calculo diferencial tomo V matematicas simplificadas conamat ( PDFDrive )

CONTENIDO
Matemáticas simplificadas
I
Matemáticas simplificadas
ARTURO AGUILAR MÁRQUEZ
FABIÁN VALAPAI BRAVO VÁZQUEZ
HERMAN AURELIO GALLEGOS RUIZ
MIGUEL CERÓN VILLEGAS
RICARDO REYES FIGUEROA
REVISIÓN TÉCNICA
Ing. Carlos Lozano Sousa (M.Sc.)
Ing. Agustín Vázquez Sánchez (M. en C.)
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Estado de México
Prentice
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Hall
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México
o • Argentinaa • Brasil • Colombia
C
• Costa
C
Rica • Chile • Ecuador
u
España • Guatemala
G
• Panamá • Perú
P
• Puerto
o Rico • Uruguay
u
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Venezuela
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COLEGIO NACIONAL DE MATEMÁTICAS
Matemáticas simplificadas
Segunda edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009
ISBN: 978-607-442-348-8
Área: Matemáticas
Formato: 20 25.5 cm
Páginas: 1640
Todos los derechos reservados
Editor:
Lilia Moreno Olvera
e-mail: [email protected]
Editor de desarrollo:
Alejandro Gómez Ruiz
Supervisores de producción: Juan José García Guzmán
Rodrigo Romero Villalobos
José Hernández Garduño
SEGUNDA EDICIÓN, 2009
D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500-5° piso
Industrial Atoto
53519 Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031
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o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus
representantes.
ISBN: 978-607-442-348-8
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Impreso en México. Printed in Mexico.
Para los que enseñan y para los que aprenden
ING. ARTURO SANTANA PINEDA
El poder de las matemáticas
El que domina las matemáticas
piensa, razona, analiza y por ende
actúa con lógica en la vida cotidiana,
por tanto, domina al mundo.
ING. ARTURO SANTANA PINEDA
Prefacio
E
l Colegio Nacional de Matemáticas es una institución que, desde su fundación, ha impartido cursos
de regularización en las áreas de Matemáticas, Física y Química, con resultados altamente satisfactorios. Es por ello que su fundador y director general, el Ingeniero Arturo Santana Pineda, decidió
plasmar y compartir la experiencia adquirida en este libro que recopila lo aprendido en todos estos años y
cuyo principio fundamental es que la persona que aprende matemáticas, piensa, razona, analiza y por tanto
actúa con lógica.
A través de esta institución y sus docentes, se ha logrado no sólo resolver el problema de reprobación
con el que llega el estudiante sino, también, cambiar su apreciación sobre la materia, de tal forma, que se va
convencido de que es fácil aprender matemáticas y que puede incluso dedicarse a ellas. De ahí que jóvenes
que han llegado con serios problemas en el área, una vez que descubren su potencial han decidido estudiar
alguna carrera afín.
De esta forma, se decide unir a los docentes con mayor experiencia y trayectoria dentro de la institución
para que conjuntamente escriban un libro que lejos de presunciones formales, muestre la parte práctica que
requiere un estudiante al aprender matemáticas y que le sirva de refuerzo para los conocimientos adquiridos
en el aula.
Enfoque
El libro tiene un enfoque 100% práctico, por lo que la teoría que se trata es lo más básica posible, sólo se
abordan los conceptos básicos para que el estudiante comprenda y se ejercite en la aplicación de la teoría
analizada en el aula, en su libro de texto y con su profesor.
De esta manera, se pone mayor énfasis en los ejemplos, en donde el estudiante tendrá la referencia para
resolver los ejercicios que vienen al final de cada tema y poder así reafirmar lo aprendido. Estamos convencidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental para su aprendizaje, sin embargo, la
práctica puede lograr que este razonamiento se dé más rápido y sin tanta dificultad.
Estructura
Matemáticas simplificadas está formado por seis áreas básicas de las matemáticas: Aritmética, Álgebra,
Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial y Cálculo Integral. Cada una de ellas
está dividida en capítulos, los cuales llevan un orden específico, siempre tomando en cuenta que el estudio de
las matemáticas se va construyendo, es decir, cada tema siempre va ligado con los conocimientos adquiridos
en los apartados anteriores.
Cada capítulo está estructurado a base de teoría, ejemplos y ejercicios propuestos. Los ejemplos son desarrollados paso a paso, de tal forma que el lector pueda entender el procedimiento y posteriormente resolver
los ejercicios correspondientes. La solución a los ejercicios se encuentran al final del libro organizados por
área, de tal forma que el estudiante puede verificar si los resolvió correctamente y comprobar su aprendizaje.
En esta edición se identifican las secciones que corresponden a los problemas de aplicación, los cuales tienen
como objetivo hacer una vinculación con casos de la vida cotidiana en donde se pueden aplicar los conocimientos adquiridos en cada tema.
La primera parte del libro está dividida en once capítulos que corresponden al área de Aritmética, materia
clave para el estudio de las demás áreas, donde se inicia con los conceptos básicos, para dar paso al estudio de
IX
PREFACIO
los números enteros y racionales con sus respectivas operaciones, teoría de números, potenciación y radicación, notación científica, logaritmos, razones y proporciones, sistemas de numeración y al final, un capítulo
de razonamiento matemático, donde el lector podrá verificar lo aprendido en esta área.
El estudio del Álgebra corresponde a la segunda parte del libro, siendo fundamental para poder aprender
cualquier otra materia o tema relacionado con las matemáticas. Está dividida en 17 capítulos, donde se encuentran temas como: Lógica y conjuntos, conceptos básicos de Álgebra, productos notables, factorización,
fracciones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado con aplicaciones, función lineal, sistemas de
ecuaciones, potenciación, radicación, números complejos, desigualdades, logaritmos, progresiones, matrices
y raíces de una ecuación. Cada tema está desarrollado con la teoría justa y siguiendo con la idea de brindar
al lector un gran número de ejemplos para facilitar el aprendizaje de esta materia.
La tercera parte corresponde a las áreas de Geometría Euclidiana y Trigonometría, se divide en 17 capítulos.
En Geometría se estudian conceptos básicos y temas esenciales como: ángulos, rectas, triángulos, cuadriláteros
y polígonos en general, circunferencia y como tema nuevo en esta edición, se agregó el tema de transformaciones (escala, rotación simetría axial, simetría central). Cada apartado con sus respectivas definiciones, teoremas
y aplicaciones. También se analiza conceptos como perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas.
Para Trigonometría se estudian las funciones trigonométricas, desde su definición, su cálculo, sus gráficas,
identidades, ecuaciones con dichas funciones y, aplicaciones a la solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. Además, se da como un elemento extra la forma trigonométrica de los números complejos.
La Geometría Analítica se estudia en la cuarta parte de este libro, a través de trece capítulos que ofrecen
las herramientas básicas para abordar los temas de distancia, punto medio, punto de división pendiente,
etc., para posteriormente tratar los principales lugares geométricos como: la recta, circunferencia, parábola,
elipse e hipérbola. Continúa con un extenso capítulo sobre coordenadas polares y finaliza con el estudio de
las ecuaciones paramétricas.
Cálculo Diferencial e Integral son los dos apartados con los que concluye el libro. En el primero, se estudia
todo lo correspondiente a los conceptos básicos del cálculo diferencial, analizando temas como: funciones,
límites (tema que en esta edición fue modificado en su parte teórica), continuidad, la derivada y sus aplicaciones, los cuales son desarrollados de manera amplia y práctica. Algunos de estos temas han sido enriquecidos
en su teoría o ejercicios. Para el apartado de Cálculo Integral se estudia desde sumas de Riemann, pasando
por integrales inmediatas, métodos de integración, área bajo la curva, volúmenes y algunas aplicaciones en
la economía (temas también enriquecidos en esta edición).
El libro tiene la ventaja de contener el material necesario para aprender y verificar el conocimiento adquirido, así como tener la referencia para desarrollar temas, que en el caso de no contar con los elementos
necesarios, el lector podrá recurrir a ellos buscando en alguna de las áreas previas a las que está estudiando.
Todo lo anterior hace de este texto una referencia total para que el estudiante de nivel medio superior tenga
un material de consulta durante todo su bachillerato, o para aquel que inicie estudios superiores, así como para
los profesores que en función de necesidades especificas estén en posibilidad de realizar desde una consulta,
hasta contar un apoyo para la parte práctica de su curso empleando los ejercicios propuestos.
Cabe mencionar que para esta edición se tomaron en cuenta las observaciones hechas por estudiantes y
profesores que con su colaboración enriquecieron y mejoraron este material.
X
Agradecimientos
Según Benjamín Franklin, invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses, por lo que espero
que obtengas, a través de este libro, las más grandes ganancias para tu futuro profesional.
ARTURO SANTANA
DIRECTOR GENERAL DE CONAMAT
A mi madre por darme la vida y enseñarme a vivirla, Andrey por ser y estar conmigo, Chema e Hiram los
alumnos que se volvieron mis hermanos, a mi familia (Echeverría, Pineda y Sánchez), a la UNAM, al ingeniero
Santana, Rox llegaste a tiempo, a los cuatro fantásticos: Herman, Fabián, Ricardo y Miguel, fue un placer
compartir este trabajo. A mis alumnos que fueron y serán.
ARTURO AGUILAR
A mis padres María Elena y Álvaro, por brindarme la vida, por sus enseñanzas y consejos; a mi esposa e hijos
(Ana, Liam y Daniel), porque son la razón de mi vida y mi inspiración; a mis hermanos Belem, Adalid y
Tania por apoyarme incondicionalmente y sobre todo a mis compañeros y amigos: Ricardo, Miguel, Arturo
y Herman.
FABIÁN VALAPAI BRAVO
Una vez mi padre me dijo que “un hombre triunfador no es el que acumula riquezas o títulos, sino es aquel
que se gana el cariño, admiración y respeto de sus semejantes”, agradezco y dedico esta obra a la memoria de
mi padre el Sr. Herman Gallegos Bartolo que me dio la vida y que por azares del destino ya no se encuentra
con nosotros. A Eli y José Fernando que son el motor de mi vida.
HERMAN A. GALLEGOS RUIZ
A toda mi familia muy en especial a Lupita y Agustín, por haberme dado la vida y ser un ejemplo a seguir;
a mis hermanos Elizabeth y Hugo por quererme y soportarme. Quiero además, reconocer el esfuerzo de mis
amigos y compañeros Arturo, Fabián, Herman y Ricardo con quien tuve la oportunidad de ver cristalizado
este sueño.
MIGUEL CERÓN
A mis padres Rosa y Gerardo, por darme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Arturo; un especial
agradecimiento a mi esposa Ma. Mercedes; a mis hijos Ricardo y Allan por su sacrificio, comprensión y
tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Arturo A., Fabián, Miguel, Roxana y Arturo S. por
hacer realidad nuestro sueño.
RICARDO REYES
Un agradecimiento especial a los alumnos que tomaron clase con alguno de nosotros, ya que gracias a ellos
logramos adquirir la experiencia para poder escribir este libro.
LOS AUTORES
XI
Acerca de los autores
Arturo Aguilar Márquez. Llegó como estudiante a Colegio Nacional de Matemáticas, desarrolló habilidades
y aptitudes que le permitieron incorporarse a la plantilla de docentes de la Institución. Realizó estudios de
Actuaría en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México y ha impartido clases
de Matemáticas por más de 11 años en CONAMAT.
Fabián Valapai Bravo Vázquez. Desde muy temprana edad, con la preparación de profesores de CONAMAT,
participó en concursos de matemáticas a nivel nacional. Posteriormente, se incorporó a la plantilla docente
de la misma institución donde ha impartido la materia de Matemáticas durante 12 años. Al mismo tiempo,
estudió la carrera de Diseño Gráfico en la Escuela Nacional de Artes Plásticas.
Herman Aurelio Gallegos Ruiz. Se inició como profesor en CONAMAT. Realizó estudios en la Escuela
Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional y Actuaría en la Facultad de Ciencias de
la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha impartido clases de Matemáticas y Física por más de 15
años en Colegio Nacional de Matemáticas.
Miguel Cerón Villegas. Es egresado de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias
Sociales y Administrativas del Instituto Politécnico Nacional, realizó estudios de Ingeniería Industrial y tiene
más de 15 años de experiencia en docencia.
Ricardo Reyes Figueroa. Inició su trayectoria en la disciplina de las Matemáticas tomando cursos en
CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para transmitir el conocimiento, se incorpora como docente
en la misma institución donde ha impartido la materia de Matemáticas y Física durante 19 años. Realizó sus
estudios de Matemáticas en la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional,
y de Matemáticas Puras en la Universidad Autónoma Metropolitana.
XIII
CONTENIDO
CÁLCULO
DIFERENCIAL
CAPÍTULO 1 Relaciones y funciones
Relación, 1110. Función, 1110. Notación, 1113. Clasificación, 1113. Valor de una función, 1113. Dominio,
contradominio y rango de una función, 1116. Algunos tipos de funciones, 1119. Función constante,
1119. Función lineal, 1120. Función identidad, 1122. Función cuadrática, 1122. La función f(x) 5 xn, 1123.
Función racional, 1124. Función raíz cuadrada, 1127. Función valor absoluto, 1129. Función mayor
entero, 1132. Función característica, 1135. Gráfica de una función a partir de otra conocida, 1136.
Desplazamientos, 1136. Alargamientos, 1136. Reflexiones verticales y horizontales, 1137. Funciones
creciente y decreciente, 1140. Funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva, 1140. Función inyectiva
(uno a uno), 1140. Función suprayectiva, 1142. Función biyectiva, 1143. Operaciones con funciones, 1144.
Función composición (Función de funciones), 1147. Funciones par e impar, 1150. Función inversa, 1151.
Propiedades, 1152. Funciones trascendentes, 1153. Función exponencial, 1153. Funciones trigonométricas,
1156. Las funciones como modelos matemáticos, 1158.
CAPÍTULO 2 Límites
Definición intuitiva de límite, 1162. Definición formal de límite, 1166. Teoremas, 1168. Límites cuando x
tiende al infinito, 1176. Asíntotas horizontales, 1178. Asíntotas oblicuas, 1180. Límites laterales, 1183.
Límites de funciones trigonométricas, 1186.
CAPÍTULO 3 Continuidad
Continuidad puntual, 1194. Discontinuidad evitable o removible, 1196, Continuidad de una función en
un intervalo, 1201. Continuidad por la derecha, 1201. Continuidad por la izquierda, 1201. Continuidad
de una función en un intervalo abierto, 1201. Continuidad en un intervalo cerrado, 1202. Continuidad en
un intervalo semiabierto, 1204. Teorema del valor intermedio, 1206.
CAPÍTULO 4 La derivada
Definición, 1210. Interpretación geométrica, 1210. Regla de los cuatro pasos, 1211. Fórmulas para determinar
la derivada de una función algebraica, 1213. Derivadas de funciones trascendentes, 1220. Derivadas de
funciones implícitas, 1233. Derivadas de orden superior, 1237. Derivadas de ecuaciones polares, 1240.
Derivada de ecuaciones paramétricas, 1241.
CAPÍTULO 5 Aplicaciones de la derivada
Rectas tangente y normal a una curva, 1246. Tangente, 1246. Normal, 1246. Ecuación de la recta
tangente, 1247. Ecuación de la recta normal, 1247. Ángulo entre dos curvas, 1251. Curvatura, 1254.
Radio de curvatura, 1254. Círculo de curvatura, 1256. Centro de curvatura, 1256. Radio de curvatura en
coordenadas paramétricas, 1258. Radio de curvatura en coordenadas polares, 1259. Máximos y mínimos
de una función, 1261. Criterio de la primera derivada para encontrar puntos máximos y mínimos, 1261.
Criterio de la segunda derivada para encontrar puntos máximos y mínimos, 1265. Optimización, 1268.
Movimiento rectilíneo uniforme, 1276. Aceleración media, 1277. Razón de cambio, 1278. Aplicaciones
a la economía, 1287. Regla de L9Hôpital, 1293. Teorema de Rolle, 1299. Teorema del valor medio,
1301. Diferenciales, 1303. Aplicaciones de la diferencial, 1306.
XXIII
Cálculo diferencial
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U
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a aparición del análisis infinitesimal fue
la culminación de un largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió
en la acumulación y asimilación teórica de
los elementos del cálculo diferencial.
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Reseña
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HISTÓRICA
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Y FUNCIONES
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RELACIONES
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Para el desarrollo de este proceso se contaba con el álgebra; las técnicas de cálculo; introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas,
especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas y la búsqueda
de tangentes. Las causas que motivaron este proceso fueron las exigencias de la mecánica newtoniana y la astronomía.
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CAPÍTULO
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M
La última etapa del desarrollo del análisis infinitesimal fue el establecimiento
de la relación e inversibilidad mutua entre las investigaciones diferenciales,
y a partir de aquí la formación del cálculo diferencial.
El cálculo diferencial surgió casi simultáneamente en dos formas diferentes:
en la forma de teoría de fluxiones de Newton y bajo la forma del cálculo
de diferenciales de G. W. Leibniz.
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716)
1
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Relación
Regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos.
Ejemplo
Relación
A
B
x1
y1
x2
y2
x3
x4
y3
y4
Esta relación se representa con el siguiente conjunto de pares ordenados
R {(x1, y1), (x1, y2), (x2, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4)…}
Función
El concepto de función es uno de los más importantes en el mundo de las matemáticas. Las funciones no sólo representan fórmulas, o lugares geométricos, también se utilizan como modelos matemáticos que resuelven problemas de
la vida real.
A continuación se dan algunas definiciones de función:
Ú Es una regla de correspondencia que asocia a los elementos de dos conjuntos. La cual a cada elemento del
primer conjunto (dominio) le asocia un solo elemento del segundo conjunto (contradominio).
Ú Sean A y B dos conjuntos y f una regla que a cada x 0 A asigna un único elemento f (x) del conjunto B, se
dice que f es una función que va del conjunto A al B, y se representa de la siguiente forma: f: A 3 B, donde
al conjunto A se le llama dominio y al B contradominio, que también se representa por medio de un diagrama
de flechas:
f
A
x1
B
f (x1)
x2
f (x2)
x3
f (x3)
x4
f (x4)
Ú Una función es una colección de pares ordenados con la siguiente propiedad: Si (a, b) y (a, c) pertenecen a
una colección, entonces se cumple que b c; es decir, en una función no puede haber dos pares con el mismo
primer elemento.
1110
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina si los siguientes diagramas representan una función o una relación:
1.
3.
A
B
2
3
4
5
4
9
16
25
A
B
2.
4.
A
B
2
4
5
9
8
3
2
A
1
2
4
B
10
8
2
3
5
Solución
El primer y el tercer diagramas corresponden a una función ya que a cada elemento del conjunto A se le asigna un
solo elemento del conjunto B.
En el segundo diagrama al menos a un elemento del conjunto A se le asignan dos elementos del conjunto B, mientras que en el cuarto diagrama el elemento 8 se asocia con tres elementos del conjunto B, por tanto, se concluye que
estos conjuntos representan una relación.
2
Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados corresponden a una función o a una relación:
A {(2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)}
B {(3, 2), (3, 6), (5, 7), (5, 8)}
C {(2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)}
M {(2, 4), (6, 2), (7, 3), (4, 12), (2, 6)}
Solución
Los conjuntos A y C son funciones ya que el primer elemento de cada par ordenado no se repite. En el conjunto B
el 3 y el 5 aparecen dos veces como primer elemento del par ordenado mientras que en el conjunto M al 2 se le están
asignando el 4 y el 6 como segundo elemento, por tanto, B y M son relaciones.
Las funciones y relaciones pueden tener una representación gráfica en el plano cartesiano. Para distinguir si se
trata de una función o una relación basta con trazar una recta paralela al eje “Y” sobre la gráfica; si ésta interseca en
dos o más puntos es una relación, si sólo interseca un punto será una función.
1111
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
3
SIMPLIFICADAS
Determina si las siguientes gráficas representan una relación o una función.
Y
1.
2.
Y
X
X
Solución
Se traza una recta vertical en ambas gráficas y se observa que en la primera interseca en dos puntos a la gráfica, por
tanto, representa una relación y en la segunda, la recta vertical interseca en un punto a la gráfica, por consiguiente
representa una función.
1.
2.
Y
Y
Recta vertical
X
Recta vertical
X
EJERCICIO 1
Identifica si los siguientes conjuntos representan funciones o relaciones.
1. {(0, 3), (2, 3), (1, 3)…}
4. {(2, 5), ( 4 , 2), (3, 3)…}
2. {(3, 5), (3, 5), (3, 2)…}
5. {(a, 2a), (2a, 3a), (4a, a)…}
3. {(4, 7), (4,
ª¤ 3 ³ ¤ 6
³ ¤ 5³ ¹
6. «¥ , 1´ , ¥ , 1´ , ¥ 1, ´ zº
µ ¦ 2µ »
¦
µ
¦
2
4
¬
3 ), ( 2 , 5)…}
Identifica qué representa cada gráfica (función o relación):
7.
8.
12.
13.
9.
10.
14.
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1112
11.
15.
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Notación
Una función se denota o escribe como y f(x), donde:
x: variable independiente.
y: variable dependiente.
f: función, regla de asignación o correspondencia.
Clasificación
Las funciones se clasifican en: algebraicas y trascendentes
ª Algebraicas
­
ª Trigonométriccas
­
­Inversas trigonométricas
Función «
Trascendentes «
­
Exponenciales
­
­
­
¬Logaarítmicas
¬
Ejemplos
Algebraicas
f(x) x 3 4x
f (x) y 3x 2 5x 6
g(x) 3
x4
y UxU
x1
g (x) U x 2 U 1
Trascendentes
f (x) e 4x
f(x) cos x
f (x) sen(x P
)
2
y e
x
s (t) ln(2t 4)
2
g (x) log(x 1)
Las funciones algebraicas y trascendentes pueden ser:
Ú Explícitas
Es cuando la función está en términos de una variable, por ejemplo:
y x2
f (x) y x3 1
g(x) x3
x5
y sen 3x
x
x 1
f(x) cos
1
x
2
s (t ) e t
y log x
g(x) 2x3
f(x) ln(3x)
Ú Implícitas
Es cuando ambas variables forman parte de la ecuación, por ejemplo:
x 2 8y 16 0
x 3 y 2 3x 0
sen x cos y 1
ey x 3
Las funciones que se estudiarán en este libro siempre tomarán valores de números reales tanto para la variable
independiente como para la dependiente.
Valor de una función
El valor real f (x) de una función es aquel que toma y cuando se asigna a x un determinado valor real.
1113
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Obtén f( 3) para f(x) 3x 2 5x 2
Solución
Para obtener f (3) se sustituye x 3 en la función y se realizan las operaciones indicadas,
f (3) 3(3)2 5(3) 2 27 15 2 40
Por tanto f (3) 40, es decir y 40 cuando x 3 o lo que es lo mismo, la curva pasa por el punto (3, 40)
en el plano cartesiano.
2
Si f(x) 3x 1
¤ 3³
, encuentra f ¥ ´
¦ 4µ
5x
Solución
Se sustituye x 3
en la función y se realizan las operaciones:
4
¤ 3³
5
3¥ ´ 1 9 1
5
¦ 4µ
¤ 3³
5
3
¤ 3³
4
, por tanto, cuando x , f ¥ ´ f¥ ´
4 ¦
µ
3
3 17 17
¦ 4µ
4
17
4
5
5
4
4
4
3
Si s(t ) t 5 , determina s(4), s(a 5)
Solución
s(4) 4 5 1 , la función no está definida para t 4,
s (a 5) 4
1 no tiene solución real
a55 a
P³
¤
¤ P³
Si f (x) sen ¥ x ´ , determina f ¥ ´
¦
¦ 3µ
4µ
Solución
Se sustituye x P
, en f (x) y se utiliza la identidad sen (A B) sen A cos B sen B cos A
3
P
P
P
P
¤ P³
¤ P P³
f ¥ ´ sen ¥ ´ sen cos sen cos
¦ 3µ
¦ 3 4µ
3
4
4
3
¤ 3³ ¤ 2 ³ ¤ 2 ³ ¤ 1³
6
2
6 2
¥
´ ¥ 2 ´ ¥ 2 ´ ¥¦ 2 ´µ 4 4 2
4
¦
µ¦
µ ¦
µ
5
Determina
f (a b ) f (a )
si f (x) b
x
Solución
Se obtiene que
f(a b) a b y f (a) a
Se sustituyen los valores obtenidos:
f (a b ) f (a )
b
1114
a b a
b
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
Un resultado equivalente se obtiene al racionalizar el numerador:
2
a b a
a b a
a b a
•
b
a b a
b • a b a
Finalmente, el resultado de
6
Si y 2
a b a
b
f (a b ) f (a )
b
b
b
a b a
1
a b a
1
a b a
x
, encuentra el valor de y cuando x 2
x2
Solución
Al evaluar la función en x 2, se obtiene:
y
2
2
2 2
0
La función no está definida para x 2, ya que la división entre cero no está determinada.
7
f (x)
¤ 1³
Si f(x) x 2 1, demuestra que f ¥ ´ 2
¦ xµ
x
Demostración
Se sustituye
1
en la función:
x
2
1 x 2
1
1 x2
x2 1
¤ 1³
¤ 1³
f ¥ ´ ¥ ´ 1 2 1 2
2
¦ xµ
¦ xµ
x
x
x2
x
Pero x 2 1 f (x)
f (x)
¤ 1³
Por tanto, f ¥ ´ 2
¦ xµ
x
EJERCICIO 2
Evalúa las siguientes funciones:
¤ 1³
1. Si f (x) 2x 2 3, obtén f ¥ ´ , f(3), f (0)
¦ 2µ
2. Si f (x) x 2 5x 6, determina f (a), f (a b)
3. Si f (x) 3x 2 4x 2, determina f (x h),
4. Si f (x) f ( x h) f ( x )
h
2 x 1
¤ 1³
¤ 1³
, determina f ¥ ´ , f ¥ ´ , f(x h) f (x)
¦ 2µ
¦ 3µ
2 x 1
5. Si f (x) x 2 16 , determina f(5), f(4), f(6), f(3)
6. Si f (x) x 2 3 , determina f (x h),
f ( x h) f ( x )
h
1115
1
1
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
7. Si f (x) 8. Si f (x) 9. Si f (x) 1
f ( x b) f ( x )
, determina
x 1
b
1 x , determina
f ( x h) f ( x )
h
x5
, determina f (1), f (0), f(x 5)
x2
10. Si f (x) 3x 2 2
3
¤ 1³
, determina f(1), f ¥ ´
¦ xµ
x2
x
11. Si f (x) x 2 3x, demuestra que f (3x) f (x 1) 4(x 1)(2x 1)
12. Si f (x) 1 x
¤ 1³
, demuestra que f ¥ ´ f(x)
¦ xµ
1 x
13. Si f (x) 1 x
1
, demuestra que f (x) 1 x
f (x)
14. Si f (x) tan x, demuestra que f (x) f(x 3P)
P³
¤
15. Si f (x) cos 2x, demuestra que f ¥ x ´ f(x)
¦
2µ
16. Demuestra que para f (x) 17. Si h(x) 18. Si f (s) x 2 4 , r(x) x2 ,
f ( x h) f ( x )
1
h
f ( x h) f ( x )
1³
1³
¤
¤
x 2 4 , demuestra que h ¥ n ´ r ¥ n ´ 2n
¦
¦
nµ
nµ
s 1
f ( m ) f (n )
mn
, demuestra que
s 1
1 ; f ( m )=; f (n )=
1 mn
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Dominio, contradominio y rango de una función
Dada una función f : A 3 B, se dice que el conjunto A es el dominio (Df ) y B el contradominio (Cf ) o codominio
de f . En términos del plano cartesiano, el dominio corresponde al conjunto formado por los valores posibles para X
mientras que el contradominio corresponde a los valores posibles para Y.
Ú Rango (Rf )
Valores del contradominio para los cuales y f(x), siendo f(x) la imagen de x.
Df
Cf
Rf
f
1116
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Ejemplos
EJEMPLOS
1
¿Cuál es el dominio de la función f (x) 3x 2 5x 6?
Solución
La función es polinomial, x puede tomar cualquier valor, por tanto, el dominio son todos los números reales, es decir
x 0 R o dicho de otra forma x 0 (@, @).
2
Determina el dominio de la función f(x) x3
x5
Solución
La función es racional y el denominador debe ser distinto de cero, ya que la división entre cero no está definida, por
tanto, se busca el valor para el cual x 5 0 obteniendo x 5, entonces el dominio es: Df {x 0 R U x : 5} o
bien x 0 (@, 5) X (5, @).
3
¿Cuál es el dominio de la función f (x) x
?
x2 5x 6
Solución
Al factorizar el denominador se obtiene: f(x) x6
4
x
, el denominador se hace cero para
( x 6 )( x 1)
o x 1, Df {x 0 R U x : 1, x : 6} o bien
Determina el dominio de la función f(x) {x 0 (@, 1) X (1, 6) X (6, @)
x5
Solución
El radicando debe ser mayor o igual a cero (ya que no hay valor real para raíces cuadradas de números negativos)
es decir x 5 0, de donde x 5, por tanto Df {x 0 R U x 5} o bien x 0 [5, @)
5
Encuentra el dominio de la función f(x) x 2 16
Solución
Se plantea la desigualdad x 2 16 0, al resolverla se obtiene que el dominio es el conjunto Df {x 0 R U x 4 o x 4}
o bien x 0 (@, 4] X [4, @)
6
Determina el dominio de la función f (x) log(2x 3)
Solución
Para determinar el dominio de esta función se debe tomar en cuenta que logb N a, para N 0, por tanto, se plantea
la desigualdad y se resuelve:
3
2x 3 0 3 2x 3 3 x 2
3¹
ª
¤3 ³
Entonces, el dominio es el conjunto Df « x 0 R U x º , o bien, x 0 ¥ , @ ´
¦2 µ
2
»
¬
1117
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
7
SIMPLIFICADAS
Encuentra el rango de la función f (x) 6 x 1
1 3x
Solución
Se despeja x:
y
6x 1
1 3x
3
y(1 3x) 6x 1 3
3xy – 6x 1 y 3
3x (y 2) 1 y
3
y 3xy 6x 1
x
1 y
3 y 2
El denominador se hace cero cuando y 2, por tanto el rango es el conjunto:
Rf {y 0 R U y : 2} o bien, y 0 (@, 2) X (2, @)
8
Determina el rango de la función y 9 x2
Solución
y 0, porque la raíz es positiva o cero, se despeja x:
y
9 x2
3
y2 9 x2
3 x2 9 y2
3 x
9 y2
Se plantea la desigualdad 9 y 2 0, al resolverla se obtiene que y 0 [3, 3], pero y 0, por tanto, el rango es el
conjunto Rf {y 0 R U 0 y 3}, o bien, y 0 [0, 3]
EJERCICIO 3
Determina el dominio de las siguientes funciones:
1. f(x) x 2 4
10. f (x) x3
2 x 2 10 x
2. f(x) 3x 3 2
11. f (x) 1
x3 x
3. f(x) x
x3
12. f(x) x 1
4. f(x) x4
5x
13. f (x) x6
5. f(x) 3
x 2 16
14. f (x) 2x
6. f(x) x3
x2 5x
15. f(x) 12 3x
7. f(x) 1
x 7 x 10
16. f(x) x 2 25
8. f(x) x 1
25 x 2
17. f(x) x2 5x 6
9. f(x) x
x 1
18. f(x) 36 x 2
2
2
1118
CAPÍTULO
CÁLCULO
19. f(x) DIFERENCIAL U
9 x2
25. f(x) x4
x3
1 x
2x 3
20. f(x) 3
x 1
26. f (x) 21. f(x) 4
x5
27. f (x) log(3x 6)
22. f(x) x 1
x2
28. f(x) ln(5 2x)
23. f(x) x
3 x
¤ 1³
29. f(x) log ¥ ´
¦ xµ
24. f(x) x
3
Relaciones y funciones
30. f(x) log(3 2x x 2)
x3 8
Determina el rango de las siguientes funciones:
x2 1
31. f (x) x 2 1
37. y 32. f(x) x 2 4
38. y 2 x
33. f(x) 9 x 2
39. y 34. f(x) 3x x 2
40. y 35. f(x) 10 x 1
3 5x
41. y 36. f(x) 2x 3
4 x 1
42. y U x 4U
4 x2
1
x 2 1
x 1
x3
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Algunos tipos de funciones
Función constante
f (x) k con k 0 R representa una recta paralela al eje “X” sobre k.
Dominio: Df R o bien x 0 (@, @)
Rango: Rf {k}
Y
f(x) = k
k
X
1119
1
1
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplo
Obtén la gráfica de f (x) 4
Solución
Se traza una recta paralela al eje X sobre y 4
Df R
Rf {4}
Y
f(x) = 4
X
Función lineal
Esta función tiene la forma f (x) mx b y representa una recta en el plano cartesiano, en donde m es la pendiente
y b la ordenada al origen.
Dominio: Df R o bien x 0 (@, @),
Rango: Rf R o bien y 0 (@, @)
Y
Y
m>0
m<0
X
X
Para graficar una función lineal se lleva a cabo lo siguiente:
II. Se localiza la ordenada al origen, es decir, el punto (0, b).
II. A partir de este punto, se localiza otro, tomando la pendiente como el incremento o decremento vertical sobre
el incremento horizontal.
1120
CAPÍTULO
CÁLCULO
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Grafica la función y DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
2
x4
3
Solución
La pendiente y la ordenada al origen de la función:
y
m
2
3
2
x4
3
2 incremento vertical
, b 4, representa el punto (0, 4)
3 incremento horizontal
Gráfica de la función
Y
2
(0, 4)
3
X
0
2
Traza la gráfica de la función y 4
x2
5
Solución
La pendiente y la ordenada al origen de la función:
y
m
4
4
5
5
4
x2
5
4 decremento vertical
, b 2, representa el punto (0, 2)
5 incremento horizontal
Gráfica de la función
Y
5
(0, 2)
4
0
1121
X
1
1
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Función identidad
Es la función lineal f (x) mx b, con m 1 y b 0, es decir: f(x) x
Dominio: Df R o bien x 0 (@, @)
Rango: Rf R o bien y 0 (@, @)
Y
45°
X
Función cuadrática
Es de la forma f (x) ax 2 bx c y representa una parábola cóncava hacia arriba o hacia abajo
Si a 0
Si a
0
Y
Y
k
k
V(h, k)
V(h, k)
h
X
h
X
V(h, k): son las coordenadas del vértice.
Dominio: Df R o bien x 0 (@, @)
2
Dominio: Df R o bien x 0 (@, @)
¤
4 ac b 2 ¶
Rango: y 0 ¥ @,
4 a ·¸
¦
³
§ 4 ac b
Rango: y 0 ¨
, @´
4
a
µ
©
Para obtener las coordenadas (h, k) del vértice se aplican las siguientes fórmulas:
h
b
4 ac b 2
,k
2a
4a
Ejemplo
Obtén el dominio, rango y la gráfica de la función f(x) x 2 4x 5.
Solución
Se identifican los valores de los coeficientes de cada término: a 1, b 4 y c 5
a 0, la parábola es cóncava hacia arriba
Se calculan los valores de h y k:
h
b
(4 )
4 ac b 2
4 (1)(5 ) (4 )2
2; k 1
2a
2(1)
4a
4 (1)
1122
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
El vértice es el punto V(2, 1) y el dominio y rango son:
§ 4 ac b 2 ³
y0 ¨
, @ ´ [1, @)
µ
© 4a
Df R o bien x 0 (@, @)
Para graficar, se tabula y se asignan valores de x menores y mayores que 2
x
0
1
2
3
4
y
5
2
1
2
5
Y
f (x) = x2 – 4x + 5
X
La función f(x ) x n
Con “n” entero positivo tiene como: Dominio x 0 (@, @) es decir el conjunto de los reales R y Rango:
[
y 0[ 0, @ ) si n es par
y 0 (@, @ ) si n es impar
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Obtén la gráfica de las funciones f (x) x 2 y g (x) x 4
Solución
Se tabula con valores arbitrarios de x:
Y
x
2
1
0
1
2
f(x) x 2
4
1
0
1
4
f(x) = x2
X
Al graficar se obtiene:
Y
x
g(x) x 4
3
2
81
16
1
0
1
3
2
1
0
1
81
16
g(x) = x4
X
1123
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
2
SIMPLIFICADAS
Obtén la gráfica de las funciones f (x) x 3 y g(x) x 5
Solución
Se tabula para valores arbitrarios de x :
Y
f(x) = x3
x
2
1
0
1
2
f(x) x 3
8
1
0
1
8
X
Y
g(x) = x5
x
g(x) x 5
3
2
1
0
1
3
2
243
32
1
0
1
243
32
X
Función racional
Se expresa como el cociente de dos funciones polinomiales.
F (x) P( x )
, con Q (x) : 0
Q( x )
Definición de asíntota
Si la distancia d entre una recta o curva L y el punto móvil Q(x, y) de la función tiende a cero, entonces la recta o curva
recibe el nombre de asíntota.
Existen tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.
Cuando la gráfica de la función f (x) se acerca a la curva o recta L(x) y la distancia d entre un punto de f (x) y la
curva o recta L (x) tiende a cero (es decir la gráfica no toca a L(x)), entonces L(x) recibe el nombre de asíntota.
1124
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Ejemplos
Y
Asíntota vertical
Asíntota vertical
d
L
L
d Q(x, y)
y = f(x)
O
X
Asíntota oblicua
y = mx + b
y = f(x)
Asíntota
horizontal
Q(x, y)
y=b
Y
O
X
x=a
x=a
Asíntota vertical
Y
y = f(x)
Asíntota
oblicua
d Ld
d Q(x, y)
O
X
En este capítulo sólo se estudiarán las asíntotas horizontales y verticales.
Ú Asíntotas verticales
Una función de la forma F (x) P( x )
, tiene asíntotas verticales si existen valores x1, x2, x3, … , xn tal que se
Q( x )
cumple lo siguiente:
Q(x1) Q(x2) … Q(xn) 0
Ú Asíntotas horizontales
R( y )
Se despeja la variable independiente x, si se obtiene una función de la forma G ( y ) , tal que para los
S( y)
valores de y1, y2, y3, …, yn se cumpla que:
S (y 1) S(y2) … S (yn ) 0
1125
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Obtén la gráfica de la función f (x) 1
x
Solución
El dominio de la función está dado por el conjunto Df {x 0 R U x : 0}, teniendo una asíntota en x 0, es decir el
eje vertical del plano.
Al despejar x se obtiene x 1
y
De la cual se deduce que el rango está dado por Rf {y 0 R U y : 0} y su asíntota horizontal es y 0, es decir
el eje horizontal del plano.
Si tabulas para valores de x diferentes de cero obtienes:
x
f (x)
3
1
3
1
2
2
1
1
2
1
2
1
3
3
0
1
3
1
2
1
2
3
no
existe
3
2
1
1
2
1
3
Se grafican las asíntotas y se localizan los puntos en el plano, se unen y se observa cómo la curva se acerca a las
asíntotas sin tocarlas, haciendo la distancia entre la curva y las rectas cada vez más pequeña.
Y
X
2
Determina el dominio, el rango y la gráfica de la función y 2x 3
x2
Solución
El denominador debe ser diferente de cero,
x 2 : 0, entonces x : 2
Por tanto, el dominio está dado por:
Df {x 0 R U x : 2} o x 0 (@, 2) X (2, @) y la asíntota vertical es x 2
Al despejar x se obtiene el rango y la asíntota horizontal:
y
2x 3
2y 3
, entonces x donde 2 y : 0 3
x2
2y
Por tanto, el Rf {y 0 R U y : 2} y la asíntota horizontal es y 2
1126
y:2
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Gráfica: Se trazan las asíntotas y mediante una tabulación se obtienen los pares ordenados, los cuales forman la siguiente curva:
Y
y=2
X
x=–2
Función raíz cuadrada
La función está dada por: f (x) g( x ) , con g (x) 0
Ejemplos
EJEMPLOS
1
x2
Obtén la gráfica de la función f (x) Solución
Para determinar el dominio se resuelve la desigualdad: x 2 0 donde x 2, entonces el dominio es el conjunto:
{x 0 R U x 2} o x 0 [2, @)
El rango se obtiene despejando x
y
x2
y2 x 2
3
x y2 2
3
La función es una raíz positiva, o cero, es decir y 0 [0, @) y el despeje da como resultado una expresión polinomial
donde y 0 R, por tanto el rango está definido para y 0 [0, @)
Al tabular dando algunos valores en el intervalo x 0 [2, @) se obtiene:
x
2
1
0
1
2
3
4
5
f(x)
0
1
2
3
2
5
6
7
La gráfica que se obtiene es:
Y
y = f (x)
X
–2
1127
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
2
SIMPLIFICADAS
Determina la gráfica de la función: f (x) x2 x 2
Solución
Para obtener el dominio se resuelve la desigualdad x 2 x 2 0, obteniendo que
x 0 (@, 1] X [2, @)
2
1 4 y 9
donde y 0 (@, @), f (x) es una raíz positiva, o cero, por tanto el rango
2
es: y 0 (@, @) Y [0, @) [0, @)
Al despejar x se obtiene, x Y
f(x) =
2
–1
3
Grafica la función y x2 − x − 2
X
x 1
x 1
Solución
Para obtener el dominio se resuelve la desigualdad
x 1
0, obteniendo que:
x 1
x 0 (@, 1) X [1, @)
Al despejar x para obtener el rango:
y
x 1
x 1
3
y2 x 1
x 1
3 y 2(x 1) x 1 3 y 2x y 2 x 1
y 2x x 1 y 2
x (y 2 1) 1 y 2
x
1 y 2
, donde y : 1.
y2 1
La función es una raíz positiva, por tanto, y 0 [0, @), entonces el rango corresponde a:
y 0 [0, 1) X (1, @)
La función tiene una asíntota vertical en x 1 y dos horizontales en y 1, y 1, al graficar se obtiene:
Y
x1
y
x1
1
Nota: Observe que gráficamente y 1 no es asíntota.
1128
X
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Función valor absoluto
La función es f (x) U g(x) U, donde x 0 Dg y f (x) 0.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Obtén la gráfica de f (x) U x 3U.
Solución
[
a si a 0
Se parte de la definición de valor absoluto, en la que U a U a si a 0 , se obtienen las siguientes igualdades:
y x 3, y x 3, las cuales son dos rectas donde el dominio son los números reales y el rango está dado
por y 0 [0, @)
La gráfica que se obtiene es:
Y
y=x+3
y =– x– 3
3
–3
2
Obtén la gráfica de f (x) X
2
.
x
Solución
2
, está definido para x : 0, por tanto el dominio es el conjunto Df {x 0 R U x : 0} o bien
x
x 0 (@, 0) X (0, @)
Para el rango se despeja x de las igualdades que se obtienen al aplicar la definición de valor absoluto.
y
2
2
3 x , donde y : 0,
x
y
y
2
2
3 x , donde y : 0
x
y
2
También se toma el hecho de que f(x) 0, ya que
0, por tanto el rango es el conjunto Rf {y 0 R U y 0}
x
o bien y 0 (0, @).
La asíntota horizontal es y 0, mientras que la vertical es la recta x 0.
Luego la gráfica que se obtiene es:
Y
X
1129
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
3
SIMPLIFICADAS
Obtén la gráfica de f (x) U x 2 4U.
Solución
y x 2 4 es una función cuadrática con dominio x 0 R y rango y 0 [4, @), teniendo como gráfica:
Y
–2
X
2
f(x) 0, luego el rango de la función es: y 0 [0, @), por tanto, al hacer positiva la parte donde x 2 4 es negativa
se obtiene la siguiente gráfica:
Y
–2
4
Obtén el dominio, el rango y la gráfica de f(x) X
2
x 1
x2
Solución
Dominio: Para y x 1
, x : 2, por tanto el dominio de la función está dado por:
x2
x 0 (@, 2) X (2, @)
Rango: f(x) 0, por tanto, el rango está dado por y 0 [0, @], pero al despejar “x” se obtiene x y : 1, por tanto y 0 [0, 1) X (1, @)
Gráfica 1
Y
y=x+2
y=x–1
1
–2
(∞ ,− 2 )
( − 2 ,1]
1130
[1, ∞ )
X
1 2y
, entonces
y 1
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
En la gráfica 1 se muestran los intervalos que se analizarán para construir la gráfica que se propone.
i)
En el intervalo (@, 2) las rectas y x 1, y x 2, toman valores negativos, es decir
f(x) x 1
( x 1)
x 1
x2
( x 2 )
x2
La porción de gráfica en el intervalo (@, 2) es:
Y
–2
1
X
ii) En el intervalo (2, 1]
y x 1 toma valores negativos
y x 2 los toma positivos
es decir:
f (x) x 1
( x 1)
1 x
x2
( x 2 )
x2
La porción de gráfica es:
Y
–2
1
X
iii) En el intervalo [1, @)
y x 1, y x 2
toma valores positivos es decir
f(x) x 1
( x 1)
x 1
x2
( x 2 )
x2
1131
1
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Tiene la misma gráfica que en el caso i)
La porción de gráfica es:
Y
1
–2
X
Finalmente, la gráfica es la unión de las porciones de gráfica en cada intervalo.
Y
1
X
1
–2
–1
Nota: En la gráfica aparece un hueco en y 1 ya que el rango es y 0 [0, 1) X (1, @)
Función mayor entero
Tiene la forma: f (x) [x] con la propiedad de que [x] n para todo n x
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Obtén la gráfica de: f (x) [x]
Dominio: Df {x U x 0 R}
Rango: Rf {y U y 0 Z}
Se toma un subconjunto del dominio por ejemplo x 0 [2, 3] se tiene que:
ª2
­1
­­0
f (x) [x] «1
­
­2
­¬ 3
1132
si
si
si
si
si
si
2 x
1 x
0x
1 x
2x
3 x
1
0
1
2
3
4
n 1, con n 0 Z.
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Gráfica:
Y
3
2
1
–2 –1
3 X
0 1 2
–1
–2
También recibe el nombre de función escalón.
2
§2 ¶
Traza la gráfica de f (x) ¨ x ·
©3 ¸
Solución
El dominio y el rango de la función se definen:
Df {x U x 0 R} y Rf {y U y 0 Z}
Se elige el subconjunto del dominio x 0 [2, 2] entonces:
Longitud del escalón
2 1 2
x
3
2
x
3
3 x
1
0
3
x
2
f(x)
3
2
2
0
1
0
2
x
3
1
0x
3
2
0
1
2
x
3
2
3
x
2
3
1
Y
2
1
–3 –2 –1
0 1
–1
–2
–3
1133
2
3
X
Relaciones y funciones
1
1
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 4
Obtén la gráfica de las siguientes funciones:
1. f(x) 4
22. y 2
5
16 x 2
23. f (x) x 2 x 12
3. f(x) P
24. f (x) 4 x2 9
4. f(x) 3x 5
25. f(x) 900 100 x 2
9
26. f (x) x2
x2
27. f (x) 1
x2
7. f(x) x 2 4x 3
28. f (x) x4
x3
8. f(x) 2x 2 12x 13
29. f (x) 1 x
x2
9. f(x) 4 x 2
30. f (x) U x U
2. f(x) 5. f(x) 1
x1
2
6. f(x) 10. y 3
x2
4
3
x
31. f (x) U x 2U
1
x
x
12. f (x) x2
32. f (x) U x 4U
11. f (x) 13. y 33. f (x) U x 2 1 U
x2
x4
34. f (x) U x 2 4x 3 U
14. f(x) x2
3 x
35. f (x) U 2 x 2 U
15. f (x) x2 5x 6
x2 4
36. f(x) 1
x2
16. f(x) 1
x 2x 3
37. f(x) 2
3 x
17. f(x) x2 2
x2 9
38. f (x) x3
x3
18. f(x) x
39. f (x) x3
x 1
19. y 2
§1 ¶
40. f (x) ¨ x ·
©2 ¸
x4
§5 ¶
41. f (x) ¨ x ·
©3 ¸
20. y 9 x
21. y x 2 36
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1134
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Función característica
Son funciones que están seccionadas por intervalos y en cada intervalo se presenta una función distinta. Para graficarla
basta con dibujar la gráfica de cada una de las funciones en el intervalo dado.
