Cálculo Integral: Problemas Resueltos con Funciones Trigonométricas

2010
CÁLCULO INTEGRALSOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROPUESTOS EN GUÍAS Y PROBLEMASESPECIALES
INSTITUTO POLITÉCNICO
NACIONAL
CECyT “WILFRIDO
MASSIEU”
Departamento de Unidades de Aprendizaje
Del Área Básica
PROFR.LUIS ALFONSO RONDERO G.
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INMEDIATAS .
Verificación por derivación
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 2
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 3
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 4
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 5
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 6
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 7
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
ACTIVIDAD I. PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
La siguiente tabla de identidades trigonométricas es fundamental para realizar todas
1)
 sen
2)
 sen dx 
4
dx 
6)
 tan
3
11)  sen 2 x cos 3 x dx 
xdx 
7)  tan 4 3xdx 
5
 ctg
12)
 sen
13)
 sen
3)  cos 4 3xdx 
8)
4)  cos 5 2 xdx 
9)  ctg 3 xdx 
14)
 tan
5)  tan 2 xdx 
10)  ctg 4 x dx 
15)
 tan
2
xdx 
16)

tg 3 4 x sec 4 4 xdx
3
x cos 4 x dx
17)
 sen x cos
5
2 x cos 3 2 xdx 
18)
 tan x sec
3
x sec5 xdx 
19)
 tan x sec
3
x sec 6 xdx 
20)
 sen x cos
2
xdx 
4
xdx 
3
3
5
3
3
xdx 
3
xdx 
las transformaciones necesarias para simplificar las expresiones trigonométricas
contenidas en las integrales.
Identidades trigonométricas
Problema 1

2

2
1

4
2
 sen xdx   sen x dx    2 1  cos 2 x  dx
1
1
1
1
  1  2 cos 2 x  cos 2 2 x dx   dx   cos 2 xdx   cos 2 2 xdx
4
4
2
4


u  2x
du  2dx
du
 du
2
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
v  2x
dv  2dx
dv
 dx
2
Página 8
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica

1
1
du 1
dv
x   cos u

cos 2 v
4
2
2 4
2

1
1
1
1
1
1 1
x   cos udu   cos 2 vdv  x  senu   1  cos 2v dv
4
4
8
4
4
8 2

1
1
1
1
1
1
1
x  sen2 x   1  cos 2v dv  x  sen2 x   dv   cos 2vdv
4
4
16
4
4
16
16
w  2v
dw  2dv
dw
 dv
2

1
1
1
1
dw 1
1
1
1
x  sen2 x  v   cos w
 x  sen2 x   2 x  senw
4
4
16
16
2
4
4
16
32

1
1
1
1
x  sen 2 x  x  sen 4 x
4
4
8
32
3
1
1
 x  sen 2 x  sen 4 x  c
8
4
32
Problema 2
 sen

5


xdx   senxsen 4 xdx   senx sen 2 x dx

2
2


  1  cos 2 x senxdx   1  2 cos 2 x  cos 4 x senxdx


  senx  2 cos 2 xsenx  cos 4 xsenx dx
  senxdx  2 cos 2 xsenxdx   cos 4 xsenxdx
u  cos x
du   senxdx
 du  senxdx
v  cos x
dv   senxdx
 dv  senxdx
  cos x  2 u 2  du    v 4  du    cos x  2 u 2 du   v 4 dv   cos x 
2u 3 v 5

3
5
2
cos 5 x
  cos x  cos 3 x 
c
3
5
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 9
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Problema 3
Problema 4
Problema 5
 tan
2


xdx   sec 2 x  1 dx   sec 2 xdx   dx
 tan x  x  c
Problema 6
 tan
3


xdx   tan 2 x tan xdx   sec 2 x  1 tan xdx
  sec 2 x tan xdx   tan xdx
u  tan x
du  sec 2 xdx
tan 2 x
u2
 Ln sec x  c
  udu  Ln sec x  c 
 Ln sec x  c 
2
2
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 10
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Problema 7
 tan
4
3xdx 


