el director del proyecto - IIT - Universidad Pontificia Comillas

Autorizada la entrega del proyecto de la alumna:
D.ª Nuria Merchán Ríos
Madrid, 8 de septiembre de 2009
EL DIRECTOR DEL PROYECTO
Fdo.: Dr. D. Francisco Javier Rodríguez Gómez
Vº Bº del Coordinador de Proyectos
Fdo.: D. Eduardo Alcalde Lancharro
Fecha: ……/ ……/ ……
UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO EN INFORMÁTICA
PROYECTO FIN DE CARRERA
SOFTWARE DE RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS CON VALOR EN
FRONTERA DE ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS
AUTORA: NURIA MERCHÁN RÍOS
MADRID, SEPTIEMBRE 2009
Software para la resolución de EDO
I
Agradecimientos y dedicatoria
“Sé perseverante, porque el agua horada la roca a fuerza de caer sobre
ella.
Prosigue y no desmayes, y ten en mucho lo poco conseguido, pues la
llovizna no es abundante y, sin embargo, cala.”
El collar de la paloma, Ibn Hazm de Córdoba
Gracias a mis padres y a mi hermana que siempre han estado ahí
apoyándome y recordándome esta cita de este poeta cordobés. También
quiero darle las gracias a mi director Francisco Javier, por su ayuda y
paciencia.
Finalmente, quiero dedicarle este proyecto, de forma muy especial a
aquellos que se emocionarían sabiendo que ya terminé esta ingeniería.
Proyecto Fin de Carrera
II
Resumen
Es objeto del presente proyecto el abordar un desarrollo software para el estudio, análisis e
implementación de los métodos numéricos que se encargan de resolver de manera
aproximada las ecuaciones diferenciales de segundo orden con la siguiente estructura:
y≥ = f Hx, y, y£ L
a§x§b
que verifica las condiciones de frontera en los puntos extremos del intervalo:
yHaL = a
y
yHbL = b.
Este tipo de ecuaciones diferenciales de segundo orden se presentan con frecuencia en
numerosos problemas de Ingeniería Civil (deflexiones de una viga de sección rectangular
con carga uniforme), en Física (potenciales electroestáticos en materiales cargados
uniformemente), y en Química (análisis del flujo de la corriente en un tubo al vacío,
ecuación de Van der Pol).
Los métodos numéricos objeto de análisis, estudio e implantación son:
1.- Método del disparo lineal. Se basa en la sustitución del problema lineal con condiciones
de frontera por otros dos problemas con valores iniciales. Se emplea el método de RungeKutta de cuarto orden (que resuelve ecuaciones diferenciales de primer orden) con el fin de
conseguir las aproximaciones de este método.
Software para la resolución de EDO
III
2.- Método del disparo para problemas no lineales. Aun pareciéndose al método lineal, la
solución del problema no se expresa como una combinación lineal de las soluciones a los
problemas de dos valores iniciales, si no que utiliza una sucesión de problemas con valor
inicial. Este método se auxilia del método de de Runge-Kutta de cuarto orden y del método
de resolución de ecuaciones no lineales de Newton.
3.- Método de las diferencias finitas para problemas lineales. Este método reemplaza las
derivadas en las ecuaciones diferenciales por una aproximación de cocientes de diferencias
finitas adecuadas.
4.- Método de las diferencias finitas para problemas no lineales. Utiliza, como en el
método anterior, el método de diferencias finitas, pero al dar origen a un sistema de
ecuaciones no lineales, se requiere un proceso iterativo para su resolución, en particular se
emplea el método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
5.- Método de Raileigh-Ritz. En este método se selecciona de un conjunto de todas las
funciones, suficientemente derivables que verifican las condiciones de frontera, aquellas
que reducen al mínimo unas determinadas integrales. Posteriormente, se disminuye el
conjunto de funciones candidatas para obtener la aproximación a la solución del problema
con valor de frontera. Es decir, la función que aproxima la solución es una combinación
lineal de ciertas funciones básicas que son linealmente independientes.
En el método lineal segmentario cada función básica es sustituida por un polinomio lineal
definido por intervalos.
Proyecto Fin de Carrera
IV
En el método de los trazadores cúbicos cada función básica es sustituida por un polinomio
cúbico o trazador B (polinomio cúbico en forma de campana). Este método da origen a un
sistema lineal de ecuaciones con una matriz simétrica de banda con un ancho máximo de
valor siete, que se resuelve mediante el método de descomposición de Cholesky.
Los citados métodos, tras haberse estudiado detalladamente, se diseñan y se programan en
un lenguaje con capacidades de cálculo numérico, simbólico y con funcionalidades gráficas,
a fin de analizar tanto las aproximaciones numéricas con su cota de error, como representar
las gráficas de la solución exacta de la ecuación diferencial junto a la función aproximada
obtenida.
Por ultimo, se presentan todos los algoritmos de este proyecto bajo una interfaz gráfica de
usuario (GUI) que facilita y permite comprobar cada uno de los métodos para cualquier
ecuación diferencial de segundo orden con valor en la frontera de dos puntos. Los
resultados, numéricos y gráficos, se presentan en la propia interfaz de usuario diseñada, y el
detalle de todos los pasos intermedios con los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
y demás fórmulas, se indican en un fichero del entorno de desarrollo empleado: el programa
Mathematica.
Software para la resolución de EDO
V
Abstract
The objective of this project is to develop software for the study, analysis and
implementation of numerical methods which are used to solve in an approximate way a
second-order differential equations with the following structure:
y≥ = f Hx, y, y£ L
a§x§b
Which verifies the boundary-values conditions at the endpoints of the interval:
yHaL = a
y
yHbL = b.
This types of second-order differential equations are often presented in many problems of
Civil Engineering (alterations of a rectangular beam section with uniform weight load) in
Physics (electrostatic potentials in materials uniformly loaded) and in Chemistry (The Van
der Pol equation, i.e. an analysis of the flow of the stream in a vacuum pipe/tube
(Relaxation Oscillations).
The numerical methods to be analysed, studied and implanted/introduced are:
1. - Linear shooting method. Which is based on the substitution of the boundary-value
linear problem for two other problems with initial values. The fourth-order Runge-Kutta
method (which solves first-order differential equations) with the aim of achieving the
approximations of this method.
Proyecto Fin de Carrera
VI
2. - The shooting method for nonlinear problems. Even though it is similar to the linear
method, the solution to the problem is not expressed as a linear combination of the
solutions to the problems with two initial values Instead a succession of problems with
initial value is used. This method is supported by the fourth-order Runge Kutta method and
the Newton method for solving nonlinear equations.
3. - The finite-difference method for linear problems. This method replaces the derivatives
in the differential equations for an approximation of quotients of adequate finite differences.
4. - The finite-difference method for nonlinear problems. Like the previous method, it uses
the finite-difference method, but as it gives rise to a system of nonlinear equations, a
repeated process is required in order to solve it; in particular the Newton method for
nonlinear equations systems is applied.
5. - Raileigh-Ritz method. In this method, a whole group of all the functions is selected,
enough derivative, which verify the boundary-values conditions, those ones that reduce
some specific integral signs to the minimum. As a result, the group of candidate functions
for obtaining the approximation to the solution of the problem with boundary-value is
diminished. That is to say, the function which brings up the solution is a linear combination
of some basic functions which are independent in a linear way.
The piecewise linear method, each basic function is substituted by a linear polynomial
defined by intervals.
In the cubic spline method, each basic function is substituted by a cubic polynomial or B
Software para la resolución de EDO
VII
tracer (cubic polynomial with a bell shape). This method gives rise to a linear system of
equations with a symmetric band matrix with a maximum width of seven which is solved
through Cholesky's decomposition method.
When studied in detail, the methods mentioned above are designed and programmed in a
language with numerical, symbolic calculation capacities and with graphic functions with
the aim of analysing the numerical approximations with their error figure, and also
representing the exact graphics solution of the differential equation together with the
approximate function obtained.
Finally, all the algorithms of this project under a graphical user interface (GUI) facilitates
and allows checking each of the methods for any second-order differential equation with
boundary-value of two points. The numerical and graphic results are presented in the
designed user interface itself, and the detail of all the intermediate steps with the linear and
nonlinear equation system together with the rest of the formula are shown in a file of the
development environment used: the Mathematica programme.
Proyecto Fin de Carrera
VIII
Índice
Agradecimientos y dedicatoria ......................................................................................
I
Resumen.........................................................................................................................
II
Abstract...........................................................................................................................
V
Índice..............................................................................................................................VIII
1. Introducción y motivación.......................................................................................... 1
2. Objetivos del proyecto................................................................................................ 5
3. Análisis de requisitos.................................................................................................. 7
3.1. Requisitos funcionales...................................................................................... 7
4. Metodología................................................................................................................ 13
5. El método del disparo lineal....................................................................................... 20
5.1. Método de Runge-Kutta................................................................................... 20
5.2. Método del disparo lineal................................................................................. 24
6. El método del disparo no lineal.................................................................................. 30
7. El método lineal de diferencias finitas....................................................................... 38
8. El método lineal de diferencias finitas para problemas no lineales............................ 45
9. El método de Rayleigh-Ritz....................................................................................... 54
9.1. Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz................................................... 54
9.2. Método de trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz.............................................. 72
9.2.1. Método de Cholesky............................................................................... 93
10. Estudio de la arquitectura......................................................................................... 95
11. Diseño externo.......................................................................................................... 96
11.1. Métodos lineales............................................................................................. 97
Software para la resolución de EDO
IX
11.2. Métodos no lineales........................................................................................103
11.3. Métodos de Rayleigh-Ritz..............................................................................110
11.4. Menú Ayuda...................................................................................................131
12. Valoración económica y planificación....................................................................133
12.1. Valoración económica del proyecto...............................................................133
12.2. Planificación temporal del proyecto...............................................................138
13. Conclusiones.............................................................................................................139
Anexo I. Manual de Instalación y de Usuario.................................................................143
Bibliografía.....................................................................................................................146
CD-ROM. Software de Resolución de Problemas con valor en frontera para la Resolución
de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. (en Mathematica” ).
† Código de los algoritmos numéricos.
Código (Problemas de Contorno con Ecuaciones Diferenciales Ordinarias).nb
† Interfaz de usuario.
Interfaz.nb
†
Conjunto de problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias resueltos con los
diferentes métodos numéricos de aproximación.
Problemas (Problemas de Contorno con Ecuaciones Diferenciales Ordinarias).nb
Software para la resolución de EDO
1
1. Introducción y motivación
La construcción de infraestructuras de gran tamaño y para uso público,
principalmente edificios, obras hidráulicas y de transporte, es hoy en día de gran
importancia. Por ello, existe una rama de la ingeniería llamada Ingeniería Civil que aplica
los conocimientos de Física, Química y Geología a la elaboración de dichas infraestructuras.
Puente Valdebebas HMadridL.
Figura 1
Croquis del puente Valdebebas HMadridL.
Figura 2
Proyecto Fin de Carrera
2
Un problema común en las obras de ingeniería civil, como la que se puede observar
en las imágenes anteriores, es el que se relaciona con la deflexión de una viga de sección
transversal rectangular sujeta a una carga uniforme, mientras sus extremos están soportados
de modo que no experimentan deflexión alguna.
Deflexión de una viga.
Figura 3
La ecuación diferencial que aproxima esta situación física es una ecuación
diferencial de segundo orden de la forma
„2 w
„x2
=
S
EI
w+
qx
2EI
Hx - 1L
donde w = w HxL es la deflexión a una distancia x desde el extremo izquierdo de la viga, l es
la longitud, q representa la intensidad de la carga uniforme, E es el módulo de elasticidad, S
el esfuerzo en los extremos y finalmente I es el momento central de inercia.
Esta ecuación diferencial tiene asociadas dos condiciones de frontera dadas por la
suposición de que no ocurre deflexión alguna en los extremos de la viga
w H0L = w HlL = 0.
Software para la resolución de EDO
3
Cuando la viga tiene un espesor uniforme, el producto E I es constante y la solución
exacta se obtiene fácilmente. No obstante, en muchas aplicaciones el espesor no es
uniforme y, por lo tanto, el momento de inercia I es una función de x, y se requieren
métodos de aproximación para hallar la solución del cálculo de la deflexión, y es esto a lo
que el presente proyecto está dedicado.
El presente proyecto tratará de calcular las aproximaciones de las ecuaciones
diferenciales dadas mediante la aplicacion de diferentes métodos numéricos que se van a
desarrollar:
è
Método del disparo lineal; para ecuaciones lineales, se basa en la sustitución del
problema lineal con valor de frontera por dos problemas con valor inicial.
è
Método del disparo para problemas no lineales; la solución a este problema no
puede expresarse como una combinación lineal de las soluciones de los problemas de dos
valores iniciales. Se necesitan utilizar las soluciones de una sucesión de problemas con un
valor inicial.
è
Método de diferencias finitas para problemas lineales; se basa en reemplazar las
derivadas en la ecuación diferencial mediante una aproximación de cociente de diferencias
adecuada.
è
Método de diferencias finitas para problemas no lineales; se parece al método
lineal, pero en este caso el sistema de ecuaciones no será lineal y, por lo mismo se requiere
un proceso iterativo para resolverlo.
Proyecto Fin de Carrera
è
4
Método de Rayleigh-Ritz; en este método el problema se aborda de una forma
distinta, ya que se reformula el problema de valor de frontera como un problema que
consiste en seleccionar, del conjunto de todas las funciones suficientemente derivables que
satisfacen las condiciones de frontera, aquélla que reduzca al mínimo una determinada
integral.
La motivación del presente proyecto es realizar un software sencillo e intuitivo
capaz de calcular, una vez introducida la ecuación, la aproximación a dichas funciones
utilizando los métodos citados anteriormente. Y así permitir el cálculo de las deflexiones de
las vigas en los problemas de Ingeniería Civil, entre otras áreas técnicas.
Conocer diversos algoritmos para la aproximación de ecuaciones diferenciales no
estudiados durante toda la carrera es otra motivación, ya que amplían los conocimientos de
matemáticas adquiridos hasta el momento y proporcionan una aplicación práctica a estas
aproximaciones como puede ser en el ámbito de la Ingeniería Civil.
Otra motivación es aprender la utilización de la herramienta y el lenguaje
Mathematica que es un programa orientado a áreas científicas, de ingeniería, matemáticas y
áreas computacionales.
Software para la resolución de EDO
5
2. Objetivos del proyecto
Los objetivos que se proponen para este proyecto han sido los de conocer e
implementar cinco métodos diferentes para aproximar con un grado de similitud aceptable
ecuaciones diferenciales procedentes, en este caso, del cálculo de las deflexiones de vigas
de longitud l al aplicarle una fuerza, entre otras aplicaciones prácticas. Además, se intenta
mostrar a través de una aplicación software estas aproximaciones calculadas con unas
gráficas para poder observar la solución obtenida por el programa.
Por lo tanto, otro objetivo que se propone es el de diseñar dicha aplicación con una
interfaz de usuario que permita insertar las fórmulas y mostrar los resultados obtenidos y la
función gráfica de la aproximación y de la solución exacta.
Además se considera la finalidad educativa y formativa la intencionalidad principal
del proyecto.
A continuación, se citan los objetivos propuestos para el desarrollo correcto de la
aplicación:
1.- Estudio del método del disparo lineal para su comprensión, y así diseñar un
algoritmo para su posterior programación. Realización de diferentes ejercicios para
comprobar el correcto funcionamiento del programa. Este método implementa para su
funcionamiento el método de Runge-Kutta, con lo cual también es necesario su estudio.
2.- Estudio del método del disparo no lineal para su comprensión y el posterior
Proyecto Fin de Carrera
6
diseño del algoritmo y programación del mismo. De igual manera, se requiere la
programación de diferentes ejercicios para comprobar el correcto funcionamiento del
programa. Aquí hay que enfrentarse a un método que trata problemas que no son lineales
como en el método anterior.
3.- Estudio del método de las diferencias finitas para su comprensión, y diseñar el
algoritmo y posteriormente su programación. Se realizarán diferentes ejercicios para
comprobarlo. Este método trata problemas diferentes a los anteriores, ya que presentan la
dificultad de que son algo inestables.
4.- Estudio del método de las diferencias finitas no lineal, diseño del algoritmo y
programación. Se realizará una tanda de ejercicios para comprobar su funcionamiento. Este
método trata problemas que son también algo inestables pero que además son no lineales.
5.- Estudio del método de Rayleigh-Ritz, que se compone de dos métodos: el
método lineal segmentario y el método de los trazadores cúbicos. Diseño de ambos
algoritmos y su programación. De igual manera hay que realizar ejercicios para su
comprobación. Este es sin duda el método más complejo por su forma de tratar los
problemas.
6.- Diseño y programación de una interfaz de usuario para la aplicación que permita
al usuario realizar de manera cómoda el cálculo de las aproximaciones de las ecuaciones
introducidas y que muestre los resultados de forma gráfica. Se realizará gracias a un paquete
que se añade a Mathematica y que permite la creación de estos interfaces.
Software para la resolución de EDO
7
3. Análisis de requisitos
3.1. Requisitos funcionales
RF001. Métodos de la aplicación.
La aplicación debe implementar sies métodos de aproximación de ecuaciones
diferenciales para generar dicha aproximación y gráficos que muestren el resultado. Los
métodos que se implementen serán los siguientes:
Método del disparo lineal.
Método del disparo no lineal.
Método lineal de las diferencias finitas.
Método lineal de las diferencias finitas para problemas no lineales.
Método de Rayleigh-Ritz lineal segmentario.
Método de Rayleigh-Ritz trazadores cúbicos.
RF002. Método del disparo lineal.
Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas
condiciones de frontera y un valor inicial. Se requieren unas condiciones que garanticen la
existencia de una solución para dicha función.
- y≥ + pHxL y£ + qHxL y + rHxL = 0,
a§x§b
yHaL = a yHbL = b.
(1)
Proyecto Fin de Carrera
8
RF003. Método del disparo no lineal.
Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas
condiciones de frontera y un valor inicial. Se necesitan unas condiciones que garanticen la
existencia de una solución para la función.
y≥ = f Hx, y, y£ L,
a§x§b
f HaL = yHaL = a
f HbL = yHbL = b.
(2)
RF004. Método lineal de las diferencias finitas.
Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas
condiciones de frontera y un valor inicial. Se requieren unas condiciones que garanticen la
existencia de una solución para dicha función.
y≥ = pHxL y£ + qHxL y + rHxL,
a§x§b
yHaL = a
yHbL = b.
(3)
RF005. Método lineal de las diferencias finitas para problemas no lineales.
Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas
condiciones de frontera y un valor inicial. Se requieren unas condiciones que garanticen la
existencia de una solución para dicha función.
y≥ = f Hx, y, y£ L,
a§x§b
yHaL = a
yHbL = b.
(4)
Software para la resolución de EDO
9
RF006. Método de Rayleigh-Ritz lineal segmentario.
Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas
condiciones de frontera y un valor inicial. Se requieren unas condiciones que garanticen la
existencia de una solución para dicha función.
-
„
„x
„y
+ qHxL y = f HxL,
„x
0§ x § 1
y H0L = y H1L = 0.
pHxL
(5)
RF007. Método de Rayleigh-Ritz trazadores cúbicos.
Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas
condiciones de frontera y un valor inicial. Se requieren unas condiciones que garanticen la
existencia de una solución para dicha función.
-
„
„x
„y
+ qHxL y = f HxL,
„x
0 § x § 1,
y H0L = yH1L = 0.
pHxL
(6)
Proyecto Fin de Carrera
10
RF008. Interfaz de Usuario.
El interfaz de usuario debe permitir la ejecución de todos los métodos de una forma
sencilla para el usuario y que a su vez muestre los resultados de forma clara.
Este interfaz debe contener las siguientes ventanas:
Ventana menú. Al iniciar la aplicación aparecerá una ventana donde se podrá
elegir el método que se desea ejecutar. Además debe incluir un acceso a una ayuda para el
usuario.
Ventana para el método del disparo lineal. Debe incluir tres casillas de texto para
introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los valores del intervalo, dos
casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra última casilla para
introducir el tamaño del paso del intervalo. También debe mostrar la solución obtenida
mostrando los puntos de la aproximación obtenida y un gráfico comparativo.
Ventana para el método del disparo no lineal. Debe incluir una casilla de texto
para introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los valores del
intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra última
casilla para introducir el tamaño del paso del intervalo. Así mismo debe mostrar la solución
calculada mostrando los puntos de la aproximación obtenida y un gráfico comparativo.
Software para la resolución de EDO
11
Ventana para el método lineal de diferencias finitas. Debe incluir tres casillas de
texto para introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los valores del
intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra última
casilla para introducir el tamaño del paso del intervalo. Debe mostrar la solución obtenida
mostrando los puntos de la aproximación obtenida y un gráfico comparativo.
Ventana para el método lineal de diferencias finitas para problemas no
lineales. Debe incluir una casilla de texto para introducir la ecuación a aproximar, dos
casillas para introducir los valores del intervalo, dos casillas para introducir los valores de
frontera del intervalo y otra última casilla para introducir el tamaño del paso del intervalo.
Así mismo debe mostrar la solución obtenida mostrando los puntos de la aproximación
obtenida y un gráfico comparativo.
Ventana para el método de Rayleigh-Ritz lineal segmentario. Debe incluir tres
casillas de texto para introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los
valores del intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra
última casilla para introducir el número de subintervalos que se realizarán del intervalo. Así
mismo debe mostrar la solución obtenida mostrando los puntos de la aproximación
obtenida y un gráfico comparativo.
Ventana para el método de Rayleigh-Ritz trazadores cúbicos. Debe incluir tres
casillas de texto para introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los
valores del intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra
última casilla para introducir el número de subintervalos que se realizarán del intervalo. Así
Proyecto Fin de Carrera
12
mismo debe mostrar la solución obtenida mostrando los puntos de la aproximación
obtenida y un gráfico comparativo.
Ventana ayuda al usuario. Debe contener una ayuda para que el usuario sepa
cómo debe ejecutar cada método, qué parámetros usa y su pseudocódigo.
Ventana acerca de la aplicación. Debe contener los datos relevantes de la
aplicación, nombre, autor, director y otros datos que se consideren.
Software para la resolución de EDO
13
4. Metodología
A continuación, se describe la metodología utilizada para el desarrollo de la
aplicación del proyecto, la cual, al tratarse de un desarrollo de un software que implementa
funciones matemáticas, no utiliza una metodología estándar.
La metodología de desarrollo empleada está basada en el modelo estructurado de
Yourdon y se siguen unos determinados pasos formales necesarios en este desarrollo, pero
adaptándola a las necesidades de implementación del proyecto. Seguidamente se muestra de
manera gráfica las diferentes fases en la que se observa que se han propuesto diferentes
paquetes de trabajo (WP).
Fases del desarrollo de la aplicación.
Figura 4
Proyecto Fin de Carrera
14
WP.01.- Definición del problema.
Es el paquete de trabajo fundamental para el desarrollo del proyecto, ya que se
estudiarán todas las propuestas e ideas que se tienen para el desarrollo del mismo. Se
marcan los límites y alcance del proyecto y de qué manera serán abordados. De esta manera
se obtendrán los objetivos generales a conseguir.
Es necesario obtener y estudiar información relacionada con los métodos de
aproximación que se van a programar en el proyecto para tener todo el conocimiento
necesario para el correcto desarrollo. Así como las herramientas que se van a emplear para
el mismo.
WP.02.- Análisis de requisitos.
En este paquete de trabajo se procederá a describir y a analizar todo lo que la
aplicación tiene que poder hacer una vez que el proyecto esté terminado. Se clasifican
requisitos como funcionales y no funcionales, divididos a su vez en requisitos para cada
uno de los métodos que se implementan.
Estos requisitos han de ser tenidos en cuenta durante todo el desarrollo del proyecto
y tienen que ser verificados en la fase de pruebas.
Software para la resolución de EDO
15
WP.03.- Desarrollo de los métodos.
Este módulo de trabajo a su vez se ha dividido en otro ciclo iterativo que se repite
para cada método, de manera que cada método se termina totalmente antes de pasar al
siguiente, con un mayor grado de complejidad. A continuación se puede ver de manera
gráfica lo explicado anteriormente.
Desarrollo de los métodos numéricos.
Figura 5
WP.03.1.- Análisis de conceptos.
Se estudia en profundidad el método a implementar. Es necesario buscar toda la
información posible para conseguir una correcta relación de conceptos así como de todas
las funciones que a su vez utiliza el método.
Proyecto Fin de Carrera
16
WP.03.2.- Análisis de requisitos.
Es necesario aplicar todos los requisitos específicos que se propusieron para cada
uno de los métodos, como la manera de introducir las ecuaciones, cómo deben tratarse y
cómo tienen que ser las salidas.
WP.03.3.- Diseño del algoritmo.
Es necesario escribir un pseudocódigo con toda la información recabada hasta este
punto, que cumpla con los requisitos y funcionalidades necesarios.
WP.03.4.- Codificación del método.
