TEMA 3 TRIGONOMETRÍA

1º Bachillerato Matemáticas I
Tema 3: Trigonometría
Ana Pascua García
1º Bachillerato Matemáticas I
Tema 3: Trigonometría
Ana Pascua García
1. MEDIDAS DE ÁNGULOS. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
ÁNGULO AGUDO
Para medir los ángulos solemos utilizar las siguientes unidades: el grado sexagesimal y
el radián.
 Grado sexagesimal: Se denomina grado sexagesimal a la medida del ángulo
central que se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
Recuerda que un grado equivale a 60 minutos, y cada minuto a 60 segundos,
1º  60 ' 
es decir:
  1º  3600' ' .
1 '  60'' 
Luego un ángulo recto mide 90º , uno llano 180º y uno completo 360º.
 Radián: Se denomina radián a la medida del ángulo central de una
circunferencia en el que el arco mide la longitud del radio.
Nota:
Un ángulo completo (360º) mide
2 rad (la longitud de toda la
circunferencia).
Y un ángulo llano (180º ) mide
 radianes
(media circunferencia)
Observaciones:
* Observa que la apertura del ángulo no depende del tamaño de la
circunferencia.
* Con una simple regla de tres podemos encontrar la equivalencia entre la
medida de un ángulo en radianes y en grados sexagesimales.
Consideremos una circunferencia de radio r = 1,
360 º = 2 rad
180º =  rad
Véase:
Ángulo ( grado sexagesimal)
180º
º
Obtenemos
Ángulo (en radianes)

x
 º·
180º  (rad )

e lo que se deduce x 
rad
180º
º
x(rad )
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Es fácil pasar la medida de un ángulo del sistema sexagesimal a radianes y viceversa.
Véanse los ejemplos:
a) 30º 
 rad 
180º

x  30º ·
 rad

180º
6
30º
x(rad )
b)
b)
7
7
180º 7 ·180º·
rad  x 
rad ·

 420º
3
3
 rad
3
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Las razones trigonométricas son relaciones matemáticas entre las medidas de ángulos y
distancias.
Se utilizan en muchas ocasiones, como para el cálculo de alturas y distancias entre
puntos no accesibles, la descomposición de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.....
Definimos las razones trigonométricas de un ángulo agudo independientemente del
triángulo rectángulo que forme, del siguiente modo:
También se definen las razones inversas de las anteriores:
Inversa del seno  Cosecante  cosecB̂ 
Inversa del coseno  Secante  sec B̂ 
1
sen Bˆ
1
cos B̂
Inversa de la tangente  Cotangente  cotg B̂ 
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1
tg Bˆ
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Es importante conocer las razones trigonométricas de algunos ángulos agudos, como
son 30º, 45º y 60º.
Recuerda con los siguientes ejercicios resueltos cómo calcularlas.

rad
4
Si consideramos un cuadrado de lado a y trazamos una de sus diagonales, obtenemos dos
triángulos rectángulos iguales e isósceles como los de la siguiente figura
1.- Halla las razones trigonométricas del ángulo de 45º =
2.- Halla las razones trigonométricas de los ángulos de 30º =

6
rad y 60º=

3
rad
Ejercicios propuestos:
1.- Determina todas las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo cuyos
lados miden 6, 8 y 10 cm.
2.- Halla las razones trigonométricas inversas del ángulo menor en el triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 5 y 10 cm.
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2.-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
Ejemplo:
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Razones trigonométricas de un ángulo en el primer cuadrante.
Consideremos la circunferencia goniométrica, esto es , de radio r =1.
Trazamos el ángulo  y consideremos los puntos A,
A' , A'' y B que se aprecian en el dibujo, y que
forman los triángulos OAA' y O A''B.
Podemos definir las razones trigonométricas de  ,
con ayuda de las coordenadas cartesianas de los
puntos A, A' , A''.
AA'
 AA'
sen  =
1
OA'
 OA'
cos  =
1
AA'
A' ' B

 A' ' B
tg  = OA'
1
semejanza  de triángulo s
De este modo, puede apreciarse que las coordenadas cartesianas del punto A(x, y) de la
imagen anterior, coinciden con el sen  y cos  respectivamente.
Es decir A (sen  ,cos  )
Razones trigonométricas de un ángulo en el resto de cuadrantes:
Procediendo de la misma forma, las razones trigonométricas en el resto de cuadrantes
serán:
Es importante conocer el signo de las razones trigonométricas en cada uno de los cuatro
cuadrantes, pero es sencillo, si nos fijamos en el signo de las coordenadas cartesianas
del punto A (intersección de uno de los lados del ángulo y la circunferencia
goniométrica).
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Proposición 1: Para cualquier ángulo  , se verifica  1  sen  1
 1  cos  1
Demostración: En cualquier triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera
de los catetos, y como el seno y el coseno son las razones entre los catetos y la
hipotenusa, estos valores nunca pueden ser mayores que 1;
cateto opuesto
cateto contiguo
sen  =
; cos  =
cqd
hipotenusa
hipotenusa
Nota : sen 90º = 1;
cos 0º = 1
sen 270º = -1
cos 270º = -1
Proposición 2: cosec      1,1
y sec      1,1
Demostración: La haremos para cosec  y se procede de la misma forma para sec 
1
Por un lado , cosec  =
sen
Por otro lado 1  sen  1
Luego:
 1
  1

