BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE INGENIERÍA COLEGIO DE INGENIERÍA CIVIL, INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA CALCULO DE VARIAS VARIABLES PRIMAVERA 2021 10:00 – 11:00 AM CASAS VALADEZ CINDY 201871441 ZACATZONTEL GONZÁLEZ LUIS FERNANDO 20176342 1. DERIVADAS PARCIALES Una derivada parcial de una función de varias variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras manteniéndose constantes. Las derivadas parciales son útiles en el calculo vectorial y geometría diferencial Si z=f(x,y), las derivadas parciales se denotan por: 𝜕 𝜕𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑧𝑥 = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑧𝑦 = 𝜕𝑦 𝜕𝑦 DERIVADAS PARCILAES DE ORDEN SUPERIOR Las derivadas de orden superior se denotan por el orden al que se hace la derivación. Por ejemplo, la función z= f(x,y) tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden. Ejemplo 1: Hallar las derivadas parciales de la siguiente función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑥 2 𝑦 2 + 2𝑥 3 𝑦 Con respecto a X mantenemos Y constante: 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 3 − 2𝑥𝑦 2 + 6𝑥𝑦 Con respecto a Y mantenemos X constante 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −2𝑦𝑥 2 + 2𝑥 3 Teorema. Igualdad de derivadas parciales mixtas Si f es una función de X y Y tal que fxy y fyx son continuas en un disco abierto R entonces, para todo (x,y) en R: Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas (cruzadas). Teorema. Para una variable independiente diferenciales de las variables independientes X y Y son: Sea W=f(x,y) donde f es una función derivable de X y Y. Si x=g(t) y y=h(t) donde g y h son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de t 𝑑𝑥 = ∆𝑥 𝑦 𝑑𝑦 = ∆𝑦 Y la diferencia total de la variable dependiente Z es: 𝑑𝑧 = 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Teorema. Dos variables independientes Si f es una función de X y Y, para la que fx y fy son continuas en una región abierta R, Sea w = f(x, y), donde f es una función diferenciable de X y Y. Si x=g(s, t) y y=h(s,t) son tales que las derivadas parciales de primer orden 𝜕𝑥⁄ 𝜕𝑥⁄ , 𝜕𝑦⁄ , 𝜕𝑦⁄ existen, entonces 𝜕𝑠, 𝜕𝑡 𝜕𝑠 𝜕𝑡 𝜕𝑤⁄ 𝑦 𝜕𝑤⁄ existen y están dadas por: 𝜕𝑠 𝜕𝑡 entonces f es diferenciable en R. Teorema. Diferenciabilidad implica continuidad Si una función de X y Y es diferenciable en (x0, y0) entonces es continua en (x0, y0). Ejemplo 1: Hallar la diferencia total de la función: 𝑑𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑦 = + 𝑑𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠 𝑧 = 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 − 3𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑦 = + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 Con la fórmula: Teorema. Derivación implícita 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Si la ecuación F(x,y) = 0 define a implícitamente como función derivable de x, entonces: Tenemos como resultado: = (2𝑠𝑒𝑛𝑦 − 6𝑥𝑦 2 )𝑑𝑥 + (2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 6𝑥 2 𝑦) Definición. Sea f una función definida en una región R que contiene (x0, y0). 1. La función f tiene un mínimo relativo en (x0, y0) si: 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ), para todo (x, y) en un disco abierto que contiene (x0, y0). 