Introduccion Potencia en Corriente Alterna

Sistemas Eléctricos de Potencia
Introducción
El dato que se dispone a la hora de diseñar un sistema de potencia, siempre es la
potencia activa que queremos entregar en un lugar determinado.
En función de ese dato y de la distancia a la que se encuentra esa carga respecto a
la fuente, es posible determinar la tensión a la que debemos transportar esa
potencia.
Por lo tanto, repasemos las formas de expresar la potencia en función de la tensión
y la corriente.
Potencia y Factor de Potencia
Potencia en corriente alterna
Cuando se aplica a un circuito eléctrico una tensión v  V0  cost   de manera
que por este circule una corriente i  I0  cost  , la potencia puesta en juego en el
circuito, queda definida como el producto de esa tensión por la corriente establecida:
v  i  V0  I0  cost    cost 
Fig 1
En la Fig 1 vemos, que la corriente (onda roja) está desfasada de la tensión (onda
azul) en un ángulo 
1
Aplicando la relación trigonométrica cos   cos  cos    cos  al
2
producto v  i : obtenemos:
v  i  V0  I0 
1
cos2t    cos
2
La potencia promedio, en un período, será:
T
p
-1-
T
V0  I0 1
1
cos2t    cos
v

i

T 0
T 0 2
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Sistemas Eléctricos de Potencia
T
T

V0  I0 
p
  cos2t    dt   cos   dt
2  T 0

0
dZ
, reemplazando en la primera integral
2
2T  
T

V I 
dZ
resulta: p  0 0   cos Z 
  cos   dt
2T  
2 0



Para t  0  Z  
Los límites de la primera integral serán: 
Para t  T  Z  2T  
Haciendo: 2t    Z  dZ  2dt  dt 
V0  I0 
senZ2T    1  cos   t 0T 

2T 
2





V I 
 1 
  sen  cos   T 
p  0 0 
sen 2 
T



 

2  T  2 


2

f






 




V0  I0  1 




p

sen 2
 2
f
 T    sen  cos   T 






2  T  2 

 4


 
p
 


V0  I0  1 


p

sen


sen
  cos   T






2  T  2 

0

 

V I
V I
p  0 0  cos   T  0 0  cos  y como V0  V  2 e I0  I  2 :
2T
2
V  2 I 2
p
 cos  , o sea: p  V  I  cos 
2
 es el ángulo entre la tensión y la corriente y se lo denomina ángulo de fase. Al
cos  se lo llama Factor de Potencia y toma valores entre uno y cero (es un ángulo
del 1° ó 4° cuadrante).
Puede verse que si  = 90° ó  = - 90° , el factor de potencia es cero y la potencia
promedio también será cero. Sin embargo existe una tensión y una corriente, esto
quiere decir que toda la energía se almacena y se libera, alternativamente, entre el
campo magnético de la inductancia y en el campo eléctrico de la capacidad. La
potencia puesta en juego en ese caso será: Q = V  I  sen , a esta potencia, por
alternar en los elementos reactivos del circuito, se la llama: Potencia Reactiva.
La potencia útil para la carga es la potencia promedio y se la llama Potencia Activa,
En un caso general, cuando el cos  no es ni uno ni cero, existen las dos
componentes, entonces, la potencia que será necesario generar para alimentar la
red, es la suma vectorial de ambas y se la llama Potencia Aparente.
-2-
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S  ( V  I  cos )2  ( V  I  sen)2
S  V  I  cos2   sen2 



1
S  V I
Fig 2
Potencia Compleja
Siendo que la potencia aparente tiene dos proyecciones, una sobre el eje x y otra
sobre el eje y, podemos representarla como un número complejo:
En el gráfico tenemos: V  V
j
e
y la potencia aparente es entonces:
S  V I  V I
I I
j
j( )
Fig 3
El ángulo que se obtiene del producto V  I , no es el ángulo de fase, y por lo tanto no
se puede conocer directamente el factor de potencia
En cambio si se utiliza el producto: S  V  I* , en donde I* es el conjugado de la
j(   )
 j 
*
corriente  I*  I
, el módulo del
 , la potencia aparente es: S  V  I  V  I


producto permanece igual, pero, como puede verse en el gráfico,      , o sea:
j
S  V  I*  V  I . Aplicando Euler: S  V  I  cos   j  V  I  sen : S  P  jQ


