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Formulario de Cálculo Vectorial
Cálculo Vectorial (Instituto Politécnico Nacional)
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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESIME ZACATENCO
Derivada de una función vectorial
Si ~r(t) = hf (t), g(t), h(t)i = f (t)î + g(t)ĵ + h(t)k̂ en donde f, g
y h son diferenciables entonces la derivada de r(t) es:
~r ′ (t) = hf ′ (t), g ′ (t), h′ (t)i = f ′ (t)î + g ′ (t)ĵ + h′ (t)k̂
MATEMÁTICAS ICE
Integral de funciones vectoriales
FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL
Si f, g y h son integrables, entonces la integral indefinida y la
integral definida de una función vectorial
Ecuacion vectorial de la recta: Si la recta pasa por los puntos
P1 (x1 , y1 , z1 ) y P2 (x2 , y2 , z2 ), la ecuación vectorial de la recta es
~r(t) = f (t)î + g(t)ĵ + h(t)k̂
~r = ~r2 + t~a
al vector ~a se le llama vector director de la recta el cual es paralelo
a la recta. Donde
−→
−−−→
−−→
~r = 0P
~a = P1 P2
r2 = OP2
Nota: O es el origen y P es cualquier punto de la recta.
Ecuaciones paramétricas de la recta:
x = x2 + a1 t
y = y2 + a 2 t
se definen respectivamente por:
Z
Z
Z
Z
h(t)dt k̂
g(t)dt ĵ +
~r(t)dt =
f (t)dt î +
Z
b
~r(t)dt =
a
"Z
b
f (t)dt
a
#
î +
"Z
b
g(t)dt
a
#
ĵ +
"Z
b
h(t)dt
a
#
k̂
Longitud de una curva en el espacio
z = z2 + a 3 t
Forma simétrica de la recta:
y − y2
z − z2
x − x2
=
=
a1
a2
a3
Rectas ortogonales y paralelas: Sean ~a y ~v vectores directores
de las rectas L1 y L2 , respectivamente. Entonces:
1. L1 y L2 son ortogonales si ~a • ~b = 0
2. L1 y L2 son paralelas si ~a = k~b para algun escalar no nulo k.
Si ~r(t) = f (t)î + g(t)ĵ + h(t)k̂ es una función alisada, entonces su
longitud esta dada por:
Z
b
a
q
2
2
2
[f ′ (t)] + [g ′ (t)] + [h′ (t)] dt =
Z
b
|~r ′ (t)| dt
a
Movimiento sobre una curva
velocidad y aceleración
Si un cuerpo describe una trayectoria C y esta dada por la función
Ecuación vectorial de un plano. Si P (x, y, z) es un punto
vectorial
cualesquiera del plano y P1 (x1 , x2 , x3 ) es un punto especifico del
~r(t) = f (t)î + g(t)ĵ + h(t)k̂
plano, donde además ~n es un vector perpendicular al plano. Entonces la ecuación vectorial del plano es:
en donde t representa el tiempo. Si f , g y h tienen derivadas
entonces la velocidad es:
−→
−−→
~n • (~r − ~r1 ) = 0
donde ~r = 0P y ~r1 = OP1
~r ′ (t) = f ′ (t)î + g ′ (t)ĵ + h′ (t)k̂ = ~v (t)
Ecuación cartesiana del plano Si ~n = aî + bĵ + ck̂ es un vector
perpendicular a un plano que contiene al punto p1 (x1 , y1 , z1 ), su la aceleración es
ecuación cartesiana es:
~r ′′ (t) = f ′′ (t)î + g ′′ (t)ĵ + h′′ (t)k̂ = ~a(t)
a(x − x1 ) + b(y − y1 ) + c(z − z1 ) = 0
y la rapidez de la partı́cula es
|~v | = |~r ′ (t)| .
Planos perpendiculares y planos paralelos:
Vector tangente unitario. Si la curva C esta descrita por
1. Dos planos P1 y P2 son ortogonales si n~1 • n~2 = 0
~r(t) = f (t)î + g(t)ĵ + h(t)k̂. Si |~r ′ (t)| 6= 0 se define el vector
2. Dos planos P1 y P2 son paralelos si ~n1 = k ~n2 para algún tangente unitario por
escalar k distinto de cero, aquı́ ~n1 es un vector normal al plano
~r ′ (t)
T̂
=
P1 y ~n2 es un vector normal al plano P2 .
|~r ′ (t)|
Función vectorial. Una curva C en el plano xy puede ser para- Vector normal principal
metrizada por
x = f (t)
y = g(t)
a ≤ t ≤ b donde t es el parametro
Donde ~r(t) = hf (t), g(t)i = f (t)î + g(t)ĵ es una función vectorial.
