PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 85 CAPÍTULO VI PERMUTACIONES Y COMBINACIONES Antes de iniciar el estudio de este capítulo, conviene reflexionar sobre el siguiente problema: Imagine que un peatón debe ir de un punto A de la ciudad a un punto B y debe pasar necesariamente por un punto C, si el trayecto de A a C lo puede hacer por cuatro rutas diferentes y el trayecto de C a B por cinco, es claro que puede ir de A hacia B por 5 4 = 20 rutas distintas. Las opciones se deben multiplicar. Si el mismo peatón tuviese que ir del un punto A hacia otro punto B y tuviese la opción de elegir 3 rutas distintas, pero si además pudiese elegir la opción de tomar un minibús que lo lleve por 2 rutas distintas, las diferentes formas en que puede trasladarse de A hacia B serán 3+2 = 5 rutas distintas, en este caso las opciones se deben sumar. Este razonamiento se puede aplicar a un número de opciones con más alternativas de recorrido que los mostrados, debiendo mantenerse el principio de multiplicación o adición donde corresponda. 6.1 PERMUTACIÓN Se denomina permutación al arreglo u ordenación que se pueda dar a un grupo de cosas, ya sea tomando todos lo elementos a la vez o a un grupo definido de ellos. El orden en que toman los elementos define diferentes permutaciones. Los elementos a,b,c permiten efectuar seis permutaciones si se toman dos elementos a la vez, ellas son: ab, ac, bc, ba, ca, cb Si se consideran los tres elementos a la vez también pueden efectuarse seis permutaciones abc, acb, bac, bca, cab, cba, Cuando en una permutación no se consideran todos los elementos a la vez, se denominan variaciones o coordinaciones. ÁLGEBRA I 86 6.2 PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS DE DOS EN DOS n P2 Sean a,b,c,d, …….n letras con las que se desea formar permutaciones tomando dos letras a la vez, entonces tomando la letra a como primer elemento y las siguientes como segundo tendremos: a, a, a, a, a, …. n-1 veces b, c, d, e, f, …. n-1 letras ab, ac, ad, ae, af, n-1 resultados Con la letra b como primer elemento tendremos: b, b, b, b, b, …. n-1 veces a, c, d, e, f, …. n-1 letras ba, bc, bd, be, bf, n-1 resultados Luego con c c, c, c, c, c, …. n-1 veces a, b, d, e, f, …. n-1 letras ca, cb, cd, ce, cf, n-1 resultados …………………………………. Hasta llegar a la n-ésima letra Existen, por tanto, n(n-1) permutaciones binarias. 6.3 PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS DE TRES EN n P TRES 3 Sean a,b,c,d, …….n letras con las que se desea formar permutaciones tomando tres letras a la vez, entonces tomando las letras ab como primer elemento y las siguientes como segundo tendremos: ab, ab, ab, ab, ab, …. n-2 veces c, d, e, f, g …. n-2 letras abc, abd, abe, abf, abg, n-2 resultados Con las letras ac como primer elemento tendremos: ac, ac, ac, ac, ac, …. n-2 veces b, d, e, f, g …. n-2 letras acb, acd, ace, acf, acg, n-2 resultados Luego con ad ad, ad, ad, ad, ad, …. n-2 veces b, c, e, f, g …. n-2 letras adb, adc, ade, adf, adg, n-2 resultados …………………………………. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 87 Estas permutaciones se repiten tantas veces como en el inciso anterior, por tanto, existen n(n-1)(n-2) permutaciones ternarias, cuando se dispone de una colección de n elementos y se toman de tres en tres. n 6.4 PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS DE r EN r Pr Podemos generalizar a través de los incisos anteriores la expresión que permitirá hallar las permutaciones de n cosas tomadas r a la vez n Pr = n(n-1)(n-2)………(n-r+1) n 6.5 PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS N A LA VEZ Si en la fórmula anterior reemplazamos r por n se tiene: n Pn = n(n-1)(n-2)………(n-n+1) n Pn = n(n-1)(n-2)………(3)(2)(1) n Pn Pn n! El número de permutaciones de n cosas tomadas las n a la vez, es igual al factorial de n. Ejemplo 1 De cuantas maneras diferentes pueden tres estudiantes sentarse en a) en cinco pupitres b) en diez pupitres c) en tres pupitres. 