Matemática para los Negocios I Función Cuadrática y Función Inversa Logro de la sesión Resuelve problemas de aplicación a la economía, en contextos intramatemáticos y extramatemáticos, aplicando la función cuadrática y la función inversa en forma correcta. Función Cuadrática 𝐂𝐨𝐦𝐩𝐨𝐫𝐭𝐚𝐦𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐮𝐭𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐞𝐦𝐩𝐫𝐞𝐬𝐚 𝐬𝐞𝐠ú𝐧 𝐥𝐚 𝐜𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐩𝐫𝐨𝐝𝐮𝐜𝐢𝐝𝐚 𝐲 𝐯𝐞𝐧𝐝𝐢𝐝𝐚 Función Cuadrática 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒃 𝒉=− 𝟐𝒂 𝒌 = 𝒇(𝒉) Ejemplos explicativos Ejercicio 1 Grafique la función 𝒇, donde 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓 Resolución De 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , 𝒂 = 𝟏 , 𝒃 = −𝟒 y 𝒄 = 𝟓 𝒂 = 𝟏 = 𝐏𝐨𝐬𝐢𝐭𝐢𝐯𝐨 (Existe mínimo de 𝒇 ) la gráfica se abre hacia arriba 𝒉= −𝟒 − 𝟐 𝟏 =𝟐 𝐤=𝐟 𝟐 =𝟏 Corte con el eje “y”: 𝐟 𝟎 = 𝟓 Ejemplos explicativos Ejercicio 2 Grafique la función 𝒇, donde 𝒇 𝒙 = −𝟎, 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐 Resolución De 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , 𝒂 = −𝟎, 𝟓 , 𝒃 = 𝟒 y 𝒄 = 𝟐 𝒂 = 𝟏 = 𝐍𝐞𝐠𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨 (Existe máximo de 𝒇 ) la gráfica se abre hacia abajo 𝒉= 𝟒 − 𝟐 −𝟎,𝟓 =𝟒 𝐤 = 𝐟 𝟒 = 𝟏𝟎 Corte con el eje “y”: 𝐟 𝟎 = 𝟐 Ejemplos explicativos Ejercicio 3 Determine el dominio y rango de la función 𝒇, cuya regla de correspondencia es 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐𝟓 Resolución Dominio: 𝐃𝐨𝐦 𝒇 = 𝐑 = −∞; +∞ Sabemos, 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , según comparación con 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐𝟓 Luego, 𝒂 = 𝟏 , 𝒃 = −𝟖 y 𝒄 = 𝟐𝟓 Nota: 𝒂 = 𝟏 = 𝐏𝐨𝐬𝐢𝐭𝐢𝐯𝐨, la gráfica se abre hacia arriba 𝒉=− −𝟖 𝟐 𝟏 = 𝟒 , luego 𝐤 = 𝐟 𝐡 = 𝐟 𝟒 = (𝟒)𝟐 −𝟖 𝟒 + 𝟐𝟓 = 𝟗 El mínimo valor de la función es 9 𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐃𝐨𝐦 𝒇 = 𝑹 , 𝐑𝐚𝐧(𝒇) = 𝟗; +∞ Ejemplos explicativos Ejercicio 4 Dadas las funciones 𝒇 𝒙 = 𝟎, 𝟏𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟒𝟎𝟎 y 𝒈 𝒙 = −𝟎, 𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟔𝟎 Determine el rango de las funciones y calcule sus respectivos valores máximos o mínimos. Resolución 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , luego, 𝒂 = 𝟎, 𝟏 , 𝒃 = −𝟏𝟎 y 𝒄 = 𝟒𝟎𝟎 𝒉=− −𝟏𝟎 𝟐 𝟎,𝟏 = 𝟓𝟎 , luego 𝐤 = 𝒇 𝟓𝟎 = 𝟏𝟓𝟎 𝒂 = 𝟎, 𝟏 = 𝐏𝐨𝐬𝐢𝐭𝐢𝐯𝐨 , el mínimo valor de 𝒇 es 𝟏𝟓𝟎, donde 𝐑𝐚𝐧(𝒇) = 𝟏𝟓𝟎; +∞ 𝒈 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , luego, 𝒂 = −𝟎, 𝟐𝟓 , 𝒃 = 𝟖 y 𝒄 = −𝟔𝟎 𝒉= 𝟖 − 𝟐 −𝟎,𝟐𝟓 = 𝟏𝟔 , luego 𝐤 = 𝒈 𝟏𝟔 = 𝟒 𝒂 = −𝟎, 𝟐𝟓 = 𝐍𝐞𝐠𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨 , el máximo valor de 𝒈 es 𝟒, donde 𝐑𝐚𝐧(𝒇) = −∞; 𝟒 Aplicaciones a la economía Según el departamento de ventas de una empresa, los ingresos en dólares por vender 𝒒 toneladas de alimento se determina mediante 𝑰 𝒒 = −𝟎, 𝟏𝒒𝟐 + 𝟒𝟎𝟎𝒒 . Además, los costos semanales 𝑪 en dólares por producir 𝒒 toneladas de alimento se define según 𝑪(𝒒) = 𝟏𝟎𝟎𝒒 + 𝟏𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎. Resolución Sabemos: 𝐔𝐭𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 = 𝐈𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨 − 𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 , donde 𝐔 = 𝐈 − 𝐂 𝐔 = −𝟎, 𝟏𝒒𝟐 + 𝟒𝟎𝟎𝒒 − 𝟏𝟎𝟎𝒒 + 𝟏𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 , 