Integración numérica

Integración numérica Algunas reglas básicas Berenice Becerra O. 01/12/2008 Trabajo para la materia de Análisis Numérico donde se describe brevemente algunas reglas básicas de la integración numérica y algunos casos particulares. Algunos de los cálculos se corroboran con Mathematica CONTENIDO Introducción ...................................................................................................................................................................................... 3 Algunos casos particulares.......................................................................................................................................................... 4 Regla del rectángulo .................................................................................................................................................................. 4 Regla del punto medio ............................................................................................................................................................. 5 Regla del Trapecio ..................................................................................................................................................................... 6 Regla de Simpson ....................................................................................................................................................................... 7 Regla del trapecio corregida .................................................................................................................................................. 8 Resumen ........................................................................................................................................................................................ 9 Ejemplo .........................................................................................................................................................................................10 Algunos datos importantes ..................................................................................................................................................11 Bibliografía ......................................................................................................................................................................................14 INTEGRACIÓN NUMÉRICA: ALGUNAS REGLAS BÁSICAS INTRODUCCIÓN El problema de la integración numérica o cuadratura numérica es estimar el número Este problema surge cuando este número no se puede calcularse de manera exacta o cuando vista como un número finita de puntos es Ahora bien asumiendo que es veces diferenciable y suave en el intervalo algún ,
contiene al intervalo , entonces puede verse como que ,…,
1 ,…,
; este es un polinomio que interpola a ∏
y de grado menor igual a y continua e integrable como función de x en ,
Se estimara ,
con , … , en el intervalo ,
y en particular lo es en , . ,…,
Si es no‐negativa o no‐positiva integrable en ,
integrales se tiene que Si además es , ,…,
1 diferenciable en ,
se tiene que 1
1 !
Si 1 puntos y ,…,
, 2 !
por el teorema del valor medio para ,
para algún ,
para algún ,
.1 no es necesariamente no‐positiva o no‐negativa y si además ocurre que es diferenciable 2 veces entonces 1
,
. Entonces el error estimado esta dado por por medio de ,…,
en para algún ,
0 y .2 ALGUNOS CASOS PARTICULARES REGLA DEL RECTÁNGULO Si se considera 0. Entonces ,
y y si entonces en este caso y es no‐positiva o no‐negativa en ,
en 2 por ec. 1 por lo que el error esta dado por 2
REGLA DEL PUNTO MEDIO Si se considera 0. Entonces y y si ,
entonces 2
en este caso y además 0 2
entonces haciendo por ec. 2 se tiene que 2!
Nótese que 2
es no‐negativa en todo y en particular en 24
,
REGLA DEL TRAPECIO Si se considera Si y 1. Entonces ,
,
,
y ,
entonces 2
y además en este caso 1
6
entonces por ec. 1 se tiene que 2!
2
1
6
12
REGLA DE SIMPSON Si se considera 2. Entonces ,
,
,
,
,
Para distintos valores de , , en , se tiene que necesariamente no‐positiva o no‐negativa pero si 0
1
y entonces 0, 1
con ,
6
4
0
1
2
no es entonces 0 2
0, 1
0
,
0, 1, 2
0
0, 1, 2
2
0
1
2
,
en este caso como ya se menciono escoge entonces se tiene que no‐negativa en ,
1
2
2
0 por lo que si se y esta es o no‐positiva o y por la ec. 2 se tiene que 4!
0
24
1
120
90
2
REGLA DEL TRAPECIO CORREGIDA Si se considera 3. Entonces x x , , ,
, , ,
en ,
se tiene que no es necesariamente no‐positiva o no‐negativa pero si 0
1
2
3
2
2
y entonces y 0
1
2
3
0
2
esta es no‐negativa; ahora bien Para distintos ,
, , , ,
valores de ,
,
y entonces
,
,
0
3
2
en este caso como ya se menciono 4!
1
,
0,
0
3
0,
,
,
12
0,
2
0
2
,
x
,
0,
0,
2,
2
0
2
2
0
2
2
,
2
4!
