Geometrı́a de curvas y superficies
Segundo de Matemáticas, UAM
Curso 2020-2021
Resumen sobre curvas
(elaborado por JLF/PFG, UAM, 10 de marzo de 2021)
Reunimos a continuación las nociones, notaciones y fórmulas sobre el material de curvas (planas
y espaciales).
Una curva regular γ es una aplicación diferenciable de un intervalo I ⊆ R en R3 ,
γ:
I⊆R
t
R3
γ(t) = (x(t), y(t), z(t)),
−→
−→
tal que el vector “velocidad”
γ (t) = (x (t), y (t), z (t)) es distinto de (0, 0, 0) para cada t ∈ I,
donde significa derivada con respecto a t. Su traza es γ(I), el conjunto de puntos de R3 que son
imagen por γ del intervalo I. A t nos referimos como el parámetro de la curva.
Dado t ∈ I, la longitud de arco de la curva γ desde el punto t0 ∈ I es
t
γ̇(u) du
s(t) =
t0
Diremos que la curva está parametrizada por longitud de arco si γ (t) = 1 para cada t ∈ I (en
cuyo caso s(t) = t salvo una constante).
Notación: en lo que sigue,
si la curva está parametrizada por longitud de arco, reservaremos el sı́mbolo s para su parámetro,
y para las derivadas con respecto a s utilizaremos γ (s), γ (s), etc.;
para parámetro t arbitrario, para las derivadas con respecto a t escribiremos γ̇(t), γ̈(t), etc.
A. Curvas parametrizadas por longitud de arco
Como γ (s) = 1 para todo s, los vectores γ (s) y γ (s) son perpendiculares para todo s. En lo
que sigue supondremos que la curva es birregular, es decir, γ (s) = 0 para todo s.
El vector tangente a la curva γ en s se define como
t(s) = γ (s) .
La curvatura de la curva γ en s será
κ(s) = t (s) = γ (s) .
El vector normal a la curva γ en s es
n(s) =
γ (s)
γ (s)
t (s)
=
=
·
t (s)
γ (s)
κ(s)
El vector binormal a la curva γ en s es
b(s) = t(s) × n(s) .
Los vectores {t(s), n(s), b(s)} son perpendiculares entre sı́ y tienen longitud unidad. Forman un triedro
(orientado positivamente), llamado el triedro de Frenet de la curva γ en s.
El plano definido por los vectores t(s) y n(s) y que pasa por el punto γ(s) se conoce como el plano
osculador de la curva γ en el punto γ(s). La ecuación de este plano es
(x − γ(s)) · b(s) = 0 .
Análogamente, se definen los planos rectificante (definido por t(s) y b(s)) y normal (definido por
n(s) y b(s)). Las respectivas ecuaciones son:
(rectificante) :
(x − γ(s)) · n(s) = 0 ;
(normal) :
(x − γ(s)) · t(s) = 0 .
El vector que mide la variación del vector tangente es
(1)
t (s) = κ(s) n(s) .
El vector b (s) resulta ser paralelo a n(s), de manera que
b (s) = τ (s) n(s) ,
(2)
donde la función τ (s) es la torsión1 de la curva γ en s. En términos de las derivadas de la curva,
τ (s) = −
Por último,
(3)
(γ (s) × γ (s)) · γ (s)
·
γ (s)2
n (s) = −κ(s) t(s) − τ (s) b(s) .
Las identidades (1)–(3) son las llamadas fórmulas de Frenet.
B. Curvas con parametrización arbitraria
Escribimos a continuación las fórmulas para todas las cantidades anteriores cuando el parámetro
no es (necesariamente) la longitude de arco. Nótese que conviene calcular el triedro de Frenet en el
orden t(t) → b(t) → n(t):
⎧
γ̇(t)
⎪
⎪
,
γ̇(t) × γ̈(t)
⎪ t(t) =
⎪
γ̇(t)
,
curvatura: κ(t) =
⎪
⎪
3
⎨
γ̇(t)
γ̇(t) × γ̈(t)
triedro de Frenet :
b(t) =
,
...