Ejemplo
Obtén la gráfica de:
ª x 2 1 si 2 x 2
­
si 2 x 4
f(x) « 3
­¬ 3x 9 si x 4
Solución
Se tabula cada una de las funciones en el intervalo dado, se localizan los puntos y se grafican, observa que hay puntos
que no están incluidos, para esos valores se coloca un círculo abierto.
Y
3
–2
2
4
X
EJERCICIO 5
Obtén la gráfica de las siguientes funciones:
[
­ª 2 x si x 2
5. f (x) «
¬­ x 2 si x 2
1 si x 3
2. f(x) 0 si x 3
[
si x 2
ª5
­
6. f (x) « x 2 1 si 2 x 2
­¬2 x 1 si x 2
ªx 2 si x 0
3. f(x) « 2
si x 0
¬x
7. f(x) x
si 0 x 2
1. f(x) x 4 si 2 x 4
ª2 x si x 1
­
si 1 x
4. f(x) « 3
¬­ x 1 si x 2
2
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1135
[
x4
a si a 0
Recuerda que U aU a si a 0
x4
1
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Gráfica de una función a partir de otra conocida
Algunas funciones se grafican a partir de que se conoce la gráfica de otra, a través de desplazamientos, alargamientos
o reflexiones de esta última.
Desplazamientos
Sea f (x) una función, c 0 y b 0, si:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
y
y
y
y
y
y
y
y
f (x) c entonces se desplaza la gráfica de f(x), c unidades hacia arriba.
f (x) c entonces se desplaza la gráfica de f(x), c unidades hacia abajo.
f (x c) entonces se desplaza la gráfica de f(x), c unidades hacia la izquierda.
f (x c) entonces se desplaza la gráfica de f(x), c unidades a la derecha.
f (x c) b entonces se desplaza la gráfica de f(x), c unidades hacia la izquierda y b unidades hacia arriba.
f (x c) b entonces se desplaza la gráfica de f(x), c unidades hacia la izquierda y b unidades hacia abajo.
f (x c) b entonces se desplaza la gráfica de f (x), c unidades hacia la derecha y b unidades hacia arriba.
f (x c) b entonces se desplaza la gráfica de f(x), c unidades hacia la derecha y b unidades hacia abajo.
Y
Y
Y
c
a
a
X
X
f(x)
f(x) + c
Y
a
Y
b
a
c
f(x – c)
X
c
f(x + c)
Alargamientos
Sea f (x) una función, c 1, si:
a) y c f(x), se alarga verticalmente la gráfica de f(x), c veces.
1
1
f (x), se comprime verticalmente la gráfica de f(x), en
c
c
c) y f (cx), se comprime horizontalmente la gráfica de f(x), c veces.
¤1
d) y f ¥
¦c
X
f(x) – c
Y
b) y a
c
1
³
x ´ , se alarga horizontalmente la gráfica de f(x), en
µ
c
1136
X
a
c
f(x – c) + b
X
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
Reflexiones verticales y horizontales
Sea f (x) una función si:
1. y f (x), se refleja la gráfica de f (x) con respecto al eje X.
2. y f (x), se refleja la gráfica de f(x) con respecto al eje Y.
Y
Y
y = cf(x)
X
Y
y=
1
c
f (x )
X
X
y = – c f (x)
Se tomarán como base las siguientes funciones para graficar otras de la misma forma:
Y
Y
f(x) = x 2
Y
f(x) = x 3
f(x) = x
X
X
Y
X
Y
X
X
f(x) =
1
x
f(x) = | x |
1137
1
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Con base en la función f (x) x 2, obtén la gráfica de: y x 2 2, y x 2 2,
y (x 2)2, y (x 2)2, y 2x 2, y 1 2
x , y x 2, y x 2 2x 3
2
Solución
f(x) = x2
y = x2 + 2
y = x2 – 2
Y
Y
Y
X
X
X
Se desplaza la gráfica f(x)
dos unidades hacia arriba
y = (x − 2 )2
= x2
Se desplaza la gráfica f(x)
dos unidades hacia abajo
y = (x + 2 )2
y = 2x2
Y
Y
Y
X
Se desplaza f(x) =
hacia la derecha
y=
x
2
= x2
X
dos unidades
1 2
x
2
Se desplaza f(x) =
hacia la izquierda
x
2
dos unidades
y = – x2
Se alarga f(x)
dos veces
=x
verticalmente
y = x2 – 2x – 3 = (x – 1)2 – 4
Y
Y
X
2
Y
X
X
X
Se comprime f(x)
verticalmente
= x2 a la mitad
Se refleja f(x)
eje X
= x2 con respecto al
1138
2
Se desplaza f(x) = x hacia la derecha
una unidad y baja cuatro unidades
CAPÍTULO
CÁLCULO
2
Determina la gráfica de y x 3 2, a partir de la gráfica de y DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
x.
Solución
La gráfica de y x es:
Y
0
Para obtener la gráfica de y y 2 unidades hacia arriba
X
x 3 2, se toma la gráfica de y x , ésta se desplaza 3 unidades a la derecha
Y
2
X
3
EJERCICIO 6
Utiliza desplazamientos, alargamientos o reflexiones para obtener la gráfica de las siguientes funciones:
1. y x 2 4
8. y (x 1)3 2
2. y (x 3)2
9. y 3. y 1 x 2
10. y x2 2
4. y x 2 6x 10
11. y x3 2
5. y 3x 2 12x 11
12. y x 3
6. y x 3
13. y U x 3 U 2
7. y x 3 1
14. y 3 U x 4U
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1139
1 3
x 2
2
1
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Funciones creciente y decreciente
Una función es creciente en un intervalo I, si para cualquier x1, x2 0 I,
f(x1)
f(x2) donde x1
x2
Una función es decreciente en un intervalo I, si para cualquier x1, x2 0 I,
f(x1) f(x2) donde x1
x2
Ejemplos
Las gráficas de las funciones f (x) x 2 y g(x) x 3 son:
Y
Y
X
X
La función f(x) x 2, es decreciente en el intervalo de (@, 0) y creciente en el intervalo (0, @), mientras que g(x) x 3
es creciente para toda x de su dominio.
EJERCICIO 7
Con las funciones conocidas determina el intervalo donde crecen o decrecen:
1. f(x) 2. f(x) 6. f (x) x 3
x
x4
7. f (x) 9 x 2
3. f(x) x
8. f(x) U x 3U 2
4. f (x) Ux U
9. f (x) 5. f(x) x2
9 x2
10. f (x) 6
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva
Función inyectiva (uno a uno)
Si x1, x2 0 Df y x1 : x2, f es una función inyectiva si y solo si f (x1) : f (x2), o dicho de otra forma, f (x1) : f (x2) si
y solo si x1 : x2.
Se determina si la función es inyectiva al trazar una recta paralela al eje X sobre la gráfica y si toca un solo punto es inyectiva. También se puede decir que una función inyectiva es aquella que siempre es creciente o siempre
decreciente.
1140
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina si la función f (x) x 3 1, es inyectiva.
Solución
Sean x1 : x2, se tiene que (x1)3 1 : (x2)3 1, ya que no hay números distintos cuyos cubos sean iguales, con este
resultado podemos afirmar que la función es inyectiva; por otro lado, si se observa que la gráfica es creciente, por
tanto, es inyectiva. Otra forma de saber si la función es inyectiva es trazar cualquier recta paralela al eje X, y ésta
debe tocar un solo punto de la gráfica.
Y
f(x) = x3 + 1
X
2
Determina si la función f (x) 2x x 2 es inyectiva.
Solución
No es inyectiva, ya que para x1 1 y x2 3 se obtiene que f (x1) f(x2) 3, lo que contradice la definición.
Luego, si se traza una recta paralela al eje X, se observa que ésta toca dos puntos de la gráfica; por otro lado, no es una
función que sea creciente ni decreciente siempre.
Y
X
f(x) = 2x – x2
1141
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Función suprayectiva
Una función f : A 3 B es suprayectiva o sobreyectiva si para cada b 0 B existe a 0 A tal que f(a) b; es decir, para
todo elemento de B siempre hay uno de A al cual fue asignado.
Otra forma de reconocer una función suprayectiva es si su contradominio es igual a su rango. Al menos que se
indique lo contrario el contradominio de las funciones dadas serán los números reales.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina si la función f (x) x 2 1 es suprayectiva.
Solución
El contradominio de la función es el intervalo (@, @) y su rango el intervalo [1, @), por tanto, la función no es
suprayectiva.
Y
f(x) = x2 – 1
X
2
Determina si la función f (x) x 3 1 es suprayectiva
Solución
El contradominio de la función es el intervalo (@, @) y su rango el intervalo (@, @), por tanto, la función es
suprayectiva.
Y
f(x) = x3 + 1
X
1142
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Función biyectiva
Una función “f ” es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina si la función f (x) 3x 1 es biyectiva.
Solución
Es una función siempre creciente, por tanto, es inyectiva. El contradominio de la función es (@, @) y su rango (@, @)
entonces es suprayectiva.
La función es inyectiva y suprayectiva, por tanto, es biyectiva.
Y
X
2
Determina si la función f (x) 1 x es biyectiva.
Solución
Gráfica
Y
f(x) = 1 − x
X
Si al trazar una recta paralela al eje X interseca a la curva en un punto es inyectiva; no es suprayectiva, ya que su contradominio son los reales y su rango es el intervalo [0, @). Es inyectiva pero no suprayectiva, entonces no es biyectiva.
3
Determina si la función f : (@, 1] 3 [0, @), tal que f(x) 1 x es biyectiva.
Solución
La gráfica es la misma de la función del ejemplo anterior, por tanto, la función es inyectiva.
En este caso se especifica el contradominio como el intervalo [0, @) el cual es igual al rango, entonces, es suprayectiva.
Es inyectiva y suprayectiva, por consiguiente, es biyectiva.
1143
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
4
SIMPLIFICADAS
Determina si la función f: (@, 0] 3 [0, @), tal que f(x) x 2 es biyectiva.
Solución
De la gráfica se observa que la función es inyectiva, ya que la recta horizontal sólo toca un punto.
Por otro lado, el contradominio es el intervalo [0, @) el cual es igual al rango, por tanto, es suprayectiva.
Por último, es inyectiva y suprayectiva, por consiguiente, es biyectiva.
EJERCICIO 8
Indica cuál de las siguientes funciones es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
1. f(x) x
6. f(x) x 2 7x 10
2. f (x) 3
7. f(x) 2x 3
3. f (x) x2
8. f (x) 4. f(x) x 3
9. f : R 3 [1, @), tal que f(x) x 2 1
5. f(x) x 2, x 0 [0, @)
10. f : [0, @) 3 [0, @), tal que f (x) U xU
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Operaciones con funciones
Sean f y g dos funciones con dominios Df y Dg respectivamente
Ú f(x) g(x) ( f g)(x), con dominio: Df Y Dg
Ú f (x) g (x) ( f g)(x), con dominio: Df Y Dg
Ú f (x) g(x) ( f g)(x), con dominio: Df Y Dg
Ú
x3
¤ f³
f (x)
¥ ´ (x), con dominio: {x 0 Df Y Dg U g(x) : 0}
¦ gµ
g( x )
1144
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Sean las funciones f (x) x 2 7x 10, y g(x) x 5
Determina
a) f (x) g(x)
b) f(x) g(x)
c) f(x) g(x)
f (x)
d)
g( x )
Solución
Se obtienen los dominios de f y g para efectuar las operaciones.
Df : (@, @), Dg : (@, @)
a) f (x) g (x) (x 2 7x 10) (x 5)
x 2 6x 5, con Df Y Dg (@, @)
b) f(x) g(x) (x 2 7x 10) (x 5)
x 2 8x 15, con Df Y Dg (@, @)
c) f (x) g(x) (x 2 7x 10)(x 5)
x 3 7x 2 10x 5x 2 35x 50
x 3 12x 2 45x 50, con Df Y Dg (@, @)
d)
2
f (x)
x 2 7 x 10 ( x 5 )( x 2 )
x 2 con, {x 0 Df Y Dg U x : 5}
g( x )
x5
x5
Sean las funciones f (x) 9 x 2 y g(x) x determina: f(x) g (x), f(x) g (x), f(x) g (x) y
f (x)
g( x )
Solución
Se obtienen los dominios de las funciones: Df : [3, 3], Dg : (@, @) y se realizan las operaciones.
f(x) g(x) 9 x 2 x, con dominio: Df Y Dg [3, 3] Y (@, @) [3, 3]
f (x) g (x) 9 x 2 x, con dominio: Df Y Dg [3, 3] Y (@, @) [3, 3]
f (x) g(x) f (x)
g( x )
3
9 x 2 x x 9 x 2 , con dominio: Df Y Dg [3, 3] Y (@, @) [3, 3]
9 x2
, con dominio: {x 0 [3, 3]Ux : 0} o bien x 0 [3, 0) Y (0, 3]
x
Sean f {(2, 3), (3, 1), (4, 5), (5, 9)} y g {(1, 2), (2, 5), (3, 8), (7, 10)}, determina f g
Solución
Los dominios son Df {2, 3, 4, 5} y Dg {1, 2, 3, 7}, entonces Df
tuyen los valores del dominio de la suma.
g
f(2) g (2) 3 5 8
f (3) g (3) 1 8 7
Por tanto, f (x) g(x) {(2, 8), (3, 7)}
1145
{2, 3}, para calcular f(x) g(x) se susti-
1
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 9
Para las siguientes funciones determina:
f(x) g(x), f(x) g(x), f(x) g(x) y
f (x)
g( x )
1. f(x) 5, g(x) 2
2. f (x) 2x 5, g(x) 2x 5
3. f(x) x 2 4x 5, g(x) x 2 3x 2
4. f(x) 5. f (x) 2 x 1
x2
, g(x) 2
3
x 3 , g(x) 6. f(x) x x , g(x) x4
x
7. f (x) sen2 x, g(x) cos2 x
8. f {(1, 2), (0, 3), (1, 4), (3, 6), (5, 7)}, g {(3, 6), (2, 8), (1, 10), (2, 12), (3, 14), (5, 16), (6, 18)}
9. f {(2, 5), (1, 3), (0, 1), (1, 1), (2, 3)}, g {(5, 8), (4, 7), (3, 6), (2, 5), (1, 4), (0, 3)}
1³
ª¤
¤ 1³ ¤ 1³ ¹
10. f «¥ 2, ´ , (1, 1), (1, 1), ¥ 2, ´ , ¥ 3, ´ º , g ¦ 2 µ ¦ 3µ »
¦
µ
2
¬
ª
¤ 1³ ¹
«(1, 2 ), (1, 0 ), ¥¦ 2, ´µ º
2 »
¬
Dadas las funciones:
f(x) x 3, g(x) x 2 5x 6, r (x) x 2, s (x) x 2 3x 10
Determina:
11. f (x) r(x)
16. g (x) s (x)
12. f(x) s(x)
17. f (x) r (x)
13. g (x) s (x)
18.
f (x)
r( x)
14.
g( x )
r( x)
19.
g( x )
s( x )
15.
s( x )
r( x)
20.
g( x ) s ( x )
f ( x) r( x)
Dadas las funciones:
f(x) x 1
1
1 x
, g(x) y h (x) , determina:
x2
x
3 x
21. f (x) g(x)
24. f (x) h (x)
f (x)
g( x )
25. g (x) h (x)
22.
23. f(x) g (x)
26.
1146
f (x)
h (x)
g( x )
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
27.
h( x )
g(x)
f (x)
32. f (x) h (x) g (x)
28.
h(2 ) f (1)
g( 3)
33.
f ( x ) h( x )
g( x )
34.
1
g( x ) h( x )
35.
1
1 h( x )
29. f(x 1) 1
h( x 1)
30. h(x) g(x)
31.
Relaciones y funciones
1
h( x ) g( x )
g( x ) f ( x )
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Función composición (Función de funciones)
Sean f y g funciones cualesquiera que definen una nueva función, la cual recibe el nombre de función composición
de f con g y se denota con:
( f g)(x) f( g(x))
y es la función cuyo dominio son los elementos del dominio de g, tal que g(x) pertenece al dominio de f ; es decir,
Df g: {x U x 0 Dg y g(x) 0 Df }
f o g
g
A
f
B
1147
C
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Si f {(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)} y g {(3, 1), (1, 3), (5, 5), (9, 2)}, determina f g.
Solución
Se determinan los pares ordenados de la función g, de tal manera que el segundo término sea el primer término de los
pares ordenados de la función f. Los primeros términos, de cada par ordenado encontrado, forman el dominio de la
función composición.
Los pares ordenados de g que cumplen con la condición son:
(3, 1), (1, 3), (5, 5)
Por tanto, el dominio de la función composición es:
Dfog : {5, 1, 3}
El dominio se evalúa de la siguiente manera:
Por definición f g f ( g (x)), entonces el conjunto solución son todas las parejas ordenadas de la forma:
(x, f ( g(x)))
f( g(5)) f (5) 6
f (g(1)) f(3) 4
f (g (3)) f (1) 2
Finalmente el conjunto es:
f
2
Determina f
f
g; g
f; f
f ; g g, para f(x) x 3, g(x) x
.
x 1
¤ x ³
x
x 3( x 1)
4x 3
g f (g(x)) f ¥
3
x 1
x 1
x 1
¦ x 1 µ´
g f g( f (x)) g(x 3) f
g {(5, 6), (1, 4), (3, 2)}
x3
x3
( x 3) 1
x2
f f ( f (x)) f (x 3) (x 3) 3 x 6
¤ x ³
g g g(g (x)) g ¥
¦ x 1 ´µ
Para determinar f
x
x
x ( x 1)
x 1
x 1
x ( x 1) x
x
1
( x 1)
1
x 1
x 1
g h se aplica primero h, después g y, por último, f
1148
CAPÍTULO
CÁLCULO
3
Si f (x) x 2, g(x) 2x 1 y h(x) x 4, determina f
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
g h.
Solución
g h)(x) f (g(h(x))) f(g(x 4)) f(2(x 4) 1) f (2x 8 1) f(2x 9)
(f
(2x 9)2 4x 2 36x 81
4
( x 4 )2 5 , determina f, g y h tal que F f
Si F(x) g h
Solución
F(x) ( x 4 )2 5 , la función dice suma 4, eleva al cuadrado, resta 5 y obtén la raíz.
Entonces se tiene que:
h(x) x 4
g(x) x 2 5
f(x) g h)(x) f (g(h(x))) f(g(x 4)) f((x 4)2 5) De tal forma que ( f
x
( x 4 )2 5
EJERCICIO 10
Determina f
g, g f , f
1. f(x) 3x 2
2. f(x) x
3. f(x) 4
4. f(x) f y g g para las siguientes funciones:
5x 2
g(x) x 2
y
g(x) 2
y
x2 5
y
5. f(x) x 2 2x 1
6. f(x) x 1
x3
y
7. f(x) log(x 2)
8. f (x) y g(x) 2x 3
x2 1
x2 1
g(x) y
x2 5
g(x) g(x) x 1
1
x
y g(x) x 2
y
g(x) x 1
x 1
9. f(x) {(2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)}
10. f (x) {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}
y g(x) {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
y g(x) {(2, 1), (1, 2), (0, 3), (1, 4)}
11. f(x) {(0, 1), (1, 3), (1, 1), (2, 3)}
Encuentra f de manera que ( f
12. g(x) 3 x
1 x
y
F(x) g)(x) F(x)
1 x
3 x
x 1
13. g(x) x 1
y F(x) 14. g(x) x 3
F(x) mx 3 b
y
y g(x) {(3, 0), (2, 2), (1, 1)}
1149
1
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
15. g(x) x2 1
y
y
F(x) 1
x
16. g(x) Determina f
17. f (x) F(x) x 2 1
1 2x
x
g h
x 2,
g(x) 3x
h(x) 3x 1
y
18. f(x) x 3, g(x) 1 x
19. f(x) x , g(x) 2x 5
20. f (x) x 2, g(x) sen x
21. f (x) y
1
1
, g(x) 2
x
x
h(x) 4x 2
y h(x) x 2
y
h(x) x 2
y
h(x) cos x
22. f (x) log x, g(x) 10 x y
h(x) sen x
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Funciones par e impar
Ú Se dice que una función f es par si: f(x) f(x).
Ú Se dice que una función f es impar si: f (x) f(x)
Ejemplos
EJEMPLOS
1
f(x) x 2 4 es función par, ya que
f(x) (x)2 4 x 2 4 f(x).
2
f(x) 3x 3 4x es función impar ya que:
f(x) 3(x)3 4(x) 3x 3 4x (3x 3 4x) f (x)
3
f (x) x 3 x 2 5x 2 no es par ni impar, ya que:
f (x) (x)3 (x)2 5(x) 2 x 3 x 2 5x 2 (x 3 x 2 5x 2)
f(x) : f (x)
y f (x) : f (x)
Observaciones:
Si f y g son funciones pares y h y r funciones impares, entonces se cumple:
I. f g es par
II. f h es impar
III. h · r es par
1150
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
EJERCICIO 11
Indica si f es par, impar o ninguna.
1. f(x) x 2 x
9. f(x) (x 1)2 x 3
2. f(x) x 4 6x 2 8
10. f(x) x 3 2x
3. f (x) x 3
11. f (x) x 4 2x 2
4. f(x) x 2 2x 4
12. f (x) 5. f(x) (x 2)3
13. f (x) 3x 5 2x
6. f (x) x 1
x 1
7. f(x) x2 9
8. f(x) 9 x2
14. f(x) 15. f(x) x2 1
x2 1
x2 x4
x3 2x
x3
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Función inversa
Sea f una función inyectiva con dominio A y contradominio B; la función g que satisface f (g(x)) x, se llama función
inversa de f y se denota f 1(x) con dominio B y contradominio A.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina la función inversa de f (x) x 3 3.
Solución
f (x) x 3 3
Al emplear la definición
f( f 1(x)) x
( f 1(x))3 3 x
Y
( f 1(x))3 x 3
f 1(x) 3
x3
f (x) = x3 – 3
f –1(x) =
3
x+3
X
y=x
Observa que f 1(x) es un reflejo de f(x) sobre la función identidad y x.
Comprobación:
f( f 1(x)) f
3
x3 3
x3
3
3x33x
Otra forma de obtener la función inversa es resolver la ecuación para x dejándola en términos de y, se intercambia
x por f 1(x), y por x.
1151
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
2
SIMPLIFICADAS
Determina la función inversa de f (x) 3x 12
Solución
f(x) 3x 12 3 y 3x 12 3 y 12 3x 3
Se intercambia y por x, x por f 1(x): f 1(x) y
4x
3
x
4
3
Comprobación:
¤x
³
¤x
³
f ( f 1(x)) f ¥ 4 ´ 3 ¥ 4 ´ 12 x 12 12 x
µ
¦3
µ
¦3
3
Determina la función inversa de f (x) x 2
Solución
La función no es inyectiva, por tanto, no tiene inversa.
Propiedades
Si f es una función con inversa f 1, entonces
Ú
Ú
Ú
Ú
El dominio de f 1 es el rango de f y el rango de f 1 es el dominio de f.
( f f 1)(x) x, ( f 1 f )(x) x
f 1 es invertible y su inversa es f .
Si f es una función real entonces la gráfica de f 1 es el reflejo de f sobre la función y x
EJERCICIO 12
Determina la función inversa (si es posible) para las siguientes funciones:
9. f(x) (2x 5)2
1. f(x) x
4 x 2 , x 0 [0, 2]
2. f(x) 2x 5
10. f(x) 3. f (x) x 2 9, x 0 [0, @)
11. f (x) 3
4. f(x) x 2 3x 2
12. f (x) 1
2x 3
5. f(x) x 3
13. f (x) 6. f(x) x 5
14. f (x) 7. f(x) x 4, x 0 [0, @)
15. f (x) 8. f(x) 3 x
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1152
x9
x 2 1 , x 0 [1, @)
x 1
x 1
x
x 1
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Funciones trascendentes
Función exponencial
Es una función de la forma f (x) a x, con dominio Df : x 0 (@, @) y rango y 0 (0, @) (si a 1, entonces el rango
es {1}) y básicamente existen tres tipos:
Y
Y
Y
X
X
f(x) = ax, a > 1
X
f(x) = ax, 0 < a < 1
f(x) = 1x
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Obtén las gráficas de f (x) 2 x y g(x) 2 x :
Solución
Se hace una tabulación para cada gráfica y se obtiene:
x
3
2
1
0
1
2
3
f(x) 2 x
1
8
1
4
1
2
1
2
4
8
x
3
2
1
0
1
2
3
g(x) 2x
8
4
2
1
1
2
1
4
1
8
Y
Y
f(x) = 2 x
X
g(x) = 2 –x
Una de las funciones exponenciales más comunes es: f(x) e x, con e 2.71828
Y
X
1153
X
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
2
SIMPLIFICADAS
Obtén las gráficas de y e x, y e x 2, y 2 x
e , y e x, y e x
3
Solución
Mediante reflexiones, desplazamientos y alargamientos de una función se obtienen las siguientes gráficas:
Y
Y
Y
X
X
X
y = e–x
y = ex + 2
y=
2 x
e
3
Y
Y
X
X
y = – ex
y = – e– x
La función exponencial f(x) a x es inyectiva (ya que es creciente), por tanto, debe tener inversa, la cual es el
logaritmo con base a. Un logaritmo se define como el exponente al que se eleva un número llamado base, para obtener
cierto número, de tal forma que aplicado a la función exponencial queda:
y a x entonces loga y x, y 0, por tanto f 1(x) loga x
De lo anterior, se define la función logarítmica como:
g(x) loga x
Dominio: x 0 (0, @), Rango: x 0 (@, @)
Gráfica:
Y
(1,0)
X
1154
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Pasa por el punto (1, 0), porque loga 1 0 ya que a0 1, es creciente y tiene una asíntota vertical en x 0
Por ejemplo, las gráficas de las funciones: f(x) log3 x y g(x) log x son:
Y
f(x) = log3 x
g(x) = log x
X
Por otro lado ln x loge x, por tanto, si f(x) e x entonces f 1(x) ln x
Y
f(x) = e
x
y=x
–1
f (x) = ln x
X
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina la gráfica de y log(2x 5).
Solución
Se determina el dominio; recuerda que logb N a, entonces N 0:
2x 5 0 3 x Se traza una asíntota en x 5
¤5 ³
3 x 0 ¥ , @´
¦2 µ
2
5
y se desplaza la gráfica y log10 x
2
Y
X
1155
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
2
SIMPLIFICADAS
Determina la gráfica de y log(x 3) 2.
Solución
Se desplaza la gráfica de y log x dos unidades hacia arriba y tres a la izquierda
Y
X
Funciones trigonométricas
Para la gráfica de las siguientes funciones trigonométricas se utilizarán por convención valores en radianes para x.
Y
Y
y = sen x
y = cos x
π
−π
2π
X
−
π
2
3π
X
2
Dominio: x ∈ (− ∞ , ∞ )
Rango: y ∈ [−1,1]
Dominio: x ∈ (− ∞ , ∞ )
Rango: y ∈ [−1,1]
Y
Y
y = cot x
y = tan x
−π
π
2
0
π
− 2π
X
(2n − 1)π , n ∈ Z ⎫
⎧
Dominio: ⎨ x ∈ R x ≠
⎬
2
⎩
⎭
Rango: y ∈ (−∞ , ∞ )
1156
π
2π
X
Dominio: {x ∈ R x ≠ nπ, n ∈ Z }
Rango: y ∈ (−∞, ∞ )
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Las relaciones y csc x, y sec x
Y
Y
y = csc x
−
3π
2
π
2
2π
y = sec x
−π
X
Dominio: {x ∈ R x ≠ nπ, n ∈ Z }
π
2π
X
1
⎧
⎫
Dominio: ⎨ x ∈ R x ≠ nπ, n ∈ Z ⎬
2
⎩
⎭
Rango: y ∈ (− ∞ , − 1] ∪ [1, ∞ )
Rango: y ∈ (− ∞ , − 1]∪ [1, ∞ )
Ejemplo
Determina la gráfica de y 2 sen x 2
Solución
La función f (x) sen x se alarga 2 unidades verticalmente y se desplaza dos unidades hacia arriba, obteniendo la
siguiente gráfica:
Y
−
π
π
2
2
3π
2
X
EJERCICIO 13
Obtén la gráfica de cada una de las siguientes funciones:
1. f(x) 3 x
8. f (x) 1 log x
2. y 3x
9. f (x) 2 ln(x 1)
3. y 3 x 3
10. f (x) 3 cos x 2
4. f(x) e x 1
11. f(x) 2 sen x 1
5. f (x) 1 e x
12. f(x) tan x
6. f (x) e x 2
13. f(x) 2 sec x 1
7. f (x) ln(x 2)
P³
¤
14. f(x) sen ¥ x ´
¦
2µ
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1157
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Las funciones como modelos matemáticos
Como se afirmó al principio del capítulo, las funciones representan modelos para resolver problemas de la vida real.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
La altura de un recipiente cilíndrico es el doble que el radio de su base, expresa el volumen del cilindro en función
de su altura.
Solución
El volumen de un cilindro es:
V Pr 2h
Puesto que la altura es el doble del radio de la base, entonces:
h 2r 3 r h
2
h
en el volumen se obtiene:
2
2
h2
¤ h³
hP
V Pr 2h P ¥ ´
¦ 2µ
4
h = 2r
Al sustituir r h
Ph 3
4
Por consiguiente
r
V(h) 2
Ph
4
3
El perímetro de un rectángulo es de 26 unidades, expresa el área del rectángulo en función de su largo.
Solución
Se establecen las dimensiones del rectángulo:
x: largo, y: ancho
El perímetro es
2x 2y 26 3 x y 13
x
y 13 x
El área del rectángulo es
A xy
y
y
Al sustituir y 13 x, se obtiene:
A x (13 x) 13x x 2
x
Por consiguiente,
A(x) 13x x 2
1158
CAPÍTULO
CÁLCULO
3
DIFERENCIAL U
Relaciones y funciones
1
Una persona tiene una pared de piedra en un costado de un terreno. Dispone de 1 600 m de material para cercar y
desea hacer un corral rectangular utilizando el muro como uno de sus lados. Expresa el área del corral en términos
del ancho de éste.
Solución
Sean x y y las dimensiones del corral donde,
x: ancho del corral, y: largo del corral
Entonces,
2x y 1 600 3 y 1 600 2x
el área del rectángulo está dada por:
A xy
x
Al sustituir y 1 600 2x, se obtiene:
y
A(x) x (1 600 2x) 1 600x 2x 2
4
m
, a 30 m del punto del despegue se encuentra
s
una casa. Si t es el tiempo en segundos, expresa la distancia que existe entre la casa y el globo en función del tiempo.
Un globo asciende desde un punto con velocidad constante de 1.5
Solución
d
Sea v , entonces d vt, donde, d es la distancia, v la velocidad, t el tiempo.
t
Al transcurrir t segundos el globo sube 1.5 t en metros; entonces se aplica el teorema de Pitágoras para obtener:
2
¤3 ³
d 2 (1.5 t )2 (30)2 3 d 2 ¥ t ´ (30)2
¦2 µ
d2 9 2
t 900
4
9t 2 3 600
4
d
d
3 2
t 400
2
Por tanto:
d(t) 3 2
t 400
2
d
1.5t
30 m
1159
1
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 14
1. El área de la base de un cilindro es de 40 P m2. Expresa el volumen en función de la altura.
2. Fluye agua por un tanque cónico de 10 m de radio y 25 m de altura. Cuando el nivel del agua está a una altura
de h y radio r, expresa el volumen del agua en función de la altura.
3. Si el ancho de un rectángulo es la quinta parte de su largo, determina el perímetro en función de su área.
4. Dada una circunferencia de radio r, precisa el área de la circunferencia en función de su diámetro d.
5. Se inscribe un cubo de arista x en una esfera de radio r. Expresa el volumen de la esfera en función de la arista
del cubo.
6. Al graficar la recta, cuya ecuación es 3x 2y 6 0, y trazar una línea vertical paralela al eje Y en cualquier punto sobre el eje X se genera un triángulo rectángulo. Expresa el área de dicho triángulo en función de
la abscisa x.
7. Se desea construir un tanque de gas en forma de cilindro circular recto de 2.5 m de altura y a cada extremo del
cilindro van unidas dos semiesferas de radio r. Expresa el volumen del tanque en función de r.
8. Se inscribe un triángulo equilátero de lado x en una circunferencia de radio r. Expresa el área de la circunferencia
en función del lado x.
9. Se inscribe un rectángulo en una elipse cuya ecuación es 9x 2 16y 2 144 0. Precisa el área del rectángulo
en función de la abscisa x.
10. Un cartel de base x y altura y tiene un área de 540 cm2 con márgenes de 2 cm a los lados y 1.5 cm en las partes
superior e inferior. Expresa el área impresa en función de la base del cartel.
11. Desde cierto puente de la Ciudad de México un peatón observa un automóvil que viaja a 18 m/s en una avenida
perpendicular al puente peatonal. Si t es el tiempo en segundos, determina la distancia entre el peatón y el automóvil
en función del tiempo, si la altura del puente es de 4.5 m.
12. Una lancha es remolcada con un cable hacia un muelle. El cable es enrollado a razón de 0.5 m/s y la lancha se
encuentra a 2 m por debajo del nivel del muelle. Si t es el tiempo en segundos, expresa la distancia que le falta
recorrer a la lancha hacia el muelle en función del tiempo.
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1160
sim
p
l
i
fic
a
UM
mp
li fi
ca
Ma
te
Ma
te
s simplificad
as U
s simplificad
as U
ca
emáti
M at
s
da
U
imp
imp
U Matemáti
adas
cas
lific
sim
pli
fi
ca
U
ss
ica
át
s
da
E
l número e llega por primera vez a las
matemáticas de forma muy discreta.
Sucedió en 1618 cuando, en un apéndice al trabajo de Napier sobre logaritmos,
apareció una tabla dando el logaritmo natural de varios números.
ss
ica
át
U Matemáti
adas
ca
s
lific
sim
pli
fi
ca
Briggs dio una aproximación numérica al
logaritmo base diez de e sin mencionar a
e específicamente en su trabajo.
atem
ca
emáti
M at
U Matemáti
c as
El número e
Ma
tem
Reseña
s
cada
s simplificada
sU
ticas simplificada
s
temá
U
Ma
tem
tica
temá
áticas simplificadas
sim
plifi
Ma
Ma
HISTÓRICA
as
tic
sim
das U Matemátic
as
lifica
sim
pli
fic
a
U
Matem
ática
das U
a
c
fi
s si
pli
2
LÍMITES
sim
pli
fic
a
U
imp
CAPÍTULO
s
da
m
ss
ca
á ti
Ma
tem
s
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m
im
ss
ca
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s U Matemáti
cada
cas
plifi
as U
s
da
U
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simplificad
s
ica
át
d
ticas
temá
a
M
UM
a
t
e
má
En 1647 Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular,
pero no encontró la conexión con los logaritmos, en 1661 Huygens comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo. Examinó
explícitamente la relación entre el área bajo la hipérbola rectangular
yx 1 y el logaritmo.
La notación e aparece por primera vez en una carta que le escribió Euler
a Goldbach en 1731. Euler hizo varios descubrimientos respecto a e en
los años siguientes pero no fue sino hasta 1748 cuando Euler dio un tratamiento completo a las ideas alrededor de e.
Demostró que:
e1
1
1
1
1
1
… lím ¤¥1 ³´
xl@ ¦
nµ
1!
2!
3!
4!
n
Euler dio una aproximación de e con 18 decimales,
e 2.718281828459045235
Leonhard Euler
(1707-1783)
CAPÍTULO
2
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Definición intuitiva de límite
Si al aproximar x lo suficientemente cerca de un número a (sin ser a) tanto del lado izquierdo como del derecho, f (x)
se aproxima a un número L, entonces el límite cuando x tiende al número a es L. Esto lo escribimos:
lím f (x) L
xl a
Donde la notación x 3 a se lee “x tiende a a”, para decir que: “tiende a a por la izquierda” se utiliza x 3 a, para
decir que: “x tiende a a por la derecha” utilizamos x 3 a, de tal forma que:
Si lím f(x) lím f (x) L entonces lím f (x) L
xl a
xl a
xl a
Es decir, si los límites laterales existen y tienden a un mismo número L entonces el límite cuando tiende al número
a es L. Para que el límite exista no se necesita que la función esté definida para el número a, basta que esté definida
para valores muy cercanos.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina el límite cuando x tiende a 3 de la función f(x) x2 9
x3
Solución
La función no está definida para x 3, sin embargo, podemos evaluar la función en valores muy cercanos por la
izquierda y por la derecha. Por otro lado graficaremos la función utilizando la simplificación:
f (x) ( x 3)( x 3)
x3
x3
es decir, graficamos la recta f (x) x 3 con la restricción x : 3 donde se formará un hueco.
x
f (x)
2.9
5.9
2.99
5.99
2.999
5.999
2.9999
5.9999
3.0001
6.0001
3.001
6.001
3.01
6.01
3.1
6.1
2
Se observa que para valores de x muy cercanos a 3 por la izquierda (2.9, 2.99, 2.999, 2.9999), f (x) tiende a 6,
lo mismo pasa para valores cercanos por la derecha (3.0001, 3.001, 3.01, 3.1), es decir:
lím f (x) 6
xl3
por tanto lím f (x) 6
xl3
1162
y
lím f (x) 6
xl3
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
2
2
[
3x 14 si x 2
Si f (x) x 2 si x 2 determina lím f (x)
xl2
Solución
Graficamos la función y evaluamos en valores muy cercanos a 2.
x
f (x)
2.1
7.7
2.01
7.97
2.001
7.997
1.999
3.999
1.99
3.99
1.9
3.9
2 2 2
Aquí tenemos que: lím f(x) 8
y
xl2
lím f (x) 4
xl2
entonces lím f (x) : lím f (x) por tanto lím f (x) no existe
xl2
3
xl2
xl2
Determina lím
Ul0
sen U
U
Solución
Evaluamos con valores muy cercanos a 0 por la izquierda y por la derecha. Observe que la función no está definida
en U 0 y que los valores serán tomados como radianes.
U
f (U)
0.005
0.999995833
0.004
0.99999733
0.003
0.9999985
0.001
0.999999833
0.001
0.999999833
0.003
0.9999985
0.004
0.99999733
0.005
0.999995833
Tenemos: lím
Ul0
entonces lím
Ul 0
sen U
1
U
y
2
lím
Ul0
sen U
1
U
sen U
sen U
sen U
lím
1 por tanto lím
1
Ul0
Ul 0
U
U
U
1163
CAPÍTULO
2
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
4
Para la función f (x) mostrada en la figura determina: a) lím f (x) y b) lím f (x)
xl1
xl3
Solución
a) Calculamos los límites por la izquierda y derecha
lím f (x) 4 y lím f (x) 4
xl1
xl1
los límites laterales son iguales por tanto lím f (x) 4
xl1
b) lím f (x) 4 y lím f (x) 3
xl3
xl3
los límites laterales son diferentes, por tanto lím f (x) no existe
xl3
1164
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
EJERCICIO 15
Utilizando una tabla con valores muy cercanos al valor que tiende el límite, calcula:
1. lím ( x 2 3x 1)
x l2
2. lím
x3
x2 9
3. lím
x2 5x 6
x2
4. lím
1 cos x
x
5. lím
tan x
sen x
x l3
xl2
x l0
x l0
La gráfica de una función f (x) es la siguiente:
22 222
2
2
De acuerdo con ella determina:
6. lím f ( x )
xl5
7. lím f ( x )
xl3
8. lím f ( x )
xl1
9. lím f ( x )
x l2
10. lím f ( x )
x l4
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1165
2
CAPÍTULO
2
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Definición formal de límite
A continuación se presenta la definición formal de límite, la cual también es conocida como definición E-D
(epsilón-delta).
El lím f (x) L, si para todo E 0 existe un D 0, tal que:
xl a
Si 0
Ux aU
D, entonces U f (x) L U
Dicho de otra forma, lím f (x) L, si para cualquier número
xl a
positivo elegido E, por pequeño que sea, existe un número positivo
D tal que, siempre que 0 U x a U D entonces U f(x) L U E
E
Y
y = f (x)
L+E
E
L E
L–E
D
D
a–D x=a a+D
X
La definición nos dice que para lím f (x) L existe un número D 0 lo suficientemente pequeño para un número
xl a
E 0 dado, tal que todo x en el intervalo (a D, a D) con excepción posiblemente del mismo a, tendrá su imagen
f(x) en el intervalo (L E, L E). Observa que para un D1 D para el mismo E, la imagen de un valor x en el intervalo
(a D1, a D1) estará dentro del intervalo (L E, L E) lo cual sólo cambia si tomamos un valor de epsilón distinto.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Demuestra que lím (2x 1) 5
xl3
Solución
Para un E 0, se quiere encontrar un D 0 tal que siempre que 0
U(2x 1) 5U
Ux 3U
D entonces:
E
de donde
U(2x 1) 5U U2x 6U U2(x 3)U U2U Ux 3U 2Ux 3U
entonces Ux 3U
E
E
, por lo que basta escoger D para que 0
2
2
Comprobación
Para 0
U x 3U
E
tenemos que
2
Ux 3U
E
2
2Ux 3U
E
U2(x 3)U
U2x 6U
U(2x 1) 5U
1166
E
E
E
U x aU
E
2
E
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
2
Demuestra que xlím
l1
x2 5x 6
7
x 1
Solución
Ux (1)U
Si 0
D entonces
x2 5x 6
(7 )
x 1
E
de donde
x2 5x 6
x2 5x 6 7x 7
x2 2 x 1
7 x 1
x 1
x 1
( x 1)2
Ux 1U Ux (1)U
x 1
por tanto se escoge D E
3
Si lím (2 3x) 1 y E 0.06, determina el valor de D.
xl1
Solución
Se aplica la definición y se obtiene:
Si 0 Ux 1U < D, entonces U(2 3x) (1)U
E, donde U3 3xU
U3U U1 xU
U1 xU
Pero U1 xU Ux 1U, por tanto, Ux 1U
E
E
E
U3U
E
y el valor de D está determinado por:
3
D
E
0.06
0.02
3
3
EJERCICIO 16
Demuestra los siguientes límites:
1. lím ( 3x 4 ) 10
6. lím1 (2 x 1) 0
xl 2
xl
2
2. lím 2 x 5 3
7. lím (1 3x ) 7
3. lím (5 x ) 8
8. lím
¤3
³
4. lím ¥ x 1 ´ 1
xl0
¦4
µ
9. lím (2 a 3x ) 8 a
x l1
x l2
x l3
5. lím
x l1
x l7
x 2 49
14
x7
xl2 a
x2 5x 4
3
x 1
11
¤1
³
10. lím ¥ 3x ´ xl2
2
¦2
µ
1167
E
2
2
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Obtén el valor de D o E en los siguientes ejercicios:
11. Si lím ( 3x 2 ) 5 y E 0.03, encuentra el valor de D
xl1
12. Si lím2 (5 x 1) 1 y E 0.4, determina el valor de D
xl
5
13. Si lím (2 x 7 ) 7 y E 0.05, obtén el valor de D
xl0
14. Si lím1 ( 3 2 x ) 2 y E 0.8, ¿cuál es el valor de D?
xl
2
15. Si lím ( 3x 7 ) 1 y D 0.06, determina el valor de E
xl 2
16. Si lím (2 7 x ) 5 y D 0.0014, obtén el valor de E
x l1
17. Si lím1 (5 x 2 ) 3 y D 0.05, encuentra el valor de E
xl
5
18. Si lím4 (2 x 1) xl
3
11
y D 0.001, ¿cuál es el valor de E?
3
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Teoremas
Si f(x) y g(x) son funciones, c una constante y n número real, entonces:
1. lím c c
xl a
2. lím x a
xl a
3. lím c f (x) c lím f (x)
xl a
xl a
4. lím [ f (x) g(x)] lím f (x) lím g(x)
xl a
xl a
xl a
5. lím [ f (x) g(x)] lím f (x) lím g(x)
xl a
6. lím
xl a
xl a
xl a
lím f ( x )
f (x)
xl a
con lím g(x) : 0
xl a
g( x )
lím g( x )
xl a
7. lím [ f (x)]n § lím f ( x ) ¶
¨© xla
·¸
xl a
n
1168
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
2
Límites por evaluación
El límite se obtiene al aplicar los teoremas anteriores y evaluar el valor al cual tiende la variable en la función propuesta,
como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Utiliza los teoremas anteriores y comprueba que el lím ( x 2 3x 4 ) 6
xl2
Solución
Se aplican los respectivos teoremas, se evalúa el valor de x 2, y se demuestra que:
2
lím ( x 2 3x 4 ) = lím x 2 lím 3x lím 4 = lím x 3 lím x lím 4 (2)2 3(2) 4 6
xl2
2
Si f (x) xl 2
xl 2
xl 2
xl 2
xl 2
xl 2
3 2x
, determina el valor de lím1 f (x)
3 2x
xl
2
Solución
Se aplican los teoremas y se sustituye el valor de x para obtener el valor buscado:
¤ 1³
lím1 3 2 x
lím1 3 lím1 2 x
lím1 3 2 lím1 x
3 2¥ ´
xl
xl
xl
xl
xl
¦ 2µ
3 2x
3 1
2
1
2
2
2
2
2
lím1
1
lím1 3 2 x
lím1 3 lím1 2 x
lím1 3 2 lím1 x
3 1
4
2
¤ ³
xl 3 2 x
2
3 2¥ ´
xl
xl
xl
xl
xl
¦ 2µ
2
2
2
2
2
Estos teoremas nos permiten hacer una sustitución de la variable independiente por el valor al que tiende el límite.
3
Si f (x) 4
, encuentra el valor de lím f (x)
xl2
x2 4
Solución
Se sustituye el valor de la variable independiente y se obtiene el límite:
lím f (x) lím
xl 2
xl2
4
4
4
4
( 2 )2 4
44
0
x2 4
El límite no existe, ya que la división entre cero no está definida.
4
Obtén el lím
xl3
9 x2
2 x 1
Solución
Se sustituye x 3 y se realizan las operaciones:
lím
xl3
9 x2
9 ( 3)2
99 0
0
2 x 1
2( 3) 1
6 1
7
1169
2
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 17
Determina el valor de los siguientes límites:
1. lím ( 7 2 x )
12. lím
z l1
2. lím 4 x 2 2 x 6
13. lím
x l1
3. lím (6 3x )
14. lím1
x l2
xl3
xl4
zl
2
4z 3
2z 1
x2 3 4
x5
3z 1
2z 5
4. lím 8 t 3
x2 9
15. lím
x l3 3 x 1
5. lím 7 z 2 14 z 7
16. lím
yl1
2 y2 3
y 1
6. lím x 2 8 4 x 8
17. límP
sen x 1
2
t l2
z l2
xl4
xl
2
cos 2 x
2
¤3
³
7. lím (6 3x ) ¥ x1 ´
xl3
¦5
µ
18. límP
1³ ¤
1³
¤
8. lím1 ¥ x 2 ´ ¥ x ´
9µ ¦
3µ
xl ¦
19. lím
( x 1)2 x 2
x 1
4³
¤ 2 1 ³¤
9. lím ¥ ´ ¥ r 2 ´
rl4
rµ
¦ r 2 µ¦
20. lím
x2 h2
xh
21. límP
tan x
sen 2 x
xl
4
xl0
3
xlh
10. lím 4 y 2 2 y
yl2
xl
6
2
11. lím ( 3 y ) y 9
yl5
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Límites indeterminados
Son aquellos cuyo resultado es de la forma
0
.
