Ejercicio 6 de la práctica 4

Ejercicio 6 de la práctica 4
A) Resolución de las ecuaciones con las herramientas
propias de Mathematica
H∗1∗LDSolve@H1 + E ^ xL ∗ y@xD ∗ y '@xD == E ^ x, y@xD, xD
::y@xD → −
2
C@1D + Log@1 + x D >, :y@xD →
2
C@1D + Log@1 + x D >>
H∗2∗L DSolve@H4 x + 3 y@xDL + H2 y@xD − 3 xL ∗ y '@xD 0, y@xD, xD
Solve::tdep : The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non-algebraic way. à
3 ArcTanB
y@xD
2 x
SolveB−
F
+ LogB2 +
2
y@xD2
x2
F C@1D − 2 Log@xD, y@xDF
H∗3∗L DSolve@−1 + y@xD ∗ E ^ Hx ∗ y@xDL + y@xD ∗ Cos@x ∗ y@xDD +
H−1 + x ∗ E ^ Hx ∗ y@xDL + x ∗ Cos@x ∗ y@xDDL ∗ y '@xD 0, y@xD, xD
Solve::tdep : The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non-algebraic way. à
SolveAx y@xD − x + Sin@x y@xDD − y@xD C@1D, y@xDE
H∗4∗L DSolve@y '@xD + 2 x ∗ y@xD 2 x ∗ E ^ Hx ^ 2L, y@xD, xD
::y@xD →
x
2
2
+ −x C@1D>>
2
H∗5∗L DSolve@x ∗ y '@xD + y@xD y@xD ^ 2 ∗ Log@xD, y@xD, xD
::y@xD →
1
1 + x C@1D + Log@xD
>>
B) Resolución de las ecuaciones con los métodos
clásicos
1) Esta ecuación es de variables separadas:
y HxL y ' HxL =
Ahora integramos respecto de x:
Ÿ yHxL y' HxL „ x=Ÿ
‰x
1+‰ x
Integrate B
„x
x
1 + x
, xF
x
1 + x
2
Ejercicio 6. Práctica 4.nb
Log@1 + x DH∗Este comando nos da una primitiva. El conjunto
de todas las primitivas se obtiene sumando la constante C∗L
Integrate @y, yD
y2
2
Por lo tanto, y2 = 2 HLog@1 + ‰x D + CL
2) Esta ecuación es homogénea : (4 x + 3 y) + (2 y - 3 x)y'ã 0
y' =
-4 - 3 y ê x
2 yêx - 3
y
Hacemos el cambio u =
, es decir, u x = y. Derivando respecto de x,
x
tenemos : u' x + u = y'. Sustituyendoen la ecuación diferencial nos queda :
u' x + u =
u' x =
In[1]:=
-4 - 3 u
2u-3
−4 − 3 u
− u; u ' x =
2u−3
Integrate B
3 ArcTanB
−2 u + 3
4 + 2 u2
u
2
Out[1]=
2
, que es una ecuación diferencial de variables separadas.
F
−
1
2
2
−4 − 3 u − 2 u2 + 3 u
2u−3
; u' x =
−4 − 2 u2
2u−3
;
−2 u + 3
4 + 2 u2
, uF
LogA2 + u2 E
H∗Esta integral se descompone como suma de una integral
del tipo logaritmo más una integral del tipo arcotangente∗L
‡
−2 u + 3
u' x = −
4 + 2 u2
1
2
‡
4u
4 + 2 u2
u +
3
4
2 ·
1í
1+J
2
u
2
N
u
2
Por lo tanto :
y
3 ArcTanB
x
2
In[5]:=
In[7]:=
Out[7]=
In[9]:=
Out[9]=
2
F
−
2
y 2
LogB2 + K O F = C + log » x »
2
x
1
H∗3∗L p@x_, y_D := −1 + y ∗ E ^ Hx ∗ yL + y ∗ Cos@x ∗ yD
q@x_, y_D := −1 + x ∗ E ^ Hx ∗ yL + x ∗ Cos@x ∗ yD
D@p@x, yD, yD
x y + x y x y + Cos@x yD − x y Sin@x yD
D@q@x, yD, xD
x y + x y x y + Cos@x yD − x y Sin@x yD
∑p
Como p y q tienen derivadas parciales de primer orden continuas y además
∑q
∑x
Hx, yL entonces tenemos un forma diferencial exacta.
∑y
Hx, yL =
u' =
1
x
Ejercicio 6. Práctica 4.nb
Integrate @p@t, yD, 8t, x0, x<D + Integrate@q@x0, tD, 8t, y0, y<D
In[10]:=
x y − x0 y0 − x + x0 − y + y0 + Sin@x yD − Sin@x0 y0D
Out[10]=
Agrupando las constantes, la solución de la ecuación diferencial es : ‰x y - x - y + Sin@x yD = C
H*4*L y' + 2 xy = 2 x‰x
2
Esta ecuación es lineal. Se resuelve por el método de variación de constantes
Primero, resolvemosla ecuación : y' + 2 xy = 0;
y' = -2 xy ->
y'
= -2 x Ø log » y » = -x2 + C Ø y = k‰-x
y
2
Ahora, hacemos variar la constante para hallar una solución particular :
y = k HxL ‰-x
2
Derivamos : y' = k' ‰-x + k HxL ‰-x H-2 xL
2
2
Por otra parte, de la ecuación diferencial : y' + 2 xk HxL ‰-x = 2 x‰x
2
2
Así : k' ‰-x + k HxL ‰-x H-2 xL + 2 xk HxL ‰-x =
2
2
2
2 x‰x -> k' ‰-x = 2 x‰x Ø k' = 2 x‰2 x . Integrando y tomando como constante el cero : k HxL =
2
2
2
2
Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial es : y HxL = k‰-x +
2
1
‰x
1
‰2 x
2
2
2
2
H∗5∗Lxy ' + y = y2 log HxL
Esta ecuación diferencial es de Bernouilli
Hacemos el cambio u =
-x
u'
u2
+
1
=
u
1
y
Ø y' = -
u'
u2
; HSupongamosy, u distintos de ceroL
2
1
log HxL;
u
Multiplicando por u2 : -xu' + u = log HxL, que es una ecuación lineal.
-xu' + u = 0 Ø u' ê u = 1 ê x Ø log » u » = log » x » +C Ø u = kx,
ahora hacemos variar la constante para hallar una solución particular :
-x Hk' x + kL + kx = log HxL Ø -x2 k' = log HxL Ø k' =
tenemos k HxL =
In[12]:=
+
x
+
-x2
. Integrando por partes, Allamando dv = -1 ë x2 dxE ,
log HxL
x
Integrate B
1
Out[12]=
1
log HxL
x
Log@xD
−x2
, xF
Log@xD
x
La solución de la ecuación diferencial es : y HxL =
1
u HxL
=
1
kx + J 1x +
log HxL
Nx
x
=
1
kx + 1 + log HxL
3