⎪
⎪
γ̇(t) × γ̈(t)
(γ̇(t) × γ̈(t)) · γ (t)
⎪
⎪
torsión: τ (t) = −
,
⎪
⎪
⎩
γ̇(t) × γ̈(t)2
n(t) = b(t) × t(t).
C. Curvas planas
En el caso de las curvas planas, podemos dar un signo a la curvatura. Digamos que la curva plana
γ : I ⊆ R → R2 viene dada por
γ(t) = (x(t), y(t)) .
Su vector velocidad es γ̇(t) = (ẋ(t), ẏ(t)) y su vector tangente,
t(t) =
γ̇(t)
(ẋ(t), ẏ(t))
=
·
γ̇(t)
ẋ(t)2 + ẏ(t)2
Definimos entonces el vector normal como el vector unitario y perpendicular (ángulo de π/2 en sentido
antihorario) a t(t), esto es, como
(−ẏ(t), ẋ(t))
n̂(t) = ·
ẋ(t)2 + ẏ(t)2
La curvatura de γ en el punto γ(t) resulta ser
κ̂(t) =
ẋ(t) ÿ(t) − ẍ(t) ẏ(t)
,
(ẋ(t)2 + ẏ(t)2 )3/2
una cantidad con signo (y cuyo módulo coincide, por supuesto, con la curvatura habitual).
1 En
algunos textos se define la torsión de manera que en la fórmula (2) aparece un signo menos.
1
Superficies
Una carta es una función X : U ⊂ R2 → R3 que cumple:
i) X(u, v) es diferenciable.
ii) Xu (u, v), Xv (u, v) son linealmente independientes (kXu (u, v) × Xv (u, v)k =
6 0) para todo
(u, v) ∈ U .
iii) X(u, v) es homeomorfismo (basta ver que es inyectiva y X−1 es continua).
Una superficie regular S es un conjunto de puntos de R3 tal que para todo p ∈ S
podemos encontrar un abierto U ⊂ R2 , un abierto W ⊂ R3 con p ∈ W , y una carta
X : U → R3 con X(U ) = W ∩ S (se le llama carta de S).
Si sólo necesitamos una carta X (es decir X(U ) = S), entonces decimos que X es una carta
global.
Las curvas coordenadas son las curvas que salen cuando dejamos fija una de las variables
de la carta f (u) = X(u, v0 ) y g(v) = X(u0 , v).
Ayuda para saber que una superficie es regular:
- Si es la gráfica de una función f (x, y) diferenciable (es decir S = (x, y, f (x, y))) entonces S
es una superficie regular.
- Por lo anterior y el teorema de la función inversa también tenemos que si
S = F −1 (a) = {(x, y, z) ∈ U : F (x, y, z) = a}
con U abierto y F : U ⊂ R3 7→ R diferenciable, entonces si a ∈ R es un valor regular, es decir
si F −1 (a) 6= ∅ y ∇F (x, y, z) 6= 0 para todo (x, y, z) ∈ S, entonces la superficie es regular.
Además sabemos que si S es una superficie regular, entonces para cada punto p ∈ S, podemos
encontrar un abierto V que contiene a p en el que V ∩ S es la gráfica de cierta función
diferenciable. Esto prueba, por ejemplo, que el cono con el vértice no es una superficie
regular.
Ayuda para saber si X es carta:
Comprobar que X−1 es continua puede ser complicado.
- Para comprobar que X−1 es continua, basta probar que X(un , vn ) → X(u0 , v0 ) implica
(un , vn ) → (u0 , v0 ).
- Además si sabemos que una superficie S es regular, para ver que X es una carta de S, no
es necesario demostrar que X−1 es continua.
1
Los cambios de carta son difeomorfismos.