1
1
tan 2 u tan 2 udu   tan 2 u sec 2 u  1 du
3
3

u  3x
1
du  dx
3
1
1
tan 2 u sec 2 u du   tan 2 u du

3
3
v = tg u ; dv = sec2u du


1 2
1
1 v3 1
1
1
1
1
2
v
dv

sec
u

1
du

  sec 2 udu   du  v 3  tg u  u


3
3
3 3 3
3
9
3
3
1
1
1
1
1
3
3
 tan u  v  x  c  tan 3x  tan 3x  (3x)
9
3
9
3
3

1
1
 tan3 3x  tan 3x  x  c
9
3
Problema 8
 cot
2


xdx   csc 2 x  1 dx   csc 2 xdx   dx  ctgx  x  c
Problema 9
 cot xdx   cot x cot xdx   cot xcsc x  1dx
  cot x csc xdx   cot xdx   u  du   Ln senx
3
2
2
2
u  ctgx
du   csc 2 xdx
 du  csc 2 xdx
   udu  Ln senx  
ctg 2 x
u2
 Ln senx  c
 Ln senx  
2
2
Problema 10
 cot xdx   cot x cot xdx   cot xcsc
  cot x csc xdx   cot xdx
4
2
2
2
2
2
2

x  1 dx
2
u  cot x
du   csc 2 xdx
 du  csc 2 xdx
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 11
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
  u 2  du    csc 2 x  1 dx    u 2 du   csc 2 xdx   dx  

u3
 ctg x  x  c
3
cot 3 x
 cot x  x  c
3
Problema 11
Problema 12
Problema 13
=
Problema 14
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 12
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
1
1
sec7 x  sec5 x  c
7
5
  tan 3 x sec 5 x dx 
Problema 15


2
3
6
3
4
2
3
2
2
 tan x sec xdx   tan x sec x sec x dx   tan x sec x sec x dx


  tan 3 x 1  tan 2 x sec 2 x dx   tan 3 x(1  2 tan 2 x  tan 4 x) sec 2 x dx
2
  tan 3 x sec 2 xdx  2 tan 5 x sec 2 xdx   tan 7 x sec 2 xdx
u  tan x
du  sec 2 xdx
  u 3 du  2 u 5 du   u 7 
u 4 2u 6 u 8
tan 4 x tan 6 x tan8 x

 c 


c
4
3
8
4
6
8
Problema 16
=
Problema 17
 sen x cos
3

2
xdx   sen 2 x cos 2 x senx dx

  1  cos 2 x cos 2 x senx dx   cos 2 x senx dx   cos 4 x senx dx
   u 2 du   u 4 du  
u  cos x
du   senxdx
 du  senxdx
u3 u5
cos 3 x cos 5 x
 c  

c
3 5
3
5
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 13
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Problema 18
 tan x sec x dx   tan x sec xsec x dx
  tan x1  tan x  sec x dx   tan x sec
3
4
3
3
2
2
2
2
3
2
x dx   tan 5 x sec 2 x dx
u  tan x
du  sec 2 xdx
  u 3 du   u 5 du 
u4 u6
tan 4 x tan 6 x

c 

c
4
6
4
6
Problema 19


2
5
3
4
2
2
2
 tan x sec x dx   tan x sec x sec x tan x dx   tan x sec x sec x tan x dx



2

  sec 2 x  1 sec 2 x sec x tan x dx   sec 4 x  2 sec 2 x  1 sec 2 x sec x tan x dx
  sec6 x sec x tan x dx   2 sec4 sec x tan x dx   sec2 x sec x tan x dx
u  sec x
du  sec x tan x
  u 6 du  2 u 4 du   u 2 du 
u 7 2u 5 u 3

 c
7
5
3
1
2
1
 sec7 x  sec5 x  sec3 x  c
7
5
3
Problema 20
 sen x cos
3
3


x dx   sen 3 x cos 2 x cos x dx   sen 3 x 1  sen 2 x cos x dx
  sen 3 x cos x dx   sen 5 x cos x dx
u  senx
du  cos xdx
  u 3 du    u 5 du  
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
u4 u6
sen 4 x sen 6 x

