Hidráulica teórica IEC-313 Oscar Aravena Ortega Universidad de Valparaı́so October 16, 2018 Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 1 / 27 Informaciones generales: Profesor: Mail: Oscar Aravena Ortega [email protected] Fechas importantes: Prueba Prueba Prueba Prueba sumativa 1: sumativa 2: sumativa 3: recuperativa Prueba especial Viernes Viernes Viernes Viernes 12 de Octubre, 16:15 horas 30 de Noviembre, 16:15 horas 28 de Diciembre, 16:15 horas 4 de Enero, 16:15 horas Jueves 10 de Enero, 14:30 horas Semanalmente se enviarán tareas. Durante el semestre se realizarán 5 controles, de los cuales solo se considerarán 4 en el cálculo del promedio de controles. Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 2 / 27 The FOLLOWING presentation has been approved for ALL AUDIENCES! Esta presentación no corresponde a ningún apunte oficial del curso, por lo cual debe ser complementada tanto con las clases, apuntes de aula, texto guı́a, tareas, etc... Si encuentra errores o ambigüedades, por favor escribir a [email protected] Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 3 / 27 The FOLLOWING presentation has been approved for ALL AUDIENCES! Esta presentación no corresponde a ningún apunte oficial del curso, por lo cual debe ser complementada tanto con las clases, apuntes de aula, texto guı́a, tareas, etc... Si encuentra errores o ambigüedades, por favor escribir a [email protected] Para sacarle un mejor provecho a la presentación, ésta debe ser reproducida Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 3 / 27 Tabla de contenidos: 1 Introducción Caracterización de un fluido 2 Caracterización de un fluido Ecuación de continuidad Ecuación de movimiento Ecuación de Bernoulli 3 Aplicaciones Tubo de Venturi Ley de Torricelli 4 Fluidos reales El número de Reynolds Fluidos en régimen laminar Gasto en un fluido en régimen laminar: La ecuación de Poiseulle Perdidas de Presion Perdidas de carga. La ecuación de Darcy-Weisbach Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 4 / 27 Introducción Caracterización de un fluido Fluido → Macroscópico → Medio continuo ”Elemento de volumen” → Muchas partı́culas → pequeña fracción en comparación al volumen del cuerpo Algunas variables que caracterizan el fluido: Presión: P → P (x, y, z, t) (1) Densidad: ρ → ρ (x, y, z, t) (2) Velocidad: ~v → ~v (x, y, z, t) (3) Notar que (1) y (2) corresponden a cantidades termodinámicas, mientras que (3) representa la distribución de un campo de velocidades. Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 5 / 27 Introducción Caracterización de un fluido Fluido → Macroscópico → Medio continuo ”Elemento de volumen” → Muchas partı́culas → pequeña fracción en comparación al volumen del cuerpo Algunas variables que caracterizan el fluido: Presión: P → P (x, y, z, t) (1) Densidad: ρ → ρ (x, y, z, t) (2) Velocidad: ~v → ~v (x, y, z, t) (3) Notar que (1) y (2) corresponden a cantidades termodinámicas, mientras que (3) representa la distribución de un campo de velocidades. Caracterización de un fluido Estacionario o no estacionario. Compresible o incompresible. Viscoso o no viscoso. Rotacional o irrotacional. Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 5 / 27 Tabla de contenidos: 1 Introducción Caracterización de un fluido 2 Caracterización de un fluido Ecuación de continuidad Ecuación de movimiento Ecuación de Bernoulli 3 Aplicaciones Tubo de Venturi Ley de Torricelli 4 Fluidos reales El número de Reynolds Fluidos en régimen laminar Gasto en un fluido en régimen laminar: La ecuación de Poiseulle Perdidas de Presion Perdidas de carga. La ecuación de Darcy-Weisbach Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 6 / 27 Caracterización de un fluido Ecuación de