Sesion 1-La Derivada

Escuela Profesional de
Ingeniería Industrial
Matemática II
Sesión N° 1
Tema : La derivada de una
función
Semestre Académico
2023-02
Escuela Profesional de
Ingeniería Industrial
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
Suponga que el costo y el ingreso total en soles de fabricar y vender 𝑞 unidades de
un cierto producto está dado por las siguientes función, respectivamente:
𝐶 𝑞 = 2𝑞 2 + 𝑞 + 900 e 𝐼 𝑞 = 𝑞3 + 4𝑞2 + 𝑞 + 100
Determine:
a)
b)
La función costo, ingreso y utilidad marginal.
Sabiendo que la utilidad marginal cuando se fabrican y venden 𝑞 unidades es
68 100, ¿determine el valor adecuado para 𝑞 unidades?
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El problema de La recta Tangente
y
m=?
f ( x 0)
xx00
x
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y
f ( x0 + h)
f ( x0 + h)
f ( x0 )
h
x0 x0 + h
x0 + h
h
x
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Pendiente de la recta tangente ( mL )
T
Note que:
f  x0 + h   f  x0 
mLS 
h
En el límite, cuando h  0, la recta secante “se confunde” con la
recta tangente en x0, y podemos decir que:
f  x0 + h   f  x0 
mLT  lim mLS  lim
h 0
h 0
h
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Derivada de una función en un punto
DEFINICIÓN. La derivada de una función “f “en un
punto “𝑥0 ”, denotada con f’(𝑥0 ), es:
f ( x0 + h)  f ( x0 )
f ' ( x0 )  lím
h 0
h
Si este límite existe
DEFINICIÓN Alterna.
f ( x)  f ( x0 )
f ' ( x0 )  lím
x  x0
x  x0
Interpretación geométrica de la derivada
La derivada de y
una función “f”
en un número
“ 𝑥0 ” es la
pendiente de la
recta tangente a
la gráfica de la
función en el
punto (𝑥0 ; f(𝑥0 )).
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m=f’(𝑥0 )
f ( 𝑥0)
𝑥x00
x
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De la gráfica, halle f ´(2) e indique la ecuación de la recta
tangente, sabiendo que pasa por los puntos (1, 0) y (2,1).
Ejemplo:
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La derivada como una función
DEFINICIÓN. Si en la definición anterior, cambiamos el
número “𝑥0 ” por la variable “x”, obtenemos:
f ( x + h)  f ( x )
f ' ( x)  lím
h 0
h
En este caso, f’ es una nueva función llamada
derivada de f.
Notación:
df(x)
f '(x) 
 Dx f(x)
dx
2
Ejemplo: Encontrar la derivada de f ( x)  x
REGLAS DE DERIVACIÓN
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Sean “f” y “g” funciones con derivadas f ' y g ' entonces, se
cumplen las siguientes propiedades algebraicas :
Sea K una costante (cualquier número)
Si g(x)  Kf(x), entonces g' (x)  Kf ' (x)
(f(x)  g(x))'  f ' (x)  g ' (x)
(f(x)  g(x))'  f ' (x)  g(x) + f(x)  g' (x)
Sean f(x) y g(x):
'
 f(x) 
f '(x)  g(x)  f(x)  g'(x)



g(x)


 g(x) 2
DERIVADA DE ALGUNAS
FUNCIONES ESPECIALES
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DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD
Si f(x)  x, entonces : f ' (x)  1
DERIVADA DE LA FUNCIÓN CONSTANTE
Si f(x)  C, entonces : f ' (x)  0
DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIA
Si f(x)  x , entonces f ' (x)  nx
n
n 1
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DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Si f(x) = ax, entonces f´(x) = axln(a)
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
Si f(x) = ex, entonces f´(x) = ex
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO
1
f(x)  loga (x)  f '(x)  loga e
x
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
1
f (x)  ln(x)  f '(x) 
x
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DERIVADAS DE LAS
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  sen x

g' (x)  cos x
g(x)  cos x

f ' (x)   sen x
h(x)  tan x

h' (x)  sec 2 x
F(x)  cot x
 F' (x)   csc 2 x
G(x)  sec x

G' (x)  sec x.tan x
H(x)  csc x

H' (x)  csc x.cot x
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ALGUNAS APLICACIONES
A LA FÍSICA:
• Si x(t) es la posición en el instante “t” , entonces x’(t) es la
velocidad v(t) en el instante “t”. ( v(t)= x’(t) )
• Si v(t) es la velocidad en el instante “t” , entonces v’(t) es la
aceleración a(t) en el instante “t”. ( a(t)= v’(t) )
A LOS INGRESOS Y COSTOS:
Sean I(q), C(q), U(q) las funciones ingreso, costo y utilidad
respectivamente, entonces:
• Ingreso Marginal = I’(q) .
• Costo Marginal = C’(q).
• Utilidad Marginal = U’(q).
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SOLUCION DE LA SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
Suponga que el costo y el ingreso total en soles de fabricar y vender 𝑞 unidades de
un cierto producto está dado por las siguientes función, respectivamente:
𝐶 𝑞 = 2𝑞 2 + 𝑞 + 900 e 𝐼 𝑞 = 𝑞3 + 4𝑞2 + 𝑞 + 100
Determine:
a)
b)
La función costo, ingreso y utilidad marginal.
Sabiendo que la utilidad marginal cuando se fabrican y venden 𝑞 unidades es
68 100, ¿determine el valor adecuado para 𝑞 unidades?