Se codifica en el lenguaje especificado el pseudocódigo del paquete de trabajo
anterior, de manera que pueda implementar ya la funcionalidad requerida correctamente.
WP.03.5.- Realización de ejercicios de prueba.
En este paquete de trabajo se tiene que probar rigurosamente el correcto
funcionamiento del método implementado, de no ser así, se debe volver a la codificación
del método (WP.03.5) si el fallo es de programación, o al diseño del algoritmo (WP.03.4) si
el fallo es conceptual.
WP.03.6.- Documentación del método.
Se realiza una explicación detallada de la funcionalidad del método.
Software para la resolución de EDO
17
WP.04.- Desarrollo del interfaz de usuario.
Este módulo de trabajo a su vez se ha dividido en otro ciclo iterativo que se repite
para cada método, de manera que cada método tiene su interfaz totalmente terminada antes
de pasar al siguiente. De igual manera, como se especifica en los requisitos, se desarrolla un
interfaz menú desde el que se acceden a los demás. A continuación se puede ver de manera
gráfica.
Desarrollo del interfaz de usuario HGUIL.
Figura 6
WP.04.1.- Análisis de requisitos del interfaz.
Es necesario aplicar todos los requisitos específicos que se propusieron para cada
uno de los interfaces de cada método, como la manera de introducir las ecuaciones y cómo
tienen que mostrarse las salidas.
Proyecto Fin de Carrera
18
WP.04.2.- Diseño del interfaz.
Es necesario realizar un diseño previo de cuáles serán y de cómo aparecerán los
componentes del interfaz para que se adapte a los requisitos expuestos.
WP.04.3.- Programación del interfaz.
Se programa en el lenguaje y con la herramienta especificada de manera que se
pueda ejecutar la funcionalidad completa requerida.
WP.04.4.- Realización de pruebas del interfaz.
Se realizan pruebas de entrada y salida. De manera que si ocurriera algún error se
tendría que volver al paquete de programación del interfaz (WP.04.3) para subsanarlo si el
error fuera de programación o al paquete de diseño del interfaz (WP.04.2) si el error fuera
de diseño o si no se ajustase a los requisitos.
WP.05.- Realización de pruebas globales.
En este paquete de trabajo se comprueba la funcionalidad completa de la aplicación.
Hay que validar que el programa hace lo que tiene que hacer, navegar correctamente por la
aplicación, y comprobar que la ejecución es correcta y que muestra los resultados correctos
en función del método elegido. Si se produce algún error se tiene que volver al método
donde ha ocurrido y verificarlo de nuevo.
Software para la resolución de EDO
19
También se tiene que validar el cumplimiento de todos los requisitos enunciados al
comienzo del desarrollo.
WP.06.- Documentacion final.
En este paquete de trabajo se ha considerado que se deben desarrollar dos tareas
fundamentalmente. Se puede observar gráficamente a continuación.
Documentación final.
Figura 7
WP.06.1.- Documentación del proyecto.
Se describe con detalle todos los métodos implementados, así como todos los
componentes del ciclo de desarrollo utilizados, valoración económica, planificación,
además de todos los documentos que se consideren oportunos.
WP.06.2.- Realización de manual de usuario.
En este paquete de trabajo se realiza un documento para la ayuda al usuario al
manejo de la aplicación, navegación por la misma, explicación de funcionalidad y temas
que puedan resultarle de interés para una correcta utilización del software.
Proyecto Fin de Carrera
20
5. El método del disparo lineal
En los métodos de la serie de Taylor para resolver problemas de valor inicial el
error global final es del orden de O IhN M, donde N se puede elegir suficientemente grande
para que el error sea pequeño. El inconveniente de este método es la elección del valor de N
y el cálculo de las derivadas, que puede ser muy complicado.
Cada método de Runge-Kutta se deriva del correspondiente de Taylor de orden N
en el que el error global final es del orden de O IhN M. Se realiza una simplificación para
realizar varias evaluaciones de funciones en cada paso para eliminar el cálculo de las
derivadas de orden superior. Estos métodos se pueden construir para cualquier orden N .
5.1. Método de Runge-Kutta
El método más empleado es el de orden N = 4 ya que es muy preciso, estable y fácil
de programar. El método de Runge-Kutta de orden cuarto, también llamado RK4 simula la
precisión del de la serie de Taylor de orden N = 4. Se basa en el cálculo de la aproximación
yi+1 del modo siguiente:
yi+1 = yi + w1 F1 + w2 F2 + w3 F3 + w4 F4 ,
(7)
siendo
F1 = h
F2 = h
F3 = h
F4 = h
f Hxi , yi L,
f Hxi + a1 h, yi + b1 F1 L,
f Hxi + a2 h, yi + b2 F1 + b3 F2 L,
f Hxi + a3 h, yi + b4 F1 + b5 F2 + b6 F3 L.
(8)
Software para la resolución de EDO
21
Si se igualan los coeficientes con los del método de la serie de Taylor de orden
N = 4, de modo que el error local sea del orden O Ih5 M, en el método de Runge-Kutta se
obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
b1 = a1 ,
b2 + b3 = a2 ,
b4 + b5 + b6 = a3 ,
w1 + w2 + w3 + w4 = 1,
w2 a 1 + w 3 a 2 + w 4 a 3 =
1
2
,
w2 a 1 2 + w 3 a 2 2 + w 4 a 3 2 =
w2 a 1 3 + w 3 a 2 3 + w 4 a 3 3 =
1
3
1
4
,
,
w3 a1 b3 + w4 Ha1 b5 + a2 b6 L =
(9)
1
6
,
w3 a1 a2 b3 + w4 a3 Ha1 b5 + a2 b6 L =
w3 a1 2 b3 + w4 Ia1 2 b5 + a2 2 b6 M =
w4 a 1 b 3 b 6 =
1
24
1
8
1
12
,
,
.
El sistema tiene 11 ecuaciones y 13 incógnitas. Las dos condiciones adicionales más
empleadas son
a1 =
1
2
, b2 = 0.
(10)
Con estas restricciones la solución al sistema de ecuaciones viene dado por los
valores
Proyecto Fin de Carrera
a1 =
b1 =
w1 =
1
2
1
, a2 =
22
1
2
, a3 = 1,
, b2 = 0, b3 =
2
1
6
1
, w2 =
3
1
2
, w3 =
, b4 = 0, b5 = 0, b6 = 1,
1
3
, w4 =
1
6
(11)
.
Sustituyendo estas variables en la fórmula general del método de Runge-Kutta de
orden N = 4, se obtiene la siguiente regla para generar los las aproximaciones yi+1 :
yi+1 = yi +
HF1 + 2 F2 + 2 F3 + F4 L
6
,
F1 = h f Hxi , yi L,
h
1
F2 = h f xi + , yi + F1 ,
2
2
h
1
F3 = h f xi + , yi + F2 ,
2
2
F4 = h f Hxi + h, yi + F3 L.
(12)
Se llama método de cuarto orden debido a que reproduce los términos de la serie de
Taylor incluyendo el término h4 , por lo que el error es O Ih5 M.
Error del método frente al tamaño del paso
El término de error de la regla de Simpson usada para aproximar la integral de la
expresión yHx1 L - yHx0 L = Ÿ x 1 f Hx, yHxLL „ x con un tamaño de paso de h ê 2 viene dado por
x
0
- y HxL
H4L
h5
2880
.
(13)
Si este fuera el único error cometido en cada paso, entonces después de los M pasos
el error acumulado por el método de Runge-Kutta de orden N = 4 HRK4L sería:
Software para la resolución de EDO
-‚
M
i=1
y Hxi L
H4L
h5
2880
º
23
Hb - aL
5760
yH4L HxL h4 º O Ih4 M.
(14)
El método de RK4 tiene un error global final de orden O Ih4 M.
Precisión del método de Runge-Kutta
Se supone que yHxL es la solución del problema de valor inicial e yHxL œ C 4+1 @x0 , bD,
M
y 8Hxi , yi L<i=0
es la sucesión de aproximaciones generadas por el método de Runge-Kutta de
orden 4. Entonces:
ei = †yHxi L - yi § = O Ih4 M ,
ei+1 = †yHxi+1 L - Hyi + h Tn Hxi , yi LL§ = O Ih4+1 M = OIh5 M,
Tn Hxi , yi L = ‚
yH jL Hxi L
n
j!
j=1
(15)
h j-1 .
El error global final del intervalo en el extremo derecho viene dado por
EHyHbL, hL = †yHbL - yM § = O Ih4 M.
(16)
Si se emplea el método de Runge-Kutta de orden N = 4 con tamaños de paso h y
h ê 2, se obtiene un error global final que viene dado por:
EHyHbL, hL º C h4 ,
E yHbL,
h
2
ºC
h
2
4
=
1
16
C h4 º
1
16
EHyHbL, hL.
(17)
Si el tamaño de paso se reduce a la mitad en el método RK4 el error global final se
reducirá en un factor de
1
.
16
A continuación se presenta el algoritmo que calcula los valores del problema de
valor inicial empleando el método de Runge-Kutta de orden N = 4.
Proyecto Fin de Carrera
24
è Algoritmo 1. Método de Runge-Kutta de orden N = 4 HRK4L
Input Hy£ = f Hx, yL , yHaL = y0 , a, b, hL
n ≠ Hb - aL ê h
x0 ≠ a
For i = 0, 1, 2, 3, ..., n - 1 do
F1 ≠ h f Hxi , yi L
F2 ≠ h f Jxi + 2 , yi +
h
F3 ≠ h f Jxi + 2 , yi +
h
1
2
1
2
F1 N
F2 N
F4 ≠ h f Hxi + h, yi + F3 L
yi+1 ≠ yi + 1 ê 6 HF1 + 2 F2 + 2 F3 + F4 L
xi+1 ≠ xi + h
End
Return H8y0 , y1 , ..., yn <L
Output
5.2. Método del disparo lineal
Es el método utilizado para resolver de manera aproximada ecuaciones diferenciales
de segundo orden, con unas condiciones de frontera y un valor inicial. Se proponen una
serie de condiciones que garantizan la existencia de una solución para dicha función.
ô Teorema 1. Se supone:
y≥ = f Hx, y, y£ L, a b x b b, f HaL = a, f HbL = b
continua en el conjunto
D = 8Hx, y, y£ L » a § x § b, -¶ < y < ¶, -¶ < y£ < ¶<
y ∑ f ê ∑ y y ∑ f ê ∑ y£ son también continuas en D.
Si
∑f
∑y
Hx, y, y£ L > 0 para toda Hx, y, y£ L œ D y existe una constante M , con
Software para la resolución de EDO
…
∑f
∑y
25
Hx, y, y£ L … § M , para toda Hx, y, y£ L œ D,entonces el problema tiene una solución
única.
El método del disparo se basa en dividir la función en dos funciones y1 HxL y
y2 HxL que se obtienen de manera aproximada, después se aproxima la solución mediante la
siguiente ecuación:
yHxL = y1 HxL +
b - y1 HbL
y2 HbL
y2 HxL.
(18)
Esta ecuación representa la solución única al problema con valor de frontera
siempre y cuando y2 HbL ∫ 0.
El algoritmo que se utiliza para obtener una aproximación a la función es el
siguiente.
Con la función:
y≥ = pHxL y£ + qHxL y + rHxL
(19)
se toman como datos de entrada los extremos a y b, las condiciones de frontera a y b,
yHaL = a e yHbL = b, y el número de subintervalos N .
Proyecto Fin de Carrera
26
è Algoritmo 2. Método del disparo lineal
Input HpHxL, qHxL, r HxL, a, b, a, b, hL
matriz u, v, k, kp, w
vector xi , yi
(* Se inicializan los vectores y matrices *)
For i = 1, ..., 4 do
For j = 1, 2 do
ki, j ≠ 0
kpi, j ≠ 0
End
End
For i = 0, ...., 60 - 1 do
xi ≠ 0
End
For i = 0, ..., 3 - 1 do
For j = 0, ..., 60 - 1 do
ui, j ≠ 0
vi, j ≠ 0
wi, j ≠ 0
End
End
n ≠ Round B
b-a
F;
h
u1,0 ≠ a
u2,0 ≠ 0
v1,0 ≠ 0
v2,0 ≠ 1
For i = 0, 1, ..., n - 1 do
xi ≠ a + i µ h
k1,1 ≠ h µ u2,i
k1,2 ≠ h µ IpHxi L µ u2,i + q Hxi L µ u1,i + rHxi LM
k2,1 ≠ h µ Iu2,i +
1
2
k2,2 ≠ h µ Jp Jxi +
µ Iu1,i +
k3,1 ≠ h µ Iu2,i +
1
2
k3,2 ≠ h µ Jp Jxi +
µ Iu1,i +
k1,2 M
h
N µ Iu2,i
2
1
2
+
1
2
h
k1,1 M + rJxi + 2 NN
h
k2,2 M
h
N µ Iu2,i
2
1
2
k1,2 M + q Jxi + 2 N µ
+
1
2
k2,2 M + q Jxi + 2 N µ
h
k2,1 M + rJxi + 2 NN
k4,1 ≠ h µ Iu2,i + k4,2 M
h
Software para la resolución de EDO
27
k4,2 ≠ h µ IpHxi + hL µ Iu2,i + k3,2 M + qHxi + hL µ Iu1,i + k3,1 M
+ rHxi + hLM
1
6
1
6
u1,i+1 ≠ u1,i +
u2,i+1 ≠ u2,i +
Ik1,1 + 2 k2,1 + 2 k3,1 + k4,1 M
Ik1,2 + 2 k2,2 + 2 k3,2 + k4,2 M
k £ 1,1 ≠ h µ v2,i
k £ 1,2 ≠ h µ IpHxi L µ v2,i + qHxi L µ v1,i M
k £ 2,1 ≠ h µ Iv2,i +
k £ 2,2 ≠ h
1 £
k 1,2 M
2
h
µ JpJxi + 2 N µ Iv2,i
qJxi + 2 N µ Iv1,i +
h
k £ 3,1 ≠ h µ Iv2,i +
k £ 3,2 ≠
1
2
1 £
k 2,2 M
2
h
h µ JpJxi + 2 N µ Iv2,i
qJxi + 2 N µ Iv1,i +
h
k £ 4,1 ≠ h µ Iv2,i + k £ 3,2 M
1
2
+
1
2
k £ 1,2 M +
1
2
k £ 2,2 M +
k £ 1,1 MN
+
k £ 2,1 MN
k £ 4,2 ≠ h µ IpHxi + hL µ Iv2,i + k £ 3,2 M +
qHxi + hL µ Iv1,i + k £ 3,1 MM
v1,i+1 ≠ v1,i +
1
6
Ik £ 1,1 + 2 k £ 2,1 + 2 k £ 3,1 + k £ 4,1 M
v2,i+1 ≠ v2,i +
1
6
Ik £ 1,2 + 2 k £ 2,2 + 2 k £ 3,2 + k £ 4,2 M
End
w1,0 ≠ a
w2,0 ≠
b-u1,n
v1,n
For i = 0, 1, ..., n do
w1,i = u1,i + w2,0 µ v1,i
w2,i = u2,i + w2,0 µ v2,i
End
Return J8xi <ni=0 , 9w1,i =i=0 N
n
Output
Proyecto Fin de Carrera
28
Ejemplo.
à Problema 1. Represéntese con u el potencial electrostático entre dos esferas metálicas
concéntricas de radio R1 y R2 con R1 < R2 , tales que el potencial de la esfera interior se
mantenga constante en V1 voltios y el potencial de la esfera exterior sea 0 volts. El
potencial de la región situada entre ambas esferas está regido por la ecuación de Laplace,
que en esta aplicación particular se reduce a:
„2 u
„r2
+
2 „u
r „r
= 0 R1 b r b R2
uHR1 L = V1 ,
uHR2 L = 0
Supóngase que R1 = 2 plg, R2 = 4plg y que V1 = 110volts.
Aproximar uH3L por medio del algoritmo del disparo lineal.
Comparar los resultados de la parte (a) con el potencial real uH3L, donde
a)
b)
uHrL =
V1 R1
r
I R 2-R M.
R -r
2
1
Método del disparo lineal para el problema con valor de frontera:
2
y≥ = - y£ + 0y + 0
x
h = 0.2
x œ @2., 4.D, yH2.L = 110., yH4.L = 0.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
2.0000000000
2.2000000000
2.4000000000
2.6000000000
2.8000000000
3.0000000000
3.2000000000
3.4000000000
3.6000000000
3.8000000000
4.0000000000
Tabla de errores
u1,i
110.0000000000
110.0000000000
110.0000000000
110.0000000000
110.0000000000
110.0000000000
110.0000000000
110.0000000000
110.0000000000
110.0000000000
110.0000000000
v1,i
0.0000000000
0.1818140590
0.3333271869
0.4615313634
0.5714210884
0.6666591047
0.7499925253
0.8235221130
0.8888818110
0.9473615838
0.9999934088
w1,i
110.0000000000
90.0003216920
73.3337677598
59.2312153917
47.1432659743
36.6670151264
27.5002784455
19.4119704861
12.2223563183
5.7895389053
0.0000000000
w2,i
-110.0007250420
-90.9098962614
-76.3896741012
-65.0894867210
-56.1231128776
-48.8894884031
-42.9692901652
-38.0627707556
-33.9510573337
-30.4713128917
-27.5003625208
Software para la resolución de EDO
xi
w1,i
29
yHxi L
»w1,i - yHxi L»
2.0000000000 110.0000000000 110.0000000000
2.2000000000 90.0003216920
90.0000000000
2.4000000000 73.3337677598
73.3333333333
0.0000000000
0.0003216920
0.0004344264
2.6000000000 59.2312153917
59.2307692308
0.0004461609
2.8000000000 47.1432659743
47.1428571429
0.0004088314
3.0000000000 36.6670151264
36.6666666667
0.0003484598
3.2000000000 27.5002784455
27.5000000000
0.0002784455
3.4000000000 19.4119704861
19.4117647059
0.0002057803
3.6000000000 12.2223563183
12.2222222222
0.0001340961
5.7894736842
0.0000000000
0.0000652211
0.0000000000
3.8000000000
4.0000000000
5.7895389053
0.0000000000
Gráficas de la solución de la ecuación diferencial
110 H4 - xL
yHxL =
x
y la aproximación obtenida con el método del disparo lineal con
un tamaño de paso h = 0.2
Y
100
80
60
40
20
2.5
3.0
3.5
4.0
X
Proyecto Fin de Carrera
30
6. El método del disparo no lineal
Este método se utiliza para resolver problemas no lineales con valor de frontera de
segundo orden:
y≥ = f Hx, y, y£ L,
a § x § b, f HaL = yHaL = a, f HbL = yHbL = b.
(20)
Tiene parecido con el método anterior sin embargo la solución de un problema no
lineal no puede expresarse como una combinación de dos problemas iniciales, así que para
este método se utiliza en lugar de dos problemas una sucesión de ellos, donde t es un
parámetro para la aproximación de la solución, de la siguiente forma:
y≥ = f Hx, y, y£ L, a § x § b, yHaL = a, y£ HaL = t.
(21)
Se escoge el parámetro t = tk de tal forma que
lím yHb, tk L = yHbL = b,
kz¶
donde yHb, tk L es la solucion del problema de valor inicial con t = tk e yHxL es la solución al
problema con valor de frontera.
La ténica que se sigue es empezar con un parámetro t0 , que determinará la posición
inicial a partir de la cual se traza una recta que tratará de aproximar la solución, como si de
un disparo se tratase, buscando el objetivo desde el punto Ha, aL a lo largo de la curva que
describe la solución al problema de valor inicial dado por
y≥ = f Hx, y, y£ L, a § x § b, yHaL = a, y£ HaL = t0 .
Software para la resolución de EDO
31
y
β
•
y (b, t 0)
(b, y (b, t0))
y (x, t0)
pendiente t 0
•
α
(a, α )
x
b
a
Problema del valor inicial con la elevación inicial t0 desde el punto Ha, aL.
Figura 8
Si yHb, t0 L no está lo suficientemente cerca de b se utilizarán las elevaciones
t1 , t2 , ... y así sucesivamenete hasta que se considere que el valor yHb, tk L se aproxima lo
suficiente al valor b, es decir, se acierte en el blanco. Véase la siguiente figura.
y
y (b, t 2)
• y (x, t2)
β
y (b, t 3)
• y (x, t3)
y (b, t1)
• y (x, t1)
y (b, t 0)
• y (x, t0)
α
(a, α ) •
a
Problema del valor inicial con diferentes elevaciones.
Figura 9
b
x
Proyecto Fin de Carrera
32
Los parámetros tk se calculan de tal forma que:
yHb, tL - b = 0.
Ecuación no lineal en cuya resolución se puede aplicar el método de Newton o del
de la Secante.
Para utilizar el método de la Secante se necesitan unas aproximaciones iniciales
t0 y t1 y luego generar las t restantes mediante la siguiente ecuación:
tk = tk-1 -
HyHb, tk-1 L - bL Htk-1 - tk-2 L
yHb, tk-1 L - yHb, tk-2 L
, k = 2, 3, ...
(22)
Para generar la misma sucesión 8tk < con el método de Newton sólo se necesita la
primera aproximación de la sucesion t0 . Se aplica la siguiente ecuación:
tk = tk-1 -
yHb, tk-1 L - b
„y
„t
Hb, tk-1 L
.
Este método requiere que se conozca
(23)
„y
„t
Hb, tk-1 L, que es un problema porque no se
dispone de la función yHb, tL, sólo de unos valores yHb, t0 L, yHb, t1 L, ... , yHb, tk-1 L.
Si se modifica el problema de valor inicial (20), teniendo en cuenta que la solución
se basa en y y en t se tiene:
y≥ Hx, yL = f Hx, yHx, tL, y£ Hx, tLL,
a § x § b, yHa, tL = a, y Ha, tL = t.
£
(24)
Software para la resolución de EDO
Para calcular
„y
„t
33
Hb, tL cuando t = tk-1 , se calcula la derivada parcial de la ecuación
anterior respecto de t:
∑ y≥
∑t
∑ y≥
∑t
Hx, tL =
Hx, tL =
∑ f
∑t
∑ f
Hx, yHx, tL, y£ Hx, tLL
Hx, yHx, tL, y£ Hx, tLL
∑x
(25)
∑t
∑f
∑y ∑ f
∑ y£
+
Hx, yHx, tL, y£ Hx, tLL
+ £ Hx, yHx, tL, y£ Hx, tLL
.
∑y
∑t ∑ y
∑t
∑x
Dado que x y t son independientes entonces
∑ y≥
∑t
∑f
∑y
∑x
∑t
=0y
Hx, tL =
Hx, yHx, tL, y£ Hx, tLL
∑y
∑t
Hx, tL +
∑f
∑ y£
Hx, yHx, tL, y£ Hx, tLL
∑ y£
∑t
(26)
.
con a § x § b. Las condiciones iniciales resultan:
∑y
∑t
Ha, tL = 0
∑ y£
∑t
y
Ha, tL = 1.
Si se simplifica la ecuación anterior usando zHx, tL en lugar de
∑y
∑t
Hx, tL y si se
invierte el orden de derivar de x y de t, se convierte en el problema de valor inicial:
z≥ Hx, tL =
∑f
∑y
Hx, y, y£ L zHx, tL +
∑f
∑ y£
Hx, y, y£ L z£ Hx, tL,
a § x § b, zHa, tL = 0, z£ Ha, tL = 1, zHx, tL =
∑y
∑t
Hx, tL.
(27)
Como se ve, el método de Newton necesita que los dos problemas de valor inicial
sean resueltos en cada iteración del método.
Proyecto Fin de Carrera
tk = tk-1 -
34
yHb, tk-1 L - b
zHb, tk-1 L
.
(28)
De todos modos ningún problema de valor inicial puede resolverse de manera
exacta. Se puede buscar una solución aproximada utilizando un método como éste, cuyo
algoritmo se plantea un poco más abajo (algoritmo 3). En dicho algoritmo se utiliza el
método de Runge-Kutta de cuarto orden para aproximar la dos soluciones que necesita el
método de Newton.
è Algoritmo 3. Método del disparo no lineal
El siguiente algoritmo aproxima la solución numérica del problema no lineal de
valor de la frontera dado por
y≥ = f Hx, y, y£ L, a § x § b, f HaL = yHaL = a, f HbL = yHbL = b
con un paso dado por h con una tolerancia tol o un número máximo de m iteraciones.
