calculo-integral-solucion-de-problemas

2010
CÁLCULO INTEGRALSOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROPUESTOS EN GUÍAS Y PROBLEMASESPECIALES
INSTITUTO POLITÉCNICO
NACIONAL
CECyT “WILFRIDO
MASSIEU”
Departamento de Unidades de Aprendizaje
Del Área Básica
PROFR.LUIS ALFONSO RONDERO G.
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PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INMEDIATAS .
Verificación por derivación
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ACTIVIDAD I. PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
La siguiente tabla de identidades trigonométricas es fundamental para realizar todas
1)
 sen
2)
 sen dx 
4
dx 
6)
 tan
3
11)  sen 2 x cos 3 x dx 
xdx 
7)  tan 4 3xdx 
5
 ctg
12)
 sen
13)
 sen
3)  cos 4 3xdx 
8)
4)  cos 5 2 xdx 
9)  ctg 3 xdx 
14)
 tan
5)  tan 2 xdx 
10)  ctg 4 x dx 
15)
 tan
2
xdx 
16)

tg 3 4 x sec 4 4 xdx
3
x cos 4 x dx
17)
 sen x cos
5
2 x cos 3 2 xdx 
18)
 tan x sec
3
x sec5 xdx 
19)
 tan x sec
3
x sec 6 xdx 
20)
 sen x cos
2
xdx 
4
xdx 
3
3
5
3
3
xdx 
3
xdx 
las transformaciones necesarias para simplificar las expresiones trigonométricas
contenidas en las integrales.
Identidades trigonométricas
Problema 1

2

2
1

4
2
 sen xdx   sen x dx    2 1  cos 2 x  dx
1
1
1
1
  1  2 cos 2 x  cos 2 2 x dx   dx   cos 2 xdx   cos 2 2 xdx
4
4
2
4


u  2x
du  2dx
du
 du
2
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v  2x
dv  2dx
dv
 dx
2
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
1
1
du 1
dv
x   cos u

cos 2 v
4
2
2 4
2

1
1
1
1
1
1 1
x   cos udu   cos 2 vdv  x  senu   1  cos 2v dv
4
4
8
4
4
8 2

1
1
1
1
1
1
1
x  sen2 x   1  cos 2v dv  x  sen2 x   dv   cos 2vdv
4
4
16
4
4
16
16
w  2v
dw  2dv
dw
 dv
2

1
1
1
1
dw 1
1
1
1
x  sen2 x  v   cos w
 x  sen2 x   2 x  senw
4
4
16
16
2
4
4
16
32

1
1
1
1
x  sen 2 x  x  sen 4 x
4
4
8
32
3
1
1
 x  sen 2 x  sen 4 x  c
8
4
32
Problema 2
 sen

5


xdx   senxsen 4 xdx   senx sen 2 x dx

2
2


  1  cos 2 x senxdx   1  2 cos 2 x  cos 4 x senxdx


  senx  2 cos 2 xsenx  cos 4 xsenx dx
  senxdx  2 cos 2 xsenxdx   cos 4 xsenxdx
u  cos x
du   senxdx
 du  senxdx
v  cos x
dv   senxdx
 dv  senxdx
  cos x  2 u 2  du    v 4  du    cos x  2 u 2 du   v 4 dv   cos x 
2u 3 v 5

3
5
2
cos 5 x
  cos x  cos 3 x 
c
3
5
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Problema 3
Problema 4
Problema 5
 tan
2


xdx   sec 2 x  1 dx   sec 2 xdx   dx
 tan x  x  c
Problema 6
 tan
3


xdx   tan 2 x tan xdx   sec 2 x  1 tan xdx
  sec 2 x tan xdx   tan xdx
u  tan x
du  sec 2 xdx
tan 2 x
u2
 Ln sec x  c
  udu  Ln sec x  c 
 Ln sec x  c 
2
2
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Problema 7
 tan
4
3xdx 


