CARRERA:
INGENIERIA CIVIL
MATERIA:
ALGEBRA LINEAL
UNIDAD IV. ESPACIOS VECTORIALES
DOCENTE:
ING. RAYMUNDO SANTIAGO MIRANDA
ALUMNO:
ALFONSO DANIEL LOPEZ MEDINA
NUMERO DE CONTROL:
SEMESTRE:
17020002
3
TURNO:
GRUPO: A
MATUTINO
OMETEPEC GRO, A 9 DE NOVIENBRE DEL 2018
INDICE
UNIDAD IV. ESPACIOS VECTORIALES ............................................................................................................1
4.1 Definición espacio vectorial ................................................................................................. 1
Datos históricos y aplicaciones ................................................................................................................................2
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades ................................................ 4
Ejemplo 1....................................................................................................................................................................4
Ejemplo 2....................................................................................................................................................................5
Condiciones necesarias y suficientes para caracterizar subespacios ................................................................5
Teorema de sub espacio..........................................................................................................................................6
PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL............................................................................................7
4.3 Combinación lineal. Independencia lineal. ....................................................................... 7
combinación lineal.....................................................................................................................................................7
independencia lineal..................................................................................................................................................8
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. .................................... 10
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. ..................................... 16
Conjunto ortonormal .............................................................................................................................................. 17
4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. ...................... 18
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.............................................................................................. 19
Bibliografías: ................................................................................................................................. 22
UNIDAD IV. ESPACIOS VECTORIALES
4.1 Definición espacio vectorial
Un espacio vectorial es un conjunto no vacio de V objetos, llamados vectores, en
el que están definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por
escalares (números reales), sujetas a diez axiomas(o reglas) que se dan a
continuación.
Los axiomas deben valer para todos los vectores u, v, y w en V y todos los
escalares c y d.
1. La suma de u y v, denotada por u + v, está en V
2. u + v = v + u
3. (u + v)+ w = u + ( v + w )
4. Existe un vector 0 en V tal que u + 0 = u
5. Para cada u en V, existe un vector –u en V tal que u + (-u ) = u.
6. El múltiplo escalar de u por c, denotado cu, está en V
7. c( u + v ) = cu + cv
8. ( c+ d ) u = cu + du
9. c(du) = (cd)u
10. 1u=u Los espacios de n ℜ con n ≥ 1, son los ejemplos principales de espacios
vectoriales.
En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una
amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan
magnitudes y dirección, ya sea un fuerza, una velocidad o una distancia. El
término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios
o funciones.
Supongamos que tenemos un conjunto
donde para
escalares cumplen con las siguientes propiedades:
y
Propiedad de cerradura
1
.
.
Propiedad de adición
.
.
Contiene al elemento 0 con.
Propiedad de multiplicación por un escalar
.
.
.
Entonces
se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior que
en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los
segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo
abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa,
existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un campo con la
inclusión del 0 y del .
Dicho de manera informal, en un espacio vectorial te-nemos elementos los cuales
podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir es
encontrar todas las características estructurales de estos espacios. Para esto
recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, tales como relaciones de
orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro y la gene-ración
de espacios más complejos por medio de productos cartesianos
Datos históricos y aplicaciones
Fue a partir del siglo XVII que los estudiosos comenzaron a caminar hacia la
concepción de los espacios vectoriales, con temas tales como las matrices,
los sistemas de ecuaciones lineales y la geometría analítica. Este concepto deriva
de la geometría afín (estudio de las propiedades de la geometría que no varían
2
con transformaciones afines, tales como las traslaciones o las lineales no
singulares), al introducir coordenadas en el espacio tridimensional o el plano.
Cerca del año 1636, Descartes y Fermat (célebres científicos originarios de
Francia) establecieron los fundamentos de la geometría analítica, tomando
una ecuación con dos variables y vinculando sus soluciones con la determinación
de una curva plana. Para conseguir una solución dentro de los límites de la
geometría sin necesidad de recurrir a las coordenadas, el matemático checo
Bernard Bolzano presentó un siglo y medio más tarde
algunas operaciones sobre planos, líneas y puntos que pueden considerarse
antecesores de los vectores.
Sin embargo, recién a finales del siglo XIX, Giuseppe Peano, conocido matemático
italiano, realizó la primera formulación moderna y axiomática de los espacios
vectoriales. Seguidamente, esta teoría se enriqueció de la rama de
las matemáticas conocida con el nombre de análisis funcional, más precisamente
de los espacios de funciones. Para poder resolver los problemas de análisis
funcional que presentaban el fenómeno conocido como límite de una
sucesión o convergencia, se asignó a los espacios vectoriales una topología
apropiada, para que fuese posible considerar la continuidad y la proximidad.
