MATEMÁTICAS II Integración aproximada Curso 10

MATEMÁTICAS II
Integración aproximada
Curso 10-11
EJERCICIOS
1.- Para proceder a pintarlo, se necesita conocer las medidas del techo de cierto edificio
singular. Dicho techo tiene forma geométrica de embudo invertido, similar a la de la
superficie de revolución que se obtiene al girar la curva y  1  3 x alrededor del eje
de ordenadas OY, 0 < y < 1. Calcular de forma aproximada mediante el método de
los trapecios, n = 25, el área de la mencionada superficie y una estimación del error
cometido.
2.- Hallar de forma aproximada (Simpson, n = 14) la longitud del arco de la curva en
polares r  cos

para 0     . Acotar el error cometido en dicha aproximación.
2
Hallar n para que el error fuera menor que una milésima.
3.- a) Calcular de forma aproximada (trapecios, con n = 20) la distancia recorrida, en la
primera hora por un móvil que evoluciona en una superficie plana describiendo, a
velocidad constante, la curva dada por las ecuaciones
1
x(t)  t 3 , y (t)  t  1 , donde t es el tiempo en horas.
3
b) Acota el error cometido en la aproximación anterior y corrige el resultado del
apartado a) dando sólo las cifras decimales exactas.
c) ¿Qué valor para n habría que tomar para que el error cometido fuera menor que
una diezmilésima?
4.- Los economistas utilizan una distribución acumulativa denominada curva de Lorenz
para medir la distribución de la renta entre las familias de un determinado país. Una de
estas curvas es por ejemplo la función h(x) 
5x 3
.
4  x2
a) Utilizar la regla de Simpson con n = 60 para estimar el coeficiente de
desigualdad que viene dado por C   0 2 x  h x  dx
1
b) Hallar una cota del error cometido en la aproximación anterior.
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5.- Una ciudad desea drenar y rellenar el pequeño pantano mostrado en la figura:
El pantano tiene una profundidad media de 5 metros. ¿Cuántos metros cúbicos de
basura se requerirán para llenar ese área después de drenar el pantano?
(trapecios, n = 6)
6.- a) Una variable aleatoria X sigue una distribución normal estandarizada N(0, 1).
Hallar aproximadamente (Simpson, n = 20) la probabilidad de que X tome valores entre
0 y 2.
b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
c) ¿Qué valor de n hay que tomar para que el error sea menor que 10-7?
Nota: Función de densidad de una N(μ, σ ): f ( x ) 
1
 2
e

 x  2
22
.
7.- Se quiere construir un techo ondulado comprimiendo una lámina de aluminio plana.
Se pretende que cada onda tenga una altura de 5 cm sobre la línea central y un
período de 6 cm. Calcular la longitud de la lámina de aluminio necesaria para un
metro de tejado ondulado con un error menor que 1 cm. (Utilizar trapecios)
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EJERCICIOS PROPUESTOS
(Sugerencia: Usar DERIVE aunque el valor de n sea pequeño)
2
dx
por el método de los rectángulos ( por defecto y por exceso )
x
2
dx
con un error menor que una centésima, mediante la fórmula de
x
1) Calcular ln 2  1
tomando n = 10.
2) Calcular ln 2  1
los trapecios.
3) a) Calcular
1
dx
 1 x
0
3
utilizando fracciones simples.
3
2
(Ayuda: 1  x  (1  x )(1  x  x ) )
1 dx
usando el método de Simpson con n = 6.
b) Estimar 0
1 x3
c) Calcular el valor absoluto del error cometido en la estimación anterior.
3 x
dx con un error menor
4) Hallar el valor de n que debemos tomar para calcular 1
x 1
que 10-2 mediante la fórmula de Simpson.
5) Calcular el valor aproximado de

3
1
dx
, aplicando la regla de los trapecios para
2x  1
n=6. Acotar el error cometido.
3
6) Calcular apróximadamente , mediante la regla de Simpson, la integral  e x sen xdx ,
1
tomando 6 subintervalos. Acotar el error cometido
Soluciones a los ejercicios propuestos
1) 0.668771,
0.718771.
2) n=5,
0.695635.
1
3 
3) a)  ln 2 

3
3 
b) 0.835681.
c) 0.00833 (con DERIVE).
4) n=2,
5) 0.8218,
6) 10.947092,
ETSITGC
1.305556.
0.148148.
0.011021.
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