1  
 1,   

sen  1   sen
1
  sen

  ,1  1,    cosec     1,1




sen  1  1  1  1   ,1 sen
 sen
  sen

cqd
Proposición 3: Tanto la tangente como la cotangente de un ángulo pueden tomar
cualquier valor real es decir: tg    y cotg    .
Demostración: Es evidente que pueden tomar cualquier valor , considerando que son
cociente de los catetos de un triángulo.
En la siguiente tabla puedes observar las razones trigonométricas de los principales
ángulos
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3.-REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
LAS
RAZONES
Reducir al primer cuadrante las razones trigonométricas de un ángulo, permitirá calcular
las razones de cualquier ángulo conociendo solo las de los ángulos del primer cuadrante.
Distinguiremos varios casos:
- Ángulos suplementarios: Cuando suman 180º . En el dibujo: 
y (180º  )
Ejemplos: a)
b)
- Ángulos que se diferencian en 180º: En el dibujo: 
y (180º  )
Ejemplo:
- Ángulos mayores de 360º:
Sus razones trigonométricas coinciden con las de su ángulo reducido.
Ejemplo:
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- Ángulos complementarios: Los que suman 90º . En el dibujo 
Ejemplo:
- Ángulos que suman 360º: En el dibujo, 
y (360º  )
Ejemplo:
- Ángulos negativos: En el dibujo 
y 
Ejemplos:
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y (90º  )
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4.- RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
 Relación fundamental de la trigonometría sen2  cos2   1
Demostración:
Basta aplicar el Teorema de Pitágoras al
triángulo que se observa en la figura:
cqd
 tg 2  1  sec2 
Demostración:
Partimos de la relación sen2  cos2   1
Dividimos ambos miembros por cos2   0 
sen2  cos2 
1

2
cos 
cos2 
Simplificamos:
sen2 cos2   1 
 sen 
2
2
2


 
  1  sec   tg   1  sec 
2
2
cos  cos   cos 
 cos 
cqd
2
2
 1  cotg2  cosec2
Demostración:
Partimos de la relación sen2  cos2   1
Dividimos ambos miembros por sen 2  0 
sen2  cos2 
1

2
sen 
sen2
Simplificamos:
sen2 cos2   1 
 cos 
2
2
2


 1 
  cos ec   1  cotg   cosec 
2
2
sen  sen   sen 
 sen 
cqd
2
2
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5.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE
ÁNGULOS
 Razones trigonométricas de la suma de ángulos
Proposición : a) sen     sen·cos   sen ·cos
b) cos     cos·cos   sen·sen
c) tg     
tg  tg
1  tg ·tg
Demostración : Para la demostración consideremos la construcción geométrica de la
figura, en la que el triángulo ADB es rectángulo de hipotenusa AB =1.
De esa forma, el cateto BD  sen y AD  cos  .
Observa que los ángulos DAE y BDC son iguales
(sus lados son perpendiculares), llamemos  a
dicho ángulo.
Hallemos las razones trigonométricas del ángulo  en los triángulos BCD y AED
En el triángulo BCD :
BC
sen 
 BC  sen ·sen
sen
cos 
CD
 CD  sen ·cos
sen
En el triángulo AED:
DE
sen 
 DE  sen ·cos 
cos 
cos 
AE
 AE  cos ·cos 
cos 
Procedamos a demostrar las proposiciones:
BF
 BF  CE  DE  CD  sen ·cos   sen ·cos
a) sen    
1
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cqd.
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b) cos    
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AF
 AF  AE  EF  AE  BC  cos ·cos   sen ·sen cqd
1
c)
sen ·cos   sen ·cos
sen    sen ·cos   sen ·cos
tg  tg
cos ·cos 
tg     



cos ·cos   sen ·sen 1  tg ·tg
cos    cos ·cos   sen ·sen
cos ·cos 

Dividimos numerador y denominador cos ·cos 

simplificamos
cqd
 Razones trigonométricas de la diferencia de ángulos
Proposición 2: a) sen     sen·cos   sen ·cos
b) cos     cos·cos   sen·sen
c) tg     
tg  tg
1  tg ·tg
Demostración:
Basta considerar las fórmulas de las razones trigonométricas para la suma de
ángulos (Proposición 1) y cambiar el ángulo  por   , teniendo en cuenta
que :
sen     sen
cos    cos 
tg     tg  
Ejercicios propuestos:
1.- Calcula tg 105º , sin calculadora.
2.- a) Calcula las razones trigonométricas de 15º sin usar calculadora.
b) Usando los resultados anteriores, halla tg 75º.
3 