1
1
tan 2 u tan 2 udu   tan 2 u sec 2 u  1 du
3
3

u  3x
1
du  dx
3
1
1
tan 2 u sec 2 u du   tan 2 u du

3
3
v = tg u ; dv = sec2u du


1 2
1
1 v3 1
1
1
1
1
2
v
dv

sec
u

1
du

  sec 2 udu   du  v 3  tg u  u


3
3
3 3 3
3
9
3
3
1
1
1
1
1
3
3
 tan u  v  x  c  tan 3x  tan 3x  (3x)
9
3
9
3
3

1
1
 tan3 3x  tan 3x  x  c
9
3
Problema 8
 cot
2


xdx   csc 2 x  1 dx   csc 2 xdx   dx  ctgx  x  c
Problema 9
 cot xdx   cot x cot xdx   cot xcsc x  1dx
  cot x csc xdx   cot xdx   u  du   Ln senx
3
2
2
2
u  ctgx
du   csc 2 xdx
 du  csc 2 xdx
   udu  Ln senx  
ctg 2 x
u2
 Ln senx  c
 Ln senx  
2
2
Problema 10
 cot xdx   cot x cot xdx   cot xcsc
  cot x csc xdx   cot xdx
4
2
2
2
2
2
2

x  1 dx
2
u  cot x
du   csc 2 xdx
 du  csc 2 xdx
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  u 2  du    csc 2 x  1 dx    u 2 du   csc 2 xdx   dx  

u3
 ctg x  x  c
3
cot 3 x
 cot x  x  c
3
Problema 11
Problema 12
Problema 13
=
Problema 14
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1
1
sec7 x  sec5 x  c
7
5
  tan 3 x sec 5 x dx 
Problema 15


2
3
6
3
4
2
3
2
2
 tan x sec xdx   tan x sec x sec x dx   tan x sec x sec x dx


  tan 3 x 1  tan 2 x sec 2 x dx   tan 3 x(1  2 tan 2 x  tan 4 x) sec 2 x dx
2
  tan 3 x sec 2 xdx  2 tan 5 x sec 2 xdx   tan 7 x sec 2 xdx
u  tan x
du  sec 2 xdx
  u 3 du  2 u 5 du   u 7 
u 4 2u 6 u 8
tan 4 x tan 6 x tan8 x

 c 


c
4
3
8
4
6
8
Problema 16
=
Problema 17
 sen x cos
3

2
xdx   sen 2 x cos 2 x senx dx

  1  cos 2 x cos 2 x senx dx   cos 2 x senx dx   cos 4 x senx dx
   u 2 du   u 4 du  
u  cos x
du   senxdx
 du  senxdx
u3 u5
cos 3 x cos 5 x
 c  

c
3 5
3
5
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Problema 18
 tan x sec x dx   tan x sec xsec x dx
  tan x1  tan x  sec x dx   tan x sec
3
4
3
3
2
2
2
2
3
2
x dx   tan 5 x sec 2 x dx
u  tan x
du  sec 2 xdx
  u 3 du   u 5 du 
u4 u6
tan 4 x tan 6 x

c 

c
4
6
4
6
Problema 19


2
5
3
4
2
2
2
 tan x sec x dx   tan x sec x sec x tan x dx   tan x sec x sec x tan x dx



2

  sec 2 x  1 sec 2 x sec x tan x dx   sec 4 x  2 sec 2 x  1 sec 2 x sec x tan x dx
  sec6 x sec x tan x dx   2 sec4 sec x tan x dx   sec2 x sec x tan x dx
u  sec x
du  sec x tan x
  u 6 du  2 u 4 du   u 2 du 
u 7 2u 5 u 3