0
Ejemplos
Se sustituye el valor de la variable independiente en cada caso y se realizan las respectivas operaciones, para obtener:
1.
( 3)2 9
9
x2 9
xl3 2 x
2( 3) 6
6
6
lím
2. lím
x l1
3. lím
yl0
4.
lím
x l2
x2
9
0
6
0
1 1
0
0
x 1
2
1 2 1
0
(1) 2(1) 1
2x 1
3(0 )2 5(0 )4
0
3y 2 5 y 4
2
4
2(0 )2 3(0 )4
0
2 y 3y
x2 5 3
x2
( 2 )2 5 3
22
9 3
0
0
0
1170
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
2
0
, por consiguiente es necesario eliminar la indeterminación.
0
Una indeterminación se elimina al factorizar o racionalizar (de ser posible) la función, para después simplificarla
y obtener el límite.
Casos de factorización:
Se observa que los resultados son de la forma
a) Factor común
ax n bx n
b) Diferencia de cuadrados
a 2 b 2 (a b )(a b )
c) Trinomio cuadrado perfecto
a 2 2 ab b 2 (a b )2
d) Trinomio de la forma
x 2 (a b ) x ab ( x a )( x b )
e) Suma o diferencia de cubos
a 3 b 3 (a b )(a 2 ab b 2 )
f ) Factorización de
g) Factorización de
h) Factorización de
3
3
5
a3b
3
a3b
3
a5 b
5
1
a3b
a3b
x n1 (ax b )
a b
2
1
1
a 3 a 3b 3 b
2
3
a b
2
1
1
a a 3b 3 b
3
2
3
a b
a5 b
4
3
1
2
2
1
3
a a b a 5b 5 a 5b 5 b
i) Factorización de
n
an b
n
5
5
5
4
5
a b
an b
a
n 1
n
a
n2
n
1
n
b a
n3
n
2
1
b n . . . a nb
n2
n
b
n 1
n
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Obtén el lím
x l0
3x 2 5 x 4
2x 6x4 7x8
2
Solución
Al sustituir x con 0 en la función, el límite se indetermina:
lím
x l0
0
3x 2 5 x 4
3(0 )2 5(0 )4
4
8
0
2x 6x 7x
2 ( 0 )2 6 ( 0 ) 4 7 ( 0 )8
2
Para eliminar la indeterminación se factorizan el numerador y el denominador con la aplicación del factor común:
x 2 (3 5 x 2 )
3x 2 5 x 4
2
4
8 x (2 6 x 2 7 x 6 )
2x 6x 7x
2
Al simplificar la expresión se obtiene:
3 5x2
2 6x2 7x6
Luego el límite es:
lím
x l0
3
3x 2 5 x 4
3 5x2
3 5 ( 0 )2
lím
4
8
2
6
x l0 2 6 x 7 x
2
2x 6x 7x
2 6 ( 0 )2 7 ( 0 )6
2
Por tanto,
lím
x l0
3x 2 5 x 4
3
2x 6x4 7x8
2
2
1171
CAPÍTULO
2
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
2
4 x2
xl2 x 2
Determina el lím
Solución
Se sustituye el valor de x 2 en la expresión:
4 (2 )2
44
0
4 x2
2 x2
2 2
2 2
0
lím
xl
Se factoriza el numerador con la aplicación de la diferencia de cuadrados:
4 x 2 (2 x )(2 x )
Se simplifica y sustituye para obtener,
lím
x l2
4 x2
(2 x )(2 x )
lím
lím (2 x ) 2 (2) 4
x l2
x l2
x2
x2
Por consiguiente:
4 x2
4
x l2 x 2
lím
3
Calcula el valor del lím
yl1
y2 2 y 1
y2 4 y 3
Solución
Al sustituir y 1 se verifica que existe la indeterminación:
lím
yl1
1 2 1
0
y2 2 y 1
(1)2 2(1) 1
2
1 4 3
0
y 4y 3
(1)2 4 (1) 3
Al factorizar el numerador (trinomio cuadrado perfecto) y el denominador (trinomio de la forma x 2 (a b)x ab),
se obtiene:
lím
yl1
1 1
0
y 1
y2 2 y 1
( y 1)2
lím
lím
0
2
y
l
1
y
l1
1
3
2
y
3
y 4y 3
( y 3)( y 1)
Finalmente, el resultado es:
lím
yl1
4
Determina el lím
x l2
y2 2 y 1
0
y2 4 y 3
x3 8
2 x 3x 2
2
Solución
Al sustituir x 2 se observa que existe la indeterminación:
lím
x l2
88
0
x3 8
(2 )3 8
862
0
2 x 3x 2
2(2 )2 3(2 ) 2
2
Se factoriza la diferencia de cubos y el trinomio de la forma ax 2 bx c.
x 3 8 ( x 2 )( x 2 2 x 4 ),
1172
2 x 2 3x 2 ( x 2 )(2 x 1)
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
2
Se simplifica, se sustituye y se obtiene el valor del límite:
( 2 )2 2 ( 2 ) 4
12
x2 2x 4
x3 8
( x 2 )( x 2 2 x 4 )
lím
lím
xl 2 2 x 3x 2
xl 2
xl 2
2(2 ) 1
5
2 x 1
( x 2 )(2 x 1)
lím
2
Por tanto:
lím
x l2
5
Calcula el valor del lím
x l2
12
x3 8
5
2 x 3x 2
2
x2 4
3 x 7
Solución
Se sustituye x 2 en la función:
lím
x l2
( 2 )2 4
44
0
x2 4
3 3
0
3 2 7
3 x 7
Se racionaliza el denominador de la función, multiplicando por 3 x 7 , que es el conjugado de la expresión
3 x 7 :
(x 2 4) 3 x 7
3 x 7
x2 4
2
3 x 7 3 x 7
( 3)2 x 7
(x2 4) 3 x 7
9 ( x 7)
(x2 4) 3 x 7
2x
Se factoriza x 2 4:
(x2 4) 3 x 7
2x
( x 2 )( x 2 ) 3 x 7
2x
(2 x )( x 2 ) 3 x 7
2x
Se simplifica la expresión,
(2 x )( x 2 ) 3 x 7
2x
( x 2 ) 3 x 7
Se calcula el valor del límite:
lím
x l2
x2 4
lím §©( x 2 ) 3 x 7 ¶¸ (2 2 ) 3 2 7 4 3 3 24
xl 2
3 x 7
Por consiguiente, el resultado es:
x2 4
24
x l2 3 x 7
lím
1173
CAPÍTULO
2
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
6
3
Determina lím
xl2
x 32
x2
3
Solución
lím
xl 2
x32
1
lím
xl 2 x 2
x2
lím
xl2
lím
xl2
3
Por tanto lím
xl2
3
x32
x2
1
x 2 x2 3 x 13 2 13 22 3
1
2
1
1
x 3 x 32 3 2
2
3
1
2
1
1
2 2 2 3 2
3
3
2
3
1
2
2
2 2 3 2
3
2
3
1
3 2
2
3
1
3 3 22
1
334
x 32
1
3
x2
3 4
EJERCICIO 18
Determina el valor de los siguientes límites:
1. lím
3x 2 x 2
5x 6x3
8. lím
yh
h2 y2
2. lím
2h 3 5h2 h
h4 h2
9. lím
x2 2x
4 x2
3. lím
4y 5 5y 3
y4 y2
10. lím
a2 w2
aw
4. lím
ax 2 bx 3
cx 2 dx 3
11. lím
z 2 5 z 14
z7
5. lím
5 x n 3x n1 4 x n2
2 x n 6 x n2
12. lím
x2 6x 9
x 2 7 x 12
6. lím
z 1
z2 1
13. lím
h 1
h 4h 3
7. lím2
9x2 4
3x 2
14. lím
x l0
hl0
yl 0
xl0
x l0
z l1
xl
3
ylh
x l2
wl a
z l7
x l3
h l1
x l5
1174
2
x 2 25
x 2 x 15
2
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
v2 6v 8
2v2 8v
15. lím
vl 4
33. lím
x l1
x3 2
1 3x 2
x2 9 5
2
x 8 x 15
x 2 7 x 12
16. lím
xl3
34. lím
x5 3
x l4
2
a w2 a2
4h 4h 3
2h 1
35. lím
3x 2
3x 2 11x 6
36. lím
yn p
y p
9w2 9w 4
3w 2 7 w 4
37. lím
4 2v v2 2
v
20. lím
2 y 2 15 y 18
3y 2 17 y 6
38. lím
x3 7x 6
x x2 4 x 4
21. lím
2 x 2 13x 15
x 2 x 20
39. lím
x 3 x2 x 1
x2 4 x 3
22. lím1
9 x2 1
6 x2 5 x 1
40. lím
x 4 2 x 3 11x 2 12 x 36
x3 2x2 x 2
23. lím
y 1
y3 1
41. lím
x3 x2 4 x 4
x 3 6 x 2 5 x 12
24. lím1
8h 3 1
1 2h
42. lím
y 3 6 y 2 12 y 8
y 4 4 y 3 16 y 16
27 x 3 8
9x2 4
43. lím
17. lím1
hl
2
18. lím2
xl
3
19. lím4
w l
3
yl6
x l5
x l
3
yl1
hl
2
25. lím2
xl
3
26. lím
w l2
27. lím1
xl
4
w l0
n
yl p
vl0
x l2
xl1
x l2
xl1
yl2
x l1
w2 5w 6
w3 8
xla
64 x 3 1
4 x3 x2
xl
y2
y 3 1
47. lím
30. lím
w
w3 3
48. lím
31. lím1
4 x2 3 2
2 x 1
49. lím
x5
x 5
50. lím
2
32. lím
x l5
3
9x2 4 2
3x 2
4
y3 8 2 y
y2
4
xh 4 x
3
29. lím
xl
x3a
x2 a2
45. lím2
46. lím
w l0
3x 5 2
x 1
3
44. lím
x3 2
x 1
yl2
3
3
28. lím
xl1
b w2 b2
yl2
xh x
h l0
x 7 3 4 x 19
x2
x l2
x l2
x l1
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1175
3
x6 2
3
x 1 1
5
2 x 3 1
x5 1
2
CAPÍTULO
2
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Límites cuando x tiende al infinito
Sea una función f definida en el intervalo (a, @). Si se tiene que:
lím f ( x ) L
x lc
entonces significa que los valores de f(x) se aproximan a L tanto como se quiera para una x lo suficientemente grande, sabemos que @ no es un número, sin embargo, se acostumbra decir “el límite de f(x), cuando x tiende al infinito,
es L ”.
Cuando en una función x 3 @, se busca la base de mayor exponente y ésta divide a cada uno de los términos de
la función, después, para obtener el valor del límite, se aplica el siguiente límite:
lím
xl @
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Encuentra el lím
x l@
c
0 , con c constante
xn
2 x 2 3x 4
6 x2 2 x 1
Solución
La base del término con mayor exponente es x 2, por consiguiente, todos los términos del numerador y del denominador
se dividen entre esta base:
2 x 2 3x
4
2 2
2
2 x 3x 4
x
lím 2
lím x 2 x
x l@ 6 x 2 x 1
x l@ 6 x
2x
1
x2
x2 x2
2
Se simplifica y aplica el teorema para obtener el límite,
3
4
3 4
2 2
lím 2 lím lím 2
200 2 1
xl @
xl @ x
xl @ x
x
x
lím
x l@
2
1
2 1
600 6 3
6 2
lím 6 lím lím 2
xl @
xl @ x
xl@ x
x x
Por consiguiente, lím
x l@
2
Determina el lím
xl@
1
2 x 2 3x 4
2
3
6 x 2 x 1
9 x 2 5
2 x 3
Solución
La base del término con mayor exponente es x, por tanto, se dividen los términos entre esta base y se simplifica la
expresión para obtener el valor del límite.
9x2 5
5
9x2 5
9 2
2
9x 5
x
x
x
lím
lím
lím
lím
x l@ 2 x 3
x l@
x l@
xl@
2x 3
3
3
2
2
x
x
x
2
90
9
3
20
2
2
1176
5
x2
3
lím 2 lím
xl @
xl @ x
lím 9 lím
xl @
xl @
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
3
Determina el resultado de lím
x l@
3x 2
x3 2
Solución
Se dividen todos los términos entre x 3, se simplifica y se obtiene el valor del límite.
3x 2
3
2
3
2
3
3
lím 2 lím 3
3
2
3x 2
00 0
xl @ x
xl @ x
x
x
x
x
0
lím 3
lím 3
lím
x l@ x 2
x l@ x
x l@
2
2
2
1 0 1
1 3
lím 1 lím 3
3
3
xl @
x
xl @ x
x
x
Finalmente:
lím
xl@
3x 2
0
x3 2
Si observamos la gráfica de la función exponencial f(x) e x, tenemos que cuando x 3 @, f(x) tiende a cero.
5 2
2
2
entonces lím f ( x ) lím e x 0
x lc
x lc
esto cumple también cuando tenemos la función g(x) a x para a 0, es decir
lím a x 0 para a 0
xlc
Por otro lado, si tenemos f (x) e x, tenemos que cuando x 3 @, f(x) se aproxima a cero.
5 2
2
2
2
x
entonces lím e 0
x lc
También se cumple lím ax 0 para a 0
x lc
1177
2
CAPÍTULO
2
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 19
Obtén los siguientes límites:
1. lím
x l@
7x 8
4x 3
h l@
2 y 2 3y 5
yl@ y 2 5 y 2
2. lím
3. lím
w l@
4. lím
hl@
11. lím
xl@
3w 2 5 w 2
5w 3 4 w2 1
4
x l@
3
6. lím
x l@
2
9. lím
( 3x 2 )( 3x 1)
(2 x 7 )( x 2 )
18 x 2 3x 2
2x2 5
14. lím
2 x 2 x
2 x 2 x
x3 2x2 3
2 x 1
15. lím
xl@
xl@
x2 5x 3
x 4 2 x2 1
xl@
16. lím
am x m ... a1 x a0
bn x n ... a1 x b0
17. lím
ax n bx m
con n m
cx n dx m
x l@
2 x1 3x2
x2 4
vl@ 3
x 4
13. lím
2
3y 4
y3
7. lím
yl@
5
9 y4 2 3
y
x l@
x
2
xl@
3
8. lím
11x 6
4 6x
12. lím
5h 2h 3
3h 3 2 h 2 h
5. lím
h2 4 h2 4
h
10. lím
x l@
v2 1
n
18. lím
3
x l@
v 3
ax n 1
x
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Asíntotas horizontales
Sea la función y f (x), si la curva tiene una asíntota horizontal en y c, entonces la ecuación de la asíntota es:
y lím f ( x ) o y lím f ( x )
x l@
x l@
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Encuentra la ecuación de la asíntota horizontal de f(x) 3x 1
2x 3
Solución
Al aplicar y lím f ( x ) , se obtiene:
x l@
3x 1
1
3
3x 1
x
x 3
y lím
lím
lím
x l@ 2 x 3
x l@ 2 x 3
x l@
3
2
2
x
x
Por tanto, la curva tiene una asíntota horizontal en y 1178
3
o 2y 3 0
2
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
2
Determina la ecuación de la asíntota horizontal de y x
x2 1
Solución
Se aplica y lím f (x), entonces la asíntota horizontal tiene por ecuación:
xl@
y lím
x l@
x
1
0
x
x2
x
lím
lím
0
x l@ x 2
x l@
1
1
1
x2 1
1
x2
x2 x2
El resultado y 0 indica que la asíntota horizontal es el eje X.
3
Obtén la ecuación de la asíntota horizontal de f(x) x2 1
x3
Solución
Se aplica la definición y lím f (x) y se obtiene:
xl@
1
x2 1
1 2
2
x 1
1
x
x
y lím
lím
lím
xlc x 3
xlc x 3
xlc 1
3
0
2
x2
x
x
2
El límite no existe ya que la división entre cero no está definida.
El resultado indica que la curva no tiene asíntotas horizontales.
EJERCICIO 20
Encuentra las ecuaciones de las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:
1. y 2x 3
4x 5
6. y ax b
cx d
2. f(x) 1
x
7. f (x) 3. f (x) x2 4
5
8. xy 2x 1 0
4. y 5. f (x) x2 3
x
2
x2
9. f (x) 2x 5
2 x 3 3x 2 3x 1
x3 1
10. f(x) Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1179
ax n a1 x n 1 ... an
bx n b1 x n 1 ... bn
2
CAPÍTULO
2
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Asíntotas oblicuas
Se le denomina asíntota oblicua a aquella recta cuyo ángulo de inclinación U es diferente de 0 y 90.
Caso I
Q( x )
donde el grado de Q (x) es un grado mayor que el grado
P( x )
de P(x) y P(x) no es factor de Q(x), entonces f (x) tiene una asíntota oblicua en la recta y ax b siendo
R( x )
f(x) ax b si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
P( x )
Sea una función racional de la forma f (x) lím ; f ( x ) (ax b )= 0 o lím ; f ( x ) (ax b )= 0
xl @
xl@
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina las ecuaciones de las asíntotas y traza la gráfica de la función f (x) x2 2
x 1
Solución
La función no tiene asíntotas horizontales, pero sí posee una asíntota vertical en x 1
El grado del numerador es un grado mayor que el grado del denominador y éste no es factor del numerador,
entonces:
3
f (x) x 1 x 1
Para obtener la asíntota oblicua se aplica cualquiera de las dos condiciones:
lím ; f ( x ) (ax b )= lím ; f ( x ) ( x 1)=
xl @
xl @
3
Pero f (x) (x 1) , por tanto:
x 1
3
3
¤ 3 ³
x
x
lím
lím
lím
xl@ ¥
xl@ x 1
xl@ x
1
¦ x 1 ´µ
x
x x
0
0
1 0
La función tiene una asíntota oblicua en la recta y x 1
Y
y = f (x)
x=–1
X
y=x–1
1180
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
2
Obtén las ecuaciones de las asíntotas y traza la gráfica de la función f (x) 2
x3 1
x2 1
Solución
La función carece de asíntotas verticales y horizontales, para obtener las asíntotas oblicuas la función se representa
de la siguiente forma:
1 x
f(x) x 2
x 1
Para comprobar que y x es la ecuación de la asíntota oblicua, se aplica la definición:
§ x3 1
¶
¤ 1 x ³
lím ; f ( x ) (ax b )= lím ; f ( x ) x = lím ¨ 2
x · lím ¥ 2
´
xl@
xl@
xl@ x 1
xl@ ¦ x 1 µ
©
¸
Se obtiene el límite:
¤
¥
¤ 1 x ³
lím ¥
´ xlím
¥
xl@ ¦ x 2 1 µ
l@
¥
¦
1
x ³
1³
¤ 1
2´
x2
x lím ¥ x 2
x´ 0 0 0
x2
1 ´´ xl@ ¥ 1 1 ´
1 0
¥¦
´
2
x2 µ
x2
x µ
Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua en y x
Y
y= x
X
y = f (x)
Q( x )
donde el grado de Q (x) es un grado
P( x )
mayor que el de P (x) y P (x) no es factor de Q (x), entonces f (x) tiene una asíntota oblicua en la recta y ax b,
cuyos valores de a y b están dados por:
Analicemos otro método; sea una función racional de la forma f (x) a lím
xlc
f (x)
y b lím ; f ( x ) ax =
xlc
x
1181
2
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Ejemplo
Obtén las ecuaciones de las asíntotas y traza la gráfica de f (x) x2 x 3
x
Solución
La función tiene una asíntota vertical en x 0 y no tiene asíntota horizontal, para obtener la ecuación de la asíntota
oblicua se aplican los límites anteriores:
¤ x2 x 3³
¥¦
´µ
¤ x2 x 3³
x
f (x)
1
3³
¤
a lím
lím
lím ¥
¥ 1 2 ´µ 1
´µ lím
xl @
xl @
xl @ ¦
xl @ ¦
x
x
x2
x
x
§ x2 x 3
¶
§ x2 x 3 x2 ¶
3³
¤
x · lím ¨
¥ 1 ´µ 1
· lím
x
l
@
x
x
x
©
¸
©
¸ xl @ ¦
b lím ; f ( x ) x = lím ¨
xl @
xl @
Se sustituyen a y b en la ecuación y ax b, por tanto, la asíntota es: y x 1
Gráfica
Y
y = x +1
y = f (x)
X
x=0
Caso II
Q( x )
donde el grado de Q (x) es mayor que uno y mayor al grado de P(x), la función tiene
P( x )
una asíntota oblicua no lineal.
Sea una función f(x) Ejemplo
Determina las ecuaciones de las asíntotas de la función f(x) x 4 1
x2
Solución
Esta función tiene una asíntota vertical en x 0
Se realiza el cociente y el resultado es:
f (x) x2 1
x2
Entonces:
¤ 1³
lím ¥ 2 ´ 0
xl @ ¦ x µ
1182
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
2
Por consiguiente, la función tiene una asíntota cuya ecuación es y x 2
Y
y = f(x)
y = x2
X
x=0
EJERCICIO 21
De las siguientes funciones determina las ecuaciones de las asíntotas y traza sus gráficas:
1. f ( x ) x2 x 1
x2
4.
f (x) x2 2
x2
7.
f (x) 2. f ( x ) 1 x2
x3
5.
f (x) x4
x3 1
8.
f (x) 4 x2 4 x 5
2x 1
6.
x5
x 1
9.
3. f ( x ) f (x) x 3 3x 2 1
x
1
( x 3 3x 2 )
4
f (x) 1
3
x5 1
x2 1
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Límites laterales
Límite por la derecha
Sea f(x) una función definida en el intervalo abierto (xo, b), el límite de f(x) cuando x se aproxima a xo por la derecha
es L y se representa:
lím f (x) L
x l xo
Lo anterior denota que f (x) se aproxima a L cuando x tiende a aproximarse con valores mayores que xo
Límite por la izquierda
Sea una función definida en el intervalo abierto (a, xo), el límite de f (x) cuando x se aproxima a xo, por la izquierda
es L y se representa:
lím f (x) L
xl xo
Lo anterior denota que f (x) se aproxima a L cuando x tiende a aproximarse con valores menores que xo
Teorema
El límite cuando x 3 xo de una función f (x), existe y es igual a L, si y solo si los límites laterales son iguales a L,
es decir
lím f (x) L
x l xo
1183
lím f (x) lím f (x) L
xl xo
x l xo
CAPÍTULO
2
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
ª2 x 3 si x 2
Determina el lím f (x) si f (x) «
2
xl2
¬5 x si x 2
Solución
Se calculan los límites laterales:
lím f (x) lím (2x 3) 2(2) 3 1
xl2
xl2
lím f (x) lím (5 x 2) 5 (2)2 5 4 1
xl2
xl2
lím f (x) lím f (x) 1
xl2
xl2
Por consiguiente el lím f (x) 1
xl2
Y
x=2
f (x) = 2x –3
2
X
f (x) = 5–x2
­ª 9 x 2 si x 0
Calcula el lím f (x) si f (x) «
xl0
¬­2 x 1 si x 0
Solución
Se obtienen los límites laterales:
lím f (x) lím 9 x 2 9 (0 )2 3
xl0
xl0
lím f (x) lím (2 x 1) 2(0 ) 1 1
xl0
xl0
Dado que, lím f(x) : lím f (x), entonces el lím f (x) no existe.
xl0
xl0
xl0
La existencia de un límite lateral no implica la existencia del otro (ejemplo anterior). Cuando f(x) está definida
de un solo lado, entonces el lím f (x) es igual al límite lateral de dicho lado.
x l xo
1184
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
3
¿Cuál es el lím f (x) si f (x) xl2
2
4 x2 ?
Solución
Esta función está definida en el intervalo 2 x 2, por tanto, los valores de x tienden únicamente a 2 por la izquierda, entonces el valor del límite es:
lím f (x) lím f (x) lím 4 x 2 xl2
xl2
xl2
4 ( 2 )2 0
lím f (x) 0
xl2
Y
f (x) = 4 − x 2
–2
2
X
EJERCICIO 22
Para las siguientes funciones, determina el valor de los límites indicados:
ªx2
si x 3
1. Si f (x) «
¬2 x 5 si x 3
ª x 1 si x 2
­ 2
2. Si g (x) « x 5 si 2 x
­¬6
si x 1
a) lím f (x), b) lím f (x), c) lím f (x)
xl3
xl3
xl3
a) lím g( x ) , b) lím g( x ) , c) lím g( x ) ,
xl 2
1
xl 2
xl 2
d) lím g( x ) , e) lím g( x ) , f) lím g( x )
xl1
ª
­ x 3 si x 1
­­ 1
3. Si h(x) « 1 si 1 x 3
­ x2
­ x 11 si 3 x
­¬ 3
xl1
xl1
a) lím h( x ) , b) lím h( x ) , c) lím h( x ) ,
xl1
xl1
xl1
d) lím h( x ) , e) lím h( x ) , f) lím h( x )
xl 3
ª 2x
si 1 x 2
­
4. Si f (x) « x 1
­x2
si 2 x 4
¬
xl 3
xl3
a) lím f ( x ) , b) lím f ( x ) , c) lím f ( x ) ,
xl 1
xl 2
xl 2
d) lím f ( x ) , e) lím f ( x )
xl2
xl 4
2
ªx 4
­ x 2 si x 2
­
si 2 x
5. Si f (x) «2 x
­ x 5 si x 4
­
¬
a) lím f ( x ) , b) lím f ( x ) , c) lím f ( x ) ,
xl 2
4
xl 2
xl2
d) lím f ( x ) , e) lím f ( x ) , f) lím f ( x )
xl 4
1185
xl 4
xl4
2
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
ª x 2 3x 10
si x 2
­­
x2
6. Si f (x) «
­ 3 2 2 x
si x 2
­¬ x 5
lím f (x)
xl2
P
ª
si U
­sen U
2
7. Si h (U) «
P
­cos 2 U si U 2
¬
límP h (U)
ª 3e x
si x 0
8. Si g (x) «
3
7
log(
x
1
)
si x 0
¬
lím g (x)
ª 4 3 sen x
si x P
­­ 3 cos x 5
si x P
9. Si w (x) «
­1 log ¤¥ sen x ³´
¦
­¬
2µ
lím w (x)
Ul
2
xl0
xlP
­ªsen x cos x si x 0
10. Si f (x) «
2
si x 0
­¬ 4 x
lím f (x)
xl0
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Límites de funciones trigonométricas
A continuación se muestra la tabla de valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables, así como los
P
3P
ángulos de 0,
, P,
y 2P
2
2
0
P
6
P
4
Seno
0
1
2
2
Coseno
1
Tangente
0
Ángulos en radianes
Cotangente
Secante
Cosecante
No existe
1
No existe
3
2
3
3
3
2 3
3
2
2
P
3
3
2
P
2
P
3P
2
2P
1
0
1
0
2
1
2
0
1
0
1
1
3
No existe
0
No existe
0
0
No existe
0
No existe
No existe
1
No existe
1
1
No existe
1
No existe
2
1
2
2
1186
3
3
2
2 3
3
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Encuentra el valor del límP sen 2x
xl
4
Solución
Se sustituye el valor de x P
en la función:
4
P
¤ P³
límP sen 2x sen 2 ¥ ´ sen
1
¦
µ
4
2
xl
4
Por consiguiente, el valor del límite es 1.
2
¿Cuál es el valor del lím
xl0
sen 2 x 3 cos 2 x
?
1 x
Solución
Al sustituir x 0, se obtiene:
lím
xl0
Por tanto, lím
xl0
3
sen 2 x 3 cos 2 x
sen 2(0) 3 cos 2(0 )
sen 0 3 cos 0
0 3(1)
3
1 x
1 0
1
1
sen 2 x 3 cos 2 x
3
1 x
x
tan cos 2 x
2
Obtén límP
sen x 1
xl
2
Solución
P
¤ P³
P
x
tan 2 cos 2 ¥ ´
tan cos P 1 (1) 2
tan cos 2 x
¦ 2µ
2
4
2
1
límP
P
1 1
1 1
2
sen x 1
xl
sen 1
2
2
Por consiguiente, el valor del límite es 1.
EJERCICIO 23
Calcula los siguientes límites:
1.
2.
¤ cos 3x ³
lím ¥
xl 0 ¦ x 3 ´
µ
6. lím
límP (sen U cos U )
7. límP
Ql
3.
hl
6
A
¤
³
lím ¥ 2 sen cos A ´
Al P ¦
µ
2
8.
4.
5.
P³
P³
¤
¤
límP sen ¥ x ´ cos ¥ x ´
¦
µ
¦
4
4µ
xl
3
tan h
sen 2 h 1
lím3P
xl
4
sen x cos x
sen x cos x
sec 2 w
wlP 1 sen 2 w
2
tan w 1
lím 2
wl0 tan w 1
4 cos x
sen x cos x
xl0
9. lím
sen B cos B
tan B 3
Bl
3
10. límP
2
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1187
2
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Límites trigonométricos indeterminados
Para evitar la indeterminación en un límite de funciones trigonométricas, se transforma la función utilizando identidades trigonométricas, en ocasiones con esto es suficiente, también se puede simplificar hasta obtener una expresión
de la siguiente forma:
sen x 1 cos x
cos x 1
,
o
x
x
x
y utilizar los siguientes teoremas:
lím
vl0
sen v
1;
v
lím
vl 0
1 cos v
cos v 1
0
lím
vl 0
v
v
A continuación se da una lista de las identidades que se pueden utilizar.
Identidades trigonométricas fundamentales
Funciones del ángulo doble
tan A sen A
cos A
sen 2A 2 sen A cos A
cot A cos A
sen A
cos 2A cos2 A sen2 A
64748 64748 64748
sen A 1
csc A
cos 2A 2 sen2 A 1
csc A 1
sen A
cos 2A 1 2 cos2 A
cos A 1
sec A
tan 2A sec A 1
cos A
tan A 1
cot A
sen(A B) sen A cos B sen B cos A
cot A 1
tan A
cos(A B) cos A cos B sen A sen B
sen A csc A 1
cos A sec A 1
tan A cot A 1
sen2
A
cos2
64748
2
2 tan A
1 tan2 A
Funciones de suma o diferencia de ángulos
Transformaciones de sumas o restas de funciones
trigonométricas a producto
sen2 A 1 cos2 A
A1
sen A sen B 2 sen ;
AB
AB
< cos ;
<
2
2
1 tan2 A sec2 A
sen A sen B 2 cos ;
AB
AB
< sen ;
<
2
2
1 cot2 A csc2 A
cos A cos B 2 cos ;
AB
AB
< cos ;
<
2
2
cos2 A 1 sen2 A
cos A cos B 2 sen ;
1188
AB
AB
< sen ;
<
2
2
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
2
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina el límP
Ul
4
1 tan U
sen U cos U
Solución
Se sustituye U P
, resultando:
4
P
1 tan
1 tan U
1 1
0
4
límP
P
P
0
2
2
Ul sen U cos U
sen cos
4
4
4
2
2
Para eliminar la indeterminación, se aplican las identidades trigonométricas con el fin de obtener una expresión equivalente que no se indetermine:
sen U
cos U sen U
1
1
1 tan U
cos U sen U
cos U
cos U
sen U cos U
cos U
cos U sen U
sen U cos U
cos U(cos U sen U )
Se calcula el valor del límite:
¤
2
1 tan U
1 ³
1
1
límP ¥ 2
´
P
U
sen
cos
cos
U
U
µ
2
2
Ul
Ul ¦
cos
4
4
4
2
límP
Por consiguiente, límP
Ul
2
Calcula el lím
wl0
4
1 tan U
2
sen U cos U
cos w cos 2 w
sen 2 w
Solución
Al evaluar el límite:
lím
wl0
1 1
0
cos w cos 2 w
cos 0 cos 2(0 )
( 0 )2
0
sen 2 w
sen 2 (0 )
Se indetermina la función, por consiguiente, se transforma mediante identidades trigonométricas, como se ilustra:
cos w cos 2 w
cos w (cos 2 w sen 2 w )
cos w cos 2 w sen 2 w
lím
lím
2
2
wl0
wl0
wl0
sen w
sen w
sen 2 w
lím
§ cos w (1 cos w )
¶
§ cos w (1 cos w ) sen 2 w ¶
§ cos w (1 cos w ) sen 2 w ¶
lím ¨
lím ¨
1·
¨
·
· lím
2
2
2
2
wl 0
wl 0
wl 0
sen
sen
sen
w
w
w
1
cos
w
©
©
¸
¸
©
¸
§ cos w (1 cos w )
¶
§ cos w
¶
lím ¨
1·
1· lím ¨
wl 0 (1 cos w )(1 cos w )
wl 0 1 cos w
©
¸
©
¸
Se aplica el límite:
§ cos w
¶
cos 0
1
1
3
lím ¨
1· 1 1 1 wl 0 1 cos w
1
cos
0
1
1
2
2
©
¸
Finalmente, el valor del límite es
3
2
1189
CAPÍTULO
2
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
3
Obtén el lím
xl0
2 sen 3x
x
Solución
Para que lím
xl0
sen v
2 sen 3x
adopte la forma lím
, se multiplica por 3 tanto el numerador como el denominador
vl0
x
v
lím
xl 0
Por tanto, lím
xl0
4
sen 3x
2 sen 3x 3
6 sen 3x
• lím
6 • lím
6(1) 6
xl0
xl 0
3x
x
3
3x
2 sen 3x
6
x
¿Cuál es el valor del lím
yl0
cos ay cos by
?
y2
Solución
Se sustituye y 0 en la función:
lím
yl0
cos ay cos by
cos a(0 ) cos b(0 )
1 1 0
y2
( 0 )2
0
0
Se transforma la diferencia de cosenos en producto,
(a b ) y
(a b ) y
¤ ay by ³
¤ ay by ³
cos ay cos by 2 sen ¥
sen ¥
2 sen
sen
¦ 2 ´µ
¦ 2 ´µ
2
2
Entonces:
2 sen
cos ay cos by
lím
2
yl0
yl0
y
lím
(a b ) y
(a b ) y
sen
2
2
y2
(a b ) y
(a b ) y ¶
§
sen
·
¨ sen
2
2
2 • lím ¨
•
·
yl 0
y
y
¨
·
¸
©
sen
2 • lím
yl 0
sen
2 • lím
yl 0
(a b ) y
(a b ) y
sen
2
2
• lím
yl 0
y
y
(a b ) y (a b )
(a b ) y (a b )
sen
2
2
2
•
• lím
• 2
( a b ) yl 0
(a b )
y
y
2
2
(a b ) y
(a b ) y
sen
sen
2(a b )
(a b )
2
2
• lím
•
lím
yl 0
(a b ) y
2
2 yl 0 ( a b ) y
2
2
Por tanto, lím
yl0
2(a b )
(a b )
(1) •
(1)
2
2
2(a 2 b 2 )
b2 a2
=
2
4
cos ay cos by
b2 a2
2
2
y
1190
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites
5
Determina el valor de lím
xl0
1 ( x 1)cos x
4x
Solución
Se evalúa la función para x 0
lím
xl0
1 ( x 1)cos x 1 (0 1)cos(0 ) 1 (1)(1) 1 1 0
4x
4 (0 )
4 (0 )
0
0
Se transforma la expresión de la siguiente forma
1 ( x 1)cos x 1 x cos x cos x 1 cos x x cos x
4x
4x
4x
1 § 1 cos x x cos x ¶
¨
4©
x
x ·¸
1 § 1 cos x
¶
¨
cos x ·
4©
x
¸
entonces
lím
xl0
1 ( x 1)cos x
1 § 1 cos x
¶
lím ¨
cos x ·
xl 0 4 ©
4x
x
¸
1§
1 cos x
¶
lím
lím cos x ·
xl 0
4 ¨© xl0
x
¸
1
; 0 1=
4
1
(1)
4
1
4
Por tanto
lím
xl0
1 ( x 1)cos x 1
4x
4
1191
2
2
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 24
Determina el valor de los siguientes límites:
1. lím
w2
cos w 1
11. lím
x 2 (a 2 b 2 )
cos ax cos bx
2. lím
sen 3U
tan 4 U
12. lím
(sen x )m
(sen 2 x )m
3. lím
cos x 1
sen 2 x
¤P
³
13. límP ¥ U ´ tan U
µ
Ul ¦ 2
4. lím
2 sen A tan 2A
A
¤ 1
1 ³
14. lím ¥
wl 0 ¦ tan w
sen w ´µ
5. lím
1 sec v
v 2 sec v
15. lím
x3
2 tan x sen 2 x
6. límP
sen 2 U
tan 3 U
16. lím
cos x 1
3x 3 csc 2 x
wl0
Ul0
xl0
Al 0
vl0
Ul
2
xl0
xl0
2
xl0
xl0
7. lím
(cos x 1)2
tan x
17. lím
8. límP
cos 2 w
cos w sen w
18. lím
sec 2 w 1
w sec 2 w
tan x
1 sen x 1 sen x
19. lím
cos mx cos nx
2x2
tan( 3 A ) tan( 3 A )
Al0 sen( 3 A ) sen( 3 A )
20. lím
3
xl0
wl
9. lím
xl0
4
sen 2 3x
xl0
x2
wl0
xl0
cos 4 x cos 2 2 x
xl0
x
10. lím
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1192
sim
p
l
i
fic
a
mp
li fi
ca
Ma
te
Ma
te
s simplificad
as U
s simplificad
as U
ca
emáti
M at
s
da
U
imp
ca
U Matemáti
adas
ca
s
lific
sim
pli
fi
atem
áticas simplificadas
U
U Matemáti
adas
cas
lific
sim
pli
fi
s
da
imp
En el cálculo infinitesimal se siguieron las
líneas que le eran posibles con el sustento
conceptual, como la existencia de funciones continuas.
UM
ca
emáti
M at
n el siglo XIX la matemática se apoyaba en la geometría y el álgebra para
buscar sustento a sus afirmaciones.
ss
ica
át
ss
ica
át
Reseña
U Matemáti
c as
Ma
tem
ca
sim
s
cada
s simplificada
sU
ticas simplificada
s
temá
U
Ma
tem
tica
temá
E
3
plifi
Ma
Ma
HISTÓRICA
as
tic
sim
das U Matemátic
as
lifica
sim
pli
fic
a
U
Matem
ática
das U
a
c
fi
s si
pli
CONTINUIDAD
sim
pli
fic
a
U
imp
CAPÍTULO
s
da
m
ss
ca
á ti
Ma
tem
s
da
m
im
ss
ca
á ti
s U Matemáti
cada
cas
plifi
as U
s
da
U
as
simplificad
s
ica
át
d
ticas
temá
a
M
UM
a
t
e
má
Es cuando Weierstrass publica en 1872, gracias a su discípulo Paul Du Bois Reymond,
su teorema sobre la existencia de funciones continuas que en algunos puntos no tenían derivada; las consecuencias de este teorema fueron de gran
interés, en su época se decía que una función era continua si su gráfica se
podía trazar sin despegar el lápiz del papel, aún en nuestra época esto
da una idea informal de la continuidad de una función.
Pero el resultado de Weierstrass mostró que se podía hablar de la continuidad en un lenguaje totalmente analítico, sin necesidad de recurrir a
imágenes geométricas. Este lenguaje proporcionó la advertencia sobre lo
peligroso que resultaba confiar demasiado en las conclusiones extraídas
de un dibujo.
Karl Weierstrass
(1815-1897)
CAPÍTULO
3
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Continuidad puntual
Una función f (x) es continua en el punto xo 0 R si cumple con las siguientes condiciones:
1. f(xo ) está definida.
2. lím f (x) existe.
x l xo
3. lím f (x) f (xo ).
x l xo
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Verifica si f (x) x 2 1 es continua en xo 2
Solución
Se deben verificar las tres condiciones:
1. f(2) (2)2 1 3, por tanto f (x) está definida para xo 2
2. Se calcula el valor de cada límite lateral:
lím f (x) lím (x 2 1) (2)2 1 3
xl2
xl2
lím f (x) lím (x 2 1) (2)2 1 3
xl2
xl2
Entonces, lím f (x) sí existe y lím f(x) 3
xl2
xl2
3. Como lím f(x) 3 y f (2) 3, entonces lím f (x) f(2), por consiguiente, f(x) es continua en xo 2
xl2
xl2
Y
f (xo)
xo = 2
1194
X
CAPÍTULO
CÁLCULO
2
DIFERENCIAL U
Continuidad
3
[
2 x 3 si x 1
Determina si la función f (x) x
si x 1 es continua en xo 1
Solución
Se verifican las condiciones:
Y
1. f(1) (1)
f(1) 1, la función está definida en xo 1
2. Se determinan los límites laterales:
x=1
lím f(x) lím (2x 3) 2(1) 3 1
xl1
xl1
X
lím f(x) lím (x) (1) 1
xl1
xl1
Por tanto, lím f(x) 1
xl1
f (x) = – x
f(x) = 2x – 3
3. Probar que el lím f (x) f (1)
xl1
lím f (x) f (1) 1
xl1
Finalmente, es continua en xo 1
3
ªx2
si x 1
­
Determina si la función f (x) «2 x 3 si 1 x 3 es continua en x 1 y x 3
­¬ 3
si 3 x
Solución
Se verifican las condiciones para los puntos x 1 y x 3:
1. f (1) (1)2 1, la función está definida en xo 1
2. lím f(x) lím (2x 3) 2(1) 3 1;
xl1
xl1
lím f(x) lím x2 (1)2 1
xl1
xl1
Debido a que el lím f(x) : lím f (x), entonces lím f (x) no existe.
xl1
xl1
xl1
Por tanto, f (x) no es continua en xo 1
f(x) = x2
Se verifica la continuidad en xo 3
Y
1. f (3) 2(3) 3 3, la función está definida en xo 3
2. lím f(x) lím 3 3; lím f(x) lím (2x 3) 2(3) 3 3
xl3
xl3
xl3
f(x) = 3
xl3
Se concluye que,
lím f(x) lím f(x)
xl3
xl3
Entonces, lím f(x) 3
f(x) = 2x – 3
xl3
3.
lím f(x) 3 y f (x) 3 entonces, lím f (x) f(3)
xl3
xl3
Por consiguiente, f (x) es continua en xo 3
1195
X
CAPÍTULO
3
MATEMÁTICAS
4
SIMPLIFICADAS
P
ª
­sen x si x 2
P
Es continua g(x) «
P en xo 2
­cos x si x 2
¬
Solución
Si se verifican los pasos se obtiene:
P
¤ P³
1. g ¥ ´ no está definida, por tanto, la función no es continua en xo ¦ 2µ
2
Discontinuidad evitable o removible
Sea f(x) una función racional no continua en x x0, si mediante una simplificación algebraica, f(x) se vuelve continua
en x xo , entonces recibe el nombre de discontinuidad evitable o removible.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Verifica si es continua la función f (x) 1
6x2 7x 2
en x 2
2x 1
Solución
1. Se evalúa la función en x 1
2
2
¤ 1³
¤ 1³ 7
¤ 1³
3 7
6¥ ´ 7¥ ´ 2
6¥ ´ 2
2
¦ 2µ
¦ 4µ 2
¦ 2µ
0
¤ 1³
2
2
f¥ ´ ¦ 2µ
1 1
1 1
0
¤ 1³
2 ¥ ´ 1
¦ 2µ
1
, lo cual implica que es discontinua en este punto;
2
sin embargo, se elimina la indeterminación mediante una simplificación algebraica.
La función se indetermina o no está definida para el valor de x f (x) 6x2 7x 2
( 3x 2 )(2 x 1)
1
3x 2; si x :
2 x 1
2 x 1
2
Esta simplificación indica que la gráfica es una línea recta con discontinuidad evitable o removible en x Y
f (x) =
x=
6x 2 − 7x + 2
2x − 1
1
2
X
1196
1
2
CAPÍTULO
CÁLCULO
2
Determina si la función f (x) =
DIFERENCIAL U
Continuidad
3
x2 2x 3
es continua en x 3 y traza su gráfica.
x2 5x 6
1. Se evalúa la función en x 3,
f(3) ( 3)2 2( 3) 3
963
0
( 3)2 5( 3) 6
9 15 6
0
La función no está definida en x 3, sin embargo, mediante una simplificación se puede eliminar la discontinuidad,
f (x) x2 2x 3
( x 3)( x 1)
x 1
, si x : 3
x2 5x 6
( x 3)( x 2 )
x2
La gráfica de esta función es una hipérbola con discontinuidad evitable o removible en x 3
Y
3
X
x=2
3
Determina el valor de k para que la función sea continua:
f(x) [
3x k , x 1
2 kx 3, x 1
Solución
Se obtienen los límites laterales:
lím f (x) lím (3x k) 3(1) k 3 k
xl1
xl1
lím f (x) lím (2kx 3) 2k(1) 3 2k 3
xl1
xl1
Para que el límite exista:
lím f (x) lím f (x)
xl1
xl1
entonces:
3 k 2k 3
k 2k 3 3
3k 6
6
k
3
k2
1197
CAPÍTULO
3
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
por tanto, para que la función sea continua k 2, es decir la función se debe escribir:
f (x) [
3x 2,
4 x 3,
x 1
x 1
Comprobación
Probemos que la función es continua en x 1
i) f(1) 4(1) 3 4 3 1
ii) lím f (x) lím (3x 2) 3(1) 2 3 2 1
xl1
xl1
lím f (x) lím (4x 3) 4(1) 3 4 3 1
xl1
xl1
lím f (x) lím f(x) 1
xl11
xl1
por tanto lím f(x) existe y lím f (x) 1
xl1
xl1
iii) f (1) lím f(x) 1
xl1
Por tanto f (x) es continua en x 1.
