Derivadas Parciales de primer orden Docente: Adalberto Martínez Universidad del Magdalena Cálculo Vectorial Si recordamos, la derivada de una función de una variable 𝑦 = 𝑓(𝑥), está dada por el límite del cociente incremental 𝑑𝑦 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = lim 𝑑𝑥 ℎ → 0 ℎ Exactamente de la misma manera, se puede definir la derivada parcial de primer orden de una función de dos variables de la forma 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), con respecto a cada variable. 𝑆𝑖 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 1. La derivada parcial de 𝑧 respecto a 𝑥 es 𝝏𝒛 𝒇(𝒙 + 𝒉, 𝒚) − 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝐥𝐢𝐦 𝝏𝒙 𝒉→𝟎 𝒉 2. La derivada parcial de 𝑧 respecto a 𝑦 es 𝝏𝒛 𝒇(𝒙, 𝒚 + 𝒉) − 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝐥𝐢𝐦 𝝏𝒚 𝒉→𝟎 𝒉 La derivada parcial de una función de tres o más variables es una extensión de las derivadas parciales de funciones de dos variables. En todos los casos de derivación parcial se emplean los procedimientos y reglas de derivación aplicados en el cálculo diferencial de una sola variable, manteniendo fijas las otras variables. Así, por ejemplo, si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y se debe calcular 𝜕𝑧 𝜕𝑥 , se emplean las reglas de derivación para la variable 𝑥 mientras se trata como constante la variable 𝑦. Notación. Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), entonces la derivada parcial respecto a 𝑥 y la derivada parcial respecto a 𝑦, se escriben respectivamente así: 𝝏𝒛 𝝏𝒇 = = 𝒛𝒙 = 𝒇𝒙 = 𝑫𝒙 (𝒇) 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝑦 𝝏𝒛 𝝏𝒇 = = 𝒛𝒚 = 𝒇𝒚 = 𝑫𝒚 (𝒇) 𝝏𝒚 𝝏𝒚 Ejemplo 1. Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 ln(𝑥 + 𝑦), halle 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 Solución: 𝑓𝑦 = 𝑦 2 ( 1 𝑓𝑥 = 𝑦 2 (𝑥+𝑦) 1 ) + 2𝑦 ln(𝑥 + 𝑦) 𝑥+𝑦 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝒚 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑦𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜, 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝒙 𝑦 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑦 Note que para hallar la derivada parcial respecto a 𝑥, la variable 𝑦 se trató como constante, lo cual implicó derivar únicamente la función logaritmo natural. En el caso de la derivada parcial respecto a 𝑦, al mantener constante a 𝑥, se aplica la regla del producto para las funciones 𝑦 2 y ln(𝑥 + 𝑦). Ejemplo 2. 1 Dada la función 𝑉 = 3 𝜋ℎ(𝑅 2 + 𝑟 2 + 𝑅𝑟) que representa el volumen de un cono truncado en términos de sus radios y la altura. Halle la derivada parcial de 𝑉 respecto a 𝑟. 1 𝑉𝑟 = 𝜋ℎ(2𝑟 + 𝑅) 3 Ejemplo 3. Si 𝑢 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2 𝑧 + 𝑧 2 𝑥 pruebe que 𝑢𝑥 + 𝑢𝑦 + 𝑢𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 Para este caso, se hallan inicialmente las derivadas parciales de la función 𝑢 respecto a 𝑥, a 𝑦 y a 𝑧. 𝑢𝑥 = 2𝑥𝑦 + 𝑧 2 , 𝑢𝑦 = 2𝑦𝑧 + 𝑥 2 , 𝑢𝑧 = 𝑦 2 + 2𝑥𝑧 Luego 𝑢𝑥 + 𝑢𝑦 + 𝑢𝑧 = 2𝑥𝑦 + 𝑧 2 + 2𝑦𝑧 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑧 2 𝑢𝑥 + 𝑢𝑦 + 𝑢𝑧 = (𝑥 + 𝑦)2 + 2(𝑥 + 𝑦)𝑧 + 𝑧 2 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 Ejercicios de práctica A. En los siguientes ejercicios, encuentre las primeras derivadas parciales para cada función. 𝑧 = 6𝑥 5 + 5𝑥 4 𝑦 3 − 𝑥 2 𝑦 6 − 4𝑦 𝑥2 + 𝑦 2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 𝑦 −𝑥 1. 3. 𝑢 = 3𝑟 tan(2𝜃 − 3𝜋) 4. 𝑢 = (𝑥 3 − 𝑦 2 )−1 5. 𝑧 = 𝑒𝑥 6. 𝑤 = 2 tan−1 𝑦 3𝑥𝑦𝑧 − 3𝑥𝑦 + 3𝑦𝑧 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 7. ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥+𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2 8. 𝑢 = 𝑙𝑛√𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 B. Halle las derivadas parciales de primer orden para la función: 𝑥+𝑦 𝑧 = arctan ( ) 1 − 𝑥𝑦 C. La ley de gases ideales establece que 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇, pruebe que 𝜕𝑃 𝜕𝑉 𝜕𝑇 ( )( )( ) + 1 = 0 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑃 D. La función de onda para una onda senoidal progresiva está dada por la expresión: 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 + 𝜑) Determine la función velocidad de la onda senoidal y la variación de la posición respecto a 𝑥 para un tiempo 𝑡 fijo. 𝑦 E. Sí 𝑧 = √𝑥𝑦 + arctan (𝑥 ) pruebe que 𝑧𝑦 F. Si 𝑓(𝑟, 𝜃) = 𝑒 𝑟𝜃 𝑒 𝑟 +𝑒 𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑧 + 𝑧𝑥 = 𝑥𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 , demuestre que: 𝑓𝑟 + 𝑓𝜃 = (𝑟 + 𝜃 − 1)𝑓(𝑟, 𝜃)
