Técnicas de conteo - Permutaciones y

Técnicas de conteo
Permutaciones y combinaciones
Álvaro José Flórez
1 Escuela
de Ingeniería Industrial y Estadística
Facultad de Ingenierías
Febrero - Junio 2012
Técnicas de conteo
En el enfoque clásico, el valor de probabilidad se basa en la razón
del número de resultados igualmente probables favorables respecto
del número total de resultados en el espacio muestral. Cuando los
problemas son simples, el número de resultados pueden contarse
directamente. Sin embargo, en problemas más complejos es necesario
usar técnicas de conteo para determinar el número de resultados
posibles
Ejemplo:
Definir el espacio muestral de lanzar 4 dados
Principio Fundamental del conteo
Si un evento puede realizarse en n1 formas diferentes y si
por cada una de éstas una segunda operación puede llevarse
a cabo de n2 formas diferentes, una tercera de n3 formas, y
así sucesivamente, entonces el número de maneras que se puede
realizarse el experimento en el orden indicado es:
n1 × n2 × n3 × . . .
Principio Fundamental del conteo
Si un evento puede realizarse en n1 formas diferentes y si
por cada una de éstas una segunda operación puede llevarse
a cabo de n2 formas diferentes, una tercera de n3 formas, y
así sucesivamente, entonces el número de maneras que se puede
realizarse el experimento en el orden indicado es:
n1 × n2 × n3 × . . .
Ejemplo:
Una estación de radio cuenta en su discografía 15 conciertos de heavy
metal, 27 de rock alternativo y 9 de punk. Si el gerente de la estación
determina que en cada noche sucesiva, se transmita un concierto de
heavy metal, seguido de uno de rock alternativo y luego uno de punk,
¿Durante cuánto tiempo podría continuar esta política antes de que
se tenga que repetir el mismo programa?
Permutaciones
Una permutación es una secuencia ordenada de n objetos distintos.
S = {a, b, c}
Las permutaciones posibles son:
abc, acb, bac, bca, cab, cba
El número de permutaciones de n objetos distintos es
n!
Permutaciones
En forma general una permutación es una secuencia ordenada de r
objetos tomados de un conjunto de n objetos distintos.
n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × (n − r + 1)
nPr =
n!
(n − r)!
Ejemplo:
¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse con 1, 2, 5, 6 y
7, si cada uno ellos puede utilizarse sólo una vez? ¿Cuántos pares de
tres dígitos? ¿Cuántos son mayores a 530?
Permutaciones
El número de permutaciones diferentes de n objetos de los cuales n1
son de un tipo, n2 de otro tipo, . . ., nk de un k-ésimo tipo, es:
n!
n1 !n2 . . . nk !
Ejemplo:
¿Cuántas señales diferentes, cada una con 8 banderas sin marcar
colocadas en línea pueden formarse con un conjunto de 4 banderas
rojas, 3 blancas y una azul?
Combinaciones
Dado un conjunto de n objetiso distintos, cualquier subconjunto no
ordenado de tamaño k de los objetos se llama combinación. En las
combinaciones el orden de aparición de los objetos es irrelevante.
Ejemplo:
S= {a,b,c,d}
Combinaciones:
Permutaciones:
abc
abd
acd
bcd
abc, acb, bac, bca, cab, cba
abd, adb, bad, bda, dab, dba
acd, adc, cad, cda, dac, dca
bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb
La diferencia entre una permutación y una combinación es que en la primera el
interés se centra en contar todas las posibles selecciones y todos los posibles
arreglos entre éstas, mientras la segunda el interés es contar las selecciones
diferentes
Combinaciones
Dado un conjunto de n objetiso distintos, cualquier subconjunto no
ordenado de tamaño k de los objetos se llama combinación. En las
combinaciones el orden de aparición de los objetos es irrelevante.
Ejemplo:
S= {a,b,c,d}
El número de combinaciones de n elementos distintos, tomando r a la vez
es:
n!
n
=
r
r!(n − r)!
Ejemplo
Si de una baraja de 52 cartas se eligen 5 al azar para jugar póquer,
determinar la probabilidad de:
• Se tengan dos reyes.
• Todas las cartas sean del mismo palo.
• Se tengan tres cartas del mismo valor.
• Se tenga un full house (un trió y una pareja, es decir,
combinación de tres cartas de un mismo valor y dos cartas del
mismo valor, diferente al anterior)
ejercicios
Una placa de automóvil consta de 3 letras diferentes seguidas
de 3 números de los cuales el primero no es cero ¿Cuántas
placas diferentes pueden grabarse? ¿Cuántas si la primera letra es
consonante y el último número además es impar? ¿Cuántas si todas
las letras y números son diferentes?
El juego del BALOTO consiste en acertar en cualquier orden 6
números en una matriz de números del 1 al 45 ¿Cuál es la
probabilidad de ganar el premio mayor? Si también se dan premios
por acertar 5, 4 ó 3 números ¿Cuál es la probabilidad de que gane
algún premio?
ejercicios
Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una
con 4 posibles respuestas, de las cuales solo una es correcta,
• ¿de cuantas formas diferentes se puede resolver la prueba?
• ¿de cuantas formas se puede escoger una alternativa para cada
pregunta y tener todas las respuestas incorrectas?
• Si la prueba se supera si 3 de las 5 respuestas fueron correctas
¿Cuál es la probabilidad de superar la prueba (si las preguntas
se contestaron de forma aleatoria)?
Bibliografía
Canavos, G. (1988). Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y
métodos. Mc Graw Hill, México, vol. 1 edition.
Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y
ciencias. Thomson Paraninfo, México, vol. 7 edition.
Montgomery, D. and Runger, G. (2004). Probabilidad y estadística
aplicadas la ingeniería. Limusa-Wiley, México, 2 edition.