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ESTADISTICA 1
CONTEO
PRINCIPIO DE ENUMERACION
PERMUTACIONES Y
COMBINACIONES
PRINCIPIO DE ENUMERACION
Si un suceso puede ocurrir de m maneras diferentes y, después de que
ha sucedido, un segundo suceso puede ocurrir de n maneras diferentes,
entonces el número total de las maneras en las cuales ambos sucesos
pueden ocurrir es el producto de mn (maneras diferentes).
Ejemplo:
Un estudiante universitario tiene 5 camisas, 3 pantalones y 2 pares de
zapatos. ¿Cuántos conjuntos diferentes de una camisa, un pantalón y un
par de zapatos puede usar?
Solución :
Según el principio fundamental de enumeración, el número de conjuntos
diferentes es el producto
5 * 3 * 2 = 30
Camisas
Pantalones
Diferentes
pintas
Zapatos
1
PRINCIPIO DE ENUMERACION
Ejemplo:
La placa de un Carro esta formada por 3 letras y tres dígitos ¿Cuántas
placas se pueden generar con esta regla?
Solución :
Según el principio fundamental de enumeración, el número de placas es
26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 = 17,576,000
1ª Letra
Total de Placas
2ª Letra
3ª Letra
2° digito
3° digito
1° digito
Permutación
Es un arreglo ordenado que se hace usando algunos o todos los
elementos de un conjunto, sin repetirlos. Esto significa que ningún
elementos del conjunto aparece más de una vez en el arreglo.
Por ejemplo, 312 es una permutación de los dígitos del conjunto {1,2,3},
pero 112 no lo es.
¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las tres letras de la
palabra sol usando dos letras al tiempo?
SO, SL, OS, OL, LS, LO
Seis posibles arreglos
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Permutación
Definición:
Un arreglo ordenado de r elementos seleccionados de un conjunto de n
distintos elementos se llama permutación de n elementos tomados r a la
vez ( n ≥ r).
Notación:
Usaremos el símbolo P(n,r) para denotar el número de permutaciones de
n objetos diferentes, tomados r a la vez. Así escribimos el número de
permutaciones de 5 objetos, tomados 3 a la vez como P(5,3).
P(n,r) = n(n-1)(n-2) .... (n-r+1)
El 1° se
puede
escoge
de n
formas
El 2° se
puede
escoge
de (n-1)
formas
El 3° se
puede
escoge
de (n-2)
formas
El r° se
puede
escoge de
(n-(r-1))
formas
Permutación
Definición de n!:
n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…..(3)(2)(1)
0! = 1
Podemos reescribir P(n,r) como:
P(n,r) = n(n-1)(n-2) .... (n-r+1)
P (n, r ) =
n!
(n − r )!
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Permutación
Ejemplo:
En una pista se encuentran 6 atletas y entran en el carril de los 100
metros. De cuantas maneras se pueden organizar para ganar medallas de
oro, de plata y de bronce?
Solución
Deseamos contar el número de maneras de organizar a 3 de los 6 atletas
en la posición ganadora. La solución está dada por:
Este problema también se puede resolver usando el
principio fundamental de enumeración, puesto que se deben
hacer 3 elecciones, con 6 atletas disponibles para la medalla
de oro, 5 para la de plata y 4 para la de bronce,
encontramos que:
6 * 5 * 4 = 120
Permutación
Ejemplo:
Quince personas participan en una elección para ocupar 4 cargos
importantes en su organización: Presidente, Vicepresidente, Tesorero y
secretario.
¿De cuantas maneras diferentes pueden ocuparse los puestos?
Solución
Deseamos contar el número de maneras de organizar a quince candidatos
en las cuatro posiciones: Presidente, Vicepresidente, Tesorero y
secretario.
La solución está dada por:
P (15,4) =
15!
15!
=
= 32,760
(15 − 4)! 11!
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PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN
El numero de r-permutaciones con repetición de un
conjunto de n elementos es:
nr
Cuantas cadenas de longitud k se pueden formar con las 27
letras del alfabeto español
27 k
Cuantos números telefónicos se pueden generar con 9 dígitos,
ejemplo :311258 6163
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Combinación
En el análisis anterior estábamos interesados en el número de
"n" elementos, donde se consideraba el orden en el que se
debían arreglar o escoger, sin embargo, en ciertas aplicaciones
el orden de los elementos no es importante.
Por ejemplo, si se debe escoger un comité de 2 personas entre
4 estudiantes Angie, Brandon, Cecilia y David, el comité
formado al escoger a Brandon y a Angie, es el mismo que el
formado al escoger a Angie y Brandon.
Una selección de objetos en los cuales el orden no establece
ninguna diferencia se llama "combinación".
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Combinación
Definición
Un subconjunto de "r" elementos de un conjunto de "n"
elementos se llama combinación de "n" elementos
tomando "r" a la vez (n > r).
