está en resonancia pura. c) Suponga que Ȧ 1 y F0 1. Use un programa de solución nuPpULFDSDUDREWHQHUODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQ valores iniciales para n 2 y # #1HQHOLQFLVRD 2EWHQJDOD JUi¿FDGHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVSDUDn 3 que corresponde, a su vez, a # #1 y # #2 en el inciso b). 54. Demuestre que la amplitud de la corriente de estado estable en el circuito LRC en serie del ejemplo 10 está dada por E0=, donde = es la impedancia del circuito. 55. Use el problema 54 para demostrar que la corriente de estado 1 estable en un circuito LRC en serie cuando L 2 H, R 20 ", C 0.001 F, y E(t) 100 sen 60t V, está dada por ip(t) 4.160 sen(60t 0.588). 56. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC 1 cuando L 2 H, R 20 ", C 0.001 F y E(t) 100 sen 60t 200 cos 40t V. 57. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en 1 serie cuando L 2 H, R 10 ", C 0.01 F, E(t) 150 V, q(0) 1 C e i(0) 0 A. ¿Cuál es la carga en el capacitor después de un largo tiempo? 58. Demuestre que si L, R, C y E0 son constantes, entonces la amplitud de la corriente de estado estable del ejemplo 10 es un 1> 1LC . ¿Cuál es la amplitud máxima? máximo cuando 59. Demuestre que si L, R, E0 y # son constantes, entonces la amplitud de la corriente de estado estable en el ejemplo 10 es un máximo cuando la capacitancia es C 1L# 2. 60. Calcule la carga en el capacitor y la corriente en un circuito LC cuando L 0.1 H, C 0.1 F, E(t) 100 sen #t V, q(0) 0 C e i(0) 0 A. 5.1.4 CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO 61. Calcule la carga del capacitor y la corriente en un circuito LC cuando E(t) E0 cos #t V, q(0) q0 C e i(0) i0 A. 49. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC en t 0.01 s cuando L 0.05 H, R 2 ", C 0.01 F, E(t) 0 V, 62. En el problema 61, determine la corriente cuando el circuito está en resonancia. 5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA INTRODUCCIÓN La sección anterior se dedicó a sistemas en los que un modelo matemático de VHJXQGRRUGHQYDDFRPSDxDGRGHFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV(VGHFLUFRQGLFLRQHVVXSOHPHQWDULDVTXHVH HVSHFL¿FDQHQODIXQFLyQGHVFRQRFLGD\VXSULPHUDGHULYDGDHVXQVRORSXQWR3HURFRQIUHFXHQFLDOD descripción matemática de un sistema físico requiere resolver una ecuación diferencial lineal homo- 214 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR JpQHDVXMHWDDFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDHVGHFLUFRQGLFLRQHVHVSHFt¿FDVGHODIXQFLyQGHVFRQRFLGD o en una de sus derivadas o incluso una combinación lineal de la función desconocida y una de sus derivadas en dos (o más) puntos diferentes. eje de simetría a) curva de deflexión b) FIGURA 5.2.1 'HÀH[LyQGHXQDYLJD homogénea. DEFLEXIÓN DE UNA VIGA Muchas estructuras se construyen usando trabes o YLJDV\HVWDVYLJDVVHÀH[LRQDQRGHIRUPDQEDMRVXSURSLRSHVRRSRUODLQÀXHQFLDGH DOJXQDIXHU]DH[WHUQD&RPRYHUHPRVDFRQWLQXDFLyQHVWDGHÀH[LyQy(x) está gobernada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden relativamente simple. Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene secciones transversales uniformes a lo largo de su longitud. En ausencia de carga en la viga (incluyendo su peso), una curva que une los centroides de todas sus secciones transversales es una recta conocida como eje de simetría9HDOD¿JXUD D 6LVH aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetría, la viga, FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E H[SHULPHQWDXQDGLVWRUVLyQ\ODFXUYDTXHFRnecta los centroides de las secciones transversales se llama FXUYDGHGHÀH[LyQ o curva elástica/DFXUYDGHGHÀH[LyQVHDSUR[LPDDODIRUPDGHXQDYLJD$KRUDVXSRQJDTXH el eje xFRLQFLGHFRQHOHMHGHVLPHWUtD\TXHODGHÀH[LyQy(x), medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En la teoría de elasticidad se muestra que el momento de ÀH[LyQM(x) en un punto x a lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación d 2M w(x) . (1) dx 2 $GHPiVHOPRPHQWRGHÀH[LyQM(x) es proporcional a la curvatura ț de la curva elástica M(x) EI , (2) donde E e I son constantes; E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga (respecto a un eje conocido como el eje neutro). El producto EI se llama rigidez f1exional de la viga. Ahora, del cálculo, la curvatura está dada por ț y[1 (y)2]32. Cuando la GHÀH[LyQy(x HVSHTXHxDODSHQGLHQWHy 0, y por tanto [1 ( y)2]32 1. Si se permite que ț y, la ecuación (2) se convierte en M EI y. La segunda derivada de esta última expresión es d 2M d2 d 4y (3) EI 2 y EI 4 . 2 dx dx dx Si se utiliza el resultado en (1) para remplazar d2Mdx2HQ VHYHTXHODGHÀH[LyQ y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden d 4y (4) w(x) . dx4 Las condiciones de frontera asociadas con la ecuación (4) dependen de cómo estén apoyados los extremos de la viga. Una viga en voladizo está empotrada o ¿MD en un extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, un ala de avión y un balcón son ejemplos comunes de tales vigas, pero incluso árboles, astas de banderas, rascacielos y monumentos, actúan como vigas en voladizo, debido a que están empotrados en un H[WUHPR\VXMHWRVDODIXHU]DGHÀH[LyQGHOYLHQWR3DUDXQDYLJDHQYRODGL]RODGHÀH[LyQ y(x GHEHVDWLVIDFHUODVVLJXLHQWHVGRVFRQGLFLRQHVHQHOH[WUHPR¿MRx 0: EI • y(0) SRUTXHQRKD\ÀH[LyQ\ • y(0) SRUTXHODFXUYDGHGHÀH[LyQHVWDQJHQWHDOHMHx (en otras palabras, ODSHQGLHQWHGHODFXUYDGHGHÀH[LyQHVFHURHQHVWHSXQWR En x L las condiciones de extremo libre son • y(L) SRUTXHHOPRPHQWRGHÀH[LyQHVFHUR\ • y(L) 0 porque la fuerza de corte es cero. 5.2 x=0 x=L a) empotrada en ambos extremos MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA O 215 La función F(x) dMdx EI d3ydx3 se llama fuerza de corte. Si un extremo de la viga está apoyado simplemente o abisagrado (a lo que también se conoce como apoyo con perno o fulcro) entonces se debe tener y 0 y y 0 en ese extremo. En la tabla 5.2.1 VHUHVXPHQODVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDTXHVHUHODFLRQDQFRQ 9HDOD¿JXUD EJEMPLO 1 Una viga empotrada Una viga de longitud L HVWi HPSRWUDGD HQ DPERV H[WUHPRV (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ de la viga si una carga constante w0 está uniformemente distribuida a lo largo de su longitud, es decir, w(x) w0, 0 x L. x=0 x=L b) viga en voladizo: empotrada en el extremo izquierdo, libre en el extremo derecho x=0 x=L c) apoyada simplemente en ambos extremos FIGURA 5.2.2 Vigas con varias condiciones de extremo. SOLUCIÓN 'H YHPRVTXHODGHÀH[LyQy(x) satisface EI Extremos de la viga Condiciones frontera empotrados libres apoyados simplemente o abisagrados y 0, y 0, y 0, y 0 y 0 y(0) 0, 1 x y FIGURA 5.2.3 &XUYDGHGHÀH[LyQ para PVF en el ejemplo 1. y (0) 0, 0, y(L) y (L) 0. Se puede resolver la ecuación diferencial no homogénea de la manera usual (determinar yc observando que m 0 es raíz de multiplicidad cuatro de la ecuación auxiliar m4 0 y luego encontrar una solución particular ypSRUFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV o simplemente se integra la ecuación d 4ydx 4 w0 EI sucesivamente cuatro veces. De cualquier modo, se encuentra la solución general de la ecuación y yc yp que es c1 c2 x c3 x2 w0 4 x. 24EI c4 x3 Ahora las condiciones y(0) 0 y y(0) 0 dan, a su vez, c1 0 y c2 0, mientras que w0 4 x las condiciones restantes y(L) 0 y y(L) 0 aplicadas a y(x) c3 x2 c4 x3 24EI producen las ecuaciones simultáneas y 0 0.5 w0 . Debido a que la viga está empotrada tanto en su extremo izquierdo (x 0) como en su extremo derecho (x L QRKD\GHÀH[LyQYHUWLFDO\ODUHFWDGHGHÀH[LyQHVKRUL]RQWDO en estos puntos. Así, las condiciones en la frontera son y(x) TABLA 5.2.1 d4y dx4 c3 L2 c4 L3 2c3 L 3c4 L2 w0 4 L 24EI w0 3 L 6EI 0 0. Resolviendo este sistema se obtiene c3 w0 L 224EI y c4 w0 L12EI. Así que la GHÀH[LyQHV w0 L2 2 w0 L 3 w0 4 y(x) x x x 24EI 12EI 24EI w0 2 o y(x) x (x L)2 . Eligiendo w0 24EI, y L 1, obtenemos la curva de 24EI GHÀH[LyQGHOD¿JXUD EIGENVALORES Y EIGENFUNCIONES Muchos problemas de aplicación requieren que se resuelva un problema con valores en la frontera en dos puntos (PVF) en los que interviene una ecuación diferencial lineal que contiene un parámetro Ȝ. Se buscan los valores de Ȝ para los que el problema con valores en la frontera tiene soluciones no triviales, es decir, no nulas. EJEMPLO 2 Soluciones no triviales de un PVF Resuelva el problema con valores en la frontera y y 0, y(0) 0, y(L) 0. 216 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SOLUCIÓN Consideraremos tres casos: Ȝ 0, Ȝ 0 y Ȝ 0. CASO I: Para Ȝ 0 la solución de y 0 es y c1x c2. Las condiciones y(0) 0 y y(L) 0 aplicadas a esta solución implican, a su vez, c2 0 y c1 0. Por tanto, para Ȝ 0 la única solución del problema con valores en la frontera es la solución trivial y 0. 2EVHUYHTXHDTXtVHHPSOHDQIXQciones hiperbólicas. Vuelva a leer “Dos ecuaciones que vale la pena conocer” , de la página 137. CASO II: Para Ȝ 0 es conveniente escribir Ȝ Į2, donde Į denota un número positivo. Con esta notación las raíces de la ecuación auxiliar m2 Į2 0 son ml Į y m2 Į3XHVWRTXHHOLQWHUYDORHQHOTXHVHHVWiWUDEDMDQGRHV¿QLWRVHHOLJHHVFULELU la solución general de y Į2y 0 como y c1 cosh Į[ c2 senh Į[ Ahora y(0) es c1 cosh 0 y(0) c2 senh 0 c1 1 c2 0 c1, y por tanto, y(0) VLJQL¿FDTXHc1 0. Así y c2 senh Į[. La segunda condición y(L) 0 requiere que c2 senh Į/ 0. Para Į 0, senh Į/ 0; en consecuencia, se está forzado a elegir c2 0. De nuevo la solución del PVF es la solución trivial y 0. CASO III: Para Ȝ 0 se escribe Ȝ Į2, donde Į es un número positivo. Debido a que la ecuación auxiliar m2 Į2 0 tiene raíces complejas ml LĮ y m2 LĮ, la solución general de y Į2y 0 es y c1 cos Į[ c2 sen Į[. Como antes, y(0) 0 produce c1 0 y por tanto y c2 sen Į[. Ahora la última condición y(L) 0, o 0, c2 sen L se satisface al elegir c2 3HURHVWRVLJQL¿FDTXHy 0. Si se requiere c2 0, entonces sen Į/ 0 se satisface siempre que Į/ sea un múltiplo entero de ʌ. L n L o n o n n L 2 n 2 , 1, 2, 3, . . . . n Por tanto, para cualquier número real c2 distinto de cero, yn (x) c2 sen(Qʌ[L) es una solución del problema para cada n. Debido a que la ecuación diferencial es homogénea, cualquier múltiplo constante de una solución también es una solución, así que si se desea se podría simplemente tomar c2 1. En otras palabras, para cada número de la sucesión 2 1 2 L , 2 4 2 , L2 9 2 , L2 3 , la función correspondiente en la sucesión y1 –1 L x, y2 sen 2 x, L es una solución no trivial del problema y n 1, 2, 3, . . . , respectivamente. y 1 sen n=2 n=1 n=4 n=3 n=5 FIGURA 5.2.4 *Ui¿FDVGHODV eigenfunciones yn = sen(Qʌ[L), para n = 1, 2, 3, 4, 5 y3 y n sen 3 x, L , 0, y(0) 0, y(L) 0 para Los números Ȝn n 2ʌ2 L 2, n 1, 2, 3, . . . para los cuales el problema con valores en la frontera del ejemplo 2 tiene soluciones no triviales que se conocen como eigenvalores (valores propios). Las soluciones no triviales que dependen de estos x valores de Ȝ n, y n (x ) c 2 sen (Qʌ[ L) o simplemente y n (x ) sen(Qʌ[ L), se L llaman eigenfunciones IXQFLRQHV SURSLDV /DV JUi¿FDV GH ODV HLJHQIXQFLRQHV para n VHPXHVWUDQHQOD¿JXUD2EVHUYHTXHFDGDOtQHDJUD¿FDGD pasa por los dos puntos (0, 0) y (0, L) EJEMPLO 3 Vuelta al ejemplo 2 Se entiende del ejemplo 2 y la discusión anterior que el problema con valores en la frontera: y 5y 0, y(0) 0, y(L) 0 posee solamente la solución trivial y 0 porque 5 no es un eigenvalor. 5.2 y x L EI 217 d 2y dx 2 Py EI o d 2y dx 2 0, Py (5) donde E es el módulo de Young para la elasticidad e I es el momento de inercia de una sección transversal respecto a una recta vertical que pasa por su centroide. x=L a) O PANDEO DE UNA COLUMNA VERTICAL DELGADA En el siglo XVIII, Leonhard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar un problema con eigenvalores y analizar cómo se pandea una columna elástica delgada bajo una fuerza axial compresiva. Considere una columna vertical larga y delgada de sección transversal uniforme y longitud L. Sea y(x ODGHÀH[LyQGHODFROXPQDFXDQGRVHDSOLFDHQODSDUWHVXSHULRUXQD fuerza compresiva vertical constante, una carga P,FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD$O FRPSDUDUORVPRPHQWRVGHÀH[LyQHQDOJ~QSXQWRDORODUJRGHODFROXPQDVHREWLHQH P x=0 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EJEMPLO 4 b) FIGURA 5.2.5 Pandeo de una columna elástica bajo una fuerza compresiva. La carga de Euler (QFXHQWUHODGHÀH[LyQGHXQDFROXPQDKRPRJpQHDYHUWLFDO\GHOJDGDGHORQJLWXGL sujeta a una carga axial constante PVLODFROXPQDVH¿MDFRQELVDJUDVHQDPERVH[WUHPRV SOLUCIÓN El problema con valores en la frontera por resolver es EI d 2y dx 2 0, y(0) Py 0, 0. y(L) Primero observe que y 0 es una solución muy buena de este problema. Esta solución tiene una simple interpretación intuitiva: Si la carga PQRHVVX¿FLHQWHPHQWHJUDQGH QRKD\GHÀH[LyQ(QWRQFHVODSUHJXQWDHVHVWD¢SDUDTXpYDORUHVGHP se dobla la columna? En términos matemáticos: ¿para qué valores de P el problema con valores en la frontera tiene soluciones no triviales? Al escribir Ȝ PEI, vemos que y y 0, y(0) 0, y(L) 0 es idéntico al problema del ejemplo 2. Del caso III de esa descripción se ve que las deÀH[LRQHV VRQ yn(x) c2 sen(Qʌ[L) que corresponden a los eigenvalores Ȝn Pn EI n2ʌ2 L 2, n 'HVGHHOSXQWRGHYLVWDItVLFRHVWRVLJQL¿FDTXH ODFROXPQDH[SHULPHQWDÀH[LyQVyORFXDQGRODIXHU]DFRPSUHVLYDHVXQRGHORVYDORUHV Pn n 2ʌ2EIL 2, n 1, 2, 3, . . . Estas fuerzas diferentes se llaman cargas críticas. La GHÀH[LyQFRUUHVSRQGLHQWHDODFDUJDFUtWLFDPiVSHTXHxDP1 ʌ2EIL 2, llamada carga de Euler, es y1(x) c2 sen(ʌ[L) y se conoce como primer modo de pandeo. y y y /DV FXUYDV GH GHÀH[LyQ GHO HMHPSOR TXH FRUUHVSRQGHQ D n 1, n 2 y n 3 VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD 2EVHUYH TXH VL OD FROXPQD RULJLQDO WLHQH DOJXQD clase de restricción física en x L HQWRQFHV OD FDUJD FUtWLFD PiV SHTXHxD VHUi P2 4ʌ2EIL 2\ODFXUYDGHGHÀH[LyQVHUiFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E 6L se ponen restricciones a la columna en x L3 y en x 2L3, entonces la columna no se pandea hasta que se aplica la carga crítica P3 9ʌ2EIL 2\ODFXUYDGHGHÀH[LyQ VHUiFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD F 9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV CUERDA GIRANDO La ecuación diferencial lineal de segundo orden y L x L x a) L x b) c) FIGURA 5.2.6 &XUYDVGHGHÀH[LyQ que corresponden a las fuerzas compresivas P1, P2, P3. y 0 (6) se presenta una y otra vez como un modelo matemático. En la sección 5.1 vimos que la ecuación (6) en las formas d 2xdt2 (km)x 0 y d 2qdt2 (1LC)q 0 son modelos para el movimiento armónico simple de un sistema resorte/masa y la respuesta armónica simple de un circuito en serie, respectivamente. Es evidente cuando HOPRGHORSDUDODGHÀH[LyQGHXQDFROXPQDGHOJDGDHQ VHHVFULEHFRPRd 2ydx2 (PEI) y 0 que es lo mismo que (6). Se encuentra la ecuación básica (6) una vez más en HVWDVHFFLyQFRPRXQPRGHORTXHGH¿QHODFXUYDGHGHÀH[LyQRODIRUPDy(x) que adopta 218 CAPÍTULO 5 O MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR una cuerda girando. La situación física es similar a cuando dos personas sostienen una cuerda SDUDVDOWDU\ODKDFHQJLUDUGHXQDPDQHUDVLQFURQL]DGD9HDOD¿JXUD D \ E Suponga que una cuerda de longitud L con densidad lineal constante ȡ (masa por unidad de longitud) se estira a lo largo del eje x\VH¿MDHQx 0 y x L. Suponga que la cuerda se hace girar respecto al eje a una velocidad angular constante Ȧ. Considere una porción de la cuerda en el intervalo [x, x $x], donde $xHVSHTXHxD6LODPDJnitud T de la tensión T que actúa tangencial a la cuerda, es constante a lo largo de ésta, entonces la ecuación diferencial deseada se obtiene al igualar dos formulaciones distintas de la fuerza neta que actúa en la cuerda en el intervalo [x, x $x]. Primero, YHPRVHQOD¿JXUD F VHYHTXHODIXHU]DYHUWLFDOQHWDHV a) ω y(x) x=0 T sen F x=L b) T2 θ2 θ1 T sen 1 . 2 (7) Cuando los ángulos ș1 y ș2 PHGLGRVHQUDGLDQHV VRQSHTXHxRVVHWLHQHVHQș2 tan ș2 y sen ș1 tan ș1. Además, puesto que tan ș2 y tan ș1, son, a su vez, pendientes de las rectas que contienen los vectores T2 y T1 también se puede escribir tan y (x 2 x) y tan 1 y (x). Por tanto, la ecuación (7) se convierte en T [ y (x F T1 x + Δx x x c) FIGURA 5.2.7 Cuerda girando y fuerzas que actúan sobre ella. x) y (x)] . (8) Segundo, se puede obtener una forma diferente de esta misma fuerza neta usando la segunda ley de Newton, F ma. Aquí la masa del resorte en el intervalo es m ȡ $x; la aceleración centrípeta de un cuerpo que gira con velocidad angular Ȧ en un círculo de radio r es a UȦ2. Con $xSHTXHxDVHWRPDr y. Así la fuerza vertical neta es también aproximadamente igual a F ( x)y 2, (9) donde el signo menos viene del hecho de que la aceleración apunta en la dirección opuesta a la dirección y positiva. Ahora, al igualar (8) y (9), se tiene cociente de diferencias T[y(x $x) y(x)] (r$x)yv2 y(x $x) y(x) T ––––––––––––––––– rv2y 0. $x o (10) Para $x cercana a cero el cociente de diferencias en (10) es aproximadamente la segunda derivada d2ydx2. Por último, se llega al modelo d2y 2 y 0. (11) dx2 Puesto que la cuerda está anclada en sus extremos en x 0 y x L, esperamos que la solución y(x) de la ecuación (11) satisfaga también las condiciones frontera y(0) 0 y y(L) 0. T COMENTARIOS i) Los eigenvalores no siempre son fáciles de encontrar, como sucedió en el ejemplo 2; es posible que se tengan que aproximar las raíces de ecuaciones como tan x x, o cos x cosh x 1. Véanse los problemas 32 a 38 en los ejercicios 5.2. ii) Las condiciones de frontera aplicadas a una solución general de una ecuación diferencial dan lugar a un sistema algebraico homogéneo de ecuaciones OLQHDOHVHQODVTXHODVLQFyJQLWDVVRQORVFRH¿FLHQWHVci de la solución general. Un sistema algebraico homogéneo de ecuaciones lineales es siempre consistente porque por lo menos tiene una solución trivial. Pero un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene una solución no trivial si y sólo si HOGHWHUPLQDQWHGHORVFRH¿FLHQWHVHVLJXDODFHUR3RGUtDVHUQHFHVDULRXVDUHVWH último hecho en los problemas 21, 22 y 32 de los ejercicios 5.2. 5.2 EJERCICIOS 5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA 219 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8. Deflexión de una viga En los problemas 1-5 resuelva la ecuación (4) sujeta a las condiciones de frontera adecuadas. La viga es de longitud L y w0 es una constante. 1. a) O (QFXHQWUHODGHÀH[LyQGHODYLJDHQYRODGL]RVLw(x) w0 x, 0 x L y y(0) 0, y(L) 0. y L La viga está empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho y w(x) w0, 0 x L. b) 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYDGHGHÀH[LyQFXDQGRw0 24EI y L 1. 2. a) La viga está apoyada simplemente en ambos extremos, y w(x) w0, 0 x L. b) 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYDGHGHÀH[LyQFXDQGRw0 24EI y L 1. 3 . a) La viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada simplemente en su extremo derecho, y w(x) w0, 0 x L. b) 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYDGHGHÀH[LyQFXDQGRw0 48EI y L 1. 4. a) La viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada simplemente en su extremo derecho, y w(x) w0 sen(ʌ[L), 0 x L. w0 x P O x x FIGURA 5.2.8 'HÀH[LyQGHODYLJDHQYRODGL]RGHOSUREOHPD 8. Cuando se aplica una fuerza compresiva en lugar de una fuerza de tensión en el extremo libre de la viga del problema 7, la ecuaFLyQGLIHUHQFLDOGHODGHÀH[LyQHV EIy x w(x) . 2 Py Resuelva esta ecuación si w(x) w0x, 0 y(L) 0. x L, y y(0) 0, b) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYDGH GHÀH[LyQFXDQGRw0 2 ʌ3EI y L 1. Eigenvalores y funciones propias c) 8VDQGRXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDHQFRQWUDUUDtFHV R GHXQDFDOFXODGRUDJUi¿FD DSUR[LPHHOSXQWRHQODJUi¿FD GHOLQFLVRE HQHOTXHRFXUUHODPi[LPDGHÀH[LyQ¢&XiOHV ODPi[LPDGHÀH[LyQ" En los problemas 9-20 determine los eigenvalores y las eigenfunciones del problema con valores en la frontera dado. 9. y Ȝ\ 0, y(0) 0, y(ʌ) 0 10. y Ȝ\ 0, y(0) 0, y(ʌ4) 0 11. y Ȝ\ 0, y(0) 0, y(L) 0 b) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYDGH GHÀH[LyQFXDQGRw0 36EI y L 1. 12. y Ȝ\ 0, y(0) 0, y(ʌ2) 0 13. y Ȝ\ 0, y(0) 0, y(ʌ) 0 c) 8VDQGR XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD HQFRQWUDU UDtFHV GHXQ6$& RGHXQDFDOFXODGRUDJUi¿FD DSUR[LPHHOSXQWR HQODJUi¿FDGHOLQFLVRE HQHOTXHRFXUUHODPi[LPDGHÀH[LyQ¢&XiOHVODPi[LPDGHÀH[LyQ" 14. y Ȝ\ 0, y(ʌ) 0, 5. a) La viga está simplemente soportada en ambos extremos y w(x) w0 x, 0 x L. 6. a) &DOFXOHODGHÀH[LyQPi[LPDGHODYLJDHQYRODGL]RGHOSURblema 1. b) ¿Cómo se compara con el valor del inciso a) con la deÀH[LyQPi[LPDGHXQDYLJDTXHWLHQHODPLWDGGHODUJR" c) (QFXHQWUHODGHÀH[LyQPi[LPDGHODYLJDDSR\DGDGHOSURblema 2. d) ¢&yPRVHFRPSDUDODGHÀH[LyQPi[LPDGHODYLJDFRQDSR\RVVLPSOHVGHOLQFLVRF FRQHOYDORUGHODGHÀH[LyQPi[LPD de la viga empotrada del ejemplo 1? 7. Una viga en voladizo de longitud L está empotrada en su extremo derecho y se aplica una fuerza de P N en su extremo izquierdo libre. Cuando el origen se toma como su extremo OLEUHFRPRVHLOXVWUDHQOD¿JXUDVHSXHGHGHPRVWUDUTXHOD GHÀH[LyQy(x) de la viga satisface la ecuación diferencial EIy Py x w(x) . 2 15. y 2y (Ȝ 1)y 0, 16. y (Ȝ 1)y 0, y(ʌ) 0 y(0) 0, y(0) 0, y(1) 0 17. x y xy Ȝ\ 0, y(1) 0, 18. x 2y xy Ȝ\ 0, y(e1) 0, 19. x y xy Ȝ\ 0, y(1) 0, 20. x 2y xy Ȝ\ 0, y(1) 0, 2 2 y(5) 0 y(eʌ) 0 y(1) 0 y(e2) 0 y(e) 0 En los problemas 21 y 22 determine los eigenvalores y las eigenfunciones del problema con valores en la frontera dado. Considere sólo el caso Ȝ Į4, Į 0. [Sugerencia/HD LL HQODV2EVHUYDFLRQHV@ 21. y (4) Ȝ\ 0, y(0) 0, y(0) 0, 22. y (4) Ȝ\ 0, y(0) 0, y (0) 0, y(1) 0, y(1) 0 y(ʌ) 0, y(ʌ) 0 Pandeo de una columna delgada 23. &RQVLGHUHOD¿JXUD¢'yQGHVHGHEHQFRORFDUHQODFROXPQD las restricciones físicas si se quiere que la carga crítica sea P4? 'LEXMHODFXUYDGHGHÀH[LyQFRUUHVSRQGLHQWHDHVWDFDUJD 220 CAPÍTULO 5 O MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 24. Las cargas críticas de columnas delgadas dependen de las condiciones de extremo de la columna. El valor de la carga de Euler P1 en el ejemplo 4 se obtuvo bajo la suposición de que la columna estaba abisagrada por ambos extremos. Suponga que una columna vertical homogénea delgada está empotrada en su base (x 0) y libre en su parte superior (x L) y que se aplica una carga axial constante P en su extremo libre. (VWDFDUJDFDXVDXQDGHÀH[LyQSHTXHxDį como se muestra en la ¿JXUDRQRFDXVDWDOGHÀH[LyQ(QFXDOTXLHUFDVRODHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOSDUDODGHÀH[LyQy(x) es 2 d y EI 2 dx P . Py x rotación angular Ȧn como los valores de Ȧ para los cuales el problema con valores en la frontera tiene soluciones no triviales. Determine las rapideces críticas Ȧn\ODVGHÀH[LRQHVFRUUHVpondientes yn(x). 28. Cuando la magnitud de la tensión T no es constante, entonces XQPRGHORSDUDODFXUYDGHGHÀH[LyQRIRUPDy(x) que toma una cuerda rotatoria está dado por d dy T(x) dx dx x Suponga que 1 2 y 0. e y que T(x) x2. a) Si y(l) 0, y(e) 0 y ȡȦ2 0.25, demuestre que las velocidades críticas de rotación angular son 1 2 2 1)> \ODVGHÀH[LRQHVFRUUHVSRQn 2 2(4n dientes son P x=L Para T y ȡ FRQVWDQWHV GH¿QD ODV rapideces críticas de la δ yn(x) c2 x12 sen(Qʌ ln x), n 1, 2, 3, . . . . b) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVFXUYDVGH GHÀH[LyQVREUHHOLQWHUYDOR>e] para n 1, 2, 3. Elija c2 1. Diferentes problemas con valores en la frontera x=0 y FIGURA 5.2.9 'HÀH[LyQGHODFROXPQDYHUWLFDOGHOSUREOHPD a) ¢&XiOHVODGHÀH[LyQSUHGLFKDFXDQGRį 0? b) Cuando į 0, demuestre que la carga de Euler para esta columna es un cuarto de la carga de Euler para la columna que está abisagrada del ejemplo 4. 25. Como se mencionó en el problema 24, la ecuación diferencial TXHJRELHUQDODGHÀH[LyQy(x) de una columna elástica delgada sujeta a una fuerza axial compresiva constante P es válida sólo cuando los extremos de la columna están abisagrados. En JHQHUDOODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHJRELHUQDODGHÀH[LyQGHOD columna está dada por d 2y d2 EI dx 2 dx 2 P d 2y dx 2 26. Suponga que una columna elástica delgada y uniforme está abisagrada en el extremo x 0 y empotrada en el extremo x L. a) Use la ecuación diferencial de cuarto orden del problema 25 para encontrar los valores propios Ȝn, las cargas críticas Pn, la carga de Euler P1\ODVGHÀH[LRQHVyn(x). b 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHO primer modo de pandeo. Cuerda girando 27. Considere el problema con valores en la frontera presentado en la construcción del modelo matemático para la forma de una cuerda girando: T d y dx 2 2 y 0, y(0) 0, r d 2u dr 2 2 du dr 0, u0 , u(a) u 1, u(b) donde u0 y u1 son constantes. Resuelva para u(r). u = u1 u = u0 0. Suponga que la columna es uniforme (EI es una constante) y que los extremos de la columna están abisagrados. Demuestre que la solución de esta ecuación diferencial de cuarto orden sujeta a las condiciones límite y(0) 0, y(0) 0, y(L) 0, y(L) 0 es equivalente al análisis del ejemplo 4. 2 29. Temperatura en una esfera Considere dos esferas concéntricas de radio r a y r b, a b9HDOD¿JXUD/D temperatura u(r) en la región entre las esferas se determina del problema con valores en la frontera y(L) 0. FIGURA 5.2.10 Esferas concéntricas del problema 29. 30. Temperatura en un anillo La temperatura u(r) en el anillo FLUFXODUPRVWUDGRHQOD¿JXUDVHGHWHUPLQDDSDUWLUGHO problema con valores en la frontera r d 2u dr 2 du dr 0, u0 , u(a) a u(b) u1, b u = u0 u = u1 FIGURA 5.2.11 Anillo circular del problema 30. 5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA donde u0 y u1 son constantes. Demuestre que u(r) u0 ln(r>b) u1 ln(r>a) . ln(a>b) 31. Rotación de un eje Supongamos que el eje x sobre el intervalo [0, L] es el centro geométrico de un eje largo y recto, como el HMHGHODKpOLFHGHXQEDUFR9pDVHOD¿JXUD&XDQGRHOHMH está girando con una rapidez angular constante Ȧ sobre este eje la desviación y(x) del eje satisface la ecuación diferencial d 4y 2 ␳ ␻ 2 y 5 0, dx 4 donde ȡ es su densidad por unidad de longitud. Si el eje está simplemente apoyado o con bisagras, en ambos extremos entonces las condiciones de límite son EI y(0) 5 0, y0(0) 5 0, y(L) 5 0, y0(L) 5 0. a) 6L Ȝ = Į4 = ȡȦ2/EI OXHJR HQFXHQWUH ORV HLJHQYDORUHV \ HLJHQIXQFLRQHV SDUD HVWH SUREOHPD GH YDORU D OD IURQWHUD b) 8WLOLFHORVHLJHQYDORUHVȜnHQHOLQFLVRD SDUDHQFRQ WUDUODVUDSLGHFHVDQJXODUHVƷnFRUUHVSRQGLHQWHV/RVYD lores Ȧn se llaman rapideces críticas(OYDORUȦ se llama rapidez crítica fundamental y, análogo al ejemplo 4, con HVWDUDSLGH]HOHMHFDPELDGHy DXQDGHÁH[LyQGHy(x 221 O cuando se libere cada masa en la posición de equilibrio en t 0 con una velocidad v0 diferente de cero, pase por la posición de equilibrio en t 1 segundo. ¿Cuántas veces pasa cada masa mn por la posición de equilibrio en el intervalo de tiempo 0 t 1? 34. Movimiento amortiguado Suponga que el modelo para el sistema resorte/masa del problema 33 se reemplaza por mx 2x kx 0. En otras palabras el sistema es libre pero está sujeto a amortiguamiento numéricamente igual a dos veces la velocidad instantánea. Con las mismas condiciones iniciales y la constante de resorte del problema 33, investigue si es posible encontrar una masa m que pase por la posición de equilibrio en t 1 segundo. En los problemas 35 y 36, determine si es posible encontrar valores y0 y y1 (problema 35) y valores de L 0 (problema 36) tal que el problema con valores iniciales tenga a) exactamente una solución no trivial, b) más de una solución, c) ninguna solución, d) la solución trivial. 35. y 16y 0, y(0) y0, y(ʌ2) y1 36. y 16y 0, y(0) 1, y(L) 1 37. Considere el problema con valores en la frontera y 0, y( y ) y( ), y ( ) y ( ). a) $OWLSRGHFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDHVSHFL¿FDGDVVHOHOODman condiciones frontera periódicas. Dé una interpretación geométrica de estas condiciones. © National Archives and Records Administration b) Determine los eigenvalores y las eigenfunciones del problema. FIGURA 5.2.12 Eje de la hélice del acorazado USS Missouri. 32. En el pUREOHPDVXSRQJDTXH/ 6LHOHMHHV¿MRHQDPERV extremos las condiciones frontera son y(0) = 0, y’(0) = 0, y(1) = 0, y’(1) = 0. a) 'HPXHVWUHTXHORVHLJHQYDORUHVƪQ Ơn4VHGHÀQHQSRU ODVUDtFHVSRVLWLYDVGHFRVƠFRVKƠ >6XJHUHQFLDYHDODV LQVWUXFFLRQHVSDUDSUREOHPDV\@ b) 'HPXHVWUHTXHODVHLJHQIXQFLRQHV yn(x) (sen Įn senh Įn)(cos Įnx cosh Įnx) + (cos Įn cosh Įn)(sen Įnx senh Įnx). Problemas para analizar 33. Movimiento armónico simple El modelo mx kx 0 para el movimiento armónico simple, que se analizó en la sección 5.1, se puede relacionar con el ejemplo 2 de esta sección. Considere un sistema resorte/masa libre no amortiguado para el cual la constante de resorte es, digamos, k 10 N/m. Determine las masas mn que se pueden unir al resorte para que c) 8 VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUDOJXQDVGHODV eigenfunciones. Compruebe su interpretación geométrica de las condiciones frontera dadas en el inciso a). 38. Muestre que los eigenvalores y las eigenfunciones del problema con valores en la frontera y y 0, y(0) 0, y(1) y (1) 0 2 n son n y yn (x sen Įn x, respectivamente, donde Įn, n 1, 2, 3, ... son las raíces positivas consecutivas de la ecuación tan Į Į. Tarea para el laboratorio de computación 39. 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿FDVTXHORFRQYHQ]DQGHTXHOD ecuación tan Į ĮGHOSUREOHPDWLHQHXQLQ¿QLWRGHUDtFHV Explique por qué se pueden despreciar las raíces negativas de la ecuación. Explique por qué Ȝ 0 no es un eigenvalor aun cuando Į 0 es una solución obvia de la ecuación tan Į Į. 40. Usando un programa para determinar raíces de un SAC, aproxime los primeros cuatro eigenvalores Ȝ1, Ȝ2, Ȝ3 y Ȝ4 para el PVF del problema 38. 41. Utilice un SAC para aproximar los primeros cuatro eigenvalores Ȝ1Ȝ2Ȝ3\Ȝ4 del problema de valores a la frontera y0 1 ␭y 5 0, y(0) 5 0, y(1) 2 12 y9(1) 5 0. Dé las eigenfunciones aproximadas correspondientes y1(x), y2(x), y3(x), y y4(x). 42. Utilice un SAC para aproximar los eigenvalores Ȝ1, Ȝ2, Ȝ3, y Ȝ4 GH¿QLGRVSRUODHFXDFLyQHQHOLQFLVRD GHOSUREOHPD 222 O CAPÍTULO 5 5.3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR MODELOS NO LINEALES INTRODUCCIÓN En esta sección se examinan algunos modelos matemáticos no lineales de orden superior. Algunos de estos modelos se pueden resolver usando el método de sustitución (lo que conduce a la reducción de orden de la ED) presentado en la sección 4.10. En algunos casos donde no se puede resolver el modelo, se muestra cómo se reemplaza la ED no lineal por una ED lineal mediante un proceso conocido como linealización. RESORTES NO LINEALES El modelo matemático en (1) de la sección 5.1 tiene la forma d 2x (1) F(x) 0 , m 2 dt donde F(x) kx. Debido a que x denota el desplazamiento de la masa desde su posición de equilibrio, F(x) kx es la ley de Hooke, es decir, la fuerza ejercida por el resorte que tiende a restaurar la masa a la posición de equilibrio. Un resorte que actúa bajo una fuerza restauradora lineal F(x) kx se llama resorte lineal. Pero los resortes pocas veces son lineales. Dependiendo de cómo esté construido y del material utilizado, un UHVRUWHSXHGHYDULDUGHVGH³ÀH[LEOH´RVXDYHKDVWD³UtJLGR´RGXURSRUORTXHVXIXHU]D restauradora puede variar respecto a la ley lineal. En el caso de movimiento libre, si se supone que un resorte en buen estado tiene algunas características no lineales, entonces podría ser razonable suponer que la fuerza restauradora de un resorte, es decir, F(x) en la ecuación (1), sea proporcional al cubo del desplazamiento x de la masa más allá de su posición de equilibrio o que F(x) sea una combinación lineal de potencias del desplazamiento como el que se determina mediante la función no lineal F(x) kx k1x3. Un resorte cuyo modelo matemático incorpora una fuerza restauradora no lineal, como d 2x d 2x 3 kx 0 m kx k1 x3 0, o (2) dt 2 dt 2 se llama resorte no lineal. Además, se examinan modelos matemáticos en los que el amortiguamiento impartido al movimiento era proporcional a la velocidad instantánea dxdt y la fuerza restauradora de un resorte está dada por la función lineal F(x) kx. Pero estas fueron suposiciones muy simples; en situaciones más reales, el amortiguamiento podría ser proporcional a alguna potencia de la velocidad instantánea dxdt. La ecuación diferencial no lineal m m d2x dt 2 dx dx dt dt kx (3) 0 es un modelo de un sistema libre resorte/masa en el que la fuerza de amortiguamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad. Así que es posible imaginar otras clases de modelos: amortiguamiento lineal y fuerza restauradora no lineal, amortiguamiento no lineal y fuerza restauradora no lineal, etcétera. El punto es que las características no lineales de un sistema físico dan lugar a un modelo matemático que es no lineal. 2EVHUYHHQ TXHWDQWRF(x) kx3 como F(x) kx k1x3 son funciones impares de x. Para ver por qué una función polinomial que contiene sólo potencias impares de x proporciona un modelo razonable para la fuerza restauradora, se expresa a F como una serie de potencias centrada en la posición de equilibrio x 0: F(x) c0 c1 x c2 x2 c3 x3 . Cuando los desplazamientos xVRQSHTXHxRVORVYDORUHVGHx nVRQLQVLJQL¿FDQWHVSDUD nVX¿FLHQWHPHQWHJUDQGH6LVHWUXQFDODVHULHGHSRWHQFLDVSRUHMHPSORHQHOFXDUWR término, entonces F(x) c 0 c1 x c 2 x 2 c 3 x 3. Para la fuerza en x 0, F(x) c0 c1 x c2 x2 c3 x3, 5.3 F resorte duro resorte lineal y para que la fuerza en x O 223 0, F( x) resorte suave MODELOS NO LINEALES c0 c2 x2 c1 x c3 x3 tenga la misma magnitud pero actúe en dirección contraria, se debe tener F(x) F(x 'HELGRDTXHHVWRVLJQL¿FDTXHF es una función impar, se debe tener c0 0 y c2 0 y por tanto, F(x) c1x c3x3. Si se hubieran usado sólo los primeros dos términos de la serie, el mismo argumento produce la función lineal F(x) c1x. Se dice que una fuerza restauradora con potencias mixtas, como F(x) c1x c2x2 y las vibraciones correspondientes, son asimétricas. En el análisis siguiente se escribe c1 k y c3 k1. x FIGURA 5.3.1 Resortes duros y suaves. x x(0)=2, x'(0)=_3 RESORTES DUROS Y SUAVES Analicemos con más detalle la ecuación (1) para el caso en que la fuerza restauradora está dada por F(x) kx klx3, k 0. Se dice que el resorte es duro si kl 0 y suave si kl /DVJUi¿FDVGHWUHVWLSRVGHIXHU]DVUHVWDXUDGRUDVVHPXHVWUDQHQOD¿JXUD(QHOHMHPSORVLJXLHQWHVHLOXVWUDQ estos dos casos especiales de la ecuación diferencial md 2xdt 2 kx k 1x 3 0, m 0, k 0. t EJEMPLO 1 Comparación de resortes duros y suaves Las ecuaciones diferenciales x(0)=2, x'(0)=0 a) resorte duro y x x(0)=2, x'(0)=0 t x(0)=2, x'(0)=_3 b) resorte suave FIGURA 5.3.2 Curvas de solución numérica. O θ l mg sen θ P mg cos θ θ W = mg FIGURA 5.3.3 Péndulo simple. d 2x dt 2 x x3 0 (4) d 2x dt 2 x x3 0 (5) son casos especiales de la segunda ecuación en (2) y son modelos de un resorte duro y uno VXDYHUHVSHFWLYDPHQWH(QOD¿JXUD D VHPXHVWUDQGRVVROXFLRQHVGH \HQOD ¿JXUD E GRVVROXFLRQHVGH REWHQLGDVGHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD/DV curvas mostradas en rojo son soluciones que satisfacen las condiciones iniciales x(0) 2, x(0) 3; las dos curvas en rojo son soluciones que satisfacen x(0) 2, x(0) 0. Desde luego estas curvas solución indican que el movimiento de una masa en el resorte GXURHVRVFLODWRULRPLHQWUDVTXHHOPRYLPLHQWRGHXQDPDVDHQHOUHVRUWHÀH[LEOHDO parecer es no oscilatorio. Pero se debe tener cuidado respecto a sacar conclusiones con base en un par de curvas de solución numérica. Un cuadro más complejo de la naturaleza de las soluciones de ambas ecuaciones se obtiene del análisis cualitativo descrito en el capítulo 10, en la versión ampliada con problemas con valores en la frontera. PÉNDULO NO LINEAL Cualquier objeto que oscila de un lado a otro se llama péndulo físico. El péndulo simple es un caso especial del péndulo físico y consiste en una varilla de longitud lDODTXHVH¿MDXQDPDVDm en un extremo. Al describir el movimiento de un péndulo simple en un plano vertical, se hacen las suposiciones GHVLPSOL¿FDFLyQGHTXHODPDVDGHODYDULOODHVGHVSUHFLDEOH\TXHQLQJXQDIXHU]D externa de amortiguamiento o motriz actúa sobre el sistema. El ángulo de desplazamiento șGHOSpQGXORPHGLGRGHVGHODYHUWLFDOFRPRVHLOXVWUDHQOD¿JXUDVH considera positivo cuando se mide a la derecha de OP y negativo a la izquierda de OP. Ahora recuerde que el arco s de un círculo de radio l se relaciona con el ángulo central ș por la fórmula s Oș. Por tanto, la aceleración angular es d2 d 2s . a l dt 2 dt 2 De la segunda ley de Newton tenemos que d2 F ma ml 2 . dt 'H OD ¿JXUD VH YH TXH OD PDJQLWXG GH OD FRPSRQHQWH WDQJHQFLDO GH OD IXHU]D debida al peso W es mg sen ș. En cuanto a dirección esta fuerza es mg sen ș porque 224 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR apunta a la izquierda para ș 0 y a la derecha para ș 0. Se igualan las dos versiones distintas de la fuerza tangencial para obtener ml d 2șdt 2 mg sen ș, o d2 dt2 g sen l 0. (6) LINEALIZACIÓN Como resultado de la presencia de sen ș, el modelo en (6) es no lineal. En un intento por entender el comportamiento de las soluciones de ecuaciones GLIHUHQFLDOHVQROLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRUHQRFDVLRQHVVHWUDWDGHVLPSOL¿FDUHOSURblema sustituyendo términos no lineales por ciertas aproximaciones. Por ejemplo, la serie de Maclaurin para sen ș, está dada por 3 5 ... 3! 5! así que si se usa la aproximación sen ș ș ș3 6, la ecuación (6) se convierte en d 2 șdt 2 (gl)ș (g6l)ș3 2EVHUYHTXHHVWD~OWLPDHFXDFLyQHVODPLVPDTXH la segunda ecuación lineal en (2) con m 1, k gl y k1 g6l. Sin embargo, si se supone que los desplazamientos șVRQVX¿FLHQWHPHQWHSHTXHxRVSDUDMXVWL¿FDUHO uso de la sustitución sen ș ș, entonces la ecuación (6) se convierte en sen d2 dt2 g l 0. (7) Vea el problema 25 en los ejercicios 5.3. Si se hace Ȧ2 gl, se reconoce a (7) como la ecuación diferencial (2) de la sección 5.1 que es un modelo para las vibraciones libres no amortiguadas de un sistema lineal resorte/masa. En otras palabras (7) es de nuevo la ecuación lineal básica y Ȝ\ 0 analizada en las páginas 215-216 de la sección 5.2. Como consecuencia se dice que la ecuación (7) es una linealización de la ecuación (6). Debido a que la solución general de (7) es ș(t) c1 cos ȦW c 2 sen ȦW, esta linealizaFLyQLQGLFDTXHSDUDFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVFRUUHVSRQGLHQWHVDRVFLODFLRQHVSHTXHxDVHO movimiento del péndulo descrito por (6) es periódico. EJEMPLO 2 Dos problemas con valores iniciales /DVJUi¿FDVGHOD¿JXUD D VHREWXYLHURQFRQD\XGDGHXQSURJUDPDGHVROXFLyQ numérica y representan curvas solución de la ecuación (6) cuando Ȧ2 1. La curva azul 1 1 ilustra la solución de (6) que satisface las condiciones iniciales (0) 2, (0) 2 , mientras que la curva roja es la solución de (6) que satisface (0) 1 2, u (0) u u (0) 5 12 , u 9(0) 5 2 u (0) 5 12 , u 9(0) 5 12 t p 1 u (0) 5 2 , 1 u 9(0) 5 2 u (0) 5 12 , u 9(0) 5 2 (b) (c) 2p (a) FIGURA 5.3.4 En el ejemplo 2, péndulo oscilante en b); péndulo giratorio en c). 2 . La 5.3 MODELOS NO LINEALES O 225 © 24BY36/Alamy Stock Photo curva azul representa una solución periódica, el péndulo que oscila en vaivén como se PXHVWUDHQOD¿JXUD E FRQXQDDPSOLWXGDSDUHQWHA 1. La curva roja muestra que ș crece sin límite cuando aumenta el tiempo el péndulo, comenzando desde el PLVPR GHVSOD]DPLHQWR LQLFLDO UHFLEH XQD YHORFLGDG LQLFLDO GH PDJQLWXG VX¿FLHQWHmente grande para enviarlo hasta arriba —en otras palabras, el péndulo está girando FRQUHVSHFWRDVXSLYRWHFRPRVHLOXVWUDHQOD¿JXUD F (QDXVHQFLDGHDPRUWLJXDPLHQWRHOPRYLPLHQWRHQFDGDFDVRFRQWLQ~DGHIRUPDLQGH¿QLGD FIGURA 5.3.5 La forma en que cuelgan los cables del teléfono es una catenaria. CABLES TELEFÓNICOS La ecuación diferencial de primer orden dydx WT1 es la ecuación (16) de la sección 1.3. Esta ecuación diferencial, establecida con la D\XGDGHOD¿JXUDGHODSiJVLUYHFRPRPRGHORPDWHPiWLFRSDUDODIRUPD GH XQ FDEOH ÀH[LEOH VXVSHQGLGR HQWUH GRV VRSRUWHV YHUWLFDOHV FXDQGR HO FDEOH OOHYD una carga vertical. En la sección 2.2 se resuelve esta ED simple bajo la suposición de que la carga vertical que soportan los cables de un puente suspendido era el peso de la carpeta asfáltica distribuida de modo uniforme a lo largo del eje x. Con W ȡ[, ȡel peso por unidad de longitud de la carpeta asfáltica, la forma de cada cable entre los apoyos verticales resultó ser parabólica. Ahora se está en condiciones de determinar la forma de XQFDEOHÀH[LEOHXQLIRUPHTXHFXHOJDVyOREDMRVXSURSLRSHVRFRPRXQFDEOHVXVSHQGLGRHQWUHGRVSRVWHVWHOHIyQLFRV9HDOD¿JXUD$KRUDODFDUJDYHUWLFDOHVHOFDEOH y por tanto, si ȡ es la densidad lineal del alambre (medido, por ejemplo, en newtons por metro) y s es la longitud del segmento P1P2HQOD¿JXUDHQWRQFHVW ȡV. Por tanto, dy s . dx 1 Puesto que la longitud de arco entre los puntos P1 y P2 está dada por (8) dy 2 dx , dx 0 B del teorema fundamental del cálculo se tiene que la derivada de (9) es x 1 s ds dx 1 B (9) dy 2 . dx (10) Derivando la ecuación (8) respecto a x y usando la ecuación (10) se obtiene la ecuación de segundo orden d 2y dx 2 ds T1 dx o d 2y dx2 T1 B 1 dy 2 . dx (11) En el ejemplo siguiente se resuelve la ecuación (11) y se muestra que la curva del cable suspendido es una catenaria. Antes de proceder, observe que la ecuación diferencial no lineal de segundo orden (11) es una de las ecuaciones que tienen la forma F(x, y, y) 0 analizadas en la sección 4.10. Recuerde que hay posibilidades de resolver una ecuación de este tipo al reducir el orden de la ecuación usando la sustitución u y. EJEMPLO 3 Una solución de (11) De la posición del eje y HQ OD¿JXUD HV HYLGHQWHTXHODV FRQGLFLRQHVLQLFLDOHV relacionadas con la segunda ecuación diferencial en (11) son y(0) a y y(0) 0. du Si se sustituye u y, entonces la ecuación en (11) se convierte en 11 u2 . dx 1 Separando las variables se encuentra que du 11 u2 T1 dx se obtiene senh 1u T1 x c1. 226 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ahora, y(0) 0 es equivalente a u(0) 0. Puesto que senh1 0 0, c1 0 y por tanto, u senh (ȡ[T1). Por último, integrando ambos lados de dy dx senh T1 x, y obtenemos T1 cosh T1 x c2. Con y(0) a, cosh 0 1, se deduce de la última ecuación que c2 a T1ȡ. Por tanto vemos que la forma del cable que cuelga está dada por y (T1> ) cosh( x> T1) a T1> . Si en el ejemplo 3 hemos sabido escoger desde el principio a T1ȡ, entonces la solución del problema habría sido simplemente el coseno hiperbólico y (T1ȡ) cosh (ȡ[T1). MOVIMIENTO DE UN COHETE En ecuación (12) de la sección 1.3 se vio que la ecuación diferencial de un cuerpo de masa mHQFDtGDOLEUHFHUFDGHODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUD está dada por y d 2s d 2s o simplemente mg, g, dt2 dt2 donde s UHSUHVHQWD OD GLVWDQFLD GHVGH OD VXSHU¿FLH GH OD 7LHUUD KDVWD HO REMHWR \ VH considera que la dirección positiva es hacia arriba. Dicho de otra forma, la suposición básica en este caso es que la distancia sDOREMHWRHVSHTXHxDFXDQGRVHFRPSDUDFRQ el radio R de la Tierra; en otras palabras, la distancia y desde el centro de la Tierra al objeto es aproximadamente la misma que R. Si, por otro lado, la distancia y al objeto, por ejemplo un cohete o una sonda espacial, es grande comparada con R, entonces se combina la segunda ley de Newton del movimiento y su ley de gravitación universal para obtener una ecuación diferencial en la variable y. Suponga que se lanza verticalmente hacia arriba un cohete desde el suelo como se LOXVWUDHQOD¿JXUD6LODGLUHFFLyQSRVLWLYDHVKDFLDDUULED\VHGHVSUHFLDODUHVLVtencia del aire, entonces la ecuación diferencial de movimiento después de consumir el combustible es m v0 R centro de la Tierra FIGURA 5.3.6 La distancia al cohete es grande comparada con R. m d 2y dt2 k Mm y2 d 2y dt2 o k M , y2 (12) donde k es una constante de proporcionalidad, y es la distancia desde el centro de la Tierra al cohete, M es la masa de la Tierra y m es la masa del cohete. Para determinar la constante k, se usa el hecho de que cuando y R, kMmR 2 mg o k gR2M. Así que la última ecuación en (12) se convierte en d 2y dt 2 g R2 . y2 (13) Vea el problema 14 en los ejercicios 5.3. MASA VARIABLE 2EVHUYHHQODH[SOLFDFLyQDQWHULRUTXHVHGHVFULEHHOPRYLPLHQWR del cohete después de que ha quemado todo su combustible, cuando supuestamente su masa m es constante. Por supuesto, durante su ascenso la masa total del cohete propulsado varía a medida que se consume el combustible. La segunda ley del movimiento, como la adelantó Newton en un principio, establece que cuando un cuerpo de masa m se mueve por un campo de fuerza con velocidad v, la rapidez de cambio respecto al tiempo de la cantidad de movimiento mv del cuerpo es igual a la fuerza aplicada o neta F que actúa sobre el cuerpo: d F (mv) . (14) dt Si m es constante, entonces la ecuación (14) produce la forma más familiar F m dvdt ma, donde a es la aceleración. En el siguiente ejemplo se usa la forma de la segunda ley de Newton dada en la ecuación (14), en la que la masa m del cuerpo es variable. 