Respuestas a problemas selectos de métodos de conteo

2.- Respuestas a todos los problemas de métodos de conteo.
2.1.a) 3×2×2×3×4= 144
b) 1×2×2×3×4= 48
c) 1×1×2×3×4= 24
2.2.Refrescos de lata = 4×1×1= 4
Refrescos de vidrio = 4×1×3 = 12
Refrescos de plástico = 4×1×3 = 12
Tipos diferentes de refrescos = 4+12+12= 26
2.3.a) Total = 27×36×35×34×33×32=1221454080
b)
Una sola letra= 27
Letra y un solo carácter (ya sea L o D) =27*37=999
Letra y dos caracteres = 27×37×37=36963
Letra y tres caracteres = 27×37×37×37=1367631
Letra y cuatro caracteres = 27×37×37×37×37=50602347
Letra y cinco caracteres = 27×37×37×37×37×37=1872286839
Total= 27 + 999 + 36963 + 1367631+ 50602347 + 1872286839 = 1924294806
2.4.Matemáticas y Física se ofrecen de = 2×3 = 6
Maneras.
Administración y ética = 2 × 2 = 4
Maneras.
Fundamentos de programación = 1 × 1= 1 Maneras
Matemáticas para computación = 1 × 1= 1
Maneras
Formas distintas de elaborar el horario = 6×4×1×1= 24
2.5.a)
Maneras diferentes = 49 = 262144
Maneras diferentes = 211 = 2048
Total = 262144×2048=536870912
b)
Maneras diferentes = 39 = 19683
Maneras
(Para las 9 preguntas con cuatro opciones)
(Para las 11 preguntas de F y V)
(Para las 9 preguntas)
Respuestas métodos de conteo 1
Maneras diferentes = 111 = 1
Total = 19683 × 1 = 19683
(Para las 11 preguntas de F y V)
c)
Maneras diferentes = 19 = 1
Maneras diferentes = 111 = 1
Total = 1 × 1 = 1
(Para las 9 preguntas)
(Para las 11 preguntas de F y V)
2.6.a)
Maneras diferentes = 580
= 82718061255302800000000000000000000000000000000000000000
= 8.27180612553028 × 10 55
(Para las 80 preguntas con cinco opciones
distintas)
b)
Maneras diferentes = 440 = 1208925819614630000000000 (Para las 40 preguntas
de opción múltiple)
Maneras diferentes = 240 =
1099511627776 (Para las 40 preguntas de F y V)
Total = 1208925819614630000000000 × 1099511627776 =
=1329227995784920000000000000000000000 = 1.32922799578492×1036
2.7.a) Maneras diferentes = 510 = 9765625
b) Maneras diferentes = 410 =1048576
c) Maneras diferentes = 110 =1
d) Maneras diferentes = 43 = 64
2.8.Respuestas:
a) Maneras diferentes de contestar = 520 = 95367431640625
b) Maneras diferentes en que se puede sacar 100% = 120 =1
c) Maneras diferentes en que se puede sacar 0% = 420 = 1099511627776
d) Para sacar 70% necesita fallar 6 preguntas de 20 pero puede fallar 5, 4, 3, 2, 1
o cero con lo cual también se cumple la condición planteada, por lo tanto.
Maneras distintas de sacar mínimo 70% = 46+45+44+43+42+41+40= 4096 + 1024 +
256 + 64 + 16 + 4 + 1 = 5461
Respuestas métodos de conteo 2
2.9.a) Cantidades diferentes= 34= 81
b) Cantidades diferentes= 32= 9
c)
1
0
0
1
2
0
Cantidades distintas
00
10
20
01
11
21
02
12
22
2
1
2
0
1
2
2.10.Respuestas:
a) Cantidades diferentes de 4 cifras en hexadecimal = 164 = 65536
b) Cantidades diferentes que comienzan con F y terminan con D en hexadecimal
= 1×165×1 = 1048576
2.11.n!
5!
5!

  120
(n  r)! (5  5)! 0!
b) Permutaciones que comienzan con “E” = 1× 4! = 24
n!
5!
5!

  120
c) P(n, r) 
(n  r)! (5  4)! 1!
n!
5!
5!

