Práctica 8

Práctica8
1
PRACTICA 8
Integración numérica
Objetivo: Calcular un valor aproximado de la integral Ÿa f HxL „ x
b
Fórmulas de tipo interpolatorio
1) Tomamos n+1 puntos distintos, xi , i = 0, 1, ..., n, del intervalo [a,b]
2) Calculamos el polinomio de interpolación de la función f en los puntos xi
Ÿa
Ÿa
3) Aproximamos la integral de la función por la integral del polinomio de interpolación
b
f HxL „ x >
b
pHxL „ x.
† Veamos cómo se obtienen las fórmulas del Trapecio y de Simpson.
datos1 = 88a, f@aD<, 8b, f@bD<<;
poli1 = Simplify@InterpolatingPolynomial@datos1, xDD
SimplifyB‡ poli1 xF
b
a
f@aD +
−
1
2
H−a + xL H−f@aD + f@bDL
−a + b
Ha − bL Hf@aD + f@bDL
datos2 = :8a, f@aD<, :
a+b
2
, fB
a+b
2
F>, 8b, f@bD<>;
Práctica8
2
poli2 = Simplify@InterpolatingPolynomial@datos2, xDD
SimplifyB‡ poli2 xF
b
a
Ha + b − 2 xL Hb − xL f@aD + Ha − xL IHa + b − 2 xL f@bD + 4 H−b + xL fA a+b
EM
2
Ha − bL2
−
1
6
Ha − bL f@aD + f@bD + 4 fB
a+b
2
F
Fórmulas del rectángulo, del Trapecio y de Simpson
Fórmula del rectángulo izquierda:
Ÿa
b
f HxL „ x > f HaL Hb - aL,
e0 H f L =
f ' HzL
2
Hb - aL2 .
Fórmula del rectángulo derecha:
Ÿa
b
f HxL „ x > f HbL Hb - aL,
e0 H f L = -
f ' HzL
2
Hb - aL2 .
Fórmula del punto medio:
Ÿa
b
f HxL „ x > f I a+b
M Hb - aL,
2
e0 H f L =
f '' HzL
24
Hb - aL3 .
Fórmula del trapecio:
Ÿa
b
f HxL „ x >
b-a
2
H f HaL + f HbLL,
e1 H f L = -
f '' HzL
12
Hb - aL3 .
Fórmula de Simpson:
Ÿa
b
f HxL „ x >
b-a
A f HaL + 4
6
f I a+b
M + f HbLE,
2
e2 H f L =
f '' HzL
24
Hb - aL3 .
Práctica8
3
à Ejemplo 1
Ÿ0
1ê2
Calcular un valor aproximado de la integral
ex „ x, aplicando la fórmula del punto medio.
Dar una estimación del error cometido. Comparar con el valor exacto.
ü Definimos la fórmula del punto medio
PuntoMedio@fD@a_, b_D := fB
a+b
2
F Hb − aL;
ü Definimos la función
f@x_D :=
^x
ü Aplicamos la fórmula del punto medio a la función f en el intervalo [0,1/2]
ValorAproximado1 = PuntoMedio@fD@0, 1 ê 2D êê N
0.642013
ü Estimación del error
f''[x]
x
e0 H f L =
e0 =
f '' HzL
24
I 12 - 0M , con x œ [0,1] .
3
f ''@ξD
1
24
2
3
ξ
192
Como
ez
192
§
e
192
,
N@ ê 192D
0.0141577
z œ @0, 1D
Práctica8
4
ü Comparamos con el valor exacto
ValorExacto1 = ‡
1ê2
x
x
0
N@ValorExacto1D
−1 +
0.648721
Error1 = Abs@ValorExacto1 − ValorAproximado1D êê N
0.00670856
à Ejemplo 2
Ÿ0
1
Calcular un valor aproximado de la integral
e-x „ x, aplicando las fórmulas del trapecio y
2
de Simpson. Dar una estimación del error cometido.
ü Definimos la fórmula del trapecio
Trap@fD@a_, b_D :=
Hb − aL
2
Hf@aD + f@bDL;
ü Definimos la función
f@x_D :=
−x2
ü Aplicamos la fórmula del trapecio a la función f en el intervalo [0,1]
ValorAproximado2 = Trap@fD@0, 1D êê N
0.68394
ü Estimación del error
e1 H f L =
- f '' HzL
12
H1 - 0L3 , con x œ [0,1] .