5.3 20 N fuerza hacia arriba x(t) FIGURA 5.3.7 Cadena jalada hacia arriba por una fuerza constante, en el ejemplo 4. EJEMPLO 4 MODELOS NO LINEALES O 227 Cadena jalada hacia arriba por una fuerza constante Una cadena uniforme de 3 m de largo se enrolla sin tensión sobre el piso. Un extremo de la cadena se jala verticalmente hacia arriba usando una fuerza constante de 20 N. La cadena pesa 1 N/m. Determine la altura del extremo sobre el nivel de suelo al tiempo t. 9HDOD¿JXUD SOLUCIÓN Supongamos que x x(t) denota la altura del extremo de la cadena en el aire al tiempo t, v dxdt y que la dirección positiva es hacia arriba. Para la porción de la cadena que está en el aire en el tiempo t se tienen las siguientes cantidades variables: peso: (x m) (1 N/m) W masa: m W>g fuerza neta: F 20 x, x>9.8, 20 W x. Así de la ecuación (14) se tiene regla del producto ( ) d x ––– ––– v dt 9.8 20 dv x ––– dt x dx v ––– dt 196 9.8 x (15) Debido a que v dxdt, la última ecuación se convierte en d2x dx 2 9.8 x 196. (16) 2 dt dt La ecuación diferencial no lineal de segundo orden (16) tiene la forma F(x, x, x) 0, que es la segunda de las dos formas consideradas en la sección 4.10 que posiblemente se pueden resolver por reducción de orden. Para resolver la ecuación (16), se dv dv dx dv vuelve a (15) y se usa v x junto con la regla de la cadena. De v dt dx dt dx la segunda ecuación en (15) se puede escribir como x xv dv dx v2 196 9.8 x. (17) Al inspeccionar la ecuación (17) podría parecer de difícil solución, puesto que no se puede caracterizar como alguna de las ecuaciones de primer orden resueltas en el capítulo 2. Sin embargo, si se reescribe la ecuación (17) en la forma diferencial M(x, v)dx N(x, v)dv 0, se observa que, aunque la ecuación (v2 9.8 x 196) dx xv dv 0 (18) no es exacta, se puede transformar en una ecuación exacta al multiplicarla por un factor integrante. De (Mv Nx)N lx se ve de (13) de la sección 2.4 que, para x > 0. un factor integrante es e dx/x eln x x. Cuando la ecuación (18) se multiplica por ȝ(x) x, la HFXDFLyQ UHVXOWDQWH HV H[DFWD FRPSUXHEH ,GHQWL¿FDQGR f x xv2 9.8x2 196x, f v x 2v y procediendo después como en la sección 2.4, se obtiene 1 2 2 xv 2 9.8 3 x 3 98x2 c1 . (19) Puesto que se supuso que al principio toda la cadena está sobre el piso, se tiene x(0) 0. Esta última condición aplicada a la ecuación (19) produce c1 0. Resolviendo 3 la ecuación algebraica 12 x2v2 9.8 98x2 0 para v dxdt 0, se obtiene otra 3 x ecuación diferencial de primer orden, dx dt 196 B 19.6 x. 3 228 8 7 6 5 4 3 2 1 CAPÍTULO 5 O MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR x La última ecuación se puede resolver por separación de variables. Se debe comprobar que 2 3 (196 2 6.533 x)1/2 5 t 1 c2. . 9.8 (20) Esta vez la condición inicial x(0) 0 indica que c2 4.286. Por último, elevando al cuadrado ambos lados de (20) y despejando x, llegamos al resultado deseado, 0 0.5 1.5 1 2 2.5 x(t) 5 30 2 1.633 (t 2 4.286)2. t (21) /DJUi¿FDGHODHFXDFLyQ TXHVHSUHVHQWDHQOD¿JXUDQRVHGHEHFRQEDVHV físicas, aceptar tal cual. Vea el problema 15 de los ejercicios 5.3. FIGURA 5.3.8 *Ui¿FDGH GHO ejemplo 4. EJERCICIOS 5.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8. Al profesor Además de los problemas 24 y 25, todos o parte de los problemas 1-6, 8-13, 15, 20 y 21 podrían servir como tareas del laboratorio de computación. programa de solución numérica para analizar la naturaleza de las oscilaciones del sistema que corresponden a las condiciones iniciales: Resortes no lineales x(0) 1, x (0) En los problemas 1-4, la ecuación diferencial dada es modelo de un sistema resorte/masa no amortiguado en el que la fuerza restauradora F(x) en (1) es no lineal. Para cada ecuación utilice un programa de solución numérica para trazar las curvas solución que satisfacen las condiciones iniciales del problema. Si al parecer las soluciones son periódicas, use la curva solución para estimar el periodo T de las oscilaciones. x(0) 12, x (0) x(0) 2, x (0) 1. d2x dt 2 x(0) 2. d2x dt2 x(0) d2x 3. dt2 x(0) 4. d2x dt2 x(0) x3 0, 1, x (0) 4x 16x3 1, x (0) 2x 1; 1; 1, x (0) 1 2, x (0) x(0) 2 9. 1; x(0) 3 2, x (0) 1 3, x (0) 1 0, 1; x(0) 10. d2x dt 2 x(0) dx dt d2x dt2 dx dt x(0) 0, x xe0.01x x (0) 5. En el problema 3, suponga que la masa se libera desde la posición inicial x(0) 1 con una velocidad inicial x(0) x1. Use un programa de solución numérica para estimar el valor más peTXHxRGH x1 en el que el movimiento de la masa es no periódico. 6. En el problema 3, suponga que la masa se libera desde una posición inicial x(0) x0 con velocidad inicial x(0) 1. Usando un programa de solución numérica estime un intervalo a x0 b para el cual el movimiento sea oscilatorio. 7. Determine una linealización de la ecuación diferencial del problema 4. 8. Considere el modelo de un sistema resorte/masa no lineal sin amortiguamiento dado por x 8x 6x3 x5 0. Use un 1; 0; 1 2; 2, x (0) x(0) 1 2; 2, x (0) x(0) 12, x (0) x(0) 1. En los problemas 9 y 10 la ecuación diferencial dada es un modelo de un sistema resorte/masa no lineal amortiguado. Prediga el comportamiento de cada sistema cuando t A . Para cada ecuación use un programa de solución numérica para obtener las curvas solución que satisfacen las condiciones iniciales del problema dadas. 0, 2 1, x (0) x(0) 1 2, 1; x x3 3, x (0) x 0, x (0) 0, 4; x(0) x3 0, x (0) 8 0, 3 2; 1, x (0) x(0) 1 11. El modelo mx kx k1x3 F0 cos ȦW de un sistema no amortiguado resorte/masa forzado en forma periódica se llama ecuaFLyQGLIHUHQFLDOGH'XI¿QJ. Considere el problema con valores iniciales x x k1x3 5 cos t, x(0) 1, x(0) 0. Use un programa de solución numérica para investigar el comportamiento del sistema para valores de k1 0 que van de k1 0.01 a k1 100. Exprese sus conclusiones. Encuentre los valores de k1 0 para los cuales el sistema del problema 11 es oscilatorio. b) Considere el problema con valores iniciales x x k 1x 3 cos 32 t, x(0) 0, x(0) 0. Encuentre valores para k1 0 para los cuales el sistema es oscilatorio. 12. a) Péndulo no lineal 13. Considere el modelo del péndulo no lineal amortiguado libre dado por d2 dt2 2 d dt 2 sen 0. 5.3 Use un programa de solución numérica para investigar si el movimiento en los dos casos Ȝ2 Ȧ2 0 y Ȝ2 Ȧ2 0 corresponde, respectivamente, a los casos sobreamortiguado y subamortiguado analizados en la sección 5.1 para sistemas resorte/ masa. Para Ȝ2 Ȧ2 0 use Ȝ 2, Ȧ 1, ș(0) 1 y ș(0) 2. Para Ȝ2 Ȧ2 0 use Ȝ 1/3, Ȧ 1, ș(0) 2 y ș(0) 4. Movimiento de un cohete 14. a) Use la sustitución v dydt para despejar de la ecuación (13) a v en términos de y. Suponiendo que la velocidad del cohete cuando se agota el combustible es v v0 y y R en ese instante, demuestre que el valor aproximado de la gR 12 v02 . constante c de integración es c b) Use la solución para vGHOLQFLVRD FRQHO¿QGHGHPRVtrar que la velocidad de escape de un cohete está dada por v0 12gR . [Sugerencia: Tome y A y suponga que v 0 para todo tiempo t.] c) El resultado del inciso b) se cumple para cualquier cuerpo del sistema solar. Use los valores g 9.8 m/s2 y R 6500 km para demostrar que la velocidad de escape de la Tierra es (aproximadamente) v0 40 000 km/h. d) Determine la velocidad de escape de la Luna si la aceleración debida a la gravedad es 0.165g y R 1738 km.. MODELOS NO LINEALES O 229 a lo largo de un curso en línea recta (el eje y) a una rapidez constante v1. El submarino S2 mantiene al barco S1 en contacto visual, indicado por la línea punteada LHQOD¿JXUDPLHQWUDV que viaja con una rapidez constante v2 a lo largo de la curva C. Suponga que el barco S2 comienza en el punto (a, 0), a 0, en t 0 y que L es tangente a C. a) Determine un modelo matemático que describa la curva C. b) Encuentre una solución explícita de la ecuación diferenFLDO3RUFRQYHQLHQFLDGH¿QDr v1v2. c) Determine si las trayectorias de S1 y S2 alguna vez se interceptarían al considerar los casos r 1, r 1 y r 1. dt ds , donde s es la longitud de ds dx dt dx [Sugerencia: arco medida a lo largo de C.] y C S1 L S2 x Masa variable 15. a) En el ejemplo 4, ¿qué longitud de la cadena se esperaría, por intuición, que pudiera levantar la fuerza constante de 20 N? b) ¿Cuál es la velocidad inicial de la cadena? c) ¿Por qué el intervalo de tiempo que corresponde a x(t) LOXVWUDGRHQOD¿JXUDQRHVHOLQWHUYDORI GHGH¿QLFLyQGHODVROXFLyQ "'HWHUPLQHHOLQWHUYDOR I. ¿Qué longitud de la cadena se levanta en realidad? Explique cualquier diferencia entre esta respuesta y la predicción del inciso a). d) ¿Por qué esperaría que x(t) fuese una solución periódica? 16. Una cadena uniforme de longitud L, medida en m, se mantiene verticalmente por lo que el extremo inferior apenas toca el piso. La cadena pesa 20 Nm. El extremo superior que está sujeto se libera desde el reposo en t 0 y la cadena cae recta. Si x(t) denota la longitud de la cadena en el piso al tiempo t, se desprecia la resistencia del aire y se determina que la dirección positiva es hacia abajo, entonces (L x) d2x dt2 dx dt 2 FIGURA 5.3.9 Curva de persecución del problema 17. 18. Curva de persecución En otro ejercicio naval, un destructor S1 persigue a un submarino S2. Suponga que S1 en (9, 0) en el eje x detecta a S2 en (0, 0) y que al mismo tiempo S2 detecta a S1. El capitán del destructor S1 supone que el submarino emprenderá una acción evasiva inmediata y especula TXHVXQXHYRFXUVRSUREDEOHHVODUHFWDLQGLFDGDHQOD¿JXUD 5.3.10. Cuando S1 está en (3, 0), cambia de su curso en línea recta hacia el origen a una curva de persecución C. Suponga que la velocidad del destructor es, en todo momento, una constante de 30 kmh y que la rapidez del submarino es constante de 15 kmh. a) Explique por qué el capitán espera hasta que S1 llegue a (3, 0) antes de ordenar un cambio de curso a C. b) Usando coordenadas polares, encuentre una ecuación r f (ș) para la curva C. c) Sea que T denote el tiempo, medido desde la detección inicial, en que el destructor intercepta al submarino. Determine un límite superior para T. y Lg . Resuelva v en términos de x. Determine x en términos de t. Exprese v en términos de t. b) Determine cuánto tarda en caer toda la cadena al suelo. c) ¿Qué velocidad predice el modelo del inciso a) para el extremo superior de la cadena cuando toca el suelo? a) Diferentes modelos matemáticos 17. Curva de persecución En un ejercicio naval, un barco S1 es perseguido por un submarino S2FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 5.3.9. El barco S1 parte del punto (0, 0) en t 0 y se mueve C S2 S1 L θ (3, 0) (9, 0) x FIGURA 5.3.10 Curva de persecución del problema 18. 230 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 19. El péndulo balístico Históricamente para mantener el control de calidad sobre las municiones (balas) producidas por una línea de montaje, el fabricante usaría un péndulo balístico para determinar la velocidad de la boca de un arma, es decir, la velocidad de una bala cuando deja el barril. El péndulo balístico (inventado en 1742 por el ingeniero inglés Benjamin Robins), es simplemente un péndulo plano que consiste en una varilla de masa despreciable que está unida a un bloque de madera de masa mw. El sistema se pone en movimiento por el impacto de una bala que se está moviendo horizontalmente con una velocidad desconocida vb; al momento del impacto, que se toma como t 0, la masa combinada es mw mb, donde mb es la masa de la bala incrustada en la madera. En (7) vimos que en HOFDVRGHSHTXHxDVRVFLODFLRQHVHOGHVSOD]DPLHQWRDQJXODUș(t) del SpQGXORSODQRTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVWiGDGRSRUOD(' lineal ș (gl)ș 0, donde ș 0 corresponde al movimiento a la derecha de la vertical. La velocidad vb se puede encontrar midiendo la altura h de la masa mw mb en el ángulo de desplazamiento máximo șmáxTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD Intuitivamente, la velocidad horizontal V de la masa combinada (madera más bala) después del impacto es sólo una fracción de la velocidad vb de la bala, es decir, mb V mw mb vb. Ahora, recuerde que una distancia s que viaja por una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular está relacionada con el radio l y el ángulo central ș por la fórmula s Oș. Derivando la última fórmula respecto al tiempo t, se tiene que la velocidad angular Ȧ de la masa y su velocidad lineal v está relacionada por v OȦ. Por tanto, la velocidad angular Ȧ0 en el tiempo t para el que la bala impacta el bloque de madera está relacionada con V por V OȦ0 o mb v0 mw vb . l mb 20. Suministros de ayuda &RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD un avión que vuela horizontalmente con una velocidad constante v0 suelta un paquete de suministros de ayuda a una persona en tierra. Suponga que el origen es el punto donde se libera el paquete y que el eje x positivo apunta hacia adelante y que el eje y positivo apunta hacia abajo. Bajo la suposición de que las componentes horizontal y vertical de la resistencia del aire son proporcionales a (dxdt)2 y (dydt)2, respectivamente, y si la posición del paquete de suministro está dada por r(t) (t) i y(t)j, entonces su velocidad es v(t) (dxdt)i (dydt)j. Igualando componentes en la forma vectorial de la segunda ley de Newton. m dv dt mg k dx dt 2 i dy 2 j dt da m d 2x dt 2 mg k dx 2 , dt x(0) 0, x (0) v0 m d 2y dt 2 mg k dy 2 , dt y(0) 0, y (0) 0 a) Resuelva los dos problemas con valores iniciales mediante las sustituciones u dxdt, w dydt, y separación de variables [Sugerencia: Vea los Comentarios al ¿QDOGHODVHFFLyQ@ c) Suponga que el avión vuela a una altitud de 300 m y que su rapidez constante es 500 km/h. Suponga que la constante de proporcionalidad de la resistencia del aire es k = 0.0053 y que el paquete de suministro pesa 1000 N. Use un programa para encontrar raíces de un SAC o una FDOFXODGRUDJUD¿FDGRUDSDUDGHWHUPLQDUODGLVWDQFLDKRrizontal que viaja el paquete, medido desde su punto de liberación al punto donde pega en el suelo. a) Resuelva el problema con valores iniciales d 2u dt2 g u l 0, u(0) 0, u (0) v0. b) Use el resultado del inciso a) para demostrar que mw vb mb mb 2lg umáx. c) 8 VH OD ¿JXUD SDUD H[SUHVDU FRV șmáx en términos de l y de h. Después utilice los primeros dos términos de la serie de Maclaurin para cos ș para expresar șmáx en términos de l y de h. Por último, demuestre que vb está dado (aproximadamente) por mw vb mb mb 22gh. d) Use el resultado del inciso c) para encontrar vb cuando mb 5 g, mw 1 kg y h 6 cm. paquete blanco FIGURA 5.3.12 Avión y suministros del problema 20. Problemas para analizar 21. Analice por qué el término de amortiguamiento de la ecuación (3) se escribe como dx dx en lugar de dt dt máx m b m h w l mb vb mw h V FIGURA 5.3.11 Péndulo balístico del problema 19. dx 2 . dt 22. a) Experimente con una calculadora para encontrar un intervalo 0 ș ș1, donde ș se mide en radianes, para el cual se considera que sen ș ș es una estimación EDVWDQWH EXHQD /XHJR XVH XQ SURJUDPD GH JUD¿FD FLyQSDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHy x y y sen x en el mismo eje de coordenadas para 0 x ʌ¢/DVJUi¿FDVFRQ¿UPDQVXVREVHUYDFLRQHVFRQODFDOFXODGRUD" 5.3 b) Utilice un programa de solución numérica para trazar las curvas solución de los problemas de valor inicial. d2 dt 2 d2 dt 2 y sen 0, 0, (0) 0, (0) 0 (0) 0, (0) 0 para varios valores de ș0 en el intervalo 0 ș ș1 deWHUPLQDGRHQHOLQFLVRD /XHJRWUDFHODJUi¿FDFXUYDV de solución de los problemas con valores iniciales para varios valores de ș0 para los cuales ș0 ș1. 23. Movimiento del péndulo en la Luna ¿Un péndulo de longitud l oscila más rápido en la Tierra o en la Luna? a) Tome l = 3 y g = 9.8 para la aceleración de la gravedad en la Tierra. Use un programa de solución numérica para generar una curva de solución numérica para el modelo no lineal (6) sujeto a las condiciones iniciales ș(0) 1, ș´(0) 2. Repita usando los mismos valores pero utilice 0.165g para la aceleración de la gravedad en la Luna. b) 'HODVJUi¿FDVGHOLQFLVRD GHWHUPLQHTXpSpQGXORRVcila más rápido. ¿Qué péndulo tiene la mayor amplitud de movimiento? 24. Continuación del movimiento del péndulo en la Luna Repita los dos incisos del problema 23 esta vez utilizando el modelo lineal (7). Tarea para el laboratorio de computación 25. Considere el problema con valores iniciales d2 dt 2 sen 0, (0) , 12 (0) 1 3 para un péndulo no lineal. Puesto que no se puede resolver la ecuación diferencial, no es posible encontrar una solución explícita de este problema. Pero suponga que se desea determinar la primer tl SDUDODFXDOHOSpQGXORGHOD¿JXUD comenzando desde su posición inicial a la derecha, alcanza la posición OP, es decir, la primera raíz positiva de ș(t) 0. En este problema y el siguiente, se examinan varias formas de cómo proceder. a) Aproxime t1 resolviendo el problema lineal ␲ 1 d 2␪ 1␪ 5 0, ␪(0) 5 , ␪9(0) 5 2 . 12 3 dt 2 b) Use el método ilustrado en el ejemplo 3 de la sección 4.10 para encontrar los primeros cuatro términos no nulos de una solución en serie de Taylor ș(t) centrada en 0 para el problema con valores iniciales no lineal. Dé los YDORUHVH[DFWRVGHORVFRH¿FLHQWHV c) Use los dos primeros términos de la serie de Taylor del inciso b) para aproximar t1. d) Emplee los tres primeros términos de la serie de Taylor del inciso b) para aproximar t1. e) Utilice una aplicación de un SAC (o una calculadora grá¿FD SDUDHQFRQWUDUUDtFHV\ORVSULPHURVFXDWURWpUPLQRVGH la serie de Taylor del inciso b) para aproximar t1. MODELOS NO LINEALES O 231 f) En esta parte del problema se proporcionan las instrucciones de Mathematica que permiten aproximar la raíz t1. (OSURFHGLPLHQWRVHPRGL¿FDFRQIDFLOLGDGSRUORTXHVH puede aproximar cualquier raíz de ș(t) 0. (Si no tiene Mathematica, adapte el procedimiento mediante la sintaxis correspondiente para el SAC que tenga.) Reproduzca con precisión y luego, a su vez, ejecute cada línea de la secuencia dada de instrucciones. sol NDSolve [{y[t] Sin[y[t]] 0, y[0] Pi12, y[0] 13}, y, {t, 0, 5}]Flatten solution y[t] .sol Clear[y] y[t_]: Evaluate[solution] y[t] gr1 Plot[y[t], {t, 0, 5}] root FindRoot[ y[t] 0, {t, 1}] g) 0RGL¿TXHGHPDQHUDDSURSLDGDODVLQWD[LVGHOLQFLVRI \ determine las siguientes dos raíces positivas de ș(t) 0. 26. Considere un péndulo que se libera desde el reposo con un desplazamiento inicial de ș0 radianes. Resolviendo el modelo lineal (7) sujeto a las condiciones iniciales ș(0) ș0, ș(0) 0 se obtiene (t) 0 cos 1g/lt . El periodo de oscilaciones que se predice con este modelo, se determina mediante la co2 1g/l 2 1l/g Lo interesante nocida fórmula T de esta fórmula para T es que no depende de la magnitud del desplazamiento inicial ș0. En otras palabras, el modelo lineal predice que el tiempo que tardaría el péndulo en oscilar desde un desplazamiento inicial de, digamos, ș0 ʌ2 ( 90°) a ʌ2 y de regreso otra vez, sería exactamente el mismo que tardaría en completar el ciclo de, digamos, ș0 ʌ360 ( 0.5°) a ʌ360. Esto es ilógico desde el punto de vista intuitivo ya que el periodo real debe depender de ș0. Si se supone que g 9.8 m/s2 y l 9.8 m, entonces el periodo de oscilación del modelo lineal es T 2ʌs. Compare este último número con el periodo predicho mediante el modelo no lineal cuando ș0 ʌ4. Usando un programa de solución numérica que sea capaz de generar datos concretos y reales, aproxime la solución de d2 dt 2 sen 0, (0) 4 , (0) 0 sobre el intervalo a 0 t 2. Como en el problema 25, si t1 denota la primera vez que el péndulo alcanza la posición OP HQ OD ¿JXUD HQWRQFHV HO SHULRGR GHO SpQGXOR QR lineal es 4t1. Aquí está otra forma de resolver la ecuación ș(t) ([SHULPHQWH FRQ WDPDxRV GH SDVR \ KDJD DYDQ]DU HO tiempo, comenzando en t 0 y terminando en t 2. De sus datos concretos, observe el tiempo t1 cuando ș(t) cambia por primera vez de positiva a negativa. Use el valor t1 para determinar el valor verdadero del periodo del péndulo no lineal. Calcule el error relativo porcentual en el periodo estimado por T 2ʌ. 232 O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR REPASO DEL CAPÍTULO 5 Conteste los problemas 1-8 sin consultar el texto. Complete el espacio en blanco o conteste verdadero o falso. 1. Si una masa que pesa 10 N alarga 2.5 m un resorte, una masa m. que pesa 32 N lo alarga 2. El periodo del movimiento armónico simple de una masa que pesa 8 N, unida a un resorte cuya constante es 6.25 N es segundos. de 3. La ecuación diferencial de un sistema resorte/masa es x 16x 0. Si la masa se libera inicialmente desde un punto que está 1 metro arriba de la posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 3 m/s, la amplitud de las vibrametros. ciones es de 4. La resonancia pura no tiene lugar en presencia de una fuerza de amortiguamiento. 5. En presencia de una fuerza de amortiguamiento, los desplazamientos de una masa en un resorte siempre tienden a cero cuando t A . 6. Una masa en un resorte cuyo movimiento está críticamente amortiguado tiene posibilidades de pasar por la posición de equilibrio dos veces. 7. En amortiguamiento crítico cualquier aumento de amorti. guamiento dará como resultado un sistema 8. Si el movimiento armónico simple se describe mediante x (22 2)sen(2t f) , el ángulo fase ‫ ׋‬es __________ cuando las condiciones iniciales son x(0) 12 y x(0) 1. En los problemas 9 y 10 los eigenvalores y las eigenfunciones del problema con valores en la frontera y Ȝ\ 0, y(0) 0, y(ʌ) 0 son Ȝn n2, n 0, 1, 2, ... , y y cos nx, respectivamente. Llene los espacios en blanco. 9. Una solución del PVF cuando Ȝ 8 es y . porque 10. Una solución del PVF cuando Ȝ 36 es y porque . 11. Un sistema resorte/masa libre no amortiguado oscila con un periodo de 3 segundos. Cuando se eliminan 8 N del resorte, el sistema tiene un periodo de 2 segundos. ¿Cuál era el peso de la masa original en el resorte? 12. Una masa que pesa 50 N alarga 0.6 m un resorte. Al inicio la masa se libera desde un punto 0.3 m abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 1.2 m/s. a) Determine la ecuación de movimiento. b) ¿Cuáles son la amplitud, periodo y frecuencia del movimiento armónico simple? c) ¿En qué instantes la masa vuelve al punto situado a 0.3 m abajo de la posición de equilibrio? d) ¿En qué instantes la masa pasa por la posición de equilibrio en dirección hacia arriba? ¿En dirección hacia abajo? Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8. e) ¿Cuál es la velocidad de la masa en t 3ʌ16 s? f) ¿En qué instantes la velocidad es cero? 13. Una fuerza de 10 N estira 0.3 m un resorte. Con un extremo ¿MRVHXQHDORWURH[WUHPRXQDPDVDTXHSHVD1(OVLVWHPD yace sobre una mesa que imparte una fuerza de fricción numéricamente igual a 32 veces la velocidad instantánea. Al inicio, la masa se desplaza 10 cm arriba de la posición de equilibrio y se libera desde el reposo. Encuentre la ecuación de movimiento si el movimiento tiene lugar a lo largo de la recta horizontal que se toma como el eje x. 14. Una masa que pesa 150 N alarga 15 cm un resorte. La masa se mueve en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a ȕ veces la velocidad instantánea. Determine los valores de ȕ 0 para los que el sistema resorte/masa exhibe movimiento oscilatorio. 15. Un resorte con constante k 2 se suspende en un líquido que ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 4 veces la velocidad instantánea. Si una masa m se suspende del resorte, determine los valores de m para que el movimiento libre posterior sea no oscilatorio. 16. El movimiento vertical de una masa sujeta a un resorte se describe mediante el PVI 1 4x x x 0, x(0) 4, x(0) 2. Determine el desplazamiento vertical máximo de la masa. 17. Una masa que pesa 20 N estira 0.5 m un resorte. Se aplica al sistema una fuerza periódica igual a f(t) cos #t sen #t comenzando en t 0. En ausencia de una fuerza de amortiguamiento, ¿para qué valor de # el sistema está en un estado de resonancia pura? 18. Encuentre una solución particular para x 2Ȝ[ Ȧ2x A, donde A es una fuerza constante. 19. Una masa que pesa 20 N se suspende de un resorte cuya constante es 40 N/m. Todo el sistema se sumerge en un líquido que ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la velocidad instantánea. Comenzando en t 0, se aplica al sistema una fuerza externa igual f(t) et. Determine la ecuación de movimiento si la masa se libera al inicio desde el reposo en un punto que está 0.6 m abajo de la posición de equilibrio. Una masa que pesa W newtons produce un alargamiento de 0.16 m en un resorte y uno de 0.08 m en otro resorte. 6HXQHQORVGRVUHVRUWHV\GHVSXpVVH¿MDODPDVDDOUHVRU WHGREOHFRPRVHLOXVWUDHQOD¿JXUD6XSRQJDTXH el movimiento es libre y que no hay fuerza de amortiguamiento presente. Determine la ecuación de movimiento si la masa se libera al inicio en un punto situado 0.3 m abajo de la posición de equilibrio con una velocidad de descenso de 0.2 m/s. b) Demuestre que la velocidad máxima de la masa es 20. a) 2 3 23g 1. REPASO DEL CAPÍTULO 5 21. Un circuito en serie contiene una inductancia de L 1 H, una capacitancia de C 104 F y una fuerza electromotriz de E(t) 100 sen 50t V. Al inicio, la carga q y la corriente i son cero. O 233 r( t) cuenta ωt a) Determine la carga q(t). b) Determine la corriente i(t). P c) Calcule los tiempos para los que la carga en el capacitor es cero. 22. a) Demuestre que la corriente i(t) en un circuito en serie LRC satisface la ecuación L d 2i dt2 R di dt 1 i C E (t), donde E(t) denota la derivada de E(t). b) 6 H SXHGHQ HVSHFL¿FDU GRV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV i(0) e i(0) para la ED del inciso a). Si i(0) i0 y q(0) q0, ¿cuál es i(0)? 23. Considere el problema con valores en la frontera y 0, y(0) y y(2 ), y (0) y (2 ). Demuestre que excepto para el caso Ȝ 0, hay dos funciones propias independientes que corresponden a cada eigenvalor. 24. Una cuenta está restringida a deslizarse a lo largo de una varilla sin fricción de longitud L. La varilla gira en un plano vertical con velocidad angular constante Ȧ respecto a un pivote P ¿MRHQHOSXQWRPHGLRGHODYDULOODSHURHOGLVHxRGHOSLYRWH permite que la cuenta se mueva a lo largo de toda la varilla. Sea r(t) la posición de la cuenta respecto a este sistema de FRRUGHQDGDVJLUDWRULRVHJ~QVHLOXVWUDHQOD¿JXUD5&RQ HO¿QGHDSOLFDUODVHJXQGDOH\GH1HZWRQGHOPRYLPLHQWRD este marco de referencia rotatorio, es necesario usar el hecho de que la fuerza neta que actúa en la cuenta es la suma de las fuerzas reales (en este caso, la fuerza debida a la gravedad) y las fuerzas inerciales (coriolis, transversal y centrípeda). Las matemáticas del caso son un poco complicadas, así que sólo se da la ecuación diferencial resultante para r: m d 2r dt 2 m 2 r mg sen t. a) Resuelva la ED anterior sujeta a las condiciones iniciales r(0) r0, r(0) v0. b) Determine las condiciones iniciales para las cuales la cuenta exhibe movimiento armónico simple. ¿Cuál es la longitud mínima L de la varilla para la cual puede ésta acomodar el movimiento armónico simple de la cuenta? c) Para las condiciones iniciales distintas de las obtenidas en el inciso b), la cuenta en algún momento debe salir de la varilla. Explique usando la solución r(t) del inciso a). d) Suponga que Ȧ 1 radV8VHXQDDSOLFDFLyQJUD¿FDdora para trazar la solución r(t) para las condiciones iniciales r(0) 0, r(0) v0, donde v0 es 0, 10, 15, 16, 16.1 y 17. e) Suponga que la longitud de la varilla es L 10 m. Para cada par de condiciones iniciales del inciso d), use una aplicación para encontrar raíces para calcular el tiempo total que la cuenta permanece en la varilla. FIGURA 5.R.1 Varilla rotando del problema 24. 25. Suponga que una masa mTXHSHUPDQHFHVREUHXQDVXSHU¿FLH plana, seca y sin fricción está unida al extremo libre de un resorte cuya constante es k(QOD¿JXUD5 D ODPDVDVH muestra en la posición de equilibrio x 0, es decir, el resorte QRHVWiQLHVWLUDGRQLFRPSULPLGR&RPRVHLOXVWUDHQOD¿JXUD 5.R.2(b), el desplazamiento x(t) de la masa a la derecha de la posición de equilibrio es positivo y negativo a la izquierda. 2EWHQJD XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SDUD HO PRYLPLHQWR x(t) (deslizante) horizontal libre de la masa. Describa la diferencia entre la obtención de esta ED y el análisis que da lugar a la ecuación (1) de la sección 5.1. apoyo rígido m superficie sin fricción: x=0 a) equilibrio m x(t) < 0 x(t) > 0 b) movimiento FIGURA 5.R.2 Sistema deslizante resorte/masa del problema 25. 26. Suponga que la masa mVREUHODVXSHU¿FLHSODQDVHFD\VLQ fricción del problema 25, está unida a dos resortes como se PXHVWUDHQOD¿JXUD56LODVFRQVWDQWHVGHUHVRUWHVRQk1 y k2, determine una ecuación diferencial para el desplazamiento x(t) de las masas que se deslizan libremente. apoyo rígido apoyo rígido k2 k1 m FIGURA 5.R.3 Sistema de resortes dobles del problema 26. 27. Suponga que la masa m en el sistema masa resorte en el proEOHPDVHGHVOL]DVREUHXQDVXSHU¿FLHVHFDFX\RFRH¿FLHQWH de fricción cinético es ȝ 0. Si la fuerza retardadora que O CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR la fricción cinética tiene una magnitud constante fk ȝPJ, donde mg es el peso de la masa, y actúa en dirección opuesta del movimiento, entonces se conoce como fricción de Coulomb. Mediante la función signo sgn(x ) 1, 1, x x 0 (movimiento a la izquierda) 0 (movimiento a la derecha) a) Cuando m y l son constantes demostrar que (1) se reduce a (6) de la sección 5.3. b $KRUDVXSRQJDPRVTXHODEDUUDHQOD¿JXUDVH sustituye por un resorte de masa despreciable. Cuando una masa m se une a su extremo libre el resorte está en la posición de equilibrio vertical que se muestra en la ¿JXUD5\WLHQHORQJLWXGI0. Cuando soporte rígido GHWHUPLQH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH¿QLGD HQ WUDPRV SDUD HO desplazamiento o x(t) de la masa deslizante amortiguada. 28. 3RUVLPSOL¿FDUVXSRQJDTXHHQHOSUREOHPDm 1, k 1, y fk 1. a) Encuentre el desplazamiento x(t) de la masa si ésta se libera a partir del reposo desde un punto 5.5 unidades a la derecha de la posición de equilibrio, es decir, cuando las condiciones iniciales son x(0) 5.5, x´(0) 0. Cuando se libera, intuitivamente el movimiento de la masa será hacia la izquierda. Dé un intervalo de tiempo [0, t1] sobre el cual esta solución HVWiGH¿QLGD¢'yQGHHVWiODPDVDDOWLHPSRt1? b) Para t t1 suponga que el movimiento es ahora hacia la derecha. Usando las condiciones iniciales en t1, encuentre x(t) y dé un intervalo de tiempo [t1, t2] sobre el cual esta VROXFLyQHVWiGH¿QLGD¢'yQGHHVWiODPDVDDOWLHPSRt2? c) Para t t2 suponga que el movimiento es ahora hacia la izquierda. Usando las condiciones iniciales en t2, encuentre x(t) y dé un intervalo de tiempo [t2, t3] sobre el cual esta VROXFLyQHVWiGH¿QLGD¢'yQGHHVWiODPDVDDOWLHPSRt3? d) Usando las condiciones iniciales en t3, demuestre que el modelo predice que no hay más movimiento para t t3. e) 7 UDFHODJUi¿FDGHOGHVSOD]DPLHQWRx(t) en el intervalo [0, t3]. 29. Utilice una serie de Maclaurin para demostrar que una solución en series de potencias del problema de valor inicial g d 2␪ ␲ 1 sen ␪ 5 0, ␪(0) 5 , ␪9(0) 5 0 l 6 dt 2 está dada por ␪(t) 5 g Ï3g2 4 ␲ 2 t2 1 t 1 Á. 6 4l 96l 2 [Sugerencia: Vea el ejemplo 3 en la sección 4.10.] ␪ posición de equilibrio x FIGURA 5.R.4 Péndulo de resorte del problema 30 el péndulo de resorte se encuentra en movimiento, suponemos que el movimiento ocurre en un plano vertical y el resorte es bastante duro y no se dobla. Para t > 0 la longitud del resorte es entonces l(t) l0 + x(t), donde x es el desplazamiento desde la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación diferencial para el desplazamiento angular (t GH¿QLGDSRU 31. Supongamos que un péndulo está formado uniendo una masa m al extremo de una cuerda de masa despreciable y longitud l. En t HOSpQGXORVHVXHOWDGHOUHSRVRHQXQSHTXHxRGHVSOD]Dmiento angular 0 > 0 a la derecha de la posición de equilibrio vertical OP9HDOD¿JXUD5(QHOWLHPSRt1 > 0 la cuerda pega en un clavo en un punto N de OP una distancia de 3/4 l desde O, SHURODPDVDFRQWLQ~DDODL]TXLHUGDFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD a) Construya y resuelva un problema lineal de valor inicial para el desplazamiento angular 1(t TXHVHPXHVWUDHQOD¿gura. Encuentre el intervalo [0, t1@VREUHTXHVHGH¿QH1(t). b) Construya y resuelva un problema lineal de valor inicial para el desplazamiento angular 2 W TXHVHPXHVWUDHQOD¿gura. Encuentre el intervalo [t1, t2@VREUHHOTXHVHGH¿QH2(t), donde t2 es el tiempo que m regresa a la línea vertical NP. soporte rígido 30. Péndulo de resorte La forma rotacional de la segunda ley de Newton del movimiento es: La rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular de un punto es igual al momento de la fuerza resultante (momento de torsión). Entonces en ausencia de amortiguamiento u otras fuerzas externas, un análogo de (14) en la sección 5.3 para el péndulo TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHV S D d d␪ ml 2 5 2mgl sen ␪ dt dt m O 3 4l ␪1 N l clavo m 234 ␪2 P FIGURA 5.R.5 Péndulo del problema 31 REPASO DEL CAPÍTULO 5 d 2x 4x, 1 Fsxd 5 sen 4t, Fsxd 5 2 x, dt 5 x$0 x,0 es un modelo para el desplazamiento x(t) de una unidad de masa en un sistema masa resorte forzado. Como en la sección 5.1, supusimos que el movimiento ocurre a lo largo de una recta vertical, la posición de equilibrio es x = 0 y la dirección positiva es hacia abajo. La fuerza restauradora que actúa en dirección opuesta al movimiento: una fuerza restauradora 4x cuando la masa está SRUGHEDMR x! GHODSRVLFLyQGH HTXLOLEULR\XQDIXHU]DUHVWDXUDGRUDx cuando la masa está por DUULED x GHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR b) Para un intervalo de tiempo en que t > t1 la masa está arriba de la posición de equilibrio y por lo tanto ahora debemos resolver la nueva ecuación diferencial d 2x 1 x 5 sen 4t. dt 2 x (0) 5 0, x9(0) 5 v 0 . 0. (2) (3) Una condición inicial es x(t1) = 0. Encuentre x’(t1) usando la solución de (2) en el inciso a). Encuentre una solución de la ecuación (3) sujeto a estas nuevas condiciones iniciales. Utilice la solución para determinar el segundo tiempo t2 > t1 cuando x(t /DVROXFLyQGH VHGH¿QHHQHOLQWHUYDOR [t1, t2]. [Sugerencia: Utilice dos veces la fórmula del doble de un ángulo para la función seno.] c) Construya y resuelva otro problema de valor inicial para encontrar x(t GH¿QLGDVREUHHOLQWHUYDOR>t2, t3], donde t3 > t2 es la tercera vez que x(t) = 0. d) Construya y resuelva otro problema de valor inicial para encontrar x(t GH¿QLGDVREUHHOLQWHUYDOR>t3, t4], donde t4 > t3 es la cuarta vez que x(t) = 0. e) Debido a la suposición de que v0 > 0 se completa un ciclo de abajo-arriba de la masa en los intervalos [0, t2], [t2, t4], [t4, t6] y así sucesivamente. Explique por qué las amplitudes de oscilación de la masa deben aumentar con el tiempo. [Sugerencia: Examine la velocidad de la masa al principio de cada ciclo.] f) Suponga en (2) que v0 = 0.01. Utilice las cuatro soluciones en los intervalos en los incisos a), b), c) y d) para construir una IXQFLyQFRQWLQ~DGH¿QLGDHQWUDPRVx(t) sobre el intervalo [0, t4]. a) Resuelva el problema de valor inicial d 2x 1 4x 5 sen 4t, dt 2 235 Las condiciones iniciales indican que la masa se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo. Utilice la solución para determinar el primer tiempo t1 > 0 cuando x(t) = 0, es decir, la primera vez que la masa regresa desde la posición de equilibrio después del lanzamiento. La VROXFLyQGH VHGH¿QHVREUHHOLQWHUYDOR>t1]. [Sugerencia: será de utilidad la fórmula del seno del doble de un ángulo sen 4t = 2 sen 2t cos 2t.] © Library of Congress Prints and Photographs Division Washington [LC-USZ62-46682] 32. Gertrudis galopando Los puentes son buenos ejemplos de vibración en sistemas mecánicos que están constantemente sometidos a fuerzas externas, de los autos que pasan por ellos, del agua que empuja contra sus cimientos, y del viento que sopla a través de su superestructura. El 7 de noviembre de 1940, cuatro meses después de su inauguración, el puente suspendido Tacoma Narrows en Puget Sound en el estado de Washington VHGHUUXPEyGXUDQWHXQDWRUPHQWDGHYLHQWR9pDVHOD¿JXUD 5.R.6. El accidente no fue sorpresa ya que “Gertudris galopando”, como se apodó al puente por los residentes locales, ya era famoso por un movimiento vertical ondulante de su carretera que dio a muchos automovilistas una apasionante traveVtD'XUDQWHPXFKRVDxRVVHSUHVXPLyTXHODVXSHUHVWUXFWXUD PDOGLVHxDGDGHOSXHQWHDFDXVDGHOYLHQWRTXHVRSOyDWUDYpV de éste lo hizo agitarse de una manera periódica y que cuando la frecuencia de esta fuerza se acercó a la frecuencia natural del puente, dio lugar a las grandes sacudidas del ligero puente. En otras palabras, se pensaba que el puente fue víctima de la resonancia mecánica. Pero como hemos visto en la página 207, la resonancia es un fenómeno lineal que puede ocurrir solamente en ausencia completa de amortiguamiento. En los ~OWLPRV DxRV VH KD VXVWLWXLGR OD WHRUtD GH OD UHVRQDQFLD FRQ modelos matemáticos que pueden describir grandes oscilaciones aún en presencia de amortiguamiento. Gilbert N. Lewis, en su proyecto, El colapso del puente colgante de Tacoma Narrows, que se presentó en la última edición de este libro, H[DPLQDPRGHORVVLPSOHVGH¿QLGRVSRUSDUWHVTXHGHVFULEHQ las oscilaciones forzadas de una masa (una parte de la carretera) unidas a un resorte (un cable de soporte vertical) para el que las amplitudes de la oscilación aumentan con el tiempo. En este problema se le guía a usted a través de la solución de uno de los modelos analizados en este proyecto. La ecuación diferencial con una fuerza restauradora por traPRVGH¿QLGDSRU O FIGURA 5.R.6 Colapso del puente suspendido de Tacoma Narrows 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES © Todd Dalton/Shutterstock.com 6.1 6.2 6.3 6.4 Repaso de series de potencias Soluciones alrededor de puntos ordinarios Soluciones alrededor de puntos singulares Funciones especiales REPASO DEL CAPÍTULO 6 H asta ahora se han resuelto principalmente ecuaciones diferenciales de orden GRVRVXSHULRUFXDQGRODHFXDFLyQWLHQHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV/D~QLFD excepción fue la ecuación de Cauchy-Euler que se estudió en la sección (QDSOLFDFLRQHVODVHFXDFLRQHVOLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRUFRQFRH¿FLHQWHV YDULDEOHVVRQWDQLPSRUWDQWHVRTXL]iPiVTXHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRQ FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV&RPRVHLQGLFyHQODVHFFLyQDXQXQDHFXDFLyQVLPSOH OLQHDOGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVFRPRy xy 0 no tiene VROXFLRQHVTXHVHDQIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV3HURSRGHPRVHQFRQWUDUGRVVROXFLRQHV linealmente independientes de y xy YHUHPRVHQODVVHFFLRQHV\TXH ODVVROXFLRQHVGHHVWDHFXDFLyQHVWiQGH¿QLGDVSRUVHULHVLQ¿QLWDV 236 6.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS O 237 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS 6.1 INTRODUCCIÓN (QODVHFFLyQYLPRVTXHUHVROYHUXQD('OLQHDOKRPRJpQHDFRQFRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHVHUDHQHVHQFLDXQSUREOHPDGHiOJHEUD(QFRQWUDQGRODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUHV SRVLEOHHVFULELUXQDVROXFLyQJHQHUDOGHOD('FRPRXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHIXQFLRQHVHOHPHQWDles exxkexxkex cos ȕ[ y xkex sen ȕ[3HURFRPRVHLQGLFyHQODLQWURGXFFLyQGHODVHFFLyQOD PD\RUtDGHODV('OLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRUFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVQRVHUHVXHOYHQHQWpUPLQRV GHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV8QDHVWUDWHJLDXVXDOSDUDHFXDFLRQHVGHHVWDFODVHHVVXSRQHUXQDVROXFLyQ HQODIRUPDGHVHULHVLQ¿QLWDV\SURFHGHUGHPDQHUDVLPLODUDOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV VHFFLyQ (QODVHFFLyQVHFRQVLGHUDQ('OLQHDOHVGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV TXHWLHQHQVROXFLRQHVGHODIRUPDGHVHULHVGHSRWHQFLDV\SRUHVRHVDGHFXDGRFRPHQ]DUHVWHFDStWXOR FRQXQUHSDVRGHHVHWHPD SERIE DE POTENCIAS 5HFXHUGHGHVXFXUVRGHFiOFXORTXHXQDserie de potencias en x aHVXQDVHULHLQ¿QLWDGHODIRUPD (OtQGLFHGHODVXPDQRQHFHVLWD FRPHQ]DUHQn = 0 n 0 cn(x a) n c0 c1(x a) c 2(x a)2 . Se dice que esta serie es una serie de potencias centrada en a3RUHMHPSORODVHULH de potencias n 0 (x 1)n HVWiFHQWUDGDHQa (QHVWDVHFFLyQWUDWDPRVSULQcipalmente con las series de potencias en xHQRWUDVSDODEUDVVHULHVGHSRWHQFLDV3RU HMHPSOR ` 2nxn 5 1 1 2x 1 4x2 1 . . . o n50 es una serie de potencias en x HECHOS IMPORTANTES /DVLJXLHQWHOLVWDUHVXPHDOJXQRVKHFKRVLPSRUWDQWHV acerca de las series de potencias n 0 cn (x a)n • Convergencia 8QD VHULH GH SRWHQFLDV HV convergente en un valor HVSHFL¿FDGR GH x si su sucesión de sumas parciales {SN(x ` FRQYHUJH HV GHFLUVLHO lím SN (x) lím Nn 0 cn (x a) n H[LVWH6LHOOtPLWHQRH[LVWH N: N: en xHQWRQFHVVHGLFHTXHODVHULHHVdivergente • Intervalo de convergencia Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia (O LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD HV HO FRQMXQWR GH todos los Q~PHURV UHDOHV x SDUD ORV TXH FRQYHUJH OD VHULH (O FHQWUR GH LQWHUYDOR GH convergencia es el centro aGHODVHULH convergencia divergencia absoluta divergencia a−R a a+R x la serie podría converger o divergir en los puntos extremos FIGURA 6.1.1 Convergencia absoluta dentro del intervalo de convergencia y GLYHUJHQFLDIXHUDGHHVWHLQWHUYDOR • Radio de convergencia El radio R del intervalo de convergencia de una serie GHSRWHQFLDVVHOODPDVXUDGLRGHFRQYHUJHQFLD6LR HQWRQFHVODVHULHGH potencias converge para x – a R y diverge para x – a R6LODVHULHFRQYHUJH sólo en su centro aHQWRQFHVR 6LODVHULHFRQYHUJHSDUDWRGDxHQWRQFHV se escribe R 5HFXHUGHTXHODGHVLJXDOGDGGHYDORUDEVROXWR x – a R es HTXLYDOHQWHDODGHVLJXDOGDGVLPXOWiQHDa R x a R8QDVHULHGHSRWHQFLDV SRGUtDFRQYHUJHURQRHQORVSXQWRVH[WUHPRVa R y a RGHHVWHLQWHUYDOR • Convergencia absoluta 'HQWUR GH VX LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD XQD VHULH GH potencias converge absolutamente (Q RWUDV SDODEUDV VL x HV XQ Q~PHUR HQ HO LQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLD\QRHVXQH[WUHPRGHOLQWHUYDORHQWRQFHVODVHULHGH valores absolutos n 0 cn (x a)n FRQYHUJH9pDVHOD¿JXUD 238 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES • Prueba de la razón /DFRQYHUJHQFLDGHXQDVHULHGHSRWHQFLDVVXHOHGHWHUPL narse mediante la prueba de la razón 6XSRQJD TXH cn 0 para toda n en a)n y que n 0 cn (x lím n: cn 1(x cn(x a)n a)n 1 cn 1 cn a n: lím x L. Si L OD VHULH FRQYHUJH DEVROXWDPHQWH VL L OD VHULH GLYHUJH \ VL L HOFULWHULRQRHVFRQFOX\HQWH/DSUXHEDGHODUD]yQQXQFDHVFRQFOX\HQWH en un punto extremo a R EJEMPLO 1 Intervalo de convergencia (x 2 3)n . 2nn n51 ` 'HWHUPLQHHOLQWHUYDOR\UDGLRGHFRQYHUJHQFLDSDUD o SOLUCIÓN /DSUXHEDGHODUD]yQDUURMD (x 3) n 1 lím 2n 1 (n 1) no (x 3)n 2n n x 3 lím no n 1 2n 1 x 2 3. 1 1o x 3 2 o 1 x 5 (VWD la serie converge absolutamente para 2 x 3 ~OWLPD GHVLJXDOGDG GH¿QH HO LQWHUYDOR abierto GH FRQYHUJHQFLD /D VHULH GLYHUJH SDUD x 3 2 HVGHFLUSDUDx 5 o x (QHOH[WUHPRL]TXLHUGRx 1 del intervalo DELHUWR GH FRQYHUJHQFLD OD VHULH GH FRQVWDQWHV n 1 (( 1)nn) es convergente por la SUXHEDGHVHULHVDOWHUQDQWHV(QHOH[WUHPRGHUHFKRx ODVHULH n 1 (1> n) es la serie DUPyQLFD GLYHUJHQWH (O LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD GH OD VHULH HV > y el radio de convergencia es R • UnaVHULHGHSRWHQFLDVGH¿QHXQDIXQFLyn 8QDVHULHGHSRWHQFLDVGH¿QHXQD a)n cuyo dominio es el intervalo de convergencia función f (x) n 0 cn (x GHODVHULH6LHOUDGLRGHFRQYHUJHQFLDHVR 0 o R HQWRQFHVfHVFRQWLQXD derivable e integrable sobre los intervalos (a Ra R R $GHPiV f (x \ f (x)dx VH HQFXHQWUDQ GHULYDQGR H LQWHJUDQGR WpUPLQR D WpUPLQR /D FRQYHUJHQFLD HQ XQ H[WUHPR VH SRGUtD SHUGHU SRU GHULYDFLyQ R JDQDU SRU ` LQWHJUDFLyQ6L y9 5 cnnx n21 5 c0 c1x cx cx ÂÂÂHVXQDVHULH n51 n 1 de potencias en x HQWRQFHV ODV SULPHUDV GRV GHULYDGDV VRQ y n 0 nx n 2 y y 1)x . 