Matrices determinantes SELECTIVIDAD

Álgebra SELECTIVIDAD (Matrices y Determinantes)
Matemáticas II
1.
2.
3.
4.
5.
1
Cándida Hernández Barranco
Álgebra SELECTIVIDAD (Matrices y Determinantes)
Matemáticas II
6.
7.
8.
9.
10.
2
Cándida Hernández Barranco
Álgebra SELECTIVIDAD (Matrices y Determinantes)
Matemáticas II
11.
12.
13.
14.
15.
3
Cándida Hernández Barranco
Álgebra SELECTIVIDAD (Matrices y Determinantes)
Matemáticas II
16.
17.
18.
a b 
 tales que a + d = 1 , tienen determinante 1 y
1.- Calcula todas las matrices X = 
c d 
 0 − 1
 .
cumplen AX = XA , siendo A = 
1 0 
MATEMÁTICAS II. 2019. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
m 1
 1
 1 − 1




2.- Dadas las matrices A =  m − 1 m 0  y B =  2 0 
0 1 
 1
1 1 



a. Calcula los valores de m para los cuales A tiene inversa.
b. Para m=2, encuentra la matriz X que cumple AX − BB t = I , siendo B t la matriz
traspuesta de B e I la matriz identidad de orden 3.
MATEMÁTICAS II. 2019. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
a b

3.- Considera la matriz A =  d e
g h

4
c

f  de la que se sabe que tiene determinante 5.
i 
Cándida Hernández Barranco
Álgebra SELECTIVIDAD (Matrices y Determinantes)
Matemáticas II
a. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los determinantes de las
 2a d + 3a g 


matrices siguientes: 3 A y  2b e + 3b h  .
 2c f + 3c i 


b. Si B es otra matriz cuadrada de orden 3 y tiene determinante 4, calcula,
indicando también las propiedades que utilices, el determinante de la matriz
BA−1 .
MATEMÁTICAS II. 2019. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A
 5 4 3


2
4.- Dada la matriz A =  4 2 2  , halla la matriz X que cumple AX = (A−1 At + I ) ,
3 2 1


t
siendo A la matriz traspuesta de A e I la matriz identidad de orden 3.
MATEMÁTICAS II. 2019. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
5
Cándida Hernández Barranco
Álgebra SELECTIVIDAD (Matrices y Determinantes)
− 2

10.- Considera las matrices A =  1
 4

0
1
2
0 
2


0  y B = 0
0
− 2 

Matemáticas II
1
−1
0
2

5
2 
a. Calcula la matriz inversa de ( A + B ) .
t
t
−1
b. Calcula el determinante de 2 A ( A + B ) , siendo ( A + B ) la matriz traspuesta de
(A + B) .
MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
1

11.- Considera las matrices A =  2
0

2

3
1  , B = 
2
1 
 1

1
 y C =  − 1
− 1 1
 1

1
1
2
−1
0

1
1 
Determina, si existe, la matriz X que verifica ABX-2C=CX.
MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
2
12.- Considera la matriz A =  1

− 1

0 
a. Comprueba que A  A − 2 A = I ( At denota la traspuesta de A e I la matriz
identidad).
b. Calcula A −1 .
c. Determina, si existe, la matriz X que verifica XA + I = 3 A .
MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
t
13.- Sea A una matriz 3x3 tal que el det(2A)=8.
a. ¿Cuánto vale det(A)?
b. Siendo B la matriz que se obtiene de A multiplicando por 3 la primera fila y por
− 1 la tercera, ¿cuánto vale el det(B)?
c. Determina los valores de x para los que la siguiente matriz A verifica que
det(2A)=8,
1
 x

A =  x +1
2
 x
−
x
+2

1

2
1 
MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
1

A
=
0
14.- Considera las matrices
0

0
m −1
−1
m −1
−1


2 − m y B =  1
 0
2 − m 

0
−1
1
1 

0 
− 1
a. Determina los valores de m para los que la matriz A no tiene inversa.
b. Para m=1, calcula, si existe, la matriz X que verifica la igualdad A −1 XA + I = B ,
siendo I la matriz identidad.
MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
 k

15.- Considera A =  k + 1
 0

0
k
k +1
k 

0 
k + 1
a. Discute el rango de A según los valores de k.
6
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Álgebra SELECTIVIDAD (Matrices y Determinantes)
Matemáticas II
b. Para k=1, calcula el determinante de 2(At  A−1 ) , siendo At la traspuesta de
A.
MATEMÁTICAS II. 2017. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
2017
 −1

16.- Considera las matrices A =  0
− 2

1
1
1
1
− 3


0 y B =  − 8
 8
1 

3
7
−6
2 

4 
− 3 
a. Halla la matriz X que verifica A·X+B=2A.
b. Calcula B 2 y B 2016 .
MATEMÁTICAS II. 2016. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
1
0
1
2
17.- Considera las matrices A = 1 1  y B =  0 1  . Determina, si existe, la matriz




2
2
A

X
+
B
=
B

X
+
A
X que verifica
.
MATEMÁTICAS II. 2016. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
 k
18.- Considera la matriz A = 1 − k

1+ k 

0  . Determina, si existen, los valores de k en
cada uno de los casos siguientes: a) Rango(A)=1. b) A2 =A. c) A tiene inversa. d)
det(A)= -2.
MATEMÁTICAS II. 2016. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
1

