UNIDAD 2: ANÁLISIS MATRICIAL (2) GENERALIZACIÓN DEL ANÁLISIS MATRICIAL DE RIGIDEZ Se va a generalizar el análisis matricial ya presentado de pórticos planos hacia pórticos espaciales. En el caso de barras bisimétricas en el espacio se tienen 12 grados de libertad y 12 fuerzas internas asociadas en coordenadas locales: 𝒚′ Para el caso de los momentos torsores 𝑴𝒙!𝟏 y 𝑴𝒙!𝟐 asociados a los giros 𝜽𝒙!𝟏 y 𝜽𝒙!𝟐 , replantemos lo visto en Resistencia de Materiales. Sea el siguiente eje: 𝒅𝒙 𝑴𝒚! 𝟏 , 𝜽𝒚! 𝟏 𝑴𝒙! 𝟏 , 𝜽𝒙! 𝟏 𝑴𝒛! 𝟏 , 𝜽𝒛! 𝟏 𝒛′ 𝑭𝒚! 𝟏 , 𝒗′𝟏 𝑭𝒛! 𝟏 , 𝒘′𝟏 𝑭𝒙! 𝟏 , 𝒖′𝟏 𝟏 𝑬, 𝑮, 𝝂, 𝑨, 𝑰 𝒚 , 𝑰𝒛 , 𝑳 𝑻 𝑴𝒚! 𝟐 , 𝜽𝒚! 𝟐 𝑳 𝑭𝒚! 𝟐 , 𝒗′𝟐 𝑭𝒛! 𝟐 , 𝒘′𝟐 𝑭𝒙! 𝟐 , 𝒖′𝟐 𝑴 ! , 𝜽 ! 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙′ 𝑴𝒛! 𝟐 , 𝜽𝒛! 𝟐 𝟐 Ya se cuentan con relaciones de rigidez para carga axial, momento flector y fuerza cortante (ver unidad 1). Marcaremos sobre el eje un área abcd de longitud 𝒅𝒙. La seccionaremos para analizarla: 𝜸 𝜸𝐦á𝐱 𝟎≤𝝆≤𝒓 𝑻 𝑻 (𝑰) Seccionemos ahora un eje interior de radio 𝝆: (𝑰𝑰) Busquemos relacionar 𝜸 con 𝜸𝑴Á𝑿 . En (𝑰) consideremos que abb’ es un triángulo rectángulo. Entonces: 𝒃𝒃' 𝒅𝝓 tan 𝜸𝑴Á𝑿 ≈ 𝜸𝑴Á𝑿 = =𝒓 (𝟏) 𝒅𝒙 𝒅𝒙 En (𝑰𝑰): 𝒃𝒃' 𝒅𝝓 tan 𝜸 ≈ 𝜸 = =𝝆 𝒅𝒙 𝒅𝒙 (𝟐) De (1) y (2): 𝜸𝑴Á𝑿 𝜸 = 𝒓 𝝆 → 𝜸= 𝝆 𝜸𝑴Á𝑿 𝒓 (𝟑) Al observar (𝑰) y (𝑰𝑰) se aprecia que 𝑻 genera esfuerzos cortantes 𝝉. Por lo tanto, aplica la ley de Hooke en cortante: 𝝉 = 𝑮𝜸 (𝟒) → 𝝉𝑴Á𝑿 = 𝑮𝜸𝑴Á𝑿 De (2) y (4): 𝒅𝝓 𝝉 = 𝑮𝝆 𝒅𝒙 De (1) y (3): 𝝉𝑴Á𝑿 = 𝑮𝒓 De (6) / (7): 𝝉 𝝉𝑴Á𝑿 𝒅𝝓 𝒅𝒙 (𝟓) Como 𝒅𝑨 es pequeño y hemos considerado que están presentes esfuerzos cortantes entonces se cumple que: 𝒅𝑭 𝝉= → 𝒅𝑭 = 𝝉 𝒅𝑨 𝒅𝑨 (𝟔) (𝟕) 𝝆 𝝆 = → 𝝉 = 𝝉𝑴Á𝑿 𝒓 𝒓 También: (𝟖) Ahora bien, veamos la sección transversal: 𝒅𝑻 = 𝒅𝑭 𝝆 → 𝒅𝑻 = 𝝉 𝒅𝑨 𝝆 De (8) en (9): 𝝆 𝒅𝑻 = 𝝉 𝒅𝑨 𝝆 𝒓 𝑴Á𝑿 (𝟗) Integrando: 𝝆 𝑻=D 𝝉 𝒅𝑨 𝒓 𝑴Á𝑿 𝝉𝑴Á𝑿 𝝉𝑴Á𝑿 𝟐 𝝆 = D 𝝆 𝒅𝑨 = 𝑱 𝒓 𝒓 𝑨 𝑨 Despejando: 𝝉𝑴Á𝑿 𝑻𝒓 = 𝑱 (𝟏𝟎) De (8) en (10): 𝑻𝝆 𝝉= . (𝟏𝟏) 𝑱 La ecuación (11) es conocida como la “fórmula de la torsión”. Determinemos ahora las deformaciones por torsión. De (6) en (11): 𝒅𝝓 𝑻𝝆 = → 𝒅𝒙 𝑱 Integrando : 𝒅𝝓 𝑻 = 𝒅𝒙 𝑮𝑱 𝑮𝝆 𝑻 𝝓=D 𝒅𝒙 𝑮𝑱 𝑳 → 𝒅𝝓 = (𝟏𝟐) 𝑻 𝒅𝒙 𝑮𝑱 Si el eje está en condiciones uniformes, entonces 𝝓= 𝑻𝑳 . 𝑮𝑱 El valor de 𝝓 se considerará como positivo (resp. negativo), si el momento torsor T es positivo (resp. negativo). De esta forma, para el caso de los momentos torsores 𝑴𝒙!𝟏 y 𝑴𝒙!𝟐 asociados a los giros 𝜽𝒙!𝟏 y 𝜽𝒙!𝟐 , se tiene que: 𝑴𝒙! 𝑳 𝑮𝑱 𝜽𝒙 ! = → 𝑴𝒙! = 𝜽 ! 𝑮𝑱 𝑳 𝒙 donde G es el módulo de corte del material. A llama rigidez a la torsión. 𝑮𝑱 𝑳 se le Teniendo ahora relaciones fuerza – desplazamiento para todas las fuerzas internas, se puede construir la matriz de rigidez [𝒌′] en coordenadas locales para una barra en el espacio: 𝑬𝑨 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟑 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟑 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟒𝑬𝑰𝒚 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟒𝑬𝑰𝒛 𝑳 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝑭𝒙 ! 