2EVHUYH TXH HO SULPHU WpUPLQR HQ OD SULPHUD n 0 n(n GHULYDGD\ORVGRVSULPHURVWpUPLQRVGHODVHJXQGDGHULYDGDVRQFHUR6HRPLWHQ HVWRVWpUPLQRVFHUR\VHHVFULEH o y cn nxn n 1 n 2 y cn n(n 1 c1 cx cx 4c4x ÂÂÂ 1)xn 2 c 6cx c4x ÂÂÂ $VHJ~UHVHGHHQWHQGHUORVGRVUHVXOWDGRVGDGRVHQ HVSHFLDOPHQWHREVHUYH GyQGH FRPLHQ]D HO tQGLFH GH OD VXPD HQ FDGD VHULH (VWRV UHVXOWDGRV VRQ LPSRUWDQWHV\VHXVDUiQHQWRGRVORVHMHPSORVGHODVLJXLHQWHVHFFLyQ • Propiedad de identidad Si n 0 cn (x a)n 0, R 0 SDUD WRGRV ORV Q~PHURVxHQHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDHQWRQFHVcn 0 para toda n • Analítica en un punto 8QDIXQFLyQf es analítica en un punto a si se puede representar mediante una serie de potencias en x a con un radio positivo o LQ¿QLWRGHFRQYHUJHQFLD(QFiOFXORVHYHTXHODVIXQFLRQHVFRPRexVHQx cos xex ln(1 x HWFpWHUDVHSXHGHQUHSUHVHQWDUPHGLDQWHVHULHVGH7D\ORU 6.1 n f (n)(a) (x 0 n! f (a) (x 1! a) 239 ... a)2 f (n)(0) n x 0 n! f (0) x 1! f(0) f (0) 2 x 1! . . .. 3RGUtD UHFRUGDU DOJXQDV GH ODV UHSUHVHQWDFLRQHV HQ VHULH GH 0DFODXULQ FX\RV UHVXOWDGRVVHSXHGHQXWLOL]DUSDUDREWHQHUUHSUHVHQWDFLRQHVGHVHULHVGHSRWHQFLDV de otras funciones: Intervalo Series de Maclaurin de Convergencia ex cos x se n x tan 1 x cosh x se nh x ln(1 x) 1 1 x 1 1 x x 1 x x 1 x 1! x2 2! x3 3! ... x2 2! x4 4! x6 6! ... x3 3! x5 5! x7 7! ... x3 3 x5 5 x7 7 ... x2 2! x4 4! x6 6! ... x3 3! x5 5! x7 7! ... x2 2 x3 3 x4 4 ... x x2 x3 ... (x , ) ( , ) n ( 1)n 2n x 0 (2n)! ( , ) n ( 1)n 2n x 1)! 0 (2n n ( 1)n 2n x 1 0 2n n 1 2n x 0 (2n)! n 0 (2n 1)! 1 n ( 1)n n 1 1 1 1 x2n [ 1, 1] 1 xn ( , ) ( , ) (2) ( 1, 1] xn ( 1, 1) 0 3RUHMHPSORVLGHVHDPRVHQFRQWUDUODUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHGH0DFODXULQ 2 GHGLJDPRVex QHFHVLWDPRVVXVWLWXLUx en la serie de Maclaurin de ex: 2 ( n 1 n x n! 0 n ex ln(1 f (a) (x 1! f (a) O RXQDVHULHGH0DFODXULQ n ln x a)n REPASO DE SERIES DE POTENCIAS x2 1! 1 x4 2! x6 3! ... n 1 2n x . n! 0 'HPDQHUDVLPLODUSDUDREWHQHUXQDUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHGH7D\ORUGHOQx centrada en a VXVWLWX\Dx por x 1 en la serie de Maclaurin para ln(1 x 1)) (x 1) 1)2 (x 2 1)3 (x 3 1)4 (x 4 ... n ( 1)n n 1 1 (x 1)n. 2 3XHGHWDPELpQFRPSUREDUTXHHO LQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDHV @ usando la prueba de convergencia El intervalo de convergencia para la representación en serie de potencias de ex es el mismo que para exHVGHFLU 3HURHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLD de la serie de Taylor de ln xHVDKRUD @HVWHLQWHUYDORHV @GHVSOD]DGR XQDXQLGDGDODGHUHFKD • Aritmética de series de potencias /DVVHULHVGHSRWHQFLDVVHFRPELQDQPHGLDQWH RSHUDFLRQHVGHVXPDPXOWLSOLFDFLyQ\GLYLVLyQ/RVSURFHGLPLHQWRVSDUDODVVHULHV GHSRWHQFLDVVRQVLPLODUHVDORVTXHVHXVDQSDUDVXPDUPXOWLSOLFDU\GLYLGLUGRV SROLQRPLRVHVGHFLUVHVXPDQORVFRH¿FLHQWHVGHSRWHQFLDVLJXDOHVGHxVHXVDOD OH\GLVWULEXWLYD\VHUH~QHQWpUPLQRVVHPHMDQWHV\VHUHDOL]DODGLYLVLyQODUJD 240 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES EJEMPLO 2 Multiplicación de series de potencias 'HWHUPLQHXQDUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDVGHex sen x SOLUCIÓN 8WLOL]DPRVXQDVHULHGHSRWHQFLDVSDUDex y sen x ex senx 1 x x3 6 x4 24 1 6 (1)x2 (1)x x x2 2 x2 x3 x5 3 30 x3 6 x 1 3 x 2 1 6 x5 120 1 4 x 6 x7 5040 1 120 1 12 1 5 x 24 . 3XHVWRTXHODVVHULHVGHSRWHQFLDVSDUDex y sen x convergen sobre ( ODVHULHGH SURGXFWRVFRQYHUJHVREUHHOPLVPRLQWHUYDOR/RVSUREOHPDVUHODFLRQDGRVFRQPXOWLSOLFDFLyQRGLYLVLyQGHVHULHVGHSRWHQFLDVVHUHVXHOYHQPHMRUXVDQGRXQVLVWHPDDOJHEUDLFRFRPSXWDFLRQDO CORRIMIENTO DEL ÍNDICE DE LA SUMA 3DUD HO UHVWR GH HVWD VHFFLyQ DVt FRPRHVWHFDStWXORHVLPSRUWDQWHTXHVHDFRVWXPEUHDVLPSOL¿FDUODVXPDGHGRVR PiVVHULHVGHSRWHQFLDVFDGDXQDH[SUHVDGDHQQRWDFLyQGHVXPDHQXQDH[SUHVLyQ con una sola . &RPRVHPXHVWUDHQHOVLJXLHQWHHMHPSORODFRPELQDFLyQGHGRVR PiVQRWDFLRQHVGHVXPDHQXQDVRODVXHOHUHTXHULUTXHVHYXHOYDDLQGL]DUODVHULHHV GHFLUTXHVHUHDOLFHXQFDPELRHQHOtQGLFHVtPERORGHVXPD EJEMPLO 3 Suma de dos series de potencias ` Escriba o n(n 2 1)cn x n22 2 n52 ` o cn xn11 n50 FRPRXQDVRODVHULHGHSRWHQFLDV SOLUCIÓN 3DUDVXPDUODVGRVVHULHVHVQHFHVDULRTXHDPERVtQGLFHVGHODVVXPDV FRPLHQFHQFRQHOPLVPRQ~PHUR\ODVSRWHQFLDVGHxHQFDGDFDVRHVWpQ³HQIDVH´HV GHFLUVLXQDVHULHFRPLHQ]DFRQXQP~OWLSORGHSRUHMHPSORxDODSULPHUDSRWHQFLD HQWRQFHVVHTXLHUHTXHODRWUDVHULHFRPLHQFHFRQODPLVPDSRWHQFLD2EVHUYHTXHHQ HOSUREOHPDODSULPHUDVHULHHPSLH]DFRQx0PLHQWUDVTXHODVHJXQGDFRPLHQ]DFRQx1 6LVHHVFULEHHOSULPHUWpUPLQRGHODSULPHUDVHULHIXHUDGHODQRWDFLyQGHVXPD serie comienza serie comienza con x con x para n 3 para n 0 n(n 1)cn x n2 n0 cn x n1 2 n2 n3 n0 1c2 x 0 n(n 1)cn x n2 cn x n1, YHPRVTXHDPEDVVHULHVGHOODGRGHUHFKRHPSLH]DQFRQODPLVPDSRWHQFLDGHxHQ particular x1$KRUDSDUDREWHQHUHOPLVPRtQGLFHGHODVXPDVHWRPDQFRPRJXtD los exponentes de x; se establece k n HQODSULPHUDVHULH\DOPLVPRWLHPSR k n HQODVHJXQGDVHULH3DUDn HQk n REWHQHPRVk \SDUDn 0 en k n 1 obtenemos k \DVtHOODGRGHUHFKRGHODHFXDFLyQ VHFRQYLHUWHHQ igual 2c2 (k 2)(k 1)ck2 x k ck1 x k . k1 igual k1 6.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS O 241 5HFXHUGHTXHHOtQGLFHGHODQRWDFLyQVXPDHVXQDYDULDEOH³PXGD´HOKHFKRGHTXH k n HQXQFDVR\k n 1 en el otro no debe causar confusión si se considera que lo importante es el valorGHOtQGLFHGHVXPD(QDPERVFDVRVk toma los mismos valores sucesivos k FXDQGRn toma los valores n SDUDk n 1 y n SDUDk n $KRUDHVSRVLEOHVXPDUODVVHULHVGH WpUPLQRDWpUPLQR n(n 1)cn xn n 2 2 1 cn xn n 2c2 0 [(k 2)(k 1 k 1)ck 2 ck 1 ]xk. 6L QR HVWi FRQYHQFLGR GHO UHVXOWDGR HQ HQWRQFHV HVFULED DOJXQRV WpUPLQRV GH DPERVODGRVGHODLJXDOGDG UN REPASO(OREMHWLYRGHHVWDVHFFLyQHVUHFRUGDUORVKHFKRVLPSRUWDQWHVDFHUFD de las series de potencias para que se sienta cómodo con el uso de las series de poWHQFLDVHQODVLJXLHQWHVHFFLyQHQFRQWUDQGRVROXFLRQHVGHODV('GHVHJXQGRRUGHQ OLQHDOHV(O~OWLPRHMHPSORHQHVWDVHFFLyQYLQFXODPXFKRVGHORVFRQFHSWRVDSHQDV GLVFXWLGRV\WDPELpQGDXQDYLVWDSUHYLDGHOPpWRGRTXHVHXWLOL]DUiHQODVHFFLyQ 'HOLEHUDGDPHQWHPDQWHQHPRVHOHMHPSORVLPSOHUHVROYLHQGRXQDHFXDFLyQOLQHDOGH SULPHU RUGHQ 7DPELpQ GH IRUPD HVTXHPiWLFD GDPRV SRU KHFKR TXH \D VDEH FyPR UHVROYHUODHFXDFLyQGDGDXVDQGRHOPpWRGRGHIDFWRULQWHJUDQWHGHODVHFFLyQ EJEMPLO 4 Una solución en serie de potencias cnxn de la ecuación diferen- 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDVGH y cial y´ y n 0 0RVWUDPRVODVROXFLyQHQXQDVHFXHQFLDGHSDVRV i 3ULPHURFDOFXODPRVODGHULYDGDGHODVROXFLyQVXSXHVWD SOLUCIÓN cn nx n y n 1 vea el primer renglón de (1) 1 ii 'HVSXpVVXVWLWX\Dy y y´HQOD('GDGD y cn nxn y n 1 cn x n. 1 n 0 iii $KRUDFRUUDORVtQGLFHVGHODVXPD&XDQGRORVtQGLFHVGHODVXPDWLHQHQHOPLVPR punto de inicio y las potencias de xFRQFXHUGDQVHFRPELQDQODVVXPDV y cnnxn y n 1 cnxn 1 n k 0 n 1 k ck 1(k 1)xk k 0 k 0 n ckxk k [ck 1(k 0 ck]xk. 1) iv 3XHVWRTXHTXHUHPRVTXHVHVDWLVIDJDy´ y 0 para toda xHQDOJ~QLQWHUYDOR [ck 1(k k ck]xk 1) 0 0 es una identidad por lo que se debe tener que ck1(k ck R ck 1 1 k 1 ck, k 0, 1, 2, . . . . 242 CAPÍTULO 6 O SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES v KDFLHQGRTXHkWRPHYDORUHVVXFHVLYRVHQWHURVFRPHQ]DQGRFRQk HQFRQWUDPRV 1 c1 c c0 1 0 1 1 1 c2 c1 ( c0) c 2 2 2 0 1 1 1 1 c3 c c c 3 2 3 2 0 3 2 0 1 c 4 2 c4 1 4 1 1 c 4 3 2 0 c0 3 2 \DVtVXFHVLYDPHQWHGRQGHc0HVDUELWUDULR vi 8VDQGRODVROXFLyQRULJLQDOVXSXHVWD\ORVUHVXOWDGRVGHOLQFLVRv REWHQHPRVXQD solución formal en serie de potencias c2 x2 c3 x3 c4 x4 . . . 1 2 1 3 1 c0 c0 x c x c0 x c0 x4 . . . 2 0 3 2 4 3 2 1 2 1 3 1 c0 1 x x x x4 . . . 2 3 2 4 3 2 'HEHUtD VHU EDVWDQWH REYLR TXH HO SDWUyQ GH ORV FRH¿FLHQWHV HQ HO LQFLVR v HV ck c0 ( kkk «SRUORTXHHQQRWDFLyQGHVXPDSRGHPRVHVFULELU ( 1)k k y c0 x k 0 k! y 6LVHGHVHDSRGUtDPRVUHJUHVDUDn FRPRHOtQGLFHGHODVXPD c0 c1x 'HODSULPHUDUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDV ODVROXFLyQHQ VHUHFRQRFH como y c0ex.6LKXELHUDXVDGRHOPpWRGRGHODVHFFLyQKDEUtDHQFRQWUDGRTXHy cex es una solución de y´ y 0 sobre el intervalo ( (VWHLQWHUYDORWDPELpQ HVHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDGHODVHULHGHSRWHQFLDVHQ EJERCICIOS 6.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9. En los problemas 1-10 encuentre el intervalo y radio de FRQYHUJHQFLDSDUDODVHULHGHSRWHQFLDVGDGD n 2. n ( 1) n x 1 n 4. n 2n n x 1n k ( 1)k (x k 1 10 1. 3. 5. 1 7. k 2 1k k 25k x 2k 3 15 9. k (3x 5)k n 1 n x 2 n 1 n 5n n x 0 n! 6. k!(x k k 1) 0 3 (4x n ( 1)n 2n x n 0 9 k 5) 13. x2 1 2 x 12. xe3x x 14. 1 x2 (QORVSUREOHPDV\ODIXQFLyQGDGDHVDQDOtWLFDHQa 8WLOLFHODVHULHDGHFXDGDHQ \ODPXOWLSOLFDFLyQSDUDHQFRQWUDUORVSULPHURVFXDWURWpUPLQRVGLVWLQWRVGHFHURGHODVHULHGH 0DFODXULQGHODIXQFLyQGDGD 1 En los problemas del 11-16 use una serie adeFXDGDHQ SDUDHQFRQWUDUODVHULHGH0DFODXULQGHODIXQFLyQGDGD(VFULEDVXUHVSXHVWDHQQRWDFLyQGHVXPD 11. e [Sugerencia:8VHSHULRGLFLGDG@ 18. ln x; a >Sugerencia: x > (x @@ 0 10. 16. sen x 1)k k k (QORVSUREOHPDV\XWLOLFHXQDVHULHDGHFXDGDHQ SDUD encontrar la serie de Taylor de la función dada centrada en el valor indicado de a(VFULEDVXUHVSXHVWDHQQRWDFLyQGHVXPD 17. sen xa ʌ k 8. 15. ln(1 x 19. sen x cos x 20. excos x (QORVSUREOHPDV\ODIXQFLyQGDGDHVDQDOtWLFDHQa 8WLOLFHODVHULHDGHFXDGDHQ \ODGLYLVLyQODUJDSDUDHQFRQWUDUORVSULPHURVFXDWURWpUPLQRVGLVWLQWRVGHFHURGHODVHULHGH 0DFODXULQGHODIXQFLyQGDGD 21. sec x 22. tan x 6.2 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS O 243 (QORVSUREOHPDV\XWLOLFHXQDVXVWLWXFLyQSDUDFRUUHU ecuación diferencial indicada [Sugerencia: 3DUD XQD SRWHQFLD HOtQGLFHGHODVXPDSDUDTXHHOWpUPLQRJHQHUDOGHODVHULHGH xn+1 haga k n @ potencias dada involucre a xk ( 1)n 2n 31. y x , y 2xy 0 n 0 n! (2n 1)cn x n 3 24. ncn xn 2 23. n n 1 3 ( 1)nx 2n, 32. y (Q ORV SUREOHPDV GHO SURFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR para reescribir la expresión dada usando una sola serie de po33. y WHQFLDVFX\RWpUPLQRJHQHUDOLQYROXFUDDxk ncn xn 25. n 1 n 1 ncn xn 26. 1 cn x n n 1 cn xn 3 n 0 (x n ( 1)n 1 n x, n 1 xy n ( 1)n 2n x , 2n 2 0 2 (n!) 34. y 0 2 x2)y (1 n 2xy 0 1)y y 0 y xy 0 (QORVSUREOHPDVGHODSURFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\ 0 cnxn de la encuentre una solución en serie de potencias y 2ncn x n 27. n 1 n 2 n 2 28. n(n 29. n(n 30. n(n n 2 1 6cn x n n 0 1)cn x n 2 1 cn x n n 1)cn x n 2 ncn x n 2 1 2 n(n n 2 0 n 1)cn x n HFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHURUGHQGDGD 2 cn x n n 2 5y 37. y xy 0 36. 4y y 38. (1 x)y 0 0 y 0 Problemas para analizar 0 1)cn x n 35. y n ncn x n 3 n 1 39. (QHOSUREOHPDHQFXHQWUHXQDIRUPDPiVIiFLOTXHPXOtiplicar dos series de potencias para obtener la representación en series de Maclaurin de sen x cos x (Q ORV SUREOHPDV GHO DO FRPSUXHEH SRU VXVWLWXFLyQ 40. (QHOSUREOHPD¢FXiOFUHHXVWHGTXHHVHOLQWHUYDORGHdirecta que la serie de potencias dada es una solución de la convergencia para la serie de Maclaurin de sec x? 6.2 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS INTRODUCCIÓN $O¿QDOGHOD~OWLPDVHFFLyQPRVWUDUHPRVFyPRREWHQHUXQDVROXFLyQHQVHULHGH SRWHQFLDVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHURUGHQ(QHVWDVHFFLyQUHJUHVDUHPRVDOSUREOHPD PiVLPSRUWDQWHGHHQFRQWUDUVROXFLRQHVGHODVHFXDFLRQHVOLQHDOHVGHVHJXQGRRUGHQHQODIRUPDGH VHULHVGHSRWHQFLDVFX\RFHQWURHVXQQ~PHURx0 que es un punto ordinarioGHOD('&RPHQ]DPRV FRQODGH¿QLFLyQGHXQSXQWRRUGLQDULR UNA DEFINICIÓN 6LGLYLGLPRVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOKRPRJpQHDGHVHJXQGR RUGHQ a2 (x)y a1 (x)y a0 (x)y 0 SRUHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOa(x REWHQHPRVODIRUPDHVWiQGDU y P(x)y Q(x)y 0 REWHQHPRVODVLJXLHQWHGH¿QLFLyQ DEFINICIÓN 6.2.1 Puntos ordinarios y singulares Se dice que un punto x x0 es un punto ordinario GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO VL DPERVFRH¿FLHQWHVP(x \Q(x HQODIRUPDHVWiQGDU VRQDQDOtWLFDVHQx06HGLFH TXHXQSXQWRTXHQRHVSXQWRRUGLQDULRGH HVXQpunto singular GHODHFXDFLyQ 244 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES EJEMPLO 1 Puntos ordinarios a)8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFRPR y y 0 y y y 0 y QRSXHGHWHQHUSXQWRVVLQJXODUHV(QRWUDVSDODEUDVFDGDYDORU¿QLWR GHx es un punto RUGLQDULRGHHVWDVHFXDFLRQHV b)&DGDYDORU¿QLWRGHx es un punto ordinario de la ecuación diferencial y (ex y (sen x y (QSDUWLFXODUx HVXQSXQWRRUGLQDULRSRUTXHFRPR\DVHYLRHQ GHODVHFFLyQ WDQWRex como sen xVRQDQDOtWLFDVHQHVWHSXQWR /DQHJDFLyQHQHOVHJXQGRHQXQFLDGRGHODGH¿QLFLyQHVWDEOHFHTXHDOPHQRVXQD GHORVFRH¿FLHQWHVIXQFLRQDOHVP(x \Q(x HQ QRHVDQDOtWLFDHQx0HQWRQFHVx0 es XQSXQWRVLQJXODU EJEMPLO 2 Puntos singulares a)/DHFXDFLyQGLIHUHQFLDO y xy (ln x y 0 \DHVWiHQODIRUPDHVWiQGDU/DVIXQFLRQHVFRH¿FLHQWHVVRQ P(x x y Q(x ln x $KRUDP(x xHVDQDOtWLFDHQWRGRQ~PHURUHDO\Q(x ln xHVDQDOtWLFDSDUDWRGR Q~PHURUHDOpositivo6LQHPEDUJR\DTXHQ(x ln x es discontinua en x 0 no se puede representar por una serie de potencias en xHVGHFLUXQDVHULHGHSRWHQFLDVFHQWUDGDHQ&RQFOXLPRVTXHx HVXQSXQWRVLQJXODUGHOD(' b)$OWHQHUxy y xy HQODIRUPDHVWiQGDU y0 1 1 y9 1 y 5 0, x vemos que P(x 1xQRHVDQDOtWLFDHQx 03RUORTXHx 0 es un punto singular de ODHFXDFLyQ COEFICIENTES POLINOMIALES Se pone atención sobre todo al caso en el cual ORVFRH¿FLHQWHVa(x a1(x \a0(x HQODHFXDFLyQ VRQIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVVLQ IDFWRUHVFRPXQHV8QDIXQFLyQSROLQRPLDOHVDQDOtWLFDHQFXDOTXLHUYDORUx y una funFLyQUDFLRQDOHVDQDOtWLFDH[FHSWRHQORVSXQWRVGRQGHVXGHQRPLQDGRUHVFHUR$VtHQ DPERVFRH¿FLHQWHV P(x) 5 a1(x) a2(x) and Q(x) 5 a0(x) a2(x) 3DUDQXHVWURVSURSyVLWRVORVSXQWRVRUGLQDULRV\SXQWRVVLQJXODUHVVLHPSUHVHUiQSXQWRV¿QLWRV(V SRVLEOHTXHXQD('2WHQJDXQSXQWRVLQJXODUHQHOLQ¿QLWR 6.2 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS O 245 VRQDQDOtWLFDVH[FHSWRGRQGHa(x (QWRQFHVVHWLHQHTXH Un número x x0HVXQSXQWRRUGLQDULRGH VLa(x0 0 mientras que x x0 HVXQSXQWRVLQJXODUGH VLa(x0 EJEMPLO 3 Puntos ordinarios y singulares a)/RV~QLFRVSXQWRVVLQJXODUHVGHODHFXDFLyQ (x O y xy 6y 0 son soluciones de x 1 0 o x GLQDULRV O7RGRVORVRWURVYDORUHVGHx son puntos or- b)/DLQVSHFFLyQGHODHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHU ? a(x x 0 en x 0 xy y 0 muestra que tiene un punto singular en x 7RGRVORVRWURVYDORUHVGHx son puntos RUGLQDULRV c)/RVSXQWRVVLQJXODUHVQRQHFHVLWDQVHUQ~PHURVUHDOHV/DHFXDFLyQ (x O y xy y 0 tiene puntos singulares en las soluciones x 1 HQSDUWLFXODUx valores de xUHDOHVRFRPSOHMRVVRQSXQWRVRUGLQDULRV i/RVRWURV Establecemos el siguiente teorema acerca de la existencia de soluciones en series de SRWHQFLDVVLQGHPRVWUDFLyQ TEOREMA 6.2.1 Existencia de soluciones en series de potencias Si x x0HVXQSXQWRRUGLQDULRGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO VLHPSUHHVSRsible encontrar dos soluciones linealmente independientes en la forma de una serie de potencias centrada en x0HVGHFLU y5 ` o cn(x 2 x0)n n50 8QD VROXFLyQ HQ VHULH FRQYHUJH SRU OR PHQRV HQ XQ LQWHUYDOR GH¿QLGR SRU x x0 RGRQGHR es la distancia desde x0DOSXQWRVLQJXODUPiVFHUFDQR Se dice que una solución de la forma y x0 )n es una solución resn 0 cn (x pecto a un punto ordinario x0/DGLVWDQFLDRHQHOWHRUHPDHVHOvalor mínimo o límite inferiorGHOUDGLRGHFRQYHUJHQFLD EJEMPLO 4 Mínimo radio de convergencia (QFXHQWUHHOUDGLRPtQLPRGHFRQYHUJHQFLDGHXQDVHULHGHSRWHQFLDVGHODHFXDFLyQ diferencial de segundo orden (x x y xy y 0 a) en torno al punto ordinario en x b) en torno al punto ordinario x 1 246 O CAPÍTULO 6 y i SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 1 + 2i 5 1 x 5 1 − 2i FIGURA 6.2.1 'LVWDQFLDVGHVGHORV puntos singulares al punto ordinario 0 en HOHMHPSOR SOLUCIÓN 0HGLDQWHODIyUPXODFXDGUiWLFDYHPRVHQx x 5 0 que los puntos VLQJXODUHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVRQORVQ~PHURVFRPSOHMRV i a) Ya que x HV XQ SXQWR RUGLQDULR GH OD HFXDFLyQ HO WHRUHPD JDUDQWL]D TXH HV SRVLEOH HQFRQWUDU GRV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV FHQWUDGDV HQ HV n GHFLU VROXFLRQHV TXH VH SDUHFHQ D y n 0 cn x . \ DGHPiV VDEHPRV VLQ UHDOmente encontrar estas soluciones que cada serie debe converger al menos para 15 HV OD GLVWDQFLD HQ HO SODQR FRPSOHMR D FXDOTXLHUD x 15 donde R GHORVQ~PHURVi HOSXQWR Ri HOSXQWR DOSXQWRRUGLQDULR HOSXQWR 9HDOD¿JXUD b) Ya que x HVXQSXQWRRUGLQDULRGHOD('HOWHRUHPDJDUDQWL]DTXHSRdemos encontrar dos soluciones en series de potencias parecidas a y 1) n n 0 cn (x Cada serie debe converger al menos para | x 1| 212 ya que la distancia de cada 18 212. punto singular a 1 (el punto ( HVR (QHOLQFLVRD GHOHMHPSORuna de las soluciones en series de potencias centradas en GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHVYiOLGDVREUHXQLQWHUYDORPXFKRPD\RUTXH 15 15 HQUHDOLGDGHVWDVROXFLyQHVYiOLGDVREUHHOLQWHUYDOR \DTXHVHSXHGHGHPRVWUDU TXHXQDGHODVGRVVROXFLRQHVHQWRUQRDVHUHGXFHDXQDSROLQRPLDO NOTA (QORVHMHPSORVTXHVLJXHQDVtFRPRHQORVHMHUFLFLRVSRUVLPSOL¿FDU encontraremos soluciones en serie de potencias sólo respecto al punto ordinario x 6LHVQHFHVDULRHQFRQWUDUXQDVROXFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDVGHXQD('2OLQHDODOrededor de un punto ordinario x0 VLPSOHPHQWH VH KDFH HO FDPELR GH YDULDEOH t x x0 en la ecuación (esto traslada x x0 para t SDUDHQFRQWUDUODVVROXFLRQHV n de la nueva ecuación de la forma y n 0 cn t \GHVSXpVYROYHUDVXVWLWXLUt x x0 DETERMINACIÓN DE UNA SOLUCIÓN EN SERIES DE POTENCIAS 'HWHUPLQDU XQD VROXFLyQ GH VHULHV GH SRWHQFLDV GH XQD ('2 OLQHDO KRPRJpQHD GH VHJXQGRRUGHQKDVLGRH[DFWDPHQWHGHVFULWRFRPR³HOPpWRGRGHseriesGHORVFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV´\DTXHHOSURFHGLPLHQWRHVEDVWDQWHVLPLODUDORTXHKLFLPRV HQ OD VHFFLyQ (Q FDVR GH TXH QR IXQFLRQH FRPR HQ HO HMHPSOR GH OD VHFFLyQ n (Q UHVXPHQ OD LGHD HV OD VLJXLHQWH VXVWLWXLPRV y n 0 cn x en la ecuación GLIHUHQFLDO VH FRPELQD OD VHULH FRPR VH KL]R HQ HO HMHPSOR GH OD VHFFLyQ \ OXHJRVHLJXDODQORVFRH¿FLHQWHVGHOPLHPEURGHUHFKRGHODHFXDFLyQSDUDGHWHUPLQDU ORVFRH¿FLHQWHVcn3HURFRPRHOPLHPEURGHUHFKRHVFHURHO~OWLPRSDVRUHTXLHUH por la propiedad de identidadHQODOLVWDGHSURSLHGDGHVDQWHULRUTXHWRGRVORVFRH¿FLHQWHVGHxVHGHEDQLJXDODUDFHUR(VWRnoVLJQL¿FDTXHORVFRH¿FLHQWHVson cero SXHVHOORQRWHQGUtDVHQWLGRGHVSXpVGHWRGRHOWHRUHPDJDUDQWL]DTXHVHSXHGHQHQFRQWUDUGRVVROXFLRQHV(QHOHMHPSORVHLOXVWUDFyPRODVRODVXSRVLFLyQGH n y c0 c1 x c2 x2 FRQGXFH D GRV FRQMXQWRV GH FRH¿FLHQWHV n 0 cn x por lo que se tienen dos series de potencias distintas y1(x \y(x DPEDVGHVDUUROODGDV alrededor del punto ordinario x /DVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHV y C1y1(x Cy(x GHKHFKRVHSXHGHGHPRVWUDUTXHC1 c0 y C c1 EJEMPLO 5 $QWHVGHTXHWUDEDMHFRQHVWH HMHPSOROHUHFRPHQGDPRVTXH OHDGHQXHYRHOHMHPSORGHOD VHFFLyQ Soluciones en series de potencias Resuelva y xy SOLUCIÓN 3XHVWRTXHQRKD\SXQWRVVLQJXODUHV¿QLWRVHOWHRUHPDJDUDQWL]D GRV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV FHQWUDGDV HQ FRQYHUJHQWHV SDUD x n n 2 c x y n(n 1)c x Sustituyendo y y la segunda derivada (vea n n 0 n n 2 GHODVHFFLyQ HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHREWLHQH y0 2 xy 5 ` o n52 cnn(n 2 1) x n22 2 x ` o n50 cn x n 5 ` o n52 cnn(n 2 1) xn22 2 ` o cn xn11. n50 6.2 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS O 247 <DVHKDQVXPDGRODVGRV~OWLPDVVHULHVHQHOPLHPEURGHUHFKRGHODLJXDOGDGHQ FRUULHQGRHOtQGLFHGHODVXPD'HOUHVXOWDGRGDGRHQ GHODVHFFLyQ y0 2 xy 5 2c2 1 ` o [(k 1 1)(k 1 2) ck12 2 ck21] xk 5 0. k51 (QHVWHSXQWRVHLQYRFDODSURSLHGDGGHLGHQWLGDG3XHVWRTXH HVLGpQWLFDPHQWHcero HVQHFHVDULRTXHHOFRH¿FLHQWHGHFDGDSRWHQFLDGHxVHLJXDOHDFHURHVGHFLUc 0 HVHOFRH¿FLHQWHGHx0 \ (k 1 1)(k 1 2)ck12 2 ck21 5 0, k 5 1, 2, 3, . . . . $KRUDc 0 obviamente dice que c 3HURODH[SUHVLyQHQ OODPDGDrelación de recurrenciaGHWHUPLQDODckGHWDOPDQHUDTXHVHSXHGHHOHJLUTXHFLHUWRVXEFRQMXQWR GHOFRQMXQWRGHFRH¿FLHQWHVVHDdiferente de cero3XHVWRTXH k k 0 para los valores de kVHSXHGHUHVROYHU SDUDck HQWpUPLQRVGHck 1: ck 2 ck 1 1)(k (k 2) , 1, 2, 3, . . . . k (VWDUHODFLyQJHQHUDFRH¿FLHQWHVFRQVHFXWLYRVGHODVROXFLyQVXSXHVWDXQDYH]TXHk WRPDORVHQWHURVVXFHVLYRVLQGLFDGRVHQ c0 k 1, c3 k 2, c4 k 3, c5 k 4, c6 k 5, c7 k 6, c8 k 7, c9 k 8, c10 k 9, c11 2 3 c1 3 4 c2 4 5 c3 5 6 c4 6 7 c5 7 8 c6 8 9 0 m c2 es cero 1 c 2 3 5 6 0 1 c 3 4 6 7 1 0 m c5 es cero 1 c 2 3 5 6 8 9 0 c7 9 10 1 c 3 4 6 7 9 10 1 c8 10 11 0 m c8 es cero HWFpWHUD$KRUDVXVWLWX\HQGRORVFRH¿FLHQWHVREWHQLGRVHQODVXSRVLFLyQRULJLQDO y c0 c1 x c2 x2 c3 x3 c4 x4 c5 x5 c6 x6 x3 1 c1 c7 x7 c8 x8 c9 x9 c10 x10 c11 x11 , obtenemos y 5 c0 1 c1x 1 0 1 1 c0 2?3 3?4 x4 1 0 1 c0 2?3?5?6 x6 c0 c1 c1 x7 1 0 1 x9 1 x10 1 0 1 Á . 3?4?6?7 2?3?5?6?8?9 3 ? 4 ? 6 ? 7 ? 9 ? 10 248 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 'HVSXpVGHDJUXSDUORVWpUPLQRVTXHFRQWLHQHQc0 y los que contienen c1VHREWLHQH y c0 yl(x c1y(x GRQGH y1(x) 5 11 y2(x) 5 x 1 1 2?3 1 3?4 x3 1 x4 1 1 x6 1 2?3?5?6 1 3?4?6?7 x7 1 1 2?3?5?6?8?9 x9 1 Á 5 1 1 ` 1 x3k Á 2 ? 3 (3k 2 1)(3k) o k51 ` 1 x10 1 Á 5 x 1 3 ? 4 ? 6 ? 7 ? 9 ? 10 1 x3k11. Á 3 ? 4 (3k)(3k 1 1) o k51 'HELGRDTXHHOXVRUHFXUVLYRGH GHMDDc0 y a c1FRPSOHWDPHQWHLQGHWHUPLQDGDVVH SXHGHQ HOHJLU HQ IRUPD DUELWUDULD &RPR \D VH PHQFLRQy DQWHV GH HVWH HMHPSOR OD combinación lineal y c0 yl(x c1 y(x UHSUHVHQWDHQUHDOLGDGODVROXFLyQJHQHUDOGH ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO$XQTXHVHVDEHGHOWHRUHPDTXHFDGDVROXFLyQHQVHULH converge para x HVGHFLUVREUHHOLQWHUYDOR (VWHKHFKRWDPELpQVH SXHGHFRPSUREDUFRQODSUXHEDGHODUD]yQ /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHO HMHPSOR VH OODPD ecuación de Airy OODPDGD DVt SRU HO PDWHPiWLFR \ DVWUyQRPR LQJOpV *HRUJH %LGGHO $LU\ \ VH HQFXHQWUD HQHOHVWXGLRGHODGLIUDFFLyQGHODOX]ODGLIUDFFLyQGHRQGDVGHUDGLRDOUHGHGRUGH ODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUDODDHURGLQiPLFD\ODGHÀH[LyQGHXQDFROXPQDYHUWLFDOGHOJDGDXQLIRUPHTXHVHFXUYDEDMRVXSURSLRSHVR2WUDVIRUPDVFRPXQHVGHODHFXDFLyQ GH$LU\VRQy xy 0 y y xy 9pDVHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV SDUDXQDDSOLFDFLyQGHOD~OWLPDHFXDFLyQ EJEMPLO 6 Solución con series de potencias Resuelva (x y xy y SOLUCIÓN &RPRVHYLRHQODSiJLQDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDWLHQHSXQWRV singulares en x i\SRUWDQWRXQDVROXFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDVFHQWUDGDHQTXH converge al menos para x GRQGHHVODGLVWDQFLDHQHOSODQRFRPSOHMRGHVGHDi n o i/DVXSRVLFLyQ y n 0 cn x y sus primeras dos derivadas conducen a (x2 1) n(n 1)cnxn2 x ncnxn1 cnxn n2 n1 n0 n2 n2 n1 n0 n(n 1)cnxn n(n 1)cnxn2 ncnxn cnxn 2c2x0 c0x0 6c3x c1x c1x n(n 1)cnxn n2 kn n4 n2 n2 n(n 1)cnxn2 ncnxn cnxn kn2 kn kn 2c2 c0 6c3x [k(k 1)ck (k 2)(k 1)ck2 kck ck]xk k2 2c2 c0 6c3x [(k 1)(k 1)ck (k 2)(k 1)ck2]xk 0. k2 'HHVWDLGHQWLGDGVHFRQFOX\HTXHc – c0 c \ (k 1)(k 1)ck (k 2)(k 1)ck 2 0. 6.2 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS 3RUWDQWR c2 1 c 2 0 c3 0 2 1 k ck k c, 2 k O 249 2, 3, 4, . . . k Sustituyendo k HQOD~OWLPDIyUPXODVHREWLHQH c4 1 c 4 2 1 c 2 4 0 c5 2 c 5 3 0 c6 3 c 6 4 3 c 2 4 6 0 c7 4 c 7 5 0 c8 5 c 8 6 c9 6 c 9 7 c10 7 c 10 8 1 c 22 2! 0 ; c3 es cero 1 3 c 23 3! 0 ; c5 es cero 3 5 c 2 4 6 8 0 0, 1 3 5 c0 24 4! ; c7 es cero 3 5 7 c 2 4 6 8 10 0 1 3 5 7 c 0, 25 5! HWFpWHUD3RUWDQWR y c0 c2 x2 c1 x c0 1 1 2 x 2 c0 y1(x) c3 x3 c4 x4 1 4 x 22 2! c5 x5 1 3 6 x 23 3! c6 x6 c 7 x7 1 3 5 8 x 24 4! c8 x8 c9 x9 c10 x10 1 3 5 7 10 x 25 5! c1 x c1 y 2(x). /DVVROXFLRQHVVRQHOSROLQRPLRy(x x y la serie de potencias y1 (x) 1 2 x 2 1 EJEMPLO 7 ( 1)n n 1 3 5 1 2n 2 n! n 2 y se obtiene c2 x2n , x 1. Relación de recurrencia de tres términos Si se busca una solución en serie de potencias y 1 2 c0 3 (1 n 0 cn xn para la ecuación diferencial 0, x)y \ODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDGHWUHVWpUPLQRV ck 2 ck (k ck 1)(k 1 , 2) k 1, 2, 3, . . . 6HGHGXFHDSDUWLUGHHVWRVGRVUHVXOWDGRVTXHORVFRH¿FLHQWHVcnSDUDn VHH[SUHVDQHQWpUPLQRVGHc0 y c13DUDVLPSOL¿FDUVHSXHGHHOHJLUSULPHURc0 c1 0; HVWRFRQGXFHDFRH¿FLHQWHVSDUDXQDVROXFLyQH[SUHVDGDSRUFRPSOHWRHQWpUPLQRVGH c0$FRQWLQXDFLyQVLHOHJLPRVc0 c1 HQWRQFHVORVFRH¿FLHQWHVSDUDODRWUD 250 CAPÍTULO 6 O SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 1 2 c0 VROXFLyQVHH[SUHVDQHQWpUPLQRVGHc18VDQGR c2 de recurrencia para k VHREWLHQH c0 0, c1 0 c2 1 c 2 0 c3 c1 c0 2 3 c0 2 3 c4 c2 c1 3 4 c0 2 3 4 c0 24 c5 c3 c2 4 5 c0 1 4 5 6 1 2 c0 6 c0 30 HQDPERVFDVRVODUHODFLyQ c0 0, c1 0 c2 1 c 2 0 0 c3 c1 c0 2 3 c1 2 3 c1 6 c4 c2 c1 3 4 c1 3 4 c1 12 c5 c3 c2 4 5 c1 4 5 6 c1 120 HWFpWHUD3RU~OWLPRYHPRVTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQHVy c0 yl(x c1 y(x GRQGH 1 2 1 3 1 4 1 5 y1 (x) 1 x x x x 2 6 24 30 y2 (x) y 1 3 x 6 x 1 4 x 12 1 5 x 120 . &DGDVHULHFRQYHUJHSDUDWRGRVORVYDORUHV¿QLWRVGHx COEFICIENTES NO POLINOMIALES (QHOVLJXLHQWHHMHPSORVHPXHVWUDFyPR encontrar una solución en serie de potencias en torno a un punto ordinario x0 0 de XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFXDQGRVXVFRH¿FLHQWHVQRVRQSROLQRPLDOHV(QHVWHHMHPSOR YHPRVXQDDSOLFDFLyQGHODPXOWLSOLFDFLyQGHGRVVHULHVGHSRWHQFLDV EJEMPLO 8 ('FRQFRH¿FLHQWHVQRSROLQRPLDOHV Resuelva y (cos x y SOLUCIÓN 9HPRVTXHx HVXQSXQWRRUGLQDULRGHODHFXDFLyQSRUTXHFRPR\D KHPRVYLVWRFRVxHVDQDOtWLFDHQHVHSXQWR8VDQGRODVHULHGH0DFODXULQSDUDFRVx dada n HQ GHVHFFLyQMXQWRFRQODVXSRVLFLyQXVXDO y n 0 cn x \ORVUHVXOWDGRVGH GHODVHFFLyQVHHQFXHQWUD y (cos x)y n 2 1)cn xn n(n 2c2 6c3 x 2c2 c0 2 x2 2! 1 12c4 x2 (6c3 x4 4! x6 6! n 20c5 x3 c1)x 12c4 1 c2 0 x2 2! 1 c x2 2 0 cn xn x4 4! 20c5 (c0 c3 c2 x2 c1 x c3 x3 1 c x3 2 1 ) 0. Se tiene que 2c2 c0 0, 6c3 c1 0, 12c4 c2 1 c 2 0 0, 20c5 c3 1 1 1 1 HWFpWHUD (VWR GD c2 2 c0 , c3 6 c1 , c4 12 c0 , c5 30 c1, . . . WpUPLQRVVHOOHJDDODVROXFLyQJHQHUDOy c0 yl(x c1y(x GRQGH y1 (x) 1 1 2 x 2 1 4 x 12 y y2 (x) x 1 3 x 6 1 5 x 30 1 c 2 1 0, y agrupando . 6.2 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS O 251 'HELGRDTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQRWLHQHSXQWRVVLQJXODUHV¿QLWRVDPEDVVHULHVGH potencias convergen para x y1 3 2 1 x 21 210 28 26 24 22 2 a) Gráfica de y1(x) y2 3 2 1 x 21 210 28 26 24 22 CURVAS SOLUCIÓN /DJUi¿FDDSUR[LPDGDGHXQDVROXFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDV n y(x) n 0 cn x VH SXHGH REWHQHU GH YDULDV PDQHUDV 6LHPSUH VH SXHGH UHFXUULU D WUD]DUODJUi¿FDGHORVWpUPLQRVHQODVXFHVLyQGHVXPDVSDUFLDOHVGHODVHULHHQRWUDV N n SDODEUDVODVJUi¿FDVGHODVSROLQRPLDOHV SN (x) n 0 cn x . 3DUDYDORUHVJUDQGHVGH NSN(x GHEHGDUQRVXQDLQGLFDFLyQGHOFRPSRUWDPLHQWRGHy(x FHUFDGHOSXQWRRUdinario x 7DPELpQVHSXHGHREWHQHUXQDFXUYDVROXFLyQDSUR[LPDGDRQXPpULFD XVDQGR XQ SURJUDPD FRPR VH KL]R HQ OD VHFFLyQ 3RU HMHPSOR VL VH H[DPLQDQ FXLGDGRVDPHQWHODVVROXFLRQHVHQVHULHGHODHFXDFLyQGH$LU\GHOHMHPSORVHGHEH ver que y1(x \y(x VRQDVXYH]ODVVROXFLRQHVGHORVSUREOHPDVGHYDORUHVLQLFLDOHV y0 2 xy 5 0, y(0) 5 1, y9(0) 5 0, y0 2 xy 5 0, y(0) 5 0, y9(0) 5 1. /DV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV HVSHFL¿FDGDV ³VHOHFFLRQDQ´ ODV VROXFLRQHV yl(x \ y(x GH y c0 yl(x c1y(x SXHVWRTXHGHEHVHUHYLGHQWHGHODVXSRVLFLyQEiVLFDGHVHULHV n que y c y y c $KRUDVLHOSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD y n 0 cn x 0 1 UHTXLHUHXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVODVXVWLWXFLyQy u en y xy 0 produce y u xy\SRUFRQVLJXLHQWHXQVLVWHPDGHGRVHFXDFLRQHVGHSULPHURUGHQHTXLYDOHQWHDODHFXDFLyQGH$LU\HV y u u xy. 2 b) Gráfica de y2(x) FIGURA 6.2.2 Curvas de solución QXPpULFDSDUDOD('GH$LU\ /DVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVSDUDHOVLVWHPDHQ VRQORVGRVFRQMXQWRVGHFRQGLFLRQHV LQLFLDOHVHQ UHHVFULWDVFRPRy u 0 y y u /DVJUi¿FDV de yl(x \y(x TXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUDVHREWXYLHURQFRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD COMENTARIOS i (Q ORV SUREOHPDV TXH VLJXHQ QR HVSHUH SRGHU HVFULELU XQD VROXFLyQ HQ WpUPLQRV GHODQRWDFLyQGHVXPDHQFDGDFDVR$XQFXDQGRVHSXHGDQJHQHUDUWDQWRVWpUPLn nos como se desee en una solución en serie y n 0 cn x ya sea usando una relaFLyQGHUHFXUUHQFLDRFRPRHQHOHMHPSORSRUPXOWLSOLFDFLyQSRGUtDQRVHUSRVLEOH GHGXFLUQLQJ~QWpUPLQRJHQHUDOSDUDORVFRH¿FLHQWHVcn3RGUtDPRVWHQHUTXHFRQIRU PDUQRVFRPRVHKL]RHQORVHMHPSORV\FRQORVSULPHURVWpUPLQRVGHODVHULH ii 8Q SXQWR x0 HV XQ SXQWR RUGLQDULR GH XQD (' OLQHDO no homogénea de segundo orden y P(x y Q(x y f(x VLP(x Q(x \f [ VRQDQDOtWLFDVHQ x0 $GHPiV HO WHRUHPD VH DPSOtD D HVWD FODVH GH (' HQ RWUDV SDODEUDV podemos encontrar soluciones en serie de potencias y x0 ) n de n 0 cn (x ('OLQHDOHVQRKRPRJpQHDVGHODPLVPDPDQHUDTXHHQORVHMHPSORVDO9HD HOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV EJERCICIOS 6.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9. (QORVSUREOHPDV\VLQUHDOPHQWHUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDHQFXHQWUHXQYDORUPtQLPRSDUDHOUDGLRGHFRQvergencia de las soluciones en serie de potencias alrededor del punto ordinario x (QWRUQRDOSXQWRRUGLQDULRx 1. (x y xy y 0 2. (x x y xy 4y 0 (QORVSUREOHPDVGHWHUPLQHGRVVROXFLRQHVHQVHULHVGHSRWHQcias de la ecuación diferencial dada en torno al punto ordinario x Compare las soluciones en series con las soluciones de la ecuación GLIHUHQFLDOREWHQLGDXVDQGRHOPpWRGRGHODVHFFLyQ7UDWHGH H[SOLFDUFXDOTXLHUGLIHUHQFLDHQWUHODVGRVIRUPDVGHVROXFLRQHV 3. y y 0 4. y y 0 5. y y 0 6. y y 0 252 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES (QORVSUREOHPDVHQFXHQWUHGRVVHULHVGHSRWHQFLDVGHOD ecuación diferencial dada alrededor del punto ordinario x 7. y xy 0 8. y x y 0 9. y xy y 0 10. y xy y 0 11. y x y xy 0 12. y xy y 0 13. (x y y 0 14. (x y xy y 0 28. ¢(V x = 0 un punto ordinario de la ecuación diferencial y0 1 5xy9 1 Ïxy 5 0? Tarea para el laboratorio de computación 15. y (x y y 0 29. a) 'HWHUPLQHGRVVROXFLRQHVHQVHULHGHSRWHQFLDVSDUD y xy y 0 y exprese las soluciones y1(x \ y(x HQWpUPLQRVGHODQRWDFLyQGHVXPD 16. (x y 6y 0 17. (x y xy y 0 18. (x y xy y 0 (QORVSUREOHPDVXVHHOPpWRGRGHVHULHVGHSRWHQFLDV SDUDUHVROYHUHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV 20. (x y x y y y y 1 21. y xy 8y y y 0 22. (x y xy y y 1 (QORVSUREOHPDV\XVHHOSURFHGLPLHQWRGHOHMHPSOR para encontrar dos soluciones en serie de potencias de la ecuación diferencial alrededor del punto ordinario x 24. y e x y y 0 Problemas para analizar 25. Sin resolver en su totalidad la ecuación diferencial (cos x y y 5y HQFXHQWUHXQYDORUPtQLPRSDUD el radio de convergencia de las soluciones en serie de potencias alrededor de a x (QWRUQRDx 26. ¢&yPRVHSXHGHXVDUHOPpWRGRGHVFULWRHQHVWDVHFFLyQ para encontrar una solución en serie de potencias de la ecuación no homogénea y xy 1 alrededor del punto ordinario x "¢'Hy 4xy 4y ex"/OHYHDFDER VXVLGHDVDOUHVROYHUDPEDV(' 6.3 b) 8VHXQ6$&SDUDJUD¿FDUODVVXPDVSDUFLDOHVSN(x para y1(x 8VHN 5HSLWDFRQODV sumas parciales SN(x SDUDy(x c) & RPSDUHODVJUi¿FDVREWHQLGDVHQHOLQFLVRE FRQOD curva obtenida por medio de un programa de solución QXPpULFD 8VH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV y 1 y1 0 y y y 19. (x y xy y y y 6 23. y (sen x y 0 27. ¢(Vx 0 un punto ordinario o singular de la ecuación diferencial xy (sen x y "'H¿HQGDVXUHVSXHVWDFRQ PDWHPiWLFDV FRQYLQFHQWHV >Sugerencia: 8WLOLFH OD VHULH de Maclaurin de sen x\GHVSXpVH[DPLQH VHQx x@ d) Reexamine la solución y1(x GHOLQFLVRD ([SUHVH HVWDVHULHFRPRXQDIXQFLyQHOHPHQWDO'HVSXpVXVH ODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQSDUDHQFRQWUDUXQD VHJXQGD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ &RPSUXHEH TXH esta segunda solución es la misma que la solución en serie de potencias y(x 30. a) (QFXHQWUHXQWpUPLQRGLIHUHQWHGHFHURSDUDFDGDXQD de las soluciones y1(x \y(x GHOHMHPSOR b) 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQHQVHULHy(x GHOSUREOHPDGH valor inicial y (cos x y y y c) 8 VHXQ6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHODVVXPDVSDUciales SN(x SDUDODVROXFLyQy(x GHOLQFLVRE 8VH N d) &RPSDUH ODV JUi¿FDV REWHQLGDV HQ HO LQFLVR F FRQ la curva obtenida usando un programa de solución QXPpULFDSDUDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHO LQFLVRE SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES INTRODUCCIÓN /DVGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV y xy 0 y xy y 0 VRQ VLPLODUHV VyOR HQ TXH VRQ HMHPSORV GH (' OLQHDOHV VLPSOHV GH VHJXQGR RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV YDULDEOHV (VR HV WRGR OR TXH WLHQHQ HQ FRP~Q 'HELGR D TXH x 0 es un punto ordinario de y xy YLPRVHQODVHFFLyQDQWHULRUTXHQRKXERSUREOHPDHQHQFRQWUDUGRVVROXFLRQHVHQVHULH GHSRWHQFLDVGLVWLQWDVFHQWUDGDVHQHVHSXQWR(QFRQWUDVWHGHELGRDTXHx 0 es un punto singular de xy y HQFRQWUDUGRVVROXFLRQHVHQVHULHVLQ¿QLWDV²REVHUYHTXHQRVHGLMRHQseries de potencias—GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDODOUHGHGRUGHHVHSXQWRVHYXHOYHXQDWDUHDPiVGLItFLO (OPpWRGRGHVROXFLyQDQDOL]DGRHQHVWDVHFFLyQQRVLHPSUHSURGXFHGRVVROXFLRQHVHQVHULHVLQ¿QLWDV&XDQGRVyORVHHQFXHQWUDXQDVROXFLyQVHSXHGHXVDUODIyUPXODGDGDHQ GHODVHFFLyQSDUD HQFRQWUDUXQDVHJXQGDVROXFLyQ 6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES UNA DEFINICIÓN O 253 8QSXQWRVLQJXODUx0 de una ecuación diferencial lineal a2 (x)y a1 (x)y a0 (x)y 0 VHFODVL¿FDPiVELHQFRPRUHJXODURLUUHJXODU/DFODVL¿FDFLyQGHQXHYRGHSHQGHGH las funciones P y QHQODIRUPDHVWiQGDU y DEFINICIÓN 6.3.1 P(x)y Q(x)y 0. Puntos singulares regulares e irregulares Se dice que un punto singular x x0 es un punto singular regular de la ecuaFLyQGLIHUHQFLDO O VLODVIXQFLRQHVp(x (x – x0 P(x \q(x (x x0 Q(x VRQDQDOtWLFDVHQx08QSXQWRVLQJXODUTXHQRHVUHJXODUHVXQpunto singular irregularGHODHFXDFLyQ (OVHJXQGRHQXQFLDGRHQODGH¿QLFLyQLQGLFDTXHVLXQDRDPEDVIXQFLRQHVp(x (x x0 P (x \q(x (x x0 Q(x QRVRQDQDOtWLFDVHQx0HQWRQFHVx0 es un punto VLQJXODULUUHJXODU COEFICIENTES POLINOMIALES &RPRHQODVHFFLyQHVWDPRVSULQFLSDOPHQWH LQWHUHVDGRVHQHFXDFLRQHVOLQHDOHV GRQGHORVFRH¿FLHQWHVa(x al(x \a0(x VRQ SROLQRPLDOHVVLQIDFWRUHVFRPXQHV<DVHKDYLVWRTXHVLa(x0 HQWRQFHVx x0 es XQSXQWRVLQJXODUGH \DTXHDOPHQRVXQDGHODVIXQFLRQHVUDFLRQDOHVP(x al(x a (x \Q(x a0(x a(x HQODIRUPDHVWiQGDU QRHVDQDOtWLFDHQHVHSXQWR3HURFRPR a(x HVXQSROLQRPLR\x0HVXQDGHVXVUDtFHVVHGHGXFHGHOWHRUHPDGHOIDFWRUGHO iOJHEUDTXHx x0 es un factor de a(x (VWRVLJQL¿FDTXHGHVSXpVGHTXHal(x a(x \ a0(x a(x VHUHGXFHQDWpUPLQRVPtQLPRVHOIDFWRUx x0GHEHSHUPDQHFHUSDUDDOJXQDSRWHQFLDHQWHUDSRVLWLYDHQXQRRHQDPERVGHQRPLQDGRUHV$KRUDVXSRQJDTXH x x0HVXQSXQWRVLQJXODUGH SHURDPEDVIXQFLRQHVGH¿QLGDVSRUORVSURGXFWRV p(x (x x0 P(x \q(x (x x0 Q(x VRQDQDOtWLFDVHQx0/OHJDPRVDODFRQFOXsión de que multiplicar P(x SRUx x0 y Q(x SRU x x0 tiene el efecto (por eliminaFLyQ GHTXHx x0\DQRDSDUH]FDHQQLQJXQRGHORVGHQRPLQDGRUHV$KRUDVHSXHGH determinar si x0HVUHJXODUFRQXQDFRPSUREDFLyQYLVXDOUiSLGDGHORVGHQRPLQDGRUHV Si x x0 aparece DORPiV a la primera potencia en el denominador de P(x) y a ORPiV a la segunda potencia en el denominador de Q(x), entonces x x0 es un punto singular regular. $GHPiVREVHUYHTXHVLx x0 es un punto singular regular y se multiplica la ecuación SRU x x0 HQWRQFHVOD('RULJLQDOVHSXHGHHVFULELUHQODIRUPD x0)2 y (x (x x0)p(x)y 0, q(x)y donde p y qVRQDQDOtWLFDVHQx x0 EJEMPLO 1 &ODVL¿FDFLyQGHSXQWRVVLQJXODUHV Se debe aclarar que x \x VRQSXQWRVVLQJXODUHVGH (x2 4) 2 y 3(x 2)y 5y 0. 'HVSXpV GH GLYLGLU OD HFXDFLyQ SRU x (x (x FRH¿FLHQWHVDORVWpUPLQRVPtQLPRVVHHQFXHQWUDTXH P(x) (x 3 2)(x 2) 2 y Q(x) $KRUDVHSUXHEDP(x \Q(x HQFDGDSXQWRVLQJXODU (x 5 2) (x 2 y de reducir los . 2)2 254 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 3DUDTXHx VHDXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUHOIDFWRUx SXHGHDSDUHFHUHOHYDGR a la primera potencia en el denominador de P(x \DORPiVDODVHJXQGDSRWHQFLDHQHOGHnominador de Q(x 8QDFRPSUREDFLyQGHORVGHQRPLQDGRUHVGHP(x \Q(x PXHVWUDTXH DPEDVFRQGLFLRQHVVHVDWLVIDFHQSRUORTXHx HVXQSXQWRVLQJXODUUHJXODU(QIRUPD DOWHUQDWLYDOOHJDPRVDODPLVPDFRQFOXVLyQDOQRWDUTXHDPEDVIXQFLRQHVUDFLRQDOHV 3 5 y q(x) (x 2)2 Q(x) p(x) (x 2)P(x) (x 2)2 (x 2)2 VRQDQDOtWLFDVHQx $KRUDSXHVWRTXHHOIDFWRUx ( x DSDUHFHDODVHJXQGDSRWHQFLDHQ el denominador de P(x VHFRQFOX\HGHLQPHGLDWRTXHx HVXQSXQWRVLQJXODU LUUHJXODUGHODHFXDFLyQ(VWRWDPELpQVHGHGXFHGHOKHFKRGHTXH p(x) (x 2)P(x) 3 2)(x (x 2) HVQRDQDOtWLFDHQx (QHOHMHPSORREVHUYHTXHFRPRx HVXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUODHFXDFLyQ original se puede escribir como p(x) analítica en x 2 q(x) analítica en x 2 3 5 (x 2)2y (x 2) ––––––––2 y ––––––––2 y 0. (x 2) (x 2) &RPRRWURHMHPSORVHSXHGHYHUTXHx 0 es punto singular irregular de xy xy 8y 0 por inspección de los denominadores de P(x x y Q(x 8x 3RURWURODGRx 0 es un punto singular regular de xy xy 8y SXHVWR que x 0 y (x incluso no aparecen en los denominadores respectivos de P(x \Q(x 8x3DUDXQSXQWRVLQJXODUx x0FXDOTXLHUSRWHQFLDQRQHJDWLYDGH x x0PHQRUTXHXQR HQSDUWLFXODUFHUR \FXDOTXLHUSRWHQFLDQRQHJDWLYDPHQRUTXH GRV HQSDUWLFXODUFHUR\XQR HQORVGHQRPLQDGRUHVGHP(x \Q(x UHVSHFWLYDPHQWH indican que x0HVXQSXQWRVLQJXODULUUHJXODU8QSXQWRVLQJXODUSXHGHVHUXQQ~PHUR FRPSOHMR6HGHEHFRPSUREDUTXHx i y que x i son dos puntos singulares regulares de (x y±xy (l x y NOTA Cualquier ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden axy bxy cy GRQGHab y cVRQFRQVWDQWHVUHDOHVWLHQHXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUHQx Se debe comprobar que dos soluciones de la ecuación de Cauchy-Euler xy xy 4y VREUHHOLQWHUYDOR VRQy1 x y y x ln x6LVHLQWHQWDHQFRQWUDUXQD solución en serie de potencias respecto al punto singular regular x HQSDUWLFXODU n y n 0 cn x VHWHQGUtDp[LWRHQREWHQHUVyORODVROXFLyQSROLQRPLDOy1 x (O hecho de que no se obtuviera la segunda solución no es sorprendente porque ln x (y en consecuencia y x ln x QRHVDQDOtWLFDHQx HVGHFLUy no tiene un desarrollo en serie de Taylor centrado en x MÉTODO DE FROBENIUS 3DUDUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO UHVSHFWRD XQSXQWRVLQJXODUUHJXODUVHHPSOHDHOVLJXLHQWHWHRUHPDGHELGRDOHPLQHQWHPDWHPiWLFRDOHPiQFerdinand Georg Frobenius TEOREMA 6.3.1 Teorema de Frobenius Si x x0HVXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO HQWRQFHV existe al menos una solución de la forma y (x x0 ) r n 0 cn (x x0 ) n cn (x n 0 x0 ) n r, GRQGHHOQ~PHURrHVXQDFRQVWDQWHSRUGHWHUPLQDU/DVHULHFRQYHUJHSRUOR PHQRVVREUHDOJ~QLQWHUYDOR x – x0 R 6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES 255 O Observe las palabras al menosHQHOSULPHUHQXQFLDGRGHOWHRUHPD(VWRVLJQL¿FD TXHHQFRQWUDVWHFRQHOWHRUHPDHOWHRUHPDQRJDUDQWL]DTXHVHDSRVLEOHHQcontrar dosVROXFLRQHVHQVHULHGHOWLSRLQGLFDGRHQ (Ométodo de FrobeniusSDUD encontrar soluciones en serie respecto a un punto singular regular x0HVVLPLODUDOPpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV GH VHULHV GH OD VHFFLyQ DQWHULRU HQ OD TXH VH VXVWLWX\H y x0 ) n r HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD\VHGHWHUPLQDQORVFRH¿FLHQWHV n 0 cn (x desconocidos cnFRQXQDUHODFLyQGHUHFXUUHQFLD6LQHPEDUJRVHWLHQHXQDWDUHDPiVHQ HVWHSURFHGLPLHQWRDQWHVGHGHWHUPLQDUORVFRH¿FLHQWHVVHGHEHHQFRQWUDUHOH[SRQHQWH desconocido r6LVHHQFXHQWUDTXHrHVXQQ~PHURTXHQRHVXQHQWHURQHJDWLYRHQWRQFHV x0 ) n r QRHVXQDVHULHGHSRWHQFLDV la solución correspondiente y n 0 cn (x &RPRVHKL]RHQHODQiOLVLVGHVROXFLRQHVUHVSHFWRDSXQWRVRUGLQDULRVVLHPSUH VXSRQGUHPRVSRUUD]RQHVGHVLPSOLFLGDGDOUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHHO punto singular regular es x EJEMPLO 2 Dos soluciones en series 'HELGRDTXHx 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial 3xy y 0, y n 0 cn x . $KRUD r)(n r 1)cn x n tratamos de encontrar una solución de la forma y y n 0 (n r 1 r)cn x n y y n 0 (n n r r 2 , por lo que 3xy y y 3 n 0 n 0 (n (n x r r(3r r)(n r 1)cn x n r)(3n 3r 2)cn x n 2)c0 x 1 r 1 n 0 r 1 n 0 2)c0 x (k 1 n 0 1 k 0 [(k r r cn x n 123 n 0 n 1 k 1)(3k r cn x n 3r 1)c k 1 n ck ]x k 0, r r c 0 0 1)(3k r cn x n r (n r)(3n 3r 2)cn x n 1 1444442444443 lo que implica que y r)cn x n n 1 k x r r(3r (n 3r 1)ck 1 0, ck k 0, 1, 2, . . . Ya que no se ha ganado nada al hacer c0 HQWRQFHVGHEHPRVWHQHU y ck 1 (k r r(3r 2) 0 ck , 1)(3k 3r 1) k 0, 1, 2, . . . &XDQGRVHVXVWLWX\HHQ ORVGRVYDORUHVGHrTXHVDWLVIDFHQODHFXDFLyQFXDGUiWLFD r1 23 y r VHREWLHQHQGRVUHODFLRQHVGHUHFXUUHQFLDGLIHUHQWHV r1 2 3, ck 1 r2 0, ck 1 (3k ck 5)(k 1) (k ck 1)(3k 1) , k 0, 1, 2, . . . , k 0, 1, 2, . . . . 256 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 'H HQFRQWUDPRV c1 c2 c3 'H HQFRQWUDPRV c0 c1 5 1 c0 c1 8 2 2!5 8 c0 c2 11 3 3!5 8 11 c4 c3 14 4 cn c0 n!5 8 11 c2 c3 c0 4!5 8 11 14 c4 . (3n cn 2) c0 1 1 c1 2 4 c2 3 7 c3 4 10 c0 2!1 4 c0 3!1 4 7 c0 4!1 4 7 10 c0 n!1 4 7 (3n 2) . $TXtVHHQFXHQWUDDOJRTXHQRRFXUULyFXDQGRVHREWXYLHURQVROXFLRQHVUHVSHFWRDXQ SXQWRRUGLQDULRVHWLHQHORTXHSDUHFHQVHUGRVFRQMXQWRVGHFRH¿FLHQWHVGLIHUHQWHV SHURFDGDFRQMXQWRFRQWLHQHHOmismoP~OWLSORc06LVHRPLWHHVWHWpUPLQRODVVROXciones en serie son y1 (x) x2/ 3 1 y2 (x) x0 1 n 1 n!5 8 11 1 (3n 1 n 1 n!1 4 7 (3n xn xn . 2) 2) &RQHOFULWHULRGHODUD]yQVHSXHGHGHPRVWUDUTXH \ FRQYHUJHQSDUDWRGRVORV valores de xHVGHFLU x 7DPELpQGHEHVHUHYLGHQWHGHODIRUPDGHHVWDVVROXFLRQHVTXHQLQJXQDVHULHHVXQP~OWLSORFRQVWDQWHGHODRWUD\SRUWDQWRy1(x \y(x VRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVHQWRGRHOHMHx$VtSRUHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQ y C1 y1(x Cy(x HVRWUDVROXFLyQGH 6REUHFXDOTXLHULQWHUYDORTXHQRFRQWHQJDDORULJHQWDOFRPR HVWDFRPELQDFLyQOLQHDOUHSUHVHQWDODVROXFLyQJHQHUDO GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO ECUACIÓN INDICIAL /DHFXDFLyQ VHOODPDecuación indicial del problema y los valores r1 23 y r 0 se llaman raíces indicialesRexponentesGHODVLQJXODULGDG n r x (QJHQHUDOGHVSXpVGHVXVWLWXLU y en la ecuación diferencial dada n 0 cn x \VLPSOL¿FDQGRODHFXDFLyQLQGLFLDOHVXQDHFXDFLyQFXDGUiWLFDHQr que resulta de iguaODUDFHURHOFRH¿FLHQWHWRWDOGHODSRWHQFLDPtQLPDGH[6HHQFXHQWUDQORVGRVYDORUHV de r\VHVXVWLWX\HQHQXQDUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDFRPR (OWHRUHPDJDUDQWL]D TXHDOPHQRVVHSXHGHHQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHODVXSXHVWDIRUPDHQVHULH n r en la Es posible obtener la ecuación indicial antes de sustituir y n 0 cn x HFXDFLyQGLIHUHQFLDO6Lx HVXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUGH HQWRQFHVSRUODGH¿QLFLyQDPEDVIXQFLRQHVp(x xP(x \q(x xQ(x GRQGHP y QVHGH¿QHQSRUOD IRUPDHVWiQGDU VRQDQDOtWLFDVHQx HVGHFLUORVGHVDUUROORVHQVHULHGHSRWHQFLDV p(x) q(x) xP(x) a0 a1 x a2 x2 x2 Q(x) b0 b1 x b2 x2 y VRQYiOLGDVVREUHLQWHUYDORVTXHWLHQHQXQUDGLRGHFRQYHUJHQFLDSRVLWLYR0XOWLSOLFDQGR SRUxVHREWLHQHODIRUPDGDGDHQ x2 y x[xP(x)]y [x2 Q(x)]y 0. 6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES O 257 n r 'HVSXpVGHVXVWLWXLU y \ODVGRVVHULHVHQODVHFXDFLRQHV \ \ n 0 cn x UHDOL]DQGRODPXOWLSOLFDFLyQHQODVHULHVHHQFXHQWUDTXHODHFXDFLyQLQGLFLDOJHQHUDOHV r(r 1) a0 r 0, b0 donde a0 y b0VRQFRPRVHGH¿QHHQ 9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV EJEMPLO 3 Dos soluciones en series 5HVXHOYDxy (1 x y y SOLUCIÓN Sustituyendo y n 0 cn xn r se obtiene 2xy (1 x)y y 2 (n r)(n r 1)cn x nr1 (n r)cn x nr1 n0 n0 n0 n0 (n r)cn x nr cn x nr (n r)(2n 2r 1)cn x nr1 (n r 1)cn x nr n0 n0 [ n1 n0 ] xr r(2r 1)c0 x1 (n r)(2n 2r 1)cn x n1 (n r 1)cn x n kn1 [ k0 1) r(2r lo que implica que (k 1)(2k r 2r 0 1)ck (k 1 r 1)ck k 'H YHPRVTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHVVRQ r1 3DUD r1 1 2 se puede dividir entre k ck 1 ] [(k r 1)(2k 2r 1)ck1 (k r 1)ck]xk , xr r(2r 1)c0 x1 y kn ck 2(k , 1) 3 2 HQ k 0, 1 2 y r SDUDREWHQHU 0, 1, 2, . . . , mientras que para r VHFRQYLHUWHHQ ck 1 ck 2k , 1 'H HQFRQWUDPRV c1 c2 c3 c4 cn c0 2 1 c1 c0 2 2 22 2! c2 c0 2 3 23 3! c3 c0 2 4 24 4! ( 1) n c0 . 2n n! 0, 1, 2, . . . . k 'H HQFRQWUDPRV c1 c2 c3 c4 cn c0 1 c1 3 c2 5 c3 7 c0 1 3 c0 1 3 5 c0 1 3 5 7 ( 1) n c0 1 3 5 7 (2n 1) . 258 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 1 2 3RUORTXHSDUDODUDt]LQGLFLDO r1 x1/2 1 y1 (x) n se obtiene la solución ( 1) n n x n 1 2 n! ( 1) n n x n 0 2 n! n 1/2 , donde de nuevo se omitió c0(VWDVHULHFRQYHUJHSDUDx FRPRVHKDGDGRODVHULH QRHVWiGH¿QLGDSDUDYDORUHVQHJDWLYRVGHx debido a la presencia de x13DUDr una segunda solución es y2 (x) 1 n ( 1) n (2n 11 3 5 7 1) xn, . x 6REUHHOLQWHUYDOR ODVROXFLyQJHQHUDOHVy C1 y1(x Cy(x EJEMPLO 4 Sólo una solución en serie Resuelva xy y SOLUCIÓN 'HxP(x xQ(x x y el hecho de que 0 y x son sus propias series GHSRWHQFLDVFHQWUDGDVHQVHFRQFOX\HTXHa0 0 y b0 SRUWDQWRGHODHFXDFLyQ ODHFXDFLyQLQGLFLDOHVr (r 6HGHEHFRPSUREDUTXHODVGRVUHODFLRQHVGH UHFXUUHQFLDFRUUHVSRQGLHQWHVDODVUDtFHVLQGLFLDOHVr1 1 y r 0 producen exactaPHQWHHOPLVPRFRQMXQWRGHFRH¿FLHQWHV(QRWUDVSDODEUDVHQHVWHFDVRHOPpWRGRGH Frobenius produce sólo una solución en serie y1(x) ( 1) n xn n!