Subido por MVZ. JOSE ALEJANDRO PEREZ FLORES

calculo-integral-solucion-de-problemas

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2010
CÁLCULO INTEGRALSOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROPUESTOS EN GUÍAS Y PROBLEMASESPECIALES
INSTITUTO POLITÉCNICO
NACIONAL
CECyT “WILFRIDO
MASSIEU”
Departamento de Unidades de Aprendizaje
Del Área Básica
PROFR.LUIS ALFONSO RONDERO G.
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INMEDIATAS .
Verificación por derivación
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ACTIVIDAD I. PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
La siguiente tabla de identidades trigonométricas es fundamental para realizar todas
1)
 sen
2)
 sen dx 
4
dx 
6)
 tan
3
11)  sen 2 x cos 3 x dx 
xdx 
7)  tan 4 3xdx 
5
 ctg
12)
 sen
13)
 sen
3)  cos 4 3xdx 
8)
4)  cos 5 2 xdx 
9)  ctg 3 xdx 
14)
 tan
5)  tan 2 xdx 
10)  ctg 4 x dx 
15)
 tan
2
xdx 
16)

tg 3 4 x sec 4 4 xdx
3
x cos 4 x dx
17)
 sen x cos
5
2 x cos 3 2 xdx 
18)
 tan x sec
3
x sec5 xdx 
19)
 tan x sec
3
x sec 6 xdx 
20)
 sen x cos
2
xdx 
4
xdx 
3
3
5
3
3
xdx 
3
xdx 
las transformaciones necesarias para simplificar las expresiones trigonométricas
contenidas en las integrales.
Identidades trigonométricas
Problema 1

2

2
1

4
2
 sen xdx   sen x dx    2 1  cos 2 x  dx
1
1
1
1
  1  2 cos 2 x  cos 2 2 x dx   dx   cos 2 xdx   cos 2 2 xdx
4
4
2
4


u  2x
du  2dx
du
 du
2
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v  2x
dv  2dx
dv
 dx
2
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
1
1
du 1
dv
x   cos u

cos 2 v
4
2
2 4
2

1
1
1
1
1
1 1
x   cos udu   cos 2 vdv  x  senu   1  cos 2v dv
4
4
8
4
4
8 2

1
1
1
1
1
1
1
x  sen2 x   1  cos 2v dv  x  sen2 x   dv   cos 2vdv
4
4
16
4
4
16
16
w  2v
dw  2dv
dw
 dv
2

1
1
1
1
dw 1
1
1
1
x  sen2 x  v   cos w
 x  sen2 x   2 x  senw
4
4
16
16
2
4
4
16
32

1
1
1
1
x  sen 2 x  x  sen 4 x
4
4
8
32
3
1
1
 x  sen 2 x  sen 4 x  c
8
4
32
Problema 2
 sen

5


xdx   senxsen 4 xdx   senx sen 2 x dx

2
2


  1  cos 2 x senxdx   1  2 cos 2 x  cos 4 x senxdx


  senx  2 cos 2 xsenx  cos 4 xsenx dx
  senxdx  2 cos 2 xsenxdx   cos 4 xsenxdx
u  cos x
du   senxdx
 du  senxdx
v  cos x
dv   senxdx
 dv  senxdx
  cos x  2 u 2  du    v 4  du    cos x  2 u 2 du   v 4 dv   cos x 
2u 3 v 5

3
5
2
cos 5 x
  cos x  cos 3 x 
c
3
5
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Problema 3
Problema 4
Problema 5
 tan
2


xdx   sec 2 x  1 dx   sec 2 xdx   dx
 tan x  x  c
Problema 6
 tan
3


xdx   tan 2 x tan xdx   sec 2 x  1 tan xdx
  sec 2 x tan xdx   tan xdx
u  tan x
du  sec 2 xdx
tan 2 x
u2
 Ln sec x  c
  udu  Ln sec x  c 
 Ln sec x  c 
2
2
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Problema 7
 tan
4
3xdx 