𝐔 = −𝟎, 𝟏𝒒𝟐 + 𝟒𝟎𝟎𝒒 − 𝟏𝟎𝟎𝒒 − 𝟏𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝐔 = −𝟎, 𝟏𝒒𝟐 + 𝟑𝟎𝟎𝒒 − 𝟏𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 , donde 𝐡 = − 𝟑𝟎𝟎 𝟐 −𝟎,𝟏 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝐤 = 𝑼(𝟏𝟓𝟎𝟎) = 𝟏𝟎𝟓𝟎𝟎𝟎 𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐋𝐚 𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐚 𝐮𝐭𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐞𝐬 𝟏𝟎𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝐝ó𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬 Aplicaciones a la economía ZAPATEX SAC es una empresa que produce 𝒒 pares de zapatillas a un costo unitario de 50 dólares el par, con un costo fijo de 4 000 dólares semanales. Además, el precio de cada par se determina según 𝒑 = 𝟏𝟔𝟎 − 𝟎, 𝟓𝒒, donde 𝒑 es el precio de venta en dólares de cada par cuando se demanden 𝒒 pares. Calcule para que precio unitario se logra el máximo ingreso Resolución 𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 + 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐 𝐂 = 𝟓𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝐈𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨 = 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝐈 = 𝟏𝟔𝟎 − 𝟎, 𝟓𝒒 𝒒 donde 𝐈 = −𝟎, 𝟓𝒒𝟐 + 𝟏𝟔𝟎𝒒 𝐔𝐭𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 = 𝐈𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨 − 𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 , donde 𝐔 = 𝐈 − 𝐂 𝐔 = −𝟎, 𝟓𝒒𝟐 + 𝟏𝟔𝟎𝒒 − 𝟓𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎𝟎 , 𝐔 = −𝟎, 𝟓𝒒𝟐 + 𝟏𝟔𝟎𝒒 − 𝟓𝟎𝒒 − 𝟒𝟎𝟎𝟎 Aplicaciones a la economía La expresión de la utilidad es 𝐔 = −𝟎, 𝟓𝒒𝟐 + 𝟏𝟏𝟎𝒒 − 𝟒𝟎𝟎𝟎 Para que la utilidad sea máxima se cumple 𝐡=𝐪=− 𝟏𝟏𝟎 𝟐 −𝟎,𝟓 = 𝟏𝟏𝟎 El precio del producto se define según 𝒑 = 𝟏𝟔𝟎 − 𝟎, 𝟓𝒒 𝒑 = 𝟏𝟔𝟎 − 𝟎, 𝟓 𝟏𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟓 𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐮𝐭𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐚, 𝐞𝐥 𝐩𝐫𝐞𝐜𝐢𝐨 𝐝𝐞𝐛𝐞 𝐬𝐞𝐫 𝟏𝟎𝟓 𝐝ó𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬 Aplicaciones a la economía Una empresa produce 𝒒 unidades de su producto a un costo unitario de 40 dólares la unidad, con un costo fijo de 5 000 dólares mensuales. Además, el precio de cada unidad se determina según 𝒑 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟎, 𝟓𝒒, donde 𝒑 es el precio de venta en dólares de cada unidad cuando se demanden 𝒒 unidades. Calcule la cantidad de unidades que la empresa debe producir y vender para que obtenga una utilidad mensual de 𝟒 𝟎𝟎𝟎 dólares. Resolución 𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 + 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐 𝐂 = 𝟒𝟎𝒒 + 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝐈𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨 = 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝐈 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟎, 𝟓𝒒 𝒒 donde 𝐈 = −𝟎, 𝟓𝒒𝟐 + 𝟏𝟖𝟎𝒒 𝐔𝐭𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 = 𝐈𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨 − 𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 , donde 𝐔 = 𝐈 − 𝐂 𝐔 = −𝟎, 𝟓𝒒𝟐 + 𝟏𝟖𝟎𝒒 − 𝟒𝟎𝒒 + 𝟓𝟎𝟎𝟎 , 𝐔 = −𝟎, 𝟓𝒒𝟐 + 𝟏𝟖𝟎𝒒 − 𝟒𝟎𝒒 − 𝟓𝟎𝟎𝟎 Aplicaciones a la economía La expresión de la utilidad es 𝐔 = −𝟎, 𝟓𝒒𝟐 + 𝟏𝟒𝟎𝒒 − 𝟓𝟎𝟎𝟎 Condición: 𝐔 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 