2
2
30
, entonces se tiene que por la ec. 2 720
x RESUMEN Regla del … Valor aproximado de la integral Rectángulo Punto Medio Trapecio Simpson Trapecio corregido Error 2
2
4
24
1
2
6
2
12
2
12
90
720
2
EJEMPLO Calcular el valor de las siguientes integrales por los casos vistos anteriormente y el valor del error 0
1 2 0.36788 1
0
0 Regla del … Trapecio corregido 1
2
0.73576 1 Punto Medio Simpson 0.77880 Valor aproximado de la integral Rectángulo Trapecio 0.7788 2
1
2
0.68394 6
2
4
0.74718 2
12
0.74525 ALGUNOS DATOS IMPORTANTES b
In[1]:= ‡ Kx −
a
Out[1]=
a+b
O x
2
0
b
In[2]:= ‡ Kx −
a
Out[2]= −
a+b 2
O x
2
1
3
Ha − bL
12
b
In[3]:= ‡ Kfa +
a
Out[3]= −
fb − fa
Hx − aLO x
b−a
1
Ha − bL Hfa + fbL
2
b
In[4]:= ‡ HHx − aL Hx −
a
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
a3 a2 b a b2 b3
−
+
−
6
2
6
2
Factor@%D
1
3
Ha − bL
6
In[6]:= ‡
Out[6]= −
b
fa +
a
fm − fa
fa
fm
fb
a+b
Hx − aL +
+
+
Hx − aL Kx −
O
a+ b − a
a
+b
a
+b
a
+b
a
+b
2
Ia −
M Ha − bL I
− aM I
− bM H b − aL I b −
M
2
2
2
2
2
In[9]:=
b
a
Hx − aL Kx −
1
5
Ha − bL
120
a+b 2
O Hx − bL
2
x
120 × 4 !
Out[9]=
2880
In[10]:=
90 25
Out[10]=
2880
a+b
O Hx − bLO x
2
0
In[8]:= ‡
Out[8]=
x
1
Ha − bL Hfa + fb + 4 fm L
6
b
In[7]:= ‡ KHx − aL Kx −
a
Out[7]=
bLL x
In[11]:=
fab =
In[12]:= ‡
Out[12]=
fb − fa
;
b−a
fa + fpa Hx − aL +
b
a
Out[13]= −
Out[14]=
In[15]:=
bL2M x
1
Ha − bL5
30
30 × 4 !
720
DB
Out[15]= −2
In[16]:=
DB
Out[16]= −2
In[17]:=
DB
Out[17]=
12
−x2
, xF
−x2
−x2
, 8x, 2<F
−x2
−x2
x
+4
−x2
x2
, 8x, 4<F
−x2
−x2
− 48
x2 + 16
,
Si −x2
x4
entonces se define ,…,
,
x
1
Ha − bL H− 6 fa − 6 fb + Ha − bL Hfpa − fpbLL
12
b
2
In[13]:= ‡ IHx − aL Hx −
a
In[14]:=
3 fab − 2 fpa − fpb
fpb + fpa − 2 fab
Hx − aL2 +
Hx − aL2 Hx − aL
b−a
H b − aL2
,…,
,
,…,
!
Ahora bien si ∆
y ,
,
y usando el hecho anterior se tiene que para ,
,
,
,
,
por lo que se tiene que ,
,
,
, ,
,
,
,
∆
,
,
,
,
,
,
,
,
,
∆
3
,
,
,
2
∆
2
,
,
∆
∆
Para la ec. 2 se usa la siguiente identidad ,…, ,
se tiene que ,…,
,…,
,
,…,
,
,…,
,
,…,
,
,
1
2 !
que es la ec. 2 mencionada anteriormente ,
valido ,
dado que se tiene que Por lo que se puede elegir un que haga que y si es 2 veces diferenciable se sigue que entonces para un valor ,
0 sea solo o no‐positiva o no‐negativa en para algún ,
,
BIBLIOGRAFÍA Conte S., Boor Carl. Elementary Numerical Analysis an algorithmic approach. ed. 2, Ed. Mc Graw‐Hill