Practica7 Integracion Numerica

PRACTICA 7 Integración Numérica
Fórmulas de tipo interpolatorio
1) Tomamos n+1 puntos distintos, xi , i = 0, 1, ..., n, del intervalo [a,b]
2) Calculamos el polinomio de interpolación de la función f en los puntos xi
Ÿa
Ÿa
3) Aproximamos la integral de la función por la integral del polinomio de interpolación
b
f HxL „ x >
b
pHxL „ x.
† Veamos cómo se obtienen las fórmulas del Trapecio y de Simpson.
In[1]:=
In[3]:=
Out[3]=
Clear@"Global`∗"D
datos = 88a, f@aD<, 8b, f@bD<<;
poli = InterpolatingPolynomial@datos, xD
f@aD +
H−a + xL H−f@aD + f@bDL
−a + b
‡ poli x
b
In[4]:=
a
Out[4]=
−
1
2
In[5]:=
In[7]:=
Out[7]=
Ha − bL Hf@aD + f@bDL
Clear@"Global`∗"D
datos = :8a, f@aD<, :
a+b
a+b
, fB
2
2
poli = InterpolatingPolynomial@datos, xD
f@aD + H−a + xL
−f@aD +
−a +
a+b
fA 2 E
a+b
2
I 12 H−a − bL + xM
‡ poli x
−
1
6
Ha − bL f@aD + f@bD + 4 fB
a+b
2
1
F
a+b
F
H−a−bL+b
−a + b
a
Out[8]=
f@bD−fB
2
+
b
In[8]:=
F>, 8b, f@bD<>;
2
−
−f@aD+fB
−a+
a+b
a+b
2
2
F
2
Practica7_Integracion_Numerica.nb
Fórmulas del Rectángulo, del Trapecio y de Simpson
Fórmula del rectángulo izquierda:
Ÿa
b
f HxL „ x > f HaL Hb - aL
Fórmula del rectángulo derecha:
Ÿa
b
f HxL „ x > f HbL Hb - aL
Fórmula del punto medio:
Ÿa
b
f HxL „ x > f J
a+b
N Hb
2
- aL
Fórmula del trapecio:
Ÿa
b
f HxL „ x >
b-a
2
H f HaL + f HbLL
.
Fórmula de Simpson:
Ÿa
b
f HxL „ x >
b-a
B f HaL + 4
6
fJ
a+b
N+
2
f HbLF
Ejemplo 1
Ÿ0
1ê2
Calcular un valor aproximado de la integral
ex „ x, aplicando la fórmula del punto medio. Comparar con el valor exacto.
Clear@"Global`∗"D
f@x_D := ^ x
a = 0;
b = 0.5;
In[9]:=
Aplicamos la fórmula del punto medio a la función f en el intervalo [0,1/2]
In[13]:=
ValorAproximado = fB
a+b
2
Out[13]=
0.642013
F Hb − aL
Comparamos con el valor exacto
ValorExacto = ‡
In[14]:=
1ê2
x
x
0
N@ValorExactoD
Out[14]=
−1 +
Out[15]=
0.648721
Error = Abs@ValorExacto − ValorAproximadoD êê N
In[16]:=
Out[16]=
0.00670856
Ejemplo 2
Ÿ0
1
Calcular un valor aproximado de la integral
e-x „ x, aplicando las fórmulas del trapecio y de Simpson.
2
Clear@"Global`∗"D
In[17]:=
f@x_D :=
a = 0;
b = 1;
−x2
Aplicamos la fórmula del trapecio a la función f en el intervalo [0,1]
ValorAproximado1 =
In[21]:=
Hb − aL
2
Out[21]=
Hf@aD + f@bDL êê N
0.68394
Aplicamos la fórmula de Simpson a la función f en el intervalo [0,1]
In[22]:=
ValorAproximado2 =
Hb − aL
6
Out[22]=
f@aD + 4 fB
a+b
2
F + f@bD êê N
0.74718
Fórmulas de integración compuesta
Consiste en dividir el intervalo inicial en subintervalos y aplicar un método de integración numérica simple en cada uno de
ellos. Si llamamos tomamos h =
b-a
,
n
entonces los puntos xi = a + i h, i = 0, 1, ..., n forman una partición del intervalo [a,
b] y basta aplicar en cada subintervalo [ xi , xi+1 ], i= 0, 1, ..., n-1, el método simple que queramos
4
Practica7_Integracion_Numerica.nb
Fórmula del rectángulo izquierda compuesta:
Ÿa
b
n-1
f HxL „ x > h ⁄i=0
fi
Fórmula del rectángulo derecha compuesta:
Ÿa
b
n-1
f HxL „ x > h ⁄i=0
fi+1
Fórmula del punto medio compuesta:
Ÿa
b
n-1
f HxL „ x > h ⁄i=0
f
i+
1
2
Fórmula del trapecio compuesta:
Ÿa
b
f HxL „ x >
h
2
n-1
I f0 + 2 ⁄i=1
fi + fn M
Fórmula de Simpson compuesta:
Ÿa
b
f HxL „ x >
h
6
n-1
n-1
f0 + fn + 2 ⁄i=1
fi + 4 ⁄i=0
f
i+
1
2
Ejemplo 3.
