MATEMÁTICAS II Integración aproximada Curso 07-08 1/3 1.

MATEMÁTICAS II
Integración aproximada
Curso 07-08
1.- Para proceder a pintarlo, se necesita conocer las medidas del techo de cierto edificio
singular. Dicho techo tiene forma geométrica de embudo invertido, similar a la de la
superficie de revolución que se obtiene al girar la curva y = 1 − 3 x alrededor del eje de
ordenadas OY, 0 < y < 1. Calcular de forma aproximada mediante el método de los
trapecios, n = 25, el área de la mencionada superficie.
2.- Con el fin de averiguar el modelo de motor adecuado, una empresa desea conocer el
trabajo necesario para mover linealmente 5 m un objeto mediante una prensa. La fuerza
F requerida es:
F ( x) = 100 x 125 − x 3 , donde F se mide en kilogramos y la posición
x en metros. Se pide:
a) Aproximar, utilizando la regla de Simpson con n = 12, el trabajo W (en kilogramosmetro) efectuado en un ciclo, que viene dado por W = ∫
5
0
F ( x) dx .
b) Estudiar si se puede hallar una cota del error con la fórmula dada en teoría para ello.
3.- a) Calcular de forma aproximada (trapecios, con n = 20) la distancia recorrida, en 1 hora
por un móvil que evoluciona en una superficie plana describiendo, a velocidad constante,
la curva dada por las ecuaciones
1
x(t) = t 3 , y (t) = t + 1 , donde t es el tiempo en horas.
3
b) Acota el error cometido en la aproximación anterior y corrige el resultado del apartado
a) dando sólo las cifras decimales exactas. ¿El error es muy grande? Da el error relativo.
c) ¿Qué valor para n habría que tomar para que el error cometido fuera menor que una
diezmilésima?
4.- El diseño de un nuevo tipo de aeroplano requiere un tanque de gasolina de sección
transversal constante en cada ala. En la figura 1 se muestra un dibujo a escala de una
sección transversal. El tanque debe cargar, aproximadamente, 3000 kg. de gasolina cuya
densidad es 0,68kg/dm3. Estimar la longitud del tanque usando la regla de Simpson.
y0 = 4,6 dm
y3
y1 = 4,9 dm
y2
y4
y5
y2 = 5,5 dm
y0
y1
y6
y3 = 5,8 dm
Figura 1
y4 = 6,1 dm
y5 = 6,1 dm
El espaciamiento horizontal es h = 3 dm.
y6 = 6,4 dm
M
Nota: Recuérdese que d =
V
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5.- La anchura, en pies, en puntos igualmente espaciados a lo largo de la calle de un hoyo de
un campo de golf viene dada en la figura. La dirección desea estimar el número de yardas
cuadradas de la calle como base para decidir cuánto tiempo le costaría cortar el césped a un
encargado del mantenimiento del campo. Usar la regla de Simpson para hallar dicha
estimación. (1 yarda = 3pies)
0
190
180
175
185
170
195
205
210
200
195
170
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900 1000
1100 1200
6.- a) Hallar de forma aproximada , usando la regla de Simpson con n = 30, la longitud de la
órbita de Marte (a =227,94x106 km, e = 0,0934) y acotar el error cometido en dicha
aproximación ¿Es muy grande?
b) Dime si la siguiente cuestión tiene un buen enunciado: Hallar n para que el error sea
menor que 1 km.
7.- Se quiere construir un techo ondulado comprimiendo una lámina de aluminio plana.
Se pretende que cada onda tenga una altura de 5 cm sobre la línea central y un período
de 6π cm. Calcular la longitud de la lámina de aluminio necesaria para un metro de
tejado ondulado con un error menor que 1 cm. (Utilizar el método de los trapecios)
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Ejercicios propuestos
(Sugerencia: Usar DERIVE aunque el valor de n sea pequeño)
2
1) Calcular ln 2 = ∫1
dx
por el método de los rectángulos ( por defecto y por exceso )
x
tomando n = 10.
2
2) Calcular ln 2 = ∫1
dx
con un error menor que una centésima, mediante la fórmula de los
x
trapecios.
1
3) a) Calcular
dx
∫ 1+ x
0
3
utilizando fracciones simples.
3
2
(Ayuda: 1 + x = (1 + x )(1 − x + x ) )
1
b) Estimar
dx
∫ 1+ x
0
3
usando el método de Simpson con n = 6.
c) Calcular el valor absoluto del error cometido en la estimación anterior.
3 x
dx con un error menor que
4) Hallar el valor de n que debemos tomar para calcular ∫1
x +1
10-2 mediante la fórmula de Simpson.
5) Calcular el valor aproximado de
∫
3
1
dx
, aplicando la regla de los trapecios para n=6.
2x − 1
Acotar el error cometido.
3
6) Calcular apróximadamente , mediante la regla de Simpson, la integral ∫ e x sen xdx ,
1
tomando 6 subintervalos. Acotar el error cometido
Soluciones a los ejercicios propuestos
1) 0.668771,
2) n=5,
0.718771.
0.695635.
1
3 
 ln 2 +
π
3 
3 
b) 0.835681.
c) 0.00833 (con DERIVE).
3) a)
4) n=2,
5) 0.8218,
6) 10.947092,
1.305556.
0.148148.
0.011021.
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