  60
d) P(n, r) 
(n  r)! (5  3)! 2!
a) P(n, r) 
2.12.Respuestas:
a) Maneras distintas = 6! =720
b) Considerando BF como una sola letra el número de maneras diferentes en que
se pueden acomodar es:
Maneras = 5! = 120
Pero como a su vez las letras B y F pueden estar acomodadas como BF y FB
(2!)
Total = 2!×5! = 2×120 =240
2.13.a) P(n,r)= (n-1)! = (10-1)! = 362880
Maneras diferentes.
b) Considerando como un bloque a las computadoras A,B y C que se desea que siempre
estén juntas, por lo tanto ahora se tendrán solamente 8 elementos distintos, 7
computadoras individuales y el pequeño bloque de 3 computadoras. Pero además entre
Respuestas métodos de conteo 3
esas 3 computadoras el orden en que pueden estar no siempre es el mismo, ya que
pueden colocarse de las siguientes seis maneras (3!): ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y
CBA. Por lo tanto el número de formas en que se pueden colocar las computadoras con
este nuevo diseño es.
P(n,r)= 6 (8-1)!= 30240
2.14.Respuesta:
Formas diferentes = (n-1)!= (8-1)!=7!= 5040
2.15.a) Formas diferentes = (n-1)!= (10-1)!=9!= 362880
b)
Permutaciones de cedros = 1!= 1
Permutaciones de eucaliptos = 4! = 24
Permutaciones de pinos = 5! = 120
Son 3 grupos de árboles los que se plantarán en círculo = (3-1)!= 2
Total de formas en que se pueden acomodar = 2×6×24×120 = 34560
2.16.Respuesta:
a) Formas diferentes = (n-1)!= (18-1)!=17!= 355687428096000
b) Permutaciones de las HP = 8! = 40320
Si se considera al grupo de HP como un elemento la forma en que se pueden
acomodar circularmente es =(n-1)! = (11-1)! = 3628800
Total = 40320 × 3628800 = 146313216000
2.17.a) Permutaciones = n! =12! =479001600
b) Permutaciones = 4!×(3!×3!×3!×3!) = 31104
c) Permutaciones = 3! × 4! × 4! × 4! =3! (4!)3 =82944
d) Permutaciones = 4! × 4! × 4! = (4!)3 = 13824
e) Permutaciones = 3!×3!×3!×3! = 1296
2.18.Respuestas:
Respuestas métodos de conteo 4
a) P(n, r) 
n!
22!
22!


 2815858805 7600
(n  r)! (22  11)! 11!
3!
3!
 3
(3  1)! 2!
6!
6!
  360
Formas en que se pueden seleccionar a los defensas = P(6,4) 
(6  4)! 2!
8!
8!
  336
Formas en que se pueden seleccionar a los medios = P(8,3) 
(8  3)! 5!
5!
5!
  60
Formas en que se pueden seleccionar a los delanteros P(5,3) 
(5  3)! 2!
b) Formas en que puede seleccionar el portero = P(3,1) 
Total de maneras diferentes = 3×360×336×60 = 21772800
2.19.a)
n=9 que es el número de letras de la palabra TENDERETE
Tipos de letras Letra
t1=2
T
t2=4
E
t3=1
N
t4=1
D
t5=1
R
P(n,k)=
b)
9!
9  8  7  6  5  4! 15120
n!


 7560
=
2!4!
2!
t1!t 2!.....t k! 2!4!1!1!1!
P(n,k) =
n!
5!
=
= 5!= 120
t1!t 2!.....t k! 1! 1! 1! 1! 1!
2.20.Respuestas:
a) Las letras distintas en la palabra MININOS son MINOS por lo tanto n=4; si r=n
P(n, r) 
n!
4!
4!

  24
(n  r)! (4  4)! 0!
b) Con repetición y considerando que las letras I y N aparecen dos veces
Respuestas métodos de conteo 5
En general si se tienen diferentes tipos de caracteres (t1,t2,…..,tr) el número de
permutaciones de n objetos se encuentra dado por medio de la siguiente expresión.
Permutaciones =
P=
n!
t1!t 2!.....t k!
7!
= 1260
1!2!2!1!1!
I y N aparecen dos veces
2.21.n
 28
n!
  
=   
r
r!
(n

r)!
 
4
a)
28!
=20475
4!(28  4)!
b)
 4
4!
Formas de seleccionar el Doctor =   
=4
 1  1!(4  1)!
19
19!
Formas de seleccionar dos maestros en ciencias =   
=171
2
2!(19  2)!

 5
1
Formas de seleccionar el licenciado =   

5!
=5
1!(5  1)!
Comités que se pueden formar = 4×171×5= 3420
n
 23
n!
23!
  
