Ayudantía Nº6 - MAT023 (2022-2S) (1)

Ray Peña Valladares
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Matemáticas III (MAT-023)
Ayudante: Ray Peña Valladares
Ayudantı́a Nº6
1.
Ejercicios de repaso
1.1.
Derivadas Parciales de Orden Superior
1. Encontrar las derivadas de segundo orden de las siguientes funciones.
x2 + 2y
x3 + y 4
x2
y2
z2
e) g(x, y, z) =
+
+
4
2
8
a) f (x, y) = x2 + y 2
d) v(x, y) =
b) h(x, y) = sen(x + y)
f ) φ(x, y, z) = ln(x2 + y 2 + z 2 )
c) f (x, y) = tan(x2 + y sen(x))
2. Sea z = f (x, y), una función diferenciable, donde x = r cos(θ), y = r sen(θ). Determine
∂z ∂z ∂ 2 z
,
,
∂r ∂θ ∂r∂θ
3. Si u = f (x, y), donde x = es cos(t) y y = es sen(t), demuestre que
2
∂2u ∂2u
∂ u ∂2u
−2s
+
=
e
+
∂x2
∂y 2
∂s2
∂t2
2.
Ejercicios de Ayudantı́a
1. Considere g : R2 → R definida por:

(y + 2) sen3 (x − 1)



(x − 1)2 + (y + 2)2
g(x, y) =



0
,
(x, y) ̸= (1, −2)
,
(x, y) = (1, −2)
y sea f : R2 → R la función dada por:
f (x, y) = g(x, y) + x2 y + x − y 2 + 1
Calcule el plano tangente a f en el punto (1, −2, f (1, −2)).
2. Sea f : R2 → R la función definida por:
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f (x, y) =




x2 y 2
+ x + 2y − 1
+ y2
x2



a) Calcule las derivadas parciales
−1
si
(x, y) ̸= (0, 0)
si
(x, y) = (0, 0)
∂f
∂f
(0, 0) y
(0, 0)
∂x
∂y
b) Utilizando la definición, demuestre que f es diferenciable en (0, 0).
c) Determine la ecuación del plano tangente al gráfico de f en el punto (0, 0).
3. Sea f : R2 → R, (x, y) 7→ f (x, y) una función diferenciable tal que Df (1, 3) = 1
(r, s, t) 7→ g(r, s, t) por
2 . Si se define g : R3 → R,
g(r, s, t) = f (rst, r2 + s2 + t2 )
Determine el Dg(1, 1, 1).
x
4. Sea f (x, y) = xye y . Hallar el valor de la constante c para que se cumpla la siguiente igualdad
2 x
∂2f
∂
∂ f
x x2
y
+
y
c
−
−
=
e
∂x2
∂y
∂x2
y
y2
5. Sean a, b ∈ N. Si la función
x
u(x, y) = cos(y − ax) + sen y −
b
satisface
3
∂2u
∂2u
∂2u
+ 10
+3 2 =0
2
∂x
∂x∂y
∂y
Entonces (a, b) =
6. Sea

xy(x2 − y 2 )



x2 + y 2
f (x, y) =



0
Demuestre que
si
(x, y) ̸= (0, 0)
si
(x, y) = (0, 0)
∂2f
∂2f
(0, 0) = 1 y
(0, 0) = −1.
∂x∂y
∂y∂x
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Respuesta de los ejercicios de repaso
Sección 1.1. Derivadas Parciales de Orden Superior
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
=
2,
=
2,
=
=0
∂x2
∂y 2
∂y∂x
∂x∂y
∂2h
∂2h
∂2h
∂2h
= − sen(x + y),
= − sen(x + y),
=
= − sen(x + y)
b)
2
2
∂x
∂y
∂x∂y
∂y∂x
∂2f
c)
= 2 sec(x2 + y sen(x)) tan(x2 + y sen(x)) sen(x) + sec2 (x2 + y sen(x)) cos(x)
∂x2
∂2f
= 2 sec(x2 + y sen(x)) tan(x2 + y sen(x)) sen(x) + sec2 (x2 + y sen(x)) cos(x)
∂y 2
∂2f
∂2f
=
= 2 sec(x2 + y sen(x)) tan(x2 + y sen(x))(2x + y cos(x)) sen(x) + sec2 (x2 + y sen(x)) cos(x)
∂y∂x
∂x∂y
−4x3 + 2y 4 − 12xy(x3 + y 4 )3x2 (−x4 + 2xy 4 − 6x2 y)
∂2v
d)
=
2
∂x
(x3 + y 4 )4
∂2v
(−12x2 y 3 − 24y 3 )(x3 + y 4 ) − 8y 3 (2x3 − 4x2 y 3 − 6y 4
=
2
∂y
(x3 + y 4 )3
∂2v
(8xy 3 − 6x2 )(x3 + y 4 )2 − 8y 3 (−x4 + 2xy 4 − 6x2 y)
∂2v
=
=
∂y∂x
∂x∂y
(x3 + y 4 )3
∂2g
1 ∂2g
∂2g
1 ∂2g
∂2g
∂2g
∂2g
∂2g
∂2g
e)
= ,
= 1,
= ,
=
=
=
=
=
=0
2
2
2
∂x
2 ∂y
∂z
4 ∂x∂y
∂y∂x
∂z∂x
∂x∂z
∂y∂z
∂z∂y
∂2φ
2y 2 + 2z 2 − 2x2 ∂ 2 φ
2x2 + 2z 2 − 2y 2 ∂ 2 φ
2x2 + 2y 2 − 2z 2
f)
= 2
,
= 2
,
= 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∂x
(x + y + z )
∂y
(x + y + z )
∂z
(x + y 2 + z 2 )2
∂2φ
−4xy
∂2φ
−4xz
∂2φ
−4yz
∂2φ
∂2φ
∂2φ
=
= 2
=
= 2
=
= 2
,
,
2
2
2
2
2
2
∂x∂y
∂y∂x
(x + y + z ) ∂x∂z
∂z∂x
(x + y + z ) ∂y∂z
∂z∂y
(x + y 2 + z 2 )2
1. a)
2.
∂z
∂z
∂z
∂z
∂z
∂z
=
cos(θ) +
sen(θ),
=
(−r sen(θ)) +
(r cos(θ))
∂r
∂x
∂y
∂θ
∂x
∂y
∂2z
∂2z
∂2z
∂2z
∂z
∂z
2
2
=r
(cos (θ) − sen (θ)) + r cos(θ) sen(θ)
−
sen(θ) +
cos(θ)
−
2
2
∂r∂θ
∂x∂y
∂y
∂x
∂x
∂y
3. Solución
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