UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Nombre Daniel Alejandro Castellanos Rodriguez Ludwing Alejandro Flores Registro Académico 202201859 202200176 MATEMÁTICA DE CÓMPUTO 1 Inga. Helen Ramírez de Reyes Aux. Diego Sierra Sección B [11:30 – 12:20] Tema Técnicas de conteo Actividad Proyecto #1 Fecha 19/08/2022 DESCRIPCIÓN DE CALIFICACIÓN Presentación (20) Ejercicios Resueltos (50) Ejercicios Calificados (30) CALIFICACIÓN TOTAL (100) Introducción La vida está llena de situaciones impredecibles y muchas veces nos enfrentamos con decisiones que tienen tantas conclusiones distintas que parecen infinitas, todos estos factores de nuestro día a día nos hace pensar que no tenemos control sobre lo que nos rodea aun siendo situaciones mundanas. Al enfrentarnos con estas incertidumbres nosotros como seres humanos decidimos hacer algo al respecto y encontrar maneras de tomar el control de nuestras vidas utilizando el mayor atributo del ser humano: su cerebro. Nosotros tenemos una ventaja sobre los demás habitantes del reino animal, no nos guiamos por instinto, si no que por matemática y lógica. El enfoque principal de este proyecto es utilizar los conceptos de combinación y permutación de distintas maneras utilizando datos encontrados con los recursos proporcionados por la universidad y buscadores virtuales con valores concretos en la vida real, para organizar y combinar conjuntos de datos variados según la situación dada y comprender el proceso utilizado en la obtención de datos. Mostrando la resolución de problemas planteados en situaciones de nuestro día a día, empleando soluciones acordes con los procedimientos y conceptos del análisis combinatorio aprendidos en la clase magistral de Matemática para computación 1. Objetivos - Implementar las diferentes técnicas de conteo aprendidas en la unidad 1 en diferentes casos de la vida real. - Analizar los conceptos y formas de uso de las diferentes formas de usar las combinaciones y las permutaciones en los ejercicios dados. - Consolidar las diferentes combinaciones o permutaciones que se crean en los diferentes incisos de los ejercicios del proyecto. Marco teórico Regla del Producto Si un procedimiento se puede descomponer en dos etapas y si existen “m” resultados posibles de la primera etapa, y para cada uno de estos resultados, existen “n” resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden dado de m (producto) n formas: 𝑚 ∗ 𝑛 = 𝑥 (𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠) La regla del producto es el segundo principio fundamental para contar además de la regla de la suma. Nos permite contar cosas en las cuales tenemos que hacer varias elecciones que luego son compatibles. Como dos consecuencias naturales, tenemos a las asignaciones y a las permutaciones. A esta regla también se le conoce como el principio de la elección. Permutaciones La permutación es un método matemático comúnmente usado en estadística donde se define que tantas formas diferentes se pueden ordenar los elementos de un conjunto en un subconjunto de una menor cantidad de elementos, por ejemplo, si se tiene un conjunto de 20 elementos, la permutación permitiría encontrar la cantidad de formas diferentes que se pueden seleccionar cierta cantidad de elementos del conjunto principal. La repetición de elementos no es algo que esté permitido en la permutación, esto quiere decir que un elemento no se puede seleccionar 2 o más veces en una permutación, algo que si se puede en la combinación. La fórmula de la permutación utiliza factoriales, que, como recordatorio, la factorial de un número es el número multiplicado por todos los números enteros bajo de él, por ejemplo, la factorial de 4 es: 4! = 4x3x2x1 = 24, donde también se sabe que la factorial de 0 es igual a 1. 𝑃𝑛 = 𝑛! (𝑛 − 𝑟)! Combinaciones La combinación o combinatoria es una técnica de conteo que se aplica en experimentos aleatorios, en los que no se tiene en cuenta el orden en que se eligen los elementos y no es posible la repetición. En general, si partimos de n objetos distintos, cada selección, o combinación, de r de estos objetos, sin hacer referencia al orden, ¡corresponde a r! permutaciones de tamaño r de los objetos. Así, el número de combinaciones de tamaño de r de un colección de tamaño n, que se denota C(n,r), donde r es mayor o igual a 0 pero menor o igual a n 𝐶(𝑛, 𝑟) = 𝑛! 𝑟! (𝑛 − 𝑟)! 