Input H f HxL, a, b, a, b, h, tol, mL
matriz k, kp, w
vector xi , yi ,ui , vi
(* Se inicializan los vectores y matrices *)
For i = 1, ..., 4 do
For j = 1, 2 do
ki, j ≠ 0
kpi, j ≠ 0
End
End
For i = 0, ...., 60 - 1 do
xi ≠ 0
End
For j = 0, ..., 60 - 1 do
Software para la resolución de EDO
35
ui, j ≠ 0
vi, j ≠ 0
wi, j ≠ 0
End
n ≠ Round B
b-a
F;
h
a- b
tk ≠ Round B b-a F;
cont = 1;
While cont § m do
w1,0 ≠ a
w2,0 ≠ tk
u1 ≠ 0
u2 ≠ 1
For i = 1, 2, ..., n - 1 do
xi ≠ a + Hi - 1L µ h
k1,1 ≠ h µ u2,i-1
k1,2 ≠ h µ If Hxi L, w1,i-1 , ww,i-1 M
k2,1 ≠ h µ Iw2,i +
k2,2 ≠ h µ Jf
1
k M
2 1,2
h
Hxi L + 2 , w1,i-1
+
1
2
µ k1,1 ,
k2,2 ≠ h µ Jf Hxi L + 2 , w1,i-1 +
1
2
µ k2,1 ,
1
2
µ k3,1 ,
w2,i-1 +
1
2
µ k1,2 N
k3,1 ≠ h µ Iuw2,i-1 +
1
2
k2,2 M
h
w2,i-1 +
1
2
µ k2,2 N
k4,1 ≠ h µ Iw2,i-1 + k4,2 M
k2,2 ≠ h µ Jf Hxi L + 2 , w1,i-1 +
h
w2,i-1 +
w1,i+1 ≠ w1,i +
w2,i+1 ≠ w2,i +
1
2
1
6
1
6
µ k3,2 N
Ik1,1 + 2 k2,1 + 2 k3,1 + k4,1 M
Ik1,2 + 2 k2,2 + 2 k3,2 + k4,2 M
k £ 1,1 ≠ h µ v2
k £ 1,2 ≠ h µ If y Ixi , w1,i-1 , 22,i-1 M u1
+ f y£ Ixi , w1,i-1 , 22,i-1 M u2 M
k £ 2,1 ≠ h µ Iv2 +
1
2
k £ 1,2 M
k £ 2,2 ≠ h µ If y Ixi + 2 , w1,i-1 , 22,i-1 M Iu1 +
1
+ f y£ Ixi + 2 , w1,i-1 , 22,i-1 M Iu2 +
1
k £ 3,1 ≠ h µ Iv2 +
1
2
k £ 2,2 M
k £ 3,2 ≠ h µ If y Ixi + 2 , w1,i-1 , 22,i-1 M Iu1 +
1
+ f y£ Ixi + 2 , w1,i-1 , 22,i-1 M Iu2 +
1
1
2
µ k £ 2,2 MM
1
2
1
2
1
2
µ k £ 2,1 M
µ k £ 1,1 M
µ k £ 1,2 MM
Proyecto Fin de Carrera
36
k £ 4,1 ≠ h µ Iv2 + k £ 3,2 M
k £ 4,2 ≠ h µ If y Ixi + 2 , w1,i-1 , 22,i-1 M Iu1 + k £ 2,1 M
1
+ f y£ Ixi + 2 , w1,i-1 , 22,i-1 M Iu2 + k £ 2,2 MM
1
v1,i+1 ≠ v1,i +
1
6
Ik £ 1,1 + 2 k £ 2,1 + 2 k £ 3,1 + k £ 4,1 M
v2,i+1 ≠ v2,i +
1
6
Ik £ 1,2 + 2 k £ 2,2 + 2 k £ 3,2 + k £ 4,2 M
End
If … w1,N - b … b tol do
For i = 0, 1, ..., N do
xi ≠ a + i µ h
SALIDA Ixi , w1,i , w2,i M
Proceso terminado
End
End If
tk = tk -
w1,N - b
u1
cont = cont + 1
End While
SALIDA HNúmero máximo de iteraciones excedidoL
Proceso terminado sin éxito
Return J8xi <ni=0 , 9w1,i =i=0 N
n
Output
Ejemplo.
à Problema 2.
La ecuación de Van der Pol:
y≥ - mIy2 - 1M y£ + y = 0
rige el flujo de la corriente en un tubo al vacío con tres elementos internos. Sea
m = 12 , yH0L = 0, y yH2L = 1. Aproximar la solución yHtL para t = 0.2 i, donde 1 § i § 9.
Método del disparo no lineal para el problema con valor de frontera:
1
y≥ = Iy2 - 1M z - y
2
x œ @0., 2.D, yH0.L = 0., yH2.L = 1.
h = 0.2
Software para la resolución de EDO
i
xi
37
w1,i
w2,i
0
0.0000000000
0.0000000000
1.4493098115
1
0.2000000000
0.2741820867
1.2876947955
2
0.4000000000
0.5138861327
1.1076209444
3
0.6000000000
0.7168357586
0.9212303115
4
0.8000000000
0.8821406042
0.7310688000
5
1.0000000000
1.0088521172
0.5346865325
6
1.2000000000
1.0953383832
0.3282347528
7
1.4000000000
1.1393133677
0.1095119683
8
1.6000000000
1.1384586255 -0.1191497223
9
1.8000000000
1.0915768064 -0.3486231536
10
2.0000000000
1.0000169321 -0.5628194818
Gráficas de la solución de la ecuación diferencial
yHxL = 88yHxL Ø InterpolatingFunction@H 0. 2. L, <>D@xD<<
y la aproximación obtenida con el método del disparo lineal con
un tamaño de paso h = 0.2
Y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
1.0
1.5
2.0
X
Proyecto Fin de Carrera
38
7. El método lineal de diferencias
finitas
El método de las diferencias finitas se utiliza para resolver problemas que presentan
cierta inestabilidad y que con los métodos anteriormente estudiadoss no podían resolverse.
Este método tiene mejor estabilidad pero cuesta más llegar a una solución con
precisión. Este método sustituye las derivadas en la ecuacion diferencial mediante una
aproximacion del cociente de diferencias adecuada.
El problema de valor de frontera de segundo orden
y≥ = pHxL y£ + qHxL y + rHxL,
a § x § b, yHaL = a, yHbL = b
(29)
requiere utilizar las aproximaciones del cociente de diferencias para aproximar tanto a
y£ como a y≥ . Primero, se escoge el número de subintervalos n + 1 en los que se va a dividir
el intervalo @a, bD, cuyos extremos de estos subintervalos son los puntos de malla. Se
calcula el valor del subintervalo h =
Hb-aL
,
Hn+1L
y al calcularse h así se facilita la aplicación de un
algoritmo matricial con el cual se resuelve un sistema lineal que contenga una matriz n µ n.
Para los puntos de malla xi , para i = 1, 2, 3, ..., n, la ecuación que se aproxima es:
y≥ Hxi L = pHxi L y£ Hxi L + qHxi L yHxi L + rHxi L.
(30)
Al desarrollar y en el tercer polinomio de Taylor alrededor de xi evaluada en xi+1 y
xi-1 , se tiene:
yHxi+1 L = yHxi + hL = yHxi L + h y£ Hxi L +
h2
2
y≥ Hxi L +
h3
6
yH3L Hxi L +
h4
24
yH4L Ixi+ M
Software para la resolución de EDO
39
para alguna xi+ en Hxi , xi+1 L, y
yHxi-1 L = yHxi - hL = yHxi L - h y£ Hxi L +
h2
2
y≥ Hxi L -
h3
6
yH3L Hxi L +
h4
24
yH4L Hxi- L
para alguna xi+ en Hxi , xi+1 L, suponiendo y œ C 4 @xi-1 , xi+1 D. Si se suman estas escuaciones y
se simplifica se obtiene la fórmula de las diferencias centradas para y≥ Hxi L:
y≥ Hxi L =
1
h2
@yHxi+1 L - 2 yHxi L + yHxi-1 LD -
h2
12
yH4L Hxi L.
(31)
De manera semejante se obtiene para y£ Hxi L:
y£ Hxi L =
1
@yHxi+1 L - yHxi-1 LD -
2h
hi œ Hxi-1 , xi+1 L.
h2
6
yH3L Hhi L,
(32)
Si se sustituyen las ecuaciones de las diferencias centradas en los términos y de la
ecuación (24) resulta:
yHxi+1 L - 2 yHxi L + yHxi-1 L
h2
qHxi L yHxi L + rHxi L -
h2
12
= pHxi LB
yHxi+1 L - yHxi-1 L
2h
F+
A2 pHxi L yH3L Hhi L - yH4L Hzi LE.
(33)
El método de diferencia finitas se obtiene utilizando esta ecuación junto con las
condiciones de frontera yHaL = a e yHbL = b para definir
w0 = a,
wn+1 = b
2 wi - wi+1 - wi-1
h2
i = 1, 2, ..., n.
+ pHxi L K
wi+1 - wi-1
2h
O qHxi L wi = rHxi L
(34)
Proyecto Fin de Carrera
40
Esta ecuación se puede reescribir como sigue:
- 1+
pHxi L wi-1 + I2 + h2 qHxi LM wi - 1 -
h
2
h
2
pHxi L wi-1 = -h2 rHxi L.
(35)
Y el sistema de ecuaciones que resulta se expresa en forma de matriz tridiagonal
n µ n de la forma
Aw = b
(36)
siendo
2 + h2 qHx1 L -1 +
-1 A=
h
2
pHx1 L
0
h
2
pHx2 L 2 + h2 qHx2 L -1 +
h
2
0
∏
∏
ª
∏
∏
0
∫
0
w1
w2
ª ,
w=
wn-1
wn
b=
0
∏
ª
pHx2 L
∏
0
∏
-1 +
-h2 rHx1 L + I1 +
y
∫
h
2
h
2
-h2 rHx2 L
ª
-1 +
pHxn L
h
2
pHxn-1 L
2 + h2 qHxn L
pHx1 LM w0
-h2 rHxn-1 L
-h2 rHxn L + I1 +
h
2
pHxn LM wn+1
Se expresa en el teorema siguiente las condiciones bajo las que el sistema lineal
tridiagonal anterior tiene solución única.
ô Teorema 2. Se supone que p, q y r son continuas en el intervalo @a, bD. Si qHxL ¥ 0 en
@a, bD, entonces el sistema lineal tridiagonal tiene una solución única siempre y cuando
h < 2 L, donde L = máxa§x§b » pHxL ».
Software para la resolución de EDO
41
è Algoritmo 4. Método lineal de las diferencias finitas
Input HpHxL, qHxL, r HxL, a, b, a, b, hL
vector xi , ai , bi , ci , di , li , ui , wi , zi
(* Se inicializan vectores y matrices *)
For i = 0, ...., n + 1 do
xi ≠ 0
ai ≠ 0
bi ≠ 0
ci ≠ 0
di ≠ 0
li ≠ 0
ui ≠ 0
wi ≠ 0
zi ≠ 0
End
n ≠ Round B
b-a
F-1
h
x1 ≠ a + h
a1 ≠ 2 + h 2 qHxi L
b1 ≠ -1 + J 2 N pHxi L
h
d1 ≠ -h 2 rHxi L + J1 + J 2 N pHxi LN a
h
For i = 2, ..., n - 1 do
xi ≠ a + i h
ai ≠ 2 + h 2 qHxi L
bi ≠ -1 + J 2 N pHxi L
h
ci ≠ -1 - J 2 N pHxi L
h
di ≠ -h 2 rHxi L
End
xn ≠ b - h
xn+1 ≠ b
an ≠ 2 + h 2 qHxn L
cn ≠ -1 - J 2 N pHxn L
h
dn ≠ -h 2 rHxn L + J1 - J 2 N pHxn LN b
h
(* Se resuelve un sistema lineal tridiagonal *)
l1 ≠ a1
u1 ≠
b1
a1
z1 ≠
d1
l1
For i = 2, ..., n - 1 do
Proyecto Fin de Carrera
42
li ≠ ai - ci ui-1
ui ≠
bi
li
zi ≠
di -ci zi-1
li
End
ln ≠ an - cn un-1
zn ≠
dn -cn zn-1
ln
w0 ≠ a
wn+1 ≠ b
wn ≠ zn
For i = n - 1, ..., 1 do
wi ≠ zi - ui wi+1
End
Return I8xi <ni=0 , 8wi <ni=0 M
Output
Ejemplo:
à Problema 3. La deflexión de una placa rectangular larga y uniformemente cargada, y
que se encuentra bajo una fuerza de tensión axial, se rige por la ecuación diferencial de
segundo orden.
Sea S la fuerza axial y q la intensidad de la carga uniforme. La deflexión W a lo
largo de la longitud elemental está dada por:
W ≥ HxL =
S
EI
WHxL +
q x
2EI
Hx - lL
x œ @0, lD
WH0L = 0, WHlL = 0.
Donde l es la longitud de la placa, q la intensidad de la carga uniforme, E el
módulo de elasticidad, S el esfuerzo en los extremos y el momento decentral de inercia
es I . Sean l = 120 plg, q = 100 lb ê pie, E = 3.0 µ 107 lb ë plg2 , S = 1000 lb, e
I = 625 plg4 . Aproximar la deflexión W HxL de la vifa en intervalos de 6 plg.
Método de las diferencias finitas para el problema con valor de frontera:
y≥ = 0.y£ + 5.33333µ 10-8 y + 2.66667µ 10-9 Hx - 120.L x
x œ @0., 120.D, yH0.L = 0., yH120.L = 0.
h = 6.
Software para la resolución de EDO
i
0
1
2
xi
0.0000000000
6.0000000000
12.0000000000
wi
0.0000000000
0.0022980631
0.0045304665
3
18.0000000000
0.0066384627
4
24.0000000000
0.0085702157
5
30.0000000000
0.0102808010
6
36.0000000000
0.0117322061
7
42.0000000000
0.0128933298
8
48.0000000000
0.0137399822
9
54.0000000000
0.0142548850
10
60.0000000000
0.0144276711
11
66.0000000000
0.0142548850
12
72.0000000000
0.0137399822
13
78.0000000000
0.0128933298
14
84.0000000000
0.0117322061
15
90.0000000000
0.0102808010
16
96.0000000000
0.0085702157
17
102.0000000000
0.0066384627
18
19
20
108.0000000000
114.0000000000
120.0000000000
0.0045304665
0.0022980631
0.0000000000
Gráfica de la aproximacion obtenida con el método lineal de diferencia finitas
con un tamaño de paso h = 6.
43
Proyecto Fin de Carrera
44
Y
0.014
0.012
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
20
40
60
80
100
120
X
Software para la resolución de EDO
45
8. El método lineal de diferencias
finitas para problemas no lineales
Este método es parecido al expuesto anteriormente para problemas lineales, sin
embargo estos problemas no tendrán un sistema de ecuaciones lineal y por lo tanto hace
falta un proceso iterativo para resolverlos. Sea el caso de los problemas no lineales con
valor de frontera:
y≥ = f Hx, y, y£ L,
a § x § b, yHaL = a, yHbL = b
(37)
Para el desarrollo de este método se supondrá que f satisface las siguientes
condiciones:
ô
1.- f y las derivadas parciales f y ª ∑ f ê ∑ y y f y£ ª ∑ f ê ∑ y£ son continuas en
D = 8Hx, y, y£ L » a § x § b, -¶ < y < ¶, -¶ < y£ < ¶<;
2.- f y Hx, y, y£ L ¥ d en D para alguna d > 0;
3.- Existen las constantes k y L, con
k=
máx
Hx,y,y£ L e D
f y Hx, y, y£ L ,
L=
máx
Hx,y,y£ L e D
f y£ Hx, y, y£ L .
Esto garantiza que exista una solución única.
Al igual que en el método anterior, se divide el intervalo @a, bD en N + 1
subintervalos de ancho el valor h que se calcula como h = Hb - aL ê HN + 1L cuyos extremos
se encuentran en xi = a + h i, para i = 0, 1, ... , N + 1. Si se supone que la solución exacta
Proyecto Fin de Carrera
46
tiene una cuarta derivada acotada permite reemplazar y≥ Hxi L y y£ Hxi L en cada una de las
ecuaciones:
y≥ Hxi L = f Hxi , yHxi L, y£ Hxi LL
(38)
por la fórmula adecuada de diferencias centradas. Esto da, para toda i = 1, 2, ..., N ,
yHxi+1 L - 2 yHxi L + yHxi-1 L
h2
= f xi ,
yHxi+1 L - yHxi-1 L
2h
-
h2
6
y Hhi L +
H3L
h2
12
y Hxi L,
H4L
(39)
para alguna hi y zi en el intervalo Hxi-1 , xi+1 L.
Los resultados del método de diferencias finitas se emplean cuando se eliminan los
términos de error y las condiciones de frontera:
w0 = a, wn+1 = b,
y
-
wi+1 - 2 wi + wi-1
h2
+ f Ixi , wi ,
para toda i = 1, 2, ..., N .
wi+1 -wi-1
M
2h
= 0,
Software para la resolución de EDO
47
El sistema no lineal N µ N obtenido con este método es el siguiente:
2 w1 - w2 + h2 f Kx1 , w1 ,
w2 - a
2h
O=0
w3 - w1
-w1 + 2 w2 - w3 + h2 f Kx2 , w2,
2h
O=0
ª
(40)
-w N -2 + 2 w N -1 - w N + h2 f KxN -1 , w N -1 ,
-w N -1 + 2 w N + h2 f xN , w N ,
b - w N -1
2h
w N - w N -2
2h
O=0
-b=0
Este sistema tiene una solución única siempre y cuado h < 2 ê L.
Para resolver este sistema con una solución aproximada, se aplica el método de
Newton
para
sistemas
no
lineales.
Se
genera
una
sucesión
de
iteraciones
HkL
HkL
:IwHkL
1 , w2 , ..., w N M > que converge a la solución del sistema (34), con la condición de que
t
H0L
H0L
la aproximación inicial IwH0L
1 , w2 , ..., w N M se acerque lo suficiente a la solución
t
Hw1, w2, ..., w N Lt , y de que la matriz jacobiana del sistema no sea singular. En el caso del
sistema (34), la matriz jacobiana J Hw1, w2, ..., w N L es tridiagonal. Su elemento i j - ésimo
viene dada por la expresión:
J Hw1, w2, ..., w N Li, j =
wi+1 -wi-1
M,
2h
w
-w
2 + h2 f y Ixi , wi , i+12 h i-1 M,
w -w
-1 - h2 f y£ Ixi , wi , i+12 h i-1 M,
-1 +
:
h
2
f y£ Ixi , wi ,
i = j - 1, j = 2, ..., N
i = j, j = 1, ..., N
i = j + 1, j = 1, ..., N - 1
(41)
Proyecto Fin de Carrera
48
donde w0 = a y w N +1 = b.
El método de Newton para los sistemas no lineales requiere que en cada iteración se
resuelva el sistema lineal de N µ N :
J Hw1, w2, ..., w N L Hv1 , ..., vn LT = - 2 w1 - w2 - a + h2 f Kx1 , w1 ,
-w1 + 2 w2 - w3 + h2 f Kx2 , w2 ,
w3 - w1
2h
O,
-wN -2 + 2 w N -1 - w N + h2 f KxN -1, w N -1 ,
2
-wN -1 + 2 w N + h f xN , w N ,
b - w N -1
2h
w2 - a
2h
...
,
wN - w N -2
O,
2h
O,
(42)
T
-b
para v1, v2 , ..., vN , porque
Hk-1L
wHkL
+ vi , para cada i = 1, 2, ..., N ,
i = wi
Puesto que J es tridiagonal, se puede aplicar el algoritmo de factorización de Crout
para los sistemas tridiagonales.
El algoritmo de este método se describe a continuación.
Software para la resolución de EDO
49
è Algoritmo 5. Método lineal de las diferencias finitas para problemas no lineales
Input H f HxL, a, b, a, b, h, tol, mL
vector xi , ai , bi , ci , di , li , ui , wi , zi
(* Se inicializan vectores y matrices *)
For i = 0, ...., n + 1 do
xi ≠ 0
ai ≠ 0
bi ≠ 0
ci ≠ 0
di ≠ 0
li ≠ 0
ui ≠ 0
wi ≠ 0
zi ≠ 0
End
n ≠ Round B
b-a
F-1
h
w0 ≠ a
wn+1 ≠ b
For i = 1, ..., n do
wi ≠ a + i J b-a N h
b-a
End
cont≠1
While cont § m do
x1 ≠ a + h
t=
Iw2 -aM
2h
a1 ≠ 2 + h 2 f y Hx1 , w1 , tL
b1 ≠ -1 + J 2 N f y£ Hx1 , w1 , tL
h
d1 ≠ -I2 w1 - w2 - a + h 2 f Hx1 , w1 , tLM
For i = 2, ..., n - 1 do
xi ≠ a + i h
t=
Hwi+1 -wi-1 L
2h
2
ai ≠ 2 + h f y Hxi , wi , tL
bi ≠ -1 + J 2 N f y£ Hxi , wi , tL
h
ci ≠ -1 - J 2 N f y£ Hxi , wi , tL
h
di ≠ -I2 wi - wi+1 - wi-1 + h 2 f Hxi , wi , tLM
End
Proyecto Fin de Carrera
50
xn ≠ b - h
t=
H b-wn-1 L
2h
an ≠ 2 + h 2 f y Hxn , wn , tL
cn ≠ -1 - J 2 N f y£ Hxn , wn , tL
h
dn ≠ -I2 wn - wn-1 - b + h 2 f Hxn , wn , tLM
(* Se resuelve un sistema lineal tridiagonal *)
l1 ≠ a1
u1 ≠
b1
a1
z1 ≠
d1
l1
For i = 2, ..., n - 1 do
li ≠ ai - ci ui-1
ui ≠
bi
li
zi ≠
di -ci zi-1
li
End
ln ≠ an - cn un-1
zn ≠
dn -cn zn-1
ln
vn ≠ zn
wn ≠ wn + vn
For i = n - 1, ..., 1 do
vi ≠ zi - ui vi+1
wi ≠ wi + vi
End
If »» v »» b tol do
For i = 0, ..., N - 1 do
xi ≠ a + i h
SALIDA Hxi , wi L
Proceso terminado
End
End If
cont≠cont+1
SALIDA H ' Número de iteraciones excedido'L
-1
N -1
Return I8xi <N
i=0 , 8wi <i=0 M
Output
Software para la resolución de EDO
51
Ejemplo.
à Problema 4.
Sea el problema de valor de frontera
y = Jx Hy£ L - 9 y2 + 4 x6 N í x5 ,
≥
x œ @1, 2D,
2
2
yH1L = 0, yH2L = ln 256.
y su solución exacta yHxL = x3 ln x.
Aproximar la solución aplicando el método no lineal de diferencias finitas
tomando h = 0.05 y una tolerancia de 10-4 .
Método del diferencias finitas para el problema
no lineal con valor de frontera.
≥
y =
4 x 6 + z 2 x 2 - 9 y2
x5
x œ @1., 2.D, yH1.L = 0.,
i
0
yH2.L = 5.54518
xi
wi
1.0000000000 0.0000000000
1
2
3
1.0500000000
1.1000000000
1.1500000000
0.0562377725
0.1263684409
0.2118227193
4
1.2000000000
0.3140662227
5
1.2500000000
0.4345979113
6
1.3000000000
0.5749486970
7
1.3500000000
0.7366801826
8
1.4000000000
0.9213835170
9
1.4500000000
1.1306783480
10
1.5000000000
1.3662118644
11
1.5500000000
1.6296579151
12
1.6000000000
1.9227161994
13
1.6500000000
2.2471115203
14
1.7000000000
2.6045930975
15
1.7500000000
2.9969339343
16
1.8000000000
3.4259302347
17
1.8500000000
3.8934008681
18
1.9000000000
4.4011868793
19
1.9500000000
4.9511510405
20
2.0000000000
5.5451774445
Tabla de errores.
h = 0.05
Proyecto Fin de Carrera
xi
52
wi
yHxi L
»wi - yHxi L»
1.0000000000
0.0000000000
0.0000000000 0.
1.0500000000
0.0562377725
0.0564807138 2.4294129214µ 10-4
1.1000000000
0.1263684409
0.1268578493 4.8940844341µ 10-4
1.1500000000
0.2118227193
0.2125604441 7.3772477638µ 10-4
1.2000000000
0.3140662227
0.3150516501 9.8542746209µ 10-4
1.2500000000
0.4345979113
0.4358272487 1.2293373602µ 10-3
1.3000000000
0.5749486970
0.5764142890 1.4655920832µ 10-3
1.3500000000
0.7366801826
0.7383698367 1.6896540091µ 10-3
1.4000000000
0.9213835170
0.9232798173 1.8963003043µ 10-3
1.4500000000
1.1306783480
1.1327579472 2.0795992538µ 10-3
1.5000000000
1.3662118644
1.3684447399 2.2328755092µ 10-3
1.5500000000
1.6296579151
1.6320065809 2.3486658077µ 10-3
1.6000000000
1.9227161994
1.9251348654 2.4186660246µ 10-3
1.6500000000
2.2471115203
2.2495451902 2.4336699615µ 10-3
1.7000000000
2.6045930975
2.6069765975 2.3834999521µ 10-3
1.7500000000
2.9969339343
2.9991908635 2.2569291292µ 10-3
1.8000000000
3.4259302347
3.4279718297 2.0415950205µ 10-3
1.8500000000
3.8934008681
3.8951247721 1.7239039938µ 10-3
1.9000000000
4.4011868793
4.4024758053 1.2889259445µ 10-3
1.9500000000
2.0000000000
4.9511510405
5.5451774445
4.9518713190 7.2027851232µ 10-4
5.5451774445 0.
