UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO
ESCUELA DE PREGRADO
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍAS Y
ARQUITECTURA
Cálculo Cuaderno de Avance
Presentado por:
- Marcelo Benjhamin Rios Arce
Docente:
Mag. Georgina Cruz Quin
Cusco - Perú
2022
LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
LIMITES
PROPIEDADES:
1. Límite de una constante. Con K un valor real
LÍMITE DE FUNCIONES. - Dada una función real de valor real y =
f(x), se dice que un número
real b es el límite de f(x) cuando x se aproxima a un número fijo “a”
i se denota por:
lim
𝑥 →𝑎
2. Límite de una función Identidad
límite de x, cuando x se aproxima o tiende a “a” es a
3. Límite de una suma o resta
𝑓(𝑥) = 𝑏, si x se aproxima a “a”, entonces f(x) se aproxima a “b”
Gráficamente, se tiene
4. Límite de un producto
5. Límite de un cociente
6. Límite de una potencia
factores idénticos y luego se calcula el límite de la expresión
restante.
LIMITES INDETERMINADOS
NOTA: Si la función f(x) del límite contiene ya sea en el numerador
o denominador una diferencia de raíces del mismo índice, se hace
los siguientes reemplazos:
1. Cuando se presenta una diferencia de raíces cuadradas:
7. Límite de una función
g puede ser una raíz, un log, sen, cos, tg, etc.
8. Límite de una raíz
2. Cuando se presenta una diferencia de raíces cúbicas:
9. Límite de un logaritmo
MÉTODO PRÁCTICO: Para calcular el límite de una función. Sólo
se reemplaza todas las
variables de la función por el valor del punto fijo “a”.
3. Cuando se presentan una diferencia de raíces quintas:
NOTA: Cuando el valor de “b” resulta una forma indeterminada
Para calcular correctamente el límite, se debe salvar la
indeterminación por medio de operaciones algebraicas
(factorización) de tal manera que aparezca un factor común tanto en
el numerador como en el denominador, así poder cancelar estos
LÍMITES AL INFINITO
4. Y así sucesivamente.
Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a
valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la
función tan grande como queramos. Se dice que f(x) diverge o se
aproxima al infinito. Para ello, el valor al que tienda la variable
independiente x puede ser tanto a un número finito, como tender al
infinito veamos por ejemplo un límite infinito en la siguiente
función:
Su límite cuando la variable tiende a 2 es:
NOTA: Cuando la cantidad subradical es la misma para raíces de
diferentes índices, entonces toda la cantidad subradical se reemplaza
por una nueva variable cuyo exponente será igual al mínimo común
múltiplo de los índices de las raíces. Llevando así todo el límite a
términos de la nueva variable.
Se puede comprobar si damos valores a la variable x cada vez más
cercanos a 2, tanta cercándonos por su izquierda como por su
derecha, como se ve en el siguiente cuadro, el límite tiende a +∞:
Así podemos escribir las funciones correspondientes de mayor a
menor.
Potencial exponencial > exponencial > potencial > logarítmica.
que es lo mismo:
Se pueden presentar los siguientes tipos:
1. Límite = +∞ cuando x → a
Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño
alrededor de a en el que se
cumple que f(x) > f(a). Como se ve en la figura:
Algunas funciones con un límite infinito pueden crecer más
rápidamente que otras, conforme la variable x se acerca al valor del
límite. Decimos que hay diferentes órdenes de infinito, según su
rapidez en acercarse a él. Comparando las órdenes de infinito en
infinitos fundamentales, ordenados de mayor a menor. Se pueden
apreciar en la siguiente gráfica:
2. Límite = -∞ cuando x → a
Sus órdenes de infinito, de mayor a
menor:
Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño
alrededor de a en el que se
cumple que f(x) < f(a). Como se ve en la figura:
3. Límite = +∞ cuando x → +∞
Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que
sea, (siendo a > 0), siempre
encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) > f(a).
5. Límite = -∞ cuando x → +∞
Para cualquier valor de la función f(a) negativo, por muy grande que
sea en su valor absoluto,
(siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a
entonces f(b) < f(a).
