PROGRAMA ACADÉMICO
Departamento de ciencias básicas
UNIDAD DE ESTUDIO
Métodos Numéricos
INTEGRANTE
Kevyn Estiven Marín Nivia
Maicol Estiven Romero Buitrago
Juan José Cerquera González
DOCENTE
Sergio David Diaz
Taller II
Taller II: Aplicación de métodos principales
códigos Métodos:
METODOS DE SIMPSON MATLAB
syms x;
fx=input("Introduce tu función:");
a=input("Introduce a:");
b=input("Introduce b:");
n=input("Introduce n para el método de Simpson múltiple:");
vr=int(fx,x,a,b);
fprintf("El valor verdadero de la integral es %f \n", vr)
fa=subs(fx,a);
fb=subs(fx,b);
fprintf("\nMÉTODO DE SIMPSON 1/3")
ah=(b-a)/2;
ax1=a+ah;
afx1=subs(fx,ax1);
aI=((ah)*(fa+4*afx1+fb))/3;
aE=((vr-aI)/vr)*100;
fprintf("\nEl resultado aproximado es: %f", aI);
fprintf("\nEl porcentaje de error es del %f%% \n\n", aE);
fprintf("\nMÉTODO DE SIMPSON 3/8")
bh=(b-a)/3;
bx1=a+bh;
bx2=a+2*bh;
bfx1=subs(fx,bx1);
bfx2=subs(fx,bx2);
bI= (b-a)*((fa+3*bfx1+3*bfx2+fb)/8);
bE=((vr-bI)/vr)*100;
fprintf("\nEl resultado aproximado es: %f% \n", bI);
fprintf("\nEl porcentaje de error es del %f%%\n", bE);
fprintf("MÉTODO DE SIMPSON MÚLTIPLE")
ch=(b-a)/n;
s1=0;
s2=0;
for i=1:n
x(i)=a+i*ch;
end
for i=1:2:n-1
s1=s1+subs(fx,x(i));
end
for i=2:2:n-2
s2=s2+subs(fx,x(i));
end
cI= (b-a)*((fa+(4*s1)+(2*s2)+fb)/(3*n));
cE=abs(((vr-cI)/vr)*100);
fprintf("\nEl resultado aproximado es: %f% \n", cI);
fprintf("\nEl porcentaje de error es del %f%%", cE);
METODO DEL TRAPECIO MATLAB
clc; close all; clear
fprintf ('Cálculo del área por el método de trapecio\n');
fprintf('-----------------------------------------------\n')
f=input('ingrese la función f(x)=','s');
a=input('ingrese el límite inferior de la integral=');
b=input('ingrese el límite superior de la integral=');
N=input('Número de intervalos =');
g=inline(f);
h=(b-a)/N;
s=0;
m=(feval(g,a)+feval(g,b))*h/2;
for i=1:N-1
s=feval(g,a+(i)*h)*h+s;
fprintf('Trapecios centrales: %10.2f\n',s);
end
R=m+s;
fprintf('\t\tEl área aproximado: %10.2f\n',R);
ezplot(g);
a)
Cálculo del área por el método de trapecio
----------------------------------------------ingrese la función f(x)=1/(x*(x+2))
ingrese el límite inferior de la integral=2
ingrese el límite superior de la integral=10
Número de intervalos =7
Trapecios centrales:
0.07
Trapecios centrales:
0.11
Trapecios centrales:
0.14
Trapecios centrales:
0.16
Trapecios centrales:
0.18
Trapecios centrales:
0.19
El área aproximado:
0.27
Introduce tu función:1/(x*(x+2))
Introduce a:2
Introduce b:10
Introduce n para el método de Simpson múltiple:7
El valor verdadero de la integral es 0.255413
MÉTODO DE SIMPSON 1/3
El resultado aproximado es: 0.288889
El porcentaje de error es del -13.106655%
MÉTODO DE SIMPSON 3/8
El resultado aproximado es: 0.273593
El porcentaje de error es del -7.117991%
MÉTODO DE SIMPSON MÚLTIPLE
El resultado aproximado es: 0.245000
El porcentaje de error es del 4.076865%>>
b)
Punto2 : (exp(1)^-x)*(sin(x))^2
Cálculo del área por el método de trapecio
----------------------------------------------METODO DEL TRAPECIO
ingrese la función f(x)=(exp(1)^-x)*(sin(x))^2
ingrese el límite inferior de la integral=0
ingrese el límite superior de la integral=10
Número de intervalos =30
Trapecios centrales:
0.03
Trapecios centrales:
0.09
Trapecios centrales:
0.18
Trapecios centrales:
0.26
Trapecios centrales:
0.32
Trapecios centrales:
0.36
Trapecios centrales:
0.38
Trapecios centrales:
0.38
Trapecios centrales:
0.38
Trapecios centrales:
0.38
Trapecios centrales:
0.39