 c
7
5
3
1
2
1
 sec7 x  sec5 x  sec3 x  c
7
5
3
Problema 20
 sen x cos
3
3


x dx   sen 3 x cos 2 x cos x dx   sen 3 x 1  sen 2 x cos x dx
  sen 3 x cos x dx   sen 5 x cos x dx
u  senx
du  cos xdx
  u 3 du    u 5 du  
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u4 u6
sen 4 x sen 6 x

c 

c
4
6
4
6
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ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA I .
PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
Soluciones
1. Solución:
2. Solución:
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3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
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6. Solución:
7. Solución:
8. Solución:
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9. Solución:
10. Solución:
11. Solución:
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En éste mismo espacio se resuelve la integral de la secante cúbica que se requiere para el
siguiente ejercicio.
12. Solución:
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SOLUCIÓN AL PROBLEMA PROPUESTO
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Actividad complementaria II: Soluciones
Problema 1
Problema 2
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Problema 3
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Problema 4
Problema 5
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Problema 6
Problema 7
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Problema 8
Problema 9
Problema 10
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Problema 11
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Problema 13
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Problema 15
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Problema 17
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INTEGRACIÓN POR PARTES.
ACTIVIDAD II.PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
PROBLEMAS RESUELTOS.
1.  x cos xdx   x senx    senxdx  xsenx    cos x  c  xsenx  cos x  c
ux
dv  cos xdx
du  dx
v  senx
2.
 x sen x dx  u dv  uv   vdu
  x cos x    cos x  2 x dx
  x cos x  2  x cos x dx
  x cos x  2x sen x   sen x dx 
2
u  x2
du  2 x dx
v   cos x
dv  sen x dx
2
2
2
ux
dv  cos x dx
du  dx
v  sen x
  x 2 cos x  2x sen x   cos x 
  x 2 cos x  2 x sen x  2 cos x  c
3.
x
x
x
 xe dx  xe   e dx
 xe x  e x  c
ux
dv  e x dx
du  dx
v  ex
4.
 x e dx  u dv  uv   vdu
 x e   e  2 x dx
 x e  2  e x dx
 x e  2 xe   e dx 
2 x
2
x
2
x
2
x
x
x
x
u  x2
dv  e x dx
du  2 x dx
v  ex
x
 x 2 e x  2 ex x  2 e x  c
ux
dv  e x dx
du  dx
v  ex
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
5.
x 3 e x dx   x 2 xe x dx   we w 
2
2


dw 1
1
1
1
  we w dw  we w   e w dw  we w   e w dw
2 2
2
2
2
u=w ; dv=ew dw ; du=dw ; v=ew
w x
dw  2 xdx
dw
 xdx
2
2
6.

2
1 w 1 w
1
1 2
we  e  c  x 2 e x  e x  c
2
2
2
2
 Ln x dx  x Ln x   x
u  Ln x
du 
dv  dx
dx
 x Ln x   dx  x Ln x  x  c
x
dx
x
vx
7.
 xLn x dx  x Ln x  x    x Ln x  x dx 
 x Lnx  x   x Ln x dx   x dx
2
2
  x Lnx dx   x Ln x dx  x 2 Ln x  x 2 
  x Ln x dx 
x 2 Ln x  x 2 
2
x2
2
x2
2  1 x 2 ln x  1 x 2  c
2
4
u x
dv  Ln x dx
du  dx
v  x Ln x  x
8
x
2
cos x dx  u dv  uv   vdu
 x 2 sen x   senx  2 x dx
 x 2 sen x  2  x sen x dx


 x sen x  2 x cos x   cos x dx 
 x 2 sen x  2  x cos x    cos x dx
2
 x sen x  2 x cos x  sen x 
2
 x 2 sen x  2 x cos x  2 sen x  c
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u  x2
dv  cos x dx
du  2 x dx
v  sen x
u x
dv  sen x dx
du  dx
v   cos x
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9.
x e
3 2x
dx  u dv  uv   vdu
x 3e 2 x
1