Calcular un valor aproximado de la integral de la función f(x) = (x3 - x + 2M ex en el intervalo [0,2] aplicando fórmulas de integración
del rectángulo derecha, del trapecio y de Simpson compuestas con n=20.
Clear@"Global`∗"D
f@x_D := Ix3 − x + 2M
In[23]:=
x
a = 0.;
b = 2.;
n = 20;
b−a
h=
;
n
DoAxi_ := a + i h, 8i, 0, n<E
Valor exacto
ValorExacto = ‡ f@xD x êê N
2
In[30]:=
0
Out[30]=
25.1672
Fórmula del rectángulo derecha compuesta: Ÿa f HxL ‚ x > h ⁄n-1
i=0 fi+1
b
aprox1 = h ‚ f@xi+1 D
n−1
In[31]:=
i=0
Out[31]=
28.1389
error1 = Abs@ValorExacto − aprox1D
In[32]:=
Out[32]=
2.9717
Fórmula del trapecio compuesta Ÿa f HxL ‚ x >
b
In[33]:=
aprox2 =
h
2
Out[33]=
In[34]:=
Out[34]=
n−1
i=1
25.2832
error2 = Abs@ValorExacto − aprox2D
0.116076
aprox3 =
h
6
Out[35]=
In[36]:=
Out[36]=
If0 + 2 ⁄n-1
i=1 fi + fn M
f@x0 D + 2 ‚ f@xi D + f@xn D
† Fórmula de Simpson compuesta ‡
In[35]:=
h
2
b
a
f HxL „ x >
h
6
f0 + fn + 2 ‚ fi + 4 ‚ fi+ 1
f@x0 D + 2 ‚ f@xi D + 4 ‚ fBxi +
n−1
n−1
i=1
i=0
h
2
n-1
n-1
i=1
i=0
2
F + f@xn D
25.1672
error3 = Abs@ValorExacto − aprox3D
0.0000211033
Observamos la gran precisión de la fórmula de Simpson, que es una de las más usadas en la práctica.
Ejemplo 4.
Calcular un valor aproximado de la integral de la función f(x) = ln(x) en el intervalo [1,2] aplicando las fórmulas de integración del
rectángulo izquierda, del trapecio y de Simpson compuestas con n=200.
6
Practica7_Integracion_Numerica.nb
Clear@"Global`∗"D
f@x_D := Log@xD
a = 1.;
b = 2.;
n = 200;
b−a
h=
;
n
DoAxi_ := a + i h, 8i, 0, n<E
In[37]:=
Valor exacto
ValorExacto = ‡ f@xD x êê N
2
In[44]:=
1
Out[44]=
0.386294
Fórmula del rectángulo izquierda compuesta: Ÿa f HxL ‚ x > h ⁄n-1
i=0 fi
b
aprox1 = h ‚ f@xi D
n−1
In[45]:=
i=0
Out[45]=
0.38456
error1 = Abs@ValorExacto − aprox1D
In[46]:=
Out[46]=
0.00173391
Fórmula del trapecio compuesta Ÿa f HxL ‚ x >
b
In[47]:=
aprox2 =
h
2
Out[47]=
In[48]:=
Out[48]=
f@x0 D + 2 ‚ f@xi D + f@xn D
n−1
i=1
0.386293
error2 = Abs@ValorExacto − aprox2D
1.04167 × 10−6
h
2
If0 + 2 ⁄n-1
i=1 fi + fn M
Fórmula de Simpson compuesta Ÿa f HxL ‚ x >
b
In[49]:=
aprox3 =
h
6
n−1
n−1
i=1
i=0
h
2
n-1
Jf0 + fn + 2 ⁄i=1
fi + 4 ⁄n-1
i=0 fi+ 1 N
2
F + f@xn D
0.386294
Out[49]=
In[50]:=
f@x0 D + 2 ‚ f@xi D + 4 ‚ fBxi +
h
6
error3 = Abs@ValorExacto − aprox3D
Out[50]=
3.79752 × 10−13
Ejercicios Propuestos
Ejercicio 1. Calcular de forma aproximada la integral
1
3
‚ x utilizando las fórmulas del trapecio y de Simpson.
Ÿ1
2
1+x
Comparar con el valor exacto
Ejercicio 2. Dividir el intervalo [1,2] en 100 partes iguales
para hallar de forma aproximada el valor de ln(1.5)
utilizando las fórmulas del trapecio y de Simpson
compuestas. Comparar con el valor exacto. (Indicación:
2 1
x).
utilizar la integral Ÿ1 x+1
Ejercicio 3. La longitud de la elipse
viene dada por la integral 4 c Ÿ0
p
2
k=
c2 -d 2
c
x2
c2
+
y2
d2
= 1, c > d > 0,
1 - k 2 sen HqL2 ‚ q siendo
. Aproximar, usando la regla de Simpson
compuesta con n=20, la longitud de la elipse
x 2 + 4 y 2 - 16 = 0.