5 10 3 P3 5 4 3 60 P3 10 9 8 720 P3 3! 3 2 1 6 Ejemplo 2 Cuantos números diferentes se pueden formar con cinco dígitos de 1,2,3,4,5,6,7,8,9 9 P5 9 8 7 6 5 15120 Ejemplo 3 Con los dígitos impares 1,3,5,7,9 a) Cuántos números diferentes mayores a 20000 se pueden formar. b) Cuántos mayores a 40000 c) Mayores 1000 y menores a 10000 d) Mayores a 100 y menores a 1000 e) Mayores a 10 y menores a 100 f) Sin restricciones ÁLGEBRA I 88 a) Cuántos números diferentes mayores a 20000 se pueden formar. El número 1 no puede ocupar la primera posición para cumplir el requisito de generar números mayores a 20000 por tanto, con el dígito 3 por delante se pueden formar 4 P4 4 3 2 1 24 números Con los dígitos 5,7,9 por delante se forman igual cantidad de números para cada caso, en consecuencia el total de números mayores a 20000 que se pueden formar, será igual a cuatro veces las permutaciones de cuatro elementos tomados los cuatro a la vez. 4 4 P4 4(4 3 2 1) 96 números b) Si los números deben ser mayores a 40000, los dígitos 1 y 3 no pueden ocupar la primera posición, por tanto con los tres dígitos 5,7 y 9 por delante se pueden hacer la siguiente cantidad de números diferentes: 3 4 P4 3(4 3 2 1) 72 números c) Mayores a 1000 menores a 10000 5 P4 5 4 3 2 120 números d) Mayores a 100 y menores a 1000 5 P3 5 4 3 60 números e) Mayores a 10 y menores a 100 5 P2 5 4 20 números f) Sin restricciones Los números mayores a 10000 serán: 5 P5 5! 5 4 3 2 1 120 números Los números que se pueden formar con un solo dígito impar son cinco Por tanto, el total de números que se pueden formar sin restricciones corresponde a estas dos formas halladas más las que se calcularon en los incisos c), d) y e) 120 + 5 + 120 +60 + 20 = 325 números diferentes PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 89 Ejemplo 4 Se deben alinear 10 personas en una fila, de cuantas maneras lo pueden hacer si cuatro de ellas deben permanecer juntas. Puesto que cuatro personas deben permanecer juntas se las puede considerar inicialmente como una sola, por tanto se pueden formar: 7 P7 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040 Además, las cuatro personas pueden tomar diferentes posiciones estando juntas, esta son: 4 P4 4! 4 3 2 1 24 Por tanto, el problema se resuelve de la siguiente manera: 7 P7 4 P4 5040 24 120960 formas 6.6 PERMUTACIONES CIRCULARES n 1 Pn 1 Son aquellas en las que no existe primer ni último objeto y forman una figura cerrada, el número de ellas que se puede formar con n objetos viene definido por: n 1 Pn 1 ( n 1)! Ejemplo 5 De cuantas formas diferentes pueden sentarse cinco personas alrededor de una mesa circular 5 1 P5 1 (5 1)! 4! 4 3 2 1 24 Ejemplo 6 De cuantas formas diferentes pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa circular si dos de ellas deben estar juntas Si dos de ellas deben permanecer juntas se las puede considera inicialmente como si fuesen una sola, entonces: 7 1 P7 1 (7 1)! 6! 6 5 4 3 2 1 720 Pero las dos personas que deben permanecer juntas pueden sentarse de dos maneras diferentes, por tanto, el problema quedará resuelto del siguiente modo: 7 1 P7 2 1 P2 720 2 1440 ÁLGEBRA I 90 6.7 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN n Pn1 ,n2 ... Se forman cuando un elemento se repite n1 veces, otro n2 veces y así sucesivamente n n! n1 !n2 !.....nk ! Pn1 ,n2 ...nk Ejemplo 7 Si se disponen de 12 bolas, 3 negras, 4 azules y 5 rojas, de cuantas maneras diferentes se pueden ordenar si no es posible distinguir las bolas del mismo color. 12 12! 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3!4!5! 