4
Determina los valores de a y b para que la función sea continua
ªax 3
­
f (x) « x 2 1
­¬bx 1
x 2
2 x
x3
3
Solución
Se obtienen los límites laterales en x 2
lím f (x) lím (ax 3) a(2) 3 2a 3
xl2
xl2
lím f (x) lím (x 2 1) (2)2 1 4 1 3
xl2
xl2
Para que el límite exista se debe cumplir:
lím f (x) lím f (x)
xl2
xl2
Entonces:
2a 3 3
2a 3 3
2a 6
6
a
2
a 3
Por tanto a 3
Se obtienen los límites laterales en x 3
lím f (x) lím (bx 1) b(3) 1 3b 1
xl3
xl3
lím f (x) lím (x 2 1) (3)2 1 9 1 8
xl3
xl3
lím f (x) lím f (x)
xl3
xl3
1198
CAPÍTULO
CÁLCULO
entonces
3b 1 8
3b 8 1
3b 7
b
Por lo tanto b 7
3
7
3
EJERCICIO 25
Verifica si las funciones propuestas son continuas en los puntos indicados:
1. f(x) 2x 2 x, en x 0
2. f(x) x 2 4 , en x 2
3. f(x) 3x 1
3
, en x 2x 3
2
4. f(x) 4
, en x 3
x 1
5. f (x) x2 4
, en x 2
x2
6. f(x) 1
, en x 2P
sen x
ª x 2 1 si x 2
7. f (x) «
, en x 2
¬2 x 1 si x 2
si x 1
ª3
8. g(x) « 2
, en x 1
¬ x 4 si x 1
[
3x 2 si x 0
9. h(x) 2 x 3 si x 0 , en x 0
si x 2
ªx
­
10. f(x) « x 2 2 si 2 x
­¬ 3x 4 si x 2
2 , en x 2 y x 2
ª2
si x 1
­x
­
11. q(x) «3x 5 si 1 x
­ 2x
si x 2
­
¬
2 , en x 1 y x 2
P³
ª ¤
­sen ¥¦ x 2 ´µ si x P
­
3
3
­
si P x P , en x P y x P
12. h(x) «cos x
2
2
­
­ tan ¤ x P ³ si x 3 P
´
­¬ ¥¦
2
2µ
1199
DIFERENCIAL U
Continuidad
3
3
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
si x 3
ªx
­
si 3 x
13. f(x) « x 2 2
­log( x 7 )7 si x 3
¬
14. g(x) x2 5x 6
, en x 3
x2 9
15. h(x) x2 1
, en x 1
x 3 1
16. g(x) x3 8
, en x 2
x2 4
17. f(x) x8
, en x 8
x 2 x 72
18. w(x) 6 x2 x 1
1
, en x 4 x2 4 x 1
2
3 , en x 3 y x 3
Determina el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas:
[
2 x k si x 2
19. f(x) 3kx 1 si x 2
ª k 2 x si x 0
20. f(x) «
¬2 k 3x si x 0
ª x k si x 3
21. g(x) «
¬ kx 1 si x 3
Obtén el valor de las constantes para que las siguientes funciones sean continuas:
ªax 3 si x 4
­
22. f(x) « x 2 4 si 4 x
­¬bx 4 si x 1
1
ªax b si x 0
­
23. f(x) « 3xb 2 si 0 x
­¬2 a x si x 3
3
ªax 2 si x 1
­
24. f (x) «a bx si 1 x
­¬ax 2b si x 4
4
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1200
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Continuidad
3
Continuidad de una función en un intervalo
Continuidad por la derecha
Una función f (x) es continua a la derecha de xo si y solo si para x 0 R se cumplen las siguientes condiciones:
1. f(xo) existe
2. lím f(x) existe
x l x0
3. lím f(x) f (x0)
x l x0
Continuidad por la izquierda
Una función f (x) es continua a la izquierda de xo si y solo si para x 0 R:
1. f(xo) existe
2. lím f(x) existe
x l xo
3. lím f(x) f (xo)
x l xo
Continuidad de una función en un intervalo abierto
Se dice que f (x) es continua en el intervalo abierto (a, b) si y solo si es continua en todos los puntos del intervalo.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Demuestra que f (x) 9 x 2 es continua en el intervalo (3, 3)
Solución
La función f(x) 9 x 2 está definida en todos los puntos del intervalo (3, 3), como se ilustra en la gráfica, por
consiguiente, f (x) es continua en dicho intervalo.
Y
3
–3
3
1201
X
CAPÍTULO
3
MATEMÁTICAS
2
SIMPLIFICADAS
¿ f(x) 1
es continua en el intervalo (2, 3)?
x
Solución
f(x) no está definida en x 0; entonces no es continua en este punto, por tanto, no es continua en el intervalo (2, 3)
Y
–2
X
3
x=0
Continuidad en un intervalo cerrado
Una función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y además
lím f (x) f(a) y lím f (x) f(b)
xl a
xlb
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Demuestra que f (x) x 2 2x es continua en el intervalo cerrado [1, 2]
Demostración
La función f(x) es polinomial, lo cual implica que está definida en el intervalo abierto (1, 2), por tanto, es continua
en el intervalo, ahora se prueba la continuidad en los extremos del intervalo.
Para x 1
Y
a) f(1) (1)2 2(1) 3
b) lím f (x) lím (x 2 2x) 3
xl1
c)
xl1
lím f (x) f (1)
xl1
Para x 2
a) f(2) (2)2 2(2) 0
b) lím f(x) lím
xl2
xl2
(x 2
–1
2
X
2x) 0
c) lím f(x) f (2)
xl2
f(x) es continua en el intervalo abierto (1, 2) y es continua a la derecha de 1 y a la izquierda de 2, entonces f (x)
es continua en el intervalo cerrado [1, 2]
1202
CAPÍTULO
CÁLCULO
2
DIFERENCIAL U
Continuidad
3
ªx2
si x 0
¿La función f (x) «
es continua en el intervalo [2, 3]?
2
x
1
si x 0
¬
Solución
Del intervalo (2, 3) la función f (x) no es continua en x 0, ya que:
Y
lím f (x) 0, lím f (x) 1
xl0
xl0
lím f (x) : lím f (x)
xl0
xl0
Por tanto, lím f(x) no existe.
xl0
Si f (x) no es continua en el intervalo abierto
(2, 3)
–2
3
X
Entonces, no es continua en el intervalo cerrado
[2, 3]
3
ª1 x 2 si x 0
es continua en el intervalo [3, 3]?
¿La función f (x) «
¬1 x si x 0
Solución
Y
Se prueba la continuidad de la función en x 0
1. f (0) 1 (0)2 1
2. lím f(x) 1 (0) 1; lím f(x) 1 (0)2 1
xl0
xl0
3. f (0) lím f (x) 1
–3
xl0
3
X
La función es continua en el intervalo (3, 3)
Ahora se prueba la continuidad en los extremos:
Para x 3
1. f(3) 1 (3)2 1 9 8
2.
lím f (x) 1 (3)2 1 9 8
xl3
3. f(3) lím f(x)
xl3
Para x 3
1. f(3) 1 3 1 3 4
2.
lím f (x) 1 3 1 3 4
xl3
3. f(3) lím f (x)
xl3
La función es continua en (3, 3) y además es continua a la derecha de 3 y a la izquierda de 3, por tanto, es continua
en el intervalo [3, 3]
1203
CAPÍTULO
3
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Continuidad en un intervalo semiabierto
Para intervalos semiabiertos (a, b] y [a, b) se tiene que:
1. Una función f (x) es continua en el intervalo semiabierto (a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b),
y lím f (x) f (b)
xlb
2. Una función f (x) es continua en el intervalo semiabierto [a, b) si es continua en el intervalo abierto (a, b),
y lím f (x) f (a)
xl a
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Demuestra que f (x) 2
es continua en el intervalo semiabierto (3, 6]
x3
Demostración
El dominio de la función se define Df {x 0 R U x : 3}, por tanto f(x) es continua en el intervalo abierto (3, 6)
Se verifica la continuidad por la izquierda en 6
a) f (6) 2
2
63
3
2
¤ 2 ³
b) lím f(x) lím ¥
´ 3
xl6
xl 6 ¦ x 3 µ
c) lím f(x) f (6)
xl6
Entonces, f (x) es continua en el intervalo semiabierto (3, 6]
Y
3
1204
6
X
CAPÍTULO
CÁLCULO
2
si x 2
ª3
¿La función f (x) « 2
x
1
si 2 x
¬
3
DIFERENCIAL U
Continuidad
3
es continua en el intervalo semiabierto (1, 3]?
Solución
Se verifica la continuidad en x 2
1. f(2) (2)2 – 1 = 3
2. lím f(x) 3; lím f(x) 3,
xl2
xl2
Por tanto, lím f (x) 3
xl2
3. f(2) lím f (x), la función es continua en (1, 3)
xl2
Se prueba la continuidad por la izquierda en x 3
1. f (3) no está definida, por tanto, la función no es continua en el intervalo (1, 3]
Y
–1
3
2 3
X
si 2 x 0
ªx
Verifica la continuidad de la función f(x) « 2
en [2, 4)
¬x 4 x si 0 x 4
Solución
Se verifica la continuidad en x 0
Y
1. f(0) (0) 0
2. lím (x) 0, lím (x 2 4x) 0
xl0
xl0
3. Por tanto, lím f(x) f (0)
xl0
La función es continua en el intervalo (2, 4)
Se prueba la continuidad por la derecha para x 2
1. f (2) (2) 2
2.
–2
lím (x) (2) 2
xl–2
3. f(2) lím (x)
xl–2
Por tanto, la función f (x) es continua en el intervalo [2, 4)
1205
4
X
CAPÍTULO
3
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 26
Verifica si son continuas las siguientes funciones en los intervalos indicados:
1. f(x) 3x 2 en [0, 3)
6. f(x) x 3 en [3, 1]
2
ª2 x x 2 si x 1
7. f (x) «
en [2, 4]
¬ 4 x 3 si x 1
3. f (x) x 2 4 en [3, 3]
ª1
­
si x 0
8. f (x) « x
en [3, 4]
­¬2 x 1 si x 0
4. f(x) 1
¤ 1 1¶
3 en ¥ , ·
¦ 3 3¸
x
2. f (x) 2x
en (1, 3)
x 4
si x 2
ªx
9. f(x) «
en (0, 3)
2
x
1
si x 2
¬
ªx2
si x 1
­
10. f(x) «2 x 3 si 1 x 3 en (2, 5)
­¬3
si x 3
5. f(x) x 2 x 3 en [2, 0]
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Teorema del valor intermedio
Sea f (x) una función continua en el intervalo [a, b], y k un número comprendido entre f(a) y f (b), entonces existe un
c 0 [a, b] tal que f (c) k.
Y
f(b)
f(c) = k
f(a)
a
c
b
X
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Si f(x) 3x 2 es una función definida en el intervalo [2, 3], obtén el valor de c que cumpla con el teorema del
valor intermedio cuando k 1
Solución
Al aplicar el teorema se obtiene:
f (c) k 3 3c 2 1 3 3c 3 3 c 1
Por consiguiente, c 1 cuando k 1
1206
CAPÍTULO
CÁLCULO
2
DIFERENCIAL U
Continuidad
3
Dada la función g(x) x 2 3x 2, definida en el intervalo [1, 4], determina el valor de k que cumpla con el teorema
del valor intermedio cuando c 3
Solución
Se aplica el teorema:
f (c) k 3 c 2 3c 2 k
Pero, c 3 y al sustituir se obtiene el valor de k
(3)2 3(3) 2 k 3 k 2
entonces, k 2
Y
1
c=3
4
X
k = –2
EJERCICIO 27
Aplica el teorema del valor intermedio y encuentra el valor de c en los siguientes ejercicios:
1. f(x) 3x 5; [2, 4] con k 1
2. f (x) 3. f(x) x 2 4 ; [3, 3] con k 2
3x 2
; [0, 5] con k 2
x 1
ª x 2 2 si x 1
4. f (x) «
; [2, 4] con k 0
¬2 x 1 si x 1
­ª 5 x si x 5
5. f(x) « 2
; [0, 8] con k 0
­¬ x 25 si x 5
Aplica el teorema del valor intermedio y determina el valor de k en los siguientes ejercicios:
6. f(x) 3x 3 2x 2; [2, 0],
7. f (x) 8. f (x) 2
x 9 ; [6, 0],
x
; [1, 5],
2 x 1
9. f(x) cos x; [0, 2P],
10. f (x) log(3 x); [1, 12],
c 1
c 4
c2
P
4
c7
c
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1207
mp
li fi
ca
Ma
te
Ma
te
s simplificad
as U
s simplificad
as U
ca
emáti
M at
ca
emáti
M at
s
da
U Matemáti
adas
ca
s
lific
sim
pli
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U
ca
Reseña
U
imp
U Matemáti
adas
cas
lific
sim
pli
fi
s
da
ss
ica
át
imp
ca
sim
ss
ica
át
n un periodo de menos de dos años,
cuando Newton tenía menos de 25
años, comenzó con avances revolucionarios en matemática, óptica, física y
astronomía.
sim
p
l
i
fic
a
as
tic
Ma
tem
UM
a
t
e
má
Mientras Newton estaba en casa (debido
a una peste que cerró la Universidad de
Cambridge) estableció las bases del cálculo diferencial e integral. El método de las fluxiones, como él lo llamó, estaba
basado en su crucial visión de que la integración de una función era el
procedimiento inverso de su derivación.
UM
atem
áticas simplificadas
Matem
ática
das U
a
c
fi
s si
pli
s simplificada
sU
U Matemáti
c as
tica
temá
ticas simplificada
s
temá
U
Ma
tem
Ma
E
s
cada
Ma
U
HISTÓRICA
4
plifi
das U Matemátic
as
lifica
sim
pli
fic
a
DERIVADA
sim
LA
sim
pli
fic
a
U
imp
CAPÍTULO
s
da
m
ss
ca
á ti
Ma
tem
s
da
m
im
ss
ca
á ti
s U Matemáti
cada
cas
plifi
as U
s
da
U
as
simplificad
s
ica
át
d
ticas
temá
a
M
Al considerar a la derivación como la operación básica, Newton produjo
sencillos métodos analíticos que unificaban muchas técnicas diferentes desarrolladas previamente para resolver problemas, en apariencia no relacionados, como calcular áreas, tangentes, longitud de curvas y los máximos
y mínimos de funciones. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton
fue escrito en 1671, pero Newton no pudo publicarlo y no apareció impreso hasta que John Colson produjo una traducción al inglés en 1736.
Sir Isaac Newton
(1643-1727)
4
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Definición
Sea f (x) una función, se define a su derivada f(x), como:
f (x) lím
$xl0
f ( x $x ) f ( x )
$x
Para toda x, siempre que el límite exista y se representa por:
y , f(x),
dy
o Dx y
dx
Interpretación geométrica
El valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.
Donde:
$x: incremento en x
$y: incremento en y
y = f (x)
Y
L
Q (x + Δ x, f(x + Δ x))
f (x + Δ x)
f(x + Δ x) – f(x)
Lt
f (x)
P(x, f(x))
x + Δx
x
X
Δx
En la gráfica se observa que la pendiente de la recta L es:
mt $y
f ( x $x ) f ( x )
$x
$x
Si $x tiende a cero, la recta L coincide con Lt , entonces la pendiente de Lt será el límite de mt .
lím mt lím
$xl0
$xl0
$y
f ( x $x ) f ( x )
lím
$xl0
$x
$x
Por definición, la derivada es:
dy
f ( x $x ) f ( x )
lím
$xl0
dx
$x
1210
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
Regla de los cuatro pasos
Sea una función y f (x), entonces:
1. y $y f ( x $x )
2. $y f ( x $x ) f ( x )
3.
$y f ( x $x ) f ( x )
$x
$x
4.
$y
dy
f ( x $x ) f ( x )
lím
lím
$x
dx $xl0 $x $xl0
(razón de cambio)
(derivada de la función)
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Encuentra la derivada de la función f(x) 5x 6
Solución
Se aplica la regla de los cuatro pasos y se obtiene:
1. y $y 5( x $x ) 6
2. $y (5 x 5 $x 6 ) (5 x 6 )
3.
$y
(5 x 5 $x 6 ) (5 x 6 )
5 x 5 $x 6 5 x 6
5$x
5
$x
$x
$x
$x
4.
dy
$y
lím
lím 5 5
$
x
l0
$xl0
dx
$x
(derivada de la función)
Este resultado se obtiene también cuando se utiliza la definición, como sigue:
lím
$xl0
[ 5( x $x ) 6 ] (5 x 6 )
5 x 5 $x 6 5 x 6
5 $x
lím
lím
lím (5 ) 5
$xl0
$xl0 $x
$xl0
$x
$x
Por tanto, la derivada de la función f(x) 5x 6 es: f(x) 5
2
Aplica la definición y determina la derivada de y 7x 2 5x 9
Solución
dy
[ 7( x $x )2 5( x $x ) 9 ] ( 7 x 2 5 x 9 )
lím
$
x
l0
dx
$x
dy
7( x 2 2 x ($x ) ($x )2 ) 5 x 5 $x 9 7 x 2 5 x 9
lím
$xl0
$x
dx
dy
7 x 2 14 x$x 7 $x 2 5 x 5 $x 9 7 x 2 5 x 9
lím
$
x
l0
dx
$x
dy
14 x$x 7 $x 2 5 $x
lím
lím (14 x 7 $x 5 ) 14x 5
$xl0
$xl0
dx
$x
Por consiguiente, la derivada es:
dy
14x 5
dx
1211
4
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
3
Encuentra la derivada de la función f (x) 2 x 1
, aplica la definición.
x5
Solución
dy
lím
$xl 0
dx
2( x $x ) 1
x $x 5
$x
2 x 1
x5
dy
lím
$xl 0
dx
2 x 2 $x 1
x $x 5
$x
2 x 1
x5
dy
lím
$xl0
dx
( x 5 )(2 x 2 $x 1) (2 x 1)( x $x 5 )
( x $x 5 )( x 5 )
$x
al simplificar,
dy
11$x
11
lím
lím
$xl0 $x ( x $x 5 )( x 5 )
$xl0 ( x $x 5 )( x 5 )
dx
se resuelve el límite
dy
11
f (x) ( x 5 )2
dx
4
¿Cuál es la derivada de la función y x2 ?
Solución
dy
lím
$xl 0
dx
x $x 2
$x
x2
dy
lím
$xl 0
dx
x $x 2
$x
x2
2
se racionaliza la expresión
•
x $x 2 x 2
x $x 2 x 2
x $x 2
x2
dy
lím
$xl 0
dx
$x x $x 2 x 2
dy
lím
$xl 0
dx
$x
$x
x $x 2 x 2
2
lím
$xl 0
x $x 2 x 2
$x
lím
$xl0
x $x 2 x 2
1
x $x 2 x 2
De tal manera que, al resolver el límite se obtiene:
dy
1
f(x) dx
2 x2
1212
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
EJERCICIO 28
Deriva las siguientes funciones, utiliza la definición.
1. y 3x 2
11. f (x) 3
x2
2. y 2a bx
12. f (x) x2 1
x2 1
3. y x 2
13. f (x) x2
4. f (x) 3x 2 5x
14. f (x) x2 4
5. y ax 2 bx c
15. y 6. y x 3
16. y 7. y x 3 x 2
17. y 8. y 4 x 2 16
x2
18. y 9. y 2x
x 1
19. y 10. y (x 1)(x 2 x 1)
2 x 1
3
2
x
3
3
x
2
x 1
x 1
x3
n
20. y x
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Fórmulas para determinar la derivada de una función algebraica
La forma directa de obtener la derivada de una función algebraica es la aplicación de las siguientes fórmulas:
1.
d
c0
dx
7.
d
dx
2.
d
x1
dx
8.
d
1 dv
v
dx
2 v dx
3.
d
dv
cv c
dx
dx
9.
d
dv
du
(uv ) u v
dx
dx
dx
n
v
1
dv
n n v n1 dx
dv
du
d ¤ u ³ v dx u dx
10.
¥ ´
dx ¦ v µ
v2
d u v w
du dv dw
4.
dx
dx dx dx
5.
d (xn )
nx n1
dx
11.
d ¤ c³
c dv
¥ ´ 2
dx ¦ v µ
v dx
6.
d n
dv
v nv n1
dx
dx
12.
d ¤ v ³ 1 dv
¥ ´
dx ¦ c µ c dx
1213
4
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
¿Cuál es la derivada de la función y x 3 2x 2 4x 5?
Solución
Al aplicar las fórmulas respectivas se obtiene:
dy
d 3
d 3
d
d
d
( x 2 x 2 4 x 5) ( x ) (2 x 2 ) ( 4 x ) (5 )
dx
dx
dx
dx
dx
dx
d 3
d
d
d
( x ) 2 ( x 2 ) 4 ( x ) (5 )
dx
dx
dx
dx
3x 2 2(2x) 4(1) 3x 2 4x 4
2
Deriva la función y 3
x2
Solución
m
Aplicamos el hecho de que
n
a m a n y posteriormente an dy
d
dx
dx
3
3
x2 Calcula la derivada de la función s 1
an
d ¤ 23 ³
2 21
2 1
x 3 x ´ x3
¥
dx ¦ µ
3
3
2
3x
1
3
2
3
3
x
1
t
5
Solución
1
1
ds d ¤ 1 ³ d ¤ 15 ³
1 1 1
1 6
¥ 5 ´ ¥t ´ t 5 t 5 6 5 6
¦
µ
dt dt
5
5
dt ¦ µ
t
5
t
5
5t
pero
4
5
t6 5
t 5 • t t 5 t , por tanto
Obtén la derivada de la función y ds
1
5
dt
5t t
4
x
Solución
4
dy d ¤ 4 ³
d
d
¥ ´ ( 4 x1 ) 4 ( x1 ) 4 (1x11 ) 4 x2 2
x
dx dx ¦ x µ dx
dx
5
Determina la derivada de la función y 2 3 x 7
x
Solución
1
³
dy
d ¤ 13
d ¤ 13 ³
d ¤ 1 ³
d ¤ 1³
d ¤ 1 ³
2x 7x 2 ´ 2 x ´ ¥ 7x 2 ´ 2 ¥ x 3 ´ 7 ¥ x 2 ´
¥
¥
dx
dx ¦
dx ¦
dx ¦ µ
dx ¦
µ
µ dx ¦
µ
µ
¤ 1 11 ³
¤ 1 1 1 ³
2 2 7 3
2 ¥ x 3 ´ 7 ¥ x 2 ´ x 3 x 2
3
2
¦3
µ
¦ 2
µ
1214
2
3
3 x
2
7
2x x
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
6
¿Cuál es la derivada de la función y ( 3x 2 x ) 7 ?
Solución
Se aplica la fórmula
d (v n )
dv
y se obtiene:
nv n 1
dx
dx
¤ d 3x 2 dx ³
dy
d
´ 7( 3x 2 x ) 6 (6 x 1)
7( 3x 2 x ) 6 ( 3x 2 x ) 7( 3x 2 x ) 6 ¥
dx µ
dx
dx
¦ dx
( 42 x 7 )( 3x 2 x ) 6
7
Encuentra la derivada de la función s 3
8 4t t 3
Solución
1
1
2
1
d
ds d
1
1
(8 4 t t 3 ) 3 (8 4 t t 3 ) 3 (8 4 t t 3 ) (8 4 t t 3 ) 3 ( 4 3t 2 )
dt
dt dt
3
3
4 3t 2
2
3(8 4 t t 3 ) 3
8
Deriva la función y 4 3t 2
3 3 (8 4 t t 3 ) 2
5
x x
3
Solución
§
dy d ¨
dx dx ¨
©
¶
· d §5
dx ©¨
x x ·¸
5
3
x x
3
¶ 5 d
¸·
dx
§
5 ¨3
©
15
15
x x
4
15
x x
3
x x
x x
4
4
d
dx
¤ 1
³
1´
¥¦
µ
2 x
¤ 1 2 x ³
¥ 2 x ´
¦
µ
4
x x
¶
x x ·
¸
d ³
¤ d
¥
x x´
¦ dx
dx µ
15 1 2 x
2 x
1215
x x
4
4
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
9
Calcula la derivada de la función y x x 1
Solución
Se aplica la fórmula
d
dv
du
(uv ) u v
dx
dx
dx
d
dy d
x x 1 x
dx
dx dx
x 1 x 1
¤
dx
1 ³
x
x 1
x¥
´ x 1 dx
2 x 1
¦ 2 x 1 µ
Por consiguiente,
10
x 2( x 1)
x 2x 2
3x 2
2 x 1
2 x 1
2 x 1
3x 2
dy
dx 2 x 1
Obtén la derivada de la función f (x) x2 5
1 3x 2
Solución
du
dv
d ¤ u ³ v dx u dx
y se obtiene:
Se aplica la fórmula
¥ ´
dx ¦ v µ
v2
f (x) 28 x
(1 3x 2 )(2 x ) ( x 2 5 )(6 x )
2 x 6 x 3 6 x 3 30 x
2 2
(1 3x )
(1 3x 2 ) 2
(1 3x 2 ) 2
EJERCICIO 29
Deriva las siguientes funciones:
1. y 10
12. f(x) 4x 3
2. y 5
13. s (t) 3. f (x) a 2
14. y x 2
4. s (t ) b 2
15. f (x) x 3
5. y 6x
16. y 6 x 2
1 4
t
5
9
4
3
6. y 2
3
x
4
17. f(x) x 5
1
7. f (x) ax
18. f (x) 4 x 4
8. s (t ) b 2t
19. f (x) 9. f (x) 5x 2
20. s (t ) x
4
t
10. y ax b
21. f (x) 5 5 x
11. f (x) x 5
22. f(x) 1216
x5
7
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
23. f (x) x4
9
3
5 1 4 3
44. f (x) 2 x 2 x 2 x 2
2
3
24. s(t ) t3
a
45. f(x) 8 x 9 3 x 2 4 2 x 3
25. f (x) 5
x4
46. f (x) ax n bx n
26. f (x) 2
x6
47. f (x) 27. f (x) x
2
1
x2 5x 8
3
7
5
48. f (x) a n x b 3 x
3
1 3 2 4 x5
x 2
3
28. s(t ) t
5
49. y 29. f (x) 4
x
50. f (x) 5
t
51. f (x) 7
5
3
2
x
x
4
x
52. f (x) 3 5
2x
x2 x
32. f (x) 7 x 3 3x 2 3x 12
53. f (x) 3x 2 5 x 8
3
x
33. f (x) x 4 5x 3 8x 2 x 6
54. y 34. f (x) 5 x 2 4 x 4 mn 2
55. y ( 3x 4 )5
35. f (x) 3ax 4 4ax 3 5bx 2 7cx
56. y (2 4 x )3
30. s(t ) 4
31. f (x) 3
2
4
x
5
1
3
1
x x
3 ³
¤
x1 ¥ x ´
¦
xµ
36. f (x) x 3 3x 2 4 x 1
6
5
9
5
57. y ( 3x 6 2 x 4 )4
37. s(t ) t5 t4 t3 t2 t 2
6
5
4
7 9 3
1
¤ 3
³
58. y ¥ 4 x 2 2 x 2 ´
¦
µ
x2
38. f (x) a
2
b2
x c
a b
5 3x 2
59. y 39. s(t ) 4 5 9
t2 t 5
60. y 40. f (x) 5
6
7
3 1
x4 x3 x2 x 5
1³
¤
61. y ¥ x ´
¦
xµ
41. s(t) t3 2 6 3
5 t2 t 5
62. y 3
42. f (x) 43. f (x) 3
x
3
5
x
3
x3 2
1
2
2x2 6x
3
¤x
³
63. y ¥ 6 x ´
¦3
µ
x 4 3x 3 6 x 2 3x 2
x
64. f(x) 1217
4
x4 2
3
3
4
4
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
65. f (x) ( x 2 5 x 3)3
83. f (t) b 2
a t2
a
r2 3
(2 x 3)2
84. f(r ) 4x 3
85. f(t ) 6t 3
5t 8
86. f (z) 6 3z
5 6z
¤2 1 ³2
69. y ¥ 2 ´
¦x x µ
87. f(x) ax b
ax b
z2 4
88. f (x) 2
3x
3
x
89. f (t ) 1 2t
1 2t
66. y 3
67. y ¤1
³
68. f (x) ¥ x 2 ´
¦3
µ
3
r2 4
1
70. f (z) 71. y 3
x 6 3x
2
1 ³
¤
72. y ¥ 4 x 2 x ´ (9 x 8 )
¦
2 µ
¤ w 3³
90. f(w) ¥
¦ w 2 ´µ
3³
¤
73. y (5 x 3) ¥ 4 x ´
¦
xµ
91. f(U) 6(2 U 3 )
3 2U
74. y x 3 ( 3x 1)
92. f(s) s2 2
s2 6s
75. f (x) x 2 x 1
93. f(x) 5x2
2 b2 x2
94. f(t ) (9t 6 )3
(27 3t )2
77. y x 2 x 1
95. f (x) 4 xb
2a 6 x
78. f (x) ( 3x 2 5 )4 (2 x 2 1)3
96. f(x) 2 x 4 x 2
79. f (U) (U 2 1)3 (U 3 2 )2
97. y 4 3t
t 1
98. y 76. y x
(2 x 1)3
3
80. s ¤2 3³
81. s (t ) t 3 ¥ 2 ´
¦t t µ
82. f (x) 2
4
x a4
x3
3
x2 3
2
99. y (2 x 3)
6
2 4x
100. y 1218
x x 1
x 1
x 2 3x
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
101. y x2 9
x3
104. y 102. y 3
x 3 1
x 3 1
105. y 103. y m
xn 1
m
x 1
x 2 x 1
4 5x
106. y 2 x
n
x 1
xn
n
3
2 x 3 1
2 x 3 1
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Regla de la cadena
Sea y g(u), u f (x), entonces la derivada de y (g f )(x) g ( f (x)), se define:
dy
d
d
dy du
(g ° f )(x) g( f ( x )) •
dx
dx
dx
du dx
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Encuentra
dy
si y u 2 9; u x 2 1
dx
Solución
Por definición
dy dy du
dy
du
, entonces
•
2u y
2 x , por tanto:
dx du dx
du
dx
dy dy du
•
(2u )(2 x ) 4 ux 4(x 2 1)x 4x (x 2 1)
dx du dx
2
Obtén
v 1
d
( y u v), si y u 3, u ,v
v 1
dx
x2 1
Solución
Cuando hay más de dos funciones, la derivada es:
dy dy du dv
•
•
dx du dv dx
Luego:
dy
du
2
dv
x
2
3u 2,
y
du
dv (v 1)2
dx
x 1
Por consiguiente, el resultado es:
§ 2 ¶§ x ¶
6u 2 x
d
· ¨ 2
( y u v) §© 3u 2 ¶¸ ¨
2 ·
dx
(v 1)2 x 2 1
© (v 1) ¸ ¨© x 1 ·¸
1219
6
2
x2 1 1 x
x 2 1 1
4
x 2 1
4
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
3
Deriva la función y 3 x 3 2 x 2 8 , utilizando la regla de la cadena.
Solución
Al tomar u x 3 2 x 2 8 , entonces y 3 u , luego:
dy
1
du 3 3 u 2
y
du
3x 2 4 x
dx
Al utilizar la regla de la cadena, se obtiene como resultado:
dy dy du § 1
¨
•
dx du dx © 3 3 u 2
¶
3x 2 4 x
3x 2 4 x
2
· §© 3x 4 x ¶¸ 3 2
3 u
3 3 ( x 3 2 x 2 8 )2
¸
EJERCICIO 30
dy
, para las siguientes funciones:
dx
1
1. y u 2 u, u x
Determina
2. y u 1
,u
u 1
3. y 2u 3 3u , u x 2 1
x 3 1
x 3 1
7. y 8. y x
u 1
v2
,u
,v
u 1
v2
9. y u 1 , u 4. y 3
2
,ux1
u3 u2
10. y 5. y u
, u x 3 6x 2 8x
u 2 1
11. y u 2 1, u 6. y 1
,u
u
x2 1
v2
,v
v2 1
x
v 1
, v (x 2 3)2
v 1
v ,v
x 1
x 1
(2 x 1)5 (2 x 1)3
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Derivadas de funciones trascendentes
Se clasifican en funciones trigonométricas directas e inversas, logarítmicas y exponenciales, por ejemplo:
y sen 3 x
y tan(e x ln x)
y ln 2 x 1
y 3 x x2
y e cos x
y arc sen(x 2)
Ú Trigonométricas
d
dv
sen v cos v
dx
dx
d
dv
cot v csc 2 v
dx
dx
d
dv
cos v sen v
dx
dx
d
dv
sec v sec v tan v
dx
dx
d
dv
tan v sec 2 v
dx
dx
d
dv
csc v csc v cot v
dx
dx
1220
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
4
Ú Inversas trigonométricas
d
1
dv
•
arcsen v 2
dx
1 v dx
d
1
dv
•
arc cot v 2
dx
1 v dx
d
1
dv
•
arc cos v 2
dx
dx
1 v
d
1
dv
•
arc sec v 2
dx
dx
v v 1
d
1
dv
•
arc tan v dx
1 v 2 dx
d
1
dv
•
arc csc v dx
v v 2 1 dx
Ú Logarítmicas
log b e dv
d
log b v •
dx
v
dx
d
1 dv
ln v •
dx
v dx
Ú Exponenciales
d v
dv
e ev •
dx
dx
d v
dv
a a v ln a •
dx
dx
d v
du
u v • u v1
dx
dx
ln u • u v
dv
dx
Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina la derivada de las siguientes funciones:
y sen 5x 2, y tan 6x, y csc 4x 3
Solución
Se aplican las fórmulas
d
dv d
dv d
dv
,
,
a cada una de
sen v cos v
tan v sec 2 v
csc v csc v cot v
dx
dx dx
dx dx
dx
las funciones:
dy
d
¤ d
³
sen 5 x 2 cos 5 x 2 ¥ 5 x 2 ´ cos 5x 2(10x) 10x cos 5x 2
¦ dx
µ
dx
dx
dy d
¤ d
³
tan 6 x sec 2 6 x ¥ 6 x ´ sec 2 6 x (6 ) 6 sec 2 6x
¦ dx µ
dx dx
dy d
¤ d
³
csc 4 x 3 csc 4 x 3 cot 4 x 3 ¥ 4 x 3 ´ csc 4 x 3 cot 4 x 3 (12 x 2 ) 12 x 2 csc 4 x 3 cot 4 x 3
¦ dx
µ
dx dx
2
Deriva la función y 4 cos(x 2 1)
Solución
Se aplica la fórmula
d
dv
, con v x 2 1
cos v sen v
dx
dx
§
d ( x 2 1) ¶
dy
d
d cos( x 2 1)
2
4 ¨sen(x 2 1)
4 cos( x 2 1) 4
· 4 sen(x 1) • 2 x
dx
dx
dx
dx
©
¸
por tanto,
dy
8x sen(x 2 1)
dx
1221
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
3
sen x cos x
sen x cos x
Encuentra la derivada de la función y Solución
Primero se aplica la fórmula del cociente de funciones:
du
dv
d ¤ u ³ v dx u dx
¥ ´
dx ¦ v µ
v2
(sen x cos x )
dy
dx
d (sen x cos x )
d (sen x cos x )
(sen x cos x )
dx
dx
(sen x cos x )2
Se derivan las funciones con las fórmulas para la función seno y coseno:
dy
dx
§ d sen x d cos x ¶
§ d sen x d cos
(sen x cos x ) ¨
(sen x cos x ) ¨
·
dx
dx
dx
©
¸
© dx
2
(sen x cos x )
x¶
·¸
dy
(sen x cos x )(cos x sen x ) (sen x cos x )(cos x sen x )
(sen x cos x )2 (cos x sen x )2
2
dx
(sen x cos x )
(sen x cos x )2
dy
sen 2 x 2 sen x cos x cos 2 x cos 2 x 2 sen x cos x sen 2 x 2(sen 2 x cos 2 x )
dx
(sen x cos x )2
(sen x cos x )2
Se aplica la identidad trigonométrica sen2 x cos2 x 1 y se obtiene como resultado:
dy
2
(sen x cos x )2
dx
4
Determina la derivada de la función r tan 3
U U
Solución
Se expresa tan 3
U U §© tan
3
d n
dv
U U ¶¸ y se aplica la fórmula
v nv n1
dx
dx
3
d § tan U U ¶¸
d tan 3 U U
dr
©
3 §© tan
dU
dU
dU
Se deriva la tangente con la fórmula
dr
3 tan 2
dU
dr
3 tan 2
dU
U U • sec 2
U U ¶¸ •
d tan
U
dU
d
dv
y se simplifican los resultados:
tan v sec 2 v
dx
dx
U U •
d
U U
dU
¤ 1
³
U •¥
1´ 3 tan 2
¦2 U
µ
U
U
U • sec 2
U U • sec 2
¤ 3 6 U ³
dr
2
¥
´ • tan
dU
¦ 2 U µ
2
U U
1222
U U • sec 2
U
¤ 1 2 U ³
U ¥
´
¦ 2 U µ
U
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
5
Deriva la función s cos 2t sen 4t
Solución
Se aplica la fórmula para derivar un producto
d
dv
du
(uv ) u v
dx
dx
dx
d sen 4 t
d cos 2t
ds
d (cos 2t sen 4 t )
cos 2t •
sen 4 t •
dt
dt
dt
dt
Se deriva el seno y coseno con sus respectivas fórmulas y se obtiene el resultado:
d (4t ) ¶
d (2t ) ¶
ds
§
§
cos 2t • ¨ cos 4 t
cos 2t ; 4 cos 4 t = sen 4 t ;2 sen 2t =
sen 4 t • ¨sen 2t
dt ·¸
dt ·¸
dt
©
©
ds
4 cos 2t cos 4t 2 sen 2t sen 4t
dt
6
¿Cuál es la derivada de la función y 1
?
sen x
Solución
du
dv
d ¤ u ³ v dx u dx
Se aplica la fórmula
¥ ´
dx ¦ v µ
v2
dy
d
dx
dx
1
sen x
sen x
d sen x
d (1)
1
dx
dx
2
sen x
Se realizan las respectivas derivadas:
d sen x
cos x
1
1
d (1)
d sen x
(cos x ) 0 y
dx
dx
2 sen x dx
2 sen x
2 sen x
Se sustituyen y se obtiene como resultado:
dy
dx
¤ cos x ³
cos x
sen x (0 ) 1¥
´
¦ 2 sen x µ
cos x
2 sen x
sen x sen x
2 sen x sen x
1
EJERCICIO 31
Deriva las siguientes funciones trigonométricas:
1. y sen 8x
5. f (x) cot 4x 3
2. f (x) cos 3x 2
6. f (x) csc 9x
3. f (x) tan x 3
7. f (x) cos ax
4. s (t ) sec 6t
8. s (t ) tan bt 2
1223
4
4
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
9. f (x) 6 sec x 2
10. f (x) 31. f (x) tan4 3x 2
1
x
csc
2
4
32. f (x) sen 4 x
11. f (x) a cos 3x
33. f(x) sec 5 x 2
12. f (x) cot(3x 5)
34. f(x) 13. f (x) 2 sen
x
2
3
3 tan x 2
35. f(x) x sen x
P³
¤
14. f (x) cos ¥ 5 x ´
¦
2µ
36. f(x) x 2 cos x 2
15. s (t ) tan(at P)
37. f(x) sen 3x
x
16. f (x) sen x cos x
38. f(t ) cos 5t 2
t2
17. s (t ) sen t
39. y sen(ax 2)
18. f (x) cot 3 x
40. y a cos (3x)
19. f (x) sen
1
x
41. y tan x
20. s (t ) cos
1
t3
42. y 1
sec 3x 2
6
21. f (x) sec
1
x
43. y 1
2x
csc
2
3
22. f (x) tan 3x 3x
¤ 1³
44. y x 2 3x sen ¥ ´
¦ xµ
23. f (x) ax cot ax
45. y 3 cot (1 x 2 )
24. f (x) sen(x 1)2
46. y 25. s (t ) cos(3t 2 2)3
47. y sen2(2 bx)
26. f (x) 4 cot x 1
48. y tan4(2x 1)3
¤ x 1³
27. f (x) tan ¥
¦ x 1 ´µ
49. y ¤ ax b ³
28. f (x) sec ¥
¦ ax b ´µ
50. y 29. f (x) sen2 5x
51. y x cos3 4x
30. f (x) cos3 bx
52. y 1224
¤ x 1³
2
sen ¥
3
¦ x 1 ´µ
sec 2x
3
3 tan x 2
x2
sen ax
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
53. y x csc 2 x
x (1 sen x )(1 sen x )
cos x
64. y 54. y cos mx
sen nx
65. y 2 sen x cos x
55. y 1
1 sen x
66. y csc x • tan x
cos x
67. y 1 cos x
2
56. y x cos x sen x
57. y tan x 1
tan x 1
68. y cos2(3x 1) sen2(3x 1)
58. y x 2 sen 2x 4x cos 2x sen 2x
69. y 1 sen 2 x
x2
59. y cos(2x 1) tan(1 2x)
70. y (1 tan x )2
sec x
60. y x 2 sec(P x)
71. y 1
sen 3 x sen x 1
3
¤ 3x sen x ³
61. y ¥
¦ 3x 1 ´µ
62. y cos
63. y 3
72. y 2 cos x 2x sen x x 2 cos x
x 1
x 1
73. y 3
1
1
x sen 4 x sen 8 x
8
8
64
1 tan 2 x
x sec x
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Derivadas de funciones inversas trigonométricas
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Deriva la función y arc sen x 2
Solución
Se aplica la fórmula
d
(arcsen v ) dx
1
1 v
dy
d
(arcsen x 2 ) dx
dx
2
•
dv
dx
1
2 2
1 (x )
Por consiguiente, la derivada de la función es y •
d (x 2 )
dx
2x
1 x4
1225
1
1 x4
(2 x ) 2x
1 x4
4
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
2
¿Cuál es la derivada de la función y arc tan
x
1 ?
Solución
1
d
dv
arc tan v v2 1 • dx
dx
Se aplica la fórmula
dy d
arc tan
dx dx
x 1 1
•
2
d
x 1 1
x 1
dx
1
1
2
x
x 1 1
•
2
dy
dx
2 x §
¨©
1
2
x 1 1¶
·¸
dy
1
dx
2 x §© x 2 x 2 ¶¸
3
Obtén la derivada de la función r U 2 arc sec U
Solución
dr
d
U2
arc sec U
dU
dU
arc sec U
§
dU ¶
dU2
1
·
U2 ¨
2
dU
¨© U U 1 d U ·¸
4
Determina la derivada de la función y U
U2 1
arc sec U(2 U )
2 U arc sec U
arc sen x
x
Solución
¤
1
dx ³
d
dx
x¥
´ arcsen x
2
x arcsen x arcsen x
¦ 1 x dx µ
dy
dx
dx
x2
x2
dx
x
dy
dx
1 x2
arcsen x
x
2
x
x
2
1 x
2
1
arcsen x
arcsen x
2
2
x
x2
x 1 x
EJERCICIO 32
Determina la derivada de las siguientes funciones:
1. y arc sen 5x
5. f (x) arc sec x 2
2. f (x) arc cos 4x 2
6. f (x) arc csc 3x 2
3. f (x) arc tan 3x
7. f(x) arc cos
x
b
4. y arc cot x 3
8. f(x) arc sen
x
4
1226
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
9. f (x) arc tan
x
a
10. f (x) 2 arc sec
27. f (r) arc sen(r 2)
28. y x
1
¤ 2 x 1³
arc tan ¥
¦ 2 µ´
4
11. y arc sen(3 x 2)
¤ x 2³
29. y 4 arc sen ¥
4 x x2
¦ 2 ´µ
12. y arc cos 1 x 2
¤ 2 ³ ( x 6) 4 x x 2
30. y 6 arc csc ¥
2
¦ x 2 ´µ
13. y x 2 arc tan x
31. y 14. y x arcsen x 1 x 2
32. s (t) 3 9 t 2 2 arc sen
¤ 16 x 2 ³ x 16 x 2
15. y 8 arc cot ¥
´
x
2
¦
µ
33. 6y 25 arc sen
¤
x ³
16. y x arc csc( x1 ) arc tan ¥
´
2
¦ 1 x µ
34. w 2 U 2 2 arc tan
¤ x 2 1³
x
17. y ¥
arc tan x 2
¦ 2 ´µ
35. y 18. W arc csc U 2 1
x 5
x³
¤
36. y arc tan ¥ 2 tan ´
¦
3 6
2µ
x 1
1
2 x x 2 arc sen (x 1)
2
2
3x
3x 25 9 x 2
5
x
1
1 4 x 2 arc sen 2 x
2
4
x³
¤
37. y arc sen ¥ cos ´
¦
3µ
20. y ¤ x2 2 ³
x3
arc sen x ¥
1 x2
3
¦ 9 ´µ
38. y x arc cot(tan x)
b 2 r 2 b • arcsen
r
b
39. y arc sec (2 x )
4 x 2 1
22. y x arc tan x
x³
¤
40. y arc sec ¥ 2 sec ´
¦
2µ
¤
x ³
23. y arc tan (2 x ) arc sen ¥
´
2
¦ 1 x µ
¤ 2x 4 ³
41. y 4 arc sen ¥
¦ 3x 2 ´µ
24. y arc sen
42. s t 2 arc cos(1 t) 2t
x
¤ 1³
25. y x arc cos ¥ ´
¦ xµ
43. y arc cos(a x)
26. y arc sen(4ax 4x 2)
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1227
U2
2
2
x³
¤1
arc tan ¥ tan ´
¦3
3
2µ
19. y 21. f (r) t
3
4
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
A continuación se enlistan las propiedades de los logaritmos, las cuales, al aplicarlas, simplifican la función al momento
de obtener su derivada.
1
1. log a AB log a A log a B
4. log a n A log a A
n
A
log a A log a B
5. log n a A (log a A )n
2. log a
B
3. log a A n n • log a A
Las propiedades anteriores también se aplican a los logaritmos naturales.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Encuentra la derivada de la función y ln x 2
Solución
Al aplicar la fórmula
d ln v
1 dv
, se obtiene:
dx
v dx
dy
d ln x 2
1 dx 2
1
2
2
2 (2 x ) x dx
x
dx
dx
x
Por consiguiente, la derivada de la función es
2
dy
2
dx
x
¿Cuál es la derivada de y ln2(x 2 x)?
Solución
Se expresa la función como: ln2(x 2 x) [ln(x 2 x)]2 y se aplica
dy
d
[ln (x 2
dx
dx
x )] 2 2 ln (x 2 x )
d ln (x 2 x )
1 d(x2 x)
2 ln (x 2 x ) • 2
dx
x x
dx
1
dy
2 ln (x 2 x ) 2
• (2 x 1)
x x
dx
dy
2 ln (x 2
dx
x)
d n
¤ d ³
v nv n 1 ¥ v´
¦ dx µ
dx
2 x 1
x2 x
dy
2 (2 x 1) • ln ( x 2 x )
4x 2
2
• ln (x 2 x )
dx
x2 x
x x
1228
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
3
Obtén la derivada de y x 2 ln(mx)2
Solución
Se utiliza la fórmula del producto
duv
dv
du
u v
dx
dx
dx
d
dy
d 2
( x ln( mx )2 ) x 2 ln (mx )2
dx
dx
dx
ln (mx )2
d 2
x
dx
dy
1 d
x2 •
( mx )2 ln( mx )2 • (2 x )
dx
( mx )2 dx
dy
1
x2 •
• 2( mx )m 2 x ln( mx )2 2x 2x ln(mx)2
dx
( mx )2
Utilizando loga An n loga A, se obtiene:
dy
2x 2x (2 ln(mx)) 2x 4x ln(mx) 2x[1 2 ln(mx)]
dx
4
Determina la derivada de la función y ln(sen x)
Solución
Se deriva la función y mediante identidades trigonométricas se obtiene:
dy
d
1
d
1
cos x
cot x
ln (sen x ) •
(sen x ) • cos x dx
dx
sen x dx
sen x
sen x
5
¤ 1 sen x ³
Deriva y ln ¥
¦ 1 sen x ´µ
Solución
Al aplicar las propiedades de los logaritmos se obtiene: y ln(1 sen x) ln(1 sen x)
Se deriva la función:
y ¤
³ d
¤
³ d
d
d
1
1
ln (1 sen x ) ln (1 sen x ) ¥
1 sen x ¥
1 sen x
´
dx
dx
¦ 1 sen x µ dx
¦ 1 sen x ´µ dx
¤
³
¤
³
1
1
cos x
cos x
y ¥
(cos x ) ¥
(cos x ) 1 sen x 1 sen x
¦ 1 sen x ´µ
¦ 1 sen x ´µ
6
y cos x (1 sen x ) cos x (1 sen x )
cos x cos x sen x cos x cos x sen x
(1 sen x )(1 sen x )
(1 sen x )(1 sen x )
y ¤ 1 ³
2 cos x
2
2 cos x
2¥
2 sec x
1 sen 2 x
cos x
¦ cos x ´µ
cos 2 x
¿Cuál es la derivada de la función y e 2x 1?