Gráficas de la solución de la ecuación diferencial
yHxL = x 3 logHxL
y la aproximación obtenida
con el método de las diferencias finitas no lineal
con un tamaño de paso h = 0.05
Software para la resolución de EDO
53
Y
5
4
3
2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
X
Proyecto Fin de Carrera
54
9. El método de Rayleigh-Ritz
Este método aborda el problema de hallar la aproximación de la función con un
planteamiento distindo al visto en los anteriores métodos.
Para empezar, se reformula el problema de valor de frontera como un problema que
consista en seleccionar la función que reduzca al mínimo una determinada integral de entre
todas las funciones suficientemente derivables que satisfagan las condiciones de frontera.
El tamaño de del conjunto de funciones se disminuye, obteniéndose así una aproximación a
la solución al problema de minimización y por lo tanto, una aproximación a la solución del
problema con valor de frontera.
9.1. Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz
Para explicar este método se considera la aproximación de una solución a este
problema lineal con valor de frontera. Esta ecuación describe la deflexión y HxL de una viga
de longitud l , con una sección transversal variable qHxL, y los exfuerzos agregados pHxL y
f HxL. Satisface la la ecuación diferencial:
-
„
„x
pHxL
„y
„x
+ qHxL y = f HxL, para 0 § x § 1
(43)
con las condiciones de frontera
y H0L = y H1L = 0
ô
Se supone que p œ C1 @0, 1D, que q, f œ C@0, 1D y d > 0, tal que
pHxL ¥ d tal que qHxL ¥ 0 para cada x en @0, 1D.
(44)
Software para la resolución de EDO
55
Con estas suposiciones se garantiza que el problema de valor de frontera,
anteriormente descrito tiene una solución única.
Los problemas con valor de frontera describen fenómenos físicos, en este caso la
solución a la ecuación la viga satisface la propiedad variacional, que resulta indispensable
para el desarrollo del método de Rayleigh-Ritz y que además caracteriza la solución de esa
ecuación como la función que reduce al mínimo cierta integral sobre las funciones
en C02 @0, 1D, el conjunto de esas funciones u en C2 @0, 1D con la propiedad de que
uH0L = uH1L = 0.
La caracterización de este método se establece en el siguiente teorema.
ô Teorema 5. Sea p œ C1 @0, 1D, q, f œ C@0, 1D y además
pHxL ¥ d > 0 qHxL ¥ 0
para
0 § x § 1.
La función y œ C02 @0, 1D es la solucion única de la ecuacion diferencial
„
- „x
I pHxL
„y
M
„x
+ qHxL y = f HxL,
0 § x § 1
si y sólo si y es la función única en C20 @0, 1D que reduce al mínimo la integral
I@uD = Ÿ0 9 pHxL @u£ HxLD2 + qHxL @uHxLD2 - 2 f HxL uHxL= „ x.
1
Reduciendo al mínimo la integral, el método de Rayleigh-Ritz aproxima la solución
de yHxL sólo sobre el conjunto más pequeño de las funciones que contienen combinaciones
Proyecto Fin de Carrera
56
lineales de ciertas funciones básicas f1 , f2 , ..., fn . Estas funciones son linealmente
independientes y satisfacen:
fi H0L = fi H1L = 0, para cada i = 1, 2, ..., n.
Después de resolver las constantes c1 , c2, ..., cn , que reducen al mínimo
IA⁄ ni=1 ci fi E, se obtiene una aproximación fHxL = ⁄ni ci fi HxL a la solución yHxL de la
ecuacion anterior. De acuerdo con la ecuación de la integral I@uD, se tiene:
n
I@fD = I B‚ ci fi F
i=1
I@fD =
(45)
2
n
1
n
2
n
‡ : pHxLB‚ ci fi HxLF + qHxLB‚ ci fi HxLF - 2 f HxL ‚ ci fi HxL> „ x
£
0
i=1
i=1
i=1
Cuando se considera I como una función de c1 , c2, ..., cn para encontrar un mínimo
es necesario tener
∑I
∑ cj
=0
j = 1, 2, ..., n
(46)
Derivando se obtiene:
∑I
∑ cj
1
n
n
i=1
i=1
= ‡ :2 pHxL ‚ ci f£ i HxL f£ j HxL + 2 qHxL ‚ ci fi HxL f j HxL
0
- 2 f HxL f j HxL> „ x
(47)
Software para la resolución de EDO
57
y al sustituir en la ecuacion anterior se obtiene:
n
1
0 = ‚ B‡ 9 pHxL f£ i HxL f£ j HxL + qHxL fi HxL f j HxL= „ x F ci 0
i =1
(48)
‡
1
0
f HxL f j HxL „ x,
j = 1, 2, ..., n.
De estas ecuaciones se obtiene un sistema lineal A c = b de n µ n en las variables
c1 , c2, ..., cn , donde esta matriz simétrica viene definida por
1
ai j = ‡ A pHxL f£ i HxL f£ j HxL + qHxL fi HxL f j HxLE „ x
0
bi = ‡
0
1
f HxL f j HxL „ x.
(49)
La elección más elemental de las funciones básicas requiere la intervención de
polinomios lineales seccionados. El primer paso es escoger puntos x0 , x1 , ... xn+1 para
formar una partición dentro del intervalo @0, 1D de tal manera que
0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1.
Al utilizar hi = xi+1 - xi para toda i = 0, 1, ..., n, se definen las funciones básicas
f1 HxL, f2 HxL, ..., fn HxL mediante la expresión:
0 § x § xi-1
0,
fi HxL = :
x-xi-1
,
hi-1
xi+1 -x
,
hi
xi-1 < x § xi
xi < x § xi+1
0,
(50)
xi+1 < x § 1
i = 1, 2, ..., n.
Las funciones fi son lineales y seccionadas, por ello, aunque las derivadas fi £ , no
Proyecto Fin de Carrera
58
son continuas, son constantes en el subintervalo abierto ( x j , x j+1 L para j = 0, 1, ..., n.
Se obtiene, por tanto,
0 < x < xi-1
0,
fi HxL = :
£
1
xi-1 < x < xi
,
hi-1
- h1
i
,
xi < x < xi+1
(51)
xi+1 < x < 1
0,
i = 1, 2, ..., n.
Como fi y fi £ son distintos de cero solamente en (xi - 1, xi+1 L,
fi HxL f j HxL ª 0
y fi £ HxL f j £ HxL ª 0,
excepto cuando j toma un valor igual a i - 1, i, o i + 1. Por lo tanto, el sistema lineal dado
en el teorema se reduce a un sistema lineal tridiagonal de n µ n. Los elementos de A que
son distintos de cero son:
ai, i = Ÿ0 9 pHxL@fi £ HxLD2 + qHxL@fi HxLD2 = „ x
1
= I h 1 M Ÿx pHxL „ x + I- h1 M Ÿx i+1 pHxL „ x
i
i
i-1
i-1
2
2
xi
x
+ I h 1 M Ÿ x Hx - xi-1 L2 qHxL „ x + I h1 M Ÿx i+1 Hxi+1 - xL2 qHxL „ x
i
i
i-1
i-1
2
2
xi
x
para i = 1, 2, ..., n;
ai ,i+1 = Ÿ0 9 pHxL fi £ HxL f£ i+1 HxL + qHxL fi £ HxL fi+1 HxL= „ x
1
= -I h1 M Ÿx i+1 pHxL „ x + I h1 M Ÿ x i+1 Hxi+1 - xL Hx - xi L qHxL „ x,
i
i
i
i
2
para i = 1, 2, ..., n - 1;
x
2
x
Software para la resolución de EDO
59
ai ,i-1 = Ÿ0 9 pHxL fi £ HxL f£ i-1 HxL + qHxL fi £ HxL fi-1 HxL= „ x
1
= -I h 1 M Ÿ x pHxL „ x + I h 1 M Ÿ x Hxi - xL Hx - xi-1 L qHxL „ x,
i-1
i-1
i-1
i-1
2
2
xi
xi
para i = 1, 2, ..., n;
Los valores de la matriz b son:
bi = Ÿ0 f HxL fi HxL „ x =
1
1
hi-1
Ÿ xi-1 Hx - xi-1 L f HxL „ x +
xi
1
hi
i+1
Ÿ xi Hxi+1 - xL f HxL „ x,
x
para i = 1, 2, ..., n;
Por lo tanto, se obtienen seis tipos de integrales a evaluar:
Q1, i =
Q2, i =
Q3, i =
Q4, i =
Q5, i =
Q6, i =
1
2
‡
hi
2
1
hi-1
1
2
‡
hi
2
1
xi+1
xi
‡
hi-1
‡
1
xi
hi-1
1
hi
‡
‡
xi-1
xi+1
xi
xi
xi-1
xi+1
xi
Hxi+1 - xL Hx - xi L qHxL „ x,
Hx - xi-1 L2 qHxL „ x,
Hxi+1 - xL2 qHxL „ x,
i = 1, 2, ..., n - 1,
i = 1, 2, ..., n,
i = 1, 2, ..., n,
(52)
xi
pHxL „ x,
i = 1, 2, ..., n + 1,
xi-1
Hx - xi-1 L f HxL „ x,
Hxi+1 - xL f HxL „ x,
i = 1, 2, ..., n,
i = 1, 2, ..., n.
Proyecto Fin de Carrera
60
La matriz A y b del sistema lineal A c = b contienen los elementos:
ai, i = Q4,i + Q4,i+1 + Q2, i + Q3, i ,
i = 1, 2, ..., n,
ai,i+1 = -Q4,i+1 + Q1,i ,
i = 1, 2, ..., n - 1,
ai,i-1 = - Q4,i + Q1-1,
i = 2, 3, ..., n,
bi = Q5,i + Q6,i ,
i = 1, 2, ..., n.
(53)
Los elementos de c son los coeficientes desconocidos c1 , c2 , ..., cn , a partir de los
cuales se construye la aproximación de Rayleigh-Ritz f, dada por fHxL = ⁄ ni=1 ci fi HxL.
En este método existe la dificultad práctica de tener que evaluar las 6 n integrales.
Estas integrales puede evaluarse directamente o mediante una fórmula de cuadratura. La
evaluación de la integral consiste en aproximar las funciones p, q y f con su polinomio
interpolante lineal seccionado, e integrar luego la aproximación.
Supóngse que se comienza por la integral de Q1,i . La interpolación lineal
segmentaria de q es
n+1
Pq HxL = ⁄ i=0
qHxi L fi HxL
donde f1 , f2 , ..., fn están definidas en la fórmula (50) y además,
f0 HxL = :
x1 -x
,
x1
fn+1 HxL = :
0 § x § x1
0, entonces
x-xn
,
1-xn
xn § x § 1
0, entonces
Puesto que el intervalo de integración es @xi , xi+1 D, Pq se reduce a
Software para la resolución de EDO
61
Pq HxL = qHxi L fi HxL + qHxi+1 L fi+1 HxL.
La aproximación a Q1, i se obtiene integrando la aproximación al integrando
Q1,i = I h1 M Ÿx i+1 Hxi+1 - xL Hx - xi L qHxL „ x
i
i
2
x
º I h1 M Ÿ x i+1 Hxi+1 - xL Hx - xi LA
i
i
2
=
x
hi
@qHxi L + qHxi+1 LD.
12
qHxi L Hxi+1 -xL
hi
+
qHxi+1 L Hx-xi L
E„x
hi
De la misma manera se realizan las aproximaciones a las integrales restantes,
obteniéndose los siguientes resultados:
Q1,i º
Q2,i º
Q3,i º
Q4,i º
Q5,i º
Q6,i º
@qHxi L + qHxi+1 LD
12
hi-1
@3 qHxi L + qHxi-1 LD
12
hi
@3 qHxi L + qHxi+1 LD
12
hi-1
@ pHxi L + pHxi-1 LD
2
hi-1
@2 f Hxi L + f Hxi-1 LD
6
hi
@2 f Hxi L + f Hxi+1 LD.
6
hi
(54)
En el algoritmo que se desarrolla a continuación se establece el sistema lineal
tridiagonal donde se incorpora el algoritmo de factorización de Crout para resolver el
sistema.
Se aproxima la solución al problema de valor de frontera:
„
- „x
I pHxL
„y
M
„y
+ qHxL y = f HxL,
0 § x § 1,
y H0L = yH1L = 0
Proyecto Fin de Carrera
62
è Algoritmo 6. Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz
Input HpHxL, qHxL, f HxL, nL
vector xi , ci ,hi
(* Se inicializan vectores y matrices *)
x0 ≠ 0
For i = 1, ...., n do
xi ≠ 0
ci ≠ 0
hi ≠ 0
End
For i = 0, ..., n do
hi ≠ xi+1 - xi
End
For i = 1, ..., n do
0 § x § xi-1
0,
x-xi-1
,
hi-1
xi+1 -x
,
hi
fi HxL ô :
xi-1 < x § xi
xi < x § xi+1
xi+1 < x § 1
0,
End
(* Se calculan Q1, j , Q2, j , Q3, j , Q4, j , Q5, j , Q6, j *)
For i = 1, ..., n - 1 do
Q1,i ≠
Q2,i ≠
Q3,i ≠
Q4,i ≠
hi
@qHxi L + qHxi+1 LD
12
hi-1
@3 qHxi L
12
hi
@3 qHxi L
12
hi-1
@pHxi L
2
Q5,i ≠
hi-1
@2
6
Q6,i ≠
hi
6
+ qHxi-1 LD
+ qHxi+1 LD
+ pHxi-1 LD
f Hxi L + f Hxi-1 LD
@2 f Hxi L + f Hxi+1 LD
End
(* Se calculan Q2,n , Q3,n , Q4,n , Q4,n+1 , Q5,n , Q6,n *)
Q2,n ≠
Q3,n ≠
Q4,n ≠
hn-1
@3 qHxn L
12
hn
@3 qHxn L
12
hn-1
@pHxn L
2
Q5,n ≠
hn-1
@2
6
Q6,n ≠
hn
6
+ qHxn-1 LD
+ qHxn+1 LD
+ pHxn-1 LD
f Hxn L + f Hxn-1 LD
@2 f Hxn L + f Hxn+1 LD
Software para la resolución de EDO
63
(* Creación del sitema lineal tridiagonal simétrico *)
For i = 1, 2, ..., n - 1 do
ai ≠ Q4,i + Q4,i+1 + Q2,i + Q3,i
bi ≠ Q1,i + Q4,i+1
bi ≠ Q5,i + Q6,i
End
an ≠ Q4,n + Q4,n+1 + Q2,n + Q3,n
bn ≠ Q5,n + Q6,n
(* Resolución del sitema lineal tridiagonal simétrico *)
a1 ≠ a1
b1
a1
z1 ≠
b
z1 ≠ a1
1
For i = 2, ..., n - 1 do
ai ≠ ai - bi-1 zi-1
zi ≠
bi
ai
zi ≠ Hbi - bi-1 zi-1 L ai
End
an ≠an - bn-1 zn-1
zn ≠
Hbn - bn-1 zn-1 L
an
cn ≠ zn
For i = n - 1, ..., 1 do
ci ≠ zi - zi ci+1
End
(* Cálculo de la función lineal segmentaria aproximante f(x) *)
fHxL ≠ ⁄ni=1 ci fi HxL
Return HfHxLL
Output
Ejemplo.
à Problema 5. Considérese el problema con valor de frontera
„
- „x
He-x y£ L + e-x y = Hx - 1L - Hx + 1L e-Hx-1L x œ @0, 1D,
yH0L = 0, yH1L = 0
y su solución exacta y = xHex - eL.
Aplíquese el método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz para aproximar la
solución f HxL.
Proyecto Fin de Carrera
64
Método lineal segmentario de Rayleigh - Ritz para aproximar la
solución al problema de valor de frontera.
„y
„
HpHxL
L + qHxL y = f HxL
„x
„x
‰-x y + ‰-x
„y
„x
- ‰-x
„2 y
„ x2
= x - ‰1-x Hx + 1L - 1
pHxL = ‰-x
qHxL = ‰-x
x œ @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0
f HxL = x - ‰1-x Hx + 1L - 1
Puntos.
n = 19
x0 = 0.
x1
h1
0.05 0.05
x2
h2
0.1
x3
h3
0.15 0.05
x4
h4
0.2
x5
h5
0.25 0.05
x6
h6
0.3
x7
h7
0.35 0.05
x8
h8
0.4
x9
h9
0.45 0.05
Hxi , hi L = x10 h10
= 0.5
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
x11 h11
0.55 0.05
x12 h12
0.6
x13 h13
0.65 0.05
x14 h14
0.7
x15 h15
0.75 0.05
x16 h16
0.8
x17 h17
0.85 0.05
x18 h18
0.9
x19 h19
0.95 0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
xn+1 = 1.
Integrales a evaluar.
Q1, i =H
1
hi
L2‡
xi+1
xi
Hxi+1 -xLHx-xi LqHxL „x
i = 1, 2,..., n-1.
Software para la resolución de EDO
65
0.00773167892989
0.00735460049901
0.00699591239997
0.00665471772621
0.00633016331282
0.00602143760506
0.00572776862784
0.00544842205530
Q1, i =
0.00518269937615
0.00492993614483
0.00468950032202
0.00446079069256
0.00424323536325
0.00403629033268
0.00383943813018
0.00365218652294
0.00347406728447
0.00330463502367
Q2, i =H
1
hi-1
L2‡
xi
xi-1
Hx-xi-1 L2 qHxL „x
0.0160539948995
0.0152710323292
0.0145262552940
0.0138178014636
0.0131438993339
0.0125028637990
0.0118930919363
0.0113130589980
0.0107613146000
Q2, i = 0.0102364790940
0.00973724011750
0.00926234931313
0.00881061920657
0.00838092023745
0.00797217793420
0.00758337022839
0.00721352489808
0.00686171713755
0.00652706724376
i = 1, 2,..., n.
Proyecto Fin de Carrera
Q3, i =H
66
1
hi
L2‡
xi+1
xi
Hxi+1 -xL2 qHxL „x
i = 1, 2,..., n.
0.0156576162758
0.0148939853189
0.0141675970837
0.0134766352203
0.0128193719648
0.0121941638167
0.0115994474294
0.0110337357029
0.0104956140628
Q3, i = 0.00998373692465
0.00949682432916
0.00903365874132
0.00859308200560
0.00817399245081
0.00777534213490
0.00739613422427
0.00703542050173
0.00669229899497
0.00636591172154
Q4, i =H
1
hi-1
L2‡
xi
xi-1
pHxL„x
i = 1, 2,..., n+1.
Software para la resolución de EDO
67
19.5082301997
18.5568025859
17.6517766444
16.7908893388
15.9719880026
15.1930249559
14.4520523852
13.7472174732
13.0767577655
Q4, i =
12.4389967637
11.8323397329
11.2552697146
10.7063437332
10.1841891878
9.68750042016
9.21503544952
8.76561286740
8.33810888325
7.93145451444
7.54463291322
Q5, i =
1
hi-1
‡
xi
xi-1
Hx-xi-1 Lf HxL „x
-0.0920823543453
-0.0906464595925
-0.0890671552422
-0.0873588716292
-0.0855349728124
-0.0836078260911
-0.0815888674426
-0.0794886629483
-0.0773169664427
Q5, i = -0.0750827736090
-0.0727943727297
-0.0704593922905
-0.0680848456236
-0.0656771727653
-0.0632422796942
-0.0607855751060
-0.0583120048712
-0.0558260843146
-0.0533319284470
i = 1, 2,..., n.
Proyecto Fin de Carrera
Q6, i =
1
hi
68
‡
xi+1
xi
Hxi+1 -xLf HxL „x
i = 1, 2,..., n.
-0.0911418082118
-0.0896086461892
-0.0879418169777
-0.0861550321492
-0.0842609837696
-0.0822714112291
-0.0801971639778
-0.0780482604087
-0.0758339431140
Q6, i = -0.0735627307280
-0.0712424665587
-0.0688803641976
-0.0664830502873
-0.0640566046152
-0.0616065976921
-0.0591381259668
-0.0566558448167
-0.0541639994481
-0.0516664538317
Sistema tridiagonal simétrico: A.x = b.
A=
38.0967
-18.5491
-17.6444
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
36.2387
-17.6444
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-16.7839
34.4714
-16.7839
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-15.9653
32.7902
-15.9653
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-15.1867
31.191
-15.1867
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-14.446
29.6698
-14.446
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-13.7415
28.2228
-13.7415
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-13.0713
26.8463
-13.0713
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-12.4338
25.537
-12.4338
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-11.8274
24.2916
-11.8274
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-11.2506
23.1068
-11.2506
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-10.7019
21.9799
-10.7019
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-10.1799
20.9079
-10.1799
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-9.68346
19.8882
-9.68346
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-9.2112
18.9183
-9.2112
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-8.76196
17.9956
-8.76196
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-8.33463
17.118
-8.33463
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-7.92815
16.2831
-7.92815
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-7.92815
15.489
Software para la resolución de EDO
-0.183224
-0.180255
-0.177009
-0.173514
-0.169796
-0.165879
-0.161786
-0.157537
-0.153151
b = -0.148646
-0.144037
-0.13934
-0.134568
-0.129734
-0.124849
-0.119924
-0.114968
-0.10999
-0.104998
Solución al sistema lineal tridiagonal simétrico.
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
c = c10
c11
c12
c13
c14
c15
c16
c17
c18
c19
-0.0833579867539
-0.161325802637
-0.233488871405
-0.299404271441
-0.358598918782
-0.410567638309
-0.454771116422
-0.490633728118
-0.517541230961
= -0.534838318030
-0.541826021412
-0.537758957369
-0.521842403760
-0.493229199752
-0.451016457281
-0.394242073107
-0.321881029648
-0.232841472121
-0.125960548737
Tabla de errores en la aproximación.
69
Proyecto Fin de Carrera
i
xi
70
fi Hxi L = ci
yHxi L
»fHxi L - yHxi L»
1
0.0500000000 -0.0833579868 -0.0833505366 7.4501497537µ 10-6
2
0.1000000000 -0.1613258026 -0.1613110910 1.4711598641µ 10-5
3
0.1500000000 -0.2334888714 -0.2334671379 2.173354501µ 10-5
4
0.2000000000 -0.2994042714 -0.2993758141 2.8457380887µ 10-5
5
0.2500000000 -0.3585989188 -0.3585641029 3.4815839019µ 10-5
6
0.3000000000 -0.4105676383 -0.4105269063 4.0732044091µ 10-5
7
0.3500000000 -0.4547711164 -0.4547249980 4.611846945µ 10-5
8
0.4000000000 -0.4906337281 -0.4905828523 5.0875790496µ 10-5
9
0.4500000000 -0.5175412310 -0.5174863393 5.4891625123µ 10-5
10
0.5000000000 -0.5348383180 -0.5347802789 5.8039150726µ 10-5
11
0.5500000000 -0.5418260214 -0.5417658458 6.0175586367µ 10-5
12
0.6000000000 -0.5377589574 -0.5376978168 6.1140527621µ 10-5
13
0.6500000000 -0.5218424038 -0.5217816496 6.0754120577µ 10-5
14
0.7000000000 -0.4932291998 -0.4931703847 5.8815060138µ 10-5
15
0.7500000000 -0.4510164573 -0.4509613589 5.5098396669µ 10-5
16
0.8000000000 -0.3942420731 -0.3941927200 4.9353133337µ 10-5
17
0.8500000000 -0.3218810296 -0.3218397301 4.129959513µ 10-5
18
0.9000000000 -0.2328414721 -0.2328108456 3.0626548779µ 10-5
19
0.9500000000 -0.1259605487 -0.1259435607 1.6988050936µ 10-5
Gráfica de la aproximacion obtenida con el método
lineal segmentario de Rayleigh - Ritz.
Software para la resolución de EDO
71
Y
0.2
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
0.4
0.6
0.8
1.0
X
Proyecto Fin de Carrera
72
9.2. Método de trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz
La matriz tridiagonal A dada por la funciones básicas es definida positiva, así que,
el sistema lineal es estable respecto al error de redondeo. De acuerdo con todas las hipótesis
formuladas se tiene:
° fHxL - yHxL ° = OIh2 M, para toda x en @0, 1D.
Se utilizan las funciones lineales seccionadas básicas que producen una solución
aproximada a la ecuación diferencial que describe el problema de valor de frontera del
apartado anterior, que es continua pero no diferenciable en el intervalo [0, 1]. Sin embargo,
se necesita un conjunto más complejo de funciones básicas para construir una aproximación
que pertenezca C02 @0, 1D. Esto se consigue con unas funciones similares al los trazadores
cúbicos interpolantes.
Como definicion de un trazador cubico interpolante S en cinco nodos x0 , x1 , x2 , x3
y x4 para la función f se tiene:
a) S es un polinomio cúbico (S j ) en el intervalo [ x j , x j+1 ] para toda j = 0, 1, 2, 3,
obteniéndose 16 constantes para S , 4 para cada polinomio cúbico.
b) SHx j L = f Hx j L, para j = 0, 1, 2, 3, 4.
c) S j+1 Hx j+1 L = S j Hx j+1 L, para j = 0, 1, 2.
d) S £ j+1 Hx j+1 L = S j £ Hx j+1 L, para j = 0, 1, 2.
e) S ≥ j+1 Hx j+1 L = S ≥ j Hx j+1 L, para j = 0, 1, 2.