1
1
tan 2 u tan 2 udu   tan 2 u sec 2 u  1 du
3
3

u  3x
1
du  dx
3
1
1
tan 2 u sec 2 u du   tan 2 u du

3
3
v = tg u ; dv = sec2u du


1 2
1
1 v3 1
1
1
1
1
2
v
dv

sec
u

1
du

  sec 2 udu   du  v 3  tg u  u


3
3
3 3 3
3
9
3
3
1
1
1
1
1
3
3
 tan u  v  x  c  tan 3x  tan 3x  (3x)
9
3
9
3
3

1
1
 tan3 3x  tan 3x  x  c
9
3
Problema 8
 cot
2


xdx   csc 2 x  1 dx   csc 2 xdx   dx  ctgx  x  c
Problema 9
 cot xdx   cot x cot xdx   cot xcsc x  1dx
  cot x csc xdx   cot xdx   u  du   Ln senx
3
2
2
2
u  ctgx
du   csc 2 xdx
 du  csc 2 xdx
   udu  Ln senx  
ctg 2 x
u2
 Ln senx  c
 Ln senx  
2
2
Problema 10
 cot xdx   cot x cot xdx   cot xcsc
  cot x csc xdx   cot xdx
4
2
2
2
2
2
2

x  1 dx
2
u  cot x
du   csc 2 xdx
 du  csc 2 xdx
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  u 2  du    csc 2 x  1 dx    u 2 du   csc 2 xdx   dx  

u3
 ctg x  x  c
3
cot 3 x
 cot x  x  c
3
Problema 11
Problema 12
Problema 13
=
Problema 14
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1
1
sec7 x  sec5 x  c
7
5
  tan 3 x sec 5 x dx 
Problema 15


2
3
6
3
4
2
3
2
2
 tan x sec xdx   tan x sec x sec x dx   tan x sec x sec x dx


  tan 3 x 1  tan 2 x sec 2 x dx   tan 3 x(1  2 tan 2 x  tan 4 x) sec 2 x dx
2
  tan 3 x sec 2 xdx  2 tan 5 x sec 2 xdx   tan 7 x sec 2 xdx
u  tan x
du  sec 2 xdx
  u 3 du  2 u 5 du   u 7 
u 4 2u 6 u 8
tan 4 x tan 6 x tan8 x

 c 


c
4
3
8
4
6
8
Problema 16
=
Problema 17
 sen x cos
3

2
xdx   sen 2 x cos 2 x senx dx

  1  cos 2 x cos 2 x senx dx   cos 2 x senx dx   cos 4 x senx dx
   u 2 du   u 4 du  
u  cos x
du   senxdx
 du  senxdx
u3 u5
cos 3 x cos 5 x
 c  

c
3 5
3
5
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Problema 18
 tan x sec x dx   tan x sec xsec x dx
  tan x1  tan x  sec x dx   tan x sec
3
4
3
3
2
2
2
2
3
2
x dx   tan 5 x sec 2 x dx
u  tan x
du  sec 2 xdx
  u 3 du   u 5 du 
u4 u6
tan 4 x tan 6 x

c 

c
4
6
4
6
Problema 19


2
5
3
4
2
2
2
 tan x sec x dx   tan x sec x sec x tan x dx   tan x sec x sec x tan x dx