Sea p un punto de una superficie regular S, y sean X : U 7→ R3 y Y : V 7→ R3 cartas de
S tales que p ∈ X(U ) ∩ Y(V ) = W . Definimos U = X−1 (W ) y V = Y−1 (W ). La función
h = Y−1 ◦ X : U 7→ V es un difeomorfismo (es decir, h es diferenciable y tiene una inversa
diferenciable).
También trabajamos con la siguiente definición:
Sea U un abierto de R2 , una aplicación X : U 7→ R3 es una superficie parametrizada
regular si
i) X(u, v) es diferenciable.
ii) Xu (u, v), Xv (u, v) son linealmente independientes (kXu (u, v) × Xv (u, v)k =
6 0) para todo
(u, v) ∈ U .
Esta definición es más parecida a la de curvas ya que trata a la superficie como una aplicación,
mientras que la definición de superficie regular trata a la superficie como un subconjunto de
puntos.
Es más débil a priori que una superficie regular porque no se pide que X sea un homeomorfismo
(es más débil que una carta), aunque se pide que X sea global (parametrice toda la superficie).
Ahora bien, sabemos que si X : U 7→ R3 es una superficie parametrizada regular, entonces
para cada punto p ∈ X(U ), podemos encontrar un abierto V que contiene a p y tal que X(V )
es una superficie regular. Es decir, localmente las trazas de las superficies parametrizadas
regulares son superficies regulares. Para trabajar con conceptos locales basta trabajar con
superficies parametrizadas regulares.
2
Plano tangente
Un vector v es un vector tangente a una superficie regular S en p si existe una curva con
traza contenida en S, con α(0) = p y tal que α̇(0) = v. El conjunto de los vectores tangentes
a S en p se llama el plano tangente y lo denotamos por Tp S.
Sea X una carta de una superficie S regular que contiene a p ∈ S, el plano tangente Tp S
está generado por los vectores Xu y Xv . El vector normal unitario del plano tangente es
Xu ×Xv
N = kX
. Al plano tangente afı́n que pasa por p lo denotamos Tp S + p.
u ×Xv k
Para una superficie dada como S = F −1 (a), tenemos que
Tp S + p = {(x, y, z) :
3
((x, y, z) − p) · ∇F (p) = 0}.
Primera forma fundamental
Sea v ∈ Tp S, definimos la primera forma fundamental Ip : Tp S → R como Ip (v) = kvk2 .
2
Es la forma cuadrática (definida positiva) de la forma bilineal simétrica Ip (v, w) = v · w. Es
simplemente la restricción del producto escalar en R3 a los vectores del plano tangente.
Si definimos
E(u, v) = Xu (u, v) · Xu (u, v),
F (u, v) = Xu (u, v) · Xv (u, v),
G(u, v) = Xv (u, v) · Xv (u, v).
Entonces para p ∈ X(u, v) podemos escribir cualquier vector v ∈ Tp S como
v = aXu (u, v) + bXv (u, v)
para ciertas coordenadas (a, b), y tenemos que
Ip (v) = a2 E(u, v) + 2abF (u, v) + b2 G(u, v).
Observamos que E(u, v), G(u, v) > 0 y como Ip está definida positiva, E(u, v)G(u, v) −
F 2 (u, v) > 0 para todo u, v.
Equivalentemente, con otra notación se dice que la primera forma fundamental es
ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2
donde du, dv son las aplicaciones lineales tales que du(v) = a y dv(v) = b.
La primera forma fundamental es una métrica de Riemann, y nos sirve para hacer mediciones
sin necesidad de saber cómo está inmersa nuestra superficie en R3 . Estas mediciones son las
que seres bidimensionales que vivan en la superficie son capaces de calcular: longitudes,
ángulos y áreas. Veremos que otras magnitudes como la curvatura gaussiana o las geodésicas
también se pueden calcular por medio exclusivamente de la primera forma fundamental.