Luego 𝐔 = −𝟎, 𝟓𝒒𝟐 + 𝟏𝟒𝟎𝒒 − 𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 Arreglando la ecuación 𝟎, 𝟓𝒒𝟐 − 𝟏𝟒𝟎𝒒 + 𝟗𝟎𝟎𝟎 = 𝟎 Resolviendo se obtiene 𝒒 = 𝟏𝟎𝟎 ó 𝒒 = 𝟏𝟖𝟎 𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐒𝐞 𝐝𝐞𝐛𝐞 𝐩𝐫𝐨𝐝𝐮𝐜𝐢𝐫 𝐲 𝐯𝐞𝐧𝐝𝐞𝐫 𝟏𝟎𝟎 ó 𝟏𝟖𝟎 𝐮𝐧𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬 Función Inversa Dada una función 𝒇, donde su función inversa se denota según 𝒇−𝟏 = 𝒇∗ , y existe, si y solo si la función 𝒇 es inyectiva. Propiedades: • El dominio de la función inversa es igual al rango de 𝒇: 𝐃𝐨𝐦 𝒇−𝟏 = 𝐑𝐚𝐧 𝒇 • El rango de la función inversa es igual al dominio de 𝒇: 𝐑𝐚𝐧 𝒇−𝟏 = 𝐃𝐨𝐦 𝒇 • Para que una función 𝒇 tenga inversa, toda recta horizontal debe cortar a la gráfica de 𝒇 a lo más en un punto. Ejemplos explicativos Ejercicio 5 Dada la función 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟓 , 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝟐; 𝟕 , determine la función inversa de 𝒇. Resolución De la función: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟓 cuyo dominio es 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝟐; 𝟕 Aunque 𝒙 = 𝟐 y 𝒙 = 𝟕 no se encuentran en el dominio de 𝒇, evaluamos: 𝒇 𝟐 = 𝟑 𝟐 − 𝟓 = 𝟏 luego 𝒇 𝟕 = 𝟑 𝟕 − 𝟓 = 𝟏𝟔, 𝑹𝒂𝒏 𝒇 = 𝟏; 𝟏𝟔 Despejando De 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟓 , luego 𝒚 + 𝟓 = 𝟑𝒙 , finalmente 𝒙 = Se cambian las variables , luego 𝒚 = 𝒇−𝟏 𝒙 = 𝐃𝐨𝐦 𝒇−𝟏 = 𝐑𝐚𝐧 𝒇 = 𝟏; 𝟏𝟔 𝐑𝐚𝐧 𝒇−𝟏 = 𝐃𝐨𝐦 𝒇 = 𝟐; 𝟕 𝒙+𝟓 𝟑 𝒚+𝟓 𝟑 Ejemplos explicativos Ejercicio 6 Dada la función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟗 , 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝟑; 𝟕 determine la función inversa de 𝒇. Resolución De la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟗 cuyo dominio es 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝟑; 𝟕 Aunque 𝒙 = 𝟑 y 𝒙 = 𝟕 no se encuentran en el dominio de 𝒇, evaluamos Se observa: 𝒇 𝟑 = (𝟑)𝟐 −𝟗 = 𝟎 luego 𝒇 𝟕 = (𝟕)𝟐 −𝟗 = 𝟒𝟎, 𝑹𝒂𝒏 𝒇 = 𝟎; 𝟒𝟎 Despejando De 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟗, luego 𝒚 + 𝟗 = 𝒙𝟐 , finalmente 𝒙 = 𝒚+𝟗 Se cambian las variables , luego 𝒚 = 𝒇−𝟏 𝒙 = 𝒙 + 𝟗 𝐃𝐨𝐦 𝒇−𝟏 = 𝐑𝐚𝐧 𝒇 = 𝟎; 𝟒𝟎 𝐑𝐚𝐧 𝒇−𝟏 = 𝐃𝐨𝐦 𝒇 = 𝟑; 𝟕 Ejemplos explicativos Ejercicio 7 Dada la función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎 , 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝟏; 𝟔 , determine la función inversa de 𝒇, si es que existe. Resolución Graficamos: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎 𝒉=− −𝟔 𝟐 𝟏 = 𝟑 , luego 𝐤 = 𝐟 𝐡 = 𝐟 𝟑 = 𝟏 Una recta horizontal corta a la gráfica de 𝒇 en más 1 punto (corta en 2 puntos) 𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐋𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝒇, 𝐧𝐨 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚 Conclusiones: • En una función cuadrática, si el coeficiente del término cuadrático es positivo, entonces la función tiene un mínimo valor. • En una función cuadrática, si el coeficiente del término cuadrático es negativo, entonces la función tiene un máximo valor. • En la función cuadrática 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, las coordenadas del vértice es 𝐕 𝒉; 𝒌 𝒃 donde 𝒉 = − 𝟐𝒂 y 𝒌 = 𝒇(𝒉) • Solo las funciones inyectivas tienen inversa. • Si una función 𝒇 tiene inversa, se cumple 𝐃𝐨𝐦 𝒇−𝟏 = 𝐑𝐚𝐧 𝒇 y 𝐑𝐚𝐧 𝒇−𝟏 = 𝐃𝐨𝐦 𝒇 . Tarea de la semana 13 Desarrollar material adjunto