2. La función f tiene un máximo relativo en (x0, y0) si: 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ), para todo (x, y) en un disco abierto que contiene (x0, y0). Ejemplo 1. Hallar los extremos relativos 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 − 6𝑦 + 20 Puntos críticos: 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 8 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 2𝑦 + 6 Igualar a 0 las ecuaciones y resolver: 4𝑥 + 8 = 0 𝑦 2𝑦 + 6 = 0 ∴ (−2,3) Completando cuadrado: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 + 3 > 3 El valor mínimo relativo 𝑓(−2,3) = 3 𝑑𝑤 𝜕𝑤 𝑑𝑥 𝜕𝑤 𝑑𝑦 = + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 Teorema. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad 4. EXTREMOS RELATIVOS 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 ( ) = 2 = 𝑓𝑦𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 2. REGLA DE LA CADENA Definición de diferencia total: Si z=f(x,y) y ∆𝑥 𝑦 ∆𝑦 son los incrementos en X y en Y, entonces las 𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦) 1. Derivar dos veces con respecto a X 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 ( ) = 2 = 𝑓𝑥𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2. Derivar dos veces con respecto a Y 3. Derivar primero con respecto a X y luego con respecto a Y 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 ( )= = 𝑓𝑥𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥 4. Derivar primero con respecto a Y y luego con respecto a X 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 ( )= = 𝑓𝑦𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 3. DIFERENCIABLES Definición de puntos críticos. Sea f definida en una región abierta R que contiene (x0, y0). El punto (x0, y0) es un punto crítico de f si satisface una de estas condiciones: 𝑓𝑥(𝑥0 , 𝑦0 ) = 0 𝑦 𝑓𝑦(𝑥0 , 𝑦0 ) = 0, 𝑦 𝑓𝑥(𝑥0 , 𝑦0 ) ó 𝑓𝑦(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑒. Teorema de las segundas derivadas. Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene un punto (a, b) para el cual: 𝒇𝒙(𝒂, 𝒃) = 𝟎 𝒚 𝒇𝒚(𝒂, 𝒃) = 𝟎. Para buscar los extremos relativos de f, considérese la cantidad: 𝑑 = 𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏)𝑓𝑦𝑦 (𝑎, 𝑏) − (𝑓𝑥𝑦 (𝑎, 𝑏))2 1. Si 𝑑 > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) > 0 entonces f tiene un mínimo relativo en (a,b) 2. Si 𝑑 > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) < 0 entonces f tiene un máximo relativo en (a,b) 3. Si 𝑑 < 0 , entonces (a,b,f(a,b)) es un punto silla 4. Si d = 0 el criterio no lleva a ninguna conclusión. 𝑑𝑦 𝐹𝑥(𝑥, 𝑦) =− 𝑑𝑥 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) ≠ 0 Si la ecuación F(x,y,z) = 0 define a “z” implícitamente como función diferenciable de X y Y, entonces: 𝜕𝑧 𝐹𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑧 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) =− 𝑦 =− 𝜕𝑥 𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑦 𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≠ 0 UNIDAD 2 1. GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL Teorema derivada direccional. Si f es una función diferenciable de X y Y entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗 es: 𝐷𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑠𝑒𝑛𝜃 Definición de gradiente de una función de dos variables. Sea z = f(x,y) una función de X y Y, tal que fx y fy existen. Entonces el gradiente de f, denotado por ∇𝑓(𝑥, 𝑦), es el vector ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝑖 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑗 ∇𝑓 se lee como “nabla”. Teorema. Forma alternativa de la derivada direccional Si f es una función diferenciable de X y Y entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es 𝐷𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∇𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑢 Teorema. Propiedades del gradiente Sea f diferenciable en el punto (x,y) 1.- Si ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, entonces 𝐷𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 para todo u 2.