0≤𝑟≤𝑛 Teorema del Binomio El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio (𝑎 + 𝑏)𝑛 posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento. a) El desarrollo de (𝑎 + 𝑏)𝑛 tiene n+1 términos b) Las potencias de a empiezan con n en el primer término y van disminuyendo en cada término, hasta cero en el último c) Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno con cada término, hasta n en el último. d) Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n. e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n. f) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese término. g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales. Triangulo de Pascal El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. Aquí sólo se ve una parte; el triángulo continúa por debajo y es infinito. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta. El triángulo de Pascal se puede generalizar a de tres dimensiones se llama dimensiones mayores. La versión pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal, mientras que las versiones más generales son llamadas simplex de Pascal. Teorema Multinomial En combinatoria, el teorema multinomial es una generalización del teorema del binomio; permitiendo calcular el coeficiente de polinomios elevados a un exponente natural. El coeficiente multinomial también se puede usar para encontrar el número de permutaciones distinguibles de n objetos cuando n= n 1 + n 2 +…+n k y tiene n 1 elementos de tipo 1, n 2 elementos de tipo 2 y n k elementos de tipo k para cada k. Aquí, nuevamente, el número de permutaciones viene dado por la fórmula multinomial (arriba). Para enteros positivos n,t el coeficiente de 𝑥1 𝑛1 𝑥2 𝑛2 𝑥3 𝑛3 … 𝑥𝑡 𝑛𝑡 es entero. 𝑛! 𝑛1 !𝑛2 !…𝑛𝑡 ! donde 𝑛𝑡 es un Aplicación de las técnicas de conteo en una de las áreas de las Ciencias de la Computación En el área de la computación es necesario usar los métodos de conteo para contar el número de ciclos que tiene un programa, el número de comparaciones que realiza un programa para ordenar un conjunto de datos, el número de palabras diferentes tiene un lenguaje con determinada gramática, el número de intercambios que se llevan a cabo en un programa para resolver un sistema de ecuaciones. En conclusión, los métodos de conteo en computación permiten optimizar los recursos de la computadora y disminuir el tiempo de ejecución de un proceso, lo cual produce una mejora en el tiempo de respuesta. Problemas del Proyecto 1. Un estudiante de ingeniería en Ciencias y Sistemas desea solicitar cierta cantidad de libros a la Biblioteca de la Facultad de Ingeniería y a la Biblioteca Central de la universidad para las siguientes materias: • Estadística • Filosofía • Estructura de Datos • Organización de Lenguajes y Compiladores 2 • Bases de datos a) Si en la Biblioteca de la Facultad de Ingeniería se puede sacar como máximo 4 libros por persona cuantas combinaciones puede hacer de las materias de Estadística, Estructura de Datos y Organización de Lenguajes y Compiladores 2. b) Si en la Biblioteca Central se puede sacar como máximo 3 libros por persona cuantas combinaciones puede hacer de las materias de Filosofía, Organización de Lenguajes y Compiladores 2 y Bases de Datos. c) Si el estudiante como máximo puede sacar 5 libros entre las 2 bibliotecas cuantas combinaciones de libros puede sacar si no es permitido más de 1 libro de la misma materia. d) Si el estudiante como máximo puede sacar 4 libros entre las 2 bibliotecas cuantas combinaciones de libros puede sacar si es permitido más de un libro de la misma materia. e) Si el estudiante quiere sacar 4 libros entre las 2 bibliotecas de las 5 materias disponibles cuantas combinaciones importando el orden puede obtener el estudiante. Los datos para poder dar solución al problema deben de obtenerlos de los siguientes enlaces: Biblioteca Central USAC • https://biblos.usac.edu.gt/library/index.php?title=Especial:GSMSearchPage Biblioteca Facultad de Ingeniería USAC: • http://biblio.ingenieria.usac.edu.gt/library/index.php/Especial:GSMSearchPage Debe utilizar el buscador virtual de cada biblioteca teniendo en cuenta que lo único que se tiene que definir es la palabra clave de cada materia y especificando que son libros, y debe de adjuntarse gráficas con los datos recopilados. Biblioteca Central - 4124 - Estadística – 1047 libros Filosofía – 2617 libros Estructura de Datos – 61 libros Organización de Lenguajes y Compiladores 2 – 3 libros Bases de datos – 396 libros Biblioteca Ingeniería- 139 - Estadística – 99 libros Filosofía – 7 libros Estructura de Datos – 15 libros Organización de Lenguajes y Compiladores 2 – 2 libros Bases de datos – 16 libros 2. El Corea Center en el edificio T3 cuenta con cierta cantidad de máquinas para su uso ¿De cuántas formas se puede sentar una docena de estudiantes si quieren ingresar, 10 estudiantes de civil, 15 estudiantes de electrónica y 15 estudiantes de sistemas? a. No existen restricciones