triangulos oblicuangulos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
CEPRE - UNI
Los triángulos oblicuángulos son aquellos que no son rectángulos, y para resolverlos se
tiene que conocer tres de sus elementos, necesariamente uno de ellos no angular. Para la
resolución de un triángulo oblicuángulo utilizaremos los siguientes teoremas.
01. Teorema de senos
En todo triángulo las medidas de sus
lados son proporcionales a los senos de sus
ángulos opuestos. Es decir para cualquier
triángulo ABC se verifica.
a
b
c


sen(A) sen(B) sen(C)
Si el triángulo ABC está inscrito en una
circunferencia de radio R se verifica lo
siguiente
02. Teorema de cosenos
El cuadrado de la longitud de cualquier
lado de un triángulo es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos
lados, menos el doble producto de las
longitudes de los mismos lados por el coseno
del ángulo entre ellos. Es decir, para
cualquier triángulo ABC.
a2  b2  c 2  2bc.cos(A)
b2  c 2  a2  2ca.cos(B)
c 2  a2  b2  2ab.cos(C)
a  2R.sen(A)
b  2R.sen(B)
c  2R.sen(C)
Al sumar los tres desarrollos encontramos
Semiperímetro (p) del triángulo ABC.
A
B
C
p  4Rcos( )cos( )cos( )
2
2
2
Una aplicación importante de este teorema
en el cálculo de la medida de los ángulos de
un triángulo es.
sen(1 ).sen(3 ).sen(5 )
1
sen(2 ).sen( 4 ).sen(6 )
2bc.cos(A)  2ca.cos(B)  2ab.cos(C)
1
a2  b2  c 2
También se determina que
b2  c 2  a2
cos(A) 
2bc
Del cual obtenemos:
 Si 0  A  90  b2  c 2  a2
 Si A  90  b2  c 2  a2
 Si 90  A  180  b2  c 2  a2
ADMISIÓN 2019 - I
TRIGONOMETRÍA - 1 -
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
03. Teorema de tangentes
Para todo triángulo ABC se establece
A B
)
ab
2

a  b tan( A  B )
2
CEPRE - UNI
05. Razones trigonométricas de los semi
ángulos.
Se conoce que
tan(
Como
A B C
A B
C
   90  tan(
)  cot( )
2 2 2
2
2
 tan(
A B
ab
C
)
cot( )
2
ab
2
Así entonces de
BC
tan(
)
bc
2

b  c tan( B  C )
2
CA
tan(
)
c a
2

c  a tan( C  A )
2
Obtenemos que
BC bc
A
tan(
)
cot( )
2
bc
2
tan(
CA
c a
B
)
cot( )
2
ca
2
04. Teorema de proyecciones
a  c.cos(B)  b.cos(C)

1  cos  A 
A
sen( ) 
....... 1

2
2

b2  c 2  a2

.......  2 
 cos(A) 
2bc
Reemplazamos (2) en (1)
A
sen( ) 
2
1
b2  c 2  a2
2
a2   b  c 
2bc

2
4bc
A
sen( ) 
2
 a  b  c  a  b  c 
4bc
Considerando que: 2p  a  b  c
Se obtiene:
 2p  2c  2p  2b 
A
sen( ) 
2
4bc
A
 sen( ) 
2
p  b p  c 
bc
Análogamente se determina que
p p  a 
A
cos( ) 
2
bc
A
tan( ) 
2
p  b p  c 
p p  a 
Si representamos lo obtenido en un triángulo
rectángulo se tiene
De forma similar se obtiene
b  a.cos(C)  c.cos(A)
c  a.cos(B)  b.cos(A)
ADMISIÓN 2019 - I
TRIGONOMETRÍA - 2 -
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Elementos auxiliares en el triángulo
CEPRE - UNI
También
4  mb   a2  c 2  2ac.cosB
2
06. Ceviana
4  mc   b2  a2  2ba.cosC
2
bcsen(A)
AD 
c.sen()  b.sen()
Al sumar las tres expresiones y reducir se
obtiene.
(ma )2  (mb )2  (mc )2
a b c
2
2
2

3
4
Un resultado interesante también es
07. Bisectriz interior (Va )
(ma )4  (mb )4  (mc )4
a b c
4
Va 
2bc
A
cos( )
bc
2
4
4