2

  sec 2 x  1 sec 2 x sec x tan x dx   sec 4 x  2 sec 2 x  1 sec 2 x sec x tan x dx
  sec6 x sec x tan x dx   2 sec4 sec x tan x dx   sec2 x sec x tan x dx
u  sec x
du  sec x tan x
  u 6 du  2 u 4 du   u 2 du 
u 7 2u 5 u 3

 c
7
5
3
1
2
1
 sec7 x  sec5 x  sec3 x  c
7
5
3
Problema 20
 sen x cos
3
3


x dx   sen 3 x cos 2 x cos x dx   sen 3 x 1  sen 2 x cos x dx
  sen 3 x cos x dx   sen 5 x cos x dx
u  senx
du  cos xdx
  u 3 du    u 5 du  
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u4 u6
sen 4 x sen 6 x

c 

c
4
6
4
6
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ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA I .
PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
Soluciones
1. Solución:
2. Solución:
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3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
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6. Solución:
7. Solución:
8. Solución:
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9. Solución:
10. Solución:
11. Solución:
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En éste mismo espacio se resuelve la integral de la secante cúbica que se requiere para el
siguiente ejercicio.
12. Solución:
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SOLUCIÓN AL PROBLEMA PROPUESTO
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Actividad complementaria II: Soluciones
Problema 1
Problema 2
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Problema 3
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Problema 4
Problema 5
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Problema 6
Problema 7
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Problema 8
Problema 9
Problema 10
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Problema 11
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Problema 15
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Problema 17
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INTEGRACIÓN POR PARTES.
ACTIVIDAD II.PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
PROBLEMAS RESUELTOS.
1.  x cos xdx   x senx    senxdx  xsenx    cos x  c  xsenx  cos x  c
ux
dv  cos xdx
du  dx
v  senx
2.
 x sen x dx  u dv  uv   vdu
  x cos x    cos x  2 x dx
  x cos x  2  x cos x dx
  x cos x  2x sen x   sen x dx 
2
u  x2
du  2 x dx
v   cos x
dv  sen x dx
2
2
2
ux
dv  cos x dx
du  dx
v  sen x
  x 2 cos x  2x sen x   cos x 
  x 2 cos x  2 x sen x  2 cos x  c
3.
x
x
x
 xe dx  xe   e dx
 xe x  e x  c
ux
dv  e x dx
du  dx
v  ex
4.
 x e dx  u dv  uv   vdu
 x e   e  2 x dx
 x e  2  e x dx
 x e  2 xe   e dx 
2 x
2
x
2
x
2
x
x
x
x
u  x2
dv  e x dx
du  2 x dx
v  ex
x
 x 2 e x  2 ex x  2 e x  c
ux
dv  e x dx
du  dx
v  ex
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
5.
x 3 e x dx   x 2 xe x dx   we w 
2
2


dw 1
1
1
1
  we w dw  we w   e w dw  we w   e w dw
2 2
2
2
2
u=w ; dv=ew dw ; du=dw ; v=ew
w x
dw  2 xdx
dw
 xdx
2
2
6.

2
1 w 1 w
1
1 2
we  e  c  x 2 e x  e x  c
2
2
2
2
 Ln x dx  x Ln x   x
u  Ln x
du 
dv  dx
dx
 x Ln x   dx  x Ln x  x  c
x
dx
x
vx
7.
 xLn x dx  x Ln x  x    x Ln x  x dx 
 x Lnx  x   x Ln x dx   x dx
2
2
  x Lnx dx   x Ln x dx  x 2 Ln x  x 2 
  x Ln x dx 
x 2 Ln x  x 2 
2
x2
2
x2
2  1 x 2 ln x  1 x 2  c
2
4
u x
dv  Ln x dx
du  dx
v  x Ln x  x
8
x
2
cos x dx  u dv  uv   vdu
 x 2 sen x   senx  2 x dx
 x 2 sen x  2  x sen x dx


 x sen x  2 x cos x   cos x dx 
 x 2 sen x  2  x cos x    cos x dx
2
 x sen x  2 x cos x  sen x 
2
 x 2 sen x  2 x cos x  2 sen x  c
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u  x2
dv  cos x dx
du  2 x dx
v  sen x
u x
dv  sen x dx
du  dx
v   cos x
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9.
x e
3 2x
dx  u dv  uv   vdu
x 3e 2 x
1

