SOLUCIONARIO UNI 2008 II
MATEMÁTICAS
SOLUCIONARIO DE EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2008 – II
MATEMÁTICAS – TEMA “ P”
1.
2
E ( n ) = 10n + n ( 2 + 4 + ... + 18
18 ) +
Resolución:
E ( n ) = 10n 2 + 90n + 285
a 00a ( 6 ) = bc1
Observación: 0 < a < 6
o
E ( n) = 7
Descomponiendo polinómicamente
217a
=
b c1
=
( )
E n
� b = 6 �c = 5
n ( 3n - 1) = 7 + 2 ..... ( a )
o
Sea n = 7+ r ; r
Resolución:
Sea el conjunto
{ V;S;#;*}
ordena
denarr
o
o
�n
n
= 7+ 1
= 7+ 4
\ n �{ 7t - 6 / t ��} �{ 7r - 3 / r ��}
CLAVE: D
\4! = 24
�{ 0;1; 2;.......; 6}
Luego: La relación ( a ) la verifica:
En
Ento
tonc
nces
es 4 ele
lem
ment
nto
os se puede
ede
linealmente de 4! maneras diferentes.
CLAVE: E
Resolución:
5.
a #b
# b = a 2b -1
Resolución:
c
( ) �( ac)
b
Entonces
Sea N = ab
x # y = x 2y -1 = 32
la descomposición canónica de N .
Como x ��+ � y ��+ :
En
Ento
tonc
nces
es : ab y ac son
son número
númeross impare
imparess y
�
25 � y = 3
�
32 = �
321 � y = 1
�
diferentes de 5 .
o
o
Nota: El único primo 5 es el 5
\ b �c �{ 1;3;7; 9}
\ Cumplen : I y III
4.
= 3n 2 - n + 5 = 7
o
CLAVE: C
\ a + b + c = 14
14
3.
( dato )
Reduciendo la expresión tendríamos:
o
651
3
2.
( 12 + 22 +... + 92 )
CLAVE: C
Además: CD ( N ) = 32
Resolución:
2
2
2
E ( n ) = n 2 + ( n + 1) + ( n + 2 ) + ... + ( n + 9 ) ; n ��
c + 1) ( b + 1) = 32
({
12 3
�
n =n
�
2
2
2
( n + 1) = n + 2n + 1 �
�
2
2
2 �
( n + 2 ) = n + 4n + 2 � +
�
M
M
�
2
2
2�
( n + 9 ) = n + 18n + 9 �
�
2
2
4
8
8
4
Por la forma de N, da lo mismo analizar
cualquiera de los casos:
� c = 3 �b = 7
( )
N = a7
3
7
�( a3 ) ...( D.C.
D.C.)
Valores de a: 1 y 4
\ La suma de los posibles valores de a es 5
CLAVE: B
1
ACADEMIA ALFA
ALFA
6.
N
X
Resolución:
Si se sabe que:
6
1
9
0,5
N
3
2
N = Z+ W
a1 < a2 < a3 < ............ < an -1 < an
Z
Z DP x 2 �
Se tiene que:
x
2
= cte
a1 < a2
Cumpliéndose:
Entonces sumándole una cantidad conveniente a
amb
am
bos miem
miembr
bros
os tend
tendre
remo
moss la sigu
siguie
ient
ntee
expresión:
Z1 = Z2 =
12 ( 0,5 ) 2
... + a1 ) + a1 < a2 + ( a1 + a1 + ... + a1 )
(1a14+4a42
1 +4
4 43
1 4 442 4 4 43
n -1
Z3
( 2)
2
� Z1 = Z2 = Z3
14 44 21 4 438
Z1 =4a
Z2 = a
Z3 =8a
n -1
< a1 + a2 + ... + an
Además
� na1 < a1 + a2 + ... + an � a1 < a1 + a2 + ... + an
W IP x 2 � W �
x 2 = cte
n
Cumpliéndose
Análogamente
Análogam
ente realizar
realizaremos
emos el procedim
procedimient
iento
o
anterior de suma.
W1 �
12 W2 �
( 00,, 5)
=
2
2
W W2 W3
W3 � 2 � 1
124 428 4 431
( )
=
an -1 < an
=
W1 7b
W2 8b
W3 b
=
a1 + a2 + ... + an < ( an + ... + an ) + an -1
1 44 2 4 43
=
=
Nos dicen:
dicen:
n -1
< an + ( an + an + ... + an )
1 4 44 2 4 4 43
N1 = Z1 + W1 = 6 = 4a + 2b
a -1
a= 1; b = 1
N 2 = Z2 + W2 = 9 = a + 8b
a1 + a2 + ... + an < nan
� a1 + a2 + ... + an < an
\ N3 = Z3 + W3 = 8a + b = 9
n
\ a1 <
7.
