lab-2-321-ii

Introducción a Wolfram Mathematica:
Operaciones con vectores
Por Roger Raudales
Operaciones básicas con vectores
Ejercicio 1.1: De acuerdo a la tabla anterior, realice la suma, resta, producto punto y producto cruz de
los siguientes vectores:
a)
 
1
F = 5x + 7y +  2  z
b)

H= ln 2 x + π y +
F = 5, 7, 1  2
5, 7,
1
2

G = {2, 4, 3}
{2, 4, 3}
H = {Log[2], Pi, Sqrt[2]}
Log[2], π,
2
J = TanPi  8, Exp[2], 1
π
Tan , ⅇ2 , 1
8
F+G
7, 11,
7
2

F-G
3, 3, -
5
2
Dot[F, G]
79
2


G= 2x + 4y + 3 z
2 z

π
J = tan  8  x + e2 y + z
2
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Cross[F, G]
{19, - 14, 6}
H+J
π
Log[2] + Tan , ⅇ2 + π, 1 +
8
2
H-J
π
Log[2] - Tan , - ⅇ2 + π, - 1 +
8
2
H.J
π
2 + ⅇ2 π + Log[2] Tan 
8
Cross[H, J]
-
2 ⅇ2 + π, - Log[2] +
π
π
2 Tan , ⅇ2 Log[2] - π Tan 
8
8
 1
Ejercicio 1.2: Encuentre un vector unitario en la dirección de K =  2  x + 9 y +
K = 1  2, 9, Sqrt[5]
1
 , 9,
2
5
Normalize[K]

1
,6
345
3
115
,
2

69

Ejercicio 1.3: Integre la función vectorial L = et x + t2 y + (1+t) z
L[t_] = {Exp[t], t ^ 2, 1 + t}
ⅇt , t2 , 1 + t
Integrate[L[t], t]
ⅇt ,
t3
3
, t+
t2
2

Ejercicio 1.4: Derive la función vectorial M= cos
πt

2
M[t_] = CosPi * t  2, Log[t + 2], t ^ 1  3
Cos
πt
2
, Log[2 + t], t1/3 
x + ln (t + 2) y + t1/3 z
5 z
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D[M[t], t]
-
1
2
π Sin
πt
2
,
1
2+t
,
1
3 t2/3

Operaciones diferenciales con vectores
Ejercicio 2.1: Para cada campo vectorial, encuentre la divergencia y el rotacional:

a)
U(x, y, z) = z2 x + y4 y + x3 z
2
x
W(x, y, z) = sen  y  x + ey y + zy z
b)
U[x_, y_, z_] = {z ^ 2, y ^ 4, x ^ 3}
z2 , y4 , x3 
Div[U[x, y, z], {x, y, z}, "Cartesian"]
4 y3
Curl[U[x, y, z], {x, y, z}, "Cartesian"]
0, - 3 x2 + 2 z, 0
W[x_, y_, z_] = {Sin[x / y], Exp[y ^ 2], z * y}
x
Sin , ⅇy2 , y z
y
Div[W[x, y, z], {x, y, z}, "Cartesian"]
y + 2 ⅇy 2 y +
Cos xy 
y
Curl[W[x, y, z], {x, y, z}, "Cartesian"]
z, 0,
x Cos xy 
y2

Ejercicio 2.2: Encuentre el laplaciano y un vector normal a las superficies respresentadas por las
siguientes funciones escalares:
a)
f(x, y, z) = x2 yz +
b)
2
g(x, y, z) = (xyz)
y
x
+1
f[x_, y_, z_] = x ^ 2 * y * z + (y / x) + 1
y
1 + + x2 y z
x
Laplacian[f[x, y, z], {x, y, z}, "Cartesian"]
2y
x3
+2yz
3
4
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Gf[x_, y_, z_] = Grad[f[x, y, z], {x, y, z}, "Cartesian"]
-
y
x2
+ 2 x y z,
1
x
+ x2 z, x2 y
Vnf[x_, y_, z_] = Gf[x, y, z] / Sqrt[Dot[Gf[x, y, z], Gf[x, y, z]]]
- xy2 + 2 x y z