Software para la resolución de EDO
73
f) Satisface una de las siguientes condiciones de frontera:
Libre: S ≥ Hx0 L = S ≥ Hx4 L = 0
Sujeto: S £ Hx0 L = f £ Hx0 L y S £ Hx4 L = f £ Hx4 L.
Las funciones de los trazadores cúbicos que se utilizan en estas funciones basicas
reciben el nombre de trazadores B o trazadores en forma de campana que difieren de los
trazadores interpolantes en que se satisfacen las condiciones de frontera descritas en el
punto f . Se flexibilizan dos de las condiciones dadas en los puntos b al e.
Ya que el trazador debe tener dos derivadas continuas en [ x0 , x4 ], se eliminan dos
de las condiciones de interpolación. Se modifica la condición del punto b, quedando:
b) SHx j L = f Hx j L para j = 0, 2, 4.
El trazador B básico, S , que se define a continuación usa los siguientes nodos
x0 = -2, x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1 y x4 = 2, que satisfacen las condiciones:
SHx0 L = 0, SHx2 L = 1, SHx4 L = 0
y también
S ≥ Hx0 L = S ≥ Hx4 L = 0
y S £ Hx0 L = S £ Hx4 L = 0
En consecuencia, S e C 2 H-¶, ¶L.
Proyecto Fin de Carrera
74
x § -2
0,
SHxL = :
1
H2 + xL3 ,
4
1
AH2 + xL3 - 4 H1 + xL3 E,
4
1
AH2 - xL3 - 4 H1 - xL3 E,
4
1
H2 - xL3 ,
4
-2 § x § -1
-1 < x § 0
0< x§1
(55)
1<x§2
2<x
0,
Para constuir las funciones básicas fi en C02 @0, 1D, primero se divide el intervalo
[0,1] en intervalos uniformemente espaciados eligiendo un entero positivo n y definiendo
un h =
1
.
n+1
Se obtienen los nodos equiespaciados xi = i h, siendo i = 0, 1, ..., n, n + 1.
Así las funciones básicas 8fi <n+1
i=0 se definen como sigue:
SI hx M - 4 SI x+h
M,
h
i=0
M - sI x+h
M,
SI x-h
h
h
x-i h
fi HxL = : SI h M,
h
SI x-n
M - SI
h
i=1
2§i§n-1
x-Hn+2L h
M,
h
x-Hn+1L h
x-Hn+2L h
SI h M - 4 SI h M,
(56)
i=n
i= n+1
El conjunto 8fi <n+1
i=0 es un conjunto de trazadores cúbicos linealmente independientes
que satisfacen fi H0L = fi H1L = 0 para i = 0, 1, ..., n, n + 1. Puesto que fi HxL y fi £ HxL son
distintas de cero, solo con xi-2 § x § xi+2 , la matriz de aproximación de Rayleigh-Ritz es
una matriz de banda con un ancho máximo de banda de siete:
Software para la resolución de EDO
a0,0
a1,0
A=
a0,1
a1,1
a2,0 a2,1
a3,0 a3,1
a0,2
a1,2
75
a0,3
a1,3
a1,4
a2,2 a2,3
a3,2 a3,3
a2,4
a3,4
∫
∏
0
a2,5
a3,5
∏
0
∏
ª
0
ª
a3,6
an-2,n+1
an-1,n+1
(57)
an,n+1
∫
0
0
an+1,n-2
an+1,n-1
an+1,n an+1,n+1
donde
ai j = Ÿ0 8 pHxL fi £ HxL f j £ HxL + qHxL fi HxL f j HxL< „ x
1
para i, j = 0, 1, ..., n + 1. La matriz A es definida positiva y se puede resolver el sistema
lineal mediante el algoritmo de Choleski o mediante el método de la eliminación gaussiana.
Se supone fHxL = ⁄n+1
i=0 ci fi HxL para toda x en el intervalo [0, 1]. En los nodos xi para
i = 0, ..., n + 1, se tiene:
f0 Hxi L = :
1
,
4
si i = 1
0, otro caso
si i = 1
1,
f1 Hxi L = : 14 ,
si i = 2
0, otro caso
1,
si i = n
0,
otro caso
fn Hxi L = : 14 , si i = n - 1
fn+1 Hxi L = :
1
,
4
si i = n
0, otro caso
y para j = 2, 3, ..., n - 1,
Proyecto Fin de Carrera
f j Hxi L = :
76
si i = j
1,
1
,
4
si i = j - 1 o i = j + 1
0,
otro caso
Como se puede observar a continuación en las gráficas, para algunos valores de
f HxL.
y SHxL
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
−2
x
−1
1
2
y φi@0D
y φi@1D
y
0.6
y
1.0
0.5
0.8
0.4
0.6
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Software para la resolución de EDO
77
y φi@5D
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Gráficas de fi HxL.
Figura 10
En el siguiente algoritmo se describe la construcción de la aproximación al trazador
cúbico fHxL por el método de Rayleigh-Ritz para el problema con valor de frontera
explicado anteriormente.
è Algoritmo 7. Método de trazadores cúbicos Rayleigh-Ritz
Se aproxima la solución al problema con valor de frontera
„
- „x
I pHxL
„y
M
„x
+ qHxL y = f HxL,
0 § x § 1,
con la suma de trazadores cúbicos fHxL = ⁄ ni=1 ci fi HxL.
Input HpHxL, qHxL, f HxL, nL
vector xi , hi ,ci
(* Se inicializan vectores y matrices *)
For i = 0, ...., n + 1 do
xi ≠ 0
ci ≠ 0
hi ≠ 0
y H0L = yH1L = 0
Proyecto Fin de Carrera
78
End
h≠
1
n+1
For i = 0, ..., n + 1 do
xi ≠ i h
End
x-2 ≠ 0
x-1 ≠ 0
xn+2 ≠ 1
xn+3 ≠ 1
(* Se define la funcion S *)
0,
1
H2 + xL3 ,
4
1
AH2 + xL3 - 4 H1 + xL3 E,
4
1
AH2 - xL3 - 4 H1 - xL3 E,
4
1
H2 - xL3 ,
4
SHxL ≠ :
x § -2
-2 < x § -1
-1 < x § 0
f0 ≠ SI h M - 4 SJ
f1 ≠ SI
1<x §2
2€x
0,
x
0< x §1
x+h
N
h
x-x1
x+h
M - SJ
N
h
h
For i = 2, ..., n - 1 do
x-x
fi ≠ SI h i M
End
fn ≠ SI
x-xn
h
fn+1 ≠ SI
M - SJ
x-Hn+2L h
N
h
x-xn+1
x-Hn+2L h
M - 4 SJ
N
h
h
For i = 0, ..., n + 1 do
For j = i, i + 1 , ..., mín H8i + 3, n + 1<L do
L ≠ máxI9x j-2 , 0=M
U ≠ mínH8xi+2 , 1<L
ai j ≠ ŸL 9pHxL fi £ HxL f j £ HxL
U
+ qHxL fi HxL f j HxL= „ x
If i ∫ j then
a j i ≠ ai j
End If
End
If i ¥ 4 then
For j = 0, ..., i - 4 do
ai j ≠ 0
End
Software para la resolución de EDO
79
End If
If i § n - 3 then
For j = i + 4, ..., n + 1 do
ai j ≠ 0
End
End If
L ≠ máxH8xi-2 , 0<L
U ≠ mínH8xi+2 , 1<L
bi ≠ ŸL f HxL fi HxL „ x
U
End
(* Se resuelve el sistema lineal de banda A c = b *)
A ≠ Iai j Mi, j=0
n+1
b ≠ Hb0 , b1 , ..., bn+1 L
T
c ≠ Hc0 , c1 , ..., cn+1 LT
c ≠ Cholesky HA, b, nL
(* Cálculo de la función aproximante al trazador cúbico f(x) *)
fHxL ≠ ⁄ni=1 ci fi HxL
Return HfHxLL
Output
Ejemplo.
à Problema 6. Considérese el problema con valor de frontera
-x2 y≥ - 2 x y£ + 2 y = -4 x2 x œ @0, 1D,
yH0L = 0, yH1L = 0
2
y su solución exacta y = x - x.
Aplíquese el método de los trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz para aproximar
la solución f HxL.
-x2 y≥ - 2 x y£ + 2 y = -4 x2
f HxL = -4 x
qHxL = 2
2
„
-x2 y≥ - 2 x y£ = - „x
Ix2
„y
MM - Ix2
„x
„
- „x
I pHxL
y≥ + 2 xM y£
„y
M
„x
+ qHxL y = f HxL
fl
pHxL = x2 .
Proyecto Fin de Carrera
80
Método de trazadores cúbicos de Rayleigh - Ritz para aproximar la
solución al problema de valor de frontera.
„y
„
HpHxL
L + qHxL y = f HxL
„x
„x
-
„2 y
„x
2
x2 - 2
„y
„x
x + 2 y = -4 x 2
pHxL = x 2
qHxL = 2
f HxL = -4 x 2
x œ @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0
Puntos.
n=9
x0 = 0.
0
x0
0.1
x1
0.2
x2
0.3
x3
0.4
x4
x
Hxi L = 5 = 0.5
x6
0.6
x7
0.7
x8
0.8
x9
0.9
x10
1.
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
U
k k+h SHai L, SHbi L
i j
L
0 0
0 0.2
0 0
0 0.2 0.1 0.2
0 0.1
0 1
0 0.2
0 1
0 0.2 0.1 0.2
0 0.1
0 2
0 0.2
0 2
0 0.2 0.1 0.2
0 0.1
0 3 0.1 0.2 0.1 0.2
fi HxL SHa j L, SHb j L
1. 1
JH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3 N - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2.
4
1
2.
H2 - 10. xL3
3.
4
1. 1
3
3
JH2 - 10. xL - 4 H1 - 10. xL N - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2.
4
1
2.
H2 - 10. xL3
3.
4
1
1.
JH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3 N - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2.
4
1
2.
H2 - 10. xL3
3.
4
1
2.
H2 - 10. xL3
3.
4
ai, j = ‡
L
U
1.
2.
f j HxL
1
4
JH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3 N - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
1
H2 - 10. xL3
4
1
0. 1
3
3
JH10. Hx - 0.1L + 2L - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L N - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2.
4
4
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N
3.
4
1
-1.
H10. Hx - 0.2L + 2L3
0
4
1
0.
JH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3 N
0
4
1
-1.
H10. Hx - 0.3L + 2L3
0
4
2.
3.
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H0,0L = 0.0785714
a H0,1L = 0.0861607
a H0,2L = -0.0367857
Software para la resolución de EDO
81
a H0,3L = -0.00419643
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
k k+h SHai L, SHbi L
1.
0 0 0.2
0 0.1
2.
2.
0 0 0.2 0.1 0.2
3.
i L
fi HxL
U
bi = ‡
U
L
1
4
IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3 M - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
1
4
H2 - 10. xL3
Hf HxL fi HxLL„x
b H0L = -0.000933333
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
U
k k+h SHai L, SHbi L
i j
L
1 1
0 0.3
1 1
0 0.3 0.1 0.2
0 0.1
1 1
0 0.3 0.2 0.3
1 2
0 0.3
1 2
0 0.3 0.1 0.2
1 2
0 0.3 0.2 0.3
0 0.1
1 3 0.1 0.3 0.1 0.2
1 3 0.1 0.3 0.2 0.3
1 4 0.2 0.3 0.2 0.3
fi HxL SHa j L, SHb j L
1
0. 1
JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 N - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2.
4
4
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N
3.
4
1
2.
H2 - 10. Hx - 0.1LL3
4.
4
1
0. 1
JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 N - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2.
4
4
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N
3.
4
1
2.
H2 - 10. Hx - 0.1LL3
4.
4
1
1.
3
JH2 - 10. Hx - 0.1LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N
3.
4
1
2.
H2 - 10. Hx - 0.1LL3
4.
4
1
2.
H2 - 10. Hx - 0.1LL3
4.
4
ai, j = ‡
L
U
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H1,1L = 0.445
a H1,2L = 0.06125
a H1,3L = -0.173571
a H1,4L = -0.0116964
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
f j HxL
1
0. 1
JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 N - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2.
4
4
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N
3.
4
1
2.
H2 - 10. Hx - 0.1LL3
4.
4
1
-1.
H10. Hx - 0.2L + 2L3
0
4
1
0.
3
JH10. Hx - 0.2L + 2L - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3 N
0
4
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3 N
0
4
1
-1.
H10. Hx - 0.3L + 2L3
0
4
1
0.
JH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3 N
0
4
1
-1.
H10. Hx - 0.4L + 2L3
0
4
Proyecto Fin de Carrera
82
k k+h SHai L, SHbi L
0.
1 0 0.3
0 0.1
2.
1.
1 0 0.3 0.1 0.2
3.
2.
1 0 0.3 0.2 0.3
4.
i L
fi HxL
U
bi = ‡
U
L
1
4
IH10. Hx - 0.1L + 2L - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L M 3
3
1
4
1
4
H2 - 10. Hx + 0.1LL
3
IH2 - 10. Hx - 0.1LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL M
3
3
1
4
H2 - 10. Hx - 0.1LL
3
Hf HxL fi HxLL„x
b H1L = -0.00796667
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
U
k k+h SHai L, SHbi L
fi HxL SHa j L, SHb j L
i j
L
2 2
0 0.4
0 0.1
-1.
0
2 2
0 0.4 0.1 0.2
0.
0
1
2 2
0 0.4 0.2 0.3
1.
0
1
2 2
0 0.4 0.3 0.4
2.
0
2 3 0.1 0.4 0.1 0.2
0.
0
1
2 3 0.1 0.4 0.2 0.3
1.
0
1
2 3 0.1 0.4 0.3 0.4
2.
0
2 4 0.2 0.4 0.2 0.3
1.
0
2 4 0.2 0.4 0.3 0.4
2.
0
1
2 5 0.3 0.4 0.3 0.4
2.
0
1
ai, j = ‡
L
U
1
4
4
4
4
IH2 - 10. Hx - 0.2LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL M
1.
0
1
3
3
H2 - 10. Hx - 0.2LL
4
4
3
IH2 - 10. Hx - 0.2LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL M
3
3
IH10. Hx - 0.2L + 2L - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L M
-1.
0
1
IH2 - 10. Hx - 0.2LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL M
0.
0
1
1.
0
1
3
3
3
3
H2 - 10. Hx - 0.2LL
3
IH2 - 10. Hx - 0.2LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL M
3
3
4
4
H2 - 10. Hx - 0.2LL
3
H2 - 10. Hx - 0.2LL
3
a H2,3L = -0.0516964
a H2,4L = -0.398571
a H2,5L = -0.0229464
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
4
4
0.
0
3
-1.
0
H10. Hx - 0.3L + 2L
3
IH2 - 10. Hx - 0.3LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL M
3
3
4
4
3
3
1
1
H2 - 10. Hx - 0.2LL
IH10. Hx - 0.3L + 2L - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L M
-1.
0
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H2,2L = 0.901429
4
4
3
3
1
3
H10. Hx - 0.2L + 2L
IH10. Hx - 0.2L + 2L - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L M
2.
0
4
4
1
1
3
1
1
f j HxL
-1.
0
0.
0
3
4
4
3
IH10. Hx - 0.2L + 2L - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L M
1
4
H10. Hx - 0.2L + 2L
H10. Hx - 0.4L + 2L
3
IH10. Hx - 0.4L + 2L - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L M
3
3
1
4
H10. Hx - 0.5L + 2L
3
Software para la resolución de EDO
i L
U
2 0 0.4
2 0 0.4
2 0 0.4
2 0 0.4
83
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0 0.1
0
0.
0.1 0.2
0
1.
0.2 0.3
0
2.
0.3 0.4
0
bi = ‡
U
L
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.2L + 2L3
1
4
IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3 M
1
4
IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3 M
1
4
H2 - 10. Hx - 0.2LL3
Hf HxL fi HxLL„x
b H2L = -0.026
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j
L
U
k k+h SHai L, SHbi L
fi HxL SHa j L, SHb j L
3 3 0.1 0.5 0.1 0.2
-1.
0
3 3 0.1 0.5 0.2 0.3
0.
0
1
3 3 0.1 0.5 0.3 0.4
1.
0
1
3 3 0.1 0.5 0.4 0.5
2.
0
3 4 0.2 0.5 0.2 0.3
0.
0
1
3 4 0.2 0.5 0.3 0.4
1.
0
1
3 4 0.2 0.5 0.4 0.5
2.
0
3 5 0.3 0.5 0.3 0.4
1.
0
3 5 0.3 0.5 0.4 0.5
2.
0
1
3 6 0.4 0.5 0.4 0.5
2.
0
1
ai, j = ‡
L
U
1
4
4
4
4
IH2 - 10. Hx - 0.3LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL M
1.
0
1
3
3
H2 - 10. Hx - 0.3LL
4
4
3
IH2 - 10. Hx - 0.3LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL M
3
3
IH10. Hx - 0.3L + 2L - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L M
-1.
0
1
IH2 - 10. Hx - 0.3LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL M
0.
0
1
1.
0
1
3
3
3
3
H2 - 10. Hx - 0.3LL
3
IH2 - 10. Hx - 0.3LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL M
3
3
4
4
H2 - 10. Hx - 0.3LL
3
H2 - 10. Hx - 0.3LL
3
a H3,4L = -0.220446
a H3,5L = -0.713571
a H3,6L = -0.0379464
4
4
0.
0
3
-1.
0
H10. Hx - 0.4L + 2L
3
IH2 - 10. Hx - 0.4LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL M
3
3
4
4
3
3
1
1
H2 - 10. Hx - 0.3LL
IH10. Hx - 0.4L + 2L - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L M
-1.
0
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H3,3L = 1.65143
4
4
3
3
1
3
H10. Hx - 0.3L + 2L
IH10. Hx - 0.3L + 2L - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L M
2.
0
4
4
1
1
3
1
1
f j HxL
-1.
0
0.
0
3
4
4
3
IH10. Hx - 0.3L + 2L - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L M
1
4
H10. Hx - 0.3L + 2L
H10. Hx - 0.5L + 2L
3
IH10. Hx - 0.5L + 2L - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L M
3
3
1
4
H10. Hx - 0.6L + 2L
3
Proyecto Fin de Carrera
84
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i
L
U
3 0.1 0.5
3 0.1 0.5
3 0.1 0.5
3 0.1 0.5
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0.1 0.2
0
0.
0.2 0.3
0
1.
0.3 0.4
0
2.
0.4 0.5
0
bi = ‡
U
L
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.3L + 2L3
1
4
IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3 M
1
4
IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3 M
1
4
H2 - 10. Hx - 0.3LL3
Hf HxL fi HxLL„x
b H3L = -0.056
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j
L
U
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0
1
fi Hx L
SHa j L, SHb j L
H10. Hx - 0.4L + 2L3
-1.
0
4 4 0.2 0.6 0.2
0.3
4 4 0.2 0.6 0.3
0.4
0. 1
IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3 M
0 4
4 4 0.2 0.6 0.4
0.5
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M
0 4
0.6
2.
0
4 5 0.3 0.6 0.3
4
f j HxL
1
4
0. 1
IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3 M
0 4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M
0 4
H2 - 10. Hx - 0.4LL3
2.
0
1
0.4
0. 1
IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3 M
0 4
-1.
0
1
4 5 0.3 0.6 0.4
0.5
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M
0 4
4 5 0.3 0.6 0.5
0.6
2.
0
0.5
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M
0 4
4 6 0.4 0.6 0.5
0.6
2.
0
1
4 7 0.5 0.6 0.5
0.6
2.
0
1
4 4 0.2 0.6 0.5
4 6 0.4 0.6 0.4
ai, j = ‡
L
U
1
4
1
4
H2 - 10. Hx - 0.4LL3
H10. Hx - 0.4L + 2L3
4
4
H2 - 10. Hx - 0.4LL3
H10. Hx - 0.5L + 2L3
0. 1
IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3 M
0 4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3 M
0 4
-1.
0
1
4
H10. Hx - 0.6L + 2L3
-1.11022 µ 10-15 1
H2 - 10. Hx - 0.4LL3
IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3 M
0
4
4
4
H2 - 10. Hx - 0.4LL3
-1.
0
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H4,4L = 2.70143
a H4,5L = -0.445446
a H4,6L = -1.11857
a H4,7L = -0.0566964
1
4
H10. Hx - 0.7L + 2L3
Software para la resolución de EDO
85
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i
L
U
4 0.2 0.6
4 0.2 0.6
4 0.2 0.6
4 0.2 0.6
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0.2 0.3
0
0.
0.3 0.4
0
1.
0.4 0.5
0
2.
0.5 0.6
0
bi = ‡
U
L
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.4L + 2L3
1
4
IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3 M
1
4
IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M
1
4
H2 - 10. Hx - 0.4LL3
Hf HxL fi HxLL„x
b H4L = -0.098
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j
L
U
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0
1
fi Hx L
SHa j L, SHb j L
H10. Hx - 0.5L + 2L3
-1.
0
5 5 0.3 0.7 0.3
0.4
5 5 0.3 0.7 0.4
0.5
0. 1
IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3 M
0 4
5 5 0.3 0.7 0.5
0.6
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3 M
0 4
0.7
2.
0
5 6 0.4 0.7 0.4
4
f j HxL
1
4
H10. Hx - 0.5L + 2L3
0. 1
IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3 M
0 4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3 M
0 4
H2 - 10. Hx - 0.5LL3
2.
0
1
0.5
0. 1
IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3 M
0 4
-1.
0
1
5 6 0.4 0.7 0.5
0.6
1. 1
-1.11022 µ 10-15 1
IH2 - 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3 M
IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3 M
0 4
0
4
5 6 0.4 0.7 0.6
0.7
2.
0
5 7 0.5 0.7 0.5
0.6
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3 M
0 4
0.7
2.
0
1
0.7
2.
0
1
5 5 0.3 0.7 0.6
5 7 0.5 0.7 0.6
5 8 0.6 0.7 0.6
ai, j = ‡
L
U
1
4
1
4
4
4
H2 - 10. Hx - 0.5LL3
4
4
H2 - 10. Hx - 0.5LL3
-1.
0
1
4
0
4
a H5,6L = -0.726696
a H5,7L = -1.61357
a H5,8L = -0.0791964
H10. Hx - 0.7L + 2L3
IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3 M
-1.
0
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H5,5L = 4.05143
H10. Hx - 0.6L + 2L3
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3 M
0 4
-15 1
3 -1.11022 µ 10
H2 - 10. Hx - 0.5LL
H2 - 10. Hx - 0.5LL3
1
4
H10. Hx - 0.8L + 2L3
Proyecto Fin de Carrera
86
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i
L
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0.3 0.4
0
0.
0.4 0.5
0
1.
0.5 0.6
0
2.
0.6 0.7
0
U
5 0.3 0.7
5 0.3 0.7
5 0.3 0.7
5 0.3 0.7
bi = ‡
U
L
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.5L + 2L
1
4
IH10. Hx - 0.5L + 2L - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L M
1
4
IH2 - 10. Hx - 0.5LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL M
3
3
3
3
1
4
H2 - 10. Hx - 0.5LL
Hf HxL fi HxLL„x
b H5L = -0.152
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j
L
U
SHai L, SHbi L
k k+h
6 6 0.4 0.8 0.4
0.5
6 6 0.4 0.8 0.5
0.6
6 6 0.4 0.8 0.6
0.7
6 6 0.4 0.8 0.7
0.8
6 7 0.5 0.8 0.5
0.6
-1.
0
1
4
fi HxL
SHa j L, SHb j L
H10. Hx - 0.6L + 2L3
-1.
0
f j HxL
1
4
H10. Hx - 0.6L + 2L3
-1.11022 µ 10-15 1
-1.11022 µ 10-15 1
IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3 M
IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3 M
0
0
4
4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3 M
0 4
0
2.
0
1
IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3 M
-1.
0
1
1
4
4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3 M
0 4
H2 - 10. Hx - 0.6LL3
2.
0
-1.11022 µ 10-15 1
4
4
H2 - 10. Hx - 0.6LL3
H10. Hx - 0.7L + 2L3
6 7 0.5 0.8 0.6
0.7
1. 1
-1.11022 µ 10-15 1
IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3 M
IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3 M
0 4
0
4
6 7 0.5 0.8 0.7
0.8
2.
0
6 8 0.6 0.8 0.6
0.7
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3 M
0 4
6 8 0.6 0.8 0.7
0.8
2.
0
1
6 9 0.7 0.8 0.7
0.8
2.
0
1
ai, j = ‡
L
U
1
4
4
4
H2 - 10. Hx - 0.6LL3
H2 - 10. Hx - 0.6LL3
H2 - 10. Hx - 0.6LL3
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3 M
0 4
-1.