Cabe mencionar que los vectores como concepto propiamente dicho nacen con el
bipoint de Giusto Bellavitis, un segmento orientado que posee un extremo llamado
origen y otro, objetivo. Más tarde, fue tomado en cuenta cuando Argand y
Hamilton presentaron los números complejos y este último creó los cuaterniones,
además de ser quien concibió la denominación de vector. Laguerre, por su parte,
fue responsable de la definición de los sistemas de ecuaciones lineales y de la
combinación lineal de vectores.
3
También en la segunda mitad del siglo XIX, un matemático británico llamado
Arthur Cayley presentó la notación matricial, gracias a la cual es posible armonizar
y simplificar las aplicaciones lineales. Casi cien años más tarde, se produjo una
interacción entre el análisis funcional y el álgebra, principalmente con conceptos
tan importantes como los espacios de Hilbert y los de funciones p-integrables.
Entre las aplicaciones de los espacios vectoriales se encuentran ciertas funciones
de compresión de sonido e imágenes, que se basan en las series de Fourier y
otros métodos, y la resolución de ecuaciones en derivadas parciales (relacionar
una función matemática con diversas variables independientes y las derivadas
parciales de la misma respecto de dichas variables). Por otro lado, sirven para el
tratamiento de objetos físicos y geométricos, como ser los tensores
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en
sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un
escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.
Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se
demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un
subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.
W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las
mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.
Ejemplo 1
W={(x1,x2)∈R2:x2=3x1} ¿es un subespacio de R2?
Primero analicemos el conjunto W. Son todos vectores de R2 tales que la segunda
componente es el triple de la primera:
(x1,3x1)=x1(1,3)
W es la recta que pasa por el origen y tiene vector director (1,3), o sea la recta de
ecuación y = 3x.
Para decidir si W es un subespacio de R2 habría que verificar que se cumplen los
axiomas del 1 al 10. El lector puede comprobar que todos se cumplen en este
caso.
4
Pero en general no es necesario verificar los axiomas porque existe un criterio
sencillo para determinar si un subconjunto W de un espacio vectorial V es un
subespacio, es el que sigue.
Ejemplo 2
Consideremos el conjunto W={(x,y)∈R2 | xy=0}, ¿Es un subespacio de R2?
Se cumple (a) pues (0,0)∈W
No se cumple (b) porque la suma de dos vectores de W puede no estar en W, por
ejemplo:
(1,0)+(0,1)=(1,1)∉W
Entonces W no es un subespacio de R2
Condiciones necesarias y suficientes para caracterizar subespacios
Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V(W⊆V).
W es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
a. 0V está en W.
b. Si u y v están en W, entonces u+v está en W.
c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.
Observaciones
5
1. La condición (a) asegura que W no es vacío. La mejor manera de comprobar si
W es un subespacio es buscar primero si contiene al vector nulo. Si 0V está en W,
entonces deben verificarse las propiedades (b) y (c). Si 0V no está en W, W no
puede ser un subespacio y no hace falta verificar las otras propiedades.
2. Las propiedades a, b y c corresponden a los axiomas 4, 1 y 6 de espacios
vectoriales.
3. Los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 de espacio vectorial se cumplen para W porque
éste es un subconjunto de V. Puede decirse que W “hereda” esas propiedades
de V.
4. Faltaría comprobar que cada vector de W tiene su opuesto en W (axioma 5 de
espacios vectoriales):
Teniendo en cuenta la condición (c) de subespacios,
c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.
Si tomamos k=–1, resulta:
Para cada u∈W, (–1)u=–u∈W
Y por lo tanto cada vector de W tiene su opuesto en W.
De las observaciones anteriores se deduce que las condiciones (a), (b) y (c) son
suficientes para demostrar que W es un espacio vectorial, y por lo tanto
subespacio de V.
Teorema de sub espacio
Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si
se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio
i)
ii)
Si x € H y y € H, entonces x + y € H.
Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.
Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se
deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se
deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las
operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V.
Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis,
como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa,
conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se
cumplen.
6
Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es
suficiente verificar que:
x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.
PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL
1). El vector cero de V está en H.2
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en
H, la suma u + v está en H.
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada
u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.
