Estadística

Estadística
ESTADÍSTICA
Sesión No. 7
Nombre: Probabilidad. Tercera parte.
Contextualización
¿Qué es una técnica de conteo?
En la presente sesión aprenderemos a trabajar con las técnicas de conteo,
mayormente utilizadas en la probabilidad, como lo son las permutaciones y
combinaciones.
Aprenderemos la diferencia de la aplicación de cada una de las técnicas en cada
uno de los experimentos realizados en la probabilidad.
Fuente: http://2.bp.blogspot.com/_e6ns2w7oOIs/Smm7jbht22I/AAAAAAAAAdA/rQxJB4fD9jI/s400/terminado+en+0.JPG
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Introducción al Tema
Seguimos con el tema de Probabilidades. Ya estudiamos Espacio/Muestra,
Eventos compuestos, Leyes de probabilidad, Ley de Bayes. Ahora solamente
resta por analizar dos subtemas: Conteo de puntos muestrales y Combinación y
permutación. Así que los invitamos a que continúen atentos a cada uno de los
ejercicios.
¿Qué son las técnicas de conteo en probabilidad?
¿Cuál es la diferencia entre permutar y combinar?
En ocasiones es poco práctico enumerar todos los puntos muestrales de un
evento a fin de conocer cuántos son.
Fuente: http://3.bp.blogspot.com/-3SR7T-Pm0cs/TcemQSOoMOI/AAAAAAAAAJA/wCmpGJgmg_8/s320/combinatoria.jpg
Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados
experimentales.
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Explicación
Conteo de puntos muestrales. Combinaciones y permutaciones
¿Qué es el conteo de puntos muestrales?
Las técnicas de conteo son utilizadas para enumerar eventos difíciles de
cuantificar.
Principio fundamental del conteo
Si una operación puede realizarse en m 1 formas, y si por cada una de éstas una
segunda operación puede realizarse en m 2 formas y una k-esima operación
puede realizarse en m k formas, entonces las k operaciones pueden llevarse a
cabo juntas en m 1 xm 2 x……m k formas.
Regla de conteo para las Combinaciones
Permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento
consiste en seleccionar r objetos de un conjunto (usualmente mayor) de n
objetos en donde el orden en que están dispuestos los objetos no importa.
El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r es:
𝑛!
𝑛
𝐶𝑟𝑛 = � � =
𝑟
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
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La notación “!” significa factorial.
Ejemplo: Si de un grupo de 8 personas se van a seleccionar 4 para un comité de
representación en donde todas ostentan el mismo cargo, ¿cuántos grupos
diferentes de 4 representantes se pueden formar?
Solución. En este caso n=8 y r=4 y como cada elemento tiene el mismo cargo,
entonces:
𝐶48 =
𝑛!
8!
40320
=
=
= 70
𝑟! (𝑛 − 𝑟)! 4! (8 − 4)! (24)(24)
Se forman 70 diferentes grupos de 4 representantes.
Regla de conteo para las Permutaciones
Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan
r objetos de un conjunto de n objetos y el orden de selección es relevante. Los
mismos r objetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado
experimental diferente.
El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r está dado por:
𝑛!
𝑛
𝑃𝑟𝑛 = 𝑟! � � =
𝑟
(𝑛 − 𝑟)!
Ejemplo. Si se va a integrar un código con 5 letras diferentes, partiendo de un
conjunto de 6 caracteres disponibles de la A - F. ¿Cuántos códigos es posible
generar?
Solución. En este caso n = 6 (Cantidad de letras de la A - F) y r = 5 y como cada
orden es un código diferente, entonces se trata de una permutación.
𝑃56 =
𝑛!
6!
720
=
=
= 720
(𝑛 − 𝑟)! (6 − 5)!
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Son 720 códigos diferentes que se generan.
Probabilidad usando técnicas de conteo
Es factible usar técnicas de conteo vistas anteriormente para el cálculo de
probabilidades en eventos que no impliquen reemplazo.
La regla que se sigue es la siguiente:
𝑃(𝐴) =
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝐴
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
Ejemplo. Se tienen en una bodega 20 artículos, de los cuales 5 son de
importación. Si se toman 4, ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 sean de
importación?
Solución:
Primeramente se toman en cuenta las siguientes consideraciones:
•
Se habla de una población de tamaño N, dentro de ella hay un número k
de elementos que cumplen con cierta característica.
•
De este subconjunto k deseamos obtener x elementos con dicha
característica en una muestra de tamaño n.
Para seguir con la regla anterior tomaremos la información de la siguiente
manera:
𝑃(𝑥 = 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎) =
Por lo tanto, N = 20 Total de población,
𝑁−𝑘
× 𝐶𝑥𝑘
𝐶𝑛−𝑥
𝐶𝑛𝑁
k= 5 subconjunto de elementos que cumplen cierta característica,
n=4 muestra de elementos que cumplen con dicha característica,
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x= 4 elementos que cumplen con dicha característica.
𝐶016 × 𝐶45
𝑃(𝑥 = 4) =
𝐶420
Ocupamos 0 artículos nacionales y 4 de importación, por eso se realiza esta
multiplicación de combinaciones.
Efectuando
las
operaciones
P(x=4)=(1)(5)/4845=0.000103
indicadas,
tenemos
que
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Conclusión
En la presente sesión aprendimos a trabajar las técnicas de conteo más
utilizadas, como son las permutaciones y combinaciones, recordando que la
diferencia entre ellas es que en la primera sí importa el orden que se va a
realizar y en la segunda no interesa ese orden.
En la siguiente sesión iniciaremos nuestro trabajo con las Distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias.
Fuente: http://www.hrc.es/bioest/normal3.gif
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Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
•
Técnicas
de
Conteo.
(s/f).
Consultado
el
6
de
noviembre
de
2013: http://brd.unid.edu.mx/tecnicas-de-conteo-2/
•
Hernández, J. (s.f.). Técnicas de Conteo. En Instituto Tecnológico de
Apizaco.
Consultado
el
6
de
noviembre
de
2013: http://brd.unid.edu.mx/tecnicas-de-conteo-3/
Video con la explicación de las Técnicas de conteo: permutaciones y
combinaciones.
•
Diferencia entre permutación y combinación. (2011). Consultado el 6 de
noviembre de 2013:
http://brd.unid.edu.mx/diferencia-entre-permutacion-y-combinacion/
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
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Actividad de Aprendizaje
Con lo aprendido en la sesión acerca de las técnicas de conteo de
permutaciones y combinaciones, resuelve los siguientes ejercicios:
¿De cuantas maneras posibles se seleccionan tres objetos de un conjunto de
seis? Usa las letras A, B, C, D, E Y F para identificar a los objetos y enumera
todas las combinaciones diferentes de los tres objetos.
Sube la actividad a la plataforma.
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Bibliografía
Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para administración
y economía. México: Editorial Cengage Learning.
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