Trapecios centrales:
0.39
Trapecios centrales:
0.39
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
Trapecios centrales:
0.40
El área aproximado:
0.40
METODOS SIMPOSON
Introduce tu función:(exp(1)^-x)*(sin(x))^2
Introduce a:0
Introduce b:10
Introduce n para el método de Simpson múltiple:30
El valor verdadero de la integral es 0.399971
MÉTODO DE SIMPSON 1/3
El resultado aproximado es: 0.041328
El porcentaje de error es del 89.667343%
MÉTODO DE SIMPSON 3/8
El resultado aproximado es: 0.005543
El porcentaje de error es del 98.614109%
MÉTODO DE SIMPSON MÚLTIPLE
El resultado aproximado es: 0.400400
El porcentaje de error es del 0.107366%
c)
Punto 3: (1/(sqrt(2*x)))*((exp(1))^(-x)^2)
Cálculo del área por el método de trapecio
----------------------------------------------ingrese la función f(x)=(exp(1))^(-x^2)
ingrese el límite inferior de la integral=0
ingrese el límite superior de la integral=4
Número de intervalos =10
Trapecios centrales:
0.34
Trapecios centrales:
0.55
Trapecios centrales:
0.65
Trapecios centrales:
0.68
Trapecios centrales:
0.68
Trapecios centrales:
0.69
Trapecios centrales:
0.69
Trapecios centrales:
0.69
Trapecios centrales:
0.69
El área aproximado:
0.89
METODOS SIMPSON
Introduce tu función:(exp(1))^(-x^2)
Introduce a:0
Introduce b:4
Introduce n para el método de Simpson múltiple:10
El valor verdadero de la integral es 0.886227
MÉTODO DE SIMPSON 1/3
El resultado aproximado es: 0.715508
El porcentaje de error es del 19.263516%
MÉTODO DE SIMPSON 3/8
El resultado aproximado es: 0.754744
El porcentaje de error es del 14.836257%
MÉTODO DE SIMPSON MÚLTIPLE
El resultado aproximado es: 0.886227
El porcentaje de error es del 0.000014%
Metodo de Romberg
𝐼𝐽∗𝐾 =
4𝐾−1 𝐼𝐽+1,𝐾−1 − 𝐽𝐽𝐾−1
4𝐾−1 − 1
𝐼1,2 =
𝐼1,2 =
4(2,4) − 0
= 3.2
3
𝐼1,3 =
𝐼1,4 =
4𝐼2,1 − 𝐼1,1
3
𝐼1,2 =
4(3.325) − 2.4
= 3.6333
3
16(3.633) − 3.2
= 3.662
15
64(3,6483) − 3,662
= 3,6491
63
A.
Hacer conversión de la tasa dada de la unidad de automóviles por 4 minutos a automóviles por
día.
Tiempo(t)
7:30
C (autos por día)
18 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 1440 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
∗
= 6480
4 𝑚𝑖𝑛
1 𝑑í𝑎
7:45
24 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 1440 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
∗
= 8640
4 𝑚𝑖𝑛
1 𝑑í𝑎
8:00
14 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 1440 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
∗
= 5040
4 𝑚𝑖𝑛
1 𝑑í𝑎
8:15
24 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 1440 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
∗
= 8640
4 𝑚𝑖𝑛
1 𝑑í𝑎
8:45
21 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 1440 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
∗
= 7560
4 𝑚𝑖𝑛
1 𝑑í𝑎
9:15
9 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 1440 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
∗
= 3240
4 𝑚𝑖𝑛
1 𝑑í𝑎
Evaluar los primeros 4 segmentos usando Simpson 3/8.
ℎ=
=
1 𝑑𝑖𝑎
45 min∗ 1440 𝑚𝑖𝑛
3
1
96
𝐴1 =
3ℎ
[𝐶 + 3(𝐶1 + 𝐶2 ) + 𝐶3 ]
8 0
3 1
= ( ) [6480 + 3(8640 + 5040) + 8640]
8 96
=
1755
8
Los últimos dos segmentos son evaluados por Simpson 1/3.
ℎ=
=
1 𝑑í𝑎
60 min∗ 1440 𝑚𝑖𝑛
2
1
48
𝐴2 =
ℎ
[𝐶 + 4𝐶4 + 𝐶5 ]
3 3
1 1
= ( ) [8640 + 4(7560) + 3240]
3 48
=
585
2
El número de autos que pasan entre el intervalo de 7:30 a 9:15 es igual a la suma de las dos
integrales anteriores.
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2
=
1755 585
+
8
2
= 511.875
≈ 512 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
B.