=
CLAVE: C
a1 + a2 + ... + an
n
< an
9.
CLAVE: B
Resolución:
Resolución:
I) A �B �C �B
Por diagramas de Venn tenemos
B
Sean los números a y b
A
MA - MG = 6
C
}
}
a + b - ab = 6
2
(
a- b
)
2
� ( A �C ) �B …. (F)
= 12 � a - b = 2 3 … (1)
II) ( ADB ) �A �B �C �A �B
Por dato:
Entonces tenemos que C puede estar en al menos
una de las regiones señaladas.
a + b = 6 3 …. (2)
De (1) y (2)
Tenemos que
a = 48
b= 12
\ MH ( a , b ) =
A
1
2ab
a+b
=
2 ( 48
48 ) ( 12 )
60
2
3
… (F)
= 19, 2
III) B - A �C C por diagramas tenemos
CLAVE: E
8.
B
Resolución:
De las magnitudes
2
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MATEMÁTICAS
A
�
1+ 5
-�< x < log 4 �
� 2
�
C
B
CLAVE: C
13. Resol
olu
ució
ión
n:
AB) = det ( A) �
det ( B)
I. det ( AB
C �( A �B) … (F)
II. det ( A + B ) �det ( A ) + det ( B ) …. (F)
III. det ( g �
…. (F)
A ) = g 3 det ( A )
CLAVE: E
10
10.. Resolu
lucción:
CLAVE: D
x + y+ 2 =1
53 x + y + 2 = 5 �
14. Resol
olu
ució
ión
n:
2x - 3y - 7 = 16
L
Se tiene:
Así tenemos:
En el sistema:
L
y
1
4
2
�
�x = 4 � y = - 5
2 x - 3 y = 23�
x + y = -1
L
3
3
2
1
CLAVE: B
\ x + y = -1
…. (V)
L1 : y = - 2 x + 4
11. Resolu
lucción:
x
1
L2 : y = - x + 3
y
y
L3 : y = x + 1
y = x2 :
y = x2 - 4
x
;
Finalmente el sistema es:
x
�x - y = - 1
�
2x + y = 4
�
�x + y = 3
�
15. Resol
olu
ució
ión
n:
-4
y
y
y = x2 - 4
=
x
:
1
y x2 4 3
4
-
-
x
;
CLAVE: C
F ( x; y ) = - 3x + y
y
En ( 0; 0 ) : F ( 0; 0 ) = 0
\ y = x2 - 4 - 3
En ( 0;3 ) : F ( 0; 3 ) = 9
x
En ( 6;4 ) : F ( 6; 4 ) = - 14
En ( 1; 0 ) : F ( 1; 0 ) = -3
CLAVE: D
12
12.. Resolu
lucción:
Supongamos
m2 - m - 1
m
que
4x = m ;
luego
Condición 3x = 21 � x = 7
:
��7 - r + 2 : 7 + 3 : 7 + r + 9
��9 - r : 10
10 ::1
16 + r
<0.
Como 4x = m > 0 , es suficiente:
Se cumple:
10
9-r
=
16 + r
10
De donde tenemos r = 4
m2 - m - 1 < 0 .
De donde obtenemos:
0<m<
CLAVE: D
16. Resol
olu
ució
ión
n:
�x - r.x.x + r
Números son: 3; 7 y 11
1+ 5
CLAVE:
CLA
VE: A
\ = 231
2
17. Resol
olu
ució
ión
n:
0 < 4x < 1 + 5
2
n
�1 �
b1 = - ; bn +1 = b n + � �, n ��+
2
�3 �
1
3
ACADEMIA ALFA
ALFA
De donde:
b1 = -
1
w=
2
1 1
1
b2 = - + = 2 3
6
1
1
w=
1
b3 = - + = 6 9
18
b4 = -
1
18
11
4
+
1
27
27
=-
�
�
cis ( 12º ) �
�
�. �
� 2cis ( 8º ) �
11
�
cis ( 6º ) �
�
cis ( 10º ) �
�
��
�
�
2
11
cis ( 48º ) �
cis ( 88º )
�
cis ( 66º) .cis( 10º )
11
2
=
cis ( 136º )
�
cis ( 76º )
�p
w = 2 cis ( 60º ) � w = 32 2cis �3
11
1
54
2e
\ w = 32 2e
i
p
3
CLAVE: E
En una grafica
21. Resol
olu
ució
ión
n:
De: f ( x1 ) = 0
1
2
3
4
...