Práctica8
5
f''[ξ]//Simplify
−ξ2
I−2 + 4 ξ2 M
e1 = −
1
−ξ2
6
» e1 H f L » = À -
f ''@ξD
12
H1 − 0L3 êê Simplify
I1 − 2 ξ2 M
H1 - 0L3 À = À
Luego una esrtimación del error es
f '' HzL
12
1
6 ‰x
2
I1 - 2 x 2 M À <
1
6
= 0.16667
z œ @0, 1D.
ü Definimos la fórmula de Simpson
Simpson@fD@a_, b_D :=
Hb − aL
6
f@aD + 4 fB
a+b
2
ü Definimos la función
f@x_D :=
−x2
ü Aplicamos la fórmula de Simpson a la función f en el intervalo [0,1]
ValorAproximado3 = Simpson@fD@0, 1D êê N
0.74718
ü Estimación del error
e2 H f L =
- f 4L HzL
2880
H1 - 0L5 , con x œ [0,1] .
f''''[x]//Simplify
4
−x2
I3 − 12 x2 + 4 x4 M
F + f@bD ;
Práctica8
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e2 = −
−
f ''''@ξD
2880
1
−ξ2
720
H1 − 0L5 êê Simplify
I3 − 12 ξ2 + 4 ξ4 M
Luego una esrtimación del error es
» e2 H f L » = À -
f 4L HzL
2880
H1 - 0L3 À = À
1
720 ‰x
2
I4 x 4 - 12 x 2 + 3M À <
5
720
= 0.006944
z œ @0, 1D.
Fórmulas de integración compuesta
Consiste en dividir el intervalo inicial en subintervalos y aplicar un método de integración numérica simple
b-a
,
n
en cada uno de ellos. Si llamamos tomamos h =
entonces los puntos xi = a + i h, i = 0, 1, ..., n
forman una partición del intervalo [a, b] y basta aplicar en cada subintervalo [ xi , xi+1 ], i= 0, 1, ..., n-1, el
método simple que queramos
Fórmula del rectángulo izquierda compuesta:
Ÿa
b
f HxL „ x > h ⁄n-1
i=0 fi ,
eH f L =
b- a
2
h f ' Hx L, x œ (a,b)
Fórmula del rectángulo derecha compuesta:
Ÿa
b
f HxL „ x > h ⁄n-1
i=0 fi+1 ,
eH f L = - b-2 a h f ' Hx L, x œ (a,b)
Fórmula del punto medio compuesta:
Ÿa
b
f HxL „ x > h ⁄n-1
i=0 fi+ 1 ,
2
eH f L =
b- a
24
h2 f '' Hx L, x œ (a,b)
Fórmula del trapecio compuesta:
Ÿa
b
f HxL „ x > hJ
f0 + fn
2
+ ⁄n-1
i=0 fi N,
-a 2
eH f L = - b12
h f '' Hx L, x œ (a,b)
Fórmula de Simpson compuesta:
Ÿa
b
f HxL „ x >
eH f L =
b-a
- 2880
h
6
n-1
J f0 + fn + 2 ⁄n-1
i=1 fi + 4 ⁄i=0 fi+ 1 N ,
h f HxL, x œ Ha, bL.
4
4L
2
Práctica8
7
à Ejemplo 3.
Calcular un valor aproximado de la integral de la función f(x) = (x3 - x + 2M ex en el intervalo
[0,2] aplicando las fórmulas de integración compuesta con n=20.
En aprox1 guardamos la aproximación obtenida con la fórmula del rectángulo derecha.
En aprox2 guardamos el resultado del trapecio.
En aprox3 el de Simpson.
† Su valor exacto se puede obtener con la orden
Integrate[función, {variable, límite inferior, límite superior}].