3.1
Ángulos
Dadas dos curvas α1 (t1 ), α2 (t2 ) en el espacio, si sabemos que se cortan en p = α1 (t1 ) = α2 (t2 ),
entonces el ángulo θ de la intersección es
cos θ =
α̇1 (t1 ) · α̇2 (t2 )
.
kα̇1 (t1 )kkα̇2 (t2 )k
Si las curvas están en ciertas superficies α1 (t) = X(u1 (t), v1 (t)) y α2 (t) = X(u2 (t), v2 (t)) y
se cortan en un punto p = α1 (t1 ) = α2 (t2 ), entonces (A, B, C las defino sólo para que me
entren las fórmulas, no es notación)
cos θ =
3
A
.
BC
donde
A = u̇1 (t1 )u̇2 (t2 )E(u1 (t1 ), v1 (t1 )) + (u̇1 (t1 )v̇2 (t2 ) + u̇2 (t2 )v̇1 (t1 ))F (u1 (t1 ), v1 (t1 )) + v̇1 (t1 )v̇2 (t2 )G(u1 (t1 ), v1 (t1 ))
1
B = (u̇21 (t1 )E(u1 (t1 ), v1 (t1 )) + 2u̇1 (t1 )v̇1 (t1 )F (u1 (t1 ), v1 (t1 )) + v̇12 (t1 )G(u1 (t1 ), v1 (t1 ))) 2
1
C = (u̇22 (t2 )E(u2 (t2 ), v2 (t2 )) + 2u̇2 (t2 )v̇2 (t2 )F (u2 (t2 ), v2 (t2 )) + v̇22 (t2 )G(u2 (t2 ), v2 (t2 ))) 2 .
Observamos que como se cortan en p, entonces E(u1 (t1 ), v1 (t1 )) = E(u2 (t2 ), v2 (t2 )), F (u1 (t1 ), v1 (t1 )) =
F (u2 (t2 ), v2 (t2 )), G(u1 (t1 ), v1 (t1 )) = G(u2 (t2 ), v2 (t2 )).
Deducimos que el ángulo de dos curvas coordenadas que se cortan en X(u0 , v0 ) es
F (u0 , v0 )
cos θ = p
.
E(u0 , v0 )G(u0 , v0 )
Con lo que deducimos que si y solo si F ≡ 0, entonces las curvas coordenadas se cortan
perpendicularmente.
3.2
Longitudes
La longitud de una curva α(t) = X(u(t), v(t)) en una superficie en el intervalo (a, b) se puede
calcular como
ˆ b
1
2
L(α, a, b) =
u̇2 (t)E(u(t), v(t)) + 2u̇(t)v̇(t)F (u(t), v(t)) + v̇ 2 (t)G(u(t), v(t)) dt.
a
3.3
Áreas
ˆ
Área X(U ) =
ˆ p
kXu × Xv kdudv =
E(u, v)G(u, v) − F 2 (u, v)dudv.
U
4
4.1
U
Operador de Forma y Segunda Forma Fundamental
Operador de forma
Para w ∈ Tp S definimos el operador de forma Fp (w) (también llamado operador de
Weingarten) como
d
N(α(t))
,
dt
t=0
donde α es una curva contenida en S, con α(0) = p y con dirección α̇(0) = w.
Fp (w) = −
Recordamos, N(X(u, v)) =
Xu (u,v)×Xv (u,v)
kXu (u,v)×Xv (u,v)k .
4
El operador de forma Fp es un endomorfismo autoadjunto. Es decir,
i) Lineal: Fp (aw1 + bw2 ) = aFp (w1 ) + bFp (w2 ).
ii) Fp : Tp S → Tp S.
iii) Autoadjunta: Fp (w1 ) · w2 = Fp (w2 ) · w1 .
Tenemos que
Fp (Xu ) = −Nu
Fp (Xv ) = −Nv
ası́ que en general para cualquier vector w ∈ Tp S que puede escribirse en la base Xu , Xv como
w = aXu + bXv tenemos
Fp (w) = −aNu − bNv .