A co
cos x1 + Bsenx1 = 0 � tan x1 = -
-1/54
-1/18
-1/6
-1/2
lim ( b n ) = 0
A co
cos x2 + Bsenx 2 = 0 � tan x 2 = - A
B
CLAVE: B
x ��
Se tiene: tan x 1 = tan x 2
18. Resolución
ón::
tan x 2 - tan x1 = 0 �
Reconocemos que
x 2 - 2bx - c = 0 � CS = { -3; 5}
-c = ( -3) ( 5 ) � c = 15
\ x 2 = kp + x1
19. Resolución
ón:: Observación:
p
3
1 + i = 2e 4
CLAVE: B
22. Resol
olu
ució
ión
n:
=
n +m
2 3
n+m
=2 6
�n + m �
pi
�
�
e�12 �
�
Se sabe que:
�n + m �
pi
�
�
12 �
�
e
�
sen 6 x + cos 6 x = 1 - 3sen 2 x co
cos 2 x
( 1+ i)
n+m
=2 6
2
�sen2x �
sen x + cos x = 1 - 3�
�
� 2 �
6
Según Euler:
n+m
3
=0
" k ��
i
De donde:
n+m
cosx1 cosx 2
CLAVE:
CLA
VE: A
\ b + c = 16
n+m
3
sen ( x 2 - x1 )
sen ( x 2 - x1 ) = 0 � x 2 - x1 = kp
De donde: 2b = -3 + 5 � b = 1
( 1+ i)
B
De: f ( x 2 ) = 0
Observa que:
( 1+ i)
A
� �n + m �
�n + m �
c
o
s
i
s
e
n
p
+
p
�
�
�
�
�
� 12 �
� � 12 �
6
3
\ sen 6 x + cos6 x = 1 - sen 2 2 x
4
CLAVE: C
CLAVE: B
20. Resolución
ón::
23. Resol
olu
ució
ión
n:
4
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MATEMÁTICAS
esonido = 2.
Completando cuadrados se tiene:
15 ( -2 ) + 20 ( -2 ) - 60
2
15 + 20
�
2
1� 3
�
M=�
sena - � +
2� 4
�
Vsonido x t = 2 x
2
130
25
340 x t = 260
25
�
p 11p
�
Como: a �� ;
6 6
�
\ t = 0,030
CLAVE: D
p
25. Resol
olu
ució
ión
n:
6
1
Simplificando la expresión:
-1
4q -3q
11p
�
6
E=
cos 3q cos 4q
E = tan 4q - tan 3q + 1
2
1� 3
�
sena - �+ �3
��
4 �
1 4 4 224�4 34
3
senq + cos 3q cos 4q
De la figura:
M
3
�
\ M �� ;3
4
�
B
CLAVE: E
9
m
ta
n
4
q
9
m
ta
n
3
q
9m
D
24
24.. Resolu
lucción:
5m
3
Graficando de acuerdo al enunciado
q
q
A
L=15x+20y-60=0
C
9m tan 4q - 9 m ta n 3q = 5 m
n
S o
Persona
id
o
t1an444
n 34q4+
q4-2ta4
31^ =
Pared
E
\ E=
5m
+1
9m
14
9
CLAVE: C
P(-2;-2)
26. Resol
olu
ució
ión
n:
Para la rueda de radio “a”
Se observa:
n = e � 10 = L � L = 20p a
2p r
2p a
esonido = 2d ( PL )
5
ACADEMIA ALFA
ALFA
Para la rueda de radio
" a + 62a - 3 "
�p �
�
�
e
qg
3
=
� � �=
n=
2p r
2p
p
3
=
2p
20p a
L
(
2
2p a + 62a - 3
EBF
EB
F = 15
150º
0º SEBF =
)
SABC =
2
a 2 + 62a - 3
� a + 2a - 3 = 0
2
ab
=
4
ab
2
Como por dato:
= 0 � a = 1 �a = -3
( a + 3 ) ( a - 1)
ab
abse
sen
n150º
150º
SEBF = k ( SABC )
como a es una longitud debe ser positivo
entonces a =1
�ab � �ab
�4 �= k �2
� � �
\ a2 + 2a = 3
CLAVE: A
1
�k =
2
CLAVE: E
B
30. Resol
olu
ució
ión
n:
27. Resolución
ón::
180-2
Efectuando el signo
�
E = arccos �
-sen
�
�
�
�
7�
p
E = p - arccos �
sen
E =p
p
7
�
�
x
�
�
� �p p �
cos � - �
- arccos �
�24 4743
�
�
14 44
42 4
E =
9p
14
D
q
x = 90 +
2
)
� D = 40 + q AB
ABC = BAD
BA
… (I) , ABC
28. Resolución
ón::
�
q =
2
�
=2
Como:
40 + q
Reemplazando en (I)
senx - cos x =
3 - 1 �M = senx + cos x
2
x = 90 +
80
= 130º
2
2
2 � 3 - 1�
=
� (M) + �
� 2 �
� 2
�
�
M
�
+ 180 - 2q
2
2q = 40 + q + 360 - 4q
5q = 400 � q = 80º
Por teoría se sabe:
+ ( senx - cos x )
2
ABC
AB
C = ABD
ABD + DBE
Luego
2
C
Por formula
CLAVE: A
( senx + cos x )
40º
A
�p p �
�- �
�2 7 �
\
E
P
2
2+ 3
\ M=
A
M EC + A DM = ?