4. Límite = +∞ cuando x → -∞
6. Límite = -∞ cuando x → -∞
Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que
sea, (siendo a < 0), siempre
Para cualquier valor de la función f(a) positivo, negativo, por muy
grande que sea en su valor
encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) > f(a).
absoluto, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b
< a entonces f(b) < f(a)
de tal manera que no se altere la función dada; luego se aplica las
propiedades correspondientes.
LIMITES UNILATERALES
LIMITES LATERALES
El límite de f(x) por la izquierda de a es L si la función toma valores
cada vez más
próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su izquierda.
Lo denotamos por:
Análogamente, el límite de f(x) por la derecha de a es L si la función
toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al
punto a por su derecha.
Lo denotamos por:
PROPIEDADES:
Lógicamente, hablamos del límite de una función en un punto
cuando sus límites
laterales coinciden:
NOTA:
Una forma práctica de calcular los límites cuando x → +∞ ó x→ −∞,
es dividiendo tanto el numerador como el denominador entre la
variable afectada de su mayor exponente que aparece en la función,
Por tanto: EXISTIRÁ EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN, CUANDO
LOS LÍMITES LATERALES SEAN IGUALES.
Si no es así, decimos que el límite en el punto a no existe.
Esta propiedad se
cumple para funciones logarítmicas de cualquier base.
Esta propiedad se
cumple para todas las funciones trigonométricas siempre y cuando
que el lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) esté en el dominio de la función
trigonométrica.
Este enunciado sirve para calcular el límite bilatero de las funciones:
Por tramos, valor absoluto, entero mayor.
; donde u = f(x)
LIMITE DE FUNCIONES TRASCENDENTES
; donde u = f(x)
Una función trascendente es una función que trasciende al álgebra,
en el sentido que no puede ser expresada en términos de una
secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y
extracción de raíces (pero sí se puede expresar como una "suma
infinita"). Dentro de estas funciones se puede tener: funciones
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Se utilizan las
siguientes propiedades
; donde u = f(x)
; donde u = f(x)
; con u = f(x)
; con u = f(x)
; siempre con
Nota:
Propiedades de Logaritmos
Logaritmo de un
producto
Logaritmo de un
cociente
Logaritmo de una
potencia
Logaritmo de una raíz
Logaritmo de uno
Cambio de Base
También se expresar los logaritmos naturales
EJERCICIOS DE LIMITES TRASCENDENTES
EJERCICIOS
Determinar los siguientes límites
NOTA: Cuando en la función cuyo límite queremos calcular
aparecen funciones trigonométricas inversas, entonces estas se deben
reemplazar por una nueva variable y en función de esa nueva
variable se calcula el límite correspondiente.
NOTA:
Cuando la función cuyo límite se calcula, contiene expresiones de la
forma: 𝑎 𝑥 ± 𝑏, donde a y b son constantes de valor real, entonces
esta expresión debe ser reemplazada por una nueva variable.
Tambien:
CONTINUIDAD DE FUNCIONES
La función f(x) es continua en el punto a
DEFINICIÓN. - Se dice que una función f(x) es CONTINUA en un
punto “a”, si se verifica
las siguientes condiciones:
1. Debe existir la imagen de la función en el punto dado “a”.
Esto es: ∃ 𝒇(𝒂)
La función f(x) NO es continua en el punto a
La función f(x) es Discontinua en el punto a
2. Debe existir el límite de la función en el punto “a”.Esto es:
3. La imagen de la
función en el punto “a”
debe ser igual al límite
de la función, cuando
𝑥→𝑎
Esto es:
¿La función será continua en el punto x = 0?
𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒆 𝒅𝒊𝒄𝒆, 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝑭𝑼𝑵𝑪𝑰𝑶𝑵 𝑬𝑺 𝑪𝑶𝑵𝑻𝑰𝑵𝑼𝑨 𝑬𝑵 𝑬𝑳
𝑷𝑼𝑵𝑻𝑶 𝒂
i) Debe existir f(0)? (Esto quiere decir: debe existir f(x), cuando x =
0)
En caso de que falle alguna de las condiciones anteriores, se dice que
la función f(x) NO
f(x) = 4 – 𝑥2 ⇒ 𝑓(0) = 4 − (0)2 = 4 ( si existe f(0))
ES CONTINUA o también la función ES DISCONTINUA en el
punto “a”
Ejemplo
Determinar si la función
, es continua en el punto x = 0
Por tanto, se dice que la función f(x) es continua en el punto x = 0
PROPIEDADES:
1. Toda función polinómica en una variable es continua en toda
la recta real ℝ de la forma:
GRAFICANDO LA FUNCIÓN:
F(x) =
Entonces f(x) es CONTINUA en toda la real ℝ
2. Toda función racional (irreductible o irreducible) es continua
en toda la recta real ℝ,excepto en aquellos puntos donde el
denominador se hace cero.
por tanto f(x ) es continua en toda la recta real ℝ − {𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔
𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑸(𝒙) = 𝟎}
CONTINUIDAD DE FUNCIONES RADICALES
Una función radical de índice PAR es continua en toda la recta real
ℝ si y solo si la cantidad
subradical sea mayor o igual que cero
Ejemplo
𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥2− 9 , es continua en toda la recta real ℝ, si solo sí: 𝒙2 −
𝟗≥𝟎
Esto es:
C.S = ⟨−∞,−𝟑] ∪ [𝟑, +∞⟩
Por tanto, La función f(x) es continua en: ⟨−∞,−𝟑] ∪ [𝟑, +∞⟩
O también f(x) es continua en: ℝ − ⟨−3 , 3⟩
IA
DERIVADA DE FUNCIONES REALES
DEFINICIÓN. - Sea 𝑓:𝐷 → ℝ una función real de variable real y sea
un punto a ∈ D. Se llama derivada de la función y = f(x) en el punto
x = a representado por 𝑓’(𝑎). al valor del siguiente límite si existe
Observaciones:
1. La derivada de una función en un punto, es un número
2. Se tiene la definición equivalente:
siempre que exista el límite
NOMENCLATURA DE LA DERIVADA
Dada la función real de variable real: y = f(x), la derivada de la
función y con respecto a la variable x está representado por:
DEFINICIÓN.
La derivada de una función y = 𝒇(𝒙) es una función que mide la
razón de cambio instantánea de f en x.
La derivada se denota por f ’(x), se expresa como
PROPIEDADES 1. Derivada de una constante “k ∈ ℝ”
NOTAS:
1. Para dos funciones: y = f(m) i m = g(x), se tiene:
La derivada de una raíz cuadrada es igual a la unidad entre dos veces
la raíz cuadrada y todo por la derivada de la cantidad subradical.
2. Para tres funciones: y = f(u) ; u = g(v) i v = h(x) , se tiene:
3. Si y = f(t) i x = g(t), se tiene:
DERIVADA DE UNA COMPOSICIÓN (REGLA DE LA
CADENA)
Dada la función: y = (𝑔 ∘ 𝑓 )(x)= g(f(x))
Entonces:
Cuando se componen tres funciones: f, g i h; se tiene:
𝑦 = (ℎ ∘ 𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = ℎ[𝑔(𝑓(𝑥))], entonces:
La forma práctica para representar la regla de la cadena es:
DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
Una función está definida en forma implícita cuando no aparece
despejada la variable y sino que la relación entre x e y viene dada
por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero
E(x,y) = 0.
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y.
basta derivar miembro a miembro con respecto a la variable x,
utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
En general y'≠1.
La derivada de funciones implícitas puede obtenerse de la siguiente
manera:
1. Despejar la variable y, si es posible, luego derivarlo con respecto a
la variable x Caso contrario
2. Pensando en y como función de x, se deriva a ambos miembros de
la ecuación dada con respecto a x, tomando en cuenta la propiedad
de:
3. Luego de la ecuación de despeja a y’, que viene a ser la derivada
de y con respecto a x
Ejemplo
Determinar
la implícitamente de las siguientes ecuaciones:
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
La derivada de orden superior se conoce como la segunda, tercera,
etc derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su
primera derivada f´(x). A tener en cuenta:
Notación de la Derivada de Segundo Orden
Existen otras formas de expresar la derivada de segundo orden:
Notación de la Derivada de Orden Superior
VALOR NUMÉRICO DE LAS DERIVADAS
Dada una función y = f (x), cuya derivada es
Entonces, el valor numérico de la derivada es el resultado de obtener
al reemplazar todas las variables de la derivada por el valor de un
punto fijo “a” dado.