La matriz
A C
B D
asociada al operador de forma, es decir, si
Fp (aXu + bXv ) = cXu + dXv ,
entonces la matriz cumple
A C
B D
c
a
,
=
d
b
puede calcularse a través de
−1 e f
E F
A C
=
f g
F G
B D
1
G −F
e f
=
,
f g
EG − F 2 −F E
(1)
donde
e = −Nu · Xu
g = −Nv · Xv
f = −Nu · Xv = −Nv · Xu ,
que también se puede calcular ası́
e = N · Xuu
g = N · Xvv
f = N · Xuv .
A C
En general,
no es diagonal, pero siempre podemos encontrar una base ortonormal
B D
e1 , e2 de Tp S en la que la matriz asociada a Fp es diagonal. Ası́ que existen k1 ≥ k2 en esa
base tales que
Fp (e1 ) = k1 e1
Fp (e2 ) = k2 e2 .
5
A los autovalores k1 , k2 se les llaman curvaturas principales y a las direcciones dadas por
±e1 , ±e2 se les llaman direcciones principales.
4.2
Segunda forma fundamental y curvatura normal
Para w1 , w2 ∈ Tp S se define la segunda forma fundamental IIp como la forma bilineal
simétrica
IIp (w1 , w2 ) = Fp (w1 ) · w2 .
En particular, tenemos que
IIp (w1 , w2 ) = Ip (Fp (w1 ), w2 ).
Esta
igualdad
es igual a (1), donde la matriz asociada a la segunda forma fundamental es
e f
. Con lo que para w = aXu + bXv tenemos
f g
IIp (w, w) = a2 e + 2abf + b2 g.
La curvatura normal kp se define para vectores w ∈ Tp unitarios como
kp (w) = IIp (w, w).
En la base de direcciones principales las cosas se simplifican (mucho): si w = ae1 + be2 ,
Ip (w, w) = a2 + b2
IIp (w, w) = kp (w) = k1 a2 + k2 b2 = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ.
Por lo que para todo w ∈ Tp unitario,
k2 ≤ kp (w) ≤ k1 ,
y k2 será el valor mı́nimo de kp , y k1 será su valor máximo.
¿Cuál es la relación entre la curvatura normal kp (w) y la curvatura κα (0) de la la curva
contenida en S, con α(0) = p y con dirección α̇(0) = w? Respuesta:
kp (w) = κα (0) cos θ
(2)
donde θ es el ángulo de los vectores nα (0) y el normal a la superficie Np .
Fijado w ∈ Tp S, la curva que cumple que cos θ = ±1 se llama sección normal por w, y sale
al intersecar S con el plano con vectores generadores Np y w. Por (2), tenemos que para esa
curva la curvatura normal kp (w) es, salvo signo, igual a su curvatura κ(0). De esto se deduce
6
que si kp (w) > 0 la superficie se curva acercándose hacia Np y si kp (w) < 0 la superficie se
curva alejándose hacia Np . Además |kp (w)| mide cuánto se curva la superficie en la dirección
w.
La identidad (2) se prueba gracias a la identidad de Meusnier, que afirma que
Np · α̈(0) = Fp (α̇(0)) · α̇(0).
Es decir, la aceleración normal (que es la proyección α̈(0) sobre el vector normal Np ) de una
curva en una superficie depende solamente de su velocidad y la forma de la superficie.
4.3
Curvatura gaussiana, curvatura media y clasificación de puntos
La curvatura gaussiana se define como
Kp = det(matriz de Fp ) =
eg − f 2
= k1 k2 .
EG − F 2
Es intrı́nseca a la superficie. Lo que se prueba viendo que eg−f 2 se puede escribir en términos
de los coeficientes de la primera forma fundamental.
La curvatura media se define como
1
1 eG − 2f F + gE
k1 + k2
Hp = traza (matriz de Fp ) =
=
.
2
2
2
EG − F
2
No es intrı́nseca a la superficie.