Combinación lineal
Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector
de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina
una combinación lineal de v1, v2,…,vn.
Una combinación lineal en M23
Conjunto generador.
Se dice que los vectores v1, v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si
todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismo. Es
decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2, …, an tales que
v=a1v1+a2v2+…+anvn
7
Cuatro vectores que generan a M22
Espacio generado por un conjunto de vectores.
Sean v, v2, …, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por
{v1, v2, …, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, …, vk. Es decir
donde a1, a2, …, ak, son
escalares arbitrarios.
Teorema: si v1, v2, …, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces
gen{v1, v2, …, vk} es un subespacio de V.
Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3
Sea v1=(2,-1,4) y v2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}.
¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y,z)ÎH, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2
y z=4a 1+6ª 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se
pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas a1, a2. Este
sistema se resuelve en la forma usual:
independencia lineal
En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o
independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de
independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas
homogéneos de ecuaciones y determinantes.
Existe una relación espacial entre los vectores , se
8
Puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1v2=0.
En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no
trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son
ambos cero).
¿Qué tienen de especial los vectores ?
respuesta a esta
La
Pregunta es más difícil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que
v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene .
Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v1, v2, y v3. Parece
que los dos vectores de la ecuación y los tres vectores de la otra ecuación tienen
una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores a una terna arbitraria
de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son linealmente
dependientes. En términos generales, se tiene la importante definición a
continuación presentada.
Definición: sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice
que lois vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, …,
cn no todos ceros tales que .
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente
independientes.
Para decirlo de otra forma, v1, v2, .., vn son linealmente independientes si la
ecuación c1v1+c2v2+…+cnvn=0 se cumple únicamente para c1=c2=…=cn=0. Son
linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una
combinación lienal de v1, v2,…,vn con coeficientes no todos iguales a cero.
Nota. Se dice que los vectores v1, v2, …, vn son linealmente independientes (o
dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es linealmente
independiente (o pendiente). Esto es, se usan las dos frases indistintivamente.
Teorema:dependencia e independencia lineal
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno
de ellos es un múltiplo escalar del otro.
9
Demostración: primero suponga que v2=cv1 para elgun escalar c≠0. Entonces
cv1-v2=0 y v1 y v2 son linealmente dependientes. Por otro parte, suponga que v1
y v2 son linealmente dependientes. Entonces existen constantes c1 y c2 al menos
uno distinto a cero, tales que c1v1+c2v2=0. Si c1≠0, entonces dividiendo entre c1
se obtiene v1+(c2/c1)v2=0, o sea,
Es decir, v1 es un múltiplo escalar de v2. Si c1=0, entonces c2≠0 y, por lo tanto,
v2=0=0v1.
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.
Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los
vectores
de
. En R3 se escribieron los vectores en términos
. Ahora se generalizara esta idea.
base Un conjunto finito de vectores
es una base para un
espacio vectorial V si
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.
En Rn se define
Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene
determinante 1),
es un conjunto linealmente independiente y,
por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base
canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.
Ejemplo: base canonica para M22
10
Se vio que
a
generan
, entonces es evidentemente que
. Así, estas cuatro
matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se
denomina base cononica para M22.
Teorema: si
conjunto único de escalares
es una base para V y si vÎV, entonces existe un
tales que
Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque
genera a V. suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una
combinación lineal de los vectores de la base.
Es decir, suponga que
Sea
dos bases para V. debe
demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un
conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que S es una
bse. Esto demostrara que m≤n. la misma prueba demostrara que ≤m y esto
prueba el teorema. Así, basta demostrar que si m>n, entonces S es
independiente. Como S constituye una base, todo u se puede expresar como una
combinación lineal de las v. se tiene (1)
Teorema: suponga que dimV=n. si
Entonces, restando se obtiene la ecuación
pero como los v son linealmente
independientes, esta ecuación se cumple si y solo si
11
Así,
y el teorema queda demostrado.
Teorema: si
son bases en un espacio
vectorial V, entonces m=n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio
vectorial V tienen el mismo numero de vectores.
Para demostrar que S es dependiente, deben encontrarse escalares
no todos cero, tales que (2)
Sustituyendo (1) en (2) se obtiene (3)
La ecuación (3) se puede reescribir como
Pero como
son linealmente independientes, se debe tener (5)
El sistema (5) es un sistema homogéneo de n ecuaciones con las m incógnitas
y como m>n, el teorema dice que el sistema tiene un numero
infinito de soluciones. De esta forma, existen escalares
no todos
cero, tales que (2) se satisface y, por lo tanto, S es un conjunto linealmente
dependiente. Esta contradicción prueba que m≤n si se cambian los papeles de S1
y S2, se demuestra que n≤m y la prueba queda completa.
Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el algebra
lineal.
Dimensión
12
Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos,
entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V se
denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina
espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene
dimensión cero.
Notación. La dimensión V se denota por dimV.
Ejemplo: la dimensión de Mmn
En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es
sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman una base
para Mmn. Así, dimMmn=mn.
Teorema: suponga que dimV=n. si
es un conjunto de m
vectores linealmente independientes en V, entonces m≤n.
Sea
entonces, igual que la prueba del teorema, se pueden
encontrar constantes
no todas cero, tales que la ecuación (2) se
satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores u. así, m≤n.
Teorema: sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V.
entonces H tiene dimensión finita y (6)
Sea dimV=n. cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en H es
también linealmente independiente en V. por el teorema anterior, cualquier
conjunto linealmente independiente en H puede contener a lis mas n vectores. Si
H={0}, entonces dimH=0. Si dimH≠{0}, sea v≠0 un vector en H y H=gen{v}. si H=H,
dimH=1 y la prueba queda completa. De lo contrario, elija a vÎH tal que vÏH y sea
H=gen{v1,v2}, y así sucesivamente. Continuamos hasta encontrar vectores
linealmente independientes
tales que H=gen{
}.
El proceso tiene que terminar porque se pueden encontrar a lo mas n vectores
linealmente independientes en H. entonces H-k≤n.
Ejemplo: una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema
homogéneo
13
Solución: aquí
. Como A es una matriz de 2x3, S es un
subespacio de R3. Reduciendo por renglones, se encuentra, sucesivamente,
Entonces y=z y x=-z de manera que todas las soluciones son de la forma.Así,
es una base para S y dimS=1. Obsérvese que S es el conjunto de vectores
que se encuentran en la recta x=-t, y=t, z=t.
Teorema: cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en eun
espacio vectorial V de dimensión n constituyen una base apara V.
Sean
, n vectores. Si generan el espacio V, entonces
constituyen una base. De lo contrario, existe un vector uÎV tal que
uÏgen
. Esto significa que los n+1 vectores
donde linealmente independientes. Para ver esto observe que si
(8)
Entonces
,u
porque de lo contrario podríamos escribir u como una
combinación lineal de
dividiendo la ecuación (8) entre
y poniendo todos los términos, excepto u, en el lado derecho. Pero
sientonces (8) es
Lo que significa que
ya que los v son linealmente
independientes. Ahora sea W=gen{
,u}. como todos los vectores
entre las llaves están en V, W es un subespacio de V. como
,u
son linealmente independientes, forman una base para W, y dimW=n+1. Pero por
el teorema, dimW≤n. esta contradicción muestra que no existe el vector uÎV tal que
uÏgen{
}. Así,
constituye una base para V.
genera a V y, por lo tanto,
Cambio de base
En R2 se expresaron vectores en términos de la base canónica
. En Rn se definió la base canonica
. En Pn se definió la base
14
estandra como
. Estas bases se usan ampliamente por la
sencillez que ofrecen a la hora de trabajar con ellas. Pero en ocasiones ocurre que
es mas conveniente alguna otra base. Existe un numero infinito de bases para
elegir, ya que en un espacio vectorial de dimensión n, cualesquiera n vectores,
linealmente independientes, forman una base. En esta sección se vera como
cambiar de una base a otra mediante el calculo de cierta matriz. Iniciaremos por
un ejemplo sencillo. Sean u
. entonces,
base canonica en R2. Sean
es la
Como v1 y v2 son
linealmente independientes (porque v1 no es un múltiplo de v2),
es una segunda base en R2. Sea
un vector en R2. Esta notación
significa que
Es decir, x esta expresando en términos de los vectores de la base B. para hacer
hincapié en este hecho, se escribe
Como B es otra base en R2,
existen escalares c1 y c2 tales que (1)
Una vez que se
encuentran estos escalares. Se puede escribir
para indicar que x
esta ahora expresado en términos de los vectores en B. para encontrar los
números c1 y c2, se escribe la base anterior en términos de la nueva base. Es
sencillo verificar que
y
(2)
es decir,
Entonces,
Así, de (1),
15
Por ejemplo, si
entonces
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si
para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo único
(u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC,
entonces
La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.
Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).