,
2
x4 y2 +  1x + x2 z + - xy2 + 2 x y z2
1
x
+ x2 z
x2 y
,
2

2
x4 y2 +  1x + x2 z + - xy2 + 2 x y z2
x4 y2 +  1x + x2 z + - xy2 + 2 x y z2
g[x_, y_, z_] = (x * y * z) ^ 2
x2 y2 z2
Laplacian[g[x, y, z], {x, y, z}, "Cartesian"]
2 x 2 y2 + 2 x 2 z2 + 2 y 2 z2
Gg[x_, y_, z_] = Grad[g[x, y, z], {x, y, z}, "Cartesian"]
2 x y2 z2 , 2 x2 y z2 , 2 x2 y2 z
Vng[x_, y_, z_] = Gg[x, y, z] / Sqrt[Dot[Gg[x, y, z], Gg[x, y, z]]]
2 x y2 z 2

4 x 4 y4 z2 + 4 x 4 y2 z4 + 4 x 2 y4 z4
2 x2 y z2
4 x 4 y4 z2 + 4 x 4 y2 z4 + 4 x 2 y4 z4
,
2 x 2 y2 z
,

4 x 4 y4 z2 + 4 x 4 y2 z4 + 4 x 2 y4 z4
Ejercicio 2.3: Encuentre la divergencia y el rotacional para cada uno de los siguientes campos:

 + z z
a)
P (ρ, ϕ, z) = 3 cos (ϕ) ρ - 2 ρ ϕ


b)
Q(r, θ, ϕ) = 5 r sen(θ) r + r 2 cos(ϕ) θ + tan(θ) ϕ
P[ρ_, ϕ_, z_] = {3 * Cos[θ], - 2 * ρ, z}
{3 Cos[θ], - 2 ρ, z}
Div[P[ρ, ϕ, z], {ρ, ϕ, z}, "Cylindrical"]
1+
3 Cos[θ]
ρ
Curl[P[ρ, ϕ, z], {ρ, ϕ, z}, "Cylindrical"]
{0, 0, - 4}
Q[r_, θ_, ϕ_] = {5 * r * Sin[θ], r ^ 2 * Cos[ϕ], Tan[θ]}
5 r Sin[θ], r2 Cos[ϕ], Tan[θ]
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5
Div[Q[r, θ, ϕ], {r, θ, ϕ}, "Spherical"]
10 Sin[θ] +
Csc[θ] r2 Cos[θ] Cos[ϕ] + 5 r Sin[θ]2 
r
Curl[Q[r, θ, ϕ], {r, θ, ϕ}, "Spherical"]

Sec[θ]2
r
-
Csc[θ] - Sin[θ] - r2 Sin[ϕ]
r
,-
Tan[θ]
r
, 2 r Cos[ϕ] -
5 r Cos[θ] - r2 Cos[ϕ]
r

Operaciones integrales con vectores
Demostración del teorema de la divergencia
 

 ∇ · A ⅆ V =  A · da
V
S

Ejercicio 3.1: Dado A = ρ2 ρ + 2 z z , verifique el teorema de la divergencia para la región cilíndrica
circular encerrada por ρ=5, z=0 y z=4.
1 Definición del campo vectorial
A[ρ_, ϕ_, z_] = {ρ ^ 2, 0, 2 * z}
ρ2 , 0, 2 z

2 Cálculo de la divergencia de A en coordenadas cilíndricas. Asignamos a la variable D1 la respuesta

de la divergencia de A .
D1 = Div[A[ρ, ϕ, z], {ρ, ϕ, z}, "Cylindrical"]
2+3ρ
3 Cálculo de la integral de volumen de la divergencia para así encontrar la respuesta correspondiente
al lado izquierdo de la ecuación. Recuérdese que dv=ρ dρ dϕ dz, de ahí que haya una ρ multiplicando
a D1
Integrate[D1 * ρ, {ρ, 0, 5}, {ϕ, 0, 2 * Pi}, {z, 0, 4}]
1200 π
Para obtener la respuesta al lado derecho de la ecuación, hay que recordar que el área total de la
región cilíndrica es igual a la suma de cada una de las áreas que la componen:




∮ A · da = ∮ A · da1 + ∮ A · da2 + ∮ A · da3
S
S1
S2
S3
6
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De lo visto en clases, se sabe que:
da1 = ρ dρ dϕ z
da2 = - ρ dρ dϕ z
da3 = ρ dϕ dz ρ
4 Se procede a definir dichos vectores diferenciales de área:
da1[ρ_, ϕ_, z_] = {0, 0, ρ}
{0, 0, ρ}
da2[ρ_, ϕ_, z_] = {0, 0, - ρ}
{0, 0, - ρ}
da3[ρ_, ϕ_, z_] = {ρ, 0, 0}
{ρ, 0, 0}

5 De ahí, se procede a definir los productos punto entre el vector A y cada vector diferencial de área:
Ada1[ρ_, ϕ_, z_] = Dot[A[ρ, ϕ, z], da1[ρ, ϕ, z]]
2zρ
Ada2[ρ_, ϕ_, z_] = Dot[A[ρ, ϕ, z], da2[ρ, ϕ, z]]
-2 z ρ
Ada3[ρ_, ϕ_, z_] = Dot[A[ρ, ϕ, z], da3[ρ, ϕ, z]]
ρ3
6 Ahora, se realiza cada integral de superficie de cada uno de los productos punto obtenidos
anteriormente:
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7
I1 = Integrate[Ada1[ρ, ϕ, z], {ρ, 0, 5}, {ϕ, 0, 2 * Pi}]
50 π z
Obsérvese en el resultado anterior que el resultado de la integral nos da un valor que depende de z.
Sin embargo, como z es constante en ese punto, debemos asignarle el valor constante y así obtener el
valor correcto de la integral evaluada. De ahí el hecho de que se realice el siguiente procedimiento:
IAda1 = FullSimplify[I1, z ⩵ 4]
200 π
Este procedimiento se repite para cada una de las integrales que poseen un valor que no varía:
I2 = Integrate[Ada2[ρ, ϕ, z], {ρ, 0, 5}, {ϕ, 0, 2 * Pi}]
- 50 π z
IAda2 = FullSimplify[I2, z ⩵ 0]
0
I3 = Integrate[Ada3[ρ, ϕ, z], {ϕ, 0, 2 * Pi}, {z, 0, 4}]
8 π ρ3
IAda3 = FullSimplify[I3, ρ == 5]
1000 π
Finalmente, la respuesta está dada por la suma de las tres integrales, como se había explicado
previamente.
IAda = IAda1 + IAda2 + IAda3
1200 π
Obsérvese que el resultado de IAda es igual al resultado obtenido en 3 , por lo cual se concluye que
se cumple el teorema de la divergencia.
Demostración del teorema de Stokes

 
∫ ∇ ⨯B · da = ∮ B · dl
S
C

 sobre la siguiente trayectoria:
Ejercicio 3.2: Verifique el teorema de Stokes para B = 4 r + 3 θ - 2 ϕ
8
Lab 2 321.nb
1 Definición del campo vectorial:
B[r_, θ_, ϕ_] = {4, 3, - 2}
{4, 3, - 2}

2 Cálculo del rotacional de B en coordenadas esféricas. Asignamos a la variable R1 la respuesta del

rotacional de B .
R1 = Curl[B[r, θ, ϕ], {r, θ, ϕ}, "Spherical"]
-
2 Cot[θ]
r
,
2
r
,
3
r

3 Por regla de la mano derecha, se observa que el diferencial de área se dirige “hacia afuera” de la
pantalla, por lo cual solo hay variación en θ, y se toma -daθ =-r sen(θ) dr dϕ θ . Se procede a definir
dicho diferencial de área:
da = {0, - r * Sin[θ], 0}
{0, - r Sin[θ], 0}