3 214 3 215 4 3 21 P3,4,5 12 P3,4,5 27720 Ejemplo 8 Cuántas maneras distintas existen para ordenar las letras de la palabra matemáticas. En cuántas de estas permutaciones las letras a quedan juntas. Debemos considerar que la letra m se repite dos veces, la a tres y la t dos 11 P2,3,2 11! 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2!3!2! 213 2121 11 P2,3,2 1663200 Este resultado supone que á=a Para determinar en cuantas ocasiones las tres letras a quedan juntas debemos considerar a las mismas como si fuesen una sola, por tanto se tiene: 9 P2,2 9! 2!2! 9 9 8 7 6 5 4 3 21 2121 P2,2 90720 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 91 6.8 COMBINACIONES Cuando no se toma en cuenta el orden en que diferentes elementos son escogidos, damos origen a las combinaciones, Por ejemplo, si un estudiante se presta 3 libros diferentes de una biblioteca, el orden en que le son prestados no interesa, pues terminará llevando los tres libros que desea 6.9 COMBINACIONES DE n COSAS TOMADAS r EN CADA VEZ n Cr Las permutaciones y combinaciones pueden relacionarse de la siguiente manera: Las combinaciones de tres letras a,b,c tomadas de dos en dos son 3 C 2 = ab, ac, bc a partir de cada combinación se pueden lograr dos permutaciones ab, ac, bc ab, ba, ac, ca, bc, cb Las cuales totalizan las permutaciones de tres elementos tomados de dos en dos. 3 P2 =ab, ba, ac, ca, bc, cb Obsérvese que de cada combinación se obtienen las permutaciones de 2 elementos tomados los dos a la vez 2 P2 = 2. Es decir, 3 C 2 2 P2 = 3 P2 → 3·2 = 6 Podemos deducir que a partir de las combinaciones de n cosas tomadas de a r en cada vez n C r se pueden hallar las permutaciones de las n cosas tomadas de a r r Pr y el producto de ambas n Cr r Pr será igual al número de n permutaciones de n cosas tomadas r a la vez Pr , es decir: n Cr r n Pr n n Cr r Pr Pr Pr ÁLGEBRA I 92 Desarrollando se tiene n n Cr r Pr Pr n(n 1)(n 2).....n r 1 r (r 1)(r 2).......1 n(n 1)(n 2).....n r 1 (n r )! r! (n r )! n(n 1)( n 2).....( n r 1) (n r )( n r 1)..... 1 r! (n r )! n n Cr Cr n Cr n! r! (n r )! 6.10 VALOR MÁXIMO DE nCr Para hallar el valor de r que hace máximo el número de combinaciones de n cosas tomadas de a r consideremos: n(n 1)(n 2)......(n r 1) n Cr 1 2 3 .....( r 1)r n(n 1)(n 2)......( n r 2) n Cr 1 1 2 3 .....( r 1) Si añadimos un término a la segunda ecuación la podemos igualar con la primera de la siguiente manera: (n r 1) n Cr nCr 1 r Como (n r 1) n 1 1 r r Se observa que el término decrece cuando r aumenta, y si se asigna a r sucesivamente los valores 1, 2, 3, el valor de nCr aumentará n 1 constantemente hasta que 1 llegue a ser 1 o un número menor a 1. r Suponga que se desea obtener el número de cosas que se deben tomar de una colección de 10 objetos y se va incrementando el valor de r desde cero hasta 10 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 10 C0 10 C1 10 C2 10 C3 10 C4 10 C5 10 C6 10 C7 10 C8 10 C9 10 C10 93 10! 1 10!0! 10! 10! 10 1!(10 1)! 1!(9)! 10! 10! 45 2!(10 2)! 2!(8)! 10! 10! 60 3!(10 3)! 3!(7)! 10! 10! 210 4!(10 4)! 4!(6)! 10! 10! 252 5!(10 5)! 5!(5)! 10! 10! 210 6!(10 6)! 6!(4)! 10! 10! 60 7!(10 7)! 7!(3)! 10! 10! 45 8!(10 8)! 8!(2)! 10! 10! 10 9!(10 9)! 9!(1)! 10! 10! 1 10!(10 10)! 10!(0)! Como puede apreciarse el número de combinaciones va aumentando y luego disminuyendo, obteniéndose el valor máximo para r = 5. n , mientras que si n 2 es impar existirán dos valores que darán el máximo y cuyo valor será igual n 1 a: r 2 Cuando n es par el valor máximo se obtiene para r Otro detalle que debe ser tomado en cuenta es que el número de combinaciones de términos equidistantes de los extremos es igual ÁLGEBRA I 94 Ejemplo 9 De una colección de 15 libros se desea saber de cuantas formas diferentes pueden elegirse: a) 5 ejemplares b) 10 ejemplares c) 12 ejemplares incluyendo uno d) 9 ejemplares excluyendo uno e) 13 ejemplares incluyendo 2 y excluyendo 1 a) 5 ejemplares n Cr 15! 