Solución
Se aplica la fórmula
dv
d
d v
dy
y se obtiene:
e2 x1 •
(2 x 1) e 2x 1 2 2e 2x 1
e ev
dx
dx
dx
dx
pero y e 2x 1 por tanto
dy
2e 2x1 2y
dx
1229
4
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
7
Determina la derivada de la función y 3 ecos x
Solución
1
1
La función se puede expresar como y 3(ecos x ) 2 3e 2
cos x
, se deriva:
1
1
1
cos x
cos x ¤ 1
cos x
d ¤1
3
dy
d ¤ 12 cos x ³
³
³
3e
3e 2
• ¥ cos x ´ 3e 2
• ¥ (sen x )´ sen x • e 2
¥
´
¦
µ
¦
µ
dx 2
2
2
dx
dx ¦
µ
3
dy
sen x • ecos x
2
dx
8
Obtén la derivada de y x 3 • e
x
Solución
Se utiliza la fórmula del producto
dy
d 3
x •e
dx
dx
dy
x3 • e
dx
x
dy
1
x2 • e
dx
2
9
•
x
x
x3
d x
e e
dx
1
3x 2 • e
2 x
duv
dv
du
u v
dx
dx
dx
x
x
d 3
x x3 • e
dx
x
d
x
dx
1 2
x x • e x 3x 2 • e
2
e
x
• ( 3x 2 )
x
x 6
¿Cuál es la derivada de y 5x
2
5x 7?
Solución
Se aplica la fórmula
d v
dv
a a v • ln a
dx
dx
2
dy
d x 2 5 x7
d
(5
) 5 x 5 x7 • ln 5 •
( x 2 5 x 7)
dx
dx
dx
5x
2
5 x7
• ln 5 • (2 x 5 )
(2 x 5 ) • 5 x
10
Encuentra la derivada de la función y (sen x)e
2
5 x7
• ln 5
x
Solución
Se aplica la fórmula
du
dv
d v
ln u • u v •
u v • uv 1 •
dx
dx
dx
x
x d
d
dy
e x (sen x )e 1 (sen x ) ln(sen x ) • (sen x ) e
(e x )
dx
dx
dx
x
x
dy
e x (sen x )e (sen x ) 1 (cos x ) ln(sen x ) • (sen x )e (e x )
dx
x ¤ cos x ³
dy
e x (sen x )e ¥
¦ sen x ´µ
dx
x
ln(sen x ) • (sen x )e (e x ) ex (sen x)ex cot x e x (sen x)e x ln(sen x)
x
dy
e x (sen x )e [cot x ln (sen x )]
dx
1230
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
EJERCICIO 33
Obtén la derivada de las siguientes funciones:
1. y ln x 3
25. y ln 3 x 3 8
2. f (x) ln 4x 2
26. y ln 2 ( x )
3. f (x) ln(3x 2 5x 2)
27. y ln[(6x 4)(3x 2 2)]
4. f (x) ln
28. y log 3
x
1 2x
1 2x
5. f (x) log x 6
29. y log (5bx 3 3 x )
6. f (x) log 5x 3
30. y x ln(e x cos x)
7. f (x) log3 x
31. y ln(sen2 x)
8. f (x) log4 3 x
32. y x ln x
9. f (x) ln4 x
33. y ln(sec2 2x cos3 2x)
10. f(x) ln3 5x
34. y 11. y x 2 ln x
35. y ln(sec x tan x)
12. y x ln
13. y x2
36. y ln 1 sen 2 x
ln x
x
14. f (x) ln x
37. y ln(x sen x)
ln x 2
x
38. y x3 ln x2
15. y ln b ax
39. y ln tan x
16. f (x) ln x 2 3x 2 1
40. y log x
17. f (x) ln ax ax 2 b
41. y 2x
¤ 3x 5 ³
18. y ln ¥
¦ 2 x 1 ´µ
42. f(x) b
19. y ln
2
cx b
cx b
5x
x
43. y 3ln x
20. y ln sen x
44. y 5x sen x
21. y ln cos 5x
45. y x 2ln x
22. y ln(x 2 4)
46. y x 5x
23. y ln 3x 4
47. y e x
¤ 2 x 3³
24. y ln ¥
¦ 2 x 3 ´µ
48. y e 3x
2
2
1231
2x 1
3
4
4
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
49. y e
3 x 2 1
70. y e arc tan x
50. y e x tan x
71. y ln
xe2 x
51. y 2x
³
b ¤ 2bx
e e b ´
¥
2¦
µ
72. y xe ln x
52. y e2 x e2 x
e2 x e2 x
73. y ex
x 1
74. y xe x
ln x 2
2
53. f (x) e 4x
54. f (x) e 5x
75. y ln x 1
ln x 1
55. f (x) e 3x 1
76. y esen x 1
esen x 1
2
x
77. y ln(ln sen2 ax)
56. f (x) e 5
e x sen x
57. f(t) 3
et
78. y eln
58. f (x) 4
ex
79. y x 2 e sen x
1
ln sen x x
x
59. f (x) e x
2
80. y 60. f (x) e
x
81. y ln 3ax 2
2
x2 4
U
82. y 62. f (x) e cos 2x
83. y 63. y e x sen x
84. y x arc tan x ln 1 x 2
64. f (x) 53x
85. y 65. f (x) 72x
86. y x arc sec x ln x x 2 1
61. f (U) e sen
x 2 9 3 ln x x 2 9
1
1
sec 2 x tan 2 x ln(sec 2 x tan 2 x )
4
4
x 2
x 4 2 ln x x 2 4
2
2
1 ¤ 2 x 3³
ln
12 ¥¦ 2 x 3 ´µ
66. f (x) 5x
87. y 67. y x 2x
88. y x arc cot x ln 1 x 2
68. y x cos x
x
89. y x arc csc 2 ln x x 2 4
2
69. y x
x
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1232
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
4
Derivadas de funciones implícitas
Una función implícita es una relación que se expresa en términos de x y y, por ejemplo:
3x 3 y 5x x 2;
sen x cos(x y);
e x y x;
ln(x y) xy
En una función implícita se derivan término a término los elementos de la igualdad respecto a la variable que se
indica y al final se despeja la derivada.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
¿Cuál es la derivada
dy
de la función implícita 3x 2 6xy y 2 2x y?
dx
Solución
Se derivan ambos miembros de la igualdad:
d
d
( 3x 2 6 xy y 2 ) (2 x y )
dx
dx
d 3x 2 d 6 xy dy 2 d 2 x dy
dx
dx
dx
dx
dx
3
dx 2
dxy dy 2
dx dy
6
2 dx
dx
dx
dx dx
dx ³
dy
dy
¤ dy
3(2 x ) 6 ¥ x y ´ 2 y 2(1) ¦ dx
µ
dx
dx
dx
6x 6x
Se agrupan los términos que contienen
dy
dy
dy
6y 2y 2 dx
dx
dx
dy
, y se despeja:
dx
6 x
dy dy
dy
2y 2 6y 6x
dx
dx dx
dy
(6 x 2 y 1) 2 6 y 6 x
dx
dy 2 6 x 6 y
dx 1 6 x 2 y
Por lo regular, el resultado de la derivada de una función implícita se expresa en términos tanto de x como de y.
dy
Es común que en algunos casos la expresión
se represente como y .
dx
1233
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
2
Determina la derivada y de la función
xy x y
Solución
Al derivar ambos miembros de la igualdad se obtiene:
d
d
x y ( x y)
dx
dx
Se despeja y de la igualdad
d
( x y ) dx dy
dx
dx dx
2 xy
3
dx dy
dx dx 1 dy
dx
2 xy
3
1 y
1 y , y el resultado es:
2 xy
1 y 2 x y 2y x y
3
y 2y x y 2 x y 1
y 1 2 x y 2 x y 1
y 3
2 x y 1
1 2 x y
Obtén la derivada y de la función y e x y
Solución
Se derivan ambos miembros de la igualdad:
dy
d xy
e
dx
dx
y e xy •
3
d
( x y)
dx
3
y e xy (1 y)
3
y (1 e x y) e x y
Se despeja y de la igualdad:
y e x y y e x y
3
y y e x y e x y
Donde:
y 4
e xy
1 e xy
o
y y
1 y
Encuentra la derivada y de la función implícita sen(x y) x
Solución
d
dx
sen(x y ) dx
dx
3
cos(x y)(1 y ) 1
3
cos(x y) y cos(x y) 1
y cos(x y) 1 cos(x y)
Donde, la derivada
y 1 cos (x y )
1
cos( x y )
sec(x y) 1
cos (x y )
cos( x y ) cos( x y )
1234
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
5
Obtén la derivada
dy
de la función implícita x ln y ln x
dx
Solución
d
d
( x ln y ) (ln x )
dx
dx
3
dx d ln y
d ln x
dx
dx
dx
3
3
1
1
1
y y
x
Se despeja la derivada de la igualdad:
6
1
1
y 1
y
x
1
1 x
y y
x
3
y xy y
x
Determina la derivada respecto a x de la función cos(x y) sen(x y)
Solución
d
d
cos (x y ) sen(x y )
dx
dx
sen(x y )
d
d
( x y ) cos( x y ) ( x y )
dx
dx
sen(x y) (1 y) cos(x y) (1 y )
sen(x y) ysen(x y) cos(x y) ycos(x y)
Se despeja la derivada:
ycos(x y) ysen(x y) cos(x y) sen(x y)
y [cos(x y) sen(x y)] cos(x y) sen(x y)
y 7
cos (x
cos (x
y ) sen(x y )
y ) sen(x y )
x y 2a
Encuentra la derivada de la siguiente función implícita
Solución
d
d
( x y ) (2 a )
dx
dx
3
1
2 x
1
2 y
y 0
3
y 2 y
2 x
y y
x
EJERCICIO 34
Deriva las siguientes funciones implícitas respecto a x:
1. x 2 y 2 4
5. 3x 2 2xy 6y 2 1
2. 2xy 1
6. (x 1)2 (y 1)2 5
3. y 2 8x 0
7.
xy
x
xy
4. x 2 2y 2 5x 2y 1 0
8.
x 2 y2
1
a2 b2
1235
4
4
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
9.
3
30. xe y y 0
xy 2
10. y 3 2 xy 2 x 3 y 5 x 2 y 2 y
31. eln y xy 2
11. 3x 3 2 x 2 y 5 xy y 3x
32. sen(e xy ) e xy x
12. y x y x
33. e x cos y 3x
13.
x y xy
14. x 15.
34. sen(x a) cos(y b) ab
2 x 3y
2 x 3y
35. y cos x sen y
36. sen2(4x) cos2(4y) 8
x y 2x
16. y ln x y
37. e cos x e sen y sen y
17. x 2y 2 e ln(xy)
38. sen(xy ) 2 x 3
18. ln(sen(e y )) x
39. sen x cos y 3 0
y
19.
e
3
ex 1
20. ln
40. ecos y cos x
y
1
x2 1
41.
21. x y ln (x y )
2
22.
42. x arc tan y y 0
2
ex ey
1
x 2 y2
23. 3x
2
1 sen x
x
1 sen y
2 y
43. y ln [sen(x y )]
44. 2 y x 3 0
1
24. x y 2
25. y arc tan
45. esen y xy 2 y 0
x
y
46. x y y x 0
26. y ln x x ln y 2 0
47. 2 sen(x y ) y cos (x y )
27. y 2 ln ( ln x )y
48.
28. ln(1 e y ) e x
49. y arc cot x x 2 0
29. ln x ln y x 0
50. y arc cos (e x ) cos y
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1236
y
x2
tan xy
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
4
Derivadas de orden superior
Las derivadas de orden superior se obtienen al derivar una función y f(x), tantas veces como lo indique el orden
requerido.
dy
La derivada de una función se llama primera derivada y se denota con y dx
La derivada de la derivada se llama segunda derivada y se denota con y d2y
dx 2
El proceso de hallar derivadas, una tras otra, se llama derivadas sucesivas.
La enésima derivada de una función se denota con y ( n ) dny
f (n ) ( x)
dx n
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Encuentra la segunda derivada
d2y
de la función y cos3 x
dx 2
Solución
Se obtiene la primera derivada de la función:
dy
d cos 3 x
3 cos2 x sen x
dx
dx
Finalmente, se deriva el resultado anterior para obtener la segunda derivada:
d2y
d
(3 cos 2 x sen x ) 3 cos3 x 6 sen2 x cos x
dx 2
dx
2
Determina
d 3y
de la función y ln x
dx 3
Solución
Se obtiene la primera derivada:
dy
d (ln x )
1
dx
dx
x
Se encuentran la segunda y tercera derivadas:
1
d2y
d ¤ 1³
¥¦ ´µ 2
2
x
dx
dx x
Finalmente, el resultado es:
3
Encuentra
3
d 3y
d ¤ 1³
2
¥¦ 2 ´µ 3
3
x
dx
dx
x
d 3y
2
3
x
dx 3
d4y
de la función f (x) x 3 2x 2 x
dx 4
Solución
Se deriva sucesivamente la función, hasta llegar a la cuarta derivada:
f (x) x 3 2x 2 x
f (x) 3x 2 4x 1
f (x) 6
f 4(x) 0
1237
f (x) 6x 4
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
4
¿Cuál es el resultado de
d2y
de x 2 3xy y 1?
dx 2
Solución
Se obtiene la primera derivada implícita:
d 2
d
( x 3xy y ) (1 )
dx
dx
3
¤ dy
³ dy
2 x 3 ¥ x y´ 0
¦ dx
µ dx
2 x 3x
d2y
d ¤ 3y 2 x ³
La segunda derivada es:
dx 2
dx ¥¦ 1 3x ´µ
3
dy
dy
3y 0
dx
dx
dy
(1 3x ) 3y 2x
dx
dy
3y 2 x
dx
1 3x
d2y
dx 2
¤ dy
³
(1 3x ) ¥ 3 2 ´ ( 3y 2 x )(3)
¦ dx
µ
(1 3x )2
d2y
dx 2
§ ¤ 3y 2 x ³
¶
(1 3x ) ¨ 3 ¥
´µ 2 · ( 3y 2 x )(3)
1
3
x
¦
©
¸
(1 3x )2
d2y
3( 3y 2 x ) 2(1 3x ) ( 3y 2 x )(3)
dx 2
(1 3x )2
d2y
9y 6x 2 6x 9y 6x
dx 2
(1 3x )2
d2y
18 y 6 x 2
dx 2
(1 3x )2
5
Determina
d2y
de x 2 xy y 2 2
dx 2
Solución
Se obtiene la primera derivada:
d 2
d
( x xy y 2 ) (2 )
dx
dx
2x x
dy
³
¤ dy
2x ¥ x y´ 2y
0
¦ dx
µ
dx
3
dy
dy
y 2y
0
dx
dx
3
d2y
d ¤ y 2x ³
Se obtiene la segunda derivada:
dx 2
dx ¥¦ 2 y x ´µ
dy
(2y x) y 2x
dx
3
3
3
y 2x
dy
2y x
dx
d2y
dx 2
¤ dy
³
¤ dy ³
(2 y x ) ¥ 2 ´ ( y 2 x ) ¥ 2 1´
¦ dx
µ
¦ dx µ
(2 y x)2
d2y
dx 2
¤ 3x ³
¤ 3y ³
(2 y x ) ¥
( y 2 x ) ¥
¦ 2 y x ´µ
¦ 2 y x ´µ
2
(2 y x )
al simplificar se obtiene:
d2y
dx 2
pero x2 xy y2 2
6(2 )
12
d2y
dx 2
(2 y x )3
(2 y x )3
1238
6( x 2 xy y 2 )
(2 y x )3
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
EJERCICIO 35
Realiza lo que se te indica:
1. Determina
d4y
, si f (x) x 4 2x 3 4x 2 5x 2
dx 4
d 3y
, si y 4x 2 6x 2
dx 3
4 x 1
d2y
3. Determina
, si y 2
5x 3
dx
2. Obtén
4. Determina
5. Obtén
ax b
d2y
, si y ax b
dx 2
d 3y
, si y (ax b)4
dx 3
6. Determina
d4y
, si y sen x cos x
dx 4
d2y
, si y ln(sen x)
dx 2
3
d 3y
8. Obtén
, si y ( x 1)2
dx 3
7. Determina
d2y
, si y tan e x
dx 2
9. Encuentra
10. ¿Cuál es la
11. Obtén
d2y
, si y dx 2
12. Determina
13. Obtén
d2y
, si x 3xy 2y 0?
dx 2
d2y
, si x 2 y 2 16
dx 2
d4y
, si y x ln x
dx 4
14. Calcula la
d2y
, si sen x cos y 0
dx 2
15. Si y x 2 sen x, obtén
16. Si y 9 x2
d 3y
dx 3
x 1
d 3y d n y
, obtén
;
x 1
dx 3 dx n
17. Encuentra y de xy y 1 0
18. Si y ln(cos x), determina
19. Si f (x) d 3y
dx 3
1
d2y
, obtén
1 sen x
dx 2
20. Determina y y y de x 2 xy y 2 2
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1239
4
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Derivadas de ecuaciones polares
Sea R f (U) una función en coordenadas polares. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P(r, U) es:
dy
dy
R sen U R cos U
dU
m
dx
dx
R cos U R sen U
dU
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina
dy
, para la ecuación polar R 4 cos 3U
dx
Solución
Por el teorema:
§ d ( 4 cos 3 U ) ¶
·¸ sen U [ 4 cos 3 U ] cos U 12 sen 3U sen U 4 cos 3U cos U 3 sen 3 U sen U cos 3 U cos U
dy ¨©
dU
dx § d ( 4 cos 3 U ) ¶
12 sen 3U cos U 4 cos 3U sen U 3 sen 3 U cos U cos 3 U sen U
cos U [ 4 cos 3 U ] sen U
¨©
·
dU
¸
2
Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva R 1 sen U en U P
4
Solución
Al utilizar el teorema:
§d
¶
¨© d U (1 sen U ) ·¸ sen U (1 sen U )cos U
dy
cos U sen U cos U cos U sen U
d
dx
cos 2 U sen 2 U sen U
§
¶
¨© d U (1 sen U ) ·¸ cos U (1 sen U )sen U
Se evalúa R en U 2 cos U sen U cos U
cos 2 U sen 2 U sen U
sen 2 U cos U
cos 2 U sen U
P
4
¤ P³
¤ P³
sen 2 ¥ ´ cos ¥ ´
1
¦ 4µ
¦ 4µ
m
¤ P³
¤ P³
0
cos 2 ¥ ´ sen ¥ ´
¦ 4µ
¦ 4µ
1240
1
2 1
2 2 2 1
1
1
2
2
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
4
EJERCICIO 36
Determina la derivada de las siguientes ecuaciones polares:
a
1 cos U
1. R 2 sen U 3 cos U
6. R 2. R 4 csc U
7. R e aU
3. R a sen 5U
8. R 4 sec 2
4. R 9. R 3 2 cos U
sen 2U
5. R 1 cos U
U
2
10. R 4 U
En las siguientes ecuaciones polares, encuentra la pendiente en el punto indicado:
11. R 2 cos U, U P
8
12. R sen U cos U, U 13. R tan U, U 14. R P
3
P
4
2
,UP
a sen U
15. R 2 cos 2U , U P
2
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Derivada de ecuaciones paramétricas
La curva y f (x) se define por las ecuaciones paramétricas x h (t ) y y g (t ); entonces, la pendiente de la recta
tangente en un punto P (x, y) es:
d
dy
g(t )
dy
dt
dt , con dx : 0
m
d
dx
dx
dt
h(t )
dt
dt
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Calcula
1
dy
para la función cuyas ecuaciones paramétricas son x t 2 3t, y t 1
dx
Solución
Se determinan las derivadas respecto a t :
1
dx
dy
2t 3;
(t 1)2
dt
dt
Por el teorema:
1
dy
1
dy
1)2
(
t
dt dx
2t 3
(2t 3)(t 1)2
dx
dt
1241
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
2
Determina la pendiente de la recta tangente en el punto (x, y) a la curva, si sus ecuaciones paramétricas son x t 2,
1
y t 2 1 en el intervalo 3 t 3, para el punto correspondiente a t 2
8
Solución
Para aplicar el teorema se obtienen las derivadas:
dy
dx
y
dt
dt
dy
d §1 2
1
2t
t
¶
(t ) 1· (2t ) dt
dt ¨© 8
8
8
4
¸
dx
d
(t 2 ) 1
dt
dt
Al sustituir los resultados, se obtiene:
dy
t
dy
t
dt 4 dx
1
dx
4
dt
Se evalúa la derivada en t 2, para obtener el valor de la pendiente:
m
2
1
4
2
EJERCICIO 37
Deriva las siguientes funciones paramétricas:
ªx t
1. «
,
2
¬y t 4
t0R
ª x 3t 3 5
­
2. «
t 2 ,
y
4
¬­
1t3
­ª x t 2 t
,
3. «
­¬ y t
t0R
ª x b sec U
4. «
,
¬ y a tan U
0U
1
ª
­x 5. «
,
t
­¬ y t t 1
t0R
ª x 5 sen U cos U
,
6. «
¬ y sen U 4 cos U
0UP
t
ª
­x t 2 1
­
7. «
,
2
­ y t 1
­¬
t 1
t0R
1242
P
2
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada
U
ª
­ x cos
8. «
2 ,
­¬ y sen 2 U
ª x 5t 2
­
9. «
4 ,
­ y t2
¬
3
10.
[
x 3 2 tan U
,
y 4 csc U
P
U
2
t
P
2
3
0 U 2P
En las siguientes ecuaciones paramétricas obtén el valor de la pendiente en el punto indicado:
ª x 1 sen t
11. «
¬ y 1 cos t
0 t 2P,
t
ª x mt 2 b
12. «
¬ y nt a
m t n,
t 2mn
ª x b(2 3t )
13. «
2
¬ y at
3a
t
[
x 3t cos t
y sen t
t
2b,
P
3
b
2a
0 t P,
tP
ª x 2 cot 2 U
15. «
­¬ y 4 cot U
0 U 2P,
U
ª x 5t 2
16. «
2
¬y t t
3
t1
14.
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1243
t
3,
P
4
4
sim
p
l
i
fic
a
mp
li fi
ca
Ma
te
Ma
te
s simplificad
as U
s simplificad
as U
ca
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M at
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U
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U Matemáti
adas
cas
lific
sim
pli
fi
ca
U Matemáti
adas
ca
s
lific
sim
pli
fi
U
imp
s
da
’Hôpital escribió el primer libro de
cálculo en 1696, en el cual eran obvias las influencias de sus profesores
Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli y Leibniz.
ss
ica
át
ca
emáti
M at
ss
ica
át
Reseña
Ma
tem
ca
sim
s simplificada
sU
U Matemáti
c as
tica
temá
s
cada
Ma
ticas simplificada
s
temá
U
Ma
tem
U
L
5
plifi
sim
pli
fic
a
HISTÓRICA
as
tic
sim
im
fic
a
DE LA DERIVADA
Ma
s
as
tic
sim
APLICACIONES
pli
U
má
CAPÍTULO
s U Matemáti
cada
cas
plifi
s U Matemáti
cada
cas
plifi
Ma
tem
s
da
m
im
ss
ca
á ti
as U
s
da
L’Hôpital sirvió como oficial de caballería,
pero tuvo que retirarse a causa de ser corto
de vista. Desde ese tiempo dirigió su atención hacia las matemáticas. L’Hôpital aprendió cálculo de su maestro Johann Bernoulli en 1691.
s
da
UM
atem
áticas simplificadas
Matem
ática
das U
a
c
fi
s si
pli
U
as
simplificad
s
ica
át
d
ticas
temá
a
M
UM
a
t
e
má
L’Hôpital era un excelente matemático, en 1692 su fama está basada en su
libro Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes.
En este libro publicó la regla que ahora se conoce como regla de L’Hôpital,
para encontrar el límite de una función racional cuyo numerador y denominador tienden a cero.
Guillaume François Antoine marqués de L`Hôpital
(1661-1704)
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Rectas tangente y normal a una curva
Analicemos primero algunas definiciones:
Tangente
Recta que toca a una curva en un punto.
Normal
Recta perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.
T: recta tangente
N: recta normal
AP1 : longitud de la tangente
P1 B : longitud de la normal
AQ : longitud de la subtangente
QB : longitud de la subnormal
Y
y = f(x)
T
N
P1(x1, y1)
U
U
O
A
Q
B
Ú Longitud de la subtangente. En el triángulo AQP1 la tan U jar AQ se obtiene, AQ X
PQ
dy
1
, pero PQ
y1 y tan U m , al despe1
dx
AQ
PQ
1
, por consiguiente:
tan U
AQ y1
dy
dx
Ú Longitud de la subnormal. En el triángulo BQP1 la tan U QB
dy
, pero QP1 y1 y tan U m , por tanto,
dx
QP1
al despejar QB se obtiene, QB QP1 tan U, por consiguiente:
QB y1
dy
dx
Ú Longitud de la tangente. Es la distancia que existe entre el punto de tangencia y la intersección de la recta tangente con
el eje X.
En el triángulo AQP1 por el teorema de Pitágoras:
( AP1 )2 ( AQ )2 (QP1 )2
1246
CAPÍTULO
CÁLCULO
Pero, AQ DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
y1
y QP1 y1, por consiguiente:
dy
dx
2
AP1
2
¤ ³
2
( y1 )2 ¤
( y1 )2
¥ y ´
¤ dy ³ ³
2
¥ 1 ´ (y1)2 ´
2 ¥1 ¥
2 ( y1) dy
¦ dx µ ´µ
¤ dy ³ ¦
¤ dy ³
¥¦ ´µ
¥¦ ´µ
dx
¦¥ dx µ´
dx
2
Al despejar AP1 se obtiene, AP1 y1
¤ dy ³
1 ¥ ´ , por tanto,
dy
¦ dx µ
dx
AP1 y1
1 y2
y
Ú Longitud de la normal. Es la distancia que existe entre el punto de tangencia y la intersección de la recta normal con
el eje X.
En el triángulo BQP1 por el teorema de Pitágoras:
( BP1 )2 ( BQ )2 (QP1 )2
Pero BQ y1 •
dy
y QP1 y1
dx
2
2
¤
dy ³
¤
¤ dy ³ ³
( BP1 )2 ¥ y1 • ´ ( y1)2 (y1)2 ¥ 1 ¥ ´ ´
¦
¦ dx µ µ
dx µ
¦
2
¤ dy ³
Al despejar BP1 , se obtiene, BP1 y1 1 ¥ ´ , por consiguiente:
¦ dx µ
BP1 y1 1 y2
Ecuación de la recta tangente
La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P1(x1, y1) con pendiente m y y1 dy
está dada por:
dx
dy
(x x1)
dx
Ecuación de la recta normal
La ecuación de la recta normal a una curva en el punto P1(x1, y1) con pendiente m y y1 1247
1
(x x1)
dy
dx
1
está determinada por:
dy
dx
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la curva x 2 xy y x 4 en el punto (1, 2)?
Solución
Se derivan ambos miembros de la ecuación:
d ( x 2 xy y ) d ( x 4 )
dx
dx
Se despeja
3
¤ dy
³ dy
2 x ¥ x y´ 1
¦ dx
µ dx
3
2x x
dy
dy
y 1
dx
dx
dy
dx
1 2x y
dy 1 2 x y
, por def inición mT 1 x
dx
1 x
Al sustituir las coordenadas del punto de tangencia en la pendiente, se obtiene:
m
2
1 2(1) (2 )
1
1 1
2
¤ P 1³
¤P
³
Determina la pendiente de la recta tangente a la curva D sen ¥ U ´ , en el punto ¥ , ´
¦2
µ
¦ 3 2µ
Solución
Al derivar la ecuación de la curva:
¤P
³
d ¥ U´
µ
dD
¤P
³ ¦2
¤P
³
¤P
³
cos ¥ U ´
cos ¥ U ´ (1) cos ¥ U ´
¦2
µ
¦2
µ
¦2
µ
dU
dU
¤P
³
se obtiene que: mT cos ¥ U ´
¦2
µ
Se sustituye el punto en la pendiente:
3
¤ P P³
¤ P³
m cos ¥ ´ cos ¥ ´ ¦2
¦ 6µ
3µ
2
3
Encuentra la longitud de la subtangente, la subnormal, la tangente y la normal a la curva f(x) x 2 6x 4 en el
punto P(1, 1).
Solución
Se deriva la función y se evalúa en el punto para encontrar la pendiente de la recta tangente en ese punto.
f(x) 2x 6
Si x 1, entonces,
f (1) 2(1) 6 2 6 4
1248
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Por tanto,
subtangente:
tangente:
4
y1
1
dy
4
dx
y1
¤ dy ³
1 ¥ ´
dy
¦ dx µ
dx
2
subnormal: y1
dy
(1)(4) 4
dx
¤ dy ³
normal: y1 1 ¥ ´
¦ dx µ
1
17
4
2
17
¤ 1³
Determina la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva xy y 1 0 en el punto ¥ 3, ´
¦ 4µ
Solución
y
y
, por definición mT Al derivar la función se obtiene y x 1
x 1
1
1
¤ 1³
Se evalúa en el punto ¥ 3, ´ , m T 4 ¦ 4µ
16
3 1
Ecuación de la tangente:
1
dy
¤ 1³
, se sustituye en y y1 (x x1)
Se obtiene con P ¥ 3, ´ y m T ¦ 4µ
16
dx
1
1
y ( x 3)
4
16
3
16y 4 x 3
3
x 16y 7 0
Ecuación de la normal:
1
1
¤ 1³
16, se sustituye en y y1 (x x1)
Se obtiene con P ¥ 3, ´ y mN dy
dy
¦ 4µ
dx
dx
y
1
16(x 3) 3
4
4y 1 64x 192
3 64x 4y 191 0
Las ecuaciones de las rectas tangente y normal son: x 16y 7 0 y 64x 4y 191 0
EJERCICIO 38
Calcula la longitud de la subtangente, la subnormal, la tangente y la normal de las curvas dadas en el punto indicado.
1. f (x) x 2 en x 3
2. f (x) x 2 3x 2 en x 2
3. y x 2 5x 6 en el punto (1, 12)
4. f (x) x 3 2x 2 3 en el punto (2, 7)
5. y x 1
en el punto (2, 3)
x 1
6. f (x) x en el punto (9, 3)
7. f (x) x 3 en el punto (1, 2)
8. y 1
en x 2
x
1249
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
9. f(x) x 2 4 x en x 3
¤ 2³
10. x 2 y y 2 0 en el punto ¥ 2, ´
¦ 3µ
Determina la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva en el punto indicado:
11. y x 2 5 en el punto (2, 9 )
12. y x 2 x 1 en el punto (0, 1)
¤1 ³
13. y 4 x 2 4 x 1 en el punto ¥ , 0 ´
¦2 µ
14. y x 3 x 2 en el punto (2, 4 )
15. y x 4 3x 3 2 x 2 5 x 9 en el punto (1, 4 )
16. f (x) 9 x 2 en el punto
17. f(x) x 1
en el punto ( 3, 2 )
x 1
18. f(x) 2
en el punto (0, 2 )
x 1
5, 2
¤P ³
19. y sen x en el punto ¥ , 1´
¦2 µ
¤ P 1³
20. y cos x en el punto ¥ , ´
¦ 3 2µ
¤P ³
21. y tan x 2 en el punto ¥ , 3´
¦4 µ
22. x 2 y 2 12 0 en el punto ( 4, 2 )
23. xy 1 en el punto (1, 1)
24. x 3 2 xy 4 0 en el punto de abscisa x 1
25. x 2 y 2 4 y 1 0 en el punto de abscisa x 2
26.
x y x 1 en el punto de abscisa x 3
27. f (x) ln x en el punto de abscisa x e
28. xy x 2 0 en el punto de abscisa x 1
2
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1250
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Ángulo entre dos curvas
Sea P (xo, yo) el punto de intersección entre las curvas f (x) y g(x), entonces el ángulo U entre las curvas se obtiene
con:
tan U f ( xo ) g( xo )
1 f ( xo ) • g( xo )
Donde f (xo ) es la pendiente de la recta L 2 y g(xo ) es la pendiente de la recta L 1
Y
L2
y = f(x)
U
P(xo, yo)
y = g(x)
O
L1
X
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina el ángulo agudo f ormado por las curvas f (x) 4 x 2 y g(x) x 2 en el punto de intersección, cuya
abscisa es x 2
Solución
Se obtienen las derivadas de las funciones:
f (x) 4 x 2
g(x) x 2
f (x) 2x
Se evalúa la abscisa x g(x) 2x
2 en las pendientes (derivadas)
f( 2 ) 2 2
g( 2 ) 2 2
Se aplica la fórmula, entonces;
tan U 2
1 f 2 g 2
f
2 g
2 2 2 2
1 2 2 2 2
Al despejar U
¤4 2³
U arc tan ¥
´
¦ 7 µ
Por tanto:
U 38 56 32
1251
4 2
4 2
1 8
7
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
2
SIMPLIFICADAS
¿Cuál es la medida de los ángulos formados por las curvas x 2 y 2 4, x 2 y 2 6x 8 0 en los puntos 1, 3 ,
1, 3 ?
Solución
Paso I:
Se obtienen las pendientes de las curvas al derivar las ecuaciones y evaluar los puntos dados:
De la curva x 2 y 2 4, y x
x3
y de la curva x 2 y 2 6x 8 0, y y
y
En el punto 1, 3 , las pendientes son:
1
2
y
respectivamente.
3
3
En el punto 1, 3 , las pendientes son: 1
2
y
respectivamente.
3
3
Paso II:
Se obtiene el ángulo al sustituir el valor de las pendientes en la fórmula.
Para el punto 1, 3 :
2
1
1
1
3
3
3
3
3 tan U 2
5
¤ 2 ³¤ 1 ³
5
3
1
1 ¥
3
3
¦ 3 ´µ ¥¦ 3 ´µ
Por consiguiente: U 19 6
Para el punto 1, 3
2
¤ 1 ³
1
1
¥ ´
3 ¦
3µ
3
3 3
tan U 2
5
2
1
¤
³¤
³
5 3
1
1 ¥ ´ ¥ ´
3
3
¦
3µ ¦
3µ
Finalmente: U 160 54
3
Encuentra la medida del ángulo agudo formado por las curvas x 2 y 2 8 0 y y 2 2x 0
Solución
Se obtienen las intersecciones de las curvas mediante un sistema de ecuaciones:
x 2 y 2 8 0; y 2 2x
x 2 2x 8 0
3
(x 4)(x 2) 0
x 4, x 2
Luego, si x 2 entonces y 2 que resultan en los puntos (2, 2) y (2, 2)
Se obtienen las derivadas de cada una de las ecuaciones:
x2 y2 8 0
y 2 2x 0
2x 2y y 0
2y y 2 0
1
y y
x
y y
1252
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
Se realiza la evaluación en los puntos (2, 2) y (2, 2)
Para el punto (2, 2) 3 y1 2
1
1; y2 2
2
Luego:
1
1
3
(1)
1
2
2
2
tan U 3; donde U arc tan(3) 71 33
1
1
1
1 (1)
1
2
2
2
Para el punto (2, 2)
3
y2 2
1
1; y1 2
2
Luego,
¤ 1³
3
1
1 ¥ ´
1
¦ 2µ
2 2 3; donde U arc tan(3) 71 33
tan U 1
1
¤ 1³
1
1 (1) ¥ ´
¦ 2µ
2
2
Y
x2 + y2 – 8 = 0
(2, 2)
U =71° 33’
X
U =71° 33’
(2, –2) y2 – 2x = 0
EJERCICIO 39
Determina la medida del ángulo agudo y obtuso que forman las curvas dadas en el punto indicado:
1. y x 2 1 ; y x 1 en el punto (0, 1)
2. y 4 2
x ; y 25 x 2 en el punto ( 3, 4 )
9
3. y 13 x 2 ; y 18 ( x 5 )2 en el punto (2, 3)
4. x 2 y 2 2 0 ; y 2 x 0 en el punto 2, 2
3³
¤
5. 3x 2 5 y 0 ; 2 x 5 y 1 0 en el punto ¥ 1, ´
¦
5µ
6. xy 1 ; y x 1
¤ 1³
en el punto ¥ 2, ´
¦ 2µ
x
7. x 2 y 2 5 0 ; y 2 4 x 0 en el punto de abscisa 1
8. Determina la medida del ángulo obtuso que forma x 2 3y 2 13 0 y y 2 4 x 0
1253
5
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Calcula la medida del ángulo agudo que forman las curvas dadas:
9. 3x 2 4 y 2 12 0 ; 4 y 2 9 x 0
10. xy x 2 0 ; xy 1 0
11. x 2 y ; y 2( x 2 )2
12. y x 2 x ; y x 2 5 x
13. y 2 x 1 ; y 2 2 x 4 0
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Curvatura
Radio de curvatura
En geometría plana la longitud de un segmento circular está dada por la fórmula: s r U
3 r
s
U
s
θ
r
En la figura se observa que s cambia cuando U cambia.
En una curva cualquiera, al tomar un segmento muy pequeño formado por dos puntos de la curva y al relacionar
la fórmula anterior se tiene que:
Δθ ≠ Δ θ'
Δs
Δθ
Δθ '
Δs
De la fórmula anterior se define $r como:
$r $s
$U
Luego, si la longitud $s es cada vez más pequeña, es decir, tiende a cero, el radio de curvatura se define como
el siguiente límite:
r lím
$s l 0
$s ds
$U d U
3 r
C
dθ
θ + dθ
r
ds
P
1254
Q
θ
ds
dU
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
En la figura se tienen dos puntos, P y Q, de la curva, muy próximos entre sí, en cada punto se traza una recta
tangente y su normal. Al punto de intersección entre las normales se le llama centro de curvatura y a la distancia del
centro a cualquiera de los puntos P y Q se le llama radio de curvatura.
La expresión
1 dU
recibe el nombre de curvatura.
r ds
Para determinar la fórmula que permita calcular el radio de curvatura se tiene la siguiente figura.
Y
f(x)
y + dy
Q
ds
P
y
θ
R
x
x + dx
X
En la función f (x) se tienen los puntos P y Q infinitamente muy próximos, de manera que la longitud del segmento
circular ds sea igual a la longitud del segmento PQ; entonces, de la representación geométrica de la derivada se tiene
que:
dy
dy
tan U 3 U arc tan
dx
dx
Del triángulo PQR y el teorema de Pitágoras se obtiene:
§
(dy )2 ¶
¤ dy ³
ds (dx )2 (dy )2 ¨1 (dx )2 1 ¥ ´
2 ·
¦ dx µ
(dx ) ¸
©
2
dx
Luego,
ds r d U 3 r ds
dU
2
2
2
§ ¤ dy ³ 2 ¶
¤ dy ³
¤ dy ³
¤ dy ³
¨1 ¥¦ ´µ · 1 ¥¦ ´µ
1 ¥ ´ dx
1 ¥ ´ dx
dx ·¸
dx
¦ dx µ
¦ dx µ
ds
¨
r
3 r
3 r
3 r©
2
2
dy
d y
d y
dU
d arc tan
dx
dx
dx 2
dx 2
2
dy
¤ ³
1 ¥ ´
¦ dx µ
Finalmente, la fórmula para determinar el radio de curvatura es:
r
§ ¤ dy ³ 2 ¶
¨1 ¥¦ ´µ ·
dx ·¸
¨©
d2y
dx 2
3
o r
La longitud del radio de curvatura es una cantidad positiva.
1255
§©1 ( y)2 ¶¸
y
3
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Círculo de curvatura
Es una curva dada en un punto de tangencia a la circunferencia, que tiene de centro el centro de curvatura y de radio
el radio de curvatura y que pasa por un punto de tangencia, también se le conoce como circunferencia osculatriz o
círculo osculador.
f(x)
C
r
Q
Centro de curvatura
Para determinar la fórmula que permita calcular el centro de curvatura se tiene la siguiente figura.
Y
Q
r
C
X
Donde:
C (A, B): centro de curvatura
Q(x, y): punto de la curva
r: radio de curvatura
Se obtiene la ecuación de la recta normal de la recta tangente en el punto Q.
1
B y (A x )
y
Se obtiene la ecuación de la circunferencia de centro el punto C (A, B), radio r y que pasa por el punto Q(x, y).
(x A)2 (y B)2 r 2
Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtienen las coordenadas del centro de curvatura.
2
¤ dy § ¤ dy ³ 2 ¶ ³
¤
¤ dy ³ ³
¥ ¨1 ¦¥ µ´ · ´
1
¥
´
¥
dx ¨
dx ·¸ ´
¦ dx µ ´
´
A x ¥ © 2
, B y ¥
´
¥
d y
d2y ´
¥
´
¥
´µ
¥¦
dx 2
dx 2
´µ
¥¦
¤ y §1 ( y)2 ¶¸ ³
¤ 1 ( y)2 ³
A x ¥ ©
´ , B y ¥ y ´
¦
µ
y
¦
µ
1256
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina el radio de curvatura y la curvatura de la curva x 2 y 2 25 en el punto (3, 4)
Solución
Se obtienen la primera y la segunda derivadas de la función dada.
d2y
x 2 y2
2
dx
y3
dy
x
dx
y
El punto se evalúa en cada derivada.
dy
3
x
;
dx
4
y
d2y
32 4 2
25
x 2 y2
2
3
dx
43
64
y
Los valores que se obtienen se sustituyen en la fórmula de radio de curvatura.
r
§©1 ( y)2 ¶¸
y
3
3 r
§ ¤ 3³ 2 ¶
¨1 ¥¦ ´µ ·
4 ·¸
¨©
25
64
Por tanto, el radio de curvatura es:
r5
Luego, el valor de la curvatura se obtiene con la expresión:
dU 1
ds r
F inalmente, el valor de la curvatura es:
dU 1
ds 5
1257
3
125
3 r 64
25
64
3 r 5
5
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
2
SIMPLIFICADAS
Determina el radio y el centro de curvatura de curva y 2 8x, en el punto (2, 4)
Solución
Se obtienen la primera y la segunda derivadas de la curva y se evalúa el punto.
dy
4
4
1
dx
y
4
d2y
16
16
1
3 3 y
(4 )
dx 2
4
Los valores obtenidos se sustituyen en la fórmula del radio de curvatura.
r
§©1 (1)2 ¶¸
1
4
3
3 r
2 2
3 r 8 2
1
4
Por tanto, el radio de curvatura es:
r 8 2
Luego, el punto (2, 4) y los valores de las derivadas, se sustituyen en las fórmulas que determinan las coordenadas
del centro de curvatura.
¤
³
2
¤ y §©1 ( y)2 ¶¸ ³
¥ 1 §©1 (1) ¶¸ ´
A x ¥
´ 3 A 2 ¥
´ 3 A 2 8 10
1
y
¦
µ
¥¦
´µ
4
¤
³
2
¤ 1 ( y)2 ³
¥ 1 (1) ´
B y ¥
3
B
3 B 4 8 4
4
¥
1 ´
¦ y ´µ
¥¦ ´µ
4
Por tanto, las coordenadas del centro de curvatura son el punto (10, 4)
Radio de curvatura en coordenadas paramétricas
Dadas las ecuaciones de una curva en coordenadas paramétricas.
x f(t), y g (t)
Entonces, al derivar y sustituir en la fórmula del radio de curvatura en coordenadas rectangulares, se obtiene:
§ ¤ dx ³ 2 ¤ dy ³ 2 ¶
¨ ¥ ´ ¥ ´ ·
¦ dt µ ·
¨ ¦ dt µ
¸
r ©
dx d 2 y dy d 2 x
dt dt 2 dt dt 2
1258
3
§ ( x)2 ( y)2 ¶
¸
3 r©
x y y x 3
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
Ejemplos
EJEMPLOS
3
Determina el radio de curvatura de la elipse x 2 cos t, y 3 sen t en el punto correspondiente a t P
2
Solución
Se obtienen la primera y la segunda derivadas de cada ecuación y se evalúa t P
en cada una de ellas.
2
¤ P³
x 2 cos t 3 x2 sen t 3 x2 sen ¥ ´ 2(1) 2
¦ 2µ
¤ P³
x 2 cos t 3 x 2 cos ¥ ´ 2(0 ) 0
¦ 2µ
¤ P³
y 3 sen t 3 y 3 cos t 3 y 3 cos ¥ ´ 3(0 ) 0
¦ 2µ
¤ P³
y 3 sen t 3 y 3 sen ¥ ´ 3(1) 3
¦ 2µ
Los valores obtenidos se sustituyen en la fórmula del radio de curvatura:
§ ( x)2 ( y)2 ¶
¸
r©
x y y x 3
3
§ ( 2 )2 ( 0 )2 ¶
¸ 3 r 8 8 4
3 r ©
6 6 3
(2 )(3) (0 )(0 )
Por consiguiente, el radio de curvatura de la elipse en el punto correspondiente a t r
P
es:
2
4
3
Radio de curvatura en coordenadas polares
Dada la curva con ecuación de la forma:
R f (U )
Se tiene que:
x R cos U , y R sen U
Si se sustituye R f (U ) en estas últimas ecuaciones, se obtiene:
x f (U ) cos U , y f (U ) sen U
Entonces, al derivar y sustituir en la fórmula del radio de curvatura en coordenadas rectangulares, se obtiene:
3
2
§
dR ¶
¨ R ¤¥ ³´ ·
¦ dU µ ·
¨©
¸
r
2
d2R
¤ dR ³
2
R 2¥ ´ R 2
¦ dU µ
dU
1259
3
§ R ( R)2 ¶
¸
3 r 2©
R 2( R)2 RR
5
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
4
Determina el radio de curvatura de la curva R cos 2U, en el punto correspondiente a U P
Solución
Se determinan la primera y la segunda derivadas de la función dada y se evalúa U R cos 2 U 3 R cos 2(P) 3 R 1
R 2 sen 2 U 3 R2 sen 2(P) 3 R 0
R 4 cos 2 P 3 R 4 cos 2(P) 3 R 4
Los valores se sustituyen en la fórmula y se simplifican las operaciones.
3
3
§ 1 ( 0 )2 ¶
§ 1¶
¸
© ¸ 1 1
r 2 ©
5 5
(1) 2(0 )2 (1)(4 ) 1 0 4
Por tanto, el valor del radio de curvatura es:
r
1
5
EJERCICIO 40
Determina el radio de curvatura y la curvatura de las curvas en el punto dado:
1. x 2 y 2 3
(1, 2)
2. xy y 4 0
(3, 1)
3.
x2
4y 0
(2, 1)
x3
(1, 1)
x cos t
y sen t
tP
ªx 1 t
6. «
2
¬y t
t2
7. R cos U
U
P
2
U
2
U
P
3
4. y 5.
[
8. R sen
Determina el centro de curvatura de las curvas en el punto dado:
9. x 2 4y 0
10.
x2
4y 2
(2, 1)
80
(2, 1)
11. y sen x
¤P ³
¥¦ , 1´µ
2
12. y e x 0
(0, 1)
13. y x 1
(3, 2)
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1260
P
4
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Máximos y mínimos de una función
Definición
1. Se dice que una función f (x) tiene un máximo local M en x xo , si f (xo ) f(x) para toda x en un intervalo (a, b)
tal que xo , pertenezca a dicho intervalo.
2. Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local m en x xo , si f (xo ) f (x) para toda x en un intervalo (a, b)
tal que xo , pertenezca a dicho intervalo.