  e 2 x  3 x 2 dx
2
2
x 3e 2 x 3 2 2 x

  x e dx
2
2
3 2x

xe
3  x 2e 2 x
1

 
  e 2 x 2 x dx 
2
2 2
2


x 3e 2 x 3  x 2 e 2 x

 
  xe 2 x dx 
2
2 2

u  x3
dv  e 2 x dx
du  3 x dx
1
v  e2 x
2
2
u  2x
du  2dx
du
 dx
2
1
  e u du
2
1 u
 e
2
1 2x
1 2x
xe 2 x 1 2 x
xe 2 x 1  1 2 x  xe 2 x e 2 x
2x
xe
dx

x

e

e
dx


e
dx

  e 

c

2
2
2
2
2
22
2
4

ux
dv  e 2 x dx
du  dx
1
v   dv  e 2 x
2
v   e 2 x dx   e u
du 1 u
1
1

e du  e u  e 2 x
2 2
2
2
u  2x
du  2dx
du
 dx
2
Finalmente la integral original se resuelve así:
x 3e 2 x 3 2 2 x 3 2 x 3 2 x
 x e  xe   e dx
2
4
4
4
3 2x
xe
3
3
31


 x 2 e 2 x  xe 2 x   e 2 x x   c
2
4
4
42

1
3
3
3
 x 3 e 2 x  x 2 e 2 x  xe 2 x  xe 2 x
2
4
4
8
3 2x
 x e dx 
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10.

xe  x dx 
x(e  x )    e  x dx  xe  x   e  x dx   xe  x  (e  x )  xe  x  e  x  c
ux
dv  e  x dx
du  dx
v  e  x
INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS.PROBLEMAS ESPECIALES.
PROBLEMA 1.
=
=
PROBLEMA 2.
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=
=
=-
=
COMPROBACIÓN
=
=
=
=
=
=
PROBLEMA 3.
=
=
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=
COMPROBACIÓN
PROBLEMA 4.
=
=
=
PROBLEMA 5.
=
=
PROBLEMA 6.
3
 tg 
  ctg   d 
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=
=
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PROBLEMA7.
u
(
)
du
cosy
du
2
seny dy
seny dy
(
du
du
2·
c
y
2
(1
y
y
y)
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+
c
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PROBLEMA 8
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INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO CAMBIO DE VARIABLE
PROBLEMA 1.

3
dx

x x
Hacemos la sustitución :
u6  x
ya que “ 6 “ es el m.c.m de los índices de ambos radicales :2 y 3
ux
1
6
dx  6u 5 du ;
Además
3

3
x  u2
x  u3
dx
6u 5 du
u 3 du

 6
1 u
x  x  u2  u3
Hacemos la sustitución t= u+1 y u=t-1 entonces du = dt
 6
t  13 dt  6
t

t
3
 3t 2  3t  1dt
t
 t 3 3t 2

1

 6  t 2  3t  3  dt  6 
 3t  ln t  c 
t
2

3

 2u  1  9u  1  18u  1  6 ln u  1  c
3
2
Por lo tanto:
3
2
dx
6
6

2
x

1

9
x

1
 18
3 x x





6

x  1  6 ln
6
x 1  c
INTENTA REALIZAR LA COMPROBACIÓN ¡¡¡¡
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PROBLEMA 2. ¡MUY DIFÍCIL!
dx Se factoriza x y se introduce bajo el radical :
dx =
dx
u =
du =
=6
2
dx
dx
dx
⋅
du
⋅
c
COMPROBACIÓN:
d
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⋅4
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INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
PARTES
PROBLEMA 1.
PROBLEMA 2.
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PROBLEMA 3.
PROBLEMA 4.
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PROBLEMA 5.
- Demostrar la siguiente igualdad :
n
 sen xdx  
sen n1 x cos x n  1