15! 5!(15 5)! 5!(10)! 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (5 4 3 2 1)(10 9 8 7 6 5 4 3 2 1) 15 14 13 12 11 15 C5 3003 5 4 3 21 15 15 n! r !(n r )! C5 C5 b) 10 ejemplares n Cr 15 C10 n! r !(n r )! 15! 15! 3003 10!(15 10)! 10!(5)! c) 12 ejemplares incluyendo uno Incluir un libro significa que el mismo debe ser elegido de manera obligatoria, por tanto, ya no se dispondrán 15 libros sino 14 y se elegirán 11 en lugar de 12 14 C11 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1)(3 2 1) 14 13 12 14 C11 364 3 2 d) 9 ejemplares excluyendo uno Cuando se excluye un ejemplar este no puede ser escogido por tanto el número total de libros que pueden ser electos se reduce a 14 14 C9 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (9 8 7 6 5 4 3 2 1)(5 4 3 2 1) PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 14 C9 95 14 13 12 11 10 5 4 3 2 2002 e) 13 ejemplares incluyendo 2 y excluyendo 1 Por la inclusión de dos ejemplares el número de libros disponibles se reduce a trece, además por la exclusión de un libro se tiene la reducción a doce. De los trece ejemplares elegidos, dos son incluidos lo que reduce la elección a 11 libros 12 C11 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1)(1) 12 C11 12 Ejemplo 10 Se tiene un cierto número de objetos y se sabe que, tomando cada vez 7 distintos se pueden hacer tantas combinaciones como tomando 5 a la vez ¿Cuántos son los objetos? n C5 nC7 n! n! 7!( n 7)! 5!( n 5)! 5!( n 5)! 7!( n 7)! (n 5)! 42(n 7)! (n 5)(n 6)(n 7)( n 8)....1 42( n 7)( n 8)( n 9)....1 ( n 5)( n 6) 42 n 2 11n 12 ( n 12)( n 1) 0 0 Por tanto el número de términos de la colección debe ser 12, el valor -1 es descartado. Nótese que el ejercicio pudo ser resuelto de manera intuitiva con el siguiente razonamiento: Si las combinaciones con 5 y 7 elementos son iguales, el máximo se da para 6 elementos que resulta el término central, por tanto, el numero total será 2(6) = 12. ÁLGEBRA I 96 Ejemplo 11 Cuántas formas de obtener resultados se tienen cuando se arrojan dos dados simultáneamente, haga un cuadro de todas las posibilidades e indique cual es la probabilidad de ganar cuando se juega a mayor, en el clásico juego de mayor, menor y siete. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Las combinaciones que se pueden lograr al lanzar un solo dado son 6 C1 6 Si lanzamos dos dados simultáneamente se pueden obtener el siguiente número de combinaciones: 6 C1 6C1 6 6 36 Esto significa que jugando con dos dados se pueden obtener 36 jugadas diferentes, las mismas son: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 TOTAL 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 1 2 1 15 CASOS 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 6 CASOS 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 5 6 4 5 6 3 4 5 6 2 3 4 5 6 15 CASOS PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 97 Por tanto la probabilidad de ganar cuando se juega a mayor es de: 15 36 5 12 0,417 Un hecho interesante es que si nos ubicamos en el punto de vista del propietario del juego la probabilidad de que el dueño gane es: 15 6 36 21 36 0,583 Demostrándose así que los juegos de azahar están concebidos para que el propietario del mismo gane y no el jugador. Ejemplo 12 Cuántos números diferentes del juego del loto millonario se pueden imprimir. (El juego del Loto Millonario tiene impresos 15 números de los 25 primeros números naturales, el premio mayor lo obtiene el jugador que tenga la boleta con los 15 números que son elegidos al azahar). ÁLGEBRA I 98 25 25 C15 25 P25 P15 10 P10 25 C15 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 .... 1 (15 14..... 1)(10 9 8 7 6 5 4 3 2 1) 25 C15 5 23 22 19 2 17 2 3268760 El lector puede observar claramente y reflexionar sobre la probabilidad de ganar en este juego.