7
En función de la curvatura gaussiana (y de las curvaturas principales), clasificamos los puntos
p ∈ S de una superficie regular de la siguiente manera:
• Punto elı́ptico: si Kp = det Fp > 0 (es decir, k1 ≥ k2 > 0 ó 0 > k1 ≥ k2 );
• Punto hiperbólico: si Kp = det Fp < 0 (es decir, k1 > 0 > k2 )
• Punto parabólico: si Kp = det Fp = 0 y Fp 6= 0 (es decir, k1 > k2 = 0 ó 0 = k1 > k2 )
• Punto planar: si Fp ≡ 0 (es decir, k1 = k2 = 0).
Además, un punto planar o (a veces) elı́ptico puede ser
• Punto umbilical: si k1 = k2 (existe λ tal que e = λE, f = λF y g = λG). Tenemos que
kp (w) = k1 = k2 . En estos puntos todas las direcciones son principales (en los puntos
no umbilicales sólo hay dos direcciones principales y son ortogonales)
4.4
Calcular curvaturas y direcciones principales
A C
, tenemos que las curvaturas principales
Al buscar los autovalores y autovectores de
B D
k1 , k2 deben ser las soluciones de la siguiente ecuación en la variable λ:
(e − λE)(g − λG) − (f − λF )2 = 0,
y las direcciones principales deben cumplir
e − ki E f − ki F
x
0
=
f − ki F g − ki G
y
0
4.5
i = 1, 2.
Direcciones asintóticas
Sea w ∈ Tp S unitario, entonces w es dirección asintótica si
kp (w) = 0.
En coordenadas de la base de direcciones principales significa que si escribimos
w = cos θe1 + sin θe2 ,
entonces
k1 sin2 θ + k2 cos2 θ = 0.
En la base {Xu , Xv } significa que si escribimos w = xXu + yXv , entonces
x2 e + 2xyf + y 2 g = 0.
8
4.6
Curvas asintóticas, lı́neas de curvatura y curvas geodésicas
Sea S una superficie regular parametrizada por X(u, v).
Las curvas asintóticas son curvas γ(t) = X(u(t), v(t)) en S cuya curvatura normal se
anula en todo punto.
Esto es equivalente a pedir que
e(u(t), v(t)) u̇(t)2 + 2 f (u(t), v(t)) u̇(t)v̇(t) + g(u(t), v(t)) v̇(t)2 = 0 .
Las lı́neas de curvatura son curvas γ(t) = X(u(t), v(t)) en S cuyos vectores tangentes
en cada punto determinan una dirección principal.
Puesto que esto es equivalente a que los vectores
Fp (γ̇(t)) =
E F
F G
−1 e f
u̇(t)
·
f g
v̇(t)
y
γ̇(t) =
u̇(t)
v̇(t)
sean proporcionales en todo punto p = γ(t), la ecuación diferencial que satisfacen las lı́neas
de curvatura es (omitimos la dependencia de t en los coeficientes)
E(u, v) u̇(t) + F (u, v) v̇(t) e(u, v) u̇(t) + f (u, v) v̇(t)
F (u, v) u̇(t) + G(u, v) v̇(t) f (u, v) u̇(t) + g(u, v) v̇(t)
= 0,
o equivalentemente
v̇ 2 (t) −u̇(t)v̇(t) u̇2 (t)
E(u, v) F (u, v) G(u, v)
e(u, v)
f (u, v)
g(u, v)
= 0.
Las curva geodésica son curvas γ(t) = X(u(t), v(t)) en S tales que el vector aceleración
γ̈(t) es siempre paralelo al vector normal a la superficie Nγ(t) (t). Una consecuencia es que
˙
kγ(t)k
= µ es constante, es decir s = t/µ es un parámetro de arco.
En cualquier coordenada local, las ecuaciones diferenciales que satisfacen una curva geodésica
se pueden escribir de forma matricial como
d
1 Eu u̇2 + 2Fu u̇ v̇ + Gu v̇ 2
E u̇ + F v̇
=
.
