Regla del Trapecio Regla de Simpson´s

Regla del Trapecio
Un metodo para encontrar e l área bajo l a curva y =
f HxL es aproximandose el área con un serie de trapecios construidos en los intervalos 8@xk-1 , xk D<mk=1 .
Teorema. Considere y = f HxL sobre @a, bD. Suponga que el
intervalo @a, bD es subdividido en m subintervalos 8@xk-1 , xk D<mk=1 de igual longitud
b - a
h=
, usando la partición xk = x0 + k h for k = 1, 2, ..., m. Entonces se tiene que
m
T Hf, hL =
h
2
Hf HaL + f HbLL + h â f Hxk L.
m-1
k=1
Está es una aproximación numérica a la integral de f HxL sobre @a, bD à
b
f HxL â x » T Hf, hL.
a
Ÿ Código usando la instrucción For para la regla del trapecio
In[27]:=
ReglaTrap@a0_, b0_, m0_D :=
ModuleB8a = N@a0D, b = N@b0D, m = m0, k<,
h =
b-a
;
m
sum = 0;
For@ k = 1, k £ m - 1, k ++,
sum = sum + f@a + h kD; D;
h
ReturnB Hf@aD + f@bDL + h sumF; F;
2
Regla de Simpson´s
Teorema IRegla de Simpson 'M Considere y =
f HxL sobre @a, bD. Suponga que el intervalo @a, bD is subdividido en 2 m subintervalos
b - a
m
8@xk-1 , xk D<2k=1
de igual longitud h =
usando los puuntos xk = x0 + k h para k = 0,
2m
1, 2, ..., 2 m. La suma para la regla de Simpson para 2 m subintervalos es
S Hf, hL =
h
3
Hf HaL + f HbLL +
2h
3
â f Hx2 k L +
m-1
k=1
Está es una aproximación numérica a la integral de f HxL sobre @a, bD.
à
b
a
f HxL â x » S Hf, hL.
4h
3
â f Hx2 k-1 L.
m
k=1
2
integrnum2011.nb
Ÿ Código usando la instrucción For para la regla de Simpson´s
In[28]:=
Simpson@a0_, b0_, m0_D :=
ModuleB8a = N@a0D, b = N@b0D, m = m0, k<,
h = Hb - aL  H2 mL;
SumPar = 0;
For@ k = 1, k £ m - 1, k ++,
SumPar = SumPar + f@a + h 2 kD; D;
SumImpar = 0;
For@ k = 1, k £ m, k ++,
SumImpar = SumImpar + f@a + h H2 k - 1LD; D;
h
ReturnB Hf@aD + f@bD + 2 SumPar + 4 SumImparL F; F;
3
Riemman
Ÿ Código usando la instrucción For para sumas de Riemman
In[29]:=
Riemman@a0_, b0_, m0_D :=
ModuleB8a = N@a0D, b = N@b0D, m = m0, k<,
h =
b-a
;
m
sum = 0;
For@ k = 1, k £ m - 1, k ++,
sum = sum + f@a + h kD; D;
Return@ h sumD; F;
Ejemplo
Aproxime de forma numérica à I2 + CosA2
2
x EM â x usando la regla del trapecio,
0
Riemman y Simpson´s con m = 1, 2, 4, 8, y 16 subintervalos.
integrnum2011.nb
3
Ÿ Solución
f@x_D := ExpA- x2 E;
Plot@f@xD, 8x, 0, 2<, PlotRange ® 880, 2<, 80, 3<<, Filling ® BottomD
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
a = 0;
b = 2; m = 2; TableForm@Table@8i,
NumberForm@ReglaTrap@a, b, iD, 815, 20<D, NumberForm@Riemman@a, b, iD, 825, 20<D,
NumberForm@Simpson@a, b, iD, 815, 20<D<, 8i, 1, m, 1<D, TableHeadings ®
8None, 8"iteración", "Regla del Trapecio", "Riemman", "Simpson´s"<<D
Out[41]//TableForm=
iteración
1
2
Regla del Trapecio
0.90929742682568200000
1.29611969822074000000
Riemman
0.00000000000000000000
0.84147098480789700000
Ejercicios
è à
1
è à
1
4
1 + x2
0
2
0
âx
6
âx
1 - x2
è à SinIx2 M â x
1
0
Demostraciones
è Numerical Integration using Rectangles, the Trapezoidal Rule, or Simpson’s Rule
è Comparing Basic Numerical Integration Methods
Simpson´s
1.42506045535242000000
1.41665358287908000000