Estadística para la toma de decisiones

Estadística para la toma de
decisiones
ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.
Sesión No. 6
Nombre: Permutaciones y combinaciones.
Objetivo
Al término de la sesión el estudiante distinguirá las técnicas de conteo, a través
de la solución de ejercicios para practicar el cálculo del principio de la
multiplicación, de permutaciones y de combinaciones, y resolver problemas
económico administrativos.
Contextualización
En esta sesión aprenderemos a trabajar con las técnicas de conteo mayormente
utilizadas en la probabilidad como lo son las permutaciones y combinaciones.
Aprenderemos la diferencia de la aplicación de cada una de estas técnicas en
cada uno de los experimentos realizados en la probabilidad.
Fuente: http://www.um.edu.uy/humanidades/noticias/thumbsinicial/web_noticia_536_seminarioprobabilidadadentronota.jpg
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ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.
Introducción al Tema
¿Qué son las técnicas de conteo en probabilidad?
¿Cuál es la diferencia entre permutar y combinar?
En ocasiones es poco práctico enumerar todos los puntos muestrales de un
evento a fin de conocer cuantos son.
Fuente: http://3.bp.blogspot.com/-3SR7TPm0cs/TcemQSOoMOI/AAAAAAAAAJA/wCmpGJgmg_8/s320/combinatoria.jpg
Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados
experimentales.
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Explicación
Las técnicas de conteo son utilizadas para enumerar eventos difíciles de
cuantificar.
Principio fundamental del conteo (Principio de multiplicación)
Si una operación puede realizarse en m 1 formas, y si por cada una de estas una
segunda operación puede realizarse en m 2 formas y una k-esima operación
puede realizarse en m k formas, entonces las k operaciones pueden llevarse a
cabo juntas en m 1 x m 2 x…x m k formas.
Ejemplo 1. El menú del Restaurante Discretas es el siguiente:
ENTRADAS
PLATOS PRINCIPALES
BEBIDAS
Arroz
Pollo adobado
Té
Sopa
Entomado de res
Leche
Filete de pescado
Refresco
Cerveza
Observe que el menú tiene dos entradas, tres platos principales, y cuatro
bebidas. Calcule lo siguiente:
a) ¿Cuántas comidas diferentes constan de un plato principal y una bebida?
Si se enumeran todas las comidas posibles que constan de un plato
principal y una bebida, se obtiene:
PT, PL, PR, PC
ET, EL, ER, EC
FT, FL, FR, FC = 12 comidas diferentes
Observe que existen tres platos principales y cuatro bebidas, y que
12 = 3 * 4. (12 = 3 platos principales * 4 bebidas)
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b) ¿Cuántas comidas diferentes constan de una entrada, un plato principal y
una bebida?
Si se enumeran todas las comidas posibles que constan de una entrada,
un plato principal y una bebida, se obtiene:
APT, APL, APR, APC
AET, AEL, AER, AEC
AFT, AFL, AFR, AFC
24 comidas
SPT, SPL, SPR, SPC
SET, SEL, SER, SEC
SFT, SFL, SFR, SFC
Observe que hay dos entradas, tres platos principales y cuatro bebidas, y
que 24 = 2 * 3 * 4.
En los incisos a y b se muestra que el número total de comidas es igual al
producto de los números de cada platillo. Este ejemplo ilustra el principio de
multiplicación.
Permutaciones
Son ordenamientos diferentes sin repetir los objetos que forman el conjunto.
Ejemplo 1. ¿Cuál es el número total de permutaciones que se pueden realizar
con las letras A, B y C?
Considere las diferentes formas (arreglos) en que pueden situarse las letras
A, B, y C. Para la primera posición puede elegirse a cualquiera de las tres
letras; para la segunda se puede escoger a cualquiera de las dos restantes y
para la tercera debe seleccionarse la letra que no se utilizó. Así existen 3 * 2
* 1 = 6 maneras en las que pueden arreglarse tres letras. Los seis arreglos o
permutaciones son: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA, que se presentan en
la Figura 1.
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A
B
C
ABC
B
C
A
C
C
A
B
B
C
A
B
A
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Figura 1
Observe en la Figura 1 que la permutación ABC es diferente a ACB porque
son las mismas letras pero ordenadas de diferente forma, el mismo criterio se
aplica a las otras permutaciones.
Regla de conteo para las Permutaciones.
Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan
r objetos de un conjunto de n objetos y el orden de selección es relevante. Los
mismos r objetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado
experimental diferente.
El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r está dado por:
Ejemplo 1.
𝑛!
𝑛
𝑃𝑟𝑛 = 𝑟! � � =
𝑟
(𝑛 − 𝑟)!
Si se va a integrar un código con 4 letras diferentes, partiendo de
un conjunto de 8 caracteres disponibles de la A - H. ¿Cuántos
códigos es posible generar?
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Solución: En este caso n = 8 (Cantidad de letras de la A - H) y r = 4 y como
cada orden es un código diferente, entonces se trata de una
permutación.
𝑃48 =
𝑛!
8!
=
= 1680
(𝑛 − 𝑟)! (8 − 4)!
Son 1680 códigos diferentes que se generan.
Combinaciones
Son objetos en los que no importa el orden.
Combinación
Es una selección diferente sin importar el orden de un conjunto.
Diferencia entre permutación y combinación
En la permutación el interés se centra en contar todas las posibles selecciones y
todos los arreglos de éstas, mientras que en la combinación el interés sólo recae
en contar el número de selecciones diferentes. De esta manera ABC y ACD son
diferentes combinaciones de tres letras. Mientas que ABC y ACB son distintas
permutaciones de la misma combinación.