A
=

19.- Considera la matriz
0

0
1
0
 + 1

−1 
1 
a. Determina, si existen, los valores de  para los que A−1 = 2 I − A (siendo I la
matriz identidad de orden 3).
b. Determina, si existen, los valores de  para los que la matriz A + At no tiene
inversa ( At es la matriz traspuesta de A).
MATEMÁTICAS II. 2016 RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
1
 1 
 1
 



20.- Considera las matrices A =  − 1 , B =  1  y C =  − 1
1
 0 
 0
 



1
−1
0
1 

− 1
0 
t
a. Calcula el rango de A  B + I según los valores de  ( B t es la matriz
traspuesta de B, I es la matriz identidad de orden 3).
b. Calcula la matriz X que verifica: C·X-X=2I.
MATEMÁTICAS II. 2016. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
−1
21.- Considera las matrices A =  2

 1

2
 y B =  − 2
m
 3

2
m
2
0

0
m 
a. Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo
rango.
b. Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo
determinante.
MATEMÁTICAS II. 2015. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
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Cándida Hernández Barranco
Álgebra SELECTIVIDAD (Matrices y Determinantes)
Matemáticas II
−1
−1
22.- Halla la matriz X que verifica la igualdad A  X  A + B = C  A sabiendo que
 0

A = −1
 1

−1
−3
4
0

0 ,
1 
1

C = 0
1

−1
0
0
2 

− 1 ,
− 1
 1

B A= 1
−1

1
1
−5
0 

− 1
− 3 
MATEMÁTICAS II. 2015. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
1
 0

0
23.- Considera la matriz A =  m − 1
 0
1− m

m

2
0 
a. Halla el valor, o los valores, de m para los que la matriz A tiene rango 2.
b. Para m=1, determina A 2015 .
MATEMÁTICAS II. 2015. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
1
2
4
− 1
24.- Considera las matrices: A = 1 1  y B =  4 1 




a. Halla el determinante de una matriz X que verifique la igualdad X 2  A  X = B .
b. Determina, si existe, la matriz Y que verifica la igualdad A2  Y  B −1 = A .
MATEMÁTICAS II. 2015. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
1

25.- Considera las matrices: A = 1
1

1
2
4
1
−1


3 y B =  1
 1
9 

1
−1
1
1 

1 
− 1
a. Halla la matriz X que verifica A·X-B=I (I denota la matriz identidad de orden
3).
2015
b. Calcula el determinante de la matriz (A 2 ·B −1 )
MATEMÁTICAS II. 2015. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B
−1
26.- Considera las matrices A =  2

 1

2 
 ; B =  − 2
− 1
 3

0
1
2
0

 1
0  y C = 
−1
1 
0
5
0

0 
a. Determina la matriz X para la que At·X·B-1=C, (At la matriz traspuesta de A).
b. Calcula el determinante de B-1(Ct·C)·B, (Ct la matriz traspuesta de C).
MATEMÁTICAS II. 2015. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
 a11 a12 a13 


27.- Se sabe que el determinante de la matriz A =  a21 a22 a23  es -3, calcula,
a

 31 a32 a33 
indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:
−1
a. det( −2 A) y det( A ) .
b.
a21
a22
a23
a11
a21 + 2a31
5a31
7 a11
7 a12
7 a13
y a12
a22 + 2a32
5a32
2a31
2a32
2a33
a13
a32 + 2a33
5a33
MATEMÁTICAS II. 2014. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
8
Cándida Hernández Barranco
Álgebra SELECTIVIDAD (Matrices y Determinantes)
28.- Se sabe que el determinante de la matriz
Matemáticas II
a
b
c
A= b
d
e
c
e
f
es 3, calcula los siguientes
determinantes, indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:
a. det(A3), det(A-1) y det(A+At)
b.
c.
a
b
c
c
e
f
2b
2d
2e
4a − c
a
b
b
d
4b − e
c
e
4c − f
MATEMÁTICAS II. 2014. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
x

29.- Sabiendo que el determinante de la matriz A =  1
1

z

1  es 2, calcula los
3 
y
0
2
siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:
a. det(3A)
b. det(A-1)
c.
d.
3
0
3x
3y
z
3
4
3
1
1
2
3
x+2
y+4
z+6
−1
0
−1
MATEMÁTICAS II. 2014. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
1

30.- Sea M =  0
1

0
m +1
1
−1 

0 
m − 1
a. Determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente
independientes.
b. Estudia el rango de M según los valores de m.
c. Para m=1, calcula la inversa de M.
MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
1
1 
31.- Sea A = 1 − 1


a. Comprueba que A2=2I y calcula A-1.
b. Calcula A2013 y su inversa.
MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
a

32.- Sabiendo que el determinante de una matriz A =  d
p

b
e
q
c

f  es 4, calcula los
r 
siguientes determinantes, indicando en cada caso las propiedades que utilizas:
a. det(-2A) y det(A-1)
9
Cándida Hernández Barranco
Álgebra SELECTIVIDAD (Matrices y Determinantes)
b.
a
−b
c
− 3d
− 3e
−3f
2d
− 2e
2f
a
b
c
p
−q
r
− p
−q
−r
y
Matemáticas II
MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
10
Cándida Hernández Barranco