IntegrateAIx3 − x + 2M
3+3
x
, 8x, 0, 2<E
2
N@%D
25.1672
n-1
ü Fórmula del rectángulo compuesta: Ÿ f HxL ‚ x > h ⁄i=0
fi+1 ,
b
a
(a,b)
f@x_D := Ix3 − x + 2M
x
a = 0.;
b = 2.;
n = 20;
b−a
h=
;
n
nod = Table@a + i h, 8i, 0, n<D;
aprox1 = h ‚ f@nodPi + 1TD
n
i=1
28.1389
error1 = 3 + 3
−2.9717
2
− aprox1
eH f L = -
b- a
2
h f ' Hx L, x Œ
Práctica8
8
Fórmula del trapecio compuesta Ÿ f HxL ‚ x > hJ
b
eH f L = -
f0 + fn
h2 f '' Hx L, x Π(a,b)
2
a
b- a
12
aprox2 = h
1
2
n-1
+ ⁄i=0
fi N,
f@nodP1TD + ‚ f@nodPiTD +
n
i=2
1
2
f@nodPn + 1TD
25.2832
error2 = 3 + 3
2
− aprox2
−0.116076
† Fórmula de Simpson compuesta ‡
eH f L = -
b-a
2880
b
f HxL „ x >
a
f0 + fn + 2 ‚ fi + 4 ‚ fi+ 1 ,
h
6
h4 f 4L HxL, x œ Ha, bL
aprox3 =
1
6
n-1
n-1
i=1
i=0
2
h f@nodP1TD + 2 ‚ f@nodPiTD + 4 ‚ fBnodPiT +
n
n
i=2
i=1
h
2
F + f@nodPn
25.1672
error3 = 3 + 3
2
− aprox3
−0.0000211033
Observamos la gran precisión de la fórmula de Simpson, que es una de las más usadas en la práctica.
Clear["Global`*"]
à Ejemplo 4.
Calcular un valor aproximado de la integral de la función f(x) = Ln x en el intervalo [1,2]
aplicando las fórmulas de integración compuesta con n=200.
Práctica8
9
Integrate@Log@xD, 8x, 1, 2<D
−1 + 2 Log@2D
N@%D
0.386294
f@x_D := Log@xD
a = 1.;
b = 2.;
n = 200;
b−a
;
h=
n
nod = Table@a + i h, 8i, 0, n<D;
aprox1 = h ‚ f@nodPi + 1TD
n
i=1
0.388026
error1 = −1 + Log@4D − aprox1
−0.00173183
aprox2 = h
1
2
f@nodP1TD + ‚ f@nodPiTD +
n
i=2
0.386293
error2 = −1 + Log@4D − aprox2
1.04167 × 10−6
1
2
f@nodPn + 1TD
Práctica8
10
1
aprox3 =
6
h f@nodP1TD + 2 ‚ f@nodPiTD + 4 ‚ fBnodPiT +
n
n
i=2
i=1
h
2
F + f@nodPn +
0.386294
error3 = −1 + Log@4D − aprox3
3.79696 × 10−13
Mathematica y la integración numérica
Mathematica tiene una orden de integración numérica, es NIntegrate, que nos da la respuesta con 6 dígitos,
pero podemos recuperar hasta la precisión interna estándar (unas 15 cifras) si lo pedimos a través de WorkingPrecision.
f[x_]:=(x^3-x+2) ^x
NIntegrate@f@xD, 8x, 0, 2<, WorkingPrecision → 20D
25.16716829679
g[x_]:=Log[x]
NIntegrate[g[x],{x,1,2},WorkingPrecision→20]
0.3862943611199
No se debe confundir NIntegrate con Integrate. La primera lleva programada una integración numérica y
puede aplicarla a cualquier función definida y acotada en un intervalo @a, bD; sin embargo, la segunda
requiere que la función tenga una primitiva, a la que aplica la regla de Barrow. Intente integrar en el intervalo @1, 2D la función
x
x
usando ambas órdenes.
Ejercicios Propuestos
1. Calcular de forma aproximada la integral Ÿ
Comparar con el valor exacto.
3
1
1
1+x2
„ x utilizando las fórmulas del trapecio y de Simpson.
Práctica8
11
2. Dividir el intervalo [1,2] en 100 partes iguales para hallar de forma aproximada el valor de Ln 1.5 utilizando las fórmulas del trapecio y de Simpson. Comparar con el valor exacto.