b. Debe haber al menos 8 estudiantes de sistemas c. Debe haber al menos 10 estudiantes de electrónica 3. McDonald’s tiene planes de abrir una sucursal dentro del Campus Central zona 12, al inicio de sus operaciones no ofrecerán desayunos, solamente almuerzos. En su menú tendrán los distintos platos salados, bebidas, acompañamientos y postres. a. Desea 2 bebida y 2 platos salados sin repetir el plato salado b. Desea 1 bebida y 2 postres c. Desea 1 bebida, 2 acompañamientos y 1 plato salado d. Desea un combo de 4 bebidas, 4 platos salados, 6 acompañamientos y 3 postres. No se puede repetir el plato salado ni el postre y si importa el orden en que se hace el pedido, ya que no se desea confundir con sus compañeros. De cuántas formas un cliente puede armar su combo si: Los datos para poder dar solución al problema los puede encontrar en la app de delivery de McDonald’s. • • Para los platos salados incluir categoría Almuerzo/Cena y Pollo • • Para los acompañamientos incluir categoría de Antojos • • • Para las bebidas incluir categoría de Bebidas y McCafé • Para los postres incluir la categoría de Postres 33 Almuerzo/Cena Big Tasty Tocino 8 Acompañamientos Papas 41 Bebidas Coca Cola 8 Postres McFlurry Oreo Caramelo Big Tasty Doble Big Tasty Big Mac Big Mac Doble Cuarto de Libra Cuarto de Libra Doble McPatata Yogurt de Fresa y Piña Derretido Clásico McNuggets 4 Pieza McNuggets 6 Piezas Pollo McCrispy 1 Pieza Fanta Sprite Coca Cola Sin Azúcar Jugo de Naranja Te Lipton Rosa de Jamaica McFlurry M&Ms Chocolate McFlurry Crunch Chocolate McFlurry Oreo McFlurry M&Ms Pastel de Manzana Paster de Queso McNifica de Res McNifica de Res Doble Triple Bacon Quesoburgesa Quesoburgesa Doble Quesoburgesa Triple Avenas Frutas y Maple Agua Pura Jugo de Manzana Café Café con Leche Te Caliente Frozen Limonata Mango Hamburgesa Hamburgesa Jr Ranch Triple Ranch Ranche Doble Smoke Tocino Gourmet Frozen Limonata Sandia Limonata Mango Limonata Sandía Frappé Oreo Smoothe de Berries Smoothie de Mango Pico Guacamol Gourmet Clasica Gourmet McWrap Smoke Tocino McWrap Pico Guacamol McWrap Clasica Gourmet Big Tasty de Pollo Frappe Caramelo Frappe Dulce de Leche Te Chai Frappe Tiger Spice Te Chai Frappe Elephant Vainilla Té Chai Frappé Flamingo Vainilla Te Chai Frappé Tortoise Té Verde Pollo McCrispy de 3 Piezas Pollo McCrispy de 2 Piezas Sandwich McPollo Sandwich McPollo Doble McNuggets 10 Piezas Sandwich McPollo Jr Iced Coffee Latte Iced Coffee Deluxe Caramelo Iced Coffee Deluxe Chocolate Iced Coffee Deluxe Vainilla Iced Coffee Deluxe Vainilla Light Cappuccino Sandwich McPollo Jr Doble Sandwich McPollo Jr Triple Latte Café Guatemalteco Té Guatemalteco Manzanilla Relax Té Guatemalteco Melocotón Mix Té Guatemalteco Bora Bora Té Guatemalteco Menta Fusión Té Chai Tiger Spice Té Chai Elephant Vainilla Té Chai Flamingo Vainilla Light Té Chai Tortoise Té Verde Pastel de Piña Total 90 Anexos A- Organización de Lenguajes y Compiladores 2 B Filosofía C Base de datos D Estadística E Estructura de datos Anexos Problema #3 Conclusiones • Todas las situaciones de la vida real pueden ser meditadas y racionalizadas por medio de las técnicas de conteo aprendidas en clase, ya sea organizar o combinar personas, comida, libros o cualquier conjunto de elementos. • Es muy importante saber la diferencia entre permutaciones y combinaciones, ya que es muy común confundirse en situaciones ya sea por el orden de los elementos o por la cantidad de veces que se pueden repetir, por lo que siempre hay que meditar la diferencia entre reordenar y combinar elementos. • Analizar los datos del conjunto a permutar o combinar debe ser consolidado de manera extensiva antes de empezar con cualquier procedimiento, ya sea de una biblioteca o una aplicación, incluso la discrepancia más mínima en los datos puede tener un gran impacto en el resultado final de la operación. • Es posible emplear las técnicas de conteo en nuestro día a día sin necesidad de tener datos predeterminados por un problema, gracias a los incisos realizados tenemos una mejor habilidad de percibir nuestros alrededores y extraer datos para evaluar, combinar o permutar en la vida real. • La cantidad de escenarios posibles en ciertos escenarios pueden ser abrumadores, pero gracias a varios procedimientos y leyes aprendidas en clase como la notación científica, incluso los resultados de mayor tamaño pueden ser leídos de una manera más entendible y manejable para la persona común. Bibliografías (APA) (Grimaldi, 2014) (Wikipedia, 2022) (UNAM, Dr. José Manuel Becerra Espinosa) (Sandoval, s.f.) (FHYBEA, s.f.) (Cajal, s.f.) (Academy, s.f.) (Benite, 2021) (Mathematium, s.f.) (Mondoñedo, 2017)