0
a H6,7L = -1.0642
a H6,8L = -2.19857
a H6,9L = -0.105446
1
4
H10. Hx - 0.8L + 2L3
0. 1
IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3 M
0 4
-1.
-3.
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H6,6L = 5.70143
3
1
4
H10. Hx - 0.9L + 2L3
3
Software para la resolución de EDO
87
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i
L
U
k k+h
SHai L, SHbi L
-1.
0
6 0.4 0.8 0.4
0.5
6 0.4 0.8 0.5
0.6 -1.11022 µ 10
0
6 0.4 0.8 0.6
0.7
6 0.4 0.8 0.7
0.8
bi = ‡
U
L
-15
1.
0
2.
0
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.6L + 2L
1
4
JH10. Hx - 0.6L + 2L - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L N
1
4
JH2 - 10. Hx - 0.6LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL N
3
3
3
3
1
4
H2 - 10. Hx - 0.6LL
Hf HxL fi HxLL„x
b H6L = -0.218
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i
j
L
U
k k+h
SHai L, SHbi L
-1.
0
1
fi HxL
SHa j L, SHb j L
H10. Hx - 0.7L + 2L3
-1.
0
7
7 0.5 0.9 0.5
0.6
7
7 0.5 0.9 0.6
0.7
7
7 0.5 0.9 0.7
0.8
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3 M
0 4
0.9
2.
0
7
7 0.5 0.9 0.8
4
4
1
-1.
0
1
8 0.6 0.9 0.6
0.7
7
8 0.6 0.9 0.7
0.8
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3 M
0 4
7
8 0.6 0.9 0.8
0.9
2.
0
0.8
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3 M
0 4
0.9
2.
0
1
0.9
2.
0
1
7
9 0.7 0.9 0.8
7 10 0.8 0.9 0.8
H10. Hx - 0.7L + 2L3
ai, j = ‡
L
U
1
4
4
4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3 M
0 4
H2 - 10. Hx - 0.7LL3
7
9 0.7 0.9 0.7
4
2.
0
0. 1
IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3 M
0 4
7
f j HxL
1
-1.11022 µ 10-15 1
-1.11022 µ 10-15 1
IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3 M
IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3 M
0
0
4
4
1
H2 - 10. Hx - 0.7LL3
a H7,8L = -1.45795
a H7,9L = -2.87357
a H7,10L = -0.135446
4
4
H2 - 10. Hx - 0.7LL3
H10. Hx - 0.8L + 2L3
0. 1
IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3 M
0 4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M
0 4
-1.
-3.
1
4
H10. Hx - 0.9L + 2L3
H2 - 10. Hx - 0.7LL
0. 1
IH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3 M
-2. 4
H2 - 10. Hx - 0.7LL3
-1.
-2.
3
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H7,7L = 7.65143
3
1
4
H10. Hx - 1.L + 2L3
3
Proyecto Fin de Carrera
88
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i
L
U
SHai L, SHbi L
-1.
0
k k+h
7 0.5 0.9 0.5
0.6
-15
0.7 -1.11022µ 10
0
1.
0.8
0
2.
0.9
0
7 0.5 0.9 0.6
7 0.5 0.9 0.7
7 0.5 0.9 0.8
bi = ‡
U
L
fi Hx
1
4
H10. Hx - 0.7L + 2L
3
1
4
IH10. Hx - 0.7L + 2L - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L
3
1
4
IH2 - 10. Hx - 0.7LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL
3
3
3
1
4
H2 - 10. Hx - 0.7LL
3
Hf HxL fi HxLL„x
b H7L = -0.296
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i
j
L U
k k+h SHai L, SHbi L
fi Hx L SHa j L, SHb j L
f j HxL
H10. Hx - 0.8L + 2L3
-1.
0
0.8
0. 1
IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3 M
0 4
0.
0
1
8 0.6 1. 0.8
0.9
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M
0 4
1.
0
1
8
8 0.6 1. 0.9
1.
H2 - 10. Hx - 0.8LL3
2.
0
8
9 0.7 1. 0.7
0.8
0. 1
IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3 M
0 4
-1.
-3.
0.9
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M
0 4
0.
-2.
8
8 0.6 1. 0.6
0.7
8
8 0.6 1. 0.7
8
8
8
9 0.7 1. 0.8
9 0.7 1. 0.9
-1.
0
0.9
8 10 0.8 1. 0.9
1.
4
2.
0
1
4
2.
0
1.
8 10 0.8 1. 0.8
1
1
4
-1.
-2.
H2 - 10. Hx - 0.8LL3
0.
-1.
L
U
1
4
4
4
4
a H8,9L = -1.73875
a H8,10L = -2.96179
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M
4
1
4
4
H2 - 10. Hx - 0.8LL3
H10. Hx - 0.9L + 2L3
IH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3 M
1
4
1
4
H10. Hx - 1.L + 2L3
IH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3 M - H10. Hx - 1.1L + 2L3
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H8,8L = 9.90143
IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3 M
1
1
H10. Hx - 0.8L + 2L3
1
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3 M - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1. 4
4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M
0 4
2.
0
ai, j = ‡
H2 - 10. Hx - 0.8LL
3
1
Software para la resolución de EDO
i
L U
8 0.6 1.
8 0.6 1.
8 0.6 1.
8 0.6 1.
89
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0.6 0.7
0
0.
0.7 0.8
0
1.
0.8 0.9
0
2.
0.9
1.
0
bi = ‡
U
L
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.8L + 2L3
1
4
IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3 M
1
4
IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M
1
4
H2 - 10. Hx - 0.8LL3
Hf HxL fi HxLL„x
b H8L = -0.386
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
j
9 0.7 1 0.7 0.8
-1.
-3.
9
9 0.7 1 0.8 0.9
0.
-2.
9
L U
k k+h SHai L, SHbi L
i
9
9 0.7 1 0.9
1.
9 10 0.8 1 0.8 0.9
9 10 0.8 1 0.9
1.
fi HxL SHa j L, SHb j L
1
H10. Hx - 0.9L + 2L3
-1.
-3.
JH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3 N
0.
-2.
4
1
4
1
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3 N - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1.
4
4
1
0.
JH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3 N
-2.
4
1
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3 N - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1.
4
4
ai, j = ‡
L
U
f j HxL
1
4
1
4
H10. Hx - 0.9L + 2L3
JH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3 N
1
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3 N - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1.
4
4
1
-1.
H10. Hx - 1.L + 2L3
-2.
4
1
0.
3
3
JH10. Hx - 1.L + 2L - 4 H10. Hx - 1.L + 1L N - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1.
4
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H9,9L = 16.645
a H9,10L = 7.82991
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
9 0.7 1 0.7 0.8
-3.
0.
9 0.7 1 0.8 0.9
-2.
1.
9 0.7 1 0.9
1.
-1.
i
fi HxL
L U
bi = ‡
L
U
1
4
1
4
1
4
Hf HxL fi HxLL„x
3
IH10. Hx - 0.9L + 2L - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L M
3
IH2 - 10. Hx - 0.9LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL M 3
H10. Hx - 0.9L + 2L
3
3
1
4
H10. Hx - 1.1L + 2L
3
Proyecto Fin de Carrera
90
b H9L = -0.437967
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i
j
L U
k k+h SHai L, SHbi L
10 10 0.8 1 0.8 0.9
10 10 0.8 1 0.9
1.
fi HxL SHa j L, SHb j L
1
-1.
-2.
H10. Hx - 1.L + 2L3
4
1
0.
JH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3 N - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1.
4
ai, j = ‡
L
U
f j HxL
1
-1.
-2.
H10. Hx - 1.L + 2L3
4
1
0.
JH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3 N - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1.
4
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H10,10L = 14.1786
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0.9
-2.
0.
10 0.8 1 0.9
1.
-1.
i
fi HxL
L U
1
4
10 0.8 1 0.8
bi = ‡
U
L
1
4
H10. Hx - 1.L + 2L
3
IH10. Hx - 1.L + 2L - 4 H10. Hx - 1.L + 1L M - H10. Hx - 1.1L + 2L
3
3
3
Hf HxL fi HxLL„x
b H10L = -0.176933
Sistema con una matriz simétrica en banda: A.x = b.
A=
0.0785714
0.0861607
-0.0367857 -0.00419643 0
0
0
0
0
0
0.0861607
0.445
0.06125
-0.173571
-0.0116964 0
0
0
0
0
0
-0.0367857
0.06125
0.901429
-0.0516964
-0.398571
-0.0229464 0
0
0
0
0
-0.00419643 -0.173571
-0.0516964 1.65143
0
-0.0116964 -0.398571
-0.220446
0
0
-0.0229464 -0.713571
0
0
0
-0.0379464
0
-0.220446
-0.713571
-0.0379464 0
0
0
0
2.70143
-0.445446
-1.11857
-0.0566964 0
0
0
-0.445446
4.05143
-0.726696
-1.61357
-0.0791964 0
0
-1.11857
-0.726696
5.70143
-1.0642
-2.19857
-1.0642
7.65143
-1.45795
-2.87357
-0.135446
-1.45795
9.90143
-1.73875
-2.96179
0
0
0
0
-0.0566964 -1.61357
0
0
0
0
0
-0.0791964 -2.19857
-0.105446 0
0
0
0
0
0
0
-0.105446
-2.87357
-1.73875
16.645
7.82991
0
0
0
0
0
0
0
-0.135446
-2.96179
7.82991
14.1786
Software para la resolución de EDO
-0.000933333
-0.00796667
-0.026
-0.056
-0.098
b = -0.152
-0.218
-0.296
-0.386
-0.437967
-0.176933
Solución al sistema lineal simétrico. Se aplica el método de Cholesky.
La matriz A es definida positiva.
c0
c1
c2
c3
c4
c = c5
c6
c7
c8
c9
c10
-0.00222222222147
-0.0622222222237
-0.108888888890
-0.142222222226
-0.162222222225
= -0.168888888894
-0.162222222225
-0.142222222224
-0.108888888891
-0.0622222222165
-0.00222222223236
0
-0.0933333333355
-0.163333333335
-0.213333333339
-0.243333333338
f Hxi L = -0.253333333341
-0.243333333337
-0.213333333336
-0.163333333336
-0.0933333333247
-7.77156120782µ 10-18
91
Proyecto Fin de Carrera
92
n+1
f HxL = ‚ ci HxL fi HxL =
i=0
-0.00222222 4 H10. Hx - 1.1L + 1L3 - H10. Hx - 1.1L + 2L3 +
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
IH2 - 10. Hx - 1.LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 1.LL3 M + -0.0622222
IH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3 M -
1
4
H10. Hx - 1.1L + 2L3 +
-0.108889 IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M +
-0.142222 IH2 - 10. Hx - 0.7LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL M +
3
3
-0.162222 IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3 M +
-0.168889 IH2 - 10. Hx - 0.5LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL M +
3
3
-0.162222 IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M +
-0.142222 IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3 M +
-0.108889 IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3 M +
-0.0622222 IH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 M +
-0.00222222
1
4
IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3 M - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
Tabla de errores en la aproximación con el método.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
ci
0
-0.0022222222
0.1 -0.0622222222
0.2 -0.1088888889
0.3 -0.1422222222
0.4 -0.1622222222
0.5 -0.1688888889
0.6 -0.1622222222
0.7 -0.1422222222
0.8 -0.1088888889
0.9 -0.0622222222
1.
-0.0022222222
fHxi L
0.0000000000
-0.0900000000
-0.1600000000
-0.2100000000
-0.2400000000
-0.2500000000
-0.2400000000
-0.2100000000
-0.1600000000
-0.0900000000
0.0000000000
yHxi L
0.0000000000
-0.0900000000
-0.1600000000
-0.2100000000
-0.2400000000
-0.2500000000
-0.2400000000
-0.2100000000
-0.1600000000
-0.0900000000
0.0000000000
»fHxi L - yHxi L»
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
Gráficas de la aproximación f HxL cúbica de Rayleigh - Ritz y la solución exacta.
Software para la resolución de EDO
93
y x2 - x
y fHxL
y
-0.05
y
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
-0.05
-0.10
-0.10
-0.15
-0.15
-0.20
-0.20
-0.25
-0.25
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
9.2.1. Método de Cholesky
El metodo de factorizacion de Cholesky es utilizado para resolver los sistemas de
ecuaciones de tipo A x = b, donde la matriz A es definida positiva, que a menudo aparecen
en este tipo de problemas.
Para factorizar esta matriz A en L L£ , donde L es una matriz triangular inferior, se
aplica el siguiente método:
Algoritmo de factorización de Cholesky
Input IIai j M, Hbi L, nM
l1,1 ≠
a1,1
For i = 2, 3, ..., n do
l j i ≠ a j i ë l1,1
End
For i = 1, 2, 3, ..., n do
i-1
1ê2
li i ≠ ai i - S li2k
k=1
For j = i + 1, i + 2, ..., n do
l j i ≠ a j i - S l j k .li k ì li i
i-1
k=1
End
End
i-1
ln n ≠ an n - S ln2 k
k=1
1ê2
Proyecto Fin de Carrera
94
y1 ≠ b1 ë l1,1
For i = 2, ..., n do
yi ≠ bi - S l i j y j ì l i i
i-1
k=1
End
xn ≠ yn ê ln n
For i = n - 1, ..., 1 do
xi ≠ yi - S l j i x j ì l i i
n
j=i+1
End
Return H xi L
Output
Software para la resolución de EDO
95
10. Estudio de la arquitectura
En esta sección se analiza la arquitectura propuesta para la correcta implantación de
la plataforma de desarrollo del proyecto.
Como soporte software, en primer lugar, se propone un sistema operativo
comercial, como Windows XP, Windows Vista, Machintosh, etc.
Es necesaria también una herramienta matemática para la programación de la
aplicación, en este caso Mathematica en su versión 6.0, y el paquete gráfico The Super
Widget Package (SWP) para la creación de la interfaz de usuario (GUI).
Para la ejecución de la aplicación es necesario contar también con la JVM (Java
Virtual Machine) ya que utiliza un núcleo Java para la ejecución de las interfaces y por
último, un software que permita la generación de ficheros PDF para la impresión de la
documentación en formato digital, como por ejemplo PDFCreator.
Proyecto Fin de Carrera
96
11. Diseño externo
A continuación se describe el diseño de las ventanas de la interfaz de usuario que se
ha desarrollado para esta aplicación, incluyendo una descripción y características generales
de cada una de las ventanas. Se puede observar que se trata de una interfaz muy sencilla que
hace que la realización de operaciones sea fácil y cómoda para el usuario final.
Ventana de la aplicación Aproximación de Ecuaciones Diferenciales.
Figura 11
Software para la resolución de EDO
97
11.1. Métodos lineales
Método del disparo lineal.
En esta ventana se encuentran diferentes casillas de texto donde se introducen los
parámetros necesarios para la ejecución de este método. La ecuación debe de ser
introducida en la forma y≥ = pHxL y£ + qHxL y + rHxL, que se indica en la parte superior
derecha de la ventana.
Existe también otra casilla de texto donde se puede introducir de manera opcional la
ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método. A
continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo y los valores
de frontera correspondientes a dicho intervalo.
Por último el tamaño del paso por el que será dividido el intervalo. En la parte
inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “Salir”.
Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el
cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,
mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en
rojo, los puntos de la aproximación. Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve
a la ventana principal.
A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.
Proyecto Fin de Carrera
98
ô En el ejemplo se han tomado los siguientes datos:
y≥ = y£ + 2 y + cosHxL donde pHxL = 1, qHxL = 2 y rHxL = cosHxL,
definida en el intervalo A0,
p
E
2
con unos valores de frontera f HaL = -0.3 y f HbL = -0.1 y
un tamaño de paso de p8 .
La solución exacta a la ecuación diferencia es y =
1
10
HsenHxL + 3 cosHxLL, la cual
se puede ver representada en la gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a
la representación de la aproximación obtenida en color rojo.
Ventana : M étodo del disparo lineal.
Figura 12
Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.
Software para la resolución de EDO
99
Método del disparo lineal para el problema con valor de frontera:
y≥ = 1.y£ + 2.y + cosHxL
x œ @0., 1.5708D, yH0.L = -0.3,
i
xi
0
1
2
3
4
0.0000000000
0.3926990817
0.7853981634
1.1780972451
1.5707963268
u1,i
-0.3000000000
-0.2650158208
-0.1383948423
0.1321628120
0.6588350398
yH1.5708L = -0.1
v1,i
h = 0.392699
w1,i
0.0000000000
0.5050394157
1.4473056289
3.4005282847
7.6041297787
w2,i
-0.3000000000
-0.3154149613
-0.2828250738
-0.2071843706
-0.1000000000
-0.0997924893
0.0225360287
0.1414535329
0.2388551820
0.2999187862
Tabla de errores
xi
w1,i
yHxi L
»w1,i - yHxi L»
0.0000000000 -0.3000000000 -0.3000000000
0.3926990817 -0.3154149613 -0.3154322030
0.0000000000
0.0000172417
0.7853981634 -0.2828250738 -0.2828427125
0.0000176386
1.1780972451 -0.2071843706 -0.2071929830
1.5707963268 -0.1000000000 -0.1000000000
8.6123787982µ 10-6
0.0000000000
Método de las diferencias finitas.
El diseño de esta ventana es muy similar a la del método del disparo lineal. En ella
se encuentran también diferentes casillas de texto donde se introducen los parámetros
necesarios para la ejecución de este método.
La ecuación debe de ser introducida en la forma y≥ = pHxL y£ + qHxL y + rHxL, que se
indica en la parte superior derecha de la ventana. Existe también otra casilla de texto donde
se puede introducir de manera opcional la ecuación real para hacer una comparativa a
posteriori del error cometido por el método.
A continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo y
Proyecto Fin de Carrera
100
los valores de frontera correspondientes a dicho intervalo.
Por último el tamaño del paso por el que será dividido el intervalo.
En la parte inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “Salir”.
Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el
cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,
mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en
rojo, los puntos de la aproximación.
Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve a la ventana principal.
A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.
ô En el ejemplo se toman los siguientes datos:
y≥ = 2 y£ - y + x e x - x donde pHxL = 2, qHxL = -1 y rHxL = x e x - x
definida en el intervalo @0, 2D con unos valores de frontera f HaL = 0 y f HbL = -4 y un
tamaño de paso de 0.2.
La ecuación solución exacta es y =
1
6
x3 e x -
5
3
x e x + 2 e x - x - 2, la cual se puede ver
representada en la gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la representación de la aproximación obtenida en color rojo.
Software para la resolución de EDO
Ventana : M étodo de las diferencia finitas.
Figura 13
Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.
Método de las diferencias finitas para el problema con valor de frontera:
y≥ = 2.y£ + -1.y + ‰x x - x
x œ @0., 2.D, yH0.L = 0., yH2.L = -4.
h = 0.2
i
0
1
2
3
xi
0.0000000000
0.2000000000
0.4000000000
0.6000000000
wi
0.0000000000
-0.1603338739
-0.3906039636
-0.7066424059
4
0.8000000000 -1.1207043851
5
1.0000000000 -1.6367404975
6
1.2000000000 -2.2430435498
7
1.4000000000 -2.9011389354
8
1.6000000000 -3.5293610693
9
10
1.8000000000 -3.9789836227
2.0000000000 -4.0000000000
101
Proyecto Fin de Carrera
102
Tabla de errores
xi
0.0000000000
wi
0.0000000000
yHxi L
»wi - yHxi L»
0.0000000000 0.
0.2000000000 -0.1603338739 -0.1627001994 2.3663254409µ 10-3
0.4000000000 -0.3906039636 -0.3949876064 4.3836427792µ 10-3
0.6000000000 -0.7066424059 -0.7122849228 5.6425168725µ 10-3
0.8000000000 -1.1207043851 -1.1263932218 5.6888366605µ 10-3
1.0000000000 -1.6367404975 -1.6408590858 4.1185882674µ 10-3
1.2000000000 -2.2430435498 -2.2438063263 7.6277646196µ 10-4
1.4000000000 -2.9011389354 -2.8971552041 3.9837312552µ 10-3
1.6000000000 -3.5293610693 -3.5207514812 8.6095880741µ 10-3
1.8000000000 -3.9789836227 -3.9693901290 9.5934937405µ 10-3
2.0000000000 -4.0000000000 -4.0000000000 0.
Software para la resolución de EDO
103
11.2. Métodos no lineales
Método del disparo no lineal.
En esta ventana se encuentran diferentes casillas de texto donde se introducen los
parámetros necesarios para la ejecución de este método.
La ecuación debe de ser introducida en la forma y≥ = f HxL y£ , que se indica en la
parte superior derecha de la ventana.
Existe también otra casilla de texto donde se puede introducir de manera opcional la
ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método. A
continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo y los valores
de frontera correspondientes a dicho intervalo.
Por último el tamaño del paso por el que será dividido el intervalo. En la parte
inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “Salir”.
Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el
cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,
mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en
rojo, los puntos de la aproximación. Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve
a la ventana principal.
A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.
Proyecto Fin de Carrera
ô
104
En el ejemplo se toman los siguientes datos:
y≥ =
1
8
I32 + 2 x3 - y y£ M donde f HxL =
1
8
I32 + 2 x3 - y y£ M
definida en el intervalo @1, 3D con unos valores de frontera f HaL = 17 y f HbL =
43
3
y un
tamaño de paso de h = 0.2.
La ecuación real dada es y = x2 +
16
,
x
la cual se puede ver representada en la
gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la representación de la aproximación obtenida en color rojo.
Ventana : M étodo del disparo no lineal.
Figura 14
Software para la resolución de EDO
105
Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.
Método del disparo no lineal para el problema con valor de frontera:
1
y≥ = I2 x 3 - y z + 32M
8
x œ @1., 3.D, yH1.L = 17., yH3.L = 14.3333
h = 0.1
i
0
xi
w1,i
w2,i
1.0000000000 17.0000000000 -14.0001920179
1
1.1000000000 15.7554961488 -11.0233385768
2
1.2000000000 14.7733911653 -8.7112939059
3
1.3000000000 13.9977542927 -6.8676175175
4
1.4000000000 13.3886317842 -5.3634064170
5
1.5000000000 12.9167227086 -4.1112334541
6
1.6000000000 12.5600506102 -3.0501060229
7
1.7000000000 12.3018095681 -2.1364242137
8
1.8000000000 12.1289280960 -1.3383516879
9
1.9000000000 12.0310864790 -0.6322028142
10
2.0000000000 12.0000288758 -0.0000610418
11
2.1000000000 12.0290719448
0.5718286786
12
2.2000000000 12.1127474726
1.0941681346
13
2.3000000000 12.2465382236
1.5753844538
14
2.4000000000 12.4266798245
2.0221865406
15
2.5000000000 12.6500101951
2.4399689503
16
2.6000000000 12.9138537239
2.8331091970
17
2.7000000000 13.2159311827
3.2051894605
18
2.8000000000 13.5542889444
3.5591638905
19
2.9000000000 13.9272428451
3.8974862467
20
3.0000000000 14.3333332740
4.2222082675
Tabla de errores.
Proyecto Fin de Carrera
xi
106
w1,i
yHxi L
»w1,i - yHxi L»
1.0000000000 17.0000000000 17.0000000000
0.0000000000
1.1000000000 15.7554961488 15.7554545455
0.0000416033
1.2000000000 14.7733911653 14.7733333333
0.0000578320
1.3000000000 13.9977542927 13.9976923077
0.0000619850
1.4000000000 13.3886317842 13.3885714286
0.0000603556
1.5000000000 12.9167227086 12.9166666667
0.0000560420
1.6000000000 12.5600506102 12.5600000000
0.0000506102
1.7000000000 12.3018095681 12.3017647059
0.0000448622
1.8000000000 12.1289280960 12.1288888889
0.0000392071
1.9000000000 12.0310864790 12.0310526316
0.0000338474
2.0000000000 12.0000288758 12.0000000000
0.0000288758
2.1000000000 12.0290719448 12.0290476190
0.0000243257
2.2000000000 12.1127474726 12.1127272727
0.0000201999
2.3000000000 12.2465382236 12.2465217391
0.0000164844
2.4000000000 12.4266798245 12.4266666667
0.0000131579
2.5000000000 12.6500101951 12.6500000000
0.0000101951
2.6000000000 12.9138537239 12.9138461538
7.5700547360µ 10-6
2.7000000000 13.2159311827 13.2159259259
5.2567860820µ 10-6
2.8000000000 13.5542889444 13.5542857143
3.2300976915µ 10-6
2.9000000000 13.9272428451 13.9272413793
1.4657825673µ 10-6
3.0000000000 14.3333332740 14.3333333333
5.9304811728µ 10-8
Método de las diferencias finitas para problemas no lineales.
El diseño de esta ventana es muy similar a la del método del disparo lineal, en ella
se encuentran también diferentes casillas de texto donde se introducen los parámetros
necesarios para la ejecución de este método. En esta ventana se encuentran diferentes
casillas de texto donde se introducen los parámetros necesarios para la ejecución de este
método.La ecuación debe de ser introducida en la forma y≥ = f HxL y£ , que se indica en la
parte superior derecha de la ventana.