c 

c
4
6
4
6
Página 14
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA I .
PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
Soluciones
1. Solución:
2. Solución:
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 15
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 16
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
6. Solución:
7. Solución:
8. Solución:
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 17
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
9. Solución:
10. Solución:
11. Solución:
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 18
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
En éste mismo espacio se resuelve la integral de la secante cúbica que se requiere para el
siguiente ejercicio.
12. Solución:
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 19
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
SOLUCIÓN AL PROBLEMA PROPUESTO
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 20
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Actividad complementaria II: Soluciones
Problema 1
Problema 2
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 21
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Problema 3
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 22
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Problema 4
Problema 5
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 23
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Problema 6
Problema 7
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 24
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Problema 8
Problema 9
Problema 10
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 25
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Problema 11
Problema 12
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 26
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Problema 13
Problema 14
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 27
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Problema 15
Problema 16
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 28
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Problema 17
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 29
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
INTEGRACIÓN POR PARTES.
ACTIVIDAD II.PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
PROBLEMAS RESUELTOS.
1.  x cos xdx   x senx    senxdx  xsenx    cos x  c  xsenx  cos x  c
ux
dv  cos xdx
du  dx
v  senx
2.
 x sen x dx  u dv  uv   vdu
  x cos x    cos x  2 x dx
  x cos x  2  x cos x dx
  x cos x  2x sen x   sen x dx 
2
u  x2
du  2 x dx
v   cos x
dv  sen x dx
2
2
2
ux
dv  cos x dx
du  dx
v  sen x
  x 2 cos x  2x sen x   cos x 
  x 2 cos x  2 x sen x  2 cos x  c
3.
x
x
x
 xe dx  xe   e dx
 xe x  e x  c
ux
dv  e x dx
du  dx
v  ex
4.
 x e dx  u dv  uv   vdu
 x e   e  2 x dx
 x e  2  e x dx
 x e  2 xe   e dx 
2 x
2
x
2
x
2
x
x
x
x
u  x2
dv  e x dx
du  2 x dx
v  ex
x
 x 2 e x  2 ex x  2 e x  c
ux
dv  e x dx
du  dx
v  ex
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 30
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica

5.
x 3 e x dx   x 2 xe x dx   we w 
2
2


dw 1
1
1
1
  we w dw  we w   e w dw  we w   e w dw
2 2
2
2
2
u=w ; dv=ew dw ; du=dw ; v=ew
w x
dw  2 xdx
dw
 xdx
2
2
6.

2
1 w 1 w
1
1 2
we  e  c  x 2 e x  e x  c
2
2
2
2
 Ln x dx  x Ln x   x
u  Ln x
du 
dv  dx
dx
 x Ln x   dx  x Ln x  x  c
x
dx
x
vx
7.
 xLn x dx  x Ln x  x    x Ln x  x dx 
 x Lnx  x   x Ln x dx   x dx
2
2
  x Lnx dx   x Ln x dx  x 2 Ln x  x 2 
  x Ln x dx 
x 2 Ln x  x 2 
2
x2
2
x2
2  1 x 2 ln x  1 x 2  c
2
4
u x
dv  Ln x dx
du  dx
v  x Ln x  x
8
x
2
cos x dx  u dv  uv   vdu
 x 2 sen x   senx  2 x dx
 x 2 sen x  2  x sen x dx


 x sen x  2 x cos x   cos x dx 
 x 2 sen x  2  x cos x    cos x dx
2
 x sen x  2 x cos x  sen x 
2
 x 2 sen x  2 x cos x  2 sen x  c
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
u  x2
dv  cos x dx
du  2 x dx
v  sen x
u x
dv  sen x dx
du  dx
v   cos x
Página 31
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
9.
x e
3 2x
dx  u dv  uv   vdu
x 3e 2 x
1