(3)
Ev u̇2 + 2Fv u̇ v̇ + Gv v̇ 2
dt F u̇ + G v̇
2
Ser geodésica es una propiedad intrı́nseca: la ecuación (3) nos demuestra que dependen sólo
de la primera forma fundamental (métrica) y no de su inmersión en R3 .
Las curvas que tienen longitud mı́nima entre dos puntos de una superficie son curvas geodésicas.
Por ejemplo, en el plano son las rectas y en la esfera son las circunferencias máximas (grandes
cı́rculos).
9
5
Triedro de Darboux
Triedro alternativo al de Frenet, para curvas γ parametrizadas por longitud de arco que están
contenidas en una superficie S. La base ortonormal orientada positiva para cada punto γ(s)
llamada triedro de Darboux es
{tγ(s) (s), Nγ(s) , Cγ(s) },
donde Cγ(s) = tγ(s) (s) × Nγ(s) es llamado el vector conormal (ası́ que Cγ(s) y tγ(s) (s) generan
Tγ(s) S).
Ecuaciones de Darboux:
t0γ(s) (s)
=
N0γ(s) (s)
C0γ(s) (s)
= − kn tγ(s) (s)
+ kn Nγ(s) (s)
−kg Cγ(s)
+tg Cγ(s)
− tg Nγ(s) (s).
= + kg tγ(s) (s)
donde kn es la curvatura normal en la dirección γ 0 (s) en el punto γ(s), es decir
kn = kγ(s) (γ 0 (s)),
kg es la curvatura geodésica y tg la torsión geodésica.
Recordemos que las ecuaciones del triedro de Frenet son
t0γ(s) (s)
=
n0γ(s) (s)
b0γ(s) (s)
= − κtγ(s) (s)
+ κnγ(s) (s)
+τ bγ(s)
− τ nγ(s) (s).
=
Tenemos que
kn = Fγ(s) (γ 0 (s)) · γ 0 (s)
(ya lo sabı́amos)
0
tg = −Fγ(s) (γ (s)) · Cγ(s) (s).
Si escribimos w = cos θe1 +sin θe2 , tenemos que podemos escribir kn (w) = k1 sin2 θ +k2 cos2 θ
y tg (w) = (k1 − k2 ) sin θ cos θ.
Por otro lado kg cumple que
kg2 = κ2γ − kn2 .
De (2) sabemos que el valor mı́nimo de κγ es |kn |, con lo que deducimos que se alcanza
cuando kg = 0.
kn ≡ 0 en todo punto γ(s) si y sólo si γ(s) es una curva asintótica. Tenemos t0γ(s) (s) =
−kg Cγ(s) , es decir, γ 00 (s) es paralelo a Cγ(s) , con lo que no tiene componente normal.
10
tg ≡ 0 en todo punto γ(s) si y sólo si γ(s) es una lı́nea de curvatura. Tenemos Fγ(s) (γ 0 (s)) =
−N0γ(s) (s) = kn tγ (s) = kn γ 0 (s).
kg ≡ 0 en todo punto γ(s) si y sólo si γ es una curva geodésica. Tenemos t0γ(s) (s) = kn Nγ(s) (s),
es decir, γ 00 (s) es paralelo a Nγ(s) (s), con lo que sólo tiene componente normal.
6
Aplicaciones diferenciables e isometrı́as
Dadas dos superficies regulares S y S parametrizadas por X : U → R3 y X : U → R3 respectivamente, una aplicación continua f : S → S se dice diferenciable si la composición
h=X
−1
◦f ◦X:
U
→
U
(u, v) 7→ (x(u, v), y(u, v))
es diferenciable (estamos suponiendo que f (X(U )) ⊂ X(U )).
La expresión local h de una aplicación f entre superficies nos permite estudiarla como función
de R2 a R2 .
Un difeomorfismo es una aplicación biyectiva f : S → S tal que tanto f como f −1 son
diferenciables.
Un difeomorfimo local es una aplicación f : S → S tal que, para todo p ∈ S, existe un
abierto V ∈ S, con p ∈ V , y la restricción de f a V es un difeomorfismo de V 7→ f (V ).