N̂ =
dT̂ /dt
dT̂ dt
Vector binormal unitario
B̂ = T̂ × N̂
Curvatura. Si ~v (t) y ~a(t) son la velocidad y la aceleración, respectivamente, la curvatura se obtiene:
En el espacio tenemos:
~r(t) = hf (t), g(t), h(t)i = f (t)î + g(t)ĵ + h(t)k̂
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κ=
|~v × ~a|
|~v |
3
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Radio de curvatura El radio de curvatura se define como:
1
ρ= .
κ
Si f es una funcion diferenciable de dos variables y û = u1 î + u2 ĵ
es un vector unitario, entonces
Dû f (x, y) = fx (x, y)u1 + fy (x, y)u2
Superficies de nivel Para una función de tres variables w =
F (x, y, z) las superficies de nivel se definen por F (x, y, z) = c
para valores de c.
El gradiente de f = f (x, y, z)
Lı́mites de funciones f (x, y)
Sea f una función de dos variables. El gradiente de f
f (x, y, z)) es la función vectorial dada por
Sea f una función de dos variables. Las primeras derivadas
parciales de f con respecto a x, y son las funciones fx , fy definidas por
fx (x, y) =
f (x + h, y) − f (x, y)
∂f
= lı́m
∂x h→0
h
fy (x, y) =
f (x, y + h) − f (x, y)
∂f
= lı́m
h→0
∂y
h
∂fx
∂
= (fx )x = fxx =
∂x
∂x
∂fy
= (fy )y = fyy
∂y
∂f
∂x
∂f
∂x
=
=
∂2f
∂x2
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂f
=
∂y
∂x∂y
∂2f
∂ ∂f
=
=
∂y ∂y
∂y 2
∂fy
∂
= (fy )x = fyx =
∂x
∂x
∇f (x, y, z) = fx (x, y, z)î + fy (x, y, z)ĵ + fz (x, y, z)k̂
Derivada direccional (en terminos del gradiente)
Dû f (x, y) = ∇f (x, y) • û
Plano tangente. El plano tangente a la gráfica de z = f (x, y)
en el punto (x0 , y0 , z0 ) tiene como ecuación:
z − z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
Máximos y mı́nimos de funciones de varias variables
Segundas derivadas parciales
∂fx
∂
= (fx )y = fxy =
∂y
∂y
(o de
Incrementos de funciones de dos variables
Sea w = f (x, y) y sean △x, △y los incrementos de x, y respectivamente. El incremento △w de w = f (x, y) es
△w = f (x + △x, y + △y) − f (x, y)
Sea f una función de dos variables. Un par (a, b) es un punto
crı́tico de f si
1. fx (a, b) = 0 y fy (a, b) = 0 o bien
2. fx (a, b) o fy (a, b) no existe.
Criterios para máximos y mı́nimos
Sea f una función de dos variables que tienen segundas derivadas
parciales continuas en una región rectangular Q y sea
g(x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − [fxy (x, y)]
2
para todo (x, y) en Q. Sea (a, b) en Q, si fx (a, b) = 0 y fy (a, b) = 0,
entonces
1. f (a, b) es un máximo local de f si g(a, b) > 0 y fxx < 0.
2. f (a, b) es un mı́nimo local de f si g(a, b) > 0 y fxx > 0.
Diferenciales de funciones de dos variables
3. f (a, b) no es un valor extremo de f si g(a, b) < 0. [Entonces
(a, b, f (a, b)) es un punto silla].