P
Q
Para determinar la potencia aparente consumida por una impedancia, se parte de la
*
V
* V ; reemplazando
ecuación: S  V  I* .Sabiendo que: I 
; entonces: I 
Z
Z*
V2
queda: S 
Z*
El uso del conjugado de la corriente permite además, fijar la convención de signos
para la potencia reactiva. Dado que las cargas de los sistemas de potencia son
mayoritariamente inductivas, es más fácil pensar que una inductancia consume
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potencia reactiva (+Q), mientras que un capacitor genera potencia reactiva (-Q),
como ocurre en el caso de la compensación por capacitores.
Fig 4 a - Circuito Inductivo
Fig 4 b - Circuito Capacitivo
Suponiendo un giro del campo antihorario y tomando como referencia la tensión, de
manera que esta tenga ángulo cero (coincidente con el eje positivo horizontal),
vemos que:
En el circuito inductivo, (Fig 4 a), la corriente atrasa con respecto a la tensión y el
ángulo inicial de la corriente será   , por lo tanto el conjugado de la corriente
tendrá una componente IL positiva y al multiplicarla por la tensión dará una potencia
reactiva positiva (+Q).
En el circuito capacitivo, (Fig 4 b), con la corriente adelantando a la tensión, ocurre lo
contrario y la potencia reactiva será negativa (-Q).
 j
Por el contrario, si se usa S  V *  I  V  I , los signos de las potencias reactivas
serán opuestos.
Potencia Trifásica
En la figura, se muestra un generador trifásico entregando potencia a una carga
trifásica equilibrada.
V1 = tensión entre FASE 1 y NEUTRO
V2 = tensión entre FASE 2 y NEUTRO
V3 = tensión entre FASE 3 y NEUTRO
I1 = corriente FASE 1
I2 = corriente FASE 2
I3 = corriente FASE 3
Fig 5
Los valores de tensión y corrientes instantáneos, serán iguales en módulo, pero
desfasados 120º entre sí, lo mismo ocurre con las potencias de fase.
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
I t   I  sent  
0
1
p1t   V1t   I1t 

2



I2 t   I0  sen t     
p 2 t   V2 t   I2 t 
3



p t   V t   I t 
3
3
 3

4


I3 t   I0  sen t     
3



La potencia trifásica que entrega el generador será la suma de las tres potencias de
fase.

V t   V  sent 
0
 1

2 

V2 t   V0  sen t   
3 



4 

V3 t   V0  sen t   
3 


2 
2
4 
4






pt   V0  sent   I0  sent    V0  sen t     I0  sen t       V0  sen t     I0  sen t     



3 
3
3 
3







 


1
2
3
De esta manera quedan determinados 3 miembros, los que se modificarán de
acuerdo a la siguiente identidad trigonométrica:
sen  sen 
1
cos    cos  :
2
V0  I0
V0  I0





 
cos

t


t



cos

t


t


 cos  cos2  t   (1)
=

2
2
1
V0  I0 
2
2
2
2




 cos t    t       cos t    t      =
2
3
3
3
3





V I 
4


= 0 0  cos  cos 2t      (2)
2
3



2
V0  I0 
4
4
4
4




 cos t    t       cos t    t      =
2
3
3
 

33




3
V I 
8


= 0 0  cos  cos 2t      (3)
2
3



Reemplazando en la ecuación de p(t) por las expresiones (1); (2) y (3), queda:


1
4
8



 
p( t )   V0  I0  3  cos()  cos2t    cos 2t       cos 2t      
2
3
3



 


3
3
2
2
8
Podemos descomponer el término  como:        , por lo tanto:
3
3 3
3
3

2






1
2
4




 
pt    V0  I0  3  cos()  cos2t    cos 2t       cos 2t      
2
3
3
 


 

 

0



La expresión entre corchetes es la suma de una terna simétrica equilibrada, cuya
3
resultante es nula, o sea, pt    V0  I0  cos() , y siendo,
2
-5-
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V0  Vf  2 e I0  I f  2 . Se concluye que la potencia trifásica de una carga
equilibrada es: pt   3  Vf  If  cos() . En donde Vf e If son valores de tensión y
corriente eficaces de fase.
Suponiendo una carga conectada en triángulo:
If 
Fig 6
IL
VL  Vf
3
PT  3  Vf  I f  cos 
IL
PT  3  VL 
3
 cos 
PT  3  VL  IL  cos 
Suponiendo una carga conectada en estrella:
Vf 
Fig 7
VL
IL  I f
3
PT  3  Vf  I f  cos 
PT  3  IL 
VL
3
 cos 
PT  3  VL  IL  cos 
Tomando valores de tensión y corriente de línea, la expresión de la potencia activa
trifásica es independiente de la conexión de la carga.
Haciendo un análisis similar, se obtiene: Q T  3  VL  IL  sen
La potencia trifásica aparente es: S T 

3  VL  IL  cos 
2  
3  VL  IL  sen
2
ST  3  VL  IL  cos2   sen2 ; S T  3  VL  IL
Para determinar la potencia aparente trifásica consumida por una impedancia de
carga trifásica, partiendo de la conexión estrella:
ST  3  VL  IL ;
V
VL
IL  If  f 
Z
3  ZY
S T  3  VL 
Fig 8
-6-
VL2
ST 
ZY
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;
VL
3  ZY ;
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Partiendo de la conexión triángulo:
ST  3  VL  IL ; Vf  VL
V
I
V
3  VL
If  f ; IL  L  f 
Z
Z
3 Z
3  VL
ST  3  VL 
;
Z
Fig 9
VL2
ST  3 
Z
Transformando la Z  a Z Y , nos queda: Z Y 
Z  Z
Z
   Z   3  Z Y , por
Z  Z  Z
3
VL2
VL2
lo tanto: S T  3 
, o sea: S T 
, que es el mismo valor que en el caso de la
3  ZY
ZY
estrella.
Para el caso de la potencia aparente trifásica, también se aplica la convención del
conjugado de la corriente, o sea que la forma correcta de expresar la última
V2
ecuación es: S T  L
Z*
Y
-7-
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