continuidad IDEA 1: Materia se conserva. (Fluido que entra) (Fluido que sale) − ∂ ∫ ρdV ∂t ∮ ρ⃗v⋅d ⃗s Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 7 / 27 Caracterización de un fluido Ecuación de continuidad IDEA 1: Materia se conserva. (Fluido que entra) (Fluido que sale) − ∂ ∫ ρdV ∂t ∮ ρ⃗v⋅d ⃗s Fluido que entra I ρ~v · d~s = = Fluido que sale Z ∂ − ρdV ∂t ∂ρ ~ + ∇ · (ρ~v ) = 0 ∂t (4) La ecuación (4) se conoce como ecuación de continuidad Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 7 / 27 Caracterización de un fluido Ecuación de continuidad Definiendo el vector densidad de flujo másico como: J~ = ρ~v , (4) nos queda: ∂ρ ~ ~ +∇·J =0 ∂t ∂ρ = 0, Un caso particular se presenta cuando el fluido es incompresible. En este caso ∂t luego: I ~ · J~ = 0 ⇒ ∇ ρ~v · d~s = 0 Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 8 / 27 Caracterización de un fluido Ecuación de continuidad Definiendo el vector densidad de flujo másico como: J~ = ρ~v , (4) nos queda: ∂ρ ~ ~ +∇·J =0 ∂t ∂ρ Un caso particular se presenta cuando el fluido es incompresible. En este caso = 0, ∂t luego: d⃗ S manto I ~ · J~ ∇ = 0 ⇒ ~v · d~s = −v1 A1 + v2 A2 = 0 ρ~v · d~s = 0 ⃗v 2 I d ⃗S 1 d⃗ S2 ⃗v1 A1 v1 = A2 v2 d⃗ S manto dV La cantidad Av = = Q y se conoce como caudal (gasto). dt Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 8 / 27 Caracterización de un fluido Ecuación de continuidad Para la siguiente situación: (1) (2) ¿Dónde es mayor la presión? Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 9 / 27 Caracterización de un fluido Ecuación de movimiento IDEA 2: Movimiento del fluido obedece las ecuaciones de Newton. Para un elemento de fluido cualquiera, la fuerza total que actúa sobre él es igual a: Z ~ dV ~ = − ∇P F Luego, a partir del segundo principio de Newton: X Z − ~ F = ρ~g dV = 1~ − ∇P + ~g ρ = ~ dV + ∇P Z d~ p dt d (ρ~v ) dV dt d~v dt ¿Cómo hacemos la derivada del lado derecho? Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 10 / 27 Caracterización de un fluido Ecuación de movimiento Ecuación de Euler − 1~ ∂~v ~ ∇P + ~g = + ~v · ∇ ~v ρ ∂t (5) La ecuación (5) fue obtenida por primera vez por Leonard Euler en 1755, se denomina ecuación de Euler para el movimiento del fluido y representa una de las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos. Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 11 / 27 Caracterización de un fluido Ecuación de movimiento Ecuación de Euler − 1~ ∂~v ~ ∇P + ~g = + ~v · ∇ ~v ρ ∂t (5) La ecuación (5) fue obtenida por primera vez por Leonard Euler en 1755, se denomina ecuación de Euler para el movimiento del fluido y representa una de las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos. Notar que para el caso particular de la hidrostática, (5) se reduce a: ~ = ρ~g ∇P Es decir: P = P0 + ρgh Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 11 / 27 Caracterización de un fluido Ecuación de movimiento Identidad Demostrar la siguiente identidad vectorial: ~ 2 − ~v × ∇ ~ × ~v ~ ~v = 1 ∇v ~v · ∇ 2 (6) ~ × ~v se llama ”Rotacional del campo vectorial ~v ” Nota al margen: La cantidad ∇ Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 12 / 27 Caracterización de un fluido Ecuación de movimiento Identidad Demostrar la siguiente identidad vectorial: ~ 2 − ~v × ∇ ~ × ~v ~ ~v = 1 ∇v ~v · ∇ 2 (6) ~ × ~v se llama ”Rotacional del campo vectorial ~v ” Nota al margen: La cantidad ∇ Diferencia entre divergencia y rotor Divergencia de ~v : ~ · ~v = ∂vx + ∂vy + ∂vz ∇ ∂x ∂y ∂z y z Rotacional de ~v : x ~ × ~v = ∇ Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica î ∂ ∂x ~vx ĵ ∂ ∂y ~vy k̂ ∂ ∂z ~vz October 16, 2018 12 / 27 Caracterización de un fluido Ecuación de Bernoulli A partir de la ecuación de Euler que describe el movimiento