Sea w = f (x, y) y sean △x, △y los incrementos de x, y respectivamente
4. Si g(a, b) = 0 el criterio no lleva a ninguna conclusión.
Multiplicadores de Lagrange
1. Las diferenciales dx, dy de las variables independientes x, y
son
dx = △x, dy = △y
2. La diferencial de la variable dependiente w es
dw = fx (x, y)dx + fy (x, y)dy =
∂w
∂w
dx +
dy
∂x
∂y
Regla de la cadena
Si w = f (u, v), u = g(x, y), v(x, y) = k(x, y), donde f , g, k son
diferenciables, entonces:
∂w ∂u ∂w ∂v
∂w
=
+
∂x
∂u ∂x
∂v ∂x
∂w ∂u ∂w ∂v
∂w
=
+
∂y
∂u ∂y
∂v ∂y
Derivada direccional
Sea f (x, y, z) y g(x, y, z) dos funciones con primeras derivadas parciales continuas tales que f tiene un máximo o mı́nimo f (x0 , y0 , z0 ) cuando (x, y, z) esta sujeto a la restricción
g(x, y, z) = 0 si ∇g(x, y, z) 6= 0, entonces existe un número real λ
tal que
∇f (x0 , y0 , z0 ) = λ∇g(x0 , y0 , z0 )
y
g(x0 , y0 , z0 ) = 0
Cálculo del volumen. Sea f una función continua de dos variables tal que f (x, y) ≥ 0 para toda (x, y) en una región R. El
volumen del sólido comprendido bajo la gráfica de z = f (x, y) y
sobre la región R es
Z Z
f (x, y)dA
R
Cálculo del área. Si consideramos f (x, y) = 1, el area de la
región R es
Z Z
A=
dA
R
Integrales dobles en coordenadas polares
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Z Z
f (r, θ)dA =
R
Z Z
Si F (x, y) = M (x, y)î + N (x, y)ĵ es continuo en una región D
R
abierta y conexa, entonces la integral F~ • d~r es independiente
f (r, θ)rdθdr
C
Integrales triples en coordenadas cilı́ndricas
Z Z Z
Z Z Z
f (r, θ, z)dV =
f (r, θ, z)rdzdrdθ
Q
Integrales triples en coordenadas esféricas
Z Z Z
Z Z Z
f (ρ, φ, θ)dV =
f (ρ, φ, θ)ρ2 sen φdρdφdθ
Q
de la trayectoria si y solo si
Teorema de Green
Sea C una curva regular parte por parte y cerrada simple, y sea
R la región que consta de C y su interior. Si M y N son funciones
continuas en una región abierta D que contiene a R entonces
Z Z I
∂M
∂N
dA
−
M dx + N dy =
∂x
∂y
R
C
Campo vectorial conservativo. Se dice que un campo vectorial F~ es conservativo si es el gradiente de una función escalar, es
decir si F~ (x, y, z) = ∇f (x, y, z) para una función f .
Rotacional de F : Sea F~ una función vectorial em tres dimensiones dada por
F~ (x, y, z) = M (x, y, z)î + N (x, y, z)ĵ + P (x, y, z)k̂
donde M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región
rot F~ = ∇ × F~ =
î
ĵ
k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
M
N
P
Evaluación de integrales de lı́nea
Si una curva regular C está dada por x = g(t), y = h(t); a ≤ t ≤ b
y f (x, y) es continua en una región D que contiene a C, entonces
1.
f (x, y)ds =
f (g(t), h(t))
a
C
3.
[g ′ (t)]2 + [h′ (t)]2 dt
f (g(t), h(t))g (t) dt
Z
Zb
f (g(t), h(t))h′ (t) dt
a
C
Trabajo de una fuerza F~ a lo largo de una trayectoria C
Sea C una curva regular en el espacio, T~ un vector unitario tangente a C en (x, y, z), y F~ la fuerza que actúa en (x, y, z). El
trabajo W realizado por F~ a lo largo de C es
Z
Z
~
~
W = F • T ds = F~ • d~r donde ~r = xî + y ĵ + z k̂
C
C
Independencia de la trayectoria
Z Z
S
Z Z
F • n̂dS =
Z Z
F · [−gx î − gy ĵ + k̂]dA
Orientada hacia arriba
R
F • n̂dS =
Z Z
F · [gx î + gy ĵ − k̂]dA
Orientada hacia abajo
R
′
a
f (x, y)dy =
Si F~ (x, y, z) = M (x, y, z)î + N (x, y, z)ĵ + P (x, y, z)k̂ donde
M , N y P tienen primeras derivadas parciales continuas sobre la
superficie S orientada mediante un vector unitario normal n̂. La
integral de flujo de F~ esta dada por
Z Z
F • n̂dS
Teorema de la divergencia
C
f (x, y)dx =
Integral de flujo de F~ sobre S
S
Zb
Z
2.
p
R
C
Teorema. Evaluación de una integral de flujo. Sea S una
superficie orientada dada por z = g(x, y) y sea R su proyección
sobre el plano xy.
∂M
∂N
∂P
div F~ = ∇ • F~ =
+
+
∂x
∂y
∂z
Zb
Forma vectorial del teorema de Green
Z Z
Z
F~ • T~ ds =
(∇ × F~ ) • k̂dA
S
Divergencia de F~ . La divergencia esta dada por:
Z
∂M
∂N
=
∂y
∂x
Sea Q una región en tres dimensiones acotada por una superficie cerrada S y sea n̂ un vector unitario normal exterior a S en
(x, y, z). Si F~ es una función vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q, entonces
Z Z
Z Z Z
F • n̂dS =
∇ • F~ dV
S
Q
Teorema de Stokes
Si T̂ es un vector unitario tangente a C que apunta en la dirección
positiva. Si F~ es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una region abierta que
contiene a la superficie S y a C, entonces se tiene
Z Z
I
~
F • T̂ dS =
(rot F ) • n̂dS
C
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S
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Formulario de derivadas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
d
c = 0 c = constante
dx
d
x=1
dx
dv
du
d
(uv) = u
+v
dx
dx
dx
dv
v du
−
u
d u
= dx 2 dx
dx v
v
1 du
d
ln u =
dx
u dx
dv
d v
v
e =e
dx
dx
du
d u
a = au ln a
dx
dx
d
du
dv
dw
(u + v − w) =
+
−
dx
dx
dx
dx
d
du
sen u = cos u
dx
dx
du
d
cos u = − sen u
dx
dx
du
d
tan u = sec2 u
dx
dx
d
du
cot u = − csc2 u
dx
dx
du
d
sec u = sec u tan u
dx
dx
d
du
csc u = − csc u cot u
dx
dx
du
d
15.
