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Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes
- Raíces reales diferentes: y  c1e m x  c 2 e m x    c n e m x
- Raíces reales iguales: y  c1e m x  c 2 xe m x    c n x n 1e m x
- Raíces complejas diferentes (de la forma mk  ak  bk i y mk 1  ak  bk i ):
FORMULARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1
dy
 q( x )

 p( x )y  q( x ) , y      p ( x )dx dx  c e   p ( x )dx
dx
 e

 p ( x ) dx
Factor integrante: e
Ecuación exacta: M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
Ecuación lineal:
M ( x, y ) N ( x, y )

,
y
x
Factor integrante: m( x )  e
Soluciones por sustitución
Ecuación homogénea:
1
-
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
Función homogénea: f (tx, ty )  t k f ( x, y )
Sustituciones: x  uy o y  vx
y m( y )  e
c
n 1
cos bn 2 x  c n sen bn 2 x 
Raíces complejas iguales:
1
Ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes
Operador anulador (coeficientes indeterminados)
- D n anula 1, x, x 2 ,, x n 1
n
- D    anula e x , xe x , x 2 e x ,, x n 1e x
1  N M 
 dy

 
M  x y 
- D 2  2D   2   2  anula x n 1e x cos x y x n 1e x sen x
Soluciones propuestas (coeficientes indeterminados)
Forma de la función g x 
Forma de la solución particular y P
s
(1)
Constante: a
x A
n
s
s
n
(2)
Polinomio: pn x   an x    a1 x  a0 x Pn x   x An x    A1 x  A0 
Exponencial: ae x
x s Ae x
Senos y cosenos: a cos  x  bsen x
x s A cos x  Bsenx 
Producto de polinomio y exponencial:
x s Pn x e x
n
dy
 P ( x )y  f ( x ) y n
dx
Sustitución: w  y 1 n
dw
 (1  n )P ( x )w  (1  n )f ( x )
dx
APLICACIONES (ED de Primer Orden)
dT
 k (T  T m )
dt
 dy   dy 
Trayectorias ortogonales:      1
 dx  C1  dx  C 2
Ley de enfriamiento de Newton:
pn x e x
Productos de senos y cosenos por
polinomios:
pn x cos x  q m x senx
donde: q m x   bm x n    b1 x  b0
Productos de senos y cosenos por
exponencial: ae x cos x  be x senx
Productos de polinomios, senos y
cosenos y exponencial:
pn x e x cos x  q m x e x senx
dq
di
dq 1
Circuitos eléctricos: L  Ri  E t  , R
 q  E t  , i 
dt
dt
dt C
dv
Caída libre (resistencia del aire  velocidad): m
 mg  kv
dt
 razón de entrada   razón de salida 
dA

  
Mezclas:
 R i  R o  
dt
de la sal
de la sal


 
 razón de entrada  concentración de sal en el 


R i  
efluente de entrada
 de la salmuera 

(1)
 razón de salida  concentración de sal en el 


R o  
efluente de salida
 de la salmuera 

(2)
e   P ( x )dx
dx
y 12 ( x )
1
x s PN x cos x  QN x senx  ,
donde QN x   BN x n    B1 x  B0
y N  max n, m 
x s e x A cos x  Bsenx 
x s e x PN x cos x  QN x sen x 
donde N  max n, m 
El entero no negativo s se elige como el menor entero tal que ningún término de la
solución particular y P x  sea solución de la ecuación homogénea correspondiente.
Pn x  debe incluir todos los términos aunque pn x  tenga algunos términos nulos.
Variación de parámetros: c ' i ( x ) 
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Segunda solución (reducción de orden): y 2 ( x )  y 1 ( x )
an 2 x
1
y  e a x c 1 cos b1 x  c 2 sen b1 x     x n 1e a x c n 1 cos b1 x  c n sen b1 x 
1
Ecuación de Bernoulli:

n
1
y  e a x c 1 cos b1 x  c 2 sen b1 x     e
f ( x, y )
f ( x, y )
 M ( x, y ) y
 N ( x, y )
y
x
1  M N 
 dx

