Actividad de Construcción Aplicada 1 Álgebra Lineal - 51151 Presenta: Eduardo Alfonso Muñoz Álvarez Lyda Lorena Lago Corporación Unificada Nacional de Educación Superior CUN Facultad de Ingeniería Ingeniería Industrial Bogotá D.C., Febrero de 2023. INTRODUCCIÓN Con el presente trabajo se busca acercar al estudiante de álgebra lineal con los conceptos básicos de matrices y la resolución de sumatoria y productos de las matrices propuestas para la primera actividad de construcción aplicada del semestre. OBJETIVOS • Conceptualizar y entender los conceptos asociados a las matrices para comprender las operaciones que se pueden realizar con estas. • Solucionar todo tipo de matrices para describir sistemas de ecuaciones lineales o diferenciales. Actividad de Construcción Aplicada 1 1. Investiga y describe qué es: a. La notación matricial Los métodos matriciales son una herramienta necesaria utilizada en el método de elementos finitos para los propósitos de simplificación de la formulación de las ecuaciones de rigidez. El propósito es dar solución a los ejercicios que se efectúan manualmente y, lo más importante, para su uso en la programación del método para ordenadores electrónicos de alta velocidad. La notación matricial representa una notación simple y fácil de usar para escribir y resolver conjuntos de simultáneas ecuaciones algebraicas. b. Matriz identidad La matriz Identidad (o Unidad) es una matriz cuadrada llena de ceros (0) excepto en la diagonal principal, donde todos los elementos son unos (1). c. Matriz cuadrada Una matriz cuadrada es una matriz en la que el número de renglones coincide con el número de columnas. Por ejemplo, la matriz A es una matriz cuadrada porque tiene 3 renglones y 3 columnas: De manera formal podemos establecer la siguiente definición: Una matriz cuadrada A es un arreglo de elementos de mxn, tal que m=n, por lo que se dice que esta matriz es de orden n. Cualquier matriz en la que el número de renglones m sea igual al número de columnas n es una matriz cuadrada. d. Matriz diagonal Una Matriz Diagonal es aquella matriz cuadrada es aquella en la que todos los elementos que no estén en la diagonal principal son iguales a 0: A = (aij) es diagonal ⇔ aij = 0 cuando i ≠ j e. Matriz transpuesta La matriz traspuesta de una matriz se denota por y se obtiene cambiando sus filas por columnas (o viceversa). Ejemplo: Obsérvese, por ejemplo, que la primera fila de la matriz A es (1,0,4). Esta fila es la primera columna de su matriz traspuesta. f. Matriz simétrica y antisimétrica Sea A una matriz cuadrada de dimensión mxm. Entonces, A es simétrica si igual a su matriz traspuesta A^T, es decir, si A = A^T. Ejemplo de matriz simétrica de dimensión 3: Matriz simétrica y antisimétrica g. Matriz Triangular En álgebra lineal, las matrices triangulares son matrices cuadradas en las que una parte triangular de los valores, delimitada por la diagonal principal, es cero. h. Matriz idempotente Una matriz idempotente A, es una matriz cuadrada que al multiplicarla por ella misma da lugar a la matriz original. Condición de una matriz idempotente Sucesivas potencias de una matriz idempotente A dan lugar a la matriz original A. Potencia de una matriz idempotente La matriz identidad y la matriz nula cuadrada son dos casos de matriz idempotente. Los matrices idempotentes son matrices singulares (no tienen inversa) excepto la matriz identidad y la matriz nula cuadrada. No es condición necesaria para que una matriz sea idempotente el que sea una matriz simétrica. El determinante de una matriz idempotente es siempre o 0 o 1. Una matriz idempotente de orden 2 debe de satisfacer: Condición de una matriz idempotente de orden 2. Estos son dos ejemplos de matrices idempotentes: i. Matriz Nilpotente Una matriz nilpotente N, es una matriz cuadrada que, al multiplicarla por ella misma, al menos un número de veces z, da lugar a una matriz nula (y también cuadrada). Se llama índice de nilpotencia al menor de esos índices z. El índice de nilpotencia es igual o menor que el orden n de la matriz. Una matriz nilpotente no es invertible (es una matriz singular). Su traza y su determinante son nulos. j. Matriz Adjunta La matriz adjunta es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto. Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo: El signo es + si i+j es par. El signo es - si i+j es impar. k. Matriz de Cofactores Sea A una matriz cuadrada. El menor del elemento aij se denota como Mij y es el determinante de la matriz que queda después de borrar el renglón i y la columna j de A. El cofactor de aij se denota como Aij y está dado por: l. Matriz Inversa Se dice que una matriz cuadrada donde es invertible si existe una matriz es la matriz identidad . La matriz con la propiedad de que es única, la llamamos la inversa de y la denotamos por Esto es, Observación importante: Una matriz es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero. Esto es, una matriz tiene inversa si su determinante es no cero. 2. Realizar las siguientes operaciones 2.1 calcule cada suma o producto si la matriz está definida. Si alguna expresión no estádefinida, explique por qué. Dada las matrices Calcular: ❖ −2𝐴 2 −2 [ 4 0 −1 −4 0 2 ]=[ ] −5 2 −8 10 −4 ❖ 𝐵 – 2𝐴 [ 2 0 −1 7 −5 1 7 ]− 2[ ]=[ 4 −5 2 1 −4 −3 1 =[ 3 −5 3 ] −7 6 −7 −4 0 2 −5 1 ]+[ ] −8 10 −4 −4 −3 ❖ 𝐴𝐶 No está definida porque el número de columnas de la primera matriz (2X3) debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz (2x2). ❖ 𝐶𝐷 [ 1 2 1 13 3 5 ]∗[ ]=[ ] −2 1 −7 −6 −1 4 ❖ A + 3B [ 2 0 −1 2 7 −5 1 ]+ 3[ ]=[ 4 −5 2 4 1 −4 −3 =[ 0 −1 21 −15 3 ]+[ ] −5 2 3 −12 −9 23 −15 2 ] 7 −17 −7 ❖ 2C − 3E 1 2 2 4 6 −5 −15 2∗[ ] ∗ 3[ ] = [ ]∗[ ]=[ ] −2 1 −2 2 78 3 9 ❖ DB No está definida porque el número de columnas de la primera matriz (2X2) debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz (2x3). ❖ EC No está definida porque el número de columnas de la primera matriz (1X2) debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz (2x2). 3. Elaborar un mapa conceptual sobre la clasificación de las matrices. 4. Reseña en 1 página la biografía de Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan. Johann Carl Friedrich Gauss (1777 –1855), es considerado como el chico maravilla de las matemáticas. Nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, hoy Alemania. Su familia era humilde; desde niño mostro sus habilidades matemáticas, siendo alentado para que tuviera el apoyo del Duque de Brunswick. De esta forma, el Duque le ayudo económicamente hasta alcanzar la Universidad de Gotinga (17951798). Su tesis para doctor demostró el teorema fundamental del algebra. En 1801 Gauss hizo público su trabajo en relación con la teoría de los números, las disquisiciones aritméticas. También propuso la teoría de los números congruentes y otras operaciones con funciones de variables complejas, que iniciaron la nueva teoría de los números algebraicos. Se destacó también como físico y astrónomo. Wilhelm Jordan (1842–1899) fue un geodesista alemán que hizo trabajos de topografía en Alemania y África. Es recordado entre los matemáticos por su algoritmo de la eliminación de Gauss-Jordan que aplicó para resolver el problema de mínimos cuadrados. Esta técnica algebraica apareció en su Handbuch der Vermessungskunde (1873). Jordan nació en Ellwangen, un pequeño pueblo en el sur de Alemania. Estudió en el Instituto Politécnico de Stuttgart y después de trabajar durante dos años como asistente de ingeniería en las etapas preliminares de la construcción del ferrocarril, volvió allí como asistente en geodesia. En 1868, cuando tenía 26 años, fue nombrado profesor titular en Karlsruhe. En 1874, Jordan participó en la expedición de Friedrich Gerhard Rohlfs a Libia. Desde 1881 hasta su muerte fue profesor de geodesia y geometría práctica en la Universidad Técnica de Hannover. Fue un prolífico escritor y su obra más conocida fue su Handbuch der Vermessungskunde (Libro de Texto de Geodesia). CONCLUSIONES Las matrices tienen muchas aplicaciones y se manipulan muy a menudo en la actualidad. Las razones más importantes por las que se usan las matrices son: para resolver problemas y para relacionar datos entre sí. Se debe conceptualizar los componentes de una matriz para de esta forma entender cómo se realizan las operaciones entre matrices. BIBLIOGRAFÍA • Herrera, P. (s. f.). Introduccion a la notacion de matrices. https://es.slideshare.net/PamelaHerrera3/introduccion-a-la-notacion-de-matrices • [email protected]. (2021, 30 abril). Matriz Identidad o Unidad. matrices y determinantes. https://www.matricesydeterminantes.com/matrices/tipos-dematrices/matriz-identidad-o-unidad/ • Y. (2022, 10 marzo). Matriz cuadrada – Definición y ejemplos - Celebérrima.com. celeberrima.com. https://www.celeberrima.com/matriz-cuadrada-definicion-y-ejemplos/ • Matriz traspuesta o transpuesta. (s. f.). GeoGebra. https://www.geogebra.org/m/mafmgjpd • Matriz simétrica y antisimétrica. (s. f.). Didactalia: material educativo. https://didactalia.net/comunidad/materialeducativo/recurso/matriz-simetrica-yantisimetrica/94325c4d-c196-6baa-6a9b-d1a904f96770 • Matriz triangular - frwiki.wiki. (s. f.). https://es.frwiki.wiki/wiki/Matrice_triangulaire • MATRIZ IDEMPOTENTE. (s. f.). Universo Formulas. https://www.universoformulas.com/matematicas/algebra/matriz-idempotente/ • matriz adjunta. (s. f.). Diccionario de Matemáticas | Superprof. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/algebralineal/matriz-adjunta.html • MENORES-COFACTORES-Y-DETERMINANTES. (s. f.). MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES. https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/08d.-MENORES-COFACTORES-YDETERMINANTES.pdf • Matriz Inversa - Google Zoeken. (s. f.). https://www.google.com/search?q=Matriz+Inversa • Wilhelm Jordan ▷ Información, Historia, Biografía y más. (wikidat.com) • Historia y biografía de Johann Carl Friedrich Gauss (historia-biografia.com)