del fluido, (5), y la identidad presentada en (6): ∂~v 1~ 1~ 2 ~ × ~v + ~g = − ~v × ∇ − ∇P + ∇v ρ ∂t 2 Luego, bajo las siguientes suposiciones: ∂~v ~ =0 ∂t ~ × ~v = ~0 Fluido irrotacional ⇒ ∇ Fluido estacionario ⇒ La ecuación de Euler se reduce a: 1~ 1~ 2 ~ P + 1 ρv 2 + ρg = 0 − ∇P + ~g = ∇v ⇒ ∇ ρ 2 2 Ecuación de Bernoulli: P+ Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) 1 2 ρv + ρgh = cte. 2 Hidráulica teórica October 16, 2018 13 / 27 Tabla de contenidos: 1 Introducción Caracterización de un fluido 2 Caracterización de un fluido Ecuación de continuidad Ecuación de movimiento Ecuación de Bernoulli 3 Aplicaciones Tubo de Venturi Ley de Torricelli 4 Fluidos reales El número de Reynolds Fluidos en régimen laminar Gasto en un fluido en régimen laminar: La ecuación de Poiseulle Perdidas de Presion Perdidas de carga. La ecuación de Darcy-Weisbach Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 14 / 27 Aplicaciones Tubo de Venturi La figura muestra un medidor de Venturi. El medidor de Venturi se usa para medir la rapidez de flujo en una cañerı́a por la cual circula un fluido. La parte más ancha tiene una sección transversal A1 y la parte angosta, llamada garganta, tiene una sección transversal A2 . h (1) (2) Determinar una expresión para la rapidez del fluido en (1). Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 15 / 27 Aplicaciones Ley de Torricelli La figura muestra un estanque de almacenamiento de agua. Las medidas se detallan en la figura adjunta. A2 Determinar: (Tapa) 1.1.- Una expresión para la rapidez de salida del A1 fluido ¿A qué se reduce el resultado la parte superior del estanque se remueve la tapa? 1.2.- Considerando la tapa superior abierta ¿Dónde se debe ubicar el agujero de salida de tal manera que el alcance del fluido sea máximo? 1.3.- Determina una expresión que permita determinar el tiempo en el cual se descarga el estanque. Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica h1 h2 October 16, 2018 16 / 27 Tabla de contenidos: 1 Introducción Caracterización de un fluido 2 Caracterización de un fluido Ecuación de continuidad Ecuación de movimiento Ecuación de Bernoulli 3 Aplicaciones Tubo de Venturi Ley de Torricelli 4 Fluidos reales El número de Reynolds Fluidos en régimen laminar Gasto en un fluido en régimen laminar: La ecuación de Poiseulle Perdidas de Presion Perdidas de carga. La ecuación de Darcy-Weisbach Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 17 / 27 Fluidos reales El número de Reynolds → → Fluidos = → Flujo de fluidos = Régimen de transición Régimen turbulento → Flujo interno cañerı́as → Flujo externo canales abiertos Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Régimen laminar Hidráulica teórica October 16, 2018 18 / 27 Fluidos reales El número de Reynolds Para caracterizar el régimen en el cual se encuentra un fluido en cuestión, utilizamos el número de Reynolds -adimensional- y, a través de su valor, verificamos si el fluido se encuentra en un régimen laminar o turbulento. El número de Reynolds se define como: Re = hV i Dh ρ hV i Dh Fuerzas inerciales = = Fuerzas viscosas ν µ (7) Donde: ρ representa la densidad del fluido. hV i el valor promedio de la velocidad del fluido. Dh el diámetro hidráulico, el cual viene dado por: Dh = 4 Área Perı́metro donde en el caso de una cañerı́a circular Dh = D = 2R. µ la viscosidad dinámica. Estimar el número de Reynolds para el agua de una cañerı́a domiciliaria tı́pica Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 19 / 27 Fluidos reales El número de Reynolds Como criterio para indicar el régimen del fluido, ingenierilmente aceptado tenemos: . 2300 Régimen laminar 2300 . Re . 