𝟏 𝑭𝒚 ! 𝟏 𝟎 𝟎 𝑭𝒛 ! 𝟏 𝟎 𝟎 𝑴𝒙! 𝟏 𝑴𝒚! 𝟏 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝟎 𝑴𝒛! 𝟏 𝑳𝟐 = 𝑭𝒙 ! 𝟐 𝑬𝑨 − 𝟎 𝑭𝒚 ! 𝟐 𝑳 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒛 𝑭𝒛 ! 𝟐 𝟎 − 𝑳𝟑 𝑴𝒙! 𝟐 𝑴𝒚! 𝟐 𝟎 𝟎 𝑴𝒛! 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝟎 − − 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟑 𝟎 − 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟎 𝑮𝑱 𝑳 − 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 − 𝑬𝑨 𝑳 𝟎 𝟎 − 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟑 − 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟑 𝟎 𝑮𝑱 𝑳 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐𝑬𝑰𝒚 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐𝑬𝑰𝒛 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟑 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟑 𝟎 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐𝑬𝑰𝒚 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐𝑬𝑰𝒛 𝑳 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟎 − 𝑮𝑱 𝑳 − 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝑬𝑨 𝑳 − − 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝑭′ = 𝒌′ 𝚫' + 𝑭𝑭' 𝟎 − − 𝑮𝑱 𝑳 − 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟒𝑬𝑰𝒚 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝑬𝒄. (𝟏) 𝟒𝑬𝑰𝒛 𝑳 𝑭𝑭𝒙! 𝟏 𝒖'𝟏 𝒗'𝟏 𝑭𝑭𝒚! 𝟏 𝒘'𝟏 𝑭𝒛 ! 𝟏 𝜽𝒙 ! 𝟏 𝑴𝒙! 𝟏 𝜽𝒚 ! 𝟏 𝑴𝒚! 𝟏 𝜽𝒛 ! 𝟏 + 𝑴𝒛! 𝟏 . 𝒖'𝟐 𝑭𝒙 ! 𝟐 ' 𝒗𝟐 𝑭𝒚 ! 𝟐 ' 𝒘𝟐 𝑭𝒛 ! 𝟐 𝜽𝒙 ! 𝟐 𝑴𝒙! 𝟐 ! 𝜽𝒚 𝟐 𝑴𝒚! 𝟐 𝜽𝒛 ! 𝟐 𝑴𝒛! 𝟐 El módulo de corte G puede ser expresado en función de E y de la relación de Poisson 𝝂. Para probarlo, hay que tener presente que la torsión genera un estado de corte puro: 𝝉= Haciendo los esfuerzos en fuerzas: 𝑻𝝆 𝑱 𝝉 Por estática: +→ ∑𝑭𝒙" = 𝟎: ⟹ 𝝉 𝝉 𝝈𝜽 𝑨 sec 𝜽 − 𝝉𝑨 sin 𝜽 − 𝝉𝑨 tan 𝜽 cos 𝜽 = 𝟎 𝝈𝜽 = 𝝉(sin 𝜽 cos 𝜽 + sin 𝜽 cos 𝜽) 𝝈𝜽 = 𝝉 sin 𝟐𝜽 (𝟏) +↑ ∑𝑭𝒚" = 𝟎: 𝝉𝜽 𝑨 sec 𝜽 − 𝝉𝑨 cos 𝜽 + 𝝉𝑨 tan 𝜽 sin 𝜽 = 𝟎 𝝉𝜽 = 𝝉(cos % 𝜽 − sin% 𝜃) 𝝉𝜽 = 𝝉 cos 𝟐𝜽 (𝟐) 𝝉 ⟹ Además: 𝝐𝐦á𝐱 En el gráfico se observa que el 𝝈𝜽 es máximo cuando 𝝅 𝜽 = y vale 𝝈𝜽 = 𝝉. Además, en este estado 𝝉 = 𝟎. 𝟒 ⟹ 𝝈𝐦á𝐱 𝝈𝐦í𝐧 𝝉 𝝉 +𝝂 = +𝝂 𝑬 𝑬 𝑬 𝑬 𝝉 𝝐𝐦á𝐱 = 𝟏+𝝂 (𝟑) 𝑬 𝝐𝐦á𝐱 = Por la ley de cosenos: 𝟐𝒉 𝟏 + 𝝐𝐦á𝐱 𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒉𝟐 − 𝟐 𝒉 𝒉 𝐜𝐨𝐬 𝝅 +𝜸 𝟐 𝟐𝒉𝟐 𝟏 + 𝟐𝝐𝐦á𝐱 + 𝝐𝟐𝐦á𝐱 = 𝟐𝒉𝟐 − 𝟐𝒉𝟐 (−𝐬𝐢𝐧 𝜸) 𝟐𝒉𝟐 𝟏 + 𝟐𝝐𝐦á𝐱 + 𝝐𝟐𝐦á𝐱 = 𝟐𝒉𝟐 − 𝟐𝒉𝟐 (−𝜸) 𝟏 + 𝟐𝝐𝐦á𝐱 = 𝟏 + 𝜸 → 𝝐𝐦á𝐱 = 𝝐= 𝜹 → 𝜹 = 𝝐𝑳 𝑳 𝜸 𝟐 En (3): 𝜸 𝝉 = (𝟏 + 𝝂) 𝟐 𝑬 𝝉 𝝉 = (𝟏 + 𝝂) Por la ley de Hooke en cortante: 𝟐𝑮 𝑬 𝑬 𝑮= . Simplificando: 𝟐(𝟏 + 𝝂) De esta forma y de manera alternativa, la relación de rigidez en torsión adopta la forma 𝑱𝑬 𝑴𝒙! = 𝜽 ! 𝟐(𝟏 + 𝝂)𝑳 𝒙 y la 𝑬𝒄. (𝟏) puede ser reescrita de la siguiente manera: 𝑬𝑨 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟑 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟑 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝑭𝒙!𝟏 𝟎 𝟎 𝑭𝒚!𝟏 𝑭𝒛!𝟏 𝟎 𝟎 𝑴𝒙!𝟏 𝑴𝒚!𝟏 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝟎 𝑴𝒛!𝟏 𝑳𝟐 = 𝑭𝒙!𝟐 𝑬𝑨 − 𝟎 𝑭𝒚!𝟐 𝑳 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒛 𝑭𝒛!𝟐 𝟎 − 𝑳𝟑 𝑴𝒙!𝟐 𝑴𝒚!𝟐 𝟎 𝟎 𝑴𝒛!𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝟎 − − 𝑱𝑬 𝟐 𝟏+𝝂 𝑳 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟎 − 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟑 𝟎 − 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟑 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟒𝑬𝑰𝒚 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟒𝑬𝑰𝒛 𝑳 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟑 𝟎 − − − 𝑬𝑨 𝑳 𝟎 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟎 − 𝟎 − 𝑱𝑬 − 𝟐 𝟏+𝝂 𝑳 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐𝑬𝑰𝒚 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐𝑬𝑰𝒛 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟑 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟐𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟑 𝟎 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐𝑬𝑰𝒚 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐𝑬𝑰𝒛 𝑳 𝟔𝑬𝑰𝒚 𝑳𝟐 𝟎 𝑱𝑬 𝟐 𝟏+𝝂 𝑳 − 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝑬𝑨 𝑳 − − 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝑭′ = 𝒌′ 𝚫' + 𝑭𝑭' 𝟎 𝑱𝑬 𝟐 𝟏+𝝂 𝑳 − 𝟔𝑬𝑰𝒛 𝑳𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟒𝑬𝑰𝒚 𝑳 𝟎 𝟎 𝟎 𝑬𝒄. (𝟏)′ 𝟒𝑬𝑰𝒛 𝑳 𝒖'𝟏 𝑭𝑭𝒙!𝟏 𝒗'𝟏 𝑭𝑭𝒚!𝟏 ' 𝒘𝟏 𝑭𝒛!𝟏 𝜽𝒙!𝟏 𝑴𝒙!𝟏 𝜽𝒚!𝟏 𝑴𝒚!𝟏 𝜽𝒛!𝟏 + 𝑴𝒛!𝟏 . 𝒖'𝟐 𝑭𝒙!𝟐 ' 𝒗𝟐 𝑭𝒚!𝟐 ' 𝒘𝟐 𝑭𝒛!𝟐 𝜽𝒙!𝟐 𝑴𝒙!𝟐 𝜽𝒚!𝟐 𝑴𝒚!𝟐 𝜽𝒛!𝟐 𝑴𝒛!𝟐 Análogamente como en el caso plano, se puede construir una matriz de transformación de coordenadas para transformar la matriz de rigidez, las fuerzas internas y los desplazamientos del sistema de coordenadas locales 𝒙' 𝒚' 𝒛' al sistema de coordenadas globales 𝒙𝒚𝒛. 𝒚 𝒚′ Sean 𝜶𝒙! , 𝜷𝒙! y 𝜹𝒙! son ángulos que forma el eje 𝒙′ con el sistema de coordenadas globales 𝒙𝒚𝒛: 𝒚 𝒚′ 𝑭 = (𝑭𝒙 , 𝑭𝒚 , 𝑭𝒛) 𝜷𝒙) 𝑭 = (𝑭𝒙 , 𝑭𝒚 , 𝑭𝒛) 𝒛 𝒙′ 𝒛 𝒛′ 𝒙 Así como una fuerza 𝑭 puede tener componentes 𝑭𝒙 , 𝑭𝒚 , 𝑭𝒛 sobre el sistema de coordenadas globales 𝒙𝒚𝒛 , también puede tener de manera equivalente componentes 𝑭𝒙! , 𝑭𝒚! , 𝑭𝒛! sobre el sistema de coordenadas locales 𝒙' 𝒚' 𝒛' . 𝒛′ 𝑭𝒙) 𝜶𝒙) 𝜹𝒙) 𝒙′ 𝒙 A estos ángulos se les conoce como ángulos directores de 𝒙′ y a sus cosenos cos 𝜶𝒙' , cos 𝜷𝒙' y cos 𝜹𝒙' se les conoce como cosenos directores. Por Estática: 𝑭𝒙! = 𝑭𝒙 cos 𝜶𝒙! + 𝑭𝒚 cos 𝜷𝒙! + 𝑭𝒛 cos 𝜹𝒙! . De igual manera, sean 𝜶𝒚! , 𝜷𝒚! y 𝜹𝒚! los ángulos directores del eje 𝒚′ con el sistema de coordenadas globales 𝒙𝒚𝒛: 𝒚 𝒚′ 𝒚′ 𝑭 = (𝑭𝒙 , 𝑭𝒚 , 𝑭𝒛) 𝑭 = (𝑭𝒙 , 𝑭𝒚 , 𝑭𝒛) 𝑭𝒚) 𝜹𝒚) 𝜷𝒚) 𝒙′ 𝒛 𝒛′ 𝜷𝒛) 𝒛 𝜶𝒚) 𝒙 Por Estática: 𝑭𝒚! = 𝑭𝒙 cos 𝜶𝒚! + 𝑭𝒚 cos 𝜷𝒚! + 𝑭𝒛 cos 𝜹𝒚! . Finalmente, sean 𝜶𝒛! , 𝜷𝒛! y 𝜹𝒛! los ángulos directores del eje 𝒛′ con el sistema de coordenadas globales 𝒙𝒚𝒛: 𝒚 𝒛′ 𝜹𝒛) 𝑭𝒛) 𝒙′ 𝜶𝒛) 𝒙 Por Estática: 𝑭𝒛! = 𝑭𝒙 cos 𝜶𝒛! + 𝑭𝒚 cos 𝜷𝒛! + 𝑭𝒛 cos 𝜹𝒛! . De esta manera los ángulos directores permiten relacionar la fuerza en coordenadas locales y globales de la siguiente manera: cos 𝜶𝒙! cos 𝜷𝒙! cos 𝜹𝒙! 