MB0004_M4AA1L2_Herramienta La derivada como herramienta matemática por Oliverio Ramírez En este apartado se muestran dos aplicaciones de la derivada como herramienta de apoyo para el cálculo de: 1) Límites indeterminados. 2) Derivadas de funciones implícitas. Estas aplicaciones de la derivada ponen de manifiesto su aplicabilidad en múltiples escenarios, además que se introduce el tema de la derivación de funciones multivariables, es decir, funciones con más de una variable independiente. Límites indeterminados En ocasiones al evaluar el límite en un valor determinado, el resultado adopta la forma ! ! o bien , que no representan ningún valor específico en el conjunto de los números reales, por lo que se les conoce con el nombre de formas indeterminadas (Fuenlabrada, 2001). Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 : Calcula x2 − 4 lim x→2 x − 2 Al utilizar los teoremas de límites obtenemos: 2 !−4 4−4 0 lim = = !→! 2 − 2 2−2 0 En esta situación se presenta un límite indeterminado y podríamos pensar que el límite no existe; sin embargo, antes de aceptar esa idea es conveniente utilizar algún tipo de artificio algebraico para ver si es posible evitar la indeterminación, y llegar a una conclusión diferente. ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 1 MB0004_M4AA1L2_Herramienta 𝑥! − 4 =𝑥+2 !→! 𝑥 − 2 lim lim !→! 𝑥 − 2 (𝑥 + 2 =𝑥+2 (𝑥 − 2) lim 𝑥 + 2 = 2 + 2 = 4 !→! Algo de historia De acuerdo con Pérez (s.f.), la conocida regla de L’Hopital, herramienta eficiente para resolver límites indeterminados no fue descubierta por el adinerado marqués L’Hopital sino por Jacob Bernoulli. Cuenta que Bernoulli recibía un sueldo anual de 300 libras por clases de cálculo infinitesimal y por la exclusividad de algunos de sus teoremas. Esta regla fue publicada en 1692. Con este procedimiento, se observa que utilizando la factorización por binomios conjugados es posible simplificar la función y concluir que el límite de la función cuando x tiende a 2, es igual a 4. Sin embargo, a pesar de que la factorización es una herramienta que puede ayudarnos a analizar problemas de indeterminación, no todas las funciones pueden factorizarse, por ejemplo, ¿cómo !"# ! factorizarías una función del tipo ? ! Para resolver este tipo de problemas existe una herramienta de análisis conocida como Regla de L’Hôpital, que de acuerdo con Zill (1987) se define de la siguiente forma: !(!) Si el lim!→! !(!) !´(!) es una forma indeterminada y lim!→! !´(!) = 𝐿 !´(!) o bien lim!→! !´(!) = ±∞ Entonces, 𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑥) = lim !→! 𝑔(𝑥) !→! 𝑔´(𝑥) lim ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 2 MB0004_M4AA1L2_Herramienta En lenguaje cotidiano lo que esta regla quiere decir es que al evaluar un límite indeterminado es posible obtener un valor determinado, si se calcula el cociente de la derivada del numerador y la derivada del denominador. Veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 2: Calcula lim!→! ! ! !! !!! utilizando la regla de L’Hôpital La regla de L’Hôpital nos dice que para calcular un límite indeterminado primero debemos derivar por separado tanto el numerador, como el denominador de la función, como se muestra a continuación: • Derivada del numerador =2 • Derivada del denominador =1 Posteriormente aplicamos la regla de L’Hôpital Observa que es el mismo resultado que obtuvimos mediante la factorización. Ejemplo 3: Calcula lim!→! lim!→! !!! !!! = !!! !!! !!! !!! = !!! !!! = ! ! Para analizar esta indeterminación utilizamos la regla de L’Hôpital ! ! ! ! ! ! • La derivada del numerador 𝑥 ! − 3 es igual a 𝑥 !!! = 𝑥 !! = • La derivada del denominador 𝑥 − 9 ! ! ! ! ! es igual a 1. ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 3 MB0004_M4AA1L2_Herramienta Aplicando la regla de L’Hôpital se obtiene: Ejemplo 4: Calcula lim!