  e 2 x  3 x 2 dx
2
2
x 3e 2 x 3 2 2 x

  x e dx
2
2
3 2x

xe
3  x 2e 2 x
1

 
  e 2 x 2 x dx 
2
2 2
2


x 3e 2 x 3  x 2 e 2 x

 
  xe 2 x dx 
2
2 2

u  x3
dv  e 2 x dx
du  3 x dx
1
v  e2 x
2
2
u  2x
du  2dx
du
 dx
2
1
  e u du
2
1 u
 e
2
1 2x
1 2x
xe 2 x 1 2 x
xe 2 x 1  1 2 x  xe 2 x e 2 x
2x
xe
dx

x

e

e
dx


e
dx

  e 

c

2
2
2
2
2
22
2
4

ux
dv  e 2 x dx
du  dx
1
v   dv  e 2 x
2
v   e 2 x dx   e u
du 1 u
1
1

e du  e u  e 2 x
2 2
2
2
u  2x
du  2dx
du
 dx
2
Finalmente la integral original se resuelve así:
x 3e 2 x 3 2 2 x 3 2 x 3 2 x
 x e  xe   e dx
2
4
4
4
3 2x
xe
3
3
31


 x 2 e 2 x  xe 2 x   e 2 x x   c
2
4
4
42

1
3
3
3
 x 3 e 2 x  x 2 e 2 x  xe 2 x  xe 2 x
2
4
4
8
3 2x
 x e dx 
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10.

xe  x dx 
x(e  x )    e  x dx  xe  x   e  x dx   xe  x  (e  x )  xe  x  e  x  c
ux
dv  e  x dx
du  dx
v  e  x
INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS.PROBLEMAS ESPECIALES.
PROBLEMA 1.
=
=
PROBLEMA 2.
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=
=
=-
=
COMPROBACIÓN
=
=
=
=
=
=
PROBLEMA 3.
=
=
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=
COMPROBACIÓN
PROBLEMA 4.
=
=
=
PROBLEMA 5.
=
=
PROBLEMA 6.
3
 tg 
  ctg   d 
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=
=
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PROBLEMA7.
u
(
)
du
cosy
du
2
seny dy
seny dy
(
du
du
2·
c
y
2
(1
y
y
y)
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+
c
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PROBLEMA 8
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INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO CAMBIO DE VARIABLE
PROBLEMA 1.

3
dx

x x
Hacemos la sustitución :
u6  x
ya que “ 6 “ es el m.c.m de los índices de ambos radicales :2 y 3
ux
1
6
dx  6u 5 du ;
Además
3

3
x  u2
x  u3
dx
6u 5 du
u 3 du

 6
1 u
x  x  u2  u3
Hacemos la sustitución t= u+1 y u=t-1 entonces du = dt
 6
t  13 dt  6
t

t
3
 3t 2  3t  1dt
t
 t 3 3t 2

1

 6  t 2  3t  3  dt  6 
 3t  ln t  c 
t
2

3

 2u  1  9u  1  18u  1  6 ln u  1  c
3
2
Por lo tanto:
3
2
dx
6
6

2
x

1

9
x

1
 18
3 x x





6

x  1  6 ln
6
x 1  c
INTENTA REALIZAR LA COMPROBACIÓN ¡¡¡¡
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PROBLEMA 2. ¡MUY DIFÍCIL!
dx Se factoriza x y se introduce bajo el radical :
dx =
dx
u =
du =
=6
2
dx
dx
dx
⋅
du
⋅
c
COMPROBACIÓN:
d
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⋅4
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INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
PARTES
PROBLEMA 1.
PROBLEMA 2.
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PROBLEMA 3.
PROBLEMA 4.
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PROBLEMA 5.
- Demostrar la siguiente igualdad :
n
 sen xdx  
sen n1 x cos x n  1