𝑭𝒙 𝑭𝒙! 𝑭𝒚! = cos 𝜶𝒚! cos 𝜷𝒚! cos 𝜹𝒚! 𝑭𝒚 . 𝑭𝒛! cos 𝜶𝒛! cos 𝜷𝒛! cos 𝜹𝒛! 𝑭𝒛 La matriz cos 𝜶𝒙! [𝜸] = cos 𝜶𝒚! cos 𝜶𝒛! cos 𝜷𝒙! cos 𝜷𝒚! cos 𝜷𝒛! cos 𝜹𝒙! cos 𝜹𝒚! . cos 𝜹𝒛! 𝑬𝒄. (𝟐) es una matriz de rotación para la transformación de coordenadas. Claramente cos C 𝜶𝒙! + cos C 𝜷𝒙! + cos C 𝜹𝒙! = 𝟏. y cos C 𝜶𝒚! + cos C 𝜷𝒚! cos C 𝜶𝒛! + cos C 𝜷𝒛! + cos C 𝜹𝒚! + cos C 𝜹𝒛! = 𝟏. = 𝟏. cos 𝜶𝒙) , cos 𝜷𝒙) , cos 𝜹𝒙) ⋅ cos 𝜶𝒚) , cos 𝜷𝒚) , cos 𝜹𝒚) = 𝟎. cos 𝜶𝒙) , cos 𝜷𝒙) , cos 𝜹𝒙) ⋅ cos 𝜶𝒛) , cos 𝜷𝒛) , cos 𝜹𝒛) = 𝟎. cos 𝜶𝒚) , cos 𝜷𝒚) , cos 𝜹𝒚) ⋅ cos 𝜶𝒛) , cos 𝜷𝒛) , cos 𝜹𝒛) = 𝟎. Por lo tanto, [𝜸] es una matriz ortogonal lo cual implica que 𝜸 D𝟏 = 𝜸 𝑻 . Así como se puede usar [𝜸] para transformar las coordenadas de un vector fuerza, se puede usar para vectores momento y desplazamientos. Luego, para las 12 fuerzas internas de una barra bisimétrica se obtiene que: 𝑭𝒙 ! 𝟏 𝑭𝒚 ! 𝟏 𝑭𝒛 ! 𝟏 𝑴𝒙! 𝟏 𝑴𝒚! 𝟏 𝜸 𝑴𝒛! 𝟏 𝟎 = 𝑭𝒙 ! 𝟐 𝟎 𝑭𝒚 ! 𝟐 𝟎 𝑭𝒛 ! 𝟐 𝑴𝒙! 𝟐 𝑴𝒚! 𝟐 𝑴𝒛! 𝟐 𝟎 𝜸 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝜸 𝟎 𝑭′ = 𝚪 𝐅 . 𝟎 𝟎 𝟎 𝜸 𝑭𝒙𝟏 𝑭𝒚𝟏 𝑭𝒛𝟏 𝑴𝒙𝟏 𝑴𝒚𝟏 𝑴𝒛𝟏 . 𝑭𝒙 ! 𝟐 𝑭𝒚𝟐 𝑭𝒛𝟐 𝑴𝒙𝟐 𝑴𝒚𝟐 𝑴𝒛𝟐 𝑬𝒄. (𝟑) La matriz 𝜸 𝟎 [𝚪] = 𝟎 𝟎 𝟎 𝜸 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝜸 𝟎 𝟎 𝟎 . 𝟎 𝜸 𝑬𝒄. (𝟒) es una matriz de rotación para transformación de coordenadas y es también ortogonal por lo que 𝚪 D𝟏 = 𝚪 𝑻. Usando 𝚪 para la matriz de desplazamientos: 𝒖'𝟏 𝒗'𝟏 𝒘'𝟏 𝜽𝒙 ! 𝟏 𝜽𝒚 ! 𝟏 𝜸 𝜽𝒛 ! 𝟏 𝟎 = ' 𝟎 𝒖𝟐 𝟎 𝒗'𝟐 ' 𝒘𝟐 𝜽𝒙 ! 𝟐 𝜽𝒚 ! 𝟐 𝜽𝒛 ! 𝟐 𝟎 𝜸 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝜸 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝜸 𝚫′ = 𝚪 𝚫 . 𝒖𝟏 𝒗𝟏 𝒘𝟏 𝜽𝒙𝟏 𝜽𝒚𝟏 𝜽𝒛𝟏𝟏 𝒖𝟐 . 𝒗𝟐 𝒘𝟐 𝜽𝒙𝟐 𝜽𝒚𝟐 𝜽𝒛𝟐 𝑬𝒄. (𝟓) Para transformar la matriz de rigidez de la barra bisimétrica de coordenadas locales a coordenadas globales se procede de la siguiente manera. Por la 𝑬𝒄. 𝟓 en la 𝑬𝒄. 𝟏 : 𝑭′ = 𝒌′ 𝚫' + 𝑭𝑭' → 𝑭′ = 𝒌′ 𝚪 𝚫 + 𝑭𝑭' . Por la 𝑬𝒄. 𝟑 : 𝚪 𝐅 = 𝒌′ 𝚪 𝚫 + 𝑭𝑭' . Utilizando la ortogonalidad de [𝑻]: 𝚪 𝑻 𝚪 𝐅 = 𝚪 𝑻 𝒌′ 𝚪 𝚫 + 𝚪 𝑻 𝑭𝑭' . → 𝐅 = 𝚪 𝑻 𝒌′ 𝚪 𝚫 + 𝚪 → 𝐅 = [𝒌] 𝚫 + 𝑭𝑭 . donde 𝒌 = 𝚪 𝑻 𝒌′ 𝚪 y 𝑭𝑭 = 𝚪 𝑻 𝑭𝑭' . 𝑬𝒄. (𝟔) 𝑻 𝑭𝑭' . Adaptando el método directo visto para pórticos planos, se van acumulando los aportes de cada matriz 𝒌 de las barras en la matriz de rigidez de la estructura 𝑲 obteniéndose una ecuación similar: 𝑷 = 𝑲 𝚫 + [𝑷𝑭 ]. 𝑬𝒄. (𝟕) donde es el vector de cargas nodales. 𝑷𝑭 es el vector de fuerzas de empotramiento nodales. Hay que tomar en cuenta que, para la formación del modelo analítico, cada nudo libre de un pórtico espacial tiene 6 GDLs. La dimensión de los vectores 𝑷 y 𝑷𝑭 es igual al número total de grados de libertad de la estructura a analizar matricialmente. La dimensión de 𝑲 es igual al #𝑮𝑫𝑳×#𝑮𝑫𝑳. 