2.1 Tecnicas de conteo

TÉCNICAS DE CONTEO.
Para obtener el número total de los resultados, es necesario desarrollar algunas técnicas de
conteo, las cuales son:
1. Principio fundamental de conteo
2. Diagramas de árbol.
Permutaciones.
3. Análisis combinatorio.
Combinaciones.
DIAGRAMAS DE ÁRBOL.
El diagrama de árbol es una técnica gráfica empleada para enumerar todas las posibilidades
lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito
de veces.
Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1.
Construir el diagrama de árbol para encontrar el total de posibles formas de resolver un
examen de 3 preguntas de falso o verdadero.
Primera
pregunta.
Segunda
pregunta.
F
Tercera
pregunta.
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
Por lo tanto el espacio muestral es: S= {FFF, FFV, FVF, FVV, VFF, VFV, VVF, VVV}
ANÁLISIS COMBINATORIO.
Los diagramas de árbol nos sirven para mostrar gráficamente el número de resultados
posibles de un fenómeno, pero esta ordenación tiene un inconveniente, pues a medida que
aumenta el número de objetos dicha ordenación se complica, por lo que hay que recurrir a
otro proceso más sencillo para determinar el número total de resultados.
Para ello existen otras técnicas tales como:
•
Principio fundamental de conteo.
•
Permutaciones.
•
Combinaciones.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO.
Si un evento puede realizarse de n1 formas diferentes, y si, continuando el procedimiento, un
segundo evento puede realizarse de n2 formas diferentes, y si, después de efectuados, un
tercer evento puede realizarse de n3 formas diferentes, y así sucesivamente, entonces el
número de formas en que los eventos pueden realizarse en orden indicado es el producto de
(n1) (n2) (n3)…
Ejemplo 1.
Encontrar el total de posibles formas de resolver un examen de 10 preguntas de falso o
verdadero.
Pregunta número
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Formas de responderla
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024 formas
Explicación. En cada una de las 10 pregunta hay sólo dos formas de responder, ya sea
falso o verdadero.
Ejemplo 2.
En un parque hay una banca con 5 lugares, si al parque asisten 5 hombres y 4 mujeres que
son amigos. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en la banca?
9
8
7
6
5
Formas de acomodarse en la banca.= 9x8x7x6x5= 15120.
Explicación.
En el primer asiento se pueden sentar cualquiera de los 9 amigos, para ocupar el segundo
asiento no se considera al amigo que quedó sentado en el primer asiento, por lo que quedan
8 amigos elegibles para ocupar dicho asiento y así sucesivamente hasta ocupar los 5
asientos.
PERMUTACIONES.
NOTACIÓN FACTORIAL.
Antes de iniciar con el estudio de las permutaciones es necesario conocer el concepto de
notación factorial, se llama factorial al producto de los enteros positivos desde uno hasta “n” y
lo representamos con el símbolo n! (que se lee n factorial).
Así tenemos que:
0!=1
La notación factorial la
podrás
realizar en tu
calculadora, sólo busca el
símbolo n! ó x!
1!=1
2!=1x2=2
3!=1x2x3=6
4!=1x2x3x4=24
5!= 1x2x3x4x5=120
PERMUTACIONES.
Una permutación es una forma en la que pueden representarse los eventos, en la que el
orden en que aparecen es muy importante; por ejemplo con los números 1, 2 y 3 se
pueden hacer los siguientes arreglos; 123, 132, 231, 213, 312 y 321, cada uno de ellos es
una permutación de los dígitos 1, 2 y 3 tomando los tres a la vez. Si sólo utilizamos dos de
los tres dígitos tendríamos los siguientes arreglos; 12, 21, 13, 31, 23 y 32 y cada uno de
ellos representa cantidades distintas entre sí.
Las permutaciones representan un arreglo ordenado de “r” objetos tomados de “n”,
en donde r ≤ n.
La fórmula para hallar el número de permutaciones es la siguiente:
Donde:
n!
Prn =
(n − r )!
n= número total de objetos.
r= es el número de objetos que se
desea considerar de los “n” disponibles.
La permutación la podrás
realizar en tu calculadora,
sólo busca el símbolo
nPr.
Ejemplos resueltos.
Ejemplo1.
Hallar el número de permutaciones que se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8.
a) Si sólo se utilizan 2 de estos números.
Prn =
n!
(n − r )!
b) Si sólo se utilizan 3 de estos números.
Prn =
n!
(n − r )!
4!
4! 1x 2 x3x 4
== =
P24 =
= 3x 4 = 12
(4 − 2)!
2!
1x 2
4!