Notación:
Usamos el símbolo C(n,r) para denotar el número de
combinaciones de n objetos distintos tomando r a la
vez. (Otras notaciones que se usan comúnmente son
nCr, Cnr, y Cn,r). Deseamos obtener una fórmula para
C(n,r).
Combinación
Aplicando la permutación, ya estudiada, al conjunto {a,b,c,d} tomando 3
a la vez, se tienen P(4,3) = 24 arreglos, que son:
abc
acb
bac
bca
cab
cba
abd
adb
bad
bda
dab
dba
bcd
bdc
cbd
cdb
dbc
dcb
acd
adc
cad
cda
dac
dca
Si descartamos el orden en el que las letras están enumeradas
tenemos 4 combinaciones:
abc
abd
Así,
bcd
acd
C(4,3) = 4.
Vemos que cada una de estas combinaciones se puede arreglar de 6
(3!) modos, para dar la lista de permutaciones. Por tanto,
P(4,3) = 24 = 3!C(4,3)
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Combinación
En general, para 0< r < n, cada una de las combinaciones C(n,r) se
puede arreglar nuevamente en r! maneras diferentes, así queda:
P(n,r) = r!*C(n,r),
Despejando C(n,r), obtenemos
P ( n, r )
C ( n, r ) =
r!
n!
C ( n, r ) =
(n − r )!r!
Combinación
Se desea que cada uno de nuestros 4 productos sean identificados
por nuestros clientes por un color en su empaque. Si hay 9 colores
que fueron seleccionados por nuestros clientes potenciales como sus
favoritos. ¿de cuantas maneras diferentes pueden escogerse los
colores que representaran a nuestros 4 productos?
C (9,4) =
9!
= 126
(9 − 4)!4!
De cuantas maneras se pueden escoger 5 marcas diferentes entre
10 disponibles para conformar una exposición
C (10,5) =
10!
= 252
(10 − 5)!5!
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Combinación con repetición
En un conjunto de n elementos el numero de r
combinaciones con repetición es:
C (n + r − 1, r ) =
( n + r − 1)!
(n − 1)!r !
¿De cuantas formas se pueden seleccionar cuatro
frutas de un mostrador de la 14 que contiene
manzanas, naranjas y peras
C (3 + 4 − 1, 4) =
6!
= 15
2!4!
PERMUTACIÓ
PERMUTACIÓN CON OBJETOS
INDISTIGUIBLES
El numero de permutaciones diferentes de n objetos, donde
hay n1 objetos indistinguibles del tipo 1, n2 objetos
indistinguibles del tipo 2,…, nk objetos indistinguibles del
tipo k es:
n!
n1 !n2 !n3 !.....nk !
¿Cuantas cadenas distintas se pueden formar reordenando la
palabra PAPAYA?
6!
= 60
3!2!1!
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¿Qué
Qué pasa cuando son DISTIGUIBLES?
No pasa Nada
El numero de formar de distribuir n objetos distinguibles, en
K cajas distinguibles de forma que la caja i-ésima haya ni
objetos, con i=1,2,….,k es
n!
n1 !n2 !n3 !.....nk !
¿De cuantas formas se pueden distribuir a cuatro jugadores
manos de 5 cartas utilizando una baraja de 52 cartas?
52!
5!5!5!5!*32!
Permutaciones y Combinaciones
OBSERVACIÓN:
Al decidir si usamos la fórmula para P(n,r) o C(n,r), consideramos
lo siguiente:
Se trabaja con permutaciones si se están considerando
arreglos en los cuales los diferentes órdenes de los mismos
objetos se deben contar.
Se trabaja con Combinaciones si se están considerando
maneras de escoger objetos en los cuales el orden de los objetos
escogidos no establece ninguna diferencia.
Permutaciones
Es importante el Orden
No es Importante el Ordn
Combinaciones
X
X
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Permutaciones y Combinaciones
Ejemplo
Un almacén de quesos tiene 10 variedades de queso nacional y 8
variedades de queso importado, ¿De cuántas maneras se puede colocar
en una vitrina una selección de 6 quesos, que tenga 2 variedades de
queso nacional y 4 de queso importado?
Solución:
Las variedades nacionales se pueden escoger de C (10,2) maneras y las
variedades de quesos importados de C (8,4) formas.
Hasta este
momento de la solución, el orden no ha sido importante para hacer la
selección de los quesos.
Ahora observamos que cada selección de 6 quesos se puede colocar o
arreglar en la vitrina de P(6,6) maneras. Así, el número total de
maneras es:
C (10,2) * C (8,4) * P(6,6) =
10! 8!
6!
*
*
= 2'268,000
8! 2! 4!4! (6 − 6)!
Combinaciones y Permutaciones con
o sin repetición
Tipo
¿Con
Repetición?
r-Permutaciones
No
r-Permutaciones
Si
r-Combinaciones
No
r-Combinaciones
Si
Formula
n Pr =
n!
( n − r )!
nr
nC r =
n!
( n − r )!r !
( n + r − 1) C r =
( n + r − 1)!
( n − 1)!r !
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