𝑷 Por ejemplo, el pórtico espacial mostrado cuenta con dos nudos libres por lo que el número total de grados de libertad es 12. Luego 𝑭 𝒅𝟏𝟏 𝒚 𝒅𝟖 𝑩 𝒅𝟓 𝒅𝟏𝟐 𝒅𝟗 𝑫 𝒅𝟐 𝑨 𝒛 𝒅𝟕 𝒅𝟏 𝒅𝟔 𝒅𝟑 𝑪 𝒅𝟒 𝑭 𝑬 𝒙 𝒅𝟏𝟎 𝑷𝟏 𝑷𝟐 𝑷𝟑 𝑷𝟒 𝑷𝟓 𝑷𝟔 𝑷 = = 𝑲 𝑷𝟕 𝑷𝟖 𝑷𝟗 𝑷𝟏𝟎 𝑷𝟏𝟏 𝑷𝟏𝟐 𝟏𝟐×𝟏𝟐 𝑷𝟏 𝒖𝑪 𝑷𝑭𝟐 𝒗𝑪 𝑷𝑭𝟑 𝒘𝒄 𝑷𝑭𝟒 𝜽𝒙𝑪 𝑷𝑭𝟓 𝜽𝒚𝑪 𝜽𝒛𝑪 𝑷𝑭𝟔 + 𝒖𝑫 𝑷𝑭𝟕 𝒗𝑫 𝑷𝑭𝟖 𝒘𝑫 𝑷𝑭𝟗 𝜽𝒙𝑫 𝑷𝑭𝟏𝟎 𝜽𝒚𝑫 𝑷𝑭𝟏𝟏 𝜽𝒛𝑫 𝑷𝑭𝟏𝟐 Con objeto de sistematizar el proceso de tal manera que se obtengan incluso directamente las reacciones se pueden considerar en el pórtico anterior que los apoyos está también libres. Esto incrementará el número de grados de libertad a 36: 𝒅𝟐𝟑 𝒚 𝒅𝟏𝟕 𝒅𝟏𝟖 𝒛 𝒅𝟐𝟏 𝒅𝟐𝟒 𝒅𝟏𝟗 𝒅𝟏𝟑 𝒅𝟖 𝑩 𝒅𝟓 𝒅𝟏𝟔 𝒅𝟏𝟒 𝒅𝟏𝟓 𝒅𝟏𝟏 𝒅𝟐𝟐 𝒅𝟐𝟎 𝒅𝟏𝟎 𝒅𝟏𝟐 𝒅𝟕 Los vectores 𝑷 , 𝑷𝑭 y 𝚫 son ahora de 36 y la matriz de rigidez de la estructura 𝑲 de 𝟑𝟔×𝟑𝟔 y es singular lo cual era esperable ya que no hay apoyos. Al apoyar nuevamente la estructura se podrán diferenciar a: - Los grados de libertad libres (“free”): del 𝒅𝟏 al 𝒅𝟏𝟐 y - Los grados de libertad restringidos (“supported”): del 𝒅𝟏𝟑 al 𝒅𝟑𝟔 . A partir de aquí se podrá particionar convenientemente a la matriz de rigidez 𝑲 en 4 submatrices: 𝒅𝟗 𝑫 𝑲 = 𝒅𝟐 𝑨 𝒅𝟔 𝒅𝟑 𝑪 𝒅𝟐𝟗 𝒅𝟐𝟖 𝒅𝟐𝟔 𝒅𝟑𝟎 𝒅𝟑𝟓 𝒅𝟏 𝒅𝟒 𝒅𝟐𝟕 𝒅𝟑𝟒 𝒅𝟑𝟐 𝑭 𝒅𝟑𝟔 𝑬 𝒙 Lo mismo se podrá desplazamientos [𝚫]: 𝒅𝟑𝟏 𝑲𝒇𝒔 𝑲𝒔𝒇 𝑲𝒔𝒔 hacer [𝚫] = 𝒅𝟑𝟑 𝑻 𝒅𝟐𝟓 𝑲𝒇𝒇 con . el vector de 𝚫𝒇 𝚫𝒔 donde 𝚫𝒇 = 𝒅𝟏 𝒅𝟐 … 𝒅𝟕 𝒅𝟖 y en este caso 𝚫𝒔 = [𝟎] ya que se tienen apoyos empotrados. Asimismo, se puede particionar convenientemente a los vectores [𝑷] y [𝑷𝑭 ]: 𝑷𝑭 𝑷𝒇 . 𝑷𝒔 𝑷 = = 𝑷𝑭𝒇 𝑷𝑭𝒔 . Note que el vector [𝑷𝒔 ] contiene precisamente a las reacciones en los apoyos. De esta manera la 𝑬𝒄. (𝟕) puede ahora ser reescrita de la siguiente manera: 𝑷 = 𝑲 𝚫 + [𝑷𝑭 ]. 𝑷𝒇 𝑷𝒔 = 𝑲𝒇𝒇 𝑲𝒇𝒔 𝑲𝒔𝒇 𝑲𝒔𝒔 𝚫𝒇 + 𝚫𝒔 𝑷𝑭𝒇 𝑷𝑭𝒔 . Utilizando el Álgebra Matricial tenemos que 𝑷𝒇 = 𝑲𝒇𝒇 𝚫𝒇 + 𝑲𝒇𝒔 𝚫𝒔 + 𝑷𝑭𝒇 . Pero 𝚫𝒔 = 𝟎 , entonces 𝑷𝒇 = 𝑲𝒇𝒇 𝚫𝒇 + 𝑲𝒇𝒔 𝟎 + 𝑷𝑭𝒇 . 𝚫𝒇 = 𝑲𝒇𝒇 D𝟏 𝑷𝒇 − 𝑷𝑭𝒇 . 𝑬𝒄. (𝟖) De esta forma, quedan determinados desplazamientos en los nudos libres. Utilizando nuevamente el Álgebra Matricial: 𝑷𝒔 = 𝑲𝒔𝒇 𝚫𝒇 + 𝑲𝒔𝒔 𝚫𝒔 + 𝑷𝑭𝒔 . los 𝑷𝒔 = 𝑲𝒔𝒇 𝚫𝒇 + 𝑲𝒔𝒔 𝟎 + 𝑷𝑭𝒔 . 𝑷𝒔 = 𝑲𝒔𝒇 𝚫𝒇 + 𝑷𝑭𝒔 . Por la 𝑬𝒄. (𝟖): 𝑷𝒔 = 𝑲𝒔𝒇 𝑲𝒇𝒇 D𝟏 𝑷𝒇 − 𝑷𝑭𝒇 + 𝑷𝑭𝒔 . 𝑬𝒄. (𝟗) De esta forma, quedan determinadas las reacciones en los apoyos. Para la determinación de las fuerzas internas en coordenadas locales de barra, se deben usar la 𝑬𝒄. (𝟔) y luego la 𝑬𝒄. (𝟑). PROBLEMA Determine los desplazamientos, las reacciones y las fuerzas internas del pórtico mostrado. Considere que las barras son de sección cuadrada de 𝟑𝟎𝟎 𝐦𝐦 de lado, tienen longitud 𝑳 = 𝟒 𝐦, 𝑬 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐌𝐏𝐚, 𝝂 = 𝟎. 