  e 2 x  3 x 2 dx
2
2
x 3e 2 x 3 2 2 x

  x e dx
2
2
3 2x

xe
3  x 2e 2 x
1

 
  e 2 x 2 x dx 
2
2 2
2


x 3e 2 x 3  x 2 e 2 x

 
  xe 2 x dx 
2
2 2

u  x3
dv  e 2 x dx
du  3 x dx
1
v  e2 x
2
2
u  2x
du  2dx
du
 dx
2
1
  e u du
2
1 u
 e
2
1 2x
1 2x
xe 2 x 1 2 x
xe 2 x 1  1 2 x  xe 2 x e 2 x
2x
xe
dx

x

e

e
dx


e
dx

  e 

c

2
2
2
2
2
22
2
4

ux
dv  e 2 x dx
du  dx
1
v   dv  e 2 x
2
v   e 2 x dx   e u
du 1 u
1
1

e du  e u  e 2 x
2 2
2
2
u  2x
du  2dx
du
 dx
2
Finalmente la integral original se resuelve así:
x 3e 2 x 3 2 2 x 3 2 x 3 2 x
 x e  xe   e dx
2
4
4
4
3 2x
xe
3
3
31


 x 2 e 2 x  xe 2 x   e 2 x x   c
2
4
4
42

1
3
3
3
 x 3 e 2 x  x 2 e 2 x  xe 2 x  xe 2 x
2
4
4
8
3 2x
 x e dx 
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 32
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
10.

xe  x dx 
x(e  x )    e  x dx  xe  x   e  x dx   xe  x  (e  x )  xe  x  e  x  c
ux
dv  e  x dx
du  dx
v  e  x
INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS.PROBLEMAS ESPECIALES.
PROBLEMA 1.
=
=
PROBLEMA 2.
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 33
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
=
=
=-
=
COMPROBACIÓN
=
=
=
=
=
=
PROBLEMA 3.
=
=
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 34
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
=
COMPROBACIÓN
PROBLEMA 4.
=
=
=
PROBLEMA 5.
=
=
PROBLEMA 6.
3
 tg 
  ctg   d 
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
=
=
Página 35
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA7.
u
(
)
du
cosy
du
2
seny dy
seny dy
(
du
du
2·
c
y
2
(1
y
y
y)
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
+
c
Página 36
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA 8
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 37
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO CAMBIO DE VARIABLE
PROBLEMA 1.

3
dx

x x
Hacemos la sustitución :
u6  x
ya que “ 6 “ es el m.c.m de los índices de ambos radicales :2 y 3
ux
1
6
dx  6u 5 du ;
Además
3

3
x  u2
x  u3
dx
6u 5 du
u 3 du

 6
1 u
x  x  u2  u3
Hacemos la sustitución t= u+1 y u=t-1 entonces du = dt
 6
t  13 dt  6
t

t
3
 3t 2  3t  1dt
t
 t 3 3t 2

1

 6  t 2  3t  3  dt  6 
 3t  ln t  c 
t
2

3

 2u  1  9u  1  18u  1  6 ln u  1  c
3
2
Por lo tanto:
3
2
dx
6
6

2
x

1

9
x

1
 18
3 x x





6

x  1  6 ln
6
x 1  c
INTENTA REALIZAR LA COMPROBACIÓN ¡¡¡¡
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 38
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA 2. ¡MUY DIFÍCIL!
dx Se factoriza x y se introduce bajo el radical :
dx =
dx
u =
du =
=6
2
dx
dx
dx
⋅
du
⋅
c
COMPROBACIÓN:
d
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
⋅4
Página 39
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
PARTES
PROBLEMA 1.
PROBLEMA 2.
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 40
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA 3.
PROBLEMA 4.
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 41
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA 5.
- Demostrar la siguiente igualdad :
n
 sen xdx  
sen n1 x cos x n  1

sen n2 xdx
n
n 
Solución:
 sen
n
xdx 
n
n 1
xsenxdx
u= sen n 1 x
Dv= senxdx
Proponiendo:
 sen
 sen
xdx   cos xsen n1 x  n  1 cos 2 xsen n2 xdx
  cos xsen n1 x  n  1 sen n2 xdx  n  1 sen n xdx
Agrupando se tiene:
n
 sen xdx  
sen n 1 x cos x n  1