arc sen u = √ dx
dx
1 − u2
du
16.
d
arc cos u = − √ dx
dx
1 − u2
du
17.
d
arctan u = dx 2
dx
1+u
18.
d
arccotu = − dx 2
dx
1+u
19.
d
arcsecu = √ dx
dx
u u2 − 1
du
du
du
d
20.
arccscu = − √ dx
dx
u u2 − 1
du
d n
u = nun−1
dx
dx
d √
1 du
22.
u= √
dx
2 u dx
21.
d
du
senn u = n cot u senn u
dx
dx
d
n
n du
cos u = −n tan u cos u
24.
dx
dx
du
d
n
n
tan u = n tan u csc u sec u
25.
dx
dx
Logaritmos
23.
1. loga N = x ⇒ ax = N
2. loga M N = loga M + loga N
M
= loga M − loga N
N
4. loga N r = r loga N
3. loga
5. loga N =
logb N
ln N
=
logb a
ln a
6. log10 N = log N y
loge N = ln N
7.
Z
cos udu = sen u + C
8.
Z
tan udu = − ln | cos u| + C
9.
Z
cot udu = ln | sen u| + C
10.
Z
sec udu = ln | sec u + tan u| + C
11.
Z
csc udu = ln | csc u − cot u| + C
12.
Z
sec2 udu = tan u + C
13.
Z
csc2 udu = − cot u + C
14.
Z
sec u tan udu = sec u + C
15.
Z
Exponentes
1. ap · aq = ap+q
ap
2. q = ap−q
a
3. (ap )q = apq
4. (a · b)p = ap · bp
a p
ap
= p
5.
b
b
√
q
p/q
6. a
= ap
Identidades trigonométricas
1. sen A csc A = 1
2. tan A cot A = 1
3. cos A sec A = 1
4. sen2 A + cos2 A = 1
sen A
= tan A
5.
cos A
6. sen 2x = 2 sen x cos x
7. cos 2x = cos2 x − sen2 x
= 2 cos2 x − 1
= 1 − 2 sen2 x
8. cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y
9. cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y
10. sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y
11. sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y
2tanx
12. tan 2x =
1 − tan2 x
1 − cos 2x
13. sen2 x =
2
1 + cos 2x
2
14. cos x =
2
15. 1 + tan2 x = sec2 x
16. 1 + cot2 x = csc2 x
17. cos(−x) = cos x
18. sen(−x) = − sen x
Fórmulas básicas de integración
Z
1.
du = u + C
Z
2.
adu = au + C
Z
3.
[f (u) ± g(u)]du =
Z
Z
= f (u)du ± g(u)du
un+1
+C
n+1
4.
Z
un du =
5.
Z
du
= ln |u| + C
u
6.
Z
sen udu = − cos u + C
(n 6= 1)
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= ln | sec u| + C
csc u cot udu = − csc u + C
Z
1
au + C
16.
au du =
ln a
Z
17.
eu du = eu + C
Z
18.
ln udu = u ln u − u + C
Z
u
du
√
19.
= arc sen + C
a
a2 − u2
Z
du
1
u
20.
= arctan + C
a2 + u2
a
a
Z
|u|
du
1
√
21.
+C
= arcsec
a
a
u u2 − a2
Z
u+a
1
du
=
ln
+C
22.
a2 − u2
2a
u−a
Z
1
1
23.
sen2 udu = u − sen 2u + C
2
4
Z
du
1
u−a
24.
=
ln
+C
u2 − a2
2a
u+a
Z
p
du
√
= ln |u + u2 − a2 | + C
25.
2
2
u −a
Z
1
1
26.
cos2 udu = u + sen 2u + C
2
4
Z
p
du
√
27.
= ln u + a2 + u2 + C
a2 + u2
Z p
28.
u2 − a2 du =
√
√
2
= u2 u2 − a2 − a2 ln u + u2 − a2 +C
Z p
29.
a2 + u2 du =
√
√
2
= u2 a2 + u2 + a2 ln u + a2 + u2 +C
Z p
30.
a2 − u2 du =
√
2
= u2 a2 − u2 + a2 sen−1 ua + C
31. Integración por partes
Z
Z
udv = uv − vdu