Observe que:
ABC ACD
La combinación es una selección de tres letras
diferentes, entonces son dos combinaciones
La combinación ABC tiene 6 permutaciones: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
La
Combinación
ABC
tiene
6
permutaciones, pero como no importa
el orden se cuentan como una sola
combinación (son las mismas letras)
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Regla de conteo para las Combinaciones.
Permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento
consiste en seleccionar r objetos de un conjunto (usualmente mayor) de n
objetos en donde el orden en que están dispuestos los objetos “no” importa.
El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r es:
𝑛!
𝑛
𝐶𝑟𝑛 = � � =
𝑟
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
La notación “!” significa factorial.
Ejemplo 1.
Si de un grupo de 6 personas se van a seleccionar 3 para un
comité de representación en donde todas ostentan el mismo cargo,
¿Cuántos grupos diferentes de 3 representantes se pueden formar?
Solución: En este caso n = 6 y r = 3 y como cada elemento tiene el mismo
cargo, entonces:
𝐶36 =
𝑛!
6!
=
= 20
𝑟! (𝑛 − 𝑟)! 3! (6 − 3)!
Se formar 20 diferentes grupos de 3 representantes.
Probabilidad usando técnicas de conteo.
Es factible usar técnicas de (Probabilidad
conteo vistas
anteriormente para el cálculo de
simple)
probabilidades en eventos que no impliquen reemplazo.
La regla que se sigue es la siguiente:
𝑃 (𝐴 ) =
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝐴
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
(Probabilidad simple)
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Ejemplo 1.
Se tienen en una bodega 20 artículos, de los cuales 5 son de
importación. Si se toman 4, ¿Cuál es la probabilidad de que los 4
sean de importación?
Solución:
Primeramente se toman en cuenta las siguientes consideraciones:
•
Se habla de una población de tamaño N, dentro de ella hay un número k
de elementos que cumplen con cierta característica.
•
De este subconjunto k deseamos obtener x elementos con dicha
característica en una muestra de tamaño n.
Para seguir con la regla anterior tomaremos la información de la siguiente
manera:
𝑁−𝑘
𝐶𝑛−𝑥
× 𝐶𝑥𝑘
𝑃(𝑥 = 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎) =
𝐶𝑛𝑁
Por lo tanto, N = 20 Total de población,
k = 5 subconjunto de elementos que cumplen cierta característica,
n = 4 muestra de elementos que cumplen con dicha característica,
x = 4 elementos que cumplen con dicha característica.
20−5
𝐶4−4
× 𝐶45
𝑃(𝑥 = 4) =
𝐶420
𝑃(𝑥 = 4) =
𝐶015 × 𝐶45
𝐶420
Ocupamos 0 artículos nacionales y 4 de importación, por eso se realiza esta
multiplicación de combinaciones.
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𝐶015 =
𝑛!
15!
15!
=
=
=1
𝑟! (𝑛 − 𝑟)! 0! (15 − 0)! 1(15!)
𝐶45 =
𝐶420 =
5!
5!
=
=5
4! (5 − 4)! 4! (1!)
20!
20!
=
= 4845
4! (20 − 4)! 4! (16!)
Entonces la P(x = 4) = 1(5) / 4845 = 0.00103
0.103% es la probabilidad de que los 4 artículos sean de importación
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Conclusión
En esta sesión aprendimos a trabajar las técnicas de conteo más utilizadas
como lo son las permutaciones y combinaciones, recordando que la diferencia
entre ellas es que en las permutaciones sí importa el orden que se va a realizar y
en las combinaciones no importa ese orden.
En la siguiente sesión iniciaremos nuestro trabajo con las Distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas.
Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/images/standard-normal-distribution.gif
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Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los sitios de Internet.
•
Técnicas de Conteo.
http://brd.unid.edu.mx/tecnicas-de-conteo/
http://brd.unid.edu.mx/tecnicas-de-conteo-02/
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, porque te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
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Actividad de Aprendizaje
Con lo aprendido en esta sesión acerca de las técnicas de conteo de
permutaciones y combinaciones, resuelve los siguientes ejercicios:
1.- ¿De cuántas maneras posibles se seleccionan tres objetos de un conjunto de
seis? Use las letras A, B, C, D, E y F para identificar a los objetos y enumere
todas las combinaciones diferentes de los tres objetos.
2.- ¿Cuántas permutaciones de tres objetos se pueden seleccionar de un grupo
de seis? Use las letras A, B, C, D, E y F para identificar a los objetos y enumere
cada una de las permutaciones factibles para los objetos B, D y F.
3.- Las placas de los autos, se identifican por tres letras y tres números.
a) ¿Cuál es el número total si ninguna letra de placa posible puede usarse
más de una ocasión en la misma placa?
b) ¿Cuál es el número total sin esta restricción?
4.- Considere el experimento de lanzar una moneda tres veces.
a) Elabore un diagrama de árbol de este experimento.
b) Enumere los resultados del experimento
c) ¿Cuál es la probabilidad que le corresponde a cada uno de los resultados?
Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la
plataforma. Recuerda que la actividad vale el 5% de la calificación final.
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Bibliografía
•
Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para
administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning.
ISBN: 970-686-278-1
•
Levine, David M., Krehbiel, Timothy C. y Berenson, Mark L. (2012):
Estadística descriptiva. México: Pearson Educación
•
Lind Douglas A., Marchal William G. y Wathen Samuel A. (2008):
Estadística aplicada a los negocios y la economía. México: McGraw-Hill.
Cibergrafía
•
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Técnicas
de
Conteo
Recuperado
de: http://www.dcb.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE13.pdf
•
Hernández,
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(s.f.).
Técnicas
de
Conteo
Recuperado
de: http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/tecnicas%2
0de%20conteo.pdf
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