sen n 2 xdx ……

n
n
Así queda demostrado
PROBLEMA 6.
e
3x
Sen
x
x
x
dx  3e 3 x Cos  9 e 3 x Cos dx
3
3
3
u  e3x
dv  Sen
du  3e 3 x dx
x
dx
3
v  3Cos
;
x
3
u  e3x
; du  3e 3 x dx
dv  Cos
x
dx
3
v  3Sen
x
3
x
x
x
 27e 3 x Sen  81 e 3 x Sen dx
3
3
3
3 3x 
x
x

e 9 Sen  Cos   C
82
3
3

 3e 3 x Cos
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 42
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA 7.
x
n
ln xdx 
x n 1
x n 1  dx 

ln x  
 
n 1
n 1 x 
x n 1
1
 dx 

ln x 
x n 1  

n 1
n 1
 x 

x n 1
1
ln x 
x n 11 dx

n 1
n 1


x n 1
l
ln x 
x n dx

n 1
n 1
n 1
x
l  x n 1 

c

ln x 
n 1
n  1  n  1 


x n 1
x n 1
ln x 
c
n 1
n  12

x n 1 
1 
 ln x 
c
n 1
n 1
PROBLEMA 8.
Sea u= x
;
dv=
w=
du= dx
;
;
V= V= -
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 43
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA 9
u= arctanx ;
dv = xdx
;
v=
Haciendo la división:
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 44
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA 10.
Sea u=
Integrando por partes
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 45
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA 11.
Sea
Integrando esta ultima por partes:
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 46
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
ACTIVIDAD III.PROBLEMAS PROPUESTOS
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
PROBLEMA 1.
5
Secu
x
x²-9
u
3
5
x
3 secu
dx
3 secu tgu du
45
15
15
udu
15tgu
= 15
+C
5
PROBLEMA 2
tg z
x²+16
x
z
4
x
4 tgz
dx
4
4
4
4
x
4
4tg z
4z
4arctg
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 47
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA 3
5
25
25
5
Sen u
x
dx
5 senu
5 cos u du
5
25
5
5
5u
al llegar a ésta
parte debemos pensar en quién es u ? y al observar el triángulo comprendemos que u es
el
ángulo cuyo seno vale :
, lo cual se escribe: arc sen
el resultado final es: 5 arcsen +c
PROBLEMA 4
Sen u
3
x
x
3senu
u
dx
9-x²
9
9
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
3cosu du
9
cos2u) du
Página 48
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
v
2u
dv
2du
du
u
·
arc sen
arc sen
sen 2v
arc sen
c
senv
arc sen
·
·
c
x
PROBLEMA 5
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROBLEMA 6
Sec w
dx
x
secw tgw dw
=
=
=
+c
PROBLEMA 7
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 49
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA 8
=
1
x
1-x²
=
=
=
=
+
+c =
=
+
+C
PROBLEMA 9
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROBLEMA 10
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 50
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA 11
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 51
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Actividad Complementaria III. Resuelve las siguientes integrales
indicando planteamientos ,operaciones y resultado.
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 52
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Solución:
(Fig.1)
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 53
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Solución:
Solución:
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 54
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Solución:
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 55
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Solución:
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 56
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA IV.
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES, POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO
EL DENOMINADOR SÓLO TIENE FACTORES LINEALES
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:
Soluciones
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 57
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 58
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 59
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 60
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 61
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 62
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 63
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Integración de funciones racionales, por fracciones parciales,
cuando el denominador contiene factores cuadráticos
Ejercicios resueltos
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 64
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
S o l u c i o n e s
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 65
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 66
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 67
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 68
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 69
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 70
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
MÁS PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES PARCIALES.
Caso 1-