𝟑 y la carga distribuida sobre la barra 𝟐𝟑 es 𝒘 = 𝟐 𝐤𝐍/𝐦. SOLUCIÓN Modelo analítico 𝒅𝟏𝟕 𝒚 𝒅𝟏𝟒 𝒅𝟏𝟏 𝒅𝟕 𝒅𝟗 𝒛 𝒅𝟓 𝒅𝟏𝟎 𝒅𝟖 𝒘 𝟑 𝒅𝟏𝟑 𝟏 𝒅𝟏𝟐 𝟏 𝒅𝟔 𝒅𝟏𝟔 𝒅𝟏𝟖 𝟑 𝟐 𝒅𝟐 𝒅𝟏 𝒅𝟑 𝒅𝟏𝟓 𝒅𝟒 𝟐 𝒙 𝟑 𝟏 𝟐 𝒅𝟏𝟗 𝟒 𝒅𝟐𝟏 𝟒 𝒅𝟐𝟐 𝒅𝟐𝟒 𝒅𝟐𝟑 𝒅𝟐𝟎 Se usarán como unidades kN y mm. Entonces: 𝑰𝒛) = 𝑰𝒚) = 𝟔𝟕𝟓×𝟏𝟎𝟔 𝐦𝐦𝟒 𝐤𝐍 𝐤𝐍 -𝟑 𝟔 𝟒 𝒘 = 𝟐×𝟏𝟎 𝑬 = 𝟐𝟎 𝑱 = 𝟏𝟑𝟓𝟎×𝟏𝟎 𝐦𝐦 𝐦𝐦 𝐦𝐦𝟐 𝑳 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝐦𝐦 𝑨 = 𝟗×𝟏𝟎𝟒 𝐦𝐦𝟐 Los softwares solicitan información de la estructura a analizar de manera sistematizada. Coordenadas de los nudos Propiedades BARRA E 𝝂 1 20 0.3 NUDO x y z 2 20 0.3 1 0 0 0 3 20 0.3 2 4000 0 0 3 4000 0 -4000 4 4000 -4000 0 Restricciones (0 = restringido, NaN = libre) Conectividad de las barras (0 = rígido, 1 = rótula) BARRA NUDO INICIAL NUDO FINAL TIPO INICIAL TIPO FINAL 1 1 2 0 0 2 2 3 0 0 3 4 2 0 0 NUDO 𝒖 𝒗 𝒘 𝜽𝒙 𝜽𝒚 𝜽𝒛 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 Fuerzas y momentos nodales Geometría NUDO 𝑷𝒙 𝑷𝒚 𝑷𝒛 𝑴𝒙 𝑴𝒚 𝑴𝒛 2 0 0 0 0 0 0 Cargas distribuidas BARRA ÁREA Iz Iy J 1 9×10) 675×10* 675×10* 1350×10* 2 9×10) 675×10* 675×10* 1350×10* 3 9×10) 675×10* 675×10* 1350×10* BARRA 𝒘𝒙 𝒘𝒚 𝒘𝒛 2 0 −2×10+, 0 Vector de cargas Vector de fuerzas de empotramiento [𝑷𝑭 ] [𝑷] 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝑭𝟏𝒙 𝑭𝟏𝒚 𝑭𝟏𝒛 𝑴𝟏𝒙 𝑴𝟏𝒚 𝑴𝟏𝒛 𝑷 = 𝑭𝟑𝒙 𝑭𝟑𝒚 𝑭𝟑𝒛 𝑴𝟑𝒙 𝑴𝟑𝒚 𝑴𝟑𝒛 𝑭𝟒𝒙 𝑭𝟒𝒚 𝑭𝟒𝒛 𝑴𝟒𝒙 𝑴𝟒𝒚 𝑴𝟒𝒛 𝑷𝑭 𝟎 𝒘𝑳 𝟐 𝟎 𝒘𝑳𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 = 𝟎 𝒘𝑳 𝟐 𝟎 𝒘𝑳𝟐 − 𝟏𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 Vector de desplazamientos [𝚫] 𝒖𝟐 𝒗𝟐 𝒘𝟐 𝜽𝟐𝒙 𝜽𝟐𝒚 𝜽𝟐𝒛 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝚫 = 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 Ecuación matricial 𝑷 = 𝑲 𝚫 + [𝑷𝑭 ]. 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝑭𝟏𝒙 𝑭𝟏𝒚 𝑭𝟏𝒛 𝑴𝟏𝒙 𝑴𝟏𝒚 𝑴𝟏𝒛 𝑭𝟑𝒙 = 𝑲 𝑭𝟑𝒚 𝑭𝟑𝒛 𝑴𝟑𝒙 𝑴𝟑𝒚 𝑴𝟑𝒛 𝑭𝟒𝒙 𝑭𝟒𝒚 𝑭𝟒𝒛 𝑴𝟒𝒙 𝑴𝟒𝒚 𝑴𝟒𝒛 𝟐𝟒×𝟐𝟒 𝟎 𝒘𝑳 𝒖𝟐 𝟐 𝒗𝟐 𝟎 𝒘𝟐 𝒘𝑳𝟐 𝜽𝟐𝒙 𝟏𝟐 𝜽𝟐𝒚 𝟎 𝟐 𝟎 𝜽𝒛 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 + 𝟎 𝟎 𝒘𝑳 𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐 𝒘𝑳 𝟎 − 𝟏𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝑭𝟏𝒙 𝑭𝟏𝒚 𝑭𝟏𝒛 𝑴𝟏𝒙 𝑴𝟏𝒚 ⟹ 𝑴𝟏𝒛 𝑭𝟑𝒙 𝑭𝟑𝒚 𝑭𝟑𝒛 𝑴𝟑𝒙 𝑴𝟑𝒚 𝑴𝟑𝒛 𝑭𝟒𝒙 𝑭𝟒𝒚 𝑭𝟒𝒛 𝑴𝟒𝒙 𝑴𝟒𝒚 𝑴𝟒𝒛 𝟎 𝒘𝑳 𝟐 𝟎 𝒘𝑳𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 − = 𝟎 𝒘𝑳 𝟐 𝟎 𝒘𝑳𝟐 − 𝟏𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝒘𝑳 − 𝟐 𝟎 𝒘𝑳𝟐 − 𝟏𝟐 𝟎 𝟎 𝑭𝟏𝒙 𝑭𝟏𝒚 𝒖𝟐 𝒗𝟐 𝒘𝟐 𝜽𝟐𝒙 𝜽𝟐𝒚 𝑲𝒇𝒇 𝑲𝒔𝒇 𝟔×𝟔 𝑲𝒇𝒔 𝟏𝟖×𝟔 𝑲𝒔𝒔 𝟔×𝟏𝟖 𝟏𝟖×𝟏𝟖 𝟐𝟒×𝟐𝟒 𝜽𝟐𝒛 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝒖𝟐 𝒗𝟐 𝒘𝟐 𝜽𝟐𝒙 𝜽𝟐𝒚 𝑭𝟏𝒛 𝑴𝟏𝒙 𝑴𝟏𝒚 ⟹ 𝑴𝟏𝒛 𝑭𝟑𝒙 = 𝒘𝑳 𝑭𝟑𝒚 − 𝟐 𝑭𝟑𝒛 𝒘𝑳𝟐 𝑴𝟑𝒙 + 𝟏𝟐 𝑴𝟑𝒚 𝑴𝟑𝒛 𝑭𝟒𝒙 𝑭𝟒𝒚 𝑭𝟒𝒛 𝑴𝟒𝒙 𝑴𝟒𝒚 𝑴𝟒𝒛 𝑲𝒇𝒇 𝑲𝒔𝒇 𝟔×𝟔 𝑲𝒇𝒔 𝟔×𝟏𝟖 𝟏𝟖×𝟔 𝑲𝒔𝒔 𝟏𝟖×𝟏𝟖 𝟐𝟒×𝟐𝟒 𝜽𝟐𝒛 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝑭𝟏𝒙 𝑭𝟏𝒚 𝑭𝟏𝒛 𝑴𝟏𝒙 𝑴𝟏𝒚 ⟹ 𝟎 𝒘𝑳 − 𝟐 𝟎 = 𝑲𝒇𝒇 𝒘𝑳𝟐 − 𝟏𝟐 𝟎 𝟎 𝟔×𝟔 𝒖𝟐 𝒗𝟐 𝒘𝟐 𝜽𝟐𝒙 𝜽𝟐𝒚 𝜽𝟐𝒛 ⟹ 𝒖𝟐 𝒗𝟐 𝒘𝟐 𝜽𝟐𝒙 = 𝑲𝒇𝒇 𝜽𝟐𝒚 𝜽𝟐𝒛 )𝟏 𝟔×𝟔 𝟎 𝒘𝑳 − 𝟐 𝟎 . 𝒘𝑳𝟐 − 𝟏𝟐 𝟎 𝟎 ⟹ 𝑴𝟏𝒛 𝑭𝟑𝒙 𝒘𝑳 𝑭𝟑𝒚 − 𝟐 𝟑 𝑭𝒛 𝟐 = 𝑲𝒔𝒇 𝒘𝑳 𝑴𝟑𝒙 + 𝟏𝟐 𝟑 𝑴𝒚 𝑴𝟑𝒛 𝑭𝟒𝒙 𝑭𝟒𝒚 𝑭𝟒𝒛 𝑴𝟒𝒙 𝑴𝟒𝒚 𝑴𝟒𝒛 𝟏𝟖×𝟔 𝒖𝟐 𝒗𝟐 𝒘𝟐 𝜽𝟐𝒙 . 