(n 1)! n 0 1 x 1 2 x 2 1 3 x 12 1 4 x 144 . TRES CASOS 3RUUD]RQHVGHDQiOLVLVGHQXHYRVHVXSRQHTXHx 0 es un punto sinJXODUUHJXODUGHODHFXDFLyQ \TXHODVUDtFHVLQGLFLDOHVr1 y r de la singularidad son UHDOHV&XDQGRXVDPRVHOPpWRGRGH)UREHQLXVVHGLVWLQJXHQWUHVFDVRVTXHFRUUHVSRQGHQDODQDWXUDOH]DGHODVUDtFHVLQGLFLDOHVr1 y r(QORVGRVSULPHURVFDVRVHOVtPERORr1 GHQRWDODPiVJUDQGHGHGRVUDtFHVGLVWLQWDVHVGHFLUr1 r(QHO~OWLPRFDVRr1 r CASO I: Si r1 y r son distintas y la diferencia r1 – rQRHVXQHQWHURSRVLWLYRHQWRQFHVH[LVWHQGRVVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODHFXDFLyQ GHODIRUPD y1(x) n 0 cn xn r1 , c0 0, y2(x) n 0 bn xn r2 , b0 0. (VWHHVHOFDVRTXHVHLOXVWUDHQORVHMHPSORV\ $FRQWLQXDFLyQVXSRQHPRVTXHODGLIHUHQFLDGHODVUDtFHVHVNGRQGHN es un HQWHURSRVLWLYR(QHVWHFDVRODVHJXQGDVROXFLyQpodríaFRQWHQHUXQORJDULWPR CASO II: Si r1 y r son distintas y la diferencia r1 – rHVXQHQWHURSRVLWLYRHQWRQFHV H[LVWHQGRVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQ OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODIRUPD y1 (x) y2 (x) n 0 cn xn r1, Cy1(x) ln x c0 n 0 0, bn xn , r2 b0 0, donde CHVXQDFRQVWDQWHTXHSRGUtDVHUFHUR )LQDOPHQWH HQ HO ~OWLPR FDVR HO FDVR FXDQGR r1 r XQD VHJXQGD VROXFLyQ siempre WLHQH XQ ORJDULWPR /D VLWXDFLyQ HV VLPLODU D OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GH &DXFK\(XOHUFXDQGRODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUVRQLJXDOHV 6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES O 259 CASO III: Si r1 y rVRQLJXDOHVHQWRQFHVH[LVWHQGRVVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODHFXDFLyQ GHODIRUPD y1(x) cn x n r1, y2 (x) y1(x) ln x 0, c0 n 0 n 1 bn x n r1 . DETERMINACIÓN DE UNA SEGUNDA SOLUCIÓN Cuando la diferencia r1 – r HV XQ HQWHUR SRVLWLYR FDVR ,, VH podría o no encontrar dos soluciones de la forma n r (VWRHVDOJRTXHQRVHVDEHFRQDQWLFLSDFLyQSHURVHGHWHUPLQDGHVy n 0 cn x SXpVGHKDEHUHQFRQWUDGRODVUDtFHVLQGLFLDOHV\KDEHUH[DPLQDGRFRQFXLGDGRODUHODFLyQ GHUHFXUUHQFLDTXHGH¿QHQORVFRH¿FLHQWHVcn6HSRGUtDWHQHUODIRUWXQDGHHQFRQWUDUGRV n r1 (ecuación soluciones que impliquen sólo potencias de xHVGHFLU y1(x) n 0 cn x n r2 O \ y2(x) HFXDFLyQ FRQC 9pDVHHOSUREOHPDGHORV b x n 0 n HMHUFLFLRV3RURWURODGRHQHOHMHPSORVHYHTXHODGLIHUHQFLDGHODVUDtFHVLQGLFLDOHV es un entero positivo (r1 – r \HOPpWRGRGH)UREHQLXVIDOODHQREWHQHUXQDVHJXQGD VROXFLyQHQVHULH(QHVWDVLWXDFLyQODHFXDFLyQ FRQC LQGLFDTXHODVHJXQ GDVROXFLyQVHSDUHFH3RU~OWLPRFXDQGRODGLIHUHQFLDr1 – rHVXQFHUR FDVR,,, HOPpWRGRGH)UREHQLXVQRGDXQDVROXFLyQHQVHULHODVHJXQGDVROXFLyQ VLHPSUHFRQWLHQH XQORJDULWPR\VHSXHGHGHPRVWUDUTXHHVHTXLYDOHQWHD FRQC 8QDIRUPDGH REWHQHUODVHJXQGDVROXFLyQFRQHOWpUPLQRORJDUtWPLFRHVXVDUHOKHFKRGHTXH y2(x) e y1(x) P( x) d x y12(x) dx WDPELpQHVXQDVROXFLyQGHy P(x y Q(x y VLHPSUH\FXDQGRy1(x VHDXQD VROXFLyQFRQRFLGD(QHOHMHPSORVLJXLHQWHVHLOXVWUDFyPRXVDUODHFXDFLyQ EJEMPLO 5 Vuelta al ejemplo 4 usando un SAC Encuentre la solución general de xy y SOLUCIÓN 'HODFRQRFLGDVROXFLyQGDGDGHOHMHPSOR 1 2 1 3 1 4 x x x , 2 12 144 se puede construir una segunda solución y(x XVDQGRODIyUPXOD 4XLHQHVWHQJDQ WLHPSRHQHUJtD\SDFLHQFLDSXHGHQUHDOL]DUHODEXUULGRWUDEDMRGHHOHYDUDOFXDGUDGRXQD VHULHODGLYLVLyQODUJD\ODLQWHJUDFLyQGHOFRFLHQWHDPDQR3HURWRGDVHVWDVRSHUDFLR QHVVHUHDOL]DQFRQUHODWLYDIDFLOLGDGFRQODD\XGDXQ6$&6HREWLHQHQORVUHVXOWDGRV y1(x) y2(x) y1(x) e ∫0d x dx [y1(x)]2 dx y1(x) x 1 2 x 2 1 3 x 12 1 4 x 144 2 dx y1(x) x2 x3 y1(x) 1 x2 1 x y1(x) 1 x ln x y1(x) ln x x y1(x) 5 4 x 12 7 12 7 x 12 1 x 7 5 x 72 19 x 72 GHVSXpVGHHOHYDUDOFXDGUDGR dx GHVSXpVGHODGLYLVLyQODUJD 19 2 x 144 7 x 12 19 2 x 144 GHVSXpVGHLQWHJUDU , 260 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES y2(x) o y1 (x) ln x 1 x 2 1 1 2 x 2 . GHVSXpVGHPXOWLSOLFDU 6REUHHOLQWHUYDOR ODVROXFLyQJHQHUDOHVy C1 y1(x Cy(x 2EVHUYHTXHODIRUPD¿QDOGHyHQHOHMHPSORFRUUHVSRQGHD FRQC 1; la serie HQWUHSDUpQWHVLVFRUUHVSRQGHDODVXPDHQ FRQr COMENTARIOS i /DVWUHVIRUPDVGLVWLQWDVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ HQ \ VHXVDURQSDUDDQDOL]DUYDULRVFRQFHSWRVWHyULFRV3HURDQLYHO SUiFWLFRFXDQGRVHWLHQHTXHUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRQHOPpWRGR GH)UREHQLXVVHUHFRPLHQGDWUDEDMDUFRQODIRUPDGHOD('GDGDHQ ii &XDQGRODGLIHUHQFLDGHODVUDtFHVLQGLFLDOHVr1 – r es un entero positivo (r1 r DYHFHVGDUHVXOWDGRLWHUDUODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDXVDQGRSULPHUR ODUDt]rPiVSHTXHxD9pDQVHORVSUREOHPDV\HQORVHMHUFLFLRV iii 'HELGRDTXHXQDUDt]LQGLFLDOrHVXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQFXDGUiWLFD pVWDSRGUtDVHUFRPSOHMD6LQHPEDUJRHVWHFDVRQRVHDQDOL]D iv 6Lx HVSXQWRVLQJXODULUUHJXODUHQWRQFHVHVSRVLEOHTXHQRVHHQFXHQWUH n r ningunaVROXFLyQGHOD('GHODIRUPD y . n 0 cn x EJERCICIOS 6.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9. (QORVSUREOHPDVGHWHUPLQHORVSXQWRVVLQJXODUHVGHOD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD&ODVL¿TXHFDGDSXQWRVLQJXODUFRPR UHJXODURLUUHJXODU 1. x y 4x y y 0 (QORVSUREOHPDV\x 0 es un punto singular regular de ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD8VHODIRUPDJHQHUDOGHODHFXDFLyQLQGLFLDOHQ SDUDHQFRQWUDUODVUDtFHVLQGLFLDOHVGHOD VLQJXODULGDG6LQUHVROYHULQGLTXHHOQ~PHURGHVROXFLRQHVHQ VHULHTXHVHHVSHUDUtDHQFRQWUDUXVDQGRHOPpWRGRGH)UREHQLXV ( 53 x ) 2. x(x y y 0 13. x 2 y 3. (x y (x y y 0 14. xy y 10y 0 1 1 y y 0 x (x 1) 3 5. (x 4x y xy 6y 0 6. x (x y 4xy (x y 0 (QORVSUREOHPDVx 0 es un punto singular regular de ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO0XHVWUHTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHVGHOD VLQJXODULGDGQRGL¿HUHQSRUXQHQWHUR8VHHOPpWRGRGH)UREH nius para obtener dos soluciones en serie linealmente independientes respecto a x )RUPHODVROXFLyQJHQHUDOVREUH 7. (x x y (x y (x y 0 15. xy y y 0 8. x(x y y 0 16. xy 5y xy 0 9. x (x x y x(x y x y 0 17. 4xy 4. y 1 3 x2 y 1 2y y y 0 0 10. (x x x y x(x y (x y 0 18. x y xy (x y 0 (QORVSUREOHPDV\HVFULEDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD HQODIRUPD SDUDFDGDSXQWRVLQJXODUUHJXODUGHODHFXDFLyQ ,GHQWL¿TXHODVIXQFLRQHVp(x \q(x 19. xy x y y 0 11. (x y 5(x y (x x y 0 21. xy x y y 0 12. xy (x y x y 0 22. x2 y 20. x2 y (x xy 2 9 )y (x2 0 4 9 )y 0 6.3 23. 9x y 9x y y 0 24. x y xy x y 0 (QORVSUREOHPDVx 0 es un punto singular regular de OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD 'HPXHVWUH TXH ODV UDtFHV LQGLFLDOHVGHODVLQJXODULGDGGL¿HUHQSRUXQHQWHUR8VHHOPpWRGR de Frobenius para obtener al menos una solución en serie respecto a x 8VHODHFXDFLyQ GRQGHVHDQHFHVDULR\XQ 6$& FRPR VH LQGLFD SDUD HQFRQWUDU XQD VHJXQGD VROXFLyQ )RUPHODVROXFLyQJHQHUDOVREUH 25. xy y xy 0 26. x2y xy (x2 1 4 )y 3 28. y y 2y 0 x 30. xy y y 0 29. xy (1 x y y 0 (QORVSUREOHPDV\x 0 es un punto singular regular de ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD'HPXHVWUHTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHVGHODVLQJXODULGDGGL¿HUHQSRUXQHQWHUR8VHODUHODFLyQGH UHFXUUHQFLDHQFRQWUDGDSRUHOPpWRGRGH)UREHQLXVSULPHURFRQ ODUDt]PiVJUDQGHr1¢&XiQWDVVROXFLRQHVHQFRQWUy"$FRQWLQXDFLyQXVHODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDFRQODUDt]PiVSHTXHxD r¢&XiQWDVVROXFLRQHVHQFRQWUy" d 2y dt 2 2 dy t dt y Py 0, 0, y y(0) 0, y(L) 0, y(a) 0, y(b) donde Pb 4EI 0 8VH ORV UHVXOWDGRV GHO SUREOHPD SDUDHQFRQWUDUODVFDUJDVFUtWLFDVPn para la columna FyQLFD8VHXQDLGHQWLGDGDSURSLDGDSDUDH[SUHVDUORV modos de pandeo yn(x FRPRXQDVRODIXQFLyQ b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHOSULPHUPRGRGH pandeo y1(x FRUUHVSRQGLHQWH D OD FDUJD GH (XOHU P1 cuando b 11 y a y P x=a b−a=L y = cx L x=b x Modelo matemático 34. Pandeo de una columna cónica (QHOHMHPSORGHOD VHFFLyQYLPRVTXHFXDQGRXQDIXHU]DFRPSUHVLYDYHUtical constante o carga P se aplica a una columna delgada GHVHFFLyQWUDQVYHUVDOXQLIRUPHODGHÀH[LyQy(x IXHXQD solución del problema con valores en la frontera d 2y dx 2 d 2y dx 2 0, que ahora tiene un punto singular regular en t b) 8VHHOPpWRGRGHHVWDVHFFLyQSDUDHQFRQWUDUGRVVROXFLRQHVHQVHULHGHODVHJXQGDHFXDFLyQGHOLQFLVRD alrededor de un punto singular regular t c) Exprese cada solución en serie de la ecuación original HQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV EI x4 32. x(x y y y 0 33. a) /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOx 4y y 0 tiene un punto singular irregular en x 'HPXHVWUHTXHODVXVWLWXción t lxSURGXFHOD(' 261 O a) En este problema se supone que la columna es de longitud LHVWiDELVDJUDGDHQDPERVH[WUHPRVWLHQH secciones transversales circulares y es cónica como se PXHVWUDHQOD¿JXUD D 6LODFROXPQDXQFRQR WUXQFDGRWLHQHXQD¿ODPLHQWROLQHDOy cxFRPRVH PXHVWUDHQODVHFFLyQWUDQVYHUVDOGHOD¿JXUD E el momento de inercia de una sección transversal resSHFWRDXQHMHSHUSHQGLFXODUDOSODQRxy es I 14 r4 donde r y y y cx3RUWDQWRHVFULELPRVI(x I0 (xb 4GRQGH I0 I(b) 14 (cb)4 Sustituyendo I(x HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQ YHPRVTXHODGHÀH[LyQHQHVWHFDVRVHGHWHUPLQDGHO39) 0 27. xy xy y 0 31. xy (x y y 0 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES 0. /DVXSRVLFLyQDTXtHVTXHODFROXPQDHVWiDELVDJUDGDHQ DPERV H[WUHPRV /D FROXPQD VH SDQGHD VyOR FXDQGR OD IXHU]DFRPSUHVLYDHVXQDFDUJDFUtWLFDPn a) b) FIGURA 6.3.1 &ROXPQDFyQLFDGHOSUREOHPD Problemas para analizar 35. $QDOLFHFyPRGH¿QLUtDXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUSDUDOD ecuación diferencial lineal de primer orden a3 (x)y a2 (x)y a1 (x)y a0 (x)y 0. 36. Cada una de las ecuaciones diferenciales x3 y y 0 y x2 y (3x 1)y y 0 tiene un punto singular irregular en x 'HWHUPLQHVL HOPpWRGRGH)UREHQLXVSURGXFHXQDVROXFLyQHQVHULHGH cada ecuación diferencial alrededor de x $QDOLFH\ H[SOLTXHVXVKDOOD]JRV 37. Se ha visto que x 0 es un punto singular regular de cualquier ecuación de Cauchy-Euler axy bxy cy ¢(VWiQUHODFLRQDGDVODHFXDFLyQLQGLFLDO SDUDXQDHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHU\VXHFXDFLyQDX[LOLDU"$QDOLFH 262 CAPÍTULO 6 O SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES FUNCIONES ESPECIALES 6.4 INTRODUCCIÓN En los ComentariosDO¿QDOGHODVHFFLyQPHQFLRQDPRVODUDPDGHODVPDWHPiWLFDVFRQRFLGDFRPRfunciones especiales4XL]iVXQPHMRUWtWXORSDUDHVWHFDPSRGHODVPDWHPiWLFDV DSOLFDGDVSRGUtDVHUIXQFLRQHVFRQQRPEUHSRUTXHPXFKDVGHODVIXQFLRQHVHVWXGLDGDVWLHQHQQRPEUHV SURSLRVIXQFLRQHVGH%HVVHOIXQFLRQHVGH/HJHQGUHIXQFLRQHVGH$LU\SROLQRPLRVGH&KHE\VKHYSROLQRPLRVGH+HUPLWHSROLQRPLRVGH/DJXHUUHIXQFLyQKLSHUJHRPpWULFDGH*DXVVIXQFLRQHVGH0DWKLHX HWFpWHUD+LVWyULFDPHQWHODVIXQFLRQHVHVSHFLDOHVIXHURQFRQIUHFXHQFLDVXESURGXFWRVGHODQHFHVLGDG DOJXLHQQHFHVLWDEDXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOPX\HVSHFLDOL]DGD\SRGtDGLVFHUQLUPXFKDV SURSLHGDGHVGHODIXQFLyQDSDUWLUGHODIRUPDGHODVHULHGHODVROXFLyQ (QHVWDVHFFLyQXWLOL]DUHPRVORVPpWRGRVGHODVVHFFLRQHV\SDUDHQFRQWUDUVROXFLRQHVGH las dos ecuaciones diferenciales (1 x2 y xy x2 )y 2xy (x 2 2 )y 0 1)y n(n 0 VHSUHVHQWDQHQHVWXGLRVDYDQ]DGRVGHPDWHPiWLFDVDSOLFDGDVItVLFDHLQJHQLHUtD6HOODPDQecuación de Bessel de orden vOODPDGDDVtHQKRQRUGHOPDWHPiWLFR\DVWUyQRPRDOHPiQFriedrich Wilhelm Bessel TXLpQ IXH OD SULPHUD SHUVRQD HQ GHWHUPLQDU OD GLVWDQFLD H[DFWD GHO VRO D RWUD HVWUHOOD %HVVHO HQFRQWUy SRU SULPHUD YH] XQD IRUPD HVSHFLDO GH OD HFXDFLyQ HQ VX HVWXGLR GHO PRYLPLHQWRSODQHWDULRHOtSWLFR\SRU~OWLPRUHDOL]yXQHVWXGLRVLVWHPiWLFRGHODVSURSLHGDGHVGHODV VROXFLRQHVGHODHFXDFLyQJHQHUDO/DHFXDFLyQGLIHUHQFLDO VHFRQRFHFRPRecuación de Legendre de orden nOODPDGDDVtSRUHOPDWHPiWLFRIUDQFpVAdrien-Marie Legendre &XDQGR UHVROYHPRVODHFXDFLyQ VHVXSRQHTXH% PLHQWUDVTXHHQ VyORFRQVLGHUDUHPRVHOFDVR cuando nHVXQHQWHURQRQHJDWLYR SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE BESSEL 'HELGRDTXHx 0 es un punto sinJXODUUHJXODUGHODHFXDFLyQGH%HVVHOVHVDEHTXHH[LVWHDOPHQRVXQDVROXFLyQGHOD n r 6XVWLWX\HQGROD~OWLPDH[SUHVLyQHQ VHREWLHQH forma y . n 0 cn x x2y xy (x 2 2 )y n 0 cn (n c0 (r2 c0 (r2 r)(n r r 2 r 2 )x r xr 1)x n )x r n 1 xr r n 0 n 1 cn [(n cn (n cn [(n r) 2 r)x n r)(n 2 ]x n r n 0 1) r xr n 0 cn x n r 2 2 cn x n r n 0 (n 2 r) ]xn xr n 0 2 cn x n cn x n 2. 'H VHYHTXHODHFXDFLyQLQGLFLDOHVr % GHPRGRTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHV son r1 % y r %&XDQGRr1 %ODHFXDFLyQ VHFRQYLHUWHHQ xn n 1 cnn(n 2n)xn xn [ n 0 xn (1 [ xn (1 cn x n 2 2n)c1x n 2 cn n(n k 2n)c1x k 0 [(k n 2n)x n 2 2)(k n 0 k 2 ] 2 cn x n n 2n)ck 2 ck]x k 2 ] 0. 6.4 FUNCIONES ESPECIALES 263 O 3RUWDQWRSRUHODUJXPHQWRXVXDOSRGHPRVHVFULELU % c1 0 y (k o ck 2)(k 2 2 )ck 2 2 ) ck 2 (k 2)(k 0 ck 2 , 0, 1, 2, . . . k /D HOHFFLyQ c1 HQ LPSOLFD TXH c3 c5 c7 0, por lo que para k VHHQFXHQWUDGHVSXpVGHHVWDEOHFHUk nn TXH c2n 22n(n c2n 3RUORTXH c2 2 c2 22 2(2 c4 c6 c2n c0 1 (1 2 c4 3(3 2 2 2 n!(1 . ) ) c0 24 1 2(1 ) )(2 ) c0 6 ) 2 1 ( 1) n c0 )(2 ) 2n 2 2 3(1 , (n )(2 ) 1, 2, 3, . . . . n ) )(3 (QODSUiFWLFDVHDFRVWXPEUDHOHJLUDc0 como c0 2 1 (1 , ) donde &(1 % HVODIXQFLyQJDPPD9pDVHHODSpQGLFH$3XHVWRTXHHVWD~OWLPDIXQción posee la propiedad conveniente &(1 &( VHSXHGHUHGXFLUHOSURGXFWR LQGLFDGRHQHOGHQRPLQDGRUGH DXQWpUPLQR3RUHMHPSOR (1 1) (1 ) (1 ) (1 2) (2 ) (2 ) (2 )(1 ) (1 ). 3RUWDQWRVHSXHGHHVFULELU FRPR c2n 2 2n n!(1 ( 1) n )(2 ) (n ) (1 2n ) 2 ( 1) n n! (1 n) para n FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE 6LVHXVDQORVFRH¿FLHQWHVcn ape2n nas obtenidos y r %XQDVROXFLyQHQVHULHGHODHFXDFLyQ HV y . n 0 c2n x Esta solución usualmente se denota por J%(x J (x) n 0 ( 1) n n! (1 x n) 2 2n Si % ODVHULHFRQYHUJHDOPHQRVVREUHHOLQWHUYDOR> 7DPELpQSDUDHOVHgundo exponente r %VHREWLHQHH[DFWDPHQWHGHODPLVPDPDQHUD J (x) n 0 ( 1) n n! (1 x n) 2 2n 264 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 CAPÍTULO 6 O SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES y J0 J1 x _ 0. 2 _ 0. 4 2 4 6 8 /DVIXQFLRQHVJ%(x \J%(x VHOODPDQIXQFLRQHVGH%HVVHOGHSULPHUDFODVH de orden % y %UHVSHFWLYDPHQWH'HSHQGLHQGRGHOYDORUGH% SXHGHFRQWHQHUSRWHQFLDV negativas de x\SRUWDQWRFRQYHUJHUVREUH $KRUDVHGHEHWHQHUFXLGDGRDOHVFULELUODVROXFLyQJHQHUDOGH &XDQGR% HV HYLGHQWHTXH \ VRQODVPLVPDV6L% 0 y r1 r % (% % no es un enWHURSRVLWLYRVHWLHQHGHOFDVR,GHODVHFFLyQTXHJ%(x \J%(x VRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGH VREUH \SRUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOVREUHHOLQWHUvalo es y c1J%(x cJ%(x 3HURVHVDEHTXHGHOFDVR,,GHODVHFFLyQTXHFXDQGR r1 r %HVXQHQWHURSRVLWLYRpodría H[LVWLUXQDVHJXQGDVROXFLyQHQVHULHGH (QHVWHVHJXQGRFDVRVHGLVWLQJXHQGRVSRVLELOLGDGHV&XDQGR% m entero posiWLYRJm(x GH¿QLGDSRU \Jm(x QRVRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV6H puede demostrar que Jm HV XQ P~OWLSOR FRQVWDQWH GH Jm YpDVH OD SURSLHGDG i HQ OD SiJLQD $GHPiVr1 r % puede ser un entero positivo cuando % es la mitad de XQHQWHURSRVLWLYRLPSDU(QHVWH~OWLPRFDVRVHSXHGHGHPRVWUDUTXHJ%(x \J%(x VRQ OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV(QRWUDVSDODEUDVODVROXFLyQJHQHUDOGH VREUH HV y FIGURA 6.4.1 Funciones de Bessel c1 J (x) c2 J (x), entero. (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVGHy J0(x \y J1(x de primera clase para n EJEMPLO 1 $OLGHQWL¿FDU 2 la ecuación x2 y Ecuaciones de Bessel de orden 1 4 y xy 1 2 1 TXHODVROXFLyQJHQHUDOGH 2 ,VHSXHGHYHUGHODHFXDFLyQ x2 14 y 0 VREUH HVy c1J1(x cJ1(x ( ) FUNCIONES DE BESSEL DE SEGUNDA CLASE Si % HQWHURODIXQFLyQGH¿nida por la combinación lineal Y (x) 1 0. 5 _ 0. 5 _1 _ 1. 5 _2 _2. 5 _3 J (x) y la función J%(x VRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGH SRUORTXHRWUDIRUPD GHODVROXFLyQJHQHUDOGH HVy c1J%(x cY%(x VLHPSUHTXH% HQWHUR&RQIRUPH % A m con mHQWHUR WLHQHODIRUPDLQGHWHUPLQDGD6LQHPEDUJRVHSXHGHGHPRVWUDUSRUODUHJODGH/ +{SLWDOTXHHOlím : m Y (x)H[LVWH$GHPiVODIXQFLyQ y Y1 Y0 J (x) sen cos x Ym (x) lím Y (x) :m y Jm(x VRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHxy xy (x m y 3RUWDQWR para cualquier valor de %ODVROXFLyQJHQHUDOGH VREUH VHSXHGHHVFULELUFRPR y 2 4 6 8 FIGURA 6.4.2 Funciones de Bessel de segunda clase para n c1 J (x) c2Y (x). Y%(x VHOODPDIXQFLyQGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVHde orden %/D¿JXUDPXHVWUD ODVJUi¿FDVGHY0(x \Y1(x EJEMPLO 2 Ecuación de Bessel de orden 3 ,GHQWL¿FDQGR% 9 y % YHPRVGHODHFXDFLyQ TXHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD ecuación xy xy (x y VREUH HVy c 1J(x c Y (x ED RESOLUBLES EN TÉRMINOS DE FUNCIONES DE BESSEL $OJXQDVYHFHV HVSRVLEOHFRQYHUWLUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQODHFXDFLyQ SRUPHGLRGHXQFDPELR GH YDULDEOH 3RGHPRV HQWRQFHV H[SUHVDU OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ RULJLQDO HQ WpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO3RUHMHPSORVLVHHVWDEOHFHTXHt x HQ x2 y xy (a2 x2 2 )y 0, &XDQGRUHPSOD]DPRVx por x ODVVHULHVGDGDVHQ \HQ FRQYHUJHQSDUD x 6.4 FUNCIONES ESPECIALES O 265 HQWRQFHVSRUODUHJODGHODFDGHQD dy dx dy dt dt dx dy dt d 2y dx 2 y d dy dt dt dx dx 2 d 2y . dt 2 3RUORTXH VHFRQYLHUWHHQ t 2 2 d 2y dt 2 t dy dt (t2 2 )y o 0 t2 d 2y dt 2 t dy dt (t2 2 )y 0. /D~OWLPDHFXDFLyQHVODHFXDFLyQGH%HVVHOGHRUGHQ% cuya solución es y c1J%(t cY%(t 9ROYLHQGRDVXVWLWXLUt xHQOD~OWLPDH[SUHVLyQVHHQFXHQWUDTXHODVROXFLyQJHQHUDOGH HV y c1 J ( x) c2Y ( x). /DHFXDFLyQ TXHVHOODPDecuación paramétrica de Bessel de orden \VXVROXFLyQJHQHUDO VRQPX\LPSRUWDQWHVHQHOHVWXGLRGHFLHUWRVSUREOHPDVFRQYDORUHV en la frontera relacionados con ecuaciones diferenciales parciales que se expresan en FRRUGHQDGDVFLOtQGULFDV FUNCIONES DE BESSEL MODIFICADAS 2WUD HFXDFLyQ VHPHMDQWH D HV OD HFXDFLyQPRGL¿FDGDGH%HVVHO de orden , x2 y (x2 xy 2 )y 0. (VWD('VHSXHGHUHVROYHUHQODIRUPDTXHVHDFDEDGHLOXVWUDUSDUD (VWDYH]VL hacemos que t ixGRQGHi HQWRQFHV VHFRQYLHUWHHQ t2 d 2y dt 2 t dy dt (t 2 2 )y 0. 'HELGRDTXHODVVROXFLRQHVGHODXOWLPD('VRQJ%(t \Y%(t ODVVROXFLRQHVGHvalores complejosGHODHFXDFLyQ VRQJ%(ix \Y%(ix 8QDVROXFLyQGHYDORUHVUHDOHVTXHVHOODPDIXQFLyQPRGL¿FDGDGH%HVVHOGHSULPHUDFODVH de orden %HVWiGH¿QLGDHQWpUPLQRVGHJ%(ix I (x) i J (ix). 9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV /DVROXFLyQJHQHUDOGH HV y 3 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 I0 y 5 c1I␯ (x) 1 c2 I2␯(x), ␯ Þ no entero. I1 I2 x 1 2 &XDQGRYHVHQWHURODVQIXQFLRQHVIn(x \In(x QRVRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV VREUHHOLQWHUYDOR LQ¿QLWR $QiORJDPHQWHD ODIXQFLyQPRGL¿FDGDGH%HVVHO de segunda clase de orden % HQWHURVHGH¿QHFRPR 3 FIGURA 6.4.3 )XQFLRQHVPRGL¿FDGDV de Bessel de primera clase para n I (x) I (x) , 2 sen K (x) y para % nHQWHUR Kn (x) y 3 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 K1 K2 (15) lím K (x). :n 'HELGRDTXHI% y K%VRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVVREUHHOLQWHUYDOR SDUD cualquier valor de %ODVROXFLyQJHQHUDOGH VREUHHVWHLQWHUYDORHV y c1 I (x) c2 K (x). (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVGHy I0(x y I1(x \y I(x \HQ OD¿JXUDODVJUi¿FDVGHy K0(x y K1(x \y K(x $GLIHUHQFLDGHODVIXQx FLRQHVGH%HVVHOGHSULPHUD\VHJXQGDFODVHODVIXQFLRQHVPRGL¿FDGDVGH%HVVHOGH 1 2 3 SULPHUD\VHJXQGDFODVHQRVRQRVFLODWRULDV/DV¿JXUDV\WDPELpQPXHVWUDQ FIGURA 6.4.4 )XQFLRQHVPRGL¿FDGDV HOKHFKRGHTXHODVIXQFLRQHVPRGL¿FDGDVGH%HVVHOIn(x \Kn(x n «QR de Bessel de segunda clase para n WLHQHQUDtFHVUHDOHVHQHOLQWHUYDOR 2EVHUYHWDPELpQTXHODVIXQFLRQHVPRGL¿FDK0 266 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES das de Bessel de segunda clase Kn(x FRPRODVIXQFLRQHVGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVH Yn(x VRQQRDFRWDGDVFXDQGRx A 0 8QFDPELRGHYDULDEOHHQ GDODIRUPDSDUDPpWULFDGHODHFXDFLyQPRGL¿FDGD de Bessel de orden %: xy xy (Įx % y 0 /DVROXFLyQJHQHUDOGHOD~OWLPDHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDOR HV y c1I%(Į[ cK%(Į[ EJEMPLO 3 (FXDFLyQSDUDPpWULFDPRGL¿FDGDGH%HVVHO ,GHQWL¿FDQGR Į Ȟ Į = 5 y Ȟ VH VLJXH GH TXH OD VROXFLyQ general de la ecuación xy’’+ xy’ ± x y VREUH HV y = c1 I(5x cK(5x 3HURRWUDHFXDFLyQLPSRUWDQWHGHELGRDTXHPXFKDV('VHDMXVWDQDVXIRUPD PHGLDQWHHOHFFLRQHVDSURSLDGDVGHORVSDUiPHWURVHV 1 y 2a b 2c 2 x 2c y a2 2 p2 c 2 y 0, x x2 $XQTXHQRVHGDQORVGHWDOOHVODVROXFLyQJHQHUDOGH y x a c1 Jp (bx c ) p 0. c2Yp (bx c ) , se puede encontrar haciendo un cambio de las variables independiente y dependiente: z bx c, y(x) GHUHPSOD]DUSRUJp EJEMPLO 4 z b a/c w(z). Si pQRHVXQHQWHURHQWRQFHVYpHQ VHSXH Usando (20) Encuentre la solución general xy y 9y VREUH SOLUCIÓN (VFULELHQGROD('GDGDFRPR 3 9 y y 0, x x SRGHPRVKDFHUODVVLJXLHQWHVLGHQWL¿FDFLRQHVFRQ y 1 2a b2 c 2 3, 9, 2c 2 1 y a2 p2 c 2 0. /DVHFXDFLRQHVSULPHUD\WHUFHUDLPSOLFDQTXHa 1 y c ecuaciones segunda y cuarta se satisfacen haciendo b 6 y p 'H VHHQFXHQWUD TXHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('VREUHHOLQWHUYDOR HV 1 2 &RQHVWRVYDORUHVODV y EJEMPLO 5 x 1 [c1 J2 (6x1/2) c2Y2 (6x1/2)]. Vuelta al problema del resorte envejecido 5HFXHUGH TXH HQ OD VHFFLyQ YLPRV TXH mx ketx 0 es un moGHOR PDWHPiWLFR SDUD HO PRYLPLHQWR DPRUWLJXDGR OLEUH GH XQD PDVD HQ XQ UHVRUWH HQYHMHFLGR $KRUD VH HVWi HQ SRVLFLyQ GH HQFRQWUDU OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ 6H GHMD FRPR SUREOHPD GHPRVWUDU TXH HO FDPELR GH YDULDEOHV 6.4 s 2 k e Bm FUNCIONES ESPECIALES O 267 t / 2 WUDQVIRUPDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOUHVRUWHHQYHMHFLGRHQ s2 d 2x ds 2 s dx ds s2 x 0. /D~OWLPDHFXDFLyQVHUHFRQRFHFRPR FRQ% \GRQGHORVVtPERORVx y sMXHJDQ los papeles de y y x UHVSHFWLYDPHQWH /D VROXFLyQ JHQHUDO GH OD QXHYD HFXDFLyQHV x c1J0(s cY0(s 6LVHVXVWLWX\HQXHYDPHQWHsHQWRQFHVVHYHTXHODVROXFLyQ general de mx ketx 0 es x(t) c1J0 k e m B 2 t/2 c2Y0 2 k e m B t/2 . 9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV (ORWURPRGHORDQDOL]DGRHQODVHFFLyQGHXQUHVRUWHFX\DVFDUDFWHUtVWLFDVFDPbian con el tiempo fue mx ktx 6L VH GLYLGH SRU m YHPRV TXH OD HFXDFLyQ k x tx 0 HVXQDIRUPDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH$LU\9HDODSiJLQD m /DVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH$LU\WDPELpQVHSXHGHHVFULELUHQ WpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV PROPIEDADES 6HOLVWDQDFRQWLQXDFLyQDOJXQDVGHODVSURSLHGDGHVPiV~WLOHVGH las funciones de Bessel de orden mm i J m (x) m m 0, 1, iii Jm (0) ii Jm ( ( 1) m Jm (x), 0 0, ( 1) m Jm (x), x) iv lím Ym (x) . x: 0 Observe que la propiedad ii LQGLFDTXHJm(x HVXQDIXQFLyQSDUVLm es un entero par y una función impar si mHVXQHQWHURLPSDU/DVJUi¿FDVGHY0(x \Y1(x HQOD¿JXUD PXHVWUDQODSURSLHGDGiv HQSDUWLFXODUYm(x QRHVWiDFRWDGDHQHORULJHQ(VWH ~OWLPRKHFKRQRHVREYLRDSDUWLUGHODHFXDFLyQ /DVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQ de Bessel de orden 0 se obtienen por medio de las soluciones y1(x HQ \y(x HQ GHODVHFFLyQ6HSXHGHGHPRVWUDUTXHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQHV y1(x J0(x PLHQWUDVTXHODHFXDFLyQ GHHVDVHFFLyQHV y2(x) J0 (x)ln x k ( 1) k 1 2 1 (k!) 1 2 1 k x 2 2k . (QWRQFHVODIXQFLyQGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVHGHRUGHQY0(x VHGH¿QHFRPROD 2 2 combinación lineal Y0 (x) ( ln 2)y1 (x) y 2 (x) para x (VGHFLU Y0 (x) 2 J0 (x) ln x 2 2 k ( 1) k 1 2 1 (k!) 1 2 1 k x 2 2k donde Ȗ HVODconstante de Euler'HELGRDODSUHVHQFLDGHOWpUPLQR ORJDUtWPLFRHVHYLGHQWHTXHY0(x HVGLVFRQWLQXDHQx VALORES NUMÉRICOS (QODWDEODVHSUHVHQWDQODVSULPHUDVFLQFRUDtFHV no negativas de J0(x J1(x Y0(x \Y1(x (QODWDEODVHSUHVHQWDQDOJXQRVRWURV YDORUHVGHODIXQFLyQGHHVWDVFXDWURIXQFLRQHV 268 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES TABLA 6.4.1 5DtFHVGHJ0J1Y0\Y1 TABLA 6.4.2 9DORUHVQXPpULFRVGHJ0J1Y0\Y1 J0(x J1(x Y0(x Y1(x x J0(x J1(x Y0(x Y1(x 4 5 9 10 11 15 ² ² RELACIÓN DE RECURRENCIA DIFERENCIAL /DVIyUPXODVGHUHFXUUHQFLDTXHUHODFLRQDQODVIXQFLRQHVGH%HVVHOGHGLIHUHQWHVyUGHQHVVRQLPSRUWDQWHVHQODWHRUtD\HQODV DSOLFDFLRQHV(QHOHMHPSORVLJXLHQWHVHGHGXFHXQDUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDGLIHUHQFLDO EJEMPLO 6 'HGXFFLyQXVDQGRODGH¿QLFLyQGHVHULH 'HGX]FDODIyUPXOD xJ (x) J (x) 1 (x). xJ SOLUCIÓN 'HODHFXDFLyQ VHWLHQHTXH (1)n(2n ␯) x – L xJv(x) ––––––––––––––– n! (1 v n) 2 n0 () () 2nv (1)n x – L ␯ ––––––––––––––– n0 n! (1 ␯ n) 2 2nv (1)nn x – L 2 ––––––––––––––– n0 n! (1 ␯ n) 2 2nv () (1)n x – L ␯J␯(x) x ––––––––––––––––––––– (n 1)! (1 ␯ n) 2 n1 () 2n␯1 kn1 ␯J␯(x) x (1)k L ––––––––––––––– k0 k! (2 ␯ k) x – 2 () 2k␯1 ␯J␯(x) xJ␯1(x). (OUHVXOWDGRGHOHMHPSORVHSXHGHHVFULELUHQXQDIRUPDDOWHUQDWLYD'LYLGLHQGR xJ (x) J (x) xJ 1 (x) por xVHREWLHQH J (x) x J (x) J 1 (x). (VWD ~OWLPD H[SUHVLyQ VH UHFRQRFH FRPR XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH SULPHU orden en J%(x 0XOWLSOLFDQGRDPERVODGRVGHODLJXDOGDGSRUHOIDFWRULQWHJUDQWHx% se obtiene d [x J (x)] dx x J 1 (x). 6.4 FUNCIONES ESPECIALES O 269 Se puede demostrar de manera similar que d [x J (x)] x J 1 (x). dx 9pDVHHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV/DVUHODFLRQHVGHUHFXUUHQFLDGLIHUHQFLDOHV \ WDPELpQVRQYiOLGDVSDUDODIXQFLyQGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVHY%(x Observe que cuando % VHGHGXFHGH TXH d d J0(x) 5 2J1(x) Y0(x) 5 2Y1(x) . y dx dx (QHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRVVHGDXQDDSOLFDFLyQGHHVWDVGHULYDGDV5HVXOWDGRV VLPLODUHVD WDPELpQVHWLHQHQSDUDODVIXQFLRQHVGH%HVVHOPRGL¿FDGDVGHSULPHUD\ VHJXQGDFODVHGHRUGHQȞ d I0(x) 5 I1(x) dx d K0(x) 5 2K1(x) . dx y (QHOSUREOHPDGHOUHSDVRGHOFDStWXORVHSUHVHQWDXQDDSOLFDFLyQGHHVWRVUHVXOWDGRV FUNCIONES DE BESSEL DE MEDIO ORDEN INTEGRAL Cuando el orden es ODPLWDGGHXQHQWHURLPSDUHVGHFLU 12, 32, 52, . . . , las funciones de Bessel de SULPHUD\VHJXQGDFODVHVHSXHGHQH[SUHVDUHQWpUPLQRVGHODVIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV 1 sen xFRVx y potencias de x&RQVLGHUDUHPRVHOFDVRFXDQGR 2 . 'H J1/2(x) n 0 ( 1)n n! 1 12 ( ) n x 2 2n 1/2 () 1 1 los En vista de la propiedad &(1 &( y del hecho de que 2 valores de 1 12 n para n n n \n VRQUHVSHFWLYDPHQWH ( ) ( 32) (1 1 2 ) 1 2 ( 12) 1 2 ( 52) (1 3 2 ) 3 2 ( 32) 3 1 22 ( 72) (1 5 2 ) 5 2 ( 52) 5 3 1 23 ( 92) (1 7 2 ) 7 2 ( 72) 7 5 1 26 2! 3RUORTXH y 1 J-1/ 2 0. 5 x 0 −0. 5 4 J1/2 (x) n 0 5 4 3 2 1 1 23 4 2 7 6 5! 1 26 6 2! 5! 1 252! 7! 1 . 27 3! (2n 1)! 1 . 22n 1 n! n ( 1) n (2n 1)! n! 2n 1 1 2 n! x 2 2n 1/2 2 B x n 0 ( 1) n 2n 1 x . (2n 1)! 'HODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQGHEHUHFRQRFHUTXHODVHULHLQ¿QLWDHQHO~OWLPR renglón es la serie de Maclaurin para sen x\DVtVHKDGHPRVWUDGRTXH J 1/ 2 2 1 2 1 (QJHQHUDO 1 6 8 10 12 14 FIGURA 6.4.5 Funciones de Bessel de orden 1 D]XO \RUGHQ 1 URMR J1/ 2 (x) 2 senx. B x 2 cos x. B x 6HGHMDFRPRHMHUFLFLRGHPRVWUDUTXH J 1/ 2 (x) 9HDOD¿JXUD\ORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV 270 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES Si nHVXQHQWHURHQWRQFHV% n 1HVXQPHGLRGHXQHQWHURLPSDU3XHVWR que cos(n 1 ʌ 0 y sen(n + 1 ʌ cos Qʌ ( nYHPRVGHODHFXDFLyQ TXH Yn 1(x ( n 1J(n 1 (x 3DUDn 0 y n WHQHPRVDVXYH]TXHY1(x J1(x \Y1(x J1(x (QYLVWDGH \ HVWRVUHVXOWDGRVVRQORVPLVPRVTXH S2x cosx Y12(x) Y y (2) S2x sen x 12(x) (2) FUNCIONES ESFÉRICAS DE BESSEL /DVIXQFLRQHVGHRUGHQVHPLHQWHURVHXWLOL]DQ SDUDGH¿QLUGRVIXQFLRQHVLPSRUWDQWHVPiV jn(x) 2x J S y 12(x) n 2xS Y yn(x) n 12(x). () /DIXQFLyQjn(x VHFRQRFHFRPRODIXQFLyQHVIpULFDGH%HVVHOGHSULPHUDFODVH y yn(x HVODIXQFLyQHVIpULFDGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVH3RUHMHPSORSDUDn 0 las H[SUHVLRQHVHQ VHUiQ y j0(x) 2xS J y0(x) 2xS Y 2xS S2x sHnx 12(x) sen x x 2xS S2x cosx 12(x) cosx x (VHYLGHQWHHQ \HQOD¿JXUDSDUDn TXHODIXQFLyQHVIpULFDGH%HVVHOGH segunda clase yn(x VHUiQRDFRWDGDFXDQGRx A 0 /DVIXQFLRQHVHVIpULFDVGH%HVVHOVXUJHQHQODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUFLDOH[SUHVDGDHQFRRUGHQDGDVHVIpULFDV9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV\HOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE 3XHVWRTXHx 0 es un punto ork GLQDULRGHODHFXDFLyQGH/HJHQGUH VXVWLWX\HQGRODVHULH y k 0 ck x FRUULHQGR ORVtQGLFHVGHODVXPD\FRPELQDQGRODVHULHVHREWLHQH (1 x2)y 2xy 1)y n(n [n(n 1)c0 j 2 [( j 2c2 ] 2)( j [(n 1)cj (n c2 o c3 cj 2 1) n(n 2! (n 2)( j 1)cj 2 (n 2 lo que implica que (j 1)(n 2)c1 j)(n 6c3]x j 1)cj ]x j n(n 1)c0 2c2 0 1)(n 2)c1 6c3 0 j 1)cj 0 (n j)(n 0 c0 1)(n 3! 2) c1 (n j)(n j 1) c, ( j 2)( j 1) j j 2, 3, 4, . . . 6.4 FUNCIONES ESPECIALES 271 O 6LVHGHMDTXHjWRPHORVYDORUHVODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLD SURGXFH (n 2)(n 4 3 3) (n 3)(n 5 4 4) (n 4)(n 6 5 5) (n 5)(n 7 6 6) c4 c5 c6 c7 c2 c3 (n 2)n(n 1)(n 4! (n 3)(n c4 c5 y2 (x) c0 1 c1 x 1) n(n 2! 1)(n 5! c0 2)(n 4) (n 4)(n 2)n(n 1)(n 6! (n 5)(n 3)(n HWFpWHUD(QWRQFHVSDUDDOPHQRV x cias linealmente independientes: y1 (x) 3) c1 3)(n 1)(n 7! 5) 2)(n c0 4)(n 6) c1 VHREWLHQHQGRVVROXFLRQHVHQVHULHGHSRWHQ(n x2 2)n(n 1)(n 3) 3)(n 5) 4! (n 4)(n 2)n(n 1)(n 6! (n 1)(n 3! 2) (n 5)(n 3)(n x3 (n 3)(n 1)(n 7! x4 1)(n 5! 2)(n 4)(n x6 2)(n 6) 4) x5 x7 . Observe que si nHVXQHQWHURSDUODSULPHUDVHULHWHUPLQDPLHQWUDVTXHy(x HV XQDVHULHLQ¿QLWD3RUHMHPSORVLn HQWRQFHV 4 5 2 2 4 5 7 4 35 4 x x c0 1 10x2 x . 2! 4! 3 'HPDQHUDVLPLODUFXDQGRnHVXQHQWHURLPSDUODVHULHSDUDy(x WHUPLQDFRQxn; es GHFLUcuando n es un entero no negativo, obtenemos una solución polinomial de grado n GHODHFXDFLyQGH/HJHQGUH 'HELGRDTXHVHVDEHTXHXQP~OWLSORFRQVWDQWHGHXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGH /HJHQGUHWDPELpQHVXQDVROXFLyQVHDFRVWXPEUDHOHJLUYDORUHVHVSHFt¿FRVSDUDc0 y c1GHSHQGLHQGRGHVLnHVXQHQWHURSRVLWLYRSDURLPSDUUHVSHFWLYDPHQWH3DUDn 0 elegimos c0 \SDUDn 1 3 (n 1) , c0 ( 1)n /2 2 4 n mientras que para n 1 se elige c1 1 y para n y1 (x) c0 1 c1 ( 1)(n 1) /2 3RUHMHPSORFXDQGRn VHWLHQH y1 (x) ( 1) 4 /2 1 3 1 2 4 10x 2 1 3 n . 2 4 (n 1) 35 4 x 3 1 (35x 4 8 30x 2 3). POLINOMIOS DE LEGENDRE (VWDV VROXFLRQHV SROLQRPLDOHV HVSHFt¿FDV GH npVLPRJUDGRVHOODPDQpolinomios de Legendre y se denotan mediante Pn(x 'H las series para y1(x \y(x \GHODVRSFLRQHVDQWHULRUHVGHc0 y c1 se encuentra que los SULPHURVVHLVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHVRQ P0 (x) P2 (x) P4 (x) 1, 1 (3x2 1), 2 1 (35x4 30x2 8 P1 (x) P3 (x) 3), P5 (x) x, 1 (5x3 3x), 2 1 (63x5 70x3 8 15x). 272 O CAPÍTULO 6 1 0.5 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES Recuerde que P0(x P1(x P(x P(x VRQDVXYH]VROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGHODV ecuaciones diferenciales y P0 P1 n n n n P2 x 0: 1: 2: 3: (1 (1 (1 (1 x2)y x2)y x2)y x2)y 2xy 2xy 2xy 2xy 0, 2y 0, 6y 0, 12y 0, -0.5 -1 -1 -0.5 0.5 FIGURA 6.4.6 3ROLQRPLRVGH /HJHQGUHSDUDn 1 (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVVREUHHOLQWHUYDOR>@GHORVVHLV SROLQRPLRVGH/HJHQGUHHQ PROPIEDADES Se recomienda que compruebe las siguientes propiedades usando ORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHHQ i Pn ( x) ( 1) n Pn (x) ii Pn (1) 1 iii Pn ( 1) iv Pn (0) 0, n LPSDU v P n (0) ( 1) n 0, n par /DSURSLHGDGi LQGLFDFRPRHVHYLGHQWHHQOD¿JXUDTXHPn(x HVXQDIXQFLyQ par o impar concordantemente con la condición de si nHVSDURLPSDU RELACIÓN DE RECURRENCIA /DVUHODFLRQHVGHUHFXUUHQFLDTXHYLQFXODQSROLQRPLRVGH/HJHQGUHGHGLIHUHQWHVJUDGRVWDPELpQVRQLPSRUWDQWHVHQDOJXQRVDVSHFWRV GHVXVDSOLFDFLRQHV6HHVWDEOHFHVLQGHPRVWUDFLyQODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDGHWUHV WpUPLQRV (k 1)Pk 1 (x) (2k 1)xPk (x) kPk 1 (x) 0, TXHHVYiOLGDSDUDk (Q VHOLVWDQORVSULPHURVVHLVSROLQRPLRVGH /HJHQGUH6LGHFLPRVTXHVHGHVHDHQFRQWUDUP6(x VHSXHGHXVDUODHFXDFLyQ FRQ k (VWDUHODFLyQH[SUHVDP6(x HQWpUPLQRVGHORVFRQRFLGRVP4(x \P5(x 9pDVHHO SUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV 2WUD IyUPXOD TXH DXQTXH QR HV XQD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD SXHGH JHQHUDU ORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHSRUGHULYDFLyQHVODIyUPXODGH5RGULJXHVTXHSDUD estos polinomios es Pn (x) 1 dn (x2 2 n! dx n n 1) n, n 0, 1, 2, . . . . 9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV COMENTARIOS $XQTXHVHKDVXSXHVWRTXHHOSDUiPHWURnHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH/HJHQGUH (1 x y xy n(n y UHSUHVHQWDXQHQWHURQRQHJDWLYRHQXQD IRUPDPiVJHQHUDOnSXHGHUHSUHVHQWDUFXDOTXLHUQ~PHURUHDO&XDOTXLHUVROXFLyQGHODHFXDFLyQGH/HJHQGUHVHOODPDIXQFLyQGH/HJHQGUH6Ln no es un HQWHURQRQHJDWLYRHQWRQFHVDPEDVIXQFLRQHVGH/HJHQGUHy1(x \y(x GDGDV HQODHFXDFLyQ VRQVHULHVLQ¿QLWDVFRQYHUJHQWHVVREUHHOLQWHUYDORDELHUWR ( \GLYHUJHQWHV VLQOtPLWH HQx O6LnHVXQHQWHURQRQHJDWLYR HQWRQFHVFRPRVHKDYLVWRXQDGHODVIXQFLRQHVGH/HJHQGUHHQ HVXQSROLQRPLR\ODRWUDHVXQDVHULHLQ¿QLWDFRQYHUJHQWHSDUD1 x 6HGHEHWHQHU SUHVHQWHTXHODHFXDFLyQGH/HJHQGUHWLHQHVROXFLRQHVTXHHVWiQDFRWDGDVVREUH 6.4 FUNCIONES ESPECIALES O 273 el intervalo cerrado [@VyORHQHOFDVRFXDQGRn 0iVFRQFUHWDPHQWHODV~QLFDVIXQFLRQHVGH/HJHQGUHTXHHVWiQDFRWDGDVHQHOLQWHUYDOR cerrado [@VRQORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHPn(x RP~OWLSORVFRQVWDQWHVGH HVWRVSROLQRPLRV9pDVHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV\HOSUREOHPD HQHO5HSDVRGHOFDStWXOR EJERCICIOS 6.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-10. Ecuación de Bessel 20. 9x y 9xy (x 6 y 0 (QORVSUREOHPDVXVHODHFXDFLyQ SDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDOR 21. 8VHODVHULHHQ SDUDFRPSUREDUTXHI%(x i%J%(ix HV XQDIXQFLyQUHDO 1. x2 y 1 9 x2 xy 22. Suponga que bHQODHFXDFLyQ SXHGHVHUXQQ~PHUR LPDJLQDULRSXURHVGHFLUb ȕLȕ i 8VH esta suposición para expresar la solución general de la HFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQWpUPLQRVGHODVIXQFLRQHVPRGL¿cadas de Bessel In y Kn 0 y 2. x y xy (x y 0 3. 4x y 4xy (4x y 0 4. 16x y 16xy (16x y 0 a) y x y 0 5. xy y xy 0 6. d [xy ] dx x 4 y x (QORVSUREOHPDVDXVHSULPHURODHFXDFLyQ SDUDH[SUHVDUODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQWpUPLQRV GHIXQFLRQHVGH%HVVHO/XHJRXVH \ SDUDH[SUHVDUOD VROXFLyQJHQHUDOHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV 0 (QORVSUREOHPDV\XVHODHFXDFLyQ SDUDHQFRQWUDUOD VROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVREUH 1 4 36x 2 xy y 23. y y 0 24. x y 4x y (x y 0 7. x y x y (9x y 0 8. x 2 y 25. 16x y x y (x 4 y 0 0 26. 4x y 4x y (16x y 0 (QORVSUREOHPDV\XWLOLFH SDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQ JHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVREUH 27. a) 3URFHGDFRPRHQHOHMHPSORSDUDGHPRVWUDUTXH xJ%(x %J %(x xJ%1(x 9. x2y0 1 xy9 2 _16x2 1 49+y 5 0 [Sugerencia:(VFULEDn % n % %@ 10. x2y0 1 xy9 2 s2x2 1 64dy 5 0 (QORVSUREOHPDV\XVHHOFDPELRGHYDULDEOHLQGLFDGR para determinar la solución general de la ecuación diferencial VREUH 11. x y xy x y 0; 2 12. x y ( 2 2 x 2 1 4 )y 0; y 1x v(x) 13. xy y 4y 0 14. xy y xy 0 16. xy 5y xy 0 17. x y (x y 0 18. 4x y (16x y 0 19. xy y x y 0 b) 8WLOLFHHOUHVXOWDGRGHOLQFLVRD SDUDGHGXFLU 28. 8WLOLFHODIyUPXODGHOHMHPSORMXQWRFRQHOLQFLVRD GHO SUREOHPDSDUDGHGXFLUODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLD y x 1 v(x (QORVSUREOHPDVXVHODHFXDFLyQ SDUDHQFRQWUDUOD VROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQ 15. xy y xy 0 b) x y y x y 0 %J% (x xJ%1(x x J%1(x (Q ORV SUREOHPDV \ XVH OD HFXDFLyQ R SDUD REWHQHUHOUHVXOWDGRGDGR x 29. 0 rJ0 (r) dr xJ1 (x) 30. J0 (x J1(x J1(x 31. 3URFHGDFRPRHQODHFXDFLyQSiJLQDSDUDGHGXFLUOD forma elemental de J1(x GDGDHQ 32. 8VHODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDGHOSUREOHPDMXQWRFRQ \ SDUDH[SUHVDUJ(x J(x J5(x \J5(x HQWpUPLQRVGHVHQxFRVx y potencias de x 274 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 33. a)8WLOLFHODSULPHUDIyUPXODGH \HOSUREOHPDSDUD HQFRQWUDU ODV IXQFLRQHV HVIpULFDV GH %HVVHO j1(x \ j(x b)8VHXQDDSOLFDFLyQJUi¿FDSDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGH j1 [ \j [ HQHOPLVPRSODQRFRRUGHQDGR 34. a)8WLOLFHODVHJXQGDIyUPXODGH \HOSUREOHPDSDUD HQFRQWUDUODVIXQFLRQHVHVIpULFDVGH%HVVHOy1(x \y(x b)8VHXQDDSOLFDFLyQJUi¿FDSDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGH y1(x \y(x HQHOPLVPRSODQRFRRUGHQDGR 2 k e t / 2 para deBm PRVWUDUTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOUHVRUWHHQYHMHFLGR mx ketx VHFRQYLHUWHHQ 35. 8VH HO FDPELR GH YDULDEOHV s s2 d 2x ds 2 s dx ds s2 x ( 0. ) x1 / 2 w 23 x 3 / 2 es una solución de la HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH$LU\VLHPSUHTXHw sea una solución GHODHFXDFLyQGH%HVVHOLQGLFDGD>Sugerencia'HVSXpVGH GHULYDUVXVWLWXLU\VLPSOL¿FDUHQWRQFHVVHKDFH t 23 x3 / 2.] 36. 'HPXHVWUHTXH y (a) y0 1 ␣2x y 5 0, x . 0; t 2 w0 1 tw9 1 (t 2 2 19) w 5 0, t . 0 (b) y0 2 ␣2 x y 5 0, x . 0; t 2 w0 1 tw9 2 (t2 1 19)w 5 0, t . 0 37. 8 VHORVUHVXOWDGRVGHORVLQFLVRVD \E GHOSUREOHPD SDUDH[SUHVDUODVROXFLyQJHQHUDOVREUH LQ¿QLWR GHFDGD XQDGHODVGRVIRUPDVGHODHFXDFLyQGH$LU\HQWpUPLQRV GHIXQFLRQHVGH%HVVHO 38. 8VHODWDEODSDUDHQFRQWUDUORVSULPHURVWUHVHLJHQvalores positivos y las eigenfunciones correspondientes GHOSUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUD xy y xy 0, y(x y(x OLPLWDGDFRQIRUPHx A 0y [Sugerencia:,GHQWL¿FDQGR OD('HVODHFXDFLyQ GH%HVVHOSDUDPpWULFDGHRUGHQFHUR@ 39. a) 8 VHODHFXDFLyQ SDUDGHPRVWUDUTXHODVROXFLyQ general de la ecuación diferencial xy y 0 sobre HOLQWHUYDOR HV y ( c1 1xJ1 2 1 x ) ( b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQREWHQLGDHQHOLQFLVRD HQHOLQWHUYDOR t 42. a) 8VHODVROXFLyQJHQHUDOREWHQLGDHQHOSUREOHPD SDUDUHVROYHUHO39, 4x tx 0, 1, x(0.1) x (0.1) 1 2. 8VHXQ6$&SDUDHYDOXDUORVFRH¿FLHQWHV b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQREWHQLGDHQHOLQFLVRD HQHOLQWHUYDOR t 43. Columna doblada bajo su propio peso 8QDFROXPQD delgada uniforme de longitud LFRORFDGDYHUWLFDOPHQWH FRQXQH[WUHPRLQVHUWDGRHQHOVXHORVHFXUYDGHVGHOD YHUWLFDO EDMR OD LQÀXHQFLD GH VX SURSLR SHVR FXDQGR VX ORQJLWXGRDOWXUDH[FHGHXQFLHUWRYDORUFUtWLFR6HSXHGH GHPRVWUDU TXH OD GHÀH[LyQ DQJXODU (x GH OD FROXPQD desde la vertical en un punto P(x HV XQD VROXFLyQ GHO problema con valores en la frontera: d2 g(L x) 0, (0) 0, (L) 0, dx 2 donde EHVHOPyGXORGH<RXQJI es el momento de inerFLDGHVHFFLyQWUDQVYHUVDO es la densidad lineal constante y x es la distancia a lo largo de la columna medida GHVGHVXEDVH9pDVHOD¿JXUD/DFROXPQDVHGREOD sólo para aquellos valores de L para los que el problema FRQYDORUHVHQODIURQWHUDWLHQHXQDVROXFLyQQRWULYLDO a) (VWDEOH]FD GH QXHYR HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD frontera haciendo el cambio de variables t L x /XHJRXWLOLFHORVUHVXOWDGRVGHOSUREOHPDDQWHULRUHQHVWH FRQMXQWRGHHMHUFLFLRVSDUDH[SUHVDUODVROXFLyQJHQHUDOGH ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO b) 8VHODVROXFLyQJHQHUDOHQFRQWUDGDHQHOLQFLVRD SDUD HQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHO39)\XQDHFXDFLyQTXHGH¿QDODORQJLWXGFUtWLFDLHVGHFLUHOYDORUPiVSHTXHxR de LSDUDODTXHVHFRPLHQFHDGREODUODFROXPQD c) & RQD\XGDGHXQ6$&HQFXHQWUHODORQJLWXGFUtWLFDL de una varilla de acero sólida de radio r PP NJPE = 180 ×1091PA r e I 14 r 4. EI θ ) c2 1xY1 2 1 x . b) Compruebe por sustitución directa que y 1xJ1 (2 1x)HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD('HQHOFDVR P(x) x Tarea para el laboratorio de computación 40. 8VH XQ 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH J(x J(x J5(x \J5(x 41. a) 8 VH OD VROXFLyQ JHQHUDO GDGD HQ HO HMHPSOR SDUD UHVROYHUHO39, 1 4x e 0.1t x 0, x(0) 1, x (0) 2. DPELpQ XVH J 0 (x) 7 J1 (x) y Y 0 (x) Y1 (x) MXQWR FRQ OD WDEOD R XQ 6$& SDUD HYDOXDU ORV FRH¿FLHQWHV x=0 suelo FIGURA 6.4.7 9LJDGHOSUREOHPD 44. Pandeo de una columna vertical delgada (QHOHMHPSORGHODVHFFLyQYLPRVTXHFXDQGRVHDSOLFDXQD IXHU]DFRPSUHVLYDYHUWLFDOFRQVWDQWHRFDUJDP a una columna delgada de sección transversal uniforme y abisa- 6.4 JUDGDHQDPERVH[WUHPRVODGHÀH[LyQy(x HVXQDVROXFLyQGHO39) d 2y EI 2 Py 0, y(0) 0, y(L) 0. dx a) 6LHOIDFWRUGHULJLGH]DODÀH[LyQEI es proporcional a x entonces EI(x kxGRQGHk es una constante de proSRUFLRQDOLGDG6LEI(L kL MHVHOIDFWRUGHULJLGH] Pi[LPDHQWRQFHVk ML\SRUWDQWREI(x MxL 8VHODLQIRUPDFLyQGHOSUREOHPDSDUDHQFRQWUDUXQD solución de x d 2y M Py 0, y(0) 0, y(L) 0 L dx 2 si se sabe que 1xY1(21 x) no es cero en x b) 8VHODWDEODSDUDHQFRQWUDUODFDUJDGH(XOHUP1 SDUDODFROXPQD c) 8 VHXQ6$&SDUDJUD¿FDUHOSULPHUPRGRGHSDQGHR y1(x FRUUHVSRQGLHQWHDODFDUJDGH(XOHUP13RUVLPplicidad suponga que c1 1 y L 45. Péndulo de longitud variable 3DUD HO SpQGXOR VLPSOH GHVFULWRHQODSiJLQDGHODVHFFLyQVXSRQJDTXHOD varilla que sostiene la masa m en un extremo se sustituye SRUXQDODPEUHÀH[LEOHRFXHUGD\TXHHODODPEUHSDVDSRU una polea en el punto de apoyo OHQOD¿JXUD'HHVWD PDQHUDPLHQWUDVHVWiHQPRYLPLHQWRHQHOSODQRYHUWLFDOOD masa mSXHGHVXELUREDMDU(QRWUDVSDODEUDVODORQJLWXG l(t GHOSpQGXORYDUtDFRQHOWLHPSR%DMRODVPLVPDVVXSRVLFLRQHVTXHFRQGXFHQDODHFXDFLyQ HQODVHFFLyQ VHGHGXFHGH HQHO5HSDVRGHOFDStWXORTXHODHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOSDUDHOiQJXORGHGHVSOD]DPLHQWR (t DKRUDHV l d2␪ dl d␪ 12 1 g sen ␪ 5 0 dt dt dt2 a) Si lDXPHQWDDXQDUDSLGH]FRQVWDQWHv y si l l0 GHPXHVWUHTXHXQDOLQHDOL]DFLyQGHOD('DQWHULRUHV d 2␪ d␪ (l0 1 vt) 2 1 2v 1 g ␪ 5 0. dt dt b) Realice el cambio de variables x (l0 vt v y dePXHVWUHTXHODHFXDFLyQ VHFRQYLHUWHHQ d2 2d g 0. 2 dx x dx vx c) 8 VHHOLQFLVRE \ODHFXDFLyQ SDUDH[SUHVDUOD VROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ HQWpUPLQRVGH IXQFLRQHVGH%HVVHO d) 8VHODVROXFLyQJHQHUDOGHOLQFLVRF SDUDUHVROYHU el problema con valores iniciales que consiste en ODHFXDFLyQ \ODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV 0 >Sugerencias: SDUD VLPSOL¿FDU ORV FiOFXORV XVH XQ FDPELR GH YDULDEOH DGLFLRQDO 2 g 1/ 2 1g(l0 vt) 2 x . v Bv $GHPiV UHFXHUGH TXH OD HFXDFLyQ YDOH SDUD J1(u \Y1(u 3RU~OWLPRODLGHQWLGDG u J1 (u)Y2 (u) J2 (u)Y1 (u) 2 VHUi PX\ ~WLO@ u FUNCIONES ESPECIALES O 275 pulley wire O l(t) m FIGURA 6.4.8 3pQGXORGHORQJLWXGYDULDEOHGHOSUREOHPD e) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQ (t GHO 39, GHO LQFLVR G FXDQGR l0 P 0 UDGLiQ \ v PV([SHULPHQWHFRQODJUi¿FDXVDQGRGLIHUHQWHVLQWHUYDORVGHWLHPSRFRPR>@>@HWFpWHUD I ¢4XpLQGLFDQODVJUi¿FDVDFHUFDGHOiQJXORGHGHVSOD]DPLHQWR(t FXDQGRODORQJLWXGl del alambre se incrementa con el tiempo? Ecuación de Legendre 46. a) 8 VHODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVy1(x \y(x GHODHFXDFLyQ GH /HJHQGUH GDGD HQ \ OD HOHFFLyQ DSURpiada de c0 y c1 para encontrar los polinomios de /HJHQGUHP6(x \P(x b) Escriba las ecuaciones diferenciales para las cuales P6(x \P(x VRQVROXFLRQHVSDUWLFXODUHV 47. 8VHODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLD \P0(x P1(x x SDUDJHQHUDUORVVLJXLHQWHVVHLVSROLQRPLRVGH/HJHQGUH 48. 'HPXHVWUHTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO sen d 2y d 2 cos dy d n(n 1)(sen )y 0 SXHGHFRQYHUWLUVHHQODHFXDFLyQGH/HJHQGUHSRUPHGLR de la sustitución x cos 49. Encuentre los primeros tres valores positivos de para los cuales el problema (1 y x2)y 2xy y 0, y(x y(x HVWiDFRWDGDHQ>@ WLHQHVROXFLRQHVQRWULYLDOHV Tarea para el laboratorio de computación 50. (QODUHDOL]DFLyQGHHVWHSUREOHPDLJQRUHODOLVWDGHSROLQRPLRVGH/HJHQGUHTXHVHSUHVHQWDQHQODSiJLQD\ ODVJUi¿FDVGHOD¿JXUD8VHODIyUPXODGH5RGULJXHV SDUDJHQHUDUORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHP1(x P(x P(x 8VHXQ6$&SDUDUHDOL]DUODVGHULYDGDV\ODV VLPSOL¿FDFLRQHV 51. 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHP1(x P(x P(x VREUHHOLQWHUYDOR>@ 276 O CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 52. 8VH XQ SURJUDPD GH FiOFXOR GH UDtFHV SDUD GHWHUPLQDU ODVUDtFHVGHP1(x P(x P(x 6LORVSROLQRPLRVGH /HJHQGUHVRQIXQFLRQHVLQFRUSRUDGDVHQVX6$&HQFXHQWUH ORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHGHJUDGRVXSHULRU+DJDXQDVXSRVLFLyQDFHUFDGHODORFDOL]DFLyQGHODVUDtFHVGHDOJ~QSROLQRPLRGH/HJHQGUHPn(x \OXHJRLQYHVWLJXHVLHVYHUGDG Miscelánea de ecuaciones diferenciales 53. /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDO y xy Į\ 0 se conoce como la ecuación de Hermite de orden Į en KRQRU GHO PDWHPiWLFR IUDQFpV Charles Hermite 'HPXHVWUHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ es y(x c0y1(x c1y(x GRQGH k y1(x) ( 1)k 1 k 2 D(D 1 2) . . . (D (2k)! 2k 2) x 2k 2k(D 1)(D 3) . . . (D 2k 1) 2k 1 x (2k 1)! k 1 VRQVROXFLRQHVHQVHULHVGHSRWHQFLDVHQHOSXQWRRUGLQDULR y2(x) ( 1)k x 54. a) Cuando Į n HV XQ HQWHUR QR QHJDWLYROD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDOGH+HUPLWHWDPELpQWLHQHXQDVROXFLyQSROLnomial de grado n8WLOLFHODy1(x GDGDHQHOSUREOHPD SDUDHQFRQWUDUODVVROXFLRQHVSROLQRPLDOHVSDUDn n \n 'HVSXpVXVHy(x SDUDHQFRQWUDUODV soluciones polinomiales para n n \n b) 8Qpolinomio de Hermite Hn(x VHGH¿QHFRPRXQSRlinomio de grado npVLPRTXHHVVROXFLyQGHODHFXDFLyQ REPASO DEL CAPÍTULO 6 (QORVSUREOHPDV\FRQWHVWHIDOVRRYHUGDGHURVLQFRQVXOWDUGH QXHYRHOWH[WR 1. /D VROXFLyQ JHQHUDO GH x y x y (x y 0 es y c 1J 1(x c J1(x 2. 'HELGR D TXH x 0 es un punto singular irregular de x y xy y OD('QRWLHQHVROXFLyQTXHVHDDQDOtWLFD en x 3. ¢(Q cuál GH ORV VLJXLHQWHV LQWHUYDORV VH JDUDQWL]D TXH FRQvergen para toda x ambas soluciones en serie de potencias de y ln(x y y 0 centradas en el punto ordinario x 0? a) ( c) [ b) ( 1 1 2, 2] de Hermite multiplicada por una constante adecuada de IRUPDTXHHOFRH¿FLHQWHGHxn en Hn(x HVn8WLOLFHODV VROXFLRQHV SROLQRPLDOHV GHO LQFLVR D SDUD GHPRVWUDU que los primeros seis polinomios de Hermite son H0(x) 1 H1(x) 2x H2(x) 4x2 H3(x) 3 2 8x H 4 (x) H5 (x) 12x 16x 4 32x 5 48x2 12 3 160x 120x 55. /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDO (1 x y xy Įy 0 donde Į HV XQ SDUiPHWUR VH FRQRFH FRPR OD ecuación de Chebyshev HQ KRQRU DO PDWHPiWLFR UXVR 3DIQXW\ Chebyshev &XDQGRĮ n es un entero no neJDWLYR/DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH&KHE\VKHYVLHPSUHWLHQH una solución polinomial de grado n(QFXHQWUHXQDVROXFLyQ SROLQRPLDOGHTXLQWRJUDGRGHHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 56. Si nHVXQHQWHURXVHODVXVWLWXFLyQR(x (Į[ 1Z(x para demostrar que la solución general de la ecuación diferencial xR xR [Įx n(n @R 0 HQ HO LQWHUYDOR HV R(x c1 jn(Į[ cyn(Į[ donde jn(Į[ \ yn(Į[ VRQ ODV IXQFLRQHV HVIpULFDV GH %HVVHOGHSULPHUD\VHJXQGDFODVHGH¿QLGDVHQ Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-10. Teniendo en mente que c0 y c1VRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDVHVFULED ORVSULPHURVFLQFRWpUPLQRVGHGRVVHULHVGHSRWHQFLDVTXHVRQ VROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 5. Suponga que se sabe que la serie de potencias k 0 ck(x 4)k converge en \GLYHUJHHQ$QDOLFHVLODVHULHFRQYHUJHHQ \/DVUHVSXHVWDVSRVLEOHVVRQsinopodría 6. 