De esta ecuación obtenemos el siguiente sistema:
A+B=1
A-4B=0
Resolviendo este sistema obtenemos:
A=
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 71
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Efectuando la división
Caso 2
De ésta identidad obtenemos
A=6
-2A-B=-8
A+B+C=3
Resolviendo el sistema tenemos
A=6
; B=-4
; C=1
=
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 72
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Sea u=1-x ;
==-
+4
=-
Caso
-x+3=A (
-x+3=A
-x+3=(A+B)
De esta identidad obtenemos que
A+B= 0
-2ª+C= -1
3A= 3
Resolviendo el sistema
A= 1 , B = -1 , C = 1
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 73
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Sea u=
=
=
=
Caso IV.-
=
+Cx+D
+(A+C) x+B+D
De esta identidad tenemos
A=2
B=0
A+C=0
B+D=0
Resolviendo el sistema
A=2 ;B=0
; c=-2 ; D =0
∴
Sea
u=
=
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 74
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Realizando división:
dx
Caso 1
5x+4 = A
5x+4 = Ax+2A+Bx - 4B
5x+4=(A+B) x + 2A-4B
De ésta identidad obtenemos el siguiente sistema
A+B = 5
2A-4B =
Resolviendo el sistema obtenemos
A=4 ;B=1
=x+4
=x +
6)
Multiplicando ambos miembros por
eliminamos los
denominadores y obtenemos :
X=A(x-2)+B = Ax-2A+B
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 75
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
De esta identidad tenemos que:
A=1 & -2A+B=0
Resolviendo el sistema: A=1 ;B=2
Sea
=
=
=
7)
Caso 1
Ax+A+Bx+2B
De esta identidad tenemos:
A+B=5
A+2B=8
Resolviendo el sistema tenemos que A=2
,B=3
=2
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 76
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
8)
Caso 3
(A+B)
De esta identidad tenemos :
A+B= 4
C= 0
3A=6
Resolviendo el sistema a=2 ,b=2 c=0
=2
=
9)
A
A+B +Ct-2C-2Bt
A+B ) + (C-2B) t +4 A-2C
DE ESTA IDENTIDAD OBTENEMOS EL SIGUIENTE SISTEMA:
A+B=2
C-2B=-4
4A-2C=-4
RESOLVIENDO EL SISTEMA : A = -1 , B= 1 – A = 2 , C=0
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 77
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMA DE CONCURSO
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 78
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 79
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
¡ MÁS PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA!
P1)
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 80
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
P2)
P3)
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 81
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
La integral de la secante cúbica ya fue resuelta en el tema de integración por partes
=
P4)
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 82
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
=
P5)
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 83
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
P6)
P7)
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 84
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
P8)
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 85
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
P9)
Integrando ésta última por partes :
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 86
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
P10)
P11)
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 87
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
P12)
-
P13)
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 88
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
BIBLIOGRAFÍA
AYRES , F. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”. SERIE SCHAUM, M C GRAW -HILL,
M ÉXICO.
BOSCH-GUERRA. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”.ED.PUBLICACIONES
CULTURAL,M ÉXICO
DEL GRANDE , D. “C ÁLCULO ELEMENTAL ”. ED . H ARLA, M ÉXICO
ELFRIEDE W. “ DIDÁCTICA _ C ÁLCULO INTEGRAL”.G RUPO EDITORIAL
IBEROAMÉRICA.M ÉXICO.
FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.
FUENLABRADA , S. “C ÁLCULO INTEGRAL ”. E D. T RILLAS , M ÉXICO
GRANVILLE ,W.A. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”, ED. LIMUSA, M ÉXICO
LEITHOLD, L. “C ÁLCULO”, ED. OXFORD UNIVERSITY PRESS , M ÉXICO
PURCELL, E.J. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”.ED.LIMUSA, M ÉXICO.
STEWART, J. “C ALCULO DE UNA VARIABLE”. ED.T HOMPSON, M ÉXICO.
SWOKOWSKY , E. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”. ED. IBEROAMERICANA,
M ÉXICO.
ZILL,D.G. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”ED. IBEROAMERICANA, M ÉXICO.
FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 89
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PÁGINAS ELECTRÓNICAS
http://www.vitutor.com
http://www.vadenumeros.es
http://www.vadenumeros.es/index.htm
http://www.acienciasgalilei.com
HTTP:// WWW. MATEMATICASBACHILLER . COM
HTTP:// WWW. MATEMATICASBACHILLER . COM/ TEMARIO/ CALCULIN / TEMA_01/ INDICE
.HTML
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 90