Existe también otra casilla de texto donde se puede introducir de manera opcional la
ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método.A
Software para la resolución de EDO
107
continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo y los valores
de frontera correspondientes a dicho intervalo.
Por último el tamaño del paso por el que será dividido el intervalo. En la parte
inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “Salir”.
Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el
cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,
mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en
rojo, los puntos de la aproximación. Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve
a la ventana principal.
A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.
ô En el ejemplo se toman los siguientes datos:
y≥ = 2 y3 donde f HxL = 2 y3
definida en el intervalo @1, 2D con unos valores de frontera f HaL =
1
4
y f HbL =
1
5
y un
tamaño de paso de h = 0.25.
La ecuación real dada es y =
1
,
x +3
la cual se puede ver representada en la gráfica
en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la representación de la aproximación
obtenida en color rojo.
Proyecto Fin de Carrera
108
Ventana : M étodo de las disferencias finitas para problemas no lineales.
Figura 15
Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.
Método del diferencias finitas para el problema
no lineal con valor de frontera.
y≥ = 2 y3
x œ @1., 2.D, yH1.L = 0.25, yH2.L = 0.2
i
xi
wi
0
1.0000000000
0.2500000000
1
1.2500000000
0.2353010811
2
1.5000000000
0.2222306398
3
4
1.7500000000
2.0000000000
0.2105320965
0.2000000000
Tabla de errores.
h = 0.25
Software para la resolución de EDO
xi
wi
109
yHxi L
»wi - yHxi L»
1.0000000000
0.2500000000
0.2500000000 0.
1.2500000000
0.2353010811
0.2352941176 6.9634618716µ 10-6
1.5000000000
0.2222306398
0.2222222222 8.4175641572µ 10-6
1.7500000000
2.0000000000
0.2105320965
0.2000000000
0.2105263158 5.78067356µ 10-6
0.2000000000 0.
Proyecto Fin de Carrera
110
11.3. Métodos de Rayleigh-Ritz
Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz.
En esta ventana se encuentran diferentes casillas de texto donde se introducen los
parámetros necesarios para la ejecución de este método. La ecuación debe de ser
introducida en la forma pHxL y≥ + qHxL y = f HxL, que se indica en la parte superior derecha
de la ventana.
Existe también otra casilla de texto donde se puede introducir de manera opcional la
ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método.
A continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo, que
en este método es siempre @0, 1D.
Por último el número de subintervalos que se realizan en el intervalo original dado.
En la parte inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “Salir”.
Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el
cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,
mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en
rojo, los puntos de la aproximación. Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve
a la ventana principal.
A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.
Software para la resolución de EDO
ô
111
Se toman los siguientes datos:
y≥ + p2 y = 2 p2 senHp xL donde pHxL = 1, qHxL = p2 y f HxL = 2 p2 senHp xL,
definida en el intervalo @0, 1D y un número de subintervalos de 9.
La ecuación real dada es y = senHp xL, la cual se puede ver representada en la
gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la representación de la aproximación obtenida en color rojo.
Ventana : Método lineal segmentario de Rayleigh - Ritz.
Figura 16
Proyecto Fin de Carrera
112
Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.
Método lineal segmentario de Rayleigh - Ritz para aproximar la
solución al problema de valor de frontera.
„y
„
HpHxL
L + qHxL y = f HxL
„x
„x
2
p y-
„2 y
„ x2
= 2 p2 sinHp xL
pHxL = 1
qHxL = p2
f HxL = 2 p2 sinHp xL
x œ @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0
Puntos.
n=9
x0 = 0.
x1 h1
x2 h2
x3 h3
x4 h4
Hxi , hi L = x5 h5
x6 h6
x7 h7
x8 h8
x9 h9
0.1
0.2
0.3
0.4
= 0.5
0.6
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.7 0.1
0.8 0.1
0.9 0.1
xn+1 = 1.
Integrales a evaluar.
Q1, i =H
1
hi
L2‡
xi+1
xi
Hxi+1 -xLHx-xi LqHxL „x
0.164493406685
0.164493406685
0.164493406685
Q1, i =
0.164493406685
0.164493406685
0.164493406685
0.164493406685
0.164493406685
i = 1, 2,..., n-1.
Software para la resolución de EDO
Q2, i =H
1
hi-1
L2‡
xi
xi-1
113
Hx-xi-1 L2 qHxL „x
i = 1, 2,..., n.
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
Q2, i = 0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
Q3, i =H
1
hi
L2‡
xi+1
xi
Hxi+1 -xL2 qHxL „x
i = 1, 2,..., n.
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
Q3, i = 0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
Q4, i =H
Q4, i
1
hi-1
L2‡
xi
pHxL„x
i = 1, 2,..., n+1.
xi-1
10.0000000000
10.0000000000
10.000000000
10.0000000000
10.0000000000
=
10.000000000
10.0000000000
10.0000000000
10.0000000000
10.0000000000
Q5, i =
1
hi-1
‡
xi
xi-1
Hx-xi-1 Lf HxL „x
i = 1, 2,..., n.
Proyecto Fin de Carrera
114
0.204675558016
0.492161466035
0.731471180669
0.899179399679
Q5, i = 0.978869674097
0.962741364629
0.852373222577
0.658568850666
0.400299171133
Q6, i =
1
hi
‡
xi+1
xi
Hxi+1 -xLf HxL „x
i = 1, 2,..., n.
0.400299171133
0.658568850666
0.852373222577
0.962741364629
Q6, i = 0.978869674097
0.899179399679
0.731471180669
0.492161466035
0.204675558016
Sistema tridiagonal simétrico: A.x = b.
A=
20.658
-9.83551
0
0
0
0
0
0
0
-9.83551
20.658
-9.83551
0
0
0
0
0
0
0
-9.83551
20.658
-9.83551
0
0
0
0
0
0.604975
1.15073
1.58384
1.86192
b = 1.95774
1.86192
1.58384
1.15073
0.604975
0
0
-9.83551
20.658
-9.83551
0
0
0
0
0
0
0
-9.83551
20.658
-9.83551
0
0
0
0
0
0
0
-9.83551
20.658
-9.83551
0
0
0
0
0
0
0
-9.83551
20.658
-9.83551
0
0
0
0
0
0
0
-9.83551
20.658
-9.83551
0
0
0
0
0
0
0
-9.83551
20.658
Software para la resolución de EDO
115
Solución al sistema lineal tridiagonal simétrico.
c1
c2
c3
c4
c = c5
c6
c7
c8
c9
0.310286675614
0.590200329525
0.812341063015
0.954964193344
= 1.00410877480
0.954964193344
0.812341063015
0.590200329525
0.310286675614
Tabla de errores en la aproximación.
i
xi
fi Hxi L = ci
yHxi L
»fHxi L - yHxi L»
1
0.1000000000
0.3102866756
0.3090169944 1.2696812395µ 10-3
2
0.2000000000
0.5902003295
0.5877852523 2.4150772329µ 10-3
3
0.3000000000
0.8123410630
0.8090169944 3.32406864µ 10-3
4
0.4000000000
0.9549641933
0.9510565163 3.9076770484µ 10-3
5
0.5000000000
1.0041087748
1.0000000000 4.1087748009µ 10-3
6
0.6000000000
0.9549641933
0.9510565163 3.9076770483µ 10-3
7
0.7000000000
0.8123410630
0.8090169944 3.32406864µ 10-3
8
0.8000000000
0.5902003295
0.5877852523 2.4150772329µ 10-3
9
0.9000000000
0.3102866756
0.3090169944 1.2696812395µ 10-3
Método de los trazadores cúbicos de Rayleigh - Ritz.
En esta ventana se encuentran diferentes casillas de texto donde se introducen los
parámetros necesarios para la ejecución de este método. La ecuación debe de ser
introducida en la forma pHxL y≥ + qHxL y = f HxL, que se indica en la parte superior derecha
de la ventana.
Existe también otra casilla de texto donde se puede introducir de manera opcional la
ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método.
A continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo, que
Proyecto Fin de Carrera
116
en este método es siempre @0, 1D.
Por último el número de subintervalos que se realizan en el intervalo original dado.
En la parte inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “Salir”.
Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el
cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,
mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en
rojo, los puntos de la aproximación. Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve
a la ventana principal.
A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.
ô
Se toman los siguientes datos:
-x2 y≥ - 2 x y£ + 2 y = -4 x2 donde pHxL = x2 , qHxL = 2 y f HxL = -4 x2 ,
definida en el intervalo @0, 1D y un número de subintervalos de 9.
La ecuación real dada es y = x2 - x, la cual se puede ver representada en la
gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la representación de la aproximación obtenida en color rojo.
Software para la resolución de EDO
117
Ventana :
Método de los trazadores cúbicos segmentario de Rayleigh - Ritz.
Figura 17
Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.
Método de trazadores cúbicos de Rayleigh - Ritz para aproximar la
solución al problema de valor de frontera.
„y
„
HpHxL
L + qHxL y = f HxL
„x
„x
-
„2 y
„x
2
x2 - 2
„y
„x
x + 2 y = -4 x 2
pHxL = x 2
qHxL = 2
f HxL = -4 x 2
x œ @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0
Proyecto Fin de Carrera
118
Puntos.
n=9
x0 = 0.
0
x0
0.1
x1
0.2
x2
0.3
x3
0.4
x4
Hxi L = x5 = 0.5
x6
0.6
x7
0.7
x8
0.8
x9
0.9
x10
1.
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j
L
U
k k+h SHai L, SHbi L
fi Hx L SHa j L, SHb j L
0 0
0 0.2
0
0.1
1. 1
IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3 M - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2. 4
1.
2.
0 0
0 0.2 0.1
0.2
2.
3.
H2 - 10. xL3
2.
3.
1
4
0 1
0 0.2
0
0.1
1. 1
IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3 M - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2. 4
0 1
0 0.2 0.1
0.2
2.
3.
H2 - 10. xL3
1.
3.
0 2
0 0.2
0.1
1. 1
IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3 M - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2. 4
-1.
0
0.2
2.
3.
1
H2 - 10. xL3
0.
0
0.2
2.
3.
1
H2 - 10. xL3
-1.
0
0 2
0
0 0.2 0.1
0 3 0.1 0.2 0.1
ai, j = ‡
L
U
1
4
4
4
a H0,1L = 0.0861607
a H0,2L = -0.0367857
a H0,3L = -0.00419643
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
4
IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3 M - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
1
4
H2 - 10. xL3
1
0. 1
IH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 M - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2. 4
4
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H0,0L = 0.0785714
f j HxL
1
1
4
IH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 M
1
4
1
4
H10. Hx - 0.2L + 2L3
IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3 M
1
4
H10. Hx - 0.3L + 2L3
Software para la resolución de EDO
k k+h SHai L, SHbi L
1.
0 0 0.2
0 0.1
2.
2.
0 0 0.2 0.1 0.2
3.
i L
119
fi HxL
U
bi = ‡
U
L
1
4
IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3 M - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
1
4
H2 - 10. xL3
Hf HxL fi HxLL„x
b H0L = -0.000933333
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
U
k k+h SHai L, SHbi L
i j
L
1 1
0 0.3
1 1
0 0.3 0.1 0.2
0 0.1
1 1
0 0.3 0.2 0.3
1 2
0 0.3
1 2
0 0.3 0.1 0.2
1 2
0 0.3 0.2 0.3
0 0.1
1 3 0.1 0.3 0.1 0.2
1 3 0.1 0.3 0.2 0.3
1 4 0.2 0.3 0.2 0.3
fi HxL SHa j L, SHb j L
1
0. 1
JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 N - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2.
4
4
1
1.
3
JH2 - 10. Hx - 0.1LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N
3.
4
1
2.
H2 - 10. Hx - 0.1LL3
4.
4
1
0. 1
JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 N - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2.
4
4
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N
3.
4
1
2.
H2 - 10. Hx - 0.1LL3
4.
4
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N
3.
4
1
2.
H2 - 10. Hx - 0.1LL3
4.
4
1
2.
H2 - 10. Hx - 0.1LL3
4.
4
ai, j = ‡
L
U
f j HxL
1
0. 1
JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 N - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
2.
4
4
1
1.
3
JH2 - 10. Hx - 0.1LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N
3.
4
1
2.
H2 - 10. Hx - 0.1LL3
4.
4
1
-1.
H10. Hx - 0.2L + 2L3
0
4
1
0.
JH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3 N
0
4
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3 N
0
4
1
-1.
H10. Hx - 0.3L + 2L3
0
4
1
0.
JH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3 N
0
4
1
-1.
H10. Hx - 0.4L + 2L3
0
4
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H1,1L = 0.445
a H1,2L = 0.06125
a H1,3L = -0.173571
a H1,4L = -0.0116964
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
k k+h SHai L, SHbi L
0.
0 0.1
2.
1.
1 0 0.3 0.1 0.2
3.
2.
1 0 0.3 0.2 0.3
4.
i L
fi HxL
U
1 0 0.3
1
4
IH10. Hx - 0.1L + 2L - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L M 3
3
1
4
1
4
H2 - 10. Hx + 0.1LL
3
IH2 - 10. Hx - 0.1LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL M
3
3
1
4
H2 - 10. Hx - 0.1LL
3
Proyecto Fin de Carrera
bi = ‡
U
L
120
Hf HxL fi HxLL„x
b H1L = -0.00796667
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j
L
U
k k+h SHai L, SHbi L
fi Hx L SHa j L, SHb j L
-1.
0
1
H10. Hx - 0.2L + 2L3
-1.
0
f j HxL
1
H10. Hx - 0.2L + 2L3
2 2
0 0.4
0
0.1
2 2
0 0.4 0.1
0.2
0. 1
IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3 M
0 4
0. 1
IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3 M
0 4
2 2
0 0.4 0.2
0.3
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3 M
0 4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3 M
0 4
2 2
0 0.4 0.3
0.4
2.
0
H2 - 10. Hx - 0.2LL3
2.
0
1
0.2
0. 1
IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3 M
0 4
-1.
0
1
2 3 0.1 0.4 0.2
0.3
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3 M
0 4
0. 1
IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3 M
0 4
2 3 0.1 0.4 0.3
0.4
2.
0
H2 - 10. Hx - 0.2LL3
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3 M
0 4
2 4 0.2 0.4 0.2
0.3
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3 M
0 4
0.4
2.
0
1
0.4
2.
0
1
2 3 0.1 0.4 0.1
2 4 0.2 0.4 0.3
2 5 0.3 0.4 0.3
ai, j = ‡
L
U
4
1
4
1
4
4
4
H2 - 10. Hx - 0.2LL3
H2 - 10. Hx - 0.2LL3
-1.
0
4
4
4
1
4
H2 - 10. Hx - 0.2LL3
H10. Hx - 0.3L + 2L3
H10. Hx - 0.4L + 2L3
0. 1
IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3 M
0 4
-1.
0
1
4
H10. Hx - 0.5L + 2L3
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H2,2L = 0.901429
a H2,3L = -0.0516964
a H2,4L = -0.398571
a H2,5L = -0.0229464
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L
U
2 0 0.4
2 0 0.4
2 0 0.4
2 0 0.4
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0 0.1
0
0.
0.1 0.2
0
1.
0.2 0.3
0
2.
0.3 0.4
0
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.2L + 2L3
1
4
IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3 M
1
4
IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3 M
1
4
H2 - 10. Hx - 0.2LL3
Software para la resolución de EDO
bi = ‡
U
L
121
Hf HxL fi HxLL„x
b H2L = -0.026
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j
L
U
k k+h SHai L, SHbi L
fi Hx L SHa j L, SHb j L
-1.
0
1
H10. Hx - 0.3L + 2L3
-1.
0
f j HxL
1
H10. Hx - 0.3L + 2L3
3 3 0.1 0.5 0.1
0.2
3 3 0.1 0.5 0.2
0.3
0. 1
IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3 M
0 4
0. 1
IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3 M
0 4
3 3 0.1 0.5 0.3
0.4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3 M
0 4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3 M
0 4
3 3 0.1 0.5 0.4
0.5
2.
0
H2 - 10. Hx - 0.3LL3
2.
0
1
0.3
0. 1
IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3 M
0 4
-1.
0
1
3 4 0.2 0.5 0.3
0.4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3 M
0 4
0. 1
IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3 M
0 4
3 4 0.2 0.5 0.4
0.5
2.
0
H2 - 10. Hx - 0.3LL3
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M
0 4
3 5 0.3 0.5 0.3
0.4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3 M
0 4
0.5
2.
0
1
0.5
2.
0
1
3 4 0.2 0.5 0.2
3 5 0.3 0.5 0.4
3 6 0.4 0.5 0.4
ai, j = ‡
L
U
4
1
4
1
4
4
4
H2 - 10. Hx - 0.3LL3
H2 - 10. Hx - 0.3LL3
-1.
0
4
4
4
1
4
H2 - 10. Hx - 0.3LL3
H10. Hx - 0.4L + 2L3
H10. Hx - 0.5L + 2L3
0. 1
IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3 M
0 4
-1.
0
1
4
H10. Hx - 0.6L + 2L3
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H3,3L = 1.65143
a H3,4L = -0.220446
a H3,5L = -0.713571
a H3,6L = -0.0379464
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i
L
U
3 0.1 0.5
3 0.1 0.5
3 0.1 0.5
3 0.1 0.5
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0.1 0.2
0
0.
0.2 0.3
0
1.
0.3 0.4
0
2.
0.4 0.5
0
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.3L + 2L3
1
4
IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3 M
1
4
IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3 M
1
4
H2 - 10. Hx - 0.3LL3
Proyecto Fin de Carrera
bi = ‡
U
L
122
Hf HxL fi HxLL„x
b H3L = -0.056
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j
L
U
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0
1
fi Hx L
SHa j L, SHb j L
H10. Hx - 0.4L + 2L3
-1.
0
f j HxL
1
H10. Hx - 0.4L + 2L3
4 4 0.2 0.6 0.2
0.3
4 4 0.2 0.6 0.3
0.4
0. 1
IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3 M
0 4
0. 1
IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3 M
0 4
4 4 0.2 0.6 0.4
0.5
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M
0 4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M
0 4
4 4 0.2 0.6 0.5
0.6
2.
0
H2 - 10. Hx - 0.4LL3
2.
0
1
0.4
0. 1
IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3 M
0 4
-1.
0
1
4 5 0.3 0.6 0.4
0.5
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M
0 4
0. 1
IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3 M
0 4
4 5 0.3 0.6 0.5
0.6
2.
0
H2 - 10. Hx - 0.4LL3
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3 M
0 4
4 6 0.4 0.6 0.4
0.5
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M
0 4
0.6
2.
0
1
0.6
2.
0
1
4 5 0.3 0.6 0.3
4 6 0.4 0.6 0.5
4 7 0.5 0.6 0.5
ai, j = ‡
L
U
4
1
4
1
4
4
4
4
4
4
-1.
0
1
4
-15 1
3 -1.11022 µ 10
H2 - 10. Hx - 0.4LL
H2 - 10. Hx - 0.4LL3
0
4
H2 - 10. Hx - 0.4LL3
H10. Hx - 0.5L + 2L3
H10. Hx - 0.6L + 2L3
IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3 M
-1.
0
1
4
H10. Hx - 0.7L + 2L3
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H4,4L = 2.70143
a H4,5L = -0.445446
a H4,6L = -1.11857
a H4,7L = -0.0566964
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i
L
U
4 0.2 0.6
4 0.2 0.6
4 0.2 0.6
4 0.2 0.6
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0.2 0.3
0
0.
0.3 0.4
0
1.
0.4 0.5
0
2.
0.5 0.6
0
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.4L + 2L3
1
4
IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3 M
1
4
IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M
1
4
H2 - 10. Hx - 0.4LL3
Software para la resolución de EDO
bi = ‡
U
L
123
Hf HxL fi HxLL„x
b H4L = -0.098
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j
L
U
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0
1
fi Hx L
SHa j L, SHb j L
H10. Hx - 0.5L + 2L3
-1.
0
f j HxL
1
H10. Hx - 0.5L + 2L3
5 5 0.3 0.7 0.3
0.4
5 5 0.3 0.7 0.4
0.5
0. 1
IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3 M
0 4
0. 1
IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3 M
0 4
5 5 0.3 0.7 0.5
0.6
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3 M
0 4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3 M
0 4
5 5 0.3 0.7 0.6
0.7
2.
0
H2 - 10. Hx - 0.5LL3
2.
0
1
0.5
0. 1
IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3 M
0 4
-1.
0
1
5 6 0.4 0.7 0.5
0.6
1. 1
-1.11022 µ 10-15 1
IH2 - 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3 M
IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3 M
0 4
0
4
5 6 0.4 0.7 0.6
0.7
2.
0
5 7 0.5 0.7 0.5
0.6
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3 M
0 4
5 6 0.4 0.7 0.4
4
1
4
1
4
5 7 0.5 0.7 0.6
0.7
2.
0
1
5 8 0.6 0.7 0.6
0.7
2.
0
1
ai, j = ‡
L
U
4
4
H2 - 10. Hx - 0.5LL3
4
4
4
H2 - 10. Hx - 0.5LL3
H10. Hx - 0.6L + 2L3
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3 M
0 4
-1.
0
1
4
-15 1
3 -1.11022 µ 10
H2 - 10. Hx - 0.5LL
H2 - 10. Hx - 0.5LL3
0
4
H10. Hx - 0.7L + 2L3
IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3 M
-1.
0
1
4
H10. Hx - 0.8L + 2L3
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H5,5L = 4.05143
a H5,6L = -0.726696
a H5,7L = -1.61357
a H5,8L = -0.0791964
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i
L
U
5 0.3 0.7
5 0.3 0.7
5 0.3 0.7
5 0.3 0.7
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0.3 0.4
0
0.
0.4 0.5
0
1.
0.5 0.6
0
2.
0.6 0.7
0
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.5L + 2L
3
1
4
IH10. Hx - 0.5L + 2L - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L M
1
4
IH2 - 10. Hx - 0.5LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL M
3
3
3
3
1
4
H2 - 10. Hx - 0.5LL
3
Proyecto Fin de Carrera
bi = ‡
U
L
124
Hf HxL fi HxLL„x
b H5L = -0.152
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j
L
U
SHai L, SHbi L
k k+h
6 6 0.4 0.8 0.4
0.5
6 6 0.4 0.8 0.5
0.6
6 6 0.4 0.8 0.6
0.7
6 6 0.4 0.8 0.7
0.8
6 7 0.5 0.8 0.5
0.6
-1.
0
1
4
fi HxL
SHa j L, SHb j L
H10. Hx - 0.6L + 2L3
-1.
0
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3 M
0 4
0
2.
0
1
IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3 M
-1.
0
1
1
4
4
4
4
-15 1
3 -1.11022 µ 10
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL M
0 4
0
6 7 0.5 0.8 0.7
0.8
2.
0
0.7
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3 M
0 4
0.8
2.
0
1
0.8
2.
0
1
6 9 0.7 0.8 0.7
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3 M
0 4
H2 - 10. Hx - 0.6LL3
2.
0
-1.11022 µ 10-15 1
0.7
6 8 0.6 0.8 0.7
4
H10. Hx - 0.6L + 2L3
-1.11022 µ 10-15 1
-1.11022 µ 10-15 1
IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3 M
IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3 M
0
0
4
4
6 7 0.5 0.8 0.6
6 8 0.6 0.8 0.6
f j HxL
1
ai, j = ‡
L
U
1
4
4
4
H2 - 10. Hx - 0.6LL3
H2 - 10. Hx - 0.6LL
3
H2 - 10. Hx - 0.6LL3
4
H2 - 10. Hx - 0.6LL3
H10. Hx - 0.7L + 2L3
IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3 M
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3 M
0 4
-1.
0
1
4
H10. Hx - 0.8L + 2L3
0. 1
IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3 M
0 4
-1.
-3.
1
4
H10. Hx - 0.9L + 2L3
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H6,6L = 5.70143
a H6,7L = -1.0642
a H6,8L = -2.19857
a H6,9L = -0.105446
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i
L
U
k k+h
SHai L, SHbi L
-1.
0
6 0.4 0.8 0.4
0.5
6 0.4 0.8 0.5
0.6 -1.11022 µ 10
0
6 0.4 0.8 0.6
0.7
6 0.4 0.8 0.7
0.8
-15
1.
0
2.
0
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.6L + 2L
3
1
4
JH10. Hx - 0.6L + 2L - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L N
1
4
JH2 - 10. Hx - 0.6LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL N
3
3
3
3
1
4
H2 - 10. Hx - 0.6LL
3
Software para la resolución de EDO
bi = ‡
U
L
125
Hf HxL fi HxLL„x
b H6L = -0.218
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i
j
L
U
SHai L, SHbi L
k k+h
-1.
0
1
fi HxL
SHa j L, SHb j L
H10. Hx - 0.7L + 2L3
-1.
0
f j HxL
1
H10. Hx - 0.7L + 2L3
7
7 0.5 0.9 0.5
0.6
7
7 0.5 0.9 0.6
0.7
7
7 0.5 0.9 0.7
0.8
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3 M
0 4
7
7 0.5 0.9 0.8
0.9
2.