Y
Y
M
f(xo)
f(x)
f(xo)
P
P
f(x)
(
a
)
b
xo
m
(
a
X
f(x) ≤ f(xo)
xo
f(xo) ≤ f(x)
)
b
X
Si f (x) tiene un máximo o mínimo local en xo , entonces la pendiente de la recta tangente (derivada) en dicho punto
es igual a cero.
Y
M
f’(x) = 0
m
f(x)
f’(x) = 0
X
Donde:
M punto máximo
m punto mínimo
Criterio de la primera derivada para encontrar puntos máximos y mínimos
a) Si f(x) 0, para toda x 0 (a, xo ) y f(x) 0, para toda x 0 (xo , b) (es decir, la derivada cambia de valores positivos
a negativos), entonces en f (xo ) existe un valor máximo local.
b) Si f(x) 0 para toda x 0 (a, xo ) y f(x) 0, para toda x 0 (xo , b) (es decir, la derivada cambia de valores negativos
a positivos), entonces en f (xo ) existe un valor mínimo local.
c) Si para toda x 0 (a, b) y f (x) tiene el mismo signo, entonces f(x) no tiene valor máximo ni mínimo local.
1261
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina los puntos máximos y mínimos para la función f (x) 3x 2 12x 15, utiliza el criterio de la primera
derivada.
Solución
Paso I
Se obtiene la derivada de la función:
f (x) 6x 12
Paso II
La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación:
f(x) 6x 12;
6x 12 0
donde
x2
Este resultado recibe el nombre de valor o punto crítico.
Paso III
Se da un valor menor y uno mayor próximo al valor crítico y se evalúan en la derivada.
Para x 2 se toman los valores 1 y 3
f(1) 6(1) 12 6
0
f(3) 6(3) 12 6 0
y
El cambio de signo es de negativo a positivo, entonces la función tiene un valor mínimo en x 2.
Paso IV
El valor crítico se evalúa en la función:
f(2) 3(2)2 12(2) 15
f (2) 3
Por consiguiente, el punto mínimo es (2, 3)
2
Obtén los puntos máximos y mínimos para la función f(x) 2 x 3 3x 2 12 x 15
Solución
Paso I
Se obtiene la derivada de la función:
f(x) 6 x 2 6 x 12
Paso II
La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación:
f (x) 6 x 2 6 x 12
3
6 x 2 6 x 12 0
x2 x 2 0
( x 2 )( x 1) 0
Los valores críticos son:
x1 2, x2 1
1262
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Paso III
Se dan valores menores y mayores próximos a los valores críticos y se evalúan en la derivada.
Para x 1, se toman los valores x 3
1
yx 2
2
2
2
21
¤ 3³
¤ 3 ³
¤ 3 ³
f ¥ ´ 6 ¥ ´ 6 ¥ ´ 12 0
¦ 2µ
¦ 2 µ
¦ 2 µ
2
15
¤ 1³
¤ 1 ³
¤ 1 ³
y f ¥ ´ 6 ¥ ´ 6 ¥ ´ 12 ¦ 2µ
¦ 2 µ
¦ 2 µ
2
La derivada cambia de signo positivo a negativo, entonces la función tiene un valor máximo en x 1
Para x 2 se toman los valores x 3
5
yx
2
2
2
2
15
¤ 3³
¤ 3³
¤ 3³
f ¥ ´ 6 ¥ ´ 6 ¥ ´ 12 ¦ 2µ
¦ 2µ
¦ 2µ
2
0
21
¤ 5³
¤ 5³
¤ 5³
y f ¥ ´ 6 ¥ ´ 6 ¥ ´ 12 0
¦ 2µ
¦ 2µ
¦ 2µ
2
La derivada cambia de signo negativo a positivo, entonces la función tiene un valor mínimo en x 2
Paso IV
Los valores críticos se evalúan en la función:
Para x 1, f (1) 2(1)3 3(1)2 12(1) 15 22
Para x 2, f (2) 2(2 )3 3(2 )2 12(2 ) 15 5
Por tanto, el punto máximo es (1, 22) y el punto mínimo es (2, 5)
Intervalos donde crece o decrece una función
Definición
1. Una función es creciente en el intervalo (a, b), si f(x) 0 para toda x 0 (a, b)
2. Una función es decreciente en el intervalo (a, b), si f(x) 0 para toda x 0 (a, b)
Y
Y
f (x)
f ’(x)>0
f (x)
a
x
a
b X
x
f ’(x)< 0 b
X
Observación 1. Existen funciones siempre crecientes, pero su derivada se anula para algún valor de x.
Ejemplo
La función f (x) 1 (x 2)3 es siempre creciente, pero su derivada es cero para x 2
f(x) 3(x 2)2
3 f (2) 3(2 2)2 3(0) 0
Observación 2. Existen funciones siempre decrecientes, pero su derivada se anula para algún valor de x.
1263
0
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
La función f (x) 1 (x 2)3 es siempre decreciente, pero su derivada es cero para x 2
f (x) 3(x 2)2 3 f (2) 3(2 2)2 3(0) 0
2
Indica los intervalos donde la función f (x)
1 3 1 2
x x 6 x es creciente y decreciente.
3
2
Solución
a) Intervalo donde f (x) es creciente.
Paso I
Se obtiene la derivada de la función: f (x) x 2 x 6
Paso II
Por def inición f (x) 0
x2 x 6 0
Al resolver la desigualdad se obtienen los intervalos:
(@, 2) X (3, @)
Donde la f unción es creciente.
b) Intervalo donde f (x) es decreciente.
Paso I
Se obtiene la derivada de la función:
f(x) x 2 x 6
Paso II
Por definición f (x)
0
x2 x 6
0
Al resolver la desigualdad se obtiene el intervalo:
(2, 3)
Donde la f unción es decreciente.
Gráf ica:
Y
f’(x)< 0
f’(x) > 0
x=3
x = –2
X
f’(x) > 0
f’(x) < 0
1264
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
EJERCICIO 41
Encuentra los máximos, los mínimos y los intervalos para los que la función es creciente o decreciente.
1. f ( x ) x 2 6 x 5
9. f ( x ) x3 x2
6x 4
3
2
x4 4 3 3 2
x x 1
4
3
2
2. f ( x ) 3x 2 5 x 4
10. f ( x ) 3. f ( x ) x 3 3x
11. y 4. f ( x ) x 3 6 x 2
12. f ( x ) x3
x3
5. f ( x ) 4 x 3 3x 2 6 x
13. f ( x ) 2x
x2 4
6. f ( x ) 4 x 3 x 2 4 x 3
14. y 7. f ( x ) 2 x 3 3x 2 12 x 5
15. f ( x ) 8. f ( x ) 3
x2 2x
x2 1
4 x2
x2
x3
x3
x 2 3x 1
3
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Criterio de la segunda derivada para encontrar puntos máximos y mínimos
a) Dada y f (x) con f (xo ) 0, si f(xo ) 0, entonces el punto (xo , f(xo )) representa un punto mínimo.
b) Dada y f (x) con f (xo ) 0, si f(xo ) 0, entonces el punto (xo , f (xo )) representa un punto máximo.
Ejemplo
Determina con el criterio de la segunda derivada los puntos máximos y mínimos de la función
f(x) x 3 3x 2 24x 10
Solución
Paso I
Se obtiene la derivada de la función:
f(x) 3x 2 6x 24
Paso II
Se iguala la derivada a cero y se resuelve la ecuación:
3x 2 6x 24 0
x 2 2x 8 0
(x 4)(x 2) 0
Los valores críticos son:
x4
1265
y x 2
5
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Paso III
Se obtiene la segunda derivada y se evalúa con los valores críticos:
f (x) 6x 6
Para x 2
f (2) 6(2) 6 18
0
Por tanto, la función tiene un valor máximo en x 2
Para x 4
f (4) 6(4) 6 18 0
Por tanto, la función tiene un valor mínimo en x 4
Paso IV
Los valores críticos se evalúan en la función:
Para x 2
f (2) (2)3 3(2)2 24(2) 10 18
Para x 4
f (4) (4)3 3(4)2 24(4) 10 90
Entonces, la función tiene un punto máximo en (2, 18) y un punto mínimo en (4, 90)
Concavidad y punto de inflexión de una función
La función f (x) es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a dicha función están por debajo de la curva.
La función f (x) es cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes a dicha función están por arriba de la curva.
Y
f (x) = 0
f (x)
f’(x) > 0
Cóncava hacia
arriba de (x0, @)
f’(x) < 0
f”(x) = 0
f (xo)
f’(x) < 0
f’(x) > 0
f (x) = 0
Cóncava hacia
abajo de (@, x0)
O
x = xo
X
Donde (xo , f (xo )) es el punto de inflexión.
Prueba de concavidad:
1. Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo (a, b) si para todo x 0 (a, b), f (x) 0
2. Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo (a, b) si para todo x 0 (a, b), f (x) 0
3. Una función tiene un punto de inflexión en (xo , f(xo )) si f (xo ) 0
Ejemplo
Determina las coordenadas del punto de inflexión y los intervalos de concavidad para la función:
f (x) 2 x 3 9 x 2 60 x
1266
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Solución
Punto de inflexión
Paso I
Se obtiene la segunda derivada:
f (x) 6 x 2 18 x 60
3 f (x) 12 x 18
Paso II
La segunda derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación:
12 x 18 0
3 x
3
2
Paso III
3
Se evalúa la función con x :
2
3
2
207
¤ 3³
¤ 3³
¤ 3³
¤ 3³
f ¥ ´ 2 ¥ ´ 9 ¥ ´ 60 ¥ ´ ¦ 2µ
¦ 2µ
¦ 2µ
¦ 2µ
2
¤ 3 207 ³
Por consiguiente, las coordenadas del punto de inflexión son ¥ ,
¦ 2 2 ´µ
Intervalos de concavidad
Intervalo donde la función es cóncava hacia arriba.
Por def inición f (x) 0, entonces:
12 x 18 0
3
, por tanto, el intervalo donde la función es cóncava hacia arriba
2
Al resolver la desigualdad se obtiene que x
3
es: ¤¥ @, ³´
¦
2µ
Intervalo donde la función es cóncava hacia abajo.
Por def inición f (x) 0
12 x 18
Al resolver la desigualdad se obtiene que x 0
3
, entonces, el intervalo donde la función es cóncava hacia abajo
2
3
es: ¤¥ , @ ³´
¦2 µ
1267
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 42
Dadas las siguientes funciones, determina:
a)
b)
c)
d)
e)
Puntos máximos y mínimos.
Intervalos donde la función crece y decrece.
Intervalos de concavidad.
Puntos de inflexión.
Gráfica.
1. f (x) x 2 6 x 10
7. f(x) 2 x 3 3x 2 12 x 6
2. f(x) x 2 4 x 6
8. f(x) (x 2 1)2
3. f (x) x 3 3x 2 9 x 1
9. f(x) x 2 36
4. f (x) 2 x 3 3x 2 36 x 24
10. f (x) x 3(x 2)
5. f (x) x 4 4x 3
11. f(x) sen(2x) en [0, P]
6. f (x) x 2 1
x2
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Optimización
Los métodos para obtener puntos máximos y mínimos de una función son una herramienta que se emplea para solucionar problemas prácticos donde se va a optimizar una variable.
Hay una gran variedad de problemas, por lo que resulta difícil dar reglas específicas para resolverlos. No obstante
se dan algunas sugerencias:
Ú
Ú
Ú
Ú
Leer cuidadosamente el problema y pensar en los hechos que se presentan y las variables desconocidas.
Hacer un diagrama o dibujo geométrico que incluya los datos.
Relacionar los datos con las variables desconocidas, hallando la función a maximizar o minimizar.
Encontrar los valores críticos y determinar cuál corresponde a un máximo o a un mínimo.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Encuentra dos números positivos cuya suma sea 20 y el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro,
sea un valor máximo.
Solución
Sean x y y los números buscados, entonces:
La suma de los números es 20: x y 20
El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro, es máximo: P x 2y 3
Se despeja y de la primera igualdad y se sustituye en el producto:
x y 20
3
y 20 x
Por tanto: P x 2y 3 x 2(20 x)3 será la función a maximizar.
Se obtiene la derivada: P(x) x(20 x)2 (40 5x)
La derivada se iguala con cero: P(x) 0, x(20 x)2(40 5x) 0
Al resolver esta última ecuación se obtienen los valores críticos: x 0, x 20, x 8
Se obtiene la segunda derivada: P(x) 20x 3 720x 2 7 200x 16 000
1268
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Se analizan los valores críticos:
Para x 0, P(0) 16 000 0, entonces en x 0 existe un valor mínimo
Para x 20, P(20) 0, entonces en x 20 no existe valor máximo ni mínimo
Para x 8, P(8) 5 760 0, entonces en x 8 existe un valor máximo
Por tanto, uno de los valores es x 8 y al sustituir en y 20 x, se obtiene y 12, entonces los números que
se buscan son:
x 8, y 12
2
De las cuatro esquinas de una lámina cuadrada de lado m, se suprimen cuadrados iguales de lado x. Se doblan los
bordes de la lámina recortada para formar una caja sin tapa. Determina la longitud de x, para que el volumen de la
caja sea máximo.
Solución
x
x
m
m–x
m–x
x
m–x
m–x
El volumen de la caja en términos de la variable x está dado por la función:
V (x) (m 2x)(m 2x)(x)
V (x) (m 2x)2(x)
V (x) (x)(m 2x)2
V (x) (x)(m 2 4mx 4x 2)
V (x) m 2x 4mx 2 4x 3 f unción a maximizar.
Se encuentra la derivada respecto a la variable x de la función:
V (x) m 2 8mx 12x 2
Se iguala a cero la derivada:
V (x) 0; m 2 8mx 12x 2 0
Al resolver se obtienen los valores críticos:
m
y
2
Se obtiene la segunda derivada y se evalúan los valores de x:
x
x
m
6
¤ m³
¤ m³
V ¥ ´ 8m 24 ¥ ´ 8m 12m 4m 0 mínimo
¦ 2µ
¦ 2µ
¤ m³
¤ m³
V ¥ ´ 8m 24 ¥ ´ 8m 4m 4m
¦ 6µ
¦ 6µ
Por consiguiente, el valor de x para que la caja tenga un volumen máximo es:
m
x
6
1269
0 máximo
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
3
SIMPLIFICADAS
Determina el ángulo que deben formar los lados iguales de un triángulo isósceles para que su área sea máxima.
Solución
Se construye una figura con los datos:
A
UU
m
→
m
m
m
y
F
x
Sea x la base y y la altura, entonces su área es A 1
xy
2
Se toma la mitad del triángulo:
U
m
y
x
2
Se aplican identidades trigonométricas en el triángulo para el ángulo U
x
x
2
sen U donde, x 2 m sen U
m 2m
cos U y
m
donde, y m cos U
Al sustituir los valores de x y y se obtiene:
A( U ) 1
2 m sen U (m cos U)
2
3
1
A(U ) m 2 ; 2 sen U cos U =
2
1
Pero 2 sen U cos U sen 2 U, entonces A m 2 sen 2 U, ésta es la función a maximizar.
2
Se obtiene la derivada y se iguala a cero:
A(U) m2 cos 2U 3
m 0; entonces cos 2 U A(U) 0 3
m2 cos 2U 0
0
0, despejando el ángulo:
m2
cos 2 U 0
2 U cos1 (0 )
1
U cos1 (0 )
2
1 ¤ P³
U ¥ ´
2¦ 2µ
U
1270
P
4
CAPÍTULO
CÁLCULO
Se obtiene la segunda derivada y se evalúa en U A(U) 2m 2 sen 2U
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
P
4
3
¤ P³
¤ P³
A ¥ ´ 2 m 2 sen 2 ¥ ´
¦ 4µ
¦ 4µ
¤ P³
¤ P³
A ¥ ´ 2 m 2 sen ¥ ´
¦ 4µ
¦ 2µ
¤ P³
A ¥ ´ 2 m 2 (1)
¦ 4µ
¤ P³
A ¥ ´ 2 m 2
¦ 4µ
El área es máxima para U 4
0
P
y el ángulo que deben formar los lados iguales es de 90
4
Calcula el volumen máximo del cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de H cm de altura y R cm de
radio en su base, de manera que los ejes del cilindro y el cono coincidan.
Solución
Observa la figura.
H–h
H
h
h
r
r
R–r
R
R
De acuerdo con ella se hace un corte transversal y se obtiene el triángulo que se muestra; por construcción se tienen
triángulos semejantes que cumplen con la siguiente proporción:
R
H
Rr
h
El volumen del cilindro es:
V Pr 2h
Despejando h de la proporción y sustituyéndola en la fórmula del volumen se obtiene:
h
HR Hr
H
H r
R
R
3
H
¤
V Pr 2 h Pr 2 ¥ H ¦
R
La cual es la función a maximizar.
1271
PHr
³
r ´ PHr 2 µ
R
3
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Se deriva la función:
3PHr 2
R
V (r) 2PHr La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación para r :
V (r) 0,
2 PHr 3PHr 2
0
R
Si R : 0, entonces 2PHRr 3PHr 2 0 3 PHr(2R 3r) 0 3 r (2R 3r ) 0
Valores críticos:
2
r 0, r R
3
Se analizan los valores críticos en la segunda derivada:
6 PH
r
R
V (r) 2 PH Para r 0 ; V(0) 2 PH 6 PH
(0 ) 2PH 0, entonces, el volumen es mínimo.
R
2
6 PH ¤ 2 ³
¤2 ³
Para r R ; V ¥ R´ 2 PH ¥ R´ 2PH
¦3 µ
3
R ¦3 µ
0, entonces, el volumen es máximo.
Entonces, las dimensiones del cilindro de volumen máximo inscrito en el cono son:
2
H
H¤2 ³ 1
r R y h H r H ¥ R´ H
3
R
R¦3 µ 3
5
Determina las dimensiones del cono circular recto de área máxima, que puede inscribirse en una esf era de radio
R 5u
Solución
Figura
h
s
5
r
y
r
El área del cono de radio r, altura h y generatriz s, está dada por:
A Prs
De la figura se toma el triángulo rectángulo
s
h=5+y
r
1272
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
Mediante el teorema de Pitágoras se obtiene:
s ( 5 y )2 r 2
s 2 (5 y)2 r 2
De la figura se toma el triángulo rectángulo,
5
y
r
Por el teorema de Pitágoras:
52 r 2 y2
3
r 2 25 y 2
Este resultado se sustituye en: s (5 y )2 r 2
s (5 y )2 (25 y 2 )
y a su vez en A Prs
AP r
(5 y )2 25 y 2
Maximizar A equivale a maximizar A2, y el problema se reduce a términos simples, es decir:
A 2 P 2 r 2 §©(5
A 2 P 2 (25
y 2 ) §©(5
y )2
y )2
25
25
y 2 ¶¸
y 2 ¶¸ , pero r 2 25 y 2, entonces:
3
A 2 P 2 (25 y 2 ) §© 25 10 y y 2 25 y 2 ¶¸
A 2 P 2 (25 y 2 )(50 10 y )
A 2 P 2 (25
y 2 )(10 )(5
y)
A 2 10 P 2 (125 25 y 5 y 2 y 3 )
Si A 2 f ( y ), entonces, f ( y ) 10 P 2 (125 25 y 5 y 2 y 3 ) es la f unción a maximizar.
Paso I
Se obtiene la derivada de la función:
f (y) 10P2(25 10y 3y 2)
Paso II
La derivada se iguala a cero y se determinan los valores críticos:
f (y) 0 3
10P2(25 10y 3y2) 0 3
y 5, y 5
3
Paso III
Se evalúan los valores críticos en la segunda derivada para determinar los máximos o mínimos de la función:
f (y) 10P2(10 6y)
Para y 5
f ( 5) 10P2(10 6(5)) 200P2 0, mínimo.
1273
5
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Para y 5
,
3
¤ 5³
f ¥ ´ 10P2
¦ 3µ
¤
¤ 5³³
2
¥¦ 10 6 ¥¦ 3 ´µ ´µ 200P
0, máximo.
5
el área del cono es máxima, sustituyendo en las fórmulas: r 2 25 y 2 y h 5 y, se obtie3
nen las dimensiones del radio y la altura del cono inscrito en la esfera:
Entonces, para y r 2 25 y 2
h5y
¤ 5³
r 25 ¥ ´
¦ 3µ
r 25 2
h5
25
200 10 2
u
9
9
3
h
5
3
20
u
3
Finalmente, el radio y la altura miden respectivamente:
r
10
2u
3
h
20
u
3
EJERCICIO 43
Resuelve los siguientes problemas:
1. Encuentra dos números cuya suma sea 40 y su producto sea máximo.
2. Encuentra dos números cuya diferencia sea 50 y su producto mínimo.
3. Con una lámina cuadrada de aluminio de 12 pulgadas por lado, se quiere construir una caja sin tapa, cortando
cuadrados iguales en las esquinas y doblando los bordes. ¿Cuánto deben medir por lado los cuadrados recortados
para obtener un volumen máximo?, ¿Cuánto mide dicho volumen?
4. Calcula el volumen máximo de un cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de 72 cm de altura y
24 cm de radio en su base, de manera que los ejes del cilindro y el cono coincidan?
5. En la construcción de un recipiente cilíndrico de hojalata se emplean 100 pulg2, esta cantidad incluye las tapas.
¿Cuál es el mayor volumen que podría tener la lata?
6. ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener un cono de volumen máximo cuya área lateral es de 10 Pu 2?
7. Un cartel tiene una superficie de 150 cm2 con márgenes de 3 cm en las partes superior e inferior y 2 cm a los lados.
Calcula el área máxima impresa en el cartel.
8. Considera un triángulo rectángulo con sus catetos sobre los ejes de coordenadas y la hipotenusa pasa por el punto
(4, 3). Determina el área mínima que puede encerrar tal triángulo.
9. ¿Qué número positivo minimiza la suma entre él y su recíproco?
10. Determina las dimensiones del triángulo isósceles de superficie máxima que podría inscribirse en un círculo de
radio r.
11. ¿Cuáles son los dos puntos sobre la curva y x 3 cuyas abscisas difieren en dos unidades, de tal forma que la recta
que los une tiene una pendiente mínima?
12. ¿Cuál es el área máxima posible de un rectángulo, cuya base coincide con el eje X y sus vértices superiores están
en la curva y 4 x 2?
13. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un semicírculo de radio igual
a 2 unidades.
14. La resistencia de una viga rectangular varía según sus dimensiones. Si la resistencia es proporcional al cuadrado
del ancho de la viga por la altura, ¿cuáles son las dimensiones de la viga más resistente que podrá cortarse de un
tronco cilíndrico con radio de 3 pies?
1274
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
15. ¿Cuál es la distancia mínima que existe entre el punto (5, 1) y la parábola y x 2?
16. La suma de dos números es 16. Encuentra los números si la suma de sus cubos es un valor mínimo.
17. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de mayor perímetro que se puede inscribir en un semicírculo con radio
de 5 unidades?
18. Se inscribe un rectángulo en un triángulo isósceles, cuyos lados tienen longitudes 5, 5 y 6. Uno de los lados del rectángulo está sobre la base del triángulo (lado desigual), ¿cuál es el área mayor que puede abarcar el rectángulo?
19. Se desea inscribir un cono dentro de otro. El cono exterior tiene una altura de 6 cm y un radio de 4 cm. El cono
interior se inscribe de modo que su cúspide reposa sobre la base del cono exterior. La base del cono interior es
paralela a la base del cono exterior. Los ejes de los conos son colineales. ¿Cuál deberá ser la altura del cono interior,
a fin de que contenga el mayor volumen posible?
20. Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles con un perímetro de 6 unidades que tenga área máxima.
21. Determina dos números reales positivos, cuya suma sea 40 y su producto sea máximo.
22. Encuentra las dimensiones del cono recto circular de máximo volumen que puede ser inscrito en una esfera de
radio 6 unidades.
23. Obtén las coordenadas del punto de la recta 3x y 5 0 más cercano al origen.
24. ¿Cuál es el área del rectángulo mayor que se puede inscribir en un triángulo rectángulo de lados 5, 12 y 13 cm?
25. Calcula el área del rectángulo mayor que se puede inscribir en la elipse, cuya ecuación es
x 2 y2
1
a2 b2
26. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 4) y forma con el primer cuadrante un triángulo de área
mínima.
27. ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro circular recto de máxima área lateral que puede inscribirse en una esfera
de radio de ocho pulgadas?
28. Para la hipérbola equilátera x 2 y 2 a 2, considera el punto (0, k) sobre su eje conjugado y determina el punto
más cercano a éste.
29. Determina dos números positivos cuyo producto es 16 y tienen suma mínima.
30. En la construcción de una casa se van a emplear ventanas en forma de rectángulos curvados por semicírculos.
Si el perímetro total de cada ventana es P, ¿cuáles son las dimensiones más convenientes para que las ventanas
proporcionen máxima iluminación?
31. Una persona tiene una pared de piedra en el costado de un terreno. Dispone de 1 600 m de material para cercar
y desea hacer un corral rectangular utilizando el muro como uno de sus lados, ¿qué dimensiones debe tener el
corral para tener la mayor área posible?
32. Un alambre de 100 cm de largo se va a partir en dos trozos, una de las partes se va a doblar para formar una circunferencia, y la otra un triángulo equilátero. ¿Cómo se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas del
círculo y del triángulo sea máxima?
33. Se desea construir un cono con una generatriz de 10 cm. ¿Cuál es el mayor volumen posible para dicho cono?
34. Encuentra las dimensiones del rectángulo inscrito en un círculo con radio de 25 cm que proporcione el área
máxima.
35. Para construir un recipiente cilíndrico de hojalata se emplearán 150 pulg2, esta cantidad incluye las tapas. ¿Cuáles
son las dimensiones del cilindro para que contenga el volumen máximo?
36. Un anuncio de 20 metros de altura está colocado sobre una base que se encuentra 5 metros sobre el nivel de los
ojos de una persona, ¿qué tan alejada debe estar la persona para que su ángulo de visión sea máximo?
37. Un silo consta de un cilindro con una parte superior semiesférica. Determina la longitud del radio del silo con un
volumen V, que tiene la menor área de superficie, incluye la tapa inferior.
38. ¿Cuáles son los puntos sobre la curva y x 2 4, que están más cerca del punto (2, 1)?
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1275
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Movimiento rectilíneo uniforme
Si un punto se mueve sobre una recta una distancia s, en un tiempo t con velocidad uniforme v, entonces:
v
s
, de aquí s v t
t
Sean (s1, t1) y (s2, t2) dos pares de valores de s y t, tal que:
s1 vt1 y s2 vt2
Entonces:
s2 s1 v (t 2 t 1)
Donde:
v
s2 s1
velocidad uniforme
t 2 t1
El concepto de velocidad media es más general que el de velocidad uniforme para cualquier tipo de movimiento
rectilíneo.
La distancia dirigida s, de un punto P, desde un origen en un tiempo t, está dada por:
s s (t )
Entonces, a la función s {(t, s) U s s(t)} se le denomina “función de posición” del punto P y la velocidad media
de P durante el intervalo [t1, t2] se define como:
s2 s1
s( t 2 ) s (t1 )
t 2 t1
t 2 t1
Si t2 t1 h, entonces t2 t1 h con h : 0, luego s (t2) s (t1 h) y la velocidad media de P durante el intervalo [t1, t2] [t1, t1 h] es:
s(t1 h ) s (t1 )
h
Se obtiene el límite:
lím
hl0
s(t1 h ) s(t1 )
h
Este límite se llama velocidad instantánea, rapidez o simplemente velocidad de P en el tiempo t. Un físico interpretaría esto como el valor límite de las velocidades medias, medidas sobre las porciones de tiempo cada vez menores
alrededor de t.
Al generalizar:
Si la función de posición de un punto P es:
s {(t, s) U s s (t )}
La velocidad de P en el tiempo t será:
v (t ) s(t ) ds(t )
dt
La cual se denomina función velocidad del punto P.
Puesto que s s (t ), v v (t ) y v (t) ds(t )
ds(t )
, entonces v dt
dt
1276
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Aceleración media
v {(t, v) U v v (t )} la razón
[t1, t1 h]
Si existe lím
hl0
v(t1 h ) v(t1 )
, se llama velocidad media de P, durante el intervalo [t1, t2] h
v(t1 h ) v(t1 )
, entonces se le denomina aceleración de P en el tiempo t1 y se denota mediante
h
a (t1), entonces:
a(t1) dv(t1 )
v(t1) s(t1)
dt t1
Por tanto:
a
dv
d2s
2
dt
dt
Ejemplo
Una partícula se mueve conforme a la expresión s (t ) 2t 2 3t 3, donde s se expresa en metros y t en segundos.
Determina:
a)
b)
c)
d)
e)
Su posición inicial.
Su velocidad al inicio de su movimiento.
La velocidad que alcanza al transcurrir 3 segundos.
La velocidad final a los 5 segundos.
Su aceleración.
Solución
a) Su posición inicial se determina cuando t 0, entonces,
s (0) 2(0)2 3(0) 3 3 m
b) La velocidad al inicio de su movimiento se obtiene mediante la primera derivada evaluada en t 0
s (t ) 2t 2 3t 3
3
v (t ) 4t 3
v(0) 4(0) 3 3
m
s
c) La velocidad cuando t 3 segundos
v(t ) 4t 3
3
v(3) 4(3) 3 9
m
s
3
v(5) 4(5) 3 17
m
s
d) La velocidad cuando t 5 segundos
v (t ) 4t 3
e) Su aceleración se obtiene mediante la segunda derivada:
s(t) 2t 2 3t 3
3
s(t ) 4t 3
1277
3
a s(t ) 4
m
s2
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 44
Resuelve los siguientes problemas:
1. La posición de una partícula se expresa mediante la función s(t) 2t3 5t2 10t, con s en metros y t en segundos.
3
¿Cuál es su rapidez para t 1, , 0 segundos?
2
2. La distancia recorrida por un automóvil sobre una carretera en el instante t está dada por s(t) 9t 4 120t 3 432t 2, ¿en qué intervalos su velocidad media es positiva?
3. La trayectoria de una partícula en movimiento rectilíneo está dada por la función:
s (t ) t 3 9t 2 24t 2
Encuentra:
a) s y a cuando v 0
b) s y v cuando a 0
c) Cuando s aumenta
d) Cuando v aumenta
4. Un proyectil es lanzado con una trayectoria que obedece a la función s(t) 3t 2 54t. a) Calcula en qué tiempo
hace contacto con su objetivo que se encuentra sobre la superficie terrestre y la velocidad que lleva en ese instante.
b) En qué instante logra su altura máxima y cuál es el valor de esta.
5. Un proyectil es lanzado en dirección a una torre de 36 m de altura. El proyectil sigue la trayectoria de acuerdo
con la función s t 2 12t, después de siete segundos. Indica la velocidad y la altura en la que hace contacto
el proyectil con la torre.
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Razón de cambio
dx
. Si dos
dt
o más cantidades se relacionan con una ecuación, la razón de cambio de cada cantidad se obtiene derivando la
ecuación.
Pasos para resolver problemas de razón de cambio:
Si una cantidad x está en función del tiempo t, la razón de cambio de x con respecto a t está dada por
Ú Se traza un dibujo que contemple todas las variables y constantes que intervengan en el problema.
Ú Se elabora un modelo matemático que relacione las variables.
Ú Se deriva el modelo matemático respecto al tiempo, se despeja la incógnita a conocer y se sustituyen los datos
dados.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Un cubo de hielo de 10 cm3 de volumen, comienza a derretirse a razón de 6
cm 3
, ¿cuál es la razón de cambio de la
s
superficie del cubo en ese instante?
Solución
Se construye un cubo de arista x cuyo volumen es V 10 cm3 y la razón con la que se
derrite es
dV
cm 3
6
dt
s
x
(El signo indica que el volumen del cubo está decreciendo.)
x
x
1278
CAPÍTULO
CÁLCULO
Aplicaciones de la derivada
5
dx
dV
3x 2
dt
dt
Se deriva el volumen V x 3 respecto al tiempo:
6 3x 2
La razón con que disminuye la arista es:
DIFERENCIAL U
dx
dx
se despeja
dt
dt
6
dx
3x 2 dt
2
dx
2
x
dt
El área total del cubo es A 6x 2 y la razón con que cambia el área es:
dx
dA
12x
dt
dt
Pero
2
dx
2 , entonces:
x
dt
dx
24
dA
¤ 2³
12x
12 x ¥ 2 ´ ¦
µ
dt
x
x
dt
Si el volumen es de 10 cm3 x 3, entonces x 3
10 , por tanto:
24 cm 2
dA
3
dt
10 s
El área disminuye a razón de
2
24 cm 2
10 s
3
m3
, la altura del cono es siempre igual al
min
radio de su base. ¿Con qué rapidez aumenta su altura cuando el montón tiene tres metros de altura?
Se está vaciando arena sobre un montón de forma cónica a razón de 30
Solución
Arena
h
r
1
1
dV
m3
Pr 2h, pero r h, entonces V Ph 3 y
30
min
3
3
dt
Al derivar el volumen respecto del tiempo:
El volumen del cono es V dh
dV
dh
1 dV
Ph 2
donde
dt
Ph 2 dt
dt
dt
Al sustituir
dV
m3
30
y h 3m
dt
min
dh
1
30
10
( 30 ) P( 3)2
dt
9P
3P
Por consiguiente, la altura aumenta a razón de
10 m
3P min
1279
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
3
SIMPLIFICADAS
Un automóvil se dirige al norte de una ciudad a razón de 60
la ciudad a razón de 80
km
, al mismo tiempo un camión se dirige al este de
h
km
. ¿Cuál es la razón con la que varía la distancia entre los vehículos cuando el automóvil
h
y el camión se encuentran a 30 y 40 km, respectivamente, de su punto de partida?
Solución
Se realiza el dibujo con las características establecidas:
z
y
x
Donde,
x 40 km, y 30 km;
km dx
km
dy
60
;
80
h
h
dt
dt
¤ dz ³
Se debe encontrar con qué rapidez se separan los vehículos ¥ ´
¦ dt µ
La figura representa un triángulo rectángulo, por tanto, se aplica el teorema de Pitágoras para obtener la relación:
z2 x2 y2
Se deriva la expresión respecto al tiempo:
dz 2
dx 2 dy 2
dt
dt
dt
3
2z
dz
dx
dy
2x 2y
dt
dt
dt
(simplificando)
dz
x dx y dy
• •
dt
z dt z dt
Luego, en el momento en que x 40 km; y 30 km
z
x 2 y2 ( 30 )2 ( 40 )2 900 1600 2 500 50 km
Entonces,
dz
40 km ¤ km ³ 30 km ¤ km ³
¥ 80
´
¥ 60
´
dt
50 km ¦
h µ 50 km ¦
h µ
km
dz
( 40 )(80 ) ( 30 )(60 )
3200 1800
5 000
100
h
dt
50
50
50
1280
CAPÍTULO
CÁLCULO
4
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Una persona sostiene un extremo de una cuerda de 150 cm de largo y en el otro extremo cuelga un bloque. La cuerda
pasa por una polea que está a 40 cm de altura directamente sobre la mano de la persona, si ésta se aleja de la polea a
cm
razón de 10
. ¿Con qué rapidez se eleva el bloque cuando está a 6 cm de la polea?
s
Solución
z
y
40 cm
x
La persona se aleja de la polea a 10
cm
cm
dx
entonces,
10
s
s
dt
En la figura, por el teorema de Pitágoras, se tiene:
y 2 x 2 (40)2
3
y 2 x 2 1 600
donde,
y 150 z
Luego, la medida de la cuerda está dada por:
y z 150
Este resultado se sustituye en y 2 x 2 1 600
y 2 x 2 1 600 3
(150 z)2 x 2 1 600
Se deriva respecto al tiempo:
d
d
(150 z )2 ( x 2 1600 )
dt
dt
3
dx
¤ dz ³
2( z 150 ) ¥ ´ 2x
¦ dt µ
dt
dz
2x
dx
dt
2( z 150 ) dt
dz
x
dx
dt
z 150 dt
Cuando z 6 cm
x 2 1 600 (150 z)2 3 x 2 1 600 (150 6)2
x 2 1 600 (144)2
x 2 20 736 1 600
x 2 19 136; x 19 136
Por tanto, la razón con la que se eleva el bloque es de:
19 136
19 136
5(8 ) 299
5 299 cm
dz
x
dx
(10 ) (10 ) 6 150
144
72
9
s
dt
( z 150 ) dt
1281
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
5
SIMPLIFICADAS
Un hombre de 1.70 m de altura se aleja de un poste de alumbrado a razón de 3 m/s, la lámpara del poste está a 10 m
de altura. Determina la razón de cambio a la cual se mueve el extremo de la sombra del hombre.
Solución
10 m
1.70 m
z
x
De acuerdo con la figura
m
dz
dx
3
y la incógnita es
s
dt
dt
Por triángulos semejantes:
10 m
1.70 m
x–z
x
Se obtiene:
10
x
1.70
x z
3
10(x z) 1.70x
10x 10z 1.70x
10x 1.70x 10z
8.30x 10z
Se deriva la expresión, resultando:
8.30
Luego,
dx
dz
10
dt
dt
3
dx
10 dz
dt
8.30 dt
m
dz
3 , entonces,
s
dt
m
dx
10
30
3.61
( 3) s
dt
8.30
8.30
Finalmente, la razón con que se mueve el extremo de la sombra es de 3.61 m/s.
1282
CAPÍTULO
CÁLCULO
6
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
La distancia que existe entre las bases de un campo de béisbol es de 28 m. Si la pelota se batea por la línea en direcm
ción a la tercera base con una velocidad de 32 . ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre la pelota y la primera
s
base cuando se encuentra a la mitad del camino hacia la tercera base?
Solución
1a. base
3a. base
z
x = 14 m
28 m
En la figura se observa que:
z 2 x 2 (28)2
En la cual, al derivar se obtiene:
2z
dz
dx
2x
dt
dt
3
dz
2 x dx
dt
2 z dt
dz
x dx
dt
z dt
3
Luego, cuando x se encuentra a la mitad del recorrido, la distancia de z es:
z 2 (14)2 (28)2 196 784 3
Al sustituir z 14 5 , x 14 y
z
980 14
5m
m
dx
dz
x dx
32
en
, se obtiene:
s
dt
dt
z dt
dz
x dx
5
¤ 14 ³
¤ 1 ³
¥
( 32 ) ¥
( 32 ) ( 32 )
¦ 14 5 µ´
¦ 5 µ´
dt
z dt
5
Por consiguiente, la pelota se aleja de la primera base a razón de
1283
32
m
5
5
s
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
7
SIMPLIFICADAS
Un aviso rectangular que mide 30 m de ancho da vueltas sobre un eje vertical que pasa por el centro del rectángulo a
razón de 10 rpm. Una persona que observa a distancia el aviso lo ve como un rectángulo de ancho variable. ¿Con qué
rapidez cambia el ancho aparente del aviso cuando éste tiene 12 m de ancho, según lo ve el observador, y su ancho
está aumentando?
Solución
30 m
U
Observador
y
U
aviso
Sea y el ancho aparente del aviso, también se sabe que gira a 10 rpm, que es lo mismo que 20P rad/min, entonces se
tiene que encontrar la relación que existe entre y y U.
De la figura:
Aviso
30 m
y
U
Se obtiene:
sen U y
30
3
y 30 sen U
Derivando la expresión anterior:
dU
dy
30 cos U
dt
dt
Luego, cuando y 12 m, entonces:
sen U y
12
2
30
30
5
§ P¶
Como el ancho del aviso está aumentando, U 0 ¨ 0, · , por tanto:
© 2¸
¤ 2³
U sen1 ¥ ´ 23.5
¦ 5µ
m
dy
dU
30 cos U 30 cos(23.5n)(20 P) 30(0.9170 )(20 P) 550.2 P
min
dt
dt
1284
CAPÍTULO
CÁLCULO
8
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Una escalera de 8 m de longitud está apoyada sobre un piso horizontal y contra una pared. Si el extremo inferior de
3m
la escalera se aleja del muro a razón de
. ¿Con qué rapidez desciende el extremo superior en el instante en que
2 s
su altura sobre el suelo es de 3 m?
Solución
Sea y la altura generada por la escalera sobre la pared, x la distancia generada por el extremo inferior y la pared,
entonces,
8m
y
x
Por el teorema de Pitágoras:
(8)2 x 2 y 2
3
64 x 2 y 2
Se deriva la expresión:
d 64 dx 2 dy 2
dt
dt
dt
Se despeja
3
0 2x
dx
dy
2y
dt
dt
dy
dt
2 x dx
x dx
dy
2 y dt
y dt
dt
Cuando y 3, el valor de x está determinado por:
(8)2 x 2 (3)2
64 x 2 9
64 9 x 2
x
55
Por tanto,
dy
x dx
dt
y dt
dy
55 ¤ 3 m ³
¥
´
dt
3 ¦2 s µ
55 m
dy
2
dt
s
El signo menos indica que la altura sobre la pared está decreciendo.
1285
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 45
3
2
1. Si la altura de un determinado árbol es de 10 2 r cm, donde r es el radio de la parte transversal del tronco
1 cm
del árbol. Si el radio aumenta a razón de
, ¿con qué rapidez cambia la altura cuando su radio es de 5 cm?
6 año
2. Un náufrago es remolcado hacia un barco con un cable. La proa de donde se jala el cable se encuentra a 7 m del
m
nivel del mar y el cable es jalado a razón de 12
. ¿Con qué rapidez se está moviendo el náufrago hacia el
min
barco cuando se encuentra a 20 m de la base del barco?
m
m
cruza un puente sobre un río, 20 segundos antes de que un bote que viaja a 40
s
s
pase por debajo del puente. Vistos desde arriba, el río y el puente forman un ángulo recto. ¿Con qué rapidez se
están separando el automóvil y el bote 20 segundos después de que el bote pasa por debajo del puente?
3. Un automóvil que viaja a 80
4. Un globo de forma esférica, se infla a razón de 0.16
aumentando a razón de 0.20
m3
. ¿Cuál es el volumen del globo cuando su radio está
min
m
?
min
5. Una escalera de 13 m de largo está apoyada sobre una pared. Encuentra la rapidez con que baja el extremo superior
m
de la escalera, cuando su extremo inferior dista 5 m del muro y se separa a razón de 5
s
cm
6. Al caer una piedra a un estanque de aguas tranquilas forma una onda circular, cuyo radio aumenta a razón de 1
.
s
¿Con qué rapidez aumenta el área encerrada por la onda cuando el radio es de 5 cm?
7. Un tanque cilíndrico de 7 m de radio y 10 m de altura se llena de agua. Se hace un agujero en el fondo del tanque, en
m3
ese momento el agua sale a razón de 3
. ¿A qué rapidez está cambiando la altura del líquido en el tanque?
min
8. Un satélite se mueve en una órbita elíptica alrededor de un planeta. La ecuación de su órbita plana es de
km
9x 2 16y 2 144. Si la rapidez del satélite en una dirección x es de 15
, cuando la coordenada x es
h
36
km . ¿Cuál es la rapidez en la dirección y en ese instante?
de
137
km
9. Los automóviles A y B salen del mismo punto. El automóvil A viaja hacia el este a razón de 80
y el autoh
km
móvil B viaja hacia el norte a 60
. A qué razón está cambiando la distancia entre los dos a las 14:00 horas,
h
si:
a) A y B salen a las 12:00 a.m.
b) A sale a las 12 del día y B sale a la 13:00 horas.
m3
10. Se está vaciando un depósito cónico de 1.5 m de radio y 5 m de altura, a razón de 0.16
. ¿Cómo está bajando
min
el nivel cuando la profundidad del agua es de 2 m?
11. En un crucero un camión sale a las 10:00 horas y viaja hacia el oeste a 60 km/h. Un automóvil sale a las 13:00
horas del mismo lugar y viaja hacia el norte a 80 km/h. ¿A qué razón se están separando a las 15:00 horas?
m
12. Un globo asciende sobre un punto a razón de 6 ; un observador está situado a 300 m del punto de despegue
s
del globo. Cuando el globo está a 400 m de altura, ¿con qué rapidez está cambiando la distancia entre el globo
y el observador?
pies 3
13. Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 7
. Si la presión se mantiene constante. ¿Con qué rapidez cammin
bia el radio cuando éste es de 1 pie?
1286
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
cm 2
. Calcula la rapidez de cambio de la longitud de
min
sus lados en el momento en que el área del triángulo es de 100 cm2.
14. El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 6
15. Un punto se mueve sobre la parábola semicúbica y 2 x 3 de tal manera que su ordenada aumenta siete unidades
por segundo. Cuando y 1, ¿con qué rapidez cambia su abscisa?
16. Una persona está de pie en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 2 m por encm
cima del amarre de la lancha. Si la persona jala la cuerda a razón de 70
. ¿Con qué rapidez se aproxima la
s
lancha al muelle cuando se encuentra a 5 m de él?
m
alejándose de un faro que se encuentra a 8 me17. Un hombre de 1.80 m de estatura camina en línea recta a 1.5
s
tros de altura sobre el suelo. ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra?, ¿Cuál es la rapidez con la
que cambia la longitud de su sombra?
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Aplicaciones a la economía
Sea x el número total de unidades producidas por una empresa y m el precio de venta por unidad, el ingreso se obtiene
con la función:
I ( x ) mx
Si el precio de venta depende linealmente del número de unidades producidas, m ax b, la función de ingreso
se expresa como:
I ( x ) mx
3
I ( x ) (ax b ) x
3
I ( x ) ax 2
bx
Sea C (x) el costo de producir x unidades, la utilidad de la empresa se expresa:
U (x) I (x) C(x)
Y el costo medio por unidad está dado por la expresión:
Q( x ) C(x)
x
Otra forma de expresar la función de costo puede ser:
C costos variables costos fijos
Por ejemplo, si se tiene la función C (x) 4x 2 6x 850, los costos fijos son el término independiente de la
función, es decir, 850, al ser x el número de unidades, entonces x 0 por consiguiente, el costo fijo de producción
es C (0) 850.
Ejemplo
Las funciones de ingreso y costo son I ( x ) 2 x 2 340 x y C ( x ) 3x 2
el costo mínimo en pesos.
Solución
La utilidad U ( x ) I ( x ) C ( x ), x 0
1287
600. Determina la utilidad máxima y
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
U ( x ) (2 x 2 340 x ) ( 3x 2 600 )
U ( x ) 2 x 2 340 x 3x 2 600
U ( x ) 5 x 2 340 x 600
Se obtiene la derivada de la función de la utilidad:
U (x) 10x 340
Se obtiene el valor crítico haciendo U (x) 0
10x 340 0
10x 340
x
340
34
10
Se evalúa x 34 en la segunda derivada para verificar si existe un valor máximo.
U(x) 10
U (34) 10
0
Entonces para x 34 existe un valor máximo.
Por consiguiente, se necesita producir 34 unidades para obtener una utilidad máxima, la cual es de:
U( 34 ) 5( 34 )2 340( 34 ) 600 5180
Por tanto, la utilidad máxima es de $5 180.00
Por otro lado el costo medio está dado por:
Q( x ) C(x)
x
Q( x ) 3x 2 600
x
Q ( x ) 3x 600
x
Se obtiene la derivada de la función de costo medio
Q(x) 3 600
x2
Se obtiene el valor crítico haciendo Q (x) 0
3
600
0
x2
3x 2 600 0
x 200
x 10 2
1288
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Se verifica que sea el valor mínimo, esto se obtiene evaluando el valor crítico en la segunda derivada
Q (x) Q 10 2 1200
10
2
3
1200
x3
1200
(200 ) 10 2
3
0
5 2
Entonces, para x 10 2 14, hay un valor mínimo.