- La dirección de máximo incremento de f está dada por ∇𝑓(𝑥, 𝑦). El valor máximo de 𝐷𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦) es ‖∇𝑓(𝑥, 𝑦)‖ 3.- La dirección de mínimo incremento de f está dada por −∇𝑓(𝑥, 𝑦). El valor mínimo de 𝐷𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦) es −‖∇𝑓(𝑥, 𝑦)‖ Ejemplo de aplicación 1. Un rastreador térmico se encuentra en el punto (2,-3) sobre una placa metálica cuya temperatura en (x,y) es: T(x,y) = 20 -4x2 - y2 Hallar la temperatura del rastreador, si éste se mueve continuamente en dirección de máximo incremento de temperatura. Solución. Derivando parcialmente con respecto a X 𝜕 (20 − 4𝑥 2 − 𝑦 2 ) ∴ 𝑇𝑥(𝑥, 𝑦) = −8𝑥 𝑇𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑥 Con respecto a Y: 𝜕 (20 − 4𝑥 2 − 𝑦 2 ) ∴ 𝑇𝑦(𝑥, 𝑦) = −2𝑦 𝑇𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑥 Regresando: ∇𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑇𝑥(𝑥, 𝑦)𝑖⃗ + 𝑇𝑦(𝑥, 𝑦)𝑗⃗ ∇𝑇(𝑥, 𝑦) = −8𝑥𝑖⃗ − 2𝑦𝑗⃗ Después, el rastreador busca el máximo incremento de temperatura, las direcciones del vector tangente 𝑟⃗′(𝑦) y ∇𝑇(𝑥, 𝑦) del serán iguales en todo punto de la trayectoria. Entonces: 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ∇𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑘 𝑖⃗ + 𝑘 𝑗⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Comparando: 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑘 𝑖⃗ + 𝑘 𝑗⃗ = −8𝑥𝑖⃗ − 2𝑦𝑗⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Donde “K” depende de “t”. Esto se convierte en una ecuación diferencial de primer orden, en el caso de los términos del vector canónico , se utiliza el método de separación de variables: 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 𝑘 = −8𝑥 ∴ − = 𝑘𝑑𝑡 𝑑𝑡 8 𝑥 Integrando en ambos miembros: 1 𝑑𝑥 1 − ∫ = 𝐾 ∫ 𝑑𝑡 ∴ − 𝑙𝑛𝑥 = 𝐾𝑡 + 𝐶1 8 𝑥 8 Despejando Kt: 1 − 𝑙𝑛𝑥 + 𝐶1 = 𝐾𝑡 8 Y en el caso de los términos del vector canónico , se utiliza también el método de separación de variables: 1 𝑑𝑦 1 𝑑𝑦 − = 𝑘𝑦 − = 𝑘𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑦 Integrando ambos miembros: 1 𝑑𝑦 1 − ∫ = 𝐾 ∫ 𝑑𝑡 ∴ − 𝑙𝑛𝑦 = 𝐾𝑡 + 𝐶2 2 𝑦 2 Despejando Kt: 1 − 𝑙𝑛𝑦 + 𝐶2 = 𝐾𝑡 2 Igualando: 1 1 − 𝑙𝑛𝑦 + 𝐶2 = − 𝑙𝑛𝑥 + 𝐶1 2 8 1 1 − 𝑙𝑛𝑦 + 𝐶 = − 𝑙𝑛𝑥 2 8 4𝑙𝑛𝑦 + 𝐶 = 𝑙𝑛𝑥 𝑙𝑛𝑥 = 𝑙𝑛𝑦 4 + 𝐶 = 𝑙𝑛𝑦 4 + 𝑙𝑛𝐶 = 𝑙𝑛𝐶𝑦 4 ∴ 𝒙 = 𝑪𝒚𝟒 Utilizando el punto (2, -3): 𝑥 = 𝐶𝑦 4 2 2 4 2 = 𝐶(3)4 ∴𝐶= ∴𝑥= 𝑦 81 81 2. MULTIPLICADORES DE LAGRANJE Muchos problemas de optimización tienen restricciones, o ligaduras, para los valores que pueden usarse para dar la solución óptima. Tales restricciones tienden a complicar los problemas de optimización porque la solución óptima puede presentarse en un punto frontera del dominio. Teorema. Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que f tiene un extremo en un punto (x0, y0) sobre la curva suave de restricción g(x,y)=c. Si ∇𝑔(𝑥𝑜 , 𝑦0 ) ≠ 0 entonces existe un número real tal que ∇𝑓(𝑥𝑜 , 𝑦0 ) = 𝜆∇𝑔((𝑥𝑜 , 𝑦0 ) Método. Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, y sea f una función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción g(x,y)=c. Para hallar el mínimo o el máximo de f seguir los pasos descritos a continuación. 1. Resolver simultáneamente las ecuaciones ∇𝑓(𝑥𝑜 , 𝑦0 ) = 𝜆∇𝑔((𝑥𝑜 , 𝑦0 ) y g(x,y)=c resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝜆𝑔𝑥(𝑥, 𝑦) 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝜆𝑔𝑦(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐 2. Evaluar f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor mayor da el máximo de f sujeto a la restricción g(x,y)=c y el valor menor da el mínimo de f sujeto a la restricción g(x,y)=c.