3.- Demuestra que sen 
   cos
2 

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6.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL
ÁNGULO MITAD
 Ángulo doble
Proposición:
a) sen2   2sen·cos
b) cos2   cos2   sen2
c) tg 2  
2tg
1  tg 2
Demostración:
Basta sustituir  por  en las fórmulas trigonométricas de la suma  + 
a) sen (2  ) = sen     sen·cos  sen·cos  2sen·cos
b) cos (2  ) = cos     cos·cos  sen·sen  cos2   sen2
c) tg (2  ) = tg     
tg  tg
2tg

1  tg·tg 1  tg 2
 Ángulo mitad
Proposición:
1  cos
 
a) sen   
2
2
1  cos
 
b) cos   
2
2
1  cos
 
c) tg   
1  cos
2
Demostración:
a) Partimos de la fórmula del coseno del ángulo doble:
cos2   cos2   sen2  1  sen2  sen2  1  2 sen2

Fórmula fundamental de la trigonometría
sen2  cos2   1  cos2   1  sen2
Luego:
cos 2  1  2sen2  2sen2  1  cos2   sen2 
1  cos 2

1  cos
sen  
 sen  
2
2
2
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1  cos 2

2
cqd
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b) Partimos de la fórmula del coseno del ángulo doble:


cos2   cos2   sen2  cos2   1  cos2   cos2   1  cos2   2 cos2   1

Fórmula fundamental de la trigonometría
sen2  cos2   1  sen2  1  cos2 
Luego:
cos 2  2 cos2   1  2 cos2   1  cos2   cos2  
cos  
1  cos 2

2
1  cos 2

1  cos
 cos  
2
2
2
cqd
 
1  cos
sen  
1  cos
 
2
2 

c) tg   =
1  cos
1  cos
 2  cos  
  
2
2
Ejercicios propuestos:
1.- Demuestra que sen 3  3sen ·cos 2   sen 3
 
2.- Calcula tg  
8
Solución:
1.-
2.-
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cqd
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7. TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS
Ejercicios:
1.-
2.-
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8.- ECUACIONES Y SISTEMAS TRIGONOMÉTRICAS
Ecuaciones:
Son ecuaciones o sistemas de ecuaciones en las que la incógnita es el ángulo que se
quiere calcular.
Estas ecuaciones normalmente tendrán infinitas soluciones que podremos expresar en
grados sexagesimales o en radianes.
Una vez averiguado el cuadrante en el que se encuentra el ángulo, mediante arco seno
(arcsen) , arco coseno (arccos) o arco tangente (arctg); hallaremos el ángulo ,
conociendo el valor de la razón trigonométrica.
Recuerda:
Veamos algunos ejemplos sencillos:
1.- sen x =
3
2
Como sen x es positivo, el ángulo que buscamos estará en el primer o tercer cuadrantes.
x = arcsen
3
= 60º ( en el primer cuadrante) .
2
Pero x = 120º (2º cuadrante) también es solución de la ecuación.
Todas las demás soluciones se obtendrán sumando o restando vueltas completas a estas
soluciones.

Luego x= 60º + 360º k, k  
o en radianes
x= º + 2 k , k  
3
2
x=
º + 2 k , k  
3
x= 120º + 360º k, k  
2.- sen x + cos2x = 1
Solución:
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Sistemas:
Los resolveremos usando los métodos habituales de sustitución o reducción.
Importante: Hay que comprobar las soluciones por si en el proceso de resolución se han
añadido soluciones erróneas.
Ejemplo:
9.- TEOREMA DEL SENO . TEOREMA DEL COSENO.
TEOREMA DE LA TANGENTE
APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Teorema del seno:
Teorema del Coseno:
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Teorema de la tangente:
Resolución de un triángulo cualquiera:
Resolver un triángulo es calcular lo que miden sus lados y sus ángulos. Para ello
podemos usar, dependiendo del caso en el que nos encontremos:
- Razones trigonométricas
- Teorema del Seno
- Teorema del Coseno
- Para triángulos rectángulos:
- Teorema del cateto b 2  a ·n
c 2  a ·m

2
- Teorema de la altura h  m·n
- Teorema de Pitágoras. a 2  b 2  c 2

Veamos algunos casos que pueden presentarse y qué teoremas aplicar para resolver el
triángulo.
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RESUMEN DE TEMA 3: TRIGONOMETRÍA
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