Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Matemática II Sesión N° 1 Tema : La derivada de una función Semestre Académico 2023-02 Escuela Profesional de Ingeniería Industrial SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Suponga que el costo y el ingreso total en soles de fabricar y vender 𝑞 unidades de un cierto producto está dado por las siguientes función, respectivamente: 𝐶 𝑞 = 2𝑞 2 + 𝑞 + 900 e 𝐼 𝑞 = 𝑞3 + 4𝑞2 + 𝑞 + 100 Determine: a) b) La función costo, ingreso y utilidad marginal. Sabiendo que la utilidad marginal cuando se fabrican y venden 𝑞 unidades es 68 100, ¿determine el valor adecuado para 𝑞 unidades? Escuela Profesional de Ingeniería Industrial El problema de La recta Tangente y m=? f ( x 0) xx00 x 3 Escuela Profesional de Ingeniería Industrial y f ( x0 + h) f ( x0 + h) f ( x0 ) h x0 x0 + h x0 + h h x Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Pendiente de la recta tangente ( mL ) T Note que: f x0 + h f x0 mLS h En el límite, cuando h 0, la recta secante “se confunde” con la recta tangente en x0, y podemos decir que: f x0 + h f x0 mLT lim mLS lim h 0 h 0 h Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Derivada de una función en un punto DEFINICIÓN. La derivada de una función “f “en un punto “𝑥0 ”, denotada con f’(𝑥0 ), es: f ( x0 + h) f ( x0 ) f ' ( x0 ) lím h 0 h Si este límite existe DEFINICIÓN Alterna. f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 ) lím x x0 x x0 Interpretación geométrica de la derivada La derivada de y una función “f” en un número “ 𝑥0 ” es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (𝑥0 ; f(𝑥0 )). Escuela Profesional de Ingeniería Industrial m=f’(𝑥0 ) f ( 𝑥0) 𝑥x00 x 7 Escuela Profesional de Ingeniería Industrial De la gráfica, halle f ´(2) e indique la ecuación de la recta tangente, sabiendo que pasa por los puntos (1, 0) y (2,1). Ejemplo: Escuela Profesional de Ingeniería Industrial La derivada como una función DEFINICIÓN. Si en la definición anterior, cambiamos el número “𝑥0 ” por la variable “x”, obtenemos: f ( x + h) f ( x ) f ' ( x) lím h 0 h En este caso, f’ es una nueva función llamada derivada de f. Notación: df(x) f '(x) Dx f(x) dx 2 Ejemplo: Encontrar la derivada de f ( x) x REGLAS DE DERIVACIÓN Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Sean “f” y “g” funciones con derivadas f ' y g ' entonces, se cumplen las siguientes propiedades algebraicas : Sea K una costante (cualquier número) Si g(x) Kf(x), entonces g' (x) Kf ' (x) (f(x) g(x))' f ' (x) g ' (x) (f(x) g(x))' f ' (x) g(x) + f(x) g' (x) Sean f(x) y g(x): ' f(x) f '(x) g(x) f(x) g'(x) g(x) g(x) 2 DERIVADA DE ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES Escuela Profesional de Ingeniería Industrial DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD Si f(x) x, entonces : f ' (x) 1 DERIVADA DE LA FUNCIÓN CONSTANTE Si f(x) C, entonces : f ' (x) 0 DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIA Si f(x) x , entonces f ' (x) nx n n 1 Escuela Profesional de Ingeniería Industrial DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Si f(x) = ax, entonces f´(x) = axln(a) DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL Si f(x) = ex, entonces f´(x) = ex DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO 1 f(x) loga (x) f '(x) loga e x DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL 1 f (x) ln(x) f '(x) x Escuela Profesional de Ingeniería Industrial DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS f(x) sen x g' (x) cos x g(x) cos x f ' (x) sen x h(x) tan x h' (x) sec 2 x F(x) cot x F' (x) csc 2 x G(x) sec x G' (x) sec x.tan x H(x) csc x H' (x) csc x.cot x Escuela Profesional de Ingeniería Industrial ALGUNAS APLICACIONES A LA FÍSICA: • Si x(t) es la posición en el instante “t” , entonces x’(t) es la velocidad v(t) en el instante “t”. ( v(t)= x’(t) ) • Si v(t) es la velocidad en el instante “t” , entonces v’(t) es la aceleración a(t) en el instante “t”. ( a(t)= v’(t) ) A LOS INGRESOS Y COSTOS: Sean I(q), C(q), U(q) las funciones ingreso, costo y utilidad respectivamente, entonces: • Ingreso Marginal = I’(q) . • Costo Marginal = C’(q). • Utilidad Marginal = U’(q). Escuela Profesional de Ingeniería Industrial SOLUCION DE LA SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Suponga que el costo y el ingreso total en soles de fabricar y vender 𝑞 unidades de un cierto producto está dado por las siguientes función, respectivamente: 𝐶 𝑞 = 2𝑞 2 + 𝑞 + 900 e 𝐼 𝑞 = 𝑞3 + 4𝑞2 + 𝑞 + 100 Determine: a) b) La función costo, ingreso y utilidad marginal. Sabiendo que la utilidad marginal cuando se fabrican y venden 𝑞 unidades es 68 100, ¿determine el valor adecuado para 𝑞 unidades?