sen n2 xdx
n
n 
Solución:
 sen
n
xdx 
n
n 1
xsenxdx
u= sen n 1 x
Dv= senxdx
Proponiendo:
 sen
 sen
xdx   cos xsen n1 x  n  1 cos 2 xsen n2 xdx
  cos xsen n1 x  n  1 sen n2 xdx  n  1 sen n xdx
Agrupando se tiene:
n
 sen xdx  
sen n 1 x cos x n  1

sen n 2 xdx ……

n
n
Así queda demostrado
PROBLEMA 6.
e
3x
Sen
x
x
x
dx  3e 3 x Cos  9 e 3 x Cos dx
3
3
3
u  e3x
dv  Sen
du  3e 3 x dx
x
dx
3
v  3Cos
;
x
3
u  e3x
; du  3e 3 x dx
dv  Cos
x
dx
3
v  3Sen
x
3
x
x
x
 27e 3 x Sen  81 e 3 x Sen dx
3
3
3
3 3x 
x
x

e 9 Sen  Cos   C
82
3
3

 3e 3 x Cos
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PROBLEMA 7.
x
n
ln xdx 
x n 1
x n 1  dx 

ln x  
 
n 1
n 1 x 
x n 1
1
 dx 

ln x 
x n 1  

n 1
n 1
 x 

x n 1
1
ln x 
x n 11 dx

n 1
n 1


x n 1
l
ln x 
x n dx

n 1
n 1
n 1
x
l  x n 1 

c

ln x 
n 1
n  1  n  1 


x n 1
x n 1
ln x 
c
n 1
n  12

x n 1 
1 
 ln x 
c
n 1
n 1
PROBLEMA 8.
Sea u= x
;
dv=
w=
du= dx
;
;
V= V= -
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PROBLEMA 9
u= arctanx ;
dv = xdx
;
v=
Haciendo la división:
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PROBLEMA 10.
Sea u=
Integrando por partes
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PROBLEMA 11.
Sea
Integrando esta ultima por partes:
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ACTIVIDAD III.PROBLEMAS PROPUESTOS
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
PROBLEMA 1.
5
Secu
x
x²-9
u
3
5
x
3 secu
dx
3 secu tgu du
45
15
15
udu
15tgu
= 15
+C
5
PROBLEMA 2
tg z
x²+16
x
z
4
x
4 tgz
dx
4
4
4
4
x
4
4tg z
4z
4arctg
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PROBLEMA 3
5
25
25
5
Sen u
x
dx
5 senu
5 cos u du
5
25
5
5
5u
al llegar a ésta
parte debemos pensar en quién es u ? y al observar el triángulo comprendemos que u es
el
ángulo cuyo seno vale :
, lo cual se escribe: arc sen
el resultado final es: 5 arcsen +c
PROBLEMA 4
Sen u
3
x
x
3senu
u
dx
9-x²
9
9
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3cosu du
9
cos2u) du
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v
2u
dv
2du
du
u
·
arc sen
arc sen
sen 2v
arc sen
c
senv
arc sen
·
·
c
x
PROBLEMA 5
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROBLEMA 6
Sec w
dx
x
secw tgw dw
=
=
=
+c
PROBLEMA 7
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
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PROBLEMA 8
=
1
x
1-x²
=
=
=
=
+
+c =
=
+
+C
PROBLEMA 9
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROBLEMA 10
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PROBLEMA 11
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Actividad Complementaria III. Resuelve las siguientes integrales
indicando planteamientos ,operaciones y resultado.
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
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Solución:
(Fig.1)
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
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Solución:
Solución:
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Solución:
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Solución:
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ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA IV.
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES, POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO
EL DENOMINADOR SÓLO TIENE FACTORES LINEALES
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:
Soluciones
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Integración de funciones racionales, por fracciones parciales,
cuando el denominador contiene factores cuadráticos
Ejercicios resueltos
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S o l u c i o n e s
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MÁS PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES PARCIALES.
Caso 1-
De esta ecuación obtenemos el siguiente sistema:
A+B=1
A-4B=0
Resolviendo este sistema obtenemos:
A=
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Efectuando la división
Caso 2
De ésta identidad obtenemos
A=6
-2A-B=-8
A+B+C=3
Resolviendo el sistema tenemos
A=6
; B=-4
; C=1
=
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Sea u=1-x ;
==-
+4
=-
Caso
-x+3=A (
-x+3=A
-x+3=(A+B)
De esta identidad obtenemos que
A+B= 0
-2ª+C= -1
3A= 3
Resolviendo el sistema
A= 1 , B = -1 , C = 1
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Sea u=
=
=
=
Caso IV.-
=
+Cx+D
+(A+C) x+B+D
De esta identidad tenemos
A=2
B=0
A+C=0
B+D=0
Resolviendo el sistema
A=2 ;B=0
; c=-2 ; D =0
∴
Sea
u=
=
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Realizando división:
dx
Caso 1
5x+4 = A
5x+4 = Ax+2A+Bx - 4B
5x+4=(A+B) x + 2A-4B
De ésta identidad obtenemos el siguiente sistema
A+B = 5
2A-4B =
Resolviendo el sistema obtenemos
A=4 ;B=1
=x+4
=x +
6)
Multiplicando ambos miembros por
eliminamos los
denominadores y obtenemos :
X=A(x-2)+B = Ax-2A+B
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De esta identidad tenemos que:
A=1 & -2A+B=0
Resolviendo el sistema: A=1 ;B=2
Sea
=
=
=
7)
Caso 1
Ax+A+Bx+2B
De esta identidad tenemos:
A+B=5
A+2B=8
Resolviendo el sistema tenemos que A=2
,B=3
=2
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8)
Caso 3
(A+B)
De esta identidad tenemos :
A+B= 4
C= 0
3A=6
Resolviendo el sistema a=2 ,b=2 c=0
=2
=
9)
A
A+B +Ct-2C-2Bt
A+B ) + (C-2B) t +4 A-2C
DE ESTA IDENTIDAD OBTENEMOS EL SIGUIENTE SISTEMA:
A+B=2
C-2B=-4
4A-2C=-4
RESOLVIENDO EL SISTEMA : A = -1 , B= 1 – A = 2 , C=0
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PROBLEMA DE CONCURSO
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¡ MÁS PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA!
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P2)
P3)
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La integral de la secante cúbica ya fue resuelta en el tema de integración por partes
=
P4)
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=
P5)
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P6)
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P8)
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P9)
Integrando ésta última por partes :
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P11)
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P12)
-
P13)
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BIBLIOGRAFÍA
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DEL GRANDE , D. “C ÁLCULO ELEMENTAL ”. ED . H ARLA, M ÉXICO
ELFRIEDE W. “ DIDÁCTICA _ C ÁLCULO INTEGRAL”.G RUPO EDITORIAL
IBEROAMÉRICA.M ÉXICO.
FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.
FUENLABRADA , S. “C ÁLCULO INTEGRAL ”. E D. T RILLAS , M ÉXICO
GRANVILLE ,W.A. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”, ED. LIMUSA, M ÉXICO
LEITHOLD, L. “C ÁLCULO”, ED. OXFORD UNIVERSITY PRESS , M ÉXICO
PURCELL, E.J. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”.ED.LIMUSA, M ÉXICO.
STEWART, J. “C ALCULO DE UNA VARIABLE”. ED.T HOMPSON, M ÉXICO.
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FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.
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PÁGINAS ELECTRÓNICAS
http://www.vitutor.com
http://www.vadenumeros.es
http://www.vadenumeros.es/index.htm
http://www.acienciasgalilei.com
HTTP:// WWW. MATEMATICASBACHILLER . COM
HTTP:// WWW. MATEMATICASBACHILLER . COM/ TEMARIO/ CALCULIN / TEMA_01/ INDICE
.HTML
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