4! 1x 2x 3x 4
== =
P34 =
= 24
(4 − 3)!
1!
1
Los arreglos serían: 24, 42, 46, 64, 68, 86, 26,
62, 28, 82, 48 y 84.
Los arreglos serían: 246, 264, 642, 624, 426, 462,
468, 486, 648, 684, 846, 864, 268, 286, 628, 682,
826, 862, 284, 248, 842, 824, 428, y 482.
Ejemplo 2.
La mesa directiva de una escuela está integrada por un presidente, un secretario y un
tesorero; para ocupar estos puestos existen 8 candidatos y cada uno de ellos puede ocupar
uno de estos cargos. Determinar el número de formas distintas como puede quedar
integrada la mesa directiva.
8!
8! 1x 2x 3x 4 x 5x 6 x 7 x8
P38 =
= =
= 6x 7 x8 = 336 Formas distintas de ocupar los cargos.
(8 − 3)! 5!
1x 2 x 3x 4 x 5
Ejemplo 3.
En un bolsa hay 4 pelotas de esponja; 1 roja, 1 verde, 1 azul y 1 amarilla. Si se extrae de la
bolsa
3
pelotas
¿De
cuantas
formas
distintas,
pueden
aparecer?
4!
4! 1x 2x 3x 4
P34 =
= =
= 24 Formas distintas de aparecer.
(4 − 3)! 1!
1
Permutaciones con repetición.
Con frecuencia se desea saber el número de permutaciones de “n” objetos de los cuales
algunos de sus elementos son iguales, en este caso se utiliza la formula siguiente:
P=
n!
n1!n 2 !n 3!
Donde:
n es el total de elementos del conjunto.
n1!, n2! y n3! Valores repetidos, diferentes.
Ejemplos resueltos.
Ejemplo1.
¿Cuántas permutaciones diferentes pueden formarse con todas las letras de las siguientes
palabras?
a) Roca.
Como todas las letras aparecen una sola vez entonces:
n!
P=
n1!n 2 !n 3!
P=
4!
24
=
= 24
(1)(1)(1)(1) 1
.
b) Campanario.
Como la letra a se repiten 3 veces a→ n1=3
P=
n!
10! 1x 2 x 3x 4 x 5x 6 x 7 x8x 9 x10
= =
= 4 x 5x 6 x 7 x8x 9 x10 = 604,800 permutaciones.
n1!n 2 !n 3! 3!
1x 2x 3
c) Estadísticas.
Como la letra a se repite 2 veces a→n1=2, la letra s se repite 3 veces s→n2=3, la letra t se
repite 2 veces t→ n3=2 y la letra i se repite 2 veces i→n4=2.
P=
n!
12!
1x 2 x3x 4...x12 739,833,600
=
=
=
= 9,979,200 Permutaciones.
n1!n2 !n3!n ! (2!)(3!)(2!)(2!)
(2)(2)(2)(3!)
8
4
Permutaciones con sustitución.
En este caso cada elemento que participa en la permutación puede tomarse nuevamente
antes de elegirse el siguiente elemento de la permutación. En un conjunto que tenga “n”
objetos, entonces existirá “n” maneras de elegir el objeto en cada ocasión, esto es:
n(n)(n)(n) = nr
Donde:
n= número total de objetos.
r= es el número de objetos que se desea
considerar de los “n” disponibles.
Ejemplo:
¿De cuántas maneras puede elegirse a 3 cartas de una baraja inglesa de 52 cartas?
a) Con sustitución.
P = n r = (52)3 = 140,608 Maneras de elegir las cartas.
b) Sin sustitución.
52!
52! 1x 2 x3...x 49 x50 x51x 52
P352 =
=
=
= 50x 51x52 = 132,600
(52 − 3)! 49!
1x 2 x 3...x 49
cartas.
Maneras
de
elegir
las
COMBINACIONES.
Una combinación es una forma de representar eventos u objetos, en la que el orden de
aparición no importa; por ejemplo si tenemos los dígitos 1, 2 y 3 y si tomamos únicamente
dos de estos dígitos se podrían formar las siguientes combinaciones y permutaciones.
Combinaciones. Permutaciones.
12
12, 21
13
13, 31
23
23, 32
En una combinación no es importante el orden en que aparezcan los elementos, mientras
que en una permutación si importa el orden de aparición de los elementos.
La fórmula para hallar el número de combinaciones es la siguiente:
Donde:
n!
C nr =
r!(n − r )!
n= número total de objetos.
r= es el número de objetos que se desea
considerar de los “n” disponibles.
Las
combinaciones
la
podrás
realizar en tu
calculadora, sólo busca el
símbolo nCr
Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1.