=   
=8855
r
4
r!
(n

r)!
4!
(23
 4)!
 
 
c)
d)
 27
27!
 
=2925
 3  3!(27  3)!
Formas de seleccionar a los tres elementos restantes= 
Total de comités = 1× 2925 = 2925
2.22.Respuestas:
a)
 5
5!
Formas de seleccionar los automóviles rojos =   
=30
2
2!(5  2)!
 
 4
4!
Formas de seleccionar los automóviles grises =   
=6
2
2!(4  2)!
 
Respuestas métodos de conteo 6
 3
3!
Formas de seleccionar los automóviles azules =   
=3
2
2!(3  2)!
 
Formas diferentes en que se puede formar = 30× 6×3 = 540
b)
 5
5!
Formas de seleccionar los automóviles rojos =   
=10
3
3!
(5
 3)!
 
 4
4!
Formas de seleccionar los automóviles grises =   
=6
2
2!(4  2)!
 
 3
3!
Formas de seleccionar el automóvil azul =   
=3
 1  1!(3  1)!
Formas diferentes en que se puede formar = 10× 6×3 = 180
2.23.
12! 
46!
12 46 
 = 220×511738760544 =112582527319680
a)     



9
31
    9!(12  9)! 31!(46  31)!
b)
Con por lo menos 6 defectuosos
12 46 12 46 12 46 12 46 12 46 12 46 12 46
                          
 6  34  7  33  8  32  9  31 10 30  11 29 12 28
12 46
   = 924
 6  34
×38910617655 = 35953410713220
12 46
   = 792×101766230790
 7  33
= 80598854785680
12 46
   = 495×239877544005
 8  32
= 118739384282475
12 46
   = 220×511738760544
 9  31
= 112582527319680
12 46
   = 66×991493848554
10 30
= 65438594004564
12 46
   = 12×1749695026860
 11 29
12 46
   = 1×2818953098830
12 28
= 20996340322320
= 2818953098830
Respuestas métodos de conteo 7
Total de maneras= 483430520290201
2.24.Respuestas:
32! 
= 201376
   5!(32  5)!
 32

a)    

5
b)
1814
1814
1814
1814
1814
1814
1814
1814
1814
Total =            = 74256 + 22770 + 792 = 97818
 3  2   4  1   5  0 
c)
1814
Total =               
 3  2   2  3   1  4   0  5 
Total = 816× 91+ 153×364+18×1001+1× 2002 = 74256+ 55692+ 18018+2002
Total =149968
d)
Total =           
 2  3   1  4   0  5 
Total =153×364+18×1001+1× 2002 = 55692+ 18018+2002
Total = 75712
e)
1814
 0  5 
Total =    =1× 2002 = 2002
2.25. 40
40!
 
 76904685 Los primeros 8 de 40
 8  8!(40  8)!
 
 32
32!
 
 10518300 El segundo grupo de 8 de 32 que quedan
 8  8!(32  8)!
 
 24
24!
 
 735471
 8  8!(24  8)!
 
El tercer grupo de 8.
Respuestas métodos de conteo 8
16
16!
 
 12870
 8  8!(16  8)!
 
El cuarto grupo de 8.
 8
8!
 
1
 8 8!(8  8)!
 
El quinto grupo de 8.
Por lo tanto el número de formas en que se pueden distribuir 40 alumnos en cinco talleres
diferentes de 8 alumnos cada uno de ellos es:
 40 32 2416 8 
       76904685×10518300×735471×12870×1= 7.6567144531532×1024
 8  8  8  8  8 
     
2.26.Respuestas:
a)
Formas distintas =
n!
12!
=
=27720
.....
4!

3! 5!
t1!t 2! t k!
b)
Considerando que los 4 pinos son un solo bloque, los 3 robles son un solo
bloque y los 5 fresnos son también un solo bloque. Por lo tanto se tiene tienen 3
bloque distintos:
Formas distintas =
n!
3!
=
=6
.....
1!

