Problema 7, sección 5.5, capítulo 5, Volumen II. Calculus, Tom M

Problema 7, sección 5.5, capítulo 5, Volumen II. Calculus, Tom M. Apostol,
segunda edición.
R 1 Página 119.
(f; g) = 1 f (t) g (t) dt
a)T [f (x)] = f ( x)
R1
R1
(T (f ) ; g) = 1 T [f (t)] g (t) dt = 1 f ( t) g (t) dt
Haciendo el cambio
R 1 de variable = t
(T (f ) ; g) =
f ( )g( )d
1
Cambiando los
límites
de integración
R1
(T (f ) ; g) = 1 f ( ) g ( ) d
Pero es claro que g ( ) = T [g ( )]
R1
(T (f ) ; g) = 1 f ( ) T [g ( )] d
que, por de…nición, es (f; T (g)) ; así que …nalmente
(T (f ) ; g) = (f; T (g))
y el operador es simétrico.
b) T [f (x)] = f (x) f ( x)
R1
R1
(T (f ) ; g) = 1 T [f (t)] g (t) dt = 1 f (t) f ( t) g (t) dt
R1
R1
(f; T (g)) = 1 f (t) T [g (t)] dt = 1 f (t) g (t) g ( t) dt
que desde luego, solamente en circunstancias muy especiales, pueden ser
iguales. Por lo tanto, esta transformación no es ni simétrica, ni antisimétrica.
R1
R1
R1
R1
1
c) T [f (x)] = f (x) + f ( x)
R1
R1
R1
(T (f ) ; g) = 1 T [f (t)] g (t) dt = 1 [f (t) + f ( t)] g (t) dt = 1 f (t) g (t) dt+
f ( t) g (t) dt =
R1
R
= 1 f (t) g (t) dt 1
1
f ( )g(
)d =
f (t) [g (t) + g ( t)] dt = (f; T (g))
1
La transformación es simétrica
1
R1
1
d) T [f (x)] = f (x) f ( x)
R1
R1
(T (f ) ; g) = 1 T [f (t)] g (t) dt = 1 [f (t)
f ( t) g (t) dt =
R1
R
= 1 f (t) g (t) dt+ 1
1
f ( )g(
)d =
f (t) [g (t) g ( t)] dt = (f; T (g))
1
La transformación es simétrica
1
R1
R1
f (t) g (t) dt+ 1 f ( ) g (
f ( t)] g (t) dt =
1
f (t) g (t) dt
R1
1
R1
1
)d =
f (t) g (t) dt
f ( )g(
)d =