2
a+b=?
F
E
150º
B
A
C
D
E
CLAVE: D
29. Resolución
ón::
B
31. Resol
olu
ució
ión
n:
�2 - 3 �
2+ 3
2
= 2-�
M =
�
�
� 2 �
2
�
�
6
CLAVE: E
b
M
C
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C, D, E y A pertenecen a una semicircunferencia
�D = 72º
E
�D =
EA
72º
l + d = 20} dato
= 36º y en
2
DBHE es equilátero, luego por el teorema de
Chadú
DAEC = E AC
AC + E CA
CA = 90º
�
CH = CB + CE
CE
�
�
�
�
x= l+ d
36 + b + a = 90 º
a + b = 90 - 36
x = 20
CLAVE: E
CLAVE: C
a + b = 54º
34. Resol
olu
ució
ión
n:
32
32.. Resolu
lucción:
B ’
C
6
14
C ’
30º
B
A
B
O
C
2
B ' C ' = 18 = 3 2
AC ' Ç = 18 = 3 2
� DB'C'A notable
C ''A
A ' = 90º
� mS B ''C
en
DCAD CD = x, AD = 2x y AC = x 5
Pero AC = 10
� SB'C'A =
( 3 2) ( 3 2) = 9
2
CLAVE:
CLA
VE: A
x 5 = 10
10 � x = 2 5
CLAVE: E
33
33.. Resolu
lucción:
35. Resol
olu
ució
ión
n:
P
120º
Lado
C
B
A
120º
2 41
M en or
d ia g o n a l
8
2 41 10
D
d
M ay or
d ia g o n a l
M
8
16
AM = 2 ( 41) - 82 = 10 = MB
MB
F
G
N
A
H
2
H
B
8
6
10
E
I
A
17
14
)
53
* AB = AO = OB = 10 � CBA =
)
53
� D = CBA
CAD
CBA =
* A DB
DB = 90 u CA
2
Luego
3
3
MN = 102 - 82 = 6
DPMN notable
120º
x = 53º
Cada arco es de 40º
7
ACADEMIA ALFA
ALFA
CLAVE: C
VPEDIDO = VTOTAL - VCONO
36. Resolución
ón::
2r
6 4pr 2a
VPEDIDO =
2
Sección
axial
45º
2
pr a
�64 �
PEDIDO=� - 2 �
�27 �
2r
10
=
V
pr 2a
27
PEDIDO
Por Pitotoh
a
- VCilindro
- pr 2a - pr 2a
27
V
2r
a
SUPERIOR
� Razón pedida= 5
2a + 2r = 2r + 2r 2
CLAVE:
CLA
VE: A
32
38. Resol
olu
ució
ión
n:
a=r 2
3
2r
5
pr
2
V
l 43
1o42
4C3il =
(
2 +1
)
p
( 2r + 2r 2 )
ap
2
=
pr
3
(
5
9
�aristas � 15
45
=9
�
�= = 3 y
basicas
5
5
�
�
)
2 +1
r =1
3
CLAVE: B
37. Resolución
ón::
ap
5
5
ap
3
3a
3
ap = 4
r
CLAVE: B
a
39. Resol
olu
ució
ión
n:
r
B
R
=
12
4r
x
Al igualar
igualar los volúmenes
volúmenes y las alturas
al3turas quedaran
en la razón de 3 a 1
�
R
r
R=
=
F
a
E
3
5
4a
3a
A
xk
4r
3
2
C
D
15k
Se deduce que FC = 3
2
�4r � 4a 64pr a V
VTOTAL = p � �� =
27
�3 � 3
AD y
DC proporcionales a
AB y BC
En DBDC :
� AD ) xk
a
15 k
x -5
En DABD :
(I) en (II)
8
5
=
y DC = 15k
12
� a = 60 k … (I)
3
a
= xk ……………… (II)
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MATEMÁTICAS
x -5
5
=
CLAVE: C
60 k
xk
x ( x - 5 ) = 30 0
x = 20
CLAVE: E
40
40.. Resolu
lucción:
A
Departamento de Publicaci
Departamento
Publicaciones
ones A
ALF
LFA
A
Lima, 13 de Agosto del 2008
C
D
B
F
D
E
Por dato
Volumen = 144
6m
2
�8 = 144
� m = 6 DDAL: AL = 10
� SDBC =
6 �10
2
= 30
9