→! lim!→! !"# ! ! = !"# ! ! ! ! Para analizar esta indeterminación utilizamos la regla de L’Hôpital. • La derivada del numerador 𝑠𝑒𝑛 𝑥 • La derivada del denominador 𝑥 Luego, es igual a cos 𝑥 es igual a 1. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 cos (0) 1 = lim = = =1 !→! 𝑥 !→! 1 1 1 lim Ejemplo 5: Calcula lim!→! lim!→! !! ! !!!!! !! ! !!! !! ! !!!!! !! ! !!! = !(!)! !!(!)!! !(!)! !!(!) ! =! Para analizar esta indeterminación utilizamos la regla de L’Hôpital. • La derivada del numerador (8𝑥 ! − 4𝑥 + 5) es igual a 16𝑥 − 4 • La derivada del denominador (4𝑥 ! − 6𝑥) es igual a 8𝑥 − 6 lim!→! !! ! !!!!! !! ! !!! = !"!!! !!!! ! =! ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 4 MB0004_M4AA1L2_Herramienta Como el resultado del segundo límite continúa siendo ∞/∞, necesitamos aplicar la regla de L’Hôpital por segunda vez. • La derivada del numerador (16𝑥 − 4) es igual a 16 • La derivada del denominador 8𝑥 − 6 es igual a 8 lim!→! !"!!! !!!! = !" ! =2 Como se mostró en los ejemplos anteriores: La regla de L’Hôpital es una herramienta más general para la evaluación de límites indeterminados que la factorización ya que permite resolver límites de distinto índole. Derivada de funciones implícitas Funciones multivariables No todas las funciones y ecuaciones que se utilizan en los modelos matemáticos se encuentran expresadas en términos de una sola variable. Analiza las funciones: 𝑓 𝑟, 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑓 𝑟, 𝑥 = 𝑥 ! 𝑠𝑒𝑛4𝑦 ¿Cuántas variables intervienen en este tipo de funciones? A este tipo de funciones se les conoce como funciones multivariables porque su resultado depende de la relación de dos o más variables independientes. Al trabajar con funciones de una variable resulta suficiente calcular la razón de cambio (derivada) de una variable; sin embargo, para poder analizar una función multivariable el trabajo se incrementa, debido a que cada variable involucrada posee su propia razón de cambio. Así, para una función que depende de dos variables, como 𝑓 𝑥, 𝑦 es posible calcular dos razones de cambio: ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 5 MB0004_M4AA1L2_Herramienta 1) 2) !"(!,!) !" !"(!,!) !" !" = !", que representa la derivada de 𝑓 𝑥, 𝑦 con respecto a x. = !", que representa la derivada de 𝑓 𝑥, 𝑦 con respecto a y. !" Este tipo de derivadas se conoce como derivadas parciales. Derivación parcial Para evaluar la razón de cambio con que cada una de las variables afecta a la variable dependiente, es necesario utilizar un método conocido como derivación parcial, que de acuerdo con Zill (1987) puede realizarse de la siguiente manera: Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 • Para evaluar • Para evaluar !" !" !" !" aplíquense los teoremas de derivación considerando a “y” como constante. aplíquense los teoremas de derivación considerando a “x” como constante. Para comprender mejor el procedimiento de derivación parcial considera los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: Si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥 ! 𝑦 − 4𝑥 ! + 𝑦 ! determina: a) !" !" y b) !" !" ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 6 MB0004_M4AA1L2_Herramienta ! a) Para calcular !" Término es necesario considerar a “y” como una constante. Explicación Derivada (4𝑦) 𝟒𝒙𝟑 𝒚 Al derivar este término consideramos a “y” como una constante que junto con el número 4 multiplicará a la derivada de 𝑥 ! . 𝑑 ! 𝑥 𝑑𝑦 𝑑 ! 𝑥 𝑑𝑥 (4𝑦) 3(𝑥 !!! ) 4𝑦 (4𝑦) 3(𝑥 ! ) 12𝑥 ! 𝑦 −𝟒𝒙𝟐 Este término sólo depende de la variable “x”, por lo que se deriva directamente, como se muestra. (−4)𝑑 ! 