8VH OD VHULH GH 0DFODXULQ SDUD VHQ x y cos x MXQWR FRQ OD GLYLVLyQ ODUJD SDUD HQFRQWUDU ORV SULPHURV WUHV WpUPLnos diferentes de cero de una serie de potencias en x para la función f (x) sen x . cos x (QORVSUREOHPDV\FRQVWUX\DXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGH VHJXQGRRUGHQTXHWHQJDODVSURSLHGDGHVGDGDV d) [@ 4. x HVXQSXQWRRUGLQDULRGHFLHUWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO n 'HVSXpVTXHVHVXVWLWX\HODVROXFLyQVXSXHVWD y n 0 cn x HQOD('VHREWLHQHHOVLJXLHQWHVLVWHPDDOJHEUDLFRFXDQGRORV FRH¿FLHQWHVGHx0x1x y x se igualan a cero: 7. 8QSXQWRVLQJXODUUHJXODUHQx 1 y un punto singular irregular en x 8. 3XQWRVVLQJXODUHVUHJXODUHVHQx 1 y en x (QORVSUREOHPDVDXVHXQPpWRGRGHVHULHVLQ¿QLWDVDSURSLDGR respecto a x 0 para encontrar dos soluciones de la ecuación difeUHQFLDOGDGD 2c2 2c1 c0 0 6c3 4c2 c1 0 12c4 6c3 c2 1 3 c1 0 11. (x y y 0 12. y x y xy 0 20c5 8c4 c3 2 3 c2 0. 13. x y (x y y 0 14. (cos x y y 0 9. x y y y 0 10. y x y y 0 REPASO DEL CAPÍTULO 6 (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGDGR xy 0, y 6, y (1) y(1) b) 3 22. /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ dydx x y no se SXHGHUHVROYHUHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV6LQHPEDUJR XQDVROXFLyQVHSXHGHH[SUHVDUHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO 1 du conduce u dx a) 'HPXHVWUH TXH OD VXVWLWXFLyQ y a la ecuación u xu b) 8VH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ SDUD HQFRQWUDU OD solución general de u xu c) 8 VHODVHFXDFLRQHV \ GHODVHFFLyQHQODVIRUmas J (x) y J (x) x J (x) x J J (x) 1(x) y cJ J 8 VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVIXQFLRQHVGH /HJHQGUHORJDUtWPLFDVGDGDVHQORVLQFLVRVD \E (1 2xt y I 1/ 2 (x) a) 4x2y0 1 4xy9 1 (64x2 2 25)y 5 0 b) x2y0 1 xy9 2 (18x2 1 9)y 5 0 27. Aleta de eQIULDPLHQWR8QDDOHWDGHHQIULDPLHQWRHVXQDSUR\HFFLyQ KDFLDHOH[WHULRUGHXQGLVSRVLWLYRPHFiQLFRRHOHFWUyQLFRGHOFXDO se puede irradiar calor del dispositivo al medio ambiente (como el DLUH 9pDVHOD¿JXUD58QDDOHWDGHHQIULDPLHQWRDQXODURHQ IRUPD GH DQLOOR VH XWLOL]D QRUPDOPHQWH HQ ODV VXSHU¿FLHV FLOtQGULFDV FRPR XQ WXER FDOLHQWH FLUFXODU 9pDVH OD ¿JXUD 5 (Q HVWH ~OWLPRFDVRr GHQRWDTXHODGLVWDQFLDUDGLDOPHGLGDGHVGHODOtQHD FHQWUDO GH OD WXEHUtD \ T(r HV OD WHPSHUDWXUD GH OD DOHWD SDUD U0 r r16HSXHGHGHPRVWrar que T(r VDWLVIDFHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 1 2 donde a es una constante y TmHVODWHPSHUDWXUDFRQVWDQWHGHODLUH Supongamos que r0 r1 \Tm 8WLOLFHODVXVWLWXFLyQw(r T(r) SDUDGHPRVWUDUTXHODVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQ FLDOGDGDVXMHWDDODVFRndiciones frontera T(1) 5 160, T9(3) 5 0 ( ). ( ) es sen x T(r) 570 1 90 B2x K1(3a)I0(ar) 1 I1(3a)K0(ar) , K1(3a)I0(a) 1 I1(3a)K0(a) donde I0(x \K0(x VRQODVIXQFLRQHVGH%HVVHOPRGL¿FDGDVGH SULPHUD\VHJXQGDFODVH7DPELpQWHQGUiTXHXVDUODVGHULYDGDV GDGDVHQODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQ r r0 2 cosh x. B x c) 8VHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQ\HOLQFLVRE SDUD demostrar que K1/ 2 (x) Pn (x)t n. n 0 © GDragan/iStock/Thinkstock 2 senhx B x 1/ 2 26. Exprese la solución general de la ecuación diferencial dada sobre el intervalo ( HQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO b) 8VHODGH¿QLFLyQ,Y [ LY-Y L[ SDUDGHPRVWUDUTXH I1/ 2 (x) t2 ) b) 8VH HO UHVXOWDGR REWHQLGR HQ HO LQFLVR D SDUD GHPRVWUDU que Pn 1 y Pn( ( n9pDQVHODVSURSLHGDGHV ii \iii GHORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUH 23. a) 8 VHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQ\HOSUREOHPDGH ODVHFFLyQSDUDGHPRVWUDUTXH Y3/ 2 (x) 1. 1 2 3 /4 2 x 1 2 1/4 2 x 2 cos x x x x x d dT r 5 a2r (T 2 Tm), dr dr como ayuda para demostrar que una familia uniparaPpWULFDGHVROXFLRQHVGHdydx x yHVWiGDGDSRU ( ) x cJ1/4( 12 x2) x 1 ln 2 1 25. a) 8VHVHULHVbinomiales para demostrar formalmente que 1 (x) J J3 /4 12 x2 c) x . x TambipQ VDEHPRV GH ODV HFXDFLRQHV \ GH OD VHFFLyQTXHFXDQGRn 1 la ecuación diferencial de /HJHQGUH x y xy y 0 tiene la solución polinomial y P1(x x8VHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQ SDUDGHPRVWUDUTXHXQDVHJXQGDIXQFLyQGH/HJHQGUH que satisface la('HQHOLQWHUYDOR1 x 1 es y de la forma y n 0 cn x . 3RUPHGLRGHVHULHVGHSRWHQFLDV GHWHUPLQHXQDPHMRUIRUPDGHUHVROYHUHOSUREOHPD 21. Observe que x 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial y x y x y 5 x 10x 8VHODVXSRVLFLyQ n y n 0 cn x para encontrar la solución general y yc yp que consiste en tres series de potencias centradas en x 1 1 ln 2 1 y n (QORVSUREOHPDV\LQYHVWLJXHVLx HVXQSXQWRRUGLQDULRVLQJXODURVLQJXODULUUHJXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD>Sugerencia: Recuerde la serie de Maclaurin para cos x y ex@ 19. x y (1 cos x y x y 0 20. (e x 1 x y x y 0 277 PRVWUDUTXHXQDVHJXQGDIXQFLyQGH/HJHQGUHTXHVDWLVIDFH OD('HQHOLQWHUYDOR 1 x 1 es 15. y xy y y y 16. (x y y y y 1 17. Sin realmente resolver la ecuación diferencial (1 VHQx y xy HQFXHQWUHXQOtPLWHLQIHULRUSDUDHOUDGLRGHFRQYHUJHQFLDGHODVVRluciones en serie de potencias alrededor del al punto ordinario x 18. $XQTXHx HVXQSXQWRRUGLQDULRGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO H[SOLTXHSRUTXpQRHVXQDEXHQDLGHDWUDWDUGHHQFRQWUDUXQD VROXFLyQGHO39, y O e x. 24. a) ' H ODV HFXDFLRQHV \ GH OD VHFFLyQ VH VDEH que cuando n OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH /HJHQGUH (1 x y xy 0 tiene la solución polinomial y P0(x 8VHODHFXDFLyQ GHODVHFFLyQSDUDGH- FIGURA 6.R.1 $OHWDVGHHQIULDPLHQWR HQXQPRWRUGHPRWRFLFOHWD 1 aleta de enfriamiento tubería circular FIGURA 6.R.2 $OHWDGH HQIULDPLHQWRDQXODU 28. Resuelva la ecuación diferencial en el problema 27 si las condiciones frontera son T T 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE © Raimundas/Shutterstock.com 7.1 'H¿QLFLyQGHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH 7.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 7.3 Propiedades operacionales I 7.4 Propiedades operacionales II 7.5 La función delta de Dirac 7.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales REPASO DEL CAPÍTULO 7 E n los modelos matemáticos lineales para sistemas físicos como un sistema resorte/masa o un circuito eléctrico en serie, el miembro del lado derecho o entrada, de las ecuaciones diferenciales mx x kx f (t) o Lq Rq qC E(t) 278 representa una fuerza externa f (t) o un voltaje aplicado E(t). En la sección 5.1 consideramos problemas en los que las funciones f y E son continuas. Sin embargo, las funciones de conducción discontinuas son comunes. Aunque ya hemos resuelto HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVGH¿QLGDVSRUWUDPRVXVDQGRODVWpFQLFDVGLVFXWLGDVHQ los capítulos 2 y 4, la Transformada de Laplace que se estudia en este capitulo, es una KHUUDPLHQWDPX\HVSHFLDOTXHVLPSOL¿FDODVROXFLyQGHHVWHWLSRGHHFXDFLRQHV 7.1 7.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE O 279 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE INTRODUCCIÓN En cálculo elemental aprendió que la derivación y la integración son transformadas;HVWRVLJQL¿FDDJUDQGHVUDVJRVTXHHVWDVRSHUDFLRQHVWUDQVIRUPDQXQDIXQFLyQHQRWUD Por ejemplo, la función f(x) x2 se transforma, a su vez, en una función lineal y en una familia de funciones polinomiales cúbicas con las operaciones de derivación e integración: d 2 x dx 2x x2 dx y 1 3 x 3 c. Además, estas dos transformadas tienen la propiedad de linealidad tal que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para Į y ȕ constantes d [ f (x) dx y [ f (x) g(x)] g(x)] dx f (x) g (x) f (x) dx g(x) dx siempre que cada derivada e integral exista. En esta sección se examina un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de tener la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas lineales con valores iniciales. TRANSFORMADA INTEGRAL Si f(x, y) es una función de dos variables, entonces XQDLQWHJUDOGH¿QLGDGHf respecto a una de las variables conduce a una función de la otra variable. Por ejemplo, si se conserva y constante, se ve que 21 2xy2 dx 3y2 . De LJXDOPRGRXQDLQWHJUDOGH¿QLGDFRPR ba K(s, t) f (t) dt transforma una función f de la variable t en una función F de la variable s. Tenemos en particular interés en una transformada integral, donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado [0, ). Si f (t VHGH¿QHSDUDt 0, entonces la integral impropia 0 K(s, t) f (t) dt se GH¿QHFRPRXQOtPLWH ` b # K(s, t) f (t) dt 5 lim # K(s, t) f (t) dt. bS` 0 Supondremos que s es una variable real (1) 0 Si existe el límite en (1), entonces se dice que la integral existe o es convergente; si no existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general, el límite en (1) existirá sólo para ciertos valores de la variable s. UNA DEFINICIÓN La función K(s, t) en (1) se llama kernel o núcleo de la transformada. La elección de K(s, t) est como el núcleo nos proporciona una transformada integral especialmente importante. DEFINICIÓN 7.1.1 Transformada de Laplace Sea fXQDIXQFLyQGH¿QLGDSDUDt { f (t)} 0. Entonces se dice que la integral 0 e st f (t) dt es la transformada de Laplace de f, siempre que la integral converja. (2) 280 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE La transformada de Laplace se llama así en honor del matemático y astrónomo francés Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749-1827). &XDQGRODLQWHJUDOGHODGH¿QLFLyQ FRQYHUJHHOUHVXOWDGRHVXQDIXQFLyQGHs. En el análisis general se usa una letra minúscula para denotar la función que se transforma y la letra mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace, por ejemplo, {f (t)} {g(t)} F(s), {y(t)} G(s), Y(s). Como muestran los siguientes cuatro ejemplos, el dominio de la función F(s) depende de la función f (t). EJEMPLO 1 Evalúe $SOLFDQGRODGH¿QLFLyQ {1}. SOLUCIÓN De (2), + {1} 5 ` # e2st(1) dt 5 lim bS` 0 2e2st bS` s 5 lim u b 0 b #e 2st dt 0 2e2sb 1 1 1 5 bS` s s 5 lim siempre que s 0. En otras palabras, cuando s 0, el exponente sb es negativo y esb A 0 conforme b A . La integral diverge para s 0. El uso del signo de límite se vuelve un poco tedioso, por lo que se adopta la notación b 0 como abreviatura para escribir lim b : ( ) 0 . Por ejemplo, {1} e 0 st e s (1) dt 1 , s st 0 s 0. (QHOOtPLWHVXSHULRUVHVREUHHQWLHQGHORTXHVLJQL¿FDest A 0 conforme t A para s 0. EJEMPLO 2 Evalúe $SOLFDQGRODGH¿QLFLyQ {t}. st {t} t dt . Al integrar por partes 0 e 0, junto con el resultado del ejemplo 1, se obtiene SOLUCIÓN 'HODGH¿QLFLyQVHWLHQH y usando lim te st t→ te s {t} EJEMPLO 3 Evalúe a) {e 0, s 3t }. st 0 1 s e st 1 s dt 0 {1} 1 1 s s 2(s 1 3)t dt $SOLFDQGRODGH¿QLFLyQ b) {e5t} SOLUCIÓN 'HODGH¿QLFLyQVHWLHQH a) + {e23t} 5 ` #e 0 23t 2st e dt 5 ` #e 0 2e2(s 1 3)t s13 1 . 5 s13 5 u ` 0 1 . s2 7.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE El último resultado es válido para s > –3, ya que para que exista el lim 0 para s 3 0 o s 3. {e5t} b) e 5t e st dt (s e 0 5)t O t A 281 e(s3)t dt 0 e s 1 (s 5)t 5 s 0 5 A diferencia del inciso a), este resultado es válido para s 5 ya que limt A e(s5)t 0 requiere que s – 5 > 0 o s > 5. EJEMPLO 4 $SOLFDQGRODGH¿QLFLyQ Evalúe {sen 2t}. SOLUCIÓN 'HODGH¿QLFLyQHLQWHJUDQGRSRUSDUWHVGRVYHFHVVHWLHQHTXH {sen 2t} 0 2 –s lim e st t→ st e 0 cos 2t e st sen 2t –––––––––––– s sen 2t dt st e 0, s cos 2t dt, 0 e st cos 2t dt 0 s 0 Transformada de Laplace de sen 2t [ 2 e st cos 2t –s –––––––––––– s 2 ––2 s 2 –s 0 2 –s 0 0 e ] sen 2t dt st 4 ––2 {sen 2t}. s {sen 2t} en ambos lados de la igualdad. Si En este punto se tiene una ecuación con se despeja esa cantidad el resultado es {sen 2t} 2 2 s , s 4 0. ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Para una combinación lineal de funciones podemos escribir 0 e st [ f (t) g(t)] dt 0 e st f (t) dt 0 e st g(t) dt siempre que ambas integrales converjan para s c. Por lo que se tiene que { f (t) g(t)} { f (t)} {g(t)} F(s) G(s) . (3) Como resultado de la propiedad dada en (3), se dice que es una WUDQVIRUPDFLyQOLQHDO. EJEMPLO 5 Linealidad de la transformada de Laplace En este ejemplo usamos los resultados de los ejemplos anteriores para ilustrar la linealidad de la transformada de Laplace. a) De los ejemplos 1 y 2 tenemos para s 0 {1 5t} {1} 5 {t} 1 s 5 , s2 b) De los ejemplos 3 y 4 tenemos para s 5. {4e5t 10 sen 2t} 4 {e5t} 10 {sen2t} 4 s 20 5 s2 . 4 282 CAPÍTULO 7 O LA TRANSFORMADA DE LAPLACE c) De los ejemplos 1, 2 y 3 tenemos para s 0, 3t {20e 7t 9} 20 {e 3t} 20 7 s 3 s2 7 {t} 9 s 9 {1} Se establece la generalización de algunos ejemplos anteriores por medio del siguiente teorema. A partir de este momento se deja de expresar cualquier restricción sobre s; se sobreentiende que sHVWiORVX¿FLHQWHPHQWHUHVWULQJLGDSDUDJDUDQWL]DUODFRQYHUJHQFLD de la adecuada transformada de Laplace. TEOREMA 7.1.1 Transformada de algunas funciones básicas 1 {1} a) s n! , sn 1 b) {t n} d) {sen kt} f) {senh kt} n 1, 2, 3, . . . k 2 k2 s k 2 2 s k 1 c) {eat} e) {cos kt} g) {cosh kt} s a s s2 k2 s 2 s k2 (VWHUHVXOWDGRHQE GHOWHRUHPDVHSXHGHMXVWL¿FDUIRUPDOPHQWHSDUDn un entero positivo usando integración por partes para demostrar primero que {t n} n s {t n 1} Entonces para n = 1, 2 y 3, tenemos, respectivamente, {t} 1 s {1} 1 1 s s 1 s2 {t2} 2 s {t} 2 1 s s2 2 1 s3 {t3} 3 s {t2} 3 2 1 s s3 3 2 1 s4 6LVLJXHFRQODVHFXHQFLDDO¿QDOGHEHUiHVWDUFRQYHQFLGRGHTXH {t n} f(t) a t1 t2 t3 b t FIGURA 7.1.1 Función continua por tramos. n...3 2 1 sn 1 n! s n 1 CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE {f (t)} La integral TXHGH¿QHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFHQRWLHQHTXHFRQYHUJHU3RUHMHPSORQRH[LVWH 2 {1>t} ni {et }/DVFRQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVTXHJDUDQWL]DQODH[LVWHQFLDGH {f (t)} son que f sea continua por tramos sobre [0, ) y que f sea de orden exponencial para t T. Recuerde que la función f es continua por tramos sobre [0, ) si, en cualquier intervalo 0 a t bKD\XQQ~PHUR¿QLWRGHSXQWRVtk, k 1, 2, . . . , n (tkl tk) en los que f WLHQHGLVFRQWLQXLGDGHV¿QLWDV\HVFRQWLQXDVREUHFDGDLQWHUYDORDELHUWR tkl, tk). Vea la ¿JXUD(OFRQFHSWRGHorden exponencialVHGH¿QHGHODVLJXLHQWHPDQHUD DEFINICIÓN 7.1.2 Orden exponencial Se dice que f es de orden exponencial c si existen constantes c, M 0 y T 0 tales que f (t) Mect para toda t T. 7.1 f(t) Me ct (c > 0) f (t) FIGURA 7.1.2 f es de orden exponencial c. 283 O Si f es una función creciente, entonces la condición f (t) Mect, t T, simplePHQWHHVWDEOHFHTXHODJUi¿FDGHf sobre el intervalo (T, ) no crece más rápido que ODJUi¿FDGHODIXQFLyQH[SRQHQFLDOMect, donde c es una constante positiva. Vea la ¿JXUD/DVIXQFLRQHVf (t) t, f (t) et y f (t) 2 cos t son de orden exponencial porque para c 1, M 1, T 0 se tiene, respectivamente, para t 0 t T DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE et, t e et, t y 2 cos t 2et. 8QDFRPSDUDFLyQGHODVJUi¿FDVVREUHHOLQWHUYDOR> VHPXHVWUDHQOD¿JXUD f (t) f (t) f (t) et 2et et 2 cos t t e −t t t a) t b) c) FIGURA 7.1.3 Tres funciones de orden exponencial f(t) e t 2 c FIGURA 7.1.4 Un exponente entero positivo de t siempre es de orden exponencial puesto que, para c 0, tn tn Mect o M para t T ect e ct t es equivalente a demostrar que el limt S ` tnyect HV ¿QLWR SDUD n 1, 2, 3, . . . El resultado se deduce con n aplicaciones de la regla de L'Hôpital. Una función como 2 f (t) et QRHVGHRUGHQH[SRQHQFLDOSXHVWRTXHFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 2 et crece más rápido que cualquier potencia lineal positiva de e para t c 0. Esto también se puede ver, de et2 no es de orden 2 et 2 5 et 2ct 5 et(t2c) S ` es t S ` ect u u exponencial. para cualquier valor de c. Por el mismo razonamiento, e2stet S ` , cuando t S ` para 2 2 ` cualquier s, por lo que la integral impropia e 0 e2stet dt diverge. Es decir, +het j no existe 2 TEOREMA 7.1.2 &RQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVSDUDODH[LVWHQFLD Si f es una función continua por tramos en [0, ) y de orden exponencial, entonces { f (t)} existe para s c. DEMOSTRACIÓN 3RUODSURSLHGDGDGLWLYDGHOLQWHUYDORGHLQWHJUDOHVGH¿QLGDVSR- demos escribir { f(t)} T 0 e st f(t) dt T e st f(t) dt I1 I2. La integral I1 existe ya que se puede escribir como la suma de integrales sobre los intervalos en los que es t f (t) es continua. Ahora puesto que f es de orden exponencial, existen constantes c, M 0, T 0 tales que f (t) Mect para t T. Entonces podemos escribir I2 T e st f (t) dt M T e st ct e dt M T e (s c)t dt M e (s c)T s c para s c. Puesto que T Me (s c)t dt converge, la integral T e st f (t) dt converge SRUODSUXHEDGHFRPSDUDFLyQSDUDLQWHJUDOHVLPSURSLDV(VWRDVXYH]VLJQL¿FDTXHI2 st existe para s c. La existencia de I1 e I2 implica que existe {f (t)} f (t) dt 0 e para s c. Vea i) en los Comentarios 284 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EJEMPLO 6 7UDQVIRUPDGDGHXQDIXQFLyQFRQWLQXDSRUWUDPRV 0, 2, Evalúe {f (t)} donde f (t) 0 3 3. t t SOLUCIÓN La función fTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVFRQWLQXDSRUWUDPRV y de orden exponencial para t 0. Puesto que fVHGH¿QHHQGRVWUDPRV{f (t)} se expresa como la suma de dos integrales: y 2 3 {f (t)} t 0 e st 3 f (t) dt 0 0 FIGURA 7.1.5 Función continua por tramos en el ejemplo 6. st e (0) dt 2e 3 e st (2) dt st s 3 3s 2e , s 0. s Concluimos esta sección con un poco más de teoría relacionada con los tipos de funciones de s con las que en general se estará trabajando. El siguiente teorema indica que no toda función arbitraria de s es una transformada de Laplace de una función continua por tramos de orden exponencial. Comportamiento de F(s) conforme s A TEOREMA 7.1.3 Si f es continua por tramos sobre [0, ) y de orden exponencial y F(s) { f (t)}, entonces el lim F(s) 0. s:` Puesto que f es de orden exponencial, existen constantes #, M1 0 y T 0 tales que f (t) M1e# t para t T. También, puesto que f es continua por tramos para el intervalo 0 t T, está necesariamente acotada sobre el intervalo; es decir, f (t) M2 M2e0t. Si M denota el máximo del conjunto {M1, M2} y c denota el máximo de {0,#}, entonces DEMOSTRACIÓN F(s) 0 e st f (t) dt M 0 e stect dt M 0 e (s c)t dt M s c para s c. Conforme s A , se tiene F(s) A 0 y por tanto F(s) { f (t)} A 0. COMENTARIOS i) En este capítulo nos dedicaremos principalmente a funciones que son continuas por tramos y de orden exponencial. Sin embargo, se observa que estas dos condiFLRQHVVRQVX¿FLHQWHVSHURQRQHFHVDULDVSDUDODH[LVWHQFLDGHODWUDQVIRUPDGDGH Laplace. La función f (t) t1/2 no es continua por tramos sobre el intervalo [0, ), pero existe su transformada de Laplace. La función f (t) 2te t 2 cos e t 2 no es de orden exponencial pero se puede demostrar que su transformada de Laplace existe. Vea los problemas 43 y 53 en los ejercicios 7.1. ii) Como consecuencia del teorema 7.1.3 se puede decir que las funciones de s como F1(s) 1 y F2(s) s (s 1) no son las transformadas de Laplace de funciones continuas por tramos de orden exponencial, puesto que F2 (s) : / 0 / 0 conforme s A . Pero no se debe concluir de esto que F1(s) y F2(s) y F2 (s) : no son transformadas de Laplace. Hay otras clases de funciones. 7.1 EJERCICIOS 7.1 4, 0, 0 f (t) t, 1, 0 f (t) f (t) f (t) t t 2 2 t t 1 1 2t 1, 0 t 0, t sen t, 0 t 0, t 1 1 0, cos t, >2 /2 f(t) 0 t t (2, 2) f(t) f (t) e t senh t f (t) et cosh t En los problemas 37 a 40 encuentre {f (t)} usando primero una identidad trigonométrica. f (t) sen 2t cos 2t f (t) cos 2t f (t) sen(4t 5) f (t) 10 cos t ␣21 2t e 0 dt, ␣ . 0. 8VHHVWDGH¿QLFLyQSDUDGHPRVWUDUTXH&(Į 1) Į&(Į). Utilice el problema 41 y un cambio de variable ust para obtener la generalización t 1 FIGURA 7.1.7 para el problema 7. para el problema 8. ` #t Cuando Į n es un entero positivo se puede utilizar la última propiedad para demostrar que &(n 1) n!. Vea el Apéndice A. (2, 2) t 1 f (t) cosh kt 1 f(t) f (t) senh kt G(␣) 5 FIGURA 7.1.6 *Ui¿FD 285 6 Hemos encontrado a la IXQFLyQJDPPD &(Į) en nuestro estudio de las funciones de Bessel en la sección 6.4. (pág. 263). Una GH¿QLFLyQGHHVWDIXQFLyQHVWiGDGDSRUODLQWHJUDOLPSURSLD 1 1 O Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11. (Q ORV SUREOHPDV O XVH OD GH¿QLFLyQ SDUD HQFRQWUDU {f (t)}. 1, 0 t 1 f (t) 1, t 1 f (t) DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE *Ui¿FD ( {t } 1 1) , s del resultado en el teorema 7.1.1(b) 1 En los problemas 43 a 46 utilice los problemas 41 y 42 y el f(t) hecho que c ( 12 ) 1 para encontrar la transformada de Laplace de la función dada 1 t FIGURA 7.1.8 *Ui¿FD para el problema 9. f (t) e t7 f (t) te 4t f (t) e sen t t f (t) t cos t a b t FIGURA 7.1.9 *Ui¿FD para el problema 10. f (t) t 1/2 f (t) t 3/2. f (t) 2t1/2 8 t 5/2 Problemas para analizar f (t) e 2t5 f (t) t e 2 2t f (t) e t cos t f (t) t sen t En los problemas 19-36 use el teorema 7.1.1 para encontrar { f (t)}. f (t) 2t 4 f (t) t 5 f (t) 4t 10 f (t) 7t 3 f (t) t 6t 3 f (t) 4t 2 16t 9 f (t) (t 1)3 f (t) (2t 1)3 f (t) 1 e 4t f (t) t 2 e9t 5 f (t) (1 e 2t)2 f (t) (e t et)2 f (t) 4t 2 5 sen 3t f (t) cos 5t sen 2t 2 4 f (t) t1/2 {f1(t)} F1(s) para s c1 y que Suponga que {f2(t)} F2(s) para s c2. ¿Cuándo es cierto que {f1(t) f2(t)} F1(s) F2(s)? /D ¿JXUD LQGLFD SHUR QR GHPXHVWUD TXH OD IXQFLyQ 2 f (t) et no es de orden exponencial. ¿Cómo demuestra la observación de que t2 ln M ct, para M 0 y tVX¿2 cientemente grande, que et Mect para cualquier c? Utilice el inciso c) del teorema 7.1.1 para demostrar que s a ib {e (aib)t} , donde a y b son reales (s a)2 b2 2 e i 1. Demuestre cómo se puede usar la fórmula de Euler (pág. 136) para deducir los resultados s a {eat cos bt} (s a)2 b2 {eat sen bt} (s b a)2 . b2 286 CAPÍTULO 7 O LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ¿Bajo qué condiciones una función lineal f(x) mx b, m 0, es una transformada lineal? Explique por qué la función f(t) t, 4, 1(t 0 2 5), t t t 5 2 5 No es una función continua por tramos, sobre [0, ). Demuestre que la función f(t) 1t2 no tiene una transformada de Laplace [Sugerencia: escriba {1t 2)} como dos integrales impropias; 1 2 {1t } 0 e st dt t2 1 e st dt t2 I1 I2 demuestre que I1 diverge.] Si {f(t)} F(s) y a 0 es una constante, demuestre que {f(at)} Este resultado se conoce como el teorema de cambio de escala. En los problemas 55-58 utilice la transformada de Laplace dada y el resultado del problema 54 para encontrar la transformada de Laplace indicada. Suponga que a y k son constantes positivas. 1 {et} {sen t} {1 {sen t senh t} s 7.2 {eat} ; 1 1 s2 2 La función f (t) 5 2tet cos t2 no es de orden exponencial. A pesar de esto, demuestre que la transformada de Laplace 2 2 +{2te t cose t } existe. [Sugerencia: comience con la integración por partes.] 1 s F a a cos t} ; 1 {sen kt} 1 ; s(s2 1) 2s ; s4 4 {1 cos kt} {sen kt senh kt} TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS INTRODUCCIÓN En esta sección se dan algunos pasos hacia un estudio de cómo se puede usar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones para una función desconocida. Se empieza el análisis con el concepto de transformada de Laplace inversa o, más exactamente, la inversa de una transformada de Laplace F(s). Después de algunos antecedentes preliminares importantes sobre la transformada de Laplace de derivadas f (t), f (t), . . . , se ilustra cómo entran en juego la transformada de Laplace y la transformada de Laplace inversa para resolver ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias sencillas. 7.2.1 Transformada Transformada inversa {1} 1 s 1 {t} 1 s2 t {e 1 3t } s 3 e 1 1 3t 1 s 1 s2 1 1 s 3 TRANSFORMADAS INVERSAS EL PROBLEMA INVERSO Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función f (t), es decir, + {f(t)} 5 F(s) se dice entonces que f (t) es la transformada de Laplace inversa de F(s) y se escribe f(t) 5 + 21{F(s)}. En el caso de los ejemplos 1, 2 y 3 de la sección 7.1 tenemos las tablas a la izquierda, respectivamente. Pronto veremos que en la aplicación de la transformada de Laplace a ecuaciones no se puede determinar de manera directa una función desconocida f (t); más bien, se puede despejar la transformada de Laplace F(s) o f (t); pero a partir de ese co1 {F(s)} . La idea es simplemente nocimiento, se determina f calculando f (t) 2s 6 esta: suponga que F(s) es una transformada de Laplace; encuentre una s2 4 función f (t) tal que {f (t)} F(s). En el ejemplo 2 se muestra cómo resolver este último problema. Para futuras referencias el análogo del teorema 7.1.1 para la transformada inversa se presenta como nuestro siguiente teorema. 7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS O 287 TEOREMA 7.2.1 Algunas transformadas inversas 1 a) 1 b) tn n! , sn 1 1 s2 1 f) senh kt c) eat 1, 2, 3, . . . k 1 d) sen kt n 1 s k 1 s a 1 e) cos kt k2 s2 1 1 g) cosh kt k2 s s2 k2 s s2 k2 Al evaluar las transformadas inversas, suele suceder que una función de s que estamos considerando no concuerda exactamente con la forma de una transformada de Laplace F(s) que se presenta en la tabla. Es posible que sea necesario “arreglar” la función de s multiplicando y dividiendo entre una constante apropiada. EJEMPLO 1 Evalúe $SOLFDQGRHOWHRUHPD 1 a) 1 s5 1 b) 1 s2 . 7 SOLUCIÓN a) Para hacer coincidir la forma dada en el inciso b) del teorema 7.2.1, VHLGHQWL¿FDn 1 5 o n 4 y luego se multiplica y divide por 4!: 1 1 s5 1 4! s5 1 4! 1 4 t. 24 b) 3DUDTXHFRLQFLGDFRQODIRUPDGDGDHQHOLQFLVRG GHOWHRUHPDLGHQWL¿FDPRV 17 . Se arregla la expresión multiplicando y dividiendo por 17 : k2 7 y, por tanto, k 1 1 s2 1 7 17 1 17 s2 7 1 sen17t. 17 1 ES UNA TRANSFORMADA LINEAL La transformada de Laplace inversa es también una transformada lineal para las constantes Į y ȕ 1 { F(s) G(s)} 1 {F(s)} 1 {G(s)}, (1) donde F y G son las transformadas de algunas funciones f y g. Como en la ecuación GHODVHFFLyQODHFXDFLyQ VHH[WLHQGHDFXDOTXLHUFRPELQDFLyQOLQHDO¿QLWD de transformadas de Laplace. EJEMPLO 2 'LYLVLyQWpUPLQRDWpUPLQR\OLQHDOLGDG Evalúe . 1 2s 6 s2 4 SOLUCIÓN Primero se reescribe la función dada de s como dos expresiones dividiendo cada uno de los términos del numerador entre el denominador y después se usa la ecuación (1): 288 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE UHSDUWLFión de cada uno de los términos SRU eO denominador { } { } { linealidad y arreglo de las constantes } { 2s 6 2 6 s 6 2s ––––––– ᏸ1 ––––––––– ᏸ1 ––––––– 2 ᏸ1 ––––––– – ᏸ1 ––––––– s2 4 s2 4 s2 4 s2 4 2 s2 4 2 cos 2t 3 sen 2t. } (2) incisos e) y d) del teorema 7.2.1 con k 2 FRACCIONES PARCIALES Las fracciones parciales juegan un papel importante en la determinación de transformadas de Laplace inversas. La descomposición de una expresión racional en las fracciones componentes se puede hacer rápidamente usando una sola instrucción en la mayoría de los sistemas algebraicos de computadora. De hecho, algunos SAC tienen paquetes implementados de transformada de Laplace y transformada de Laplace inversa. Pero para quienes no cuentan con este tipo de software, en esta sección y en las subsecuentes revisaremos un poco de álgebra básica en los casos importantes donde el denominador de una transformada de Laplace F(s) contiene factores lineales distintos, factores lineales repetidos y polinomios cuadráticos sin factores reales. Aunque examinaremos cada uno de estos casos conforme se desarrolla este capítulo, podría ser buena idea que consultara un libro de cálculo o uno de precálculo para una revisión más completa de esta teoría. En el siguiente ejemplo se muestra la descomposición en fracciones parciales en el caso en que el denominador de F(s) se puede descomponer en diferentes factores lineales. EJEMPLO 3 Fracciones parciales: diferentes factores lineales Evalúe 1 (s . 4) Existen constantes reales A, B y C, por lo que SOLUCIÓN (s s2 6s 9 1)(s 2)(s s 2 6s 9 1)(s 2)(s A 4) B 1 s C 2 s 2)(s 4 s B(s 1)(s 4) C(s 1)(s (s 1)(s 2)(s 4) Puesto que los denominadores son idénticos, los numeradores son idénticos: A(s s2 6s 9 2)(s A(s 4) 4) 1)(s B(s 4) C(s 1)(s 2) 2). . (3) &RPSDUDQGRORVFRH¿FLHQWHVGHODVSRWHQFLDVGHs en ambos lados de la igualdad, sabemos que (3) es equivalente a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas A, B y C. Sin embargo, hay un atajo para determinar estas incógnitas. Si se hace s 1, s 2 y s 4 en (3) se obtiene, respectivamente, 16 y así, A ciales es A( 1)(5), 16 , 5 B (s 25 , 6 25 1 30 yC s2 6s 9 1)(s 2)(s B(1)(6) y 1 C( 5)( 6), . Por lo que la descomposición en fracciones par- 4) 1 > 30 , s 4 25> 6 s 2 16 > 5 s 1 (4) y, por tanto, de la linealidad de 1 y del inciso c) del teorema 7.2.1, 1 (s s2 6s 9 1)(s 2)(s 16 5 4) 16 t e 5 25 2t e 6 1 1 s 25 6 1 1 e 30 4t . 1 1 s 2 1 30 1 1 s (5) 4 7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS O 289 7.2.2 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Como se indicó en la introducción de este capítulo, el objetivo inmediato es usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones GLIHUHQFLDOHV3DUDWDO¿QHVQHFHVDULRHYDOXDUFDQWLGDGHVFRPR {dy>dt} y {d 2 y>dt 2}. Por ejemplo, si f es continua para t 0, entonces integrando por partes se obtiene { f (t)} f (t) dt st e 0 f (0) { f (t)} o st e f (t) s 0 0 e st f (t) dt s { f (t)} f (0). sF(s) (6) Aquí hemos supuesto que e f (t) A 0 conforme t A . De manera similar, con la ayuda de la ecuación (6), st { f (t)} f (t) dt st e 0 f (0) 2 { f (t)} st f (t) 0 s 0 e st f (t) dt s { f (t)} f (0)] s[sF(s) o e sf (0) s F(s) f (0) ; de (6) f (0). (7) De igual manera se puede demostrar que s3F(s) { f (t)} s2 f (0) sf (0) f (0). (8) La naturaleza recursiva de la transformada de Laplace de las derivadas de una función f es evidente de los resultados en (6), (7) y (8). El siguiente teorema da la transformada de Laplace de la n-ésima derivada de f. Se omite la demostración. TEOREMA 7.2.2 Transformada de una derivada Si f, f , . . . , f (n1) son continuas sobre [0, ) y son de orden exponencial y si f (n)(t) es continua por tramos sobre [0, ), entonces { f (n) (t)} sn F(s) sn 1 f(0) sn 2 f (0) f (n 1) (0), donde F(s) { f(t)} . SOLUCIÓN DE EDO LINEALES Es evidente del resultado general dado en el teo{y(t)} y las n 1 derivadas de y(t) rema 7.2.2 que {d n y>dt n} depende de Y(s) evaluadas en t 0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea adecuada para resolver problemas lineales con valores iniciales en los que la ecuación diferencial tiene FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV. Este tipo de ecuación diferencial es simplemente una combinación lineal de términos y, y, y, . . . , y (n): an d ny dt n y(0) an d n 1y 1 dt n 1 y0 , y (0) y1 , . . . , y(n a0 y 1) (0) g(t), yn 1, donde las ai, i 0, 1, . . . , n y y0, y1, . . . , yn1 son constantes. Por la propiedad de linealidad la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación lineal de transformadas de Laplace: an d ny dt n an 1 d n 1y dt n 1 a0 {y} {g(t)}. (9) 290 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Del teorema 7.2.2, la ecuación (9) se convierte en an [snY(s) sn 1 y(n y(0) an 1[s n 1Y(s) 1) (0)] sn 2 y(0) y(n 2) a0 Y(s) (0)] G(s), (10) donde {y(t)} Y(s) y {g(t)} G(s). En otras palabras, la transformada de /DSODFHGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHFRQYLHUWHHQ una ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general (10) para el símbolo Y(s), primero se obtiene P(s)Y(s) Q(s) G(s) y después se escribe Q(s) P(s) Y(s) G(s) , P(s) (11) donde P(s) ansn an1sn1 . . . a0, Q(s) es un polinomio en s de grado menor o igual a n TXHFRQVLVWHHQYDULRVSURGXFWRVGHORVFRH¿FLHQWHVai, i 1, . . . , n y las condiciones iniciales prescritas y0, y1, . . . , yn1 y G(s) es la transformada de Laplace de g(t).* Normalmente se escriben los dos términos de la ecuación (11) sobre el mínimo común denominador y después se descompone la expresión en dos o más fracciones parciales. Por último, la solución y(t) del problema con valores iniciales original es y(t) 1{Y(s)}, donde la transformada inversa se hace término a término. El procedimiento se resume en el siguiente diagrama. Encuentre la y(t) desconocida que satisface la ED y las condiciones iniciales La ED transformada se convierte en una ecuación algebraica en Y(s) Aplique la transformada de Laplace Solución y(t) del PVI original Resuelva la ecuación transformada para Y(s) Aplique la transformada inversa de Laplace −1 FIGURA 7.2.1 Pasos para resolver un PVI con la tranformada de Laplace. En el ejemplo siguiente se ilustra el método anterior para resolver ED, así como la descomposición en fracciones parciales para el caso en que el denominador de Y(s) contenga un polinomio cuadrático sin factores reales. EJEMPLO 4 6ROXFLyQGHXQ39,GHSULPHURUGHQ Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales dy dt SOLUCIÓN 3y y(0) 13 sen 2t, 6. Primero se toma la transformada de cada miembro de la ecuación diferencial. dy dt y> De (6), {dy>dt} {sen 2t} 2>(s 2 sY(s) 6 3 {y} 13 {sen 2t}. (12) sY(s) y(0) sY(s) 6 , y del inciso d) del teorema 7.1.1, 4) , por lo que la ecuación (12) es lo mismo que 3Y(s) 26 s 2 4 o (s 3)Y(s) 6 26 2 s . 4 * El polinomio P(s) es el mismo que el polinomio auxiliar de n-ésimo grado en la ecuación (12) de la sección 4.3 donde el símbolo m usual se sustituye por s. 7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS O 291 Resolviendo la última ecuación para Y(s), obtenemos 26 6s2 50 . (13) s 3 (s 3)(s2 4) (s 3)(s2 4) Puesto que el polinomio cuadrático s2 4 no se factoriza usando números reales, se supone que el numerador en la descomposición de fracciones parciales es un polinomio lineal en s: 6 Y(s) 6s2 50 (s 3)(s2 4) A s Bs s2 3 C . 4 Poniendo el lado derecho de la igualdad sobre un común denominador e igualando los numeradores, se obtiene 6s2 50 A(s2 4) (Bs C)(s 3). Haciendo s 3 se obtiene inmediatamente que A 8. Puesto que el denominador no tiene más raíces UHDOHVVHLJXDODQORVFRH¿FLHQWHVGHs2 y s : 6 A B y 0 3B C. Si en la primera ecuación se usa el valor de A se encuentra que B 2, y con este valor aplicado a la segunda ecuación, se obtiene C 6. Por lo que, 6s2 50 (s 3)(s2 4) Y(s) 8 s 2s 6 . s2 4 3 Aún no se termina porque la última expresión racional se tiene que escribir como dos fracciones. Esto se hizo con la repartición término a término entre el denominador del ejemplo 2. De (2) de ese ejemplo, y(t) 1 1 8 s 3 s 1 2 s 2 4 2 1 3 2 s 4 . Se deduce de los incisos c), d) y e) del teorema 7.2.1, que la solución del problema con valores iniciales es y(t) 8e3t 2 cos 2t 3 sen 2t. EJEMPLO 5 6ROXFLyQGHXQ39,GHVHJXQGRRUGHQ Resuelva y 3y 2y e4t, y(0) 1, y(0) 5. SOLUCIÓN Procediendo como en el ejemplo 4, se transforma la ED. Se toma la suma de las transformadas de cada término, se usan las ecuaciones (6) y (7), las condiciones iniciales dadas, el inciso c) del teorema 7.1.1 y después se resuelve para Y(s): d 2y dt 2 s 2Y(s) sy (0) y (0) 3 3[sY(s) dy dt y (0)] 2Y(s) 3s 2)Y(s) (s 2 Y(s) s s2 2 3s 2 {y} (s 2 3s 2)(s 4) } 1 s 4 s 2 (s s 2 6s 9 1)(s 2)(s 1 2 4t {e 1 s 4 . (14) 4) Los detalles de la descomposición en fracciones parciales de Y(s) en (14) ya se presentaron en el ejemplo 3. En vista de los resultados en (4) y (5), se tiene la solución del problema con valores iniciales y(t) 1 {Y(s)} 16 t e 5 25 2t e 6 1 e 30 4t . En los ejemplos 4 y 5, se ilustra el procedimiento básico de cómo usar la transformada de Laplace para resolver un problema lineal con valores iniciales, pero podría parecer que estos ejemplos demuestran un método que no es mucho mejor que el aplicado a 292 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE los problemas descritos en las secciones 2.3 y 4.3 a 4.6. No saque conclusiones negativas de sólo dos ejemplos. Sí, hay una gran cantidad de álgebra inherente al uso de la transformada de Laplace, pero observe que no se tiene que usar la variación de SDUiPHWURVRSUHRFXSDUVHDFHUFDGHORVFDVRV\HOiOJHEUDHQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQ tes indeterminados. Además, puesto que el método incorpora las condiciones iniciales preescritas directamente en la solución, no se requiere la operación separada de aplicar cn yn yp de la las condiciones iniciales a la solución general y c1y1 c2y2 ('SDUDGHWHUPLQDUFRQVWDQWHVHVSHFt¿FDVHQXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHO39, La transformada de Laplace tiene muchas propiedades operacionales. En las secciones que siguen se examinan algunas de estas propiedades y se ve cómo permiten resolver problemas de mayor complejidad. COMENTARIOS i) La transformada de Laplace inversa de una función F(s) podría no ser única; { f2(t)} y sin embargo f1 f2. en otras palabras, es posible que { f1(t)} Para nuestros propósitos, esto no es algo que nos deba preocupar. Si f1 y f2 son continuas por tramos sobre [0, ) y de orden exponencial, entonces f1 y f2 son esencialmente iguales. Véase el problema 50 de los ejercicios 7.2. Sin embargo, si f1 y f2 son continuas sobre [0, ) y {f1(t)} = {f2(t)}, entonces f1 = f2 sobre el intervalo. ii) Este comentario es para quienes tengan la necesidad de hacer a mano desFRPSRVLFLRQHVHQIUDFFLRQHVSDUFLDOHV+D\RWUDIRUPDGHGHWHUPLQDUORVFRH¿cientes en una descomposición de fracciones parciales en el caso especial cuando { f(t)} F(s) es una función racional de s y el denominador de F es un producto de distintos factores lineales. Esto se ilustra al analizar de nuevo el ejemplo 3. Suponga que se multiplican ambos lados de la supuesta descomposición (s s2 6s 9 1)(s 2)(s A 4) s B 1 s C 2 s 4 (15) digamos, por s VHVLPSOL¿FD\HQWRQFHVVHKDFHs 3XHVWRTXHORVFRH¿cientes de B y C en el lado derecho de la igualdad son cero, se obtiene s2 6s (s 2)(s 9 4) A s 1 o 16 . 5 A Escrita de otra forma, (s s2 6s 9 1) (s 2)(s 4) s 1 16 5 A, donde se ha sombreado o cubierto, el factor que se elimina cuando el lado izquierdo se multiplica por s 1. Ahora, para obtener B y C, simplemente se evalúa el lado izquierdo de (15) mientras se cubre, a su vez, s 2 y s 4: s2 6s 9 –––––––––––––––––––––– (s 1)(s 2)(s 4) y s2 6s 9 –––––––––––––––––––––– (s 1)(s 2)(s 4) 25 ––– B s2 6 s4 1 ––– C. 30 La descomposición deseada (15) se da en (4). Esta técnica especial para determiQDUFRH¿FLHQWHVVHFRQRFHGHVGHOXHJRFRPRPpWRGRGHFXEULPLHQWR. 7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS 293 O iii) En este comentario continuamos con la introducción a la terminología de sistemas dinámicos. Como resultado de las ecuaciones (9) y (10) la transformada de Laplace se adapta bien a sistemas dinámicos lineales. El polinomio P(s) ansn an1sn1 a0HQ HVHOFRH¿FLHQWHWRWDOGHY(s) en (10) y es simplemente el lado izquierdo de la ED en donde las derivadas d kydt k se sustituyen por potencias sk, k 0, 1, . . . , n. Es común llamar al recíproco de P(s), en particular W(s) 1P(s), IXQFLyQGHWUDQVIHUHQFLD del sistema y escribir la ecuación (11) como Y(s) W(s)Q(s) W(s)G(s) . (16) De esta manera se han separado, en un sentido aditivo, los efectos de la respuesta debidos a las condiciones iniciales (es decir, W(s)Q(s)) de los causados por la función de entrada g (es decir, W(s)G(s)). Vea (13) y (14). Por tanto la respuesta y(t) del sistema es una superposición de dos respuestas: 1 y(t) 1 {W(s)Q(s)} {W(s)G(s)} y1 (t). y0 (t) 1 {W(s) Si la entrada es g(t) 0, entonces la solución del problema es y0 (t) Q(s)}. Esta solución se llama respuesta de entrada cero del sistema. Por otro 1 lado, la función y1(t) {W(s)G(s)} es la salida debida a la entrada g(t). Entonces, si la condición inicial del sistema es el estado cero (todas las condiciones iniciales son cero), entonces Q(s) 0 y, por tanto, la única solución del problema con valores iniciales es y1(t). La última solución se llama respuesta de estado cero del sistema. Tanto y0(t) como y1(t) son soluciones particulares: y0(t) es una solución del PVI que consiste en la ecuación homogénea relacionada con las condiciones iniciales dadas y y1(t) es una solución del PVI que consiste en la ecuación no homogénea con condiciones iniciales cero. En el ejemplo 5 se ve de (14) que la función de transferencia es W(s) 1(s2 3s 2), la respuesta de entrada cero es 1 y0(t) s 2 1)(s 2) (s 3et 4e2t, y la respuesta de estado cero es y1(t) 1 1 (s 1)(s 2)(s 1 t e 5 4) 1 2t e 6 1 e 30 4t . Compruebe que la suma de y0(t) y y1(t) es la solución de y(t) en el ejemplo 5 y que y 0 (0) 1, y0 (0) 5 , mientras que y1(0) 0, y1(0) 0. EJERCICIOS 7.2 7.2.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11. TRANSFORMADAS INVERSAS En los problemas 1-30 use el álgebra apropiada y el teorema 7.2.1 para encontrar la transformada inversa de Laplace dada. 1 1 1 1 s3 1 s2 48 s5 (s 3 1) 4 s 1 1 1 1 s4 2 s 1 s3 1 1 1 1 2) 3 1 s 1 s 1 1 1 1 49 1 1 1 1 s 1 4s 5 s 2 2 2 (s 1 s2 4s 4s 2s s2 2 6 9 2 4 s 6 s5 1 s 1 5s 2 10s s 16 2 1 4s s s2 2 1 1 2 8 294 CAPÍTULO 7 O 1 1 1 1 1 1 s2 3s s2 s 2s (s 0.9s 0.1)(s 2)(s 1 1 1 20. 1 1 4s s s2 s 1 s 2 20 13 3)(s 1 1)(s 6) 2s 4 s)(s2 1) 1 1)(s2 (s2 5 26. 1 28. 1 30. 30. 4) s 2)(s2 (s 1 4 9 s 1 4) s4 6s 3 5s2 4 1 ; f (t) 5 eat senh bt (s 2 a)2 2 b2 6 5s (s 11 a )6; f (t) 5 at 2 sen at +21 5 +21 2 2 1 ; f (t) 5 a sen bt 2 b sen at (s2 1 a2)(s2 1 b2) 6 2 2 2 2 7.2.2 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS En los problemas 35-44, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales. dy y 1, y(0) 0 dt dy 2 y 0, y(0) dt y 6y e4t, 7.3 3 y(0) 2 y y 2 cos 5t, y(0) 0, 10, y (0) 0 y(0) 0 y(0) 0 s a 2 (s a) (s b a)2 eat cos bt b2 eat sen bt. b2 En los problemas 45 y 46 use la transformada de Laplace y estas inversas para resolver el problema con valores iniciales dado. y y e3t cos 2t, y(0) 0 y 2y 5y 0, y(0) 1, y(0) 3 En los problemas 47 y 48 utilice una de las transformadas inversas de Laplace encontradas en los problemas 31 a 34 para resolver el problema de valor inicial dado. y0 1 4y 5 10 cos 5t, y(0) 5 0, y9(0) 5 0 y0 1 2y 5 4t, y(0) 5 0, y9(0) 5 0 Problemas para analizar a) Con un ligero cambio de notación la transformada en (6) es lo mismo que { f (t)} 2 5(s 1 a )(ss 1 b )6; f (t) 5 cos bt 2 cos at +21 22 sen 22t, y(0) 1 En los problemas 31-34 encuentre la función inversa de la transformada de Laplace encontrando la transformada de Laplace de la función indicada +21 y 1 2) 5s (s2 y y 9y et, Las formas inversas de los resultados del problema 49 en los ejercicios 7.1 son 1 s3 y 5y 4y 0, y(0) 1, y(0) 0 y 4y 6e3t 3et, y(0) 1, y(0) 1 2y 3y 3y 2y et, y(0) 0, y(0) 0, y(0) 1 y 2y y 2y sen 3t, y(0) 0, y(0) 0, y(0) 1 0.2) s2 1)(s s(s 18. s (s 1 1 3 s 3 13 s s LA TRANSFORMADA DE LAPLACE s { f (t)} f (0). Con f (t) teat, analice cómo se puede usar este resultado junto con c) del teorema 7.1.1 para evaluar {teat} . b) Proceda como en el inciso a), pero esta vez examine cómo usar (7) con f (t) t sen kt junto con d) y e) del teorema 7.1.1 para evaluar {t sen kt}. Construya dos funciones f1 y f2 que tengan la misma transformada de Laplace. No considere ideas profundas. Lea de nuevo el inciso iii) de los ComentariosGHO¿QDOGHHVWD sección. Encuentre la respuesta de entrada cero y la respuesta de estado cero para el PVI del problema 40. Suponga que f (t) es una función para la que f (t) es continua por tramos y de orden exponencial c. Use los resultados de HVWDVHFFLyQ\ODVHFFLyQSDUDMXVWL¿FDU f (0) lim sF(s), s→ donde F(s) { f (t)}. Compruebe este resultado con f (t) cos kt. PROPIEDADES OPERACIONALES I INTRODUCCIÓN 1RHVFRQYHQLHQWHXVDUODGH¿QLFLyQFDGDYH]TXHVHGHVHDHQFRQWUDUOD transformada de Laplace de una función f (t). Por ejemplo, la integración por partes requerida para evaluar {ett2 sen 3t} es, por decirlo de algún modo, formidable. En esta sección y la que sigue 7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I O 295 se presentan varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace que ahorran trabajo y permiten construir una lista más extensa de transformadas (vea la tabla del apéndice C) sin tener que UHFXUULUDODGH¿QLFLyQEiVLFD\DODLQWHJUDFLyQ 7.3.1 TRASLACIÓN EN EL EJE s UNA TRASLACIÓN Evaluar transformadas como {e 5t t 3} y {e 2t cos 4t} es directo siempre que se conozca (y así es) {t 3} y {cos 4t} . En general, si se conoce la transformada de Laplace de una función f, { f (t)} F(s), es posible calcular la transformada de Laplace de un múltiplo exponencial de f, es decir, {eat f (t)}, sin ningún esfuerzo adicional que no sea trasladar o desplazar, la transformada F(s) a F(s a). Este resultado se conoce como SULPHUWHRUHPDGHWUDVODFLyQ o primer teorema de desplazamiento. TEOREMA 7.3.1 3ULPHUWHRUHPDGHWUDVODFLyQ {f(t)} Si F(s) y a es cualquier número real, entonces {eat f(t)} a). F(s DEMOSTRACIÓN /DGHPRVWUDFLyQHVLQPHGLDWD\DTXHSRUODGH¿QLFLyQ F F(s) {eat f (t)} F(s − a) s = a, a > 0 s FIGURA 7.3.1 Desplazamiento en el eje s. e 0 e f (t) dt st at 0 (s a)t e f (t) dt a). F(s Si se considera sXQDYDULDEOHUHDOHQWRQFHVODJUi¿FDGHF(s a HVODJUi¿FDGH F(s) desplazada sobre el eje s por la cantidad a . Si a ODJUi¿FDGHF(s) se desplaza a unidades a la derecha, mientras que si a ODJUi¿FDVHGHVSOD]D a unidades DODL]TXLHUGD9HDOD¿JXUD Para enfatizar, a veces es útil usar el simbolismo {e at f (t)} { f (t)} s:s a , donde s A s aVLJQL¿FDTXHHQODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFHF(s) de f (t) siempre que aparezca el símbolo s se remplaza por s a. EJEMPLO 1 8VDQGRHOSULPHUWHRUHPDGHWUDVODFLyQ {e 5t t 3} Evalúe a) {e b) 2t cos 4t}. SOLUCIÓN Los siguientes resultados se deducen de los teoremas 7.1.1 y 7.3.1. a) {e5t t3} b) {e 2t {t3} s: s 5 cos 4t} 3! s4 {cos 4t} 6 5)4 (s s:s 5 s s : s ( 2) s 2 2 s 16 s:s 2 (s 2 2) 16 FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.1 Para calcular la inversa de F(s a), se debe reconocer F(s), para encontrar f (t) obteniendo la transformada de Laplace inversa de F(s) y después multiplicar f (t) por la función exponencial eat. Este procedimiento se resume con símbolos de la siguiente manera: 1 {F(s donde f(t) 1 {F(s)}. a)} 1 {F(s) s:s a} e at f (t) , (1) 296 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En la primera parte del ejemplo siguiente se ilustra la descomposición en fracciones parciales en el caso cuando el denominador de Y(s) contiene factores lineales repetidos. EJEMPLO 2 Fracciones parciales: factores lineales repetidos Evalúe a) 1 2s (s 5 3)2 1 b) s>2 5>3 . s2 4s 6 SOLUCIÓN a) Un factor lineal repetido es un término (s a)n, donde a es un nú- mero real y n es un entero positivo 2. Recuerde que si (s a)n aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes s a, (s a)2, . . . , (s a)n. Por tanto, con a 3 y n 2 se escribe 2s 5 A B . 