¿Cuántos equipos de Basquetbol se pueden formar con un grupo de 9 jugadores, si se sabe
que cada equipo está integrado por 5 jugadores y cualquiera de ellos puede ocupar la
posición que sea?
n!
9!
9!
1x 2x 3x 4 x 5x 6 x 7 x8x9
6 x 7 x8x 9 3024
C 95 =
=
=
=
=
=
= 126 Formas.
r!(n − r )! (5!)(9 − 5)! (5!)(4!) (1x 2 x3x 4x 5)(1x 2 x 3x 4) 1x 2 x3x 4
24
Ejemplo 2.
En una mesa de billar hay 6 bolas marcadas con los números 2, 4, 6, 8, 10 y 12, se va a
tomar al azar 4 de estas bolas. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden seleccionar
estas bolas?
C 64 =
n!
6!
6!
1x 2 x 3x 4 x 5x 6
30
=
=
=
=
= 15 Formas.
r!(n − r )! (4!)(6 − 4)! (4!)(2!) (1x 2x 3x 4)(1x 2) 2
Ejemplo 3.
La selección mexicana está integrada por 25 jugadores en total, de los cuales tres son
porteros, siete defensas, diez medios y cinco delanteros.
a) ¿De cuántas maneras puede el entrenador integrar un equipo de once jugadores, si
cualquiera de ellos puede ocupar cualquier posición?
n!
25!
25!
1x 2 x3x 4 x5x 6x 7 x8x 9 x10x11x12 x13x14 x15...x 24 x 25
25 =
C11
=
=
=
r!(n − r )! (11!)(25 − 11)! (11!)(14!)
(1x 2x 3x 4...x11)(1x 2x 3, , , , x13x14)
=
15x16 x17...24x 25 1.7792x1014
=
= 4,457,400 Equipos.
39,916,800
39,916,800
b) ¿De cuántas maneras puede integrar el entrenador en equipo que tenga un portero,
cuatro defensas, cuatro medios y dos delanteros?
De acuerdo al principio fundamental del conteo tenemos que:
C13 * C 7 * C10 * C5 = 3*840*210*10= 5, 292,000 Equipos.
4
4
2
Para el portero es C 3 ya que existen 3 porteros posibles para el equipo.
1
Para los defensas es C 7 ya que existen 7 defensas posibles para el equipo.
4
Para los medios es C10 ya que existen 10 medios posibles para el equipo.
4
Para los delanteros es C 5 ya que existen 5 delanteros posibles para el equipo.
2
Ejemplo 4
En un examen de matemáticas un estudiante tiene que responder siete de un total de diez
preguntas.
a) Determinar el número de maneras en que puede responder el examen.
n!
10!
10!
1x 2 x3x 4x 5x 6 x 7 x8x9 x10 8x9 x10 720
C10
=
=
=
=
=
=
= 120 Formas.
7
r!(n − r )! (7!)(10 − 7)! (7!)(3!) (1x 2 x3x 4x 5x 6 x 7)(1x 2 x 3) 1x 2 x3
6
b) Determinar el número de formas de responder el examen si dentro de las siete preguntas
que debe contestar la 2 y la 6 son obligatorias.
Como 2 preguntas de las siete que tiene que contestar son obligatorias, sólo tendrá la opción
de elegir 5 de las 8 que quedan disponibles.
C85 =
n!
8!
8!
1x 2 x3x 4x 5x 6 x 7 x8
6 x 7 x8 336
=
=
=
=
=
= 56 Formas.
r!(n − r )! (5!)(8 − 5)! (5!)(3!) (1x 2x 3x 4 x 5)(1x 2x 3) 1x 2 x3
6
c) ¿De cuántas formas puede responder el examen si dentro de las siete preguntas debe
elegir 4 de las primeras 6 preguntas y 3 de las últimas 4 preguntas?
Para responder 4 de las seis primeras preguntas.
C 64 =
n!
6!
6!
1x 2 x3x 4 x5x 6
5x 6 30
=
=
=
=
=
= 15 Formas.
r!(n − r )! (4!)(6 − 4)! (4!)(2!) (1x 2 x 3x 4)(1x 2) 1x 2
2
Para responder 3 de las últimas 4 preguntas.
C 34 =
n!
4!
4!
1x 2 x 3x 4
4
=
=
=
= = 4 Formas.
r!(n − r )! (3!)(4 − 3)! (3!)(1!) (1x 2 x3)(1) 1
De acuerdo al principio fundamental del conteo tenemos que:
Total de formas de contestar= C 6 * C 4 = 15 * 4 = 60 Formas.
4
3