9
16
10. Altura (h)
ha  2Rsen(B)sen(C)
08. Bisectriz exterior (V 'a )
V 'a 
2bc
A
sen( )
c b
2
Análogamente
hb  2Rsen(A)sen(C) hc  2Rsen(A)sen(B)
11. Inradio (r)
Nota: Al dividir Va y V 'a se determina que
tan(
V
C B
) a
2
V 'a
09. Mediana (ma )
4 ma   b2  c 2  2bc.cos A
2
A
B
C
r  p  a  tan( )  p  b  tan( )  p  c  tan( )
2
2
2
También
ADMISIÓN 2019 - I
A
B
C
r  4Rsen( ).sen( ).sen( )
2
2
2
TRIGONOMETRÍA - 3 -
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
12. Exradio (ra )
CEPRE - UNI
A
B
C
S  p2 tan( )tan( )tan( )
2
2
2
A
ra  p.tan( )
2
A
S  p p  a  tan( )  ra p  a   rrarbrc
2
o
S
a2  b2  c 2
4(cot(A)  cot(B)  cot(C))
Cuadriláteros
También
A
B
C
ra  4R.sen( ).cos( ).cos( )
2
2
2
14. Área(S) de una región cuadrangular
Algunas relaciones entre los radios de la
circunferencia inscrita, circunscrita y ex
inscritas al triángulo ABC.
ra  rb  rc  r  4R
ra  r rb  r rc  r   4Rr 2
13. Área(S) de la región triangular ABC
 En función de sus diagonales y el ángulo
formado por ambos.
S
AC  BD
sen()
2
 El área de la región no convexa MNPQ
se determina de la misma forma
S
 S
MQ  NP
sen()
2
a.ha
ab
abc
 haRsen(A) 
sen(C) 
2
2
4R
S  2R2sen(A).sen(B).sen(C) 
S  p p  a p  b p  c 
A
B
C
S  pr  r 2 cot( )cot( )cot( )
2
2
2
ADMISIÓN 2019 - I
Rhahbhc
2
 En función de sus lados y el ángulo
formado por las diagonales ( ) .

S  b2  d2  a2  c 2
 tan(4 )
TRIGONOMETRÍA - 4 -
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Nota: Si ABCD es un paralelogramo
También
CEPRE - UNI
S
ad
bc
senA 
senC
2
2
Pero A  C  180  sen(C)  sen(A)

S  a2  b2 
tan()
2
 En función de sus lados y la suma de los
ángulos opuestos del cuadrilátero.
S
S
p  a p  b p  c p  d  abcd.cos2 ()
Considerando que

2
Por el teorema de Tolomeo se conoce que
AC  BD  ac  bd ......  * 
AC  BD
sen()
2
Al reemplazar (*) obtenemos
Entonces como S 
S
abc d
Siendo p 
se tiene que
2
 ad  bc  sen(A)
 ac  bd sen()
2
Cuadrilátero circunscriptible
En este cuadrilátero se cumple que
a  c  b  d (teorema de Pithot), entonces el
semiperímetro (p) se puede expresar como:
p  a  c  b  d luego
S  abcd.sen
A C
BD
o 
2
2
También
S  pr
Casos particulares
Cuadrilátero
inscriptible
(cuadrilátero
cíclico)
Dado que la suma de sus ángulos opuestos
es 180°, entonces   90 por lo tanto el área Recordemos que  es la semisuma de dos
respectiva será.
de sus ángulos opuestos.
Cuadrilátero bicentrico
circunscriptible)
(inscriptible
S  abcd
S
p  a p  b p  c p  d
ADMISIÓN 2019 - I
TRIGONOMETRÍA - 5 -
y
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
15. Relaciones entre elementos de un
cuadrilátero.
Teorema del coseno en un cuadrilátero
inscriptible.
CEPRE - UNI
A
sen( ) 
2
Si p 
b  c  a  db  c  a  d
4(ad  bc)
abc d
reemplazamos
2
A
sen( ) 
2
 2p  2d 2p  2a 
4(ad  bc)
A
 sen( ) 
2
p  a p  d
ad  bc
Análogamente se determina que
cos(A) 
a  d b c
2ad  2bc
2
2
2
2
A
cos( ) 
2
ad  bc
A
(p  a)(p  d)
tan( ) 
2
(p  b)(p  c)
También se verifica que
 ACBD  ac  bd
p  b p  c 
(Teorema de Tolomeo)
De forma práctica se tendrá
AC ad  bc

