UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR-CUN
ESTADISTICA y PROBABILIDAD
GUIA Nº 2
PROBABILIDADES
PROFESOR: FREDY RIOS
TECNICAS DE CONTEO
En el cálculo de las probabilidades es necesario conocer ciertos mecanismos que nos permitan
obtener el número de veces de ocurrencia de un suceso, en forma rápida y con un mínimo de riesgo
a equivocaciones. Hay experimentos que tienen muy pocos resultados siendo fácil determinar y
contar eventos posibles, como se puede observar en tos siguientes ejemplos:
Hay otros experimentos, por no decir a mayoría, que presentan cierto grado de dificultad, se vuelve
tedioso o engorrosa la elaboración del lisiado de lodos los eventos, sucesos o elementos posibles y
el conteo de todas las posibilidades que se pueden presentar por tal motivo se han establecido
métodos conocidos como Técnicas de Canteo, siendo las más conocidas y utilizadas: a) la fórmula
de multiplicación b) la fórmula de permutación; c) la fórmula de combinación d) Regla del
exponente y c) Diagrama del árbol.
MULTIPLICACION DE EVENTOS
Algunos de los problemas de probabilidad tienen solución a través de la aplicación de la fórmula de
multiplicación, como por ejemplo: una persona vive en el extremo norte de la ciudad y sólo cuenta
con dos rutas para poder llegar a la llamada Autopista Norte. Una vez alcanzada la autopista tiene
tres rutas de menor congestión para llegar al centro de la ciudad. Ya en el centro puede seleccionar
dos rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina. La pregunta que se haría dicha
persona es:
¿de cuántas maneras o rutas podría conducir su automóvil de la casa al parqueadero más próximo a
la oficina?
Ejercicio de la regla de multiplicación
En total se tienen 12 maneras o rutas para elegir. Aplicando la técnica de la multiplicación, se
tendrá:
2 x 3 x 2 = 12.
Para el total de arreglos que se pueden hacer, la fórmula general es.
Total arreglos posibles = m . n
Si tenemos por ejemplo cuatro eventos será igual a m x n x o x p
PERMUTACIONES
Permutaciones y combinaciones. En muchos casos de probabilidades se recurre a técnicas de conteo como
son las permutaciones, variaciones y combinaciones.
Permutaciones. Es una forma de ordenar o arreglar a la totalidad de los elementos de un conjunto.
Se simboliza por Pn = n! o también como nPn = n! Se lee como permutaciones de e elementos tomados de n
en n. El símbolo n! se lee n factorial y sé desarrolla de la siguiente manera:
8!=8x7x6x5x4x3x2x1 se puede escribir también: 8!=8x7x6x5!
Supongamos que tiene los siguientes números naturales 1, 2,3, 4 y se quiere cifras de cuatro dijitos. Según la
formula anterior se tendrá que 4 p 4 = p 4 =4!=4x3x2x1=24 veamos cuales serian esas cifras:
Ejemplos:
1. En la primera línea del salón de clases se tienen colocados 6 pupitres y se quiere sentar a 8 alumnos; ¿de
cuántas maneras se podrán colocar? Solución: p8=8P8 = 8! = 40.320
2: Con las letras de la palabra PALO, ¿cuántas palabras se pueden formar?
Cuando uno o ‘varios elementos están repelidos, el cálculo de las permutaciones varia; en esta caso nos
referimos a Permutaciones con repetición por ejemplo con la palabra CASA tendríamos un número de
palabras inferior a 24, en el caso do que no se haga distinción de la A.
VARIACIONES
Ejemplos:
1. Volvamos nuevamente a los cuatro números naturales: 1,2,3,4 y formemos cifras de tres dígitos.
Con los siguientes resultados:
Solución:
2. Si ahora se quieren formar cifras de dos dígitos, se tendrá:
Solución
3. ¿Cuántas cifras diferentes de 4 dígitos se pueden formar con los números del 0 al 9 y usándolos
una vez?
Solución
COMBINACIONES
Las combinaciones son un arreglo de los elementos sin importar el orden en queso dispongan.
La fórmula queso utiliza en el cálculo de las combinaciones es
Ejemplos:
1. Cambiemos el ejercicio de los 4 números naturales por las primeras cuatro letras del
alfabeto A. B.C.D. Sise desea combinarlos, ¿cuántas combinaciones se podrán hacer?
Solución:
Una sola combinación, ya que al no importar et orden de colocación da lo mismo ABCD = ADBC
= ACBD = CBAD = DACB =, etc.
DIAGRAMAS DE ARBOL
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde
cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
Ejemplos:
1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de
sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un
diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?
N
A
B
N
A
B
N
A
B
Solución:
A
B
M
AB
O
A
F
N
A
B
B
AB
B
A
O
B
Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son
2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;
MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.
2. Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo
que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo.
Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo,
Solución:
A = gana el equipo A
B = gana el equipo B
A
A
A
A
B
A
B
B
B
A
A
A
A
B
B
B
B
B
En este diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se gane el torneo, que se
obtienen contando las ramas terminales de este diagrama de árbol, las que es posible enumerar;
AA, ABB, ABAA, ABABA, ABABB, etc, etc.
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta aplicable como modelo para situaciones
de toma de decisiones en las que puede suponerse que un proceso de muestreo responde a un proceso de
BERNOULLI en el que:
-
En cada ensayo u observación solo son posibles dos resultados mutuamente excluyentes, llamados
éxito y fracaso.
Los resultados de la serie de ensayos constituyen eventos independientes
La probabilidad de éxito de cada ensayo es indicada por p
La probabilidad de fracaso esta dada por q=1-p
La distribución binomial ….
P( x / n, p) 
n!
p x q n x
x!(n  x)!
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON
La distribución de Poisson puede usarse para determinar la probabilidad de ocurrencia de un número
establecido de eventos cuando estos ocurren en un cuantiuum temporal o espacial. Para la probabilidad de
ocurrencia de un numero establecido de eventos solo se requiere de un valor: el numero medio de eventos a
largo plazo en la dimensión temporal o espacial especifica de interés.
La distribución poisson
P( x /  ) 
x 
x!
En donde:
 = promedio
x = numero establecidos de éxitos
e =constante( 2,7182..)