0
H2 - 10. Hx - 0.7LL3
2.
0
1
7
8 0.6 0.9 0.6
0.7
0. 1
IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3 M
0 4
-1.
0
1
0. 1
IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3 M
0 4
H2 - 10. Hx - 0.7LL3
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M
0 4
4
1
4
7
8 0.6 0.9 0.7
0.8
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3 M
0 4
7
8 0.6 0.9 0.8
0.9
2.
0
7
9 0.7 0.9 0.7
0.8
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3 M
0 4
7
9 0.7 0.9 0.8
0.9
2.
0
1
0.9
2.
0
1
7 10 0.8 0.9 0.8
4
-1.11022 µ 10-15 1
-1.11022 µ 10-15 1
IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3 M
IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3 M
0
0
4
4
ai, j = ‡
L
U
1
4
4
4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3 M
0 4
4
4
-1.
-3.
1
4
H2 - 10. Hx - 0.7LL3
H10. Hx - 0.8L + 2L3
H10. Hx - 0.9L + 2L3
H2 - 10. Hx - 0.7LL3
0. 1
IH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3 M
-2. 4
H2 - 10. Hx - 0.7LL3
-1.
-2.
1
4
H10. Hx - 1.L + 2L3
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H7,7L = 7.65143
a H7,8L = -1.45795
a H7,9L = -2.87357
a H7,10L = -0.135446
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i
L
U
k k+h
SHai L, SHbi L
-1.
0
7 0.5 0.9 0.5
0.6
7 0.5 0.9 0.6
0.7 -1.11022 µ 10
0
7 0.5 0.9 0.7
0.8
7 0.5 0.9 0.8
0.9
-15
1.
0
2.
0
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.7L + 2L
3
1
4
JH10. Hx - 0.7L + 2L - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L N
1
4
JH2 - 10. Hx - 0.7LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL N
3
3
3
3
1
4
H2 - 10. Hx - 0.7LL
3
Proyecto Fin de Carrera
U
bi = ‡
L
126
Hf HxL fi HxLL„x
b H7L = -0.296
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i
j
L U
k k+h SHai L, SHbi L
f j HxL
-1.
0
0.8
0. 1
IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3 M
0 4
0.
0
1
8 0.6 1. 0.8
0.9
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M
0 4
1.
0
1
8 0.6 1. 0.9
1.
8 0.6 1. 0.6
0.7
8
8 0.6 1. 0.7
8
8
8
fi Hx L SHa j L, SHb j L
H10. Hx - 0.8L + 2L3
8
9 0.7 1. 0.7
-1.
0
1
4
1
4
4
4
IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3 M
IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M
H2 - 10. Hx - 0.8LL3
2.
0
1
0.8
0. 1
IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3 M
0 4
-1.
-3.
1
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M
0 4
0.
-2.
8
9 0.7 1. 0.8
0.9
8
9 0.7 1. 0.9
1.
8 10 0.8 1. 0.8
0.9
8 10 0.8 1. 0.9
2.
0
1
4
2.
0
1
4
-1.
-2.
H2 - 10. Hx - 0.8LL3
0.
-1.
ai, j = ‡
L
U
1
4
4
4
H2 - 10. Hx - 0.8LL3
H10. Hx - 0.9L + 2L3
IH10. Hx - 0.9L + 2L - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3 M
3
1
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3 M - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1. 4
4
1. 1
IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M
0 4
2.
0
1.
H2 - 10. Hx - 0.8LL3
4
1
H10. Hx - 0.8L + 2L3
1
4
1
4
H10. Hx - 1.L + 2L3
IH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3 M - H10. Hx - 1.1L + 2L3
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H8,8L = 9.90143
a H8,9L = -1.73875
a H8,10L = -2.96179
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i
L U
8 0.6 1.
8 0.6 1.
8 0.6 1.
8 0.6 1.
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
0.6 0.7
0
0.
0.7 0.8
0
1.
0.8 0.9
0
2.
0.9
1.
0
bi = ‡
L
U
Hf HxL fi HxLL„x
fi HxL
1
4
H10. Hx - 0.8L + 2L3
1
4
IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3 M
1
4
IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M
1
4
H2 - 10. Hx - 0.8LL3
Software para la resolución de EDO
127
b H8L = -0.386
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
j
9 0.7 1 0.7 0.8
-1.
-3.
9
9 0.7 1 0.8 0.9
0.
-2.
9
L U
k k+h SHai L, SHbi L
i
9
9 0.7 1 0.9
H10. Hx - 0.9L + 2L3
-1.
-3.
JH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3 N
0.
-2.
4
1
4
1
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3 N - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1.
4
4
1
0.
JH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3 N
-2.
4
1
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3 N - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1.
4
4
1.
9 10 0.8 1 0.8 0.9
9 10 0.8 1 0.9
fi HxL SHa j L, SHb j L
1
1.
U
ai, j = ‡
L
f j HxL
1
4
1
4
H10. Hx - 0.9L + 2L3
JH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3 N
1
1
1.
JH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3 N - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1.
4
4
1
-1.
H10. Hx - 1.L + 2L3
-2.
4
1
0.
JH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3 N - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1.
4
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
a H9,9L = 16.645
a H9,10L = 7.82991
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
9 0.7 1 0.7 0.8
-3.
0.
9 0.7 1 0.8 0.9
-2.
1.
9 0.7 1 0.9
1.
-1.
i
fi HxL
L U
bi = ‡
U
L
1
4
1
4
1
4
H10. Hx - 0.9L + 2L
3
IH10. Hx - 0.9L + 2L - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L M
3
IH2 - 10. Hx - 0.9LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL M 3
3
3
1
4
H10. Hx - 1.1L + 2L
3
Hf HxL fi HxLL„x
b H9L = -0.437967
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i
j
L U
k k+h SHai L, SHbi L
10 10 0.8 1 0.8
0.9
10 10 0.8 1 0.9
1.
-1.
-2.
fi HxL SHa j L, SHb j L
1
4
H10. Hx - 1.L + 2L3
0. 1
IH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3 M - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1. 4
ai, j = ‡
L
U
-1.
-2.
f j HxL
1
4
H10. Hx - 1.L + 2L3
0. 1
IH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3 M - H10. Hx - 1.1L + 2L3
-1. 4
HpHxL fi £ HxL f j £ HxL+qHxL fi HxL f j HxLL„x
Proyecto Fin de Carrera
128
a H10,10L = 14.1786
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
k k+h SHai L, SHbi L
-1.
10 0.8 1 0.8 0.9
-2.
0.
10 0.8 1 0.9
1.
-1.
i
fi HxL
L U
bi = ‡
U
L
1
4
1
4
H10. Hx - 1.L + 2L
3
IH10. Hx - 1.L + 2L - 4 H10. Hx - 1.L + 1L M - H10. Hx - 1.1L + 2L
3
3
3
Hf HxL fi HxLL„x
b H10L = -0.176933
Sistema con una matriz simétrica en banda: A.x = b.
A=
0.0785714
0.0861607
-0.0367857 -0.00419643 0
0
0
0
0
0
0.0861607
0.445
0.06125
-0.173571
-0.0116964 0
0
0
0
0
0
-0.0367857
0.06125
0.901429
-0.0516964
-0.398571
-0.0229464 0
0
0
0
0
-0.00419643 -0.173571
-0.0516964 1.65143
0
-0.0116964 -0.398571
-0.220446
0
0
-0.0229464 -0.713571
0
0
0
-0.0379464
0
-0.220446
-0.713571
-0.0379464 0
0
0
0
2.70143
-0.445446
-1.11857
-0.0566964 0
0
0
-0.445446
4.05143
-0.726696
-1.61357
-0.0791964 0
0
-1.11857
-0.726696
5.70143
-1.0642
-2.19857
-1.0642
7.65143
-1.45795
-2.87357
-0.135446
-1.45795
9.90143
-1.73875
-2.96179
0
0
0
0
-0.0566964 -1.61357
0
0
0
0
0
-0.0791964 -2.19857
-0.105446 0
0
0
0
0
0
0
-0.105446
-2.87357
-1.73875
16.645
7.82991
0
0
0
0
0
0
0
-0.135446
-2.96179
7.82991
14.1786
-0.000933333
-0.00796667
-0.026
-0.056
-0.098
b = -0.152
-0.218
-0.296
-0.386
-0.437967
-0.176933
Solución al sistema lineal simétrico. Se aplica el método de Cholesky.
La matriz A es definida positiva.
Software para la resolución de EDO
c0
c1
c2
c3
c4
c = c5
c6
c7
c8
c9
c10
-0.00222222222147
-0.0622222222237
-0.108888888890
-0.142222222226
-0.162222222225
= -0.168888888894
-0.162222222225
-0.142222222224
-0.108888888891
-0.0622222222165
-0.00222222223236
0
-0.0933333333355
-0.163333333335
-0.213333333339
-0.243333333338
f Hxi L = -0.253333333341
-0.243333333337
-0.213333333336
-0.163333333336
-0.0933333333247
-7.77156120782µ 10-18
129
Proyecto Fin de Carrera
130
n+1
f HxL = ‚ ci HxL fi HxL =
i=0
-0.00222222 4 H10. Hx - 1.1L + 1L3 - H10. Hx - 1.1L + 2L3 +
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
IH2 - 10. Hx - 1.LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 1.LL3 M + -0.0622222
IH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3 M -
1
4
H10. Hx - 1.1L + 2L3 +
-0.108889 IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3 M +
-0.142222 IH2 - 10. Hx - 0.7LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL M +
3
3
-0.162222 IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3 M +
-0.168889 IH2 - 10. Hx - 0.5LL - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL M +
3
3
-0.162222 IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3 M +
-0.142222 IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3 M +
-0.108889 IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3 M +
-0.0622222 IH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 M +
-0.00222222
1
4
IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3 M - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
Tabla de errores en la aproximación con el método.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
ci
0
-0.0022222222
0.1 -0.0622222222
0.2 -0.1088888889
0.3 -0.1422222222
0.4 -0.1622222222
0.5 -0.1688888889
0.6 -0.1622222222
0.7 -0.1422222222
0.8 -0.1088888889
0.9 -0.0622222222
1.
-0.0022222222
fHxi L
0.0000000000
-0.0900000000
-0.1600000000
-0.2100000000
-0.2400000000
-0.2500000000
-0.2400000000
-0.2100000000
-0.1600000000
-0.0900000000
0.0000000000
yHxi L
0.0000000000
-0.0900000000
-0.1600000000
-0.2100000000
-0.2400000000
-0.2500000000
-0.2400000000
-0.2100000000
-0.1600000000
-0.0900000000
0.0000000000
»fHxi L - yHxi L»
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
Software para la resolución de EDO
131
11.4. Menú Ayuda
Ayuda al usuario.
Al ejecutar esta opción del menú se abre un fichero de Mathematica con una
descripción de cada uno de los métodos implementados en la aplicación que sirve de ayuda
a la ejecución de los mismos.
El usuario puede ir desplegando cada uno de los métodos donde, aparte de una
descripción, encontrará el pseudocódigo de dicho método.
Ventana : Ayuda al usuario.
Figura 18
Proyecto Fin de Carrera
132
Acerca de la aplicación.
Al ejecutar esta opción aparece esta ventana con toda la información relevante del
programa.
Ventana : Acerca de la aplicación
Figura 19
Software para la resolución de EDO
133
12. Valoración económica y
planificación
12.1. Valoración económica del proyecto
En este apartado se detalla la valoración económica de cada una de las actividades
que comprenden la realización y puesta en funcionamiento del presente proyecto.
Las diferentes partidas o ítems que componen el proyecto y que se han incluido en
este análisis de costes se detallan a continuación.
1.
Especificaciones y Desarrollo Software
Esta partida o ítem se ha dividido en dos grandes fases debido a su gran alcance e
importancia.
En primer lugar, aparece la fase de requisitos. Esta fase incluye las fases de
especificación de requisitos, del análisis funcional y del plan de pruebas.
Y en segundo lugar, se indica la fase de desarrollo del software. Esta fase es sin
duda la que ha supuesto más coste, en términos de tiempo, y la que distingue el presupuesto
del de otro proyecto que comprenda el mismo ámbito o sea del mismo tipo. En esta fase se
indican los diferentes métodos de aproximacion programados y probados.
Para cada una de las fases anteriores se reseñan los costes directos, expresados en
meses/hombre (meses completos dedicados para cada actividad), necesarios para acometer
Proyecto Fin de Carrera
134
cada una de ellas, indicándose la categoría del realizador: Jefe de Proyecto o
Analista/Programador. La actividad del Jefe de Proyecto se ha estimado en un 14%
respecto de la actividad del Analista/Programador.
Por último, cabe destacar que no debe haber confusión con el significado de los
costes unitarios aquí expresados. Estos costes representan la valoración económica real que
determinaría la empresa por la realización completa de todas las actividades reseñadas y
poner a cargo de este proyecto a dicho Jefe de Proyecto o Analistas en su caso.
2.
Instalación, Pruebas e Integración del Software
En este apartado se recogen los costes directos de las actividades de integración y de
pruebas del software en el entorno de desarrollo y en el de explotación, incluidos los gastos
adicionales, tales como los desplazamientos y las dietas. Estos costes han sido calculados
del mismo modo que en el apartado anterior.
3.
Equipamiento y Licencias Software
Costes de todo el equipamiento e infraestructura (PCs, impresoras, RAL,
comunicaciones), si fuera necesario. Así mismo, se han de especificar en este apartado las
licencias necesarias para el entorno de explotación.
Para la implementación de este software sólo es necesario una licencia del lenguaje
numérico y simbólico de Mathematica®, en concreto de la versión 6.0 aquí utilizada, y
disponer de un PC. Como la venta de este software será con toda seguridad a una persona
Software para la resolución de EDO
135
jurídica no se contempla en este presupuesto la adquisición de dicha plataforma hardware,
debido a que en los tiempos presentes cualquier empresa o persona jurídica dispone de un
PC, haciéndose sólo referencia a la licencia del Mathematica®.
4.
Apoyo logístico (Formación)
En este concepto se ampara la formación a impartir a los posibles operadores y
administradores del sistema a implantar. Se incluye en la formación la entrega de toda la
documentación necesaria para el curso de formación.
5.
Incrementos e IVA
Se parte de la suma de las partidas (1), (2), (3), y (4) formando el Coste Directo del
Proyecto. A este Coste Directo se le aplican los Gastos Generales H13 %L y el Beneficio
Industrial H6 %L. La suma de los conceptos de Coste Directo, Gastos Generales y Beneficio
Industrial constituyen el Total Importe sin IVA.
A este importe se le sumarán los impuestos correspondientes como IVA H16 %L,
para la Península y Baleares, IGIC H5 %L para las islas Canarias o IPSI para Ceuta H3 %L y
Melilla H4 %L.
Total Proyecto
La suma del Total Importe sin IVA más la partida de Incrementos e IVA determinan
el importe total del desarrollo, implantación y puesta en servicio del proyecto.
Proyecto Fin de Carrera
136
En función de lo explicado anteriormente se puede proceder a calcular los costes
estimados del presente proyecto.
El importe total del proyecto asciende a 24.176, 04 € (VEINTICUATRO MIL
CIENTO SETENTA Y SEIS EUROS CON CUATRO CÉNTIMOS), impuestos
incluidos.
Software para la resolución de EDO
El detalle de cada una de las partidas reseñadas se expresa en la tabla siguente:
137
Proyecto Fin de Carrera
138
12.2. Planificación temporal del proyecto
En el diagrama de Gantt de actividades siguiente se reflejan las tareas e hitos más
importantes para el desarrollo y ejecución de este Proyecto Fin de Carrera, así como la
planificación temporal final dedicada a cada uno de ellas.
Planificación temporal del Proyecto.
Figura 20
Software para la resolución de EDO
139
13. Conclusiones
Una vez realizado el presente proyecto fin de carrera sobre el estudio, programación
y aplicación de diferentes métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales
ordinarias de segundo orden con valor en frontera se pueden expresar las siguientes
conclusiones al mismo.
1.- La aproximación a la solución mediante el método del disparo lineal que
utiliza el método de Runge-Kutta de cuarto orden, ofrece una precisión o exactitud OIh4 M.
Tiene el inconveniente de que utiliza una técnica por error en el redondeo que puede, en
algún caso, presentar algún problema oculto, pudiendo ofrecer una pérdida de los dígitos
significativos debido al proceso de cancelación en el algoritmo empleado, es decir, pérdida
de significación al restar dos cantidades próximas entre sí. Tiene la ventaja de que ha sido
un método relativamente fácil de implementar en el lenguaje de programación Mathematica.
2.- El método del disparo no lineal, también emplea el método Runge-Kutta de
cuarto orden para aproximar la solución pero ha exigido el empleo del método de Newton
para la resolución de una ecuación no lineal. La aplicación de estos métodos implica que el
problema de valor inicial se resuelva de una manera aproximada y no exacta.
También se podría haber utilizado en este algoritmo el método de la Secante para la
resolución de la ecuación no lineal que aparece, si bien el método empleado, el de Newton,
ofrece una mayor rapidez de convergencia. Reseñar que el método del disparo para
problemas no lineales es vulnerable a los errores de redondeo, singularmente si las
soluciones y HxL y z Hx, tL fueran funciones que crecieran muy rápidamente en el intervalo
Proyecto Fin de Carrera
140
@a, bD.
3.- Los métodos de diferencias finitas, para problemas lineales y no lineales,
presentan mejores características de estabilidad, a costa de realizar más cómputo para
obtener la solución con la misma precisión. Estos métodos de diferencias finitas reemplazan
las derivadas en la ecuación diferencial por un cociente de diferencias centradas, lo que
obliga a escoger un parámetro h, tamaño del subintervalo, no demasiado pequeño. En
particular, el método de las diferencias finitas para problemas lineales emplea la
resolución de un sistema lineal tridiagonal, cuya solución única requiere que cumpla el
teorema ya explicitado en el método. Este método presenta un error del orden OIh2 M frente
al error de truncamiento OIh4 M que incluía el método de Runge-Kutta.
4.- En el método de las diferencias finitas para problemas no lineales aparece un
sistema de ecuaciones no lineal, lo que ha exigido un método numérico iterativo: el método
de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales. Esto implica que en cada paso de la
iteración se tiene que resolver de N µ N y se tiene que emplear el concepto de la matriz
Jacobiana. Este método es del orden de convergencia OIh2 M.
5.- Se ha abordado el problema con valor en frontera para la resolución de
ecuaciones diferenciales en el método de Rayleigh-Ritz, primero, reformulando el
problema seleccionando del conjunto de todas las funciones suficientemente derivables
aquellas que reducen al mínimo una determinada integral. Y en segundo lugar, se reduce el
tamaño de funciones candidatas para dar una aproximación al problema. El método emplea
un pequeño conjunto de funciones que son combinaciones lineales de ciertas funciones
básicas, ello da origen a la resolución de un sistema lineal formado por una matriz
Software para la resolución de EDO
141
simétrica, en el que cada elemento se obtiene mediante la integración en el intervalo @0, 1D
de una combinación de las funciones que intervienen en la ecuación diferencial y las
funciones básicas y sus derivadas.
Una elección de las funciones básicas es la selección de polinomios lineales
definidos por tramos (método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz). Y otra elección la
utilización de funciones básicas formadas por trazadores cúbicos definidos por intervalos
linealmente independientes (método de los trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz). La
dificultad práctica de este método es la evaluación de las integrales, que se pueden hacer
mediante fórmulas de cuadratura o mediante su evaluación directa. En el presente proyecto
se ha utilizado la técnica de evaluación directa con Mathematica.
En el método lineal segmentario se ha resuelto el sistema tridiagonal simétrico
mediante el método de eliminación de Gauss, mientras que en el método de los trazadores
cúbicos, al aparecer una matriz simétrica definida positiva se ha empleado el método de
Cholesky.
La evaluación de las integrales en el método de los trazadores cúbicos, se ha
realizado mediante la evaluación directa con las funciones de Mathematica, lo que ha
producido una mayor aproximación de las integrales.
Este método es especialmente recomendable cuando el problema con valor de
frontera se define en el intervalo [0, 1].
6.- Habiendo estudiado e implementado los métodos reseñados anteriormente se
establece como líneas futuras de trabajo o mejoras a incluir en este proyecto fin de carrera
Proyecto Fin de Carrera
142
las que a continuación se indican:
a)
En el método de las diferencias para problemas lineales se podría mejorar la
precisión empleando la serie de Taylor de quinto orden para aproximar y≥ Hxi L e y£ Hxi L, pero
el sistema lineal resultante no sería tridiagonal, lo que requeriría un mayor esfuerzo
computacional para su resolución. También se podría utilizar para mejorar la precisión el
método de extrapolación de Richardson para los dos métodos de las diferencias finitas.
b)
En el método de Rayleigh-Ritz, los trazadores cúbicos (trazadores B) se podrían
definir con una base formada por polinomios cúbicos definidos por intervalos de Hermite.
c)
Otra técnica que podría complementar los anteriores métodos sería el método de
colocación: este procedimiento selecciona un conjunto de funciones básicas, 8f1 , ..., fn < y
un conjunto de puntos 8x1 , …, xn < definidos en el intervalo @0, 1D tomando estos puntos
como los nodos de las raíces de polinomios ortogonales.
Software para la resolución de EDO
143
Anexo I. Manual de Instalación y de
Usuario
Manual de Instalación
Para poder instalar el software Mathematica es necesario disponer de entre 900 y
1.200 MB libres de disco duro, 1 GB de memoria RAM y una unidad de CD-ROM.
La versión de Mathematica que se va a instalar es la version 6.0. Para instalarla
simplemente hay que ejecutar el fichero setup.exe que se encuentra en el CD. Para la
correcta visión y ejecución del proyecto es necesario instalar unas plantillas.
Las plantillas de Mathematica se copian en el directorio donde se haya instalado el
Software de Resolución de Problemas con valor en frontera para la Resolución de
Ecuuaciones Diferenciales Ordinarias en el mismo directorio.
D:\Software EDO\
Las plantillas básicas a emplear en el PFC son cuatro:
a)
Proyecto_Fin_de_Carrera.nb: plantilla a emplear con el fichero PFC.
b)
Proyecto_Fin_de_Carrera(Resumen).nb: plantilla que se usará con el fichero
PFC (Nombre y Apellidos) (Resumen, Abstact, Índice).nb.
c)
Proyecto_Fin_de_Carrera (Sin código).nb. Se empleará con el fichero PFC
cuando tenga los problemas incluidos.
d)
Código_Métodos_Numéricos_12.nb (Ficheros de Problemas y de los
Proyecto Fin de Carrera
144
Algoritmos Numéricos).
También es necesario instalar un paquete especial para poder visualizar y utilizar la
interfaz de usuario. El paquete de Mathematica The Super Widget Package (SWP) se ha
diseñado para crear interfaces de usuario (GUI) con Mathematica. Se necesita el fichero
superwidgetpackage.zip V. 4.52 compatible con Mathematica 5.2 o versiones superiores.
La instalación de Super Widget Package (Versión 4.52 libre) se realiza del modo
siguiente:
1.
Se copia el fichero superwidgetpackage.zip en el directorio indicado en el directorio
$BaseDirectory, ejecutado en Mathematica.
Ejemplo:
2.
"C:\ProgramData\\Mathematica"
Se debe preservar la estructura de ficheros contenida en el fichero ZIP. Se
descomprime el fichero pero preservando la estructura de ficheros.
3.
Se inicia Mathematica, y en menú Help se selecciona Rebuild Help index. Para
integrar la documentación de SWP con el resto de Mathematica.
4.
La ayuda de este paquete, Super Widget Package (SWP), se encuentra en Help
Browser y en la solapa Add-ons & Links.
Software para la resolución de EDO
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Manual de Usuario
Para utilizar la aplicación es necesario tener instalado el software Mathematica 6.0,
el paquete The Super Widget y las plantillas suministradas en el CD.
a)
Se debe abrir y ejecutar todo el fichero "Código (Problemas de Contorno con
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias).nb". Para ejecutar todo el fichero se debe seleccionar
en la barra de herramientas de Mathematica "Kernel", "Evaluation" y "Evaluate Notebook".
Así serán reconocidos todos los algoritmos desarrollados.
b)
Se ejecuta el archivo denominado "Interfaz.nb".
Para resolver problemas con esta interfaz se siguen los siguientes pasos:
1.
Seleccionar el método del menú principal.
2.
Introducir los datos necesarios para la resolución del problema como se indica en la
ventana del método.
3.
Pulsar el botón "Método".
Una vez que se han obtenido los resultados si que quiere volver a resolver un
problema con el mismo método volver a introducir los datos en la misma ventana y pulsar
el botón "Método". Si se quiere resolver un problema con otro método o salir de la
aplicación se debe cerrar la ventana del método y se vuelve a la ventana principal de la
aplicación desde la que se puede cerrar la aplicación o ejecutar problemas con cualquier
método siguiendo los pasos anteriores.
Proyecto Fin de Carrera
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