sen n2 xdx
n
n 
Solución:
 sen
n
xdx 
n
n 1
xsenxdx
u= sen n 1 x
Dv= senxdx
Proponiendo:
 sen
 sen
xdx   cos xsen n1 x  n  1 cos 2 xsen n2 xdx
  cos xsen n1 x  n  1 sen n2 xdx  n  1 sen n xdx
Agrupando se tiene:
n
 sen xdx  
sen n 1 x cos x n  1

sen n 2 xdx ……

n
n
Así queda demostrado
PROBLEMA 6.
e
3x
Sen
x
x
x
dx  3e 3 x Cos  9 e 3 x Cos dx
3
3
3
u  e3x
dv  Sen
du  3e 3 x dx
x
dx
3
v  3Cos
;
x
3
u  e3x
; du  3e 3 x dx
dv  Cos
x
dx
3
v  3Sen
x
3
x
x
x
 27e 3 x Sen  81 e 3 x Sen dx
3
3
3
3 3x 
x
x

e 9 Sen  Cos   C
82
3
3

 3e 3 x Cos
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PROBLEMA 7.
x
n
ln xdx 
x n 1
x n 1  dx 

ln x  
 
n 1
n 1 x 
x n 1
1
 dx 

ln x 
x n 1  

n 1
n 1
 x 

x n 1
1
ln x 
x n 11 dx

n 1
n 1


x n 1
l
ln x 
x n dx

n 1
n 1
n 1
x
l  x n 1 

c

ln x 
n 1
n  1  n  1 


x n 1
x n 1
ln x 
c
n 1
n  12

x n 1 
1 
 ln x 
c
n 1
n 1
PROBLEMA 8.
Sea u= x
;
dv=
w=
du= dx
;
;
V= V= -
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PROBLEMA 9
u= arctanx ;
dv = xdx
;
v=
Haciendo la división:
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PROBLEMA 10.
Sea u=
Integrando por partes
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PROBLEMA 11.
Sea
Integrando esta ultima por partes:
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ACTIVIDAD III.PROBLEMAS PROPUESTOS
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
PROBLEMA 1.
5
Secu
x
x²-9
u
3
5
x
3 secu
dx
3 secu tgu du
45
15
15
udu
15tgu
= 15
+C
5
PROBLEMA 2
tg z
x²+16
x
z
4
x
4 tgz
dx
4
4
4
4
x
4
4tg z
4z
4arctg
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PROBLEMA 3
5
25
25
5
Sen u
x
dx
5 senu
5 cos u du
5
25
5
5
5u
al llegar a ésta
parte debemos pensar en quién es u ? y al observar el triángulo comprendemos que u es
el
ángulo cuyo seno vale :
, lo cual se escribe: arc sen
el resultado final es: 5 arcsen +c
PROBLEMA 4
Sen u
3
x
x
3senu
u
dx
9-x²
9
9
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3cosu du
9
cos2u) du
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v
2u
dv
2du
du
u
·
arc sen
arc sen
sen 2v
arc sen
c
senv
arc sen
·
·
c
x
PROBLEMA 5
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROBLEMA 6
Sec w
dx
x
secw tgw dw
=
=
=
+c
PROBLEMA 7
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
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PROBLEMA 8
=
1
x
1-x²
=
=
=
=
+
+c =
=
+
+C
PROBLEMA 9
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROBLEMA 10
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PROBLEMA 11
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Actividad Complementaria III. Resuelve las siguientes integrales
indicando planteamientos ,operaciones y resultado.
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
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Solución:
(Fig.1)
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
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Solución:
Solución:
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Solución:
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Solución:
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ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA IV.
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES, POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO
EL DENOMINADOR SÓLO TIENE FACTORES LINEALES
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:
Soluciones
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Integración de funciones racionales, por fracciones parciales,
cuando el denominador contiene factores cuadráticos
Ejercicios resueltos
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S o l u c i o n e s
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MÁS PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES PARCIALES.