(Teorema de Viette)
BD cd  ab
R.T. de los semiángulos
cuadrilátero inscriptible.
de
un
Se conoce que

A
1  cos(A)
.................. 1
 sen( ) 

2
2

2
2
2
2
 cos(A)  a  d  b  c ............... 2
 

2ad  2bc
A
sen( ) 
2
A
sen( ) 
2
ADMISIÓN 2019 - I
 Triángulo Ortico o pedal (A’B’C’)
Siendo R el circunradio del triángulo ABC
se verifica que
Reemplazamos (2) en (1)
1
16. Otros resultados importantes
a2  d2  b2  c 2
2ad  2bc
2
 b  c    a  d
4  ad  bc 
2
2
m B' A 'C'  180  2A

m A 'B'C'  180  2B
m A 'C'B'  180  2C

B'C'  Rsen(2A)

C' A '  Rsen(2B)
 A 'B'  Rsen(2C)

TRIGONOMETRÍA - 6 -
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
CEPRE - UNI
17. Aplicaciones a la resolución de
triángulos.
H: Es el Ortocentro del triángulo ABC y el
Incentro del triángulo A’B’C’.
Sean S’. p’ y R’ el área, semiperimetro y
circunradio del triángulo pedal, entonces:
S
A 'B ' C'

R2
sen(2A.)sen(2B)sen(2C)
2
p'  2Rsen(A).sen(B).sen(C) y R ' 
17.1 Ángulos verticales
Se llama así a aquellos ángulos que
están contenidos en un plano vertical. Los
ángulos verticales son determinados en el
instante en el cual se realiza una
observación, estos ángulos se determinan en
el punto desde el cual se está observando
entre dos líneas imaginarias trazadas por
dicho punto y que permitirán la observación;
según su ubicación estos ángulos serán
ángulos de elevación, ángulos de depresión
o ángulos de observación.
Ángulo de elevación:
Para determinar un ángulo de
elevación debemos de trazar una línea
horizontal que pasa por el ojo del observador
y la línea visual está por encima de la
horizontal.
R
2
 Punto de Brocard (P)
Aquí se verifica que
Ángulo de depresión:
Para determinar el ángulo de
depresión debemos de trazar una línea
horizontal que pasa por el ojo del observador
y la línea visual que está por debajo de la
horizontal.
csc 2 ( )  csc 2  A   csc 2 B   csc 2 (C)

cot( )  cot  A   cot B   cot  C 


a2  b2  c 2
cot( ) 
4S

0    30
Nota: Todo triángulo no equilátero tiene dos
puntos de Brocard
ADMISIÓN 2019 - I
TRIGONOMETRÍA - 7 -
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Ángulo de observación:
Se denomina ángulo de observación o
de visibilidad de un objeto, al ángulo formado
por las visuales que pasan por el extremo del
objeto.
CEPRE - UNI
Rumbo inverso: Dado un rumbo, el rumbo
inverso tiene la misma dirección pero de
sentido opuesto al rumbo.
Rumbo Rumbo inverso
17.2 Ángulos horizontales
Los
ángulos
horizontales
están
contenidos en el plano horizontal. Sirven para
mediciones topográficas así como para fines
de orientación marina.
Los ángulos horizontales generalmente se
miden respecto a la línea Norte - Sur o
meridiano terrestre.
NE
SO
S  O
NE
Rumbos notables (Rosa Náutica)
En la figura se observa 32 puntos
igualmente
distanciados
sobre
una
circunferencia, de tal manera que el arco
determinado por dos puntos consecutivos
subtiende un ángulo en el centro igual a
11°15’.
Rumbo.
El rumbo de una recta está dada por el
ángulo agudo que forman la recta y la
dirección norte o sur.
 El rumbo de A respecto de P es: N40°O
 El rumbo de B respecto de P es: S60°E
 El rumbo de C respecto de P es :N70°E
La lectura y escritura del rumbo
siempre está referido al Norte o al Sur e
indicando hacia dónde se ha medido, hacia el
Este (E) o hacia el Oeste (O).
ADMISIÓN 2019 - I
Lectura de algunos rumbos notables
Nombre
Lectura
Rumbo
NNE
NE
Norte noreste
Noreste
N22°30'E
N45°E
N1/4NE Norte 1/4 al Noreste N11°15'E
NE1/ 4N Noreste 1/ 4 al Norte N3345 'E
TRIGONOMETRÍA - 8 -