𝜽𝟐𝒚 𝜽𝟐𝒛 450 0 0 0 0 0 -450 0 0 0 0 0 450 0 0 0 0 0 -450 0 0 0 0 0 0 2.53125 0 0 0 0 2596153.8 0 0 5 0 -5062.5 0 5062.5 0 0 0 0 0 -2.53125 0 0 0 -2.53125 0 0 0 2596153.8 0 -5062.5 0 5062.5 0 0 0 2.53125 0 0 0 2.53125 0 0 2.53125 0 0 0 2596153.8 0 0 5 0 -5062.5 0 5062.5 0 0 0 0 0 -2.53125 0 0 0 -2.53125 0 0 0 2596153.8 0 -5062.5 0 5062.5 0 0 0 0 -5062.5 0 5062.5 0 -450 0 0 0 0 0 0 0 0 450 0 0 0 -5062.5 0 2.53125 0 0 0 0 0 0 -5062.5 13500000 0 0 13500000 0 0 0 -5062.5 5062.5 0 0 0 6750000 0 0 6750000 0 0 -2.53125 0 0 -2.53125 0 0 -5062.5 0 5062.5 0 -450 0 0 0 0 0 0 0 0 450 0 0 0 -5062.5 0 2.53125 0 0 0 0 0 0 -5062.5 13500000 0 0 13500000 0 0 0 -5062.5 5062.5 0 0 0 6750000 0 0 6750000 0 0 0 0 2596153.8 5062.5 0 0 0 0 0 0 0 2.53125 0 2596153.8 0 5 5062.5 0 0 0 0 0 -2.53125 0 0 -2.53125 0 0 0 0 2596153.8 5062.5 0 0 0 0 0 0 0 2.53125 0 2596153.8 0 5 5062.5 0 0 0 0 0 -5062.5 0 5062.5 0 0 0 6750000 0 0 6750000 0 0 0 -5062.5 5062.5 0 0 0 13500000 0 0 13500000 0 0 -5062.5 0 5062.5 0 0 0 6750000 0 0 6750000 0 0 0 -5062.5 5062.5 0 0 0 13500000 0 0 13500000 450 0 0 0 0 0 -450 0 0 0 0 0 0 2.53125 0 0 0 2.53125 0 0 0 2596153.8 0 0 5 0 -5062.5 0 5062.5 0 0 0 0 0 -2.53125 0 0 0 -2.53125 0 0 0 2596153.8 0 -5062.5 0 5062.5 0 0 0 0 -5062.5 0 5062.5 0 -450 0 0 0 0 0 0 0 0 450 0 0 0 -5062.5 0 2.53125 0 0 0 0 0 0 -5062.5 13500000 0 0 13500000 0 0 0 -5062.5 5062.5 0 0 0 6750000 0 0 6750000 0 0 -2.53125 0 0 -2.53125 0 0 0 0 2596153.8 5062.5 0 0 0 0 0 0 0 2.53125 0 2596153.8 0 5 5062.5 0 0 0 0 0 -5062.5 0 5062.5 0 0 0 6750000 0 0 6750000 0 0 0 -5062.5 5062.5 0 0 0 13500000 0 0 13500000 Matriz de rigidez de la estructura [𝑲] 455.0625 2.74E-14 8.22E-14 0 -5062.5 5062.5 -450 0 0 0 0 0 -2.53125 0 -8.22E-14 0 -5062.5 0 -2.53125 -2.74E-14 0 0 0 5062.5 2.74E-14 8.22E-14 0 -5062.5 455.0625 0 5062.5 0 0 455.0625 -5062.5 5062.5 5062.5 -5062.5 29596153.8 -6.68E-10 0 5062.5 -6.68E-10 29596153.8 -5062.5 0 -2.00E-09 0 0 0 0 0 -2.53125 0 0 0 0 -2.53125 0 -5062.5 0 0 -2596153.8 0 0 5062.5 0 6750000 -5062.5 0 0 0 0 -8.22E-14 0 5062.5 -2.53125 0 -5062.5 0 0 -450 0 -9.30E-13 𝑲𝒇𝒔 5062.5 0 6750000 0 0 9.30E-13 0 6750000 -9.30E-13 0 -1.72E-09 0 -2.74E-14 0 0 0 -450 0 0 0 0 -2.53125 5062.5 -3.10E-13 0 -5062.5 6750000 -5.72E-10 0 3.10E-13 -5.72E-10 -2596153.8 -3.10E-13 0 0 0 5062.5 -450 0 0 -5062.5 0 -2.53125 0 0 0 0 -2.53125 -2.00E-09 0 0 0 0 0 0 -5062.5 29596153.8 0 5062.5 0 0 450 0 0 5062.5 0 2.53125 0 0 0 0 2.53125 0 0 0 0 0 0 0 -5062.5 6750000 0 5062.5 0 0 0 0 0 9.30E-13 0 0 0 0 0 0 0 -1.72E-09 0 0 0 0 0 0 0 -2596153.8 0 0 0 -5062.5 0 0 0 3.10E-13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6750000 0 0 0 0 0 0 0 0 -5062.5 0 5062.5 0 -2596153.8 0 0 0 6750000 0 0 0 6750000 0 0 0 0 0 5062.5 0 -5062.5 0 2596153.85 0 0 0 13500000 0 0 0 13500000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.53125 0 -8.22E-14 0 0 -2.53125 0 5062.5 -8.22E-14 0 -450 0 0 -5062.5 0 6750000 5062.5 0 -9.30E-13 0 0 9.30E-13 0 -1.72E-09 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.53125 0 8.22E-14 0 0 2.53125 0 -5062.5 8.22E-14 0 450 0 0 -5062.5 0 13500000 5062.5 0 -9.30E-13 0 0 9.30E-13 0 -2.00E-09 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5062.5 0 -2.53125 0 -9.30E-13 -2.74E-14 9.30E-13 0 0 0 -1.72E-09 0 6750000 0 0 0 -2596153.8 -5062.