1!
1!
t1!t 2! t k!
2.27.a)
n
 n 
 n 
 n 
 n 
 n 
 xn-1y1 + 
 xn-2y2 + 
 xn-3y3 + 
 xn-4y4+ 
 xn-5y5
(2x2 – y)5 =   xny0 + 
n
 n - 1
 n - 2
 n - 3
 n - 4
 n - 5
5
5
5
5
5
5
=   x5y0 +   x4y1 +   x3y2 +   x2y3 +   x1y4+   x0y5
5
4
3
2
1
0
 
 
2 5
 
2 4
 
1
 
2 3
 
2
= (1) (2x ) (1) +(5) (2x ) (-y) + (10) (2x ) (-y) + (10) (2x2)2(-y)3
+ (5) (2x2)1(-y)4+(1) (1)0(-y)5
= 32x10 - 80x8y + 80x6y2 - 40x4y3 + 10x2y4-y5
b)
Respuestas métodos de conteo 9
3
n
1
3 
 a  b 
2
4 

 n 
3
0
2
1
 3  1   3 
 3  1   3 
=    a   b  +    a   b 
 3  2   4 
 2  2   4 
=
 n  n-2 2  n  n-3 3

 x y + 
 x y
 n - 2
 n - 3
2
0
1
 3  1   3 
 3  1 
+    a   b  +    a 
1  2   4 
0  2 
 xn-1y1 +
=   xny0 + 
n
n
1
 


3 
 b 
4 
3
a 3 9a2b 27ab2 27b3



8
16
32
64
2.28.Respuestas:
a) (-4x3 – 2y)3
 3
 3
 3
 3
=   (-4x3)3(– 2y)0 +   (-4x3)2(– 2y)1 +   (-4x3)1(– 2y)2 +   (-4x3)0(– 2y)3
 3
 2
1
0
9
6
3
2
3
= -64x + 3(16x )(-2y) + 3(-4x )(4y ) - 8y
= -64x9 - 96x6y - 48x3y2 - 8y3
b) (x2 + 3y2)4
 4
 4
 4
 4
 4
 
 
 
 
 
=   (x2)4(3y2)0 +   (x2)3(3y2)1 +   (x2)2(3y2)2 +   (x2)1(3y2)3 +   (x2)0(3y2)4
4
3
2
1
0
= x8 + 4(x6)(3y2) + 6(x4)(9y4) + 4(x2)(27y6)+ 81y8
= x8 + 12x6y2 + 54x4y4 + 108x2y6 + 81y8
1
2 
c)  a  b2 
5 
3
2
 2  1 
=    a 
 2  3 
=
2
2 2
 b 
5

0
1
1
0
 2  1   2
 2  1 

+    a   b2  +    a 

1  3   5
0  3 
2 2
 b 
5

2
a 2 4ab2 4b4


9
15
25
 4
1 4
d)   a 2  b3 
3 
 5
4
 4  4 
=     a 2 
4
5
 
0
 4
1 3
 b  +  
 3 
 3
3
1
 4
 4 2 1 3
  a   b  +  
 5  3 
 2
2
2
 4 2  1 3
  a   b 
 5  3 
Respuestas métodos de conteo 10
1
3
0
 4  4   1 
 4  4 
+     a 2   b3  +     a 2 

1  5   3 
0  5
1 3
 b 
3 
4
256a8 256a6b3 96a4 b6 16a2b9 b12
+
+
375
135
81
625
225
=
e) ¿Cuál es la regla en palabras para elevar al cubo un binomio?.
Respuesta:
Es igual al cubo del primer término más tres veces el cuadrado del primer
término por el segundo, más tres veces el primero de los términos por el
cuadrado del segundo, más el cubo del segundo de los términos.
f) ¿Cuál es la regla en palabras para elevar a la cuarta potencia un binomio?
Respuesta:
Es igual primer término elevado a la cuarta potencia, más cuatro veces el
producto del cubo del primer término por el segundo, más seis veces el cuadrado
del primer término por el cuadrado del segundo, más cuatro veces el primer
término por el cubo del segundo, más el segundo término elevado a la cuarta
potencia.
2.29.a) La instrucción x=3*x-y se ejecuta.
Primer ciclo
Desde a=2 hasta a>5 con incrementos de 3 = 2 veces
Segundo ciclo
Desde b=13 hasta b<4 con decrementos de 2 = 5 veces
Total = 2×5 = 10 veces
b) 6, 3, 233756, -18
2.30.La línea
Imprimir (‘Hola ‘, a*b*w) se ejecuta:
Primer ciclo:
Desde x = 1 hasta 4 con incrementos de 1 = 4 veces
Segundo ciclo:
Desde b= 5 hasta 7 con incrementos de 1 = 3 veces
Respuestas métodos de conteo 11
Tercer ciclo:
Desde w = 7 hasta 1 con decrementos de 2 = 4 veces
Total = 4×3×4= 48 veces
Respuestas métodos de conteo 12