2 (s 3) s 3 (s 3)2 Colocando los dos términos del lado derecho con un denominador común, se obtiene el numerador 2s 5 A(s 3) B y esta identidad produce A 2 y B 11. Por tanto, 2s 5 2 11 (2) (s 3)2 s 3 (s 3)2 1 y 2s 5 (s 3)2 1 1 2 1 1 11 3 s . 3)2 (s (3) Ahora 1(s 3)2 es F(s) 1s2 desplazada tres unidades a la derecha. Ya que 1 {1>s2} t , se tiene de (1) que 1 1 (s 3) 2s (s 1 Por último, (3) es 1 2 5 3)2 1 s2 e3t t. s: s 3 2e3t 11e3t t . (4) b) Para empezar, observe que el polinomio cuadrático s2 4s 6 no tiene raíces reales y por tanto no tiene factores lineales reales. En esta situación completamos el cuadrado: s>2 5>3 s2 4s 6 s>2 5>3 . (s 2)2 2 (5) El objetivo aquí es reconocer la expresión del lado derecho como alguna transformada de Laplace F(s) en la cual se ha remplazado s por s 2. Lo que se trata de hacer es similar a trabajar hacia atrás del inciso b) del ejemplo 1. El denominador en (5) ya está en la forma correcta, es decir, s2 2 con s 2 en lugar de s. Sin embargo, se debe arreglar el numerador manipulando las constantes: 12s 53 12 (s 2) 53 22 12 (s 2) 23. Ahora mediante la repartición entre el denominador de cada término, la linealidad de 1, los incisos e) y d) del teorema 7.2.1 y por último (1), s> 2 5> 3 (s 2)2 2 1 s> 2 5> 3 s2 4s 6 1 2 (s (s 1 2 1 1 2 1 1 e 2 2 3 2) 2)2 2t 2 s (s 1 s 2 2 (s 2)2 2 2 2)2 2 2 3 2 2 312 s s2 cos 12t s:s 2 12 e 3 2t 1 2 3 (s (s 1 sen 12t. 1 2)2 1 2)2 12 s2 2 2 2 (6) s:s 2 (7) 7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I 297 O EJEMPLO 3 Un problema con valores iniciales y(0) 2, Resuelva y 6y 9y t 2e3t, y(0) 17. SOLUCIÓN Antes de transformar la ED, observe que su lado derecho es similar a la función del inciso a) del ejemplo 1. Después de usar la linealidad, el teorema 7.3.1 y ODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVHVLPSOL¿FD\OXHJRVHUHVXHOYHSDUDY(s) { f (t)} : {y } s2 Y(s) y (0) sy(0) 6 {y } 6[sY(s) (s2 {t2 e3t } 9 {y} y(0)] 9Y(s) 6s (s 2 (s 3)3 9)Y(s) 2s 5 3)2 Y(s) 2s 5 Y(s) 2 3)3 (s 2 3)3 (s 2s 5 (s 3)2 2 (s 3)5 . El primer término del lado derecho ya se ha descompuesto en fracciones parciales en la ecuación (2), en el inciso a) del ejemplo 2. 2 Y(s) 1 1 2 Por lo que y(t) s 3 s 3 (s 11 1 11 3)2 2 (s 1 2 4! 3)2 (s . 3)5 1 4! (s 3)5 . (8) De la forma inversa (1) del teorema 7.3.1, los dos últimos términos de (8) son 1 1 s2 Por lo que (8) es y(t) te3t s:s 3 2e 3t 1 y 1 4 3t 12 t e 11te 3t 4! s5 t 4 e3t. s:s 3 . EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales y(0) 0, Resuelva y 4y 6y 1 et, {y } SOLUCIÓN s2Y(s) sy(0) y (0) 4 {y } 4[sY(s) (s2 y(0) 0. 6 {y} y (0)] 6Y(s) 4s 6)Y(s) Y(s) {1} 1 s {e t} 1 1 s 2s s(s 1 1) s(s 2s 1)(s2 1 4s 6) Puesto que el término cuadrático en el denominador no se factoriza en factores lineales reales, se encuentra que la descomposición en fracciones parciales para Y(s) es Y(s) 1>6 s s 1> 3 1 s> 2 5> 3 . s2 4s 6 Además, en la preparación para tomar la transformada inversa, ya se manejó el último término en la forma necesaria del inciso b) del ejemplo 2. Por lo que en vista de los resultados en (6) y (7), se tiene la solución 298 CAPÍTULO 7 O LA TRANSFORMADA DE LAPLACE y(t) 1 s 1 6 1 1 6 1 e 3 1 3 t 1 1 1 s 1 e 2 2t 1 2 12 e 3 cos 12t 2 s 1 2 (s 2t 2) 2 312 2 1 (s 12 2)2 2 sen 12t. 7.3.2 TRASLACIÓN SOBRE EL EJE t FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO En ingeniería es común encontrar funciones que están ya sea “desactivadas” o “activadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico, o un voltaje aplicado a un circuito, se puede desactivar después GHFLHUWRWLHPSR(VFRQYHQLHQWHHQWRQFHVGH¿QLUXQDIXQFLyQHVSHFLDOTXHHVHOQ~PHUR 0 (desactivada) hasta un cierto tiempo t a y entonces el número 1 (activada) después de ese tiempo. La función se llama IXQFLyQHVFDOyQXQLWDULR o IXQFLyQGH+HDYLVLGH, así llamada en honor del erudito inglés 2OLYHU+HDYLVLGH (1850-1925). DEFINICIÓN 7.3.1 )XQFLyQHVFDOyQXQLWDULR La IXQFLyQHVFDOyQXQLWDULR (t 1 t a FIGURA 7.3.2 *Ui¿FDGHODIXQFLyQ escalón unitario. y 1 t FIGURA 7.3.3 La función es f(t) (2t 3) (t 1). f(t) 2 a) 0, 1, 0 t t a a. Análogamente, una función del tipo t −1 puede ser escrita como f (t) FIGURA 7.3.4 La función es 2 a)VHGH¿QHFRPR 2EVHUYH TXH VH GH¿QH (t a) sólo sobre el eje t no negativo, puesto que esto es todo lo que interesa en el estudio de la transformada de Laplace. En un sentido más amplio, (t a) 0 para t a (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUD OD JUi¿FD GH (t a) . Si a 0, se toma 8(t) 5 1 para t $ 0. Cuando una función f GH¿QLGD SDUD t 0 se multiplica por (t a) , la función escalón unitario ³GHVDFWLYD´ XQD SDUWH GH OD JUi¿FD GH HVD IXQFLyQ 3RU HMHPSOR FRQVLGHUH OD IXQción f (t) 2t 3DUD ³GHVDFWLYDU´ OD SDUWH GH OD JUi¿FD GH f para 0 t 1, simplemente formamos el producto (2 t 3) (t 1)9HDOD¿JXUD(QJHQHUDOODJUi¿FDGH f (t) (t a) es 0 (desactivada) para 0 t a y es la parte de la JUi¿FDGHf (activada) para t a. /DIXQFLyQHVFDOyQXQLWDULRWDPELpQVHSXHGHXVDUSDUDHVFULELUIXQFLRQHVGH¿QLdas por tramos en una forma compacta. Por ejemplo, si consideramos 0 t 2 , 2 t 3, y t 3 y los valores correspondientes de (t 2) y (t 3) , debe ser eviGHQWHTXHODIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRVTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVODPLVPD que f(t) 2 3 (t 2) (t 3)7DPELpQXQDIXQFLyQJHQHUDOGH¿QLGDSRU tramos del tipo g(t), 0 t a f (t) h(t), t a (9) es la misma que (10) f(t) g(t) g(t) (t a) h(t) (t a) . f(t) f (t) (t 3 (t 2) (t 3). EJEMPLO 5 Exprese f (t) 20t, 0, 0, 0 g(t), a 0, g(t)[ (t a) t t t a b b (t (11) b)]. (12) 8QDIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV 0 t t 5 en términos de funciones escalón unitario. Trace 5 ODJUi¿FD 7.3 f (t) PROPIEDADES OPERACIONALES I O 299 SOLUCIÓN (QOD¿JXUDVHPXHVWUDODJUi¿FDGHf. Ahora, de (9) y (10) con a 5, g(t) 20t y h(t) 0, se obtiene f (t) 20t 20t (t 5) . 100 Considere una función general y f (t GH¿QLGDSDUDt /DIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV 0, 0 t a (13) f(t a), t a MXHJDXQSDSHOLPSRUWDQWHHQODH[SOLFDFLyQTXHVLJXH&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 7.3.6, para a ODJUi¿FDGHODIXQFLyQy f (t a) (t a) coincide con la grá¿FDGHy f (t a) para t a TXHHVODJUi¿FDcompleta de y f (t), t 0 desplazada a unidades a la derecha sobre el eje t), pero es idénticamente cero para 0 t a. Vimos en el teorema 7.3.1 que un múltiplo exponencial de f (t) da como resultado una traslación de la transformada F(s) sobre el eje s. Como una consecuencia del siguiente teorema, se ve que siempre que F(s) se multiplica por una función exponencial eas, a 0, la transformada inversa del producto eas F(s) es la función f desplazada a lo largo del eje tHQODPDQHUDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E (VWH resultado, presentado a continuación en su versión de transformada directa, se llama VHJXQGRWHRUHPDGHWUDVODFLyQ o segundo teorema de desplazamiento. f(t t 5 FIGURA 7.3.5 Función f en el ejemplo 5. (t a) a) TEOREMA 7.3.2 6HJXQGRWHRUHPDGHWUDVODFLyQ { f(t)} y a 0, entonces Si F(s) { f(t DEMOSTRACIÓN (t a) a)} e as F(s). Por la propiedad aditiva para intervalos en integrales, e 0 f (t st (t a) a) dt se puede escribir como dos integrales: a ᏸ{f (t a) ᐁ(t a)} 0 estf (t a) ᐁ (t a) dt a a estf (t a) ᐁ (t a) dt cero para 0t a f(t) estf (t a) dt. uno para t a Ahora, si hacemos Y t a, GY dt en la última integral, entonces { f (t t a) f (t), t 0 a) (t a)} 0 s(v e a) f (v) dv e as sv e 0 f (v) dv e as { f (t)}. Con frecuencia se desea encontrar la transformada de Laplace de sólo una función HVFDOyQXQLWDULR(VWRSXHGHVHUGHODGH¿QLFLyQRWHRUHPD6LVHLGHQWL¿FD f (t) 1 en el teorema 7.3.2, entonces f (t a) 1, F(s) {1} 1>s y por tanto, f(t) { (t e a)} as s . (14) EJEMPLO 6 5HYLVLyQGHOD¿JXUD a t b) f (t a) (t a) FIGURA 7.3.6 Desplazamiento en el eje t. Encuentre la transformada de Laplace de la función fGHOD¿JXUD SOLUCIÓN Usamos f expresada en términos de la función escalón unitario f(t) 2 3 (t 2) (t 3) y el resultado dado en (14): +{f(t)} 5 2+{1} 2 3+{8(t 2 2)} 1 +{8(t 2 3)} 5 e22s e23s 2 . 23 1 s s s 300 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.2 Si f (t) 1{F(s)}, la forma inversa del teorema 7.3.2, a 0, es 1 {e as f (t F(s)} (t a) a). (15) EJEMPLO 7 8VRGHODIyUPXOD Evalúe 1 1 a) e 4 s 2s s 1 b) s2 9 s/2 e . SOLUCIÓN a) De acuerdo con las tres identidades a 2, F(s) 1(s 4) y 1{F(s)} e 4t, se tiene de (15) 1 1 4 s e 2s b) Con a ʌ2, F(s) s(s2 9) y 1 s 2 s 9 2) 1 {F(s)} (t 2). cos 3t, de la ecuación (15) se obtiene cos 3 t s/2 e e 4(t t 2 . 2 /D~OWLPDH[SUHVLyQVHSXHGHVLPSOL¿FDUXQSRFRFRQODIyUPXODGHODDGLFLyQSDUDHO coseno. Compruebe que el resultado es igual a sen 3t t 2 . FORMA ALTERNATIVA DEL TEOREMA 7.3.2 Con frecuencia nos enfrentamos con el problema de encontrar la transformada de Laplace de un producto de una función g y una función escalón unitario (t a) donde la función g no tiene la forma precisa de desplazamiento f (t a) del teorema 7.3.2. Para encontrar la transformada de Laplace de g(t) (t a), es posible arreglar g(t) en la forma requerida f (t a) usando álgebra. Por ejemplo, si se quiere usar el teorema 7.3.2 para determinar la transformada de Laplace de t2 (t 2), se tendría que forzar g(t) t2 a la forma f (t 2). Se debe trabajar algebraicamente y comprobar que t 2 (t 2)2 4(t 2) 4 es una identidad. Por tanto, {t 2 (t 2)} {(t 2)2 (t 2) 4(t 2) (t 2) 4 (t 2)}, donde ahora cada término del lado derecho se puede evaluar con el teorema 7.3.2. Pero como estas operaciones son tardadas y con frecuencia no obvias, es más simple disexDUXQDIRUPDDOWHUQDWLYDGHOWHRUHPD8VDQGRODGH¿QLFLyQODGH¿QLFLyQ de (t a), y la sustitución u t a, se obtiene {g(t) (t e EJEMPLO 8 {cos t (t st g(t) dt 0 a {g(t) (t Es decir, Evalúe a)} a)} e as e {g(t s(u a) g(u a) du. a)}. (16) 6HJXQGRWHRUHPDGHWUDVODFLyQIRUPDDOWHUQDWLYD )}. SOLUCIÓN Con g(t) cos t y a ʌ, entonces g(t ʌ) cos (t ʌ) cos t por la fórmula de adicción para la función coseno. Por tanto, por la ecuación (16), {cos t (t )} s {cos t} s e s. s 1 En los dos siguientes ejemplos solucionamos, a su vez, un problema de valor inicial y un problema de valor de frontera que involucra una ecuación diferencial lineal por tramos. e 2 7.3 EJEMPLO 9 PROPIEDADES OPERACIONALES I 301 O Un problema con valores iniciales 0, 0 3 cos t, Resuelva y y f (t), y(0) 5, donde f(t) t t . SOLUCIÓN La función f se puede escribir como f (t) 3 cos t (t ʌ), y entonces por linealidad, por los resultados del ejemplo 7 y por las fracciones parciales usuales, se tiene {y } sY(s) {y} y(0) Y(s) (s Y(s) 5 1)Y(s) 3 2 1 s 3 {cos t (t s 3 2 e 1 s 3s 5 e s2 1 1 1 s e 1 s 2 1 s )} s s s s e s 2 1 e s . (17) Ahora procediendo como se hizo en el ejemplo 7, se tiene de (15) con a ʌ que los inversos de los términos dentro del paréntesis son 1 1 1 s e s e ) (t s 1 y 5 4 3 2 1 (t 2 1 s e 1 1 ), cos(t s s2 1 ) (t sen(t s e ) (t ), ) ) ). Por la inverrsa de (17) es y y(t) t _1 _2 π 2π 5e t 5e t 3 (t e 2 3 (t [e 2 ) (t ) ) sen t 3 sen(t 2 cos t] (t 5e t, 5e 3π FIGURA 7.3.7 *Ui¿FDGHODIXQFLyQ en (18) del ejemplo 9. t ) ) 0 3 e 2 (t ) 3 sen t 2 (t ) 3 cos(t 2 ; identidades trigonométricas t 3 cos t, 2 (t (18) . t 8VDQGRXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQKHPRVREWHQLGRODJUi¿FDGH TXHVHPXHVWUD HQOD¿JXUD VIGAS (QODVHFFLyQYLPRVTXHODGHÀH[LyQHVWiWLFDy(x) de una viga uniforme de longitud L con carga w(x) por unidad de longitud se determina a partir de la ecuación diferencial lineal de cuarto orden d4y EI 4 w(x), (19) dx donde E es el módulo de Young de elasticidad e I es un momento de inercia de una sección transversal de la viga. La transformada de Laplace es particularmente útil para resolver la ecuación (19) cuando w(x VHGH¿QHSRUWUDPRV6LQHPEDUJRSDUDXVDUODWUDQVIRUPDGDGH Laplace se debe suponer de manera tácita que y(x) y w(x HVWiQGH¿QLGDVVREUH ) y no sobre (0, L). Observe, también, que el siguiente ejemplo es un problema con valores en la frontera más que un problema con valores iniciales. w(x) EJEMPLO 10 pared x L Un problema con valores en la frontera Una viga de longitud LVHHPSRWUDHQDPERVH[WUHPRVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 'HWHUPLQHODGHÀH[LyQGHODYLJDFXDQGRODFDUJDHVWiGDGDSRU y FIGURA 7.3.8 Viga empotrada con carga variable del ejemplo 10. w(x) w0 1 0, 2 x , L 0 x L> 2 L> 2 x L. 302 CAPÍTULO 7 O LA TRANSFORMADA DE LAPLACE SOLUCIÓN Recuerde que debido a que la viga está empotrada en ambos extremos, las condiciones de frontera son y(0) 0, y(0) 0, y(L) 0, y(L) 0. Ahora usando (10) se puede expresar w(x) en términos de la función escalón unitario: w(x) 2 x L w0 1 2w0 L L 2 2 x L w0 1 x L 2 x L 2 x L 2 x . Transformando la ecuación (19) respecto a la variable x, se obtiene EI s4 Y(s) s3 y(0) s2 y (0) sy (0) s4Y(s) o y (0) sy (0) y (0) 2w0 L> 2 L s 1 s2 1 e s2 Ls/2 2w0 L> 2 EIL s 1 s2 1 e s2 Ls/2 . Si hacemos c1 y(0) y c2 y (0), entonces Y(s) c2 s4 2w0 L> 2 EIL s5 2w0 L>2 EIL 4! 1 c1 s3 1 s6 1 e s6 1 5! 1 Ls/2 , y en consecuencia y(x) c1 2! 1 c1 2 x 2 2! s3 c2 3! c2 3 x 6 w0 5L 4 x 60 EIL 2 1 3! s4 x5 x 4! s5 L 2 5 x L 2 5! s6 1 5! 1 5! e s6 Ls/ 2 . Aplicando las condiciones y(L) 0 y y(L) 0 al último resultado, se obtiene un sistema de ecuaciones para c1 y c2: L2 2 c2 L3 6 49w0 L4 1920EI 0 c1 L c2 L2 2 85w0 L3 960EI 0. c1 Resolviendo se encuentra que c1 23w0L2(960El) y c2 9w0L(40EI). Por lo que ODGHÀH[LyQHVWiGDGDSRU y(x) 23w0 L2 2 x 1920EI 3w0 L 3 x 80EI w0 5L 4 x 60EIL 2 x5 x L 2 5 x L 2 . COMENTARIOS Fuera de la discusión de la transformada de Laplace, la función escalón unitario GH¿QLGDVREUHHOLQWHUYDOR , ), es decir, 8(t 2 a) 5 P(t) 1 a b t FIGURA 7.3.9 Función caja. 50,1, t,a t $ a. 8VDQGRHVWDOLJHUDPRGL¿FDFLyQGHODGH¿QLFLyQXQFDVRHVSHFLDOGH cuando g(t) = 1 a veces se llama la IXQFLyQFDMD y se denota por Pstd 5 8st 2 ad 2 8st 2 bd. 9pDVHOD¿JXUD 7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I 303 O EJERCICIOS 7.3 ࣠Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11. 7.3.1 TRASLACIÓN SOBRE EL EJE s la velocidad instantánea. Use la transformada de Laplace para encontrar la ecuación de movimiento x(t). En los problemas 1-20 encuentre F(s) o f (t), como se indica. 10t {te } 3 2t {t e {t(et {et sen 3t} {(1 e2t )2} e 1 1 9 1 1 1 4t 2)3 1 6s 2 s 4s s2 10 5 s (s 2s 2 s (s 7t {t e } {e2t(t 1)2} {e 2t cos 4t} 1)2 1 1)3 1 Considere una batería de voltaje constante E0 que carga el FDSDFLWRUTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD'LYLGDODHFXDción (20) por L\GH¿QDȜ RL y Ȧ2 1LC. Use la transformada de Laplace para demostrar que la solución q(t) de q 2ȜT Ȧ2q E0L sujeta a q(0) 0, i(0) 0 es 1 1)4 1 2s 2 s 1 1 1 (s 1 s2 Recuerde que la ecuación diferencial para la carga instantánea q(t) en el capacitor en un circuito RCL en serie está dada por 1 d 2q dq L 2 R q E(t). dt dt C (20) Vea la sección 5.1. Use la transformada de Laplace para encontrar q(t) cuando L 1 H, R 20 ", C 0.005 F, E(t) 150 V, t 0, q(0) 0 e i(0) 0. ¿Cuál es la corriente i(t)? ) cos 5t} 1 (s } 10 t 10 sen 2 4t s 3e et 3t } {te 6t q(t) 5s 2)2 (s (s 1)2 2)4 e E0C[1 1 e E0C 1 e 1 En los problemas 21-30, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales. y 4y e4t, y(0) 2 y y 1 te t, y(0) 0 y 2y y 0, y(0) 1, y(0) 1 y 4y 4y t 3e 2t, y(0) 0, y(0) 0 y 6y 9y t, y(0) 0, y(0) 1 y 4y 4y t 3, y(0) 1, y(0) 0 y 6y 13y 0, y(0) 0, y(0) 3 2y 20y 51y 0, y(0) 2, y(0) 0 y y e t cos t, y(0) 0, y(0) 0 y 2y 5y 1 t, y(0) 0, y(0) 4 t 2 (1 t t 2 senh 1 2 ) t , , , t)], (cos 1 2 2 2 sen 1 2 L 2 t 2 2 ) t . , R FIGURA 7.3.10 Circuito en serie del problema 35. Use la transformada de Laplace para encontrar la carga q(t) en un circuito RC en serie cuando q(0) 0 y E(t) E0ekt, k 0. Considere dos casos: k 1RC y k 1RC. TRASLACIÓN EN EL EJE t 7.3.2 En los problemas 37-48 encuentre F(s) o f (t), como se indica. {t En los problemas 31 y 32, use la transformada de Laplace y el procedimiento descrito en el ejemplo 10 para resolver el problema con valores en la frontera dado. {cos 2t y 2y y 0, 1 1 1 y(0) 0, y(ʌ) 0 Un peso de 20 N estira un resorte 0.6 m. El peso se libera a partir del reposo 1.5 m arriba de la posición de equilibrio y el movimiento resultante tiene lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual veces 2 2 C {(t y(0) 2, y(1) 2 (cosh 1 E0 y 8y 20y 0, t 5 2s 5 6s 34 (s E0C 1 1) (t (t 2)} (t )} {e2 {(3t s 3 e 2 e s(s 1) (t t 1 (1 e 1 1 s 1) 2)} sen t s 1 (t t 2s e s 1)} se s2 s/2 e s (s 2s 2 2 2s 2 ) 2 s 1)} 4 1) 304 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (Q ORV SUREOHPDV UHODFLRQH OD JUi¿FD GDGD FRQ XQD GH ODV IXQFLRQHV GH ORV LQFLVRV D D I /D JUi¿FD GH f (t) se SUHVHQWDHQOD¿JXUD a) f (t) b) f (t c) f (t) d) f (t) e) f (t) f) f (t f (t) (t f (t) a) b) (t b) (t a) f (t) (t b) (t a) f(t) (t a) (t a) f (t a FIGURA 7.3.17 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD b) a) (t En los problemas 55-62, escriba cada función en términos de funciones escalón unitario. Encuentre la transformada de Laplace de la función dada. b) f (t) f(t) a b b t FIGURA 7.3.12 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD f(t) 0 3 3 t t 2, 1, 0 0, 4 1, t t t 4 5 5 f (t) 0, t2, t t 1 1 f (t) 0, 0 sen t, f (t) t, 0, f (t) sen t, 0 0, f (t) a 2, f (t) t FIGURA 7.3.11 *Ui¿FDSDUDORVSUREOHPDVD t b 0 0 3 >2 3 >2 t t 2 2 t t 2 2 t t f(t) 1 a b t a FIGURA 7.3.13 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD b t pulso rectangular f(t) FIGURA 7.3.18 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD f(t) a b t 2 FIGURA 7.3.14 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 3 1 f (t) 1 2 3 4 t función escalera a t b FIGURA 7.3.15 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD f (t) FIGURA 7.3.19 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD En los problemas 63-70, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales. y y f (t), y(0) 0, donde f (t) a b t FIGURA 7.3.16 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 0, 5, y y f (t), y(0) 0, donde f (t) 1, 1, 0 t t 1 1 0 t t 1 1 7.3 y 2y f (t), y(0) 0, donde t, 0 t f(t) 0, t y 4y f (t), 1, 0, f(t) y 4y sen t y 5y 6y y y (t 1, donde E(t) 1 1 1 t t 2 ), y(0) 1, y (0) 0 1), y(0) 0, y (0) 1 (t 0, y (0) f(t), y(0) 0, 1, 0, f (t) 0 0 1, donde t t t O 305 a) Use la transformada de Laplace para encontrar la corriente i(t) en un circuito LR en serie de una sola malla cuando i(0) 0, L 1 H, R 10 " y E(t) es FRPRVHLOXVWUDHQD¿JXUD 1 1 0, y (0) y(0) PROPIEDADES OPERACIONALES I sen t, 0 ≤ t < 3π /2 π /2 −1 FIGURA 7.3.22 π t 3π /2 E(t) en el problema 75. b) 8VHXQSURJUDPDGHFRPSXWDGRUDSDUDJUD¿FDU\GLEXMH i(t) en el intervalo 0 t 8VHODJUi¿FDSDUDHVWLPDU imáx e imín, los valores máximo y mínimo de la corriente. 2 2 y 4y 3y 1 (t 2) (t 4) (t 6), y(0) 0, y(0) 0 Suponga que un peso de 150 N estira un resorte 0.6 m. Si el peso se libera a partir del reposo en la posición de equilibrio, determine la ecuación de movimiento x(t) si una fuerza f (t) 20t actúa sobre el sistema para 0 t 5 y luego se retira (vea el ejemplo 5). Desprecie cualquier IXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWR8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDción para trazar x(t) sobre el intervalo [0, 10]. Resuelva el problema 71 si la fuerza aplicada f (t) sen t actúa sobre el sistema para 0 t 2ʌ y después se retira. En los problemas 73 y 74 use la transformada de Laplace para encontrar la carga q(t) sobre el capacitor en un circuito RC en serie sujeto a las condiciones indicadas. q(0) 0, R 2.5 ", C 0.08 F, E(t GDGDHQOD¿JXUD 7.3.20. E(t) 5 a) Use 1a transformada de Laplace para determinar 1a carga q(t) en el capacitor en un circuito RC en serie cuando q(0) 0, R 50 ", C 0.01 F y E(t) es FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD b) Suponga que E0 100 V. Use un programa de compuWDGRUDSDUDJUD¿FDU\GLEXMHq(t) para 0 t 6. Use la JUi¿FDSDUDHVWLPDUqmáx el valor máximo de 1a carga. E(t) E0 1 t 3 FIGURA 7.3.23 E(t) en el problema 76. Una viga en voladizo está empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho. Use la transforPDGDGH/DSODFHSDUDGHWHUPLQDUODGHÀH[LyQy(x) cuando la carga está dada por w(x) w0, 0, 0 x L> 2 L> 2 x L. Resuelva el problema 77 cuando la carga está dada por 3 t w(x) FIGURA 7.3.20 E(t) en el problema 73. q(0) q0, R 10 ", C 0.1 F, E(t GDGDHQOD¿JXUD 7.3.21. E(t) 0, w0 , 0, 0 x L>3 L> 3 x 2L> 3 2L > 3 x L. (QFXHQWUHODGHÀH[LyQy (x) de una viga en voladizo empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho cuando la carga total es como se da en el ejemplo 10. Una viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada VLPSOHPHQWHHQHOH[WUHPRGHUHFKR(QFXHQWUHODGHÀH[LyQ y (x) cuando la carga es como la que se da en el problema 77. 30et Modelo matemático 30 1.5 t FIGURA 7.3.21 E(t) en el problema 74. Pastel dentro de un horno Lea de nuevo el ejemplo 4 en la sección 3.1 acerca del enfriamiento de un pastel que se saca de un horno. 306 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Laplace dada. Compruebe sus respuestas con la ecuación (16) de esta sección. a) Diseñe un modelo matemático para la temperatura de un pastel mientras está dentro del horno con base en las siguientes suposiciones: en t 0 la mezcla de pastel está a temperatura ambiente de 20 °C; el horno no se precalienta por lo que en t 0, cuando la mezcla de pastel se coloca dentro del horno, la temperatura dentro del horno también es 20 °C; la temperatura del horno aumenta linealmente hasta t 4 minutos, cuando se alcanza la temperatura deseada de 150 °C; la temperatura del horno se mantiene constante en 150 °C para t 4. b) Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales del inciso a). a) {(2t c) {cos t (t 1)} b) )} {et (t {(t 2 d) 5)} 3t) (t 2)} a) Suponga que el teorema 7.3.1 se cumple cuando el símbolo a se remplaza por ki, donde k es un número real e i2 1. Demuestre que {tekti} se puede usar para deducir s2 k2 {t cos kt} (s2 k2)2 2ks {t sen kt} . (s2 k2)2 Problemas para analizar Analice cómo se podría arreglar cada una de las siguientes funciones, de tal forma que el teorema 7.3.2 se pudiera usar directamente para encontrar la transformada de 7.4 1) (t b) Ahora use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales x Ȧ2x cos ȦW, x(0) 0, x (0) 0. PROPIEDADES OPERACIONALES II INTRODUCCIÓN En esta sección se desarrollan varias propiedades operacionales más de la transformada de Laplace. En especial, veremos cómo encontrar la transformada de una función f (t) que se multiplica por un monomio t n, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este punto: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones GLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVHQODVTXHODIXQFLyQGHHQWUDGDHVXQDIXQFLyQSHULyGLFDGH¿QLGDSRUWUDPRV 7.4.1 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA MULTIPLICACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR t n La transformada de Laplace del producto de una función f (t) con t se puede encontrar derivando la transformada de Laplace de f (t). Para motivar este resultado, se supone que F(s) { f (t)} existe y que es posible intercambiar el orden de la derivada y de la integral. Entonces d F(s) ds d ds 0 e st f (t) dt 0 [e s st f (t)] dt 0 e st tf (t) dt {tf (t)}; d { f (t)} . ds Se puede usar el último resultado para encontrar la transformada de Laplace de t2f (t): {t f (t)} es decir, {t2 f (t)} {t t f (t)} d ds {tf (t)} d ds d ds { f (t)} Los dos casos anteriores sugieren el resultado general para TEOREMA 7.4.1 Derivadas de transformadas Si F(s) { f (t)} y n 1, 2, 3, . . . , entonces {t n f(t)} ( 1)n dn F(s). dsn d2 ds 2 {t n f(t)} . { f (t)}. 7.4 EJEMPLO 1 PROPIEDADES OPERACIONALES II O 307 8VRGHOWHRUHPD {t sen kt}. Evalúe SOLUCIÓN Con f (t) sen kt, F(s) k(s2 k2) y n 1, el teorema 7.4.1 da d ds {t sen kt} d k ds s2 k2 {sen kt} (s2 2ks . k2)2 Si se quiere evaluar {t 2 sen kt} y {t 3 sen kt}, todo lo que se necesita hacer, a su vez, es tomar el negativo de la derivada respecto a s del resultado del ejemplo 1 y después tomar el negativo de la derivada respecto a s de {t 2 sen kt}. NOTA Para encontrar transformadas de funciones t ne at, se puede usar el teorema 7.3.1 o el teorema 7.4.1. Por ejemplo, Teorema 7.3.1: {te 3t} {t}s : s Teorema 7.4.1: {te 3t } d ds EJEMPLO 2 1 s2 3 1 3)2 (s s :s 3 d 1 ds s 3 {e 3t } . (s 3) 2 1 (s 3)2 . Un problema con valores iniciales Resuelva x 16x cos 4t, x(0) 0, x(0) 1. SOLUCIÓN El problema con valores iniciales podría describir el movimiento forzado, no amortiguado y en resonancia de una masa en un resorte. La masa comienza con una velocidad inicial de 1 m/s en dirección hacia abajo desde la posición de equilibrio. Transformando la ecuación diferencial, se obtiene (s2 16) X(s) 1 s s2 o 16 1 X(s) s2 s 16 (s2 16)2 . Ahora bien, en el ejemplo 1 se vio que 1 2ks (s k2)2 t sen kt 2 (1) \SRUWDQWRLGHQWL¿FDQGRk 4 en (1) y en el inciso d) del teorema 7.2.1, se obtiene x(t) 1 4 1 1 sen 4t 4 7.4.2 4 s2 16 1 8 1 (s2 8s 16)2 1 t sen 4t 8 TRANSFORMADAS DE INTEGRALES CONVOLUCIÓN Si las funciones f y g son continuas por tramos sobre el intervalo [0, ), entonces la FRQYROXFLyQ de f y g, denotada por el símbolo f g, es una función GH¿QLGDSRUODLQWHJUDO t f g 0 f ( ) g(t )d (2) y ya que estamos integrando en (2) con respecto a la variable Ĳ (la letra griega minúscula tau), la convolución f g es una función de t. Para enfatizar este hecho, (2) también se 308 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE escribe (f g)(t). Como la notación f g sugiere, la convolución (2) a menudo se interpreta como un producto generalizado de dos funciones f y g. EJEMPLO 3 &RQYROXFLyQGHGRVIXQFLRQHV Evalúa (a) et * sen t (b) +het* sen tj.. SOLUCIÓN a)&RQODVLGHQWLÀFDFLRQHV f (t) 5 et, g(t) 5 sen t f (␶) 5 e␶, g(t 2 ␶) 5 sen(t 2 ␶) , y se sigue de (2) e integrando por partes se tiene que t # et * sen t 5 e␶ sen(t 2 ␶) d␶ 0 1 5 fe␶ senst 2 ␶d 1 e␶cos(t 2 ␶)g 0t 2 1 5 (2sen t 2 cos t 1 et) 2 (3) b) Entonces de (3) y de los incisos c), d) y e) del teorema 7.1.1 encontramos 1 1 1 +het * sen tj 5 2 +hsen tj 2 +hcos tj 1 +het j 2 2 2 52 5 1 1 1 s 1 1 2 1 2 s2 1 1 2 s2 1 1 2 s 2 1 1 . (s 2 1)(s2 1 1) ■ Se deja como ejercicio demostrar que t 0 f( ) g(t )d t 0 ) g( ) d ; f(t es decir, f g g f(VWRVLJQL¿FDTXHODFRQYROXFLyQGHGRVIXQFLRQHVHVFRQPXWDWLYD TEOREMA DE CONVOLUCIÓN Hemos visto si f y g son ambas por tramos para t HQWRQFHVODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFHGHXQDVXPDf gHVODVXPDGHFDGDXQD GH ODV WUDQVIRUPDGDV GH /DSODFH 0LHQWUDV TXH no HV FLHUWR TXH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFHGHOSURGXFWRfgHVHOSURGXFWRGHODVWUDQVIRUPDGDVYHPRVHQHOVLJXLHQWH teorema, llamado el teorema de convolución TXH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH GHO SURGXFWRJHQHUDOL]DGRf g HVHOSURGXFWRGHODVWUDQVIRUPDGDVGH/DSODFHGH f y g TEOREMA 7.4.2 7HRUHPDGHFRQYROXFLyQ Si f (t) y g (t) son funciones continuas por tramos sobre [0, ) y de orden exponencial, entonces { f g} { f (t)} {g(t)} F(s)G(s). DEMOSTRACIÓN Sea F(s) { f(t)} y {g(t)} G(s) 0 0 e e s s f( ) d g( ) d . 7.4 τ τ=t O 309 Procediendo formalmente, tenemos t: τ a ∞ F(s)G(s) 0 0 τ:0a t PROPIEDADES OPERACIONALES II f( ) d 0 FIGURA 7.4.1 Cambio del orden de integración de primero t a primero Ĳ. ) s( e 0 t f( ) d s e 0 s g( ) d f ( )g( ) d d s( e 0 e ) g( ) d . Conservando Ĳ¿MDKDFHPRVt Ĳ ȕ, dt Gȕ, por lo que F(s)G(s) 0 f( ) d e stg(t ) dt. En el plano WĲVHUHDOL]DODLQWHJUDFLyQHQODUHJLyQVRPEUHDGDGHOD¿JXUD3XHVWR que f y g son continuas por tramos sobre [0, ) y de orden exponencial, es posible intercambiar el orden de integración: t F(s) G(s) 0 e st dt 0 f ( )g(t t )d 0 e st 0 f ( ) g(t )d dt { f g}. El teorema 7.4.2 demuestra que podemos encontrar la transformada de Laplace de la convolución f * g GH GRV IXQFLRQHV VLQ UHDOPHQWH HYDOXDU OD LQWHJUDO GH¿QLGD t e0 f (␶)g(t 2 ␶) d␶ como hicimos en (3). El siguiente ejemplo ilustra la idea. EJEMPLO 4 8VRGHOWHRUHPD t Evalúe 0 e sen(t )d . SOLUCIÓN Esta es la misma que la transformada +het * sen tj que encontramos en el inciso b) del ejemplo 3. Esta vez utilizamos el teorema 7.4.2 que dice que la transformada de Laplace de la convolución de f y g es el producto de sus transformadas de Laplace: + t 5# e sen(t 2 ␶) d␶6 5 + he * sen tj ␶ t 0 5 + hetj ? + hsen tj 1 1 ? 2 s21 s 11 1 . 5 (s 2 1)(s2 1 1) INVERSA DEL TEOREMA 7.4.2 El teorema de convolución en ocasiones es útil para encontrar la transformada de Laplace inversa del producto de dos transformadas de Laplace. Del teorema 7.4.2, se tiene 1 (4) {F(s)G(s)} f g. Muchos de los resultados de la tabla de transformadas de Laplace en el apéndice C, se pueden obtener usando la ecuación (4). En el ejemplo siguiente se obtiene el elemento 25 de la tabla: 2k3 (5) {sen kt kt cos kt} 2 (s k2 )2 . 5 EJEMPLO 5 7UDQVIRUPDGDLQYHUVDFRPRXQDFRQYROXFLyQ Evalúe 1 1 2 (s k2 )2 SOLUCIÓN Sea F(s) f(t) . G(s) g(t) 1 2 k2 1 k 1 s por lo que k s2 k2 1 sen kt. k 310 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En este caso la ecuación (4) da 1 1 (s2 1 k2 k2 )2 t 0 sen k sen k(t )d . (6) Con la ayuda de la identidad trigonométrica 1 [cos(A B) cos(A B)] 2 y las sustituciones A NĲ y B k(t Ĳ) se puede realizar la integración en (6): sen A sen B 1 1 (s2 1 2k2 k2 )2 t [cos k(2 t) cos kt] d 1 1 sen k(2 2k2 2k t) cos kt 0 t 0 sen kt kt cos kt . 2k3 Multiplicando ambos lados por 2k3, se obtiene la forma inversa de (5). TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL Cuando g(t) 1 y {g(t)} G(s) 1s, el teorema de convolución implica que la transformada de Laplace de la integral de f es t 0 f( ) d F(s) . s (7) F(s) , s (8) La forma inversa de (7), t 1 f( ) d 0 se puede usar en lugar de las fracciones parciales cuando sn es un factor del denomina1 dor y f(t) {F(s)} es fácil de integrar. Por ejemplo, se sabe para f (t) sen t que 2 F(s) 1(s 1) y por tanto usando la ecuación (8) 1 1 s(s2 1 1) 1 1 s2(s2 1 1) 1 1 s3(s2 1 1) 1(s2 s 1s(s2 s 1s2(s2 s t 1) sen d 1 cos t 0 t 1) (1 cos ) d t sen t 0 t 1) ( sen ) d 0 1 2 2t 1 cos t etcétera. ECUACIÓN INTEGRAL DE VOLTERRA El teorema de convolución y el resultado en (7) son útiles para resolver otros tipos de ecuaciones en las que una función desconocida aparece bajo un signo de integral. En el ejemplo siguiente se resuelve una HFXDFLyQLQWHJUDOGH9ROWHUUD para f (t), t f(t) g(t) 0 f( ) h(t )d . (9) Las funciones g(t) y h(t) son conocidas. Observe que la integral en (9) tiene la forma de convolución (2) con el símbolo h jugando el papel de g. EJEMPLO 6 8QDHFXDFLyQLQWHJUDO Resuelva f(t) 3t 2 t e t 0 f( ) e t d para . f (t). 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II O 311 SOLUCIÓN (QODLQWHJUDOVHLGHQWL¿FDh(t Ĳ) et Ĳ por lo que h(t) et. Se toma la transformada de Laplace de cada término; en particular, por el teorema 7.4.2 la transformada de Laplace es el producto de { f(t)} F(s) y {et} 1>(s 1) . 2 s3 3 F(s) 1 1 s 1 F(s) s . 1 Después de resolver la última ecuación para F(s) y realizar la descomposición en fracciones parciales, se encuentra 6 1 2 6 F(s) . s3 s4 s s 1 La transformada inversa entonces da 2! s3 1 3 f(t) 2 3 3t 3! s4 1 1 t 1 s 1 1 1 2 1 s 2e . t CIRCUITOS EN SERIE En una sola malla o circuito en serie, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje en un inductor, resistor y capacitor es igual al voltaje aplicado E(t). Ahora se sabe que las caídas de voltaje en un inductor, resistor y capacitor son, respectivamente, E L R C FIGURA 7.4.2 Circuito RCL en serie. di 1 t , Ri(t), y i( ) d , dt C 0 donde i(t) es la corriente y L, R y C son constantes. Se deduce que la corriente en un FLUFXLWRFRPRHOTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVWiJREHUQDGDSRUODHFXDFLyQ integrodiferencial di 1 t Ri(t) i( ) d E(t) . L (10) dt C 0 L EJEMPLO 7 8QDHFXDFLyQLQWHJURGLIHUHQFLDO Determine la corriente i(t) en un circuito RCL de un sola malla cuando L 0.1 H, R 2 ", C 0.1 F, i(0) 0 y el voltaje aplicado es E(t) 120t 120t 1). (t SOLUCIÓN Con los datos dados, la ecuación (10) se convierte en 0.1 di dt t 2i 10 i( ) d 120t 0 120t (t t Ahora usando (7), { 0 i( ) d } I(s) s , donde I(s) formada de Laplace de la ecuación integrodiferencial es 0.1sI(s) 2I(s) 10 I(s) s 1 s2 120 1 e s2 1 e s s 1). {i(t)}. Por lo que la trans- s . @por (16) de la sección 7.3 Multiplicando esta ecuación por l0s, usando s2 20s 100 (s 10)2 y después al despejar I(s), se obtiene I(s) 1 1200 s(s Usando fracciones parciales, I(s) 1200 1 10)2 s(s 1>100 s 1>100 e s 10 10)2 1>100 s 10 s e (s 1>10 e (s 10)2 s (s 1>10 10)2 s 1 e 10)2 s . 1>100 e s 1 e (s 10)2 s s . 312 20 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE i 'HODIRUPDLQYHUVDGHOVHJXQGRWHRUHPDGHWUDVODFLyQ GHODVHFFLyQ¿QDOmente se obtiene 10 t i(t) 12[1 _ 10 (t 120te _20 1)] 10t 12[e 1080(t 10t 10(t e 1)e 10(t 1) 1) (t (t 1)] 1). (VFULWDFRPRXQDIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRVODFRUULHQWHHV _30 0.5 1 1.5 2 2 .5 FIGURA 7.4.3 *Ui¿FDGHFRUULHQWH i(t) i(t) del ejemplo 7. 12 12e 12e 10t 10t 12e 10t 120te 10(t , 1) 0 120te 10t 1080(t 1)e 10(t 1) , t t 1 1. &RQHVWD~OWLPDH[SUHVLyQ\XQ6$&VHWUD]DODJUi¿FDi(t) en cada uno de los dos LQWHUYDORV \ GHVSXpV VH FRPELQDQ ODV JUi¿FDV 2EVHUYH HQ OD ¿JXUD TXH DXQ cuando la función de entrada E(t) es discontinua, la salida o respuesta i(t) es una función continua. Material opcional si se cubrió la sección 4.8 POSDATA: VUELTA A LAS FUNCIONES DE GREEN Mediante la aplicación de la transformada de Laplace al problema con valores iniciales y ay by f(t), y(0) 0, y(0) 0 donde a y b son constantes, encontramos que la transformada de y(t) es Y(s) F(s) as 2 s b donde F(s) {f(t)}. Rescribiendo la última transformada como el producto Y(s) 1 as s2 F(s) b podemos usar la forma inversa del teorema de convolución (4) para escribir la solución del PVI como t g(t y(t) ) f ( )d (11) 0 1 1 g(t) y {F(s)} f(t). De otra manera, sabemos de s2 as b (10) de la sección 4.8 que la solución del PVI está también dada por donde 1 t G(t, ) f ( ) d , y(t) (12) 0 donde G(t, Ĳ) es la función de Green para la ecuación diferencial. Comparando (11) y (12) vemos que la función de Green para la ecuación diferencial 1 1 está relacionada con g(t) por s2 as b G(t, ) g(t ) (13) Por ejemplo, para el problema con valores iniciales y 4y f(t), encontramos 1 1 s2 En el ejemplo 4 de la sección 4.8, los papeles que están jugando los símbolos x y t son los de t y ' en este análisis 4 1 2 sen 2t y(0) 0, y(0) 0 g(t). Así de (13) vemos que la función de Green para la ED es y 4y f(t), es G(t, Ĳ) g (t Ĳ) 1 sen 2(t Ĳ). Vea el ejemplo 4 de la sección 4.8. 2 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II O 313 COMENTARIOS Aunque la transformada de Laplace fue conocida durante mucho tiempo antes del siglo XX, no fue utilizada para resolver ecuaciones diferenciales. El hecho de que actualmente se utiliza la transformada de Laplace para resolver una variedad de ecuaciones se debe a Oliver Heaviside (vea la página 298). En 1893 Heaviside inventó un cálculo operacional para solucionar ecuaciones diferenciales encontradas en ingeniería eléctrica. Heaviside no era matemático, y sus procedimientos para resolver ecuaciones diferenciales fueron manipulaciones IRUPDOHV R SURFHGLPLHQWRV TXH FDUHFHQ GH MXVWL¿FDFLyQ PDWHPiWLFD 6LQ HPbargo, estos procedimientos funcionaban. En un intento por poner su cálculo operacional sobre una base sólida, los matemáticos descubrieron que las reglas de su cálculo se adaptaban a muchas propiedades de la transformada de Laplace. Con el tiempo, el cálculo de operaciones de Heaviside desapareció siendo sustituido por la teoría y aplicaciones de la transformada de Laplace. 6HGHEHYHUL¿FDUSRUVXVWLWXFLyQHQODHFXDFLyQRSRUORVPpWRGRVGHODVHFFLyQ 2 2.3 que y(t) 5 e2te0t e u 1du es una solución perfectamente buena del problema de valor inicial lineal . Ahora resolvemos la misma ecuación con una aplicación 2 formal de la transformada de Laplace. Si denotamos y9 1 y 5 et , y(0) 5 0, entonces la transformada de la ecuación es F(s) sY(s) 2 y(0) 1 Y(s) 5 F(s) o Y(s) 5 . s11 1 2 5 e2t y se sigue de la forma inversa Usando +21hF(s)j 5 et y +21 s11 (4) del teorema de convolución que la solución del problema de valor inicial es 5 5 y(t) 5 +21 F(s) ? 6 t 1 5 s11 6 # 0 t # e ␶ ? e2(t2␶) d␶ 5 e2t e␶ 2 1␶ 2 d␶. 0 Con Ĳ en lugar de u, esta es la solución dada al principio. ¿Cuál es el error aquí? 7.4.3 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA FUNCIÓN PERIÓDICA Si una función periódica tiene periodo T, T 0, entonces f (t T) f (t). El siguiente teorema muestra que la transformada de Laplace de una función periódica se obtiene integrando sobre un periodo. TEOREMA 7.4.3 7UDQVIRUPDGDGHXQDIXQFLyQSHULyGLFD Si f (t) es continua por tramos sobre [0, ), de orden exponencial y periódica con periodo T, entonces { f (t)} DEMOSTRACIÓN 1 e 1 T sT 0 st e f (t) dt. Escriba la transformada de Laplace de f como dos integrales: { f(t)} T 0 e st f(t) dt e st T f(t) dt. Cuando se hace t u T, la última integral se convierte en e T st f (t) dt 0 e s(u T ) f (u T ) du e sT 0 e su f (u) du e sT { f (t)}. 314 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE T { f(t)} Por tanto, 0 st e f(t) dt { f(t)} se demuestra el teorema. Resolviendo la ecuación de la última línea para EJEMPLO 8 E(t) { f(t)}. sT e 7UDQVIRUPDGDGHXQDIXQFLyQSHULyGLFD Encuentre la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en la ¿JXUD 1 1 2 3 SOLUCIÓN La función E(t) se llama de onda cuadrada y tiene periodo T 2. En el t 4 intervalo 0 t 2, E(t VHSXHGHGH¿QLUSRU FIGURA 7.4.4 Onda cuadrada en el 1, 0 0, 1 E(t) ejemplo 8. 1 2 t t y fuera del intervalo por E(t 2) E(t). Ahora del teorema 7.4.3 {E(t)} 1 1 e 1 1 e 2 2s 0 1 e 2s e s) EJEMPLO 9 E(t) dt 1 1 e 1 2s 0 e 2 1dt st 1 e 0 dt st s ;1 s 1 s(1 st e e 2s (1 e s )(1 e s) . (14) $SOLFDFLyQGHXQYROWDMHSHULyGLFR La ecuación diferencial para la corriente i(t) en un circuito RL en serie de una sola malla es di L Ri E(t) . (15) dt Determine la corriente i(t) cuando i(0) 0 y E(t) es la función de onda cuadrada que VHPXHVWUDHQOD¿JXUD SOLUCIÓN Si se usa el resultado de (14) del ejemplo anterior, la transformada de Laplace de la ED es LsI(s) 1 RI(s) e ) s(1 1 >L 1 . s(s R > L) 1 e s I(s) o s (16) Para encontrar la transformada de Laplace inversa de la última función, primero se hace XVRGHODVHULHJHRPpWULFD&RQODLGHQWL¿FDFLyQx es, s 0, la serie geométrica 1 1 x 1 x2 x x3 1 se convierte en 1 De s(s 1 L>R s R>L) e s 1 s L>R R>L e s e 2s e 3s . se puede reescribir la ecuación (16) como I(s) 1 1 R s s 1 1 R s e s s 1 (1 R>L 2s e s e 3s e s s e 2s e 3s 1 R s ) 1 R>L s 1 e R>L e s s 2s R>L e s 3s R>L . 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II O 315 Aplicando la forma del segundo teorema de traslación a cada término de ambas series, se obtiene 1 (1 (t 1) (t 2) (t 3) ) R 1 (e Rt/L e R(t 1)/L (t 1) e R(t 2)/L (t 2) e R(t 3)/L (t 3) ) R i(t) o, de forma equivalente 1 (1 R i(t) e 1 ( 1) n (1 e Rn 1 ) Rt/L ) (t R(t n)/L n). 3DUD LQWHUSUHWDU OD VROXFLyQ VH VXSRQH SRU UD]RQHV GH HMHPSOL¿FDFLyQ TXH R 1, L 1 y 0 t 4. En este caso 1 i(t) 2 1.5 1 0.5 e t (1 et 1 ) (t 1) (1 (t e 2) ) (t 2) (1 e (t 3) ) (t 3); i en otras palabras, 1 i(t) t 2 1 3 e t, e 1 e e 4 t t e t (t 1) , e e (t 1) (t 1) e /DJUi¿FDGHi(t) en el intervalo 0 t con la ayuda de un SAC. FIGURA 7.4.5 *Ui¿FDGHODFRUULHQWH i(t) en ejemplo 9. e (t 2) , (t 2) e (t 3) , 0 1 2 3 t t t t 1 2 3 4. TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDVHREWXYR EJERCICIOS 7.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12. 7.4.1 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA y y f (t), En los problemas 1-8 use el teorema 7.4.1 para evaluar cada una de las transformadas de Laplace. 10t {te } {t cos 2t} 2 {t3et} {t senh 3t} {t senh t} {t2 cos t} {te2t sen 6 t} {te 3t cos 3t} En los problemas 9-14, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales dado. Use la tabla de transformadas de Laplace del apéndice C cuando sea necesario. y y t sen t, y(0) 0 y y te t sen t, y(0) 0 y 9y cos 3t, y(0) 2, y y sen t, y(0) 1, y 16y f (t), f (t) y(0) 0, cos 4t, 0, y(0) 1, y(0) 0, donde 1, 0 sen t, f(t) t t >2 >2 (Q ORV SUREOHPDV \ XVH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQLQGLFDGD y(t) del problema 13 en el intervalo 0 t y(t) del problema 14 en el intervalo 0 t 2ʌ 3ʌ En algunos casos, la transformada de Laplace se puede usar SDUD UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV FRQ FRH¿cientes monomiales variables. En los problemas 17 y 18, use el teorema 7.4.1 para reducir la ecuación diferencial dada a una ED lineal de primer orden en la función transformada. Resuelva la ED de primer y orden para Y(s) {y(t)} y des1 pués encuentre y(t) {Y(s)} . t y y 2t 2, y(0) 0 2y t y 2y 10, y(0) y(0) 0 y(0) 5 y(0) 1 y(0) 1, donde 0 t t 7.4.2 TRANSFORMADAS DE INTEGRALES En los problemas 19-22 proceda como en el ejemplo 3 y encuentre la convolución f g de las funciones dadas. Después de integrar, encuentre la transformada de Laplace de f g. f (t) 5 4t, g(t) 5 3t 2 2t f (t) 5 e , g(t) 5 e t f (t) 5 t, g(t) 5 e2t f (t) 5 cos 2t, g(t) 5 et 316 CAPÍTULO 7 O LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En los problemas 23-34 proceda como en el ejemplo 4 y encuentre la transformada de Laplace de f g usando teorema 7.4.2. Antes de transformar, no evalúe la integral de convolución. {1 {e 3 {t et cos t} {e2t sen t} t} t 2 t 0 t 0 t et d sen d 0 0 t t 0 1 sen cos (t )d t 1 1 1) s(s 1 s3(s 1) t e 0 d 1 1 1 s2(s f (t) 1 (e 1 sen t 6y(t) 9 e ) f (t t 0 t 0 0 f (t) 2t f (t) tet f (t) (t t 0 t 2 0 t 0 f ( ) cos (t 1, y(0) 0 0, y (0) 0. 2a a 3a 4a t 1 función serpenteante FIGURA 7.4.6 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD f(t) 1 a 2a 3a 4a t FIGURA 7.4.7 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD t sen f (t f (t y( ) d 0 función de onda cuadrada ) f( ) d 4 y( ) d , y(0) f(t) En los problemas 41-50, use la transformada de Laplace para resolver la ecuación integral o la ecuación integrodiferencial. t )d 1 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVROXFLyQ f (t) t)3 f ( ) d ( En los problemas 53-58 use el teorema 7.4.3 para determinar la transformada de Laplace de cada una de las funciones periódicas. 