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Integración Numérica
• La idea es utilizar una aproximación de la
función a integrar para aproximar la integral
∫
xM
x0
f ( x)dx ≈ ∫
donde
p ( x) ≈ f ( x)
xM
x0
p( x)dx
p( xi ) = f ( xi )
1
Definición
Supongamos que a = x0 < x1 < .... < xM = b
Una fórmula del tipo
M
Q[ f ] = ∑ wk f ( xk ) = w0 f ( x0 ) + w1 f ( x1 ) + ... + wM f ( xM )
k =0
de manera que
∫
b
a
f ( x)dx = Q[ f ] + E[ f ]
se llama
fórmula deintegración o de cuadratura
Formulas de cuadraturas cerradas
Newton-Cotes
x1
h
∫ f ( x)dx ≈ 2 ( f
0
+ f1 )
(trapecio)
0
+ 4 f1 + f 2 )
( Simpson)
x0
x2
h
∫ f ( x)dx ≈ 3 ( f
x0
x3
∫ f ( x)dx ≈
x0
x4
3h
( f 0 + 3 f1 + 3 f 2 + f3 )
8
2h
∫ f ( x)dx ≈ 45 (7 f
0
3
( Simpson )
8
+ 32 f1 + 12 f 2 + 32 f3 + 7 f 4 )
( Boole)
x0
2
x1
∫
f ( x) dx =
h
h3 (2)
( f 0 + f1 ) −
f (c )
2
12
f ( x)dx =
h
h5 (4)
( f 0 + 4 f1 + f 2 ) −
f (c )
3
90
f ( x) dx =
3h
3h5 (4)
( f 0 + 3 f1 + 3 f 2 + f 3 ) −
f (c )
8
8
x0
x2
∫
x0
x3
∫
x0
x4
∫
x0
2h
8h 7 (6)
f ( x)dx =
(7 f 0 + 32 f1 + 12 f 2 + 32 f3 + 7 f 4 ) −
f (c )
45
945
Reglas compuestas
• Las fórmula anteriores están definidas
solo para el menor conjunto de nodos. Si
se aplica en toda la partición de [a,b] se
habla de las reglas compuestas
3
Trapecio compuesta
x4
x1
x2
x3
x4
x0
x0
x1
x2
x3
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
h
h
h
h
( f 0 + f1 ) + ( f1 + f 2 ) + ( f 2 + f 3 ) + ( f3 + f 4 )
2
2
2
2
h
= ( f 0 + 2 f1 + 2 f 2 + 2 f3 + f 4 )
2
≈
Simpson compuesta
x4
x2
x4
x0
x0
x2
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
h
h
( f 0 + 4 f1 + f 2 ) + ( f 2 + 4 f3 + f 4 )
3
3
h
= ( f 0 + 4 f1 + 2 f 2 + 4 f3 + f 4 )
3
≈
4