𝑥 𝑑𝑥 (−4) 2 𝑥 !!! (−4) 2(𝑥) −8𝑥 𝒚𝟔 Este término sólo depende de la variable “y”, a la cual estamos considerando como constante, y debido a que la que la derivada de una constante es cero… 𝑑𝑦 ! =0 𝑑𝑥 Reuniendo los resultados anteriores la derivada !" !" queda: 𝜕 4𝑥 ! 𝑦 − 4𝑥 ! + 𝑦 ! = 12𝑥 ! 𝑦 − 8𝑥 𝜕𝑥 !" b) Para calcular !" es necesario considerar a “x” como una constante. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥 ! 𝑦 − 4𝑥 ! + 𝑦 ! ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 7 MB0004_M4AA1L2_Herramienta Término 𝟒𝒙𝟑 𝒚 Explicación Derivada Al derivar este término consideramos a 4𝑥 como una constante que multiplicará a la derivada de 𝑦 . ! 𝑑(𝑦) 𝑑𝑦 4𝑥 ! (1) 4𝑥 ! 4𝑥 ! −𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟔 Este término sólo depende de la variable “x”, a la cual estamos considerando como constante, y debido a que la que la derivada de una constante es cero… Este término sólo depende de la variable “y”, por lo que se deriva directamente, como se muestra. (4)𝑑 ! 𝑥 𝑑𝑦 4 0 0 𝑑(𝑦 ! ) 𝑑𝑦 6𝑦 !!! 6𝑦 ! Reuniendo los resultados anteriores la derivada !" !" queda: 𝜕 4𝑥 ! 𝑦 − 4𝑥 ! + 𝑦 ! = 4𝑥 ! + 6𝑦 ! 𝜕𝑦 Observa que a pesar de haber derivado la misma ecuación, los resultados obtenidos para cada derivada parcial son distintos. ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 8 MB0004_M4AA1L2_Herramienta Ejemplo 2: Si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ! 𝑠𝑒𝑛4𝑦 determina: a) !" a) Para calcular !" !" !" y b) !" !" es necesario considerar a “y” como constante. Al derivar esta función consideramos 𝑠𝑒𝑛4𝑦 como una constante que multiplica a la derivada de 𝑥 ! !" !" = 𝑠𝑒𝑛4𝑦 Constante ! !" 𝑥 ! = 𝑠𝑒𝑛4𝑦 2 𝑥 !!! = 𝑠𝑒𝑛4𝑦 2𝑥 = 2𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑦 Derivada !" b) Para calcular !" es necesario considerar a “x” como constante. Al derivar esta función consideramos 𝑥 ! como una constante que multiplica a la derivada de 𝑠𝑒𝑛 4𝑦 . 𝜕𝑓 𝑑 = 𝑥 ! 𝑠𝑒𝑛4𝑦 ) = 𝑥 ! cos 4𝑦 (4) = 4𝑥 ! cos 4𝑦 𝜕𝑦 𝑑𝑥 Constante Derivada Ejemplo 3: El precio de venta de un automóvil usado está determinado por la ecuación: 𝑝 𝑘, 𝑡 = 130,000 − Donde: k, es el kilometraje del automóvil t, los años de antigüedad. 𝑘 − 8000𝑡 1000 ¿Cuántas variables están involucradas? Calcula la razón de cambio del precio respecto al kilometraje y del precio respecto a la antigüedad. Observa que el precio de venta del automóvil depende de dos factores, kilometraje y años de antigüedad, por lo que en esta ecuación se relacionan: 1 variable dependiente (precio) y 2 variables independientes (kilometraje y antigüedad). En esta situación es posible calcular dos razones de cambio: El cambio del precio respecto al kilometraje (se escribe !" !" ) y el cambio del precio respecto a la antigüedad (se escribe !" !" ) ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 9 MB0004_M4AA1L2_Herramienta 𝜕𝑃 𝑑 𝑘 1 1 = 130000 − − 8000𝑡 = 0 − −0 =− 𝜕𝑘 𝑑𝑘 1000 1000 1000 𝜕𝑃 𝑑 𝑘 = 130000 − − 8000𝑡 = 0 − 0 − 8000 = −8000 𝜕𝑡 𝑑𝑡 1000 Una de las aplicaciones de las derivadas parciales es en la derivación de funciones implícitas. En la siguiente sección se explica el procedimiento para realizar una derivación de funciones implícitas aplicando las derivadas parciales. Derivación de funciones implícitas Las funciones implícitas, son aquellas que se encuentran escritas mediante una ecuación del tipo porque tanto la variable dependiente como la independiente se encuentran mezcladas en el mismo lado de la igualdad. Ejemplo 4: 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑥 − 𝑦 = 0 2𝑥 ! 𝑦 + 3𝑥𝑦 ! − 𝑥𝑦 = 0 Observa que en ambos casos las expresiones matemáticas se encuentran igualadas a cero. Considera que tenemos una ecuación del tipo 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 Por ejemplo: 𝑥! + 𝑦! − 4 = 0 Si queremos obtener el valor de la variable “y”, necesitamos evaluarla utilizando un valor de la variable “x” como se muestra: Cuando 𝑥 = 2 , 2 ! + 𝑦! − 4 = 0 Observa que a pesar de que la variable “y” no se encuentra de forma explícita (no está despejada), sí es posible conocer su valor, ya que es la única variable de la ecuación que desconocemos. En la ecuación implícita la variable “y” parece no depender de “x”, pero en realidad sí lo hace. ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 10 MB0004_M4AA1L2_Herramienta De forma general, podemos decir que al trabajar con funciones del tipo 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 , es necesario considerar las siguientes dependencias: 𝑥 𝒇(𝒙, 𝒚) depende explícitamente de 𝑦 depende implícitamente de 𝑥 Al derivar una función del tipo 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟎, considerando a “y” en función de “x” se tiene: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑦 + ∙ =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑥 de donde es posible obtener un teorema que nos permita calcular la derivada implícitas del tipo 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟎 !" !" para funciones 𝜕𝑓 𝑑𝑦 𝜕𝑓 ∙ =− 𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝑑𝑦 = − 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝑑𝑥 𝜕𝑦 De forma práctica podemos concluir que para obtener la derivada de una función implícita del tipo 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟎 , sólo es necesario calcular el cociente negativo de la derivada parcial de “x” entre la derivada parcial de “y” (siempre y cuando esta última no sea igual a cero). Para comprender mejor la aplicación de este teorema en la solución de funciones implícitas considera los siguientes ejemplos: Ejemplo 5: Obtén la derivada !" !" de la función implícita 2𝑥 ! 𝑦 + 3𝑥𝑦 ! = 𝑥𝑦 Antes de derivar la ecuación debemos asegurarnos de escribirla en la forma estándar 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0, es decir, todos los términos deben estar en el lado izquierdo e igualados a cero. ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 11 MB0004_M4AA1L2_Herramienta Pasamos primero el término 𝑥𝑦 restando del lado izquierdo: 2𝑥 ! 𝑦 + 3𝑥𝑦 ! − 𝑥𝑦 = 0 Derivamos parcialmente respecto a “x”, es decir ! !" ! !" ! !" = 2𝑦 ! !" 𝑥 ! + 3𝑦 ! ! !" 𝑥 −𝑦 ! !" (𝑥) = 2𝑦(2𝑥) + 3𝑦 ! (1) − 𝑦 1 = 4𝑥𝑦 + 3𝑦 ! − 𝑦 Derivamos parcialmente respecto a “y”, es decir ! !" ! !" ! !" ! !" = 2𝑥 ! ! !" 𝑦 + 3𝑥 ! !" 𝑦! − 𝑥 ! !" ! . !" (𝑦) = 2𝑥 ! (1) + 3𝑥 3𝑦 ! − 𝑥(1) = 2𝑥 ! + 9𝑥𝑦 ! − 𝑥 Obtenemos el resultado final: 𝑑𝑦 −(4𝑥𝑦 + 3𝑦 ! − 𝑦) −4𝑥𝑦 − 3𝑦 ! + 𝑦 = = 𝑑𝑥 2𝑥 ! + 9𝑥𝑦 ! − 𝑥 2𝑥 ! + 9𝑥𝑦 ! − 𝑥 Ejemplo 6: Obtén la derivada !" !" de la función implícita 𝑥 ! 𝑠𝑒𝑛 2𝑦 = 𝑦 − 𝑥 + 5 Antes de derivar la ecuación debemos asegurarnos de escribirla en la forma estándar 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0, es decir, todos los términos deben estar del lado izquierdo e igualados a cero. 𝑥 ! 𝑠𝑒𝑛 2𝑦 − 𝑦 + 𝑥 − 5 = 0 Derivamos parcialmente respecto a “x”, es decir ! !" . ©UVEG. Derechos reservados. 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Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 13 MB0004_M4AA1L2_Herramienta Referencias Fuenlabrada, S. (2001). Cálculo Diferencial. México: Mc Graw Hill. Pérez, M. (s.f.). Una historia de las matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes. Madrid, España: Editorial Visión libros. Recuperado de http://books.google.com.mx/books?id=6YzhTyFDi4EC&pg=PA427&dq= historia+de+la+regla+del+l%27hopital&hl=es&ei=OAVrTO_HEeDsnQfQ 6ezEAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CC0Q6AE wAQ#v=onepage&q&f=false Zill, D. (1987). Cálculo con Geometría analítica. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Bibliografía Alamar, M., Roig, B., y Vidal, A. (2006). 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