8k3s . (s k2)3 2 t sen t, y(0) 0 0 7.4.3 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA Emplee la transformada de Laplace y los resultados del problema 39 para resolver el problema con valores iniciales sen t t t )d En los problemas 51 y 52, resuelva la ecuación (10) sujeta a i(0) 0 con L, R, C y E(t) como se dan para cada problema. 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD VROXFLyQ HQ HO intervalo 0 t 3. L 0.1 H, R 3 ", C 0.05 F, E(t) 100[ (t 1) (t 2)] b) Vuelva a analizar su respuesta del inciso a). ¿Podría haber obtenido el resultado en una forma diferente? y dy dt 8 3 t f (t e 0 a)2 a) Use (4) junto con los resultados de (5) para evaluar esta transformada inversa. Utilice un SAC como ayuda para evaluar la integral de convolución. y t L 0.005 H, R 1 ", C 0.02 F, E(t) 100[t (t 1) (t 1)] 1 s(s 2 f (t) 1 1) La tabla del apéndice C no contiene una entrada para 1 cos t y (t) En los problemas 35-38, use (8) para evaluar cada transformada inversa. f( ) d f (t) t sen d 0 t cos d 0 0 te } t e cos d t t t e d f (t) )d f(t) a )d b 2b 3b 4b t función diente de sierra )d 4e t sen t FIGURA 7.4.8 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 7.4 1 2 3 t 4 onda triangular FIGURA 7.4.9 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD f(t) 1 π 2π 3π 4π t rectificación de onda completa de sen t FIGURA 7.4.10 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD f(t) O 317 sección y de la tabla 6.4.1, una solución del problema con valores iniciales ty y ty 0, y(0) 1, y(0) 0, es y J0(t). Use este resultado y el procedimiento descrito en las instrucciones de los problemas 17 y 18 para demostrar que 1 . {J0 (t)} 1s2 1 [Sugerencia: Podría ser necesario usar el problema 52 de los ejercicios 7.2]. f(t) 1 PROPIEDADES OPERACIONALES II a) (FXDFLyQGLIHUHQFLDOGH/DJXHUUH ty (1 t)y ny 0 tiene soluciones polinomiales cuando n es un entero no negativo. Estas soluciones naturalmente se llaman polinomios de Laguerre y se denotan por Ln(t). Determine y Ln(t), para n 0, 1, 2, 3, 4 si se sabe que Ln(0) 1. b) Demuestre que 1 π 2π 3π 4π et d n n te n! dt n t rectificación de media onda de sen t FIGURA 7.4.11 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD En los problemas 59 y 60 resuelva la ecuación (15) sujeta a i(0) 0 con E(t) como se indica. Use un programa de gra¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVROXFLyQHQHOLQWHUYDOR t 4 en el caso cuando L I y R 1. E(t) es la función serpenteante del problema 53 con amplitud 1 y a 1. Y(s), t donde Y(s) {y} y y Ln(t) es una solución polinomial de la ED del inciso a). Concluya que et d n n t te , n 0, 1, 2, . . . . n! dt n Esta última relación para generar los polinomios de Laguerre es el análogo de la fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre. Vea (36) en la sección 6.4. Ln (t) E(t) es la función diente de sierra del problema 55 con amplitud 1 y b l. La transformada de Laplace {et } existe, pero sin encontrarla resuelva el problema con valores iniciales y y 2 et , y(0) 0, y(0) 0. En los problemas 61 y 62 resuelva el modelo para un sistema forzado resorte/masa con amortiguamiento Resuelva la ecuación integral d 2x dx kx f (t), x(0) 0, x (0) 0, dt 2 dt donde la función forzada fHVFRPRVHHVSHFL¿FD8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUx(t) en los valores indicados de t. m m 12, b 1, k 5, f es la función serpenteante del problema 53 con amplitud 10, y a ʌ, 0 t 2ʌ. m 1, ȕ 2, k 1, f es la función de onda cuadrada del problema 54 con amplitud 5, y a ʌ, 0 t 4ʌ. Problemas para analizar Examine cómo se puede usar el teorema 7.4.1 para encontrar s 3 1 ln . s 1 En la sección 6.4 vimos que ty y ty 0 es la ecuación de Bessel de orden Y 0. En vista de (24) de esta 2 t f (t) et et e t f( ) d 0 a) Demuestre que la función onda cuadrada E(t) dada HQOD¿JXUDVHSXHGHHVFULELUFRPR ( 1)k E(t) k (t k). 0 b) Obtenga la ecuación (14) de esta sección tomando la transformada de Laplace de cada término de la serie del inciso a). Use la transformada de Laplace como una ayuda en la evaluación de la integral impropia 0 te 2t sen 4t dt . Si suponemos que {f(t)t} existe y {f(t)} F(s), entonces f(t) t F(u)du. s 318 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Utilice este resultado para encontrar la transformada de Laplace de la función dada. Los símbolos a y k son constantes positivas. sen at a) f(t) t 2(1 cos kt) b) f(t) t Transformada de un logaritmo Ya que f(t) ln t tiene XQDGLVFRQWLQXLGDGLQ¿QLWDHQt 0 se podría suponer que {ln t} no existe; sin embargo, esto es incorrecto. En este problema se le guía a través de los pasos formales que conducen a la transformada de Laplace de f(t) ln t, t 0. a) Utilice integración por partes para demostrar que 1 {ln t} s {t ln t} s b) Si {ln t} Y(s), utilice el teorema 7.4.1 con n 1 para demostrar que el inciso a) se convierte en dY 1 s Y ds s Encuentre una solución explicita Y(s) de la última ecuación diferencial. c) 3RU~OWLPRODGH¿QLFLyQLQWHJUDOGHODconstante de Euler (algunas veces llamada la constante de e t ln t dt , donde Euler-Mascheroni) es 0 Ȗ 0.5772156649… Use Y(1) Ȗ en la solución del inciso b) para demostrar que lica de una ecuación diferencial y la solución del problema de valores iniciales al encontrar la transformada inversa. En Mathematica la transformada de Laplace de una función y(t) se obtiene usando /DSODFH7UDQVIRUP>\>W@WV@. En el renglón dos de la sintaxis se remplaza LaplaceTransform >\>W@WV@por el símbolo Y. (Si no tiene Mathematica, entonces adapte el procedimiento dado encontrando la sintaxis correspondiente para el SAC que tenga a la mano.) Considere el problema con valores iniciales 1. y 6y 9y t sen t, y(0) 2, y (0) Cargue el paquete de transformada de Laplace. Reproduzca con precisión y después, a su vez, ejecute cada renglón de la siguiente secuencia de instrucciones. Copie los resultados a mano o imprímalo. diffequat \>W@\>W@\>W@W6LQ>W@ transformdeq /DSODFH7UDQVIRUP>GLIIHTXDWWV@ ^\>@ \>@ /DSODFH7UDQVIRUP>\>W@WV@ Y} soln 6ROYH>WUDQVIRUPGHT<@)ODWWHQ Y <VROQ ,QYHUVH/DSODFH7UDQVIRUP><VW@ 0RGL¿TXHGHIRUPDDSURSLDGDHOSURFHGLPLHQWRGHOSURblema 72 para encontrar una solución de y 3y 4y 0, y(0) 0, y (0) 0, y (0) 1. Tarea para el laboratorio de computación La carga q(t) en un capacitor en un circuito CL en serie está dada por d 2q q 1 4 (t ) 6 (t 3 ), dt2 q(0) 0, q (0) 0. En este problema se indican las instrucciones de Mathematica que permiten obtener la transformada de Laplace simbó- 0RGL¿TXHGHIRUPDDSURSLDGDHOSURFHGLPLHQWRGHOSUREOHPD 72 para determinar q(t 7UDFHODJUi¿FDGHVXVROXFLyQ {ln t} 7.5 s ln s , s s 0. LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC INTRODUCCIÓN En el último párrafo de la página 284, se indicó que como una consecuencia inmediata del teorema 7.1.3, F(s) 1 no puede ser la transformada de Laplace de una función f que es continua por tramos sobre [0, ) y de orden exponencial. En el análisis siguiente se introduce una función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de Laplace es F(s) 1. IMPULSO UNITARIO Los sistemas mecánicos suelen ser afectados por una fuerza externa (o fuerza electromotriz en un circuito eléctrico) de gran magnitud que actúa sólo por un periodo muy corto. Por ejemplo, podría caer un rayo en el ala vibrante de un avión, un martillo de bola podría golpear con precisión una masa en un resorte, una bola (de beisbol, golf, tenis) podría ser enviada por el aire al ser golpeada de modo violento con un bate, SDORGHJROIRUDTXHWD9HDOD¿JXUD/DJUi¿FDGHODIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV FIGURA 7.5.1 Un palo de golf aplica una fuerza de gran magnitud en la bola durante un periodo muy corto. a (t t0 ) 0, 1 , t0 2a 0, 0 t t0 a a t t0 a t t0 a, (1) 7.5 y 12a t0 319 O a 0, t0 TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D SRGUtD VHUYLU FRPR PRdelo para tal fuerza. Para un valor pequeño de a, įa(t t0) es en esencia una función constante de gran magnitud que está “activada” sólo durante un periodo muy corto, alrededor de t0. El comportamiento de įa(t t0) conforme a A VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD E /D IXQFLyQ įa(t t0) se llama impulso unitario porque tiene la propiedad de integración 0 a (t t0 ) dt 1 . 2a t0 − a LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC t0 + a t a) gráfica de a(t t0) LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso unitario, una “función” que aproxima a įa(t t0 \VHGH¿QHSRUHOOtPLWH y (t t0 ) lím a: 0 a (t t0 ). (2) La última expresión, que no es una función en absoluto, se puede caracterizar por las dos propiedades , t t0 i) (t t0 ) y ii) (t t0 ) dt 1. 0, t t0 0 El impulso unitario į(t t0) se llama IXQFLyQGHOWDGH'LUDF. Es posible obtener la transformada de Laplace de la función delta de Dirac por la suposición formal de que +{␦(t 2 t0)} 5 lim a S 0 +{␦a(t 2 t0)}. TEOREMA 7.5.1 7UDQVIRUPDGDGHODIXQFLyQGHOWDGH'LUDF t0 b) comportamiento de a conforme a → 0 FIGURA 7.5.2 Impulso unitario. t Para t 0 0, { (t t0 )} e st0 . (3) DEMOSTRACIÓN Para empezar se puede escribir įa(t t0) en términos de la función escalón unitario en virtud de (11) y (12) de la sección 7.3: 1 t0 ) [ (t (t0 a)) (t (t0 a))]. a (t 2a Por linealidad y (14) de la sección 7.3 la transformada de Laplace de esta última expresión es 1 e s(t0 a) e s(t0 a) esa e sa { a (t t0 )} e st0 . (4) 2a s s 2sa Puesto que (4) tiene la forma indeterminada 00 conforme a A 0 se aplica la regla de L'Hôpital: esa 2 e2sa +{␦(t 2 t0)} 5 lim +{␦a(t 2 t0)} 5 e2st0 lim 5 e2st0. aS0 aS0 2sa Ahora cuando t0 0, se puede concluir de (3) que 1 { (t)} 2 1. El último resultado enfatiza el hecho de que į(t) no es el tipo usual de función que se ha estado considerando, puesto que se espera del teorema 7.1.3 que { f (t)} A 0 conforme s A . EJEMPLO 1 Dos problemas con valores iniciales Resuelva y y 4į(t 2ʌ) sujeta a a) y(0) 1, y(0) 0 b) y(0) 0, y(0) 0. Dos problemas con valores iniciales podrían servir como modelos para describir el movimiento de una masa en un resorte que se mueve en un medio en el cual el amortiguamiento es despreciable. En t 2ʌ la masa recibe un golpe preciso. En a) la masa se libera a partir del reposo una unidad abajo de la posición de equilibrio. En b) la masa está en reposo en la posición de equilibrio. SOLUCIÓN a) De (3) la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es s2Y(s) s Y(s) 4e 2 s o Y(s) s s2 1 4e s2 2 s . 1 320 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE y Con la forma inversa del segundo teorema de traslación, ecuación (15) de la sección 7.3, se encuentra cos t y(t) 1 −1 2π 4π t 2 ) 2 ). (t Puesto que sen(t 2ʌ) sen t, la solución anterior se puede escribir como cos t, cos t y(t) FIGURA 7.5.3 La masa es golpeada en t 2ʌ en el inciso a) del ejemplo 1. 4 sen(t 0 2 2 . t t 4 sen t, (5) (QOD¿JXUDVHYHGHODJUi¿FDGH TXHODPDVDSUHVHQWDPRYLPLHQWRDUPyQLFR simple hasta que es golpeada en t 2ʌ/DLQÀXHQFLDGHOLPSXOVRXQLWDULRHVLQFUHp mentar la amplitud de vibración a 117 para t 2ʌ. b) En este caso la transformada de la ecuación es simplemente y Y(s) y así 1 −1 2π 4 sen( (t y(t) 4e s2 , 1 2 ) ) ( (t 0, 0 4 sen t, 4π t 2 s t t 2 ) 2 2 (6) /DJUi¿FDGH GHOD¿JXUDPXHVWUDFRPRVHHVSHUDUtDGHODVFRQGLFLRQHVLQLciales, que la masa no exhibe movimiento hasta que es golpeada en t 2ʌ. FIGURA 7.5.4 Ningún movimiento hasta que la masa es golpeada en t 2ʌ en el inciso b) del ejemplo 1. COMENTARIOS i) Si į(t – t0) fuera una función en el sentido usual, entonces la propiedad i) de la función delta de Dirac implicaría 0 (t t0 ) dt 0 en vez de 0 (t t0 ) dt 1 Debido a que la función delta de Dirac no se “comporta” como una función ordinaria, aun cuando sus usuarios produjeron resultados correctos, al inicio los matemáticos la recibieron con gran desprecio. Sin embargo, en 1940 la controversial función de Dirac fue puesta en un fundamento riguroso por el matemático francés Laurent Schwartz en su libro La Théorie de distribution y esto, a su vez, condujo a una rama completamente nueva de la matemática conocida como la teoría de las distribuciones o funciones generalizadas(QHVWDWHRUtD QRHVXQDGH¿QLFLyQ aceptada de į(t – t0), ni se habla de una función cuyos valores son o 0. Aunque se deja en paz este tema, basta decir que la función delta de Dirac se caracteriza mejor por su efecto en otras funciones. Si f es una función continua, entonces 0 f(t) (t t0 ) dt f(t0 ) (7) se puede tomar como la GH¿QLFLyQ de į(t – t0). Este resultado se conoce como propiedad de cribado, puesto que į(t – t0) tiene el efecto de separar el valor f (t0) del conjunto de valores de f sobre [0, ). Note que la propiedad ii) (con f(t) 1) y (3) (con f (t) est ) son consistentes con (7). ii) En el inciso (iii) de los Comentarios en la sección 7.2 indicaron que la función de transferencia de una ecuación diferencial lineal general de n-ésimo orden con FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVHVW(s) 1(P(s), donde P(s) ansn an1sn1 . . . a0. La función de transferencia es la transformada de Laplace de la función w(t), conocida como IXQFLyQSHVR de un sistema lineal. Pero w(t) también se puede caracterizar en términos del análisis en cuestión. Por simplicidad se considera un sistema lineal de segundo orden en el que la entrada es un impulso unitario en t 0: a2 y a1 y a0 y (t), y(0) 0, y (0) 0. 7.5 LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC O 321 Aplicando la transformada de Laplace y usando { (t)} 1 se muestra que la transformada de la respuesta y en este caso es la función de transferencia Y(s) a2 s2 1 a1s a0 1 P(s) W(s) y y así 1 1 P(s) w(t). De esto se puede ver, en general, que la función peso y w(t) de un sistema lineal de n-ésimo orden es la respuesta de estado cero del sistema a un impulso unitario. Por esta razón w(t) también se llama respuesta de impulso del sistema. EJERCICIOS 7.5 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12. En los problemas 1-12, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales. y(0) 5 0, y9(0) 5 0, y0(L) 5 0, y-(L) 5 0 w0 y 3y į(t 2), y(0) 0 y y į(t 1), y(0) 2 x y y į(t 2ʌ), y(0) 0, y(0) 1 L y y 16y į(t 2ʌ), y(0) 0, y(0) 0 ( y t y y(0) 0, y (0) 1 2 0 ) (t 3 2 ), y y į(t 2ʌ) į(t 4ʌ), y(0) 1, y(0) 0 y 2y į(t 1), FIGURA 7.5.5 Viga empotrada en ambos extremos. y(0) 5 0, y9(0) 5 0, y(L) 5 0, y9(L) 5 0 y(0) 0, y(0) 1 y 2y 1 į(t 2), y(0) 0, y(0) 1 y 4y 5y į(t 2ʌ), w0 y(0) 0, y(0) 0 x y 2y y į(t 1), y(0) 0, y(0) 0 y 4y 13y į(t ʌ) į(t 3ʌ), y(0) 1, y(0) 0 y 7y 6y et į(t 2) į(t 4), y(0) 0, y(0) 0 En los problemas 13 y 14 utilice la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial dado. Trace la grá¿FDGHODVROXFLyQVREUHHOLQWHUYDOR>ʌ]. y0 1 y 5 ` o ␦(t 2 k␲), y(0) 5 0, y9(0) 5 1 k51 y0 1 y 5 ` o ␦(t 2 2k␲), y(0) 5 0, y9(0) 5 1 k51 En los problemas 15 y 16 una viga uniforme de longitud L tiene una carga concentrada w0 en x 12L9pDQVHOD¿JXUD SUREOHPD \OD¿JXUD SUREOHPD 8VHOD transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial EI d 4y dx4 5 w0 ␦_x 2 +, 0 , x , L, 1 2L sujeto a las condiciones frontera dadas. L y FIGURA 7.5.6 Viga empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho. Problemas para analizar $OJXLHQD¿UPDTXHODVVROXFLRQHVGHGRV39, y y 2y 2y 10y 10y 0, (t), y(0) y(0) 0, y (0) 0, y (0) 1 0 son exactamente lo mismo. ¿Está de acuerdo o no? -XVWL¿TXHVXUHVSXHVWD Lea i) en los ComentariosDO¿QDOGHHVWDVHFFLyQ/XHJR use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial: y0 1 4y9 1 3y 5 et␦(t 2 1), y(0) 5 0, y9(0) 5 2. 8WLOLFHXQDXWLOHUtDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHy(t) para 0 t 5. 322 CAPÍTULO 7 O LA TRANSFORMADA DE LAPLACE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 7.6 INTRODUCCIÓN &XDQGRVHHVSHFL¿FDQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH GH FDGD HFXDFLyQ HQ XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV reduce el sistema de ED a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas en las funciones transformadas. Se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas para cada una de las funciones transformadas y luego se determinan las transformadas de Laplace inversas en la manera usual. A x1 = 0 k1 k1 x1 m1 x1 k2 B m1 m1 k2 (x2 − x1) x2 = 0 m2 x2 m2 k2 (x2 − x1) m2 a) equilibrio b) movimiento c) fuerzas RESORTES ACOPLADOS Dos masas m1 y m2 están conectadas a dos resortes A y B de masa despreciable con constantes de resorte k1 y k2 respectivamente. A su vez, ORVGRVUHVRUWHVHVWiQXQLGRVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD6HDQx1(t) y x2(t) los desplazamientos verticales de las masas desde sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema está en movimiento, el resorte B está sujeto a elongación y compresión; por lo que su elongación neta es x2 – x1. Por tanto, se deduce de la ley de Hooke que los resortes A y B ejercen fuerzas k1x1 y k2(x2 x1), respectivamente, sobre m1. Si ninguna fuerza externa se aplica al sistema y si ninguna fuerza de amortiguamiento está presente, entonces la fuerza neta sobre m1 es k1x1 k2(x2 x1). Por la segunda ley de Newton se puede escribir d 2 x1 k1 x1 k2 (x2 x1). m1 2 dt De igual manera, la fuerza neta ejercida sobre la masa m2 se debe sólo a la elongación neta de B ; es decir, k2(x2 x1). Por tanto, se tiene FIGURA 7.6.1 Sistema resorte/masa m2 acoplado. d 2 x2 dt2 k2 (x2 x1). En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa por el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden m1 x 1 k1 x1 k2 (x2 m2 x 2 k2 (x2 x1). x1) (1) En el ejemplo siguiente se resuelve (1) bajo las suposiciones de que k1 6, k2 4, m1 1, m2 1 y que las masas comienzan desde sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias opuestas. EJEMPLO 1 Resortes acoplados 10x1 x1 Resuelva 4x1 sujeta a x1(0) 0, x 1(0) 1, x2 (0) x2 4x2 0 4x2 0 0, x 2 (0) (2) 1. SOLUCIÓN La transformada de Laplace de cada ecuación es s2 X1(s) 4X1(s) donde X1(s) sx1(0) x1(0) s2 X2 (s) {x1(t)} y X2 (s) (s2 sx2 (0) 4X2 (s) 0 x2 (0) 4X2 (s) 0, {x2 (t)}. El sistema anterior es igual a 10) X1(s) 4 X1(s) 10X1(s) 4X2 (s) 2 (s 4) X2 (s) 1 (3) 1. 7.6 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES O 323 Resolviendo (3) para X1(s) y usando fracciones parciales en el resultado, se obtiene X1(s) s2 2)(s2 2 (s 1> 5 2 12) 6>5 , s 12 2 2 s y por tanto x1(t) x1 0.4 _ 0.2 5 7.5 X2(s) 1 0 1 2 .5 1 5 a) gráfica de x1(t) vs. t 12 s2 2 y x2(t) x2 0.2 (s s2 6 2)(s2 12) 2 2 512 _ 0.4 5 12 1 2 b) gráfica de x2(t) vs. t i1 E L i2 2 s 1 3> 5 12 112 s 12 2 13 sen 213t. 10 12 sen 12t 10 13 sen 213t 5 x2(t) 12 sen 12t 5 13 sen 213t. 10 (4) /DVJUi¿FDVGHx1 y x2GHOD¿JXUDUHYHODQHOFRPSOLFDGRPRYLPLHQWRRVFLODWRULR de cada masa. REDES En (18) de la sección 3.3 vimos que las corrientes il(t) e i2(t) de la red que se PXHVWUDHQOD¿JXUDFRQXQLQGXFWRUXQUHVLVWRU\XQFDSDFLWRUHVWDEDQJREHUQDdas por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden i3 R 3 5112 s2 x1(t) 7 .5 1 0 1 2 .5 1 5 FIGURA 7.6.2 Desplazamientos de las dos masas del ejemplo 1. 2> 5 s2 2 Por último, la solución del sistema (2) es _ 0.2 2.5 112 s2 12 1 13 sen 213t. 5 12 sen 12t 5 0.4 t 6 5112 Sustituyendo la expresión para X1(s) en la primera ecuación de (3), se obtiene _ 0.4 2.5 1 12 sen 12t 10 0.2 t 1 512 L C di1 dt di RC 2 dt FIGURA 7.6.3 Red eléctrica. Ri2 E(t) (5) i2 0. i1 Resolvemos este sistema con la transformada de Laplace en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 2 8QDUHGHOpFWULFD Resuelva el sistema en (5) bajo las condiciones E(t) 60 V, L 1 H, R 50 ", C 104 F y las corrientes i1 e i2 son inicialmente cero. SOLUCIÓN Debemos resolver di1 dt 50(10 4 ) sujeta a i1(0) 0, i2(0) 0. di2 dt 50i2 i2 i1 60 0 324 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE $SOLFDQGR OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH D FDGD HFXDFLyQ GHO VLVWHPD \ VLPSOL¿cando, se obtiene 60 50I2(s) sI1(s) s 200I1(s) (s 200)I2(s) 0, {i1(t)} e I2(s) {i2(t)}. Resolviendo el sistema para I1 e I2 y desdonde I1(s) componiendo los resultados en fracciones parciales, se obtiene I1(s) 60s s(s 12 000 100)2 6>5 s 6>5 s 100 60 (s 100)2 12 000 6>5 6>5 120 . s(s 100)2 s s 100 (s 100)2 Tomando la transformada inversa de Laplace, encontramos que las corrientes son I2(s) i1(t) 6 5 6 e 5 100t 60te i2(t) 6 5 6 e 5 100t 120te 100t 100t . 6 Observe que tanto i1(t) como i2(t) del ejemplo 2 tienden hacia el valor E>R 5 conforme t A . Además, puesto que la corriente a través del capacitor es i3(t) i1 (t) i2(t) 60te100t, se observa que i3(t) A 0 conforme t A . PÉNDULO DOBLE Considere el sistema de péndulo doble que consiste en un pénGXORXQLGRDRWURFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD6HVXSRQHTXHHOVLVWHPDRVFLOD HQXQSODQRYHUWLFDOEDMRODLQÀXHQFLDGHODJUDYHGDGTXHODPDVDGHFDGDYDULOODHV despreciable y que ninguna fuerza de amortiguamiento actúa sobre el sistema. En la ¿JXUDWDPELpQVHPXHVWUDTXHHOiQJXORGHGHVSOD]DPLHQWRș1 se mide (en radianes) desde una línea vertical que se extiende hacia abajo desde el pivote del sistema y que ș2 se mide desde una línea vertical que se extiende desde el centro de masa m1. La dirección positiva es a la derecha; la dirección negativa es a la izquierda. Como se esperaría del análisis que condujo a la ecuación (6) de la sección 5.3, el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento es no lineal: θ 1 l1 m1 l2 θ2 m2 FIGURA 7.6.4 Péndulo doble. (m1 m2 )l12 1 m2 l1l2 m2l22 2 cos ( 1 m2l1l2 1 2 m2l1l2( 2 )2 sen ( 2) cos ( 2) 1 2) 1 m2l1l2( 1 )2 sen ( (m1 m2)l1g sen 1 0 m2l2 g sen 2 0. 2) 1 (6) Pero si se supone que los desplazamientos ș1(t) y ș2(t) son pequeños, entonces las aproximaciones cos(ș1 ș2) 1, sen(ș1 ș2) 0, sen ș1 ș1, sen ș2 ș2 nos permiten remplazar el sistema (6) por la linealización (m1 m2 )l12 1 m2l1l2 m2l22 EJEMPLO 3 2 (m1 2 m2l1l2 1 m2)l1g 1 0 m2l2g 2 0. (7) 'REOHSpQGXOR Se deja como ejercicio completar los detalles de usar la transformada de Laplace para resolver el sistema (7) cuando m1 3, m2 1, l1 l2 16, u1(0) 1, u 2 (0) 1, 1(0) 0 y 2(0) 0 . Debe encontrar que 1 2 3 cos t cos 2t 1(t) 4 4 13 2(t) 1 2 cos t 2 13 3 cos 2t. 2 (8) (QOD¿JXUDVHPXHVWUDQFRQODD\XGDGHXQ6$&ODVSRVLFLRQHVGHODVGRVPDVDV en t 0 y en tiempos posteriores. Vea el problema 21 en los ejercicios 7.6. 7.6 a) t 0 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES b) t 1.4 O 325 d ) t 8.5 c) t 2.5 FIGURA 7.6.5 Posiciones de masas del péndulo doble en diferentes tiempos del ejemplo 3. EJERCICIOS 7.6 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12. En los problemas 1-12, use la transformada de Laplace para resolver el sistema dado de ecuaciones diferenciales. dx x y dt dy 2x dt x(0) 0, y(0) 1 dx dt dy dt x 2y 5x y x(0) 1, y(0) 2 dx dy 2x dt dt dx dy 3x 3y dt dt x(0) 0, y(0) 0 2 dx x dt dx dt x(0) 0, dx 2y dt dy 8x dt x(0) 1, et t y(0) 1 dx dy 3x dt dt dx dy x y dt dt x(0) 0, y(0) 0 1 d 2x dy 3y 0 3 dt dt2 d 2x 3y te t dt2 x(0) 0, x(0) 2, y(0) 0 dx dt dy dt x(0) et 1 2 dy y 0 dt dy 2y 0 dt y(0) 1 d 2x d 2x dx dy x y 0 0 2 2 dt dt dt dt d 2 y dy d 2y dx y x 0 4 0 2 2 dt dt dt dt x(0) 0, x(0) 2, x(0) 1, x(0) 0, y(0) 0, y(0) 1 y(0) 1, y(0) 5 2 2 dx d 3y d x d y t2 4x 6 sen t dt dt3 dt2 dt2 dx d 3y d 2x d 2y 0 2x 2 4t dt dt3 dt2 dt2 x(0) 8, x(0) 0, x(0) 0, y(0) 0, y(0) 0, y(0) 0 y(0) 0, y(0) 0 4x 2y 2 (t 1) 3x y (t 1) 0, y(0) 1 2 Resuelva el sistema (1) cuando k1 3, k2 2, m1 1, m2 1 y x1(0) 0, x1(0) 1, x 2 (0) 1, x 2(0) 0. Construya el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento vertical en línea recta de los UHVRUWHV DFRSODGRV TXH VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD Use la transformada de Laplace para resolver el sistema cuando k1 1, k2 1, k3 1, m1 1, m2 1 y x1(0) 0, x1(0) 1, x 2 (0) 0, x 2(0) 1. k1 x1 = 0 m1 k2 x2 = 0 m2 k3 FIGURA 7.6.6 Resortes acoplados del problema 14. a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes i2(t) e i3(t) en la red eléctrica que se PXHVWUDHQOD¿JXUDHV 326 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE di L1 2 Ri2 Ri3 E(t) dt di3 L2 Ri2 Ri3 E(t). dt b) Resuelva el sistema del inciso a) si R 5 ", L1 0.01 H, L2 0.0125 H, E 100 V, i2(0) 0 e i3(0) 0. c) Determine la corriente i1(t). i1 R i3 i2 E a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para la carga en el capacitor q(t) y la corriente i 3(t) en ODUHGHOpFWULFDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHV R1 dq dt 1 q C R1i3 E(t) L di3 dt R2i3 1 q C 0. b) Determine la carga en el capacitor cuando L 1 H, R1 1 ", R2 1 ", C 1 F. L1 L2 i1 a) En el problema 12 de los ejercicios 3.3 se pide demostrar que las corrientes i2(t) e i3(t) de la red eléctrica que VHPXHVWUDHQOD¿JXUDVDWLVIDFH di2 dt di2 R1 dt R1i2 E(t) 1 i C 3 0. Resuelva el sistema si R1 10 ", R2 5 ", L 1 H, C 0.2 F. 120, 0, 0 2 2, t t i 2(0) 0, e i 3(0) 0. b) Determine la corriente i1(t). i1 E L t t 1 1, E R1 i3 i2 C L R2 FIGURA 7.6.9 Red del problema 20. di3 dt di3 R2 dt L E(t) 0 i 3(0) 0 y q(0) 0. FIGURA 7.6.7 Red del problema 15. L 0, 50e t, E(t) i3 R2 i2 R1 C FIGURA 7.6.8 Red del problema 16. Resuelva el sistema dado en (17) de la sección 3.3 cuando R1 6 ", R2 5 ", L1 1 H, L2 1 H, E(t) 50 sen t V, i2(0) 0 e i3(0) 0. Resuelva (5) cuando E 60 V, L C 104 F, i1(0) 0 e i2(0) 0. 1 2 H, R 50 ", Resuelva (5) cuando E 60 V, L 2 H, R 50 ", C 104 F, i1(0) 0 e i2(0) 0. Tarea para el laboratorio de computación a) Use la transformada de Laplace y la información dada en el ejemplo 3 para obtener la solución (8) del sistema que se presenta en (7). b) 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU ș1(t) y ș2(t) en el plano Wș. ¿Cuál masa tiene desplazamienWRV H[WUHPRV GH PD\RU PDJQLWXG" 8VH ODV JUi¿FDV para estimar la primera vez que cada masa pasa por su posición de equilibrio. Analice si el movimiento del péndulo es periódico. c) 7 UDFH OD JUi¿FD GHș1(t) y ș2(t) en el plano ș1ș2 como HFXDFLRQHV SDUDPpWULFDV /D FXUYD TXH GH¿QHQ HVWDV ecuaciones paramétricas se llama FXUYDGH/LVVDMRXV. d) (Q OD ¿JXUD D VH SUHVHQWDQ ODV SRVLFLRQHV GH ODV masas en t 0. Observe que se ha usado 1 radián 57.3°. Use una calculadora o una tabla de aplicación de un SAC para construir una tabla de valores de los ángulos ș1 y ș2 para t 1, 2, . . . , 10 s. Después dibuje las posiciones de las dos masas en esos tiempos. e) Use un SAC para encontrar la primera vez que ș1(t) ș2(t) y calcule el correspondiente valor angular. Dibuje las posiciones de las dos masas en esos tiempos. f) Utilice un SAC para dibujar las rectas apropiadas para simular las varillas de los péndulos, como se muestra HQ OD ¿JXUD 8VH OD XWLOLGDG GH DQLPDFLyQ GH su SAC para hacer un “video” del movimiento del péndulo doble desde t 0 hasta t 10 usando un incremento de 0.1. [Sugerencia: Exprese las coordenadas (x1(t), y1(t)) y (x2(t), y2(t)) de las masas m1 y m2 respectivamente, en términos de ș1(t) y ș2(t).] REPASO DEL CAPÍTULO 7 (QORVSUREOHPDV\XWLOLFHODGH¿QLFLyQGHODWUDQVIRUPDGD de Laplace para encontrar { f (t)} . f (t) f (t) 0, 0 1, 2 0, 0 t t t t t 2 4 4 t, Si 1 1 { f(t)} F(s) y k 0, entonces {e f (t k) (t k)} _______. at t { 0 ea f ( ) d } _______ mientras que t {eat 0 _______. f( ) d } En los problemas 25-28, use la función escalón unitario para GHWHUPLQDUXQDHFXDFLyQSDUDFDGDJUi¿FDHQWpUPLQRVGHOD función y f (t FX\DJUi¿FDVHSUHVHQWDHQOD¿JXUD5 y En los problemas 3-24 complete los espacios en blanco o conteste verdadero o falso. Si f no es continua por tramos en [0, ), entonces no existirá. _______ y = f(t) { f (t)} F(s) s2(s2 4) no es la transformada de Laplace de una función que es continua por tramos y de orden exponencial. _______ t t0 (e t )10 no es de orden exponencial. ____ La función f (t) FIGURA 7.R.1 *Ui¿FDSDUDORVSUREOHPDV y { f (t)} F(s) y {g(t)} G(s), entonces {F(s)G(s)} f (t)g(t). _______ Si 1 7t {e _______ {sen 2t} {t sen 2t} {sen 2t 1 1 1 1 1 1 {e Si {e 3t } _______ sen 2t} t t0 _______ FIGURA 7.R.2 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD _______ )} y _______ 1 3s _______ 1 (s (t 1 1 7t {te _______ 20 s6 1 _______ } 5) 1 FIGURA 7.R.3 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD _______ s2 5 s2 s 10s t t0 _______ 3 y _______ 29 t t0 e 5s s2 _______ s s2 2 e s 1 2 2 Ls n2 2 FIGURA 7.R.4 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD _______ y _______ } existe para s _______. 5t { f (t)} 327 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-13 REPASO DEL CAPÍTULO 7 t, 2 O F(s), entonces t0 8t {te f (t)} _______. t1 t FIGURA 7.R.5 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 328 CAPÍTULO 7 O LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En los problemas 29-32 exprese f en términos de funciones escalón unitario. Encuentre { f (t)} y {et f (t)}. y 2y f (t), y(0) 1, donde f (t HVWiGDGRSRUOD¿gura 7.R.10 f (t) f (t) 1 1 1 2 3 t 4 1 FIGURA 7.R.6 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD y 5y 4y f (t), y(0) 0, y(0) 3, donde y = sen t, π ≤ t ≤ 3 π f(t) 1 ( 1)k 12 k π −1 2π 3π t y (t) FIGURA 7.R.7 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD t 0 f (t) 2 1 t FIGURA 7.R.8 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD y( ) cos(t )d ) d , y(0) 1 6t 3 x y t 4x y 0 x(0) 1, y(0) 2 Ri 1 1 t 2 Un circuito en serie contiene un inductor, un resistor y un 1 capacitor para el cual L H, R 10 " y C 0.01 F, 2 respectivamente. El voltaje FIGURA 7.R.9 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD (QORVSUREOHPDV\WUDFHODJUi¿FDGHODIXQFLyQGDGD Encuentre L{f(t)}. ` f (t) 5 21 1 2 o (21)k11 8(t 2 k) k51 ` f (t) 5 o (2k 1 1 2 t)f8(t 2 2k) 2 8(t 2 2k 2 1)g k50 En los problemas 35-42, use la transformada de Laplace para resolver la ecuación dada. y(0) 0, y(0) 0 y 6y 5y t t (t 2), y(0) 1, y(0) 0 y 5y f (t), donde t2, 0, 0 t t 1 , y(0) 1 10, 0 t 5 0, t 5 se aplica al circuito. Determine la carga instantánea q(t) en el capacitor para t 0 si q(0) 0 y q(0) 0. E(t) Una viga en voladizo uniforme de longitud L está empotrada en su extremo izquierdo (x 0) y libre en su H[WUHPRGHUHFKR(QFXHQWUHODGHÀH[LyQy(x) si la carga por unidad de longitud se determina por w(x) y(0) 0, y(0) 5 y 8y 20y te t, f (t) 0 1 t i( ) d E(t), C 0 donde E(t) es el voltaje aplicado. Determine i(t) cuando R 10 ", C 0.5 F y E(t) 2(t2 t). f (t) y 2y y e t, f ( ) f (t t k) x y e2t 2x y e2t x(0) 0, y(0) 0, x(0) 0, y(0) 0 La corriente i(t) en un circuito RC en serie se puede determinar de la ecuación integral 1 2 3 cos t (t 0 En los problemas 43 y 44, use la transformada de Laplace para resolver cada sistema. (3, 3) t 3 FIGURA 7.R.10 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD f (t) 2 1 2w0 L L 2 x x L 2 x L 2 . Cuando una viga uniforme se apoya mediante una base HOiVWLFDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDVXGHÀH[LyQy(x) es d 4y EI 4 ky w(x), dx donde k es el módulo de la base y ky es la fuerza restauradora de la base que actúa en dirección opuesta a la de REPASO DEL CAPÍTULO 7 la carga w(x 9HDOD¿JXUD53RUFRQYHQLHQFLDDOJHbraica suponga que la ecuación diferencial se escribe como d 4y w(x) 4a4 y , 4 EI dx donde a (k4EI)1/4. Suponga que L ʌ y a 1. (QFXHQWUHODGHÀH[LyQy(x) de una viga que está apoyada en una base elástica cuando a) la viga está apoyada simplemente en ambos extremos y una carga constante w0 se distribuye uniformemente a lo largo de su longitud, b) la viga está empotrada en ambos extremos y w(x) es una carga concentrada w0 aplicada en x ʌ2. s4 1 4 5 ss2 2 2s 1 2dss2 1 2s 1 2d.] L x base elástica y FIGURA 7.R.11 Viga sobre la base elástica del problema 48. [Sugerencia: En ambas partes de este problema, use la tabla de transformadas de Laplace del apéndice C]. a) Suponga que dos péndulos idénticos están acoplados por medio de un resorte con kFRQVWDQWH9HDOD¿JXUD 7.R.12. Bajo las mismas suposiciones hechas en el análisis anterior al ejemplo 3 de la sección 7.6, se puede demostrar que cuando los ángulos de desplazamiento 1(t) y 2(t) son pequeños, el sistema de ecuaciones diferenciales lineales que describen el movimiento es g k ( 1 2) l 1 m 1 g k ( 2 2 ). l 2 m 1 Utilice la transformada de Laplace para resolver el sistema cuando ș1(0) ș0, ș1(0) 0, ș2(0) ȥ0, ș2(0) 0, donde ș0 y ȥ0 son constantes. Por conveniencia, sea Ȧ2 gl, K km. b) Use la solución del inciso a) para analizar el movimiento de los péndulos acoplados en el caso especial cuando las condiciones iniciales son ș1(0) ș0, ș1(0) 0, ș2(0) ș0, ș2(0) 0. Cuando las condiciones iniciales son ș1(0) ș0, ș1(0) 0, ș2(0) ș0, ș2(0) 0. l θ1 θ2 l 5HYLVLyQGHODIULFFLyQGH&RXORPE En el problema 27 del repaso del capítulo 5 examinamos un sistema masa UHVRUWHHQHOFXDOXQDPDVDVHGHVOL]DVREUHXQDVXSHU¿FLHKRUL]RQWDOVHFDFX\RFRH¿FLHQWHGHIULFFLyQFLQpWLFRHV una constante ȝ. La fuerza constante retardante fk μmg GH OD VXSHU¿FLH VHFDDFW~DRSRQLpQGRVHDODGLUHFFLyQGHO movimiento o se llama fricción de Coulomb en honor al físico francés Charles Augustin de Coulomb (1736-1806). 6HOHSLGLyHQWRQFHVGHPRVWUDUTXHODHFXDFLyQGH¿QLGDSRU tramos para el desplazamiento x(t) de la masa está dado por d2x dt2 m kx fk, fk, x Ȧ2x x x 0 (movimiento a la izquierda) 0 (movimiento a la derecha) x Ȧ2x x 2 F, 0 Péndulos acoplados del problema 49. t F, T2 Ȧx F, T t T2 t T 3T2, y así sucesivamente, donde Ȧ2 km, F fk m μg, g 32, y T 2ʌȦ. Demuestre que los tiempos 0, T2, T, 3T2, . . . corresponden a x(t) 0. b) Explique por qué, en general, el desplazamiento inicial debe satisfacer Ȧ2 x0 F. c) Explique por qué el intervalo FȦ2 x FȦ2 apropiadamente se llama la “zona muerta” del sistema. d) Utilice la transformada de Laplace y el concepto de la función de serpenteante para resolver el desplazamiento x(t) para t 0. e) Demuestre que en el caso m 1. k 1, fk 1 y x0 5.5 que en el intervalo [0, 2ʌ) su solución de acuerdo con los incisos a) y b) del problema 28 en el repaso del capítulo 5. f) Demuestre que cada oscilación sucesiva es 2FȦ2 más corta que la anterior. g) Prediga el comportamiento a largo plazo del sistema. $OFDQFHGHXQSUR\HFWLO6LQUHVLVWHQFLDGHODLUH a) Un proyectil, como la bala de cañón se muestra en OD¿JXUD5WLHQHXQSHVRw mg y velocidad inicial Y0 que es tangente a su trayectoria de movimiento. Si se ignoran la resistencia del aire y todas las demás fuerzas, excepto su peso, vimos en el problema 23 de los ejercicios 4.9 que el movimiento de proyectiles describe el sistema de ecuaciones diferenciales lineales m d 2x dt 2 m d 2y dt 2 m m FIGURA 7.R.12 329 a) Suponga que la masa se libera a partir del reposo del punto x(0) x0 0 y que no hay otras fuerzas externas. Entonces las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la masa m son w(x) 0 O 0 mg 330 O CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE y v0 θ x Rango horizontal R FIGURA 7.R.13 Proyectil del problema 51. Use la transformada de Laplace para resolver el sistema sujeto a las condiciones iniciales x(0) 0, x(0) Y0 cos ș, y(0) 0, y(0) Y0 sen ș, donde Y0 v0 es constante y ș es el ángulo cons WDQWHGHHOHYDFLyQTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 7.R.13. Las soluciones de x(t) y y(t) son ecuacio nes paramétricas de la trayectoria del proyectil. b) Utilice x(t) en el inciso a) para eliminar el parámetro t en y(t). Use la ecuación resultante para y para demostrar que el rango horizontal R del proyectil está dado por R v20 sen 2ș g c) De la fórmula en el inciso b), vemos que R está al máximo cuando sen 2ș 1 o cuando ș ʌ4. Demuestre que el mismo rango, que sea menor que el máximo se puede lograr al disparar el arma en alguno de los dos ángulos complementarios ș y ʌ2 ș. La única diferencia es que el ángulo más pequeño tiene una trayectoria baja mientras que el ángulo más grande tiene una trayectoria alta. d) Suponga g 9.8 m/s2, ș 38º, y Y0 90 m/s. Utilice el inciso b) para encontrar el rango horizontal del proyectil. Encuentre el tiempo cuando el proyectil golpea el suelo. e) Utilice las ecuaciones paramétricas x(t) y y(t) en el inciso a) junto con los datos numéricos en el inciso d) para trazar la curva balística del proyectil. Repita con ș 52 º y Y0 90 m/s. Sobreponga ambas curvas en el mismo sistema de coordenadas. 5DQJRGHXQSUR\HFWLO&RQUHVLVWHQFLDGHODLUH a) Ahora supongamos que la resistencia del aire es una fuerza retardadora tangente a la trayectoria que actúa en dirección opuesta al movimiento. Si tomamos la resistencia del aire proporcional a la velocidad del proyectil, entonces vimos en problema 24 de los ejercicios 4.9 que el movimiento del proyectil está descrito por el sistema de ecuaciones diferenciales d 2x dt 2 d 2y m 2 dt m ȕ dx dt mg ȕ dy dt donde ȕ 0. Utilice transformada de Laplace para resolver este sistema sujeto a la condiciones iniciales x(0) 0, x(0) Y0 cos ș, y(0) 0, y(0) Y0 sen ș, donde Y0 v0 y ș son constantes. b) Supongamos que m 4 kg, g 9.8 m/s2, ȕ 0.25, ș 38 º y Y0 = 90 m/s. Use un SAC para encontrar el tiempo en que el proyectil golpea el suelo y luego calcule su correspondiente rango horizontal. c) Repita el inciso b) utilizando el ángulo complementario ș 52º y compare el rango con el que encuentra en los inciso b). ¿La propiedad del inciso c) del problema 51 se conserva? d) Utilice las ecuaciones paramétricas x(t) y y(t) del inciso a) junto con los datos numéricos del inciso b) para trazar la curva balística del proyectil. Repita este procedimiento con los mismos datos numéricos del inciso b) pero tome ș 52°. Superponga ambas curvas en el mismo sistema de coordenadas. Compare estas curvas con las que se obtuvieron en el inciso e) del problema 51. 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 8.1 8.2 8.3 8.4 © Pavel L Photo and Video/Shutterstock.com Teoría preliminar: Sistemas lineales Sistemas lineales homogéneos Sistemas lineales no homogéneos Matriz exponencial REPASO DEL CAPÍTULO 8 E 332 n las secciones 3.3, 4.9 y 7.6 tratamos con sistemas de ecuaciones diferenciales y pudimos resolver algunos de estos sistemas mediante eliminación sistemática o con la transformada de Laplace. En este capítulo nos vamos a dedicar sólo a sistemas de ecuaciones lineales diferenciales de primer orden. Veremos que la teoría general de los sistemas de ecuaciones diferenciales y el procedimiento de solución, es similar al de las ecuaciones lineales de orden superior, consideradas en el capítulo 4. Este material es fundamental para el análisis de sistemas de ecuaciones no lineales de primer orden en el capítulo 10 de la versión ampliada, Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. La notación matricial y sus propiedades se utilizarán extensivamente a lo largo de este capítulo. Si usted no está familiarizado con estos conceptos, revise el apéndice B o un texto de Álgebra Lineal. . 8.1 8.1 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES O 333 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES INTRODUCCIÓN Recuerde que en la sección 4.9 se ilustró cómo resolver sistemas de n ecuaciones diferenciales lineales con n incógnitas de la forma P11(D)x1 P12(D)x2 . . . P1n(D)xn b1(t) P21(D)x1 P22(D)x2 . . . P2n(D)xn b2(t) . . . . . . Pn1(D)x1 Pn2(D)x2 . . . Pnn(D)xn bn(t), (1) donde las Pij eran polinomios de diferentes grados en el operador diferencial D. Este capítulo se dedica al estudio de sistemas de ED de primer orden que son casos especiales de sistemas que tienen la forma normal dx1 ––– g1(t,x1,x2, . . . ,xn) dt dx2 ––– g2(t,x1,x2, . . . ,xn) dt . . . . . . dxn ––– gn(t,x1,x2, . . . ,xn). dt (2) Un sistema como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama sistema de primer orden. SISTEMAS LINEALES Cuando cada una de las funciones g1, g2, . . . , gn en (2) es lineal en las variables dependientes x1, x2, . . . , xn, se obtiene la forma normal de un sistema de ecuaciones lineales de primer orden. dx1 ––– a11(t)x1 a12(t)x2 . . . a1n(t)xn f1(t) dt dx2 ––– a21(t)x1 a22(t)x2 . . . a2n(t)xn f2(t) dt. . . . . . dxn ––– an1(t)x1 an2(t)x2 . . . ann(t)xn fn(t). dt (3) Nos referimos a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un sistema lineal6HVXSRQHTXHORVFRH¿FLHQWHVaij así como las funciones fi son continuas sobre un intervalo común I. Cuando fi(t) 0, i 1, 2, . . . , n, se dice que el sistema lineal (3) es homogéneo; de otro modo es no homogéneo. FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL Si X, A(t), y F(t) denotan las respectivas matrices () ( x1(t) x2(t) X .. , . xn(t) ) () a11(t) a12(t) . . . a1n(t) a21(t) a22(t) . . . a2n(t) . . , A(t) . . . . an1(t) an2(t) . . . ann(t) f1(t) f2(t) F(t) .. , . fn(t) 334 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se puede escribir como a11(t) a12(t) . . . a1n(t) x1 f1(t) x1 . . . a21(t) a22(t) a2n(t) x2 f2(t) x2 d . . . . –– . . . . . dt .. . . . . . . . xn an1(t) an2(t) ann(t) xn fn(t) () ( o simplemente AX X )( ) ( ) F. (4) Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces X AX. EJEMPLO 1 (5) Sistema escrito en notación matricial x , entonces la forma matricial del sistema homogéneo y a) Si X dx dt dy dt 3x 4y es X 5x 7y 3 5 4 X. 7 x y , entonces la forma matricial del sistema lineal no homogéneo z b) Si X dx dt dy dt dz dt 6x y z t 8x 7y z 10t es X 2x 9y z 6t DEFINICIÓN 8.1.1 6 8 2 1 7 9 1 1 X 1 t 10t . 6t Vector solución Un vector solución sobre un intervalo I es cualquier matriz columna () x1(t) x2(t) X .. . xn(t) cuyas entradas son funciones derivables que satisfacen el sistema (4) sobre el intervalo. Un vector solución de (4) es, por supuesto, equivalente a n ecuaciones escalares x1 ‫׋‬1(t), x2 ‫׋‬2(t), . . . , xn ‫׋‬n(t) y se puede interpretar desde el punto de vista geométrico como un conjunto de ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio. En el importante caso para n 2, las ecuaciones x1 ‫׋‬1(t), x2 ‫׋‬2(t) representan una curva en el plano x1x2. Es práctica común llamar trayectoria a una curva en el plano y llamar plano fase al plano x1x2. Regresaremos a estos conceptos y se ilustrarán en la siguiente sección. 8.1 EJEMPLO 2 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES 335 Comprobación de soluciones Compruebe que sobre el intervalo (, ) 1 e 2t X1 e 2t y 1 e 2t SOLUCIÓN De X 1 2e 2e 2t 2t AX1 1 5 3 3 e e AX2 1 5 3 3 3e6t 5e6t 3e6t 5e6t 3 6t e 5 X2 1 3 X. 5 3 X son soluciones de y O y X2 2t e 5e 2t 2t 2t 3e6t 15e6t (6) 18e6t vemos que 30e6t 3e 3e 2t 2e 2e 2t 15e6t 15e6t 18e6t 30e6t 2t X1, 2t X2 . Gran parte de la teoría de sistemas de n ecuaciones diferenciales de primer orden es similar a la de las ecuaciones diferenciales de nésimo orden. PROBLEMA CON VALORES INICIALES valo I y () x1(t0) x2(t0) . X(t0) . . Sea t0 que denota un punto en un inter- y () #1 #2 X0 . , . . xn(t0) #n donde las Ȗi, i 1, 2, . . . , n son las constantes dadas. Entonces el problema Resolver: X A(t)X Sujeto a: X(t0) X0 F(t) (7) es un problema con valores iniciales sobre el intervalo. TEOREMA 8.1.1 Existencia de una solución única Sean las entradas de las matrices A(t) y F(t) funciones continuas sobre un intervalo común I que contiene al punto t0. Entonces existe una solución única del problema con valores iniciales (7) sobre el intervalo. SISTEMAS HOMOGÉNEOS (QODVVLJXLHQWHVGH¿QLFLRQHV\WHRUHPDVVHFRQVLGHUDQVyORVLVWHPDVKRPRJpQHRV6LQD¿UPDUORVLHPSUHVHVXSRQGUiTXHODVaij y las fi son funciones continuas de t sobre algún intervalo común I. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El siguiente resultado es un principio de superposición para soluciones de sistemas lineales. TEOREMA 8.1.2 Principio de superposición Sea X1, X2, . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (5) sobre un intervalo I. Entonces la combinación lineal X c1 X1 c2 X2 ck Xk , donde las ci, i 1, 2, . . . , k son constantes arbitrarias, es también una solución sobre el intervalo. 336 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Se deduce del teorema 8.1.2 que un múltiplo constante de cualquier vector solución de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es también una solución. EJEMPLO 3 Usando el principio de superposición Debería practicar comprobando que los dos vectores cos t 1 1 X1 y X2 2 cos t 2 sen t cos t sen t son soluciones del sistema 1 1 2 X 0 1 0 0 et 0 1 0 X. 1 (8) Por el principio de superposición la combinación lineal X c1X1 c2X2 c1 1 2 cos t cos t 12 sen t cos t sen t 0 c2 et 0 es otra solución del sistema. DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL Estamos interesados principalmente en soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo (5). DEFINICIÓN 8.1.2 Dependencia/independencia lineal Sea X1, X2, . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (5) sobre un intervalo I. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente sobre el intervalo si existen constantes c1, c2, . . . , ck, no todas cero, tales que c1 X 1 c2 X 2 ck X k 0 para toda t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente sobre el intervalo, se dice que es linealmente independiente. El caso cuando k 2 debe ser claro; dos vectores solución X1 y X2 son linealmente dependientes si uno es un múltiplo constante del otro y a la inversa. Para k 2 un conjunto de vectores solución es linealmente dependiente si se puede expresar por lo menos un vector solución como una combinación lineal de los otros vectores. WRONSKIANO Como en la consideración anterior de la teoría de una sola ecuación diferencial ordinaria se puede introducir el concepto del determinante Wronskiano como prueba para la independencia lineal. Se expresa el siguiente teorema sin demostración. () () TEOREMA 8.1.3 Sean X1 () Criterio para las soluciones linealmente independientes x11 x21 . , . . xn1 x12 x22 X2 . , . . xn2 . . . , x1n x2n Xn . . . xnn 8.1 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES O 337 n vectores solución del sistema homogéneo (5) sobre un intervalo I. Entonces el conjunto de vectores solución es linealmente independiente sobre I si y sólo si el Wronskiano x11 x12 . . . x21 x22 . . . W(X1,X2, . . . ,Xn) . . . xn1 xn2 . . . x1n x2n . 0 . . xnn (9) para toda t en el intervalo. Se puede demostrar que si X1, X2, . . . , Xn son vectores solución de (5), entonces para toda t en I ya sea W(X1, X2, . . . , Xn) 0 o W(X1, X2, . . . , Xn) 0. Por tanto, si se puede demostrar que W 0 para alguna t0 en I, entonces W 0 para toda t y, por tanto, las soluciones son linealmente independientes sobre el intervalo. 2EVHUYHTXHDGLIHUHQFLDGHODGH¿QLFLyQGH:URQVNLDQRHQODVHFFLyQDTXt ODGH¿QLFLyQGHOGHWHUPLQDQWH QRLPSOLFDGHULYDFLyQ EJEMPLO 4 Soluciones linealmente independientes 1 3 6t e 2t y X2 e son soluciones del 1 5 sistema (6). Es evidente que X1 y X2 son linealmente independientes sobre el intervalo (, ) puesto que ningún vector es un múltiplo constante del otro. Además, se tiene En el ejemplo 2 vimos que X1 W(X 1, X 2 ) e e 2t 2t 3e 6t 5e 6t 8e 4t 0 para todos los valores reales de t. DEFINICIÓN 8.1.3 Conjunto fundamental de soluciones Cualquier conjunto X1, X2, . . . , Xn de n vectores solución linealmente independientes del sistema homogéneo (5) sobre un intervalo I se dice que es un conjunto fundamental de soluciones sobre el intervalo. TEOREMA 8.1.4 Existencia de un conjunto fundamental Existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo (5) sobre un intervalo I. Los dos teoremas siguientes son equivalentes a los teoremas 4.1.5 y 4.1.6 para sistemas lineales. TEOREMA 8.1.5 Solución general, sistemas homogéneos Sea X1, X2, . . . , Xn un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo (5) sobre un intervalo I. Entonces la solución general del sistema sobre el intervalo es X c1 X 1 c2 X 2 cn X n , donde las ci, i 1, 2, . . . , n son constantes arbitrarias. 338 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 5 Solución general del sistema (6) 1 3 6t e 2t y X2 e son soluciones linealmente 1 5 independientes de (6) sobre (, ). Por tanto X1 y X2 son un conjunto fundamental de soluciones sobre el intervalo. La solución general del sistema sobre el intervalo entonces es Del ejemplo 2 sabemos que X1 X c1 X1 EJEMPLO 6 c2 X2 1 e 1 c1 2t 3 6t e . 5 c2 (10) Solución general del sistema (8) Los vectores cos t t 12 sent , cos t sent 1 2 cos X1 0 1 et, 0 X2 sen t 1 2 sent X3 sent 1 2 cos t cos t son soluciones del sistema (8) en el ejemplo 3 (vea el problema 16 en los ejercicios 8.1). Ahora, W(X1, X2, X3) p cos t 0 1 t 2 sent et cos t sent 0 1 2 cos sent 1 2 sent sent 1 2 cos cos t tp et 0 para todos los valores reales de t. Se concluye que X1, X2 y X3 forman un conjunto fundamental de soluciones sobre (, ). Por lo que la solución general del sistema sobre el intervalo es la combinación lineal X c1X1 c2X2 c3X3; es decir, X c1 cos t t 12 sent cos t sent 1 2 cos 0 c2 1 et 0 sent c3 1 2 sent sent 1 2 cos t . cos t SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS Para sistemas no homogéneos una solución particular Xp sobre el intervalo I es cualquier vector libre de parámetros arbitrarios, cuyos elementos son funciones que satisfacen el sistema (4). TEOREMA 8.1.6 Solución general: sistemas no homogéneos Sea Xp una solución dada del sistema no homogéneo (4) sobre un intervalo I y sea Xc c1 X 1 c2 X 2 cn X n que denota la solución general sobre el mismo intervalo del sistema homogéneo asociado (5). Entonces la solución general del sistema no homogéneo sobre el intervalo es X Xc X p. La solución general Xc del sistema homogéneo relacionado (5) se llama función complementaria del sistema no homogéneo (4). 8.1 EJEMPLO 7 O 339 Solución general: sistema no homogéneo 3t 5t El vector Xp TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES 4 es una solución particular del sistema no homogéneo 6 1 3 12t 11 X X (11) 5 3 3 sobre el intervalo (, ). (Compruebe esto.) La función complementaria de (11) en el 1 5 mismo intervalo o la solución general de X ejemplo 5 que X c X c1 Xc 1 e 1 Xp 2t c1 3 X, como vimos en (10) del 3 3 6t e . Por tanto, por el teorema 8.1.6 5 1 3 6t 3t 4 e 2t c2 e 1 5 5t 6 c2 es la solución general del sistema no homogéneo de (11) en (, ). EJERCICIOS 8.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-13. En los problemas l-6 escriba el sistema lineal en forma matricial. 1. 3. dx dt dy dt dx dt dy dt dz dt dx 5. dt dy dt dz dt 6. dx dt dy dt dz dt 3x 5y 4x 8y 3x dx dx dt dt dy dy dt dt 2.2. 4y 9z dx dx dt dt dy dy dt dt dz dz dt dt 4.4. y 6x 10x x 4y y z y 2x x t y d x dt y x 2z 11. dx dt z dy dt 7. X 8. X 7 4 0 2 4e cos 2t t 2 X 3 5 1 2 3 1 1 t e 1 9 1 X 3 0 2 e5t 1 8 0 e 3 x y z 2 1 6 x y 7 1 3x 4y 4x 7y; X 1 2 e 2 3 1 t 1 t t 2t 4 sent 8 2t 1 e 2 12. dx dt 2x 5y dy dt 2x 4y; X 13. X 1 1 14. X 2 1 15. X 1 6 1 16. X 1 1 2 En los problemas 7-10, reescriba el sistema dado sin el uso de matrices. 4 1 1 4 5 4 4t e 1 En los problemas 11-16, compruebe que el vector X es una solución del sistema dado. t e 6z t 10. 1 3 2 e t sen 2t 4y 9z y x 1 t2 z 3x 5x x x d y dt z 7y 3t2 z y 5x 3z 4x 9. 1 4 1 5 cos t et 3 cos t sent 0 1 0 1 e 2 X; X 1 X; X 0 2 1 2 5t 1 t e 3 1 0 X; 1 1 0 X; 1 X 3t/2 4 t te 4 1 6 13 sent X 1 2 sent sent 1 2 cos t cos t 340 CAPÍTULO 8 O SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN En los problemas 17-20, los vectores dados son soluciones de un sistema X AX. Determine si los vectores forman un conjunto fundamental sobre el intervalo (, ). 1 e 1 17. X1 , X2 18. X1 1 t e, 1 X2 19. X1 1 2 4 X3 3 6 12 2t 8 t te 8 dx dt x 1 2 , 4 X2 dy dt 3x 22. X 2 1 8.2 2y 4t 1 X 1 1 t e 1 Xp 1 t te 1 sen 3t 0 cos 3t 1 4 sen 3t; Xp 3 0 1 1 6 0 1 0 1 X 0 sobre el intervalo (, ) es X 1 2 e 1 X2 2t 3 0 X 0 X 2 t 4 4 4y 2 2 1 1 t e; 7 25 . Demuestre que la solución general de un sistema lineal homogéneo de 4t , 2 3 e3t 2 X3 6 1 e 5 c1 t 3 1 e 1 c2 2t 2 c3 1 e3t. 1 26 . Demuestre que la solución general de un sistema lineal no homogéneo de En los problemas 21-24 compruebe que el vector Xp es una solución particular del sistema dado. 21. 1 X 4 1 4 6 24 . X 6t 2 t e 6 1 t 2 , 2 1 6 , 13 20 . X1 1 e 1 2 3 23. X 1 1 X 1 X 1 1 2 t 1 4 t 6 1 5 sobre el intervalo (, ) es 7 18; 5 ; 2 2 t 1 Xp 5 1 X 1 1 12 1 2 t 0 1 3 Xp c1 e12t c2 2 t 4 1 . 0 1 1 12 e 12t SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS INTRODUCCIÓN homogéneo X 1 5 Vimos en el ejemplo 5 de la sección 8.1 que la solución general del sistema 3 X es 3 1 3 6t e 2t c2 e . X c1X1 c2X2 c1 1 5 Ya que los vectores solución X1 y X2 tienen la forma Xi k1 i t e , k2 i 1, 2, donde k1, k2, Ȝ1 y Ȝ2 son constantes, nos inquieta preguntar si siempre es posible hallar una solución de la forma k1 k2 X .. e lt Ke lt (1) . () kn para la solución del sistema lineal homogéneo general de primer orden donde A es una matriz n n de constantes. X AX, (2) 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 341 EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Si (1) es un vector solución del sistema homogéneo lineal (2), entonces X KȜH ȜW, por lo que el sistema se convierte en KȜH ȜW AKe ȜW. Después de dividir por eȜW y reacomodando, obtenemos AK ȜK o AK ȜK 0. Ya que K IK, la última ecuación es igual a l I)K (A 0. (3) La ecuación matricial (3) es equivalente a las ecuaciones algebraicas simultáneas a12k2 . . . a1nkn 0 a21k1 (a22 l)k2 . . . a2nkn 0 . . . . . . . . . an1k1 an2k2 (ann l)kn 0. (a11 l)k1 Por lo que para encontrar soluciones X de (2), necesitamos primero encontrar una solución no trivial del sistema anterior; en otras palabras, debemos encontrar un vector no trivial K que satisfaga a (3). Pero para que (3) tenga soluciones que no sean la so kn 0, se debe tener lución obvia k1 k2 det(A I) 0. Esta ecuación polinomial en Ȝ se llama ecuación característica de la matriz A. Sus soluciones son los eigenvalores de A. Una solución K 0 de (3) correspondiente a un eigenvalor Ȝ se llama eigenvector de A. Entonces una solución del sistema homogéneo (2) es X KeȜW. En el siguiente análisis se examinan tres casos: eigenvalores reales y distintos (es decir, los eigenvalores no son iguales), eigenvalores repetidos y, por último, eigenvalores complejos. 8.2.1 EIGENVALORES REALES DISTINTOS Cuando la matriz A n n tiene n eigenvalores reales y distintos Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn entonces siempre se puede encontrar un conjunto de n eigenvectores linealmente independientes K1, K2, . . . , Kn y X1 K1e 1t, K2e 2 t, X2 ..., Xn Kne nt es un conjunto fundamental de soluciones de (2) sobre el intervalo (, ). TEOREMA 8.2.1 Solución general: Sistemas homogéneos Sean Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn nHLJHQYDORUHVUHDOHV\GLVWLQWRVGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA del sistema homogéneo (2) y sean K1, K2, . . . , Kn los eigenvectores correspondientes. Entonces la solución general de (2) en el intervalo (, ) está dada por X EJEMPLO 1 Resuelva SOLUCIÓN FRH¿FLHQWHV c1K1e 1t c2K2 e cn K n e n t. 2t Eigenvalores distintos dx dt 2x 3y dy dt 2x y. (4) Primero determine los eigenvalores y eigenvectores de la matriz de 342 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN De la ecuación característica 2 I) det (A 3 2 2 3 1 4 ( 1)( 4) 0 vemos que los eigenvalores son Ȝ1 1 y Ȝ2 4. Ahora para Ȝ1 1, (3) es equivalente a 3k1 3k2 0 2k1 2k2 0. Por lo que k1 k2. Cuando k2 1, el eigenvector correspondiente es 1 . 1 K1 Para Ȝ2 4 tenemos 3 2 k2; por lo que k1 2k1 3k2 0 2k1 3k2 0 por tanto con k2 2 el eigenvector correspondiente es 3 . 2 K2 3XHVWRTXHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA es una matriz 2 2 y como hemos encontrado dos soluciones linealmente independientes de (4), 1 e 1 X1 t 3 4t e , 2 X2 y Se concluye que la solución general del sistema es X c1 X1 c2 X2 1 e 1 c1 t c2 3 4t e . 2 (5) DIAGRAMA DE FASE Debe considerar que escribir una solución de un sistema de ecuaciones en términos de matrices es simplemente una alternativa al método que se empleó en la sección 4.9, es decir, enumerar cada una de las funciones y la relación entre las constantes. Si sumamos los vectores en el lado derecho de (5) y después igualamos las entradas con las entradas correspondientes en el vector en el lado izquierdo, se obtiene la expresión familiar x c1e t 3c2e4t, y c1e t 2c2e4t. Como se indicó en la sección 8.1, se pueden interpretar estas ecuaciones como ecuaciones paramétricas de curvas en el plano xy o plano fase. Cada curva, que corresponde a HOHFFLRQHVHVSHFt¿FDVGHc1 y c2, se llama trayectoria. Para la elección de constantes c1 c2 HQODVROXFLyQ YHPRVHQOD¿JXUDODJUi¿FDGHx(t) en el plano x y 6 6 y 4 2 4 5 2 4 t 3 _2 2 _4 1 _3 _ 2 _1 1 2 3 a) gráfica de x e t 3e 4t t _6 _3 _2 _1 1 2 3 b) gráfica de y e t 2e 4t _2 _4 _6 _8 _ 10 x 2.5 5 7 . 5 1 0 1 2. 5 15 c) trayectoria definida por x e t 3e 4t, y e t 2e 4t en el plano fase FIGURA 8.2.1 Una solución particular de (5) produce tres curvas diferentes en tres planos diferentes. 8.2 y x X2 X1 FIGURA 8.2.2 Un diagrama de fase del sistema (4). SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 343 txODJUi¿FDGHy(t) en el plano ty y la trayectoria que consiste en los puntos (x(t), y(t)) en el plano fase. Al conjunto de trayectorias representativas en el plano fase, como se PXHVWUDHQOD¿JXUDVHOHOODPDdiagrama fase para un sistema lineal dado. Lo que parecen dosUHFWDVURMDVHQOD¿JXUDVRQHQUHDOLGDGcuatro semirrectas de¿QLGDVSDUDPpWULFDPHQWHHQHOSULPHURVHJXQGRWHUFHUR\FXDUWRFXDGUDQWHVFRQODV soluciones X2, X1, X2 y X1, respectivamente. Por ejemplo, las ecuaciones cartesianas y 23 x, x 0 y y x, x 0, de las semirrectas en el primer y cuarto cuadrantes se obtuvieron eliminando el parámetro t en las soluciones x 3e4t, y 2e4t y x et, y et, respectivamente. Además, cada eigenvector se puede visualizar como un vector bidimensional que se encuentra a lo largo de una de estas semirrectas. El eigenvector 3 1 K2 se encuentra junto con y 23 x en el primer cuadrante y K1 2 1 se encuentra junto con y x en el cuarto cuadrante. Cada vector comienza en el origen; K2 termina en el punto (2, 3) y K1 termina en (1, 1). El origen no es sólo una solución constante x 0, y 0 de todo sistema lineal homogéneo 2 2, X AX, sino también es un punto importante en el estuGLRFXDOLWDWLYRGHGLFKRVVLVWHPDV6LSHQVDPRVHQWpUPLQRVItVLFRVODVSXQWDVGHÀHFKD GH FDGD WUD\HFWRULD HQ OD ¿JXUD LQGLFDQ OD GLUHFFLyQ FRQ TXH XQD SDUWtFXOD en el tiempo tVHPXHYHFRQIRUPHDXPHQWDHOWLHPSR2EVHUYHTXHODVSXQWDVGHÀHcha, con excepción de sólo las semirrectas en el segundo y cuarto cuadrantes, indican que una partícula se aleja del origen cuando aumenta el tiempo t Si imaginamos que el tiempo va de a , entonces examinando la solución x c1et 3c2e4t, y c1et 2c2e4t, c1 0, c2 0 muestra que una trayectoria o partícula en moviPLHQWR³FRPLHQ]D´DVLQWyWLFDDXQDGHODVVHPLUUHFWDVGH¿QLGDVSRUX1 o X1 (ya que e4t es despreciable para t A \³GHVYDQHFH´DVLQWyWLFDDXQDGHODVVHPLUUHFWDVGH¿QLdas por X2 y X2 (ya que et es despreciable para t A ). 2EVHUYHTXHOD¿JXUDUHSUHVHQWDXQGLDJUDPDGHIDVHTXHHVFDUDFWHUtVWLFRGH todos los sistemas lineales homogéneos 2 2, X AX con eigenvalores reales de signos opuestos. Vea el problema 19 de los ejercicios 8.2. Además, los diagramas de fase en los dos casos cuando los eigenvalores reales y distintos tienen el mismo signo son característicos de esos sistemas 2 OD~QLFDGLIHUHQFLDHVTXHODVSXQWDVGHÀHFKDLQGLFDQTXHXQD partícula se aleja del origen en cualquier trayectoria cuando Ȝ1 y Ȝ2 son positivas y se mueve hacia el origen en cualquier trayectoria mientras t A cuando Ȝ1 y Ȝ2 son negativas. Por lo que al origen se le llama repulsor en el caso Ȝ1 0, Ȝ2 0 y atractor en el caso Ȝ1 0, Ȝ2 9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV(ORULJHQHQOD¿JXUDQRHVUHSXOVRUQL atractor. La investigación del caso restante cuando Ȝ 0 es un eigenvalor de un sistema lineal homogéneo de 2 2 se deja como ejercicio. Vea el problema 53 de los ejercicios 8.2. EJEMPLO 2 Eigenvalores distintos Resuelva dx dt dy dt dz dt 4x y z x 5y z y 3 z. (6) SOLUCIÓN Usando los cofactores del tercer renglón, se encuentra 4 det (A I) p 1 1 0 1 1 5 1 3 p ( y así los eigenvalores son Ȝ1 3, Ȝ2 4 y Ȝ3 5. 3)( 4)( 5) 0, 344 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Para Ȝ1 3, con la eliminación de Gauss-Jordan, se obtiene (A 3I0) ( ) 1 1 1 0 1 8 1 0 0 1 0 0 ( operaciones entre renglones ) 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Por tanto k1 k3 y k2 0. La elección k3 1 da un eigenvector y el vector solución correspondiente 1 0 , 1 K1 De igual manera, para Ȝ2 4 ( 1 0 e 1 X1 ) 0 1 1 0 (A 4I0) 1 9 1 0 0 1 1 0 operaciones entre renglones 3t (7) . ( ) 1 0 10 0 0 1 1 0 0 0 0 0 implica que k1 10k3 y k2 k3. Al elegir k3 1, se obtiene un segundo eigenvector y el vector solución 10 1 , 1 K2 10 1 e 1 X2 Por último, cuando Ȝ3 5, las matrices aumentadas ( ) 4t . (8) ( ) 1 0 operaciones 1 0 1 0 9 1 (A 5I0) 1 0 1 0 entre renglones 0 1 8 0 0 0 0 1 8 0 0 0 1 8 , 1 K3 producen X3 1 8 e5t. 1 (9) La solución general de (6) es una combinación lineal de los vectores solución en (7), (8) y (9): X 1 c1 0 e 1 3t c2 10 1 e 1 4t 1 c3 8 e5t. 1 USO DE COMPUTADORAS Los paquetes de software como MATLAB, Mathematica y Maple, ahorran tiempo en la determinación de eigenvalores y eigenvectores de una matriz A. 8.2.2 EIGENVALORES REPETIDOS Por supuesto, no todos los n eigenvalores Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn de una matriz A de n n deben ser distintos, es decir, algunos de los eigenvalores podrían ser repetidos. Por ejemplo, ODHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVHQHOVLVWHPD X 3 2 18 X 9 (10) 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 345 se demuestra fácilmente que es (Ȝ 3)2 0, y por tanto, Ȝ1 Ȝ2 3 es una raíz de multiplicidad dos. Para este valor se encuentra el único eigenvector 3 3 K1 , por lo que X1 (11) e 3t 1 1 es una solución de (10). Pero como es obvio que tenemos interés en formar la solución general del sistema, se necesita continuar con la pregunta de encontrar una segunda solución. En general, si m es un entero positivo y (Ȝ Ȝ1)m es un factor de la ecuación característica, mientras que (Ȝ Ȝ1)m1 no es un factor, entonces se dice que Ȝ1 es un eigenvalor de multiplicidad m. En los tres ejemplos que se dan a continuación se ilustran los casos siguientes: i) Para algunas matrices A de n n sería posible encontrar m eigenvectores linealmente independientes K1, K2, . . . , Km, correspondientes a un eigenvalor Ȝ1, de multiplicidad m n. En este caso la solución general del sistema contiene la combinación lineal 1t c1K 1e ii) c2K 2e 1t cmK me 1t. Si sólo hay un eigenvector que corresponde al eingenvalor Ȝ1 de multiplicidad m, entonces siempre se pueden encontrar m soluciones linealmente independientes de la forma X1 K11e l t lt lt X2 . K21te K22e . . t m2 t m1 Xm Km1 –––––––– e l t Km2 –––––––– e l t . . . Kmme l t, (m 1)! (m 2)! 1 1 1 1 1 1 donde las Kij son vectores columna, que siempre se pueden determinar. EIGENVALORES DE MULTIPLICIDAD DOS Se comienza por considerar eigenvalores de multiplicidad dos. En el primer ejemplo se ilustra una matriz para la que podemos encontrar dos eigenvectores distintos que corresponden a un doble eigenvalor. EJEMPLO 3 Resuelva X Eigenvalores repetidos 1 2 2 2 1 2 2 2 X. 1 SOLUCIÓN Desarrollando el determinante en la ecuación característica 1 det (A I) p 2 2 2 2 2 1 2 p 0 1 se obtiene (Ȝ l)2(Ȝ 5) 0. Se ve que Ȝ1 Ȝ2 1 y Ȝ3 5. Para Ȝ1 1, con la eliminación de Gauss-Jordan se obtiene de inmediato ( ) ( ) 2 0 operaciones 1 1 1 0 2 2 (A I 0) 2 2 2 0 entre renglones 0 0 0 0 . 2 0 0 0 0 2 2 0 El primer renglón de la última matriz indica que k1 – k2 k3 0 o k1 k2 – k3. Las elecciones k2 1, k3 0 y k2 1, k3 1 producen, a su vez, k1 1 y k1 0. Por lo que dos eigenvectores correspondientes a Ȝ1 1 son K1 1 1 0 y K2 0 1 . 1 346 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Puesto que ningún eigenvector es un múltiplo constante del otro, se han encontrado dos soluciones linealmente independientes, X1 1 1 e 0 t 0 1 e t, 1 X2 y que corresponden al mismo eigenvalor. Por último, para Ȝ3 5 la reducción ( ) ( ) 2 0 operaciones 4 2 1 0 1 0 entre renglones (A 5I 0) 2 4 2 0 0 1 1 0 2 2 4 0 0 0 0 0 implica que k1 k3 y k2 k3. Al seleccionar k3 1, se obtiene k1 1, k2 1; por lo que un tercer eigenvector es 1 1 . 1 K3 Concluimos que la solución general del sistema es X 1 c1 1 e 0 t 0 c2 1 e 1 t 1 1 e5t. 1 c3 /DPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA del ejemplo 3 es un tipo especial de matriz conocida como matriz simétrica. Se dice que una matriz A de n n es simétrica si su transpuesta AT (donde se intercambian renglones y columnas) es igual que A, es decir, si AT A. Se puede demostrar que si la matriz A del sistema X AX es simétrica y tiene elementos reales, entonces siempre es posible encontrar n eigenvectores linealmente independientes K1, K2, . . . , Kn, y la solución general de ese sistema es como se muestra en el teorema 8.2.1. Como se muestra en el ejemplo 3, este resultado se cumple aun cuando estén repetidos algunos de los eigenvalores. SEGUNDA SOLUCIÓN Ahora suponga que Ȝ1 es un eigenvalor de multiplicidad dos y que sólo hay un eigenvector asociado con este valor. Se puede encontrar una segunda solución de la forma (12) X2 K te 1t Pe 1,t () () k1 k2 K .. . donde y p1 p2 P .. . . kn pn Para ver esto sustituya (12) en el sistema X AX\VLPSOL¿TXH (AK 1K ) te 1t (AP 1P K)e 1t 0. Puesto que la última ecuación es válida para todos los valores de t, debemos tener y (A 1I )K 0 (13) (A 1I )P K. (14) La ecuación (13) simplemente establece que K debe ser un eigenvector de A asociado con Ȝ1. Al resolver (13), se encuentra una solución X1 Ke 1t . Para encontrar la segunda solución X2, sólo se necesita resolver el sistema adicional (14) para obtener el vector P. 8.2 EJEMPLO 4 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 347 Eigenvalores repetidos Encuentre la solución general del sistema dado en (10). 3 e 3t. 1 p1 , encontramos de (14) que ahora debemos rep2 SOLUCIÓN De (11) se sabe que Ȝ1 3 y que una solución es X1 3 1 ,GHQWL¿FDQGR K solver (A y P 3I )P 6p1 2p1 o K 18p2 6p2 3 1. Puesto que resulta obvio que este sistema es equivalente a una ecuación, se tiene un Q~PHURLQ¿QLWRGHHOHFFLRQHVGHp1 y p2. Por ejemplo, al elegir p1 1 se encuentra que p2 16 . Sin embargo, por simplicidad elegimos p1 12 por lo que p2 0. Entonces P 1 2 0 3 te 1 . Así de (12) se encuentra que X2 1 2 3t 3t e 0 . La solución general de (10) es X c1X1 c2X2, o X y x X1 FIGURA 8.2.3 Diagrama de fase del sistema (l0). c1 3 e 1 3t 3 te 1 c2 3t 1 2 0 e 3t . Al asignar diversos valores a c1 y c2 en la solución del ejemplo 4, se pueden trazar las WUD\HFWRULDVGHOVLVWHPDHQ (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDXQGLDJUDPDIDVHGH Las soluciones X1 y X1 determinan dos semirrectas y 13 x, x 0 y y 13 x, x 0 UHVSHFWLYDPHQWHPRVWUDGDVHQURMRHQOD¿JXUD'HELGRDTXHHO~QLFRHLJHQYDORUHVQHJDtivo y e3t A 0 conforme t A en cada trayectoria, se tiene (x(t), y(t)) A (0, 0) conforme t A (VWDHVODUD]yQSRUODTXHODVSXQWDVGHODVÀHFKDVGHOD¿JXUDLQGLFDQTXHXQD partícula en cualquier trayectoria se mueve hacia el origen conforme aumenta el tiempo y la razón de que en este caso el origen sea un atractor. Además, una partícula en movimiento o trayectoria x 3c1e 3t c2(3te 3t 12e 3t), y c1e 3t c2te 3t, c2 0 tiende a (0, 0) tangencialmente a una de las semirrectas conforme t A . En contraste, cuando el eigenvalor repetido es positivo, la situación se invierte y el origen es un repulVRU9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV6LPLODUDOD¿JXUDOD¿JXUDHV característica de todos los sistemas lineales homogéneos X AX, 2 2 que tienen dos eigenvalores negativos repetidos. Vea el problema 34 en los ejercicios 8.2. EIGENVALOR DE MULTIPLICIDAD TRES &XDQGR OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV A tiene sólo un eigenvector asociado con un eigenvalor Ȝ1 de multiplicidad tres, podemos encontrar una segunda solución de la forma (12) y una tercera solución de la forma donde t2 e 2 () () X3 k1 k2 K .. , . K 1t Pte p1 p2 P .. , . 1t Qe 1 t, y pn kn () (15) q1 q2 Q .. . . qn Al sustituir (15) en el sistema X AX, se encuentra que los vectores columna K, P y Q deben satisfacer y (A 1I)K 0 (16) (A 1I)P K (17) (A 1I)Q P. (18) Por supuesto, las soluciones (16) y (17) se pueden usar para formar las soluciones X1 y X2. 348 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 5 2 0 0 Resuelva X Eigenvalores repetidos 1 2 0 6 5 X. 2 SOLUCIÓN La ecuación característica (Ȝ 2)3 0 demuestra que Ȝ1 2 es un eigenvalor de multiplicidad tres. Al resolver (A 2I)K 0, se encuentra el único eigenvector 1 0 . 0 K A continuación se resuelven primero el sistema (A 2I)P K y después el sistema (A 2I)Q P y se encuentra que 0 1 0 P 0 Q y 6 5 1 5 . Usando (12) y (15), vemos que la solución general del sistema es X 1 c1 0 e2t 0 c2 1 0 te2t 0 0 1 e2t 0 c3 1 2 t 2t 0 e 2 0 0 1 te2t 0 0 6 5 1 5 e2t . COMENTARIOS Cuando un eigenvalor Ȝ1 tiene multiplicidad m, se pueden determinar m eigenvectores linealmente independientes o el número de eigenvectores correspondientes es menor que m. Por tanto, los dos casos listados en la página 345 no son todas las posibilidades bajo las que puede ocurrir un eigenvalor repetido. Puede suceder, por ejemplo, que una matriz de 5 5 tenga un eigenvalor de multiplicidad cinco y existan tres eigenvectores correspondientes linealmente independientes. Véanse los problemas 33 y 54 de los ejercicios 8.2. 8.2.3 EIGENVALORES COMPLEJOS Si Ȝ1 Į ȕL y Ȝ2 Į ȕL, ȕ 0, i2 1 son eigenvalores complejos de la matriz GHFRH¿FLHQWHVA, entonces se puede esperar de hecho que sus eigenvectores correspondientes también tengan entradas complejas.* Por ejemplo, la ecuación característica del sistema dx dt dy dt es det (A I) 6x y 5x 4y (19) 6 1 5 4 2 10 29 0. De la fórmula cuadrática se encuentra Ȝ1 5 2i, Ȝ2 5 2i. &XDQGRODHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDWLHQHFRH¿FLHQWHVUHDOHVORVHLJHQYDORUHVFRPSOHMRVVLHPSUHDSDUHFHQ en pares conjugados. * 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 349 Ahora para Ȝ1 5 2i se debe resolver (1 k2 0 2i)k2 0. 2i)k1 5k1 (1 Puesto que k2 (1 2i)k1,la elección k1 1 da el siguiente eigenvector y el vector solución correspondiente: 1 K1 1 2i 1 X1 , 1 2i e(5 2i)t e(5 2i)t . De manera similar, para Ȝ2 5 2i encontramos 1 K2 1 2i 1 X2 , 1 2i . 3RGHPRVFRPSUREDUSRUPHGLRGHO:URQVNLDQRTXHHVWRVYHFWRUHVVROXFLyQVRQOLnealmente independientes y por tanto la solución general de (19) es X c1 1 1 2i e(5 c2 2i )t 1 1 2i e(5 2i )t . (20) Observe que las entradas en K2 correspondientes a Ȝ2 son los conjugados de las entradas en K1 correspondientes a Ȝ1. El conjugado de Ȝ1 es, por supuesto, Ȝ2. Esto se K1 . Hemos ilustrado el siguiente resultado general. escribe como 2 1 y K2 TEOREMA 8.2.2 Soluciones correspondientes a un eigenvalor complejo Sea AXQDPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVTXHWLHQHHQWUDGDVUHDOHVGHOVLVWHPDKRPRJpneo (2) y sea K1 un eigenvector correspondiente al eigenvalor complejo Ȝ1 Į Lȕ, Į y ȕreales. Entonces K1e 1t y K1e 1t son soluciones de (2). Es deseable y relativamente fácil reescribir una solución como (20) en términos GHIXQFLRQHVUHDOHV&RQHVWH¿QSULPHURXVDPRVODIyUPXODGH(XOHUSDUDHVFULELU e(5 2i )t e5te2ti e5t(cos 2t i sen 2t) e(5 2i )t e5te 2ti e5t(cos 2t i sen 2t). Entonces, multiplicando los números complejos, agrupando términos y remplazando c1 c2 por C1 y (c1 c2)i por C2, (20) se convierte en X donde X1 y X2 C1X1 1 cos 2t 1 0 cos 2t 2 C2X2 , (21) 0 sen 2t e5t 2 1 sen 2t e5t. 1 Ahora es importante entender que los vectores X1 y X2 en (21) constituyen un conjunto linealmente independiente de soluciones reales del sistema original. Consecuentemente, HVWDPRVMXVWL¿FDGRVSDUDGHVSUHFLDUODUHODFLyQHQWUHC1, C2 y c1, c2, y podemos considerar C1 y C2 como totalmente arbitrarias y reales. En otras palabras, la combinación * Note que la segunda ecuación es simplemente (1 2i) veces la primera. 350 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN y lineal (21) es una solución general alternativa de (19). Además, con la forma real dada en (21) podemos obtener un diagrama de fase del sistema dado en (19). A partir de (21) podemos encontrar que x(t) y y(t) son x FIGURA 8.2.4 del sistema (19). Un diagrama de fase x C1e 5t cos 2t y (C1 C2e 5t sen 2t 2C2 )e 5t cos 2t C2 )e 5t sen 2t. (2C1 $OJUD¿FDUODVWUD\HFWRULDV x(t), y(t)) para diferentes valores de C1 y C2, se obtiene el GLDJUDPDGHIDVHGH TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD<DTXHODSDUWHUHDOGHȜ1 es 5 0, e5t A conforme t A (VSRUHVWRTXHODVSXQWDVGHÀHFKDGHOD¿JXUD 8.2.4 apuntan alejándose del origen; una partícula en cualquier trayectoria se mueve en espiral alejándose del origen conforme t A . El origen es un repulsor. El proceso con el que se obtuvieron las soluciones reales en (21) se puede generalizar. Sea K1XQHLJHQYHFWRUGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA (con entradas reales) que corresponden al eigenvalor complejo Ȝ1 Į Lȕ. Entonces los vectores solución del teorema 8.2.2 se pueden escribir como K1e 1t K1e tei t K1e 1t K1e te i t K1e t(cos t i sen t) K1e t(cos t i sen t). Por el principio de superposición, teorema 8.1.2, los siguientes vectores también son soluciones: X1 1 (K e 2 1 X2 i ( K1e 2 K1e 1t ) 1t 1t K1e 1t ) 1 (K1 2 i ( K1 2 K1)e t cos t i ( K1 2 K1)e t cos t K1)e t sen t 1 (K1 2 K1)e t sen t. Tanto 12 (z z) a como 12 i( z z ) b son números reales para cualquier número complejo z a ib. Por tanto, las entradas de los vectores columna 12(K1 K1) y 12 i( K1 K1)VRQQ~PHURVUHDOHV'H¿QLU B1 1 (K 2 1 K1) y B2 i ( K1 2 K1), (22) conduce al siguiente teorema. TEOREMA 8.2.3 Soluciones reales que corresponden a un eigenvalor complejo Sea Ȝ1 Į LȕXQHLJHQYDORUFRPSOHMRGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA en el sistema homogéneo (2) y sean B1 y B2ORVYHFWRUHVFROXPQDGH¿QLGRVHQ Entonces X1 [B1 cos t B2 sen t]e t (23) X2 [B2 cos t B1 sen t]e t son soluciones linealmente independientes de (2) sobre (, ). Las matrices B1 y B2 en (22) con frecuencia se denotan por B1 Re(K1) y B2 Im(K1) (24) ya que estos vectores son, respectivamente, las partes real e imaginaria del eigenvector K1. Por ejemplo, (21) se deduce de (23) con K1 B1 Re(K1) 1 1 2i 1 1 y 1 1 i 0 , 2 B2 Im(K1) 0 . 2 8.2 EJEMPLO 6 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS O 351 Eigenvalores complejos Resuelva el problema con valores iniciales 2 1 X 8 X, 2 2 . 1 X(0) (25) SOLUCIÓN Primero se obtienen los eigenvalores a partir de det(A 2 I) los eigenvalores son Ȝl 2i y (2 8 1 2 2 2 0. 2i. Para Ȝl el sistema 1 2i ) k1 k1 4 ( 2 8k2 0 2i)k2 0 da k1 (2 2i)k 2. Eligiendo k 2 1, se obtiene K1 2 2i 1 2 1 i 2 . 0 B2 Im(K1) Ahora de (24) formamos B1 2 1 Re(K1 ) y 2 . 0 Puesto que Į 0, se tiene a partir de (23) que la solución general del sistema es X c1 c1 y x (2, _1) FIGURA 8.2.5 Un diagrama de fase del sistema (25) del ejemplo 6. 2 cos 2t 1 2 sen 2t 0 2 cos 2t 2 sen 2t cos 2t c2 c2 2 cos 2t 0 2 cos 2t 2 sen 2t . sen 2t 2 sen 2t 1 (26) $OJXQDV JUi¿FDV GH ODV FXUYDV R WUD\HFWRULDV GH¿QLGDV SRU OD VROXFLyQ GHO VLVWHPDVHLOXVWUDQHQHOGLDJUDPDGHIDVHGHOD¿JXUD$KRUDODFRQGLFLyQLQLFLDO 2 X(0) , de forma equivalente x(0) 2 y y(0) 1 produce el sistema 1 algebraico 2c1 2c2 2, c1 1, cuya solución es c1 1, c2 0. Así la solución 2 cos 2t 2 sen 2t /D WUD\HFWRULD HVSHFt¿FD GH¿QLGD para el problema es X cos 2t paramétricamente por la solución particular x 2 cos 2t 2 sen 2t, y cos 2t es la FXUYDHQURMRGHOD¿JXUD2EVHUYHTXHHVWDFXUYDSDVDSRU 1). COMENTARIOS En esta sección hemos examinado solamente sistemas homogéneos de ecuaciones lineales de primer orden en forma normal X AX. Pero con frecuencia el modelo matemático de un sistema dinámico físico es un sistema homogéneo de segundo orden cuya forma normal es X AX. Por ejemplo, el modelo para los resortes acoplados en (1) de la sección 7.6. m1 x 1 k1 x1 k2(x2 x1) (27) m2 x 2 k2(x2 x1), se puede escribir como MX KX, 352 CAPÍTULO 8 O SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN donde m1 0 M 0 , m2 k1 k2 k2 K k2 , k2 X y x1(t) . x2(t) Puesto que M es no singular, se puede resolver X como X AX, donde A M1K. Por lo que (27) es equivalente a k1 m1 k2 m1 X X. k2 k2 m2 m2 Los métodos de esta sección se pueden usar para resolver (28): x2 x3 x4 $OHQFRQWUDUORVHLJHQYDORUHV\ORVHLJHQYHFWRUHVGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHV A en (29), vemos que la solución de este sistema de primer orden proporciona el estado completo del sistema físico, las posiciones de las masas respecto a las posiciones de equilibrio (x1 y x2) así como las velocidades de las masas (x3 y x4) en el tiempo t. Vea el problema 52 en los ejercicios 8.2. Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-13. 8.2.1 EIGENVALORES REALES DISTINTOS En los problemas l-12 determine la solución general del sistema dado. 1. dx dt dy dt 4x 3. dx dt dy dt 7. dx dt dy dt dz dt 4x 2y 5 x 2 2y x 5 X 12 y 2y y dt dy dt 3y 10 8 5. X 2. dx 2y x z z (28) transformandolo en un sistema de primer orden por medio de sustituciones. Si se hace x 1 x3 y x 2 x4 , entonces x 3 x 1 y x 4 x 2 por tanto (27) es equivalente a un sistema de cuatro ED lineales de primer orden. x3 0 0 1 0 x4 0 0 0 1 k1 k2 k2 k1 k2 k2 x x o X 0 0 X. (29) m1 m1 1 m1 2 m1 m1 m1 k2 k2 k2 k2 0 0 x1 x2 m m m2 m2 2 2 x1 EJERCICIOS 8.2 k2 m1 2x 3 x 4 8. dx dt dy dt dz dt 0 1 0 2y 2 X 1 2x 7y 5x 10y 5y 2z 1 3 2 1 4 1 4 0 12. X 0 1 X 1 1 0 X 1 3 4 1 8 11. X 2y 6 3 1 0 1 1 2 3 1 5 x 2 6. X 10. X 3y x 4. dx dt dy dt 2y 1 1 0 9. X 4 1 0 0 3 X 1 2 2 2 X 6 En los problemas 13 y 14, resuelva el problema con valores iniciales. 13. X 4z 14. X 1 2 0 1 2 1 1 0 1 1 2 1 X, X(0) 4 0 X, X(0) 1 3 5 1 3 0 8.2 15. &RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDGRVJUDQGHVWDQTXHVGHPH]cla conectados A y B inicialmente contienen 100 litros de salmuera. El líquido se bombea dentro y sale de los tanques como VHLQGLFDHQOD¿JXUDODPH]FODERPEHDGDTXHHQWUD\VDOHGHXQ tanque se supone que está bien agitada. a) Construya un modelo matemático en forma de sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden para el Q~PHURGHNLORJUDPRVx1(t), y x2(t) de sal en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t. Escriba el sistema en forma matricial. [Sugerencia: Repase la sección 3.3.] b) Utilice el método de eigenvalores de esta sección para resolver el sistema lineal del inciso a) sujeto a x1 (0) 20, x2 (0) 5. c) 8VHXQDXWLOHUtDGHJUD¿FDFLyQR6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿ cas de x1(t), y x2(t) en el mismo plano de coordenadas. d) Suponga que se debe apagar el sistema de mezclado de ORVWDQTXHVFXDQGRHOQ~PHURGHNLORJUDPRVGHVDOHQHO tanque B es igual al del tanque A. Utilice una aplicación de búsqueda de raíces de un SAC o de una calculadora para aproximar ese tiempo. agua pura 2 L/min mezcla 1 L/min SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS 0 5.1 2 1 0 1 0 1 0 2.8 18. X 2 0 3 3.1 0 1.8 1 0 4 1.5 353 O 0 3 0 X 0 1 19. a) Utilice software para obtener el diagrama de fase del sistema HQHOSUREOHPD6LHVSRVLEOHLQFOX\DSXQWDVGHÀHFKDFRPR HQOD¿JXUD7DPELpQLQFOX\DFXDWURVHPLUUHFWDVHQHO diagrama de fase. b) Obtenga las ecuaciones cartesianas de cada una de las cuatro semirrectas del inciso a). c) Dibuje los eigenvectores en el diagrama de fase del sistema. 20. Encuentre los diagramas de fase para los sistemas de los problemas 2 y 4. Para cada sistema determine las trayectorias de semirrecta e incluya estas rectas en el diagrama de fase. 8.2.2 EIGENVALORES REPETIDOS En los problemas 21-30 encuentre la solución general del sistema. A mezcla 1 L/min B mezcla 2 L/min 21. mezcla 1 L/min FIGURA 8.2.6 Tanques de mezclado del problema 15. 16. En el problema 27 de los ejercicios 4.9 se le pidió resolver el siguiente sistema lineal dx1 1 5 2 x1 dt 50 dx2 1 2 5 x1 2 x2 dt 50 75 dx3 2 1 5 x2 2 x3 dt 75 25 usando técnicas de eliminación. Este sistema es un modelo maWHPiWLFRSDUDHOQ~PHURGHNLORJUDPRVGHVDOx1(t), x2(t) y x3(t) en los tanques de mezclado conectados A, B, y C como se muesWUDHQOD¿JXUDHQODSiJLQD a) Utilice el método de eigenvalores de esta sección para resolver el sistema sujeto a x1(0) 15, x2(0) 10, x3(0) 5. b) ¿Cuál es el valor de lim x1(t), lim x2(t), y lim x3(t)?? tS` tS` tS` Interprete este resultado. dx dt dy dt 3x y 9x 3y 1 3 23. X 25. dx dt dy dt dz dt 22. 3 X 5 y 3x z x y z x y z 27. X 5 1 0 29. X 1 2 0 4 0 2 0 2 1 dx dt dy dt 24. X 26. dx dt dy dt dz dt 6x 5y 5x 4y 12 4 9 X 0 3x 2y 2x 2z 4x 2y 0 3 1 0 2 X 5 28. X 1 0 0 0 1 X 0 30. X 4 0 0 1 4 0 4z 3z 0 1 X 1 0 1 X 4 En los problemas 31 y 32, resuelva el problema de valores iniciales Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 17 y 18, use un SAC o software de álgebra lineal como ayuda para determinar la solución general del sistema dado. 17. X 0.9 2.1 0.7 6.5 1.1 1.7 3.2 4.2 X 3.4 2 1 31. X 32. X 0 0 1 4 X, X(0) 6 0 1 0 1 0 X, X(0) 0 1 6 1 2 5 354 CAPÍTULO 8 O SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 33. Demuestre que la matriz de 5 5 A 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 tiene un eigenvalor Ȝ1 de multiplicidad 5. Demuestre que se pueden determinar tres eigenvectores linealmente independientes correspondientes a Ȝ1. 49. (OVLVWHPDGHORVWDQTXHVGHPH]FODGRTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 8.2.7 es un sistema cerrado. Los tanques A, B, y C inicialmente FRQWLHQHQHOQ~PHURGHOLWURVGHVDOPXHUDLQGLFDGRVHQOD¿JXUD a) Construya un modelo matemático en forma de sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden para HOQ~PHURGHNLORJUDPRVGHVDOx1(t), x2(t) y x3(t) en los tanques A, B, y C al tiempo t respectivamente. Escriba el sistema en forma matricial. b) Utilice el método de eigenvalores de esta sección para resolver el sistema lineal en el inciso a) sujeto a x1(0) 30, x2(0) 20, x3(0) 5. mezcla 5 L/min Tarea para el laboratorio de computación 34. Determine los diagramas de fase para los sistemas de los problemas 22 y 23. Para cada sistema determine cualquier trayectoria de semirrecta e incluya estas líneas en el diagrama de fase. 8.2.3 A 100 L B 100 L EIGENVALORES COMPLEJOS mezcla 5 L/min En los problemas 35 a 46, determine la solución general del sistema dado. 35. 37. dx dt dy dt dx dt dy dt 6x y 5x 2y 5x y 2x 4 5 39. X 41. dx dt dy dt dz dt C 50 L 36. 38. 3y 5 X 4 40. z 42. z y 43. X 45. X dx dt dy dt dx dt dy dt X dx dt dy dt dz dt 1 1 1 1 2 1 0 X 0 1 2 5 0 5 1 6 4 X 46. X 0 2 44. X x FIGURA 8.2.7 Tanques de mezclado del problema 49. y 50. Para el sistema lineal en el problema 49: a) Demuestre que x1(t) x2(t) x3(t) 55. Interprete este resultado. b) ¿Cuál es el valor de lim x1(t), lim x2(t), y lim x3(t) . Interprete tS` tS` tS` este resultado. y 2x 4x Tarea para el laboratorio de computación 5y 2x 51. Determine los diagramas de fase para los sistemas de los problemas 38, 39 y 40. 6y 1 1 52. Resuelva (2) de la sección 7.6 usando el primer método descrito en los Comentarios (página 351), es decir, exprese (2) de la sección 7.6 como un sistema de cuatro ecuaciones lineales de primer orden. Use un SAC o software de álgebra lineal como ayuda para determinar los eigenvalores y los eigenvectores de una matriz de 4 4. Luego aplique las condiciones iniciales a su solución general para obtener (4) de la sección 7.6. 8 X 3 2x y 3x 6z 4x 2z Problemas para analizar 53. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas. 3z a) X 4 0 4 2 1 1 0 6 0 4 2 0 1 0 X 4 4 0 X 2 En los problemas 47 y 48, resuelva el problema con valores iniciales. 47.X 1 1 1 12 2 1 14 3 X, 2 48. X 6 5 1 X, 4 X(0) X(0) 2 8 4 6 7 mezcla 5 L/min 1 1 1 X 1 b) X 1 1 1 X 1 Encuentre un diagrama de fase de cada sistema. ¿Cuál es la importancia geométrica de la recta y x en cada diagrama? 54. Considere la matriz de 5 5 dada en el problema 33. Resuelva el sistema X AX sin la ayuda de métodos matriciales, pero escriba la solución general usando notación matricial. Use la solución general como base para un análisis de cómo se puede resolver el sistema usando métodos matriciales de esta sección. Lleve a cabo sus ideas. 55. 2EWHQJDXQDHFXDFLyQFDUWHVLDQDGHODFXUYDGH¿QLGDSDUDPptricamente por la solución del sistema lineal en el ejemplo 6. ,GHQWL¿TXH OD FXUYD TXH SDVD SRU HQ OD ¿JXUD [Sugerencia: Calcule x2, y2 y xy.] 56. Examine sus diagramas de fase del problema 51. ¿En qué condiciones el diagrama de fase de un sistema lineal homogéneo de 2 2 con eigenvalores complejos está compuesto de una familia de curvas cerradas? ¿De una familia de espirales? ¿En qué condiciones el origen (0, 0) es un repulsor? ¿Un atractor? 8.3 8.3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS O 355 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS INTRODUCCIÓN En la sección 8.1 vimos que la solución general de un sistema lineal no homogéneo X AX F(t) sobre un intervalo I es X Xc Xp, donde Xc c1X1 c2X2 cnXn es la función complementaria o solución general del sistema lineal homogéneo asociado X AX y Xp es cualquier solución particular del sistema no homogéneo. En la sección 8.2 vimos cómo obtener XcFXDQGRODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA era una matriz de constantes n n. En esta sección consideraremos dos métodos para obtener Xp. Los métodos de FRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV y variación de parámetros empleados en el capítulo 4 para determinar soluciones particulares de EDO lineales no homogéneas, se pueden adaptar a la solución de sistemas lineales no homogéneos X AX F(t). De los dos métodos, variación GHSDUiPHWURVHVODWpFQLFDPiVSRGHURVD6LQHPEDUJRKD\FDVRVHQTXHHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHV indeterminados provee un medio rápido para encontrar una solución particular. 8.3.1 COEFICIENTES INDETERMINADOS LAS SUPOSICIONES &RPRHQODVHFFLyQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLnados consiste en hacer una suposición bien informada acerca de la forma de un vector solución particular Xp; la suposición es originada por los tipos de funciones que constituyen los elementos de la matriz columna F(t). No es de sorprender que la versión matriFLDOGHORVFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHDDSOLFDEOHDX AX F(t) sólo cuando los elementos de A son constantes y los elementos de F(t) son constantes, polinomios, funFLRQHVH[SRQHQFLDOHVVHQRV\FRVHQRVRVXPDV\SURGXFWRV¿QLWRVGHHVWDVIXQFLRQHV EJEMPLO 1 &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 1 1 Resuelva el sistema X SOLUCIÓN 2 X 1 8 sobre (, ). 3 Primero resolvemos el sistema homogéneo asociado 1 1 X 2 X. 1 /DHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA. det (A 1 I) 2 1 produce los eigenvalores complejos Ȝ1 i y de la sección 8.2, se encuentra que Xc c1 cos t sent cos t 2 1 2 c2 1 cos t 1 0, i . Con los procedimientos sent . sent Ahora, puesto que F(t) es un vector constante, se supone un vector solución particular a1 constante Xp . Sustituyendo esta última suposición en el sistema original e b1 igualando las entradas se tiene que 0 a1 2b1 8 0 a1 b1 3. 356 O CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Al resolver este sistema algebraico se obtiene a1 14 y b1 11 y así, una solución 14 particular Xp . La solución general del sistema original de ED sobre el intervalo 11 (, ) es entonces X Xc Xp o cos t sent cos t c1 X EJEMPLO 2 c2 cos t sent sent 14 . 11 &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 1 X 3 6 4 Resuelva el sistema X 6t 10t sobre (, ). 4 SOLUCIÓN Se determina que los eigenvalores y los eigenvectores del sistema 6 1 X son Ȝ1 2, Ȝ2 7, K1 4 3 Por tanto la función complementaria es 1 2t 1 7t Xc c1 e c2 e . 4 1 1 , y K2 4 homogéneo asociado X 1 . 1 6 0 t , se 10 4 tratará de encontrar una solución particular del sistema que tenga la misma forma: Ahora bien, debido a que F(t) se puede escribir como F(t) a1 . b1 a2 t b2 Xp Sustituyendo esta última suposición en el sistema dado se obtiene a2 b2 o 0 0 6 4 a2 t b2 1 3 a1 b1 6 t 10 (6a2 b2 6)t 6a1 b1 (4a2 3b2 10)t 4a1 3b1 0 4 a2 b2 4 . De la última identidad se obtienen cuatro ecuaciones algebraicas con cuatro incógnitas 6a2 4a2 b2 3b2 6 10 0 0 y 6a1 4a1 b1 3b1 a2 b2 0 0. 4 Resolviendo de forma simultánea las primeras dos ecuaciones se obtiene a2 2 y b2 6. Después, se sustituyen estos valores en las dos últimas ecuaciones y se despeja 4 10 para a1 y b1. Los resultados son a1 7 , b1 7 . Por tanto, se tiene que un vector solución particular es Xp 2 t 6 4 7 10 7 . la solución general del sistema sobre (, ) es X Xc Xp o X c1 1 2t e 4 1 7t c2 e 1 2 t 6 4 7 10 7 . 8.3 EJEMPLO 3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS O 357 Forma de X p Determine la forma de un vector solución particular Xp para el sistema dx dt dy dt 5x 3y x y 2e e t 1 t 5t 7. SOLUCIÓN Ya que F(t) se puede escribir en términos matriciales como F(t) 2 e 1 0 t 5 t 1 7 una suposición natural para una solución particular sería Xp a3 e b3 t a2 t b2

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