tecnicas de conteo

TECNICAS DE CONTEO
TÉCNICAS DE CONTEO
¿Qué son las técnicas de conteo?
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos
difíciles de cuantificar.
La enumeración de puntos muestrales en un espacio muestral, en ocasiones
es difícil y laboriosa por la cantidad de puntos a contar o enumerar,
propiciando que se puedan cometer errores al emprender esa tarea. En
estos casos se recurre al análisis combinatorio, que es una manera más
sofisticada de contar.
Para facilitar el conteo examinaremos estas técnicas:
 La técnica de la multiplicación
 La técnica de la suma o Adición
 La técnica de la permutación
 La técnica de la combinación.
REGLA DEL PRODUCTO (MULTIPLICACIÓN)
Si los eventos A y B pueden ocurrir de m y n maneras distintas respectivamente,
entonces el total de maneras distintas en que ambos eventos pueden ocurrir
en el orden indicado es m x n.
Esta regla puede extenderse a tantos eventos como se quiera. El número total
de posibilidades es el producto del número de posibilidades de cada evento.
Ejemplo 1. Una persona para vestirse tiene la posibilidad de escoger entre 2
pares de zapatos, 3 pantalones y 4 blusas. ¿De cuántas maneras puede
combinar las prendas?
Solución: Conocemos que hay 2 posibilidades de combinar los pares de
zapatos (Z = 2), los pantalones de 3 maneras (P = 3) y las blusas de 4 (B = 4).
Entonces:
Z x P x B = 2 x 3 x 4 = 24 Existen 24 posibilidades de combinar las prendas.
Ejemplo 2. ¿Cuántos juegos de placas de circulación para automóviles
pueden fabricarse, si se utilizan 3 dígitos y 3 letras (en ese orden), si no se
puede repetir ningún dígito ni letra en cada placa, ni se puede utilizar el cero,
las letras O, Ñ y W.
Solución: Para el primer digito (D1) existen 9 posibilidades, al quedar excluido
el 0; para el segundo dígito (D2) hay 8 alternativas, al no poder usar el 0 ni el
usado en el primer espacio; para el tercer dígito (D3) quedan 7 posibilidades.
Para la primera letra (L1) se tienen 24 alternativas, ya que de las 27 letras del
abecedario, 3 están restringidas; para la segunda letra (L2) se tienen 23
alternativas y para la última letra (L3) quedan 22 posibilidades, por lo que:
(D1) (D2) (D3) (L1) (L3) (L2) = (9) (8) (7) (24) (23) (22) = 6120576 Se pueden
fabricar 6120576 juegos de placas con estas características.
REGLA DE LA SUMA
Si una primera tarea puede realizarse de m formas y una segunda tarea
puede realizarse de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera
simultánea, entonces para realizar cualquiera de ellas pueden utilizarse
cualquiera de m + n formas.
Ejemplo 1. Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofía. Si un
estudiante quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, por la
regla de la suma puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros.
(Nota: el estudiante no quiere estudiar historia y filosofía, sino historia o
filosofía.)
La regla puede ampliarse a más de dos tareas, siempre que ningún par de
ellas pueda ocurrir simultáneamente.
PERMUTACIONES
Las permutaciones de un numero n de objetos de un conjunto es cualquiera
de las diferentes maneras de ubicar esos objetos en un orden definido.
Se utiliza el símbolo nPn o P(n) cuando se toman las permutaciones de igual
numero n de elementos u objetos del conjunto.
Si se desean ordenar n objetos diferentes en una línea, el primero objeto se
puede escoger de n maneras, el segundo de n-1; y el tercero de n-2 y así,
sucesivamente, hasta 1.
nPn = P(n) = (n) (n-1) (n-2)… (1) = n!
Ejemplo 1. ¿De cuántas maneras se pueden permutar los 3 dígitos del número
478?
Solución:
3 P3
= P (3) = 3 x 2 x 1 = 3! = 6
Las permutaciones son: 478, 487, 748, 784, 847 y 874.
Cuando las permutaciones se hacen de un tamaño r menor al número n de
elementos del conjunto, se utilizan indistintamente los símbolos nPr o P(n,r).
De un grupo n de objetos, deseamos ordenar r objetos en una línea. El
primero objeto se puede escoger de n maneras; el segundo de n-1 y así,
sucesivamente, de manera que el último de ellos será n – (r-1) = n – r + 1.
nPr = P(n, r) = (n) (n-1)(n-2)… (n-r+1) =
𝒏!
𝒏−𝒓 !
Ejemplo 2. ¿Cuántas permutaciones de 2 letras se puede formar a partir de las
5 vocales?
Solución:
nPr = 5P2 =
𝑛!
𝑛−𝑟 !
=
5!
5−2 !
=
5!
3!
= 20
Las permutaciones son:
ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, ia, ie, io, iu, oa, oe, oi, ou, ua, ue, ui y uo.
COMBINACIONES
Una combinación es cualquier selección de objetos en la que no importa el
orden, a diferencia de una permutación, donde el orden si es importante. Por
ejemplo, ABC, ACB y BAC son permutaciones distintas; mientras que, por
contener los mismos elementos, se pueden considerar como una misma
combinación. Por lo tanto, hay más permutaciones que combinaciones de un
número n de objetos, tomados de tamaño r en r.
Las combinaciones de n objetos, tomados en r en r, se representa por (𝑛 𝑟),
nCr, C(n,r) o Cn,r y se obtiene mediante las operaciones:
(𝑛 𝑟) = nCr = C(n,r) = Cn,r =
𝑛!
𝑛−𝑟 !𝑟!
El número de combinaciones nCr está relacionado con los subconjuntos de un
conjunto. Por ejemplo, el número de subconjuntos de 2 elementos del
conjunto A que tiene 5 elementos es:
A = {a, e, i, o, u}
(5 2) = 5C2 = C(5,2) = C5,2 =
5!
5−2 !2!
=
5!
3!2!
=
120
12
= 10
Los 10 subconjuntos de 2 elementos son: ae, ai, ao, au, ei, eo, eu, io, iu, ou.
Ejemplo 1. ¿Cuántos subconjuntos de 6, 8 y 10 elementos tiene el conjunto Q?
Q = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o}
Solución: Para 6 elementos:
15!
15!
(15 6) = 15C6 = 6! 15−6 ! = 6!9! = 5005 subconjuntos.
Para 8 elementos:
15!
15!
(15 8) = 15C8 = 8! 15−8 ! = 8!7! = 6435 subconjuntos.
Para 10 elementos:
15!
15!
15 10) = 15C10 = 10! 15−10 ! = 10!5! = 3003 subconjuntos.