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5062.5 0 0 0 9.30E-13 0 -9.30E-13 0 0 0 -2.00E-09 0 13500000 0 0 0 2596153.85 0 0 0 2.53125 0 0 2.74E-14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5062.5 -2.74E-14 0 0 0 -450 0 0 0 0 -2.53125 -5062.5 3.10E-13 0 5062.5 6750000 -5.72E-10 0 -3.10E-13 -5.72E-10 -2596153.8 3.10E-13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.74E-14 0 0 0 450 0 0 0 0 2.53125 5062.5 -3.10E-13 0 5062.5 13500000 -6.68E-10 0 -3.10E-13 -6.68E-10 2596153.85 3.10E-13 0 0 0 5062.5 -3.10E-13 0 0 0 6750000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5062.5 3.10E-13 0 0 0 13500000 𝑲𝒇𝒇 𝑲𝒔𝒇 𝟔×𝟔 𝟏𝟖×𝟔 𝑲𝒔𝒔 𝟔×𝟏𝟖 𝟏𝟖×𝟏𝟖 Desplazamientos NUDO 𝒖 𝒗 𝒘 𝜽𝒙 𝜽𝒚 𝜽𝒛 2 1.6823e-05 -7.8155e-03 -9.9130e-04 -8.8934e-05 1.7244e-07 -1.3397e-06 NUDO 𝑭𝒙 𝑭𝒚 𝑭𝒛 𝑴𝒙 𝑴𝒚 𝑴𝒛 1 -7.5703e-03 1.3001e-02 1.6362e-03 2.3089e+02 -3.8545e+00 3.0523e+01 3 8.3041e-04 4.4700e+00 4.4609e-01 -3.3065e+03 1.0788e+00 3.4782e+00 4 6.7399e-03 3.5170e+00 -4.4772e-01 -5.9529e+02 -4.4769e-01 -8.9581e+00 Reacciones Verifiquemos resultados: ∑𝑭𝒙 = 𝟎: −𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟓𝟕 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟖𝟑 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟒 = 𝟎. ü ∑𝑭𝒛 = 𝟎: 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟔𝟑𝟔 + 𝟎. 𝟒𝟒𝟔𝟎𝟗 − 𝟎. 𝟒𝟒𝟕𝟐 = 𝟎. ü 𝒚 𝒛 ∑𝑴𝒙 = 𝟎: 𝟐𝟑𝟎. 𝟖𝟗 − 𝟑𝟑𝟎𝟔. 𝟓 − 𝟓𝟗𝟓. 𝟐𝟗 + 𝟒. 𝟒𝟕×𝟒𝟎𝟎𝟎 − 𝟐×𝟏𝟎-𝟑 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟐 + 𝟎. 𝟒𝟒𝟕𝟕𝟐×𝟒𝟎𝟎𝟎 = −𝟎. 𝟎𝟐 ≈ 𝟎. ü 𝟐 ∑𝑴𝒚 = 𝟎: −𝟑. 𝟖𝟓𝟒𝟓 + 𝟏. 𝟎𝟕𝟖𝟖 − 𝟎. 𝟒𝟒𝟕𝟔𝟗 − 𝟎. 𝟒𝟒𝟔𝟎𝟗×𝟒𝟎𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟖𝟑×𝟒𝟎𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟒𝟒𝟕𝟕𝟐×𝟒𝟎𝟎𝟎 = −𝟎. 𝟎𝟐 ≈ 𝟎. ü ∑𝑴𝒛 = 𝟎: 𝟑𝟎. 𝟓𝟐𝟑 + 𝟑. 𝟒𝟕𝟖𝟐 − 𝟖. 𝟗𝟓𝟖𝟏 + 𝟒. 𝟒𝟕×𝟒𝟎𝟎𝟎 − 𝟐×𝟏𝟎-𝟑 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟒𝟎𝟎𝟎 + 𝟑. 𝟓𝟏𝟕×𝟒𝟎𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟒×𝟒𝟎𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑 ≈ 𝟎. ü 𝟎. 𝟒𝟒𝟔𝟎𝟗 𝟑𝟑𝟎𝟔. 𝟓 𝟒. 𝟒𝟕 𝟑. 𝟖𝟓𝟒𝟓 𝟐𝟑𝟎. 𝟖𝟗 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟔𝟑𝟔 ∑𝑭𝒚 = 𝟎: 𝟎. 𝟎𝟏𝟑 + 𝟒. 𝟒𝟕 + 𝟑. 𝟓𝟏𝟕 − 𝟐×𝟒 = 𝟎. ü 𝟏. 𝟎𝟕𝟖𝟖 𝒘 𝟎. 𝟎𝟏𝟑 𝟏 0. 𝟎𝟎𝟕𝟓𝟕 𝟑𝟎. 𝟓𝟐𝟑 𝟑. 𝟒𝟕𝟖𝟐 𝟑 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟖𝟑 𝟐 𝒙 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟒 𝟓𝟗𝟓. 𝟐𝟗 𝟎. 𝟒𝟒𝟕𝟕𝟐 𝟒 𝟖. 𝟗𝟓𝟖𝟏 𝟎. 𝟒𝟒𝟕𝟔𝟗 𝟑. 𝟓𝟏𝟕 Fuerzas internas BARRA 1 2 3 NUDO 𝑭𝒙! 𝑭𝒚! 𝑭𝒛! 𝑴𝒙! 𝑴𝒚! 𝑴𝒛! 1 -7.5703e-03 1.3001e-02 1.6362e-03 2.3089e+02 -3.8545e+00 3.0523e+01 2 7.5703e-03 -1.3001e-02 -1.6362e-03 -2.3089e+02 -2.6905e+00 2.1480e+01 2 4.4609e-01 3.5300e+00 -8.3041e-04 3.4782e+00 2.2428e+00 1.4265e+03 3 -4.4609e-01 4.4700e+00 8.3041e-04 -3.4782e+00 1.0788e+00 -3.3065e+03 4 3.5170e+00 -6.7399e-03 -4.4772e-01 -4.4769e-01 5.9529e+02 -8.9581e+00 2 -3.5170e+00 6.7399e-03 4.4772e-01 4.4769e-01 1.1956e+03 -1.8001e+01