Caso 1-
De esta ecuación obtenemos el siguiente sistema:
A+B=1
A-4B=0
Resolviendo este sistema obtenemos:
A=
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Efectuando la división
Caso 2
De ésta identidad obtenemos
A=6
-2A-B=-8
A+B+C=3
Resolviendo el sistema tenemos
A=6
; B=-4
; C=1
=
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Sea u=1-x ;
==-
+4
=-
Caso
-x+3=A (
-x+3=A
-x+3=(A+B)
De esta identidad obtenemos que
A+B= 0
-2ª+C= -1
3A= 3
Resolviendo el sistema
A= 1 , B = -1 , C = 1
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Sea u=
=
=
=
Caso IV.-
=
+Cx+D
+(A+C) x+B+D
De esta identidad tenemos
A=2
B=0
A+C=0
B+D=0
Resolviendo el sistema
A=2 ;B=0
; c=-2 ; D =0
∴
Sea
u=
=
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Realizando división:
dx
Caso 1
5x+4 = A
5x+4 = Ax+2A+Bx - 4B
5x+4=(A+B) x + 2A-4B
De ésta identidad obtenemos el siguiente sistema
A+B = 5
2A-4B =
Resolviendo el sistema obtenemos
A=4 ;B=1
=x+4
=x +
6)
Multiplicando ambos miembros por
eliminamos los
denominadores y obtenemos :
X=A(x-2)+B = Ax-2A+B
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De esta identidad tenemos que:
A=1 & -2A+B=0
Resolviendo el sistema: A=1 ;B=2
Sea
=
=
=
7)
Caso 1
Ax+A+Bx+2B
De esta identidad tenemos:
A+B=5
A+2B=8
Resolviendo el sistema tenemos que A=2
,B=3
=2
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8)
Caso 3
(A+B)
De esta identidad tenemos :
A+B= 4
C= 0
3A=6
Resolviendo el sistema a=2 ,b=2 c=0
=2
=
9)
A
A+B +Ct-2C-2Bt
A+B ) + (C-2B) t +4 A-2C
DE ESTA IDENTIDAD OBTENEMOS EL SIGUIENTE SISTEMA:
A+B=2
C-2B=-4
4A-2C=-4
RESOLVIENDO EL SISTEMA : A = -1 , B= 1 – A = 2 , C=0
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PROBLEMA DE CONCURSO
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¡ MÁS PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA!
P1)
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P2)
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La integral de la secante cúbica ya fue resuelta en el tema de integración por partes
=
P4)
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=
P5)
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P6)
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P9)
Integrando ésta última por partes :
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P12)
-
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BIBLIOGRAFÍA
AYRES , F. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”. SERIE SCHAUM, M C GRAW -HILL,
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DEL GRANDE , D. “C ÁLCULO ELEMENTAL ”. ED . H ARLA, M ÉXICO
ELFRIEDE W. “ DIDÁCTICA _ C ÁLCULO INTEGRAL”.G RUPO EDITORIAL
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FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.
FUENLABRADA , S. “C ÁLCULO INTEGRAL ”. E D. T RILLAS , M ÉXICO
GRANVILLE ,W.A. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”, ED. LIMUSA, M ÉXICO
LEITHOLD, L. “C ÁLCULO”, ED. OXFORD UNIVERSITY PRESS , M ÉXICO
PURCELL, E.J. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”.ED.LIMUSA, M ÉXICO.
STEWART, J. “C ALCULO DE UNA VARIABLE”. ED.T HOMPSON, M ÉXICO.
SWOKOWSKY , E. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”. ED. IBEROAMERICANA,
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FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.
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PÁGINAS ELECTRÓNICAS
http://www.vitutor.com
http://www.vadenumeros.es
http://www.vadenumeros.es/index.htm
http://www.acienciasgalilei.com
HTTP:// WWW. MATEMATICASBACHILLER . COM
HTTP:// WWW. MATEMATICASBACHILLER . COM/ TEMARIO/ CALCULIN / TEMA_01/ INDICE
.HTML
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