Para determinar el costo medio mínimo de forma aproximada se sustituye el valor crítico en la función de costo
medio:
Q( x ) 3(14 ) 600
14
Q( x ) 42 42.86
Q( x ) 84.86
Por tanto, el costo mínimo aproximado es de $84.86
Costo marginal
Si C (x) es la función de costo total que tiene una empresa por producir x unidades de algún artículo y la empresa
incrementa el número de unidades de x0 a x1 (x0 x1), el costo se incrementa C(x1) C (x0), la razón de cambio del
costo es:
$C C ( x1 ) C ( x0 ) C ( x0 $x ) C ( x0 )
$x
x1 x0
$x
C ( x0 $x ) C ( x0 )
es la derivada de la función de costo total y recibe el nombre
$x
de costo marginal C (x) y representa el incremento del costo al incrementar la producción.
Para $x 1 y x0 suficientemente grande (tan grande que $x sea pequeño respecto a x0) se tiene que:
En economía, la expresión lím
$xl0
C (x0) C (x0 1) C (x0)
Luego, el costo de producir x0 1 unidades es aproximadamente el mismo de producir x0 unidades.
1289
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Una empresa estima que el costo (en pesos) por producir x artículos es de:
C ( x ) 0.02 x 2 3x 12 000
Determina el costo marginal en un nivel de producción de 600 artículos y el costo real de producir el 601ésimo
artículo.
Solución
Se obtiene la función del costo marginal:
C (x) 0.04 x 3
El costo marginal aproximado para 600 artículos es:
C(600) 0.04 (600 ) 3 27
Por tanto, el costo marginal aproximado por artículo es de $27.00
El costo real de producción del 601ésimo artículo es:
C (601) C(600) [ 0.02(601)2 3(601) 12 000 ] [ 0.02(600 )2 3(600 ) 12 000 ]
C (601) C (600) 21 027.02 21 000
C (601) C(600) 27.02
Se observa que 27 27.02, es decir C(600) C (600 1) C (600), lo cual se había indicado antes.
El costo por unidad está dado por la función de costo promedio Q( x ) C(x)
. Si se toma una función caracterísx
tica de costo promedio ésta podría ser:
Y
C(x)
X
Dicha función tiene un punto crítico, si se localiza este punto se tendrá el costo mínimo.
Al derivar Q(x) se obtiene:
xC( x ) C ( x )
Q( x ) x2
Se iguala con cero Q(x), para obtener el valor C (x)
xC( x ) C ( x )
0
x2
xC( x ) C ( x ) 0
xC( x ) C ( x )
C( x ) Pero Q( x ) C(x)
, entonces, C( x ) Q( x )
x
1290
C(x)
x
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Es decir, cuando el costo promedio es mínimo se tiene que es igual al costo marginal. Lo anterior conlleva al
hecho de que si el costo marginal es menor que el costo promedio, entonces se debe producir más para disminuir el
costo promedio y viceversa, si el costo marginal es mayor que el costo promedio se tendrá que producir menos para
que el costo promedio baje.
2
El costo (en pesos) estimado para producir x artículos está dado por la función:
C (x) 0.002x 2 2x 3 000
Determina el costo promedio y el costo marginal de producir 1 200 artículos y calcula el nivel de producción para
el cual el costo promedio es el más bajo y cuál es dicho costo.
Solución
El costo promedio está dado por la fórmula Q( x ) Q( x ) C(x)
, entonces:
x
C ( x ) 0.002 x 2 2 x 3 000
x
x
3
Q( x ) 0.002 x 2 3 000
x
Se evalúa x 1 200
Q(1 200 ) 0.002(1 200 ) 2 3 000
1 200
Por tanto, el costo promedio de producir 1 200 artículos es de $6.90
Para obtener el costo marginal se determina C(x) y se evalúa x 1 200
C (x) 0.004x 2
C(1 200) 0.004(1 200) 2 6.8
Por tanto, el costo marginal de producir 1 200 artículos es de $6.80
El costo promedio se minimiza cuando es igual al costo marginal.
C( x ) Q( x )
3
0.004 x 2 0.002 x 2 3
0.002 x 3 000
x
3 000
x
3
0.004 x 0.002 x 3 000
x
0.002 x 2 300
3
x2 x
3 000
0.002
3 000
1 225
0.002
Para mostrar que x 1 225, se obtiene un mínimo, se determina Q(x) y se evalúa:
Q( x ) 0.002 x 2 3 000
x
3 Q (x) 0.002 3 000
x2
6 000
x3
3 000
Q(1225) 0
(1 225 )3
Q (x) Por tanto, para x 1 225 hay un mínimo.
El costo promedio se obtiene evaluando x 1 225 en Q(x).
Q( x ) 0.002 x 2 3 000
x
Q(1 225 ) 0.002(1 225 ) 2 Finalmente, el costo promedio mínimo por artículo es de $6.89 ≈ $7.00
1291
3 000
6.89
1 225
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
De la misma forma existen funciones marginales para el ingreso y la utilidad, en los dos casos es la derivada de
cada función.
Ingreso marginal I(x)
Utilidad marginal U (x)
Ejemplo
Una empresa estima su ingreso y costo (en pesos) con las funciones I (x) 2x 2 340x y C (x) 3x 2 6 000,
respectivamente. Determina el ingreso obtenido al producir la vigésima primera unidad y aproxima dicho valor con
el ingreso marginal.
Solución
Se evalúan x 20 y x 21 en la función de ingresos:
I(20) 2(20)2 340(20) 6 000
I (21) 2(21)2 340(21) 6 258
El valor de la vigésima primera unidad es:
I (21) I(20) 6 258 6 000 258
Si se obtiene con el concepto ingreso marginal, se deriva I(x) y se evalúa x 20
I(x) 4x 340
I(20) 4(20) 340 260
En el comparativo se observa que el ingreso marginal da un valor muy aproximado a 258 que es el ingreso real
de la vigésima unidad.
EJERCICIO 46
1. Dadas las funciones de ingreso y costo, I (x) y C (x) respectivamente, determina el ingreso máximo, la utilidad
máxima y el costo medio mínimo:
a) I (x) x 2 300x y C(x) x 2 40x 80
b) I(x) x (400 4x) y C (x) x 2 20x 12
Resuelve los siguientes problemas:
2. El costo estimado para producir x artículos está dado por la función:
C (x) 0.004x 2 5x 6 000
Determina el costo promedio y el costo marginal de producir 2 000 artículos y calcula el nivel de producción para
el cual el costo promedio es el más bajo y cuál es dicho costo.
3. Una empresa estima su ingreso y costo con las funciones I(x) 4x2 400x y C(x) 2x 2 300 respectivamente. Determina el ingreso obtenido al producir la trigésima primera unidad y aproxima dicho valor con el ingreso
marginal.
4. Una empresa de telas estima que el costo para producir x metros de tela es C(x) 0.001x 3 0.2x 2 24x 2 400
y que al vender x metros cobraría p(x) 58 0.00042x por metro. Determina el nivel de producción para obtener
una utilidad máxima.
Ingreso sugerido: I (x) p (x) x
5. Un estadio de futbol tiene una capacidad para 60 000 espectadores. El promedio de asistencia fue de 32 000
espectadores, teniendo los boletos un costo de $60.00 por persona, la gerencia decide bajar el precio por boleto a
$40.00, teniendo un promedio de 48 000 espectadores. Determina la función lineal de demanda p (x) y calcula el
precio por boleto para minimizar el ingreso.
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1292
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Regla de LHôpital
Sean f y g dos funciones derivables con g( x ) 0 cerca de a (incluso en a)
Si
lím f ( x ) lím g( x ) 0
xla
xla
o
lím f ( x ) @
xla
y para lím
xla
y
lím g( x ) @
xla
0 @
f (x)
, tenemos una forma indeterminada del tipo ,
0 @
g( x )
Entonces
lím
xl a
f (x)
f ( x )
lím
g( x ) xla g( x )
A esto le llamamos regla de L’Hôpital, la cual nos dice que el límite de un cociente de dos funciones es igual al
límite del cociente de las derivadas de dichas funciones.
Esta regla es válida para los límites laterales (x 3 a o x 3 a) y los límites al infinito (x 3 @ o x 3 @)
Ú Indeterminación
0
0
Ejemplo
x2 9
xl3 x 3
Obtén lím
Solución
Al evaluar se obtiene la indeterminación
0
y utilizando la regla se obtiene:
0
d 2
( x 9)
2( 3)
x2 9
2x
dx
lím
6
lím
lím
xl3 x 3
xl 3
xl 3 1
d
1
( x 3)
dx
x 2 9 32 9 0
lím
xl3 x 3
3 3 0
Ú Indeterminación
@
@
Ejemplo
¿Cuál es el valor de lím
xl@
3x
?
e x1
Solución
Al evaluar se obtiene
@
, se aplica la regla y se obtiene:
@
lím
xl @
3x
3
3
lím
0
e x1 xl @ e x1 @
Ú Indeterminación 0 @
Si lím f ( x ) 0 y lím g( x ) @ , para lím f ( x ) g( x ) tenemos una indeterminación del tipo 0 @. Entonces podemos
xl a
xla
xla
utilizar la regla de L’Hôpital transformando el producto de la siguiente forma
f ( x ) g( x ) f (x)
g( x )
o f ( x ) g( x ) 1
1
g( x )
f (x)
1293
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplo
Determina lím x 2 ln x
xl0
Solución
Al evaluar se obtiene
lím x 2 ln x lím x 2 lím ln x 0 (@ )
xl 0
xl 0
xl 0
Para resolver el límite, se escribe
x 2 ln x ln x
1
x2
de tal forma que:
d
1
d ¤ 1
ln x ;
¥
dx
x dx ¦ x 2
2
³
´ 3
x
µ
Entonces:
¤
³
¤ 1 ³
¤ x3 ³
¤ x2 ³
¥ ln x ´
¥
´
lím x ln x lím ¥
lím ¥ x ´ lím ¥ ´ lím ¥ ´ 0
´
2
1
xl 0
xl 0
xl 0
xl 0 ¦
xl 0 ¦
2µ
2x µ
¥¦ 2 ´µ
¥¦ 3 ´µ
x
x
2
Ejemplo
¤ 1³
Obtén la solución de lím ¥ ´ tan x
xl 0 ¦ x µ
Solución
¤ 1³
¤ 1³
lím ¥ ´ tan x ¥ ´ tan 0 @ • 0
xl 0 ¦ x µ
¦ 0µ
Al aplicar la regla:
tan x
sec 2 x sec 2 0 1
¤ 1³
lím ¥ ´ tan x lím
1
lím
xl 0 ¦ x µ
xl 0
x
l
0
x
1
1
1
Ú Indeterminación: @ @
Cuando se obtienen diferencias indeterminadas del tipo @ @ para lím ( f (x) g (x)), siendo lím f (x) @ y
xl a
xl a
lím g(x) @, se utiliza la regla de L’Hôpital transformando (si es posible) la diferencia a un cociente.
xl a
Ejemplo
1³
¤
Calcula el resultado del lím ¥ ctg x ´
xl0 ¦
xµ
Solución
1³
¤
lím ¥ ctg x ´ @ @
xl0 ¦
xµ
Se aplica la regla y se calcula el límite:
¤ x sen x cos x cos x ³
¤ x sen x ³
0 sen 0
0
lím ¥
´µ lím
xl0 ¦
xl 0 ¥
x cos x sen x
¦ x cos x sen x ´µ 0 cos 0 sen 0 0
1294
CAPÍTULO
CÁLCULO
Se observa que el resultado es
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
0
, por consiguiente, se utiliza de nuevo la regla:
0
¤ x cos x sen x ³
lím ¥
xl0 ¦ 2 cos x x sen x ´
µ
Al evaluar nuevamente se obtiene:
¤ x cos x sen x ³ 0 cos 0 sen 0 0
1¶
§
lím ¥
0 , entonces, lím ¨ ctg x · 0
xl0 ¦ 2 cos x x sen x ´
x
l0
x¸
2
cos
0
0
sen
0
2
µ
©
Ú Indeterminaciones del tipo 0, @ y 1@
Para lím ; f ( x )=
xla
g( x )
se pueden obtener las siguientes formas indeterminadas:
Ú Si lím f ( x ) 0 y lím g( x ) 0 entonces se obtiene una indeterminación del tipo 0
xla
xla
Ú Si lím f ( x ) @ y lím g( x ) 0 entonces se obtiene una indeterminación del tipo @
xla
xla
Ú Si lím f ( x ) 1 y lím g( x ) @ se obtiene una indeterminación del tipo 1@
xla
xla
Para estos casos se puede aplicar el logaritmo natural en y [ f(x)] g(x) y aplicar la propiedad ln bn n ln b, es decir:
y [ f (x)] g(x) entonces:
Sea
ln y ln ; f ( x )=
g( x )
ln y g( x ) ln f ( x )
De tal forma que esta transformación nos lleva a un producto indeterminado g(x) ln f (x) el cual es del tipo 0 @
Por otro lado también se puede utilizar la transformación: ; f ( x )=
g( x )
e g ( x )ln f ( x )
Ejemplo
Obtén el resultado de lím (cot x )x
x l0
Solución
Al resolver directamente
lím (cot x )x 0 0
x l0
se obtiene la indeterminación 0 sea y (cot x)x, aplicando el logaritmo natural en ambos lados se obtiene
ln y ln(cot x)x
Aplicamos la propiedad ln b n n ln b y se tiene:
ln y x ln cot x
Calculamos el límite para ln y y se transforma el producto
lím ln y lím x ln cot x lím
x l 0
xl0
1295
xl0
ln cot x
1
x
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Se aplica la regla de L´Hôpital
1 ³
¤ 1 ³
¤
2
(tan x ) ¥ 2 ´
¥¦
´ (csc x )
¦ sen x µ
ln cot x
cot x µ
lím
lím
lím
1
1
1
xl 0
xl 0
xl 0
2
2
x
x
x
1
1 ³
¤ sen x ³ ¤
¥¦
´µ ¥¦ 2 ´µ
sen
cos x
x
cos x
sen x
lím
lím 1
1
xl 0
xl0
2
2
x
x
lím
xl0
Se obtiene la indeterminación
x2
0
sen x cos x 0
0
1
, entonces se utiliza la identidad sen 2 x sen x cos x y se aplica L’Hôpital
0
2
lím
xl 0
x2
x2
2x2
lím
lím
sen x cos x xl0 1 sen 2 x xl0 sen 2 x
2
lím
xl0
4x
4 (0 )
0
0
0
2 cos 2 x 2 cos 2(0 ) 2 cos 0 2
por tanto lím ln y 0
xl0
Pero queremos el límite de y, entonces partiendo de la propiedad e ln b b se escribe y e ln y
Entonces
lím (cot x )x lím y lím eln y e0 1
x l 0
xl0
xl0
Por tanto lím (cot x )x 1
x l0
Ejemplo
¿Cuál es el resultado de lím (1 cos x )tan x ?
xl0
Solución
Sea y (1 cos x )tan x , aplicando logaritmo natural en ambos lados se obtiene:
ln y ln(1 cos x )tan x
ln y (tan x ) ln(1 cos x )
ln y 1
ln(1 cos x )
cot x
ln y ln(1 cos x )
cot x
1296
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
Aplicando el límite y luego la regla de L’Hôpital
³
¤
1
´ (sen x )
¥
1
cos
x
ln (1 cos x )
µ
lím ln y lím
lím ¦
xl0
xl0
xl0
cot x
csc 2 x
sen x
sen 2 x sen x
1 cos x
lím
lím xl 0
1
xl 0
1 cos x
2
sen x
§ (1 cos 2 x ) sen x ¶
lím ¨
·
xl 0
1 cos x
©
¸
§ (1 cos x ) (1 cos x ) sen x ¶
lím ¨
· xl 0
1 cos x
©
¸
lím[ (1 cos x )sen x ] (1 cos(0 ))sen(0 )
xl0
(1 1)(0 ) (2 )(0 ) 0
Por tanto lím ln y 0 pero se quiere el límite de y, entonces sea y e ln y, entonces
x l0
lím (1 cos x )tan x lím y lím eln y e0 1
xl 0
por tanto lím (1 cos x )
x l0
tan x
xl 0
xl 0
1
Ejemplo
1
Determina lím (1 2 x ) x
xl0
Solución
Al sustituir directamente se obtiene:
1
lím (1 2 x ) x 1@
x l0
1
x
sea y (1 2 x ) , al aplicar logaritmo natural
1
ln y ln (1 2 x ) x
1
ln y ln (1 2 x )
x
ln y ln (1 2 x )
x
Se obtiene el límite de ln y y se aplica L’Hôpital:
2
§
ln(1 2 x )
2
2
2 ¶
1 2x
lím ln y lím
lím
lím ¨
2
· xl 0
xl 0
xl 0
xl 0
x
x
1
2
(
0
)
1
1
1
2
©
¸
Por tanto lím ln y 2
xl0
1297
5
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Para calcular el límite de y hacemos y e ln y, entonces
lím y lím eln y e2 xl 0
xl 0
1
e2
Por tanto
1
lím (1 2 x ) x xl0
1
e2
EJERCICIO 47
Obtén los siguientes límites:
1. lím
xl5
x 3 125
x 2 25
ex e
xl0
x
11. lím
xl@
x
2 x ln x
2 x ln x
e x sen 2 x 1
xl0
ln(1 2 x )
12. lím
2. lím
1
ln( 3 x )
xl2
x2
x³ x
¤
13. lím ¥ 1 sen ´
xl0 ¦
2µ
4. lím
4x 2x
xl0
3x
¤ 1
1 ³
14. lím ¥ xl0 ¦ 3 x
sen 3x ´µ
5. lím (tan x )x
1³
¤
15. lím ¥ 1 ´
xl@ ¦
xµ
3. lím
xl0
6. lím
xl0
x
¤ tan x x ³
16. lím ¥
´µ
xl0 ¦
x3
ln (cos 3x )
2x2
1
P³
¤
17. límP ¥ x ´ tan x
¦
2µ
xl
7. lím (sec x ) x
xl0
2
8. lím ( x csc 3x )
¤ 1 ³ ¤ 3x 2 ³
18. lím ¥ ´ ln ¥
xl0 ¦ x µ
¦ x 2 ´µ
9. límP (cos x sen x ) tan x
19. lím
xl0
xl
xl1
2
10. lím
xlc
ln(2 x 1) ln( x 2 )
x
ln x
x 1
20. lím (sec x tan x )
xl
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1298
P
2
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Teorema de Rolle
Definición
Sea f (x) una función que satisface las siguientes condiciones:
1. Es continua en el intervalo [a, b].
2. Es derivable en el intervalo (a, b).
3. f(a) f (b) 0
4. Entonces existe c 0 (a, b) tal que f(c) 0
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Verifica el teorema de Rolle para la función f ( x ) x 2 x 6 en el intervalo [2, 3] y determina el valor de c en
dicho intervalo.
Solución
1. f (x) es una función polinomial, por tanto, es continua en todos los números reales, en particular en el intervalo
[2, 3]
2. La derivada de f (x) es f (x) 2x 1; f (x) es definida en los números reales, en particular está definida en el
intervalo (2, 3) y es continua.
3. f (2 ) (2 )2 (2 ) 6 4 2 6 0 ; f ( 3) ( 3)2 ( 3) 6 9 3 6 0
4. Por tanto, f (x) satisface el teorema de Rolle.
Para obtener el valor de c se emplea:
f(c) 0
3
2c 1 0
Se resuelve la última ecuación y se obtiene:
c
1
1
y 0(2, 3)
2
2
1299
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
2
SIMPLIFICADAS
Verifica si la función f ( x ) x 3 5 x 2 2 x 8 satisface el teorema de Rolle en los intervalos [1, 2], [2, 5] y encuentra los respectivos valores de c en estos intervalos.
Solución
1. f (x) es una función polinomial, por tanto, es continua en toda la recta real y en consecuencia es continua en los
intervalos propuestos.
2. La derivada de f (x) es f (x) 3x 2 10x 2; esta función es continua en los intervalos (1, 2) y (2, 5) por
ser una función polinomial.
3. Para el intervalo [1, 2]
f(1) (1)3 5 (1)2 2 (1) 8 1 5 2 8 0
f(2) (2)3 5(2)2 2(2) 8 8 20 4 8 0
f (1) f (2)
El teorema de Rolle se cumple para este intervalo.
Para el intervalo [2, 5]
f(2) 0
f(5) (5)3 5(5)2 2(5) 8 125 125 10 8 18
f(2) : f (5)
En este intervalo no se satisface el teorema de Rolle.
4. Se buscan los valores posibles de c en el intervalo [1, 2]:
f(c) 0
3 3c 2 10c 2 0
Se resuelve la ecuación cuadrática para obtener los valores de c,
c
(10 ) (10 )2 4 ( 3)(2 )
2( 3)
10 100 24
6
10 76
6
10 8.717
6
c 3.119
c 0.213
EJERCICIO 48
Verifica el teorema de Rolle en los intervalos indicados y halla los posibles valores de c para las siguientes funciones:
1. f(x) x 2 4 ;
[2, 2 ]
2. f (x) 2 x 2 3x ;
§ 3¶
¨© 0, 2 ·¸
3. f(x) x 2 5 x 6 ;
[ 2, 3]
1300
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
4. f(x) 2 x 2 3x 2 ;
1¶ § 1 ¶
§
¨©3, 2 ·¸ y ¨© 2 , 2 ·¸
5. f (x) x 3 9 x ;
[3, 0 ] y [ 0, 2 ]
6. f (x) x 3 5 x 2 4 x 20 ;
[2, 2 ]
7. f (x) x 3 13x 12 ;
[4,1] y [1, 3]
8. f (x) 9. f (x) x 2 25 ;
[5, 0 ] , [5, 5 ] y [ 0, 5 ]
x2 4
;
x 4 1
[2, 0 ] , [2, 2 ] y [ 0, 2 ]
10. f (x) cos x;
P 3P ¶
[P, P] y § ,
¨© 2 2 ·¸
ª4 x2
;
11. g(x) «
¬­8 5 x
si
1
x 1
;
x 1
8¶
§
¨©2, 3 ·¸
1
12. h(x) x 2 2 x 4 ;
[ 0,16 ]
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Teorema del valor medio
Dada una función f (x) tal que:
1. f(x) es continua en el intervalo [a, b]
2. f(x) es diferenciable en el intervalo (a, b)
3. Entonces existe un número c 0 (a, b) tal que f(c) f (b ) f (a )
ba
Y
f(b)
f’(c)
f(a)
a
1301
c
b
X
5
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Verifica que la función f (x) x 2 4 satisfaga el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3] y encuentra el
valor de c.
Solución
1. f (x) es continua en [1, 3], ya que está definida en todos los puntos de este intervalo.
2. Como f (x) es una función polinomial, entonces es continua y diferenciable en el intervalo (1, 3), f(x) 2x
3. Para buscar a c se sustituye en la fórmula:
f(c) f (b ) f (a )
ba
f (c) f ( 3) f (1)
3 (1)
2c c
5 (3)
4
8
1
8
Por tanto, el valor de c es igual a 1.
2
Verifica si la función f ( x ) x 3 x 2 2 x satisface el teorema del valor medio en el intervalo [0, 2] y calcula el
valor de c.
Solución
1. f (x) es una función polinomial, entonces f(x) es continua en todos los puntos del intervalo [0, 2]
2. Al ser f (x) continua en el intervalo [0, 2] entonces es derivable en el intervalo (0, 2) y f(x) 3x 2 2x 2,
aplicando el teorema del valor medio se obtiene el valor de c.
f (c) f (2 ) f (0 )
20
3
3c 2 2 c 2 80
2
3c 2 2 c 2 4
3c 2 2 c 6 0
Al resolver la ecuación para c:
c
[
2 2 2 4 ( 3)(6 ) 2 76
c 1.12
c 1.78
6
2( 3)
El valor de c que pertenece al intervalo (0, 2) es c 1.12
1302
CAPÍTULO
CÁLCULO
3
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Verifica si la función f (x) x 2 5x 4, satisface el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3] y determina el
valor de c.
Solución
1. La función es continua en el intervalo [1, 3], ya que está definida en todos los puntos del intervalo.
2. La función es polinomial y continua en el intervalo [1, 3] entonces, es diferenciable en ese intervalo f (x) 2x 5
f (b ) f (a )
3. Para encontrar c se aplica la fórmula: f(c) ba
2c 5 f ( 3) f (1)
;
3 1
28 10
3 1
2c 5 2c 5 9
2c 4
c2
EJERCICIO 49
Verifica el teorema del valor medio para las siguientes funciones en los intervalos indicados y determina el valor
adecuado de c.
1. f(x) x 2 3x 2 ;
[0, 3]
6. f (x) x 3 5 x ;
2. f(x) 4 x 2 ;
[1, 2]
7. f (x) sen
3. f(x) 1
;
x
[1, 3]
8. f (x) 4. f(x) x 1
;
x2
[2, 1]
9. f(x) e x;
5. f(x) x 1 ;
3
x
;
2
1
;
x 1
10. f (x) ln(2x 1);
[0, 8]
[2, 1]
[P, P]
[0, 7]
[0, 1]
[0, 4]
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Diferenciales
Se define la diferencial de una función f en un punto x, como el producto de su derivada por la diferencial de la variable
independiente y se denota por las expresiones d f(x) o dy, es decir:
df (x) f(x)dx o dy 1303
dy
dx ; para toda dx : 0
dx
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Obtén la diferencial de la función y x 2 5x 6
Solución
Se obtiene la derivada y se multiplica por dx:
dy d 2
(x 5x 6) · dx
dx
dy (2x 5)dx
Por tanto, la diferencial es: dy (2x 5)dx
2
Determina la diferencial de la función y x2 5
Solución
Se deriva la función:
2
1
1
2
1 d ( x 5 )
x
dy d x 5 1 2
1
( x 5) 2
( x 2 5 ) 2 (2 x ) 2
dx
dx
dx
2
2
x 5
Por consiguiente,
d y
3
x
x2 5
dx
Obtén la diferencial de la función f (U) 2 sen U cos U
Solución
Se deriva la función:
df (U )
d cos U
d sen U ¶
d 2 sen U cos U
§
2 ¨sen U
cos U
dU
dU
d U ·¸
dU
©
2[sen U(sen U ) cos U(cos U )]
2[cos 2 U sen 2 U ]
Pero cos 2 U sen 2 U cos 2U, entonces:
df (U )
2 cos 2 U
dU
Entonces
df (U ) 2 cos 2 U d U
1304
CAPÍTULO
CÁLCULO
4
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
Obtén la diferencial de la función y arc sen(1 x 2)
Solución
Se deriva la función:
dy
d
arc sen(1 x 2) dx
dx
1
1 (1 x )
1
1 (1 2 x 2 x 4 )
2x2 x4
2 x
x 2 x2
Por consiguiente, dy 2
2 x2
(2x)
2 x
d
(1 x 2)
dx
2 2
2
2 x2
dx
EJERCICIO 50
Determina la diferencial de las siguientes funciones:
x2
x 1
1. y ax
11. g(x) 2. y ax 2 bx c
12. y x2
x3
3. f(x) x 3 2x 2 5
13. y ax 2 b
ax 2 b
4. s t3t
2
14. f (x) x cos 2x
5. h(t) (5 3t 2)6
15. f(t) tan3 2t
6. y (x 2 2)3
16. y (1 sec x)2
1
3
17. g(x) 1 sen x
1 sen x
8. y x x 2 2
18. s (t) cost
t
9. f(x) (x 1)3(x 3)4
19. f(x) sec x 1
sec x 1
¤
7. y ¥ 2
¦
10. h(s) 3³
´
xµ
2s 1
2s 3
20. y log(x 2 5)
1305
5
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
21. y ln x 2 3
x 1
x2
22. y ln
23. y e
26. f(x) x 2 ln x
27. f (x) arc cos 2x
x3
28. y arc tan
3
24. y 2 x 5
25. h(t ) 2
x
29. y arc sec x
et
e et
30. y arc csc(3x 3)
t
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Aplicaciones de la diferencial
Sea y f(x) una función, si se da a x un incremento $x, la variable y recibe un incremento $y, que se considera un
valor muy próximo a dy, entonces el valor aproximado de f(x $x) es:
f(x $x) y $y y f(x)dx y dy
A esta expresión se le llama aproximación lineal y sirve para aproximar valores de funciones.
Aproximación lineal
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina el valor aproximado de
25.020
Solución
Se asocia a la operación la siguiente función:
y
x
Se busca un valor x próximo a 25.020, cuya raíz cuadrada sea exacta, en este caso x 25, y veinte milésimas restantes se toman como la diferencial de la variable x.
dx 0.020 1
50
Se obtiene su diferencial:
dy 1
dx
2 x
dy 1 ¤ 1³
1
¥¦ ´µ 50
500
2 25
dy 1
500
Los valores se evalúan en la fórmula:
f(x $x) y dy
25.020 25 0.02 5 Por consiguiente,
25.020 5.002
1306
1
500
2501
5.002
500
25 5; las
CAPÍTULO
CÁLCULO
2
Determina el valor aproximado de
3
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
70
Solución
Se asocia a la operación la siguiente función:
y
3
x
Se busca un valor x próximo a 70, cuya raíz cúbica sea exacta, en este caso x 64, y las seis unidades restantes
son tomadas como la diferencial de la variable x, es decir, dx 6
Se obtiene la diferencial:
1
dy 2 dx
3
3 x
1
dy 3
3
64
2
(6 ) 1
8
Los valores se evalúan en la fórmula:
f(x $x) y dy
3
Por tanto,
3
3
64 70 3 (64 6 ) 4 1 33
8
8
33
4.125
8
Obtén el valor aproximado de cos 40
Solución
La función asociada a la operación es:
y cos x
Se busca un valor x próximo a 40, en este caso x 30 P
3
P
, y cos 30 y los 10 restantes
6
2
18
es el valor de la diferencial de x.
dx P
18
Se obtiene su diferencial:
dy sen x dx
dy (sen 30)(
dy P
1 P
) ( )(
)
18
2 18
P
36
Los valores se evalúan en la fórmula:
f (x $x) y dy
cos 40 cos(30 10) Finalmente, cos 40 3 P 18 3 P
0.778758941
2
36
36
18 3 P
36
1307
5
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Aproximación del aumento o disminución de funciones
Ejemplo
Al enfriar una placa cuadrada metálica de 8 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?
Solución
Se determina cuánto disminuyó el lado de la placa, para ello se obtiene el 0.03% de 8.
(8)(0.0003) 0.0024
Si x lado de la placa, entonces dx 0.0024 cm, el signo menos indica que decrece el lado.
Luego:
El área de la placa es:
A x2
La disminución en el área es:
dA 2x dx
dA 2(8 cm)(0.0024 cm) 0.0384 cm2
Por último, se determina qué porcentaje representa 0.0384 del área total de la placa, es decir:
A x 2 (8 cm)2 64 cm2
Porcentaje de la disminución de su área (0.0384 cm 2 )(100%)
0.06%
64 cm 2
Por lo tanto, el área disminuye 0.06%
Estimación de errores de magnitudes
Ejemplo
Se calculó la longitud del lado de un cuadrado y éste mide 2.5 cm, con un error de 0.02 cm. Determina el máximo
error que se comete al medir el área del cuadrado.
Solución
El área se determina con la fórmula A x 2, se obtiene la diferencial dA 2x dx, al sustituir se obtiene
dA 2(2.5 cm)(0.02 cm) 0.1 cm2; dA representa el máximo error cometido en la medición del área.
Ú Error relativo y error porcentual.
error relativo dv
dv
; error porcentual 100
v
v
Ejemplo
Se calculó el radio de una esfera y éste mide 4.5 cm con un error máximo de 0.035 cm. Calcula el error relativo y
porcentual que se obtiene al medir el volumen.
Solución
Del problema se obtiene:
r 4.5 cm
La fórmula del volumen es v 3
dr 0.035 cm
4 3
Pr y su diferencial es dv 4Pr 2dr
3
1308
CAPÍTULO
CÁLCULO
DIFERENCIAL U
Aplicaciones de la derivada
5
Entonces, el error máximo cometido al medir el volumen es:
dv 4Pr 2dr 4 P( 4.5 cm )2 (0.035 cm )
dv 2.835P cm3
Luego, el volumen de la esfera con radio 4.5 cm es:
v
4
P( 4.5 cm )3 121.5 P cm 3
3
Por tanto, el error relativo es:
dv
2.835 P cm 3
v
121.5 P cm 3
3
dv
100(0.023)
v
3
dv
0.023
v
Y el error porcentual:
100
100
dv
2. 3%
v
EJERCICIO 51
Calcula el valor más aproximado de las siguientes operaciones:
3
130 2 tan 63º
86
6.
2.
3
35
7. 123.5
3.
4
20
8. sen 53 cos 44
1.
9. sen4 29
4. sen 38
5.
3
2
6 cos 50 º
10. cot 75
11. Una placa circular de radio 3.8 cm, se introduce en un horno, aumentando su radio en 0.012 cm. ¿Cuál es el
aumento en la superficie de la placa?
12. La longitud de las aristas de un cubo es de 5.9 cm cada una, se midieron con un error máximo de 0.032 cm.
Determina el máximo error que se cometió al medir su superficie y volumen.
13. Se calculó el diámetro de la base de un cilindro circular y éste midió 7.2 cm, con un error máximo de 0.05 cm.
Calcula el error máximo que se cometió al medir el volumen si la altura es constante e igual a 10 cm.
14. Se midió un lado de un cuadrado y se cometió un error máximo de 0.012 cm. Calcula la longitud de uno de
sus lados si el error máximo que se cometió al medir su área es de 0.192 cm2.
15. Calcula el error relativo y porcentual que se comete al medir el volumen y la superficie de una esfera, si su radio mide 12 cm y el error máximo que se cometió al medirlo es de 0.015 cm.
16. El error relativo que se comete al medir el área de un cuadrado es de 0.18, si el error que se comete al medir la
longitud de uno de sus lados es de 0.01 cm. Encuentra la longitud de cada uno de los lados del cuadrado.
17. El error relativo al medir el volumen de una esfera es de 0.02. Calcula el error máximo cometido al medir su
diámetro, si éste mide 3 cm.
18. Calcula el error relativo y porcentual que se comete al medir el área lateral de un cilindro de base circular, si al
medir el diámetro de la base se obtiene 4.5 cm con un error máximo de 0.004 cm y la altura es de 5.6 cm.
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1309
Solución a los ejercicios
de cálculo diferencial
CÁLCULO DIFERENCIAL
CAPÍTULO 1
8. (@, 5 ) (5, 5 ) (5, @ ) { x 0 R x 5, x 5}
9. (@, @ ) { x 0 R}
EJERCICIO 1
1. Función
6. Relación
11. Función
10. (@, 5 ) (5, 0 ) (0, @ ) { x 0 R x 5, x 0}
2. Relación
7. Función
12. Relación
11. (@, 1) (1, 0 ) (0, 1) (1, @ ) { x 0 R x 1, x 0, x 1}
3. Función
8. Relación
13. Función
12. [1, @ ) { x 1}
4. Relación
9. Función
14. Función
5. Función
10. Relación
15. Relación
13. [ 6, @ ) { x 6}
14. (@, 2 ] { x 2}
EJERCICIO 2
15. (@, 4 ] { x 4}
5
¤ 1³
1. f ¥ ´ f(3) 15, f(0) 3
¦ 2µ
2
2. f (a) a2
16. ( @, 5 ] † [ 5, @ ) { x Œ R x 5 o x 5}
17. (@, 1] [ 6, @ ) { x 0 R x 1 o x 6}
5a 6,
f (a b) a 2 2ab b 2 5a 5b 6
18. [ 6, 6 ] { x 0 R 6 x 6}
f (x h) 3x 2 6hx 3h 2 4x 4h 2
3.
19. (@, @ ) { x 0 R}
f ( x h) f ( x )
6x 3h 4
h
20. (@, @ ) { x 0 R}
21. [ 5, @ ) { x 0 R x 5}
1
¤ 1³
¤ 1³
4. f ¥ ´ , f ¥ ´ No existe
¦ 3µ
¦ 2µ
5
22. (2, @ ) { x 0R x 2}
4h
f (x h) f (x)
(2 x 2 h 1)(2 x 1)
23. (@, 3) { x 0 R x
3}
24. (@, 2 ) (2, @ ) { x 0 R x 2}
5. f (5) 3, f (4) 0, f(6) 20 2 5 ,
25. (@,4 ] ( 3, @ ) { x 0 R x 4 o x 3}
f (3) No está definida
6. f (x h) f ( x h) f ( x )
h
2x h
7.
8.
1
f ( x h) f ( x )
h
1 ( x h) 1 x
9. f (1) 27. (2, @ ) { x 0 R x 2}
( x h )2 3 x 2 3
f ( x b) f ( x )
1
b
( x b 1)( x 1)
5³
¤
ª
28. ¥ @, ´ « x 0 R x
¦
2µ
¬
5¹
º
2»
29. (0, @ ) { x 0 R x 0}
30. (1, 3) { x 0 R 1
x
3}
31. [1, @ ) { y 0 R y 1}
32. [4, @ ) { y 0 R y 4}
x
4
5
, f (0) , f(x 5) x7
3
2
33. (@, 9 ] { y 0 R y 9}
3
¤ 1³
10. f (1) 2, f ¥ ´ 2 2 x 2 3x
¦ xµ
x
Las demostraciones de los ejercicios 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18, se
dejan al estudiante.
9¶ ª
9¹
¤
34. ¥ @, · « y 0 R y º
¦
4¸ ¬
4»
35. (@, 2 ) (2, @ ) { y 0 R y 2}
1³ ¤ 1 ³ ª
1¹
¤
36. ¥ @, ´ ¥ , @ ´ « y 0 R y º
¦
2µ ¦ 2 µ ¬
2»
EJERCICIO 3
1. (@, @ ) { x 0 R}
37. [1, @ ) { y 0 R y 1}
2. (@, @ ) { x ΠR}
38. (@, 0 ] { y 0 R y 0}
3. (@, 3) (3, @ ) { x ; R x 3}
39. [ 0, 2 ] { y 0 R 0 y 2}
4. ( @, 5 ) (5, @ ) { x 0 R x 5}
5. (@, 4 ) ( 4, 4 ) ( 4, @ ) { x 0 R x 3¹
º
2»
§ 3³ ª
26. ¨1, ´ « x 0 R 1 x
© 2µ ¬
x 2 2 xh h 2 3
4, x w 4}
40. (0, 1] { y 0 R 0
y 1}
6. (@, 0 ) (0, 5 ) (5, @ ) { x 0R x 0, x 5}
41. [ 0, 1) (1, @ ) { x 0 R 0 y
7. (@, 2 ) (2, 5 ) (5, @ ) { x 0 R x 2, x 5}
42. [ 0, @ ) { y 0 R y 0}
1554
1 o y 1}
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 4
5.
Y
1.
Y
f(x) =
y=4
1
2
x–1
X
X
6.
Y
2.
Y
f(x) =
f(x) = 2
2
5
X
3
4
x 12
X
7.
Y
3.
Y
f(x) = x2 – 4x + 3
f(x) = p
X
X
8.
4.
Y
Y
f(x) = –2x2 + 12x – 13
f(x) = 3x + 5
X
X
1555
CÁLCULO DIFERENCIAL
9.
13.
Y
Y
f(x) =
f(x) = 4 – x2
x22
x14
X
X
14.
Y
10.
Y
f(x) =
f(x) =
3
x
x 12
32x
X
X
15.
Y
11.
Y
f(x) =
1
f(x) = –
x
x 21 5 x 1 6
x2 2 4
X
X
16.
12.
Y
Y
f(x) =
f(x) =
x
x22
1
x 2 12 x 23
X
X
1556
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
17.
21.
Y
Y
f(x) =
x2 1 2
f(x) =
x 2 2 36
x22 9
X
X
22.
Y
18.
Y
f(x) =
2x
16 2 x 2
f(x) =
X
X
23.
19.
Y
Y
f(x) =
f(x) =
x 2 1 x 2 12
x24
X
X
24.
20.
Y
Y
f(x) =
f(x) = –
4x2 2 9
92 x
X
X
1557
CÁLCULO DIFERENCIAL
25.
29.
Y
f(x) =
Y
900 2 100 x 2
9
f(x) =
12 x
x12
X
X
26.
Y
30.
Y
f(x) =
x22
f(x) = x
x12
X
X
27.
Y
31.
Y
f(x) =
1
x12
f(x) = x 2 2
X
X
28.
Y
f(x) =
32.
Y
x14
x23
X
X
f(x) = x 1 4
1558
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
33.
37.
Y
Y
f(x) =
2
32x
f(x) = x 2 2 1
X
X
38.
Y
34.
Y
f(x) = x 2 2 4 x 1 3
f(x) =
x 13
x 23
X
X
39.
Y
35.
Y
f(x) = 2 2 x 2
f(x) =
x 23
x 11
X
X
40.
36.
Y
f(x) =
Y
f(x) =
1
x22
C 21 xD
X
X
1559
CÁLCULO DIFERENCIAL
41.
4.
Y
Y
X
X
EJERCICIO 5
5.
Y
1.
Y
X
X
6.
Y
2.
Y
X
X
7.
3.
Y
X
1560
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 6
5.
Y
1.
Y
y 5x2 2 4
y 5 3 x 2 1 12 x 1 11
X
X
6.
Y
2.
Y
y 5 2x 3
y 5 (x 1 3) 2
X
X
7.
Y
3.
Y
y 5 x31 1
y 5 1 2 x2
X
X
8.
Y
4.
Y
y 5 (x 2 1)3 1 2
y 5 x 2 2 6 x 1 10
X
X
1561
CÁLCULO DIFERENCIAL
9.
14.
Y
Y
y5
1
2
y532 x14
x3 2 2
X
X
EJERCICIO 7
10.
1. Crece: (0, @)
Y
2. Decrece: (@, 0)
y5 x22 12
Crece: (0, @)
3. Crece: (@, @)
4. Decrece: (@, 0)
Crece: (0, @)
5. Crece: (2, @)
X
6. Decrece: (@, 3)
7. Decrece: (0, @)
Crece: (@, 0)
11.
Y
8. Decrece: (@, 3)
Crece: (3, @)
y5 x23 22
9. Decrece: (0, 3)
Crece: (3, 0)
X
10. No crece ni decrece, permanece constante
EJERCICIO 8
12.
Y
y52 x13
1. Biyectiva
6. Ninguna
2. Ninguna
7. Biyectiva
3. Ninguna
8. Inyectiva
4. Biyectiva
5. Inyectiva
X
EJERCICIO 9
1. f(x) g(x) 3
f(x) g(x) 7
13.
f(x) g(x) 10
Y
f (x)
5
g( x )
2
y 5 x 23 2 2
2. f(x) g (x) 4x
f(x) g(x) 10
X
f(x) g(x) 4x 2 25
f (x) 2 x 5
g( x ) 2 x 5
1562
9. Suprayectiva
10. Biyectiva
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
3. f (x) g (x) 2x 2 x 3
10. Df Y Dg {1, 1, 2}
f g {(1, 1), (1, 1), (2, 1)}
f (x) g(x) 7(x 1)
f (x) g (x) x4
x3
15x 2
f g {(1, 3), (1, 1), (2, 0)}
23x 10
f (x) x 5
g( x ) x 2
ª
¤ 1³¹
f g «(1, 2 ), (1, 0 ), ¥ 2, ´ º
¦ 4µ»
¬
4. f (x) g (x) 8x 1
6
f (x) g (x) 4x 7
6
f ª¤
1³
¹
«¥ 1, ´ , (2, 1) º
g ¬¦
2µ
»
11. f(x) r(x) 2x 5
12. f(x) s(x) x 2 4x 13
2 x 2 3x 2
f (x) g (x) 6
13. g(x) s(x) x 4 2x 3 19x 2 68x 60
f (x) 6 x 3
g( x ) 2 x 4
5. f (x) g (x) x3 x4
f (x) g (x) x3 x4
f (x) g (x) 2
14.
g( x )
x3
r(x)
15.
s( x )
x5
r(x)
16. g (x) s(x) 8(x 2)
x x 12
17. f(x) r(x) x 2 5x 6
18.
f (x) x 3
r(x) x 2
19.
g( x ) x 3
s( x ) x 5
20.
g( x ) s ( x )
2x 3
f (x) r(x)
2
x x 12
x3
f (x)
g( x )
x4
x4
6. f (x) g (x) x 2 x
f (x) g (x) x
f(x) g (x) x x x
f (x)
x 1
g( x )
x2 2
x( x 2)
21. f(x) g(x) 7. f(x) g (x) sen2 x cos2 x 1
22.
f (x) g(x) sen2 x cos2 x cos 2x
f (x) g(x) sen2 x cos2 x 1
sen2 2x
4
f ( x ) sen 2 x
tan2 x
g( x ) cos2 x
8. Df Y Dg {1, 3, 5}
f (x) x2 x
g( x )
x2
23. f(x) g(x) x 1
x 2 2x
24. f(x) h (x) 5 5x
( x 2 )( x 3)
25. g(x) h(x) x 1
x 2 3x
f g {(1, 12), (3, 20), (5, 23)}
f g {(1, 8), (3, 8), (5, 9)}
f g {(1, 20), (3, 84), (5, 112)}
f
ª¤
«¥ 1,
g
¬¦
1 ³ ¤ 3³ ¤ 7 ³ ¹
´ , ¥ 3, ´ , ¥ 5, ´ º
5 µ ¦ 7 µ ¦ 16 µ »
9. Df Y Dg {2, 1, 0}
f g {(2, 0), (1, 1), (0, 2)}
26.
x 3 3x 2 4x 2
f (x)
h( x ) ( x 2 )( x 3)
g( x )
27.
h( x )
x2 x 3
g( x ) f (x)
x ( x 3)
28.
h(2 ) f (1)
3
g( 3)
f g {(2, 10), (1, 7), (0, 4)}
f g {(2, 25), (1, 12), (0, 3)}
f ª
«(2, 1),
g ¬
3³
¤
¥¦ 1, ´µ ,
4
1³ ¹
¤
¥¦ 0, ´µ º
3 »
29. f(x 1) x2
1
h( x 1) x 3
30. h(x) g(x) 1563
x2 2x 3
x ( x 3)
CÁLCULO DIFERENCIAL
31.
h( x ) g( x ) x 4 2 x 3 x 6
g( x ) f ( x )
x ( x 1)( x 3)
32. f (x) h(x) g (x) 33.
12. f(x) 13. f(x) x 3 3x 2 2 x 6
x ( x 2 )( x 3)
x
14. f(x) mx b
15. f(x) x 2
f ( x ) h( x ) x ( x 1)(2 x 1)
g( x )
( x 2 )( x 3)
16. f(x) x ( x 3)
1
2
34.
g( x ) h( x )
x 3
35.