Tiempo(t)
7:30
Tasa de autos por minuto
18 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑥
∗
= 4.5
4 𝑚𝑖𝑛
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
7:45
24 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑥
∗
=6
4 𝑚𝑖𝑛
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
8:00
14 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑥
∗
= 3.5
4 𝑚𝑖𝑛
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
8:15
24 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑥
∗
=6
4 𝑚𝑖𝑛
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
8:45
21 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑥
∗
= 5.25
4 𝑚𝑖𝑛
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
9:15
9 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑥
∗
= 2.25
4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
PROCEDIMIENTO REALIZADO EN EL EXCEL ADJUNTO
Modificar la tabla y asignarle un valor I a cada par de datos t, y.
I
t
y
0
0
0
1
25
32
2
50
58
3
75
75
4
100
92
5
125
100
Se usa la fórmula de la derivada numérica hacia adelante en A t=0, así conseguir la aceleración y la
velocidad.
𝑣=
−𝑓(𝑡𝑦0+2 ) + 4 𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 3𝑓(𝑡𝐼 )
2ℎ
=
−𝑓(𝑡2 ) + 𝑎 𝑓(𝑡1 ) − 3𝑓(𝑡0 )
2(25)
=
−58 + 4(32) − 3(0)
50
= 1.40
𝑎=
−𝑓(𝑡𝑦0+3 ) + 4 𝑓(𝑡𝑦0+2 ) − 5𝑓(𝑡𝑦0+1 ) + 2𝑓(𝑡𝐼 )
ℎ2
=
−𝑓(𝑡3 ) + 4 𝑓(𝑡2 ) − 5𝑓(𝑡1 ) + 2𝑓(𝑡0 )
252
=
−78 + 4(58) − 5(32) + 2(0)
625
= −0.0096
Se usa la fórmula de derivada numérica central en A t=25.
𝑣=
𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 𝑓(𝑡𝑦0−1 )
2ℎ
=
𝑓(𝑡2 ) − 𝑓(𝑡0 )
2(25)
=
58 − 0
50
= 1.16
𝑎=
𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 2 𝑓(𝑡𝐼 ) − 3𝑓(𝑡𝑦0−1 )
ℎ2
=
𝑓(𝑡2 ) − 2 𝑓(𝑡𝐼 ) − 3𝑓(𝑡𝑦0−1 )
252
=
−78 + 4(58) − 5(32) + 2(0)
625
= −0.0096
Se usa la fórmula de derivada numérica central en A t=50.
𝑣=
𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 𝑓(𝑡𝑦0−1 )
2ℎ
=
𝑓(𝑡2 ) − 𝑓(𝑡0 )
2(25)
=
78 − 32
50
= 0.92
𝑎=
𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 2 𝑓(𝑡𝐼 ) − 3𝑓(𝑡𝑦0−1 )
ℎ2
=
𝑓(𝑡3 ) − 2 𝑓(𝑡2 ) − 3𝑓(𝑡3 )
252
=
78 − 2(58) + 32
625
= −0.0096
Se usa la fórmula de derivada numérica central en A t=75.
𝑣=
𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 𝑓(𝑡𝑦0−1 )
2ℎ
=
𝑓(𝑡4 ) − 𝑓(𝑡2 )
2(25)
=
92 − 58
50
= 0.68
𝑎=
𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 2 𝑓(𝑡𝐼 ) − 3𝑓(𝑡𝑦0−1 )
ℎ2
=
𝑓(𝑡4 ) − 2 𝑓(𝑡3 ) − 3𝑓(𝑡2 )
252
=
92 − 2(78) + 58
625
= −0.0096
Se usa la fórmula de derivada numérica central en A t=100.
𝑣=
𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 𝑓(𝑡𝑦0−1 )
2ℎ
=
𝑓(𝑡5 ) − 𝑓(𝑡3 )
2(25)
=
100 − 92
50
= 0.16
𝑎=
𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 2 𝑓(𝑡𝐼 ) − 3𝑓(𝑡𝑦0−1 )
ℎ2
=
𝑓(𝑡5 ) − 2 𝑓(𝑡4 ) − 3𝑓(𝑡3 )
252
=
100 − 2(92) + 78
625
= −0.0096
Se usa la fórmula de derivada numérica hacia atrás en A t=125.
𝑣=
3𝑓(𝑡𝐼 ) − 4 𝑓(𝑡𝑦0−1 ) + 𝑓(𝑡𝑦0−2 )
2ℎ
=
3𝑓(𝑡5 ) − 4 𝑓(𝑡4 ) + 𝑓(𝑡3 )
2(25)
=
3(100) − 4(92) + (78)
50
= 0.20
𝑎=
=
2𝑓(𝑡𝐼 ) − 5 𝑓(𝑡𝑦0−1 ) + 4𝑓(𝑡𝑦0−2 ) − 𝑓(𝑡𝑖−3 )
ℎ2
2(100) − 5(92) + 4(78) − 58
625
= −0.0096
t
0
25
50
75
100
125
Y
0
32
58
78
92
100
v
1.40
1.16
0.92
0.68
0.44
0.20
a
-0.0096
-0.0096
-0.0096
-0.0096
-0.0096
-0.0096