4 Se procede a hacer el producto punto entre el rotacional de B y el diferencial de área:
R1da = Dot[R1, da]
- 2 Sin[θ]
5 Se integra el resultado previo sobre el área definida por el diferencial de área:
IR1da = IntegrateR1da, {r, 0, 2}, ϕ, 0, Pi  2
- 2 π Sin[θ]
Obsérvese en el resultado anterior que el resultado de la integral nos da un valor que depende de θ.
Sin embargo, como θ es constante en ese punto, debemos asignarle el valor constante y así obtener el
valor correcto de la integral evaluada y el resultado final del lado izquierdo de la ecuación. De ahí el
hecho de que se realice el siguiente procedimiento:
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9
FullSimplifyIR1da, θ ⩵ Pi  2
-2 π
Para obtener la respuesta al lado derecho de la ecuación, hay que recordar que la longitud total de la
trayectoria es igual a la suma de cada una de los tramos que la componen:




∮ B · dl = ∮ B · dl1 + ∮ B · dl2 + ∮ B · dl3
C
C1
C2
C3
6 Como estamos trabajando en coordenadas esféricas, los diferenciales de línea se definen de la
siguiente manera:
dl1 = dl3 = dr r

dl2 =r sen(θ) ϕ
dl13 = {1, 0, 0}
{1, 0, 0}
dl2 = {0, 0, r * Sin[θ]}
{0, 0, r Sin[θ]}

7 De ahí, se procede a definir los productos punto entre el vector B y cada vector diferencial de línea:
Bdl13[r_, θ_, ϕ_] = Dot[B[r, θ, ϕ], dl13]
4
Bdl2[r_, θ_, ϕ_] = Dot[B[r, θ, ϕ], dl2]
- 2 r Sin[θ]
8 Ahora, se realiza cada integral de línea de cada uno de los productos punto obtenidos
anteriormente:
IB1 = Integrate[Bdl13[r, θ, ϕ], {r, 0, 2}]
8
IB2 = IntegrateBdl2[r, θ, ϕ], ϕ, 0, Pi  2
- π r Sin[θ]
Obsérvese en el resultado anterior que el resultado de la integral nos da valores que dependen de r y
θ. Sin embargo, como ambos valores son constantes en ese punto, debemos asignarle los respectivos
valores constantes y así obtener el valor correcto de la integral evaluada. De ahí el hecho de que se
realice el siguiente procedimiento:
IBdl2 = FullSimplifyIB2, θ ⩵ Pi  2 && r ⩵ 2
-2 π
10
Lab 2 321.nb
IB3 = Integrate[Bdl13[r, θ, ϕ], {r, 2, 0}]
-8
Finalmente, la respuesta está dada por la suma de las tres integrales, como se había explicado
previamente.
Bdl = IB1 + IBdl2 + IB3
-2 π
Obsérvese que el resultado de Bdl es igual al resultado obtenido en 5 , por lo cual se concluye que
se cumple el teorema de Stokes.
Gráficas
◼ VectorPlot
Ejercicio 4.1: Grafique (en dos dimensiones) el campo eléctrico producido un cilindro de longitud
infinita.
VectorPlot2  x, 0, {x, - 100, 100}, {y, - 100, 100}
100
50
0
-50
-100
-100
-50
0
50
100
◼ VectorPlot3D
Ejercicio 4.2: Grafique (en tres dimensiones) el campo eléctrico producido un cilindro de longitud
infinita.
Lab 2 321.nb
VectorPlot3D2  x, 0, 0, {x, - 100, 100}, {y, - 100, 100}, {z, - 100, 100}
◼ StreamPlot
Ejercicio 4.3: Grafique las líneas de campo del campo eléctrico producido un cilindro de longitud
infinita.
11
12
Lab 2 321.nb
StreamPlot2  x, 0, {x, - 100, 100}, {y, - 100, 100}
100
50
0
-50
-100
-100
-50
0
50
100