Ya que las cartas X : U ⊆ R2 7→ S son difeomorfismos de U sobre X(U ) (ejercicio), las
superficies regulares no son otra cosa que los conjuntos de S ⊂ R3 que son difeomorfos
localmente a R2 .
Una aplicación diferenciable f : S → S induce una aplicación lineal Tp f : Tp S → Tf (p) S
d
llamada la aplicación tangente de f y definida por w 7→ dt
(f ◦ γ)(0) para una curva
γ(t) en S tal que γ(0) = p y γ̇(0) = w.
Tp f no es otra cosa que la diferencial de f .
−1
Si la expresión local h = X ◦ f ◦ X de f viene dada por h(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), entonces
en las bases {Xu , Xv } y {Xx , Xy } de Tp S y Tf (p) S la aplicación tangente de f viene dada
por multiplicación por la matriz jacobiana. Es decir, si v = a Xu + b Xv , entonces Tp f (v) =
c Yx + d Yy donde
c
∂x/∂u ∂x/∂v
a
=
.
d
∂y/∂u ∂y/∂v
b
11
Un difeomorfismo local f : S → S es una isometrı́a local si su aplicación tangente
preserva longitudes, es decir si para todo p ∈ S
kTp f (w)k = kwk ,
para todo w ∈ Tp S o, equivalentemente,
hTp f (v), Tp f (w)i = hv, wi ,
para todo v, w ∈ Tp S.
Una isometrı́a local que sea difeomorfismo se llama isometrı́a.
Las isometrı́as locales preservan longitudes de curvas, ángulos entre vectores tangentes y
áreas de regiones (ejercicios 1 y 2 de la Hoja 5).
Dado un difeomorfismo local f : S → S, consideramos la carta X : U 7→ S de S y la carta de
S definida por
X(u, v) = f ◦ X(u, v),
es decir, cuando h(u, v) = (u, v) (por lo que se tiene en particular que Tp f (Xu ) = Xu y
Tp f (Xv ) = Xv ).
En estas circunstancias, el difeomorfismo local f es una isometrı́a local si y sólo si para todo
(u, v) ∈ U,
E(u, v) = E(u, v) ,
F (u, v) = F (u, v) ,
G(u, v) = G(u, v) .
En las ecuaciones de las geodésicas solamente intervienen los coeficientes de la primera forma
fundamental, ası́ que las isometrı́as locales llevan geodésicas a geodésicas, ya que preservan
la primera forma fundamental.
7
Curvatura gaussiana
La curvatura gaussiana se puede expresar de forma intrı́nseca (es decir en términos de los
coeficientes de la primera forma fundamental):
Coordenadas ortogonales: Si F (u, v) ≡ 0, la curvatura gaussiana viene dada por
G 1
Ev u
√
Kp = − √
+ √
.
2 EG
EG v
EG u
Fórmula de Brioschi: Para coordenadas generales la curvatura gaussiana es igual a
Kp =
− 21 Evv + Fuv − 12 Guu
1
2 Eu
Fu − 12 Ev
Fv − 12 Gu
E
F
1
2 Gv
F
G
2
(EG − F )2
12
−
0
1
2 Ev
1
2 Gu
1
2 Ev
1
2 Gu
E
F
F
G
.
Esta fórmula prueba el Teorema Egregio de Gauss:
Si f : S → S es una isometrı́a local entre dos superficies regulares S y S, entonces sus
curvaturas Kp = K f (p) coinciden para todo punto p ∈ S.
Si dos superficies regulares tienen distintas curvaturas gaussianas, entonces nunca podrán
ponerse en correspondencia isométrica.
Ojo, lo que se puede escribir en términos de la primera forma fundamental es eg − f 2 , pero
cada uno de los coeficientes e, g, f por separado no tienen esa expresión. No son cantidades
intrı́nsecas. Tampoco lo es la curvatura media Hp .
13