4000 Régimen de transición Re = & 4000 Régimen turbulento Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 20 / 27 Fluidos reales Fluidos en régimen laminar Consideremos un fluido viscoso que circula en régimen laminar por una tuberı́a de radio interior R, y de longitud L, bajo la acción de una fuerza debida a la diferencia de presión existente en los extremos del tubo. F 1= P 1 A R F 2= P 2 A R r L (Vista lateral) (Vista frontal) Supongamos que el fluido satisface la relación de Newton para fluidos viscosos, es decir: τ =ν dv dr ⇔ (P1 − P2 ) πr2 dv = −µ 2πrL dr Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica ; (dv < 0 al aumentar r) October 16, 2018 21 / 27 Fluidos reales Fluidos en régimen laminar A partir de lo anterior: r =R 2 (P1 − P2 ) πr 2πrL (P2 − P1 ) r 2Lµ Z (P2 − P1 ) R 0 0 r dr 2Lµ r dv dr dv − dr Z v(r) − dv 0 = = v (r) = r =0 −µ = L (Vista lateral) 0 ∆P R2 − r 2 4Lµ ; ∆P = P1 − P2 > 0 Aquı́ debemos notar que el perfil de velocidades es parabólico, siendo máximo en su centro y mı́nimos en las paredes (condición de no-deslizamiento). Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 22 / 27 Fluidos reales Gasto en un fluido en régimen laminar: La ecuación de Poiseulle Nuestro objetivo es determinar el gasto (caudal) que produce un fluido en régimen laminar que es transportado en un ducto cilı́ndrico de radio R. Q Z Q Z dq = = v (r) dA ; A = πr2 ⇒ dA = 2πrdr 0 Q = Q = ∆P 4Lµ Z R R2 − r2 2πrdr "0 # R 2 R π∆P r4 2r R − 2Lµ 2 0 4 0 Q= πD4 ∆P πR4 ∆P = 8Lµ 128Lµ (8) La expresión (8) se conoce con el nombre de ecuación de Poiseuille y permite determinar el flujo laminar estacionario de un fluido incompresible y uniformemente viscoso en un ducto cilı́ndrico de radio R. Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 23 / 27 Fluidos reales Perdidas de Presion Notar que a partir de (8) si, por ejemplo, para una tuberı́a fija, recta, la potencia de bombeo se puede reducir en un factor de 16 por el solo hecho de duplicar el diámetro de la tuberı́a. En términos prácticos nos interesa el valor medio de la velocidad del fluido en la tuberı́a, es decir, hvi: hvi = hvi = ∆P = Gasto total = Área total R2 ∆P 8Lµ πR4 ∆P 8Lµ πR2 8Lµ 32Lµ hvi = ∆P = hvi R2 D2 (9) Es decir, la presión cae a través de la tuberı́a, es decir, se produce una pérdida de presión. Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 24 / 27 Fluidos reales Perdidas de carga. La ecuación de Darcy-Weisbach Para determinar la pérdida de altura equivalente, multiplicamos (9) y dividimos por 2ρ hvi g obteniendo: ∆P = 2ρ hvi g 32Lµ hvi × D2 2ρ hvi g ∆P ρg = hf = 64 µ L hvi2 hvi Dρ D 2g | {z } 1/Re hL = 64 L hvi2 ∆P = ρg Re D 2g (10) ∆P Aquı́, en (10), hf = se conoce con el nombre de Pérdida de carga y representa ρg la pérdida de presión de un fluido debido a la fricción misma del fluido entre sus capas y las paredes de la tuberı́a en la que es transportado. Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 25 / 27 Fluidos reales Perdidas de carga. La ecuación de Darcy-Weisbach Pérdidas de carga = Continuas → A lo largo de una tuberı́a Locales → Cerca de ua válvula, cambio de dirección En términos generales, ya sea para fluidos laminares o turbulentos, las pérdidas de cargas son expresadas a través de la ecuación de Darcy-Weisbach: hL = ∆P L hvi2 =f ρg D 2g (11) Donde f representa el factor de fricción de Darcy-Weisbach. A partir de (10), podemos notar que para un fluido viscoso, laminar, que se rige por la ley de Newton, el factor de fricción de Darcy es: f= Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) 64 Re Hidráulica teórica October 16, 2018 26 / 27 Hidráulica teórica IEC-313 Oscar Aravena Ortega Universidad de Valparaı́so October 16, 2018 Oscar Aravena Ortega (Universidad de Valparaı́so) Hidráulica teórica October 16, 2018 27 / 27