1
x
x2
17. f g h 81x 2 54x 9
18. f g h 1 12x 2 48x 4 64x 6
3 x
1
2
1 h( x )
19. f g h 2x 9
20. f g h sen2(x 2)
EJERCICIO 10
21. f g h sec2 x
1. ( f g)(x) 12x 2 46x 40, (g f )(x) 6x 2 10x 7,
( f f )(x) 27x 4
90x 3
24x 2
85x 20,
(g g)(x) 4x 9
4
x , (g g)(x) x 4
2. ( f g)(x) x, (g f )(x) x, ( f
f )(x) 3. ( f g)(x) 4, ( g f )(x) 2, ( f
f )(x) 4, (g g)(x) 2
4. ( f g)(x) x, (g f )(x) x, ( f
f )(x) x 2 10
(g g)(x) 5. ( f g)(x) x 2
( f f )(x) 6. ( f g)(x) x 2 10
(x 2
2)2,
f )(x) (g g)(x) 2
x 2x
x 1 1
1 x
x3
, (g f )(x) x 1
1 3x
( f f )(x) EJERCICIO 11
1. Ninguna
6. Ninguna
11. Par
2. Par
7. Par
12. Par
3. Impar
8. Par
13. Impar
4. Ninguna
9. Ninguna
14. Par
5. Ninguna
x 1 , (g
2x 22. f g h sen x
1
, (g g)(x) x
2x 1
10. Impar
EJERCICIO 12
1. f 1(x) x
2. f 1(x) x5
2
3. f 1(x) x9
4. No tiene inversa
7. ( f g)(x) log(x 4), (g f )(x) log(x 2) 2
5. f 1(x) 3
x
( f f )(x) log[log(x 2) 2], (g g)(x) x 4
6. f 1(x) 5
x
7. f 1(x) 4
x
8. ( f g)(x) 1
, (g f )(x) x
x 2 x 4 1
8. f 1(x) 3 x 2
( f f )(x) 1
2 no está definida
x
(g g)(x) x x2 1
9. No tiene inversa
10. f 1(x) 9. ( f g)(x) {(1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 8)}
( g f )(x) No está definida, ( f f )(x) {(2, 8)}
11. f 1(x) x 3 9
12. f 1(x) (g g)(x) {(1, 3), (2, 4), (3, 5)}
10. ( f g)(x) {(2, 1), (1, 4), (0, 9), (1, 16)}
13. f 1(x) (g f )(x) (1, 4), ( f f )(x) {(1, 1), (2, 16)}
( g g)(x) {(2, 4)}
( g g)(x) {(2, 2)}
f )(x) {(0, 3), (1, 1)}
1 3x
2x
x 2 1
14. f 1(x) 1 x
1 x
15. f 1(x) x2
x 1
11. ( f g)(x) {(3, 1), (2, 3), (1, 1)}
(g f )(x) {(0, 1), (1, 0)}, ( f
4 x2
1564
2
15. Par
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 13
5.
Y
1.
Y
f (x) 5 3x
X
f (x) 5 1 2 ex
X
2.
6.
Y
Y
f (x) 5 e2x 1 2
y 5 32x
X
3.
X
Y
7.
Y
y 5 3x 2 3
f (x) 5 ln(x 2 2)
X
X
4.
8.
Y
Y
f (x) 5 ex 1 1
X
f (x) 5 1 1 log x
X
1565
CÁLCULO DIFERENCIAL
9.
13.
Y
f (x) 5 22 sec x 1 1
Y
f (x) 5 2 1 ln(x 1 1)
3
2p
X
p
X
10.
Y
f (x) 5 3 cos x 2 2
14.
Y
f (x) 5 sen x 1
p
2
X
X
EJERCICIO 14
1. V(h) 40h
11.
Y
f (x) 5 22 sen x 1 1
2. V(h) 4
Ph 3
75
3. P(A) 12 5 A
5
4. A(d) Pd 2
4
5. V(x) 3
Px 3
2
X
12.
Y
6. A(x) 3
(x 2)2
4
7. V(x) Pr 2
(8r 15)
6
8. A(x) Px 2
3
f (x) 5 2tan x
X
9. A(x) 3x 16 x 2
¤ 540
³
3´
10. A(x) (x 4) ¥
¦ x
µ
11. d(t)
9
16t 2 1
2
12. d(t)
1 2
t 16
2
1566
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
CAPÍTULO 2
21.
7
9
36.
EJERCICIO 15
1. 1
1
2. 0.16666 6
3. 1
6. 4
22. 6
23.
8. No existe
9. 2
5. 1
10. 3
11. D 0.01
15. E 0.18
12. D 0.08
16. E 0.0098
13. D 0.025
17. E 0.25
14. D 0.4
18. E 0.002
8. 2. 24
9. 15
4
27
15. 0
40. 0
10. 2 3
17. 1
4. 0
11. 32
18.
5. 7
12. 1
19. 1
6. 64
13. 1
7. 3
14. 5
8
21.
11. 9
2. No existe
12. 0
3. 0
13. 14.
2
5. 3
1
6.
2
1
2
5
4
1
15.
4
16. 2
42.
1
4
1
4
43.
1
4
2
4
44.
30. No existe
45.
1
3
46.
1
8
31.
1
2
4 3
3
3
20
1
29. 2
6a 3 a2
1
32. 2 5
47.
1
6
48.
1
54
33. 4
2 x
34.
24
5
49.
1
4
35.
b
a
50.
2
25
EJERCICIO 19
1.
7
4
11. 11
6
2. 2
12. 1
3. 0
13.
9
2
4. No existe
14. 1
5. 3
15. 1
6.
7. 4
41. 27. 48
20. h
EJERCICIO 18
a
c
1
12
16. No existe
3. 18
4.
1
2
5
12
25. 3
28.
1. 3
38.
39. 2
26.
EJERCICIO 17
1
3
24. 3
EJERCICIO 16
3
5
37. 7. No existe
4. 0
1.
1
n • n p n 1
17. 4
1
2
16.
am
si m n
bn
0 si m
8.
1
2h
18. 1
2
19. 15
9. 10. 2a
20.
3
7
9
19
1
7. 3
No existe si m n
8. 0
9. 1
17.
10. 0
18.
1567
n
a
c
n
a
CÁLCULO DIFERENCIAL
EJERCICIO 20
1. y 3.
Y
1
2
y = 2x – 1
y = f(x)
2. y 0
3. No tiene asíntota horizontal
4. y 1, y 1
5. y 2
6. y a
c
1
x=
X
1
As. Vertical: x =
2
As. Oblicua: y = 2x – 1
2
7. y 0
8. y 2
4.
9. No tiene asíntota horizontal
Y
a
10. y b
y=x–2
EJERCICIO 21
1.
X
x=–2
Y
y = f(x)
As. Vertical: x = – 2
y=x–1
As. Oblicua: y = x – 2
x=–2
X
5.
Y
y = f(x)
As. Vertical: x = – 2
y=x
x=–1
As. Oblicua: y = x – 1
2.
1
X
As. Vertical: x = – 1
As. Oblicua: y = x
6.
Y
y = f(x)
x=–1
y=x
X
As. Vertical: x = 1
x=–1
As. Oblicua: y = x
x=1
1568
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
6. 7
7.
Y
7. 1
8. 3
2
y=x –3x
9. 2
10. No existe el límite
EJERCICIO 23
1
X
1.
1
3
6. 2
2.
1 3
2
7. 4 3
As. Vertical: x = 0
As. Oblicua: y = x2 – 3x
x=0
3. 2
8. 0
4. 1
9. 1
1
5. 2
8.
Y
10. No existe
EJERCICIO 24
y = f(x)
1. 2
11. 2
3
2.
4
12.
1
X
3. 1
2
13. 1
4. 0
As. Oblicua: y = x – 1
5. y=x–1
9.
Y
y = f(x)
y = x3 + x
14. 0
1
2
15.
16. 0
7. 0
17. 9
8.
2
18. 0
19.
10. sec3(3)
X
EJERCICIO 25
1. Es continua en x 0
2. No es continua en x 2
3. No es continua en x EJERCICIO 22
3
2
1. a) 11, b) 9, c) No existe
4. Es continua en x 3
2. a) 1, b) 1, c) 1, d) 6, e) 4, f ) No existe
5. Continuidad removible en x 2
3. a) 0, b) 2, c) No existe, d) 2
2
2
, e) , f ) 3
3
3
6. No es continua en x 2P
7. Es continua en x 2
4. a) 1, b) 4, c) 4, d ) 4, e) 16
8. No es continua en x 1
5. a) 4, b) 4, c) 4, d ) 8, e) 3, f ) No existe
9. No es continua en x 0
1569
n2 m2
4
20. 0
CAPÍTULO 3
As. Vertical: x = 1
x=1
1
2
6. 0
9. 1
As. Oblicua: y = x3 + x
1
2m
CÁLCULO DIFERENCIAL
10. No es continua en x 2; es continua en x 2
11. Es continua en x 1; no es continua en x 2
11. f(x) 3
P
2
13. No es continua en x 3; es continua en x 3
12. f(x) 14. Continuidad removible en x 3
13. f(x) 12. Es continua en x P y x 15. Continuidad removible en x 1
16. Continuidad removible en x 2
17. y 1
2 x2
18. y x
14. f(x) 1
2
15. y 19. k 1
20. k 0 o k 2
21. k 1 o k 16. y 4x
( x 2 1)2
x2 4
17. Continuidad removible en x 8
18. No es continua en x 6
x3
2
3 3 (2 x 1)2
1
x x
1
3
x2
3
2
3( x 1) 3 x 1
2
19. y 1
2
20. y 1
n n xn 1
EJERCICIO 29
2
9
1
1. y 0
16. y 9 x 2
22. a 9
, b 7
4
2. y 0
17. f(x) 23. a 17
, b 2
2
3. f(x) 0
18. f(x) 4. s(t) 0
19. f(x) 5. y 6
20. s(t) 24. a 4, b 2
2
5 5 x3
1
4
6. sí
7. sí
3. sí
8. no
4. no
9. no
5. sí
6. y 3
4
21. f(x) 10. sí
6. 5
2. 0
7. 5
3. 4
8.
4. 2 ,
1
2
5. 5
2
5
9.
2
2
1
5
x4
22. f(x) 5x4
7
8. s(t ) b2
23. f(x) 4 x3
9
9. f(x) 5 2
24. s(t) 3t 2
a
10. y a b
25. f (x) 20
x5
11. f(x) 5x 4
26. f (x) 12
x7
12. f(x) 12x 2
27. f(x) 4 3
t
5
28. s(t ) 10. 1
CAPÍTULO 4
EJERCICIO 28
1. y 3
6. y 3x 2
2. y b
7. y 3x 2 2x
3. y 2x
8. y 4
4. f(x) 6x 5
2
9. y ( x 1)2
5. y 2ax b
1
44 t3
7. f(x) a
EJERCICIO 27
1. 2
x3
1
2 x
EJERCICIO 26
1. sí
2. no
10. y 3x 2
13. s(t ) 14. y 9 27
x
2
15. f(x) 1570
4 13
x
3
3
( x 1) ( x 3) 2
1
4 x
1
15 3 t 2
29. f (x) 2
x x
30. s(t) 5
4t 4 t
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
31. f (x) 4
3x 3 x
54. y 3
x2
32. f (x) 21x 2 6x 3
55. y 15(3x 4)4
33. f (x) 4x 3 15x 2 16x 1
56. y 12(2 4x)2
34. f (x) 10x 4
57. y (72x 5 32x 3)(3x 6 2x 4)3
35. f (x) 12ax 3 12ax 2 10bx 7c
58. y 12 x (2x 1)2(6x 1)
36. f (x) 37. s(t ) x2 6x 4
2
5
9
59. y 5t 4
4 t 3 3t 2 2t 1
6
5
4
7
9
60. y 3x
5 3x 2
x2
3
2x
1
2
2
a
a b
38. f (x) 39. s(t ) 61. y 8
5
t3 t2
62. y 20 18 14
3
40. f (x) 5 4 3 2
x
x
x
x
1
15 3 x 2
1
2
x2
49. y 2
5
x
3
7
a
n n xn 1
1
3
3
50. f (x) x
b
33 x2
54x
12
5
2x 2 4 x
( x 2 )3
4
3 3 2x 3
1
67. y 3
( 4 x 3) 4
¤1
³
68. f(x) ¥ x 2 ´
¦3
µ
1³
¤2
69. y ¥ 2 ´
¦x x µ
70. f(z) 1
2
z
3
( x 6 3 x )2
72. y 108x 2 55x 4
73. y 40x 12 6
5
2
x3 x2
53. f(x) 5 3 x 2 10
8
3 3 x 3x 3 x
1³
¤ 1
3´
¦¥ x 2
x µ
z2 4
51. f (x) 14x 15x 2
52. f (x) 2
2x5 1
71. y 1
3
2x x
4
65. f(x) (6x 15)(x 2 5x 3)2
5
2
4 x x2 x
46. f (x) anx n1 b(n 1)x n2
2
x3
4
4
6
3 6 x
45. f (x) x
x
48. f (x) 4x 6
3 2x2 6x
x3x
66. y 47. f (x) 1 x2
( x 2 1)2
64. f(x) 43. f (x) 3x 2 6x 6 44. f (x) 3 x ( x 2 )2
9 ³¤x
¤
³
63. y ¥ 1 ´ ¥ 6 x ´µ
¦
xµ¦3
3t 2
4
6
3 2
41. s (t) 5
t
t
42. f (x) 3
74. y 12x 3 3x 2
75. f(x) 1571
3x 1
2x 1
9
x2
CÁLCULO DIFERENCIAL
76. y 77. y 1
(2 x 1)2 8 x 1
3
98. y 80. s 7 x 4 27 x 2
4
3( x 2 3) 3
78. f (x) 12x (3x 2 5)3(2x 2 1)2(7x 2 3)
79. f (U) (6U4 12U)(U2 1)2(2U3 U 2)
3
(x 4 a4 )2
5x2 4 x
2 x 1
4 x 3
97. y 99. y 8 x 2 24 x 9
2 x 2 3x
8 9t
2 4 3t
101. y 6
82. f (x) (1 2 x )2
84. f (r) 3
2( x 1) 2
9
¤2 3³
81. s(t ) (2t 3) ¥ 2 ´ 4 2
¦t t µ
t
83. f (t) x2
100. y 3x 3
2 x3
2 x 2
102. y bt
2
a a t
2
2
( x 6 1) 3 ( x 3 1) 3
2
103. y r 3 5r
3
nx n 1
(1 x n ) x 2 n 1
(r 2 4 ) 2
86. f (z) m
21
(5 6z )2
87. f (x) n
104. y 63
85. f (t) ( 5 t 8 )2
105. y 89. f (t ) x x
xn 1
2
3
2( 4 5 x ) 2 2 x 1
2 ab
(ax b )2
1
m
xn m
20 x 2 19 x 8
8x6 8x3 2
106. y 3
88. f (x) m
1
2 3x
2
1 2t
1 4t 2
( 4 x 6 1)2 (2 x 3 1)2
EJERCICIO 30
1.
1 2u
dy
dx
x2
90. f (w) 10(w 3)
(w 2 )3
2.
dy
1
2
dx
2 x u 1(1 u )
91. f (U) 24U 3 54U 2 24
( 3 2U )2
3.
x (6u 2 3)
dy
dx
2u 3 3u
92. f (s) 6 s 2 4 s 12
( s 2 6 s )2
4.
dy
4
9
3 4
dx
u
u
5.
dy
(8 12 x 3x 2 )(u 2 1)
dx
(u 2 1)2
6.
5u 3 3u
dy
dx
u3 u
7.
dy
dx
8.
dy
8x
dx
(u 1)2 (v 2 )2 x 2 1
93. f (x) 10b 2 x 5 x 3
2
3
2 2
2(b x )
94. f (t)
(693 27t )(9t 6 )2
(27 3t )3
95. f (x) 96. f (x) 2 ab
( a 3 x )2
8 4 x2
4 x2
1572
3x 2
u ( x 3 1)2
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
dy
v
dx
2 x u 1(v 2 1)2
27. f(x) ¤ x 1³
2
sec 2 ¥
( x 1)2
¦ x 1 ´µ
10.
dy
2 x ( x 2 3)
dx
(v 1) v 2 1 u 3
28. f(x) ¤ ax b ³
¤ ax b ³
2 ab
sec ¥
tan ¥
(ax b )2
¦ ax b µ´
¦ ax b µ´
11.
dy
2u
dx
v ( x 1)2
9.
29. f(x) 10 sen 5x cos 5x 5 sen 10x
30. f(x) 3b cos2 bx sen bx
31. f(x) 24x tan3 3x 2 sec2 3x 2
EJERCICIO 31
2 cos 4 x
32. f(x) 1. y 8 cos 8x
2. f (x) 6x sen
sen 4 x
3x 2
3. f (x) 3x 2 sec2 x 3
33. f(x) 5x tan 5x 2
4. s(t) 6 sec 6t tan 6t
3
6. f (x) 9 csc 9x cot 9x
8. s(t) 2bt
bt 2
36. f(x) 2x cos x 2 2x 3 sen x 2
9. f (x) 12x sec x 2 tan x 2
10. f (x) 1
x
x
csc
cot
8
4
4
11. f (x) 3a sen 3x
3x cos 3x sen 3x
x2
37. f(x) 38. f(x) 12. f (x) 3 csc2(3x 5)
13. f (x) cos
9 tan 2 x 2
35. f(x) x cos x sen x
7. f (x) a sen ax
sec2
sec 5 x 2
2 x sec 2 x 2
34. f(x) 5. f (x) 12x 2 csc2 4x 3
2 sen 4x cot 4x
10t 2 sen 5t 2 2 cos 5t 2
t3
39. y 2ax cos(ax 2)
x
2
40. y 3a sen(3x)
P³
¤
14. f (x) 5 sen ¥ 5 x ´
¦
2µ
41. y 15. s(t) a sec2(at P)
42. y x sec 3x 2 tan 3x 2
sec 2 x
2 x
16. f (x) cos x sen x
43. y 17. s(t) 1
cos t
2 t
18. f (x) 19. f (x) 20. s(t) 1
2x
2x
csc
cot
3
3
3
44. y 2x 3 1
3 3 x2
csc 2 3 x
1
¤ 1³
cos ¥ ´
¦ xµ
x2
45. y 6x csc2(1 x 2)
1
1
cos
x2
x
46. y 3
1
sen 3
t4
t
¤ x 1³
4
• cos ¥
3( x 1)2
¦ x 1 ´µ
47. y 2b sen 4bx
48. y 24(2x 1)2 tan3(2x 1)3 sec2(2x 1)3
sec
21. f (x) 1
1
tan
x
x
2x x
22. f (x) 3 sec2 3x 3 3 tan2 3x
23. f (x) a a csc2 ax a cot2 ax
24. f (x) 2(x 1)cos(x 1)2
25. f (x) 18t (3t 2 2)2 sen(3t 2 2)3
26. f (x) sen 2 x
49. y 2
csc 2 x 1
x 1
50. y cos 3 2 x
2 x sec 2 x 2
3
9 tan 2 x 2
51. y cos 4x (cos2 4x 6x sen 8x)
52. y x csc ax(2 ax cot ax)
53. y (1 x cot 2x) csc 2x
1573
CÁLCULO DIFERENCIAL
54. y m sen nx sen mx n cos nx cos mx
sen 2 nx
6. f(x) 55. y cos x
(1 sen x )2
7. f(x) 2
x 9x4 1
1
b2 x 2
56. y x sen x
57. y 16 x 2
(tan 2 x 1)3
58. y (2x 2 6) cos 2x 10x sen 2x
59. y 2 cos(2x 1)
60. y x sec(P x) [2 x tan(P x)]
61. y 1
8. f(x) sec 2 x (tan x 1)
81x 2sen 2 x[ 3x 2 cos x x cos x sen x ]
( 3x 1)4
9. f(x) a
a2 x 2
10. f(x) 1
x x 1
2x
11. y 8 6 x 2 x 4
x 1
x 1
12. y ¤ sec x ³
63. y ¥
(x sen x cos x)
¦ x ´µ
13. y 64. y x sen x cos x
14. y arc sen x
62. y 1
( x 1) x 2 1
sen
2
1
1 x2
x2
2x arc tan x
x 1
2
65. y 2 cos 2x
66. y 2 sec2 x tan x
67. y 1
x
sen
2
2
68. y 6 sen(6x 2)
x sen x 2 cos x
69. y x3
x2
15. y 16 x 2
1 x
¤ 1³
16. y arc csc ¥ ´ ¦ xµ
1 x
17. y x arc tan x
18. W 70. y (sen x cos x)(tan2 x tan x 2)
U
(1 U 2 ) U 2 2
1 4 x2
71. y cos3 x
19. y 72. y x 2 sen x
20. y x 2 arc sen x
73. y sen4
2x
EJERCICIO 32
1. y 2. f (x) 5
22. y x2
x 1
23. y 3 6x2
(1 4 x 2 )(1 x 2 )
1 25 x 2
8 x
1 16 x 4
3. f (x) 3
1 9x2
24. y 4. y 3x 2
1 x6
25. y 5. f (x) br
br
21. f(r) 2
x x4 1
26. y 1574
2
1
2 x x2
1
¤ 1³
arc cos ¥ ´
¦ xµ
x 1
2
4a 8x
1 ( 4 ax 4 x 2 )2
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
1
27. f (r) 28. y r 2 4 r 3
1
4 x2 4 x 5
x2
29. y 4x x
1
2x
5. f(x) 6 log e
x
6. f(x) 3 log e
x
7. f(x) log 3 e
x
8. f(x) log 4 e
3x
9. f(x) 4 ln 3 x
x
10. f(x) 3 ln 2 5 x
x
2
x2
30. y 4. f(x) 4 x x2
2x x2
31. y 32. s(t) 2 3t
9 t2
25 9 x 2
33. y 11. y x(1 ln x 2)
34. w U5
(U 4 ) U 2
35. y 1
5 4 cos x
13. y 36. y cos x
5 3 cos x
14. f(x) 2 ln x 2
x2
1
3
15. y a
a
2(b ax ) 2(ax b )
38. y arc cot(tan x) x
16. f(x) 9x2 2
x ( 3x 2 1)
17. f(x) 2 ax 2 b
x (ax 2 b )
37. y 39. y ¤ 1 4 x arc sec 2 x ³
1
¥ ´
( 4 x 1) ¦ x
4 x2 1 µ
2
7 8 cos x cos2 x
14 2 cos x
40. y 41. y 64
12. y 2(1 ln x)
18. y 13
( 3x 5 )(2 x 1)
bc
c2 x 2 b2
19. f(x) 2
( 3x 2 ) 5 x 28 x 12
20. y cot x
t2
42. s 2t arc cos(1 t) 2
2t t 2
43. y 1
1 (a x )
21. y 5 tan 5x
22. y 2x
x2 4
23. y 3
2 ( 3x 4 )
24. y 12
4 x2 9
2
EJERCICIO 33
1. y 1 ln x
x2
3
x
2. f (x) 2
x
25. y x2
x 8
3. f (x) 6x 5
3x 2 5 x 2
26. y ln x
2x
1575
3
CÁLCULO DIFERENCIAL
27 x 2 12 x 6
( 3x 2 )( 3x 2 2 )
53. f(x) 4e 4x
27. y 28. y 2 log 3 e
4 x2 1
55. f(x) 3e 3x1
29. y 30 bx
2
54. f(x) 10xe 5x 2
56. f(x) 1 5x
e
5
57. f(x) 13 t
e
3
58. f(x) 14 x
e
4
x 3 log e
10 bx 3 x 6 x
30. y tan x
31. y 2 cot x
32. y 1 ln x
1
59. f(x) 33. y 2 tan 2x
34. y 1
2x ln x
60. f(x) 35. y sec x
2 x2
e
x3
e x
2 x
61. f(U) sen 2U e sen2U
1 sen 2 x
36. y cos 2 x
62. f(x) 2 sen 2x e cos 2x
63. y (sen x cos x)e xex sen x
x tan x
37. y x tan x
64. f(x) (3 ln 5)53x
65. f(x) (2 ln 7)72x
38. y 2x 2(1 ln x 3)
66. f(x) (2x ln 5)5x2
3 sec 2 x
3 sec x csc x
39. y 2 x tan x
2 x
67. y 2x 2x (1 ln x)
68. y x cos x1(cos x x ln x sen x )
log e
40. y 2x
x
69. y x
(1 ln x)
x2
70. y y
earc tan x
1 x2
1 x2
71. y 1 2x
2x
41. y 2x25x ln 2 (2x 5)
x
42. f (x) b ln b
2 x
ln x
43. y 3 ln 3
x
72. y 3e ln x 2 3x 2
44. y (x cos x sen x) 5 x sen x ln 5
73. y xe x
( x 1)2
74. y e x ( x ln x ln x 1)
2 ln 2 x
45. y 2ln x(1 ln 2)
46. y 5x (ln 5x 1)
2
47. y 2xe x 2xy
48. y (6x 2)e 3x
49. y 3xe
2
2x1
2
3 x 1
2
3x 1
(6x 2)y
75. y 3xy
3x 2 1
76. y 50. y (x sec2 x tan x)y
2x
51. y e b e
52. y 2x
b
8
(e e2 x )2
2x
1
x (ln x 1) ln 2 x 1
77. y 78. y 1576
esen x cos x
(1 esen x ) e2 sen x 1
2a cot ax
ey
eln
e x sen x
(1 cot x )
y(1 cot x )
2
2
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
79. y xe sen x (x cos x 2)
13. y 80. y cot x
81. y 3x 2 8
x( x 2 4 )
x3
82. y x2 9
83. y sec3 2x
14. y 16. y x2 4
88. y arc cot x
18. y y
x
tan e y
ey
19. y 3e xy
20. y 2 xy
x2 1
EJERCICIO 34
21. y 1 x y
1 y x
x
y
22. y y
x
x (1 e x )
2
y(e y 1)
23. y x
89. y arc csc
1. y 2. y 3. y x
2
4
y
y
x
y
x (2 y 1)
17. y 86. y arc sec x
1
87. y 4 x2 9
2 4 x 3y
3x 3
15. y 1 4 x
84. y arc tan x
85. y 2y x y 1
1 2x x y
2
24. y y
x ln x
4. y 2x 5
4y 2
25. y y
x 2 y2 x
5. y 3x y
x 6y
26. y y ¤ x ln y y ³
x ¥¦ y ln x x ´µ
6. y x 1
1 y
27. y 1
x ln x
7. y ( x y )2 2 y
2x
28. y e x (1 e y )
(e y 1) ln(1 e y )
ey
8. y b2 x
a2 y
29. y y(x ln y)
x ln x
y
x
30. y ey
ex
1 x e y
1 y
31. y y2
y
1 x
e xy
32. y 1
1
e x y [cos(e x y ) 1]
33. y e x cos y cos y 3
1¤ 1
1 ³
¥
x e x cos ysen y
x ¦ tan y x sen y ´µ
9. y 10. y 11. y 12. y 2 y 2 3x 2 y 10 xy 2
3y 4 xy x 3 10 x 2 y 1
2
4 xy 9 x 2 5 y 3
5x 2x2 1
2 xyy
2 x 3y
1577
ln y
CÁLCULO DIFERENCIAL
34. y 35. y 36. y d4 y
24
dx 4
sen x
sen x (csc y cot y)
cos y 1
sen y
2.
d3y
0
dx 3
sen( 4 x ) cos(2 x )
sen(8 x )
sen(2 y) cos(2 y)
sen(8 y)
3.
d2 y
170
dx 2
(5 x 3)3
4.
d2 y
4 ab 2
(ax b )2
dx 2
5.
d3y
24a 3(ax b)
dx 3
6.
d4 y
sen x cos x
dx 4
41. y sen x ecos x
cos y(1 esen y )
2 y cos( xy)
2 sec( xy) y
x cos( xy)
x
39. y 40. y cos x
sen y
7. y csc2 x
sen x
sen y • ecos y
8. y cos x sen y 1
x cos y
9. y e x sec2 e x (2e x tan e x 1) e x sec2 e x(2e x y 1)
¤ y2 1 ³
42. y ¥ 2
arc tan y
¦ y 1 x ´µ
cot ( x y)
43. y 1 cot ( x y)
44. y y
esen y cos y x 2
y ¤ x ln y y ³
y 2 ¤ 1 ln x ³
2¥
x ¦¥ y ln x x µ´
x ¦ 1 ln y µ´
sen( x y) cos( x y)
47. y 1 sen( x y) cos( x y)
tan 2 ( xy) y 2 sec 2 ( xy)
48. y tan( xy) xy sec 2 ( xy)
49. y 50. y x2 y 1
( x 1)arc cot x
2
18 y 6
d2 y
( 2 3 x )2
dx 2
11.
d2 y
dx 2
9
3
(9 x 2 ) 2
12.
d2 y
x 2 y2
16
3
y
y3
dx 2
13.
d4 y
2
3
x
dx 4
14.
¤
d2 y
cos2 x cos y ³
sen x sen 2 y cos2 x cos y
csc y ¥ senx
sen 2 y ´µ
sen 3 y
dx 2
¦
15.
d3y
x 2 cos x 6x sen x 6 cos x
dx 3
16.
2 n ! (1)n 1
d3y
12
dn y
;
4
3
n
( x 1)n 1
dx
dx
( x 1)
17. y 2y
( x 1)2
18.
d 3y
2 sec2 x tan x
dx 3
19.
d2y
2 cos2 x
sen x
2 sen x
2
dx
(1 sen x )3 (1 sen x )2
(1 sen x )2
y • ex
1 e2 x (sen y arc cos(e x ))
72
( x 1)5
10.
1
1
2 y ln 2
ln 2 x ln 8
45. y 46. y EJERCICIO 35
1.
37. y 38. y cos( x a )
sen( y b )
20. y 1578
12
108 x
;y ( x 2 y )3
( x 2 y )5
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 36
dy
2 sen 2 U 3 cos 2 U
1.
2 cos 2 U 3 sen 2 U
dx
2.
dy
0
dx
11.
3
14. 12.
1
4 m2
15. 1
1
3
16. 13. 3.
dy
5 sen U cos 5 U sen 5 U cos U
5 cos U cos 5 U sen 5 U sen U
dx
4.
dy
cos 2 U sen U sen 2 U cos U
cos 2 U cos U sen 2 U sen U
dx
5.
dy
cos 2 U cos U
¤ 3U ³
cot ¥ ´
¦ 2µ
sen 2 U sen U
dx
6.
dy
csc U cot U
dx
7.
dy
a sen U cos U
a cos U sen U
dx
EJERCICIO 38
1. Sub-tangente 1
Sub-normal 1
Tangente Sub-normal 84
Tangente 3. Sub-tangente 12
7
Sub-normal 84
Tangente 60
2
7
Normal 60 2
3
4. Sub-tangente 13. 3
7
4
Sub-normal 28
14. a
1
4
Tangente 7 17
4
Normal 7 17
EJERCICIO 37
5. Sub-tangente dy
cos U 4 sen U
6.
5 cos U sen U
dx
dy
4t t
1.
dx
2
dy
1
dx
36t 2
7.
dy
(t 1) (1 2t t )
(t 2 1)
dx
dy
a
csc U
4.
b
dx
dy
4
9.
4
5t
dx
3
2t 3t
dy
dx
2 t 1
Tangente 3
5
2
Normal 3 5
dy
U
8.
csc (4 8 cos2 U)
2
dx
2
3
2
Sub-normal 6
2
2 t2 t
dy
3.
dx
2t 1
5.
60
2
7
Normal 60 2
11. 1
2.
12
7
2. Sub-tangente dy
sen U 2 U cos U
cos U 2 U sen U
dx
15. 2
Normal 2
dy
3 cos U 2 cos 2 U
9.
2 sen 2 U 3 sen U
dx
12. 2 10.
1
10
CAPÍTULO 5
U
sen U tan cos U
dy
2
8.
U
dx
cos U tan sen U
2
10.
1
3
6. Sub-tangente 18
Sub-normal 1
2
Tangente 3 37
dy
1
cos U cot2 U
2
dx
Normal 1579
37
2
CÁLCULO DIFERENCIAL
19. T: y 1 0
7. Sub-tangente 8
Sub-normal N: 2 x P 0
1
2
20. T: 3 3x 6 y 3 3P 0
Normal N: 12 x 6 3y 3 3 4 P 0
Tangente 2 17
21. T: 4 x 2 y (6 P) 0
17
2
N: 4 x 8 y (24 P) 0
22. T: 2 x y 6 0
8. Sub-tangente 2
1
Sub-normal 8
Tangente Normal N: x y 0
17
2
3
2
Sub-normal 6
3 5
Tangente 2
Normal 3 5
3
10. Sub-tangente 4
16
Sub-normal 27
145
12
2 145
27
11. T: 4x y 1 0
N: x 4y 38 0
12. T: x y 1 0
N: x y 1 0
13. T : y 0
N : 2x 1 0
14. T: 8x y 12 0
N: x 8y 34 0
15. T: 4x y 8 0
N : x 4y 15 0
16. T:
N: 2 x 6 y 7 0
N: 2y 1 0
9. Sub-tangente Normal 24. T: 6 x 2 y 9 0
25. T: x 2 0
17
8
Tangente N: x 2 y 8 0
23. T: x y 2 0
5x 2y 9 0
N : 2x 5y 0
17. T: x 2 y 7 0
N : 2x y 4 0
18. T: 2 x y 2 0
N : x 2y 4 0
26. T: 7 x y 8 0
N: x 7 y 94 0
27. T: x ey 0
N: ex y 1 e2 0
28. T: 8x y 7 0
N: 2x 16y 47 0
EJERCICIO 39
1. Agudo 26 33, obtuso 153 27
2. Agudo 73 42, obtuso 106 18
3. Agudo 78 41, obtuso 101 19
4. Agudo 35 15, obtuso 144 44
5. Agudo 28 23, obtuso 151 36
6. Agudo 28 4, obtuso 151 55
7. Agudo 71 33, obtuso 104 28
8. 125 32
9. U 63 26
10. U 18 26
11. U 6 54, 57 25
12. U 33 41
13. U 54 44
EJERCICIO 40
1. r 5 5 dU 3 5
,
3 ds
25
2. r 17 17 d U 8 17
,
8
ds
289
3. r 4 2 ,
4. r 5 10 d U 3 10
,
3
ds
50
5. r 1,
1580
dU
2
ds
8
dU
1
ds
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
6. r 1
2
Creciente en ¤¥ @, ³´ ¤¥ , @ ³´
¦
2µ ¦ 3 µ
17 17 d U 2 17
,
2
ds
289
1 2
Decreciente en ¤¥ , ³´
¦ 2 3µ
1 dU
7. r ,
2
2 ds
8. r 11 d U 4 11
,
4 ds
11
7. Punto máximo (2, 15)
Punto mínimo (1, 12)
9. C(2, 5)
Creciente en (1, 2)
¤ 3 3³
10. C ¥ , ´
¦ 4 2µ
Decreciente en (@, 1) X (2, @)
8³
¤
8. Punto máximo ¥ 1, ´
¦
3µ
¤P ³
11. C ¥ , 0 ´
¦2 µ
Punto mínimo (3, 8)
12. C(2, 3)
Creciente en (@, 1) X (3, @)
¤ 23
³
13. C ¥ , 32 ´
¦ 2
µ
Decreciente en (1, 3)
34 ³
¤
9. Punto máximo ¥ 2, ´
¦
3µ
EJERCICIO 41
19 ³
¤
Punto mínimo ¥ 3, ´
¦
2µ
1. Punto mínimo (3, 4)
Creciente en (3, @)
Creciente en (@, 2) X (3, @)
Decreciente en (@, 3)
Decreciente en (2, 3)
5
23
2. Punto máximo ¤¥ , ³´
¦ 6 12 µ
¤ 17 ³
10. Punto máximo ¥ 1, ´
¦ 12 µ
5³
¤
Punto mínimo (0, 1) ¥ 3, ´
¦
4µ
5
Creciente en ¤¥ @, ³´
¦
6µ
Creciente en (0, 1) X (3, @)
5
Decreciente en ¤¥ , @ ³´
¦6 µ
3. Punto máximo (1, 2)
Decreciente en (@, 0) X (1, 3)
11. Punto máximo (1, 3)
Creciente (@, 0 ) (0, 1)
Punto mínimo (1, 2)
Decreciente (1, 2 ) (2, @ )
Creciente en (@, 1) X (1, @)
Decreciente en (1, 1)
12. No tiene máximos y mínimos
Decreciente en (@, 3) ( 3, @ )
4. Punto máximo (0, 0)
Punto mínimo (4, 32)
Creciente en (@, 0) X (4, @)
¤ 1³
13. Punto máximo ¥ 2, ´
¦ 2µ
Decreciente en (0, 4)
1³
¤
Punto mínimo ¥ 2, ´
¦
2µ
5. Punto máximo (1, 5)
Creciente en (2, 2)
1
7
Punto mínimo ¤¥ , ³´
¦2
4µ
1
Creciente en (@, 1) ¤¥ , @ ³´
¦2 µ
¤
Decreciente en ¥ 1,
¦
Decreciente en (@, 2 ) (2, @ )
1³
¤
14. Punto mínimo ¥ 0, ´
¦
4µ
Creciente en (0, 2 ) (2, @ )
1³
´
2µ
1 17
6. Punto máximo ¤¥ , ³´
¦ 2 4µ
Decreciente en (@, 2 ) (2, 0 )
15. Punto máximo (6, 12 )
Punto mínimo (0, 0)
Creciente en (@, 6 ) (0, @ )
2 29
Punto mínimo ¤¥ , ³´
¦ 3 27 µ
Decreciente en (6, 3) (3, 0 )
1581
CÁLCULO DIFERENCIAL
EJERCICIO 42
4.
(–2, 68) Y
1.
Y
f(x) =x2 – 6x + 10
f(x)=2x3 – 3x2 – 36x + 24
X
(3, 1)
x=3
X
(3, – 57)
Punto mínimo (3, 1)
Crece (3, @)
Punto máximo (2, 68)
Decrece (∞, 3)
Punto mínimo (3, 57)
Concavidad hacia arriba (@, @)
Crece (@, 2) X (3, @)
Decrece (2, 3)
2.
Y
1³
¤
Concavidad hacia abajo ¥¦ @, ´µ
2
(2, 10)
¤1 ³
Concavidad hacia arriba ¥¦ , @ ´µ
2
2
f(x)= – x + 4x + 6
¤ 1 11 ³
Punto de inflexión ¥¦ , ´µ
2 2
X
x=2
5.
Y
Punto máximo (2, 10)
f(x) = x4 – 4x3
Crece (@, 2)
Decrece (2, @)
Concavidad hacia abajo (@, @)
3.
Y
3
f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 1
– 25
(– 1, 6)
(3, –27)
Punto mínimo (3, 27)
2
Puntos de inflexión (0, 0), (2, 16)
X
Crece (3, @)
Decrece (@, 0) X (0, 3)
Concavidad hacia abajo (0, 2)
Concavidad hacia arriba (@, 0) X (2, @)
(3, – 26)
Punto máximo (1, 6), Punto mínimo (3, 26)
Crece (@, 1) X (3, @)
Decrece (1, 3)
Concavidad hacia abajo (@, 1)
Concavidad hacia arriba (1, @)
Punto de inflexión (1, 10)
1582
X
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
6.
Y
f(x) = x2 +
¤ 1 1 ³
Concavidad hacia abajo ¥ ,
´
¦
3 3µ
1
x2
1 ³ ¤ 1
¤
³
Concavidad hacia arriba ¥ @, ´ ¥
, @´
¦
3µ ¦ 3 µ
1 4
1 4³
Punto de inflexión ¤¥ , ³´ , ¤¥
, ´
¦
3 9µ ¦ 3 9µ
9.
Y
(–1, 2) (1, 2)
–1
1
X
f(x) =
x 2 1 36
(0, 6)
Puntos mínimos (1, 2), (1, 2)
Crece (1, 0) X (1, @)
1
Decrece (@, 1) X (0, 1)
1
Concavidad hacia arriba (@, 0) X (0, @)
7.
X
Punto mínimo (0, 6)
Y
Crece (0, @)
(–1, 13)
Decrece (@, 0)
Concavidad hacia arriba (@, @)
f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 6
10.
Y
–1
1
f(x) = x3(x + 2)
X
(2, – 14)
Punto máximo (1, 13)
Punto mínimo (2, 14)
Crece (@, 1) X (2, @)
Decrece (1, 2)
–1
1
Concavidad hacia abajo ¤¥ @, ³´
¦
2µ
1
X
1
1
1
Concavidad hacia arriba ¤¥ , @ ³´ , Punto de inflexión ¤¥ , ³´
¦2 µ
¦2
2µ
8.
27 ³
¤ 3
Punto mínimo ¥ , ´
¦ 2
16 µ
Y
f(x) = (x2 – 1)2
Puntos de inflexión (0, 0), (1, 1)
3
Crece ¤¥ , 0 ³´ X (0, @)
¦ 2 µ
1
1
–1
3
Decrece ¤¥ @, ³´
¦
2µ
X
Concavidad hacia abajo (1, 0)
Concavidad hacia arriba (@, 1) X (0, @)
Punto máximo (0, 1)
Puntos mínimos (1, 0), (1, 0)
Crece (1, 0) X (1, @)
Decrece (@, 1) X (0, 1)
1583
CÁLCULO DIFERENCIAL
11.
Y
1
O
p
4
3p
4
p
2
X
p
–1
¤ 3P
³
, 1´
Punto mínimo ¥
¦ 4
µ
¤ 3 1³
23. P ¥ , ´
¦ 2 2µ
31. 400 m, 800 m
24. A 15u 2
32.
100 3P
900
cm,
cm
9 3P
9 3P
25. A 2ab u 2
33.
2 000 3P
cm3
27
26. 4x 3y 24 0
34. 25 2 cm 25 2 cm
27. Radio 4 2
35. r altura 8 2 pulgadas
¤P ³
Punto máximo ¥ , 1´
¦4 µ
¤P ³
Punto de inflexión ¥ , 0 ´
¦2 µ
¤ P 3P ³
Decrece ¥ ,
¦ 4 4 ´µ
k³
¤1
28. ¥
4 a2 k 2 , ´
¦2
2µ
36. 5 5 m
29. Números 4 y 4
37. r 30.
¤ P ³ ¤ 3P ³
, P´
Crece ¥ 0, ´ ¥
¦ 4µ ¦ 4
µ
1. 6
EJERCICIO 43
2. 0
12. A 2. 25 y 25
4. V 6144P cm3
500 6 P 3
in
9P
32 3 2
u
9
altura 14. 2 6 y 2 3 ft
h
4
4
100
3
5 unidades
18. A 6u 2
8. A 24u 2
19. h 2 cm
9. Número 1
20. Cada lado mide 2u
altura 21. 20 y 20
22. 4 2 y 8
t
2 o t4
d) “v” crece cuando 0
t
2 o t4
4. a) t 18 s, v 54
m
s
m
, s 35 m
s
EJERCICIO 45
1.
5
10 cm
2
5. 2.
3
m
449
5
min
6. 10P
3.
360 m
17 s
7. 3 m
49P min
4.
4 5 3
m
75 P
8. 405 km
8 14 h
3
r
2
11. (1, 1), (1, 1)
t
c) “s” crece cuando 0
5. v 2
7. A 54 cm2
3r
4 y 6
b) t 9 s, s 243 m
400
3
10. Base t
a 6 si t 2, a 6 si t 4
15. d 2 5
17. 2 5 y
m 17 m
m
,
, 10
s
2 s
s
b) s 20, v 3 si t 3
2
16. 8 y 8
6. r 38. P (2, 0),
3. a) s 22 si t 2, s 18 si t 4
13. Base 2 2
3. 2 pulgadas por lado y el
volumen de 128 ln3
3V
5P
EJERCICIO 44
¤ P³
Concavidad hacia abajo ¥ 0, ´
¦ 2µ
5. V 2P
P
;
4P 4P
3
¤
6 2
3³
P ¥
, 6 ´
2
2µ
¦
¤P ³
Concavidad hacia arriba ¥ , P´
¦2 µ
1. 20 y 20
5
10
in in
P
P
1584
25 m
12 s
cm 2
s
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
9.
a) 100
4
km
h
14.
27 cm
5 min
820 km
73 h
b)
4 m
10. 9P min
14 u
15.
3 s
11. 90.58 km/h
16.
12. 4.8
13.
m
s
8. c 0
11. No es continua en x 1
9. c 0
12. c 1
EJERCICIO 49
1. c 3
2
6. c 1
m
s
2. c 1
2
7. c 1.7613
.4342
3. c m
s
EJERCICIO 46
4. c 0
9. c 0.5413
5. c 3
10. c 1.3204
b) I $9 424.00, U $7 208.00, Q $26.93
1. dy adx
Q $16.00 por artículo
2. dy (2ax b)dx
3. df(x) (3x 2 4x)dx
2. Costo promedio mínimo $14.80 por artículo
Se deben producir 1 225 artículos para un costo mínimo
3. Ingreso real: I (31) I (30) $156.00
Ingreso aproximado: $160.00
¤ 1
1 ³
dt
4. ds ¥
¦ 2 t 3 3 t 2 µ´
5. dh (t) 36t(5 3t 2)5 dt
4. 59 metros
1
x
800
$50.00 por boleto
5. p(x) 100 15
2
8.
2. 2
1
ln 2
3
9
4
7. dy 1 3¤ x ³
dx
x 2 ¥¦ 2 x 3 µ´
15. e
8. dy 2( x 2 1)
x2 2
dx
9. df(x) (7x 5)(x 1)2(x 3)3 dx
10. 0
17. 1
11. 1
18. 1
10. dh(s) 8
ds
(2 s 3)2
19. 1
11. dg(x) 2 x
dx
( x 2 1)2
13. e
7. 1
6x
( x 2 2 )5
16. @
12. 5. 1
6. 1
3
9. e
3. 1
6. dy 2
EJERCICIO 47
4.
8. c 2.1750
3
EJERCICIO 50
1. a) I $15 275.00, U $8 370.00, Q $47.90
1.
10. c P
7
m
29
50
s
17. 1.95
7 pies
4P min
13
3
7. c 1
2
1
2
20. 0
12. dy x8
3
dx
2( x 3) 2
14. 0
13. dy EJERCICIO 48
1. c 0
4. c 3
4
2 abx
(ax 2 b ) a 2 x 4 b 2
dx
14. df(x) (1 2 sen 2x)dx
15. df(t ) 6 tan2 2t sec2 2t dt
2. c 3
4
5. c 3
3. c 5
2
6. c 0.36
16. dy 2 tan x(sec x sec2 x)dx
17. dg(x) 1585
2 cos x
dx
(1 sen x )2
CÁLCULO DIFERENCIAL
18. ds(t ) 19. d f(x) t sen t 2 cos t
dt
2t 2 cos t
sec x
1
dx dx
sec x 1
1 cos x
20. dy 2x
log e dx
x2 5
21. dy x
dx
x2 3
22. dy 23. dy 3
dx
2x 2 x 32x 4
3
xe
2
x3
EJERCICIO 51
1. 167
9.277
18
2. 89
3.296
27
3. 17
2.125
8
4. 45 2 3P
0.620
90
5. 108 3P
3.151
36
6. 76 30 3 2 P
8.949
15
7. 5489
1372.25
4
dx
24. dy 2x 3 5(3x 2 ln 2) dx
2
25. dh(t ) t
dt
(e et )2
26. d f (x) x(ln x 2 1) dx
27. d f(x) 2
1 4x
2
dx
180
8. 3 2 P 7 2
360
9. 45 3P
0.054
720
10. 9 3P
0.228
9 3
0.8549
11. dA 0.286 cm2
2
28. dy 2
dx
x 4
12. dA 2.265 cm2, dV 3.341 cm3
13. dV 1.8P cm3
29. dy 1
dx
2x x 1
14. Lado 8 cm
15. Error relativo 30. dy 3
x 9x 6 1
dx
dA
0.00249,
A
Error porcentual 0.249%
Error relativo dV
0.00374,
V
Error porcentual 0.374%
16. Lado 1
cm
9
17. dF 0.02 cm
18. Error relativo dA
0.00088,
A
Error porcentual 0.088%
1586
TABLAS
DE LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS
TABLA Tabla
DE LOGARITMOS
de logaritmos
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0000
0414
0792
1139
1461
0043
0453
0828
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