 
N  y x 
2
i
w ( y 1, y 2 ,, y n )
2
Ecuaciones homogéneas con coeficientes variables
- Raíces reales diferentes: y  c1 x m  c 2 x m    c n x m
1
-
1
1
Raíces complejas iguales: y  x
1
c
n 1
cos (  n 2 ln x )  c n sen (  n 2 ln x )
1
 x
1
n 1
2
2
n 1
1
1
1
n
APLICACIONES (ED de Orden Superior)
Ecuación General del Movimiento: m
d x
dx

 kx  f (t )
2
dt
dt
Movimiento Vibratorio Amortiguado

2 
, Caso 3: x (t )  Ae  t Sen  2  2 t   , cuasiperiodo 


2
 2  2
,
-
L e
Segundo Teorema de la
Traslación:
Forma inversa:
Forma alterna:
Derivadas de
transformadas:
f (t )dt
1
1
s s a
 e
 as
at
f (t )
1
1
1
X 1  B1 cos t  B2 sen t e  t , X 2  B2 cos t  B1sen t e  t ,
  22
1

det ( t )    21
 12 
1
 , o en general  1 ( t ) 
adj ( t ) , con
11 
det ( t )
T
F (s )
SERIES DE POTENCIAS

Solución en torno a puntos ordinarios: y   c n ( x  x 0 )n
n 0
 as
n
1
t2  t
e  Pte  t  Qe  t , con ( A  1I )Q  P
2
Valores propios complejos: 1     i y 2     i ,
adj ( t )  cof ( t )
 as
n
t
Valores propios repetidos
Para m  2 , X 2  Kte  t  Pe  t , con ( A  1I )P  K
 1 ( t ) 
L e F s   f t  a U t  a 
L g (t )U (t  a)  e L g (t  a)
L t f t    1
n
Solución general: X  X c  X P  (t )C  (t )  1 (t )F (t )dt
0, 0  t  a
U (t  a )  
t a
1,
L f (t  a)U (t  a)  e
t
 F (s ) 

  0 f  d
s


con B1  Re(K 1 ) y B2  Im(K 1 )
f (t )  F (s  a )  F (s ) s s  a
L F (s  a)  L F (s )
1
s
2
Para m  3 , X 3  K
0
1
L
1
-
Primer Teorema de la
Traslación:
Forma inversa:
Función escalón unitario:
t
0
1

 st
n 1
L  f  d  F (s )
X  c 1K 1e  t  c 2 K 2 e  t    c n K n e 
TRANSFORMADA DE LAPLACE
L f (t )   e
n 2
MÉTODO MATRICIAL (Sistemas de ecuaciones diferenciales)
X  Ke t , A  I K  0 , detA  I   0
- Valores propios reales distintos:
dq 1
d 2q
Circuitos eléctricos: L 2  R
 q  E (t )
dt C
dt
Definición:
n 1
n
g (t ), 0  t  a
f (t )  
se puede escribir f (t )  g (t )  g (t ) U (t  a )  h(t ) U (t  a)
h(t ), t  a
0t a
 0,

f (t )  g (t ), a  t  b se puede escribir f (t )  g (t )U (t  a )  U (t  b )
 0,
t b

(2n  1)   
2
 2   2 t  n  
t

*
cuasifrecuencia 
2
2
2
  ,
  2
2
,
at
n
Forma inversa:
c
c
c1
, cos   2 y tan   1
A
A
c2
m
1
2
Movimiento Armónico Simple
k
2
1

2  , T 
,f  
, x (t )  Asen  t    , A  c12  c 22 ,
T 2
m

sen  
t
0
Transformada de una
derivada:
Transformada de una
integral:
c cos (  ln x )  c sen (  ln x )  
ln x  c cos (  ln x )  c sen (  ln x )
1
L f  g  L  f  g t   d   L f (t )L g (t )
L F s G(s )  f  g
L f   t   s F s   s  f 0  s  f 0...  f   0
Teorema de la
Convolución:
Forma inversa:
n 1
1
1
n 2
t
n
Raíces reales iguales: y  c1 x m  c 2 x m ln x    c n x m ln x 
Raíces complejas diferentes: y  x  c 1 cos (  1 ln x )  c 2 sen (  1 ln x )  
 x
-
2
f  g  0 f  g t   d
Convolución:

Si x 0  0 , entonces y   c n x
n
d n F s 
n d L f t 




1
ds n
ds n
n
n 0
3
4