Formulario Sobre Vectores

CALCULO 3
Vectores a partir de 2 puntos
FORMULARIO PRIMER PARCIAL
Magnitud = Norma
P  p1 , p2 , p3  Q  q1 ,q2 ,q3 

v  v12  v2 2  v32
v = q1 - p1 , q2 - p2 ,q3 - p3
Vector unitario en dirección de v
v=
v  1 
=   v1 ,v 2 ,v 3
v  v 
v = v1 , v 2 , v 3
Propiedades de las operaciones
1) u  v = v  u
2)  u  v   w = u   v  w 
3) u  0 = u
4) u   u  = 0
u  v = u1  v1 , u2  v 2 , u3  v 3
Resta de vectores
u  v = u1  v1 , u2  v 2 , u3  v 3
5 ) c  du  =  cd  u
Teorema de vectores unitarios
Si v es un vector distinto de 0 en el
plano el vector
v  1 
=  v
v  v 
u=
Multiplicación por escalar
6)  c  d  u = cu  du
7) c  u  v  = cu  cv
8) 1 u  = u, 0  u  = 0
Dirección de un vector
y
Tan  =
x
Operaciones con vectores
Suma de vectores
 y
 = Tan 1  
 x
cv = cv1 , cv 2 , cv3
Negativo de v = v1 , v 2 , v 3
Donde u tiene longitud 1 y misma
dirección de v
v = v1 ,  v 2 ,  v 3
Vectores unitarios Canónicos o Estándar
v 1, 0 y v 0, 1 Se denotan:
i  1, 0
Vectores ortogonales   
uv  0
y j  0, 1
Producto Escalar (Interno o punto)
v  v1 , v2  v1 , 0  0, v 2 
y
θ
x
v1 1, 0  v 2 0,1  v1i  v 2 j
v  v1i  v2 j
Se le llama Combinación lineal
u  v  u1v1  u2v2
Propiedades del producto punto
1) u  v  v  u
2) u   v  w   u  v  u  w
i .i  1
j. j  1
3) c  u  v   cu  v  u  cv
k .k  1
4) 0  v  0
i. j  0
5) v  v  v
Angulo entre vectores
Cos  
uv
; 0    180
u v
u  v  u v Cos 
Vectores paralelos
Dos vectores u y v  0 son paralelos si
existe un escalar c tal que u  c v
v
v1
v
 2  3
u1 u2
u3
2
i .k  0
j .k  0
Producto cruz (vectorial)
i
j
k
u x v  u1
u2
u3
v1
v2
v3
Propiedades del producto
vectorial
1) u x v    v x u 
2) u x  v  w   u x v  u x w
3) c  u x v   cu x v  u x cv
4) 0 x v  0
5) u x u  0
6) u   v x w    u x v   w
Ecuación Vectorial de la recta


ix jk
j xk  i
k xi  j
j x i  k
k x j  i
i xk  j
i xi  0
jx j0
k xk 0
Ecuaciones paramétricas de una recta
x  x1  at

r  p t v

Propiedad Geométrica
El producto cruz de dos vectores da
como resultado un vector que es
perpendicular a cada uno de ellos.
7)

 x , y   p t v
Donde:
 x1 ,
y  y1  bt
z  z1  ct
y1 , z1  es un punto de la
recta y a , b, c es un vector paralelo a
la recta
Donde:
 x1 ,
Ecuaciones Simétricas de una recta
x  x1 y  y1 z  z1


a
b
c
Donde:
 x1 ,
y1 , z1  es un punto de
la recta y a , b, c es un vector
paralelo a la recta
Forma canónica o estándar de un plano
Forma general de un plano
a  x  x1   b  y  y1   c  z  z1   0
ax  by  cz  d  0
y1 , z1  es un punto en el plano y a , b, c es un vector
ortogonal al plano.