Diferencia simétrica
En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una
operación cuyo resultado es otro conjunto que contiene a aquellos
elementos que pertenecen a uno de los conjuntos iniciales, pero no a
ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los
números pares positivos P y el conjunto de los cuadrados perfectos C es
un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los pares no
cuadrados:
Índice
Definición
Generalizaciones
La diferencia simétrica de A y B es
el conjunto que contiene todos los
elementos de A y de B salvo
aquellos que pertenecen a ambos.
Propiedades
Véase también
Referencias
Definición
Dados dos conjuntos A y B, su diferencia simétrica, A Δ B, es un
conjunto que contiene los elementos de A y los de B, excepto los que
son comunes a ambos:
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B
es otro conjunto A Δ B cuyos elementos son
todos los elementos de A o B, a excepción de los
elementos comunes a ambos:
Diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B.
si y sólo si, o bien
o bien
Ejemplo.
Sean A = {a, ♠, 5, Z} y B = {8, #, a, Γ, ♠}. La diferencia simétrica es A Δ B = {5, Γ, #, Z, 8}.
Sean los conjuntos de polígonos T = {pentágonos} y R = {polígonos regulares}. La diferencia
simétrica contiene los polígonos regulares y pentágonos que no sean ambas cosas a la vez, o
sea: R Δ T = {Pentágonos irregulares y polígonos regulares que no posean 5 lados}.
La definición de la diferencia simétrica puede reducirse fácilmente a las operaciones de unión, intersección y
diferencia:
Generalizaciones
La diferencia simétrica es conmutativa y asociativa por lo que al tomar la diferencia simétrica de más de dos
conjuntos, el orden en el que se realizan las operaciones es irrelevante (ver más abajo). Así es que se puede
definir la diferencia simétria de una familia de conjuntos finita:
Puede comprobarse que una definición alternativa para esta diferencia de varios conjuntos es incluir sólo los
elementos que aparecen un número impar de veces:
Propiedades
De la definición de diferencia simétrica puede deducirse directamente:
Nilpotencia. La diferencia simétrica de un conjunto
consigo mismo es el conjunto vacío:
La diferencia simétrica de un conjunto y uno de sus
subconjuntos es la diferencia entre ellos:
La diferencia simétrica tiene propiedades semejantes a las operaciones con números:
Propiedad asociativa. La diferencia simétrica de los
conjuntos A y B Δ C es igual que la diferencia
simétrica de los conjuntos A Δ B y C :
Propiedad conmutativa. La diferencia simétrica de
los conjuntos A y B es igual a la diferencia simétrica
de los conjuntos B y A :
Elemento neutro. La diferencia simétrica de un
conjunto A con el conjunto vacío es el mismo
conjunto A:
Además, con respecto a la intersección existe una ley distributiva:
Propiedad distributiva
Las propiedades de la intersección y la diferencia simétrica son similares a las del producto y la suma en Z2.
Esto implica que el conjunto potencia de un conjunto dado X tiene estructura de anillo considerando estas dos
operaciones. Este anillo se corresponde (es isomorfo) al anillo de las funciones de X con valores en Z2, con la
suma y producto punto a punto. La correspondencia asigna a cada subconjunto de X su función característica.
Véase también
Álgebra de conjuntos
Diferencia de conjuntos
Intersección de conjuntos
Referencias
M.I. Voitsekhovskii. «Symmetric difference of sets» (https://www.webcitation.org/69YJusXO6?url
=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Symmetric_difference_of_sets). Encyclopaedia
of mathematics (en inglés). Archivado desde el original (http://eom.springer.de/s/s091640.htm) el
30 de julio de 2012.
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