Ejemplo: producto interno de dos vectores en C3
En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces
Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces
16
Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con
el valor absoluto. Por ejemplo ǁsen tǁ denota la norma de sen t como un “vector”
en C[0, 2π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t.
Nota 2. La ecuación anterior tiene sentido ya que (u, u)≥0.
Ejemplo: dos vectores ortogonales en C2
En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque
Conjunto ortonormal
El conjunto de vectores
es un conjunto ortonormal en V si
y
Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal.
Teorema: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero en
un espacio con producto interno es linealmente independiente.
Teorema: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con
producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el
proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interno
tiene una base ortonormal.
Proyección ortogonal
Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal
Si vϵV, entonces la proyección ortonormal de v sobre H denotada por proyHv esta
dada por (6)
Las demostraciones de los siguientes teoremas son idénticas a sus contrapartes
en Rn.
17
TEOREMA: sea H un subespacio de dimensión finita con producto interno V.
suponga que H tiene dos bases ortonormales
Sea vϵV. entonces
Complemento ortogonal
Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. entonces el
complemento ortogonal de H, denotado por H, esta dado por (7)
teorema: si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces
teorema de proyección: sea H un subespacio de dimensión finita del espacio con
producto interno V y suponga que vϵV. entonces existe un par único de vectores h
y p tales que hϵH, pϵH, y (8) v=h+p donde h=proyHv.
Si V tiene dimensión finita, entonces p=proyHv.
TEOREMA: sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios
linealmente independientes si y solo si multiplicidad geométrica de cada valor
propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores
propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos (ya
que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).
4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
Conjunto ortonormal en Rn
Se dice que un conjunto de vectores S={u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto
ortonormal si (1) (2)
18
Si solo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.
Si u, v y w en Rn y α es un numero real, entonces (3) (4) (5) (6)(7)
Ahora se presenta otra definición útil
Si vϵRn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, esta dada por (8)
Nota. Si
que (9)
entonces v*v=
Esto significa
De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en (8), y se tiene (10)(11)
TEOREMA: si S=
es un conjunto ortogonal de vectores
diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.
Suponga que
Entonces, para cualquier i=1,2,…,k
Como v≠0 por hipótesis |v|2>0 y se dice que c=0. Esto es cierto para i=1,2,…,k, lo
que completa la prueba.
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
Sea H un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces H tiene una base
ortonormal.
19
Sea S=
una base de H. se probara el teorema construyendo
una base ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasios para esta
construccion, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores
linealmente independiente no contiene al vector cero.
Paso 1. Eleccion del primer vector unitario
Sea (12)
Entonces
De manera que |u|=1.
Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a u
Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector
ortogonal a v. en este caso
en la siguiente figura.
es la
es la proyección de u sobre v. esto se ilustra
Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en Rn para
cualquier n≥2. Obsérvese que como u es un vector unitario, para cualquier vector
v.
Sea (13)
entonces
de manera que v’ es
20
ortogonal a u. mas aun, por el teorema, u y v´son linealmente independientes. v’≠0
porque de otra manera
independencia de v1 y v2.
lo que contradice la
Paso 3. Elección de un segundo vector unitario
Sea (14)
entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto ortonormal.
Suponga que se han construido los vectores u1, u2,…,uk(k<m) y que forman un
conjunto ortonormal. Se mostrara como construir uk+1.
Paso 4. Continuación del proceso
Sea (15)
entonces para
i=1,2,…,k
Pero
Por lo
tanto,
Así,
y v´k+1≠0.
es un conjunto linealmente independiente, ortogonal
Paso 5
Sea
Entonces es claro que
es un conjunto ortonormal y se
puede continuar de esta manera hasta que k+1=m con lo que se completa la
prueba.
Nota. Como cada u es una combinación lineal de vectores v,
gen
es un subespacio de gen
cada espacio tiene dimensión k, los espacio son iguales.
y como
21
Bibliografías:
http://itsavbasicas.blogspot.com/2012/05/41-definicion-de-espacio-vectorial.html
https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-4---espaciosvectoriales/definicion-de-espacio-vectorial
https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-4---espaciosvectoriales/definicion-de-subespacio-vectorial-y-sus-propiedades
http://itsavbasicas.blogspot.com/2012/06/43-combinacion-linealindependencia.html
http://itsavbasicas.blogspot.com/2012/05/45-espacio-vectorial-con-producto.html
http://itsavbasicas.blogspot.com/2012/05/46-base-ortonormal-proceso-de.html
22