Ejemplo:
DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
Se utilizan las siguientes propiedades:
Ejemplos
NOTA: Cuando se trata de hallar la derivada de una función
exponencial de la forma(𝑢𝑣), se puede encontrar la derivada,
utilizando la propiedad 9, o en su defecto aplicando logaritmo
natural a ambos miembros de la función exponencial, luego se aplica
la derivada.
NOTA: Cuando se trata de derivar una función logarítmica de base
variable, antes de derivar se expresa en su forma exponencial:
Donde u es una función en términos de la variable x ( u = f(x) )
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
DIRECTAS
Es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función
trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es
decir, la derivada de la función.
DERIVADAS DE POTENCIAS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS E
INVERSAS
Las potencias de funciones trigonométricas o potencias de inversas
trigonométricas se derivan aplicando la propiedad de 𝒖𝒏 .
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
Ejemplos
Hallar la derivada de las siguientes funciones:
Tambien:
RAZÓN DE CAMBIO
Si y = f(x) una función,
con respecto a x.
entonces es la variación de y
Ejemplo: la variación de v con respecto a r será
DEFINICIÓN. - A la variación de y con respecto a x
llama la razón de cambio de y con respecto a x.
Si la variable independiente x es el tiempo t, entonces
velocidad de cambio de y ó velocidad de y.
se
se llama
Es decir: La razón de cambio estudia problemas relacionados con
velocidad de cambio.
NOTAS:
1. Si y aumenta cuando t aumenta entonces
2. 2. Si y disminuye cuando t aumenta, entonces
Sugerencias para plantear y resolver problemas sobre razón de
cambio
1. Todo problema de razón de cambio siempre se plantea en un
instante t > 0, o sea cuando el fenómeno
físico a comenzado a ocurrir; donde se especifican las diferentes
variables y diferentes constantes que
pudiese tener el problema.
2. Se relacionan o se vincula variables y constantes a través de leyes
matemáticas y esta relación se deriva con respecto al tiempo t.
Utilizando la propiedad de
3. Se despeja la incógnita y se reemplazan valores dados.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN REAL
Los máximos y mínimos en una función y = f(x) son los valores más
grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función,
ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio
(extremos absolutos).
EJERCICIOS 1.
Una escalera de 13 metros de largo, se apoya contra una pared
vertical. Si la base de la escalera se aleja de la pared a razón de
6m/seg. ¿Qué tan rápido resbala la parte superior de la escalera,
cuando la base se encuentra a 5 metros de la pared?
Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
Los extremos absolutos son los valores de una función y = f(x) más
grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio.
El máximo absoluto de la función y= f(x) es el valor más grande en todo
el dominio.
El mínimo absoluto de la función y= f(x) es el valor más pequeño en todo
el dominio.
También se puede decir que m es un mínimo relativo en su entorno
si a la izquierda la función es decreciente y a la derecha creciente.
DEFINICIÓN. - El punto en el cual se presenta un máximo o un
mínimo se denomina punto crítico “c” de la función y = f(x).
Para determinar el valor del punto “c” procedemos de la siguiente
manera:
• Se determina la primera derivada de la función y = f(x)
• Si la derivada de la función y = f(x) presenta una forma lineal,
entonces para hallar los
puntos críticos se iguala a cero esta derivada.
Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos
globales.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS
Los extremos relativos de una función y f(x) son los valores más
grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del
dominio.
Los extremos relativos también son conocidos como extremos
locales.
La función y=f(x) tiene en M un máximo relativo si f(M) es mayor
que sus valores próximos a izquierda y derecha.
• Si la derivada de la función y= f(x) es una forma racional entonces
se hallan los puntos
críticos igualando a cero tanto su numerador como su denominador.
Ejemplos
Determinar los puntos críticos de las siguientes funciones:
